ANLISIS DE SISTEMAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y EN EL PLANO DE LA VARIABLE COMPLEJA S Diego Flores, Francisco Parreo, Pablo Pareja, Marco Almachi, Richard Chicomin, Juan Taco, Patricio Lima Universidad Politcnica Salesiana (UPS), Quito - Ecuador

Abstract -The models of equipment can be addressed by simple transfer functions , it can be determined in two ways ; from the standpoint of the analysis by reducing the model may predict the temporal characteristics using simple mathematical expressions of models .On the other hand , from the perspective of design, it is often used measures the temporal characteristics of simple models for setting the requirements of the dynamic behavior of systems to compensate.The analysis of these systems either first or second order temporal analyzes the dynamic behavior of simple systems , setting their evolution as well as many parameters as required, for mathematical determination .

Introduccin

Para analizar los sistemas de control es necesario determinar los factores que intervienen, el primer paso es obtener el modelo matemtico del mismo. Una vez obtenido tal modelo, existen varios mtodos para el anlisis del comportamiento del sistema. En el anlisis y diseo de sistemas de control, se debe tener una base de comparacin del comportamiento de diversos sistemas de control. En esta base se especifica las seales de entrada de prueba particulares y comparando las respuestas de varios sistemas a estas seales de entrada.Ya que el tiempo es la variable independiente empleada en la mayora de los sistemas de control, es usualmente de inters, evaluar o analizar la salida con respecto al tiempo, o simplemente, la respuesta en el tiempo. En esta investigacin se analizaran las caractersticas de respuesta en el tiempo de componentes y sistemas que se pueden utilizar a la hora de solucionar problemas complejos.

Anlisis de sistemas de primero y segundo orden

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Un sistema de primer orden est representado por un circuito RC como se representa a continuacin:

Fig. 1. Funcin transferencia primer orden y su bloque simplificado.

Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden a ecuaciones diferenciales de primer orden:

Obteniendo la relacin entrada-salida de la funcin transferencia es:

Reacomodando trminos tambin podemos establecerla como:

Donde K= , es la ganancia en el estado estable,T=, es la constante de tiempo del sistema.Con condiciones iniciales cero.

Respuesta ante una entrada impulso

La salida de Laplace es:

Utilizando transformada inversa de Laplace:

Se obtiene una salida en funcin del tiempo:

Tabla1. Valores de figura 2TC(t)

0b0

T0.367 b0

2T0.135 b0

3T0.049 b0

4T0.018 b0

Fig. 2. Respuesta al impulso.

Respuesta ante una entrada escaln unitario.

La salida de Laplace es:

Utilizando transformada inversa de Laplace:

Se obtiene una salida en funcin del tiempo:c(t) = AK(1-)

Tabla2. Valores de figura 3tC(t)

00

T0.632 AK

2T0.864 AK

3T0.950 AK

4T0.981 AK

Fig. 3. Respuesta al escaln.

Respuesta ante una entrada rampa.

La salida de Laplace es:

Utilizando transformada inversa de Laplace:

r(t) = At

Se obtiene una salida en funcin del tiempo:

c(t) = AK(1-T)+ AKT

Ejemplo:

Un circuito RL tiene la siguiente funcin de transferencia:

Determine la corriente i(t) cuando se aplica una entrada escaln de 1 volt.Para este caso no se necesita usar fracciones parciales o la transformada inversa de Laplace.

Ganancia en estado estable. Constante de tiempo.i(t)=

Fig. 4. Grfica del ejercicio.

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Los sistemas de segundo orden continuos responden a una ecuacin diferencial de segundo orden.

En el siguiente sistema de segundo orden con prdida de cero de generalidad se analizara el siguiente caso:

Fig. 5. Diagrama de Bloques.

Dnde: K es una constante que representa una ganancia.P es una constante real representa el polo del sistema.

Su funcin de transferencia en lazo cerrado:

Pueden ser de tres tipos:

1. Reales diferentes si: 2. Reales iguales si: 3. Complejos si:

Para K= y p=, entonces:

Dnde:

es la frecuencia natural no amortiguada es la atenuacin es el factor de amortiguamiento.

Respuesta ante una entrada escaln unitario

Caso amortiguamiento 0