Resultados genéri os sobre entropia e dimensão deHausdor para difeomorsmos onservativos sobresuperfí iesThiago Apare ido Catalan

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇO DO ICMC-USPData de Depósito: 12 de dezembro de 2007Assinatura:Resultados genéri os sobre entropia e dimensão de Hausdor paradifeomorsmos onservativos sobre superfí ies1

Thiago Apare ido CatalanOrientador: Prof. Dr. Ali TahzibiDissertação apresentada ao Instituto de Ciên ias Matemáti as ede Computação - ICMC/USP, omo parte dos requisitos para ob-tenção do título de Mestre em Matemáti a.

USP - São CarlosDezembro/20071Projeto nan iado pela FAPESP

Aos meus pais,Walter e Angela,e meu irmão,Cristiano.

Agrade imentosPrimeiramente gostaria de agrade er a Deus, pois sem sua benção nada seria possível.Aos meus Pais, Walter e Angela, serei eternamente grato. Obrigado pela onança, pelos onselhos, e ensinamentos. Tenho em vo ês a minha força e a minha base. A redito quefamília é um item fundamental na vida de qualquer pessoa, e vo ês me propor ionaram umambiente familiar simplesmente espetá ulo. Muito obrigado mesmo. É bom de mais ser lhode vo ês. Ah, a ho que as hineladas tiveram um bom efeito.Agradeço ao meu irmão Cristiano, ou melhor, Ti é2 pela ompanhia durante todos estesanos. Pelas partidas de futebol no quintal, as quedas de braço, as quais eu sempre ganhava,e não poderia deixar de lembrar das belas brigas na infân ia, a Maria que o diga! Vo ê om erteza é o melhor irmão do mundo, obrigado.Sei que esta frase é batida, mas realmente faltam-me palavras para agrade er a minhanamorada Fernanda. Fi aria um tempo não enumerável es revendo se tentasse des rever oque sinto por vo ê, e o quanto sou grato. Muito obrigado pelo ompanheirismo, amizade,amor, lealdade, e arinho. Obrigado por sempre estar presente , pelas tantas horas de nibusaté São Carlos (será que foram muitas?), pelos belos nais de semana, et . Saiba que em vo êtenho a razão do meu viver.Aos amigos que z no IBILCE, agradeço a todos, mas não poderia deixar de itar o pessoalda minha turma do Ba harel: Grasi, Vina, Agnaldo, Ligia, Carol e Dani. Obrigado tambéma todos os professores em espe ial o pessoal de Sistemas Dinâmi os não só pela formaçãoMatemáti a, mas também pela amizade. Aproveitando o momento, agradeço ao Prof. Dr.Vanderlei pela orientação durante minha ini iação ientí a, a qual foi fundamental na minhabase matemáti a, pela amizade, onselhos, e oportunidades apresentadas.Aos ompanheiros de TranQra, Morera e Ja a, pelas onversas, baladas, e grandes partidasde sinu a, muito obrigado. Vo ês são amigos que terei sempre omigo, amigos do peito, amigosde TranQra.Agradeço aos ompanheiros da sala 4-232, a mais famosa sala do ICMC: Pimenta, Juliano,Patrí ia, Lu iene e o nosso representante Luiz Roberto Hartmann Júnior, um grande amigoiii

ivque sempre atendeu aos meus hamados para solu ionar algum problema omputa ional semmedir esforços ( será?! ). Aos amigos que z no ICMC: Juliano (Charanga), Marquinhos,Mi ena, Março Feniu, Baiano, Tatimi, Wes ley, Giu, Castilho, Duzinho, Leitão, Thaís (a maislegal!!!), e muitos outros.Aos ompanheiros de Morada do Es orpião: Claudinei, Kenji, Mateus e Fausto, agradeçopelas boas risadas, baladas, além dos atos maldosos. Ah, será que alguém tem ho olate?Ao Prof. Dr. Ali Tahzibi agradeço pela orientação, dedi ação, e pa iên ia. Obrigado porme en orajar em horas difí eis, e pelos onhe imentos ensinados.Aos fun ionários do ICMC, o meu muito obrigado.Por m, mas não menos importante, agradeço a FAPESP pelo fomento.

ResumoApresentamos duas propriedades genéri as para difeomorsmos on-servativos de lasse C1 sobre uma superfí ie ompa ta de dimensão dois.Obtemos uma limitação inferior para entropia topológi a de difeomor-smos genéri os, e mostramos que tais difeomorsmos sempre possuem onjuntos invariantes fe hados om órbitas densas e dimensão de Haus-dor dois.

v

Abstra tWe present two generi properties of C1 area preserving dieomor-phisms of a two dimensional ompa t oriented surfa e. We obtain alower bound for the topologi al entropy of a generi dieomorphisms,and we show that su h a dieomorphism always has losed invariant setswith dense orbits and Hausdor dimension two.

vii

Índi eAgrade imentos iiiResumo vAbstra t viiIntrodução 11 Dinâmi a Hiperbóli a 31.1 Propriedades Topológi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Entropia Topológi a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Propriedades Ergódi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Entropia Métri a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Estado de Equilíbrio e a função φu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Preliminares de Perturbação 152.1 Função Geradora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Lema de Perturbação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Resultado Prin ipal 233.1 Dimensão de Hausdor e o fun ional s(.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Propriedades genéri as para Diff1

ω(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Difeomorsmos de Anosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A Propriedades topológi as de Diff1ω(M) 45A.1 Diff1

ω(M) é um espaço de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Referên ias Bibliográ as 49ix

Tabela de Símbolos e Abreviações 51Índi e Remissivo 54

IntroduçãoA entropia topológi a é um invariante para difeomorsmos muito útil no que se refere a"medir"a aoti idade de um Sistema Dinâmi o. No entanto, é muito difí il de se al ular aentropia de um sistema. Sendo assim, tornam-se interessantes estudos que visam en ontraruma limitação inferior para entropia. Continuando nesta pro ura por meios diferentes de seestimar a entropia, olhamos para os pontos homo líni os, introduzidos por Henry Poin aré noestudo do problema restrito de três orpos. Sabemos que a existên ia de um ponto homo líni otransversal é fonte de um onjunto hiperbóli o, para o qual a entropia é positiva. E portanto,a entropia do sistema também é positiva. Com isto, aumenta o interesse de se saber o quão"gorda"são as lasses homo líni as de um sistema. Uma boa forma de se medir isto seriausando dimensão de Hausdor.Seja M uma variedade orientável, ompa ta, onexa, de dimensão dois. Neste trabalhoapresentamos duas propriedades genéri as em Diff1

ω(M), isto é, sobre o onjunto dos difeo-morsmos de lasse C1, que preservam área, sobre M . Obtemos uma limitação inferior paraentropia topológi a de difeomorsmos genéri os, e mostramos que tais difeomorsmos semprepossuem onjuntos invariantes fe hados om órbitas densas e dimensão de Hausdor dois,[1. É laro que esta limitação inferior, para que seja interessante e útil, tem que ser algo al ulável. No aso, nossa limitação inferior é o fun ional s(.), denido omo sendo o supremosobre os expoentes de Liapunov dos pontos periódi os hiperbóli os. Também, omo estamosfalando de propriedades genéri as, pre isamos que s(.) tenha propriedades topológi as boas.De fato, temos que s(.) é semi- ontínuo superior. Por m, denotando por H(p, f), a lassehomo líni a de um ponto periódi o hiperbóli o p, para f , o resultado prin ipal deste trabalhoé o seguinte:

2 IntroduçãoTeorema 1. Existe um onjunto residual B ⊂ Diff1ω(M) tal que se f está em B, então ada onjunto H(p, f) tem dimensão de Hausdor dois. Mais ainda, se f está em B e não éAnosov, então

h(f) ≥ s(f). (1)Para difeomorsmos de Anosov, usando té ni as apresentadas por Bowen em [6, mostra-mos que a equação (1) falha num onjunto aberto e denso. Também, no aso Anosov emdimensão dois, usando [4, temos que toda lasse homo líni a é densa sobre a variedade M .Logo, a primeira parte do Teorema 1 é trivialmente satisfeita. Sendo assim, para provarmoso Teorema 1, pre isamos apenas nos preo upar om os difeomorsmos não Anosov.Agora, para difeomorsmos não Anosov, Newhouse mostrou em [2, que no aso simpléti oa úni a patologia para um difeomorsmo não ser anosov é ser aproximado por tangên ias (veja onje tura de Palis). Isto é, no omplementar dos difeomorsmos hiperbóli os existe um onjunto denso de difeomorsmos que exibem tangên ias homo líni as . Usando as mesmasté ni as que Newhouse, juntamente om um resultado genéri o de Takens, o de que as lasseshomo líni as são densas nas variedades estáveis e instáveis, mostramos que todo ponto perió-di o hiperbóli o de um difeomorsmo não anosov, exibe uma tangên ia homo líni a, a menosde uma perturbação.A partir disto, podemos fazer perturbações numa vizinhança desta tangên ia, onseguindogerar um onjunto "gordo"dentro da lasse homo líni a, possuindo dimensão de Hausdormáxima, o qual utilizamos, também, para mostrar a desigualdade (1).Notemos que o resultado prin ipal deste trabalho é válido para variedades om dimensãodois. Um resultado re ente de Bonatti e Crovisier [13, mostra que H(p, f) = M para todoponto periódi o p de um difeomorsmo onservativo f , para M de dimensão qualquer. Oque generaliza a primeira parte do Teorema 1. Pensando nisto, podemos nos perguntar se épossível generalizar a segunda parte do Teorema 1.

Capítulo1Dinâmi a Hiperbóli aNeste apítulo vamos introduzir alguns dos resultados entrais da teoria de Sistemas Di-nâmi os. Estes resultados podem ser divididos em dois grandes onjuntos, os que expressamas propriedades topológi as dos sistemas, e aqueles que expressam as propriedades ergódi as.1.1 Propriedades Topológi asTodos os resultados apresentados nesta seção, juntamente om suas respe tivas demons-trações, podem ser en ontrados em [5.Vamos onsiderar M uma variedade, C∞, ompa ta, onexa e orientável. Denotamos por

Diff1(M) o onjunto dos difeomorsmos de lasse C1 sobre M .Nesta seção, quando não estiver espe i ado, onsideramos f em Diff1(M).Denição 1.1.1. Um ponto p é um ponto periódi o de período n para f , se fn(p) = p, ef j(p) 6= p para 0 < j < n. Se p possui período um, então ele é hamado de ponto xo.Denotamos por o(p) a órbita de um ponto periódi o p, e por τ(p) o período do ponto p.Denição 1.1.2. Um ponto periódi o p é hamado hiperbóli o se a apli ação linear Df τ(p)(p)possui autovalores om valor absoluto diferente de um. Onde Df τ(p)(p) é a derivada de f τ(p)no ponto p.Denição 1.1.3. Um ponto periódi o p é hamado elípti o se Df τ(p)(p) possui autovaloresnão reais om norma um. 3

4 Capítulo 1 Dinâmi a Hiperbóli aPodemos restringir um pou o mais a denição a ima.Denição 1.1.4. Dizemos que um ponto periódi o p para f , é k-elípti o, 1 ≤ k ≤ dimM2 ,se Df τ(p)(p) possui 2k autovalores não reais de norma um, e os outros autovalores possuemnorma diferente de um.Observemos que no aso de uma variedade M de dimensão 2, temos uma equivalên ia nadenição de pontos 1-elípti os e pontos elípti os.Denição 1.1.5. Um onjunto invariante Λ possui uma estrutura hiperbóli a para um difeo-morsmo f , se:(i) Em ada ponto p ∈ Λ o espaço tangente de M é fatorado numa soma direta de E

up e E

sp,

TpM = Eup ⊕ E

sp.(ii) Esta fatoração é invariante pela derivada Df . Isto é,

Df(p)(Eup) = Euf(p) e Df(p)(Esp) = E

sf(p).(iii) Existem 0 < λ < 1 e C ≥ 1, independentes de p, tal que para todo n ≥ 0,

|Dfn(p)(vs)| ≤ Cλn|vs| para vs ∈ Esp, e

|Df−n(p)(vu)| ≤ Cλn|vu| para vu ∈ Eup .Se um onjunto invariante Λ possui uma estrutura hiperbóli a para f , dizemos que Λ é um onjunto hiperbóli o.Dado um onjunto hiperbóli o Λ, por denição, segue que E

up e E

sp variam ontinuamente om p. Também, se m é um inteiro positivo tal que ρ = Cλm < 1, então

|Dfm(p)(vs)| ≤ ρ|vs| para vs ∈ Esp, e

|Df−m(p)(vu)| ≤ ρ|vu| para vu ∈ Eup .Daí, Dfm(p)|Esp é uma ontração e Dfm(p)|Eup é uma expansão. Por isto, diremos que E

spé a direção estável, e E

up a direção instável de f no ponto p. Notemos que a onstante Cdetermina o número de iterados de f ne essários, para que os vetores ome em a ontrair(respe tivamente, expandir) no subbrado E

sp (respe tivamente, Eup ).Exemplo 1.1.6. Suponhamos Λ um onjunto hiperbóli o para fN . Assim, por denição,para ada x ∈ Λ,

TxΛ = Eux ⊕ E

sx,e esta de omposição varia ontinuamente. Além disto, existem onstantes C > 0 e 0 < λ < 1,tal que

|DfnN (p)(vs)| ≤ Cλn|vs| para vs ∈ Esp, e

|Df−nN(p)(vu)| ≤ Cλn|vu| para vu ∈ Eup .

