República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior

Instituto Universitario de Tecnología del Estado Bolívar

Cálculo

Profesor:

Ing. Wilmer Colmenares

Integrantes:

Nilsa González C.I 15.468.160

Wilfredo J. Basanta C.I 10.042.302

Ricardo, Philips C.I. 14.969.020

Ciudad Bolívar, Abril 2010

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodossimilares fueron dados por Madhava of Sangamagrama.3 A pesar de que hoy en díaningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticoshindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de laserie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno,tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó variasseries de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presentó una forma general para construirestas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por BrookTaylor, de quién recibe su nombre.Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor deEdinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de JosephFourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una sumade funciones periódicas de la forma. que son armónicos de ei x; Fourier fue el primeroque estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación delcalor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación sellama algunas veces Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadasrelacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.

Reseña Histórica

Definición de Taylor

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que esinfinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la seriede potencias:

f (x) = f (x) = f (a) + f´ (a) (x – a) + f´´ (a) (x – a)2 + f (3) (a) (x – a)3 + …

1! 2! 3!

que puede ser escrito de una manera más compacta como:∞

f (x) = Σ f (n) (a) (x – a)n

n=0 n!

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en elpunto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambosdefinidos como uno.

Propiedades de la serie de Taylor

FUNCIÓN DESARROLLO CONVERGE

1

1 – x

n=0

- 1 < x < 1

(1 + x)a - 1 < x < 1

Log (1+x)

n=1 2 3 4

- 1 < x ≤ 1

ex ∞ 1 x n = 1+ x + 1 x2 – 1 x4+…

n=0 n! 2 3!

- < x < +

Sen x ∞

n=0 3! 5! 7!

- < x < +

Cos x ( -1) x2n = 1- 1 x2+ 1 x4– 1 x6 +…

n=0 (2n )! 2! 4! 6!

- < x < +

Arc sen x

n=0 2 × 4 × 6 × … ×(2n) 2n+1 6 40

- 1 ≤ x ≤ 1

Arc tg x - 1 ≤ x ≤ 1

S

xn= x – 1 x2 + 1 x3 – 1 x4+…

1 + ax + x2 + … + xn + …a (a – 1)

2!

a(a – 1) … (a – n +1)

n!

S

( -1) n-1

n

xn= 1 + x + x2 + … + xn + …

S

S(-1) n

(2n+1)!

X2n+1= x – 1 x3 + 1 x5 – 1 x7+…

S

S1 ×3 × 5 ×…(2n-1) . X2n+1

= x + 1 x3 + 3 x5 +…

n=0S(-1) n

(2n+1)X 2n+1 = x - 1 x3 + 1 x5 – 1 x7 +…

3 5 7

Ejercicios básicos de Taylor

• Hallar una serie de potencias en torno a 0 para sen—1 x

1 = 1 + 1.3.5...(2n-1) x n para |x| < 1

1- x 2.4.6…(2n)

• Remplazar x por t 2

1 = 1 + 1.3.5...(2n-1) t 2n Para | t | < 1

1 – t 2 2.4.6…(2n)

Entonces, para | x | < 1

Sen-1x= ∫0 1 dt = x + 1.3.5...(2n-1) x2n+1

1 – t 2 2.4.6…(2n) 2n+ 1

n=1

n=1 <

x

S

n=1

Ejercicios de aplicación a la Ingeniería

1.- Se considera la serie de potencias

Xn

n (n+2)S

n=1

Obtener su intervalo de convergencia, analizando el comportamiento en los extremos. Calcular su función suma en el interior de dicho dominio

Indicación: para determinar la suma, descomponer en fracciones simples

el coeficiente del termino general.

Solución: El radio de convergencia de la serie de potencia es:

R= lim

n

an

an + 1 lim

n

( n + 1 ) ( n + 3 )

n (n+ 2) = 1=

En el extremo x = 1, la serie tiene el mismo carácter que la serie converge

1

n2S

n=1

Entonces, la serie en el extremo x = 1 converge absolutamente y el intervalo de convergencia es [-1 , 1]

Para calcular la suma de la serie en los puntos |x|<1, descomponemos:

1 A + B 1 ( A + B)n + 2 A A 1 ,

n ( n + 2 ) n n+2 2

B = -1

2

= => = => =

En consecuencia,

t n = 1 ,

1 - t

S

n=1

- 1 < t < 1 .

