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Simetría en química

Laura Gasque 2016-1 2

Bibliografía básica

• Primeras tres o cuatro clases: Unidad I y II del curso de Cálculo II

• Cotton F.A. Chemical Applications of Group Theory 3ª Ed. John Wiley & Sons,

1990.

• ( NO USAR VERSIÓN EN ESPAÑOL)

• Harris, D.C and Bertolucci, M.D. Symmetry and spectroscopy. Dover

Publications, 1978.

• (13 USD en Amazon)



Evaluaciones

• ¿Tareas?

• Simetría en Química I

• Primer parcial: a casa dentro de 4 semanas

• Segundo parcial - final: Una parte a casa y otra en vivo, dentro de 8 semanas

• Simetría en Química II 50% Problema individual oral y escrito

50% Examen Final

¿Por qué es relevante este curso?

• Nos va a ayudar a conocer algunas propiedades muy importantes de las soluciones de

la Ecuación de Schroedinger:

*elect : Orbitales atómicos, Orbitales moleculares, Términos espectroscópicos,

predicción de transiciones electrónicas, en el espectro UV-vis)

*nucl : Funciones de onda vibracionales (Modos normales de vibración)

Transiciones vibracionales (IR y Raman)


“La solución de la ecuación de Schroedinger*

para cualquier molécula . . . .

debe ser base de alguna representación irreducible

del grupo puntual al que pertenece la molécula”

* elect ,nucl ,tot


¡ ¡ Poner mucha atención

en el LENGUAJE ! !

Empezaremos por el Álgebra lineal porque:

• Las soluciones de una ecuación diferencial, como la ecuación de Schroedinger, son

base de algún espacio vectorial.

• Las operaciones de simetría son transformaciones lineales de R3 R3.

• El concepto de representación irreducible une al Algebra Lineal con la Teoría de

Grupos, ayudándonos a conocer “cualitativamente” a las funciones de onda.


Conceptos que tenemos que recordar:

• Espacios vectoriales

• Subespacios

• Bases

• Dependencia e independencia lineal

• Matrices

• Con su extraña multiplicación


PURO REPASO

Súper rápido

ESPACIO VECTORIAL (V) = Un conjunto de objetos con una operación

binaria (“suma”) definida entre ellos y un “producto escalar” definido entre uno de

sus elementos y un elemento de un Campo K (por. ej. los números reales), tal que:

• Para la operación binaria, V V V se cumple:

• Conmutatividad

• Asociatividad

• Existencia del elemento neutro para esa operación

• Existencia de los inversos para todos los elementos

• Para el producto escalar K x V V se cumple:

• Asociatividad a(bu) = (ab)u

• Existencia del neutro para el producto escalar

• Distributividad del producto escalar sobre la suma vectorial (escribirlo)

• Distributividad de la suma escalar sobre el producto escalar (escribirlo)


Ejemplos muy conocidos

• Los “vectores” en R2 (parejas ordenadas de números reales)

• R2 = (a,b)a,b R

• Los “vectores” en R3 (ternas ordenadas de números reales)

• R3 = (a,b,c)a,b,c R

• i.e. las “flechas” de la física


Otros ejemplos más interesantes

• Las funciones (continuas en un intervalo): f C (a,b)

• La suma entre ellas . . .

• La multiplicación de ellas por números reales . . .

• ¿Cumplen con las propiedades de la definición de Espacio Vectorial?

• Revisen la definición . . . ESPACIO VECTORIAL (V) = Un conjunto de objetos con una o...


Subespacios Vectoriales

• Definición: Un subconjunto U de un espacio vectorial V es un

subespacio de V si él mismo es un espacio vectorial.

• Criterio del subespacio (teorema)

• Un subconjunto de V es un E.V. si es cerrado bajo la suma vectorial y

bajo el producto escalar.


¿Son espacios vectoriales los siguientes conjuntos de

vectores en R2?