1.1 Propriedades Topológi as 5ConsideremosΛ =

N⋃

j=0

f j(Λ),o onjunto invariante para f , onstruído naturalmente a partir de Λ. Os andidatos a direçãoinstável e estável do onjunto Λ, são os iterados de Eu e E

s por f . Ou seja,Eifj(x) = Df j(Ei(x)), para i = u, s e j = 1, . . . , n− 1.As primeiras duas propriedades (i) e (ii), da Denição 1.1.5, são satisfeitas por onstrução.Agora, dado n ≥ 0, seja k ∈ N e 0 ≤ r < N tal que n = kN + r. Tomando C1 =

Cλ−N max‖Df i‖, para 0 ≤ j < N, e λ1 = λ1N , temos que:

|Dfnx (vs)| ≤ ‖Df r‖ |DfkNx (vs)|

≤ C1λn1 |v

s|,para todo x ∈ Λ, e vs ∈ Esx. Com um pro esso análogo para x ∈ Λ e vu ∈ E

ux, podemos on luir que Λ é hiperbóli o.Exemplo 1.1.7. Dado um ponto periódi o p para um difeomorsmo f , temos que o(p) éum onjunto invariante para f . Assim, dizer que p é hiperbóli o é equivalente a dizer que o onjunto o(p) é hiperbóli o.Denição 1.1.8. Dado um difeomorsmo f ∈ Diff1(M), dizemos que f é um difeomorsmode Anosov se a variedade M é um onjunto hiperbóli o.Denição 1.1.9. Duas funções f : Λ1 → Λ1 e g : Λ2 → Λ2 são topologi amente onjugadas,se existe um homeomorsmo h : Λ1 → Λ2, tal que g(h(x)) = h(f(x)).Denição 1.1.10. Para uma apli ação f : M → M , um ponto p é hamado não errante separa toda vizinhança U de p, existe um inteiro n > 0 tal que fn(U) ∩ U 6= ∅. Isto é, existeum ponto q ∈ U tal que fn(q) ∈ U . O onjunto de todos os pontos não errantes para f , é hamado de onjunto não errante e é denotado por Ω(f).Denição 1.1.11. Um difeomorsmo f ∈ Diff1(M) é hamado de Axioma A se o onjunto

Ω(f) é hiperbóli o e Per(f) = Ω(f).Teorema 1.1.12 (Teorema de Hartman-Grobman). Seja f ∈ Diff1(M), e p um pontoxo hiperbóli o. Então, existem vizinhanças U de p, V de 0, e um homeomorsmo h : V → U ,tal que f(h(x)) = h(Ax) para todo x ∈ V , onde A = Df(p). Em outras palavras, f étopologi amente onjugado a sua derivada numa vizinhança de p.Observação 1.1.13. Em dimensão dois, Hartman provou que próximo de um ponto xohiperbóli o, qualquer difeomorsmo C2 é C1 linearizável. Ou seja, é C1 onjugado om a suaderivada, [12.

6 Capítulo 1 Dinâmi a Hiperbóli aTeorema 1.1.14 (Teorema da Variedade Estável). Seja f ∈ Diffk(M). Seja Λ um onjunto hiperbóli o para f , om onstantes hiperbóli as 0 < λ < 1 e C ≥ 1. Então, existeε > 0 tal que para ada p ∈ Λ, existem dois dis os Ck em M , W s

ε (p, f) e W uε (p, f), quesão tangentes a E

sp e E

up , respe tivamente. Em ordem, para onsiderarmos esses dis os omográ os de funções, identi amos uma vizinhança de ada ponto p om E

up(ε)×E

sp(ε). (Sobrevariedades, esta identi ação pode ser feita por oordenadas lo ais.) Usando esta identi ação,para i = s, u e j = s, u \ i, W i

ε(p, f) é grá o de uma função Ck, σip : Eip(ε) → E

jp(ε), om σip(0p) = 0p e D(σip)0 = 0:

W iε(p, f) = (y, σip(y)) : y ∈ E

ip(ε).Também, a função σip e suas k primeiras derivadas variam ontinuamente om p.Mais ainda, identi ando uma vizinhança de p om E

up(ε) × E

sp(ε) e tomando λ < λ′ < 1,para ε > 0 pequeno o su iente,

W sε (p, f) = q ∈ E

up(ε) × E

sp(ε); d(f

j(q), f j(p)) ≤ C(λ′)jd(q, p) para todo j ≥ 0.Similarmente,W uε (p, f) = q ∈ E

up(ε) × E

sp(ε); d(f

−j(q), f−j(p)) ≤ C(λ′)jd(q, p) para todo j ≥ 0.Depois de obtido, lo almente, as variedades estável e instável, pelo Teorema 1.1.14, pode-mos determinar estas variedades globalmente omo segue:W s(p, f) = q ∈M ; d(f j(q), f j(p)) → 0, quando j → ∞

=⋃

n≥0

f−n (W sε (f

n(p), f)) ,eW u(p, f) = q ∈M ; d(f−j(q), f−j(p)) → 0, quando j → ∞

=⋃

n≥0

fn(

W uε (f−n(p), f)

)

.Teorema 1.1.15 (Lambda Lema). Seja p um ponto xo hiperbóli o para um difeomorsmof de lasse Ck. Seja r > 0, pequeno o su iente, tal que numa vizinhança de p dada porp + (Eu(r) × E

s(r)), as estimativas hiperbóli as dadas pelo Teorema da Variedade Estável1.1.14 sejam válidas. Seja Du um dis o topológi o de mesma dimensão que Eu e tal que Duseja trasversal a W s

r (p, f). Seja Du1 = f(Du) ∩ (Eu(r) × E

s(r)) e Dun+1 = f(Du

n) ∩ (Eu(r) ×

Es(r)). Então, Du

n onverge a W ur (p, f) na topologia Ck.Denição 1.1.16. Um onjunto hiperbóli o Λ é dito bási o hiperbóli o se f |Λ possui umaórbita densa, e existe uma vizinhança ompa ta U de Λ tal que

⋂

−∞<n<∞

fn(U) = Λ.Chamamos U de vizinhança isoladora.

1.1 Propriedades Topológi as 7Observação 1.1.17. Dado um ponto p periódi o hiperbóli o de período n para f , podemosolhar para ele omo um ponto xo do difeomorsmo fn. Pelo Teorema de Hartman-Grobman1.1.12, podemos tomar uma vizinhança U ′ de p, su ientemente pequena, tal quep =

⋂

−∞<j<∞

fnj(U ′).Assim, temos que U = U ′ ∪ f(U ′) ∪ . . . ∪ fn−1(U ′) é uma vizinhança isoladora para o(p).Logo, o(p) é um onjunto bási o hiperbóli o..Teorema 1.1.18 (Estabilidade de um Conjunto Bási o Hiperbóli o ). Seja Λf um onjunto bási o hiperbóli o para f ∈ Diff1(M), om vizinhança isoladora U . Existe ε > 0, talque se g ∈ Diff1(M) e está ε − C1 próximo de f , então g possui uma estrutura hiperbóli asobreΛg =

⋂

−∞<j<∞

gj(U),e ainda, existe um homeomorsmo h : Λg → Λf que dá uma onjugação topológi a entre g|Λge f |Λf .Durante o texto, usaremos muitas vezes o termo ontinuação de um onjunto hiperbóli oou de um ponto periódi o hiperbóli o, estando implí ito o Teorema 1.1.18.Denição 1.1.19. Seja p um ponto periódi o hiperbóli o de período n para um difeomorsmof . Seja

W i(o(p)) =n−1⋃

j=0

W i(f j(p)), eW i(o(p)) = W i(o(p)) \ o(p),para i = s, u. Um ponto q ∈ W s(o(p)) ∩ W u(o(p)) é hamado de ponto homo líni o para

p. Um ponto q é hamado de ponto homo líni o transversal aso as variedades W s(o(p)) eW u(o(p)) tenham uma interseção transversal não vazia em q. Denotaremos por H(p, f) o onjunto dos pontos homo líni os transversais de p, om respeito a f .O teorema seguinte, devido a Smale, mostra a existên ia de pontos periódi os tão perto,quanto se queira, de um ponto homo líni o transversal.Teorema 1.1.20. Suponhamos que q seja um ponto homo líni o tranversal para um pontoperiódi o hiperbóli o p de um defeomorsmo f . Para ada vizinhança U de p, q, existeum inteiro positivo n tal que fn possui um onjunto hiperbóli o Λ ⊂ U , om p, q ∈ Λ, eΛ ⊂ Per(f).

8 Capítulo 1 Dinâmi a Hiperbóli a1.1.1 Entropia Topológi aIntroduzimos agora um on eito muito importante, onhe ido por Entropia Topológi a.Podemos olhar para este, omo uma maneira de al ular"ou medir"o quão aóti o um sistemaé. Dizemos isto, pois, omo veremos ele é determinado pela taxa de res imento do númerode órbitas distintas do sistema.Não só a denição de entropia topológi a, omo também outras propriedades, além dasque aqui já estão, podem ser en ontrados em [5.Para denirmos entropia topológi a, pre isamos apenas que X seja um um espaço métri o.É laro, que as propriedades interessantes a onte em quando X também é ompa toDenição 1.1.21. Seja f : X → X uma apli ação ontínua sobre X om métri a d. Um onjunto S ⊂ X é hamado (n, ε)−separado se dado x 6= y em S, existe 0 ≤ j < n tal qued(f j(x), f j(y)) > ε.Denindo

dn,f (x, y) = sup0≤j<n

d(f j(x), f j(y)),poderíamos denir S ⊂ X (n, ε)−separado, se dn,f (x, y) > ε, para todo x 6= y ∈ S.O número de órbitas ε−distintas de omprimento n, é denido porr(n, ε, f) = max♯(S) : S ⊂ X é (n, ε) − separado para f.Queremos al ular a taxa de res imento de r(n, ε, f) quando n→ ∞. Então, denimos

h(ε, f) = lim supn→∞

log r(n, ε, f)

nNotemos que r(n, ε, f) ≥ 1 para qualquer par (n, ε), logo 0 ≤ h(ε, f) ≤ ∞. Também, podeser visto fa ilmente, que h(ε1, f) ≤ h(ε2, f) para ε2 < ε1.Finalmente, denimos a entropia topológi a de f omo:h(f) = lim

ε→0+h(ε, f).A proposição seguinte é uma propriedade muito útil de entropia, a qual vamos usar maisa frente.Proposição 1.1.22. Seja X um espaço métri o ompa to, e f : X → X uma apli ação ontínua. Então, dado k um inteiro, om k ≥ 1, a entropia de fk é igual a k vezes a entropiade f . Isto é,

h(fk) = k h(f).

1.1 Propriedades Topológi as 9Demonstração. Ini ialmente temos quefki(y) : 0 ≤ i < n ⊂ f i(y) : 0 ≤ i < nk, para todo y ∈ X.Assim, se dn,fk(x, y) > δ, então dnk,f(x, y) > δ, para todo x, y ∈ X. Isto impli a, que se

S é (n, δ)−separado para fk, então S é (nk, δ)−separado para f . E assim,r(n, δ, fk) ≤ r(nk, δ, f). (1.1)Como X é ompa to, temos que f é uniformemente ontínua, e assim, dado ε > 0, existe

δε > 0 tal qued(x, y) < δε ⇒ d(f j(x), f j(y)) < ε, 0 ≤ j < k.Agora, se S é (nk, ε)−separado para f , então existem m e j tal que d(f j(x), f j(y)) > ε para

k(m − 1) ≤ j < km, m ≤ n. Daí, por es olha de δε, d ((fk)m−1(x), (fk)m−1(y))

> δε, omm ≤ n. Logo, S é (n, δε)−separado para fk, o que impli a:

r(n, δε, fk) ≥ r(nk, ε, f) (1.2)Das equações (1.1) e (1.2) temos :

r(nk, ε, f)

n≤r(n, δε, f

k)

n≤r(nk, δε, f)

n.Fazendo n→ ∞,

k h(ε, f) ≤ h(δε, fk) ≤ k h(δε, f).Como ε→ 0 faz om que δε → 0, temos o que queríamos:

h(fk) = k h(f).

Quando ara terizamos um sistema dinâmi o por um número, para que esta ara teriza-ção seja boa"pre isamos que este número seja um invariante por onjugações. O próximoresultado nos diz que entropia topológi a é um invariante.Teorema 1.1.23. Sejam F : X → X e f : Y → Y apli ações ontínuas, onde X e Y sãoespaços métri os om métri as d e d′, respe tivamente. Suponhamos que exista um homeo-morsmo k : X → Y que seja uma onjugação topológi a entre F e f . Então, h(f) = h(F ).Denição 1.1.24. Denimos ΣN omo sendo o espaço das sequên ias om N símbolos. Istoé,ΣN = (. . . x−2 x−1 x0 x1 x2 . . .), para xi perten ente a um onjunto de N símbolos , i ∈ ZAssim, denimos a apli ação shift , σ : ΣN → ΣN , omo sendo o deslo amento da sequên iauma asa a esquerda:

σ(x) = y ⇔ yi−1 = xi, i ∈ Z.

10 Capítulo 1 Dinâmi a Hiperbóli aSabemos que em muitos sistemas dinâmi os, podemos introduzir uma dinâmi a simbóli a,isto é, podemos exibir uma onjugação entre um sistema dinâmi o e a apli ação shift, agindosobre ΣN . Visando isto, o próximo resultado expli ita a entropia da apli ação shift.Proposição 1.1.25. Seja σ : ΣN → ΣN a apli ação shift sobre o espaço das sequên ias omN símbolos. Então,

h(σ) = logN.Demonstração. Consideremos a seguinte métri a d sobre ΣN :

d(x, y) = 2−n, onde n é o maior possível, tal que xi = yi para |i| < n.Seja ε = 2−1. Assim, dois pontos s, t ∈ ΣN estão ε− próximos se, e somente se, s0 = t0.Da mesma forma, σj(s) está ε−próximo de σj(t) se, e somente se, sj = tj, para 0 ≤ j < n.Como existem Nn es olhas possíveis de blo os (s0, . . . , sn−1), temos quer(n, 2−1, σ) = Nn.Daí,h(2−1, σ) = logN.Agora, suponhamos ε = 2−k, para k ≥ 0. Seguindo o mesmo ra io ínio anterior, dado

s, t ∈ ΣN , d(s, t) ≤ 2−k se, e somente se, sj = tj para |j| < k. Então, d(σi(s), σi(t)) > 2−kpara algum 0 ≤ i < n se, e somente se, sj 6= tj para algum 0 ≤ j < n+ k. Portanto,r(n, 2−k, σ) = r(n+ k, 2−1, σ).Daí,

log r(n, 2−k, σ)

n=

(n+ k)

n

log r(n+ k, 2−1, σ)

n+ k,e fazendo n→ ∞:

h(2−k, σ) = h(2−1, σ) = logN, para todo k ≥ 0.Portanto,h(σ) = lim

ε+→0h(ε, σ) = logN.

