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1

Faculdade de Engenharia

Sinais e Sistemas

SS – MIEIC 2008/2009

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-34

-32

-30

-28

-26

-24

-22

-20

-18

-16

-14

Frequency (kHz)

Pow

er/fr

eque

ncy

(dB/

Hz)

Power Spectral Density

HammingkaiserChebyshev

Double PendulumTwo coupled planar pendulums withgravity and sine wave forcing in the

upper Revolute joint.

Sine Wave

BF

Revolute1

B F

Revolute

Env

Joint Sensor1

Joint Sensor

Joint Actuator

Ground

CS1

Body1

CS1 CS2

Body

Angle

Revolute1

Revolute

SS 0809SinSist1 2

Faculdade de EngenhariaPrograma de SS

Sinais e Sistemas 2 aulas

Sistemas Lineares e Invariantes 2 aulas

Análise de Fourier (tempo contínuo) 3 aulas

Análise de Fourier (tempo discreto) 3 aulas

Amostragem de Sinais Contínuos 2 aulas

2

SS 0809SinSist1 3

Faculdade de EngenhariaSinais e Sistemas

Sinais em tempo contínuo e em tempo discreto

Operações elementares com sinais

Transformação de variável independente

Decomposição de sinais

Características de sinais

Sinais fundamentais

Sistemas e sua interligação

Propriedades de sistemas

SS 0809SinSist1 4

Faculdade de EngenhariaSinais

• Utilizados para descrever fenómenos

• Exemplos• altitude de um avião ao longo de um voo

• temperatura da água do mar em função da profundidade

• precipitação total diária registada por uma estação meteorológica

• variação espacial da intensidade de uma imagem monocromática

t

h

z

T

d

p

x

y

3

SS 0809SinSist1 5

Faculdade de EngenhariaSinais

• Descritos por funções de uma ou mais variáveis independentes

• Apenas iremos tratar sinais com uma única variável independente

• Por facilidade iremos considerar como variável independente o tempo

• No caso geral podemos ter sinais que tomam valores complexos

SS 0809SinSist1 6

Faculdade de EngenhariaSinais em tempo contínuo

Variável independente é contínua, tomando todosos valores num dado intervalo de números reais

Notação: x(t), y(t), v(t), …

variável independente

designação do sinal

Nota: Os sinais em tempo contínuo podem ser funções descontínuas da variável independente

Habitualmente não importa o valor do sinalnos instantes de descontinuidade, mas sóos limites à esquerda e à direita

t

x(t)

4

SS 0809SinSist1 7

Faculdade de EngenhariaSinais em tempo discreto

Variável independente toma apenas um conjuntodiscreto de valores, por convenção inteiros

Notação: x[n], y[n], v[n], …

variável independente

designação do sinal

Nota: Podem resultar de amostragemde sinais em tempo contínuo

n0 1 2 3-1-2-3

Variável independente discreta instante seguinte e instante anterior

n0 1 2 3-1-2-3

y[n]

SS 0809SinSist1 8

Faculdade de EngenhariaOperações elementares com sinais

Multiplicação por um escalar )()()( txatytx =→

)(tx

t1

1

)(5.0)(1 txty =

t15.0

)(2)(2 txty =

t1

2

t1

5.1−

)(5.1)(4 txty −=

Exemplos

)()(3 txty −=

t1

1−

5

SS 0809SinSist1 9


Operações algébricas (soma, multiplicação, …)

)(tx

t1

1

][][][ nbnanc ⋅=

Exemplo 1

)(ty

t1

1

)()()( tytxtz +=

t1

1

n0 1 2 3-1-2-3

][na

n0 1 2 3-1-2-3n0 1 2 3-1-2-3

][nb

1

Exemplo 2

SS 0809SinSist1 10


Outras operações (derivação, integração, acumulação, …)

