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Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiTema n◦1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione
f (x) = (sinx) · arctan 1x+ arctan
3√x2 − 1
si chiede di:
a. Determinare l’insieme di definizione.
b. Se in qualche punto in cui fnon è definita esiste il limite finito, prolungarla percontinuità.
c. Della funzione così prolungata, stabilire dove è derivabile, calcolare la derivata dove
esiste, individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire cioè se si tratta di
punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale...).
1
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne ilgrafico. E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontieradell’insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivataprima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventualipunti di non derivabilità, concavità e flessi.
f (x) =∣∣x2 − 3x∣∣− log |x| .
2
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, senecessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L’Hospital /formula di Taylor -MacLaurin).
limx→1
((2x2 + 6x
)1/3 − 2)2cos(π2x)· sin (πx)
.
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
n sin(1n
)− cos
(1n
)sin(
1√n
) sin(√n)
3
5. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x2
x2 + 3x− 10dx.
6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale gener-alizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati.
a.
∫ 1
0
f (x) dx; b.
∫ +∞
1
f (x) dx, dove (in entrambi i casi)
f (x) =sinx
(1− ex)√x.
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Es. Punti
1
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4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolodifferenziale il seguente problema di massimo. Determinare il rettangolo di areamassima (e determinarne l’area) tra quelli che hanno un vertice sul grafico dellafunzione
f (x) =5√a4x, per x ∈ [0, a] ,
un vertice in (a, 0), e lati paralleli agli assi coordinati. (a è una costante positivaavente le dimensioni di una lunghezza). Si raccomanda di fare una figura perimpostare il problema.
5
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne ilgrafico. E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontieradell’insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivataprima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventualipunti di non derivabilità, concavità e flessi.
f (x) = ex∣∣x2 + 2x− 3∣∣ .
6
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, senecessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L’Hospital /formula di Taylor -MacLaurin).
limx→1
(arcsin
(x2
)− π
6
)2(log x) · tan (πx) .
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
(2n)!
n2n
7
5. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫3x− 5
x2 + 10x+ 27dx.
6. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π4
0
sin2 (2x) cos2 xdx.
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Es. Punti
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2
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4
5
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Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione
f (x) = arcsin((x2 − 1
)2/3)+ |x− 3|
si chiede di:
a. Determinare l’insieme di definizione.
b. Stabilire dove la funzione è derivabile, calcolare la derivata dove esiste, individuare
e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire cioè se si tratta di punti angolosi, di
cuspide, di flesso a tangente verticale...).
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2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne ilgrafico. E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontieradell’insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivataprima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventualipunti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; dire,in base alle altre informazioni raccolte, qual è il minimo numero di punti diflesso che f deve avere, coerentemente allo studio condotto.
f (x) = log
∣∣∣∣x (x− 1)x+ 1
∣∣∣∣ .
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3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, senecessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L’Hospital /formula di Taylor -MacLaurin).
limx→0
(Shx− x cosxsinx− xChx
)· tanxThx
.
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
n cos (nπ) + log n+ 1
n2 + log n
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5. Calcolare il seguente integrale indefinito e semplificare l’espressioneottenuta: ∫ √
x2 + 4
x2dx.
6. Discutere la convergenza o meno dei seguenti integrali general-izzati, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati.
a.
∫ 1
0
f (x) dx; b.
∫ +∞
1
f (x) dx, dove (in entrambi i casi)
f (x) =1− e−x√x log (1 + x)
.
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6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolodifferenziale il seguente problema di minimo. Determinare il punto P , sul graficodella funzione
f (x) = x3/2
che ha distanza minima da Q ≡ (4, 0) (e determinare tale distanza minima,semplificando l’espressione ottenuta). Si raccomanda di fare una figura perimpostare il problema.
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2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne ilgrafico. E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontieradell’insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivataprima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventualipunti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda.
f (x) = x2/3(x2 − 4x+ 3
)1/3.