1.2 Propriedades Ergódi as1.2.1 Entropia Métri aNa seção anterior, a entropia topológi a forne e uma maneira de medir quão um sistema é aóti o, sobre um ponto de vista topológi o. Nesta seção, vamos tentar dar uma denição de

1.2 Propriedades Ergódi as 11entropia que observe o sistema sob o ponto de vista de alguma medida invariante para este.Chamamos esta denição, de entropia métri a. No nal da seção fazemos uma ligação entreestas duas denições.Exemplos e propriedades sobre entropia métri a, podem ser en ontradas em [9.Denição 1.2.1. Seja f : X → X uma transformação que preserva a probabilidade µ. Dadauma partição Q enumerável de X, a entropia da partição Q om respeito à µ é o númeroHµ(Q) = −

∑

Q∈Q

µ(Q) log µ(Q),onde se onven iona que 0 log 0 = 0.A partir de partições P e Q podemos denir uma nova partiçãoP ∨Q = A ∩B; A ∈ P e B ∈ Q.Assim, dado uma partição P, denotamos por Pn a partição

Pn =n−1∨

i=0

f−i(P).Denimos a entropia da partição P om respeito à transformação f e à medida µ omosendo o número:hµ(f,P) = lim

n→∞

Hµ(Pn)

n.Denimos agora, uma forma de medir a omplexidade de uma transformação, no sentidométri o.Denição 1.2.2. A entropia de f om respeito à medida µ é:

hµ(f) = supPhµ(f,P),onde o supremo é tomado sobre todas as partições nitas de X.Como prometido, o próximo resultado rela iona a entropia topológi a om a entropiamétri a.Teorema 1.2.3 (Prin ípio Varia ional). Seja f : X → X uma função ontínua sobreo espaço métri o ompa to X. Denote por I, o onjunto das medidas (de probabilidades)invariantes por f . Então, vale a igualdade:

h(f) = supµ∈I

hµ(f).

12 Capítulo 1 Dinâmi a Hiperbóli a1.2.2 Estado de Equilíbrio e a função φuPara falarmos de estado de equilíbrio pre isamos, primeiro, denir o on eito de pressãotopológi a de uma função f : X → X, om respeito a um observável φ : X → R. Assim omopara entropia, podemos denir o on eito de pressão topológi a usando partições, e depoisrela ioná-lo om medidas invariantes, isto é, provar um análogo ao Prin ípio Varia ional1.2.3. No entanto, visando a não ompli ação do texto por notações, usaremos o Prin ípioVaria ional , que pode ser en ontrado em [6, para denirmos pressão topológi a.Não só a denição de pressão topológi a através de partições, omo todo o onteúdo destaseção, podem ser en ontrados em [6.Assim, denimos pressão topológi a porPf (φ) = sup

µ

(

hµ(f) +

∫

φdµ

)

,onde µ per orre Mf (X), isto é, o onjunto das medidas de probabilidades invariantes por f .Observemos que o on eito de pressão topológi a generaliza o on eito de entropia topo-lógi a. De fato, pelo Prin ípio Varia ional 1.2.3, h(f) = Pf (0), onde 0 é a função nula.Denição 1.2.4. Seja µ ∈ Mf (X) satisfazendo hµ(f) +∫

φdµ = Pf (φ), então µ é hamadode estado de equilíbrio para φ.Lembremos agora, que φ é Holder ontínua se existem onstantes a, θ > 0 tal que :|φ(x) − φ(y)| ≤ a d(x, y)θ.Teorema 1.2.5. Seja Ωs um onjunto bási o hiperbóli o para um difeomorsmo f , AxiomaA, e φ : Ωs → R Holder ontínua. Então, φ possui um úni o estado de equilíbrio µφ. E, alémdisto, µφ é ergódi o.Proposição 1.2.6. Seja Ωs um onjunto bási o hiperbóli o para um difeomorsmo f , AxiomaA, e φ,ψ : Ωs → R duas funções Holder ontínuas. Então, os seguintes itens são equivalentes:(a) µφ = µψ(b) Existe onstante K tal que Smφ(x) − Smψ(x) = km quando x ∈ Ωs e fm(x) = x. OndeSmφ(x) =

m−1∑

j=0

φ(f j(x)).Consideremos, agora, M uma variedade om estrutura Riemanianna. Assim, esta induzuma medida de volume m sobre M . Seja f ∈ Diff2(M), Axioma A.Denimos φu(x) = − log λ(x), onde λ(x) é o valor absoluto do Ja obiano, da apli ação frestrita a direção instável Eu. Isto é, λ(x) é o valor absoluto do determinante da apli açãolinear

Df : Eux → E

uf(x).

1.2 Propriedades Ergódi as 13Um onjunto bási o hiperbóli o Ωs é um atrator se ele possui uma vizinhança aptadoraU tal que f(U) ⊂ U , e

Ωs =⋂

n≥0

fn(U).Teorema 1.2.7. Seja Ωs um onjunto bási o hiperbóli o C2. Os seguintes itens são equiva-lentes:(a) Ωs é um atrator(b) m(W s(Ωs)) > 0( ) Pf |Ωs(φu) = 0.

Capítulo2Preliminares de PerturbaçãoChamamos o par (M,ω) de variedade simpléti a, se M possui dimensão 2n e ω é uma 2-forma diferen iável, C∞, fe hada, e não degenerada, sobre M . Onde não degenerada signi aque se x ∈ M e v ∈ TxM satisfaz ω(x)(v,w) = 0, para todo w ∈ TxM , então v = 0. Umdifeomorsmo f : M → M , é hamado de difeomorsmo simpléti o se f preserva ω. Isto é,

f∗ω = ω, onde f∗ω é o pull-ba k de ω. Sabendo que f∗ω = Jac f ω, om Jac f denotandoo determinante do Ja obiano de f , temos que f preserva ω se, e somente se, Jac f(x) = 1para todo ponto x ∈M . Denimos por Diff1ω(M) o onjunto dos difeomorsmos simpléti os.Usaremos sobre este espaço a topologia uniforme C1.Neste apítulo mostramos uma maneira de realizar perturbações de difeomorsmos nomundo simpléti o. Apesar da generalidade dos resultados apresentados neste apítulo, omopre isamos destes, apenas para M de dimensão 2, e pensando em não ompli ar a notação,assumimos, sempre, que estamos trabalhando em dimensão 2. Note que neste aso a 2-forma ωé um elemento de área, e o tratamos assim muitas vezes. Também, omo estamos interessados,apenas, em perturbações lo ais, podemos trabalhar, sem perda de generalidade, em R

2. Antesde enun iarmos o lema de perturbação, denimos a prin ipal ferramenta usada na perturbaçãode difeomorsmos simpléti os, a função geradora.2.1 Função GeradoraPara onstruirmos a função geradora, pre isamos de alguns resultados sobre formas dife-ren iais. 15

16 Capítulo 2 Preliminares de PerturbaçãoDenição 2.1.1. Seja U ⊂ Rn um aberto. Uma 1-forma diferen ial ω : U → (Rn)∗ diz-seexata em U aso exista uma função f : U → R diferen iavel tal que ω = df . Isto é, se

ω =

n∑

i=1

aidxi ⇒ ai =∂f

∂xi, para todo i = 1, ..., n.A função f tal que ω = df hama-se a primitiva da 1-forma ω. Se U é onexo, duasprimitivas da mesma forma ω diferem por uma onstante.Note que uma 1-forma ω =

∑ni=1 aidxi é exata se e somente se o ampo de vetores

F = (a1, ..., an) é o gradiente de uma função diferen iavel f : U → R. Neste aso, a função f hama-se o poten ial do ampo F .Denição 2.1.2. Uma 1-forma diferen ial ω =∑n

i=1 aidxi é fe hada se dω = 0 ou equivalen-temente quando ∂ai∂xj

=∂aj∂xi

para i, j = 1, ..., n.O on eito de forma exata pode ser on iderado lo almente. Isto é, dada uma 1-forma ωdizemos que ela é lo almente exata se para todo ponto p em U existe um aberto V , ontendop, tal que ω é exata em V .Proposição 2.1.3. Uma 1-forma ω : U → (Rn)∗ de lasse C1, é fe hada se e somente se élo almente exata.Demonstração. A demonstração é feita no aso n = 3. O aso geral é inteiramente análogo.Ini ialmente mostramos que se ω é uma forma diferen ial fe hada numa bola B então ωé exata em B. Para simpli armos a notação supomos que ω = a dx+ b dy + c dz é fe hadana bola B, de entro na origem em R

3. O aso geral segue analogamente. Como ω é fe hadatemos:ay = bx, az = cx, bz = cy, onde kj =

∂k

∂jpara k = a, b, c e j = x, y, z.Usando o fato de B ser onvexo o aminho λ : [0, 1] → B, λ(t) = (tx, ty, tz), está bemdenido para todo ponto (x, y, z) ∈ B . Assim, podemos denir f : B → R, pondo para ada

(x, y, z) ∈ B

f(x, y, z) =

∫ 1

0[a(tx, ty, tz)x+ b(tx, ty, tz)y + c(tx, ty, tz)z]dt =

∫

λ

ω.

2.1 Função Geradora 17Como ω é de lasse C1 as funções a, b e c são funções de lasse C1, logo podemos usar aRegra de Leibniz:∂f

∂x(x, y, z) =

∫ 1

0[ax(tx, ty, tz)tx+ a(tx, ty, tz) + bx(tx, ty, tz)ty + cx(tx, ty, tz)tz]dt

=

∫ 1

0

[(

ax(tx, ty, tz)x+ ay(tx, ty, tz)y + az(tx, ty, tz)z)

t+ a(tx, ty, tz)]

dt

=

∫ 1

0

[(

(a λ)′(x, y, z))

t+ a λ(x, y, z)]

dt

=

∫ 1

0

[(

(a λ)(x, y, z))

t]′dt

= a(x, y, z).Notemos que na segunda igualdade usamos o fato de ω ser fe hada.De modo análogo onseguimos∂f

∂y(x, y, z) = b(x, y, z) e ∂f

∂z(x, y, z) = c(x, y, z).Portanto, temos que df = ω.Re ipro amente, sabemos que ddα = 0 para toda forma diferen ial α de lasse C2. Como

ω é uma forma de lasse C1 lo almente exata, dado uma bola B ∈ U existe f primitiva de ωem B, isto é, df = ω. Assim, temos que f é de lasse C2, logo ddf = 0 e portanto dω = 0 emB. Como isto pode ser feito lo almente em U , temos que dω = 0. Logo, a 1-forma diferen ialω é fe hada.

Observação 2.1.4. Na Proposição 2.1.3 foi ne essário apenas a onvexidade de B. Naverdade foi usado menos ainda, pre isavamos apenas que B fosse estrelado. Assim, toda1-forma ω fe hada num domínio aberto onvexo no espaço Rn é uma forma exata.Construção da função geradoraSuponhamos (x, y) oordenadas em R

2 e f(x, y) = (ξ(x, y), η(x, y)) um difeomorsmo de lasse C1 que preserva um elemento de área ω, om f(0, 0) = (0, 0) e ∂η∂y

6= 0 em todo ponto.Armação 1: Podemos en ontrar y em função de x e η de maneira C1 apartir da equaçãoη = η(x, y).Como f é um difeomorsmo temos que a apli ação η : R

2 → R é sobrejetiva. Tomemos(x0, y0) ∈ R

2 e seja η0 = η(x0, y0) . Como ∂η

∂y(x0, y0) 6= 0, o Teorema da Função Impli itanos dá que existem vizinhanças I de x0 e J de y0 tal que (η)−1(η0)∩ (I × J) é grá o de umafunção y(., η0) : I → J de lasse C1, e

yx =∂y

∂x=

−∂η

∂x∂η

∂y

=−ηxηy

.

