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SEMINARIO DE OPTIMIZACIÓN EN FERROCARRILES
PROYECTO ARRIVAL
Transportation Planning Models
Prof. Dr. Gilbert Laporte
Canada Research Chair of Distribution Management,
HEC, Canadá
Localización Robusta de Infraestructuras Lineales de Sistemas de Transporte
Prof. Dr. Ricardo García Ródenas
Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla la Mancha
Dicho seminario tendrá lugar el 23 de abril de 2007 a las 12:15 en el Seminario del Departamento de Matemática Aplicada II. Grupo de Investigación en Localización FQM-241. Partially supported by the Future and Emerging Technologies Unito f EC (IST priority-6th FP), Under contract no. FP6-021235-2 (Project ARRIVAL).
Localización robusta de infraestructuras lineales
de sistemas de transporte
Escuela Superior de Informática de Ciudad RealUniversidad de Castilla-La Mancha
MAT
VII Congreso de Ingeniería del Transporte. Ciudad Real, del 14 al 16 de junio de 2006
Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha
• Red de Ciudad Real (Arcos de la Ronda):Modelos y Algoritmos para
sistemas de Transporte
VII Congreso de Ingeniería del Transporte. Ciudad Real, del 14 al 16 de junio de 2006
Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha
http://www.inf-cr.uclm.es/www/Ricardo.Garcia/
red física flota
horarios
estratégica
operacional
definición de líneas frecuenciastáctica
Diseño de una red ferroviaria
red física flota
horarios
estratégica
operacional
definición de líneas frecuenciastáctica
Lines C and K use Intercity trains (IC) with anaverage speed of 76 km/h. Line E uses an Inter Re-gional train (IR) with an average speed of 65 km/hand line M uses a Local train (L) with an averagespeed 51 km/h [9].
All tracks are double tracks, except betweenLanden and Sint-Truiden, and between Sint-Truiden and Alken, which are single tracks. Thismeans that, in any direction, there can be onlyone train at any time. In the station of Sint-Truiden two trains travelling in opposite directionscan cross one another.
The NMBS operates a cyclic timetable with astandard period of 60 minutes. This means thatthe timetable is repeated every hour. If it wereacceptable to create di!erent timetables for themorning or evening rush hours or for holidayperiods, it would open extra possibilities forimprovement. Yet NMBS considers a cyclic time-table necessary for clarity towards the passengers.Shires et al. [16] report on periodicity benefits ingeneral.
For some of the possible trips in this networkmore than one line is available. For instance be-tween Leuven and Aarschot one can take the Mor the E line. It is obvious that customers will bebetter-o! (see also [20]) if the trains of these linesare evenly spread over the period under consider-
ation. In our case, the considered period is 1 hourand, as a consequence, the time between the M andE trips should be approximately 30 minutes. If thelines are not evenly spread, the time between twopossible trips can reach up to 55 minutes.
Most of the trains stop in more stations thanthose mentioned in Fig. 1, but no connections takeplace in these stations and the number of tracksdoes not change either. Thus, these stations haveno real impact on the timetable problem and aretherefore omitted.
In order to minimise ‘‘a total generalised wait-ing cost’’ for the passengers, it is important toknow which connections are frequently used andmust be guaranteed, and which connections areunimportant. It appears that only in Leuven andHasselt connections are crucial. It is furthermoreunderstood that passengers always prefer a directtrip to a trip with one or more connections.
The important connections to be made in Has-selt and Leuven are
Hasselt: from train K1 to train C1: to go fromAlken to Aarschot;from train K1 to train C0: to go fromAlken to Liege;from train C0 to train K0: to go fromAarschot to Alken.
Heist-op-den-Berg
Aarschot
Hasselt
Leuven Landen Sint-Truiden
Alken
C0 Liège
GenkAntwerpen
Brussel
C1
M0M1 E1E0
K0
K1
Railway track
Train lineE1
Fig. 1. Railway network.
