Soal Penyisihan OMITS 2015 SMA
description
Transcript of Soal Penyisihan OMITS 2015 SMA
http://mathstarindonesia.blogspot.com 1
I. Pilihan Ganda
1. What is last three digit non zero of 2015!
a. 34 b. 344 c. 444 d. 534 e. 544
2. If π₯2 β π₯ + 1 = 0 , find
(π₯ β1
π₯)2
+ (π₯ +1
π₯)2
+ (π₯2 +1
π₯2)2
+ (π₯3 +1
π₯3)2
+β―+ (π₯2015 +1
π₯2015)2
=
a. 2012 b. 2015 c. 4020 d. 4025 e. 4030
3. Bagaimanakah pembacaan yang tepat dari simbol π ini ?
a. Phi b. Pi c. Psi d. Fi e. Vi
4. Diketahuiπ(π₯) = π₯2015 + 2015 dan π(β1) β 1. Jika π(π₯) dibagi π₯8 β π₯6 + π₯4 β π₯2 +
1 sisanya adalah π(π₯) . Dan jika π(π₯) dibagi (π₯ + 1)3 sisanya adalah β(π₯). Tentukan
nilai dari β(1)+1
1βπ(β1) =
a. 1007 b. 2010 c. 2014 d. 2015 e. 4025
5. Bilangan prima 3 digit terbesar yang membagi habis (20151007
)
a. 653 b. 659 c. 661 d. 673 e. 997
6. Diketahui β βπ₯ +π
100β81
π=16 = 625. Tentukan nilai dari β100π₯β Jika βπ₯β menyatakan
bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari π₯. Contoh: βπβ = 3; β2,37β = 2; ββ9,3β =
β10.
a. 839 b. 849 c. 939 d. 949 e. 959
7. π + π = 1
ππ₯ + ππ¦ = 2
ππ₯2 + ππ¦2 = β6
ππ₯3 + ππ¦3 = 8
Tentukan nilai dari ax2015 + by2015 =
a. β21006 b. β21009 c. β22015 d. 21006 e. 22015
8. Manakah nilai berikut yang pasti bukan merupakan bilangan real?
a. πππ
b. ππ
c. (3 β 2π)β5 + 12π
d. π(πβππ₯ β πππ₯)
e. ππ(ππππππ (ππ))
9. Selesaikanlah β (4π β 1)(20154πβ1
)504π=1 = β¦
a. 2015. 22012
http://mathstarindonesia.blogspot.com 2
b. 2015. 22013
c. 2015. 22014
d. 2015. 22015
e. 2015. 22016
10. Manakah nilai yang terbesar dari {20162013, 20152014, 20142015, 20132016, 20122017}
a. 20162013
b. 20152014
c. 20142015
d. 20132016
e. 20122017
11. Tentukan nilai dari β π‘ππ (ππ
2015)2014
π=1
a. -4031 b. -2015 c. 1
22014 d. 2015 e. 4031
12. Manakah yang bukan merupakan nilai dari π ?
a. β6 . β1 +1
22+
1
32+
1
42+β―
b. 4 (1 β1
3+1
5β1
7+1
9ββ―)
c. β«π πππ₯
π₯ ππ₯
β
ββ
d. (1
2.β2
2.β2+β2
2.β2+β2+β2
2β¦)
e. ((β1
2) !)
2
13. Diketahui π =1
12+
1
32+
1
52+
1
72+β― ; π = β
(β2β1)2πβ1
.(β1)π+1
2πβ1
βπ=1 Misalkan juga
20153 dapat dinyatakan sebagai π2 β π2 Tentukan nilai dari βππ
ππ2β
a. 1 b. 2 c. 4 d. 8 e.16
14. What is First digit of 20152015 ?
a. 1 b. 4 c. 5 d. 6 e. 9
15. Berapa Banyaknya pasangan penyelesaian bilangan asli (O,M,I,T,S) dari
O+2M+3I+4T+5S +10 < 100 dengan syarat π > 1 ,π > 2 , πΌ > 3 , π > 4 , π > 5
a. 932 b. 933 c. 934 d. 935 e. 936
16. Tentukan nilai dari
http://mathstarindonesia.blogspot.com 3
β2015 + 2011β2016 + 2012β2017 + 2013β2018 + 2014β2019 + 2015β2020 +β―
a. 2013 b. 2014 c. 2015 d. 2016 e. 2017
17. Jika π, π, π, π, π, π β β+ βͺ {0} yang memenuhi π + π + π + π + π + π = 6 dan π2 +
π2 + π2 + π2 + π2 + π2 =36
5. Tentukanlah nilai maksimal dari π3 + π3 + π3 + π3 +
π3 + π3
a. 216
25 b.