18 Capítulo 2 Preliminares de PerturbaçãoFixando x em I, temos que η(x, .) : J → R é uma apli ação C1, e omo ∂η∂y

6= 0,η(x, y) 6= η(x, y′) para todo y, y′ ∈ J.De fato, se existisse y < y′ tal que η(x, y) = η(x, y′) poderíamos usar o Teorema do ValorMédio e en ontrar y1 ∈ (y, y′) tal que ηy = 0. O que geraria uma ontradição.Assim, existe vizinhança V de η0 tal que

η(x, .) : J → V é um difeomorsmo C1, om ηy =∂η

∂y(x, y) 6= 0 todo y ∈ J.Logo, a apli ação y(x, .) : V → J é C1, e yη =

1

ηy.Com isto, a apli ação y(x, η) é C1 numa vizinhança de (x0, η0), e omo este ponto foitomado arbitrariamente, on luímos a armação 1.Usando a Armação 1, a apli ação (x, η) 7−→ (x, y(x, η)) permite-nos usarmos x e η omo oordenadas sobre R

2.Armação 2: A 1-forma diferen ial α = ξ dη + y dx é fe hada.dα = (ξxdx+ ξyyxdx) dη + (yη) dηdx

= (ξx + ξyyx − yη)dxdη

=

(

ξx − ξyηxηy

−1

ηy

)

dxdη

=

(

ξxηy − ξyηx − 1

ηy

)

dxdη

=

(

Jac f − 1

ηy

)

dxdη,Na ter eira igualdade foram usados resultados obtidos na demonstração da Armação 1. Comof é um difeomorsmo que preserva área temos que Jac f = 1 em todo ponto, logo dα = 0.Como ω está denida em todo R

2 e é de lasse C1, pela Proposição 2.1.3 temos que ω éexata, isto é, existe uma úni a S : R2 → R, de lasse C2, tal que dS = ω e S(0, 0) = 0. Assim,

Sx = y, Sη = ξ e Sxη =∂y

∂η6= 0.Tal função S é hamada de função geradora de f , e a denotamos por Sf .Re ipro amente, se tomarmos S(x, η) uma função de lasse C2 tal que S(0, 0) = 0 e

Sxη 6= 0, usando o mesmo argumento da Armação 1, podemos en ontrar η em função de xe y na equação Sx(x, η) = y. Assim, tomando a 1-forma ω = Sη dη + y dx temos que ω éfe hada, e por um pro esso similar ao da Armação 2, podemos mostrar que Sηxηy−Sηηηx = 1em todo ponto. Assim,f(x, y) = (Sη(x, η(x, y)), η(x, y)),

2.1 Função Geradora 19tem Ja obiano 1 em todo ponto. Logo preserva área.Notemos que o on eito de função geradora é lo al. Assim, quando falarmos em proximi-dade de funções geradoras estamos falando, sempre, lo almente. Usando o teorema seguinte,que pode ser en ontrado em [11, podemos estender este on eito, e resultados, para variedadessimpléti as.Teorema 2.1.5. Seja (M,ω) uma variedade simpléti a. Para todo ponto x ∈ M existevizinhança U de x e oordenadas φ : U → R2n tal que para todo ponto y ∈ U , ω está na formaestandarte om respeito a base ∂

∂x1, ..., ∂

∂x2n

. Isto é,φ∗

(

n∑

i=1

dxi ∧ dxn+i

)

= ω.Estas oordenadas são hamadas de oordenadas de Darboux ou simpléti as.Exemplo 2.1.6. Consideremos a apli ação g : R2 → R

2, g(x, y) = (x, y + εx), om ε ∈ R.No aso, temos ξ(x, y) = x e η(x, y) = y + εx. Assim,Dg(x, y) =

[

1 0

ε 1

]

,e, portanto, é um difeomorsmo que preserva área, om ηy(x, y) 6= 0, para todo (x, y). Neste aso faz sentido em falar de Sg, a função geradora para g.Como S = Sg é geradora, ela tem que satisfazer: Sx(x, η) = y(x, η) e Sη(x, η) =

ξ(x, y(x, η)), onde y(x, η) = η − εx. Integrando a primeira destas temos:S(x, η) = ηx−

εx2

2+K(η),onde K(η) é uma função que depende somente de η. E assim, derivando esta em relação a η,

Sη(x, η) = x+K ′(η).Como, Sη(x, η) = ξ(x, y(x, η)) = x temos que K(η) = K, para algum K onstante. Impondoque S(0, 0) = 0, temos que K = 0. E, portanto, on luímos que a função geradora Sg, tal queSg(0, 0) = 0 é

Sg(x, η) = xη −εx2

2Notemos que para ε = 0, a função g é a identidade Id. E assim, a geradora da identidadeId, é Sid(x, η) = xη.

20 Capítulo 2 Preliminares de Perturbação2.2 Lema de PerturbaçãoO interessante de se trabalhar em variedades simpléti as é que funções simpléti as sãoC1 próximas se, e somente se, suas geradoras são C2 próximas. Sendo assim, basta reali-zarmos boas perturbações sobre as geradoras para onseguirmos perturbações desejadas dedifeomorsmos simpléti os.Lema 2.2.1. Um difeomorsmo f ∈ Diff1

ω(M) é C1 próximo da apli ação identidade Id se,e somente se, Sf é C2 próximo de SId.Demonstração. Suponhamos f(x, y) = (ξ(x, y), η(x, y)). Usando a Proposição 2.1.3, podemosexpli itar a função geradora Sf da seguinte forma:Sf (x, η) =

∫ 1

0[ξ(tx, ty(x, η))η + y(tx, tη)x] dt.Agora, supondo f C1 próxima da Id, temos que η(x, y) ≈C1

y, daí y(x, η) ≈C1η. Além disto,

ξ(x, y) ≈C1x. Usando isto,

ξ(tx, ty(x, η))η + y(tx, tη)x ≈C12txη, para todo 0 ≤ t ≤ 1.E assim,

Sf (x, η) ≈C2

∫ 1

02txη dt = xη.Pelo Exemplo 2.1.6, sabemos que Sid(x, η) = xη. Logo, temos que Sf e Sid são realmente C2próximas.Re ipro amente, se Sf (x, η) e xη são C2 próximas então,

f(x, y) = ((Sf )η(x, η(x, y)), η(x, y)) ≈C1

(x, y).Ou seja, f e Id são C1 próximas.E assim, usando o Lema 2.2.1, podemos demonstrar o seguinte Lema de Perturbação:Lema 2.2.2. Dado ǫ > 0, existe onstante K > 0 tal que os seguintes fatos a onte em:a) Se g : R

2 → R2, de lasse C1, preserva área e g(0, 0) = (0, 0), é K−1ε − C1 próximoda identidade Id em B(0, r), então existe h : R

2 → R2 , ε − C1 próxima da Id, tal que

h|B(0, r2) = g e h|(B(0, r))c = Id. Onde B(0, r) é a bola de entro na origem e raio r.b) Dado A : R2 → R

2 uma apli ação linear simpléti a, tal que ‖A − Id‖ < K−1ε, existeh : R

2 → R2, ε−C1 próxima da Id, satisfazendo h(0) = 0, Dh(0) = A e h = Id fora de umavizinhança da origem.Demonstração. Parte (a)- Seja g(x, y) = (ξ(x, y), η(x, y)), omo na hipótese.

2.2 Lema de Perturbação 21Consideremos agora β : R → [0, 1] uma função bump, isto é, uma função real C∞, tal que:β(x) =

1, para x ≤ 12

0, para x ≥ 1Assim, tomemosK ′ = sup

x∈R

1, |β(x)|, |β′′(x).Para não ompli armos a notação tratamos omo sendo iguais as bolas om entro naorigem, estando a olhar para R2 tanto nas oordenadas (x, y) quanto nas oordenadas (x, η).Tomemos,

S(x, η) = β

(

|(x, η)|

r

)

(Sg(x, η) − xη) + xη.Como β é C∞, temos que S possui a mesma lasse de diferen iabilidade que Sg(x, η) e xη, ouseja, S é C2. Mais ainda, usando a hipótese, o Lema 2.2.1 e a es olha de K ′ temos que:‖S(x, η) − xη‖2 ≤ K ′c

ε

K;onde c é uma onstante que depende apenas de r, e ‖.‖2 é a norma na topologia C2. Assim,usando novamente o Lema 2.2.1, temos que o difeomorsmo simpléti o h, gerado por S, é

K ′cK−1ε − C1 próximo da apli ação Id. Além disto, por onstrução de S, h|B(0, r2 ) = g eh|(B(0, r))c = Id.Portanto, tomando K = K ′c temos o que queríamos.Parte (b) Tomando g(x) = Ax, a parte (b) sai direto da parte (a).

Capítulo3Resultado Prin ipalNeste apítulo, onsideramos (M,ω) uma variedade simpléti a, om M de dimensão 2, eprovamos duas propriedades genéri as para Diff1

ω(M), sobre entropia e dimensão de Hausdor.Como podemos ver no Apêndi e, Diff1ω(M) é um espaço de Baire , logo onjuntos genéri osainda são densos.Antes de enun iarmos o Resultado Prin ipal, denimos Dimensão de Hausdor e o fun io-nal s(.) sobre Diff1

ω(M), o qual vai nos dar uma limitação inferior para entropia . Ressaltamosque estamos olhando para Diff1ω(M) om a topologia uniforme C1.3.1 Dimensão de Hausdor e o fun ional s(.)Seja E um sub onjunto fe hado de M e α, ǫ > 0 números reais positivos. Agora, seja

Hαǫ (E) = inf

∑

i(diamUi)α : Ui é uma obertura aberta de Eonde ada elemento possui diâmetro menor do que ǫ.A medida α−dimensional de Hausdor de E é denida omo sendo o número

Hα(E) = limǫ→0

Hαǫ (E).Como Hα

ε1(E) ≤ Hα

ε2(E) para ε1 > ε2, o limite a ima existe, mas pode ser igual a innito. Se

A ⊂ Rn, então Hn(A) é a medida de Lebesgue de A.23

24 Capítulo 3 Resultado Prin ipalA dimensão de Hausdor de E, denotada por HD(E), é denida omo sendo o número dseHp(A) =

∞ para 0 ≤ p < d

0 para d < p ≤ ∞Observação 3.1.1. Para um onjunto A ⊂ Rn, temos que

HD(A) ≥ dimA,onde dimA, é a dimensão topológi a.Vamos agora denir o fun ional s(.).Lembramos que τ(p) denota o período do ponto periódi o p, para f . Se f ∈ Diff1ω(M), omo a dimensão de M é dois, e o Jac f(x) = 1 para todo x ∈ M , dado um ponto periódi ohiperbóli o p, Df τ(p)p possui um úni o autovalor de norma maior do que um, o qual denotamospor λ(p). Notemos ainda, que o outro autovalor é 1/λ(p).Seja f ∈ Diff1

ω(M). Dado um inteiro n > 0 positivo, onsideremos Hipn f omo sendo o onjunto dos pontos periódi os hiperbóli os de f om período menor ou igual a n.Assim, denotemos:sn(f) = max

1

τ(p)log |λ(p)|, p ∈ Hipn f

.Como Hipn f ⊂ Hipn+1 f , temos que sn(f) ≤ sn+1(f).Sendo assim, pela monotoni idade de sn, denimos:s(f) = lim

n→∞sn(f).Observação 3.1.2. Observemos que o número real sn(f), é nada mais nada menos, que omaior dos expoentes de Liapunov sobre os pontos periódi os hiperbóli os de período menorou igual a n, restrito aos vetores do subbrado instável.Lema 3.1.3. O fun ional sn(.) é ontínuo, para n ≥ 0.Demonstração. Seja f ∈ Diff1

ω(M). Notemos que é possível ♯Hypnf ser innito. No en-tanto, pelo o Teorema 1.1.12, temos que tais pontos periódi os devem se a umular em pontosperiódi os não hiperbóli os. Como Jac(f(x)) = 1 em todo ponto, temos que tais pontosperiódi os possuem autovalores om valores absolutos iguais a um. Sendo assim, apenas umnúmero nito de pontos periódi os hiperbóli os são relevantes no ál ulo de sn(f). Tomandog numa vizinhança pequena de f em Diff1

ω(M), temos que os pontos periódi os hiperbóli osem Hypn(g) que importam no ál ulo de sn(g) são os pontos periódi os que são ontinuaçãodaqueles que importavam no aso f . Agora, omo estes são ontinuação dos anteriores temosque|sn(g) − sn(f)| ≤ ε, para g ∈ U,onde U é uma vizinhança pequena de f em Diff1

ω(M).

3.2 Propriedades genéri as para Diff1ω(M) 253.2 Propriedades genéri as para Diff1

ω(M)Ressaltamos que nesta seção, a menos que seja espe i ado o ontrário, (M,ω) ainda éuma variedade simpléti a, om M sendo uma variedade, C∞, ompa ta, onexa, de dimensão2. Munido de todas as denições ne essárias, podemos enun iar o resultado prin ipal destetrabalho.Teorema 3.2.1. Existe um onjunto residual B ⊂ Diff1

ω(M) tal que se f está em B, então ada onjunto H(p, f) tem dimensão de Hausdor dois. Mais ainda, se f está em B e não éAnosov, entãoh(f) ≥ s(f). (3.1)Observação 3.2.2. Seja f ∈ Diff1

ω(M), um difeomorsmo de Anosov. Seja x ∈M , um pontoqualquer. Toda vizinhança de x possui medida positiva, om respeito a ω. Assim, usando oTeorema de Re orrên ia de Poin aré, [9, para ada vizinhança U de x, existe q ∈ U e inteiropositivo n, tal que fn(q) ∈ U . Desta forma, x está no onjunto dos pontos não errantesΩ(f). Logo, M = Ω(f). Com isto, mais o fato de f ser Anosov, podemos ver em [4, quetoda variedade estável é densa em M . Usando os mesmos resultados para f−1, temos quetoda variedade instável, também é densa em M . Como M é hiperbóli o, as interseções destastambém são densas e transversais. Em parti ular, H(p, f) = M , para todo ponto p periódi ohiperbóli o. E assim, a primeira parte do Teorema 3.2.1 é trivialmente satisfeita.Para demonstrarmos o Teorema 3.2.1, pre isamos de uma série de resultados.Come emos itando alguns resultados onhe idos, ontendo propriedades genéri as paradifeomorsmos simpléti os.Os dois próximos resultados são devidos a Newhouse, [2.Teorema 3.2.3. Para M uma variedade ompa ta simpléti a, existe um sub onjunto residualB ⊂ Diff1

ω(M) tal que se f ∈ B, então f é Anosov ou os pontos periódi os 1-elípti os de f sãodensos em M .Para efeito de uriosidade, fugindo um pou o do nosso ontexto, sabemos que a esfera S2não admite difeomorsmos de Anosov. Assim, pelo Teorema 3.2.3, existe um sub onjuntoresidual em Diff1ω(S2) tal que para todo difeomorsmo f neste onjunto, os pontos periódi os1-elípti os de f são densos em S2.Proposição 3.2.4. Se M é uma variedade ompa ta simpléti a, existe um sub onjunto resi-dual B ⊂ Diff1

ω(M) tal que para f ∈ B, os pontos periódi os hiperbóli os de f são densos emM .O Teorema seguinte, devido a Takens [3, é muito útil na onstrução de uma tangên iahomo líni a para um ponto periódi o hiperbóli o, de um difeomorsmo não anosov.