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3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, senecessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L’Hospital /formula di Taylor -MacLaurin).
limx→0
cos(x2
)− e− x
2
4
2x− log (1 + x)− tanx.
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
(−1)nn sin 1
n
n+ 1.
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5. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 2
√2
√4− x2x2
dx.
6. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e
1
x3 (log x)2dx.
Si chiede di determinare (e scrivere esplicitamente) per prima cosa la primi-tiva, e successivamente calcolare l’integrale definito, semplificando l’espressioneottenuta.
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Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione
f (x) = (sinx) · arctan 1x+ arctan
3√x2 − 1
si chiede di:a. Determinare l’insieme di definizione.b. Se in qualche punto in cui f non è definita esiste il limite finito, prolun-
garla per continuità.c. Della funzione così prolungata, stabilire dove è derivabile, calcolare la
derivata dove esiste, individuare e studiare gli eventuali punti di non deriv-abilità (dire cioè se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangenteverticale...).
a. La funzione è definita per x 6= 0.b. Per x → 0, f (x) → 0 + arctan (−1) = −π4 , in particolare si può definire
con continuità in tutto R.c. Per x 6= 0, 1,−1 la f è certamente derivabile, e vale
f ′ (x) = (cosx) · arctan 1x+ sinx ·
− 1x2
1 + 1x2
+1
1 + (x2 − 1)2/3· 2x
3 (x2 − 1)2/3
= (cosx) · arctan 1x− sinx
x2 + 1+
1
1 + (x2 − 1)2/3· 2x
3 (x2 − 1)2/3.
limx→0±
f ′ (x) = ±π2
quindi x = 0 è un punto angoloso.
limx→1±
f ′ (x) = +∞
quindi x = 1 è un punto di flesso a tangente verticale, ascendente.
limx→−1±
f ′ (x) = −∞
quindi x = 1 è un punto di flesso a tangente verticale, discendente.
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne ilgrafico. E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera
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dell’insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivataprima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventualipunti di non derivabilità, concavità e flessi.
f (x) =∣∣x2 − 3x∣∣− log |x| .
Definita per x 6= 0.Per x→ 0, f (x) ∼ − log |x| → +∞. x = 0 asintoto verticale.Per x → ±∞, f (x) ∼ x2 → +∞ con crescita sopralineare (senza asintoto
obliquo).L’argomento del modulo si annulla per x = 0 e x = 3. La funzione è certa-
mente derivabile per x 6= 0, x 6= 3 (e certamente non è derivabile in x = 0, dovenon è definita né prolungabile con continuità).
f ′ (x) = (2x− 3) sgn(x2 − 3x
)− 1x=
{2x− 3− 1
x per x < 0, x > 3−2x+ 3− 1
x per 0 < x < 3.
Per x→ 3+, f (x)→ 3− 13 =
83
Per x→ 3−, f (x)→ −3− 13 = −
103
quindi x = 3 punto angoloso (di non derivabilità) e di minimo relativo.Segno di f ′ :Per x < 0, x > 3,
f ′ (x) = 2x− 3− 1x=2x2 − 3x− 1
x≥ 0 per
3−√17
4≤ x < 0, x > 3
intervalli in cui f è crescente.In particolare, x = 3−
√17
4 è punto di minimo relativo.Per 0 < x < 3,
f ′ (x) = −2x+ 3− 1x=−2x2 + 3x− 1
x≥ 0 per
1
2≤ x ≤ 1
intervallo in cui f è crescente.In particolare, x = 1
2 punto di minimo relativo, x = 1 punto di massimorelativo.Derivata seconda:
f ′′ (x) =
{2 + 1
x2 per x < 0, x > 3−2 + 1
x2 per 0 < x < 3.
Segno di f ′′ :Per x < 0, x > 3, f ′′ (x) > 0.
18
Per 0 < x < 3,
f ′′ (x) =−2x2 + 1
x2≥ 0 per
x ≤ 1√2
In particolare, x = 1√2è punto di flesso.
