IUFM DE BOURGOGNE

Concours de recrutement : professeur des écoles.

SITUATIONS-PROBLEMES EN MATHEMATIQUES :

DEFINITION

DES EXEMPLES DE MISE EN PLACE AUX CYCLES 1 ET 2

DE L’ECOLE PRIMAIRE

LANZA NELLY

Directeur de mémoire : Monsieur Chollet.

Année : 2006.

Numéro de dossier : 05STA00975.

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PLAN

Introduction. P. 4

I. Conceptions de l’apprentissage et classification des problèmes. P. 5

1) Les trois grandes conceptions de l’apprentissage. P. 5

a) La conception transmissive. P. 5

b) La conception béhavioriste. P. 6

c) La conception socioconstructiviste. P. 7

d) Conclusion. P. 8

2) Distinction problème/exercice, classification des problèmes. P. 9

a) Distinction préliminaire entre problème et exercice. P. 9

b) Les différentes sortes de problèmes. P. 10

Les activités de réinvestissement et d’application. P. 10

Les problèmes complexes. P. 10

Les problèmes ouverts. P. 11

Les situations-problèmes. P. 12

Introduction. P. 12

Obstacle et rupture. P. 13

Le sens. P. 14

Le travail de groupe. P. 15

Un savoir d'ordre général. P. 16

La métacognition. P. 17

Le déroulement d'une situation-problème. P. 18

c) Conclusion. P. 18

II. Jeu des voyageurs (cycle 1). P. 19

1) Présentation d’une situation mise en place au cycle 1 de l’école primaire :

le jeu des voyageurs. P. 19

a) Présentation sommaire des séances. P. 19

b) Première séance: le test préliminaire. P. 21

c) Deuxième séance. P. 23

2

d) Troisième séance. P. 24

e) Quatrième séance. P. 26

f) Cinquième séance. P. 28

g) Sixième séance: le test final. P. 29

2) Le jeu des voyageurs: une situation-problème ? P. 29

a) La mise en scène de la situation. P. 30

b) La modification des procédures pour résoudre le problème posé. P. 30

c) Le sens. P. 31

d) Les réflexions menées en groupe. P. 32

e) La passation des consignes. P. 33

f) Conclusion. P. 34

III. Les tours (cycle 2). P. 35

1) Présentation d'une situation mise en place au cycle 2 de l'école primaire :

les tours. P.35

a) Première séance. P. 35

b) Deuxième séance. P. 37

c) Troisième séance. P. 39

d) Quatrième séance. P. 40

2) Les tours : une situation-problème ? P. 41

a) Un découragement absent, une motivation présente. P. 41

b) Une nouvelle notion face à des procédures initiales peu performantes. P. 42

c) Le sens. P. 43

d) La métacognition. P. 43

e) Le travail en équipe. P. 44

f) Conclusion. P. 44

Conclusion. P. 45

Annexes.

Bibliographie.

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Introduction

Les apprentissages demeurent un des objectifs majeurs de l’école. Les moyens mis en œuvre

pour permettre leur réalisation ont varié au cours du temps. Aujourd’hui, un des procédés

utilisés est la situation-problème.

Ce terme de situation-problème est très souvent entendu. Pour autant, je ne cernais pas les

caractéristiques de cette notion d’un point de vue théorique. Au niveau pratique, je n’avais pas

eu l’occasion, lors de mes stages, de voir la mise en place dans une classe de telles activités.

J’ai donc souhaité travailler sur ce thème dans le cadre de mon mémoire.

J’ai choisi de resserrer mes recherches autour du domaine des mathématiques (découvir le

monde en maternelle). En effet, j’avais des difficultés à concevoir un enseignement autre que

transmissif dans cette discipline.

Le sujet de mon mémoire est donc les situations-problèmes en mathématiques. Ma réflexion

est centrée sur deux axes: la notion de situation-problème (qu’est-ce qu’une situation-

problème ?) et la mise en place de telles activités à l’école primaire.

Dans une première partie, nous rappelerons les trois grandes conceptions de l'apprentissage

avant de présenter une classification des problèmes au cours de laquelle nous nous arrêterons

plus particulièrement sur les situations-problèmes et leurs caractéristiques. Puis, dans une

deuxième partie, nous étudierons la mise en place, au cycle 1 de l’école primaire, d’une

activité intitulée le jeu des voyageurs. Nous retracerons le déroulement de la séquence qui lui

est associée et nous nous demanderons si elle réunit les caractères nécessaires pour être

qualifiée de situation-problème. Enfin, dans une troisième partie, nous nous pencherons sur

une deuxième activité mise en place au cycle 2. Nous retracerons son déroulement puis nous

l'étudierons au regard des différentes caractéristiques des situations-problèmes pour

déterminer si elle peut rentrer dans ce cadre.

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I. Conceptions de l’apprentissage et classification

des problèmes.

1) Les trois grandes conceptions de l’apprentissage. Si dans les programmes des objectifs sont à atteindre quant aux compétences que doivent

maîtriser les élèves, une grande liberté est accordée à l’enseignant sur les moyens d’y

parvenir. Les enseignants adoptent donc des stratégies différentes pour amener leurs élèves à

acquérir une même compétence.

Les différentes stratégies adoptées ont donné lieu à une théorisation. Des théories ont aussi été

adoptées par des enseignants.

Classiquement on distingue 3 grandes conceptions de l’apprentissage:

- la conception transmissive,

- la conception béhavioriste,

- la conception socioconstructiviste.

Nous étudierons pour chacune de ces théories les principes sur lesquels elles reposent. Nous

aborderons ces dernières sous l'angle de l'acquisition de nouvelles connaissances (il convient

de noter qu'elles sont également présentes à d'autres stades comme par exemple lors du

renforcement de connaissances déjà abordées).

a) La conception transmissive. La conception transmissive est aussi nommée conception de la tête vide. En effet, elle

correspond à l’idée selon laquelle l’apprenant ne sait rien du savoir que l’on souhaite lui

transmettre, qu’il n’a pas d’idées préconçues sur ce qu’on veut lui enseigner et donc qu’il a

« la tête vide ». L’idée de représentations initiales est donc absente dans cette conception. Il

suffit donc, selon les tenants de cette théorie, que le savoir soit communiqué par le maître

pour que celui-ci soit intégré par l’élève. Toutefois, afin que ceci soit possible, il revient au

maître de présenter très clairement les notions qu’il veut aborder et à l’élève d’écouter et

d’être très attentif à ce qui est dit.

L’erreur est, dans cette conception, appelée faute. Ce terme est ici utilisé car l’erreur est vue

de façon très négative et doit être évitée. Elle peut avoir lieu si l’élève n’est pas assez attentif.

Il s’agit donc d’une faute commise par ce dernier, le terme faute renvoyant à un jugement

moral. Notons que la faute peut être aussi imputée au maître si celui-ci n’a pas présenté la

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notion de façon suffisamment claire ou est allé trop vite…

Une fois le savoir communiqué, le maître proposera à l’apprenant des exercices

d’entraînement et de réinvestissement. Il contrôlera ces productions.

Cette conception permet d’enseigner à de nombreux élèves. En effet, le maître communique le

savoir, il explique les notions. Le nombre d’élèves en face de lui n’est donc pas un frein pour

transmettre son savoir.

De plus enseigner des notions en se basant sur cette conception permet un gain de temps. En

effet, l’apprenant étant perçu comme « une tête vide », il n’y a pas de représentations initiales

à faire émerger… De plus le travail de recherche, parfois coûteux en temps, n’a pas lieu.

Enfin tout est fait pour éviter les erreurs des élèves.

Une des principales limites de cette théorie est le fait qu’elle repose sur l’idée que l’élève a,

avant que la notion ne lui soit enseignée, « la tête vide ». Or on sait aujourd’hui que ce n’est

pas le cas. Les apprenants se construisent seuls (pour les notions qui ne leur ont pas été encore

enseignées) un système d’explication. Souvent leurs conceptions sont erronées. Toutefois

celles-ci sont présentes et il est nécessaire d’en tenir compte, l’apprenant se référant

explicitement ou implicitement à son propre système d’explication lors de l’apprentissage

d’une nouvelle notion.

Il existe des variantes à cette conception de l’enseignement. Par exemple, afin de soutenir

l’attention des élèves qui est, dans cette théorie, un facteur essentiel pour que le savoir puisse

être transmis, le maître pose de nombreuses questions au cours de son discours. Ceci lui

permet également de voir si les enfants comprennent ce qu’il leur explique.

b) La conception béhavioriste. Cette conception, à laquelle s’est intéressée F Skinner, est issue d’un courant de recherches en

psychologie fondées sur les travaux de J B Watson. Ce courant part de l’idée que l’on n’a pas

accès aux structures mentales de l’individu mais seulement aux comportements observables

qu’il met en œuvre. Il s’agit donc de modifier le comportement de la personne par un

renforcement de réponses positives.

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Le maître doit donc définir sous forme d’objectif le comportement nouveau que l’enfant doit

adopter (comportement observable). L’objectif sera décomposé en sous-objectifs gradués dans

leurs difficultés.

Il est alors proposé à l’élève d’atteindre le sous-objectif le plus facile. Ce dernier doit

découvrir le savoir à travers une situation proposée par le maître (succession de tâches à

réaliser) et correspondant au sous-objectif en question. Toutefois, comme l’erreur doit être

évitée car vue comme laissant des traces indélébiles, l’enseignant guide très fortement l’enfant

dans la réalisation de l’activité. Il l’aide à résoudre les tâches à l’oral ou par le biais d’une

succession de questions écrites afin d’aplanir les difficultés. Une fois le comportement

souhaité obtenu (sous-objectif atteint), le maître, qui contrôle les productions des élèves,

félicite l’enfant et lui propose des situations d’entraînement afin que ce comportement soit

automatisé. Ensuite l’enfant passera au sous-objectif suivant légèrement plus difficile que le

précédent et ceci jusqu’à atteindre le comportement voulu (objectif).

L’élève est pratiquement toujours en situation de réussite puisque les tâches qui lui sont

proposées sont adaptées afin d’éviter une erreur de sa part et que l’enseignant procède à un

fort guidage. Si une erreur se produit malgré tout elle est vue comme la marque d’une

progression inadaptée car trop rapide pour l’enfant.

Cette conception a donné lieu à des critiques. Les enfants ont des difficultés à trouver un sens

aux connaissances qui leur sont enseignées. Ils réussissent une succession de tâches

correspondant aux sous-objectifs sans toujours comprendre pourquoi ils les réalisent, sans

percevoir le lien entre ces dernières. Cela peut être attribué au fort guidage de l’enseignant

lors de la réalisation des différentes tâches.

De plus le guidage étant très important, les élèves ne se heurtent pas à de réelles difficultés

(volonté d’éviter l’erreur). De ce fait ils ont parfois des difficultés pour réinvestir les

connaissances acquises sans guidage.

c) La conception socioconstructiviste. Cette conception est née suite aux travaux de J Piaget, de Bachelard…

Les défenseurs de cette conception, contrairement à ceux de la conception transmissive,

pensent que les apprenants n’ont pas « la tête vide ». Selon eux, avant qu’une notion soit

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enseignée à un enfant, celui-ci a déjà un système d’explication qu’il s’est forgé seul.

Bachelard disait « quel que soit l’âge, l’esprit n’est jamais vierge, table rase ou cire sans

empreinte ». Les idées que s’est forgé l’apprenant sont appelées conceptions ou

représentations initiales. Il faut donc tenir compte de l’existence de ces représentations.

Face à celles-ci, les défenseurs de la conception socioconstructiviste pensent qu’il faut

confronter les élèves à des problèmes. Les enfants vont essayer de les résoudre dans le cadre

d’un travail de groupe (ce qui provoquera des débats). Une des finalités de ces activités est de

provoquer une contradiction, un conflit. En effet, pour résoudre le problème qui leur est

proposé, les enfants vont essayer d’utiliser leurs conceptions. Or ces dernières vont être

insuffisantes, inadaptées, inexactes (les erreurs sont provoquées volontairement par le maître

par le biais du problème afin que les enfants les reconnaissent comme telles et puissent

dépasser leurs représentations initiales) ou non acceptées par les pairs. Le conflit naît ainsi.

L’élève est alors dans une phase de déséquilibre. Il y a « une lutte » contre les représentations

initiales. Elle conduit à la transformation ou à l’abandon de ces conceptions initiales. Selon J

P Changeux « apprendre c’est éliminer ».

Lorsque les élèves constatent que leurs représentations initiales sont erronées, insuffisantes…

ils sont alors prêts à construire une nouvelle notion (ce sont les enfants eux-mêmes qui

construisent leurs savoirs par le biais des situations qui leur sont proposées). Cette dernière,

outil indispensable pour résoudre le problème posé, prendra alors tout son sens.

L’enfant a un rôle très actif lorsque l’approche socioconstructiviste est choisie par

l’enseignant. En effet, il doit résoudre le problème qui lui est dévolu mais aussi valider sa

production. Il construit son savoir.

d) Conclusion. Il convient de préciser que, dans la réalité, les choses ne sont pas si tranchées. En effet, des

enseignants mènent des séquences en utilisant de nombreux principes d’une théorie mais aussi

quelques principes rattachés à une théorie différente. De plus, chez un même professeur, on

peut trouver des séquences correspondant globalement à telle conception et d’autres à une

conception différente.

En raison des nombreux avantages de la théorie socioconstructiviste je pense qu'il est bon que

le maître intègre à son enseignement des situations s'inspirant de cette conception (à côté

d'autres situations).

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2) Distinction problème/exercice, classification des

problèmes.a) Distinction préliminaire entre problème et exercice.

Nous pouvons tout d’abord remarquer que dans la conception transmissive, des exercices sont

proposés à l’apprenant une fois que le savoir lui a été communiqué alors que dans la

conception socioconstructiviste l’élève est confronté à des problèmes à résoudre. L’utilisation

des termes exercice et problème n’est sûrement pas anodine. Ces deux concepts comportent

certainement des différences que nous allons essayer de mettre en lumière.

Nous allons tout d’abord déterminer ce qu’est un problème. D’après Gérard de Vecchi et

Nicole Carmona-Magnaldi un problème est « une situation initiale comportant certaines

données, qui impose un but à atteindre, qui oblige à élaborer une suite d’actions, qui mobilise

une activité intellectuelle, qui fait entrer dans une démarche de recherche, en vue d’aboutir à

un résultat final. Ce résultat est initialement inconnu et la solution n’est pas immédiatement

disponible ».