26 Capítulo 3 Resultado Prin ipalTeorema 3.2.5. Seja M uma variedade ompa ta de dimensão 2, om um elemento de áreaω. Então existe um sub onjunto residual B ⊂ Diff1

ω(M) tal que se f ∈ B, e p é um pontoperiódi o hiperbóli o para f , então W u(p, f) ∩W s(p, f) é denso tanto em W u(p), quanto emW s(p).A próxima proposição é a peça have na demonstração do Teorema 3.2.1.Seja A ⊂ Diff1

ω(M), o onjunto dos difeomorsmos de Anosov sobre M , e seja D =

Diff1ω(M) −A.Proposição 3.2.6. Seja p um ponto periódi o hiperbóli o para um difeomorsmo f ∈ D, talque W u(o(p)) é tangente a W s(o(p)) em algum ponto. Dado ε > 0, para toda vizinhança Nde f em D, existe g ∈ N tal que p é um ponto periódi o hiperbóli o para g, ea) g tem um onjunto bási o hiperbóli o Λ em H(p, g) para o qual

h(g|Λ) >1

τ(p)log |λ(p)| − ε;b) ada gi próximo de g tem um onjunto bási o hiperbóli o Λ(gi) em H(p(gi), gi), onde p(gi)é a ontinuação do ponto p, tal que HD(Λ(gi)) > 2 − ε.Demonstração. Parte (a)Assumimos, primeiro, para simpli ar a notação que p é um ponto xo de f , isto é,

τ(p) = 1.Para um onjunto E e um ponto z ∈ E, denimos C(z,E) a omponente onexa de E que ontém z.Suponhamos que W u(p, f) tangen ia W s(p, f) em z0. Introduzindo oordenadas sim-pléti as, Teorema 2.1.5, existe vizinhança U de z0, e oordenadas φ : U → R2, tal que

φ∗(dx ∧ dy) = ω, φ(z0) = (0, 0) e φ(C(z0,Ws(p, f) ∩ U)) está ontida no eixo x. Figura 3.1.Tomemos U omo sendo um domínio fundamental. Isto é, f−1(U) ∩ U = ∅.Pelo Teorema da Variedade Estável 1.1.14, diminuindo U se ne essário, φ(C(z0,W

u(p, f)∩

U)) é grá o de uma função de lasse C1, g : R → R, isto é,φ(C(z0,W

u(p, f) ∩ U)) = (x, g(x)); x ∈ φ(C(z0,Ws(p, f) ∩ U)).Tomando r(x, y) = (x, y − g(x)), omo

Jac r(x, y) = det

[

1 0

−g′(x) 1

]

= 1,para todo (x, y), r é um difeomorsmo simpléti o da mesma lasse de diferen iabilidade queg, logo de lasse C1 .Dado γ > 0 qualquer, omo W s(p, f) e W u(p, f) são tangentes em z0, podemos reduzirU , se ne essário, tal que g(x) seja γ − C1 próximo da função nula, y ≡ 0, em φ(U). Destaforma, temos que r é γ −C1 próximo da função identidade Id.

3.2 Propriedades genéri as para Diff1ω(M) 27

.

.

PSfrag repla ements p z0φ

W s(p, f)

Wu(p, f)

φ(C(z0,Ws(p, f) ∩ U))

φ(C(z0,Wu(p, f) ∩ U))

U

Figura 3.1:Assim, dado ε > 0 e usando o item (a) do Lema de Perturbação 2.2.2, existe um difeo-morsmo simpléti o h, ε−C1 próximo da Id, e h = r numa vizinhança da origem.Notemos que r faz om que φ(C(z0,Ws(p, f) ∩ U) oin ida num intervalo J ∋ (0, 0) om

φ(z0,Wu(p, f) ∩ U). Figura 3.2.

PSfrag repla ements J

Figura 3.2:Como h é uma perturbação lo al, podemos olhar para h omo sendo uma perturbação daId em U , no espaço Diff1

ω(M). Olhemos, agora, para a função h f . Por ser uma omposiçãode difeomorsmos simpléti os, ainda é um difeomorsmo simpléti o; e além disso, é ǫ − C1próximo de f , sendo idênti o a f em (f−1(U))c. No entanto, o mais interessante destaperturbação é que W s(p, (h f)) oin ide om W u(p, (h f)) num intervalo I ∋ z0, e I ⊂ U .

28 Capítulo 3 Resultado Prin ipalAssim, repassamos f a h f .Seja a > 0 tal que φ−1([−2a, 2a]) ⊂ I, onde [−2a, 2a] = (x, 0), tal que x ∈ [−2a, 2a].Dado ε > 0, para todo δ > 0, vamos produzir uma δ−C1 perturbação g ∈ Diff1ω(M) de f ,tal que g(z) = f(z) para z 6∈ f−1(U), e g tenha um onjunto bási o hiperbóli o Λ ⊂ H(p, g) om h(g|Λ) > log |λ(p)| − ε.Consideremos uma vizinhança N de f , e seja δ > 0, pequeno o su iente, tal que qualquer

g, δ−C1 próximo de f , esteja em N . Seja N um inteiro positivo grande, e A uma onstantepequena dependendo de N , tal que AN → 0. Consideremos a seguinte transformação quepreserva área:Φ(x, y) =

(

x, y +A cosπxN

2a

)

.

Φ leva o segmento de reta (x, 0); −a ≤ x ≤ a sobre a urva J ′; onde J ′ é o grá o dafunção x 7→ A cos

(

πNx

2a

), om −a ≤ x ≤ a. Assim, a altura máxima de J ′ é A, a menor é−A, e J ′ tem N interseções om J . Figura 3.3. Denotemos por I ′ o grá o φ−1(J ′).

PSfrag repla ements A

−a a

2a

N

JJ ′

Figura 3.3:ComoDΦ(x, y) =

1 0

−AπN

2asen

πxN

2a1

,

3.2 Propriedades genéri as para Diff1ω(M) 29para que Φ seja γ − C1 próximo da Id, pre isamos que AπN

2a< γ. Assim, pelo Lema dePerturbação 2.2.2 existe onstante K1 > 0, tal que tomando A =aδK1

2πN, para algum δ > 0,existe difeomorsmo simpléti o h δ−C1 próximo da Id, om h = Φ, perto da origem, e h = Idfora de uma vizinhança da origem.Assim, usando a oordenada simpléti a φ, podemos fazer esta perturbação, omo feitoanteriormente, na vizinhança U de z0. Consideremos, então, g = hf . Deta forma g é δ−C1próximo de f , g(z) = f(z) para z 6∈ f−1(U), I ainda perten e a W s(p, g), e I ′ ⊂W u(p, g).SejaW s

loc(p, g) um intervalo fe hado emW s(p, g) ontendo I em seu interior, e seja V umavizinhança tubular de W sloc(p, g). Assumimos que U esteja ontido em V . Seja γ1 a urvaem U dada por x ≡ −a, 0 ≤ y ≤ 2A, e seja γ2 a urva dada por x ≡ a, 0 ≤ y ≤ 2A. Seja

z1 = γ1 ∩ I′ e z2 = γ2 ∩ I

′. Figura 3.4.. .

PSfrag repla ements z1 z2

I

I ′

γ1

γ2

Figura 3.4:Como I ′ ⊂ W u(p, g), usando lambda Lema 1.1.15 , iterados passados de γ1 e γ2 vão sea umular sobre W sloc(p, g).Poderíamos assumir via uma aproximação preliminar que f é C2, [8. Então, g tambémé C2, e assim, pelo Teorema de Hartman-Grobman 1.1.12, C1 linearizavel sobre W s(p, g) e

W u(p, g), perto do ponto p. Desta forma, existem onstantes K2, K3 > 0 tal que se gj(z) ∈ Vpara 0 ≤ j ≤ m, onde m é o maior possível,K2|λ(p)|−m ≤ d(z,W s

loc(p, g)) ≤ K3|λ(p)|−m, (3.2)e se g−j(z) ∈ V , para 0 ≤ j ≤ m, entãoK2|λ(p)|−m ≤ d(z,C(p,W u(p, g) ∩ V ) ≤ K3|λ(p)|−m. (3.3)Para n grande, as urvas γ1, γ2, C(g−n(z1), g

−n(γ1) ∩ V ) e C(g−n(z2), g−n(γ2) ∩ V )limitam um retângulo, Dn, em U próximo de I. Consideremos , γ′n1 e γ′n2 os pedaços de γ1 e

γ2 em Dn, respe tivamente.

30 Capítulo 3 Resultado Prin ipalSeja n o menor inteiro positivo tal que C(g−n(z1), g−n(γ1)∩V ) e C(g−n(z2), g

−n(γ2)∩V ),gn(γ′n1) e gn(γ′n2), estão A/4 − C1 próximos de W s

loc(p, g) e I ′, respe tivamente. Para tal n,denotemos Dn, γ′n1 e γ′n2 por DA, γ′1 e γ′2, respe tivamente. Figura 3.5PSfrag repla ements

γ′1 γ′2

I ′

I DA

gn(DA)

Figura 3.5:Armação: Existem onstantes K4, K5 > 0, independentes de N , tal queK4|λ(p)|−n ≤ A ≤ K5|λ(p)|−nComo z1 e z2 ∈W u(p, g) temos

d(g−m(z1), g−m(z2)) = K|λ(p)|−m, para m grande,onde K é uma onstante, que depende do tempo, que z1 e z2 levam para entrar, denitiva-mente, na vizinhança V ( olhando, neste aso, para os iterados passados de g). Notemos que

K não depende de m, para este su ientemente grande.Pela es olha de n, temos que d(g−n(z1), p), d(g−n(z2), p) < A/4, e assimK|λ(p)|−n = d(g−n(z1), g

−n(z2)) < A/4.Tomando K4 = 4K temosA ≥ K4|λ(p)|−n. (3.4)Sem perda de generalidade, podemos supor que n seja o menor tal que DA esteja A/4próximo de W s

loc(p, g). Por es olha deste n, deve existir z ∈ DA tal qued(g(z),W s

loc(p, g)) ≥ A/4. (3.5)

3.2 Propriedades genéri as para Diff1ω(M) 31No entanto, reduzindo A se ne essário, z pode ser es olhido tal que g(z) ainda esteja em V .Também, omo gn(DA) está A/4−C1 próximo de I ′, temos que gn(DA) ⊂ V , logo gn(z) ∈ V .Usando a desigualdade 3.2 no ponto g(z), para gn−1 e m = 1, temos

d(g(z),W sloc(p, g

n−1)) ≤ K3|λ(p)|−(n−1).Com isto, mais a desigualdade 3.5, e tomando K5 = 4K3|λ(p)|,A ≤ K5|λ(p)|−n. (3.6)Das equações 3.4 e 3.6, temos a armação.Olhando para gn e DA, temos uma ferradura de N pernas. Assim, se Λ1 é o onjuntomaximal invariante para gn|DA, então Λ1 é hiperbóli o para gn e gn|Λ1 é topologi amente on-jugado ao shift agindo no espaço das sequên ias de N símbolos, ΣN . Logo, pelas Proposições1.1.23 e 1.1.25 , temos que h(gn|Λ1) = logN .TomandoΛ =

⋃

0≤j≤n

gj(Λ1),temos que Λ é um onjunto hiperbóli o para g, Exemplo 1.1.6. Usando a Proposição 1.1.22,h(g|Λ) =

1

nlogN. (3.7)Notemos que da onstrução de g, juntamente om o fato de Λ possuir pontos periódi osdensos, Teorema 1.1.20, temos um ponto periódi o em Λ que é homo lini amente rela ionado om p. Assim, temos Λ ⊂ H(p, g).Usando a Armação, mais a es olha de A, temos o seguinte:

K4|λ(p)|−n ≤aδK1

2πN≤ K5|λ(p)|−n;o que impli a

1

nlogK4 − log |λ(p)| ≤

1

nlog

aδK1

2π−

1

nlogN ≤

1

nlogK5 − log |λ(p)|.Quando N → ∞, impli a que A → 0, e assim, por es olha, n → ∞. Agora, fazendo N → ∞na desigualdade a ima, temos, pelo Teorema do Confronto, que

limN→∞

1

nlogN = log |λ(p)|.Podemos, então, es olher N grande o su iente, tal que 1

nlogN > log |λ(p)| − ǫ. E assim,usando a igualdade (3.7)

h(g|Λ) =1

nlogN > log |λ(p)| − ǫ.Para τ(p) > 1, a prova é análoga, ex eto o fato que z0 ∈ W s(p, f) ∩W u(fk(p), f), para

0 ≤ k < τ(p). O n es olhido na primeira parte pode ser es olhido da forma n = τ(p)n1 + k.

32 Capítulo 3 Resultado Prin ipalSeguindo um roteiro análogo ao feito na demonstração da armação, a ima, onseguimos aseguinte estimativaK6|λ(p)|−n1 ≤ A ≤ K7|λ(p)|−n1 .Substituindo A =

aδK1

2πN, e seguindo o mesmo ra io ínio da primeira parte, on luímosque

limN→∞

1

nlogN =

1

τ(p)log |λ(p)|.E, portanto, tomando N grande o su iente,

h(g|Λ) =1

nlogN >

1

τ(p)log |λ(p)| − ε.O que demontra a Parte (a).Parte (b)Como na Parte (a), suponhamos τ(p) = 1. Consideremos o retângulo DA, e a apli ação

gn. As N omponentes de gn(DA)∩DA, são faixas in linidas ruzando DA, assim omo mostraa Figura 3.6.PSfrag repla ements gn(DA) ∩DA

g−n(DA) ∩DA Figura 3.6:Também, g−n(DA) ∩DA onsiste de N faixas ruzando horizontalmente DA. Figura 3.6.Assim, temos que g−n(DA)∩gn(DA)∩DA ontém N2 quadriláteros disjuntos. Notemos ainda,que estes formam uma obertura de Λ1, e mais, retirando as fronteiras destes quadriláterostemos uma obertura aberta de Λ1. Assim,⋂

0≤j≤k

gjnDA onsiste de Nk faixas in linadas, e⋂

−k≤j≤0

gjnDAde Nk faixas horizontais. Logo, a interseção destas faixas nos dão N2k dis os em DA. Alémdisto,Λ1 ⊂

⋂

−k≤j≤k

gjnDA.

