Series de Fourier - 02

ANALISIS MATEMATICO IV

Ing. CIP Jaime D. Sandoval Ballarte

CIP N 85397

ELEMENTOS FINITOS

SERIES DE FOURIER - 2

7. Fenmeno de Gibbs

8. Forma Compleja de las Series de Fourier

9. Espectros de frecuencia discreta

10. Potencia y Teorema de Parseval

11. De la serie a la Transformada de Fourier.

12. Obtencin de la serie de Fourier usando FFT

13. Espectro de Frecuencia y medidores digitales

Simetras y Coeficientes de Fourier

Por ejemplo, la seal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:

Es una funcin con simetra de de onda impar, por ello su serie de Fourier slo contiene trminos seno de frecuencia impar:

Series de Fourier. 3

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

...)t5(sen)t3(sen)t(sen4)t(f 0510310

Fenmeno de Gibbs

Si la serie de Fourier para una funcin f(t) se trunca para lograr una aproximacin en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos ms armnicos, la sumatoria se aproximar ms a f(t).

Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armnicos.

Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos anterior:


Fenmeno de Gibbs


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 1 armnico

Fenmeno de Gibbs


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 3 armnicos

Fenmeno de Gibbs


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


FORMA COMPLEJA DE LA

SERIE DE FOURIER

Ing. Jaime D. Sandoval Ballarte

Forma Compleja de la Serie de

Fourier

Consideremos la serie de Fourier para una funcin

periodica f(t), con periodo T=2/0.

Es posible obtener una forma alternativa usando las

frmulas de Euler:

Donde


])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021

)ee()tn(sen

)ee()tncos(

tjntjn

j21

0

tjntjn

21

0

00

00

1j

Forma Compleja de la Serie de Fourier

Sustituyendo

Y usando el hecho de que 1/j=-j

Y definiendo:

Lo cual es congruente con la frmula para bn,

ya que b-n=-bn, ya que la funcin seno es impar. Series de Fourier. 14

])ee(b)ee(a[a)t(f1n

tjntjn

j21

n

tjntjn

21

n021 0000

]e)jba(e)jba([a)t(f1n

tjn

nn21tjn

nn21

021 00

)jba(c),jba(c,ac nn21

nnn21

n021

0


Fourier

La serie se puede escribir como

O bien,

Es decir,


)ecec(c)t(f1n

tjn

n

tjn

n000

1n

tjn

n

1n

tjn

n000 ececc)t(f

n

tjn

n0ec)t(f

Forma Compleja de la Serie de Fourier

A la expresin obtenida

Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:

Para n=0, 1, 2, 3, ...


T

0

tjn

T1

n dte)t(fc0

n

tjn

n0ec)t(f


Fourier

Los coeficientes cn son nmeros complejos, y tambin se pueden

escribir en forma polar:

Obviamente,

Donde,

Para todo n0,

Para n=0, c0 es un nmero real:


nj

nn ecc

nj

n

*

nn eccc

2

n

2

n21

n bac )a

barctan(

n

nn

021

0 ac


Fourier

Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la funcin ya tratada:

Solucin 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonomtrica (an y bn):

an=0 para todo n

y


1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

ntodopara])1(1[b nn2

n


Fourier

Podemos calcular los coeficientes cn de:

Entonces la Serie Compleja de Fourier queda


])1(1[j]jba[c nn2

21

nn21

n

])1(1[jc nn1

n

...)eee

eee(...j)t(f

t5j

51t3j

31tj

tjt3j

31t5j

512

000

000


Fourier

Solucin 2. Tambin podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral


T

0

tjn

T1

n dte)t(fc0

)dtedte(

T

2/T

tjn

2/T

0

tjn

T1 00

)ee(2/T

T

tjn

jn1

0

2/T

tjn

jn1

T1 0

o

0

o

)]ee()1e[(2/TjnTjn2/Tjn

Tjn1 000

o


Fourier

Como 0T=2 y adems

Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.


jsencose j

)])1(1()1)1[(c nnTjn

1n o

])1(1[j nTn

2

o

])1(1[j nn1


Fourier

Tarea: Calcular los coeficientes cn para la siguiente funcin de

periodo 2.

a) A partir de los coeficientes an,bn b) Directamente de la integral


-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal rectificada de media onda

t

f(t)

Espectros de Frecuencia Discreta

A la grfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t). A la grfica del ngulo de fase n de los coeficientes cn contra , se le llama el espectro de fase de f(t). Como n slo toma valores enteros, la frecuencia angular =n0 es una variable discreta y los espectros

mencionados son grficas discretas.



