Slope Deflection Method(SDM)

Slope Deflection Method(SDM)

Theory Of Structureالفصل الثاني/المرحلة الثالثة

I n s t ruc to r :

ASS IS . LEC . OLA AHMED ALHASSAN

M.SC OLA AHMED ALHASSAN

Slope deflection method

BEAMالمنشئاتلحلطريقةهي➢ AND FRAMEمحددةالغيرindertminete structures

والافعالوردودالعزومايجادنستطيعثمومنالاضافيةالمجاهيلقيمةاستخراج:منهاالهدف➢

shearالرسمنستطيعبالتالي force diagram, bending moment diagram

finalالنهائيةالعزومايجاد:علىالطريقةهذهتعتمد➢ momentكلونهايةبدايةعندmember

الاضلاعميلفياوتغيراومسندينمفصلينبينضلعكلهوهناmemberال:ملاحظة❖

NODEالعقدطريقعنببعضهامتصلةالاضلاعمنسلسةعنعبارةالمنشأتخيليجبانهحيث

مقطعهافياوالاضلاعميلفيتغير,الضلعنهاية,المساند,المفاصل:عندعادةتكونالتي


NODEلوا MEMBERكيفية تحديد ال

1 2 3

A B CD

NODEالعقدطريقعنببعضهامتصلةالاضلاعمنسلسةعنعبارةالمنشأتخيليجبانهحيث

مقطعهافياوالاضلاعميلفيتغير,الضلعنهاية,المساند,المفاصل:عندعادةتكونالتي


final momentكيفية حساب ال

Final moment = fixed end moment + Slope moment + sway moment

(FEM)هي العزوم المتولدة بسبب

الاحمال والعزوم الخارجية او

الهطول والميلان تحول جميعها الى

عزوم عند بداية ونهاية

memberالتعطى س)صيغ ثابتة بواسطة يحسب

(لاحقا للحفظ

هي العزوم التي تظهر عند

بسبب memberطرفي ال

sway الذي هو الحركة

العمودية على الضلع

▲ورمزه

يحسب بالمعادلة العامة

الذي slopeهي عزوم تحدث بسبب ال

memberيحدث عند طرفي الѲورمزه

يحسب بالمعادلة العامة


Slope deflection methodخطوات الحل بطريقة ونضع الحدود unknownاي احدد عدد المجاهيل في السوال degree of freedom (dof)نحدد درجة الحرية للمنشأ.1

الشرطية على المنشأ

)(وحسب الحمل المسلط من خلال القوانين في صفحة MEMBERلكل ( (FEMنحسب ال-2

:نضع المعادلة العامة -3

boundary Condition (B.C)نستخدم معادلات المفاصل ال-4

(▲وѲ)لايجاد المجهول 4و3نحل المعادلات من خطوة -5

FINAL MOMENTونعوض قيم المجاهيل المستخرجة ونوجد ال( 3خطوة )نرجع الى المعادلة العامة -6

B.M.Dو SH.F.Dالان نستخرج ردود الافعال ونرسم-7

M NF = M (FEM NF) + 2 EI/L (2Ɵ N +Ɵ F - 3∆/L) N F

M FN = M (FEM FN) + 2 EI/L (2Ɵ F +Ɵ N - 3∆/L) M,Ɵ,∆/L= + (C.W)


Degree Of Freedom(DOF)

-When a structure is loaded, specified point on it call nodes, will undergo displacements. These

displacement are referred to as the degree of freedom for the structure.

ها عند تسليط الاحمال على المنشأ يوجد هناك نقاط معينة تدعى العقد سوف يحدث فيها ازاحات هذه الازاحة يعبر عن

بمصطلح درجة الحرية

•To determine the number of degrees of freedom, we can imagine the structure to consist of a

series member connected to nodes, which is usually located at JOINT, SUPPORT, and at the

END OF MEMBER or where the member have SUDDEN CHANGE IN CROSS SECTION.