3.2 Propriedades genéri as para Diff1ω(M) 33No entanto, o retângulo gkn(DA) está ontraindo na direção horizontal e esti ando nadireção verti al onforme k res e. Como estamos numa vizinhança pequena de p, esta taxade ontração é próxima de |λ(p)|−n. Assim, podemos tomar uma onstante K8, independentede N , tal que para todoUi ∈

⋂

−k≤j≤k

gjnDA,

diam(Ui) ≥ (K8|λ(p)|−n)k.Desta forma,

Hβε (Λ1) = inf

∑

(diamUi)β : Ui é uma obertura aberta de Λ1e ada elemento possui diâmetro menor do que ε .

= inf

∑

(diamUi)β, Ui ∈

⋂

−k≤j≤k

gjnDA, para k su ientemente grande

≥ inf

∑

(

K8|λ(p)|−n)kβ

, Ui ∈⋂

−k≤j≤k

gjnDA, para k su ientemente grande

,Quando ε→ 0, temos que k → ∞, nas desigualdades a ima. Assim,Hβ(Λ1) ≥ lim inf

k→∞N2k(K8|λ(p)|−n)kβ . (3.8)Seja α = HD(Λ1) = infβ; Hβ(Λ1) = 0. Tomando α1 = infβ; lim inf N2k(K8|λ(p)|−n)kβ =

0, pela desigualdade 3.8, temos que α ≥ α1.Agora, se β é tal que N2 (K8|λ(p)|−n)β> 1. Então,

lim infk→∞

N2k(

K8|λ(p)|−n)βk

= ∞.E se β é tal que N2 (K8|λ(p)|−n)β< 1, temos que

lim infk→∞

N2k(

K8|λ(p)|−n)βk

= 0.Desta forma, α1 é tal que N2 (K8|λ(p)|−n)α1 = 1. Ou seja,

α1 =2 logN

n log |λ(p)| − logK8. (3.9)Usando a estimativa da Armação feita na parte (a), temos que

aδK1

2πN≤ K5|λ(p)|−n =⇒

2K5π

aδK1N ≥ |λ(p)|n.Tomando K9 >

2K5π

aδK1,

n log |λ(p)| < logK9 + logN.Por m, usando esta desigualdade em 3.9, temosα1 >

2 logN

logN − logK8 + logK9.

34 Capítulo 3 Resultado Prin ipalComo esta desigualdade não depende de N , temos o seguinteα1 ≥ lim

N→∞

2 logN

logN − logK8 + logK9= 2.No entanto, M tem dimensão 2, logo

2 ≥ α > α1 ≥2 logN

logN − logK8 + logK9−→ 2.Assim, dado ε > 0, podemos tomar N grande o su iente tal que

HD(Λ1) = α > 2 − ε.Como Λ1 ⊂ Λ, temos que HD(Λ) > 2 − ε.Agora, para g1 próximo de g, ada omponente de⋂

−k≤j≤k

gjn1 DA,tem diâmetro maior do que (K8|λ(p)|−n−γ)k om γ > 0 pequeno. Então, repetindo as ontasanteriores para g1, temos que HD(Λ(g1)) > 2 − ε, onde Λ(g1) é a ontinuação do onjuntohiperbóli o Λ, Teorema 1.1.18.O aso geral é inteiramente análogo, o orrendo apenas uma mudança na onstante deestimativa do diâmetro das faixas em questão.Na Proposição 3.2.6 temos omo hipótese uma tangên ia entre W u(o(p)) e W s(o(p)),onde p é um ponto periódi o hiperbóli o de um difeomorsmo não Anosov f . No entanto,vamos mostrar que em D, a menos de uma perturbação C1, este fato a onte e. Ou seja,no omplementar dos difeomorsmos de Anosov, o onjunto dos difeomorsmos que exibemtangên ia homo líni as são densos.Denição 3.2.7. Se L : E → F é uma apli ação linear entre espaços lineares normados,denimos

m(L) = inf|v|=1

|Lv|a onorma de L.Sejam L, T : E → F apli ações lineares, omo na denição a ima. Uma propriedadeinteressante de onorma é que:m(LT ) ≥ m(L)m(T ). (3.10)De fato,

m(LT ) = inf|v|=1

|L(v)T (v)|

≥ inf|v|=1

|L(v)| inf|v|=1

|T (v)|

= m(L)m(T ).

3.2 Propriedades genéri as para Diff1ω(M) 35Denotemos por H o sub onjunto residual B em Diff1

ω(M), dado pelo Teorema 3.2.5.Dado um ponto p periódi o hiperbóli o para g ∈ H, e q ∈ H(p, g), denimos u(q, g) omenor inteiro positivo n tal quem(

Dgn(q)|Euq)

≥ 2,onde Euq = TqW

u(p, g), é a direção instável de g no ponto q.Lema 3.2.8. Seja M uma variedade simpléti a ompa ta, onexa, de dimensão dois, f ∈ D ,e p um ponto periódi o hiperbóli o para f . Então, existem sequên ias gi ∈ H, qi ∈ H(p(gi), gi), om gi → f em Diff1ω(M), e

maxu(qi, gi), u(qi, g−1i ) → ∞,quando i→ ∞. Onde p(gi) é a ontinuação do ponto p, para gi.Demonstração. Suponhamos que exista uma vizinhança U de f em Diff1

ω(M) e um inteiropositivo ν > 0 tal quesup

q ∈ H(p(g), g)g ∈ H ∩ U

u(q, g), u(q, g−1) ≤ ν.Mostremos que om estas ondições f é Anosov, e assim temos uma ontradição.Primeiro, vamos mostrar que H(p, f) é um onjunto hiperbóli o.Seja K1 = infm(Df j(z)); 0 ≤ j ≤ ν, z ∈ M. Da ompa idade de M , ontinuidadede m, mais o fato de f ∈ Diff1ω(M) temos que K1 > 0. Sendo assim, podemos tomar umavizinhança menor U1 ⊂ U de f , se ne essário, tal que

|m(Dgj(z)) −m(Df j(z))| <K1

2, 0 ≤ j ≤ ν, z ∈M, g ∈ U1.Daí, para todo z ∈M , e 0 ≤ j ≤ ν,

m(Dgj(z)) >−K1

2+m(Df j(z))

≥−K1

2+ infm(Df j(z)); 0 ≤ j ≤ ν, z ∈M

=K1

2.Disto podemos tirar que

infm(Dgj(z)); 0 ≤ j ≤ ν, z ∈M, g ∈ U1 ≥K1

2. (3.11)Es olhemos h > 0 tal que 2h

K1

2> 2.Armação 1: Existe n1 > 0 tal que m(Dgn1(q)|Euq ) > 2 para todo q ∈ H(p(g), g) e

g ∈ U1 ∩H.

36 Capítulo 3 Resultado Prin ipalSeja q ∈ H(p(g), g). Por es olha de ν, e denição de u(q, g), existe inteiro 0 < n(q) ≤ νtal quem(Dgn(q)(q)|Euq ) ≥ 2. (3.12)Como o(q) ∈ H(p(g), g), tomemos a maior sequên ia de inteiros possível,

0 = m0 < m1 < m2 < . . . < mk < hν,tal que (mi −mi−1) = n(gmi−1(q)). Assim, mi −mi−1 ≤ ν e hν −mk ≤ ν; logo k ≥ h. Daí,m(Dghν(q)|Euq ) ≥ m

(

Dghν−mk(gmk (q))|Eugmk (q)

)

. . .m(Dgm1(q)|Euq )

≥ m(Dghν−mk(gmk(q))|Eugmk (q)) 2k

≥K1

22h

> 2;onde foi usado Regra da Cadeia e a propriedade de onorma (3.10) na primeira desigualdade,a equação (3.12) na segunda desigualdade, e a equação (3.11) na ter eira desigualdade.Tomando n1 = hν,m(Dgn1(q)|Euq ) > 2, para todo q ∈ H(p(g), g), g ∈ U1 ∩H.O que prova a Armação 1.Similarmente, existe um inteiro n2 > 0 tal que m(Dg−n2(q)|Esq) > 2, para q ∈ H(p(g), g),

g ∈ U1 ∩H.Armação 1': m(Dg−n1(q)|Euq ) < 1/2 para todo q ∈ H(p(g), g) e g ∈ U1 ∩H.De fato, seja v ∈ Euq um vetor unitário qualquer, assim, pela Armação 1,

∣

∣

∣

∣

Dgn1(g−n1(q))

(

Dg−n1(q)(v)

|Dg−n1(q)(v)|

)∣

∣

∣

∣

> 2,que impli a,1 = |v| > 2|Dg−n1(q)(v)|.E, portanto, m(Dg−n1(q)|Euq ) < 1/2Seja y ∈ H(p, f) e onsidere duas sequên ias E

uqie E

uq′i, om gi, g

′i ∈ H∩U1, qi ∈ H(p(gi), gi),

q′i ∈ H(p(g′i), g′i); tal que qi, q′i → y e gi, g′i → f , quando i→ ∞ .Armação 2: Existe um subespaço E

uy ⊂ TyM tal que E

uqi, E

uq′i

→ Euy , quando i → ∞,num senso de Grassman.Primeiro, denimos E

uy omo sendo o limite de uma subsequên ia de Euqi. Repassando,

Euqi para esta subsequên ia, podemos assumir que Euqi→ E

uy .

3.2 Propriedades genéri as para Diff1ω(M) 37Suponhamos por absurdo, que Euq′inão onverge a E

uy . Isto é, existe v ∈ TyM , |v| = 1, talque v 6∈ E

uy , e v é limite subsequen ial de E

uq′i.Seja n3 ≥ maxn1, n2. Como v 6∈ E

uy , para i su ientemente grande v 6∈ E

uqi. Assim, para

i grande, v tem omponente vs em Esqi, onde usamos o fato que TqiM = E

sqi⊕ E

uqi. Usando aArmação 1,

|Dg−n3i (qi)(v)| ≥ |Dg−n2

i (qi)(vs)| > 2.Por outro lado, para innitos valores de i, v é próximo de E

uq′i. E assim, pelaArmação 1', |D(g′i)

−n3(q′i)(v)| ≤1

2.Agora, omo gi, g′i → f , temos

1

2≥ |Df−n3(y)(v)| > 2,o que é absurdo. Logo E

uq′i onverge para E

uy . Mais ainda,

m(Dfn3(y)|Euy ) > 2.Similarmente, os subespaços Esqi onvergem ao subespaço E

sy ⊂ TyM , e além disto

m(Df−n3(y)|Esy) > 2.Como TqiM = Euqi⊕ E

sqi, temos diretamente que TyM = E

uy ⊕ E

sy.De fato, seja v ∈ TyM . Existem vi ∈ TqiM tal que vi → v. Para ada vi, existe de om-posição vsi ∈ E

sqi, vui ∈ E

uqi, tal que vi = vsi + vui . Pela Armação 2, vsi onverge para algum

vs ∈ Esy, e anologamente vui onverge para algum vu ∈ E

uy . Da uni idade do limite temos

v = vs + vu, omo queríamos.Agora, sabemos que Dgi(qi)|Euqi = Eugi(qi)

, para todo i. Como qi → y, pela Armação 2, epor gi onvergir para f , na topologia C1, Df(y)|Euy = Euf(y). Desta forma temos que Euy ésub-brado invariante de TM . Analogamente, Esy também é sub-brado invariante.Da demonstração da Armação 2, temos que:

m(Dfn3(y)|Euy ) > 2 e m(Df−n3(y)|Esy) > 2, para todo y ∈ H(p, f).Seja c1 = infm(Df j(y)|Euy); y ∈ H(p, f), 0 ≤ j ≤ n3 e es olhemos 2 > β1 > 1 tal queβ

(k+1)n3

1 < 2k, para todo k ≥ 0.Fixemos n ≥ 0. Se n ≤ n3,

m(Dfn(y)|Euy) ≥ c1 >c12βn1 .Se n ≥ n3, es revemos n = kn3 + r, om k > 0 e 0 ≤ r < n3. Assim,

m(Dfn(y)|Euy ) ≥ m(Df r(fkn3(y))|Eufkn3 (y)

)m(Dfn3(f (k−1)n3(y))|Euf(k−1)n3 (y)

)

. . .m(Dfn3(y)|Euy)

≥ c1 2k

≥ c1 β(k+1)n3

1

>c12βn1 .

38 Capítulo 3 Resultado Prin ipalSimilarmente, existem onstantes c2 > 0, β2 > 1 om|Dfn(y)|Esy| < c2 β

−n2 , para n ≥ 0.E assim, temos que H(p, f) é um onjunto hiperbóli o para f .Agora, mostremos que H(p, f) possui estrutura de produto lo al, isto é, para ε > 0pequeno e x, y ∈ H(p, f), temos que W u

ε (x) ∩W sε (y) ⊂ H(p, f).Como H(p, f) é hiperbóli o e ompa to, podemos es olher ε > 0 tal que se d(x, y) < 2ε,então W u

ε (x) ∩ W sε (y) 6= ∅ e W u

ε (x) é transversal a W sε (y), onde d é a métri a induzidaem H(p, f). Da mesma forma, tomamos 0 < δ < ε tal que se W u

δ (x) ∩W sδ (y) 6= ∅, então

d(x, y) < 2ǫ.Sejam x, y ∈ H(p, f). Armamos que W uδ (x) ∩W s

δ (y) ∈ H(p, f).Por va uidade, podemos assumir que W uδ (x) ∩W s

δ (y) 6= ∅, e assim, d(x, y) < 2ε. Sejaz ∈ W u

δ (x) ∩W sδ (y). Existem pontos x1, y1 ∈ H(p, f), tais que x1 é próximo de x e y1 épróximo de y. Usando o Teorema 1.1.20, existem pontos periódi os hiperbóli os p1 e q1 de f om p1 próximo de x, q1 próximo de y, e(a) W u

δ (p1) ∩Wsδ (q1) 6= ∅,(b) W u

δ (p1) ∩Wsδ (q1) tem um ponto próximo de z.(Figura 3.7)

.

.

.

.

.

.

