Sequences and Series - University of Pretoria · 2018-10-25 · y=(x+30 $) grafiek links geskuif...

©Sarel van Greunen

Matriek Hersiening

Kry ‘n ander perspektief oor

Wiskunde eksamens Opgestel en aangebied

deur Sarel van Greunen

- 2 -

©Sarel van Greunen Matriek Hersiening 2018/06/14

Inhoudsopgawe

Funksies, relasies en inverse ................................................................................................................... 3

Rye en Reekse ................................................................................................................................................ 6

Differensiasie ................................................................................................................................................. 7

Eksponente ..................................................................................................................................................... 9

Logaritmes .................................................................................................................................................... 10

Finansiele Wiskunde ................................................................................................................................. 11

Euklidiese Meetkunde .............................................................................................................................. 15

Sirkel Stellings ............................................................................................................................................. 16

Analitiese meetkunde ............................................................................................................................... 21

Statistiek ........................................................................................................................................................ 23

Oefeninge

Funksies, relasies en inverses - Oefeninge ........................................................................................ 25

Rye en Reekse - Oefeninge ...................................................................................................................... 27

Differensiasie - Oefeninge ....................................................................................................................... 28

Eksponente en Logaritmes - Oefeninge .............................................................................................. 31

Finansiele Wiskunde - Oefeninge ......................................................................................................... 31

Trigonometrie - Oefeninge ...................................................................................................................... 33

Euklidiese Meetkunde Oefeninge ......................................................................................................... 34

Analitiese Meetkunde - Oefeninge ....................................................................................................... 37

Statistiek - Oefeninge ................................................................................................................................ 38 ©Sarel van Greunen Alle regte behou. Geen deel van die publikasie mag herproduseer, versprei, of aangestuur word in enige vorm of op enige manier nie, insluitend deur fotokopiëring, opnames, of op enige elektronies of meganiese maniere, sonder voorafgaande toestemming van die verspreider, behalwe in die geval van kortbondige kwoterasie in die geval van resensie en sekere non-komersiele gebruike wat toegelaat word onderhewe aan die kopieregwetgewing.

- 3 -


Funksies, relasies en inverse Definisie: ‘n Relasie is wanner ‘n veranderlike in verhouding tree met ‘n ander veranderlike, m.a.w. 𝑥 word in verhouding met y gebring. Hoe y reageer gee vir ons die verskillende grafieke ‘n Funksie is ‘n spesiale relasie waarvoor daar vir elke 𝑥 slegs 1 y is. Die oomblik wanneer dit nie meer waar is nie, kry ons wat ons noem, ‘n nie-funksie. Daar is 8 verskillende grafieke wat ons gaan analiseer, interpreteer en skets:

• Reguitlyn

• Parabool

• Hiperbool

• Eksponensieel

• Logaritmies

• Sinus

• Cosinus

• Tangent Daar is sekere generiese vrae:

1. 𝒙-afsnit o Laat 𝑦 = 0

2. y-afsnit

o Laat 𝑥 = 0

3. Definisieversameling o Alle 𝑥-waardes waarvoor die funksie bestaan

4. Waardeversameling

o Alle y-waardes waarvoor die funksie bestaan

5. Snypunte van grafieke o Stel die y-waardes gelyk aan mekaar of o Gebruik substitusie en los gelyktydig op

6. Inverses van grafieke

o Die inverse van ‘n grafiek is eenvoudig die refleksie van die grafiek in die lyn 𝑦 = 𝑥. o Vergelyking bepaling: Neem jou grafiek en ruil die 𝑥 en y in die vergelyking om en

kry maak dan verkieslik y die onderwerp. o Skets van inverse: Neem die koordinate van die oorspronklike grafiek en ruil AL die

𝑥 en y-waardes om. Plot die nuwe koordinate en teken jou skets. o ONTHOU: Die definisieversameling van die oorspronklike grafiek is die

waardeversameling van die inverse; en die waardeversameling van die oorspronklike is die definisieversameling van die inverse.

- 4 -


Spesifieke grafieke het hul eie unieke vra: • Reguitlyne ons gaan hierna kyk in Analitiese Meetkunde.

• Parabool Vergelyking:

𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 met (𝑝; 𝑞) as stasionere punt OF

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

o Die draaipunt kan bereken word deur te differensieer en gelyk te stel aan nul

of deur die simmetrie-as te kry deur 𝑥 = −𝑏

2𝑎 en die 𝑥-waarde te vervang in

die oorspronklike vergelyking

o Vergelyking bepaal: Om die vergelyking te bepaal hang dit af van wat vir jou gegee is. Gewoonlik word daar die volgende gegee: ▪ Draaipunt(p;q): 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 ▪ 2 𝒙-afsnitte(𝒙𝟏 en 𝒙𝟐): 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

• Hiperbool o Vergelyking:

𝑦 =𝑎

𝑥 − 𝑝+ 𝑞

o Vergelykings van asimptote: ▪ Horisontaal 𝑦 = 𝑞 en ▪ Vertikaal 𝑥 = 𝑝

o ‘n Baie belangrike ding om te onthou is dat hiperbole is altyd simmetries. o Daar is 2 simmetrie asse: ▪ Een met ‘n positiewe gradiënt: 𝑦 = 𝑥 − 𝑝 + 𝑞 en ▪ Een met ‘n negatiewe gradiënt: 𝑦 = −𝑥 + 𝑝 + 𝑞

• Eksponsieel o Vergelyking:

𝑦 = 𝑎. 𝑏𝑥−𝑝 + 𝑞 o Vergelyking van asimptoot: ▪ Horisontaal 𝑦 = 𝑞 o Die p-waarde is slegs daar om te wys hoeveel waardes die grafiek links of regs

geskuif is.

• Logaritmies o Vergelyking:

𝑦 = log𝑎(𝑥 − 𝑝) + 𝑞 o VergelykingAsimptote: Vertikaal 𝑥 = 𝑝 o Die q-waarde is slegs daar om te wys hoeveel waardes die grafiek op of af

geskuif is

- 5 -


• Trigonometriese grafieke o Die standaard sinus and cosinus grafieke is baie dieselfde: ▪ Periode= 360° ▪ Amplitude=1 o Die tangens grafiek is ‘n snaakse kalant: ▪ Periode= 180° ▪ Amplitude=∞ o Daar is ‘n hele paar verandering wat vir jou gevra gaan word 1. Periode: Indien 𝑦 = sin 𝑎𝑥 , 𝑦 = cos 𝑎𝑥 of 𝑦 = tan 𝑎𝑥,dan word die

nuwe periode (𝐎𝐨𝐫𝐬𝐩𝐫𝐨𝐧𝐤𝐥𝐢𝐤𝐞 𝐩𝐞𝐫𝐢𝐨𝐝𝐞) ÷ 𝒂

2. Amplitude: In die geval van 𝑦 = 𝑏 sin 𝑥 of 𝑏 cos 𝑥dan word die nuwe

amplitude die positiewe waarde van 𝑏. Indien 𝑏 negatief is dan verander dit die rigting van die grafiek.

