Sistemas de Coordenadas y Vectores

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Captulo 1

Anlisis vectorial

1.1. Sistemas de coordenadasEn este curso se hace un uso intenso de tres sistemasde coordenadas: cartesianas, cilndricas yesfricas. Naturalmente estos sistemas sern de utili-dad en situaciones fsicas con simetras rectangular, ciln-drica y esfrica. Veremos en esta seccin su definicin yalgunos resultados de inters que siguen de estas defini-ciones.

1.1.1. Coordenadas cartesianas

AAy

x

Az

X

Y

X

yz^

^

^x

{{ {AFigura 1.1: Sistema de coordenadas cartesianas.

Para describir vectores en este sistema de coordenadasse introduce la triada de vectores unitarios

x y z a lolargo de las direcciones de los ejes cartesianos. Un vec-tor cualquiera A tiene proyecciones a lo largo de lasdirecciones asociadas a dichos vectores unitarios. Estasproyecciones o componentes se denotan: Ax Ay y Az y el-las se obtienen mediante el producto punto entre el vector

A y el vector unitario asociado:

Ax A xAy A yAz A z

En este sistema entonces un vector cualquiera A se es-cribe:

A

Axx Ayy Azz

y su norma, definida como la raiz cuadrada del productopunto del vector consigo mismo (ver nota1), es

A

A2x A2y A2z

Un caso particular es el del vector de posicin

r asociadoa un punto: la posicin de un punto en este sistema estdefinida por la triada de coordenadas

x y z y en conse-cuencia, el vector de posicin queda dado por:

r

xx yy zz

En este caso se tiene:

rx

r x

x

ry

r y

yrz

r z

z

y su norma es:

r

r

r

x2 y2 z2

1.1.2. Coordenadas cilndricasEl sistema de coordenadas cilndricas estbasado en la geometra del cilndro. Se ubica un cilndroimaginario con su eje axial concntrico al eje z de un sis-tema de coordenadas cartesiano.

1El producto punto entre dos vectores A y B es A B AxBx AyBy AzBz)

1

230017 Electromagnetismo. Ingeniera de Ejecucin en Electricidad 2

Z

X

Y

A

Z

^Z

^^^

Figura 1.2: Sistema de coordenadas cilndricas.

Un punto se define sobre este cilindro por una coordena-da de altura z (la altura del cilndro), una coordenada dedistancia radial (el radio del cilindro) y una coordenadade posicin angular (el ngulo que substiende el puntorespecto del eje x, medido a lo largo de la superficie delcilindro). A lo largo de las direcciones en que crecen , y z se definen vectores unitarios , y z.Este sistema est definido entonces por la triada de co-ordenadas

z , y por los correspondientes vectoresunitarios asociados

z (ver Fig. ??).En estas coordenadas las variables , y z varan entre:

: 0 : 0 2piz :

Un vector cualquiera A tendr proyecciones sobre las di-recciones definidas por dichos vectores unitarios. Los val-ores de dichas proyecciones (las componentes del vector)se denotan correspondientemente por A , A y Az (verFig ??). Ellos se obtienen de la manera usual:

A A A A Az A z

Un vector cualquiera se escribe en consecuencia:

A

A A Azz

y su norma es

A

A A

A2 A2 A2z .

En el caso particular del vector de posicin (que natural-mente parte del origen del sistema de coordenadas y por lo

tanto tiene slo componentes a lo largo del plano definidopor y z)

X

Y

Z

Zr

se tiene:

r

zzy su norma es:

r

2 z2.Destacamos nuevamente que el vector de posicin

r no

tiene componente o proyeccin sobre el vector unitario (esto es

r

0), pero un vector cualquiera A si podratenerla (esto es A

0).Proyectando

sobre los ejes OX y OY del sistemade coordenadas cartesiano asociado se obtiene la transfor-macin de coordenadas que nos lleva de las coordenadascilndricas a las cartesianas:

x

cosy

sinz

z

Prof. Dino E. Risso, Departamento de Fsica, Facultad de Ciencias, Universidad del Bo-Bo.


X

Y

Z

y usando que tan

y x y que 2

x2 y2 sigue que,para el primer cuadrante, la transformacin inversa en elcaso del I cuadrante es:

arctan

y x

x2 y2

z

z

Hay que tener cierto cuidado para otros cuadrantes, puespor ejemplo en el caso del tercer cuadrante, donde ambosx e y son negativos, el cociente y x da el mismo valor quepara el primer cuadrante y la transformacin anterior noresulta vlida. En este caso se tiene:

arctan

y x pi

x2 y2

z

z

1.1.3. Coordenadas esfricasEl sistema de coordenadas esfricas es muy sim-ilar al sistema de coordenadas que permiten ubicar unpunto geogrfico sobre la superficie de la Tierra. Se de-fine una superficie esfrica imaginaria de radio r, concn-trica al origen de un sistema de coordenadas cartesiano.La distancia de un punto en la superficie al origen es lacoordenada r. La ubicacin del meridiano que contieneel punto se realiza mediante un ngulo medido, en elplano de las XY, a lo largo de la interseccin de la superfi-cie esfrica con el meridiano. Finalmente la ubicacin delparalelo que determina la ubicacin del punto se realizamediante un ngulo azimutal medido desde el eje z hastael punto mismo a lo largo del meridiano que lo contiene(ver Fig. ??).

f

f^

f^

{

X

Y

Z

q q^

r

r

r

^

Figura 1.3: Sistema de coordenadas esfricas.

Para describir vectores en este sistema de coordenadasse asigna una triada de vectores unitarios

r a lolargo de las direcciones en que crecen r, y . Un vectorcualquiera A tiene proyecciones sobre dichos ejes que sedenotan Ar A y A respectivamente.

Ar A rA A A A

De modo que dicho vector se escribe:

A

Ar r A A

y su norma es:

A

A2r A2 A2 .

Un punto en dicho sistema de coordenadas queda determi-nado por las coordenadas de posicin

r . Si embargoel vector de posicin mismo queda dado simplemente porla expresin:

r

rr

ya que dicho vector no tiene componentes a lo largo delas direcciones ni . La norma del vector posicin essimplemente:

r

r2

r.

En estas coordenadas las variables r, y varan entre:r : 0 : 0 2pi : 0 pi



La transformacin que nos lleva de las coordenadas es-fricas a las cartesianas es:

x

r sin cos (1.1)y

r sin sin (1.2)z

r cos (1.3)como sigue del hecho que la proyeccin del vector deposicin

r sobre el plano de las XY es r sin (ver figu-ra).