246
25 c.
261
25 d.
264
25 e.
275
25
18. Didefinisikan πΉ1, πΉ2, πΉ3, β¦ , πΉπ merupakan suku dari barisan Fibonacci dengan πΉπ =
πΉπβ1 + πΉπβ2 untuk n bil bulat non-negative β₯3 dan πΉ1 = πΉ2 = 1. Tentukan
πΊπΆπ·(2015πΉ(2014!+1) β 1,2015πΉ(2015!+1) β 1) = ...
a. 1
b. 2014
c. (2014)(2016)
d. (2014)(20152 + 2016)
e. (2014)(2016)(20152 + 1)
19. jika π(π₯) = ππ₯ππ₯...ππ₯
} dengan ππ₯ sebanyak 2015 kali. Tentukan f'(1) = ?
Ket : fβ(x) merupakan turunan pertama f(x) terhadap x.
a. 0 b. 1 c. π d. π2 e. π2015
20. Misal π(π₯) polinomial berderajat 3 dengan koefisien rasional. Yang memenuhi π(π₯) =π₯
π₯2+1 untuk x = 1,2,3,4. Tentukan nilai dari f(5)
a. 5
26 b.
1
170 c.
4
170 d.
41
170 e.
216
170
21. Terdapat π(π₯) = π₯2015 + 2π₯2014 + 3π₯2013 +β―+ 2015π₯ + 2016 Jika
π₯1, π₯2, π₯3, β¦ , π₯2015 adalah akar-akar dari π(π₯). Tentukan nilai dari β β (π₯π)π2015
π=12014π=0
a. -2016 b. -2015 c. -2014 d. -2013 e. -2012
22. Misalkan πΌ = β11
5
7+ β
5
11
7 adalah akar dari polinomial f(x) yang mempunyai koefisien
bilangan bulat dengan koefisien derajat tertingginya adalah -55 maka tentukan nilai dari
f(1) ?
a. 11 b. 19 c. 91 d. 99 e. -55
http://mathstarindonesia.blogspot.com 4
23. Jika Hasil dari limπββ
((20π15π)
(5ππ ))
1
π
dapat dinyatakan sebagai 2π . 3π . 5π .Tentukan nilai dari
a+b+c ?
a. 0 b. 5 c. 18 d. 20 e. 28
24. Terdapat kubus ABCDEFGH dimana titik P adalah titik tengah garis FG, dan Jika
terdapat Bola yang didalamnya kubus tersebut sehingga semua titik sudutnya
menyinggung sisi Bola.Jika Volume Bola tersebut adalah 108β3π. maka Tentukan
Jarak Garis PC ke Garis DF ?
a. 2 b. 3 c. 4 d. 3β3 e. 4
β3
25. Usalin mempunyai angka 20152015 yang berada pada basis 10, Usalin ingin
mengubahnya ke dalam basis 7 tetapi dia hanya ingin tau 3 digit terakhirnya saja setelah
diubah ke dalam basis 7, Bantulah Usalin untuk menemukan angka tersebut. Berapakah
angka yang dimaksud Usalin?
a. 041 b. 056 c. 156 d. 241 e.256
26. In acute Triangle ABC, we have β πΆπ΄π΅ = 70Β°. D is the foot of the perpendicular
from B to AC, and β π·π΅πΆ = 30Β°. P is a point on line segment BD such that β ππ΄π΅ =
40Β°. What is the measure (in degrees) of β ππΆπ΄ ?
a. 10Β° b. 20Β° c. 40Β° d. 50Β° e. 70Β°
27. Taufan mempunyai 2 bilangan bulat positif yaitu a dan b yang memenuhi πππ(π, π) =
20154 . Bantulah Taufan mencari banyaknya pasangan (a,b) tersebut ?