Les auteurs du livre Faire vivre de véritables situations-problèmes insistent sur une des

caractéristiques de cette définition: « entrer dans une démarche de recherche ». Un problème

n’est donc pas, selon eux, la simple application de connaissances (théorèmes, règles… déjà

connus) mais il comporte une recherche, la mise au point d’une stratégie pour le résoudre.

Bien sûr, face à un problème, on cherche la ou les solutions à ce dernier. Mais cette recherche

est finalement plus importante que la ou les solutions trouvées au terme de cette dernière.

Dans un exercice, au contraire, la recherche est inexistante ou moindre. Dans la conception

transmissive, le maître communique le savoir puis donne des exercices. Il n’attend de ses

élèves aucune recherche mais plutôt l’application de la règle, du théorème… dont la

connaissance vient de leur être transmise (afin que ce savoir soit mieux mémorisé).

Il faut noter que les exercices peuvent être également utilisés dans le cadre d’un enseignement

rattaché à une autre conception que celle transmissive. Toutefois dans la conception

socioconstructiviste, ces exercices ne seront pas donnés au cours de l’acquisition de nouvelles

connaissances mais plutôt dans un but d’entraînement.

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b) Les différentes sortes de problèmes. Les programmes 2002 mettent « la résolution de problèmes au centre des activités

mathématiques de l’élève ». La résolution de problèmes a donc une place capitale.

Il existe plusieurs sortes de problèmes que nous allons tâcher de différencier. D’après le

document d’accompagnement des programmes en mathématiques, il en existe quatre types.

Chacun correspond à des objectifs d’apprentissage différents.

Les activités de réinvestissement et d ’ application. On trouve les problèmes ayant pour but que les élèves réinvestissent des connaissances déjà

travaillées. Il s’agit alors de les réutiliser dans un autre contexte et l’enseignant voit ainsi si les

enfants se servent de la notion en question pour résoudre le problème. On pourrait ajouter à

ces problèmes les problèmes d’application. Il s’agit pour les élèves d’appliquer une notion

qu’ils viennent d’étudier afin de la maîtriser. Par rapport aux problèmes de réinvestissement,

on est ici beaucoup plus proche du cadre dans lequel s’est fait l’apprentissage de la notion.

Les problèmes d’application sont donc proposés avant les problèmes de réinvestissement.

Par rapport aux caractéristiques des problèmes et des exercices que nous avons définies ci-

dessus, nous pouvons nous interroger sur la terminologie couramment employée (problèmes

de réinvestissement et problèmes d’application). Dans ces activités, le maître attend

l’utilisation d’une règle, d’un théorème précédemment étudiés. L’élève n’effectue aucune

recherche. Il s’agit donc plutôt d’exercices que de problèmes. Nous pourrions donc renommer

ces activités exercices d’application et exercices de réinvestissement.

Les problèmes complexes. Il existe également des problèmes dits complexes. L’énoncé peut alors contenir un très grand

nombre d’informations données par le biais d’un texte, d’un graphique, d’un schéma… (on

peut avoir un ou plusieurs supports). L’élève doit, pour résoudre ces problèmes, passer par des

étapes intermédiaires qui ne sont pas mentionnées dans l’énoncé par le biais d’une série de

questions par exemple. Il doit donc scinder le problème en sous-problèmes et utiliser plusieurs

notions. Ces dernières sont déjà connues de lui (comme dans les activités d’application et de

réinvestissement où l’élève a déjà vu la notion (il n’y en a qu’une) dont il aura besoin), il a

déjà étudié le mode de résolution de chaque étape.

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Les problèmes ouverts. Le document d’application des programmes en mathématiques indique que certains

problèmes sont centrés sur le développement des capacités à chercher. Il s’agit des problèmes

dits ouverts. Les problèmes ouverts proposent à l’enfant des situations nouvelles et le mettent

en situation de chercher, voir d’inventer une méthode, une procédure pour le résoudre. Ils

peuvent toujours être résolus de différentes façons, par des procédures variées. La démarche

élaborée par l’élève est donc essentielle. Le maître, dans ce type de problèmes, s’intéresse

plus à la procédure choisie, inventée par l’enfant qu’à la (ou les) solution trouvée.

Des problèmes ouverts peuvent être donnés aux élèves des trois cycles de l’école primaire (et

non uniquement aux enfants de cycle 3 comme je le pensais à priori).

L’activité autour d’un problème ouvert se décompose en plusieurs phases.

Le problème est présenté aux enfants. Il peut reposer sur la vie de la classe, sur la vie

courante, sur des jeux… (il s'agit d'exemples qui ne sont en aucun cas limitatifs). Il peut

concerner un ou plusieurs domaines mathématiques (numérique, géométrique, logique, dans

celui de la mesure). Ses supports sont très variés: un écrit, un exposé oral, une expérience…

En effet, un problème n’est pas forcément un texte suivi d’une question. Mais dans tous les

cas, la mise en scène entourant la présentation du problème est très importante, les enfants

devant avoir envie de relever le défi qui leur est lancé.

Remarque: Les enfants doivent s’approprier sans trop de difficultés le problème. En effet, la

difficulté des problèmes ouverts ne doit pas reposer sur la compréhension du problème mais

sur le besoin d’élaborer une procédure originale pour le résoudre (les procédures possibles ne

devront donc pas apparaître dès la découverte du problème et l’enfant devra réfléchir pour en

trouver au moins une). Pour faciliter la compréhension et l’appropriation du problème, son

énonciation peut être accompagnée de matériel (matériel qui ne devra toutefois pas à lui seul

permettre aux élèves de résoudre le problème mais pourra les aider à valider ou invalider

leur(s) solution(s)).

Les élèves, pour résoudre le problème qui leur est posé, disposent d’un temps de recherche

personnelle puis d’un temps de recherche en groupe. Les échanges qui se développent à

l’intérieur du groupe permettent aux enfants d’avancer dans la recherche d’une procédure

permettant de résoudre le problème et d’en trouver une. On peut préciser à ce niveau que les

problèmes ouverts peuvent être résolus par le biais d’essais successifs (essais systématiques

ou essais et ajustements) ou par le recours à la déduction ou nécessiter une bonne organisation

afin de découvrir toutes les solutions. Toutefois on notera que la plupart d’entre eux peuvent

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être résolus en utilisant des types de raisonnement différents. Le maître s’abstiendra

d’apporter une aide sur la façon de résoudre le problème posé.

Après ces temps de recherche, il a y une mise en commun du travail effectué par chaque

groupe. Au cours de celle-ci les enfants exposent les procédures, les solutions qu’ils ont

trouvées. S’instaure alors un débat sur la validité des démarches et des solutions exposées. Il

est important que, dans la mesure du possible, ce soient les enfants et non le maître qui

valident ou invalident les procédures et la (les) solution(s).

Pour conclure la séance, une synthèse a lieu. Il s’agit de valoriser les qualités observées.

Celles-ci sont diverses. A travers ces problèmes, apparaissent ou se renforcent des

comportements et des méthodes tels la prise d’initiatives, la capacité à critiquer son travail, à

s’organiser, être méthodique, à communiquer… Les débats, les moments d’échanges

permettent de développer les capacités argumentatives des enfants. Ils favorisent l’écoute, la

prise en compte et le respect de l’autre. Le travail de groupe favorise l’entraide. Les

problèmes ouverts sont donc un moyen de faire de l’éducation civique.

En prolongement de la séance, le maître pourra proposer des problèmes du même type aux

enfants qui n’ont pas réussi à trouver une procédure adaptée pour résoudre le problème en

question ou qui ont eu des difficultés pour comprendre celles exposées par leurs camarades.

Les situations-problèmes. Introduction.

Le document d’accompagnement indique que la résolution de certains problèmes vise la

construction d’une nouvelle connaissance. Il s’agit des situations-problèmes.

Les problèmes ouverts, que nous venons d’étudier, ont pour but de développer les capacités à

chercher des enfants. Dans les situations-problèmes, les élèves vont également passer par des

phases de recherche. Mais l’objectif du maître est ici la construction d’une nouvelle notion,

d’une nouvelle règle, d’un nouveau théorème, d’une nouvelle procédure… Les situations-

problèmes permettent à l’enfant de prendre conscience que ses connaissances actuelles sont

erronées ou insuffisantes et le poussent, par réaction, à se construire par lui-même les notions,

procédures dont il a besoin pour résoudre le problème qui lui est posé.

Une situation-problème est une situation dans laquelle un enfant se trouve confronté à un

problème qu’il va essayer de résoudre à l’aide de ses représentations initiales, qui sont un

obstacle à l’apprentissage d’une connaissance visée par l’enseignant, représentations qui vont

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s’avérer erronées ou insuffisantes ce qui déclenchera chez l’élève une rupture le conduisant à

chercher, inventer une nouvelle règle, procédure qui prendra alors sens pour lui car nécessaire

pour résoudre le problème auquel il est confronté, et qu’il cherchera à formuler dans des

termes plus généraux afin qu’elle soit réinvestissable.

Notons qu’une situation-problème peut être donnée dans tous les domaines mathématiques:

algébrique, géométrique, graphique, numérique…

Obstacle et rupture.

Les erreurs peuvent ne concerner que des détails (par exemple confusion entre les dates de

naissance et de mort d’un personnage). Elles peuvent alors être rectifiées très facilement et

très rapidement. Par contre, certaines erreurs cachent derrière elles un obstacle. Il s’agit d’une

conception erronée que l’enfant s’est construit en lui donnant un statut de vérité (conception

initiale) et qui bloque l’apprentissage d’une notion. L’obstacle, notamment en raison du fait

qu’il s’oppose à l’apprentissage d’un nouveau concept, mérite un traitement à part. Il faut le

combattre en le renversant. Cela va se faire dans le cadre d’une situation-problème.

Afin de renverser cet obstacle, il faut tout d’abord que les enfants prennent conscience de

l’existence de leurs représentations initiales (représentations qui constituent un frein à

l’apprentissage d’une nouvelle notion). Pour cela, il est donc nécessaire de les faire émerger.

Même si le maître pense connaître les représentations initiales qu’auront ses élèves sur le sujet

qu’il veut aborder, il ne peut faire l’économie de leur émergence. En effet, des représentations

auxquelles le maître ne songeait pas (représentations moins classiques que celles souvent

présentes à tel sujet) peuvent apparaître lors de cette phase. De plus si cette phase n’est pas

présente, comment les enfants auront-ils conscience de leurs conceptions initiales et pourront-

ils les renverser par la suite ?

Toutefois, faire émerger les représentations des élèves ne suffit pas pour que l’obstacle

qu’elles constituent à l’apprentissage de la notion visée soit renversé. En effet l’enfant, une

fois ses représentations émergées, se rendra compte qu’il dispose d’un système d’explications

sur tel point, d’idées concernant telle chose alors qu’il n’a encore rien appris en classe à ce

sujet. Mais cela ne veut pas dire qu’il les remettra en cause. Il peut tout à fait penser que ses

idées ne sont pas inexactes alors qu’elles peuvent l’être. Si le maître lui indiquait que ces

représentations sont erronées et lui présentait la notion qu’il veut aborder, cela ne serait pas

suffisant. L’enfant pourrait continuer à s’appuyer sur ses conceptions initiales et cela serait un

frein à l’appropriation de la nouvelle notion. Les situations-problèmes prévoient l’introduction

d’une rupture.

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La rupture est une des principales caractéristiques de la situation-problème. Il s’agit de faire

émerger une contradiction entre ce que pense la personne (ses représentations initiales) et la

réalité devant laquelle on la place. L’enfant doit donc pouvoir s’engager facilement dans la

résolution du problème qui lui est proposé en mobilisant ses représentations initiales et se

rendre compte que ces dernières sont erronées. Ainsi va naître chez l’élève un conflit

sociocognitif (l’objet du conflit est une connaissance). L’enfant va remettre en cause ses

conceptions initiales, déconstruire son savoir et va être naturellement amené à se poser de

nombreuses questions. Face au vide crée par cette déconstruction, l’enfant sera prêt à acquérir

une nouvelle notion, celle visée par le maître.

Remarque:

Les élèves peuvent utiliser des procédures s’avérant parfois lourdes à mettre en place ou des

procédures inexactes. L’objectif du maître sera, dans ce cas, la découverte par les enfants

d’une nouvelle procédure. Il présentera alors une situation-problème. Les enfants

s’engageront dans sa résolution avec leur procédure insuffisante ou erronée. L’enseignant aura

choisi la situation de façon à ce que les enfants, engagés dans la résolution du problème,

s’aperçoivent de la lourdeur ou de la non exactitude de leur procédure (rupture). Ils remettront

alors cette dernière en cause et seront prêts à découvrir (par eux-mêmes) une nouvelle

procédure qu’ils s’approprieront facilement.

Le sens.

Aujourd’hui on dit de plus en plus souvent qu’il faut donner du sens aux apprentissages.

Il faut éviter que les élèves fassent une activité sans savoir ce qu’ils apprennent en réalisant ce

travail mais uniquement parce qu’on le leur a demandé.

On peut distinguer deux cas. Les enfants peuvent se poser des questions dans un domaine sans

que le maître les y incite. Dans ce cas, le contenu d’une séance relatif à leurs interrogations a

naturellement du sens. Les élèves seront le plus souvent motivés car ce qu’ils vont apprendre

est en rapport avec leurs sources d’intérêt.

Toutefois, ce n’est pas toujours le cas. Quand l’enseignant veut aborder une notion sans que

les enfants manifestent auparavant un intérêt quelconque pour cette dernière, il doit mettre en

place une situation en tenant compte de cet aspect. Il peut utiliser une situation-problème

(c’est également possible dans le premier cas mais celle-ci peut plus facilement être

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remplacée par d’autres procédés, les élèves trouvant naturellement du sens à la notion qui va

être étudiée). En effet, une des caractéristiques des situations-problèmes est la place donnée

au sens que l’enfant va attribuer aux apprentissages. Par la rupture qui a lieu, l’enfant se rend

compte que les connaissances dont il disposait jusqu’alors sont erronées ou insuffisantes. Les

connaissances qu’il va découvrir auront donc du sens pour lui car elles lui permettront de

résoudre le problème auquel il est confronté. Pour que cela soit possible, les notions ou les

procédures visées par l’enseignant (objectif du maître) doivent apparaître comme l’outil le

plus adapté pour résoudre le problème, les conceptions initiales des élèves se révélant comme

erronées ou insuffisantes. Dans le cas contraire, l’apprentissage de la nouvelle notion,

procédure, perdrait tout son sens. Pourquoi apprendre telle règle… si on peut en utiliser une

autre que l’on connaît déjà?

Le travail en groupe.