{ { { {r sin sinq fr sin sinq

r sin cosfq

r cosq

r sinq

q {r

X

Z

Y

Figura 1.4: componentes cartesianas en funcion de lasvariables esfricas.

Dependiendo del signo de x y y z, hay ocho sectores de-nominados octantes. En el primer octante (x t0, y 0,x 0) la transformacin inversa es:

arctan

y x

r

x2 y2 z2

arccosz

x2 y2 z2

y al igual que en el caso cilndrico hay que tener los corre-spondientes cuidados de diferencia ngular al calcular en otros octantes.

1.1.4. Elementos infinitesimales de reaA partir de los resultados expuestos es posible deducir ele-mentos de superficie dS para algunas situaciones geomet-ricas y que sern de utilidad en este curso:

Elemento de superficie sobre un disco plano. Co-mo se aprecia en la figura dS

largo ancho

d

d

d d .

{{ {rr

ds

d

=rdrdf

r

df

df

Elemento de superficie sobre el manto de un cilin-dro. Como se aprecia en la figura dS

alto ancho

dz

d

d dz.

Z

Y

X

{df

{rdf

f

{ r

{

d Z

ds=r ddf Z

Elemento de superficie sobre la superficie curvade una esfra. Como se aprecia en la figura dS

r sind r d

r2 sin d d .



{r sinqq

ds = r sin d d2

q q f

dq{r

{r dq

df{

Z

X

Y

1.1.5. Elementos infinitesimales de volumenA partir de los elementos infinitesimales de superficie (verfiguras previas) se pueden obtener elementos infinitesi-males de volumen para cada sistema de coordenadas. Es-tos son:

dV

dxdydz cartesianasdV

d d dz cilndricasdV

r2 sin dr d d esfricas

{{ {

{

{{

dx

x

dz

z

y dy

dv = dx dy dz

Figura 1.5: Elemento de volumen en cartesianas

ds=r ddf Z

dv = ds dl = d d dzr r f

{ dr

Figura 1.6: Elemento de volumen en cilndricas

dr

r dq

sin dr q f

Figura 1.7: Elemento de volumen en esfricas



Ejemplo:1. Clculo del volumen de un cilindro de radio R y

altura h.

Vol

dV

d d dz

z h

z 0

2pi

0

R

0 d d dz

z h

z 0

2pi

0R2

2d dz

z h

z 0

R2

22pi dz

hR2

22pi dz

piR2h

es decir es el rea de un circulo de radio R por laaltura h.

2. Clculo del volumen de una esfra de radio R.

Vol

dV

r2 sin dr d d

r R

r 0

2pi

0

pi

0r2 sin dr d d

r R

r 0

2pi

02r2 dr d

r R

r 04pir2 dr

43piR

3

que efectivamente es el volumen de una esfra.

3. Ejercicio propuesto. Calcule el volumen de un cas-carn esfrico de radio interior R y de grosor R.Demuestre, a partir de su resultado obtenido va in-tegracion, que para R muy pequeo, dicho volumenes aproximadamente: 4piR2R. Deduzca a partir deeste resultado (considerando que dicho volumen esaproximadamente superficie por grosor) cul sera lasuperficie de una esfra de radio R.

1.1.6. Elementos diferenciales de caminoPor ultimo a cada elemento de volumen se le puede aso-ciar un vector desplazamiento infinitesimal d

r. Este ele-mento de camino es el que interviene en (i) el clculo deltrabajo que realiza una fuerza para mover un punto ma-terial desde un lugar a otro (ver nota 2) as como en (b)

2NOTA: Ejemplo de clculo de trabajo: Considere la fuerza

F F0x2yL3 x F0

xyL2 y que acta sobre una partcula que se mueve sobre

el clculo de la diferencia de potencial entre dos puntos(materia que Ud. vi en el curso Fsica I). En esos clcu-los aparecen integrales de camino de la forma (ver nota3):

F d

r

En estas integrales figura el elemento vectorial de caminod

r (o vector desplazamiento infinitesimal). Revisemos co-mo se escriben los elementos de camino en los tres sis-temas de coordenadas descritos anteriormente:

Elemento de camino en coordenadas cartesianas: Dela Fig. ?? es directo apreciar que:

d

r

dxx dyy dzz

{

{

{

{ {{

X

Z

Y

dzdx

dy

XY

Z

Figura 1.8: Elemento de camino en coordenadas carte-sianas.

una trayectoria parablica dada por y Kx2, partiendo desde el origenA 0 0 hasta una posicin final B L KL2 . Determine el trabajo que re-aliza sta fuerza sobre la partcula.Solucin: Como y Kx2 sigue que dy 2Kxdx. Luego d

r dxx

dyy dxx

2Kxdxy. La fuerza evaluada sobre la trayectoria es:

F F0x2 Kx2

L3x

F0x Kx2

L2y

F0K 1L3

x4 x

1L2

x3y

El trabajo resulta:WBA F d r

F0K 1L3

x4 x

1L2

x3 y

dxx

2Kxdxy

F0K 1L3

L

0x4dx

1L2

L

02Kx4dx

F0KL2

5 1 2KL

3NOTA: Tambin aparecen integrales de camino en el clculo deotras cantidades de inters para este curso tales como la diferencia depotencial elctrico, y la fuerza electromotriz o f.e.m. debida a campos deinduccin magntica variables generados por cables que llevan corriente



Elemento de camino en coordenadas cilndricas: Dela Fig. ?? es directo apreciar que:

d

r

d d dzz

r fd

{dz

dr

Figura 1.9: Elemento de camino en coordenadas cilndri-cas.

Elemento de camino en coordenadas esfricas De laFig. ?? es directo apreciar que:

d

r

dr r r sin d r d

dr

r dqsin dr q f

Figura 1.10: Elemento de camino en coordenadas esfrias.

Ejercicios:1. Clculo de trabajo: Considere una partcula que

se mueve en crculo bajo la fuerza tangencial

F

F0

2pi (una especie de fuerza elstica en que la

deformacin es proporcional al ngulo). Calcule eltrabajo para mover la partcula desde

0, hasta

B.Indicacin: Introduzca el elemento de camino en co-ordenadas cilndricas y calcule la integral de trabajo.