a. 25 b. 64 c. 125 d. 625 e. 729
28. Uzu,Kahfi dan Fariz mempunyai masing-masing himpunan π buah bilangan yang
berbeda dengan n lebih dari 2015, tetapi suku ke π dari himpunan milik Fariz selalu
sama dengan suku ke π + 1 dari himpunan milik Kahfi , begitu juga suku ke π dari
himpunan milik Kahfi selalu sama dengan suku ke π + 1 dari himpunan milik Uzu. Jika
pada saat suku ke π β₯ 3 jumlah suku ke π nya pada himpunan masing-masing orang
tersebut adalah selalu sama dengan (-1), dan Diketahui juga suku ke 3 dari himpunan
Fariz adalah 8
3 dan suku ke 7 dari himpunan Kahfi adalah
2
3 . Maka Tentukan suku ke
2015 dari himpunan Uzu ?
a. 2
3 b.
4
3 c.
5
3 d.
7
3 e.
8
3
29. Didefinisikan π:β β β yang memenuhi π(1 β π₯) + π (1
π₯) = π₯ . Jika π(π)(π₯)
didefinisikan turunan ke n dari f(x) terhadap x. Maka Tentukanlah nilai dari π(2015) (1
2)
a. 0 b. 1 c. 1
2 d.
2015!
2 e. β
2015!
2
http://mathstarindonesia.blogspot.com 5
30. Diberikan fungsi Ackermann yang didefinisikan sebagai berikut
π΄(π₯, π¦) = {
π¦ + 1 , π₯ = 0
π΄(π₯ β 1,1) , π¦ = 0
π΄(π₯ β 1, π΄(π₯, π¦ β 1)) , π₯ β 0 β© π¦ β 0
Tentukan nilai dari π΄(3,8) β [π΄(2,7) + π΄(1,6) + π΄(0,5)]
a. 2011 b. 2012 c. 2013 d. 2014 e. 2015
31. Jika β«3βπ₯β
π₯3ππ₯
β
1= π§. Tentukan nilai dari ππππ ππ (π ππ (
3π§
π))
a. π
4 b.
π
2 c.
3π
4 d. π e. 2π
32. Diberikan segitiga ABC sebarang.Diketahui Keliling segitiga 30 satuan serta Luas
segitiga 90β3
4 satuan luas dan β π΄πΆπ΅ = 60Β° .Jika π, π, π adalah sisi dari segitiga tersebut
.Tentukanlah nilai dari π3 + π3 + π3 ?
a. 900 b. 945 c. 1179
4 d. 3307,5 e. 6615
33. Diketahui segiempat talibusur ABCD dengan Pusat Lingkaran luarnya adalah O serta
jari-jarinya 12,5. Ditarik garis ππ β₯ π΄π· dan ππ β₯ πΆπ·. Jika panjang sisi
π΄π΅, π΅πΆ, πΆπ·, π·π΄, ππ πππ ππ dalam bentuk bilangan asli maka Tentukan Luas segiempat
ABCD ?
a. 123 b. 234 c. 345 d. 456 e. 567
34. Jika
.2 πππ(βπ₯2 + 7π₯ β 10) +3
5βπππ (πβ(π₯2 + 7)) β 1 = β5 + 2β13
3
+ β5 β 2β133
mempunyai satu solusi bulat yaitu π¦ . maka carilah banyaknya nilai π yang memenuhi
persamaan berikut :
ππ(4π β π4 β 2)+5πππ(π2 β 2π + 26)+2πππ(4π2 β 8π + 6) = π¦
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
35. Jika π₯ = 22015
O = (sigma) Ο(x) menyatakan jumlah semua faktor positif dari x.
M = (tau) Ο(x) menyatakan banyaknya faktor positif dari x.
I = (euler phi) Ο(x) menyatakan banyaknya bilangan asli kurang dari x yang saling prima
dengan x.
T = H(x) menyatakan perkalian semua faktor positif dari x.