3. Skuif van die grafieke:

a. Links )cos( 30+= xy grafiek links geskuif met 30

b. Regs )sin( 40−= xy grafiek regs geskuif met 40

c. Op 2+= xy tan grafiek opgeskuif met 2 eenh

d. Af 1−= xy sin grafiek afgeskuif met 1 eenh

4. Een van die maklikste manier om trig grafieke te is om die kritieke punte te kry

deur die periode deur 4 te deel. Dit is waar iets “spesiaal” op die grafiek gebeur.

- 6 -


Rye en Reekse Daar is 3 basiese tipes rye en reekse waarmee ons werk:

• Kwadraties

• Rekenkundig

• Meetkundig

Kwadratiese patroon: Definisie: Tweede verskille is dieselfde en die eerste verskille vorm ‘n rekenkundige

patroon.

Algemene Term: cbnanTn ++= 2

Om die waardes van a, b en c te bepaal: 𝟐𝒂 = 𝑻𝒘𝒆𝒆𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒌𝒊𝒍 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝑬𝒆𝒓𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒆𝒓𝒔𝒕𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒌𝒊𝒍 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝑬𝒆𝒓𝒔𝒕𝒆 𝑻𝒆𝒓𝒎

Rekenkundige patroon: Definisie: Alle eerste verskille is dieselfde, maw jy tel by of trek af met dieselfde getal

die heeltyd.

NB: 2312 TTTT −=−

Algemene Term: dnaTn )1( −+=

12 TTd −=

Som van n Terme: dnanSn )1(2(2

−+=

OF

)(2

lanSn +=

=l Laaste term of n-de Term

Meetkundige patroon: Definisie: Daar bestaan ‘n gemene verhouding, maw jy maal met ‘n getal om die

volgende term te kry.

NB: 2

3

1

2

TT

TT

=

Algemene Term: 1. −= n

n raT

1

2

TT

r =

Som van n Terme: 1......1

)1(

−

−= r

r

raS

n

n

Som tot oneindig: S¥ =a

1- r

NB!!!Voorwaardes vir konvergensie: 11 − r

- 7 -


Differensiasie Definisie: Oombliklike tempo van verandering Formule: Eerste Beginsels/ Grond Beginsel/ Definisie

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

−+=

→

Kort formule:

1. naxxf =)( dan 1)( −= nnxaxf

2. xy 3= dan 3=dx

dy

3. 0][ =kDx

Jou manier van skryf is verskriklik belangrik Daar is sekere beperkings wanneer jy nie mag differensieer nie, op universitiet gaan jy sekere strategiëe leer om hulle direk aan te vat, maar vir nou moet jy die uitdrukking manipuleer voordat jy mag differensieer.

Beperkings: Oplossing: 1. Hakies Vermenigvuldig uit

2. Wortels Eksponensielewette bv. 3

2

3 2 xx =

3. x in die noemer Wanneer x alleen is, deel dit op Wanneer x nie alleen is nie, faktoriseer die boonste gedeelte en kanseleer uit

Toepassings op grafieke Die eerste afgeleide van 𝑓 wys die presiese vorm van 𝑓:

✓ Wanneer 0)( xf sal 𝑓 afneem

✓ Wanneer 0)( xf sal 𝑓 toeneem

✓ Wanneer 0)( = xf is 𝑓 stasionêr

NOTASIE WANNEER JY DIFFERENSIËER

1. 𝑓(𝑥) → 𝑓′(𝑥)

2. 𝑦 →𝑑𝑦

𝑑𝑥

3. 𝐷𝑥ሾ… ሿ = ⋯ {𝐴𝑓𝑔𝑒𝑙𝑒𝑖𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑛𝑒 𝑑𝑖𝑒 ℎ𝑎𝑘𝑖𝑒𝑠}

4.𝑑

𝑑𝑥(… ) = ⋯ {𝐴𝑓𝑔𝑒𝑙𝑒𝑖𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑛𝑒 𝑑𝑖𝑒 ℎ𝑎𝑘𝑖𝑒𝑠}}

- 8 -


Die laaste punt is baie belangrik. Dit gee vir ons die formule om enige stasionêre punt/draaipunt te kan bereken, naamlik deur te differensieer en gelyk te stel aan 0.

0)( = xf of 0=dx

dy

Die tweede afgeleide gee vir jou konkawiteit van die grafiek:

✓ Wanneer 0)( xf dan is f konkaaf af, vir ‘n maksimum

✓ Wanneer 0)( xf dan is f konkaaf op, vir ‘n minimum

✓ Wanneer 0)( = xf dan is f by ‘n draaipunt

Ware lewens toepassing Die mees belangrikste toepassing van differensiasie is om die minimum en/of maksimum vir ‘n problem te bepaar. Ons volg dieselfde proses as om ‘n draaipunt te bereken:

0)( = xf of 0=dx

dy.

Dit geld vir al die probleme wat ons kan modeleer met behulp van ‘n vergelyking.

Differensiasie word ook gebruik om tempo van verandering te beskryf, dit is die tempo van verandering van afstand wat spoed gee en die tempo van verandering van spoed wat versnelling gee.

Bepaal die vergelyking van ‘n kubiese grafiek:

• Gegee 3 𝑥-afsnitte: 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)

• Gegee 2 𝑥-afsnitte waar 1 ‘n draaipunt ook is: 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)2

waar 𝑥2 is die 𝑥-waarde wat beide ‘n 𝑥-afsnit is en ‘n draaipunt.

• Gegee die draaipunte: 1. Kry die afgeleide van die vergelyking; 2. Maak die afgeleide gelyk aan 0; 3. Vervan die verskillende 𝑥-waardes van die draaipunt in; 4. Los die resultante vergelykings gelyktydig op.