د لحساب درجة الحرية في المنشا يجب تخيل المنشأ عبارة عن سلسة من الاضلاع متصلة ببعضها عن طريق العق

NODE تغير في ميل الاضلاع او في مقطعها,نهاية الضلع,المساند, المفاصل : التي تكون عادة عند



كل درجة حرية

معناها مجهول

يجب ايجاد قيمته

FIXED

END

MOMENT

(FEM)


EXAMPLE 1

Write the B.C and F.E.M for the beam shown due to the applied loading and a settlement

at support D= 18 mm downward , rotational slip at E = 0.002 rad C.C.W use EI = 3*(10^4)

Kn.m2


1. b .c.: unknowns Ɵ B, Ɵ C and ƟD

ƩM@B= -10

ƩM@C= 25

ƩM@D= 0

ƩM@B= -10ƩM@C= 25 ƩM@D= 0


2.F.E.M

FM BC= −𝟏𝟐 𝟔 ^𝟐

𝟏𝟐= −𝟑𝟔

F M CB = 𝟏𝟐 𝟔 ^𝟐

𝟏𝟐= 𝟑𝟔

F MCD = −𝟏𝟐 𝟔 𝟐

𝟏𝟐−𝟏𝟖𝑿 𝟐𝟐𝑿𝟒

𝟔𝟐−𝟔𝑿𝟐𝑿𝟑𝑿𝟏𝟎𝟒𝑿𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟖

𝟔𝟐= −𝟐𝟐𝟒

F MDC= 𝟏𝟐 𝟔 𝟐

𝟏𝟐+𝟏𝟖𝑿 𝟒𝟐𝑿𝟐

𝟔𝟐−𝟔𝑿𝟐𝑿𝟑𝑿𝟏𝟎𝟒𝑿𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟖

𝟔𝟐= −𝟏𝟐𝟖

F MDE= −𝟏𝟐 𝟓 𝟐

𝟏𝟐−𝟐𝑿𝟑𝑿𝟑𝑿𝟏𝟎𝟒𝑿𝟎.𝟎𝟎𝟐

𝟓+𝟔𝑿𝟑𝑿𝟑𝑿𝟏𝟎𝟒𝑿𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟖

𝟓𝟐= 𝟐𝟗𝟏. 𝟖

F MED= 𝟏𝟐 𝟓 𝟐

𝟏𝟐−𝟒𝑿𝟑𝑿𝟑𝑿𝟏𝟎𝟒𝑿𝟎.𝟎𝟎𝟐

𝟓+𝟔𝑿𝟑𝑿𝟑𝑿𝟏𝟎𝟒𝑿𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟖

𝟓𝟐= 269.8

C

D


ANALYSE THE FOLLOWING BEAM USING SLOPE-DEFLECTION METHOD .EI

CONSTANT

EXAMPLE 2


Solution:

1. Unknown is Ɵ B

2. F.E.M ƟA=0 ƟB=?

FE M AB = −𝟐.𝟓 𝟏𝟐 ^𝟐

𝟏𝟐= −𝟑𝟎

FEM BA = 𝟐.𝟓 𝟏𝟐 ^𝟐

𝟏𝟐= 𝟑𝟎

3. SLOPE-DEFLECTION EQUATION

M NF = M (FEM NF) + 2 EI/L (2Ɵ N +Ɵ F - 3∆/L)

MAB =-30 + 2EI/12 (2ƟA+ƟB-3*0/12)

MAB =-30 + 2EI/12 *ƟB 1.......

MBA =30 + 2EI/12 (2ƟB +ƟA-3*0/L)

MBA =30 + 4EI/12 *ƟB 2........