Les enfants, après avoir constaté que leurs représentations initiales étaient erronées ou

insuffisantes, vont essayer d’inventer de nouvelles règles, procédures pour résoudre le

problème auquel ils se heurtent. La plupart du temps, lors de cette phase de recherche, les

enfants travaillent en groupe. Le travail en groupe paraît être le plus approprié. En effet, il

s’avère très utile notamment pour éviter un blocage. Il se peut que suite au constat du

caractère erroné ou insuffisant de leurs conceptions initiales, des enfants ne sachent plus quoi

faire, n’essaient pas de chercher de nouvelles règles, procédures. Ce comportement n’est, la

plupart du temps, pas du à une mauvaise volonté de leur part. Il peut s’agir d’un

découragement, les enfants se sentant démunis (et pour cause, les représentations sur

lesquelles ils pensaient pouvoir s’appuyer n’ont pas fait leurs preuves). Le travail de groupe

peut éviter que ce découragement ne perdure. En effet, tous les enfants du groupe ne

partageront pas forcément ce sentiment. Certains auront des idées à proposer au reste du

groupe pour résoudre le problème et ils engageront ainsi la recherche. Cet élan créé pourra

inciter les enfants, qui se sentaient au départ abattus, à proposer eux aussi de nouvelles idées.

On peut noter à ce niveau que la mise en route d’une situation-problème est très importante.

Elle doit, le plus possible, éviter d’engendrer un découragement, un blocage (il faut mettre les

enfants en confiance et les persuader qu’ils sont capables de résoudre le problème qui leur est

posé). La mise en scène, qui a lieu lors de la présentation de la situation-problème, doit être

un élément de motivation pour les enfants qui ont alors envie de se confronter à la résolution

du problème qui leur est posé. L’enseignant peut par exemple partir d’un défi à relever. On

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sent bien l’impact que cela peut avoir au niveau de la motivation des enfants et leur ardeur à

chercher de nouvelles idées suite à des celles n’ayant pas eu le résultat escompté.

De plus, lorsque l’on est en groupe, le nombre d’idées qui se dégagent est supérieur à la

somme des idées des individus travaillant séparément. En effet un individu peut avoir une

idée en s’appuyant sur celles émises par un autre membre du groupe. Il n’aurait pas toujours

trouvé seul cette idée. Le travail de groupe permet donc de faire avancer plus facilement la

recherche.

Dans le cadre d'un travail de groupe, une idée émise par un enfant peut susciter une hésitation

quant à son intérêt ou son exactitude voire même un rejet d'emblée par les autres membres du

groupe. L'élève qui a exprimé cette idée peut alors décider de la défendre en expliquant avec

plus de précisions son contenu, en trouvant des arguments pour l'appuyer. En essayant de

convaincre ses camarades, il peut s'apercevoir que sa proposition a en fait des lacunes, qu'elle

est erronée et l'abandonner. Il se peut aussi que, suite à une argumentation convaincante,

l'intérêt de l'idée défendue soit perçu par ses camarades et que cette proposition soit adoptée

par tout le groupe.

Deux membres d'un même groupe peuvent avoir des idées différentes voire opposées. Pour

convaincre les autres membres du groupe d'adopter leurs propositions, chacun d'eux va

développer des arguments.

Un conflit d'idées peut également apparaître entre les groupes lors des mises en commun suite

à des phases de recherche.

Les enfants vont ainsi apprendre à justifier leurs idées, à argumenter. Pour que cela soit

possible, il est bon que le maître intervienne afin d'éviter qu'un enfant use de son statut de

leader naturel pour imposer ses idées et évincer tout débat.

Un savoir d ’ ordre général.

Une situation-problème fait entrer les enfants dans une situation précise, avec ses faits, sa

particularité. Pour résoudre le problème auquel ils sont confrontés, les enfants vont inventer

des procédures, trouver des relations entre plusieurs éléments… Mais on ne peut rester sur le

cas particulier du problème résolu. Il faut passer des faits, au concept, à un savoir d’ordre

général afin que ce qui a été appris à travers la situation-problème puisse être réinvesti dans

une autre situation.

Les enfants indiqueront par écrit les règles, les procédures qui ont été découvertes par le biais

16

de la résolution du problème posé. Ils passeront ainsi des faits spécifiques à la situation-

problème sur laquelle ils ont travaillé à des concepts, des théorèmes, des procédures qui

pourront être réinvestis par la suite. De plus, l’écriture de la trace écrite pourra favoriser la

mémorisation du concept. Enfin, les élèves pourront également indiquer leurs conceptions

initiales. Loin de les conforter dans leurs représentations initiales, c’est plutôt un moyen de

renoncer une nouvelle fois à ces dernières en les reconnaissant comme insuffisantes ou

erronées et en apportant de nouveaux concepts pour pallier au manque crée par leur abandon.

C’est aussi un moyen pour eux de se souvenir de leurs représentations présentes au début de

l’activité centrée sur la situation-problème et d’indiquer les règles… retenues en fin d’activité

et ainsi de mieux mesurer le chemin parcouru. Cela pourra être également source de

motivation pour une prochaine situation-problème, les enfants constatant qu’ils apprennent de

nombreuses choses par ce biais.

Pour toutes ces raisons, il est donc important que les enfants eux-mêmes soient à l’origine de

la trace écrite et non le maître. Dans le cas contraire, on peut penser que les avantages notés

ci-dessus seraient absents ou beaucoup plus nuancés. On pourrait toutefois avancer

l’argument suivant: la formulation du concept par le maître, plutôt que par les enfants, serait

plus claire. Mais s’il est vrai qu’elle serait certainement plus compréhensible pour une autre

personne que l’auteur de la trace écrite, on peut dire que souvent l’auteur d’une production

écrite comprend ce qu’il a voulu dire même si ces propos restent assez obscurs pour un autre

lecteur. On peut donc penser qu’une formulation maladroite du concept par l’enfant ne gênera

pas, dans la plupart des cas, ce dernier pour comprendre la règle énoncée.

La métacognition.

Comme nous l’avons vu ci-dessus, les enfants comparent leurs conceptions initiales avec les

concepts qu’ils ont construits et mesurent ainsi le chemin qu’ils ont parcouru. Ils peuvent

également mener une réflexion sur les comportements qui ont été adoptés au cours des

séances liées à la situation-problème. Avec notre aide, ils peuvent indiquer que certains

engendrent une gêne comme par exemple le fait de se couper la parole...

17

Le déroulement d ’ une situation-problème.

Une situation-problème passe par plusieurs phases. Toutefois il ne s’agit pas d’étapes

successives qui se déroulent de manière linéaire mais plutôt d’une approche globale.

La situation-problème est présentée aux enfants. La mise en scène est alors, comme nous

l’avons vu, très importante pour motiver ces derniers.

Les élèves vont tout d’abord s’approprier le problème. Ils vont se lancer dans une phase de

recherche. Ils essayent de résoudre le problème qui leur est posé à l’aide de leurs

représentations initiales. Mais ils vont constater l’insuffisance de ces dernières ou leur

caractère erroné. Se crée alors une rupture qui va déstabiliser les enfants. Ils se poseront alors

de nombreuses questions et essayeront à ce moment de mettre au point d’autres stratégies,

d’inventer de nouvelles règles, procédures (hypothèses). Ils vont les tester . Ils doivent

pouvoir contrôler eux-mêmes les résultats qu’ils obtiennent (c’est à eux, et non au maître, que

doit revenir la tâche de valider ou invalider les résultats).

Une mise en commun peut alors avoir lieu. Le travail de chaque groupe est comparé. Les

enfants en vérifient la pertinence. Ils vérifient l’exactitude des règles, procédures mises en

œuvre, se demandent quelle est (ou quelles sont) la (les) procédure(s) les plus efficaces dans

le cadre du problème posé.

Une trace écrite est produite par les enfants (les idées dégagées à l’issue de la résolution du

problème doivent être énoncées sous forme de concepts).

Un travail de métacognition peut enfin s’engager.

c) Conclusion. Nous avons vu que les problèmes, qui se différencient des exercices, peuvent être classés

selon les objectifs d’apprentissage qu’ils permettent d’atteindre.

Un même problème peut être classé différemment selon le moment auquel il est proposé aux

élèves. Par exemple, un problème pourra être une situation-problème notamment si les enfants

ne connaissent pas la notion qui est la plus adaptée pour résoudre le problème posé, et n’en

sera plus une si cette notion a déjà été découverte.

18

II.Jeu des voyageurs (cycle 1)

Mon premier stage s’est déroulé dans une classe de moyens/grands (14 grands et 8 moyens).

Lors de la visite de la classe, le professeur en poste m’avait indiqué qu’un certain nombre

d’enfants rencontraient des difficultés au niveau du dénombrement. J’ai donc choisi de mettre

en place une situation dont le principal objectif se rapporterait à cette difficulté.

J’ai alors envisagé de construire une séquence en m’inspirant du jeu des voyageurs décrit dans

le livre intitulé apprentissages numériques et résolution de problèmes (cycle des

apprentissages fondamentaux GS), tout en l’adaptant à ma classe.

Le principe du jeu des voyageurs est le suivant. Dans un car, représenté par une boîte à

chaussures, une plaque est insérée. Cette dernière représente les places assises. Certaines

places sont libres alors que d’autres sont déjà occupées. L’enfant doit aller chercher juste ce

qu’il faut de voyageurs afin que toutes les places libres deviennent occupées (les voyageurs

sont éloignés du car). L’élève ramène alors les voyageurs et les pose sur le quai (couvercle de

la boîte à chaussures) qui est situé devant le car. Il doit alors comparer le nombre de places

libres et le nombre de voyageurs qu’il a pris pour savoir s’il a juste ce qu’il faut de voyageurs.

Puis il place les voyageurs dans le car, sur les places libres, et confirme ou infirme

l’hypothèse qu’il avait formulée lorsque les voyageurs étaient sur le quai.

Nous allons donc retracer le déroulement de la séquence mise en place puis nous la

confronterons aux principales caractéristiques des situations-problèmes pour savoir si elle

rentre dans ce cadre.

1) Présentation d ’ une situation mise en place au cycle 1

de l ’ école primaire: le jeu des voyageurs. a) Présentation sommaire des séances.

La séquence est composée de six séances:

- Première séance: le test initial.

J’ai tout d’abord fait passer un test aux enfants afin de connaître leurs compétences.

- Deuxième séance.

Au cours de cette séance, le jeu est présenté aux enfants. Ils disposent ensuite d’un temps pour

s’approprier la situation pendant lequel ils ont le droit de faire plusieurs voyages pour avoir

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juste ce qu’il leur faut de voyageurs. Puis les enfants n’ont droit qu’à un seul voyage (ils vont

toujours chercher eux-mêmes les voyageurs dont-ils ont besoin).

L’accent est porté sur le dénombrement.

- Troisième séance.

Lors de cette séance, soit les places vides sont présentées sous forme de constellations soit

leur nombre permet la mise en place d’une procédure de reconnaissance globale.

L’enfant qui joue ne peut plus prendre lui-même les voyageurs dont il a besoin mais doit les

demander à un de ses camarades (demande orale).

- Quatrième séance.

Pendant cette séance, il s’agit pour les enfants de demander les voyageurs dont-ils ont besoin

par écrit. Le message est alors transmis par le facteur à l’enfant qui prépare la commande. Les

enfants ont à leur disposition une bande numérique pour les aider dans la recherche ou la

lecture de l’écriture chiffrée d’un nombre s’ils en éprouvent le besoin.

- Cinquième séance.

Il s’agit d’une évaluation. Le car est représenté ainsi que les places vides et les places déjà

occupées. Les enfants doivent aller chercher une bande contenant juste ce qu’il leur faut de

voyageurs. Ces bandes sont dans des enveloppes sur lesquelles est indiqué le nombre de

voyageurs présents sur les bandes (pour les grands) ou est représentée en plus la constellation

correspondant au nombre de voyageurs présents sur les bandes (pour les moyens). La bande

est alors collée sous le car. Les enfants doivent déterminer s’ils ont juste ce qu’il faut de

voyageurs.

- Sixième séance: le test final.

Je souhaitais connaître plus précisément les compétences de chaque enfant à la fin de cette

séquence afin de mesurer l’efficacité de cette dernière. J’ai donc repris le test réalisé en début

de séquence.

Nous allons maintenant nous pencher plus en détails sur les différentes séances auxquelles ont

donné lieu ce jeu.

20

b) Première séance: le test préliminaire. Comme je l’ai précisé ci-dessus, il me semblait nécessaire de savoir où en était chaque enfant

par rapport aux différentes compétences que nous allions travailler à travers les séances

suivantes. En effet, je souhaitais adapter les plaques représentant les places assises libres (et

occupées) aux compétences de chaque enfant afin que tous puissent progresser.

Lorsque les enfants devaient trouver le nombre de places libres dans le car, ils pouvaient,

selon les cas, avoir recours notamment au dénombrement, au subitizing, à la reconnaissance

d’une constellation.

J’ai donc testé leurs aptitudes à la reconnaissance globale d’une quantité. Je leur présentais 3

jetons et leur demandais de m’indiquer, sans compter, combien j'en avais posé. Pour ne pas les

inciter à recourir au comptage, je cachais les jetons sous ma main et les dévoilais tous en

même temps. En cas de non-réussite, je recommençais le test avec 2 jetons.

Pour tester la reconnaissance des constellations, j’ai utilisé un dé. Je présentais aux enfants les

constellations en veillant à ne pas suivre l’ordre croissant des nombres. Je leur demandais

alors de m’indiquer le nombre de points sans les compter.

Dans les deux cas les élèves ont bien compris ce que j’attendais d’eux. Ils essayaient de ne

pas avoir recours au comptage et certains étaient satisfaits de pouvoir énoncer le bon nombre

sans compter les éléments. La procédure de comptage n’était alors utilisée que par quelques

enfants lorsque ceux-ci s’apercevaient qu’ils ne reconnaissaient pas globalement la quantité

ou la constellation.

Avant de tester les capacités des enfants à dénombrer, il m’a semblé nécessaire de me pencher

sur leur maîtrise de la comptine numérique. En effet, un enfant peut avoir compris les

principes sous-jacents au dénombrement mais commettre des erreurs car il maîtrise mal la

comptine numérique (non conventionnelle, non stable, peu étendue…). J’ai donc tout d’abord

demandé aux enfants de réciter la comptine (consigne: compte). Certains ne comprenaient pas

très bien ce qu’ils devaient faire (car ils n’avaient pas d’objets… à dénombrer). La situation

était débloquée lorsque j’énonçais en même temps qu’eux les 2 ou 3 premiers nombres.

