[sb] คณิตฯ ม1 เล่ม2 N1...
Transcript of [sb] คณิตฯ ม1 เล่ม2 N1...
หนงสอเรยนรำยวชำพนฐำน
ผเรยบเรยงนำงกนกวล อษณกรกล
นำงสำวปำจรย วชชวลค
ดร. สเทพ บญซอน
ผตรวจนำงจนดำ อยเปนสข
นำยรณชย มำเจรญทรพย
นำยสกจ พทธชำตเสว
บรรณาธการรศ.ดร. อ�ำพล ธรรมเจรญ
สงวนลขสทธตามพระราชบญญตปทพมพ 2561
พมพครงท 1 จานวนพมพ 10,000 เลมISBN : 978-616-203-758-0
รหสสนคา 2116014
คณตศำสตร ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวดกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551
ชนมธยมศกษำปท 1 เลม 2ม.1เลม 2
สมกำรเชงเสนตวแปรเดยว
นกเรยนไดเรยนเรองสมการเชงเสนตวแปรเดยวมาแลวจะพบวา ประโยค “สองเทาของ
จ�านวนจ�านวนหนงบวกดวย 3 เทากบ 7” เมอก�าหนดให x แทนจ�านวนนน ซงนกเรยนสามารถ
เขยนประโยคขางตนเปนประโยคสญลกษณ ไดเปน 2x + 3 = 7
เรยกประโยคสญลกษณ 2x + 3 = 7 วา สมกำรเชงเสนตวแปรเดยว ซงจะสงเกตเหนวา
เปนสมการทมตวแปรหนงตว คอ ตวแปร x และมเลขชก�าลงของตวแปรเปน 1
สมการทอยในรป ax + b = 0 เมอ a, b เปนจ�านวนใด ๆ และ a ≠ 0 เรยกวา “สมการเชงเสนตวแปรเดยว”
ค�ำตอบของสมกำรเชงเสนตวแปรเดยว
จงพจารณาสมการ 2x + 3 = 7 ถาแทนคา x ดวย 2 ใน 2x + 3 = 2(2) + 3 จะได = 4 + 3
= 7 ท�าใหสมการเปนจรง
เรยก 2 วา เปนค�าตอบของสมการ 2x + 3 = 7
เรยกจ�านวนทแทนคาของตวแปร x ในสมการแลวท�าใหสมการเปนจรงวา
“ค�ำตอบของสมกำร”
สมการเชงเสนตวแปรเดยว สามารถจดตามลกษณะค�าตอบของสมการได 3 แบบ ดงน
1. สมการทมจ�านวนบางจ�านวนเปนค�าตอบ
เชน x + 4 = 14 มค�าตอบของสมการ คอ 10
2x - 1 = 9 มค�าตอบของสมการ คอ 5
2. สมการทมจ�านวนทกจ�านวนเปนค�าตอบ
เชน x + 5 = 5 + x มค�าตอบของสมการ คอ จ�านวนใด ๆ ทกจ�านวน
x + x = 2x มค�าตอบของสมการ คอ จ�านวนใด ๆ ทกจ�านวน
3. สมการทไมมจ�านวนใดเปนค�าตอบ
เชน x + 3 = x + 4 ไมมค�าตอบของสมการ
x - 2 = x - 3 ไมมค�าตอบของสมการ
ควรรกอนเรยน
103
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไว
ใชการคณไขวและการแกสมการ
จาก a540=
10030
จะได a = 10030 ×540
= 1,800
นนคอลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
ถาลงค�ามพนททงหมด1,800ตารางวาแบงพนทเพอใชในการท�านา
เปนจ�านวน540ตารางวา
อตราสวนของพนททงหมดตอพนทในการท�านาเปน1,800:540
หรอ100:30ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด
ดงนนลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา ตอบ
1. พอวางแผนปลกตนล�าไยและตนลนจในสวน โดยใหจ�านวนตนล�าไยตอจ�านวนตนลนจ
เปน 6 : 9 เมอพอปลกเสรจปรากฏวามตนลนจจ�านวน 72 ตน จงหาวาพอปลกตนล�าไย
จ�านวนกตน
2. รปสามเหลยมรปหนงมอตราสวนของดานทงสามเปน 5 : 12 : 13 ถาเสนรอบรปของ
รปสามเหลยมรปนยาวเทากบ 90 เซนตเมตร จงหาความยาวของดานทสนทสด
ลองท�าด
จากโครงการเกษตรทฤษฎใหม1ตามแนวพระราชด�ารของพระบาทสมเดจพระเจาอยหวภมพล-
อดลยเดชบรมนาถบพตร(รชกาลท9)ในตวอยางท10ถาลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา
นกเรยนคดวาลงค�าใชพนทสรางบอกกเกบน�ารวมกบพนทสรางบานเรอนและถนนทงหมดกตารางวา
Thinking Time
จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน ซงแสดงในตวอยางท 9 และ 10
เมอนกเรยนฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดในแตละขนตอนได
ดงตวอยางตอไปน
1 ทฤษฎใหม.สบคนเมอ18ตลาคม2560,จากhttp://www.chaipat.or.th/site_content/922-2010-06-02-07-43-39/1301-2010-06-03-05-40-47.html
17
Thinking Timeค�ำถำมกระตนใหผเรยนคดตอยอดจำกเนอหำทเรยน
ควรรกอนเรยน ทบทวนควำมรเดม เพอเชอมโยงเขำสเนอหำใหม
ค�ำแนะน�ำในกำรใชสอ
องคประกอบตำงๆ ในแตละหนวย
ตวชวด•เขาใจและประยกตใชอตราสวนสดสวนและรอยละในการแกปญหาคณตศาสตรและปญหาในชวตจรง (ค 1.1 ม.1/3)
สาระการเรยนรแกนกลาง• อตราสวนของจ�านวนหลายๆ จ�านวน• สดสวน•การน�าความรเกยวกบอตราสวนสดสวนและรอยละไปใชในการแกปญหา
อตราสวนหนวยการเรยนรท
1
หองนอนหองหนงมพนทประมาณ 35 ตารางเมตร โดย
ในหองจะมเฟอรนเจอรตาง ๆ เชน เตยงนอน ตเสอผา โตะวางทว
หรอโตะเครองแปง เปนตน
ถาเตยงนอนมพนท
3.6 ตารางเมตร พนท
ของเตยงนอนจะคดเปน
ÍѵÃÒʋǹ»ÃÐÁҳ෋ÒäÃของพนทหองนอนทงหมด
Q.
ค�ำถำมประจ�ำหนวย กำรเรยนร ทครอบคลมตวชวดสงสดในหนวยกำรเรยนร
สำระกำรเรยนร แกนกลำง ขอบขำยเนอหำ ในหนวยกำรเรยนร
ตวชวด ทสอดคลองกบเนอหำ ในหนวยกำรเรยนร
หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 1 เลม 2 จดท�ำขน
ส�ำหรบใชประกอบกำรเรยนกำรสอนชนมธยมศกษำปท 1 โดยด�ำเนนกำรจดท�ำใหสอดคลอง
ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวด กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)
ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551 ทกประกำร เพอสงเสรมทกษะ
ทจ�ำเปนส�ำหรบกำรเรยนรในศตวรรษท 21 ทงทกษะดำนกำรคดวเครำะห กำรคดอยำงมวจำรณญำณ
กำรแกปญหำ กำรคดสรำงสรรค กำรใชเทคโนโลย กำรสอสำร และกำรรวมมอ เพอใหผเรยนรเทำทน
กำรเปลยนแปลงของระบบเศรษฐกจ สงคม วฒนธรรม และสภำพแวดลอม สำมำรถแขงขนและ
อยรวมกบประชำคมโลกได
หนงสอเรยนกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตรในระดบชนมธยมศกษำปท 1 น
คณะผเรยบเรยงไดจดแบงออกเปน 2 เลม ดงน
หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 1 เลม 1 หนวยการเรยนรท 1 - 5
หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 1 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1 - 4
แบบฝกทกษะ 2.1 กระดบ พนฐาน
ระดบ กลาง
1. จงเปรยบเทยบสวนของเสนตรงแตละคตอไปนวามความยาวเทากนหรอไม
โดยใชการสรางพนฐาน
1) 2) 3)
2. ก�าหนดaแทนความยาวของสวนของเสนตรงดงรป
a
จงสรางรปสามเหลยมดานเทาPQRใหมดานแตละดานยาวเทากบa
3. ก�าหนดสวนของเสนตรงซงมความยาวaหนวยและbหนวยดงรป
1) จงสรางสวนของเสนตรงทมความยาว2aหนวย a
b 2) จงสรางสวนของเสนตรงทมความยาว2a+2bหนวย
4. ก�าหนดจดAเปนต�าแหนงของหมบานตลาดแคและจดBเปนต�าแหนงของหมบานวงมวง
ถาตองการสรางโรงเรยนในต�าแหนงทอยหางจากหมบานทงสองเปนระยะทางเทากนจะตอง
สรางหมบานทต�าแหนงใด
5. ถานกเรยนตองการแบงสวนของเสนตรงเปนสวนๆ ใหแตละสวนมความยาวเทากน
โดยการแบงครงสวนของเสนตรงนกเรยนจะสามารถแบงเปนสวนทยาวเทากนไดกสวนบาง
พรอมทงยกตวอยางประกอบ3ตวอยาง
ระดบ ทาทาย
J
K
EF
M N
X
Y
P
Q
RS
Bมาตราสวน1ซม.:500ม.