∑−=

=n

m

mxnz3

][][

Exemplo 1

Exemplo 2

n0 1 2 3-1-2-3

1

n0 1 2 3-1-2-3

][nx

1

)(tx

t1

1

2− t1

1

2−

dttdxty )()( =

6

SS 0809SinSist1 11

Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente

Translação

)(tx

t0

)()( 0ttxty −=

t0 0t

)( 0ty )( 00 ttx −= )0(x=

)()()( 0ttxtytx −=→

][][][ 0nnxnynx −=→

SS 0809SinSist1 12


Translação )()()( 0ttxtytx −=→

][][][ 0nnxnynx −=→

)0(0 00 >> nt atraso do sinal

)0(0 00 << nt avanço do sinal

)2()( −= txty)(tx

1

1

2− t

n0 1 2 3-1-2-3

][nx1

n0 1 2-4 -1-2-3

1

)]1([]1[][ −−=+= nxnxny

t0

1

3

7

SS 0809SinSist1 13


Mudança de escala )()()( atxtytx =→

)(tx

t1

)/1( ay )/1( aax ⋅= )1(x=

)0( >a

)()( atxty =

ta/1

SS 0809SinSist1 14



1>a contracção da escala temporal

expansão da escala temporal

)2()( txty =)(tx

1

1

2− t

)0( >a

10 << a

)(tx

1

1

2− t

)2/()( txty =

2

1

4− t

21

1

1− t

8

SS 0809SinSist1 15


Mudança de escala ][][][ anxnynx =→

1>a

corresponde sempre a uma “amostragem”

)0( >a

No caso discreto apenas tem sentido se a for inteiro

n0 1 2-4 -1-2-3

1

][nx

-5-6 3 4

]2[][ nxny =

n0 1 2-1-2-3

1

Exemplo

SS 0809SinSist1 16


Rebatimento )()()( txtytx −=→

][][][ nxnynx −=→

)0(0 == ntcorresponde a uma reflexão do gráfico do sinal na recta

)()( txty −=)(tx

1

1

2− t

n0 1 2 3-1-2-3

][nx1

2

1

1− t

][][ nxny −=

n0 1 2 3-1-2-3

1

9

SS 0809SinSist1 17



)(tx

t1

)0( <a

corresponde a um rebatimento e a uma contracção/expansão definida por |a|

)()( atxty =

0<a

não importa a ordem por que são realizados o rebatimento e a contracção/expansão!

)()( atxty =

ta/1

)|(| tax

t||/1 a

)( tx −

1− t

)||( tax −=

|| aa −=

|| aa −=

SS 0809SinSist1 18


Caso geral )()()( batxtytx −=→

][][][ banxnynx −=→

Combina uma translação com uma contracção/expansão e com eventual rebatimento

)(tx

t10

)()( batxty −=

tab+1

ab

( )aby ( )bax a

b −= ( )bbx −= ( )0x=

( )aby +1 ( )bax a

b −= +1 ( )bbx −+= 1 ( )1x=

)()( batxty −= pode ser obtido de duas formas: translação seguida de mudança de escala

mudança de escala seguida de translação

10

SS 0809SinSist1 19




Realizando primeiro a translação

)(tx

t10

)()( batxty −=

tab+1

ab

)()( btxtxb −=

tb+1b

)()( btxtxb −=

e depois a mudança de escala )()( atxty b= )( batx −=

atraso de b

escalamento de a

SS 0809SinSist1 20




Realizando primeiro a mudança de escala

)(tx

t10

)()( batxty −=

tab+1

ab

e depois a translação ( )ab

a txty −=)(

)()( atxtxa =

)()( atxtxa =

ta10

( )( )abtax −⋅=

)( batx −=atraso de b/a

escalamento de a

11

SS 0809SinSist1 21


n0 1 2-4 -1-2-3

1

][nx

-5-6 3 4

Exemplo: Dado x[n], determinar x[2n+2]

]2[][1 += nxnx

n-2 -1 0-6 -3-4-5

1

][1 nx

-7-8 1 2

1. obter ]22[]2[1 += nxnx2. obter

n-1 0 1-2-3-4

1

]22[ +nx

SS 0809SinSist1 22


Exemplo: Dado x(t), determinar

( )21 )( txtx −=1. obter ( ) ( )21

21

1 )1( tt xxtx −− =−=−2. obter

)(tx

1

1

2− t

−

21 tx

)(1 tx

4

1

2− t

Nota: ( )121

21

21

−−=−

−=− ttt

( )21 tx −

5

1

1− t

12

SS 0809SinSist1 23

Faculdade de EngenhariaExercício 1

)()( tytx +

><<−

−<=

1111||

10)(

ttt

ttx

)(ty

1

1− t1−

Dados os sinais

determine e esboce

SS 0809SinSist1 24


e determine

Exercício 2

Considere o sinal

)(ty

1

1− t1−

2 ( ) )1(1 tyty −−+

13

SS 0809SinSist1 25

Faculdade de EngenhariaSinais pares

Um sinal x(t) em tempo contínuo diz-se par se ttxtx ∀=− )()(

t0

x(t)