• V1 = (0,0), (1,1),(2,2), (3,3)

• V2 = (a,a) aR

• V3 = (a,2a) aR

• V4 = (a, a+1) aR

• ¿podemos hacer una generalización geométrica?Laura Gasque 2016-1 14

Ejemplos con funciones• P = el conjunto de todos los polinomios:

P(x) = anxn + an-1x

n-1 + an-2xn-2 . . . . + a1x + ao

¿Son funciones continuas?

¿Cumplen con las propiedades de la definición de Espacio Vectorial?

¿Este conjunto (P) satisface el criterio del subespacio?

Un subconjunto de V es un E.V. si es cerrado bajo la suma vectorial y bajo el producto escalar.

• Otro ejemplo

P3= P(x) = a3x

3 + a2x2 + a1x + ao a R P3 P C (a,b)


¿Cumple con el criterio

del subespacio?


del subespacio?

Más ejemplos de subespacios de funciones• f(x) = sen x; g(x) = cos x f: R R g: R R

• T =asenx + bcosx a, b R

• f(x) = sen x; p(x) = anxn + an-1x

n-1 + an-2xn-2+ . . . . + ax +a0

f: R R g: R R

TP = a senx + b p(x) a, b R



del subespacio?

Dependencia e independencia lineal


Dependencia lineal

• Lenguaje formal: Un conjunto de n vectores vi es linealmente

DEPENDIENTE si existe un conjunto de ai (distinto de ai =0 i) tal que

• a1v1 + a2v2 + a3v3 + . . . . + anvn = 0

• Lenguaje común: Un conjunto de vectores es linealmente DEPENDIENTE,

si cualquiera de ellos puede expresarse como una combinación lineal de los

demás.


Independencia lineal

• Lenguaje formal: Un conjunto de vectores vi es linealmente independiente si

la única posibilidad de que

a1v1 + a2v2 + a3v3 + . . . . + anvn = 0 es que ai = 0 i

• Lenguaje común: Un conjunto de vectores vi es linealmente independiente si

no es posible expresar a cualquiera de ellos como combinación lineal de los

demás.


Ejemplos (relevantes) de dependencia e

independencia lineal con vectores en C

• Sean 1, 2, y 3 funciones C

• 1 = 1 + 2 + 3

• 2 = 21 + 2 + 3

• 3 = 21 - 2 - 3

• ¿ 1 2 y3 son l.d. ó l.i.?

• Sean 1, 2, y 3 funciones C

• 1 = 1 + 2 + 3

• 2 = 21 - 2 - 3

• 3 = 2 - 3

• ¿ 1 2 y3 son l.d. ó l.i.?


¿Tarea?

• Tarea . . .


Base de un espacio vectorial: Definición:

• Un subconjunto S V es una base de V si:

• Es linealmente independiente

• Genera a todo el espacio vectorial


Ejemplos en Rn

• R3 = (a,b,c) a,b,c R

• Base canónica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

• ¿qué otra?

• Probar que (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) es una base para R3 ¿Tarea ?


Anti-ejemplos para bases en R3

• ¿Por qué (1,0,0), (0, 2, 0) no es

una base de R3

• ¿Por qué (1,1,1), (2,1,0) (0,-1,-2)

no es una base de R3


¿Tarea?

Ejemplos de bases en un espacio de funciones

• Series de Taylor (combinaciones lineales de polinomios)

• Series de Fourier (combinaciones lineales de senos y cosenos)


Ortogonalidad de vectores


Producto interior o producto escalar:

Definición

• Es una operación binaria entre vectores cuyo producto es un escalar, que

debe cumplir las siguientes propiedades:

• uv = vu v, u V

• u (v+w) = (u v) + (u w) v, u, w V

• u v = (u v) = u v v, u V, K

• uu 0 v V, uu = 0 si y solo si u= 0.


Producto escalar para vectores en Rn

• Ya se lo saben

• Es fácil ver que cumple con las propiedades


Producto escalar para funciones

Sean 𝑓 𝑦 𝑔 funciones continuas de Rn Rn

𝑓𝑔 = 𝑎𝑏𝑓𝑔 𝑑𝑥

¿Cumple con las propiedades?


Definición de ortogonalidad

• Dos vectores son ortogonales si

• uv = 0

• Tarea: Traer un ejemplo de dos funciones ortogonales


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