Indien jy enige verdere onbekende in die funksie het, vervang koördinate in die vergelyking in en los die vergelykings op.

- 9 -


Eksponente

Die doel van eksponente is om enige getal in ‘n korter manier te skryf.

Eksponensiele wette

1. 62442 3333 == +

2. 33636 xxxx == −

3. 42222122 )( yxyxxy ==

4. 31

32

3 2 yxyx =

Eksponensiele definisies

1. 10 =x behalwe vir 0=x

2. 2

2 1

aa =− of aa

a==

−

1

1

1 ‘n kortpad vir dit is, is wanneer jy die volgende het

2

442

a

bcbca =−

3.

=

−

2

3

3

21

Vereenvoudiging:

• Vermenigvuldig en deel net die volgende: i. Verander die basisse in priemgetalle

ii. Pas wet 3 of 4 toe iii. Pas wet 1 en 2 toe iv. Bereken die anwoorde

• Optel en/of aftrek van terme met eksponente i. Verdeel die terms met eksponente

ii. Faktoriseer iii. Kanseleer uit iv. Bereken die antwoorde

Vergelykings

• Jy hanteer elk van die verskillende tipes vergelykings dieselfde as vereenvoudiging, maar die vierde stap verander, in plaas om die antwoord te vind, moet jy die volgende:

o Kry die basisse dieselfde o Laat die basisse weg o Los die som om

• Wanneer jy x as die basis het moet jy eenvoudig: o Kry x en sy eksponent alleen aan ‘n kant o Verhef albei kante tot die mag van die eksponent se inverse

- 10 -


Logaritmes

Die malligheid agter logaritmes is om eksponensiele vergelykings waar dit bykans onmoontlik is om die basisse dieselfde te kry, op te los. Logs is die inverse van eksponente, bv.

83 =x kan as x=8log 3 of x=3log

8loggeskryf word, wat jy mbv ‘n sakrekenaar kan oplos.

Logaritmiese wette 1. 63232 aaaa log)(logloglog ==+

2. 42828 bbbb log)(logloglog ==−

3. xx bb loglog 33 =

4. b

aa

x

xb

log

loglog =

Logaritmiese definisies 1. 1=aalog

2. 01=blog

3. b

aa

blog

log1

=

4. aa

aa

b

b

bb

loglog

loglog

−=

−=

1

1

Log wette is eenvoudig net daar om van die logs ontslae te word, sodat ons kan werk met

ons basies wiskunde tegnieke om die probleem op te los.

- 11 -


Finansiele Wiskunde

Finansiele wiskunde behels eenvoudig die leen van en belê van geld in banke. Daar is basies 2 tipes somme wat in ons sillabus voorkom:

Een-malige transaksie

Periodiese beleggings Een-malige finansiele transaksies sluit in alle transaksies wat een keer plaasvind en dan rente trek oor ‘n tydperk. Die volgende word gesien as een-malige transaksies:

Gewone beleggings

Lenings by bank

Inflasie

Waardevermindering Gewone beleggings Enkelvoudige rente 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖. 𝑛) Saamgestelde rente 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 Waardevermindering Kosprys/Reglynige metode 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑖. 𝑛) Verminderende Saldo metode 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑖)𝑛 Inflasie 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 ‘n Geliefde vraag wat gevra word is om tussen effektiewe rente en nominale rente om te skakel. Die formule is as volg:

1 + 𝑖𝑒 = (1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚

In die formule is: 𝑖𝑒 = effektiewe rentekoers m= hoeveel keer per jaar die rente saamgestel word

𝑖(𝑚)= nominale rentekoers Periodiese finansiele transaksies word ook genoem annuïteite. Hier het ons twee keuses, of ons gaan kyk hoeveel die betalings, per maand, kwartaal, jaar, op die einde van die tydperk werd is, of hoeveel dit aan die begin van die tydperk werd is.

Toekomstige waarde 𝐹 =𝑥((1+𝑖)𝑛−1)

𝑖

Huidige waarde 𝑃 = 𝑥(1−(1+𝑖)−𝑛)

𝑖

- 12 -


In die eksamen gaan daar een van twee tipe vrae gevra word:

Delgings fonds of

Huislening Delgingsfonds ‘n Delgingsfonds is ‘n fonds gemaak vir die vervanging van enige bate (Voertuig, toerusting of masjinerie) na ‘n aantal jare. Delgingsfonds vrae bestaan uit vier dele:

1. Vervangingswaarde Hoeveel hy gaan kos na die aantal jare(Inflasie) 2. Boekwaarde Hoeveel die kar gaan werd wees(Waardevermindering) 3. Delgingsfondswaarde (F) F=Vervangingswaarde – Boekwaarde 4. Maandelikse paaiement Annuiteit

Huislenings Huislenings is baie vanselfsprekend, om ‘n huislening te ondergaan, betaal jy paaiemente vir gewoonlik 20 of 30 jaar. Dit werk baie eenvoudig: jy wil jou paaiemente uitwerk oor hoeveel dit op die huidige stadium werd is, dit beteken jy gaan die “P”-annuïteit formule gebruik NB!! Hulle gaan vir jou vra om ook die balans uitstaande na ‘n aantal jare of paaiemente uittewerk. Om die balans uittewerk moet jy eenvoudig kyk hoeveel paaiemente is oor, dit word dan die aantal paaiemente wat nog betaal moet word, die nuwe “n” in die huidige waarde annuiteit-formule:

𝑃 =𝑥(1 − (1 + 𝑖)−𝑛)

𝑖

- 13 -


Trigonometrie CAST diagram

Sin Almal 180˚ − 𝜃 90˚ − 𝜃

90˚ + 𝜃

Tan Cos

180˚ + 𝜃 360˚ − 𝜃 𝜃 − 90˚

Negatiewe hoeke • Jy hanteer alle negatiewe hoeke asof dit in die vierde kwadrant is, maw slegs cos (−𝑥) is

positief.

• ‘n Ander strategie wat jy kan volg is om net 360 by die hoek te tel, want om ‘n revolusie by ‘n hoek te tel verander nie die posisie van ‘n hoek op die vlak nie.

Hoeke groter as 360˚ Jy kan eenvoudig 360˚ by tel of aftrek to jou hoek tussen 0˚ en 360˚ val.