A
47
แบบฝกทกษะ แบงระดบควำมยำกงำยเหมำะสมกบระดบกำรเรยนรของผเรยน
คณตศำสตรในชวตจรง เชอมโยงควำมรคณตศำสตร ไปใชในชวตจรง
สรปแนวคดหลก โดยรวมของทงหนวยกำรเรยนร เพอทบทวนควำมรใหแกผเรยน
แบบฝกทกษะประจ�ำหนวย กำรเรยนร เพอประเมนควำมรควำมเขำใจของผเรยนประจ�ำหนวยกำรเรยนร
กะทะลอ เปนชนสวนหนงของรถยนตทมไวยดยางรถยนตกบดมลอ ในอดตกะทะลอนน
จะเปนเหลกพนสซงอาจเกดสนมไดงายและดไมสวยงามในปจจบนจงมการพฒนาจากกะทะลอ
เปนลอแมกซซงมน�าหนกทเบา ระบายความรอนไดด และมความสวยงามกวากะทะลอ โดย
ลอแมกซแตละชนกจะมลกษณะแตกตางกนไปขนอยกบแมพมพของลอแมกซชนดนนๆ
ใหนกเรยนออกแบบลอแมกซรถยนต พรอมสรางลายลอแมกซโดยใชการสรางพนฐานทาง
เรขาคณต
คณตศาสตรในชวตจรง
94
จากอตราสวนทก�าหนดใหสามารถน�ามาเขยนเปนสดสวนไดดงน
5:7=x:63หรอ57=x63
เมอหาคาของ x ในสดสวน 57 =x63 กจะทราบวาปาชายเลนแหงนมตนโกงกางจ�านวน
กตน
การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนในทนเสนอแนวการแกปญหาโดยใชแนวคดของโพลยา
ซงม4ขนตอนดงน
ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหา โดยพจารณา
1) สงทโจทยถาม
2) สงทโจทยก�าหนด
ขนท 2 วางแผนแกปญหา
น�าจ�านวนทโจทยก�าหนดและจ�านวนทโจทยถามเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดย
ใหจ�านวนในแตละอตราสวนมล�าดบเดยวกนดงน
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไวเพอหาคาตวแปร
โดยใชความรเรองสดสวนและการแกสมการ
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇѧ จ�านวนไขไกตอจ�านวนไขเปดเปน5:3ถามจ�านวนไขไก30ฟองจะมจ�านวน
ไขเปดกฟอง
จากอตราสวนทก�าหนดใหสามารถน�ามาเขยนเปนสดสวนไดดงน
5:3=x:30 5:3=30:xเมอxแทนจ�านวนไขเปด เมอxแทนจ�านวนไขเปด
✘ ✔
จ�านวนทหนง(สงเดยวกน)
จ�านวนทสอง(สงเดยวกน)
=
14
การตงค�าถามทางสถต
ค�าถามทางสถตหมายถงค�าถามทมค�าตอบหรอคาดวาจะไดรบค�าตอบมากกวา1ค�าตอบ
ตามสภาพความเปนจรง หรอค�าถามทถามความคดเหนของผตอบแตละคน รวมถงค�าถามท
ตองการค�าตอบซงไดจากการรวบรวมขอมลพนฐานบางอยางแลวน�ามาจดจ�าแนกค�านวณหรอ
วเคราะหเพอใชตอบค�าถามนนซงแบงเปนประเภทไดแก
1. ค�าถามขนพนฐานเปนค�าถามทท�าใหไดชดของค�าตอบมา1ชด
2. ค�าถามเชงสรปเปนค�าถามเพอหาขอสรปเปนภาพรวม
3. ค�าถามเชงเปรยบเทยบเปนค�าถามทตองใชค�าตอบอยางนอย2ชดมาเปรยบเทยบกน
4. ค�าถามเชงความสมพนธเปนค�าถามทตองใชค�าตอบอยางนอย2ชดมาหา
ความสมพนธกน
การเกบรวบรวมขอมล
ขอมล หมายถง ขอเทจจรง หรอสงทยอมรบวาเปนขอเทจจรงของเรองทสนใจซงไดจาก
การเกบรวบรวมอาจเปนไปไดทงขอความและตวเลข
ในกระบวนการเกบรวบรวมขอมลมการด�าเนนการไดหลายวธเชน
1. การบนทกขอมล เปนการเกบรวบรวมขอมลทผเกบรวบรวมขอมลตองลงมอปฏบตใน
เรองใดเรองหนง
2. การสงเกตเปนการเกบรวบรวมขอมลทผเกบรวบรวมขอมลไมตองลงมอปฏบตแตจะใช
การดฟงและท�าความเขาใจในสงทเกดขนแลวบนทกผลทไดจากการสงเกต
3. การสอบถามเปนการเกบรวบรวมขอมลทผเกบรวบรวมขอมลไมไดมการพดคยกบผตอบ
ค�าถามแตจะใชการท�าแบบสอบถามแทน
4. การสมภาษณ เปนการเกบรวบรวมขอมลทผเกบรวบรวมขอมลมการตงค�าถามเปน
ขอๆ ไวแลวน�าไปถามผตอบค�าถามดวยตนเอง
สรปแนวคดหลก
203
รานขายเครองใชไฟฟาซอเครองท�าน�าอนมาในราคา 3,000 บาท และตองการขายเครองท�า
น�าอนนใหไดก�าไร 8% รานคาจงก�าหนดราคาขายโดยคดภาษมลคาเพมอก 7% ของราคา
ทขายไดก�าไร 8% จงหาวารานขายเครองใชไฟฟาจะตองก�าหนดราคาขายเครองท�าน�าอนน
กบาทจงจะไดก�าไรตามทตองการ
ลองท�าด
เมอฝากเงนไวกบธนาคารธนาคารจะใหดอกเบยโดยก�าหนดอตราดอกเบยเปนรอยละตอปแตอาจ
ก�าหนดวาระทครบก�าหนด เปน 3, 6, 12 เดอนหรอมากกวา การคดดอกเบยทถกตองจะตองคดปละ
365วน (ทงนไมวาปปฏทนทฝากนนจะม365หรอ366วนกตาม)ในกรณฝากเงนเปนเวลา3หรอ
6เดอนใหใชจ�านวนวนใน3เดอนหรอ6เดอนมาค�านวณเชน
การคดดอกเบยของเงนฝาก4,000บาทในระยะเวลา3เดอน(91วน)อตราดอกเบยรอยละ0.90
ตอปค�านวณดอกเบยไดดงน
ดอกเบยทไดรบเปนเงน4,000บาท× 91วน× 0.90365วน× 100
≈8.98บาท
ทมา:การค�านวณดอกเบยเงนฝากประจ�า3เดอนโดยไมหกภาษดอกเบยของธนาคารไทยพาณชย ณวนท30กนยายน2560
¤³Ôµน‹ารÙ
1. รานคาซอโทรศพทมอถอมาในราคาเครองละ3,000บาทและตดราคาขายโทรศพท
มอถอเครองละ 6,000 บาท แตเนองจากยอดจ�าหนายโทรศพทมอถอไมดรานคาแหงน
จงประกาศลดราคาโทรศพทมอถอเหลอ4,800บาทและลดราคาอกครงเหลอ3,840บาท
แตยงขายโทรศพทมอถอไมได จงลดราคาอกครงโดยการลดราคาครงนมรอยละของราคา
ทลดเทากบรอยละของการลดราคาสองครงทผานมาอยากทราบวาการลดราคาครงนจะยงคง
ไดก�าไรหรอขาดทนหรอเทาทน
2. สทน ด�ารงค และอภสทธ ไดฝากเงนกบคณครไวจ�านวนหนง โดยอตราสวน
จ�านวนเงนของสทนตอด�ารงคตออภสทธเปน7:5:3ตอมาสทนไดขอเงนคนจากคณคร
19บาทด�ารงคไดฝากเงนเพม39บาทและอภสทธไดฝากเงนเพม9บาทท�าใหอตราสวน
ของจ�านวนเงนสทนตอด�ารงคตออภสทธเปน9:13:6จงหาวาในตอนแรกสทนด�ารงค
และอภสทธฝากเงนกบคณครรวมกนเปนจ�านวนเงนกบาท
ค�าถามทาทายการคดขนสง
33
แบบฝกทกษะประจ�าหนวยการเรยนรท 1
1. จงแสดงใหเหนวาอตราสวนทก�าหนดใหในแตละขอตอไปนเปนอตราสวนทเทากนหรอไม
1) 12:13และ6:7
3) 16:17และ8:3
2) 15:17และ45:51
4) 19:20และ58:60
2. จงเขยนอตราสวนซงเทากบอตราสวน36:64มาอก5อตราสวน
3. ก�าหนดx:y=7:3และy:z=18:36จงเขยนอตราสวนของx:y:z
4. จงหาวาจ�านวนใดเปนรอยละ37ของ250
5. จงหาวา64เปนรอยละเทาใดของ160
6. จงหาวา75เปนรอยละ15ของจ�านวนใด
7. ถาp-58 =74แลวคาของp+2เทากบเทาใด
8. ฟารมแหงหนงเลยงสตวไว3ชนดคอเปดไกและววเปนอตราสวนดงนจ�านวนเปดตอ
จ�านวนไกเปน 7 : 8 และจ�านวนววตอจ�านวนไกเปน 5 : 6 ถาฟารมแหงนเลยงสตว
ทงสามชนด4,745ตวจงหาวาฟารมแหงนเลยงเปดมากกวาววกตว
9. รปสเหลยมคางหมรปหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวของดานคขนานสองดาน
เปน2:3:5ถารปสเหลยมคางหมรปนมความสง10เซนตเมตรพนทของ
รปสเหลยมคางหมรปนเทากบกตารางเซนตเมตร
10. แทงไมทรงสเหลยมมมฉากอนหนง มอตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 3 : 2
และอตราสวนของความกวางตอความสงเปน3:5ถาปรมาตรของแทงไมนเทากบ4,320
ลกบาศกเซนตเมตรจงหาความกวางความยาวและความสงของแทงไมน
11. พอคาตดราคาโทรทศนไว8,500บาทถาพอคาลดราคาใหผซอเงนสด10%แลวยงคงได
ก�าไร20%พอคาซอโทรทศนเครองนมาราคากบาท
12. รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายตเยนเปนเงน5,564บาทซงราคาทตดไวรวมกบภาษ
มลคาเพม7%ของราคาตเยนจงหาวา
1) ผซอจะตองจายเปนคาภาษมลคาเพมกบาท
2) ถาตนทนของตเยนเปนเงน4,000บาทรานขายเครองใชไฟฟาจะไดก�าไรกเปอรเซนต
39
กจกรรม คณตศาสตร
