Second-Order Systemseng.sut.ac.th/me/box/2_54/425308/chapter5_2.pdf · Second-Order Systems 2 Servo...

1

1

Second-Order Systems

2

Servo System

3

Block Diagram of Servo System

4

Servo System

2

5

Servo System

6

Servo System

7

Servo System

8

Servo System

3

9

Servo System

10


000 xMxkxcf si =−−

is fxkxcxM =++ 000

( ) ( )onacceleratimassforces ⋅=∑

The force-measuring spring scale

11


isss

fk

xxkcx

kM 1

000 =++is fxkxcxM =++ 000

The force-measuring spring scale

inn

Kfxxx=++ 002

0 2ωζ

ω

Mkc

kK

Mk

s

s

sn

2

Nm 1

secrad,

=

=

=

ζ

ω

12


)(2)(

)(22

20 sG

ssK

sFsX

nn

n

i

=++

=ωζω

ω

In transfer function (Laplace Transform)

)(2

)( 22

2

0 sFss

KsX inn

n

ωζωω

++=

4

13


( ) 22

2

2)(

nn

n

ssK

sRsC

ωζωω

++=

22

2

2 nn

n

ssK

ωζωω

++R(s) C(s)

Standard form of second-order system

14


( ) 12222,1 −±−=−±−= ζωζωωζωζω nnnnns

Characteristic equation

02 22 =++ nnss ωζω

ซึ่งจะได

15


10 ed Underdamp.40 Undamped.3

1 damped Critically 2.1 Overdamped 1.

<<=

=>

ζζ

ζζ

16

Unit-Step response of Second-Order Systems

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = 1)(

ssRIn Laplace transform

( ) sssKsC

nn

n 12

)( 22

2

⋅++

=ωζω

ω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++

−= 22 221)(

nn

n

sss

sKsC

ωζωζω

เราสามารถทํา partial fraction

Eq.1

5

17


( )( ) sssssKsC n 1)(

21

2

⋅++

=ω


โดยที่

หรือ เขียนอยูในรูป

Eq.2

18


[ ] ( )( ) 21

2

21

2

01

0

)(ssssss

ssCA nns

s

ωω=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

===

=

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

+=2

3

1

21)(ss

Ass

AsAKsC

โดยที่

เราสามารถทํา partial fraction

( )[ ] ( ) 2121

2

2

2

12

1

1)(

sssssssCssA nn

ss

ss−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=+=−=

−=

ωω

19


( )[ ] ( ) 2122

2

1

2

23

2

2)(

sssssssCssA nn

ss

ss−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=+=−=

−=

ωω

และ

20


( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

+=2

3

1

21)(ss

Ass

AsAKsC

( ) 12221 −+−=−+−= ζωζωωζωζω nnnnns

1 , Overdamped 1. Case >ζทํา partial fraction

โดยที่

( ) 12222 −−−=−−−= ζωζωωζωζω nnnnns

6

21


( )1121

21221

22222−+−

=−−−

=ζζζζζζ

A

( )( ) 22222

2

2122

2

3122 nnnn

nn

sssA

ωωζζωζωωω

−−−+=

−=

( )1121

21221

22223−−−

−=−−+

=ζζζζζζ

A

( )( ) 22222

2

2121

2

2122 nnnn

nn

sssA

ωωζζωζωωω

−−−−=

−=

12

2

21

2

1 ===n

nn

ssA

ωωω

โดยที่

22


( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

+=2

3

1

21)(ss

Ass

As

KsC

( ) ( )tsts eAeAKtc 21321 −− ++=

หาผลเฉลย Inverse Laplace transform

( ) ( )( )

( )( )

2

2

1

2 2

1

2 2

112 1 1

1 2 1 1

n n

n n

t

t

c t K e

e

ζω ω ζ

ζω ω ζ

ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

− + −

− − −

⎛⎜= +⎜ − + −⎜⎝

⎞⎟− ⎟− − − ⎟⎠

23


24


( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++

−= 222

212

21)(n

n

nn

n

ss

sK

sss

sKsC

ωω

ωωω

( ) { }tnt nn teeKtc ωω ω −− −−= 1

1 , damped Critically 2. Case =ζ

( ) ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

+−= 2

11)(n

n

n sssKsC

ωω

ω


Partial fraction

7

25


26

Unit-Step response of Second-Order Systems0 , Undamped3. Case =ζ

( )sRs

KsCn

n22

2

)(ω

ω+

=( ) 22

2

2)(

nn

n

ssK

sRsC

ωζωω

++=

( ) ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛+

=⋅+

=ss

Kss

KsCn

n

n

n22

2

22

2 1)(ω

ωω

ω

Inverse Laplace Transform( ) ts

ωωω

ω cos122

2

−→+

( ) ( )tKtc nωcos1−=

27


28


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++= 22 2

)(nnss

CBssAKsC

ωζω

10 ed Underdamp.4 << ζ

ทํา partial fraction

sssKsC

nn

n 12

)( 22

2

⋅++

=ωζω

ωจากฟงกชั่นถายโอน

( ) 2222 2 nnn CsBsssA ωωζω =++++

2222 2 nnn CsBsAsAAs ωωζω =++++

8

29


( ) ( ) 222 2 nnn AsCAsBA ωωζω =++++

122 =→= AA nn ωω

( ) 10 −=→=+ BBA

( ) nn CCA ζωζω 202 −=→=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+−= 22 2