Dada una funcin peridica f(t), le corresponde una y

slo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un

conjunto nico de coeficientes cn.

Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el

dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t)

especifica la funcin en el dominio del tiempo.



Ejemplo. Para la funcin ya analizada:

Se encontr que

Por lo tanto,


1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

])1(1[jc nn1

n

])1(1[c nn1

n


El espectro de amplitud se muestra a continuacin

Observacin: El eje horizontal es un eje de frecuencia,

(n=nmero de armnico = mltiplo de 0).


-30 -20 -10 0 10 20 30 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 Espectro de Amplitud de f(t)

n

C

n

Frecuencia negativa (?) Frecuencia


Tarea. Dibujar el espectro de amplitud para la

funcin senoidal rectificada de onda.


TEOREMA DE PARSERVAL

SERIE DE FOURIER

Potencia y Teorema de Parseval

El promedio o valor medio de una seal

cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede

calcular como la altura de un rectngulo que

tenga la misma rea que el rea bajo la curva de

f(t)


1 f(t)

t

h=Altura

promedio

T

0

dt)t(fArea

T

Area=Th


De acuerdo a lo anterior, si la funcin peridica f(t)

representa una seal de voltaje o corriente, la potencia

promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en

un periodo est dada por

Si f(t) es peridica, tambin lo ser [f(t)]2 y el promedio

en un periodo ser el promedio en cualquier otro

periodo.


2/T

2/T

2

T1 dt)]t(f[


El teorema de Parseval nos permite calcular la

integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes com-

plejos cn de Fourier de la funcin peridica f(t):

O bien, en trminos de los coeficientes an, bn:


n

2

n

2/T

2/T

2

T1 cdt)]t(f[

1n

2

n

2

n212

041

2/T

2/T

2

T1 )ba(adt)]t(f[


Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado: El valor cuadrtico medio de una funcin peridica f(t) es igual a la suma de los valores cuadrticos medios de sus armnicos, es decir, Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo y C0 es la componente de directa.


1n

2

n2

0

2/T

2/T

2

T1

2

CCdt)]t(f[


Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relacin entre los coeficientes complejos cn de la serie

Y los coeficientes reales Cn de la serie Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo y C0 es la componente de directa.


n

tjn

n0ec)t(f

1n

n0n0 )tncos(CC)t(f


Por un lado

Mientras que

Entonces, Por lo tanto,

Adems, para el armnico Su valor rms es , por lo tanto su valor cuadrtico medio es

Para la componente de directa C0, su valor rms es C0, por lo tanto su valor cuadrtico medio ser C0

2.


,baC 2n2

nn

2

n

2

n21

n bac

n21

n Cc 2

n41

2

n Cc

)tncos(C)t(f n0nn 2/Cn

2/C2n


Ejemplo. Calcular el valor cuadrtico medio de

la funcin f(t):

Solucin.

Del teorema de Parseval

y del ejemplo anterior

sustituyendo


1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

n

2

n

2/T

2/T

2

T1 cdt)]t(f[

])1(1[c nn1

n

...49

1

25

1

9

11

8c

2n

2

n


La serie numrica obtenida converge a

Por lo tanto,

Como era de esperarse.


2337.1...49

1

25

1

9

11

1)2337.1(8

cdt)]t(f[2

n

2

n

2/T

2/T

2

T1


Tarea.

Calcular el valor cuadrtico medio para la seal

senoidal rectificada de media onda de periodo

2.


TRANSFORMADA DE

FOURIER

Ing. Jaime D. Sandoval B.

De la Serie a la Transformada de

Fourier

La serie de Fourier nos permite obtener una

representacin en el dominio de la frecuencia para

funciones peridicas f(t).

Es posible extender de alguna manera las series de

Fourier para obtener el dominio de la frecuencia de

funciones no peridicas?