ใหนกเรยนแกโจทยปญหาโดยใชบารโมเดล (Bar model)
ตวอยาง รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายตเยนไว 18,900 บาท ถาลดราคาใหผซอ 10%
รานขายเครองใชไฟฟายงคงไดก�าไร 5% อยากทราบวาราคาตนทนของตเยนนเทากบกบาท
จากภาพท 1 จะไดวา
100 หนวย เทากบ 18,900 บาท
1 หนวย เทากบ 18,900100 = 189 บาท
ดงนน ราคาขายตเยนหลงลดราคาใหผซอ 10% คอ
90 หนวย เทากบ 189 × 90 = 17,010 บาท
จากภาพท 2 จะไดวา
105 หนวย เทากบ 17,010 บาท
1 หนวย เทากบ 17,010105 = 162 บาท
ดงนน ราคาตนทนของตเยนน คอ
100 หนวย เทากบ 162 × 100 = 16,200 บาท
ค�าถาม
รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายเครองซกผาเครองหนงไว 33,900 บาท ผานมา 2 ป
ยงขายเครองซกผาไมได จงประกาศลดราคาขาย 15% เมอขายไดแลวพบวา รานขายเครองใช
ไฟฟาขาดทน 5% จงหาวาราคาตนทนของเครองซกผานเทากบกบาท
ราคาขายตเยนหลงลดราคา
ราคาขายตเยนหลงลดราคา
18,900 บาท
ราคาตนทน
ลด10%
90%
105%
100%
100%
0%
0%
ภาพท 1
ภาพท 2
ก�าหนดให
แทน 100 หนวย
ขอตกลง
0% 100%
34 การแกโจทยปญหาเกยวกบการค�านวณก�าไรและขาดทน
แนะแนวคดเทคนคตำง ๆ ทชแนะวธกำรแกโจทยทำงคณตศำสตร
จงสรางรปสเหลยมจตรสABCDใหเสนทแยงมมยาวa
a
วธสราง การสรางรปสเหลยมจตรสABCDใหเสนทแยงมมยาวaจะสรางไดดงน
ขนท1 ลากAX
XA
ขนท2 บน AXสราง AC ใหมความยาวเทากบa
XA C
ขนท3 แบงครง AC ทจดE
X
X
Y
A CE
ตวอยางท 8
จงสรางรปสเหลยมจตรสWXYZทแตละดานยาวaหนวยa
ลองทาด
เสน·แยงมม·éงสองเสนของรปสเหลยมจตรสมคÇามยาÇเ·ากน และแบงครง«งกนและกน
แนะแนวคด
67
กจกรรมคณตศำสตร เพอสงเสรมกำรเรยนรแบบ Active Learning
QR Code รองรบกำรเรยนร ผำนสอดจทอล
H.O.T.S. ค�ำถำมทำทำยกำรคดขนสง
ตำมทฤษฎกำรเรยนรของบลม (Bloom’s Taxonomy)
ขอควรระวง อธบำยในสงทผเรยนมกเขำใจผด
หรอคลำดเคลอน
ลองท�ำดเพอใหผเรยนไดฝกท�ำจนเกด ควำมช�ำนำญ
คณตนำร เสรมควำมร หรอขอสงเกตทไดจำกเนอหำ
สำรบญ คณตศำสตร ชนมธยมศกษำปท 1 เลม 2
อตรำสวน 2
1.1 อตรำสวนของจ�ำนวนหลำย ๆ จ�ำนวน 4 1.2 สดสวน 12 1.3 กำรน�ำควำมรเกยวกบอตรำสวน สดสวน และรอยละ ไปใชในชวตจรง 21
คณตศาสตรในชวตจรง 36
สรปแนวคดหลก 37
แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 39
กำรสรำงทำงเรขำคณต 40
2.1 กำรสรำงพนฐำน 42 2.2 กำรสรำงรปเรขำคณตสองมต โดยใชกำรสรำงพนฐำน ทำงเรขำคณต 702.3 กำรน�ำควำมรเกยวกบกำรสรำงพนฐำนทำงเรขำคณต ไปใชในชวตจรง 88
คณตศาสตรในชวตจรง 94
สรปแนวคดหลก 95
แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 2 99
หนวยกำรเรยนรท
หนวยกำรเรยนรท
1
2
สมกำรเชงเสนสองตวแปร 102
3.1 กรำฟของควำมสมพนธเชงเสน 104 3.2 สมกำรเชงเสนสองตวแปร 1333.3 กำรน�ำควำมรเกยวกบกรำฟของควำมสมพนธเชงเสน ไปใชในชวตจรง 148
คณตศาสตรในชวตจรง 154
สรปแนวคดหลก 155
แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 3 156
หนวยกำรเรยนรท
3
บรรณำนกรม 212
สถต 158
4.1 กำรตงค�ำถำมทำงสถต 160 4.2 กำรเกบรวบรวมขอมล 1654.3 กำรน�ำเสนอและกำรแปลควำมหมำยขอมล 168 4.4 กำรน�ำควำมรเกยวกบสถตไปใชในชวตจรง 198
คณตศาสตรในชวตจรง 202
สรปแนวคดหลก 203
แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 4 205
หนวยกำรเรยนรท
4
ตวชวด •เขาใจและประยกตใชอตราสวนสดสวนและรอยละในการแกปญหาคณตศาสตรและปญหาในชวตจรง(ค1.1ม.1/3)
สาระการเรยนรแกนกลาง• อตราสวนของจ�านวนหลายๆ จ�านวน• สดสวน•การน�าความรเกยวกบอตราสวนสดสวนและรอยละไปใชในการแกปญหา
อตราสวนหนวยการเรยนรท
1 ความสมพนธทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณ ซงอาจมหนวยเดยวกน หรอ
ตางกนกไดนนเรยกวา“อตราสวน”
จงพจารณารปภาพตอไปน
หองนอนหองหนงมพนทประมาณ35 ตารางเมตร โดย
ในหองจะมเฟอรนเจอรตางๆ เชนเตยงนอนตเสอผาโตะวางทว
หรอโตะเครองแปงเปนตน
ถาเตยงนอนมพนท
3.6ตารางเมตรพนท
ของเตยงนอนจะคดเปน
ÍѵÃÒʋǹ»ÃÐÁҳ෋ÒäÃของพนทหองนอนทงหมด
Q.
ควรรกอนเรยน
จากรป จะเหนวาครอบครวนมจ�านวน
ทงหมด6คนเปนเดกจ�านวน
2คนและผใหญจ�านวน4คน
กลาวไดวา อตราสวนของจ�านวนเดกตอ
จ�านวนผใหญเปน2ตอ4
เขยนแทนดวย2:4หรอ24
อตราสวนaตอbเขยนแทนดวยa:bหรอabอานวาaตอb
เรยกจ�านวนaในอตราสวนa:bวาจ�านวนแรกหรอจ�านวนทหนง
และเรยกจ�านวนbในอตราสวนa:bวาจ�านวนหลงหรอจ�านวนทสอง
จงพจารณาขอความตอไปน
1. การไปทศนศกษาของโรงเรยนแหงหนงจดใหครจ�านวน1คนดแลนกเรยนจ�านวน
15คน
2. ตนกลาซอไสกรอกจ�านวน2ถงราคา84บาท
3. ลงค�าท�าน�าหมกชวภาพโดยใชกากน�าตาลปรมาณ250ลกบาศกเซนตเมตร
ใชน�า8ลตร
จากขอความดงกลาวสามารถเขยนอตราสวนแสดงความสมพนธของแตละขอไดดงน
1. อตราสวนของจ�านวนครตอจ�านวนนกเรยนเปน1:15
2. อตราสวนของจ�านวนไสกรอกเปนถงตอราคาเปนบาทเปน2:84
3. อตราสวนของปรมาณกากน�าตาลเปนลกบาศกเซนตเมตรตอน�าเปนลตรเปน250:8
การเขยนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยเดยวกน และม
ความชดเจนวาเปนหนวยของสงใด ไมนยมเขยนหนวยก�ากบไว แตการเขยนอตราสวนทแสดง
การเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยตางกนจะตองเขยนหนวยก�ากบไวทค�าอธบาย
3
1.1 อตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน
1. อตราสวนทเทากน
1)การหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดให
รานสหกรณของโรงเรยนแหงหนงขายน�าราคาขวดละ5บาทซงสามารถเขยนแสดง
ความสมพนธระหวางจ�านวนน�าเปนขวดและราคาเปนบาทดงตารางตอไปน
จานวนนา(ขวด) 1 2 3 4 5
ราคา(บาท) 5 10 15 20 25
จากตารางสามารถเขยนอตราสวนไดหลายอตราสวนดงน
1:5,2:10,3:15,4:20,5:25
หรอ15,210,
315,
420,
525
อตราสวนขางตน ไดมาจากการซอน�าในราคาเดยวกน คอ น�า 1 ขวด ราคา 5 บาท
และกลาวไดวาอตราสวนเหลานนเปนอตราสวนทเทากน
จากอตราสวนทเทากนในสถานการณขางตนสามารถเขยนแสดงไดดงน
1:5=2:10=3:15=4:20=5:25
หรอ15=210=
315=
420=
525
จะเหนวาอตราสวนทเทากนดงกลาวมความเกยวของกนกบอตราสวน15ดงน
จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน4:9มาอก3อตราสวน
ลองท�าด
รานคาขายไขไกราคาแผงละ85บาทถาตะวนตองการซอไขไกจานวน6ฟองจากรานแหงน
ตะวนตองจายเงนทงหมดกบาท(ไขไก1แผงม30ฟอง)
วธทา รานคาขายไขไกราคาแผงละ85บาท
เขยนอตราสวนของจ�านวนไขไกเปนฟองตอราคาเปนบาทเปน30:85หรอ 3085 ถาตะวนซอไขไกจ�านวน6ฟอง
จะได3085=30÷ 585÷ 5=
617
ดงนนตะวนตองจายเงนทงหมด17บาท ตอบ
จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน3:7มาอก3อตราสวน
วธทา อตราสวน3:7เขยนแทนดวย37 จะได 3
7=3 × 27 × 2=
614 นนคอ3:7=6:14
37=
3 × 37 × 3=