21)(nn

n

sss

sKsC

ωζωζωทํา partial fraction

เราจะไดคา

30


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+−= 22 2

21)(nn

n

sss

sKsC

ωζωζω

10 ed Underdamp.4 << ζ

ทํา partial fraction

โดยที่

sssKsC

nn

n 12

)( 22

2

⋅++

=ωζω

ωจากฟงกชั่นถายโอน

02 22 =++ nnss ωζωCharacteristic equation


31


โดยที่

02 22 =++ nnss ωζω

Characteristic equation


dn js ωζω ±−=2,1ซึ่งจะได

1

frequency natural damped1 2

−=

−−=

jnd ζωωโดยที่

32


( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−

+++

−=2222

21)(dn

n

dn

n

sss

sKsC

ωζωζω

ωζωζω

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++

−=22

1)(dn

nn

ss

sKsC

ωζωζωζω

( ) ( ) ( )22

222222

2

12

nn

nnndn

ss

sss

ωζω

ζωζωζωωζω

++=

−+++=++

เราจัดรูปสมการใหม

โดยที่

ซึ่งจะได

9

33


( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++⋅

−−

+++

−=22222

121)(

dn

d

dn

n

sss

sKsC

ωζωω

ζζ

ωζωζω

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−= −− teteKtc d

td

t nn ωζ

ζω ζωζω sin1

cos12


( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+

−−= −

−

ζζ

ωζ

ζω 21

2

1tansin

11 teKtc d

tn

หรือ

34


( )te

s dt

dn

d n ωωζω

ω ζω sin22

1 −− =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++L

( )te

ss

dt

dn

n n ωωζω

ζω ζω cos22

1 −− =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++

L

Inverse Laplace transform

35


36


10

37

Definitions of Transient-Response Specification

Delay time, td

Rise Time, trPeak time, tp

Maximum overshoot, MpSettling time, ts

38


39


( ) rdt

rdt tetetc rnrn ω

ζζω ζωζω sin

1cos1

2

−−

−−−=

เราจะพิจารณา rise time (tr )ในกรณี underdamped

จากสมการ

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+−= −

rdrdt ttetc rn ω

ζζωζω sin

1cos1

2

40


0sin1

cos2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+ rdrd tt ω

ζζω

0≠− rnte ζω

0cossin

1coscos

2=⋅

−+

rd

rd

rd

rd

tt

tt

ωω

ζζ

ωω

ขณะที่

เราจะไดวา

n

drd t ζω

ωζζ

ω −=−

−=21

tan

11

41


( )βπω

−=d

rt1

เราจะไดวา⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −−

σω

ωζωω

ωd

dn

d

drt

11 tan1tan1

2 1, 1 , tan dn d n

ωσ ζω ω ω ζ βσ

−= = − =โดยที่

จากสมการเราพิจารณาไดวาถาตองการ rise time (tr )มีคานอย

ตองให มีคามากnω

42


( )βπω

−=d

rt1

dn js ωζω ±−=2,1

43


( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+−= − ttetc dd

tn ωζ

ζωζω sin1

cos12

เราจะพิจารณา peak time (tp )ในกรณี underdamped

โดยการหาอนุพันธของ c(t) เทากับศูนย

0cos1

sin

sin1

cos

2

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+=

−

−

tte

ttedtdc

dd

ddt

ddt

n

n

n

ωζ

ζωωω

ωζ

ζωζω

ζω

ζω

44


0cos1

sin

sin1

cos

2

2

=−

−+

−+=

−−

−−

=

pd

td

pddt

pdt

npdt

ntt

tete

tetedtdc

pnpn

pnpn

p

ωζ

ζωωω

ωζ

ζζωωζω

ζωζω

ζωζω

เราพิจารณาที่ t=tp

12

45


0cos1

1sin

sin1

cos

2

2

2

=−

−−+

−+=

−−

−−

=

pd

tn

pddt

pdt

npdt

ntt

te

te

tetedtdc

pnpn

pnpn

p

ωζ

ζζωωω

ωζ

ζζωωζω

ζωζω

ζωζω

และเมื่อ 21 ζωω −= nd

46


0sinsin1 2

=+−

= −−

=pdd

tpd

tn

tt

tetedtdc pnpn

p

ωωωζ

ζζω ζωζω

21 ζωω −= nd

01

sin2

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

−= −

=d

npd

t

tt

tedtdc pn

p

ωζζωωζω

เมื่อ เราจะไดสมการใหมดังนี้

011

sin 2

2

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+

−= −

=

ζωζζωωζω

nn

pdt

tt

tedtdc pn

p

47