2. Calculo de trabajo: Una partcula se mueve sobreuna curva espiral descrita por

x

Rcosy

Rsinz

h2pi

en que es el ngulo de giro en coordenadas ciln-dricas, y

R el radio de cilindro en estas mismascoordenadas. La curva sube en h en una vuelta (comose puede ver a partir de la transformacin de coorde-nadas cuando cambia en 2pi .)Sobre la partcula acta una fuerza:

F

F0 sin 2pi

h z y.Calcule el trabajo que realiza esta fuerza sobre lapartcula al cabo de n vueltas.Indicacin: Use coordenadas cartesianas (ya que lafuerza est en cartesianas) pero introduzca que d

r

dxx dyy dzz

Rsin x Rcos y h2pi dzz co-mo sigue de diferenciar las ecuaciones que describenla curva espiral, esto es:

dx

Rsin ddy

Rcos ddz

h2pi

d

y reemplaze en la expresin para el trabajo. Calculeexplcitamente la integral.Indicacin: Si ud opta por usar coordenadas ciln-dricas (ya que la curva est descrita en coordenadascilndricas), entonces haga uso de que y

sin cos , e introduzca esto en su expresin para lafuerza, y luego realize los productos punto e integre.Por entregar el producto punto un valor escalar suresultado no debe depender de que sistema de coor-denadas utiliza para evaluarlo.



1.2. Repaso: Resultados impor-tantes de algebra vectorial

En este curso se requiere ciertos conocimientos previosdel algebra vectorial, que normalmente se revisan en uncurso de Fisica I (alias Mecnica de la partcula). En estaseccin y como repaso recordarmos como se definen estosproductos cuando los vectores se escriben en sistemas decoordenadas cartesianas, y algunas propiedades (que Ud.debe preocuparse de saber demostrar) que siguen de estasdefiniciones.

1.2.1. Producto escalar o producto punto:

A

B

Se mezclan dos vectores para obtener un escalar. Se definemediante:

A

B

AxBx AyBy AzBz (1.4)Este producto es conmutativo:

A

B

B A

El mdulo del producto punto se relaciona con los mdu-los de cada uno de los vectores que intervienen y el cosenodel ngulo que substienden entre ellos:

A

B

A

B

cos

1.2.2. Producto vectorial o producto cruz:

A

B

Aqu se mezclan dos vectores para obtener un nuevo vec-tor. Una receta mnemotcnica prctica que da un resultadoequivalente a la definicin formal es la que hace uso deldeterminante de una matriz de 3 3 en que las filas sonconstruida con los vectores unitarios

x y z , las compo-nentes cartesianas del vector A y las componentes carte-sianas del vector

B:

A

B det

x y zAx Ay AzBx By Bz

(1.5)

AyBz ByAz x

AxBz BxAz y

AxBy BxAy z

Propiedades

El producto cruz es anti-conmutativo

A

B

B A

El mdulo de vecA

B se relaciona con los mdulosde cada uno de los vectores que intervienen y el senodel ngulo que substienden entre ellos:

A

B

A

B

sin

Una propiedad que sigue de lo anterior es:

A A

0

Lo mismo ocurre para el producto cruz de dos vec-tores paralelos.

1.2.3. EjerciciosDemuestre, usando las definiciones ?? y ?? del productoescalar y producto vectorial, que:

A

B

A

B (1.6)A

B

B A (1.7)A A

0 (1.8)A

B C

A

B C (1.9)

A

B C

A C

B

A

B C (1.10)

1.3. Nociones de Campo Escalar yCampo Vectorial

1.3.1. Campo EscalarEntenderemos por un campo escalar a una aplicacin de 3

. Es decir una aplicacin que combina 3 valoresreales para dar 1 valor real.Para los efectos prcticos de este curso un campo es-calar es una funcin real cuyo valor depende del punto

r

x y z del espacio de coordenadas que se considere:

f

r

f x y z coordenadas cartesianasf

r

f z coordenadas cilndricaso

f

r

f r coordenadas esfricasEjemplos familiares de campo escalar son la temperatu-ra sobre la superficie del globo terrqueo T

T

r ,de la cual nos informamos diariamente en los programassobre el clima en televisin. En esos mismos programasse habla de zonas de presin alta y baja. Asociado a el-los estn el campo de presin p

p

r que tambines un escalar. En estos ejemplos las coordenada r tomael valor de radio terrestre y las coordenadas y son



la localizacin geogrfica de un punto sobre la superficieterrestre.Otros campos escalares importantes son:

la densidad de nmero n

n

r definida co-mo la cantidad de partculas dN que hay por unidadde volumen dV del espacio:

n

n

x y z

lmV 0

NV

dNdV

X

Y

Z

Figura 1.11: Densidad de masa. Elemento de masa y devolumen.

la densidad de masa m, definida como la can-tidad de masa que hay por unidad de volumen dV delespacio:

m m

x y z

lmV 0

MV

dMdV

un campo escalar importante en este curso esla densidad de carga elctrica, definidacomo la cantidad de carga dQ que hay por unidad devolumen dV del espacio:

q q

x y z

lmV 0

QV

dQdV

Que estas funciones son campos se aprecia porque ellastoman distinto valor dependiendo de la posicin

r del es-pacio que se considere.

Ejemplos y ejerciciosCampo que vara uniformemente con la direccinx. Considere un campo escalar f cuya dependenciaen

x y slo se da a travs de la variable x. Veamosuna grfica de dicho campo escalar. En la grfica lasdensidades ms bajas se representan en colores ms

oscuros y las densidades ms altas en colores msclaros:

f x y

x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Campo escalar que vara tanto con x como con y.Un campo que vara lo largo de planos inclinados en45o respecto del eje y:

f x y

x y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

La densidad del aire que rodea la tierra puede de-scribirse en coordenadas esfricas aproximadamentepor una expresin de la forma:

m

r

0e r RT L

en que RT 6400 [km] es el radio terrestre, y L esuna distancia caracterstica en que varia la densidad.Considere que L 10 [km] y evalue cuanto dismin-uye la densidad a una distancia de 1 radio terrestresobre la superficie del suelo.

El campo de temperatura en torno a un cable calienterecto, ubicado a lo largo del eje z y sometido atemperatura T0, calienta el espacio en torno de l.Este calentamiento est dado aproximadamente por



la siguiente expresin evaluada en un cierto instantede tiempo:

T

r

T0e 2

L2

T0e

x2 y2L2

La longitud L es una funcin del tiempo que mide ladistancia caracterstica que ha alcanzado a calentar elcable en torno de l. Un grfico de la distribucin detemperatura en torno al cable corresponde a la sigu-iente figura, para el caso L

1:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

La figura siguiente corresponde a un las curvasde iso-temperatura (misma temperatura) en coorde-nadas cilndricas:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1.3.2. Campos vectorialesEntenderemos por campo vectorial a una funcin de

3 3

. Es decir una aplicacin que combina 3 valores realespara dar 3 valor reales.Para los efectos prcticos de este curso un campo vectori-al es una funcin vectorial cuyo valor depende del punto

r

x y z del espacio que se considere. Por ejemplo encoordeandas cartesianas:

f

r

f x y z

fx

x y z x fy

x y z y fz

x y z z

Note que a partir de la definicin anterior queda claro queun campo vectorial tiene por componentes 3 campos es-calares (en este caso los campos fx fy y fz).Similarmente si el campo vectorial est descrito en coor-denadas cilndricas:

f

r

f z

f

z f

z fz z zy similamente si est descrito en coordenadas esfricas:f

r

f r

fr

r r f

r f

r

EjemplosUn ejemplo familiar de campo vectorial es el campo develocidades de un fludo. La figura de a continuacinmuestra el caso del llamado flujo de Poiseuille, o flujo enun canal de seccin uniforme:

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 1.12: Representacin grfica del campo vectori-al asociado al flujo de Poiseuille (flujo a lo largo de uncanal).