Grafico qualitativo:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, senecessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L’Hospital /formula di Taylor -MacLaurin).
limx→1
((2x2 + 6x
)1/3 − 2)2cos(π2x)· sin (πx)
.
limx→1
((2x2 + 6x
)1/3 − 2)2cos(π2x)· sin (πx)
=
[0
0
].
Applichiamo De L’Hospital:
limx→1
2((2x2 + 6x
)1/3 − 2) 4x+63(2x2+6x)2/3
−π2 sin(π2x)· sin (πx) + cos
(π2x)· π cos (πx)
= limx→1
53
((2x2 + 6x
)1/3 − 2)−π2 sin
(π2x)· sin (πx) + cos
(π2x)· π cos (πx)
=
[0
0
]Applichiamo ancora De L’Hospital:
limx→1
53 ·
4x+63(2x2+6x)2/3
−(π2
)2cos(π2x)sin (πx)− π2 sin
(π2x)cos (πx)− π2 cos
(π2x)sin (πx)
=53 ·
1012
π2=
25
18π2
19
e questo è il limite cercato.
4 Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificandocon precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
n sin(1n
)− cos
(1n
)sin(
1√n
) sin(√n)
Dagli sviluppi di MacLaurin (1/n→ 0) si ha:
n sin
(1
n
)− cos
(1
n
)= n
{1
n− 1
6n3+ o
(1
n3
)}−{1− 1
2n2+ o
(1
n2
)}= 1− 1
6n2+ o
(1
n2
)− 1 + 1
2n2+ o
(1
n2
)=
1
3n2+ o
(1
n2
)∼ 1
3n2.
sin
(1√n
)∼ 1√
n
quindi∣∣∣∣∣∣n sin(1n
)− cos
(1n
)sin(
1√n
) sin(√n)∣∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣∣n sin(1n
)− cos
(1n
)sin(
1√n
)∣∣∣∣∣∣ ∼
13n2
1√n
=1
3n3/2,
serie che converge perché serie armonica generalizzata con esponente α = 3/2 >1. Allora per il criterio del confronto asintotico la serie converge assolutamente,e per il criterio della convergenza assoluta converge (semplicemente).
5. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x2
x2 + 3x− 10dx.
x2
x2 + 3x− 10 = 1 +−3x+ 10
x2 + 3x− 10 = 1 +−3x+ 10
(x− 2) (x+ 5)−3x+ 10
(x− 2) (x+ 5) =a
x− 2 +b
x+ 5con{
a+ b = −35a− 2b = 10
{a = 4
7b = − 257∫
x2
x2 + 3x− 10dx =∫ (
1 +4
7
1
x− 2 −25
7
1
x+ 5
)dx
= x+4
7log |x− 2| − 25
7log |x+ 5|+ c.
20
6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale gener-alizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati.
a.
∫ 1
0
f (x) dx; b.
∫ +∞
1
f (x) dx,
dove (in entrambi i casi)
f (x) =sinx
(1− ex)√x.
La funzione f (x) è continua in (0,+∞), eventualmente illimitata in x = 0.Per x→ 0+,
f (x) ∼ x
−x√x= − 1√
x,
integrabile, perciò l’integrale generalizzato∫ 10f (x) dx converge per il criterio
del confronto asintotico (l’integranda è negativa in un intorno destro di zero).Per x→ +∞,
|f (x)| ≤ 1
|1− ex|√x∼ 1√
xex,
integrabile all’infinito perché tende a zero con velocità più che esponenziale.Perciò per il criterio della convergenza assoluta e quello del confronto asintotico,l’integrale generalizzato
∫ +∞1
f (x) dx converge.
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A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦2
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolodifferenziale il seguente problema di massimo. Determinare il rettangolo di areamassima (e determinarne l’area) tra quelli che hanno un vertice sul grafico dellafunzione
f (x) =5√a4x, per x ∈ [0, a] ,
un vertice in (a, 0), e lati paralleli agli assi coordinati. (a è una costante positivaavente le dimensioni di una lunghezza). Si raccomanda di fare una figura perimpostare il problema.