Ko-funksies cos(90˚ − 𝑥) = sin 𝑥 sin(90˚ − 𝑥) = cos 𝑥

Identiteite Kwosient identiteite

tan 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥

Vierkants identiteite sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥 cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥

Saamgestelde hoeke cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵 cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝐴 cos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵

sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝐴 cos 𝐵 − cos 𝐴 sin 𝐵

- 14 -


Dubbelhoeke sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥

cos 2𝑥 = {cos2 𝑥 − sin2 𝑥

2 cos2 𝑥 − 11 − 2 sin2 𝑥

Die groot probleem met trig is manipulasie, want die geheim is om jou som te verander sodat jy op ‘n punt kom waar jy jou vraag kan oplos. ‘n Baie belangrike gedeelte van jou matriek sillabus is om te kan faktoriseer met trig uitdrukkings. Die mees algemene metodes wat:

1. Vervang cos 𝑥 en/of sin 𝑥 met ander veranderlikes, soos a en b, en dan faktoriseer jy normaalweg

2. Reguit faktorisering

Vergelykings Wanneer dit kom by die oplossing van trigonometriese vergelykings dan is

1. Kry identiteit alleen OF los op deur faktorisering. a. Manipuleer som sodat jy kan faktoriseer.

2. Op die stadium moet jy mooi kyk wat hulle presies vir jou vra:

Algemene oplossing: • Indien sin 𝑥 = 𝑎 ⟹ 𝑥 = sin−1 𝑎 + 𝑘. 360˚ 𝑂𝐹 𝑥 = 180˚ − sin−1 𝑎 + 𝑘. 360˚

• Indien cos 𝑥 = 𝑏 ⟹ 𝑥 = ± cos−1 𝑏 + 𝑘. 360˚

• Indien tan 𝑥 = 𝑐 ⟹ 𝑥 = tan−1 𝑐 + 𝑘. 180˚

• Onthou altyd: 𝑘 ∈ ℤ

Spesifieke oplossings: • Bereken die algemene oplossings

• Kies dan waardes vir k sodat jou antwoord in die verlange interval val

Formule Wanneer formule gebruik word Sinus Reel

𝑎

sin 𝐴=

𝑏

sin 𝐵=

𝑐

sin 𝐶 Werk met 2 hoeke

Cosinus Reel 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 Werk met 3 sye

Area Reel

Area van ∆ABC=1

2𝑎𝑏 sin 𝐶 Wanner gevra word

- 15 -


Euklidiese Meetkunde Euklidiese meetkunde is ‘n baie spesiale afdeling van Wiskunde waar ons fokus op die eienskappe van vorms, veral te doen met die grootte van die hoeke en die lengtes van die sye. Euklidiese meetkunde is gebasseer op stellings en bewyse. Ons gaan kyk na die basiese stellings wat jy gaan nodig hê vir die eksamen

Reguitlyne

Parallelle lyne Neem aan vir die volgende stellings dat AB ∥ CD:

Driehoeke

1 2

B

�̂�1 = �̂�2 Rede: Regoorst ∠e

�̂�1 = �̂� Rede: Ooreenk ∠e

B

C

1

A

D

B

C

A

D

�̂� + �̂� = 180˚ Rede: ∠e aan dieselfde kant van die snylyn

B C

A

D

1

1

�̂�1 = �̂�1 Rede: Verw ∠e

B

1 2

�̂�1 + �̂�2 = 180˚ Rede: ∠e op ‘n reguitlyn

�̂� + �̂� + �̂� = 180˚ Rede: Binne ∠e van ∆

A

B C

Indien �̂� = �̂� dan 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 Rede: sye teenoor = ∠𝑒

A

B C

Indien 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 dan �̂� = �̂� Rede: ∠𝑒 teenoor = sye

Gelykbenige ∆

- 16 -


Sirkel Stellings Daar is 9 sirkel stellings en menigde omgekeerdes. Die beste manier om eksamen vrae te antwoord is deur eers jou stellings goed te ken. Ek deel die stellings in 3 groepe soos volg:

Middelpunt stellings

�̂� + �̂� = �̂�1 Rede: Buite ∠ van ∆

A

B C

1

Stelling 1: Indien AP=PB dan is 𝑂𝑃 ⊥ 𝐴𝐵. Rede: Lyn vanuit midpt van sirkel na midpt van koord

Stelling 1 Omgek: Indien 𝑂𝑃 ⊥ 𝐴𝐵 dan AP=PB Rede: Loodlyn vanuit midpt van sirkel na koord

Stelling 2: 𝐵�̂�𝐶 = 2 × �̂�.

Rede: Midpts ∠ = 2 ×Omtreks ∠

Stelling 3:

Rede: ∠ in 1

2 sirkel

- 17 -


Koordevierhoek Stellings

Koordevierhoek Omgekeerde stellings

Stelling 4: Rede: Omtreks ∠𝑒 in dies sirkel segment

𝑥

Stelling 5: �̂� + �̂� = 180˚ en �̂� + �̂� = 180˚ Rede: Teenoorst ∠𝑒 van koordevierhoek

A

B

C

D

Stelling 6: �̂�1 = �̂� Rede: Buite ∠ van koordevierhoek

C

A

1

B

D

Stelling 4 Omg: Indien gelyke ∠𝑒 onderspan word deur dieselfde koord, dan is die vierhoek ‘n koordevierhoek. Rede: Koord onderspan = ∠𝑒

Stelling 5 Omg: Indien 𝑥 + 𝑦 = 180˚ dan is die vierhoek ‘n koordevierhoek. Rede: Teenoorst ∠𝑒 is supplementer

𝑥

𝑦

- 18 -


Raaklyn aan sirkel stellings

Stelling 6 Omg: Indien die buitehoek van ‘n vierhoek gelyk is aan die teenoorstaande binnehoek, dan is dit ‘n koordevierhoek. Rede: Buite∠ = teenoorst binne∠.

𝑥

𝑥

Stelling 7: Rede: Radius ⊥ raaklyn

Stelling 8: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 Rede: Raaklyne vanuit dies punt

Stelling 9: 𝐷�̂�𝐵 = �̂� Rede: ∠ ts raaklyn en koord

Stelling 9 Omg: Indien 𝐷�̂�𝐵 = �̂�, dan is AD ‘n raaklyn Rede: ∠ ts lyn en koord=∠ in teenoorst sirkel segment

- 19 -


Gevorderde Driehoeksmeetkunde Hierdie afdeling bestaan uit Pythagoras, eweredigheid van driehoeke en verdeling van driehoeke se

sye.