Este flujo est descrito por la expresin

f

4v0L2

y

y L x

en que v0 es la rapidez del fluido al centro del canal yL la separacin entre las paredes del canal. En este casolas paredes del canal corresponden a los bordes superior einferior del dibujo.Otras situaciones posibles y que exhiben el tipo de camposque sern de inters en este curso son:



Un sumidero: f

r

r

xx yy

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 1.13: Representacin grfica del campo vectorialasociado a un sumidero de fluido.

Una fuente: f

r

r

xx yy

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 1.14: Representacin grfica del campo vectorialcorrespondiente a una fuente de flujido centrada en el ori-gen

Un vrtice: f

z

r

yx xy

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 1.15: Representacin grfica del campo vectorialcorrespondiente a un vrtice de fluido

1.3.3. Elementos de masa y cargaElemento de masa dM . A partir de la densidad de masay los elementos de volmen en los diferentes sistemas decoordenadas se obtiene:

dM

m dV

m dxdydz (cartesianas)

m d d dz (cilndricas)

m r2 sin dr d d (esfricas)

Elemento de carga dQ . A partir de la densidad de car-ga y los elementos de volmen en los diferentes sistemasde coordenadas se obtiene:

dQ

q dV

q dxdydz (cartesianas)

q d d dz (cilindricas)

q r2 sin dr d d (esfricas)

EjerciciosSuponga que la masa M de un cilindro maciso de ra-dio a y altura h est distribuida uniformemente sobreel volumen de ste, de modo que la densidad de masaes uniforme. Use que en este caso, por ser la densi-dad uniforme, se cumple m dMdV

MV , donde V es

el volumen del clindro, para determinar una expre-sin para la densidad de ste.

Repita su ejercicio anterior pero considerando unaesfra de radio a y masa M.

Considere un cilindro de radio a y altura h, con masatotal M, cuya masa esta distribuda de acuerdo a ladensidad

m

z

Az

h(i) Determine la constante A integrando la densi-

dad de masa e imponiendo que sta integraldebe ser igual a la masa total M del cilindro.Es decir imponiendo M

m dV .(ii) A partir de su resultado y usando la expresin

para la densidad determine cuanto vale la den-sidad de masa en la parte superior del cilindro(z

h).



1.3.4. Derivadas parciales de campos es-calares

A pesar de que este curso tiene como requisito inscribirparalelamente el Clculo III conviene enfatizar aqula notacin que se usar en cuanto a derivacin parcial.

Cartesianas: Entendemos por derivada parcal, en elpunto

x y z , respecto a la variable x de una funcin es-calar f x y z a:

fx lmx 0

f x x y z f x y z x

Del mismo modo la derivacin parcial respecto de la vari-able y sera:

fy lmy 0

f x y y z f x y z y

Sigue en forma natural una relacin similar para laderivacin respecto de la variable z.

f z lmz 0

f x y z z f x y z z

Cilndricas: La derivacin respecto de la variable (coordenadas cilndricas) de una funcin escalar f z est definida como:

f lm 0

f z f z

Del mismo modo la derivacin parcial respecto de la vari-able sera:

f lm 0

f z f z

La derivacin respecto de la variable z no cambia respectode la definicin en cartesianas.

Esfricas: La derivacin respecto de la variable r (co-ordenadas esfricas) de una funcin escalar f r estdefinida como:

f r lmr 0

f r r f r r

Del mismo modo la derivacin parcial respecto de la vari-able sera:

f lm 0

f r f r

La derivacin respecto de la variable toma la mismaforma que en cilindricas:

f lm 0

f r f r

Ejemplos y Ejercicios:Clculo de la derivada de f x y z

xy2 respecto dela coordenada x:

fx

x

xy2

xx y

2 x xy

2

1y2 x0

y2

Clculo de la derivada de f x y z

x2 y2 z2respecto de z:

f z

12

x2 y2 z2 z

x2 y2 z2

12

x2 y2 z2

2z

z

x2 y2 z2

Calcule la derivadas:

xx ?xy ?

? (cilndricas) z ? (cilndricas) ? (esfricas) r ? (esfricas)

En el caso que se mezcla coordenadas hay que tenercierto cuidado. Por ejemplo vea lo que pasa cuandose desea calcular r x . Aqu usamos que r

r

x2 y2 z2 y se hace:

rx

x x

2 y2 z2

x

x2 y2 z2

x

r

Calcule las derivadas (usando que r

r



x2 y2 z2) de: ry ?

r z ?

y

1r

?

z r

2

?

x lnr ?

1.3.5. Derivadas parciales de campos vecto-riales

La derivada parcial respecto de una variable x de una fun-cin vectorial f

fx

x y z x fy

x y z y fz

x y z z es:

x f

x fxx fyy fzz

x fxx x

fyy x fz z

fxx x

fyx y

fzx z

Idem si se deriva f respecto de y:y f

fxy x

fyy y

fzy z

Notar que al hacer estas derivadas los vectores unitariosse consideraron como constantes.Hay que tener un cierto cuidado cuando se hace derivadasde este tipo para otros sistemas de coordenadas, por ejem-plo al derivar el vector

r respecto de la variable en co-ordenadas cilindricas:

r

zz

zz

zz

0 0 z

Notar que aqui se ha usado la regla del producto aplicadaa la combinacin , y se ha usado que 0 por ser r y variables independientes en el sistema de coordenadascilindrico. Idem para z 0. Por ltimo en este ejerci-cio falta calcular explcitamente como vara el vector uni-tario cuando se vara la coordenada ; lo ms adecuado

aqu es escribir las componentes cartesianas del vector explcitamente en coordenadas clindricas, usando comovectores unitarios los cartesianos

x y z :

cos x sin y Puesto que los vectores x y y z son constantes, la derivada es simplemente:

cos x

sin y

cos x

sin y

sin x cos y

de modo que finalmente:

Ejercicios:Calcule (escribiendo adecuadamente las compo-nentes cartesianas) las derivadas de los siguientesvectores unitarios:

? (cilindricas) r ? (esfricas) r ? (esfricas)

1.4. Diferencial y Gradiente de uncampo escalar

El diferencial de un campo escalar se define como la difer-encia de valor de la funcin entre dos puntos separadosinfinitesimalmente en d

r:

d f

f

r d

r f

r

Coordenadas cartesianas. En el caso de una sla vari-able (por ejemplo x) el diferencial es simplemente d f

d fdx dx, sin embargo cuando hay ms de una variable sedebe derivar con respecto a cada una de ellas. El diferen-cial de un campo escalar en coordenadas cartesianas es:

d f

fx dx

fy dy

f z dz

fx x

fy y

f z z

dxx dyy dzz

f d

r



En que hemos introducido la siguiente notacin vectorial

f

fx x

fy y

f z z

Coordenadas cilndricas De la misma manera se puedeproceder en el caso de coordenadas cilndricas. El difer-encial de un campo escalar es:

d f

f d

f d

f z dz

f d

1

f

d f z dz

f

1

f

f z z

d d dz z

f d

r

En que luego de identificar el diferencial de camino en co-ordenadas cilndricas hemos introducido la siguiente no-tacin vectorial:

f

f

1

f

f z z

Coordenadas esfricas Para el caso de coordenadas es-fricas se tiene:

d f

f r dr

f d

f d

f r dr

1r

f

r d 1r sin

f

r sin d

f r r

1r

f

1r sin

f z

dr r r d r sin

f d

r

En que luego de identificar el diferencial de camino encoordenadas esfricas hemos introducido la siguiente no-tacin vectorial:

f

f r r

1r

f

1r sin

f

1.4.1. Operador gradienteCon el objeto de resumir conviene introducir un nuevooperador vectorial que se construye con las derivadas par-ciales. Este es el operador gradiente o nabla:

x x y y z

z (cartesianas)

1 z z (cilndricas r r

r

r sin

(es f ricas

con esto el diferencial d f queda:d f

f d

r

Significado del operador o gradiente aplicado a uncampo escalar El operador gradiente o recin intro-ducido, cuando es aplicado a un campo escalar, permiteobtener un vector que apunta (localmente, es decir en ca-da posicin

r) en la direccin que crece ms rapidamenteel campo escalar.Para el ejemplo f

r

x, propuesto en la seccin ??, elgradiente vale:

f

xx

x

x

de modo que el campo escalar crece en la direccin x demanera uniforme.Para el ejemplo f

r

x y propuesto en esa misma sec-cin el gradiente vale:

f

xx

x y yy

x y

x y

indicando que el campo tambien crece en forma uniforme,pero en direccin 45o respecto del eje de las x.En el caso de la frmula aproximada para la densidaddel aire con la altura, que vimos en la seccion ??, encon-tramos:

m r r 0e

r RT L

r0L

e r RT L

indicando que el aumento de densidad ocurre contra ladireccin radial r y la tasa a lo cual ocurre esto dependede la coordenada radial r.Por ltimo en el ejemplo del calentamiento en torno a uncable delgado orientado a lo largo del eje z (que tambinvimos en esa misma seccin), el gradiente de la temper-atura obedece:

T

T0e 2

L2

T02L2

e 2

L2

mostrando que el aumento de temperatura ocurre radial-mente hacia el cable, y este aumento depende de la dis-tancia radial al cable.

1.4.2. Ejercicioshallar (usando coordenadas cartesianas y coor-denadas esfricas) para:1.

lnr

ln

r

2.

rn

r

n

Demuestre que



Considere que

r , es decir el campo escalardepende exclusivamente de la coordenada radial r(esfricas). Muestre que en este caso:

f r r

Calcule , usando coordenadas cartesianas, paralos siguientes campos escalares:

1.

r

r0

2.

1

r

r0

3.

ln

r

r0

4.

r

r0

n

1.4.3. Un primer teoremaLa integral sobre un camino cualquiera del gradiente deuna funcin escalar, es igual a la diferencia de la funcinevaluada entre los extremos de dicho camino (ver nota4).

fB fA B

A f d

r

Que el teorema se cumple se verifica directamente puesd f

f d

r, luego: B

A f d

r

B

Ad f

f BA fB BA

Aplicacin: Obtencin del trabajo para fuerzas con-servativas.

Si un fuerza es conservativa entonces existe una funcinescalar U tal que

F

U , en que U es el llamado poten-cial asociado a dicha fuerza. El potencial U

U

r es un

campo escalar que tiene dimensiones de energa. Se tiene:

WBA B

A

F d

r

B

AU d

r

B

AdU

UB UA BAU

EjemploConsidere el potencial U

F0

x x0 2 2xy . La fuerza

asociada a este potencial es

F

U

Ux x

Uy y

U z z

F0 2

x x0 2y x 2F0xy4NOTA: Por supuesto la validez de este teorema depende de cuan

derivable sea la funcin y cuan suave sea el camino de integracin. Cl-culo III

Evale el trabajo de esta fuerza al ser aplicada sobre unobjeto qeu se mueve desde un punto A 3 2 0 hasta unpunto B

1 2 0 (en metros). Considere x0 2 [m] y F0 20 [N]. Solucin:

Haciendo la integral en forma directa: Usamos que elcamino se caracteriza por y

2, y que luego dy

0

WBA

F d

r

F0

2

x x0 4 x 2F0

dxx

F0 B

A 2

x 2 4 dx

F0 B

A2xdx

F0 x2

BA

F0 x 1x 3

160

N

Evalundo el negativo de la diferencia de energa po-tencial U:

WBA

UB UA

F0

1 2 2 2 1 2 F0

3 2 2 2 3 2

5F0 13F0 8F0 160[N]

Que efectivamente es el valor obtenido por integracin di-recta.

1.4.4. Trabajo sobre un camino cerrado deuna fuerza conservativa

Una consecuencia interesante del teorema es que la in-tegral de trabajo sobre un camino cerrado de una fuerzaconservativa es automticamente nula:

F d

r

U d

r

UA UA 0

ya que al ser la integral sobre un camino cerrado el puntofinal B coincide con el punto inicial A.