Consideremos la siguiente funcin periodica de periodo

T



Fourier

Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo

T:


1 f(t)

t

. . . -T -T/2 0

T/2

T . . .

p

-p/2 p/2

2T

2

p

2

p

2

p

2

p

2T

t0

t1

t0

)t(f


Fourier

Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este

caso resultan puramente reales:

El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos

(en este caso) graficando cn contra =n0.


)n(

)n(sen)(c

2

p

0

2

p

0T

p

n


Fourier

Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2


-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2

0

0.2

0.4

0.6

w=nw0

cn

Si el periodo del tren de pulsos aumenta:


-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=2

t

f(t)

t -20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=5

f(t)

-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=10

t

f(t)

-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=20

t

f(t)


Fourier

En el lmite cuando T, la funcin deja de ser

peridica:

Qu pasa con los coeficientes de la serie de

Fourier?


-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=

t

f(t)

De la Serie a la Transformada de Fourier


-50 0 50 -0.1

0

0.1

0.2

0.3

p=1, T=5

-50 0 50 -0.05

0

0.05

0.1

0.15

p=1, T=10

-50 0 50 -0.02

0

0.02

0.04

0.06 p=1, T=20

-50 0 50 -0.2

0

0.2

0.4

0.6 p=1, T=2

=n0

cn


Fourier

Si hace T muy grande (T): El espectro se

vuelve continuo!



Fourier El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresin de una funcin f(t) no peridica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armnicos de frecuencia n0, sino como una funcin continua de la frecuencia . As, la serie Al cambiar la variable discreta n0 (cuando T) por la variable continua , se transforma en una integral de la siguiente manera:


n

tjn

n0ec)t(f

Como

La serie queda

O bien,

cuando T, n0 y 0d y la sumatoria

se convierte en


n

tjn

2/T

2/T

tjn

T1 00 edte)t(f)t(f

2/T

2/T

tjn

T1

n dte)t(fc0

n

tjn

0

2/T

2/T

tjn

21 00 edte)t(f)t(f

dedte)t(f)t(f tjtj

21


Fourier Es decir,

Donde

Estas expresiones nos permiten calcular la expresin F() (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa


de)(F)t(ftj

21

dte)t(f)(F tj

Identidad

de Fourier

Transformada

De Fourier

TRANSFORMADA INVERSA

DE FOURIER

Ing. Jaime D. Sandoval B.


Fourier

Notacin: A la funcin F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir

En forma similar, a la expresin que nos permite

obtener f(t) a partir de F(w) se le llama transformada

inversa de Fourier y se denota por F 1 ,es decir


de)(F)t(f)](F[ tj211F

dte)t(f)(F)]t(f[ tjF


Fourier

Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso

rectangular f(t) siguiente

Solucin. La expresin en el dominio del tiempo

de la funcin es


-p/2 0 p/2

1 f(t)

t

t0

t1

t0

)t(f

2

p

2

p

2

p

2

p


Fourier

Integrando

Usando la frmula de Euler

Obsrvese que el resultado es igual al obtenido

para cn cuando T , pero multiplicado por T.


2/p

2/p

tjtj dtedte)t(f)(F

2/p

2/p

tj

j1 e

)ee( 2/pj2/pjj1

2/p

)2/p(senp)(F


Fourier

En forma Grfica


-50 0 50

0

0.5

1

F(w) con p=1

w

F(w

)


Fourier Tarea. Calcular la Transformada de Fourier de la funcin escaln unitario u(t):

Graficar U()=F[u(t)] Qu rango de frecuencias contiene U()? Cul es la frecuencia predominante?


u(t)

0

1

t

La Transformada Rpida de

Fourier

Cuando la funcin f(t) est dada por una lista de N valores f(t1),

f(t2), ...f(tN) se dice que est discretizada o muestreada, entonces

la integral que define la Transformada de Fourier:

Se convierte en la sumatoria

(Donde k es la frecuencia discreta), Llamada Transformada

Discreta de Fourier


dte)t(f)(F tj

Nn1para,e)t(f)n(FN

1k

)1k(j

kN

n2

La Transformada Rpida de

Fourier La Transformada Discreta de Fourier (DFT) requiere el clculo de N funciones exponenciales para obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo de clculo enorme para N grande. Se han desarrollado mtodos que permiten ahorrar clculos y evaluar de manera rpida la Transformada discreta, a estos mtodos se les llama Transformada Rpida de Fourier (FFT)


La FFT y la Serie de Fourier

Podemos hacer uso de la FFT para calcular los

coeficientes cn y c-n de la Serie compleja de Fourier

como sigue:

Ejemplo: Sea f(t) el tren de pulsos de ancho p y periodo

T.