Stelling 1 omgekeerde: Indien ‘n lyn twee sye van ‘n driehoek eweredig verdeel, dan gaan die lyn ewewydig wees aan die derde sy van die driehoek,

m.a.w. as 𝐴𝐵

𝐵𝐷=

𝐴𝐶

𝐶𝐸, BC∥DE.

Reded: Lyn verdeel sye van ∆ eweredig

A

B

D

C

E

Stelling 1: Eweredige verdeling van sye Indien ‘n lyn getrek word tussen twee sye sodat die lyn ewewydig is aan die derde sy, dan verdeel die lyn die sye, m.a.w. as BC∥DE, 𝐴𝐵

𝐵𝐷=

𝐴𝐶

𝐶𝐸.

Rede: Lyn ∥ aan een sy van ∆

A

B

D

C

E

Stelling 1 Spesiale geval: Middelpunt stelling Indien die middelpunte van ‘n driehoek verbind word dan gaan daai lyn ewewydig wees aan en die helfte wees van die derde sy, m.a.w. as 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 en 𝐴𝐶 = 𝐶𝐸, BC∥DE en

𝐵𝐶 =1

2𝐷𝐸.

Rede: Lyn verbind middelpunte van driehoek

A

B

D

C

E

- 20 -


Stelling 3: Eweredige sye van driehoeke Indien twee driehoeke gelykvormig is, dan is daar ‘n konstante verhouding tussen die ooreenkomstige sye, m.a.w indien

∆𝐴𝐷𝐸 ∕// ∆𝐹𝐵𝐶, 𝐴𝐷

𝐹𝐵=

𝐴𝐸

𝐹𝐶=

𝐷𝐸

𝐵𝐶.

Rede: Gelykvormigheid

A

D E

B C

F

Stelling 2: Gelykhoekige driehoeke is eweredig Indien die ooreenkomstige hoeke van ‘n driehoek gelyk is dan is die driehoeke

gelykvormig, m.a.w. indien �̂� = �̂� and �̂� = �̂�, ∆𝐴𝐷𝐸 ∕// ∆𝐹𝐵𝐶. Rede: ∠∠ OR HH

A

D E

B C

F

- 21 -


Analitiese meetkunde Hier volg die basiese formules wat ons gaan gebruik:

Afstand: 2

21

2

21 )()( yyxxAB −+−=

Middelpunt:

++=

22

2121 yyxxM ; OF

2

21 xxxM

+= en

2

21 yyyM

+=

Gradient: Om die gradient te vind is daar 4 verskillende metodes:

1. Twee koördinate: 12

12

xx

yym

−

−=

2. Parallelle lyne: 21 mm =

3. Loodregte lyne: 121 −=mm

4. Inklinasie hoek: tan=m

Vergelyking van ‘n reguit lyn Formule: )( 11 xxmyy −=− waar );( 11 yx ‘n koördinaat of die reguitlyn is

Inklinasie hoek Formule: tan=m indien m negatief is dan moet jy onthou 𝜃 = 180° − 𝑣𝑒𝑟𝑤𝑦𝑠𝑖𝑛𝑔𝑠∠ Baie belangrik om te onthou is dat jy Graad 8-10 meetkunde moet kan ken om sekere hoeke te vind.

Sirkels:

Formule: 222 rbyax =−−− )()( met die middelpunt by (𝑎; 𝑏)

Daar is spesiale lyne waarvan jy die vergelyking moet kan kry:

1. Hoogte lyne – ‘n lyn vanaf een hoek van ‘n driehoek loodreg op die teenoorstaande sy a. Hier gebruik ons die formule vir loodregte lyne om die gradient van die hoogtelyn te

bereken b. Daarna bereken ons die vergelyking van die reguitlyn deur ‘n punt op die lyn te

gebruik

2. Mediaan/Swaartelyn – lyn uit ‘n hoek wat die teenoorstaande sy halveer a. Vind die middelpunt van die oorstaande sy b. Bereken die gradient tussen die middelpunt en die hoek waar hy oorsprong c. Gebruik die formule en ‘n punt op die lyn om sy vergelyking te bereken

- 22 -


3. Middelloodlyn – ENIGE lyn wat ‘n sy halveer en loodreg is op daardie sy a. Vind die middelpunt van die halveerde sy b. Bereken die gradient van daardie sy c. Gebruik die formule vir loodregte lyne om die gradient van die lyn te bereken d. Bereken die vergelyking van die reguitlyn deur ‘n punt op die lyn te gebruik

4. Raaklyne aan sirkel a. Bereken die gradient van die radius b. Gebruik die formule vir loodregte lyne om die gradient van die lyn te bereken c. Vind die vergelyking van die raaklyne

- 23 -


Statistiek

Definisie: Die kuns om sin uit syfers te maak.

Basiese maatstawe wat gebruik word:

Individuele statistieke Individuele statistieke is waar elke nommer gegee is.

Gemiddeld Die gemiddelde getal wat verkry is.

Formule: n

xx

= of wanneer gewerk word met frekwensies(f)

n

fxx

=

Mediaan: Die middelste getal.

Formule:

+

2

1n-de getal

Modus: Die mees gewildste getal.

Omvang(Variasiewydte): Die wydte van die populasie. Formule: Maximum – minimum

Onderste kwartiel(Q1) Die getal op ‘n kwart van die totale populasie.

Formule:

+

4

1n-de getal

Boonste kwartiel(Q3) Die getal op drie-kwart van die populasie.

Formule:

+

4

13 )(n-de getal

Inter-Kwartiel Omvang(IKO) Die wydte tussen die boonste en onderste kwartiel. Formule: 𝐼𝐾𝑂 = 𝑄3 − 𝑄1

- 24 -


Variansie: Die kwadraat van die gemiddeld getal waarmee die getalle van die gemiddeld verskil.

Formule: n

xx2

2 −=

)( of indien jy werk met frekwensies(𝑓):

n

xxf2

2 −=

)(

Standaard afwyking: Die werklike getal waarmee ‘n getal gemiddeld van die gemiddeld varieer.