L’area è
A (x) = (a− x) f (x) = (a− x) 5√a4x, per x ∈ [0, a] .
La funzione è non negativa e si annulla agli estremi, dunque deve avere unmassimo positivo in (0, a) . Calcoliamo
A′ (x) = − 5√a4x+ (a− x) 5
√a4
1
5x4/5=
5√a4
5x4/5(a− 6x) ≥ 0 per
x ≤ a
6.
Dunque il rettangolo di area massima ha un vertice in(a6 ,
5√a4 a6
)=(a6 ,
a5√6
)e
l’area massima è
A(a6
)=(a− a
6
)5
√a4a
6=5
6a · a
5√6=
5
6 5√6a2.
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne ilgrafico. E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontieradell’insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivataprima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventualipunti di non derivabilità, concavità e flessi.
f (x) = ex∣∣x2 + 2x− 3∣∣ .22
Definita in R.∣∣x2 + 2x− 3∣∣ = |(x− 1) (x+ 3)| quindi f (x) = 0 in x =
1, x = −3, punti in cui ci aspettiamo punti angolosi.Poiché f (x) ≥ 0 sempre, i punti in cui si annulla, x = 1, x = −3, sono di
minimo assoluto.
Per x→ ±∞, f (x) ∼ x2ex →{+∞0+
f è derivabile per x 6= 1, x 6= −3, e risulta:per x < −3, x > 1,
f ′ (x) =(ex(x2 + 2x− 3
))′= ex
(x2 + 2x− 3 + 2x+ 2
)= ex
(x2 + 4x− 1
)≥ 0 per
x ≤ −2−√5, x ≥ −2 +
√5,
che negli intervalli considerati significa che f è crescente per
x ≤ −2−√5, x > 1
e decrescente per−2−
√5 ≤ x < −3,
in particolare x = −2−√5 è punto di massimo relativo.
Per −3 < x < 1,
f ′ (x) = −ex(x2 + 4x− 1
)≥ 0 per
−2−√5 ≤ x ≤ −2 +
√5
che nell’intervallo considerato significa che f è crescente per
−3 < x ≤ −2 +√5
e decrescente per−2 +
√5 ≤ x < 1,
in particolare x = −2 +√5 è punto di massimo relativo.
Studiamo i punti di non derivabilità:
limx→−3±
f ′ (x) = ±4e−3
limx→1±
f ′ (x) = ±4e
perciò x = −3, x = 1 sono punti angolosi (e di minimo relativo e assoluto).La derivata seconda esiste per x 6= −3, x 6= 1 ed è:per x < −3, x > 1,
f ′′ (x) =(ex(x2 + 4x− 1
))′= ex
(x2 + 4x− 1 + 2x+ 4
)= ex
(x2 + 6x+ 3
)≥ 0 per
x ≤ −3−√6, x ≥ −3 +
√6,
che negli intervalli considerati significa che f è concava verso l’alto per
x ≤ −3−√6, x > 1
23
e verso il basso per−3−
√6 ≤ x < −3.
In particolare, x = −3−√6 è punto di flesso.
Per −3 < x < 1,
f ′′ (x) = −ex(x2 + 6x+ 3
)≥ 0 per
−3−√6 ≤ x ≤ −3 +
√6
che nell’intervallo considerato significa che f è concava verso l’alto per
−3 < x ≤ −3 +√6
e verso il basso per−3 +
√6 ≤ x < 1,
in particolare x = −3 +√6 è punto di flesso.
Grafico qualitativo:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, senecessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L’Hospital /formula di Taylor -MacLaurin).
limx→1
(arcsin
(x2
)− π
6
)2(log x) · tan (πx) .
limx→1
(arcsin
(x2
)− π
6
)2(log x) · tan (πx) =
[0
0
].
Per x→ 1,
log x ∼ (x− 1)
tan (πx) =sin (πx)
cos (πx)∼ − sin (πx)
24
perciò
limx→1
(arcsin
(x2
)− π
6
)2(log x) · tan (πx) = lim
x→1
(arcsin
(x2
)− π
6
)2− (x− 1) sin (πx) .