0111

1sin 2

2

2

2

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−

−+

−= −

=

ζωζ

ζ

ζζωωζω

nn

pdt

tt

tedtdc pn

p

( ) 011

1sin

2

2

2

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−+

−= −

= ζζω

ζζωωζω nn

pdt

tt

tedtdc pn

p

011

sin2

2

2

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−+

−= −

= ζζωω

ζζωωζω nnn

pdt

tt

tedtdc pn

p

48


เราจะไดสมการใหมดังนี้

0111

sin2

2

22

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−+

−= −

= ζζω

ζω

ζζωωζω nnn

pdt

tt

tedtdc pn

p

0sin1 2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−= −

=pd

tn

tt

tedtdc pn

p

ωζ

ω ζω

13

49


0sin =pdtω

…,3,2,,0 πππω =pdt

πω =pdt

dpt ω

π=

เราจะไดวา

หรือ

ในขณะที่ peak time ที่เกิดขึ้นครั้งแรกที่

ดังนั้น

50


dPtt

ωπ

==

ในกรณี underdamped เราจะพิจารณา Maximum overshoot (Mp)

ซึ่งจะเกิดขึ้นที่ peak time หรือ

เราสมมุติวาคาสุดทายของเอาทพุทมีคาเปน 1

( ) 1−= pp tcM

51


1sin1

cos12

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+−= −

pdpdt

p tteM pn ωζ

ζωζω

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+−= − π

ζζπωπζω sin

1cos

2dneM p

( ) πζζωπζω ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−− ==

21eeM dn

p

เราจะไดคา maximum overshoot

52


( ) %100×− dne ωπζω

Maximum Percent Overshoot

( ) ( )( )∞

∞−=

cctc

M pp

ในกรณีที่คาสุดทายของเอาทพุทมีคาไมเทากับ 1

14

53


54

Unit-Step response of Second-Order Systemsในกรณี underdamped เราจะพิจารณา Settling time(ts)

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+

−−= −

−

ζζ

ωζ

ζω 21

2

1tansin

11 teKtc d

tn

55


ns Tt

ζω44 ==

ในกรณี underdamped เราจะพิจารณา Settling time(ts)

ns Tt

ζω33 ==

2% criterion

5% criterion

56


( ) 25625

2)(

222

2

++=

++=

sssssRsC

nn

n

ωζωω

secrad 5 ,6.0 == nωζเมื่อระบบมีคา

15

57


( ) 25625)(

2 ++=

sssRsC

58


drt ω

βπ −=

( ) 46.0151 22 =−=−= ζωω nd

rad 93.034tantan 11 === −−

n

d

ζωωβ

ในกรณี underdamped เราจะพิจารณา rise time (tr )

จากสมการ

sec 55.04

93.014.3=

−=

−=

drt ω

βπ

โดยที่

59


sec 785.0414.3

===d

pt ωπ

เราจะพิจารณา peak time (tp )ในกรณี underdamped

ในกรณี underdamped เราจะพิจารณา Maximum overshoot (Mp)

( ) ( ) 095.014.343 === ×−− eeM dnp

πωζω

60


ในกรณี underdamped เราจะพิจารณา Settling time(ts)

sec 33.1344===

nst ζω

sec 1333===

nst ζω

2% criterion

5% criterion

16

61

Definitions of Transient-Response SpecificationEx: effect of gain (K)

( ) 25650)(

2 ++=

sssRsC

62

Impulse Response of Second-Order Systems

( )sRss

sCnn

n22

2

2)(

ωζωω

++=

เมื่อระบบมีฟงกชั่นถายโอน ดังนี้

สําหรับระบบที่มีอินพุทเปน unit-impulse function เทากับ 1

22

2

2)(

nn

n

sssC

ωζωω

++=

63


1=ζ

( )22

22

2

2)(

n

n

nn

n

ssssC

ωω

ωωω

+=

++=

( ) tn

ntetc ωω −= 2

ในกรณีที่


( )tte

sα

α−↔

+ 21

จากตาราง Laplace transform

64


1>ζในกรณีที่


( ) tn

tn nn eetc

ωζζωζζ

ζω

ζω ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−

−−

−=

1

2

1

2

22

1212

17

65


10 << ζในกรณีที่


( ) 2

21sin

1ζω

ζω ζω −−

= −n

tn netc

66


67

Unit-Ramp response of Second-Order Systems

68


18

69


70


71


Second-Order Systemseng.sut.ac.th/me/box/2_54/425308/chapter5_2.pdf · Second-Order Systems 2 Servo...

Documents

Transcript of Second-Order Systemseng.sut.ac.th/me/box/2_54/425308/chapter5_2.pdf · Second-Order Systems 2 Servo...