De plus, je leur ai demandé de compter des objets (lors du jeu, les élèves auront à compter les

places vides du car). J’adaptais alors systématiquement le nombre d’objets à l’étendue de la

comptine qu’ils venaient d’énoncer car l’objectif n’était pas ici de savoir s’ils savaient

dénombrer une quantité de 12 objets par exemple mais plutôt de voir s’ils savaient s’organiser

pour ne pas oublier d’objets ou en compter certains plusieurs fois. Certains enfants

déplaçaient les objets pour éviter de telles erreurs mais d’autres ne le faisaient pas. Dans ce

21

dernier cas, je ne sais pas s’ils pensaient qu’ils ne pouvaient pas le faire ou s’ils n’y ont pas

songé. Je n’ai pas souhaité leur indiquer qu’ils pouvaient bouger les pions car je ne voulais

pas les influencer dans leurs procédures s’ils n’avaient pas envisagé cette solution. Les

enfants qui ne déplaçaient pas les pions se servaient de leur doigt pour pointer les objets ou

regardaient seulement ces derniers. Lorsque les élèves avaient fini de dénombrer les pions, je

leur demandais le cardinal afin de savoir s’il avait conscience que le dernier mot-nombre

énoncé correspondait à la quantité totale. Dans l’ensemble, cela ne posait pas de difficulté aux

enfants.

Enfin je leur demandais de prendre un certain nombre d’objets adapté à l’étendue de la

comptine numérique énoncée précédemment (lors du jeu les enfants auront à prendre un

certain nombre de voyageurs).

Sur l’ensemble des tests effectués, on peut constater que des enfants dont la comptine

numérique est peu étendue peuvent réussir les dénombrements qui leur sont demandés et que

des enfants ayant une comptine plus étendue peuvent éprouver des difficultés.

Un des objectifs de la séance 4 est que le joueur écrive le nombre de voyageurs dont il a

besoin et que l’enfant qui prépare la commande lise ce nombre et donne autant de voyageurs

que ce qui lui est demandé. Pour cela, ils peuvent s’aider de la bande numérique. Les enfants

étant en moyenne et grande section (début de l’année), je m’étais fixé comme objectif la

connaissance des 5 premiers nombres.

Je leur ai donc demandé de lire les nombres inscrits sur des étiquettes que je leur présentais

(dans un ordre quelconque). Puis je leur montrais un des nombres qu’ils avaient reconnu et ils

devaient prendre autant de pions que ce qui était indiqué sur l’étiquette.

Je leur ai également demandé d’écrire les nombres que j’énonçais (nombres de 1 à 5 donnés

dans le désordre).

Puis, pour un nombre qu’ils ne savaient pas écrire, je leur demandais s’ils pouvaient se servir

de la file numérique pour connaître son écriture chiffrée. Je vérifiais alors qu’ils savaient

utiliser correctement cet outil et qu’ils parvenaient à écrire le nombre. Le nombre était

inférieur ou égal à 5 s’ils n’avaient pas réussi à l’écrire sans aucune aide précédemment.

Sinon il était supérieur, l’important n’étant pas la connaissance de l’écriture chiffrée de ce

nombre mais la maîtrise de l’utilisation de la file.

Logiquement les enfants ont reconnu plus de nombres qu’ils n’ont su en écrire. Un peu plus

de la moitié de la classe a su utiliser la file numérique.

22

c) Deuxième séance. Le jeu ainsi que le matériel est présenté aux enfants. J’ai essayé de mettre en scène le plus

possible la situation afin de motiver les enfants. Le chauffeur est présenté comme un

personnage coquin qui ne veut partir pour Auxerre (l’école était située à Joigny et j’ai pensé

que tous connaissaient au moins de nom la ville d’Auxerre) que si le car est plein. Or des

voyageurs sont en retard. Il faut donc les attendre (ce sont les voyageurs que devront chercher

les enfants). Toutefois j’ai indiqué que s’il y avait trop de voyageurs (dans le cas où les

enfants ramèneraient plus de pions que le nombre de places vides) le chauffeur refuserait de

prendre la route car il ne voulait pas laisser seuls des voyageurs qui pourraient prendre froid…

Comme les enfants doivent poser les pions sur le quai, j’ai introduit ce moment par le fait

qu’ils devaient charger leurs bagages dans la soute.

Afin d’éviter une surcharge cognitive, j’ai omis dans la phase de présentation d’indiquer qu’il

faudrait, une fois les voyageurs sur le quai, déterminer s’il y avait bien juste ce qu’il fallait de

voyageurs. J’ai préféré introduire ceci lors de la phase de jeu en passant auprès des différents

joueurs lorsqu’ils étaient revenus avec leurs pions et les avaient posés sur le quai.

Dans un premier temps les enfants s’approprient la situation.

J’installe au fond de la boîte une plaque correspondant aux capacités de dénombrement du

joueur. Pour les élèves les plus avancés, les plaques contiennent 16 ou 17 places vides. Pour

les élèves en difficulté, elles en ont 6 ou 7. Pour les autres élèves sont représentées 11 ou 13

places vides sur les plaques.

Les enfants ont alors pour consigne d’aller chercher les voyageurs, autant qu’il faut pour

occuper les places vides, pas plus, pas moins. On attend un comptage des places vides puis

des voyageurs.

Lorsqu’ils ramènent les voyageurs, ils les posent sur le quai et doivent déterminer si, à leur

avis, ils ont juste ce qu’il faut de voyageurs. On attend un comptage des places vides, des

voyageurs et une comparaison des deux nombres obtenus. Si l’enfant pense qu’il n’a pas pris

le bon nombre de voyageurs, il repose ces derniers et fait un 2ème essai (plusieurs voyages

autorisés). S’il indique qu’il a pris le bon nombre de voyageurs, il les met sur les places vides

et valide ou invalide son hypothèse.

Dans un deuxième temps, les élèves n’ont plus droit qu’à un seul voyage. Lorsqu’ils ramènent

les voyageurs et les placent sur le quai, ils indiquent s’ils ont ou non juste ce qu’il faut de

23

voyageurs. Quelque soit leur réponse, ils placent les pions sur les places vides et confirment

ou infirment leur hypothèse.

Les élèves ont eu globalement tendance à compter les places vides du car. Lorsqu’ils allaient

chercher les voyageurs, si de nombreux enfants comptaient les pions qu’ils prenaient, d’autres

emportaient un tas de voyageurs sans les compter (toutefois ils abandonnaient vite cette

procédure).

Lorsque les voyageurs étaient sur le quai, on avait plusieurs réactions. Des enfants ne savaient

pas comment procéder pour savoir s’ils avaient juste ce qu’il fallait de voyageurs. D’autres

reproduisaient la disposition géographique des places libres avec les pions représentant les

voyageurs. D’autres enfants pensaient qu’ils n’avaient pas commis d’erreur sans procéder à

un recomptage des places libres et des voyageurs. En effet, ils indiquaient qu’ils les avaient

déjà comptés (les places libres avant d’aller chercher les voyageurs et les voyageurs lorsqu’ils

les avaient pris).Très peu d’enfants procédaient à un comptage des voyageurs et des places

libres sur le quai.

Nous avons vu que certains enfants ne savaient pas comment procéder pour savoir s’ils

avaient juste ce qu’il fallait de voyageurs. Ceci s’est notamment produit dans la phase où

plusieurs voyages étaient autorisés. Dans ce cas, je leur ai permis de placer leurs pions sur les

places vides, de constater une éventuelle erreur, et d’aller chercher les voyageurs manquants

(ou de reposer ceux en trop) bien que ce n’était pas la démarche que j’avais envisagée dans la

fiche de préparation.

Lorsque les enfants plaçaient les voyageurs sur les places libres, certains arrivaient déjà à des

conclusions du type « il y en a 1 de trop, pas assez… ».

d) Troisième séance. Lors d’une première phase de jeu, je plaçais au fond de la boîte des plaques où les places

vides formaient une constellation. J’ai essayé de donner une constellation que les enfants

connaissaient pour la première plaque à laquelle ils étaient confrontés. J’ai aussi donné, au

début de la séance, des plaques avec une constellation ayant un nombre assez élevé

d’éléments (4, 5, 6). En effet la disposition des places vides attire l’attention (plus que pour

une plaque avec une constellation 2 par exemple). Je pensais ainsi que les enfants se fieraient

à une reconnaissance globale de la constellation plutôt qu’à un comptage.

24

La plupart des élèves ont eu tout de même tendance à compter les places libres la première

fois que les plaques leur ont été proposées. Puis ils ont remarqué, avec l’aide de la maîtresse

et une réflexion en groupe, que l’organisation des places libres correspondait à celle des

points sur un dé. Ils ont ensuite utilisé leur connaissance des constellations pour déterminer le

nombre de voyageurs dont-ils auraient besoin. Toutefois certains enfants ont continué à

compter les places libres (cela pouvant être du à une méconnaissance des constellations).

Les enfants devaient, après avoir déterminé le nombre de places libres, aller chercher juste ce

qu’il fallait de voyageurs (un seul voyage autorisé). Toutefois, ils n’avaient plus le droit de se

servir comme dans la séance précédente mais ils devaient les demander à un de leurs

camarades.

Ils revenaient ensuite avec les voyageurs, les plaçaient sur le quai et essayaient de savoir s’ils

avaient juste ce qu’il fallait de voyageurs. J’encourageais alors les enfants à formuler des

expressions telles que j’en ai un de trop, il en manque un… (certains l’avaient déjà fait

spontanément lors de la deuxième séance).

Enfin l’élève plaçait ses pions sur les places vides et confirmait ou non son hypothèse.

Dans la deuxième phase, les plaques proposées permettaient aux enfants de trouver le nombre

de places vides (2 ou 3) par subitizing. La démarche suivie est identique à celles des plaques

comprenant des places vides disposées sous forme de constellations.

J’ai choisi de donner en premier les plaques où les places vides formaient une constellation et

en deuxième celles permettant de recourir au subitizing. En effet, lors de la séance précédente,

le comptage des places vides était favorisé. En commençant par les plaques pour lesquelles le

subitizing était approprié, les enfants auraient pu rester sur une procédure de comptage sans

penser qu’une autre procédure était envisageable. En abordant dans un premier temps les

plaques comprenant des places vides formant des constellations, on pouvait espérer que les

enfants reconnaîtraient assez facilement ces dernières (les formes sont particulièrement

singulières notamment pour les constellations ayant un nombre assez élevé d’éléments: 6, 5,

4...) et qu’ils privilégieraient cette reconnaissance au comptage (procédure alors moins

efficace car plus longue). De ce fait, les élèves aborderaient les plaques permettant un

subitizing avec l’idée qu’un comptage n’est pas forcément nécessaire et serait donc plus

enclins à mettre en place une reconnaissance globale de la quantité.

La plupart des enfants se sont bien servis tout de suite de la procédure de reconnaissance

globale. Toutefois, les enfants ayant encore peu de compétences à ce niveau ont plutôt compté

les places libres.

25

Que ce soit dans la première ou dans la deuxième phase, les enfants ont, dans leur grande

majorité, demandé sans difficulté et sans erreur les voyageurs dont-ils avaient besoin. La

première fois qu’une demande orale des voyageurs était à mettre en œuvre, quelques enfants

souhaitaient encore prendre eux-mêmes les voyageurs (l’intervention de la maîtresse

entraînait alors parfois une perte en mémoire de la quantité de voyageurs nécessaire), alors

que d’autres ne savaient pas ce qu’ils devaient demander.

Au cours des deux phases, des enfants ont placé sur le quai les pions en tenant compte de la

disposition géographique des places libres, d’autres ont procédé à un comptage des voyageurs

ou des voyageurs et des places libres de leur propre initiative ou sur proposition de la

maîtresse.

e) Quatrième séance. J’ai souhaité, dans cette séance, que les enfants demandent par écrit le nombre de voyageurs

dont-ils avaient besoin.

Un enfant, le joueur, avait en face de lui une plaque. Il devait indiquer sur un papier la

quantité de voyageurs dont il avait besoin. Le papier était donné au facteur, qui l’apportait à

l’enfant chargé de préparer la commande. Ce dernier avait à sa disposition les pions

représentant les voyageurs pour répondre à la demande du joueur. Il donnait alors ces derniers

au facteur qui les apportait au joueur. Le joueur posait les pions sur le quai et devait

déterminer s’il avait juste ce qu’il fallait de voyageurs. Puis il mettait les voyageurs sur les

places libres et confirmait ou non son hypothèse.

Les plaques que je donnais aux enfants ne contenaient pas plus de 5 places libres. En effet, je

souhaitais travailler sur l’écriture chiffrée des nombres de 1 à 5.

Afin que la non connaissance de l’écriture chiffrée d’un nombre ne soit pas un obstacle à

l’idée d’utiliser cette dernière, je mettais à disposition du joueur une bande numérique. Il

pouvait donc s’en servir s’il le désirait mais je prenais soin de ne pas dire mot sur sa présence.

Afin d’inciter les enfants à utiliser l’écriture chiffrée des nombres sur le papier, j’avais décidé

de réduire progressivement sa taille. La première fois que les enfants jouaient, ils disposaient

d’un grand papier, puis les fois suivantes d’un papier beaucoup plus petit. Toutefois il fallait

tenir compte du fait que des enfants avaient encore des difficultés quant au tracé lié à

l’écriture chiffrée des nombres. Or plus les chiffres à écrire doivent être de petite taille, plus

cela est difficile. Le papier devait donc être petit mais pas trop.

Avant de demander les voyageurs dont-ils avaient besoin, pratiquement tous les enfants

26

comptaient les places libres du car. Par contre, lors de la demande écrite, on pouvait répartir

les enfants en 3 groupes. Certains représentaient les places libres ou les voyageurs par des

ronds ou des carrés et n’évoluaient pas dans leurs procédures. D’autres commençaient par

représenter les places libres ou les voyageurs puis passaient à une écriture chiffrée du nombre

de voyageurs dont-ils avaient besoin. Les derniers utilisaient tout de suite l’écriture chiffrée

du nombre de voyageurs dont-ils avaient besoin. Pour le premier groupe d’enfants, la

réduction de la taille de papier n’a pas joué son rôle, ceux-ci étant restés au stade d’une

représentation. On peut d’ailleurs noter que certains enfants représentaient ce qu’ils avaient

devant eux c’est-à-dire les places vides qui étaient sur la plaque en forme de carrés, alors que

d’autres étaient déjà plus dans l’idée de commande en indiquant ce dont-ils avaient besoin

(des voyageurs et non plus des places libres). Pour le deuxième groupe, le changement de

procédure peut être du à la réduction de la taille du papier ou à l’imitation de la procédure

utilisée par un camarade (du troisième groupe). Les enfants du troisième groupe ont utilisé

spontanément l’écriture chiffrée des nombres et sont donc tout à fait conscients de son intérêt,

même s’ils n’ont pas toujours en mémoire cette dernière et se réfèrent encore à la bande

numérique.