Calcoliamo questo limite col teorema di De L’Hospital.
limx→1
2(arcsin
(x2
)− π
6
)1
2
√1− x24
− (sin (πx) + π (x− 1) cos (πx))
= limx→1
(arcsin
(x2
)− π
6
)2√3
− (sin (πx) + π (x− 1) cos (πx)) =[0
0
].
Applichiamo ancora De L’Hospital:
limx→1
2√3
1
2
√1− x24
− (2π cos (πx)− π2 (x− 1) sin (πx)) =2√31√3
2π=1
3π.
Il limite cercato è 13π .
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
(2n)!
n2n
Serie a termini positivi, applichiamo il criterio del rapporto.
an+1an
=(2n+ 2)!
(n+ 1)2n+2 ·
n2n
(2n)!=(2n+ 2) (2n+ 1)n2n
(n+ 1)2n(n+ 1)
2
∼ 4n2 · n2n
(n+ 1)2nn2=
4(1 + 1
n
)2n → 4
e2< 1,
perciò la serie converge.
5. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫3x− 5
x2 + 10x+ 27dx.
∫3x− 5
x2 + 10x+ 27dx =
3
2
∫2x+ 10
x2 + 10x+ 27dx− 20
∫1
(x+ 5)2+ 2
dx
=3
2log(x2 + 10x+ 27
)− 20√
2arctan
(x+ 5√2
)+ c
25
6. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π4
0
sin2 (2x) cos2 xdx.
∫ π4
0
sin2 (2x) cos2 xdx =
∫ π4
0
sin2 (2x)
(cos (2x) + 1
2
)dx
=1
2
∫ π4
0
sin2 (2x) dx+1
2
∫ π4
0
sin2 (2x) cos (2x) dx.
∫ π4
0
sin2 (2x) dx = (2x = t)
=
∫ π2
0
sin2 tdt
2=1
2· π4=π
8
(dove si è usato l’integrale definito notevole∫ π
2
0sin2 tdt = π
4 ).∫ π4
0
sin2 (2x) cos (2x) dx =
[sin3 (2x)
3 · 2
]π4
0
=1
6
quindi ∫ π4
0
sin2 (2x) cos2 xdx =1
2· π8+1
2· 16=
π
16+1
12=3π + 4
48.
26
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦3
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione
f (x) = arcsin((x2 − 1
)2/3)+ |x− 3|
si chiede di:a. Determinare l’insieme di definizione.b. Stabilire dove la funzione è derivabile, calcolare la derivata dove esiste,
individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire cioè se si trattadi punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale...).
a. Definita per −1 ≤(x2 − 1
)2/3 ≤ 1, cioè 0 ≤(x2 − 1
)2/3 ≤ 1,−1 ≤x2 − 1 ≤ 1, x2 ≤ 2,
−√2 ≤ x ≤
√2.
Nei due punti di arresto x = ±√2 l’argomento di arcsin vale 1 e mi aspetto che
la funzione non sia derivabile. L’argomento di arcsin vale 1 anche per x = 0.Mi aspetto non derivabilità anche nei punti in cui x2−1 = 0, cioè per x = ±1
(per la presenza della potenza a esponente 2/3). Notare che il punto x = 3 incui si annulla l’argomento del modulo cade fuori dall’insieme di definizione.b. f è certamente derivabile se −
√2 < x <
√2, x 6= ±1, e in tal caso vale
(poiché nell’insieme di definizione è |x− 3| = 3− x)
f ′ (x) =1√
1− (x2 − 1)4/3· 2
3 (x2 − 1)1/3· 2x− 1.
limx→√2−f ′ (x) = +∞
quindi x =√2 è punto d’arresto a tangente verticale.
limx→−
√2+f ′ (x) = −∞
quindi x = −√2 è punto d’arresto a tangente verticale.
limx→1±
f ′ (x) = ±∞
27
quindi x = 1 è punto di cuspide verso il basso.