1.4.5. Circulacin de un campo vectorialEs importante observar que esto no es cierto para todaslas fuerzas, esto ocurre slo en el caso de las conservati-vas. Cuando las fuerzas son NO CONSERVATIVAS, laintegral resultante es no nula. Llamaremos a esta inte-gral la circulacin del campo de fuerzas o



circulacin de un campo vectorial f

f d

r

En lo que sigue deduciremos un importante teorema aso-ciado a este tipo de integrales: el Teorema de Stokes, peropreviamente conviene revisar los conceptos asociados alas integrales de superficie:

1.4.6. Integrales de superficieFlujo de un campo vectorialUna tipo de integracin importante de un campo vectorialf

f

r es el llamado flujo f del campo vectorial. Estaintegracin est definida como:

f

f

r d S

donde d S

dSn es un vector que est construido co-mo un elemento infinitesimal de rea multiplicando a unvector unitario orientado en forma exterior al volumendefinido por la superficie y perpendicularmente a la su-perficie (vector normal a la superficie). La figura siguientemuestra distintos elementos de superficie de una superfi-cie cubica de acuerdo a sus distintas caras.

Figura 1.16: Superficies de integracin infinitesimales so-bre las caras de un cubo

Orientacin del vector unitario n Un aspecto impor-tante a considerar (y que tendr importancia posterior) escomo definir la orientacin del vector unitario n cuando la

superficie no es cerrada (en cuyo caso no es posible distin-guir que es exterior e interior). La regla es darse el sentidoen que es recorrido el camino que delimita el borde dela superficie. La direccin de n es definida de acuerdo ala regla de la mano derecha al recorrer dicho camino (verfigura)

Figura 1.17: Trayectoria cerrada que delimita una super-ficie. La orientacin de d S es exterior de acuerdo a laregla de la mano derecha respecto al sentido en que serecorre dicho camino.

An no se ha resuelto la ambiguedad de la direccin de n,pero en cambio se ha especificado una regla para elegirlocuando el borde de la superficie esta delimitado por uncamino que es recorrido en un sentido dado.

1.4.7. Circulacin de un campo vectorial yteorema de Stokes

Consideremos primero la circulacin del campo f sobreel camino que describe la figura siguiente:

ff

f

Figura 1.18: Circulacin de un campo vectorial



Es claro que dicha circulacin se puede escribir como lacirculacin de dos caminos que tienen parte de su trayec-toria en comn, pero en que el segmento comn es recorri-do en direcciones opuestas (y por lo tanto la contribucinde dicho segmento por ambas integrales se cancela):

A

B

Figura 1.19: El camino cerrado se construye con doscaminos que delimitan la misma trayectoria

Se cumple:

f

r

1

f d

r

2

f d

r

Este argumento se puede externder al particionar fina-mente una superficie de forma arbitraria en N elementosde superficie

f d

r

1

f d

r

2

f d

r

N

f d

r

N

i 1

i

f d

r (1.11)

es decir la integral de camino sobre el circuito exterior sepuede escribir como una suma sobre pequeos caminoscuadrados distribuidos en toda la superficie que delimitael camino exterior

Figura 1.20: El camino exterior ha sido reemplazado porN caminos rectangulares.

En lo que sigue veremos que estas integrales sobre pe-queos caminos cuadrados al interior de la superficie sepueden reescribir en trmino de: (a) la superficie de loscuadrados y (b) derivadas del campo f . La integral totalde circulacin se reescribira a su vez como una integral desuperficie (el llamado Teorema de Stokes).Para motivar este resultado veamos qu es la integral decamino sobre un camino cerrado cuadrado pequeo cuan-do ste est contenido en el plano de las XY . Se tiene quela integral sobre el circuito cerrado se puede descompon-er en cuatro integrales de lnea sobre los segmentos rectosque forman el camino.

( x, y, z )

( x,y+ y, z )D

( x x, y, z )+D

X

Y

Z

X

Figura 1.21: Trayectoria rectangular paralela al plano XY

Llamemos a estos segmentos rectos a, b, c y d . Laintegracin se puede escribir

f d

r

a

f d

r

b

f d

r

c

f d

r

d

f d

r



Haciendo uso de que en los segmentos a y c se tiened

r

dxx, y que que en los segmentos b y d se tiened

r

dyy, las integrales quedan:

a

f d

r

x x

xfx

x y dx

fx

x y x

b

f d

r

y y

xfy

x x y dy

fy

x x y y

c

f d

r

x

x xfx

x y y

dx

fx

x y y x

d

f d

r

y

y yfy

x y dy

fy

x y y

La integral total queda:

f d

r

fx

x y x fy

x x y y fx

x y y x fy

x y y

fy

x x y fy

x y y

fx

x y y fx

x y x

fy

x x y fy

x y x

fx

x y y fx

x y y xy

fyx

fxy

xy

fyx

fxy

Sz

en que hemos definido la superficie Sz xy.

Z

X

Y

( x, y, z )+ zD

( x,y+ y, z )D

( x, y, z )

Figura 1.22: Trayectoria rectangular paralela al plano YZ

Un clculo anlogo para el camino propuesto en la Fig. ??entrega:

f d

r

fzy

fy z

yz

fzy

fy z

Sx

en que hemos definido la superficie Sx yz.

Z

Y

X

( x x, y, z )+D

( x, y, z )+ zD

( x, y, z )

Figura 1.23: Trayectoria rectangular paralela al plano ZX

Si se considera el cmino propuesto en la Fig. ?? se ob-tiene:

f d

r

fx z

fzx

xz

fx z

fzx

Sy

en que hemos definido la superficie Sy xz.Definiendo un vector de superficie S con componentesvectoriales:

Sx yzSy zxSz xy

la integracin en un camino rectangular con direccin narbitraria para el vector S, queda:

f d

r

fzy

fy z

Sx

fx z

fzx

Sy

fyx

fxy

Sz

f S



en que en la ltima lnea, para simplificar la notacin,hemos hecho uso del producto vectorial (producto cruz)que repasamos en ?? y del operador (gradiente) recien-temente introducido.Volviendo al resultado obtenido en la expresin (??) y us-ando el resultado recien obtenido podemos escribir paraun camino arbitrario:

f d

r

N

i 1

i

f d

r (1.12)

N

i 1

f i Si (1.13)

expresin que en el lmite de un reticulado muy fino(N ) se reduce a una integracin de superficie,lo que se conoce como Teorema de Stokes:

f d

r

f d S (1.14)

la expresin f se conoce como el rotor delcampo vectorial f .

Notacin prctica para el rotor en coordenadas carte-sianas: Una manera cmoda y util de anotar el rotor encoordenadas cartesianas es:

f

det

x y z x

y

z

fx fy fz

fzy

fyz

x

fzx

fx z

y

fyx

fxy

z

Notacin prctica para el rotor en coordenadas ciln-dricas:

f

1 det

z

y

f f fz

Notacin prctica para el rotor en coordenadas esfri-cas:

f

1r2 sin det

r r r sin r

fr r f r sin f

Consecuencia importante: El rotor de una fuerza con-servativa es nulo.