Formule: 2 == Variansie

Die beste manier om variansie/standaard afwyking te kry is deur die volgende tabel te voltooi:

Nommer )(x Frekwensie )(f 2)( xx − 2)( xxf −

(1) (2) (1)- x =(3) ( )23)( =(4) )()( 24

Intervalle: Die getalle is nou in intervalle gegee nie meer as individu nie, maar is gegroepeer in intervalle. Al die bogenoemde bly dieselfde, maar in plaas van dat 𝑥 die waarde van ‘n spesifieke getal, word 𝑥 nou die middelwaarde van die interval:

Klasmiddelwaarde

Formule: Klasmiddelwaarde=2

eindwaardeebeginwaard +

xx −

©Sarel van Greunen

Funksies, relasies en inverses - Oefeninge 1. Skets die volgende grafieke:

a. 523 2 −−= xxy

b. 22 2 −= xy

c. xxy 23 2 −−=

d. 1

2

−=

xy

e. 123 1 += −xy .

2. In die meegaande figuur word 𝑓(𝑥)

vir jou gegee 462 −−−= xxxf )(

a. Herskryf f in die vorm

qpxay +−= 2)(

b. Bewys dat 5)(xf vir alle

waardes van x

3. Die skets gee vir jou die grafieke van f en g waar

322 −−= xxxf )( en

64 −−= xxg )( en asyPQ − .

Bereken: a. Die lengte van AB b. Die koordinaat van C c. Vir watter waardes van x

is f(x)>0?

d. Die vergelyking van 1−g

e. Teken 1−f

f. Die vergelyking van 1−f g. Die maksimum lengte van PQ

4. Vind die inverse van a. 13 −= xxf )(

b. 12 −

=x

xxf )(

5. Gegee 224 1 −= +xxf .)( . Bereken die volgende:

a. X-afsnit b. Y-afsnit c. Vergelyking van die assimptoot d. f(-1) e. Teken die skets van f f. Gee die vergelyking van g(x) indien g f is wat 2

eenhede regs geskuif is 6. Die volgende skets

verteenwoordig die grafiek

van xaxf =)( ; 𝑔 is die

refleksie van 𝑓 in die y-as en h, die refleksie van 𝑔 in die x-as

a. Bereken die waarde van a.

b. Skryf die vergelykings van f en g neer.

c. Vind die vegelyking van )(xf 1− in die form y=…

d. Teken ‘n skets van )(xf 1−

e. Wat is die waardeversameling van )(xf 1−

- 26 -


7. Gegee is die grafieke van f(x) en

g(x) met 322 +−−= xxxf )( en

qpx

xg +−

−=

2)(

a. Bereken die waardes van p en q

b. Vervolgens, of andersins, bereken die koordinaat van E

8. Vind die vergelykings van 𝑓(𝑥) en 𝑔(𝑥)

9. Gegee: )cos()( 30+= xxh en xxg sin)( 2−=

a. Bereken sonder ‘n sakrekenaar die algemene oplossing van ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥)

b. Teken ‘n skets van ℎ en 𝑔 vir alle 180120 ;−x

10. Gegee: xxf tan)( = en xxg 2sin)( =

a. Teken f and g for 90180 ;−x

b. Vir watter waardes van 𝑥 is beide f en g toenemend

vir 9090 ;−x

11. Die grafieke verteenwoordig:

bxaxf sin)( =

en cxdxg cos)( =

a. Vind die waardes van a, b, c en d

b. Skryf 2 waardes van 𝑥 neer waarvoor

033

22 =− xx cossin

c. Wat is die periode van g? d. Vir watter negatiewe waardes van 𝑥 sal 𝑔(𝑥) afneem

soos wat 𝑥 toeneem? 12. Die diagram hieronder wys die prentjie van ‘n pyl-en-boog:

Die prentjie word op die assestelsel geskets. Die skets wys 𝐴(3; 0), 𝐵(7; 0) en 𝐸(6; 6) met CD⊥AB.

- 27 -


a. Bepaal die vergelyking van die parabool. b. Bepaal die vergelyking van AD as die gradient -2 is. c. Vervolgens bepaal die lengte van CD. d. Die pyl sal ‘n paraboliese pad volg met ‘n maksimum by die

punt waar dit laat gaan is. Die vergelyking van die pad wat

gevolg word is 𝑓(𝑥) = −1

50(𝑥2 − 100); 0 ≤ 𝑥 ≤ 10.

Skryf neer die vergelyking van 𝑓−1(𝑥) en gee die definisieversameling van 𝑓−1.

13. Die skets hieronder wys 𝑘(𝑥) wat gevorm is deur ‘n parabool

en ‘n reguitlyn.

a. Is 𝑘−1 ‘n funksie? Indien nie, hoe kan 𝑘 beperk word sodat

𝑘−1 nie ‘n funksie is nie. b. Bepaal die definisieversameling van 𝑘−1.

Rye en Reekse - Oefeninge 1. 5; x; y vorm ‘n rekenkundige ry en x; y; 81 is ‘n meetkundige

ry. Indien alle terme van die reeks heelgetalle is Bereken die waardes van x en y

2. Die som van ‘n meetkundige reeks is 100 maal sy eerste term, terwyl die laaste term 9 keer die eerste term is.

Vind die aantal terme is die reeks, indien die eerste term nie nul mag wees nie

3. Bereken die waarde van n indien:

=

=n

k

k

1

10923

- 28 -


4. Die eerste term van ‘n meetkundige reeks is 3 en die som van

die eerste 4 terme is 5 maal die som van die eerste 2 terme. Die gemene verhouding is groter as 1.

Bereken: a. Die eerste 3 terme van die ry b. Die waarde van n waarvoor die som 765 is

5. Die som van die eerste 50 terme van ‘n rekenkundige ry is

1275. Bereken die som van die 25ste en die 26ste terme van die reeks.

6. Die som van die eerste n-terme van ‘n rekenkundige reeks is:

2

3 2 nnSn

−=

a. Bereken 10S

b. Vind die waarde van =

10

5r

rT , waar rT die r-de term van

reeks is

7. Die som van die eerste en tweede term van ‘n oneidigende meetkundige reeks is 11. Die som tot oneindig is 36 en die gemene verhouding is r. Vind alle moontlike waardes van r.

8. Die eerste terme van ‘n rekenkundige reeks is: x+3 en 92 −x a. Bepaal vir watter waardes van x sal die reeks

konvergeer b. Bepaal die waarde van x sodat die som tot oneindig

13 is.

9. ‘n Bal val van ‘n hoogte van 10m; dit hop 6m en hou aan om

elke keer 5

3 van sy vorige hoogte te hop.