Au sujet de la bande numérique, on peut indiquer qu’elle n’a pas été toujours utilisée. Les

enfants l’utilisaient pour écrire un nombre dont l’écriture chiffrée n’était pas mémorisée ou

lorsqu’ils avaient tracé un chiffre à l’envers et voulaient corriger leur erreur.

Pour éviter que les enfants qui réceptionnaient le message ne soient bloqués pour préparer la

commande face à un nombre dont-ils ne connaissaient pas l’écriture chiffrée, ils disposaient

eux aussi d’une bande numérique.

Lorsque le facteur ramenait les pions représentant les voyageurs, je ne voulais pas qu’il les

pose lui-même sur le quai. Il devait les donner au joueur. En effet, je souhaitais que le joueur

ne soit pas influencé au niveau de la procédure qu’il utiliserait pour comparer le nombre de

pions et le nombre de places vides. Des enfants, dont les pions étaient déjà posés sur le quai,

auraient par exemple pu renoncer à les placer en tenant compte de la disposition géographique

des places libres. Les procédures qui ont été utilisées sont les suivantes. Des enfants ont

reproduit avec les pions la disposition géographique des places libres et d’autres ont compté

les pions (très peu d’enfants ont compté les pions et recompté les places libres).

Remarque: Les enfants tournaient dans les différents rôles (joueur, facteur, préparateur de

commandes). C’était également le cas lors de la séance précédente (à tour de rôle, les enfants

jouaient et donnaient les pions représentant les voyageurs suite à une demande orale).

27

f) Cinquième séance. Il s’agissait d’une évaluation. Le car était représenté ainsi que les places vides et les places

déjà occupées. Les enfants devaient aller chercher une bande contenant juste ce qu’il leur

fallait de voyageurs. Ces bandes étaient disposées à un autre endroit de la classe. Elles étaient

classées dans des enveloppes. Sur ces dernières était indiqué le nombre de voyageurs présents

sur les bandes (pour les enfants de grande section). Les enfants devaient déterminer

l’enveloppe dans laquelle se trouvaient les bandes dont ils avaient besoin. Ils prenaient ensuite

une bande de cette enveloppe (ils n’avaient droit qu’à un seul voyage). Puis ils la collaient

sous le car. Ils vérifiaient ensuite s’ils avaient pris la bonne bande. Ils coloriaient alors le

bonhomme souriant s’ils estimaient ne pas s’être trompés, le bonhomme triste dans le cas

contraire, et le dernier bonhomme s’ils ne savaient pas.

Le car comprenait au maximum cinq places libres. En effet, nous avions travaillé sur l’écriture

chiffrée des nombres de 1 à 5.

J’avais expliqué aux enfants que faire une erreur n’était pas grave et qu’il valait mieux qu’ils

se soient trompés et qu’ils s’en rendent compte (bonhomme triste colorié) plutôt qu’ils aient

commis une erreur et qu’ils ne s’en aperçoivent pas (bonhomme souriant colorié).

La plupart des enfants comptaient les places libres (rares étaient ceux qui partaient chercher

les voyageurs sans avoir pris la peine de regarder ce qui leur fallait).

Beaucoup d’enfants ont reconnu l’écriture chiffrée du nombre de voyageurs dont-ils avaient

besoin (nombre inscrit sur les enveloppes). Les enfants n’ayant pas compté les places libres

prenaient une bande dans une enveloppe choisie au hasard ou dans celle choisie par leurs

camarades (même si leurs fiches d’activité n’étaient pas identiques). Certains enfants se

trompaient d’enveloppe (problème de connaissance de l’écriture chiffrée des nombres). Des

enfants utilisaient la bande numérique pour connaître l’écriture chiffrée du nombre de

voyageurs dont-ils avaient besoin.

Sur le quai, des enfants ne mettaient en place aucune procédure (ils disaient qu’ils avaient

déjà compté les places libres et avaient pris une bande dans l’enveloppe sur laquelle était

inscrit le nombre de voyageurs dont-ils avaient besoin). Des enfants recomptaient les places

libres, d’autres comptaient les voyageurs, d’autres comptaient les voyageurs et les places

libres. Des enfants trouvaient par subitizing le nombre de voyageurs et de places libres (quand

la plaque s’y prêtait) et comparaient ces 2 nombres. Des enfants utilisaient aussi la procédure

de correspondance terme à terme.

28

Remarque: Certains enfants trouvaient un nombre différent de voyageurs et de places libres

mais disaient malgré tout qu’ils n’avaient pas commis d’erreur.

Remarque:

Afin de faciliter la tâche aux élèves de moyenne section, les enveloppes donnaient la même

information de deux façons différentes. Le nombre de voyageurs de chaque bande était

indiqué par l’écriture chiffrée du nombre mais aussi par la constellation. Ils pouvaient donc

reconnaître l’écriture chiffrée du nombre ou la constellation ou compter le nombre de points

de cette dernière.

g) Sixième séance: le test final. Afin de connaître plus précisément les compétences des enfants en fin de séquence et ainsi de

mesurer l’efficacité de cette dernière, j’ai repris le test de la première séance.

Dans l’ensemble, j’ai pu constater que les enfants disposaient à présent d’une comptine

numérique plus étendue, qu’ils savaient écrire plus de nombres sans avoir besoin de recourir à

la bande numérique.

Des élèves ont également progressé au niveau de la reconnaissance globale des quantités mais

aussi sur la reconnaissance des constellations.

Des enfants ont appris à se servir de la bande numérique pour écrire un nombre dont-ils ne

connaissaient pas l’écriture chiffrée.

Je pense donc que les objectifs de cette séquence sont dans l’ensemble atteints. Pour les

enfants connaissant encore des difficultés, des activités de remédiation individualisées

seraient nécessaires (par exemple un jeu autour d’un dé à lancer pourrait être utilisé pour

retravailler sur la reconnaissance des constellations). Je n’ai pu en mettre en place faute de

temps.

2) Le jeu des voyageurs : une situation problème? Après avoir décrit le déroulement des différentes séances relatives au jeu des voyageurs, nous

allons maintenant analyser cette situation en nous demandant si elle remplit les principaux

critères d’une situation-problème, conditions que nous avons mentionnées lors de l’étude de la

classification des problèmes (et plus particulièrement dans le passage consacré aux situations-

problèmes).

29

a) La mise en scène de la situation. Nous avons vu que la mise en scène des situations-problèmes proposées aux enfants est très

importante. En effet, l’introduction de ces situations doit notamment avoir pour effet de

motiver les enfants qui devront résoudre le problème qui leur est posé.

Tout d’abord la situation que j’ai proposée aux enfants avait pour appellation : “jeu des

voyageurs”. L’emploi du terme jeu a permis, comme c’est souvent le cas, d’attirer l’attention

des enfants. L’idée que l’activité aura un caractère ludique leur a fait d’emblée appréhender

cette dernière positivement.

Pour ne pas entraver cette motivation, la présentation du jeu doit être soignée. J’ai donc

cherché à présenter le fonctionnement du jeu à travers une petite histoire (chauffeur du car

“coquin”, voyageurs retardataires, voyageurs risquant de prendre froid, bagages à mettre dans

la soute) qui intéresserait les enfants et soutiendrait leur attention et leur motivation. Cette

histoire m'a également permis d'introduire la règle selon laquelle les enfants devaient prendre

juste ce qu’il fallait de voyageurs, pas plus (sinon les voyageurs en trop risquaient de prendre

froid), pas moins (nécessité d'attendre les retardataires), règle qui a alors pris tout son sens.

Les enfants ont été motivés pour réaliser l’activité et ceci tout au long des différentes séances.

L’engouement est resté intact.

b) La modification des procédures pour résoudre le problème posé. Le problème qui se pose aux enfants est le suivant: comment faire pour avoir juste ce qu’il

faut de voyageurs, pas plus, pas moins?

Ce problème est présent lors de la deuxième séance, mais aussi lorsque les enfants disposent

de plaques favorisant le subitizing ou représentant les places libres sous forme de

constellations (troisième séance), lorsqu’ils doivent demander les pions par écrit (quatrième

séance).

Nous allons nous intéresser plus particulièrement à la deuxième séance. Les enfants ont

devant eux une plaque qui comporte des places assises occupées et d’autres libres et ils

doivent aller chercher les voyageurs dont ils ont besoin, voyageurs situés à l’autre bout de la

classe. C’est la première fois que les enfants font le jeu des voyageurs. Il leur faut donc un

temps pour s’approprier la situation. Lors de la première phase de cette séance, il leur est donc

permis de faire plusieurs voyages.

Ils doivent trouver une procédure qui leur permet de résoudre le problème qui se pose à

30

travers la situation. Nous avons vu que les enfants doivent pouvoir s’engager facilement dans

la résolution du problème en utilisant leurs conceptions initiales. Ils pouvaient ici ne pas

compter les places libres avant d’aller chercher les voyageurs (très peu d’enfants ont réagi

ainsi) mais également prendre un tas de pions représentant les voyageurs sans se soucier de

leur nombre (certains enfants ont procédé ainsi). Nous avons également remarqué que, dans

une situation-problème, les enfants doivent s’apercevoir que leurs conceptions initiales sont,

par exemple, erronées. Ils les remettent alors en cause et sont prêts à utiliser une nouvelle

procédure, celle visée par le maître. C’était bien le cas dans la situation que nous examinons.

En effet, les enfants pouvaient se rendre compte de leurs erreurs lorsqu’ils mettaient les

voyageurs sur le quai. Dans le cas où ils ne s’en apercevraient pas à ce moment, ils les

constataient en plaçant les voyageurs sur les places libres. Cela amenait les élèves à remettre

en cause la procédure alors utilisée et à en élaborer une nouvelle, celle attendue par le maître:

le dénombrement.

Remarque: Des enfants ont utilisé tout de suite le dénombrement mais ont commis des erreurs

car, par exemple, ils recomptaient deux fois la même place libre, en oubliaient… Il s’agissait

alors d’inciter les enfants à s’organiser dans leur dénombrement.

Nous pouvons noter au passage que dans les situations-problèmes, ce sont les enfants qui

doivent valider ou invalider leurs résultats. C’est bien ici le cas puisque les enfants, après

avoir émis une hypothèse sur le fait qu’ils aient ou non ramené juste ce qu’il fallait de

voyageurs lorsque les pions sont sur le quai, posent ces derniers sur les places libres et en

déduisent s’il y a ou non correspondance entre le nombre de places libres et le nombre de

voyageurs.

c) Le sens. Les notions abordées et les procédures visées par le maître à travers la situation du jeu des

voyageurs prennent tout leur sens car elles sont nécessaires et sont les plus efficaces pour

résoudre les problèmes auxquels sont confrontés les enfants.

En effet, le dénombrement, lors de la deuxième séance par exemple, est nécessaire pour avoir

juste ce qu’il faut de voyageurs.

La reconnaissance des constellations ou la procédure de subitizing me semblent être les plus

appropriées lors de la troisième séance. Elles permettent de trouver plus rapidement le nombre

de places libres que la procédure de dénombrement.

Lors de la quatrième séance, l’écriture du nombre de places libres est plus rapide que la

31

représentation de ces dernières. Cette procédure est donc plus efficace. De plus, l’enfant qui

reçoit le message du joueur et qui doit préparer la commande pourra constater que la

reconnaissance de l’écriture chiffrée d’un nombre donne plus rapidement des renseignements

que le dénombrement des carrés… présents sur la feuille.

Remarque :

Je pense qu’il aurait été bon de revenir, en groupe classe et à l’oral, sur les procédures

utilisées par les enfants dans une même situation, que ce soient celles mises en place en fin de

séance ou abandonnées en cours. Cela aura permis de les comparer et de déterminer les plus

efficaces.

Cela a été fait, plus ou moins implicitement, au cours du jeu en constatant l’échec de certaines

procédures…, l’efficacité d’autres. Mais ceci restait un constat avec un joueur et les

observateurs et non avec tous les enfants en même temps.

d) Les réflexions menées en groupe. Si les procédures visées par le maître prennent tout leur sens dans le cadre des situations-

problèmes, encore faut-il que les enfants les trouvent. Nous avions vu que les situations-

problèmes étaient souvent l’occasion d’un travail de groupe notamment afin de faire avancer

plus facilement les recherches. Ceci s’est révélé particulièrement vrai lors de la première

phase de la troisième séance durant laquelle les plaques représentaient des places libres dont

la disposition correspondait à une constellation. La plupart des enfants ont compté les places

libres la première fois qu’ils étaient confrontés à de telles plaques. J’ai alors provoqué un

questionnement en leur demandant si l’on ne pouvait pas savoir plus rapidement ce qu’il

faudrait de voyageurs, si l’on pouvait procéder différemment que par comptage. Bien qu’étant

en groupe, les enfants réfléchissaient chacun de leur côté et n’émettaient aucune hypothèse.

Afin de débloquer la situation, j’ai attiré leur attention sur la disposition particulière des

places libres et leur ait demandé à quoi elle leur faisait penser. Quelques élèves ont alors fait

des remarques et certains ont indiqué que cela leur rappelait la disposition des points sur un

dé. Ces derniers se sont alors servi de leurs connaissances des constellations pour les

reconnaître et ainsi trouver le nombre de places libres représentées sur la plaque sans procéder

à un comptage. Cette procédure a également été utilisée, suite à la réflexion en groupe, par des

enfants qui n’avaient pas trouvé que la disposition des places correspondait à celle des points

d’un dé. Ils se sont donc appropriés l’idée de leurs camarades et l’ont mise en œuvre. Le

travail en groupe a donc été ici très bénéfique.

32

e) La passation des consignes. Les enfants, dans une situation-problème, sont confrontés à un problème à résoudre. Ils

mettent alors en œuvre leurs représentations initiales, s’aperçoivent que ces dernières sont

erronées, insuffisantes, peu efficaces… et cherchent une procédure qui leur permettra de

résoudre le problème. Pour qu’une situation-problème ne soit pas dénaturée, il faut donc que

le maître soit particulièrement vigilant au niveau de la passation des consignes. Il ne doit donc

pas donner d’indications sur la (les) procédure(s) permettant la résolution du problème donné.

Il faut que les enfants aient la possibilité de tester leurs conceptions initiales puis de chercher

un autre moyen de procéder.