4. JOINT CONDITION

BC

Ʃ M@B = 48

MBA+ MBC=0

MBA-48=0………3

.2الموجودة في معادلة رقم MBAاعوض قيمة

30 + 4EI/12 *ƟB-48=0

EI ƟB = 54

ƟB = 54/EI

(2)و( 1)نعوض في

MBA=48

MAB= - 21


𝑴@𝑨 = 𝟎

2.5* 12*12/2 + 48 -21-BY*12 = 0BY = 17.25

𝑭𝒀 = 𝟎

AY +17.25-2.5*12 = 0AY = 12.75


𝑴@𝑨 = 𝟎

2.5* 12*12/2 + 12*16-21-BY*12 = 0BY = 29.25

𝑭𝒀 = 𝟎

12 +29.25-2.5*12 = 0AY = 12.75


Slope Deflection Method For Indeterminate Frame

FRAME

WITH SIDE SWAY

PRPEORLY

RESTRAINED

SYMMETRIC WITH

RESPECT BOTH

LOADING AND

GEOMETRY

WITHOUT SIDE SWAY

Displace To The

Side When The

Body Or Loading

Acting On It Is

Nonsymmetric

NONSIDESWAY

FRAME.

. .


SIDESWAY

FRAME.

. .

find final moment for

the following structure

by

slope deflection method

SOLUTION:

1- UNKNOWN = Ѳ B =?

ѲA, ѲC =0

2- FIXED END MOMENT

FEM AB = −𝟔 𝟒 ^𝟐

𝟏𝟐= −𝟏𝟐

FEM BA = =12

FEM BC = −𝟏𝟎 𝟑

𝟖= −3.75

FEM CB = =3.75

3-SLOPE DEFECTION EGU.

M NF = M (FEM NF) +2 EI/L (2Ɵ N+Ɵ F-3∆/L)

MAB =-12 + 2* EI/4 (2ƟA+ƟB-3*0/4)

MAB = 12- + ½ EI *ƟB.......e1

MBA =12 + 2* EI/4 (2ƟB +ƟA-3*0/L)

MBA =12 + EI*ƟB........e2

MBC = -3.75 + 2*2 EI /3(2 ƟB+ ƟC)

MBC = -3.75 + 8/3 EI ƟB------e3

MCB = 3.75 + 2*2 EI /3(2 ƟC+ ƟB)

MCB = 3.75 + 4/3 EI ƟB-------e4

4-bundary Condition

∑ M@B =0

e2 + e3 = 0

MBA + MBC=0

12 + EI* ƟB + - 3.75 + 8/3 EI ƟB=0

ƟB= - 2.25 /EI

5- العزوم النهائيةلايجادنعوض

MAB= -12+ ½ EI*-2.25/EI = -13.125

MBA= 12+ EI*-2.25/EI=9.75

MBC= -3.75+8/3EI*-2.25/EI=-9.75

MCB = 3.75+4/3EI*-2.25/EI= 0.75

EXAMPLE3


find final moment for the following structure

by slope deflection method

SOL

1- UNKNOWN = Ѳ B=?

ѲA, ѲC; ѲD =0

2- FIXED END MOMENTFEM AB= -8*20/8 =-20 t.m

FEM BA = = 20 t.m

FEM BC= -4*10/8= -5 t.m

FEM CB= =5 t.m

FEM BD= -10*8/8=-10 t.m

FEM DB= =10 t.m

3-SLOPE DEFELECTION EQU.M NF = M (FEM NF) +2 EI/L (2Ɵ N+Ɵ F-3∆/L)