limx→−1±
f ′ (x) = ±∞
quindi x = −1 è punto di cuspide verso il basso.Per x→ 0,
1√1− (x2 − 1)4/3
· 2
3 (x2 − 1)1/3·2x ∼ − 4x
3√1−
(1− 4
3x2) = − 4x
3√
43x
2= − 2√
3
x
|x|
perciò per x→ 0±,
f ′ (x)→ ∓ 2√3− 1,
e x = 0 è punto angoloso.Grafico (NON era richiesto):
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne ilgrafico. E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontieradell’insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivataprima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventualipunti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; dire,in base alle altre informazioni raccolte, qual è il minimo numero di punti diflesso che f deve avere, coerentemente allo studio condotto.
f (x) = log
∣∣∣∣x (x− 1)x+ 1
∣∣∣∣ .Definita per x 6= 0, 1,−1.Per x→ 0, x→ 1 l’argomento del logaritmo tende a 0+ e f (x)→ −∞.Per x→ −1, l’argomento del logaritmo tende a +∞ e f (x)→ +∞.x = 0, x = 1, x = −1 asintoti verticali.Per x→ ±∞, f (x) ∼ log |x| → +∞ con crescita sottolineare (senza asintoto
obliquo).
28
Dove è definita la funzione è anche derivabile e si ha:
f (x) = log |x|+ log |x− 1| − log |x+ 1|
f ′ (x) =1
x+
1
x− 1 −1
x+ 1=
(x2 − 1
)+(x2 + x
)−(x2 − x
)x (x2 − 1)
=x2 + 2x− 1x (x2 − 1) ≥ 0 per:
−1−√2 ≤ x < −1; 0 < x ≤ −1 +
√2;x > 1.
In questi intervalli la f (x) è crescente.x = −1−
√2 punto di minimo relativo;
x = −1 +√2 punto di massimo relativo.
Grafico qualitativo:
f deve avere almeno un punto di flesso in(−∞,−1−
√2)e uno in (−1, 0) .
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, senecessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L’Hospital /formula di Taylor -MacLaurin).
limx→0
(Shx− x cosxsinx− xChx
)· tanxThx
.
limx→0
(Shx− x cosxsinx− xChx
)· tanxThx
=
[0
0
].
29
tanx
Thx∼ x
x= 1
Shx− x cosx =(x+
x3
6+ o
(x3))− x
(1− 1
2x2 + o
(x2))= x3
(1
6+1
2
)+ o
(x3)∼ 23x3
sinx− xChx =(x− x3
6+ o
(x3))− x
(1 +
1
2x2 + o
(x2))= x3
(−16− 12
)+ o
(x3)∼ −2
3x3
f (x) ∼23x
3
− 23x3· 1 = 1,
che è il limite cercato.
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
n cos (nπ) + log n+ 1
n2 + log n
Spezziamo la serie così:
∞∑n=1
n cos (nπ) + log n+ 1
n2 + log n=
∞∑n=1
(−1)n n
n2 + log n+
∞∑n=1
log n+ 1
n2 + log n.
La prima serie converge per il criterio di Leibniz. Infatti
n
n2 + log n∼ n
n2=1
n
che è positivo e infinitesimo. Per verificare la monotonia, consideriamo
f (x) =x
x2 + log x
e calcoliamo
f ′ (x) =
(x2 + log x
)− x
(2x+ 1
x
)(x2 + log x)
2 =−x2 + log x− 1(x2 + log x)
2 ∼ −x2
x4= − 1
x2< 0
perciò per x → +∞ è f ′ (x) < 0 definitivamente e f (x) decrescente definiti-
vamente; quindi{
nn2+logn
}è definitivamente decrescente, e per il criterio di
Leibniz∞∑n=1
(−1)n n
n2 + log nconverge.
La seconda serie è a termini positivi. Studiamo:
log n+ 1
n2 + log n∼ log n
n2<
1
n3/2
30
perché logn√n→ 0. Poiché
∑1
n3/2converge in quanto serie armonica generalizzata
con α = 3/2 > 1, per il criterio del confronto asintotico e il criterio del confronto,
∞∑n=1
log n+ 1
n2 + log nconverge.