1 f(t)

t

. . . -T -T/2 0

T/2

T . . .

p

-p/2 p/2


La versin muestreada f(k) de f(t) slo puede tomar un

nmero finito de puntos. Tomemos por ejemplo N=32

puntos cuidando que cubran el intervalo de 0 a T (con

p=1, T=2):


0 1 2 0

0.5

1

1.5 32 muestras de f(t), de 0 a T

k

f(k)


Para obtener estas 32 muestras usando Matlab se

puede hacer lo siguiente:

k=0:31

f=[(k23)]

Plot(k,f,o)



Con los 32 puntos f(k) calculamos F(n) mediante la

FFT, por ejemplo, en Matlab: F=fft(f)/N;

Con lo que obtenemos 32 valores complejos de F(n).

Estos valores son los coeficientes de la serie compleja

ordenados como sigue:


n 1 2 3 4 ... 16 17 18 19 ... 32

F(n) c0 c1 c2 c3 ... c15 c-16 c-15 c-14 ... c-1


Podemos graficar el espectro de amplitud reordenando previamente F(n) como

sigue aux=F;

F(1:16)=aux(17:32);

F(17:32)=aux(1:16);

F(n) queda:

Y para graficar el espectro de amplitud :stem(abs(F))

Obtenindose:


n 1 ... 13 14 15 16 17 18 19 ... 32

F(n) c-16 ... c-3 c-2 c-1 c0 c1 c2 c3 ... c15


Si deseamos una escala horizontal en unidades de frecuencia (rad/seg):


0 10 20 30 0

0.2

0.4

0.6 Para el tren de pulsos p=1,

T=2

n

|F(n

)

|

Espectro de Amplitud |F(n)|


w0=2*pi/T;

n=-16:15;

w=n*w0;

Stem(w,abs(F))

Obteniendo:


-50 0 50 0

0.2

0.4

0.6 para el tren de pulsos, p=1,T=2

w

|F(w

)|

Espectro de Amplitud |F(n)|


Tambin podemos obtener los coeficientes de la forma

trigonomtrica, recordando que:

Podemos obtener

Para el ejemplo se obtiene: a0=0.5, an=bn=0 (para n par), adems

para n impar:


)jba(c),jba(c nn21

nnn21

n

)cIm(2b),cRe(2a,ca nnn00

n 1 3 5 7 9 11 13 15

an 0.6346 -0.2060 0.1169 -0.0762 0.0513 -0.0334 0.0190 -0.0062

bn -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625


Como el tren de pulsos es una funcin par, se esperaba

que bn=0; (el resultado obtenido es errneo para bn, pero

el error disminuye para N grande):


0 10 20 30 -0.5

0

0.5

1

Coeficientes bn Coeficientes an

a0

La FFT y la Serie de Fourier Tarea: Usar el siguiente cdigo para generar 128 puntos de una funcin peridica con frecuencia fundamental 0=120 (60 hertz) y dos armnicos impares en el intervalo [0,T]: N=128;

w0=120*pi;

T=1/60;

t=0:T/(N-1):T;

f=sin(w0*t)+0.2*sin(3*w0*t)+0.1*sin(11*w0*t)

;

Usando una funcin peridica diferente a la subrayada: a) Graficar la funcin. b) Obtener y graficar el espectro de amplitud de la seal usando la funcin FFT


Medidores Digitales

La FFT ha hecho posible el desarrollo de equipo electrnico

digital con la capacidad de clculo de espectros de frecuencia

para seales del mundo real, por ejemplo:

1) Osciloscopio digital Fuke 123 ($ 18,600.00 M.N.)

2) Osc. digital Tektronix THS720P ($3,796 dls)

3) Power Platform PP-4300


Medidores Digitales

El Fluke 123 scope meter


Medidores Digitales

Tektronix THS720P (osciloscopio digital)


Medidores Digitales

Analizador de potencia PP-4300

Es un equipo especializado en monitoreo de la

calidad de la energa: permite medicin de 4

seales simultneas (para sistemas trifsicos)


Series de Fourier - 02

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