Si se considera una fuerza conservativa

F , sabemos quese tiene F d

r

0 sobre cualquier camino. Usando elTeorema de Stokes se concluye que

F d

r

F d S

0

puesto que el camino es arbitrario y tambin la forma de lasuperficie de integracin, sique que, para una fuerza con-servativa, el integrando debe ser nulo.Esto es

F

0 (1.15)si la fuerza

F es conservativa.Un ejemplo de esto es la fuerza elstica que experimentauna partcula ubicada en

r debido a un resorte muy blan-do que est fijo en

r0 (ejercicio propuesto, verificar que

F

0, para esta fuerza):

F

k

r

r0

y la fuerza gravitacional entre dos cuerpos de masas M ym

F

GMmr2

r (esfricas)en que en este ltimo caso hemos supuesto la masa Mubicada en el origen del sistema de coordenadas.Un resultado similar seguir para la fuerza elctrica entre2 cargas q1 y q2 (nuevamente hemos supuesto una de lascargas ubicada en el origen del sistema de coordenadas):

F

Kq1q2r2

r esfricas

Ejercicios y Ejemplos1. Considere f

r

r. Calcule f . Es decir

r.

Usando f

xx yy zz se tiene:

f

det

x y z x

y

z

x y z

zy

y z

x

zx

x z

y

yx

xy

z

0

2. Para el campo anterior determine explcitamente lacirculacin sobre un camino cuadrado de lado con-tenido en el plano XY y que tiene un vrtice en elpunto

0 0 y el vrtice opuesto en el punto

a a .



3. Considere el campo que describe el siguiente sum-idero: f

xx yy. Verifique que dicho campo tienerotor nulo.

4. Considere el campo que describe la siguiente fuente:f

xx yy. Verifique que dicho campo tiene rotornulo.

5. Verifique que las fuerzas el;astica, gravitacional yelctrica, descritas mas arriba son conservativas (esdecir tienen rotor nulo). Para el caso de la elctricaverifique que la siguiente funcion potencial

U

r

Kq1q2r

permite obtener dicha fuerza al calcular su gradiente(

F

U).6. Considere ahora el vrtice: f

yx xy. Verifiqueque el rotor de dicho campo no es nulo.

7. Considere el campo descrito por el flujo dePoiseuille: f

4v0L2 y

L y x. Verifique que el rotorde este no es nulo.

8. Considere un campo de la forma f

f , muestreque el rotor de este campo es nulo para cualquier de-pendencia de f con .

9. Considere un campo de la forma f

f . Estudieen que condiciones podria el rotor no ser nulo.

10. El campo magntico de un cable recto, orientado a lolargo del eje z y que lleva corriente I, est dado por:

B

r

0I2pi

Determine el rotor de este campo y muestre que esnulo en todas partes excepto en el origen (donde laderivadas no estan definidas pues el campo divergepara

0).11. Demuestre las siguientes identidades:

a)

b) f

f fc)

0d) f

g

f

g

g f f

g

g

f

1.4.8. Integracin sobre superficies cer-radas y el Teorema de la Divergencia

Un teorema que tendr mucho inters en este curso esel llamado teorema de la divergencia que rela-ciona integrales de superficie (de campos vectoriales)sobre superficies cerradas, con integraciones sobre elvolumen encerrado por las superficies en cuestin (dederivadas de dichos campos vectoriales):

f d S

f dV

donde f

fxx

fyy

fz z

(expresado aqu en coordenadas cartesianas) se conocecomo la divergencia del campo f .Argumentemos sobre la validez de este teorema. Primeroveamos que ocurre con la integracin de f d S sobrela superficie que delimita un vlumen con forma de par-aleleppedo recto.

S

ds

ds

ds

ds

ds

ds

Es claro que dicha integracin puede separarse en dosvolumenes disjuntos, haciendo uso de que en la cara encomn se tiene

f d S1 f d S2

ds1

ds2

S1

S2

ff



ya que los vectores normales exteriores n1 y n2 asociadosa la superficie en comun son opuestos (n1 n2). Comoconsecuencia la integral sobre el paraleleppedo se puedeseparar en una integracin sobre dos paraleleppedos conuna superficie de contcto en comn.

f d S

S1f d S1

S2f d S2

Extendiendo esta idea una superficie que encierra un vol-men se puede subdividir entonces en muchos pequeosparaleleppedos que llenan ese volmen. Se tiene:

f d S

i 1

Sif d Si

Lo importante ahora es ver que ocurre para cada uno delos parapeleppedos: La integral de superficie se puedeseparar en seis integrales sobre las superficies rectangu-lares de cada rea plana asociada al paraleleppedo de lafigura:

( x, y, z )( x x, y, z )+D

Z

X

Y

( x,y+ y, z )D

( x,y+ y, z )D

( x, y, z )

( x, y, z )

Ds3

Ds2

Ds1

Ds4

Ds5

Ds6

Figura 1.24: Superficies de integracin para un par-aleleppedo elemental

Los campos y las superficies elementales satisfacen:

S1 yzx f1 f

x x y z S2 yzx f2 f

x y z S3 xzx f3 f

x y z S4 xzx f4 f

x y y z S5 xyx f5 f

x y z S6 xyx f6 f

x y z z

de modo que la integral de superficie se puede trabajar

para obtener una expresin ms reducida:

f d S

f x x y z x f x y z x yz

f x y y y z y f x y z y xz

f x y z z z f x y z z xy

fx

x x y z fx

x y z yz

f y x y y y z fy

x y z xz

fz

x y z z fz

x y z xy

fx

x x y z f x y z x xyz

fx

x y y z f x y z y xyz

fx

x y z z f x y z x xyz

fxx dv

fyy dv

fz z dv

fxx

fyy

fz z

dv

f dven esta expresin reducida (la ltima lnea) hemos intro-ducido la siguiente notacin

f

fxx

fyy

fz z

resultado escalar llamado la divergencia de f .Como el resultado anterior se repite en cada paraleleppe-do al interior del volmen resulta:

Sf d S

lmn

N

i 1

Sif d Si

lmN

N

i 1

f dv

de donde sigue:

Sf d S

f dv

Que establece el teorema de la divergencia: La integralde superficie del flujo de un campo vectorial f sobre unasuperficie cerrada, es igual a la integral de la divergenciade dicho campo ( f ) sobre el volmen encerrado pordicha superficie (ver nota5).