Pour ces raisons, j’ai été particulièrement attentive aux consignes que j’allais donner aux

enfants. Au cours de toutes les séances durant lesquelles les enfants ont joué, j’ai évité

d’utiliser le terme de nombre que ce soit au moment où les enfants avaient devant eux la

plaque et devaient aller chercher juste ce qu’il fallait de voyageurs, lorsque les pions étaient

sur le quai, quand ils étaient sur les places libres. En effet, ce terme aurait pu les influencer en

induisant une procédure de comptage des places libres et des voyageurs. J’ai donc préféré des

formules telles que « tu dois aller chercher juste ce qu’il faut de voyageurs, pas plus, pas

moins »; « as-tu juste ce qu’il faut de voyageurs? » (lorsque ces derniers étaient sur le quai),

« avais-tu ramené juste ce qu’il fallait de voyageurs, pas plus, pas moins? » (lorsqu’ils étaient

placés sur les places libres). Afin d’assurer une meilleure compréhension des consignes, je

prenais soin de les formuler de différentes façons mais toujours en évitant le terme de nombre

(par exemple « tu dois aller chercher les voyageurs, autant qu’il faut pour occuper les places

vides »).

Lors de la séance 4, un des objectifs était que les enfants écrivent sur le papier le nombre de

voyageurs dont-ils avaient besoin. Toutefois, je n’ai pas mentionné dans la consigne que

j’attendais l’écriture d’un nombre. La consigne était la suivante: « il faut que tu indiques sur

ce papier juste ce qu’il faut de voyageurs »). Je les ai donc laissés libres d’utiliser une autre

procédure telle que le dessin. Ils se rendraient compte d’eux-mêmes que l’écriture d’un

nombre est plus efficace (plus rapide) que le dessin.

Remarque :

Au début de la première phase de la troisième séance durant laquelle les plaques

représentaient des places libres dont la disposition correspondait à une constellation, les

enfants ont procédé à un comptage des places libres. J'ai alors provoqué un questionnement en

33

leur demandant s'ils ne pouvaient pas procéder différemment pour savoir plus rapidement ce

qu'il faudrait de voyageurs. Comme ils n'émettaient aucune hypothèse, j'ai attiré leur attention

sur la disposition des places libres. Par ces deux remarques, j'ai orienté leurs procédures. Il

aurait été préférable de laisser aux enfants plus de temps de jeu et de les confronter par

conséquent à de nombreuses plaques. Cela leur aurait peut-être permis de découvrir que sur

toutes ces plaques les places libres étaient disposées sous forme de constellations. Il aurait

également été possible de légèrement modifier la situation. Le car aurait pu être recouvert par

un couvercle ôté lors d'un temps très court au cours duquel la plaque aurait été visible. La

procédure de comptage aurait été plus difficile à utiliser et, sans indications de ma part, les

enfants auraient été amenés à utiliser les constellations.

f) Conclusion. La situation que j’ai mise en place lors de mon premier stage responsabilité a donc bien les

principales caractéristiques d’une situation-problème.

Cette séquence a permis aux enfants d'utiliser leurs connaissances (des constellations, de

l'écriture chiffrée de certains nombres par exemples, de procédures comme le comptage). De

plus, dans le cadre de cette situation, leurs connaissances se sont développées. Dans

l'ensemble, j'ai constaté que les élèves disposaient à présent d'une comptine numérique plus

étendue, qu'ils savaient écrire plus de nombres sans avoir besoin de recourir à la bande

numérique. Des enfants ont également progressé au niveau de la reconnaissance globale des

quantités, de la reconnaissance des constellations et ont appris à se servir de la bande

numérique pour écrire un nombre dont-ils ne connaissaient pas l'écriture chiffrée.

34

III.Les tours (cycle 2)

J'ai effectué mon deuxième stage dans une classe de CE1/CE2. L'enseignante titulaire de la

classe m'avait indiqué que les élèves de CE1 devaient aborder la multiplication. J'ai donc

choisi de mettre en place une situation permettant d'introduire cette notion.

Nous allons tout d'abord nous pencher sur le déroulement de la séquence correspondante à

travers les différentes séances qu'elle intègre puis nous la confronterons aux principales

caractéristiques des situations-problèmes pour savoir si elle rentre dans ce cadre.

1) Présentation d ’ une situation mise en place au cycle 2

de l ’ école primaire: les tours. a) Première séance.

Les enfants disposent de 24 carrés de dimensions identiques. Ils doivent les utiliser pour

construire des tours. Plusieurs contraintes sont à respecter. Il faut qu'ils utilisent tous les carrés

et que les tours construites aient toutes la même taille. Lors de la passation des consignes, j'ai

insisté sur ces deux points (ils n'ont pas posé problème dans la phase de recherche qui a suivi).

Afin d'éviter que des tours ne s'écroulent, j'ai demandé aux enfants de disposer ces tours à

l'horizontal (à plat).

J'ai indiqué aux enfants qu'il existe plusieurs solutions sans en préciser le nombre (j'ai choisi

de travailler avec 24 carrés car ce nombre offrait une quantité intéressante de solutions sans

toutefois être trop élevé ce qui aurait pu rendre la recherche fastidieuse). Ils devaient toutes

les trouver. Pour cela, lorsqu'ils trouvaient une solution, ils l'écrivaient sur leur feuille de

recherche et cassaient les tours pour se resservir des carrés. Cette feuille a été vue comme

nécessaire pour se souvenir de toutes les solutions trouvées d'autant plus que, pour motiver les

enfants, j'avais introduit l'idée d'une équipe gagnante (celle qui aurait trouvé le plus de

solutions).

La recherche des solutions se faisait par équipe de deux. J'ai choisi de faire des équipes

hétérogènes. En effet, si des équipes n'étaient composées que d'enfants en difficulté, ceux-ci

auraient pu penser (à tort) qu'ils n'avaient aucune chance de gagner. Je voulais éviter que des

35

enfants se sentent donc découragés avant le début de la recherche. De plus, ce sentiment aurait

pu être accentué par le fait que j'ai refusé de leur indiquer une méthode pour trouver les

solutions et que je ne leur ai pas précisé comment indiquer sur leur feuille les différentes

solutions qu'ils allaient trouver. Enfin les diverses contraintes à respecter (tours de même

taille, utilisation de tous les carrés), auraient pu renforcer ce sentiment.

Les enfants se sont sentis un peu désarçonnés lorsque je n'ai pas voulu leur indiquer de

procédures pour obtenir des tours de même hauteur utilisant tous les carrés. Toutefois, ils se

sont vite lancés dans la recherche et trouver une première solution les a encouragés à

poursuivre leurs recherches. Les procédures utilisées ont varié d'un groupe à l'autre et à

l'intérieur d'un même groupe au fil de la recherche. Après s'être appropriés la situation et avoir

découvert le matériel (construction de tours au hasard qui a pu amener à la découverte d'une

solution encourageant la poursuite de la recherche), les équipes ont essayé de s'organiser pour

trouver des solutions. Des élèves pensaient à un nombre x, choisi apparamment au hasard,

essayaient de faire des tours de x carrés et voyait si ce nombre était solution (il ne restait plus

de carrés sur la table et il n'y avait pas besoin de carrés supplémentaires) ou non. Certains des

enfants utilisant cette procédure décidaient au bout d'un moment d'essayer avec des nombres

de plus en plus grands (x, x+1...) afin de ne pas oublier de solutions et de ne pas faire

plusieurs essais avec le même nombre. Des équipes mettaient parfois en oeuvre le

raisonnement suivant : construction par exemple de 4 tours de 6 carrés, constatation de la

découverte d'une solution, décision de couper chaque tour en deux pour obtenir une nouvelle

solution (8 tours de 3 carrés).

Sur les feuilles de recherche, l'indication des résultats a varié d'une équipe à l'autre. En effet,

je n'avais pas donné d'indications lors de la passation des consignes sur la façon de noter leurs

résultats (je leur avais juste indiqué qu'ils devaient noter ce dont ils avaient besoin pour se

souvenir des résultats trouvés). Une équipe a indiqué la hauteur des tours (elle l'a mesurée en

utilisant une règle) et le nombre de tours concernées. Des équipes ont écrit des additions

réitérées (par exemple 6+6+6+6 pour 4 tours de 6 carrés chacune). Une des équipes n'arrivait

pas à trouver comment noter la première solution qu'elle avait dégagée. Elle a connu un

blocage au niveau de cet écrit et ne pouvait donc pas continuer sa recherche (pour trouver

d'autres solutions, il fallait détruire les tours afin de récupérer les carrés et la solution trouvée

n'était donc plus visible). Pour l'aider, je lui ai proposé d'écrire des phrases avec le nombre de

tours et le nombre de carrés de chaque tour, ce qu'elle a fait en indiquant “on peut faire x tours

avec y carrés”.

36

Après une phase de recherche, une mise en commun a été effectuée. Au cours de cette

dernière, les résultats trouvés par chaque équipe ont été notés sous la forme x tours de y carrés

et les enfants ont indiqué les procédures qu'ils ont utilisées pour les trouver (tous les résultats

ont été notés, leur validité n'étant examinée qu'au cours de la séance suivante).

b) Deuxième séance. Après un rappel par les élèves de la séance précédente, je leur ai expliqué que, pour savoir

quelle équipe avait gagné le défi, il fallait d'abord savoir si les solutions proposées étaient

exactes (dans le cas contraire, elles ne pourraient pas être comptabilisées). Pour savoir si ces

solutions étaient ou non valides, les enfants ont rappelé qu'il fallait que les 24 carrés soient

utilisés (24 exactement). Il fallait donc vérifier que l'on retrouve bien le nombre de carrés de

départ (24) pour chaque résultat trouvé par les équipes. S'en est suivi une phase de recherche

au cours de laquelle les enfants, toujours par équipe de 2 (les mêmes que lors de la première

séance), devaient réaliser cette activité. Je n'ai bien sûr pas mentionné avant cette phase les

procédures pouvant être utilisées.

Lorsque j'ai lancé la phase de recherche, une enfant m'a demandé si elle pouvait se servir des

carrés utilisés lors de la première séance. Je lui ai dit qu'elle pouvait les prendre si elle pensait

qu'elle en avait besoin. J'ai pris soin de préciser que leur utilisation était possible mais non

obligatoire et je n'ai pas donné d'indications sur la validité ou non de cette procédure. Par effet

boule de neige, toutes les équipes ont alors décidé d'utiliser les carrés. Elles n'ont pas

développé d'autres procédures. Je n'ai pas voulu, à ce niveau, les influencer pour en obtenir

d'autres.

Lors de la mise en commun suivant la phase de recherche, les enfants devaient exposer les

procédures qu'ils avaient utilisées. Je souhaitais, si possible, me pencher plus particulièrement

sur certaines : l'utilisation du matériel (construction des tours avec les carrés), l'utilisation de

dessins (tours de x carrés dessinées), les additions réitérées. Je souhaitais que ces trois

procédures soient utilisées pour vérifier l'exactitude de chaque résultat proposé par les équipes

lors de la première séance. Cela permettrait de lier matériel, dessin et addition réitérée.

Le matériel avait bien été utilisé par les enfants sans difficultés. Afin d'introduire les autres

procédures, j'ai demandé aux enfants comment on pouvait procéder à cette vérification si on

ne disposait plus des carrés. Les élèves ont tout naturellement proposé de dessiner les carrés.

C'est en effet ce qui se rapprochait le plus du maniement du matériel opéré par les équipes lors

37

de la phase de recherche. D'autres enfants ont suggéré d'écrire des additions réitérées. On peut

remarquer que celles-ci avait déjà été utilisées par certaines équipes lors de la première séance

quand il s'agissait de noter sur une feuille de recherche les différents résultats trouvés

(construction de tours de même hauteur avec les 24 carrés).

Comme je l'avais prévu, ce travail est apparu assez long, le dessin pouvant devenir fastidieux,

certaines additions réitérées étant longues à écrire et le résultat assez long à calculer. Cela a

débouché sur l'introduction de la multiplication. J'ai lié dessin, addition réitérée

correspondante et multiplication correspondante. A partir d'un dessin de tours (8 tours de 3

carrés), j'ai demandé aux enfants le nombre de carrés composant chaque tour (3). Ce nombre a

été indiqué sous chacune des tours (avec le signe + entre les tours). Je leur ai demandé

combien de fois ce nombre apparaissait-il (8). Nous en avons déduit que le 3 apparaissait 8

fois. J'ai introduit la multiplication correspondante (3x8), le signe x étant oralisé par

l'expression “multiplié”.

Les enfants ont ensuite recherché les expressions de la forme – x – pour toutes les solutions. Il

n'y a pas eu beaucoup d'erreurs. Les deux facteurs utilisés étaient ceux attendus. Les erreurs se

sont plutôt situées sur l'ordre des facteurs. Les élèves ont constaté que l'écriture des

multiplications était moins longue que celle de certaines additions réitérées (par exemple

écrire 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2 est plus long que noter 2x12).

J'ai donné aux enfants une liste de multiplications avec leurs résultats. Ils ont ainsi pu s'assurer

que cette nouvelle technique donnait bien les mêmes résultats que les procédures précédentes.

De plus, ils ont constaté que, s'ils disposaient des résultats, cette technique était plus rapide

que les procédures utilisées précédemment (compter les carrés dessinés ou calculer le résultat

de certaines additions réitérées s'avérant plus long).

Les élèves ont aussi remarqué que des multiplications différentes pouvaient donner le même

résultat. Par exemple pour 8 tours de 3 carrés et 6 tours de 4 carrés, les multiplications

correspondantes donnent le même résultat : 24 (nombre de carrés de départ). Ils ont constaté

que d'autres multiplications donnent des résultats différents (la liste des multiplications

comprenait des multiplications autres que celles nécessaires et donnant un résultat autre que

24).

Les enfants se sont également aperçus que les opérations a x b et b x a donnaient les mêmes

résultats (commutativité de la multiplication). Toutefois, en se reportant aux dessins des tours

correspondants, ils ont constaté qu'elles ne se raccrochaient pas à la même situation.

38

Nous avons enfin déterminé l'équipe gagnante (celle qui avait trouvé le plus de solutions :

résultats exacts). Plusieurs équipes avaient trouvé toutes les solutions.

c) Troisième séance. Après un rappel par les enfants de la séance précédente, il m'a paru nécessaire de revenir sur

ce qui avait été découvert la veille avant d'élaborer une trace écrite. Les enfants m'ont

proposé, de mémoire, une des solutions trouvées au problème des tours sous la forme x tours

de y carrés. Je leur ai alors demandé de dessiner ces tours, de trouver l'addition et la

multiplication correspondantes. Ils avaient la même tâche à réaliser pour y tours de x carrés

(multiplication avec les mêmes facteurs que la première mais dans un ordre différent).