MAB= -20+ 2 * 2 EI/20(2 ѲA+ ѲB) …...e1

MBA= -20+ 2 * 2 EI/20(2 ѲB+ ѲA) …...e2

MBC= -5+ 2 EI/10(2 ѲB+ ѲC) ..……….e3

MCB= 5+ 2 EI/10(2 ѲC+ ѲB)………….e4

MBD= -10+ 2 EI/10(2 ѲB+ ѲD)……….e5

MBD= 10+ 2 EI/10(2 ѲD+ ѲB) ……….e6

4- BOUNDARY CONDITION

∑ M@B =0

e2 + e3+e5 = 0

MBA + MBCD+ MBD=0

-20+ 2 * 2 EI/20(2 ѲB+ ѲA) + -5+ 2 EI/10(2 ѲB+ ѲC)+ -10+ 2 EI/10(2 ѲB+ ѲD)=0

ѲB= -27.9666/EI

5-FINAL MOMENT

MAB= -20+ 2 * 2 EI/20* -27.9666/EI=

MBA= -20+ 2 * 2 EI/20(2 * -27.9666/EI)=

MBC= -5+ 2 EI/10(2 * -27.9666/EI)=

MCB= 5+ 2 EI/10*-27.9666/EI=

MBD= -10+ 2 EI/10(2 *-27.9666/EI=

MDB= 10+ 2 EI/10* -27.9666/EI=

EXAMPLE4



EXAMPLE 5

Determine the moments at the supports A and C,

then draw the moment diagram. Assume joint B is

a roller.EI is constant.

1. UNKNOWN : Ɵ B =? ƟA, ƟC=0

2-FIXED END MOMENTF.E.M AB= -25*6/8 = -18.75

F.E.M BA= +25*6/8= +18.75

F.E.M BC = -15*4^2/12 = -20

F.E.M=+15*4^2/12 = +20

3-MN = (FEM)N + 2E I/L (2ƟN + ƟF - 3▲/L)

M AB= -18.75 +2 EI/6(2Ɵ A +ƟB -0) =

= -18.75+2/6EI ƟB………..e1

MBA= 18.75+4/6 EIƟB ………..e2

MBC= -20 + 2 EI/4(2ƟB+ƟC-0)

= -20+EIƟB………..e3

MCB = 20+2/4 EIƟB……..e4

4-b.c

∑M@B=0

MBA+MBC=0

18.75+4/6 EIƟB + -20+EIƟB=0 ƟB=0.75/EI

MAB=-18.5 Kn.M MBA=19.25 kN.M MBC=-19.25 kN. M MCB=20.375 kN. m

1)∑m@0-0 =0AY*6-18.5-25*3+19.25=0AY= 12.375kN∑ FY=0 12.75-25+VBL=0VBL= 12.625 kN

2)∑m@0-0 =0Cy =30.28 KN∑FY=0VBR= 29.72 KN3)BY=VBL+VBR

BY=12.625+29.72=42.345



Determine the moment at B and C, then draw the moment diagram foreach member of the frame. Assume the supports at A and D are FIXEDEI is constant.

EXAMPLE 6

1-UNKNOWN : ѲA, ѲD=0 ѲB, ѲC=?

2-FIXED END MOMENT

F.E.M AB= F.E.M BA=F.E.M CD= F.E.M DC= 0

F.E.M BC = -3*10 ^2/12 = -25

F.E.MCB =+ = +25

3-MN = (FEM)N + 2E I/L (2ƟN + ƟF - 3▲/L)

M AB= 2 EI/13(2Ɵ A +ƟB -0) =2/13 EI ƟB ………..e1

MBA= 4/13 EIƟB ………..e2

MBC= -25 + 2 EI/10(2ƟB+ƟC-0)

= -25+4/10 EIƟB+2/10 EIƟC………..e3

MCB = 25+2/10 EIƟB+4/10 EIƟC ……..e4

M CD= 2 EI/13(2Ɵ C +ƟD -0) = 4/13 EI ƟC ………..e5

MDC= 4/13 EIƟC ………..e6

4-B.C

∑M@B=0

MBA+MBC=0

4/13 EIƟB -25+4/10 EIƟB+2/10 EIƟC =0

0.7076 EIƟB+0.2EI EIƟC=25 ………E1

∑M@C=0

MCB+MCD=0

25+2/10 EIƟB+4/10 EIƟC + 4/13 EI ƟC=0……

2/10 EIƟB +0.707 ƟC =-25 ………E2

SOLVE E1 AND E2

ƟB= 49.3 /EI

ƟC=-49.3/EI

MAB,MBA, MBC,MCB…….H.W?



Determine the moments at each joint of the frame

shown in Fig. EI is constant.

1UNKNOWN:ѲB, ѲC=?

2.FIXED ENFD MOMENT

3.S.D.F EQU.

EXAMPLE7


Slope Deflection Method(SDM)

Documents

Transcript of Slope Deflection Method(SDM)