PSfrag repla ementsz

x

y

p1

q1

Figura 3.7:Como p1 e q1 são homo lini amente rela ionados, usando lambda Lema 1.1.15, temos queW uδ (p1) ∩W

sδ (q1) é a umulado por pontos homo líni os de p1. Mas, p1 é homo lini amenterela ionado om p, logo H(p1, f) = H(p, f). Agora, omo podemos tomar x1 e p1, y1 e q1 tãopróximos quanto se queira de x e y, respe tivamente; temos que z ∈ H(p, f).

3.2 Propriedades genéri as para Diff1ω(M) 39Para ompletarmos a prova, basta mostrarmos que H(p, f) = M . De fato, isto vai nosdar a ontradição desejada. No entanto, pela onexidade de M , pre isamos apenas mostrarque H(p, f) é um sub onjunto aberto de M .Usando a estrutura de produto lo al, é su iente mostrarmos que para ada y ∈ H(p, f),

W uδ (y) ∪W s

δ (y) ⊂ H(p, f), onde δ é omo a ima.Assim, onsideremos uma sequên ia gi ∈ U1 ∩H, tal que gi → f , quando i→ ∞. Fixadoi ∈ N qualquer, seja y ∈ H(p(gi), gi), logo existe sequên ia xj ∈ H(p(gi), gi) onvergindo paray. Assim, W u

δ (xj , gi) e W sδ (xj , gi) onvergem para W u

δ (y, gi) e W sδ (y, gi), respe tivamente.No entanto, pelo Teorema 3.2.5, omo gi ∈ H, para todo x ∈ H(p(gi), gi), temos que

W uδ (x, gi)∪W

sδ (x, gi) ⊂ H(p(gi), gi); logo, por ontinuidade,W u

δ (y, gi)∪Wsδ (y, gi) ⊂ H(p(gi), gi).E assim, temos que

W uδ (y, gi) ∪W

sδ (y, gi) ⊂ H(p(gi), gi), para todo y ∈ H(p(gi), gi), e i ∈ N.Agora, dado y ∈ H(p, f), omo gi → f , na topologia C1, existe yi ∈ H(p(gi), gi) om yi → y.E pela parte anteriror, temos que W u

δ (y) ∪W sδ (y) ⊂ H(p, f), para todo y ∈ H(p, f). Comoqueríamos.

Proposição 3.2.9. Seja M uma variedade simpléti a ompa ta, onexa, de dimensão dois,e f ∈ D . Dado T ⊂ Diff1ω(M), vizinhança de f , e p um ponto periódi o hiperbóli o para f ,existe g ∈ T tal que W u(o(p(g)), g) tangen ia W s(o(p(g)), g) em algum ponto, onde p(g) é a ontinuação do ponto periódi o hiperbóli o p.Demonstração. Usando o Lema 3.2.8, onsideremos a sequên ia gi → f em Diff1

ω(M) ∩H, epi ∈ H(p(gi), gi), tal que u(pi, gi) → ∞. O aso u(pi, g−1

i ) é similar.Como ω é uma 2-forma diferen iavel, C∞, temos que ω(p) é uma apli ação bilinear on-tínua. Logo ω(p) é limitada, isto é, existe Kp tal que|ω(p)(v1, v2)| ≤ Kp|v1||v2|, para p ∈M, e todo v1, v2 ∈ TpM.Como M é ompa to, temos que existe c ∈ R tal que

|ω(p)(v1, v2)| ≤ c|v1||v2|, p ∈M, v1, v2 ∈ TpM. (3.13)Por es olha de u(pi, gi), tomando ni = u(pi, gi) − 1, existe algum vetor unitário vi ∈

Eu(pi, gi) tal que |Dgni(vi)| < 2.Agora, para 0 < ε < 1, podemos es olher 0 < δ < ε tal que δ/(1 − δ) < K−1ε, onde K édado pelo Lema de Perturbação 2.2.2. Assim, podemos onstruir uma ε−C1 perturbação h daidentidade Id, sobre vizinhanças dos pontos pi, gi(pi), . . . , gni

i (pi), tal que tomando gi1 = gihtenhamos o seguinte(a) gi(y) = gi1(y) para y fora de uma pequena vizinhança de pi, gi(pi), ..., gni

i (pi);(b) gji1(pi) = gji (pi) para 0 ≤ j ≤ ni;

40 Capítulo 3 Resultado Prin ipal( ) pi ∈ H(p(gi1), gi1);(d) vi ∈ Eu(pi, gi1);(e) |Dgni

i1 (pi)(vi)| ≤ 2(1 − δ)ni .Notemos que gi1 é uma ε− C1 perturbação de gi, em Diff1ω(M).Armação: ω|W u(pi, gi1) ≡ 0 ≡ ω|W s(pi, gi1).De fato, se a1, a2 ∈ TzW

u(pi, gi1), para z ∈W u(pi, gi1), então Dg−ni1 (z)(a1) e Dg−ni1 (z)(a2)aproximam-se de zero quando n res e. No entanto, omo gi1 ∈ Diff1ω(M),

ω(z)(a1, a2) = ω(g−ni1 (z))(Dg−ni1 (a1),Dg−ni1 (z)(a2)), para todo n.Fazendo n → ∞, temos que ω(z)(a1, a2) = 0. E, portanto, ω(z) = 0, para z ∈ W u(pi, gi).Logo, ω|W u(pi, gi1) ≡ 0. Similarmente, temos que ω|W s(pi, gi1) ≡ 0.Como ω é não degenerada, existe vetor v′i ∈ E

s(pi, gi1) tal que ω(pi)(vi, v′i) = 1. Usando(3.13), temos

1 = ω(pi)(vi, v′i) = ω(gni

i1 (pi))(Dgni

i1 (pi)(vi),Dgni

i1 (pi)(v′i))

≤ c|Dgni

i1 (vi)||Dgni

i1 (v′i)|

< 2c(1 − δ)ni |Dgni

i1 (v′i)|;daí,|Dgni

i1 (v′i)| > (2c)−1(1 − δ)−ni . (3.14)Usando, novamente, a parte (b) do Lema de Perturbação 2.2.2, podemos fazer outra ε−C1perturbação, em Diff1ω(M), de gi1 para gi2, sobre uma pequena vizinhança de g−1

i1 (pi), exigindoque(a) gi2(g−1i1 (pi)) = pi,(b) Dgi2(g−1i1 (pi))(Dg

−1i1 (pi)(vi)) = (αvi + βv′i), om β/α > ε/2. Com isto, temos que (αvi + βv′i) ∈ E

u(pi, gi2), e v′i ontinua perten endo aEs(pi, gi2). Agora, Dgni

i2 (pi)(αvi + βv′i) pode ser es rito em oordenadas (ξ1, ξ2), tal queξ1 ∈ E

u(gni

i1 (pi), gi1) e ξ2 ∈ Es(gni

i1 (pi), gi1).Ou seja,Dgni

i2 (pi)(αvi + βv′i) = Dgni

i1 (pi)(αvi + βv′i)

= αDgni

i1 (pi)(vi) + βDgni

i1 (pi)(v′i).

3.2 Propriedades genéri as para Diff1ω(M) 41Assim, usando a ondição (e) da primeira perturbação, mais (3.14), temos

|ξ2|

|ξ1|=

|βDgni

i1 (pi)(v′i)|

|αDgni

i1 (pi)(vi)|>β(2c)−1(1 − δ)−ni

α2(1 − δ)ni> δ(8c)−1(1 − δ)−2ni .Fazendo i→ ∞, temos que ni → ∞, e assim |ξ1/ξ2| → 0. Daí, omo Es(pi, gi2) = Es(pi, gi1),temos que o ângulo entre E

u(gni

i2 (pi), gi2) e Es(gni

i2 (pi), gi2) está indo para zero quando i→ ∞.Logo W s(pi, gi2) e W u(pi, gi2) são C1 próximos em gni

i2 (pi), para i grande o su iente.Por um pro esso similar ao usado na demonstração da Proposição 3.2.6, podemos fazeruma ε−C1 perturbação de gi2 para gi3, tal que W s(pi, gi3) e W u(pi, gi3) sejam tangentes emgni

i2 (pi). E assim, omo gi → f , para i→ ∞, podemos tomar i su ientemente grande tal queg = gi3 seja 4ε− C1 próximo de f .

Finalmente, vamos demonstrar o Teorema 3.2.1.Demonstração. do Teorema 3.2.1De a ordo om a Observação 3.2.2, para demonstrarmos o Teorema pre isamos apenasnos preo upar om os difeomorsmos f ∈ D, isto é, os difeomorsmos não Anosov.Para inteiros positivos n e m, seja Bn,m o onjunto dos difeomorsmos f em D tal queexistam p ∈ Hipnf e um onjunto bási o hiperbóli o Λ ⊂ H(p, f), satisfazendo h(f |Λ) >

sn(f) −1

m. Também, seja B′

n,m o onjunto dos difeomorsmos f em D tal que Hipnf sejanão vazio, e para ada p ∈ Hipnf , existe um onjunto bási o hiperbóli o Λ ⊂ H(p, f) tal queHD(Λ) > 2 −

1

m.Armação: Bn,m e B′

n,m são onjuntos abertos e densos em D.O Teorema segue diretamente da Armação, tomandoB =

⋂

n,m

[(

Bn,m ∩B′n,m

)

∪A].Mostremos, então, a Armação. Seja f ∈ D, e sejam n e m inteiros positivos quaisquer.Usando o Teorema 3.2.3 e a Proposição 3.2.4, podemos tomar f1, C1 próxima de f , tal queesta tenha pontos periódi os hiperbóli os e elípti os densos em M . Comosn(f1) = max

1

τ(p)log |λ(p)|, p ∈ Hipnf1

,podemos es olher p tal que1

τ(p)log |λ(p)| ≥ sn(f1) −

1

4m. (3.15)Como f1 tem pontos elípti os, temos que f1 ∈ D. Usando a Proposição 3.2.9, podemosen ontrar f2 C

1 próxima de f1 om uma tangên ia entre W s(o(p(f2)), f2) e W u(o(p(f2)), f2),

42 Capítulo 3 Resultado Prin ipalonde p(f2) é a ontinuação do ponto periódi o hiperbóli o p, para f2. Como a perturbação éC1 temos que |λ(p)| é próximo de |λ(p(f2))|. Desta forma, podemos es olher f2 tal que

1

τ(p(f2))log |λ(p(f2))| >

1

τ(p)log |λ(p)| −

1

4m(3.16)Usando, agora, a Proposição 3.2.6, podemos en ontrar f3, C1 próxima de f2, tal que f3 tenhaum onjunto hiperbóli o bási o Λ, e

h(f3|Λ) >1

τ(p(f2))log |λ(p(f2))| −

1

4m. (3.17)Sabendo que sn(.) é ontínua, Lema 3.1.3, omo f3 é próxima de f1, se f ′ é próxima de

f3, entãosn(f

′) < sn(f1) +1

4m. (3.18)Também, Λ(f ′) é topologi amente onjugado a Λ, onde Λ(f ′) é a ontinuação de Λ, para per-turbações f ′ de f3, Teorema 1.1.18. E assim, usando que entropia é invariante por onjugaçãotopológi a, mais as equações (3.15), (3.16),(3.17) e (3.18), temos que:

h(f ′) ≥ h(f ′|Λ(f ′))

= h(f3|Λ)

>1

τ(p(f2))log |λ(p(f2))| −

1

4m

>1

τ(p)log |λ(p)| −

1

2m

≥ sn(f1) −3

4m

> sn(f′) −

1

m,para todo f ′ su ientemente próximo de f3. Logo Bn,m é aberto e denso em D.Similarmente podemos usar o item (b) da Proposição 3.2.6 para provarmos que B′

n,m éaberto e denso em D.Com isto demonstramos a Armação, e portanto o teorema.3.3 Difeomorsmos de AnosovNesta seção, vamos mostrar que a desigualdade (3.1) falha para um sub onjunto abertoe denso, dentro dos difeomorsmos de Anosov. Para isto, onsideramos a função φu denidana Seção 1.2.2. Como estamos no mundo simpléti o, podemos onsiderar f de lasse C2, amenos de uma perturbação [8. E isto é essen ial, pois os resultados que vamos usar exigem lasse de difere iabilidade C2.Podemos ver em [6, que no aso Anosov a medida de Lebesgue m é o úni o estadode equilíbrio para o observável φu. Agora, seja µ a úni a medida invariante que maximiza

3.3 Difeomorsmos de Anosov 43entropia, ou seja, o úni o estado de equilíbrio para o fun ional ψ ≡ 0. Por [7, sabemos queesta medida tem uma estrutura geométri a interessante. Tomando Hn omo sendo o onjuntodos pontos periódi os de período n, para f , sabemos que:µn =

∑

p∈Hn

δp

♯Hn→ µ,quando n→ ∞, na topologia fra a∗. Isto é,

∫

φ dµn →

∫

φ dµ, para todo φ ∈ C(M).Tomando H ′n ⊂ Hn, tal que H ′

n ontenha apenas um representante para ada órbitaperiódi a de período n, temos que ♯Hn = n ♯H ′n. Agora,

−

∫

φu dµn =

∑

p∈Hn

log λ(p)

♯Hn

=

∑

p∈H′

n

1

nlog |λ(p)|

♯H ′n

≤ sn(f),onde usamos que log |λ(p)| =∑n−1

i=1 log λ(f i(p)), na segunda desigualdade.Daí, fazendo n→ ∞, temos:−

∫

φu dµ ≤ s(f).Pelo Teorema 1.2.5, temos que m e µ são ergódi as. Sendo assim, ou elas são equivalentesou são mutuamente singulares.Suponhamos que exista onstante k tal queSmφ

u(x) − Smψ(x) = km, para todo x tal que fm(x) = x, e m ≥ 0,onde ψ ≡ 0. Podemos, es rever a expressão a ima da seguinte forma:1

mlog |λ(x)| = k, para todo x tal que fm(x) = x, e m ≥ 0.Usando o item (b) do Lema de Perturbação 2.2.2, podemos perturbar f , tal que

1

mlog |λ(x)| 6= k, para algum ponto periódi o x, de período m.Assim, pela Proposição 1.2.6, temos que m e µ são mutuamente singulares.Usando o fato que toda variedade estável e instável é densa em M , temos que todos ospontos periódi os hiperbóli os são homo lini amente rela ionados. Assim, temos que M é oúni o onjunto bási o hiperbóli o. Daí, usando o Teorema 1.2.7, temos que Pf (φu) = 0.