Quelques enfants avaient des difficultés à comprendre que les deux multiplications ne

correspondaient pas à la même situation alors qu'elles donnaient le même résultat. Pour les

aider, je me suis raccrochée à une image correspondant à la vie quotidienne. J'ai demandé aux

enfants s'ils aimaient mieux avoir autour de chez eux beaucoup d'immeubles de peu d'étages

ou moins d'immeubles mais avec beaucoup d'étages chacun (sachant qu'il y a autant

d'habitations dans les deux cas). Cela les a aidés à comprendre que les résultats des deux

multiplications étaient les mêmes mais que les situations correspondantes étaient bien

différentes.

Après avoir vu de nouvelles connaissances, une trace écrite s'imposait. Il s'agissait de l'objet

de cette troisième séance. J'ai choisi de faire cette dernière sous forme d'affichage afin que les

enfants puissent facilement s'y référer, dès qu'ils en ressentaient le besoin.

Cette trace écrite a été construite avec les enfants.

Elle comportait le dessin de 4 tours de 6 carrés. Les enfants ont indiqué l'addition réitérée

correspondante (permettant de trouver le nombre de carrés). Ils ont aussi formulé les deux

phrases vues précédemment : 6 carrés pris 4 fois / 6 multiplié par 4. Ils ont trouvé la

multiplication correspondante : 6 x 4. Les élèves ont remarqué que les nombres étaient

toujours indiqués dans le même ordre (d'abord 6 puis 4 dans notre exemple). Une fois la

première phrase trouvée, cela les aidait à trouver la deuxième phrase et donc la multiplication

correspondante. De la même façon, nous avons complété la trace écrite par la situation 6 tours

de 4 carrés.

Les enfants se sont ensuite penchés sur le chemin qu'ils avaient parcouru depuis le début de la

séquence. Ils ont indiqué qu'auparavant, pour trouver le nombre de carrés de toutes les tours,

39

ils auraient utilisé comme opération l'addition alors que, suite aux activités proposées, ils

pouvaient dorénavant le trouver à l'aide d'une addition ou d'une multiplication. Ils ont

également pu s'apercevoir que la multiplication permettait de trouver plus rapidement le

résultat que l'addition. Ils ont de plus précisé que, lorsque les tables de multiplication seraient

connues par coeur, la multiplication, au niveau de l'obtention du résultat recherché, serait

encore plus rapide (la connaissance des tables de multiplication n'était bien sûr pas l'objectif

de ma séquence, plutôt tournée vers la compréhension). Le fait qu'ils disposent d'une

opération supplémentaire et que cette dernière soit plus efficace a été précisé sur la trace

écrite.

Les enfants se sont également interrogés sur les comportements qui doivent être adoptés

durant la phase de mise en commun (réalisée lors de la deuxième séance). Peu habitués à ce

genre de réflexion, les enfants ont éprouvé quelques difficultés à émettre des idées. Je leur ai

donc demandé dans un premier temps ce qu'il ne fallait pas faire. En effet, il me semble plus

facile de détecter les points négatifs que ceux positifs, ceux négatifs étant ressentis dès

l'instant où ils se présentent comme une gêne. Les comportements positifs n'ont été relatés que

par la suite. Les élèves ont indiqué qu'il ne fallait pas se couper la parole et que cela s'était

produit quelques fois mais peu souvent. Ils ont également indiqué qu'il ne fallait pas parler

sans lever le doigt. Ils ont précisé ce que ces comportements induisaient (par exemple lorsque

plusieurs enfants parlaient en même temps, on ne comprenait plus ce qu'ils voulaient dire). Au

niveau des comportements positifs, les élèves ont indiqué qu'il n'y avait pas eu de hors sujet.

d) Quatrième séance. Cette séance était consacrée à des exercices d'entraînement. Il s'agissait de revoir le lien

existant entre le dessin des tours, l'addition réitérée correspondante, la multiplication

correspondante. A partir de l'un de ces trois éléments donné par l'énoncé (dessin, addition

réitérée ou multiplication), les élèves devaient donc trouver les deux autres. Ils devaient

également chercher le nombre de carrés utilisés au total. Ils pouvaient trouver celui-ci d'après

le dessin, en calculant la somme de l'addition trouvée. Je ne leur avais pas fourni les tables de

multiplication. Pour écrire le résultat de cette opération, ils devaient donc avoir compris que

compter les carrés sur le dessin, calculer la somme (addition), trouver le produit

(multiplication) donnaient le même résultat, et donc faire le lien entre ces trois procédures.

Au cours de cette séance, je voulais également reprendre la différence de situations reflétant

40

deux multiplications qui comportent les mêmes facteurs mais dans un ordre différent. J'ai

donc proposé des dessins, des additions, des multiplications entrant dans ce cadre (exemple :

dessin de 6 tours de 3 carrés et de 3 tours de 6 carrés). J'ai également mis d'autres exercices

n'incluant pas cette spécificité.

Les élèves avaient déjà constaté que la multiplication pouvait comporter moins de facteurs

que l'addition réitérée de termes (la première pouvait donc être moins longue à écrire). Ce

constat pouvait être ici renouvelé. Ils avaient également vu que l'obtention du résultat était

plus rapide dans le cas d'une multiplication que dans celui d'une addition. Je ne suis pas

revenue sur cet aspect (qui aurait impliqué de leur fournir une liste de multiplications avec

leurs résultats) mais j'ai préféré privilégier le lien entre multiplication, addition, dessin comme

nous l'avons vu ci-dessus.

Pour trouver les multiplications demandées et ne pas se tromper dans l'ordre des facteurs, j'ai

conseillé aux enfants de se reformuler les deux phrases que nous avions vues lors des séances

précédentes (x pris y fois et x multiplié par y). J'ai constaté qu'ils se sont servis de la trace

écrite élaborée lors de la troisième séance comme aide mémoire notamment à ce propos.

Les élèves ont bien réussi les divers exercices quel que soit l'élément donné par l'énoncé (le

dessin, l'addition réitérée ou la multiplication).

2) Les tours : une situation-problème? Après avoir décrit le déroulement de la séquence intitulée les tours, nous allons maintenant

l'analyser pour déterminer si elle remplit les différentes caractéristiques des situations-

problèmes, caractéristiques évoquées lors de l'étude de la classification des problèmes (et plus

particulièrement dans le passage consacré aux situations-problèmes), et donc savoir si elle

rentre ou non dans ce cadre.

a) Un découragement absent, une motivation présente. Afin d'éviter un découragement, un blocage de la part des enfants, ceux-ci doivent être mis en

confiance dès le début d'une activité relevant de la catégorie des situations-problèmes. Il faut

les persuader qu'ils sont capables de résoudre le problème auquel ils sont confrontés. Que ce

soit au début de la première séance (au cours de laquelle les élèves devaient trouver le plus de

solutions possibles pour construire des tours de même taille) ou au début de la deuxième

41

(pendant laquelle ils cherchaient si les résultats trouvés lors de la séance précédente étaient ou

non exacts), j'ai insisté sur le fait que, même si je ne leur indiquais pas comment procéder (ce

qui aura pu les désarçonner au début des phases de recherche), ils étaient capables de résoudre

le problème qui leur été posé. Je les ai mis en confiance. De plus, j'ai constitué des équipes

hétérogènes afin d'éviter un éventuel découragement (comme nous l'avons vu ci-dessus dans

le passage consacré au déroulement de la première séance). La découverte d'une première

solution lors de la séance une, même si elle était le fruit du hasard, a encouragé les enfants à

poursuivre leurs recherches. Lors de la deuxième séance, les élèves étaient d'autant plus

confiants qu'ils avaient pu constater que, même sans indications de ma part sur les procédures

pouvant être utilisées, ils avaient réussi à résoudre le problème auquel ils étaient confrontés

lors de la séance précédente.

La motivation est un élément très important notamment quand l'activité donnée est une

situation-problème. Elle a été ici assurée par le fait que l'activité a été lancée sur la base d'un

défi. Au début de la première séance j'ai indiqué aux enfants qu'à l'issue des activités, une

équipe gagnante serait proclamée. Cette dernière serait l'équipe qui aurait trouvé le plus de

solutions. L'idée même d'un gagnant est motivant pour les enfants. La motivation s'est

maintenue tout au long des phases de recherche. Les élèves, lors de la séance une, n'ont pas

arrêté leur recherche de façon prématurée en raison d'un découragement, d'une lassitude... et

ont essayé de trouver le plus de solutions possibles (construction de tours de même taille).

Lors de la phase de recherche de la séance deux, leur motivation était intacte car il s'agissait

de vérifier si leurs résultats et ceux des équipes adverses étaient ou non valides ce qui

permettrait de déterminer l'équipe ou les équipe(s) gagnante(s).

Remarque : Le maniement du matériel a été perçu comme une activité peu fréquente et

attrayante.

b) Une nouvelle notion face à des procédures initiales peu

performantes.Lors de la seconde séance, les enfants devaient vérifier l'exactitude des résultats trouvés

pendant la séance précédente et donc valider ou invalider eux-mêmes les résultats de leurs

recherches et celles de leurs camarades (validation par les enfants et non par le maître). Pour

cela, ils regardaient si le nombre total de carrés nécessaires pour construire les tours était bien

24 (nombre de carrés donnés au départ). Ils se sont tout d'abord servis du matériel (carrés)

pour effectuer cette vérification. Du matériel, ils sont passés à l'utilisation du dessin puis de

42

l'addition réitérée. Ces procédures étaient celles dont disposaient les enfants avant la séquence

et qu'ils ont donc mises en oeuvre. Si ces procédures ne sont pas erronées, les enfants ont

constaté que, pour certains des résultats à vérifier, elles pouvaient s'avérer assez longues et

que le travail pouvait rapidement devenir fastidieux (par exemple avec l'addition réitérée pour

de nombreuses tours de peu de carrés chacunes...). La rupture s'est donc créée. Les enfants

étaient à cet instant prêts à délaisser leurs procédures dans le cadre de cette activité (leurs

émergences avaient permis aux enfants de prendre conscience de leurs existences puis de

constater leurs insuffisances) au profit de la construction d'une nouvelle notion : la

multiplication.

c) Le sens. Pendant la première séance, les élèves ont cherché des solutions pour construire des tours de

même taille avec les 24 carrés. La phase de recherche ayant lieu lors de la deuxième séance

consiste à vérifier les résultats obtenus. Cette activité prend donc tout son sens, d'autant plus

qu'elle permet de déterminer le nombre de solutions (résultats exacts) trouvées par chaque

équipe et donc de déterminer l'équipe gagnante.

De plus, la nouvelle notion aura également du sens pour les enfants. En effet, comme nous

l'avons vu ci-dessus, les enfants ont mis en place des procédures permettant de vérifier les

résultats qui se sont avérées longues et fastidieuses. Une nouvelle notion qui permettrait de

résoudre le problème posé sans avoir ces inconvénients prendrait donc tout son sens pour les

enfants. C'est le cas de la multiplication, qui est bien la procédure la plus adaptée pour

résoudre le problème. L'intérêt de la multiplication est à nouveau constaté et rappelé lors des

séances suivantes notamment lors de l'élaboration de la trace écrite.

d) La métacognition. Un travail de métacognition a eu lieu notamment lors de la troisième séance.

Les enfants ont réfléchi sur l'évolution de leurs procédures. Ils ont indiqué qu'ils disposaient à

présent d'un outil supplémentaire : la multiplication. Ils ont précisé que l'addition (réitérée)

pouvait toujours être utilisée mais qu'ils avaient maintenant d'un outil plus efficace : la

multiplication. Ils ont ainsi pu mesurer le chemin qu'ils avaient parcouru. Le produit de cette

réflexion a été noté dans la trace écrite.

Remarque : La trace écrite fait également référence au lien entre dessin, addition réitérée et

43

multiplication, à la distinction des situations traduites par les multiplications axb et bxa. Elle a

été élaborée par les enfants. Ils s'en sont servis par la suite comme aide mémoire.

Les élèves se sont également demandé quels comportements devaient être adoptés lors des

phases de mise en commun. Comme nous l'avons déjà évoqué, ils ont précisé qu'il ne fallait

pas se couper la parole, parler tous en même temps et s'exprimer en dehors du sujet traité.

e) Le travail en équipe. Les enfants ont eu l'occasion, au cours de la séquence, de se retrouver par deux dans le cadre

d'équipes. Comme je l'ai expliqué dans le passage consacré au déroulement des séances, j'ai

choisi de ne pas laisser les enfants travailler de façon individuelle dans les phases de

recherche afin d'éviter notamment tout sentiment de découragement.

Le travail à plusieurs a également d'autres intérêts. En effet, les membres d'une même équipe

(comme ceux d'un même groupe) peuvent confronter leurs idées, en discuter... De plus, le

nombre d'idées formulées par une équipe est souvent supérieur à la somme des idées des

individus travaillant séparément car en les confrontant, en les exposant, cela en fait jaillir de

nouvelles...

Les équipes ne comprenaient que deux membres chacune. Je n'ai pas pu augmenter

légèrement le nombre d'élèves par équipe car la classe était à double niveau et ne comprenait

qu'une minorité d'enfants de CE1, ce qui aurait entraîné un nombre d'équipes trop faible et par

conséquent peu de procédures différentes (procédures retenues par chaque groupe après débat

d'idées à l'intérieur de l'équipe) à confronter lors des mises en commun.

f) Conclusion. La situation mise en place a donc bien les caractéristiques des situations-problèmes.

Je n'ai pas fait référence à la quatrième séance lors de son analyse, cette séance étant

consacrée à des exercices d'entraînement qui visaient une meilleure maîtrise de la notion

construite lors des séances précédentes.

Au cours de la séquence reposant sur le jeu des voyageurs, j'avais tendance à guider les élèves

dans la réalisation des activités. J'ai essayé, lors de la situation intitulée “les tours”, de

modifier ma pratique et de laisser plus de libertés aux enfants.

44

Conclusion

Ce mémoire m'a permis d'aborder la notion de situations-problèmes sous deux angles

différents. Mes diverses lectures m'ont apporté un contenu théorique relatif aux situations-

problèmes, notion pour laquelle j'avais des difficultés à cerner les contours. J'ai ainsi pu

dégager les caractéristiques de ces activités qui sont rattachées au socioconstructivisme et en

donner une définition. En cherchant à distinguer les situations-problèmes d'autres types

d'activités présentes dans le domaine des mathématiques (découvrir le monde en maternelle),

j'ai eu l'occasion de revoir les critères se rattachant à ces dernières.