S = digit terakhir dari x
Maka tentukan digit ribuan dari π +π + πΌ + π + π ?
a. 0 b. 2 c. 4 d. 6 e. 8
36. Sisa pembagian β (π3 β 1)π!40π=1 oleh 97 adalah
a. 1 b. 6 c. 40 d. 91 e. 96
http://mathstarindonesia.blogspot.com 6
37. Diberikan 2 buah bangun bujur sangkar dengan panjang sisi 28 cm dan 37 cm.jika titik π
berjarak 7β2 dari π΄. Maka luas daerah pada bagian yang tidak bertumpukan adalah...
a. 1271
b. 1272
c. 1712
d. 1720
e. 1721
38. Daerah βπ΄π΅πΆ terbagi menjadi 4 bagian yang masing-masing luasnya tertera pada
gambar. Luas daerah π₯ adalah...
a. 21
b. 22
c. 23
d. 32
e. 42
39. Pada segitiga ABC, titik P membagi sisi AC dengan perbandingan 1 : 2. Misalkan G
titik tengah BF dan E titik perpotongan antara sisi BC dengan AG, maka titik E membagi
sisi BC dengan perbandingan...
a. 1 : 3 b. 1 : 4 c. 1: 5 d. 2 : 5 e. 3 : 7
40. Pada segitiga ABC, garis-garis berat dari titik sudut B dan titik sudut C saling
berpotongan tegak lurus. Nilai minimum cot B + cot C adalah...
a. 2 b. 3 c. 1
3 d.
2
3 e.
4
5
41. Diketahui banyaknya faktor bulat positif dari π2 yang kurang dari π tetapi tidak
membagi π, ada sebanyak 2015 . Jika banyaknya faktor prima dari π adalah 2 misalkan
π₯ πππ π¦ dimana π₯ dan π¦ kurang dari 2015, maka banyaknya pasangan bilangan asli
(π₯, π¦) yang memenuhi kondisi tersebut adalah ...
a. 2416 b. 2424 c. 2432 d. 2440 e. 2448
42. Sederhanakan β π
2015π(2015π)2015
π=1
a. (2014
2015)2016
b. (2015
2014)2016
c. (2015
2016)2014
d. (2016
2015)2014
e. (2014
2016)2015
43. Diberikan fungsi Collatz yang terdefinisi di bilangan bulat positif π: β β β sebagai
berikut : π(π) = {
π
2 , π πππππ
3π + 1 , π ππππππ Dapatkan nilai π terkecil sehingga memenuhi
π[7](π) = 5. Dimana π[7](π) = π(π(π(π(π(π(π(π))))))) Setelah didapat nilai π terkecil
maka jumlah digit-digit dari π adalah ...
a. 5 b. 7 c. 8 d. 10 e. 15
D
B A
P
C
B
A
C
x
10 8 5
http://mathstarindonesia.blogspot.com 7
44. Selesaikan soal rally berikut! π = β1 + β4 + β16 + β64 + β256 +β―
Terdapat persamaan fungsi sebagai berikut :
(π₯2 β 2)π (π₯ β2
π₯) + (π₯ β 3)π(π₯) = (
7
2) (π₯ + 1)
Jika π‘ = πππ 3 (2π
7) + πππ 3 (
4π
7) + πππ 3 (
8π
7) .Tentukan nilai dari (π(π). π‘. π)
a. -1 b. β1
2 c. 0 d.
1
2 e. 1
45. Dhody sedang bereksperimen dengan pecahan π
π. Dhody membuat himpunan sebagai
berikut {1
2014,2
2013,3
2012, β¦ ,
1007
1008} Dalam himpunan tersebut diketahui jumlah penyebut
dan pembilangnya selalu 2015. Bantulah Dhody untuk menemukan banyaknya pecahan
yang dapat disederhanakan dari himpunan tersebut?
a. 287 b. 288 c. 503 d. 575 e. 720
46. Terdapat suatu fungsi sebagai berikut (π₯β1)2
22+ (π¦ + 1)2 = 1 .Jika nilai maksimal dari
π₯2 + π¦2 adalah p. Tentukan suku ke π dari πΏπ ? , Jika πΏπ didefinisikan sebagai Barisan
Lucas suku ke n.