44 Capítulo Resultado Prin ipalJuntando todos os resultados apresentados, logo a ima, temos:0 = Pf (φ

u) = hm(f) +

∫

φu dm

> hµ(f) +

∫

φu dµ

= h(f) +

∫

φu dµ.Daí,h(f) < −

∫

φu dµ

≤ s(f).Agora, pelo Teorema 1.1.23 e Corolário 3.1.3,temos que h(f) < s(f) é uma ondição C1 abertapara difeomorsmos de Anosov. Logo a desigualdade (3.1) falha para um sub onjunto abertoe denso de difeomorsmos dentro dos Anosov.

Apêndi eAPropriedades topológi as deDiff1

ω(M )

Estamos interessados em propriedades genéri as sobre Diff1ω(M). Isto é, propriedadesque são válidas para um sub onjunto residual em Diff1

ω(M), onde um sub onjunto residualé uma interseção enumerável de sub onjuntos abertos e densos. No entanto, sub onjuntosresiduais são interessantes quando estamos sobre espaços de Baire. Isto é, em espaços deBaire, onjuntos residuais ainda são densos.A.1 Diff1ω(M) é um espaço de BaireUm resultado muito usado na hora de re onhe er espaços de Baire, é o seguinte:Proposição A.1.1. Todo espaço métri o ompleto X é um espaço de Baire.A demonstração deste resultado pode ser en ontrada em [14.Consideremos agora o espaço Cr(M,Rs) das apli ações diferen iáveis de lasse Cr, 0 ≤

r <∞, denidas sobre a variedadeM . Temos em Cr(M,Rs) uma estrutura natural de espaçovetorial: (f + g)(p) = f(p) + g(p), e (λf)(p) = λf(p) para f, g ∈ Cr(M,Rs) e λ ∈ R.Podemos tomar um atlas (φi, Ui), tal que φi : B(2) → Ui seja um difeomorsmo, onde B(2)é a bola de entro 0 e raio 2. Tomemos em M uma obertura nita por abertos V1, . . . , Vk,tal que ada Vi esteja ontido no domínio de uma arta lo al (φi, Ui), e φi(Vi) = B(1).45

46 Capítulo A Propriedades topológi as de Diff1ω(M)Para f ∈ Cr(M,Rs) denotemos por f i = f φi : B(2) → R

s. Denimos‖f‖r = max

isup

u∈B(1)‖f i(u)‖, ‖Df i(u)‖, . . . , ‖Drf i(u)‖.Proposição A.1.2. ‖.‖r é uma norma ompleta em Cr(M,Rs).Demonstração. É imediato que ‖.‖r é uma norma em Cr(M,Rs). Resta mostrarmos que todasequên ia de au hy é onvergente.Seja fn : M → R

s uma sequên ia de au hy na norma ‖.‖r. Se p ∈M , p ∈ Vi para algumi, e assim, dado ε > 0 existe n0 tal que

‖f in(u) − f im(u)‖ < ε, n,m ≥ n0, φi(u) = p.Logo, fn(p) é uma sequên ia de au hy em Rs, e portanto, onvergente.Tomemos f(p) = lim fn(p). Em parti ular, f in(u) → f i(u), para u ∈ B(1) e i = 1, . . . , k.Por outro lado, para ada u ∈ B(1), Df in(u) é uma sequên ia de au hy em L(Rm,Rs), espaçodas transformações lineares de R

m em Rs. E assim, onverge para uma transformação linear

T i(u).Armação: Df in onverge uniformemente para T i.Como Df in é sequên ia de au hy, existe n0 tal que‖Df in(u) −Df im(u)‖ <

ε

2, para n,m ≥ n0.Agora, dado u ∈ B(1) existe nu tal que

‖Df inu(u) − T i(u)‖ <

ε

2, e nu ≥ n0.Daí,

‖Df in(u) − T i(u)‖ ≤ ‖Df in(u) −Df inu(u)‖ + ‖Df inu

(u) − T i(u)‖ < ε, u ∈ B(1), n ≥ n0.Da Armação, mais o fato que fn(p) onverge pontualmente, por um resultado de análise,temos que f é de lasse C1, e Df = T . Podemos repetir este pro esso, indutivamente,tro ando fn por Dfn, e assim, on luímos que fn onverge a uma função f ∈ Cr(M,Rs). Oque demonstra a proposição.Observação A.1.3. A topologia induzida pela ‖.‖r em Cr(M,Rs) não depende da obertura

V1, . . . , Vk de M utilizada.Teorema A.1.4 (Whitney). Se M é uma variedade diferen iável de dimensão m, existeum mergulho próprio f : M → R2m+1.

A.1 Diff1ω(M) é um espaço de Baire 47Observação A.1.5. Usando o Teorema A.1.4, podemos denir a topologia Cr em Cr(M,M).Como M é ompa to temos que M ⊂ R

4+1 é um espaço métri o ompleto. Assim, podemostro ar Rs porM na demonstração da Proposição A.1.2, e on luir que Cr(M,M) é ompleto, om respeito a norma ‖.‖r.Proposição A.1.6. Diff1

ω(M) é um espaço de Baire.Demonstração. Se mostrarmos que Diff1ω(M) é um subespaço fe hado de C1(M,M), pelaObservação A.1.5, temos que Diff1

ω(M) também é um espaço métri o ompleto om respeitoa norma ‖.‖1. Portanto, pela Proposição A.1.1, Diff1ω(M) é um espaço de Baire.Mostremos, então, que Diff1

ω(M) é fe hado em C1(M,M).Seja fn ∈ Diff1ω(M) uma sequên ia qualquer, que onverge para uma função f ∈ C1(M,M).Como fn preserva o elemento de área ω temos que Jac fn(x) = 1, para todo x ∈M , e n ∈ N.Disto, temos que f é difeomorsmo lo al, om Jac f(x) = 1, para todo x ∈M .Armação 1: f é sobrejetiva.Seja y ∈M . Consideremos a sequên ia xn = f−1

n (y) emM . Como este último é ompa to,repassando xn para uma subsequên ia, se ne essário, podemos assumir que xn → x em M ,quando n → ∞ . Como f ∈ C1(M,M), f(xn) → f(x), para n → ∞. Agora, dado ε > 0,existe n0 tal que ‖fn − f‖ < ε, para n ≥ n0. Assim,‖fn(xn) − f(xn)‖ = ‖y − f(xn)‖ < ε, para n ≥ n0.E, portanto, f(xn) → y para n → ∞. Pela uni idade do limite, temos que f(x) = y. E isto on lui Armação 1.Armação 2: f é injetiva.Suponhamos que f(x) = f(y) para x 6= y ∈ M . Como f é um difeomorsmo lo al,podemos es olher abertos B = B(f(x), r), a bola aberta de entro f(x) e raio r > 0, A1, e

A2 vizinhanças de z, x e y, respe tivamente; tais que A1 e A2 sejam disjuntos, ef : A1 → B

f : A2 → Bsejam difeomorsmos .Denimos µω(E) =

∫

Eω, para E ⊂ M . Desta forma, temos que µω é uma medida sobre M .Como Jac f(x) = 1 para todo x ∈ A1 ∪A2, temos que

µω(B) =

∫

B

ω =

∫

A1

ω = µω(A1).Analogamente, µω(B) = µω(A2). Estes possuem medidas positivas pois ω é um elemento deárea. Tomemos ε = µω(B) > 0, e onsideremos B′ = B(f(x), r + δ) tal que µω(B′) < 3ε/2.Armamos que existe sequên ia xn ∈ A1 ∪A2 tal que fn(xn) 6∈ B′.

48 Capítulo A Propriedades topológi as de Diff1ω(M)Como fn ∈ Diff1

ω(M),µω (fn (A1 ∪A2)) = µω(A1 ∪A2) = µω(A1) + µω(A2) = 2µω(B)Suponhamos, agora, que não exista tal sequên ia xn, assim fn(A1 ∪A2) ⊂ B′, logo

µω(B′) ≥ µω (fn (A1 ∪A2)) = 2µω(B),o que ontradiz a es olha de B′. E, portanto, realmente existe sequên ia xn, omo a ima.Repassando esta sequên ia xn para uma subsequên ia, se ne essário, podemos assumirque xn → z, em M . Como A1 e A2 são fe hados temos que z ∈ A1 ∪A2, e por es olha destes onjuntos, f(z) ∈ B. Por outro lado, omo fn(xn) 6∈ B′, mais a es olha de B′ temos quef(z) 6∈ B. Com esta ontradição temos que realmente f é injetiva.Das Armações 1 e 2, on luímos que f é um difeomorsmo, logo f ∈ Diff1

ω(M). E assim,Diff1

ω(M) é fe hado.

Referên ias Bibliográ as[1 Newhouse, S.E. -Topologi al entropy and Hausdor dimension for area preservingdieomorphisms of surfa es, So iété Mathématique de Fran e, Astérisque, Vol. 51(1978), 323-334 .[2 Newhouse, S.E. - Quasi-elipti periodi points in onservative dynami al systems,Ameri an Journal of Mathemati s, Vol. 99, No. 5 (1975), 1061-1087 .[3 Takens, F. - Homo lini points in onservative systems, Inventiones Mathe. 18(1972), 267-292 .[4 Smale, S.Dierentiable dynami al systems, Ameri an Mathemati al So iety 73(1967), 747-817 .[5 Robinson, C. - Dynami al Systems, se ond edition (1998).[6 Bowen, R. - Equilibrium states and the ergodi theory of Anosov dieomorphisms,Le ture Notes in Mathemati , No. 470, Springer-Verlag, N.Y. (1975).[7 Bowen, R. - Periodi s Points and Measures for Axioma A Difeomorphisms, Tran-sa tions of the Ameri an Mathemati al So iety, Vol. 54 (1971), 377-397.[8 Zehnder, E. - Note on smoothing symple ti and volume-preserving dieomorphisms,Geometry and Topology, 828-854. Le tures Notes in Math., vol. 597, Springer, Berlin(1977).[9 Mané, R. - Introdução a teoria ergódi a, IMPA, CNPq, Rio de Janeiro (1983).[10 Palis, J. and Melo, W. - Introdução aos Sistemas Dinâmi os, IMPA,CNPq, Rio deJaneiro (1978).[11 Katok, A. and Hasselblatt, B. - Introdu tion to the Modern Theory of Dynami alSystems, Cambridge University Press (1995).49

50 Referên ias Bibliográ as[12 Hartman, P. - A Lemma in the theory of stru tural stability of dierential equations,Pro . Amer. Math. So . vol 11, 610-620 (1960).[13 Bonatti, C. and Crovisier, S. - Re urren e et généri ité Preprint Dijon (2003).[14 Munkres, J. R. - Topology, A First Course, Prenti e-Hall, In ., Englewood Clis,New Jersey (1975).

Tabela de Símbolos e AbreviaçõesM Variedade orientável, ompa ta, onexa, de dimensão doisω 2-forma diferen iável, C∞, fe hada, e não degenerada, sobre Mf∗ω pull-ba k da forma ω por fCr(M,Rs) espaço das apli ações diferen iáveis de lasse Cr, r ≥ 0, denidas sobrea variedade M em R

s

Diffr(M) onjunto dos difeomorsmos de lasse Cr sobre M , r ≥ 1.Diff1

ω(M) onjunto dos difeomorsmos de lasse C1, que preservam a 2-forma ωJac f(x) determinante do ja obiano de fτ(p) período do ponto periódi o pPer(f) onjunto dos pontos periódi os de fHipn(f) onjunto dos pontos periódi os hiperbóli os de f , om período menor ouigual a nH(p, f) onjunto dos pontos homo líni os transversais de p, om respeito a fλ(p) o úni o autovalor de norma maior do que um, da apli ação Df τ(p)p , para

p periódi o hiperbóli oΩ(f) onjunto de todos os pontos não errantes de f .Eu(p) direção instável de f , no ponto p

Es(p) direção estável de f , no ponto p

W u(p, f) variedade instável de p para fW s(p, f) variedade estável de p para fλ(p) valor absoluto do Ja obiano da apli ação f , restrita a direção instável

Eu.

h(f) entropia topológi a de f 51

52 Tabela de Símbolos e AbreviaçõesΣN espaço das sequên ias om N símbolosσ(.) apli ação shiftHµ(Q) entropia da partição Q om respeito a µhµ(f) entropia de f om respeito a medida µPf (φ) pressão topológi a de f , om respeito ao observável φMf (A) onjunto das medidas de probabilidades invariantes por fSf função geradora do difeomorsmo simpléti o fHD(E) dimensão de Hausdor de EC(z,E) omponente onexa de E que ontém z

m(L) onorma da apli ação linear Lu(q, g) o menor inteiro positivo n tal que m(Dgn(q)|Euq ) ≥ 2

H sub onjunto residual em Diff1ω(M) dado pelo Teorema 3.2.5

Índi e Remissivoapli ação

φu, 12Holder ontínua, 12shift, 9atrator, 13 onjugação topológi a, 5 onjunto(n, ε)−separado, 8bási o hiperbóli o, 6hiperbóli o, 4não errante, 5 onorma , 34 ontinuação de um onjunto hiperbóli o, 7 oordenadas simpléti as, 19difeomorsmoaxioma A, 5de Anosov, 5simpléti o, 15dimensão de Hausdor, 24entropiade uma partição, 11métri a, 11topológi a, 8estado de equilíbrio, 12formadiferen ial exata, 16

diferen ial fe hada, 16função s(f), 24função geradora, 18Lambda Lema, 6Lema de Perturbação, 20pontohomo líni o, 7periódi o elípti o, 3periódi o hiperbóli o, 3periódi o k-elípti o, 4pressão topológi a, 12Prin ípio Varia ional, 11Teoremada Variedade Estável, 6de Hartman Grobman, 5variedade simpléti a, 15vizinhança aptadora, 13isoladora, 6