Um sinal x[n] em tempo discreto diz-se par se nnxnx ∀=− ][][

n0 1 2 3-1-2-3

x[n]

Nota: O gráfico de um sinal par é simétrico relativamente à recta t=0 (n=0)

SS 0809SinSist1 26

Faculdade de EngenhariaSinais ímpares

Um sinal x(t) em tempo contínuo diz-se ímpar se ttxtx ∀−=− )()(

Um sinal x[n] em tempo discreto diz-se ímpar se nnxnx ∀−=− ][][

t0

x(t)

n0 1 2 3-1-2-3

x[n]

Notas: O gráfico de um sinal ímpar é simétrico relativamente à origem

O valor de um sinal ímpar em 0 é nulo (ou não está aí definido)

14

SS 0809SinSist1 27

Faculdade de EngenhariaDecomposição em parte par e parte ímpar

Um sinal em tempo contínuo x(t) pode sem decompostona soma de um sinal par com um sinal ímpar

)()()( txtxtx ip +=)(txp

)(txi

é e parte par de x(t)

é a parte ímpar de x(t) )()( txtx ii −=−

)()( txtx pp =−

)(2)()( txtxtx p=−+

)(2)()( txtxtx i=−−

2)()()( txtxtxp

−+=

2)()()( txtxtxi

−−=

)()()( txtxtx ip −+−=− )()( txtx ip −=

SS 0809SinSist1 28

Faculdade de EngenhariaDecomposição em parte par e parte ímpar

Um sinal em tempo discreto x[n] pode sem decompostona soma de um sinal par com um sinal ímpar

][][][ nxnxnx ip +=][nxp

][nxi

é e parte par de x[n]

é a parte ímpar de x[n] ][][ nxnx ii −=−

][][ nxnx pp =−

][2][][ nxnxnx p=−+

][2][][ nxnxnx i=−−

2][][][ nxnxnxp

−+=

2][][][ nxnxnxi

−−=

][][][ nxnxnx ip −+−=− ][][ nxnx ip −=

15

SS 0809SinSist1 29

Faculdade de EngenhariaDeterminação de parte par e parte ímpar

n0 1 2 3-1-2-3

x[n]

n0 1 2 3-1-2-3

x[–n]

n0 1 2 3-1-2-3

][nxp

n0 1 2 3-1-2-3

][nxi

t0

x(t)

t0

x(–t)

)(txp

t0

t0

)(txi

SS 0809SinSist1 30

Faculdade de EngenhariaPotência instantânea

A potência instantânea do sinal x(t) é2)(tx

é um valor sempre não negativo

apenas é nula nos instantes em que x(t) é nulo

se x(t) é real então a potência instantânea é dada por )(2 tx

Para sinais em tempo discreto, a potência instantânea do sinal é dada por2][nx

sendo também válidas as afirmações acima

16

SS 0809SinSist1 31


Um sinal apenas definido num intervalo diz-se de duração limitada

Energia

{ } ∫=2

1

21

2],[ )()(

t

ttt dttxtxE

],[ 21 tt

Energia do sinal x(t) no intervalo

Quando x(t) está definido para todos os números reais a sua energia é { } ∫+∞

∞−

= dttxtxE 2)()(

se a energia de um sinal num intervalo é nula, então o sinal é nulo nesse intervalo

Notas:

Um sinal x(t) de duração limitada pode estender-se a todo o domínio real, fazendo