921 นนคอ3:7=9:21
37=
3 ×47 ×4=
1228 นนคอ3:7=12:28
ดงนน อตราสวน6:14,9:21และ12:28เปนอตราสวนทเทากบ
อตราสวน3:7 ตอบ
ตวอยางท 2
ตวอยางท 1
นกเรยนสามารถเขยนอตราสวน
ตางๆ ใหอยในรปเศษสวนได
¤³Ôµน‹ารÙถาก�าหนดอตราสวนa:bและcเปนจ�านวนใดๆ
ทไมเทากบศนยแลวจะไดวา
a:b=ab=a×cb×cและa:b=
ab=
a÷cb÷c
คณดวยจานวนเดยวกน หารดวยจานวนเดยวกน
15=
1 × 25 × 2=
210
15=
1 × 35 × 3=
315
15=
1 ×45 ×4=
420
15=
1 × 55 × 5=
525
210=
2 ÷ 210÷ 2=
15
315=
3 ÷ 315 ÷ 3=
15
420=
4÷420÷4=
15
525=
5 ÷ 525 ÷ 5=
15
นนคอ เมอก�าหนดอตราสวนมาให นกเรยนสามารถหาอตราสวนทเทากบอตราสวน
ทก�าหนดใหไดโดยใชหลกการตอไปน
1) หลกการคณ เมอคณแตละจ�านวนในอตราสวนใดดวยจ�านวนเดยวกน โดยท
จ�านวนนนไมเทากบศนยจะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม
2) หลกการหาร เมอหารแตละจ�านวนในอตราสวนใดดวยจ�านวนเดยวกน โดยท
จ�านวนนนไมเทากบศนยจะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม
4 5
รานคาขายปากกาลกลนราคาโหลละ96บาทถาตนกลาจายเงนซอปากกาทรานแหงน
24บาทจงหาวาตนกลาซอปากกาลกลนกดาม
ลองท�าด จงพจารณาอตราสวนabและcd
เรยกabวาเปนอตราสวนท1และcdวาเปนอตราสวนท2
จาก ab=
a× db× d=
adbd
cd=
c×bd ×b=
bcbd
จงพจารณาadbdและbcbdดงน
1)ถาadbd=bcbdแลวad=bc2)ถา
adbd ≠
bcbdแลวad≠bc
ซงadและbcเปนผลคณของจ�านวนจากอตราสวนทงสอง
โดยaเปนจ�านวนท1ของอตราสวนท1 dเปนจ�านวนท2ของอตราสวนท2
และbเปนจ�านวนท2ของอตราสวนท1 cเปนจ�านวนท1ของอตราสวนท2
ซงนกเรยนสามารถจดadและbcโดยใชหลกการคณไขวดงนab cd
จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม
1) 6:22และ24:80 2) 5:0.3และ100:6
ลองท�าด
2)การตรวจสอบการเทากนของอตราสวน
นกเรยนทราบมาแลววาการหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดให ตองใชหลก
การคณหรอหลกการหารในการตรวจสอบ แตถาตองการตรวจสอบวา อตราสวนสองอตราสวน
เทากนหรอไมนกเรยนสามารถใชหลกการคณหลกการหารหรอใชการคณไขวเพอท�าใหจ�านวน
หลงของแตละอตราสวนเทากนแลวจงเปรยบเทยบจ�านวนแรกซงมรายละเอยดดงตอไปน
จงพจารณาวธการตรวจสอบการเทากนของอตราสวน59และ1527ดงตอไปน
แบบท1 ใชหลกการคณ59=5 × 39 × 3=
1527
ดงนน59และ1527เปนอตราสวนทเทากน
แบบท2 ใชหลกการหาร1527=15 ÷ 327 ÷ 3=
59
ดงนน59และ1527เปนอตราสวนทเทากน
แบบท3 ใชการคณไขว
พจารณาการน�าอตราสวน59และ1527มาท�าใหจ�านวนหลงเทากนดงน
59 =
5 × 279 × 27 และ1527 =15 × 9
27 × 9
=135243 =135243
นกเรยนจะพบวา243เปนผลคณของ9กบ27ซงทงสองจ�านวนเปนจ�านวนหลงของ
แตละอตราสวนและยงพบอกวา5×27และ15×9ไดมาจากการคณไขวดงน
59 1527
ซงผลคณ5×27และ15×9ทไดจะเปนจ�านวนแรกของอตราสวนทงสองและมคา
เทากนคอ135จงใหผลสรปวาอตราสวนทงสองเทากน
ดงนน59และ1527เปนอตราสวนทเทากน
จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม
1) 5:9และ25:44 2) 1.5:4และ3:8
วธทา 1) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน59และ2544
จะได 5 × 44=220และ25 × 9=225
นนคอ 5 × 44 ≠ 25 × 9
ดงนน 5:9และ25:44เปนอตราสวนทไมเทากน
2) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน1.54 และ38
จะได 1.5 × 8=12และ3 × 4=12
นนคอ 1.5 × 8 = 3 × 4
ดงนน 1.5:4และ3:8เปนอตราสวนทเทากน ตอบ
ตวอยางท 3
ใชหลกการคณไขว59 2544
ใชหลกการคณไขว1.54 38
ก�าหนดใหabและcdเปนอตราสวนสองอตราสวนโดยทa,b,cและd
เปนจ�านวนบวก
ถาa×d=c×bแลวab=cdและถาa× d ≠c×bแลวab ≠
cd
6 7
2. อตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน จงพจารณาอตราสวนตอไปน
จ�านวนสมตอจ�านวนมะมวง เทากบ7:10
จ�านวนมะมวงตอจ�านวนมงคด เทากบ15:17
จะเหนวา อตราสวนทงสองชดมจ�านวนมะมวงเกยวของกบจ�านวนสมและจ�านวนมงคด
ซงในทนจะเรยกจ�านวนมะมวงวาตวรวม
ถานกเรยนใชความรเพอท�าอตราสวนใหเทากน โดยใชหลกการคณในอตราสวนแตละชด
ดงน
7:10=14:20=21:30=28:40และอนๆ
15:17=30:34=45:51และอนๆ
จะเหนวาอตราสวน7 :10และ15 :17 เทากบอตราสวน21 :30และ30 :34
ตามล�าดบซงอตราสวน21:30และ30:34ตางกมจ�านวนมะมวงเทากน
นกเรยนจงสามารถเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนสมตอจ�านวนมะมวงตอจ�านวน
มงคดไดเปน21:30:34เรยกอตราสวนนวาอตราสวนของจานวนหลายๆ จานวน
เมอพจารณา10,15และ30ทเปนจ�านวนมะมวงและเปนตวรวมของอตราสวนทงสองชด
จะเหนวา30เปนค.ร.น.ของ10และ15
กลาวไดวาการเขยนอตราสวนของจ�านวนหลายๆ จ�านวนตองใชการเทากนของอตราสวน
เพอท�าใหจ�านวนทเปนตวรวมในอตราสวนทงสองเทากน ซงเปน ค.ร.น. ของจ�านวนทงสอง
นนเอง
เมอมอตราสวนสองอตราสวนใดๆ แสดงการเปรยบเทยบปรมาณของทมากกวา
สองชนดขนไป หรอเปรยบเทยบจ�านวนหลายจ�านวน สามารถเขยนอตราสวนของ
จ�านวนหลายๆ จ�านวนจากอตราสวนทงสองไดดงน
1)พจารณาจ�านวนทปรากฏในอตราสวนทละคเฉพาะในสวนทเปนตวรวม
2)ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ1)เทากนเขยนอตราสวนของจ�านวน
หลายๆ จ�านวนไดทนท
3)ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ1)ไมเทากนตองท�าตวรวมนนใหเทากน
โดยใชหลกการคณหลกการหารหรอค.ร.น.รานคาขายไขไกไขเปดและไขนกกระทาโดยทอตราสวนของจานวนไขเปดตอจานวนไขไก
เปน3:5อตราสวนของจานวนไขนกกระทาตอจานวนไขไกเปน2:3จงเขยนอตราสวน
ของจานวนไขเปดตอจานวนไขไกตอจานวนไขนกกระทาของรานคาแหงน
ตวอยางท 5
คณยาจะทาขนมเมดขนนไวใหหลานๆ ทานจงไดเตรยมสวนผสมหลกเพอทาขนมดงน
ถวเขยวเลาะเปลอก450กรมนาตาลทราย200กรมนากะท400กรมและไขเปด
5ฟอง(ใชเฉพาะไขแดง)
จงเขยนอตราสวนของสวนผสมในการทาขนมเมดขนนตอไปน
1) ถวเขยวเลาะเปลอกเปนกรมตอน�าตาลทรายเปนกรมตอน�ากะทเปนกรมตอไขเปดเปนฟอง
2) ถวเขยวเลาะเปลอกผสมน�าตาลทรายผสมน�ากะทเปนกรมตอไขเปดเปนฟอง
ลองท�าด
รสาทาขนมตาลเพอนาไปขายซงมสวนผสมหลกในการทาขนมตาลดงน
เนอลกตาล 170กรม
นากะท 520กรม
แปงขาวจาว235กรม
นาตาลทราย275กรม
จงเขยนอตราสวนของสวนผสมในการทาขนมตาลตอไปน
1) เนอลกตาลตอน�ากะทตอแปงขาวจาวตอน�าตาลทราย
2) เนอลกตาลผสมแปงขาวจาวตอน�ากะทผสมน�าตาลทราย
3) เนอลกตาลตอเนอลกตาลผสมน�ากะทผสมแปงขาวจาวผสมน�าตาลทราย
ตอบ 1) อตราสวนของเนอลกตาลตอน�ากะทตอแปงขาวจาวตอน�าตาลทราย
เทากบ170:520:235:275
2) อตราสวนเนอลกตาลผสมแปงขาวจาวตอน�ากะทผสมน�าตาลทราย
เทากบ405:795
3) อตราสวนเนอลกตาลตอเนอลกตาลผสมน�ากะทผสมแปงขาวจาวผสมน�าตาลทราย
เทากบ170:1,200
ตวอยางท 4
8 9
กาหนดใหABCDเปนรปสเหลยมดานไมเทาทมอตราสวนของความยาวดานดงน
AB:BC=2:2.5,AB:DC=1:2และDA:AB=3:4จงหาอตราสวนของ