De plus, lors de mes stages responsabilité, j'ai mis en place des situations-problèmes aux

cycles 1 et 2 de l'école primaire, ce qui m'a permis d'avoir un éclairage de ce concept au

niveau pratique. En ce qui concerne la préparation des séquences incluant des situations-

problèmes, j'ai réussi au fil de l'année à prendre de plus en plus de distance avec les ouvrages

proposant de telles situations. De plus, lors du premier stage responsabilité, la situation-

problème que j'avais élaborée avait pour objectif que les enfants développent leurs

connaissances (par exemple des constellations...) et apprennent à se servir du dénombrement,

du subitizing, des constellations, de l'écriture chiffrée des nombres, de la file numérique... afin

que ces derniers deviennent des outils. Lors du second stage responsabilité, j'ai souhaité aller

au-delà en abordant une nouvelle notion (la multiplication). La mise en place de ces activités

en classe s'est bien déroulée, les enfants étaient motivés et les objectifs ont été atteints. Je

souhaite dorénavant compléter cette expérience positive par la mise en place de problèmes

centrés quant-à-eux sur le développement des capacités à chercher : les problèmes ouverts.

45

Annexes

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Jeu des voyageursFiches d’observation d’un élève.

Séance 1

Prénom de l’enfant: Agathe

Subitizing :

Reconnaît la quantité 3 Reconnaît la quantité 2

X X

Constellations :Reconnaît les constellations :

1 2 3 4 5 6

X X X X X

Comptine numérique et dénombrement :

Récite la comptine

numérique jusqu’à:

Dénombrement

réussi

Prend le nombre

d’objets demandés

Remarques

éventuelles18 X X

Ecriture chiffrée des nombres :

Nombres

reconnus

Sait prendre le

nombre

d’objets

indiqué par

l’étiquette

Sait écrire les

nombres

suivants

Sait utiliser la

file numérique

pour écrire un

nombre

Remarques

éventuelles

1, 2, 3, 4, 5 X 1, 2, 3 4 et 5 écrits à

l’envers

47

Séance 2

1ère phase: plusieurs voyages autorisés

Prénom de l’enfant: Agathe

Référence de la plaque mise dans le car: difficile

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant d’aller chercher les voyageurs:

Elle compte les places vides. Elle commet des erreurs (elle annonce 23 places libres au lieu de 17 car

elle recompte à la fin des places déjà comptées au début).

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant lorsqu’il va chercher les voyageurs:

Elle prend plusieurs voyageurs sans les compter (elle les prend 1 à 1 mais ne les compte pas). Elle ne

tient pas compte du nombre de places vides qu’elle avait annoncé.

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur le quai:

Elle dit qu’elle ne sait pas s’il y a autant de voyageurs que de places libres et qu’elle ne sait pas

comment faire pour le vérifier.

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur les places libres (dans le car):

Elle se rend compte qu’il manque 1 voyageur.

Le 2ème voyage éventuel:

Elle va chercher le voyageur manquant et le place sur la grille. Elle dit que « c’est bon ».

48

Séance 2

2ème phase: un seul voyage autorisé

Prénom de l’enfant: Agathe

Référence de la plaque mise dans le car: difficile

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant d’aller chercher les voyageurs:

Elle compte les places libres mais commet une erreur. En effet elle compte 2 fois une place libre et dit

qu’il y a 17 places libres alors qu’il n’y en a que 16.

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant lorsqu’il va chercher les voyageurs:

Elle compte les voyageurs. Elle en prend 17.

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur le quai:

Je lui demande comment elle peut être sûre qu’elle a pris autant de voyageurs que de places libres, pas

plus, pas moins. Elle répond qu’elle est sûre d’avoir pris ce qu’il fallait de voyageurs car elle avait

compté les places libres et les voyageurs (elle ne procède pas à un nouveau comptage).

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur les places libres (dans le car):

Elle voit son erreur (17 voyageurs à la place de 16). Elle doit que « ce n’est pas bon et qu’il y a 1

voyageur de plus ».

Elle ne sait pas quand elle a pu se tromper. Je lui indique que l’erreur a eu lieu lorsqu’elle comptait les

places libres (1 comptée 2 fois).

49

Séance 3

Prénom de l’enfant: Agathe

Référence de la plaque mise dans le car: constellation 5 (1ère fois)

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant d’aller demander les voyageurs à son camarade:

Elle reconnaît la constellation (5).

Demande orale des voyageurs et réaction de l’enfant chargé d’y répondre:

Elle demande 5 voyageurs à Corentin. Il lui en donne 5.

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur le quai:

Je lui demande que pourrait-elle faire pour savoir si elle a juste ce qu’il faut de voyageurs. Elle

recompte les places vides et compte les pions et dit que « ça va ».

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur les places libres (dans le car):

Elle confirme son hypothèse.

Séance 3

Prénom de l’enfant: Agathe

Référence de la plaque mise dans le car: constellation 4 (2ème fois)

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant d’aller demander les voyageurs à son camarade:

Elle reconnaît la constellation (4).

Demande orale des voyageurs et réaction de l’enfant chargé d’y répondre:

Elle demande 4 voyageurs à Corentin qui ne lui en donne que 3 (erreur dans le comptage).

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur le quai:

Elle constate par subitizing qu’il n’y a que 3 voyageurs et dit que « ça ne va pas ».

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur les places libres (dans le car):

Elle confirme son hypothèse. Elle ajoute qu’il manque 1 voyageur et pense à juste titre que Corentin

s’est trompé.

50

Séance 3

Prénom de l’enfant: Agathe

Référence de la plaque mise dans le car: subitizing 3 (1ère fois)

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant d’aller demander les voyageurs à son camarade:

Elle reconnaît la quantité 3 par subitizing.

Demande orale des voyageurs et réaction de l’enfant chargé d’y répondre:

Elle demande 3 voyageurs à Corentin. Ce dernier lui donne plusieurs pions sans les compter (5).

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur le quai:

Agathe dit que « ça ne va pas car il y a plein de voyageurs ».

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur les places libres (dans le car):

Elle confirme son hypothèse. Elle constate qu’il y en a 2 de trop et pense que Corentin a commis une

erreur.

Séance 3

Prénom de l’enfant: Agathe

Référence de la plaque mise dans le car: subitizing 2 (2ème fois)

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant d’aller demander les voyageurs à son camarade:

Elle reconnaît la quantité 2 par subitizing.

Demande orale des voyageurs et réaction de l’enfant chargé d’y répondre:

Elle demande 2 voyageurs à Corentin qui donne à nouveau des pions sans chercher à respecter la

quantité demandée.

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur le quai:

Elle dit qu’elle a trop de voyageurs.

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur les places libres (dans le car):

Elle confirme son hypothèse.

51

Séance 4

Prénom de l’enfant: Agathe

Chaque enfant joue 3 fois. Il s’agit ici de la 1ère fois.

Référence de la plaque mise dans le car: 5 places vides.

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant de demander par écrit les voyageurs dont il a besoin:

Elle compte les places vides sans erreur (5).

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant lorsqu’il indique par écrit les voyageurs dont il a besoin:

Agathe dispose d’un grand papier et représente les 5 places vides (elle dessine 5 carrés les uns à côté

des autres).

Réaction de l’enfant chargé de préparer la commande du joueur:

Morgane donne 5 pions (correspondance terme à terme avec les carrés dessinés par Agathe).

Réaction du joueur lorsqu’il place les voyageurs sur le quai:

Dans un premier temps, Agathe ne sait pas comment procéder pour vérifier si elle a juste ce qu’il faut

de voyageurs. Puis elle compte les pions représentant les voyageurs sur proposition d’un autre enfant.

Elle dit que « c’est bon ».

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur les places libres (dans le car):

Elle place les voyageurs sur les places libres et dit qu’il n’y a pas d’erreur.

52

Séance 4

Prénom de l’enfant: Agathe

Chaque enfant joue 3 fois. Il s’agit ici de la 2ème fois.

Référence de la plaque mise dans le car: 3 places vides.

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant de demander par écrit les voyageurs dont il a besoin:

Elle trouve le nombre de places vides par subitizing (3).

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant lorsqu’il indique par écrit les voyageurs dont il a besoin:

Agathe dispose d’un petit papier. Elle commence par représenter les places vides. Elle s’aperçoit

qu’elle manque de place. Je lui demande alors comment elle pourrait faire. Un autre enfant propose

d’écrire le nombre de places vides. Elle écrit alors le nombre 3 sans erreur et sans se servir de la file

numérique.

Réaction de l’enfant chargé de préparer la commande du joueur:

Morgane ne réalise pas qu’il s’agit de l’écriture chiffrée d’un nombre et pense que c’est à nouveau un

dessin. Elle donne 2 pions (2 demi-ronds formés par le 3).

Réaction du joueur lorsqu’il place les voyageurs sur le quai:

Agathe dit très rapidement que « ce n’est pas bon ». Elle constate par subitizing qu’il n’y a que 2

voyageurs.

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur les places libres (dans le car):

Elle place les voyageurs sur les places libres et dit que « ce n’est pas bon ». Elle pense à juste titre que

c’est Morgane qui a commis une erreur.

53

Séance 4

Prénom de l’enfant: Agathe

Chaque enfant joue 3 fois. Il s’agit ici de la 3ème fois.

Référence de la plaque mise dans le car: 4 places vides.

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant de demander par écrit les voyageurs dont il a besoin:

Elle compte les places vides sans erreur (4).

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant lorsqu’il indique par écrit les voyageurs dont il a besoin:

Agathe dispose d’un petit papier et écrit de sa propre initiative le nombre 4 (file numérique non

utilisée).

Réaction de l’enfant chargé de préparer la commande du joueur:

Morgane reconnaît cette fois-ci qu’il s’agit de l’écriture chiffrée d’un nombre et indique qu’il s’agit du

nombre 4 (non utilisation de la file numérique). Toutefois, elle donne 5 pions.

Réaction du joueur lorsqu’il place les voyageurs sur le quai:

Agathe compte les pions et indique que « ce n’est pas bon » car il y a 5 pions.

Réaction de l’enfant lorsqu’il place les voyageurs sur les places libres (dans le car):

Elle place les voyageurs sur les places libres et dit que « ce n’est pas bon ». Elle indique qu’il y a 1

voyageur en trop.

54

Séance 5

Prénom de l’enfant: Agathe

Les enfants ont 3 fiches différentes. Il s’agit ici de la 1ère.

Nombre de places libres: 4

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant d’aller chercher la bande représentant les voyageurs:

Agathe compte les places libres sans erreur (4).

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant face aux enveloppes contenant les bandes:

Agathe reconnaît l’écriture chiffrée du nombre 4. Elle prend une bande avec 4 voyageurs.

Réaction de l’enfant lorsqu’il place la bande sous le car:

Elle compte les voyageurs et les places vides, trouve le même nombre et en conclut qu’elle n’a pas

commis d’erreur (elle colorie le bonhomme souriant).

55

56

Séance 5

Prénom de l’enfant: Agathe

Les enfants ont 3 fiches différentes. Il s’agit ici de la 2ème.

Nombre de places libres: 2

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant d’aller chercher la bande représentant les voyageurs:

Agathe compte les places libres sans erreur (2).

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant face aux enveloppes contenant les bandes:

Agathe reconnaît l’écriture chiffrée du nombre 2. Elle prend une bande avec 2 voyageurs.

Réaction de l’enfant lorsqu’il place la bande sous le car:

Elle reconnaît par subitizing la quantité 2 au niveau des voyageurs (bande) et du car. Elle pense donc

ne pas avoir commis d’erreur (elle colorie le bonhomme souriant).

57

58

Séance 5

Prénom de l’enfant: Agathe

Les enfants ont 3 fiches différentes. Il s’agit ici de la 3ème.

Nombre de places libres: 5

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant avant d’aller chercher la bande représentant les voyageurs:

Agathe compte les places libres sans erreur (5).

Procédure(s) utilisée(s) par l’enfant face aux enveloppes contenant les bandes:

Agathe reconnaît l’écriture chiffrée du nombre 5. Elle prend une bande avec 5 voyageurs.

Réaction de l’enfant lorsqu’il place la bande sous le car:

Elle compte les places libres du car. Elle ne compte pas les voyageurs (bande) mais indique qu’elle a

pris l’enveloppe sur laquelle se trouvait le nombre 5. Elle en conclut qu’elle n’a pas commis d’erreur

(elle colorie le bonhomme souriant).

59

60

Séance 6

Test final

Prénom de l’enfant: Agathe

Subitizing :

Reconnaît la quantité 3 Reconnaît la quantité 2

X X

Constellations :Reconnaît les constellations :

1 2 3 4 5 6

X X X X X X

Comptine numérique et dénombrement :

Récite la comptine

numérique jusqu’à:

Dénombrement

réussi

Prend le nombre

d’objets demandés

Remarques

éventuelles27 X X

Ecriture chiffrée des nombres :

Nombres

reconnus

Sait prendre le

nombre

d’objets

indiqué par

l’étiquette

Sait écrire les

nombres

suivants

Sait utiliser la

file numérique

pour écrire un

nombre

Remarques

éventuelles

1, 2, 3, 4, 5 X 1, 2, 3, 4, 5 6 écrit à

l’envers

61

Bibliographie

Gérard de Vecchi, Nicole Carmona-Magnaldi. Faire vivre de véritables situations-problèmes.

Hachette éducation. 2002

Roland Charnay, Michel Mante. Préparation à l’épreuve de mathématiques du concours de

professeur des écoles, tome I. Hatier pédagogie. 1995

Ermel, Institut National de Recherche Pédagogique. Apprentissages numériques et résolution

de problèmes, cycle des apprentissages fondamentaux GS. Hatier. 2003

Ministère de l’Education nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche, Direction

de l’enseignement scolaire. Documents d’accompagnement des programmes, mathématiques,

école primaire. SCEREN [CNDP]. 2005

62

SITUATIONS-PROBLEMES EN MATHEMATIQUES :

DEFINITION

DES EXEMPLES DE MISE EN PLACE AUX CYCLES 1 ET 2 DE

L’ECOLE PRIMAIRE

Résumé :Ce mémoire porte sur les situations-problèmes en mathématiques. Après avoir rappelé les

différents types de problèmes existants, il donne une définition de cette notion qui se rattache

au socioconstructivisme et précise ses caractéristiques. Chacune d'elles fait l'objet d'une

présentation plus détaillée. Ce concept est ensuite illustré par la mise en place aux cycles 1 et

2 de l'école primaire de deux situations dont le déroulement est décrit et les séquences

correspondantes analysées au regard des particularités des situations-problèmes.

Mots clés :– Situations-problèmes en mathématiques.

– Définition.

– Mise en place.

– Cycle 1.

– Cycle 2.

63