],[ 21 tt

0)( =tx

para 21 tttt >∨< de modo a manter a sua energia

SS 0809SinSist1 32


Um sinal apenas definido num intervalo diz-se de duração limitada

Energia

{ } ∑=

=2

1

21

2],[ ][][

n

nnnn nxnxE

],[ 21 nn

Energia do sinal x[n] no intervalo

Quando x[n] está definido para todos os números inteiros a sua energia é

se a energia de um sinal num intervalo é nula, então o sinal é nulo nesse intervalo

Notas:

Um sinal x[n] de duração limitada pode estender-se a todo o domínio inteiro, fazendo

],[ 21 nn

0][ =nx

para 21 nnnn >∨< de modo a manter a sua energia

{ } ∑+∞

−∞=

=n

nxnxE 2][][

17

SS 0809SinSist1 33

Faculdade de EngenhariaEnergia – exemplos

t0

x(t)1

1 2-1-2

{ })(]0,2[ txE − ∫−

=0

2

2)( dttx ∫∫−

−

−

++=0

1

1

2

2)2( dtdtt34

=

{ })(txE ∫∞

∞−

= dttx 2)( ∫∫∫ −+++=−

−

−

2

0

20

1

1

2

2 )1()2( dttdtdtt

[ ] 01

1

2

3

3)2(

−

−

−

+

+= tt

[ ]2

0

30

1

1

2

3

3)1(

3)2(

−−++

+= −

−

−

ttt 2=

SS 0809SinSist1 34

Faculdade de EngenhariaPotência média

{ } ∫−=

2

1

21

2

12],[ )(1)(

t

ttt dttx

tttxPPotência média do sinal x(t) no intervalo

Caso os sinais estejam definidos em de –∞ a + ∞ a potência média é definida por

],[ 21 tt

{ } ∑=+−

=2

1

21

2

12],[ ][

11][

n

nnnn nx

nnnxPPotência média do sinal x[n] no intervalo ],[ 21 nn

Nota: O intervalo de inteiros contém pontos!],[ 21 nn 112 +− nn

{ } ∫−

+∞→=

C

CC

dttxC

txP 2)(21lim)( ou { } ∑

−=+∞→ +

=D

DnD

nxD

nxP 2][12

1lim][

18

SS 0809SinSist1 35

Faculdade de EngenhariaPotência média – exemplos

∑−=+−−

=2

1

2][1)1(2

1

n

nx

∑−=

+∞→ +=

D

DnD

nyD

2][12

1lim

n0 1 2 3-1-2-3

x[n]

12

-1

{ }][]2,1[ nxP− ( )2222 )1(21141

−+++=47

=

n0 1 2 3-1-2-3

][ny

{ }][nyP ∑=

+∞→ +=

D

nD D 0

112

1lim12

1lim++

=+∞→ D

DD 2

1=

SS 0809SinSist1 36

Faculdade de EngenhariaSinais de duração ilimitada – sinais de energia e sinais de potência

Os sinais com energia finita (E{x}<∞) são designados sinais de energia.Estes sinais têm potência média nula!

Os sinais com potência média não nula e finita (0<P{x}<∞) são designados sinais de potência.Estes sinais têm energia infinita (E{x}=∞)!

Exemplos: <<−

=t

tttx

outros,011,

)(

<<−

=n

nnnx outros,0

35,][3

Exemplos:

<≥

=0,00,1

)(tt

tx nnx )1(][ −=

Há ainda sinais que têm energia infinita (E{x}=∞) e potência média infinita (P{x}=∞)!

Exemplos:

<≥

=0,00,

)(ttt

tx nnx =][

19

SS 0809SinSist1 37

Faculdade de EngenhariaValor médio

∫−=

2

1

21)(1)(

12],[

t

ttt dttx

tttxValor médio do sinal x(t) no intervalo

Caso os sinais estejam definidos em de –∞ a + ∞ o valor médio é definido por

],[ 21 tt

∑=+−

=2

121

][1

1][12

],[

n

nnnn nx

nnnxValor médio do sinal x[n] no intervalo ],[ 21 nn

ou∫−

+∞→=

C

CC

dttxC

tx )(21lim)( ∑

−=+∞→ +

=D

DnD

nxD

nx ][12

1lim][

SS 0809SinSist1 38

Faculdade de EngenhariaValor médio – exemplos

∑−=

+∞→ +=

D

DnD

nyD

][12

1lim

n0 1 2 3-1-2-3

][ny

][ny ∑=

+∞→ +=

D

nD D 0

112

1lim12

1lim++

=+∞→ D

DD 2

1=

t0

x(t)1

1 2-1-2

]0,2[)(−

tx ∫−

−−=

0

2

)()2(0

1 dttx

++⋅= ∫∫−

−

−

0

1

1

2

)2(21 dtdtt

43

=[ ]