Pertanto la serie di partenza converge in quanto somma di due serie convergenti.
5. Calcolare il seguente integrale indefinito e semplificare l’espressioneottenuta: ∫ √
x2 + 4
x2dx.
∫ √x2 + 4
x2dx = (x = 2Sh t)∫ √
4 Sh2 t+ 4
4Sh2 t2Ch tdt =
∫2Ch t
4 Sh2 t2Ch tdt =
∫Ch2 t
Sh2 tdt
=
∫Ch t
(− 1
Sh t
)′dt = (per parti)
= −Ch tSh t
+
∫Sh t
(1
Sh t
)dt
= −Ch tSh t
+ t+ c
= −
√1 + x2
4
x2
+ SettShx
2+ c
= −√4 + x2
x+ SettSh
x
2+ c.
6. Discutere la convergenza o meno dei seguenti integrali general-izzati, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati.
a.
∫ 1
0
f (x) dx; b.
∫ +∞
1
f (x) dx,
dove (in entrambi i casi)
f (x) =1− e−x√x log (1 + x)
.
La funzione f (x) è continua in (0,+∞), eventualmente illimitata in x = 0.Per x→ 0+,
f (x) ∼ x√x · x =
1√x,
31
integrabile, perciò l’integrale generalizzato∫ 10f (x) dx converge per il criterio
del confronto asintotico (l’integranda è positiva in tale intorno).Per x→ +∞,
f (x) ∼ 1√x log x
>1
x
perché √x
log x→ +∞ per x→ +∞.
Perciò per il criterio del confronto e del confronto asintotico l’integrale general-izzato
∫ +∞1
f (x) dx diverge.
32
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦4
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolodifferenziale il seguente problema di minimo. Determinare il punto P , sul graficodella funzione
f (x) = x3/2
che ha distanza minima da Q ≡ (4, 0) (e determinare tale distanza minima,semplificando l’espressione ottenuta). Si raccomanda di fare una figura perimpostare il problema.
La distanza è
D (x) = d((x, x3/2
), (4, 0)
)=
√(x− 4)2 + x3 per x ≥ 0
(insieme di definizione di f (x)).
D′ (x) =2 (x− 4) + 3x2
2
√(x− 4)2 + x3
≥ 0 per
3x2 + 2x− 8 ≥ 0
x ≤ −2, x ≥ 43.
Nell’intervallo (0,+∞) questo significa che f (x) è crescente per x ≥ 43 , e x =
43
è punto di minimo. Quindi
P ≡(4
3,
(4
3
)3/2)
Dmin =
√(4
3− 4)2+
(4
3
)3=
16
3√3.
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne ilgrafico. E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontieradell’insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata
33
prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventualipunti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda.
f (x) = x2/3(x2 − 4x+ 3
)1/3.
Definita in R.Per x → ±∞, f (x) ∼ x4/3 → +∞ con crescita sopralineare (senza asintoto
obliquo).f (x) = x2/3 (x− 1)1/3 (x− 3)1/3
perciò f (x) = 0 per x = 0, x = 1, x = 3; ci aspettiamo punti di flesso a tangenteverticale in x = 1, x = 3, e punto di cuspide in x = 0. Fuori da questi 3 punti fè certamente derivabile e si ha:
f ′ (x) =2
3x1/3(x2 − 4x+ 3
)1/3+ x2/3
1
3 (x2 − 4x+ 3)2/3(2x− 4)
=2(x2 − 4x+ 3
)+ x (2x− 4)
3x1/3 (x2 − 4x+ 3)2/3=
2(2x2 − 6x+ 3
)3x1/3 (x2 − 4x+ 3)2/3
≥ 0 per
0 < x ≤ 3−√3
2;x ≥ 3 +
√3
2
(esclusi x = 1, x = 3 in cui non esiste f ′). In questi intervalli f è crescente, inparticolare:
x = 0 punto di minimo relativox = 3−
√3
2 punto di massimo relativo
x = 3+√3
2 punto di minimo relativo.Inoltre:Per x → 0±, f ′ (x) ∼ 2
x1/332/3→ ±∞, perciò x = 0 punto di cuspide,
discendente.Per x → 1±, f ′ (x) ∼ −2
3·22/3(x−1)2/3 → −∞, perciò x = 1 punto di flesso a
tangente verticale, discendente.Per x → 3±, f ′ (x) ∼ 2
31/322/3(x−3)2/3 → +∞, perciò x = 1 punto di flesso atangente verticale, ascendente.