a. 1 b. 47 c. 76 d. 123 e. 199
47. Gunakan Konstanta Matematika yang ada pada petunjuk soal untuk mengerjakan
Integral berikut : β« βπ+π+Οβππ₯
ππ₯+βπ ππ₯
βΟβ
βπΎβ
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 5
48. Misalkan π΄ adalah Matriks sebagai berikut : π΄ =
(
2 3 4 5 8222
3 4 73 6 85 7 9
91011
2 3 4 5 6 )
Jika |π΄| menyatakan Determinan dari Matriks A. Maka Tentukan |π΄ππ(π΄)| = ...
a. β220 b. -32 c. 0 d. 32 e. 220
49. Diberikan π = 216 + 1 adalah bilangan prima ganjil. Didefinisikan π»π = 1 +1
2+1
3+
β―+1
π . Tentukan sisa pembagian dari (π β 1)! β π»π. 4
π (2πβ2ππβπ
)πβ1π=1 Oleh p ?
a. 23671 b. 26371 c. 36217 d. 32671 e. 32761
50. Misalkan titik B terletak diluar lingkaran O, sedemikian BE dan BD merupakan garis
singgung lingkaran O (titik E dan D terletak di lingkaran). Asumsikan pula titik A dan
titik C berturut-turut terletak pada garis BE dan BD, sehingga AC juga merupakan garis
http://mathstarindonesia.blogspot.com 8
singgung lingkaran O. Diketahui panjang π΅π· =1
βπ . Jika luas minimum yang mungkin
dari lingkaran luar segitiga ABC dapat dinyatakan sebagai π
π dengan πΊπΆπ·(π, π) = 1.
Jika diketahui juga π = limπ₯β
π
4
β«
π‘ππ(π‘)
π‘+1 π(ππ‘)
πππ‘2(π₯)1
(π2
16βπ₯2)
. Tentukan nilai dari π+π
π ?
a. 1 b. 2 c. 5 d. 7 e. 10
II. Isian Singkat
1. π + π + π + π = 3
π2 + π2 + π2 + π2 = 5
π3 + π3 + π3 + π3 = 3
π4 + π4 + π4 + π4 = 9
Tentukan nilai dari π2015 + π2015 + π2015 + π2015 =
2. Tuliskan 2015 Bilangan Komposit pertama (tidak harus yang paling pertama tapi
seminimal mungkin) yang berurutan dan semuanya merupakan bilangan komposit?
(urutkan dari yang terkecil ke terbesar)
3. Tuliskan rumus Banyaknya digit dari n dengan n bilangan asli.
4. Sederhanakan Bentuk Berikut
βπ2. 2ππ
π=1
5. Diberikan akar-akar dari Polinomial β ππ π₯(1010βπ)1010
π=0 adalah
π₯1, π₯2, π₯3, β¦ , π₯1010 .
Diketahui ππ adalah permutasi n element subset dari 1010 element set , maka Tentukan
nilai dari
β100
(1010)!β(π₯π β 1)
1010
π=1
β
(Dengan menggunakan pendekatan konstanta matematika)
6. Tuliskan semua akar real dari 64π₯7 β 112π₯5 + 56π₯3 β 7π₯ + 1 = 0
7. Dhelia,Denis,Insan,Novrya,Adel dan Kalfin ingin duduk pada bangku yang sudah
dinomori angka 1 sampai 6.masing-masing orang tersebut mempunyai 1 nomor tempat
duduk yang mereka tidak sukai dan berbeda satu sama lainnya.Maka Tentukanlah
Banyaknya cara mereka semua duduk secara acak, agar tidak duduk ditempat yang
mereka tidak sukai ?
8. Banyak solusi real dari π₯3 β 3π₯ = βπ₯ + 2 adalah ...
http://mathstarindonesia.blogspot.com 9
9. Hasil dari limit berikut adalah
βlimπ₯β0
1 β (πππ (π₯)πππ (2π₯)πππ (3π₯)β¦πππ (2015π₯))
π₯(π ππ(π₯) + π ππ(2π₯) + π ππ(3π₯) + β―+ π ππ(2015π₯))β
10. Pada Suatu Lingkaran terdapat 14 titik berbeda yang berada pada tepi lingkaran. Dengan
menggunakan 14 titik tersebut akan dibuat 7 tali busur yang tidak berpotongan.
Banyaknya cara ada sebanyak ?