Bepaal na hoeveel kere se hop gaan sy hoogte minder as 1cm wees

10. ‘n Fiksheids toets vereis dat ‘n atleet herhaaldelik 20m op ‘n

slag hardloop, Hulle voltooi die afstand 5 keer in die eerste min, 6 keer in die tweede min, 7 keer in die derde min, ens. Bepaal na hoevel minute gaan die atleet 2200m gehardloop het.

11. Skryf die volgende twee terme uit en bereken die algemene

term(Tn) van die volgende reekse: a. 3; 12; 35; 52; … b. 100; 80; 58; 34; …

12. Indien 2;3;2;5;2;7;…. ‘n ry vorm. Beantwoord die volgende

vrae: a. Skry die volgende 3 terme neer b. Bepaal die 43ste term c. Bereken die som van die eerste 40 terme

Differensiasie - Oefeninge 1. Bereken )(xf vanuit Eerste beginsels

a. xxxf 62 −=)(

b. x

xf2

1=)(

- 29 -


2. Vind 𝑑𝑦

𝑑𝑥:

a. x

xy3

12 2 −= )(

b. x

xy

52 −=

c. 35 xxy =−

d. txxy +−= 24

3. Gegee: 102x

x

xxg −

−=)( en

))(()( 1515 55 −− −+= xxxxxh

Bereken: a. )(' xg

b. )(' xh

c. )]()([ xhxgdx

d+2

4. Gegee: 43 23 −+−= xxxf )(

a. Bereken die 𝑥 en y afsnitte b. Vind die coordinate van die draaipunte c. Teken f(x) d. Vir watter waardes van x gaan f toeneem?

e. Wat is die maksimum waarde van 43 23 −+− xx

indien 30 x f. Hoeveel oplossings het f(x)= -5?

5. ‘n Klere produsent skat dat die koste(in Rand) om x hemde te

vervaardig deur die funksie gegee word

30010510 xxxC .)( ++=

Bereken teen watter tempo die koste by die 100ste hemp verander.

6. Daar is 40 vrugtebome in ‘n vrugteboord. Die gemiddeld

inkomste per boom in ‘n seisoen, is 580 vrugte. Die boer bereken dat met elke ekstra boom wat hy plant in die boord, neem sy inkomste af met 10 vrugte. Indien die aantal ekstra bome x is en die totale inkomste N, dan is: ))(( xxN 1058040 −+= Bereken hoeveel extra bome geplant moet word sodat inkomste ‘n maksimum sal wees

7. Indien vir jou gegee word: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥 + 11. Bereken die volgende:

a. Afsnitte met die asse b. Stasionere punte c. Punt van infleksie(buigpunt) d. Skets die grafiek

8. Herhaal vraag 7 met die volgende funksies:

a. 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 + 2 b. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥 c. 𝑔(𝑥) = −2𝑥3 + 6𝑥 − 4 d. ℎ(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 3

9.

- 30 -


10.

11.

- 31 -


Eksponente en Logaritmes - Oefeninge 1. Vereenvoudig:

a. 122

3

2

1

119

94

5 ,log+

− −−

b. 75

1227 +

c. 4

3

1

3

16

81

−x

x

d. 5

12403 3 loglog −

e. mm 93 log.log

f. 112

1

1

981681

84936

−−

−

xxx

xxx

..

..

g. pp

pp

232

2242101

31

−

−+

−−

.

..

2. Indien a=52log , skryf 108log in terme van a

3. Gegee: xn =5 and yn 2log=

a. Skryf y in terme van n

b. Druk y48log uit in terme van n

c. Bereken 150 +n in terme van 𝑥 en y

4. Los op vir x:

a. 30033 11 =+ +− xx

b. 01232 12 =+−+ xx .

c. 1032 1 =+xx.

d. 0243 4

3

=−x

e. xx −+ =+ 545 1

Finansiele Wiskunde - Oefeninge 1. Jy wil R 5000 verdubbel teen ‘n rentekoers van 12% p.j.

maandeliks saamgestel. Beantwoord die volgende vrae: a. Wat is die effektiewe rentekoers vir die belegging? b. Hoe lank gaan dit hom neem om die belegging reg te

kry?

2. Teen watter rentekoers p.j., maandeliks saamgestel, moet ek geld bele om dit te verdubbel in 4 jaar se tyd?

3. Jy bele R 60 000 vir 5 jaar @ effektiewe rentekoers van 10,8% p.j. Bereken die volgende:

a. Die maandeliks saamgestelde nominale rentekoers b. Watter bedrag ek moet bele om dieselfde bedrag te

kry indien die nominale rentekoers verlaag word na 9% pj, kwartaalliks saamgestel?

4. Wat is ‘n beter beleggingsopsie, 9% pj maandeliks saamgestel

of 9,3% pj kwartaalliks saamgestel?

5. Om ‘n kamera oor 5 jaar te kan bekostig moet jy R 20 000 kan neersit. Wat is jou maandelikse paaiement indien jy die

- 32 -


kamera wil koop oor 5 jaar? Die rente wat FNB jou bied is 7,2% maandeliks saamgestel.

6. ‘n Basiese kar kos jou nou R 80 000. Die kar gaan R 95 000 oor 3 jaar kos. Marknorm vir waardevermindering op die kar is 15% pj op verminderende saldo metode. Beantwoord die volgende vrae:

a. Wat gaan die boekwaarde wees na 3 jaar? b. Bereken die inflasiekoers wat van toepassing is op die

kar c. Jy wil graag die kar vervang oor 3 jaar, so jy stig ‘n

delgingsfonds om die verskil in te betaal. Die bank bied jou 6,6% p.j. maandeliks saamgestel vir jou paaiemente. Watter bedrag moet jy maandeliks in betaal sodat jy die delgingsfonds kan stig?

7. ‘n Chevrolet Aveo is nou beskikbaar vir jou om te koop. Die

kar gaan R 125 000 oor 4 jaar werd wees. Marknorm vir waardevermindering op die kar is 10% pj op verminderende saldo metode en inflasie is gemiddeld 5% p.j.. Beantwoord die volgende vrae:

a. Bereken die aankoop waarde b. Wat is die vervangings waarde van die kar? c. Jy wil graag die kar vervang oor 4 jaar, so jy stig ‘n

delgingsfonds om die verskil in te betaal. Die bank bied jou 8,4% p.j. maandeliks saamgestel vir jou paaiemente. Watter bedrag moet jy maandeliks in betaal sodat jy die delgingsfonds kan stig?