34
Grafico qualitativo:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, senecessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L’Hospital /formula di Taylor -MacLaurin).
limx→0
cos(x2
)− e− x
2
4
2x− log (1 + x)− tanx.
limx→0
cos(x2
)− e− x
2
4
2x− log (1 + x)− tanx =[0
0
].
cos(x2
)− e− x
2
4 = 1− 12·(x2
)2+ o
(x2)−{1− x2
4+ o
(x2)}
=x2
4− x2
8+ o
(x2)=x2
8+ o
(x2)∼ x2
8.
2x− log (1 + x)− tanx = 2x−{(
x− x2
2+ o
(x2))+(x+ o
(x2))}
(poiché tanx è dispari e tanx ∼ x, il suo sviluppo al second’ordine è x+o(x2))
=x2
2+ o
(x2)∼ x2
2
e
f (x) ∼x2
8x2
2
=1
4,
che è il limite cercato.
35
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
(−1)nn sin 1
n
n+ 1.
Poichén sin 1
n
n+ 1∼n · 1nn
=1
n
la successione bn =n sin 1
n
n+1 è a termini definitivamente positivi e tende a zero. Laserie perciò è a segni alterni, con termine generale infinitesimo. Per applicareil criterio di Leibniz dobbiamo verificare che {bn} è almeno definitivamentemonotona decrescente. Posto
f (x) =x sin 1
x
x+ 1,
calcoliamo
f ′ (x) =
(sin 1
x + x cos1x
(− 1x2
))(x+ 1)− x sin 1
x
(x+ 1)2
=
(x sin 1
x − cos1x
)+(sin 1
x −1x cos
1x
)− x sin 1
x
(x+ 1)2
=− cos 1x + sin
1x −
1x cos
1x
(x+ 1)2 ∼ − 1
x2< 0,
perciò per x → +∞ è f ′ (x) < 0 definitivamente, f (x) decrescente definitiva-mente, e {bn} è definitivamente monotona decrescente. Per il criterio di Leibnizla serie di partenza converge.
5. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 2
√2
√4− x2x2
dx.
∫ 2
√2
√4− x2x2
dx = (x = 2 sin t)
=
∫ π2
π4
√4− 4 sin2 t4 sin2 t
2 cos tdt
=
∫ π2
π4
cos2 t
sin2 tdt =
∫ π2
π4
cos tf·(− 1
sin t
)′g′
dt
=
[− 1
sin tcos t
]π2
π4
−∫ π
2
π4
sin t · 1
sin tdt
= 1− π
4.
36
6. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e
1
x3 (log x)2dx.
Si chiede di determinare (e scrivere esplicitamente) per prima cosa la primi-tiva, e successivamente calcolare l’integrale definito, semplificando l’espressioneottenuta.
∫x3f ′(log x)
2
gdx
= (per parti)x4
4(log x)
2 −∫x4
42log x
xdx =
=x4
4(log x)
2 − 12
(∫x3f ′log xgdx
)= (per parti)
x4
4(log x)
2 − 12
{x4
4log x−
∫x4
4
dx
x
}=x4
4(log x)
2 − x4
8log x+
x4
32+ c
∫ e
1
x3 (log x)2dx =
[x4
4(log x)
2 − x4
8log x+
x4
32
]e1
=e4
4− e4
8+e4
32− 1
32=5e4 − 132
.
37