+

+⋅= −

−

−

01

1

2

2

2)2(

21 tt

20

SS 0809SinSist1 39

Faculdade de EngenhariaSinais periódicos – tempo contínuo

O sinal x(t) diz-se periódico se existir T>0 tal que tTtxtx ∀+= )()(

se m é inteiro então tmTtxtx ∀+= )()(

o menor T não negativo que satisfaz tTtxtx ∀+= )()( é designado período fundamental

t0

x(t)

T 2T–T–2T

SS 0809SinSist1 40

Faculdade de EngenhariaSinais periódicos – tempo discreto

O sinal x[n] diz-se periódico se existir N>0 tal que nNnxnx ∀+= ][][

se m é inteiro então nmNnxnx ∀+= ][][

o menor N não negativo que satisfaz é designado período fundamentalnNnxnx ∀+= ][][

n0 N

][nx

2N–N–2N

21

SS 0809SinSist1 41

Faculdade de EngenhariaSinais periódicos – valor médio, potência média e valor eficaz

x(t) de período T

∫+

=Tt

t

dttxT

tx0

0

)(1)(

{ } ∫+

==Tt

t

dttxT

txtxP0

0

22 )(1)()(

Nota: Integrações realizadas ao longode qualquer intervalo de largura T

valor médio

potência média

valor eficaz { })(txPxx RMSef == ∫+

=Tt

t

dttxT

0

0

2)(1

(root mean square)

SS 0809SinSist1 42

Faculdade de EngenhariaSinais periódicos – valor médio, potência média e valor eficaz

x[n] de período N

∑−+

=

=10

0

][1][Nn

nn

nxN

nx

Nota: Somatórios realizados ao longo de qualquer intervalo de N pontos consecutivos

valor médio

potência média

valor eficaz { }][nxPxx RMSef ==

(root mean square)

{ } ∑−+

=

==1

22 0

0

][1][][Nn

nn

nxN

nxnxP

∑−+

=

=1

20

0

][1 Nn

nn

nxN

22

SS 0809SinSist1 43

Faculdade de EngenhariaValor médio, potência média e valor eficaz – exemplo

t0

x(t)

T/2 T

A

)(tx

{ })(txP

∫=T

dttxT

0

)(1∫=

2/

0

21T

dtTAt

T

2/

0

21T

TAt

T

=

4A

=

∫=T

dttxT

0

2)(1 ∫

=

2/

0

221T

dtTAt

T ∫=2/

02

2241T

dtT

tAT

2/

0

3

3

2

34

Tt

TA

=

6

2A=

{ })(txPxRMS =6

A=

SS 0809SinSist1 44

Faculdade de EngenhariaSinais pediódicos – componentes contínua e alternada

x(t) de período T )()()( txtxtx AC+=

componente contínua de x(t)

componente alternada de x(t) 0)( =txAC

x[n] de período N ][][][ nxnxnx AC+=

componente contínua de x[n]

componente alternada de x[n] 0][ =nxAC

23

SS 0809SinSist1 45

Faculdade de EngenhariaComponentes contínua e alternada – exemplo

∫=T

dttxT

tx0

)(1)(

t0

x(t)

T

A

Tt

TA

0

2

2 2

=

2A

=

)()()( txtxtxAC −=2

)( Atx −=

t0

xAC(t)

T

A/2

–A/2

∫=T

dtTAt

T0

1

SS 0809SinSist1 46


Relativamente ao sinal da figura determine

a) o valor médio

b) a potência média

c) o valor eficaz

t0

x(t)

T

A

–T

d) a componente alternada

24

SS 0809SinSist1 47


Considere o sinal x(t) com energia E{x(t)} finita. Determine:

a) { })( btxE −

b) { })(atxE

c) { })( batxE −

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