8. Hoeveel jaar gaan jy moet spaar indien jy R 550 pm in ‘n annuiteit bele @ 10% p.j. maandeliks saamgestel?

9. Jy wil ‘n huis koop van R 890 000 en die huidige rentekoers is

11% p.j. maandeliks saamgestel en die lening oor ‘n tydperk van 20 jaar terugbetaal. Beantwoord die volgende vrae:

a. Bereken die maandelikse paaiemente b. Balans uitstaande na 11 jaar c. Hoe lank gaan dit jou neem om die lening afbetaal

indien jy R 700 p.m. ekstra betaal?

10. Op die stadium van jou lewe kan jy slegs R 7 000 p.m. betaal op ‘n huis. Die bank leningskoers is 13 % p.j. maandeliks saamgestel. Gaan jy ‘n huis van R 620 000 kan bekostig indien jy oor ‘n tyd van 20 jaar die lening wil afbetaal?

11. ‘n Woonstel is in die mark vir R 4500 p.m. en die huidige rentekoers is 10,4% p.j. maandeliks saamgestel en die lening oor ‘n tydperk van 20 jaar terugbetaal. Beantwoord die volgende vrae:

a. Bereken die huis se aankoopprys b. Balans uitstaande na 9 jaar

- 33 -


Trigonometrie - Oefeninge 1. Vereenvoudig:

a.

492

294156420

sin

cos.cos).tan(−

b. )cos().(sin

)cos(

90180

7202 −+

−

indien 90=+

c. )sin(

)cos()sin().cos(

−

++−−

90

72018090

d. )90sin().180cos(

)360(sin

333tan

)207tan( 2

−−

−−

−

xx

x

e. )sin().cos(

)sin(

90585

45

−

+

2. Indien p=61cos , druk die volgende uit in terme van p:

a. 209sin

b. )sin( 421

1

−

c. 1cos

3. Bewys die volgende identiteite en gee die waardes waar hulle ongedefinieerd is

a. cos 2𝑥+1

sin 2𝑥.tan 𝑥=

1

tan2 𝑥

b. 1+cos 2𝐴

cos 2𝐴=

tan 2𝐴

tan 𝐴

c. sin 𝑥+sin 2𝑥

1+cos 𝑥+cos 2𝑥= tan 𝑥

4. Los op vir x, vind die algemene oplossings:

a. 031

2 =−+x

xsin

sin

b. xxxx 263222 coscossinsin =+−

c. xxx 25454 sinsinsincos.cos =+

5. In the diagram RT is die hoogte van ‘n vertikale toring, met T die voet van die toring. A en B is 2 punte wat ewe vêr van T en hulle lê op dieselfde vlak Die hoogte van die toring is h. Die dieptehoek na B vanaf R is

. =ABR ˆ

a. Gee die grootte van BRA ˆ in terme van

b. Toon aan dat

sin

coshAB

2=

c. Bereken h as AB=5,4 eenh, 51= en 65=

- 34 -


Euklidiese Meetkunde Oefeninge

- 35 -


- 36 -


- 37 -


Analitiese Meetkunde - Oefeninge

1. In die diagram het ons P(-9 ; 12),

Q(9 ; 9) en R(-3 ; -9) die hoekpunte van ∆PQR. N(a ; b) is ‘n koordinaat in die tweede kwadrant Bereken:

a. Gradient van PQ

b. Grootte van Q̂

c. Koordinaat van M, die middelpunt van QR

d. Vergelyking van die swaartelyn PM e. Die koordinaat van N as P,N en M ko-lineer is en QN =

55 eenh

2. Die diagram wys ∆TQR, waar

Q(-3 ; 3) en R(1 ; -3). M(3 ; 3) is die middelpunt van RT

a. Bereken: i. Lengte van TR

ii. R̂ b. Vind die volgende:

i. Vergelyking van die mediaan vanaf T na RQ ii. Vervolgens, of andersins, bereken die punt

van snyding van die mediane van ∆TQR c. Vind die vergelyking van die middelloodlyn van RQ

3. Die vergelyking van ‘n sirkel is:

0126422 =−−−+ yxyx

Bereken die volgende:

a. Die koordinaat van die middelpunt en die radius van die sirkel

b. Die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by T(5 ; -1).

4. Die meegaande sirkel is C(1;2) en A(0;4):

Bereken:

a. Vergelyking van sirkel b. Vergelyking van BA c. Hoekgrootte van

5. In die skets is A(2 ; 3) en B(-1 ; 6) wat op die sirkel met

middelpunt M(c ; d), lê. M is ook op die lyn met vergelyking 2x+5y+1=0 Bepaal die koordinaat van M

- 38 -


Statistiek - Oefeninge 1. Ouderdom van 40 mense:

a. Voltooi die tabel:

Interval Telling Frekwensie Kumulatiewe Frekwensie

10-19

20-29 30-39

40-49

50-59

60-69

b. Teken ‘n ogief vir die data c. Gebruik die letters A en B en dui die onderste kwartiel en

die mediaan aan d. Bereken die gemiddeld en standaard afwyking van die

gegroepeerde data

2. Die volgende is die aantal albasters van sekere kinders op die speelgrond: 4 86 27 21 29 37 29 44 31 42 35 38 41 29 40 Bereken: a. Gemiddeld

b. Modus c. Mediaan

d. Q1 en Q3 e. Omvang f. IKO g. Standaard afwyking h. Uiskieters i. Teken a houer-en-puntstipping j. Lewer kommentaar oor die vorm van die

data k. Watter van die sentrale maatstawwe is mees van pas?

Motiveer jou antwoord

3. Vir die volgende getalle bereken die variansie en standaardafwyking deur die tabel in te vul: 12 32 3 18 14

Number(x) 𝒙 − 𝒙 (𝒙 − 𝒙)𝟐 12 32 3 18 14 ∑(𝒙 − 𝒙)𝟐 =

- 39 -


4. Gegee die volgende twee kinders se punte: a. 43 61 31 79 b. 32 22 34 28

i. Watter een van die kinders het die beste gemiddeld? ii. Watter kind is meer bestendig in sy punte?

iii. Indien jy ‘n stabiele kandidaat soek, wie gaan jy kies en waarom?

Sequences and Series - University of Pretoria · 2018-10-25 · y=(x+30 $) grafiek links geskuif...

Documents

Transcript of Sequences and Series - University of Pretoria · 2018-10-25 · y=(x+30 $) grafiek links geskuif...