P. Vansteenwegen, D.Van Oudheusden / European Journal of Operational Research 173 (2006) 337–350 339
Diseño de una red ferroviaria
Diseño de una red de autovías localización preliminar
(alineaminetos horizontales)
trazado, señalización, etc
estratégica
operacional
alineamientos verticalestáctica
modelo de demanda(elección usuarios)
modelo de oferta(red de transporte)
Metodología de diseño
nive
linfe
rior
nive
lsu
perior
Modelización
nive
linfe
rior
Una línea/una red principal (a localizar)
Red de acceso a la nueva infraestructura
Red existente (alternativa)
Restricciones presupuestarias
Costes de transportes independientes del flujo
Evitación de obstáculos
MODELO DE OFERTA
Una línea Poligonal
Una red Unión de segmentos
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12Caso Geométrico 2: Camino mínimo con dos segmentos
CoordenadasX UTM
Coo
rden
adas
Y U
TM
Autovía
Camino Óptimo
Origen!Destino
Límite Autovía
Acceso o Salida de Autovía
(a,b)
(c,d)
(a’,b’)
(c’,d’)
(x,y)
(x’,y’)d1
d2
d3
(a!, b!)(c!, d!) (a, b) (c, d)
(a!, b!) (c, d)
w v v > w(x!, y!) (x, y)
(a!, b!) (c, d)v = 110km/h w = 80km/h
w
v
Un patrón de movilidad sintetizado en una matriz O-D
Elección de la ruta (Primer principio de Wardrop)
Modelo logit
Elección de realizar o no el viaje (elasticidad de la demanda)
Elección del sistema de transporte (elección de modo)
nive
linfe
rior
MODELO DE DEMANDA
Localización de una línea
2.1. Formulacion matematica del modelo de localizacion de una autovıa 7
La vıa de transporte constara de n puntos p1, . . . , pn y se representara mediante seg-
mentos rectos entre dos puntos consecutivos pi pi+1. La Figura 3 representa la red real,
pero esta conduce a un grafo que determina los posibles movimientos entre los nodos de
la red. Desde cada centroide ci se podra acceder a todos los puntos p1 . . . pn. Los arcos de
autovıa seran de la forma (pi, pi+1) y los arcos de incorporacion a la autovıa seran de la
forma (ci, pj). El grafo resultante es el mostrado en la Figura 4.
Figura 3: Red real
Figura 4: Grafo del problema
Red física de transporte
Grafo de estrategia
C
ua
a
ua
ua, ub
! !Wg!
!{g!}!!W
m ! {a, b}
pmw (ua
!, ub!) =
exp!"("b + #ub
!)"
#m!!{b,a} exp
!"("m! + #um!
! )" ,
gm! = pm
w (ua!, ub
!)g!, m ! {a, b}
gm!
!(m)
"m = 0 # # +$
pbw(ua
!, ub!) =
$1 ua
! " ub! > 0
0 ua! " ub
! < 0
b
Zb =%
!
gb!
Modelo logit
Localización de una red
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12Caso Geométrico 2: Camino mínimo con dos segmentos
CoordenadasX UTM
Coo
rden
adas
Y U
TM
Autovía
Camino Óptimo
Origen!Destino
Límite Autovía
Acceso o Salida de Autovía
(a,b)
(c,d)
(a’,b’)
(c’,d’)
(x,y)
(x’,y’)d1
d2
d3
(a!, b!)(c!, d!) (a, b) (c, d)
(a!, b!) (c, d)
w v v > w(x!, y!) (x, y)
(a!, b!) (c, d)v = 110km/h w = 80km/h
w
v
Red física de transporte
Autovía 1
Autovía 2
A1+
O
A1-
D
A2+ A2-
Localización de una red
Problemas de camínos mínimos en un grafo de estrategia
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12Caso Geométrico 2: Camino mínimo con dos segmentos
CoordenadasX UTM
Coo
rden
adas
Y U
TM
Autovía
Camino Óptimo
Origen!Destino
Límite Autovía
Acceso o Salida de Autovía
(a,b)
(c,d)
(a’,b’)
(c’,d’)
(x,y)
(x’,y’)d1
d2
d3
(a!, b!)(c!, d!) (a, b) (c, d)
(a!, b!) (c, d)
w v v > w(x!, y!) (x, y)
(a!, b!) (c, d)v = 110km/h w = 80km/h
w
v
C
ua
a
ua
ua, ub
! !Wg!
!{g!}!!W
m ! {a, b}
pmw (ua
!, ub!) =
exp!"("b + #ub
!)"
#m!!{b,a} exp
!"("m! + #um!
! )" ,
gm! = pm
w (ua!, ub
!)g!, m ! {a, b}
gm!
!(m)
"m = 0 # # +$
pbw(ua
!, ub!) =
$1 ua
! " ub! > 0
0 ua! " ub
! < 0
b
Zb =%
!
gb!