Si X E [ 0 , 1 ] entonces integrado en el intervalo [ 0 , x ], obtenemos:

S

n=1S

n=1∫0

x

∫0

x

( )t nS

n=1

dt = tn dt = = =( ) ∫0

xx n+1

n + 1

1

1 - 11n ( 1 – x )

Si x E ( -1 , 0 ) entonces integrado en el intervalo [ x , 0 ] obtenemos:

∫0

-x

S

n=1∫0

x

( )t nS

n=1

dt = - = dt =1

1 + u1n ( 1 – x )

x n+1

n + 1

En consecuencia,

S

n=0

xn

nS

n=1

= = - Ln ( 1 – x )xn+1

n+1

Sea X E ( -1 , 1 ) tal que X 0. Entonces:=

S

n=1

xn

N+2S

n=1

=xn+2

n+2

1

x2

=

=

=1 x3 x4 xn

X2 3 4 n( )

- x -1 xn x2

X2 n 2

S

n=1( )

+ + …+ + …

=1 x2

X2 2( )- ln ( 1 - x ) - x -

1 1 - ln (1 – x)

2 x x2- - -

Finalmente, la suma de la serie, para X E ( - 1, 1 ) tales que x 0, es:=

S

n=1

xn 1 1 1 ln ( 1 - x )

n ( n + 2 ) 2 2 x x2

= + + - ln ( 1 - x )

Definición de Fourier

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de seruna herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas deaplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes yseñales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas detelecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales defrecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para laseñal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

∞f (x) = ao+ Σ [an COS (nx) + bn SIN (nx)]

2 n=1

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función f (x).

Propiedades de la serie de la transformada de

Fourier

Linearidad F [ f (t) + b g (t) ] = F (w) + b G (w)

Dualidad F [ f (t) ] = F (w) F [ F (t) ] = 2pf (-w)

Cambio de escala F [ f (at) = 1 F w

|a| a

Transformada de la conjugada F [ f * (t) ] = F * ( -w )

Translación en el tiempo F [ f ( t – to ) ] = e –jwto F (w)

Derivación en el tiempo F n f (t) = (jw)n F (w)

tn

Derivación en la frecuencia F [ ( -jt)n f (t) ] = n F (w)

wn

Transformada de la integral

F f (t ) tF (w) + pF ( 0 ) d(w)

jw

( )

[ ]

∫-

t

Propiedades de la serie de la transformada de

Fourier

Transformada de la

Convolución

F [ f (t) * g (t) ] =

F f (t)g ( t – t)tF (w) G (w)

Teorema de Parseval

| f (t)2 t = 1 |F (w)|2 w

2p

∫

-

∫

-∫

-

Ejercicio Básicos de Series de Fourier

Halla el campo de convergencia de la serie:

∞

Σ x n

n=1 n!

Solución: Podemos elegir entre aplicar el criterio del cociente o calcular el radio deconvergencia directamente. Tenemos:

an = 1 an + 1 = 1 _ n! (n + 1)!

De donde:

R = lim an = lim ( n + 1 ) = lim ( n + 1 ) * n! = lim ( n + 1 ) = ∞n→∞ an + 1 n→∞ n! n→∞ n! n→∞

Por consiguiente, el intervalo de convergencia es ( ∞,∞ ), es decir, la serie converge en toda la recta real.

Ejercicio de series de Fourier aplicada a la Ingeniería Eléctrica

Aplicaciones en circuitos, de forma senoidal

f (x) = aO + a1 * cos(ω0 ) + a2 * cos(2 * ω0 ) + a3 * cos(2 * ω0 ) + … + b1* sen( ω0 ) + 2

b2* sen( 2 * ω0 ) + b3* sen( 2 * ω0 ) + … + bn* sen( n * ω0 )

a0 / 2 ® valor medioa1, a2, b1, b2, ... ® coeficientes de Fourierw 0 ... ® frecuencia (2·p /T)n · w 0 ... ® harmónicos

Ejercicio de series de Fourier aplicada a la Ingeniería Eléctrica

½

a0 = 1 * ∫ ƒ (t) * dt

2 T -½

½

Coeƒ * cos => an = 2 * ∫ ƒ (t) * cos(n * ω0 ) * t) * dt

T -½

½

Coeƒ * sen => an = 2 * ∫ ƒ (t) * sen(n * ω0 ) * t) * dt

T -½

Ficha Bibliográfica

• Jr, Frank AyresMendelson, EllioitCálculo4ª EdiciónBogota, ColombiaEditorial Sebaum, 2001, 596 pgs

• Red de internet: http://es.wikipedia.org/wiki/serie_de_fourierhttp://neutron.ing.ucv.ve/electronica/materias/c2515http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis/a