AB:BC:DC:DA
ลองท�าด
แบบฝกทกษะ 1.1ระดบ พนฐาน
ระดบ กลาง
1. จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหอกขอละ3อตราสวนโดยใชหลกการคณ
1) 2:7 2) 5:12 3) 9:7
2. จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหอกขอละ3อตราสวนโดยใชหลกการหาร
1) 64:32 2) 54:90 3) 72:24
3. จงตรวจสอบวาอตราสวนในแตละขอตอไปนเทากนหรอไม
1) 3.5:1.5และ5:2 2) 8:9และ96:108
4. จงเตมเครองหมาย=หรอ≠ ลงใน ทก�าหนดใหในแตละขอเพอใหประโยคเปนจรง
1) 8:4 12:6 2) 6:7 9:11
5. จงหาอตราสวนa:b:cจากอตราสวนทก�าหนดใหในแตละขอตอไปน
1) a:b=11:8และb:c=6:5 2) a:b=1.5:9และb:c=7:4.3
6. ถาจ�านวนเงนรายไดเพอใชในการแขงขนกฬาสทนกเรยนสตางๆ หาไดเปนดงน
จ�านวนเงนรายไดของสฟาตอจ�านวนเงนรายไดของสเขยวเปน 7:8
จ�านวนเงนรายไดของสเขยวตอจ�านวนเงนรายไดของสเหลองเปน7:8
จ�านวนเงนรายไดของสชมพตอจ�านวนเงนรายไดของสเหลองเปน3:4
จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนเงนรายไดของสฟาตอจ�านวนเงนรายไดของสชมพ
7. สวนสตวแหงหนงมอตราสวนของจ�านวนนกตอจ�านวนยราฟเปน11:2อตราสวนของ
จ�านวนลงตอจ�านวนยราฟเปน31:3และอตราสวนของจ�านวนยราฟตอจ�านวนเสอเปน
4:11จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนนกตอจ�านวนสตวทงสชนดรวมกน
8. ก�าหนดอตราสวนa:b=34:2และb:c=12:
13จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนa:b,
b:cและa:b:c
9. ก�าหนดอตราสวนp:q=0.75:0.90และq:r=13:15จงหาอตราสวนของp:q:r
10. ก�าหนดอตราสวนa:b=114:23และa:c=1
37:
56จงหาอตราสวนของa:b:c
ระดบ ทาทาย
วธทา เนองจาก อตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกเปน3:5
อตราสวนของจ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน2:3
มจ�านวนไขไกเปนตวรวมคอ5และ3ซงค.ร.น.ของ5และ3เทากบ15
จะได จ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกเปน 3 × 3:5 × 3=9:15
จ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน 2 × 5:3 × 5=10:15
ดงนน อตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกตอจ�านวนไขนกกระทา
เทากบ9:15:10 ตอบ
รานขายปากกาแหงหนงขายปากกาสแดงสดาและสนาเงนโดยทอตราสวนของจานวน
ปากกาสแดงตอจานวนปากกาสดาเปน8:3อตราสวนของจานวนปากกาสดาตอจานวน
ปากกาสนาเงนเปน4:5จงหาอตราสวนของจานวนปากกาสแดงตอจานวนปากกาสดาตอ
จานวนปากกาสนาเงนของรานขายปากกาแหงน
ลองท�าด
กาหนดใหATMเปนรปสามเหลยมดานไมเทาทมอตราสวนของความยาวดานดงน
AT:TM=3:4และTM:AM=10:8
จงเขยนอตราสวนของความยาวดานตอไปน
1) AT:TM:AM 2) ความยาวดานTMตอความยาวของเสนรอบรป
วธทา 1) เนองจาก AT:TM=3:4และTM:AM=10:8
มความยาวของTMเปนตวรวมคอ4และ10ซงค.ร.น.ของ4และ10
เทากบ20
จะได AT:TM =3 × 5:4 × 5 =15:20
TM:AM =10 × 2:8 × 2 =20:16
ดงนนอตราสวนของความยาวดานAT:TM:AMเทากบ15:20:16
2) ความยาวของเสนรอบรปเทากบ15+20+16=51หนวย
ดงนน อตราสวนของความยาวดานTMตอความยาวของเสนรอบรปเทากบ
20:51 ตอบ
ตวอยางท 6
10 11
1.2 สดสวน จงพจารณาอตราสวน2:5และ6:15
จะเหนวาผลการคณไขวของจ�านวนแรกกบจ�านวนหลงของ25และ615คอ
2 ×15 = 30และ5×6=30
จะไดวา 25 =
615
นนคอ 2:5 = 6:15
เรยกประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวนวา“สดสวน”
ประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวนเรยกวาสดสวน
นกเรยนทราบมาแลววาการหาอตราสวนทเทากนสามารถท�าได โดยใชหลกการคณ
หลกการหาร หรอการคณไขว ดงนนในกรณทมตวแปรซงแทนจ�านวนทไมทราบคาในสดสวน
จะสามารถหาจ�านวนทแทนตวแปรในสดสวนโดยใชวธการดงกลาวขางตนดงตวอยางตอไปน
จงหาคาของmในสดสวน67 =30m
วธทา วธท1 หาอตราสวนทเทากนโดยใชหลกการคณ
จาก 67=
6× 57 × 5=
3035
จะได 30m = 30
35
m = 35
ดงนนคาของmคอ35
วธท2 ใชการคณไขวและการแกสมการ
จาก 67 =
30m
จะได6×m = 7×30
m = 7 ×306
m = 35
ดงนนคาของmคอ35 ตอบ
ตวอยางท 7
การแกโจทยปญหาโดยใชสดสวน
จงพจารณาโจทยปญหาตอไปน
ชาวบานและนกเรยนกลมหนงตองการปลกตนโกงกางและตนล�าพในปาชายเลนแหงหนง
โดยใหจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพเปน5:7เมอปลกตนโกงกางและตนล�าพเสรจแลวพบวา
มจ�านวนตนล�าพทงหมด63ตนอยากทราบวาชาวบานและนกเรยนกลมนปลกตนโกงกางทงหมด
กตน
จากอตราสวน5:7ทโจทยก�าหนดเปนการเปรยบเทยบระหวางจ�านวนตนโกงกางกบจ�านวน
ตนล�าพ
ดงนน หากตองการทราบวาชาวบานและนกเรยนกลมนปลกตนโกงกางกตน สามารถหา
จ�านวนตนโกงกางได โดยใชหลกการคณหรอใชสดสวน แตในทนจะใชสดสวนในการหาจ�านวน
ตนโกงกางดงน
ก�าหนดใหจ�านวนตนโกงกางมxตน เมอมจ�านวนตนล�าพทงหมด63ตน
จะไดอตราสวนจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพเปนx:63
จงหาคาของxในสดสวน49=16x
จงหาคาของaในสดสวน5:3=a:4.5
ลองท�าด
ลองท�าด
จงหาคาของmในสดสวน3:5=m:2.5
วธทา จาก 3:5 = m:2.5
จะได 35 =
m2.5
3 × 2.5 = 5 × m
m = 3 × 2.55
m = 1.5
ดงนนคาของmคอ1.5 ตอบ
ตวอยางท 8
12 13
จากอตราสวนทก�าหนดใหสามารถน�ามาเขยนเปนสดสวนไดดงน
5:7=x:63หรอ57=x63
เมอหาคาของ x ในสดสวน 57 =x63 กจะทราบวาปาชายเลนแหงนมตนโกงกางจ�านวน
กตน
การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนในทนเสนอแนวการแกปญหาโดยใชแนวคดของโพลยา
ซงม4ขนตอนดงน
ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถาม
2) สงทโจทยก�าหนด
ขนท2 วางแผนแกปญหา
น�าจ�านวนทโจทยก�าหนดและจ�านวนทโจทยถามเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดย
ใหจ�านวนในแตละอตราสวนมล�าดบเดยวกนดงน
ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไวเพอหาคาตวแปร
โดยใชความรเรองสดสวนและการแกสมการ
ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ
ลงคาวางแผนเพอปลกตนเขมกบตนแกวเปนแนวรวโดยปลกสลบกนเปนอตราสวน5:2เมอ
ลงคาปลกเสรจปรากฏวามตนเขมจานวน95ตนจงหาวาลงคาปลกตนแกวทงหมดจานวนกตน
วธทา ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอจ�านวนตนแกวทลงค�าปลก
2) สงทโจทยก�าหนด คอ อตราสวนของตนเขมกบตนแกวเปน 5 : 2 และ
จ�านวนตนเขมทลงค�าปลกทงหมดม95ตน
ขนท2 วางแผนแกปญหาโดยใชสดสวน
จากจ�านวนทโจทยถามและจ�านวนทโจทยก�าหนดจะไดวา
ใหลงค�าปลกตนแกวทงหมดaตน
เมอลงค�าปลกตนเขม95ตน
น�าจ�านวนตนเขมทปลกเสรจตอจ�านวนตนแกวทปลกเสรจกบอตราสวน5:2
มาเขยนสดสวนโดยจ�านวนตนแกวเปนจ�านวนทหนงและจ�านวนตนเขมเปน
จ�านวนทสองของอตราสวนทงสองชดดงน
จ�านวนตนแกว
จ�านวนตนเขม
a
95
2
5=
ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไว
ใชการคณไขวและการแกสมการ
จาก a95=
25
จะได a = 25 × 95
= 38
นนคอลงค�าปลกตนแกวทงหมด38ตน
ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ
ถาลงค�าปลกตนเขม95ตนและปลกตนแกว38ตน
อตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนตนเขมตอจ�านวนตนแกว
เปน95:38หรอ5:2ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด
ดงนนลงค�าปลกตนแกวทงหมด38ตน ตอบ
ตวอยางท 9
¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇѧ จ�านวนไขไกตอจ�านวนไขเปดเปน5:3ถามจ�านวนไขไก30ฟองจะมจ�านวน
ไขเปดกฟอง
จากอตราสวนทก�าหนดใหสามารถน�ามาเขยนเปนสดสวนไดดงน
5:3=x:30 5:3=30:xเมอxแทนจ�านวนไขเปด เมอxแทนจ�านวนไขเปด
✘ ✔
จ�านวนทหนง(สงเดยวกน)
จ�านวนทสอง(สงเดยวกน)
=
14 15
โครงการเกษตรทฤษฎใหม1ตามแนวพระราชดารของพระบาทสมเดจพระเจาอยหวภมพล-
อดลยเดช บรมนาถบพตร (รชกาลท 9) จะจดสรรททากนใหเหมาะสม โดยแบงพนทในการ
ทานาตอพนทปลกพชสวนและพชไรตอพนทสรางบอกกเกบนาตอพนทสรางบานเรอนและถนน
เปน30:30:30:10ถาลงคาดาเนนตามโครงการนและใชพนทในการทานา540ตารางวา
จงหาวาลงคามจานวนทดนทงหมดกตารางวา
วธทา ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอจ�านวนทดนทงหมดของลงค�า
2) สงทโจทยก�าหนดคอพนทในการท�านาตอพนทปลกพชสวนและพชไร
ตอพนทสรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอนและถนนเปน
30:30:30:10และลงค�าใชพนทในการท�านา540ตารางวา
ขนท2 วางแผนแกปญหาโดยใชสดสวน
จากอตราสวนพนทในการท�านาตอพนทปลกพชสวนและพชไรตอพนท
สรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอนและถนนเทากบ30:30:30:10
จะไดอตราสวนพนทในการท�านาตอพนทปลกพชสวนและพชไรตอพนท
สรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอนและถนนตอพนททงหมด
เทากบ30:30:30:10:100
จากจ�านวนทโจทยถามและจ�านวนทโจทยก�าหนดจะไดวา
ใหลงค�ามทดนทงหมดaตารางวา
เมอลงค�าใชพนทในการท�านา540ตารางวา
น�าจ�านวนทโจทยถามตอจ�านวนทโจทยก�าหนดกบอตราสวนพนทใน
การท�านาตอพนททงหมดเขยนสดสวนโดยพนททงหมดเปนจ�านวนทหนง
และพนททใชในการท�านาเปนจ�านวนทสองของอตราสวนทงสองชดดงน
พนททงหมด
พนททใชในการท�านา
= 10030
a540
ตวอยางท 10 ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไว
ใชการคณไขวและการแกสมการ
จาก a540=
10030
จะได a = 10030 ×540
= 1,800
นนคอลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา
ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ
ถาลงค�ามพนททงหมด1,800ตารางวาแบงพนทเพอใชในการท�านา
เปนจ�านวน540ตารางวา
อตราสวนของพนททงหมดตอพนทในการท�านาเปน1,800:540
หรอ100:30ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด
ดงนนลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา ตอบ
1. พอวางแผนปลกตนลาไยและตนลนจในสวนโดยใหจานวนตนลาไยตอจานวนตนลนจ
เปน6:9เมอพอปลกเสรจปรากฏวามตนลนจจานวน72ตนจงหาวาพอปลกตนลาไย
จานวนกตน
2. รปสามเหลยมรปหนงมอตราสวนของดานทงสามเปน5:12:13ถาเสนรอบรปของ
รปสามเหลยมรปนยาวเทากบ90เซนตเมตรจงหาความยาวของดานทสนทสด
ลองท�าด
จากโครงการเกษตรทฤษฎใหม1ตามแนวพระราชด�ารของพระบาทสมเดจพระเจาอยหวภมพล-
อดลยเดชบรมนาถบพตร(รชกาลท9)ในตวอยางท10ถาลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา
นกเรยนคดวาลงค�าใชพนทสรางบอกกเกบน�ารวมกบพนทสรางบานเรอนและถนนทงหมดกตารางวา
Thinking Time
จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน ซงแสดงในตวอยางท 9 และ 10
เมอนกเรยนฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดในแตละขนตอนได
ดงตวอยางตอไปน
1 ทฤษฎใหม.สบคนเมอ18ตลาคม2560,จากhttp://www.chaipat.or.th/site_content/922-2010-06-02-07-43-39/1301- 2010-06-03-05-40-47.html
1 ทฤษฎใหม.สบคนเมอ18ตลาคม2560,จากhttp://www.chaipat.or.th/site_content/922-2010-06-02-07-43-39/1301-2010-06-03-05-40-47.html
16 17
นาแตงโมมสวนผสมของเนอแตงโม นาเชอม และนาเปลาตมสก โดยมอตราสวนของนาหนก
ดงนอตราสวนของเนอแตงโมตอนาเชอมเปน 10:3
อตราสวนของนาเชอมตอนาเปลาตมสกเปน1:10
อยากทราบวาถาใชนาเชอม45กรมจะไดนาแตงโมกกรม
วธทา อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมเปน 10:3
อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน 1:10
จะเหนวามน�าเชอมเปนตวรวมคอ1และ3ซงค.ร.น.ของ1และ3เทากบ3
จะได อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน1×3:10×3=3:30
ดงนน อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน10:3:30
จากอตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกจะไดน�าแตงโมทงหมด
10+3+30=43กรม
ถาใชน�าเชอม45กรมจะไดน�าแตงโมทงหมดaกรม
เขยนสดสวนไดดงน
a45 =
433
a = 433 ×45
= 645
ดงนนจะไดน�าแตงโม645กรม ตอบ
ตวอยางท 11
นาเสาวรสมสวนผสมของเนอเสาวรสนาเชอมและนาเปลาตมสกโดยมอตราสวนของนาหนก
ดงน อตราสวนของเนอเสาวรสตอนาเชอมเปน 3:7
อตราสวนของนาเชอมตอนาเปลาตมสกเปน2:5
อยากทราบวาถาใชนาเชอม42ถวยตวงจะไดนาเสาวรสทงหมดกถวยตวง
ลองท�าด
กาหนดใหมาตราสวนของแผนผงตอไปนเทากบ1:12,000
สถาน�ตำรวจโรงเรยน โรงพยาบาล
วด
บาน
อยากทราบวามนตราเดนทางจากบานไปสถานตารวจตามแนวเสนประในแผนผงทกาหนดให
เปนระยะทางประมาณกกโลเมตร(ตอบเปนคาประมาณใกลเคยงทศนยม 1 ตาแหนง)
วธทา มาตราสวน1:12,000เปนอตราสวนของระยะทางในแผนผงตอระยะทางจรง
หมายความวาถาระยะทางในแผนผงยาว1เซนตเมตรระยะทางจรงยาว12,000
เซนตเมตร
วดระยะทางในแผนผงจากบานถงสถานต�ารวจตามแนวเสนประยาวประมาณ12.3
เซนตเมตร
ใหระยะทางจรงจากบานถงสถานต�ารวจเทากบxเซนตเมตร อตราสวนของระยะทางในแผนผงตอระยะทางจรงเปน12.3:x
เขยนสดสวนไดดงน
12.3x = 1
12,000
x = 12.3×12,000
= 147,600เซนตเมตร
เนองจาก 100 เซนตเมตร เทากบ 1เมตร
จะได 147,600 เซนตเมตร เทากบ 147,600100 =1,476เมตร
เนองจาก 1,000 เมตร เทากบ1กโลเมตร
จะได 1,476 เมตร เทากบ 1,4761,000 =1.476กโลเมตร
ดงนนบานอยหางจากสถานต�ารวจประมาณ1.5กโลเมตร ตอบ
ตวอยางท 12
น�าแตงโมมสวนผสมของเนอแตงโมน�าเชอมและน�าเปลาตมสกโดยมอตราสวนของน�าหนกดงน
อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมเปน 6:3
อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน4:13
อยากทราบวาถาใชเนอแตงโม550กรมและน�าเชอม450กรมจะไดน�าแตงโมกกรม
Thinking Time
5.6ซม.
2ซม.
0.5ซม.3.4ซม.
0.8ซม.