5Nota: para las condiciones de validez del teorema vea su curso deClculo III



Ejercicios y ejemplos1. Considere el campo f

r

r. Calcule fSolucin

r

xx

yy

z z

1 1 1

3

2. Calcule, para el campo anterior,

f dv sobre unvolumen esfrico de radio R centrado en el orgenSolucin:

f dv

3dv

3 43piR

3

4piR3

3. Calcule, para este mismo campo f

r la integral so-bre la superficie de una esfra de radio R arbitrariocentrada en el origen.Solucin:

f d S

rr dS n

Rn dSn

R

dS

R

4piR2

4piR3

4. Considere el campo vectorial f

y y. Calcule f .Calcule tambin la integral

d f dv sobre un cubode lado L con 3 de sus caras apoyadas en las superfi-cies XY , YZ, ZX de un sistema de coordenadas carte-siano. Verifique el teorema de la divergencia calcu-lando explcitamente

f d S sobre las caras de dichocubo.

Algunos resultados importantes

Identidad

0. Si se aplica el teorema deStokes a un campo que satisface f

(con ro-tor nulo f

0) se obtiene que, para cualquiersuperficie:

0

d

r

d S

de modo que sigue la identidad:

0

Identidad que se puede chequear formalmente:

det

x y z x

y

z

x

y

z

2y z

2 zy

x

2x z

2 zx

y

2xy

2yx

z

0

en que se ha supuesto que el campo escalar es dife-renciable tal que las derivadas parciales son simtricas( 2 x y

2

y x ).

Identidad

f

0. Esta es la que sigue de inte-grar un camino cerrado (muy pequeo) que delimita unasuperficie (ver figura).

En el lmite que el camino tiende a cero en tamao, laintegral

f d

r tiende a cero, de modo que se tiene:

f d S

f d

r

0

0

f d

r

f d Spor el teorema de Stokes. Pero por el teorema de la diver-gencia sigue que tambien:

f d S

f dvde donde, comparando los lados derechos de estas ltimasexpresiones, se obtiene la identidad:

f

0.Esta identidad se puede chequear directamente con elmtodo algebraico como en el ejemplo anterior. Haga estocomo ejercicio.



Conclusiones importantes:

1. Si un campo vectorial satisface f

0, entoncesexiste tal que f

.Por ejemplo esto ocurre en el caso de una fuerza con-servativa, como la fuerza elctrica entre cargas, enque

F

0, y luego existe una energa potencialU tal que

F

U , con U

.

2. Si un campo vectorial satisface f

0, entoncesexiste A tal que f

A (ya que A

0).En el caso del campo de induccin magntica

B, estesatisface

B

0, de modo que exsite una funcinA, llamada el vector potencial magntico que per-mite calcular

B mediante

B

A. El campo A estrelacionado con las corrientes de carga que hay dis-tribuidas en el espacio en que interesa conocer

B.

Ms ejerciciosCalcule

r

Calcule r

Calcule f , para f

r

r0

r

r0

n . Verifique que resultanulo para el caso n

3.

Calcule

r

Calcule r

Calcule

J0

r

r0

n . El vector J0 es un vector con-stante.

Calcule

J0

r

r0

r

r0

n , para los casos n 1 2 3.El vector

J0 es un vector constante.

Derivacin parcialCalcule las derivadas parciales f x ,

f x ,

f x de las fun-

ciones:

f x y z

kxyz

f x y z

q4pi0

1

x2 y2 z2

f x y z

q4pi0

1

x x0 2

y y0 2

z z0 2

Calcule las derivadas parciales (coordenadas cildri-cas) f , f , f z de las funciones:

f z

2pi0

ln

0

f z

q4pi0

1

2 z2

f z

a2pi0

cos2

Calcule las derivadas parciales (coordenadas esfric-as) f r , f , f de las funciones:

f r

q4pi0

1r

f r

E0 a3

r2 r

cos

f r

Qa4pi0

cosr2

f r

Qa4pi0

1

d2 r2 2dr cos

Rotor de un campo vectorial

1. Demuestre las siguientes identidades:

0

F

F

F

F G

F G

G

F

F

G G

F

2. Evale los rotores de los siguientes campos (seindica las coordenadas para que ud. determineel sistema de coordenadas a utilizar):

F

x y z

kxx

F

x y z

kxy

F

x y z

kxz

B

z

0I2pi

F

r

GMmr2

r

A

m

r

4pir3

donde para el ltimo ejemplo el vector

m es un

vector constante.

Divergencia de un campo vectorial

1. Demuestre que

F

F

F

A

0

A

B

B

A A

B

F

F 2

F

2. Hallar (usando coordenadas cartesianas, cilin-dricoas y/o esfricas) A para los siguientes



campos vectoriales:

A

r

A

r

r2

A

0I2pi


1

Pr oblema

Use el sistema de coordenadas esfricas para det erminar

el rea de la franja sobre la concha esfrica de radio

a .Cul es el resultado si rad y rad ?

Sol. : A a (cos cos ) ; si rad y rad ,A a

pi pi pi pi

pi pi pipi pi pipi pi pipi pi pi

= =

= = = =2 2

3

0

2 0 4

Pr oblema

Use el sistema de coordenadas cilndricas para calcular

el rea de la superficie curva de un cilndro recto circular donde

R m , H m y . Sol. : m

Pr oblema

Use coordenadas esfricas para escribir las reas difere

pi pi pi pi= = 0 0 2

1

2 5 30 120 5

2

nciales

de superficie dS y dS y luego int egre para obtener las reas de las

superficies sealadas en la figura. El radio es . Sol. : ypi pipi pipi pipi pi

1 2

14 6

GUA N1 SISTEMAS DE COORDENADAS Y VECTORES

2

Pr oblema

Si A i j k ; D j k i y C ( , , ) ,det erminar

(a) A D C ; (b) A D ; (c) A D ; (d) A D ; (e) D A

( f ) D ; (g) ( A D ) C ; (h) A D ;(i) A D C ; A D C

Pr oblema

Si A B C ,demostrar que

= + = =

+ +

+ +

= +

4

5 9 4 6 5 4 5 1 9

3 5

5

C A B AB cos ,donde

A A , B B y menor entre AyB.

= +

= =

2 2 22

Pr oblema

Utilizando el producto cruz y considerando la figura,demostrar

A B A C;

sen sen sen sen = =

Pr oblema

Si A ( , , ) y B j i ,det erminar el menor ngulo

entre ellos ,utilizanzo (a) producto cruz ; (b) producto punto

Sol. : .

= =

=0

7

2 4 0 6 4

41 9

Pr oblema

Determinar el vector unitario quesea perpendicular a A ( , , )

y a B ( , , ) : Sol. e , , Qu sucede con e?

=

= =

6

2 1 1

1 1 11 1 2

3 3 3

8

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Sistemas de Coordenadas y Vectores

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