Modelo logit
Sin incertidumbre (optimización de un criterio):
Maximización de la cobertura
Minimización de congestión red existente
Minimización del tiempo total de viaje en el sistema de transporte
nive
lsu
perior
METODOLOGÍA DE DISEÑO
4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6
x 105
4.3
4.32
4.34
4.36
4.38
4.4
4.42
4.44
4.46
4.48
4.5x 10
6 Prueba 2 con los datos de Castilla La Mancha
CoordenadasX UTM
Coord
enadasY
UT
M
Toledo
Ciudad Real
(c,d)=Albacete
Guadalajara
Cuenca
(a,b)
4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6
x 105
4.3
4.32
4.34
4.36
4.38
4.4
4.42
4.44
4.46
4.48
4.5x 10
6 Prueba1 con datos de Castilla La Mancha
CoordenadasX UTM
Co
ord
en
ad
asY
UT
M
Toledo
Ciudad Real
Guadalajara
Cuenca
Albacete
(a,b)
(c,d)=
Con incertidumbre (diseño robusto):
Frente a parámetros (matriz O-D)
Entre etapas de planificación
nive
lsu
perior
METODOLOGÍA DE DISEÑO
Análisis de sensibilidad
impacto de los datos en las recomendaciones
Programación estocástica:
primera etapa-> x (variables de diseño)
experimento aleatorio->w (escenarios)
Segunda etapa-> y(w,x) (variables de control)
optimización del valor esperado en los escenarios
nive
lsu
perior
TRATAMIENTO DE LA INCERTIDUMBRE
Optimización robusta
Mulvey, Vanderbei y Zenois (1994)-> optimización de la esperanza matemática +penalización de la infactibilidad
Bertsimas y Sim (2004)-> El precio de la robustez (mantener factible la solución con cierta probabilidad y cerca de la óptima cuando los datos varían)
Ben-Tal y Nemirovski (incertidumbre elipsoidal)
nive
lsu
perior
TRATAMIENTO DE LA INCERTIDUMBRE
Optimización robusta (continuación)
minmax regret optimization->Averbakh, Kouvelis, Yu, Mozos-Mesa
Robustez absoluta (xa):
Desviación robusta (xd)
nive
lsu
perior
TRATAMIENTO DE LA INCERTIDUMBRE
maxs!S
f(xa, !s) = mınx
maxs!S
f(x, !s)
maxs!S
f(xa, !s) = mınx
maxs!S
f(x, !s)
maxs!S
(f(xd, !s)! f(x"s , !s)) =
mınx
maxs!S
(f(x, !s)! f(x"s , !s))
Ejemplo (beneficio)e1
(0.2)e2
(0.4)e3
(0.4)R1 10 0 0
R2 1 3 0
R3 0.5 0 3
R4 0.7 1.5 1.5
R1
R3R4R2
e3
e2e1
Ejemplo (beneficio)e1
(0.2)e2(0.4)
e3(0.4)
C1 C2 C3
R1 10 0 0 2 0 3
R2 1 3 0 1.4 0 9
R3 0.5 0 3 1.3 0 9.5
R4 0.7 1.5 1.5 1.34
0.7 9.3C1->Maximización de la esperanza matemáticaC2-> Robustez absoluta (ponerse en lo peor)C3->Desviación robusta (equivocarse en lo menor)
Robustez frente a la matriz O-D
Pr (R* sea mejor o igual que R)>=1/2
para toda R (red) posible
La red R* es robusta frente a la matriz O-D aleatoria sii satisface:
Ejemplo (beneficio)e1
(0.2)e2
(0.4)e3
(0.4) C1 C2
R1 10 0 0 0
R2 1 3 0 1 X
R3 0.5 0 3 0.5
R4 0.7 1.5 1.5 1.5
C1-> Bertsimas y Sim p=0.5 C2-> Mediana
Consideraciones: Emplea un método robusto al que no
influyen decisivamente outliers de la matriz O-D
No es un modelo de optimización
Los criterios clásicos sirven para definir el concepto sea mejor
Si la distribución de la matriz O-D es discreta se puede evaluar si una red es mejor que otra
AlgoritmosMÉTODOS EXACTOS (PRUEBAS CON GAMS)
modelo básico localización-enrutamiento de una poligonal en el plano->tamaño del problema (variables de flujo): cúbico en el número de centroides
Motivación de los algoritmos heurísticos
óptimos locales en los modelos sin incertidumbre
grandes dimensiones (mostrado en las pruebas exactas)
Estructura binivel
Nivel superior->localización de la red (R)
Nivel inferior-> simulación de la demanda en la red R (g)
el modelo robusto no es un modelo de optimización pero permite aplicar estrategias heuríticas basadas en saber si una solución es mejor que otra tipo SA, GA, etc.
Motivación de los algoritmos heurísticos (continuación)
Esquema algorítmico heurístico básico en el diseño robusto
1. Simula n escenarios (n matrices O-D y parámetros del modelo logit)
2. Genera R factible (algoritmos heurísticos clásicos)
3. Evalúa R en los n escenarios
4. Compara R con Ractual sobre los n escenarios.
Si R es mejor que Ractual,
Ractual<-R
5. Criterio de paro o ir a paso 2.
SEMINARIO DE OPTIMIZACIÓN EN FERROCARRILES
PROYECTO ARRIVAL
Transportation Planning Models
Prof. Dr. Gilbert Laporte
Canada Research Chair of Distribution Management,
HEC, Canadá
Localización Robusta de Infraestructuras Lineales de Sistemas de Transporte
Prof. Dr. Ricardo García Ródenas
Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla la Mancha
Dicho seminario tendrá lugar el 23 de abril de 2007 a las 12:15 en el Seminario del Departamento de Matemática Aplicada II. Grupo de Investigación en Localización FQM-241. Partially supported by the Future and Emerging Technologies Unito f EC (IST priority-6th FP), Under contract no. FP6-021235-2 (Project ARRIVAL).