18 19
แผนผงของโรงเรยนแหงหนงกาหนดมาตราสวน1:3,000ถาระยะทางทวดไดในแผนท
จากสนามฟตบอลไปอาคารAเทากบ10เซนตเมตรจงหาวาระยะทางจรงเทากบกเมตร
ลองท�าด
แบบฝกทกษะ 1.2ระดบ พนฐาน
ระดบ กลาง
1. จงหาคาตวแปรในสดสวนของแตละขอตอไปน
1) 7x=
2133
4) a2.5=
415
2) 67=30m
5) 4.8y =68
3) 12y =278
6) 4.54 = n28
2. บรษทแหงหนงมเครองจกรเครองหนงผลตอปกรณคอมพวเตอรได 190 ชน ในเวลา 2
ชวโมงอยากทราบวาถาบรษทแหงนตองการผลตอปกรณคอมพวเตอร2,500ชนโดยใช
เครองจกรนจะตองใชเวลากชวโมง
3. โรงเรยนแหงหนงเสยคาน�าประปาตอคาไฟฟาในเดอนมกราคม2560เปนอตราสวน2:7
ถาในเดอนมกราคมนโรงเรยนเสยคาไฟฟาเปนเงน 350,000 บาท จงหาวาโรงเรยนแหงน
เสยคาน�าประปาเปนเงนกบาท
4. กลองใบหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวตอความกวางเปน1:3:2ถากลองใบน
กวาง10เซนตเมตรกลองใบนมความจกลกบาศกเซนตเมตร
5. แผนผงของสถานททองเทยวแหงหนงก�าหนดมาตราสวน1ซม.:20ม.ถาระยะทางทวด
ไดในแผนผงจากอาคารAไปอาคารBเทากบ9เซนตเมตรจงหาระยะทางจรงทมหนวย
เปนกโลเมตร
6. อตราสวนอายของชตตออายของโชคเปน3 : 4อตราสวนอายของโชคตออายของชยเปน
4:5อยากทราบวาชตอายเทาไรเมอชยอาย35ป
7. ก�าหนดใหรปสามเหลยมFBIมอตราสวนของความยาวดานFB:BI:IFเปน7:5:3
จงหาวาดานBIยาวกเซนตเมตรถารปสามเหลยมนมความยาวรอบรป60เซนตเมตร
8. ก�าหนดใหรปสามเหลยมABCมอตราสวนของความยาวดานAB:BC:CAเปน2:7:6
ถารปสามเหลยมนมความยาวรอบรป75เซนตเมตรความยาวแตละดานเทากบเทาไร
9. รสาสรางแปลงปลกดอกไมเปนรปสามเหลยมโดยใหความยาวของดานทงสามเปนอตราสวน
ดงน ดานทหนงตอดานทสองเทากบ 4 : 5 และดานทสองตอดานทสามเทากบ 9 : 12
ถาความยาวรอบแปลงปลกดอกไมเทากบ60เซนตเมตรจงหาวาแตละดานของแปลงปลก
ดอกไมมความยาวเทากบกเซนตเมตร
ระดบ ทาทาย
10.ก�าหนดใหรปสเหลยมABCDมอตราสวนความยาวของดานดงนAB:BC=4:3,
BC:CD=2:3และCD:DA=3:1ถาดานCDยาว4.5เซนตเมตรอยากทราบวา
ความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมABCDนเทากบกเซนตเมตร
1.3 การนาความรเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละไปใชในชวตจรง
1. อตราสวนและรอยละ จงพจารณาแผนปายตอไปน
จากแผนปายสวนลดราคาสนคาทระบวา
ส�าหรบสมาชกรบสวนลด 15% หมายความวา
ราคาทประกาศขาย100บาทลดราคาให15บาท
หรอกลาววาสมาชกจายเงน85บาท
เขยนเปนอตราสวนไดดงน
อตราสวนของจ�านวนเงนทลดราคาตอราคาทประกาศขายเปน 15:100
และ อตราสวนของจ�านวนเงนทสมาชกจายตอราคาทประกาศขายเปน85:100
เรยกการเปรยบเทยบจ�านวนใดจ�านวนหนงกบ100วารอยละหรอเปอรเซนต
เชน 15:100หรอ 15100แทนดวยรอยละ15 หรอ15%
4.5:100หรอ 4.5100แทนดวยรอยละ4.5หรอ4.5%
นกเรยนสามารถเขยนรอยละaหรอa%ในรปอตราสวนไดเปนa:100หรอ a100
BOOK
ส�าหรบสมาชกรบสวนลด15%
20 21
การเขยนอตราสวนใดๆ ใหอยในรปรอยละจะใชความรเรองการหาอตราสวนทเทากน
โดยใชหลกการคณหรอหลกการหาร เพอท�าใหจ�านวนหลงของอตราสวนเปน 100 และจะได
จ�านวนแรกของอตราสวนเปนคาของรอยละทตองการเชน
7 :20 = 35 :100กลาวไดวา 7เปนรอยละ 35ของ20
3.4 :25 =13.6:100กลาวไดวา3.4 เปนรอยละ13.6ของ25
8 :200= 4 :100กลาวไดวา 8เปนรอยละ 4ของ200
จงเขยนอตราสวน9:20ใหอยในรปรอยละ
วธทา 9:20 =9×5:20× 5
=45:100
=45%หรอรอยละ45
ดงนน9:20เขยนใหอยในรปรอยละไดเปนรอยละ45 ตอบ
จงเขยนอตราสวน23ใหอยในรปรอยละ(ประมาณเปนทศนยมสองตาแหนง)
วธทา 23 =
2 ×1003 ×100
=200300
=200÷ 3300÷ 3
≈ 66.67100
=66.67%หรอรอยละ66.67
ดงนน23เขยนในรปรอยละไดประมาณรอยละ66.67 ตอบ
ตวอยางท 13
ตวอยางท 14
จงเขยนอตราสวน3:4ใหอยในรปรอยละ
จงเขยนอตราสวน87ใหอยในรปรอยละ(ประมาณเปนทศนยมสองตาแหนง)
ลองท�าด
ลองท�าด
จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน
1) 12% 2) 5 12 % 3) 5.75%
วธทา เนองจากรอยละเปนอตราสวนทมจ�านวนหลงเปน100จะไดวา
1) 12% = 12100หรอ
325
ดงนน12%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 12100หรอ325หรอ3:25
2) 5 12 % =112 %=112100 หรอ 11
200 ดงนน5 12%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 11200หรอ11:200
3) 5.75% =5.75100 =575
10,000 หรอ23400
ดงนน5.75%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 57510,000หรอ
23400หรอ23:400
ตอบ
จงหาวาจานวนใดเปนรอยละ19.5ของ300
วธทา ใหaเปนรอยละ19.5ของ300
เขยนเปนสมการไดดงน
a=19.5100 ×300
a=58.5
ดงนน58.5เปนรอยละ19.5ของ300 ตอบ
ตวอยางท 15
ตวอยางท 16
จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน
1) 15% 2) 3 34% 3) 2.25%
ลองท�าด
จงหาวาจานวนใดเปนรอยละ30ของ380
ลองท�าด
22 23
จงหาวา68เปนรอยละเทาใดของ204
วธทา ให68เปนรอยละaของ204
เขยนเปนสมการไดดงน
68= a100 ×204
เขยนสดสวนไดดงน
68204 =
a100
a =68 × 100204
a =3313
ดงนน68เปนรอยละ33 13ของ204 ตอบ
จงหาวา60เปนรอยละ25ของจานวนใด
วธทา ให60เปนรอยละ25ของa
เขยนเปนสมการไดดงน
60= 25100 ×a
เขยนสดสวนไดดงน
60a =25100
a =60 × 10025
a =240
ดงนน60เปนรอยละ25ของ240 ตอบ
ตวอยางท 17
ตวอยางท 18
จงหาวา32เปนรอยละเทาใดของ400
จงหาวา18เปนรอยละ30ของจานวนใด
ลองท�าด
ลองท�าด
แบบฝกทกษะ 1.3 กระดบ พนฐาน
ระดบ กลาง
1. จงเขยนอตราสวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปรอยละ
1) 7:25 2) 13:30 3) 28.5:40 4) 74
2. จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน
1) 0.075% 2) 42% 3) 150% 4) 1434%
3. จงหาวาจ�านวนใดเปนรอยละ54ของ120
4. จงหาวาจ�านวนใดเปนรอยละ28ของ600
5. จงหาวา16เปนรอยละเทาใดของ80
6. จงหาวา12.5เปนรอยละเทาใดของ500
7. จงหาวา23เปนรอยละ40ของจ�านวนใด
8. จงหาวา3015เปนรอยละ25ของจ�านวนใด
พลอยซอกลองดนสอกลองหนงราคา80บาทแลวนามาขายตอในราคา100บาทอยากทราบวา
พลอยขายกลองดนสอไดกาไรรอยละกบาท
วธทา ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอขายกลองดนสอไดก�าไรรอยละกบาท
2) สงทโจทยก�าหนดคอราคาทนของกลองดนสอเปนเงน80บาท
และขายกลองดนสอไปในราคา100บาท
ตวอยางท 19
2. การนาความรเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละไปใชในชวตจรง ในชวตจรงหรอชวตประจ�าวน นกเรยนจะพบสถานการณทเกยวของกบรอยละอยเสมอ
ซงนกเรยนสามารถแกปญหาเกยวกบรอยละไดโดยใชอตราสวนทเทากนหรอสดสวนดงตอไปน
โจทยปญหาเกยวกบการคานวณกาไรและขาดทน
24 25
อมพรขายเครองคดเลข80เครองเปนเงน28,600บาทไดกาไร10%จงหาวาเครองคดเลขน
มตนทนราคาเครองละกบาท
วธทา ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอราคาตนทนของเครองคดเลขแตละเครอง
2) สงทโจทยก�าหนดคอขายเครองคดเลข80เครองเปนเงน28,600บาท
และไดก�าไร10%
ขนท2 วางแผนแกปญหาโดยเขยนสดสวน
ใหเครองคดเลขมราคาตนทนเครองละaบาท
วธท1
ขายเครองคดเลข80เครองไดเงน28,600บาท
จะไดวาขายเครองคดเลขเครองละ28,60080 =357.50บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเครองคดเลขเปนa:357.50
เมอขายไดก�าไร10%
หมายความวาราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเครองคดเลขเปน
100:110
เขยนสดสวนไดดงน
ราคาตนทน(ตอเครอง)
ราคาขาย(ตอเครอง)
= 100110
a357.50
วธท2
ราคาตนทนทงหมดของเครองคดเลข80เครองเทากบ80aบาท
อตราสวนราคาตนทนทงหมดตอราคาขายทงหมดเปน80a:28,600
เมอขายไดก�าไร10%
หมายความวา ราคาตนทน100บาทไดก�าไร10บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเปน100:110
ตวอยางท 20 ขนท2 วางแผนแกปญหาโดยใชสดสวน
ใหขายกลองดนสอไดก�าไรรอยละaเมอขายไปราคา100บาท
อตราสวนก�าไรตอราคาทนเปนa:100
และเมอพลอยซอกลองดนสอราคา80บาท
จะไดวาถาขายกลองดนสอจะไดก�าไรเปนเงน100-80=20บาท
อตราสวนของก�าไรตอราคาทนเปน20:80
เขยนสดสวนไดดงน
ก�าไร
ราคาทน
= 2080
a100
ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไว
จาก a100 = 20
80
จะได a = 2080 ×100
a = 25
นนคอขายกลองดนสอไดก�าไรรอยละ25
ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ
ถาการขายครงนไดก�าไร25%
จะไดก�าไรคดเปนเงน 25100 ×80=20บาท
เงนจ�านวนนเทากบเงนก�าไรทค�านวณจาก100-80=20บาท
ตามทโจทยก�าหนด
ดงนนพลอยขายกลองดนสอไดก�าไรรอยละ25 ตอบ
นสารตนนาเงนมาลงทนขายลกชนปงจานวน 520 บาท เมอนสารตนขายลกชนปงหมดแลว
ไดรบเงนทงหมด910บาทอยากทราบวานสารตนขายลกชนปงไดกาไรรอยละเทาไร
ลองท�าด
26 27
เขยนสดสวนไดดงน
ราคาตนทนทงหมด
ราคาขายทงหมด
= 100110
80a28,600
ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไว
วธท1
จาก a357.50 = 100110
จะได a = 100×357.50110
a = 325
นนคอเครองคดเลขนมตนทนราคาเครองละ325บาท
วธท2
จาก 80a28,600 = 100110
จะได a = 100×28,600110×80
a = 325
นนคอเครองคดเลขนมตนทนราคาเครองละ325บาท
ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ
ถาราคาตนทนเครองละ325บาทและขายในราคาเครองละ357.50บาท
จะไดก�าไรเปนเงน357.50-325=32.50บาท
คดเปนก�าไรรอยละ32.50×100325 =10ตามทโจทยก�าหนด
ดงนนเครองคดเลขนมตนทนราคาเครองละ325บาท ตอบ
นธศขายรองเทาวงหนงคเปนเงน4,500บาทไดกาไร5%จงหาวานธศซอรองเทาวงมาคละ
กบาท
ลองท�าด
จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหารอยละซงแสดงในตวอยางท19และ20เมอนกเรยน
ฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดของแตละขนตอนได ดงตวอยาง
ตอไปน
รานคาขายโทรศพทเครองหนงราคา4,500บาทขาดทน10%ถาตองการขายใหไดกาไร10%
จะตองขายโทรศพทเครองนราคากบาท
วธทา ใหโทรศพทเครองนมราคาตนทนเครองละaบาท
ขายราคาเครองละ4,500บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายโทรศพทเปนa:4,500
แตขายขาดทน10%
หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทขาดทน10บาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายโทรศพทเปน100:90
จะได a4,500 =
10090
a = 100×4,50090
a = 5,000
นนคอโทรศพทเครองนมราคาตนทนเครองละ5,000บาท
ตองการขายใหไดก�าไร10%
หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายโทรศพทเปน100:110
ใหขายโทรศพทราคาเครองละyบาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายโทรศพทเปน5,000:y
จะได 5,000y = 100
110
y = 5,000×110100
y = 5,500
ดงนนจะตองขายโทรศพทราคาเครองละ5,500บาทจงจะไดก�าไร10% ตอบ
ตวอยางท 21
รานคาขายคอมพวเตอรเครองหนงราคา27,000บาทขาดทน20%ถาตองการขายใหไดกาไร
10%จะตองขายคอมพวเตอรเครองนราคากบาท
ลองท�าด
28 29
ตะวนซอเครองคดเลขเครองหนงไดสวนลด5%ของราคาทตดไวซงคดเปนเงนสวนลด
ทงหมด30บาทจงหาราคาทตดไว
ลองท�าด
โจทยปญหาเกยวกบการลดราคา
สภกษรซอโทรศพทเครองหนงไดสวนลด15%ของราคาทตดไวซงคดเปนเงนสวนลดทงหมด
750บาทจงหาราคาทตดไว
วธทา ใหตดราคาโทรศพทเปนเงนaบาท
ไดรบสวนลดทงหมด750บาท
อตราสวนของราคาทตดไวตอเงนสวนลดเปนa:750
ไดรบสวนลด15%ของราคาทตดไว
หมายความวา ตดราคาวทยไว100บาทจะไดรบสวนลด15บาท
อตราสวนของราคาทตดไวตอเงนสวนลดเปน100:15
จะได a750 =
10015
a = 100×75015
a = 5,000
นนคอตดราคาโทรศพทไว5,000บาท ตอบ
รานเพชรรตนตดราคาขายพดลมไว2,000บาทถาลดราคาใหผซอ5%รานเพชรรตนยงคง
ไดกาไร10%จงหาราคาตนทนของพดลม
วธทา ใหขายพดลมราคาaบาท
ตดราคาขายพดลมไว2,000บาท
อตราสวนของราคาขายตอราคาขายทตดไวของสนคานเปนa:2,000
ขายพดลมโดยลดราคา5%
หมายความวา ตดราคาขายพดลมไว100บาทจะขายพดลมไป95บาท
อตราสวนของราคาขายตอราคาทตดไวของพดลมเปน95:100
ตวอยางท 22
ตวอยางท 23
รานนาใสตดราคาขายเครองกรองนาเครองหนงไว3,000บาทถาลดราคาใหผซอ6%
รานนาใสยงคงไดกาไร20%จงหาราคาตนทนของเครองกรองนาน
ลองท�าด
โจทยปญหาเกยวกบการคานวณภาษมลคาเพม
รานสขใจยนตกาหนดราคาขายจกรยาน โดยคดจากราคาทตงไวบวกกบภาษมลคาเพม 7%
ของราคาทตงไวถาราคาทตงไวของจกรยานเทากบ2,400บาทรานจะตองกาหนดราคาขาย
จกรยานกบาท(ตอบเปนคาประมาณใกลเคยงจานวนเตมรอย)
วธทา ก�าหนดใหราคาขายจกรยานเทากบaบาท
ราคาทตงไวคอ2,400บาท
อตราสวนของราคาขายตอราคาทตงไวเปนa:2,400
เนองจากคดภาษมลคาเพม7%ของราคาทตงไว
หมายความวา ราคาทตงไว100บาทคดภาษมลคาเพม7บาท
อตราสวนของราคาขายตอราคาทตงไวเปน107:100
ตวอยางท 24
จะได a2,000 = 95
100
a = 95 ×2,000100
a = 1,900
นนคอขายพดลมราคา1,900บาท
ใหราคาตนทนของพดลมเทากบyบาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายเปนy:1,900
การขายสนคานไดก�าไร10%
หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายเปน100:110
จะได y1,900 =
100110
y = 100×1,900110
y ≈ 1,727.27
ดงนน ราคาตนทนของพดลมประมาณ1,727.27บาท ตอบ
30 31
จะได a2,400 =
107100
a = 107×2,400100
a = 2,568
≈ 2,600
ดงนนรานจะตองก�าหนดราคาขายจกรยานประมาณ2,600บาท ตอบ
รานยงยงสปอรตตดราคาขายเสอตวหนงไว550บาทแตราคาขายจรงจะตองบวกภาษ
มลคาเพม7%ของราคาทตดไวจงหาวารานยงยงสปอรตจะตองขายเสอตวนในราคากบาท
ลองท�าด
รานนานาภณฑซอกระเปาเดนทางมาในราคา 2,000 บาท และตองการขายกระเปาเดนทางน
ใหไดกาไร10%รานจงกาหนดราคาขายโดยคดภาษมลคาเพมอก7%ของราคาทขายไดกาไร
10%จงหาวารานจะตองกาหนดราคาขายกระเปาเดนทางนกบาทจงจะไดกาไรตามทตองการ
วธทา ใหราคาทยงไมรวมภาษมลคาเพมเปนxบาทและกระเปาเดนทางมราคาทน 2,000บาทตองการขายใหไดก�าไร10%ของราคาทน
จะได x2,000 =
110100
x = 110×2,000100
x = 2,200 นนคอราคาทยงไมรวมภาษเทากบ2,200บาท
ใหราคาขายทรวมภาษแลวเปนyบาทเมอคดภาษมลคาเพมอก7%
จะได y2,200 =
107100
y = 107×2,200100
y= 2,354
ดงนน ถาตองการก�าไร10%รานจะตองก�าหนดราคาขายกระเปาเดนทางน
เทากบ2,354บาท ตอบ
ตวอยางท 25
รานขายเครองใชไฟฟาซอเครองทานาอนมาในราคา3,000บาทและตองการขายเครองทา
นาอนนใหไดกาไร 8% รานคาจงกาหนดราคาขายโดยคดภาษมลคาเพมอก 7% ของราคา
ทขายไดกาไร 8% จงหาวารานขายเครองใชไฟฟาจะตองกาหนดราคาขายเครองทานาอนน
กบาทจงจะไดกาไรตามทตองการ
ลองท�าด
เมอฝากเงนไวกบธนาคารธนาคารจะใหดอกเบยโดยก�าหนดอตราดอกเบยเปนรอยละตอปแตอาจ
ก�าหนดวาระทครบก�าหนด เปน 3, 6, 12 เดอนหรอมากกวา การคดดอกเบยทถกตองจะตองคดปละ
365วน (ทงนไมวาปปฏทนทฝากนนจะม365หรอ366วนกตาม)ในกรณฝากเงนเปนเวลา3หรอ
6เดอนใหใชจ�านวนวนใน3เดอนหรอ6เดอนมาค�านวณเชน
การคดดอกเบยของเงนฝาก4,000บาทในระยะเวลา3เดอน(91วน)อตราดอกเบยรอยละ0.90
ตอปค�านวณดอกเบยไดดงน
ดอกเบยทไดรบเปนเงน4,000บาท× 91วน× 0.90365วน× 100
≈8.98บาท
ทมา:การค�านวณดอกเบยเงนฝากประจ�า3เดอนโดยไมหกภาษดอกเบยของธนาคารไทยพาณชย ณวนท30กนยายน2560
¤³Ôµน‹ารÙ
1. รานคาซอโทรศพทมอถอมาในราคาเครองละ3,000บาทและตดราคาขายโทรศพท
มอถอเครองละ 6,000 บาท แตเนองจากยอดจ�าหนายโทรศพทมอถอไมดรานคาแหงน
จงประกาศลดราคาโทรศพทมอถอเหลอ4,800บาทและลดราคาอกครงเหลอ3,840บาท
แตยงขายโทรศพทมอถอไมได จงลดราคาอกครงโดยการลดราคาครงนมรอยละของราคา
ทลดเทากบรอยละของการลดราคาสองครงทผานมาอยากทราบวาการลดราคาครงนจะยงคง
ไดก�าไรหรอขาดทนหรอเทาทน
2. สทน ด�ารงค และอภสทธ ไดฝากเงนกบคณครไวจ�านวนหนง โดยอตราสวน
จ�านวนเงนของสทนตอด�ารงคตออภสทธเปน7:5:3ตอมาสทนไดขอเงนคนจากคณคร
19บาทด�ารงคไดฝากเงนเพม39บาทและอภสทธไดฝากเงนเพม9บาทท�าใหอตราสวน
ของจ�านวนเงนสทนตอด�ารงคตออภสทธเปน9:13:6จงหาวาในตอนแรกสทนด�ารงค
และอภสทธฝากเงนกบคณครรวมกนเปนจ�านวนเงนกบาท
ค�าถามทาทายการคดขนสง
32 33
กจกรรม คณตศาสตร แบบฝกทกษะ 1.3 ขระดบ พนฐาน
ระดบ กลาง
1. หางสรรพสนคาประกาศลดราคาสนคาทกชนด15%ถาวนยไดรบสวนลดเมอซอพดลม
คดเปนเงน450บาทจงหาวาหางสรรพสนคาแหงนตดราคาขายพดลมเครองนกบาท
2. ในพ.ศ.2559บรษทผลตชนสวนของรถยนตไดรบผลก�าไรนอยกวาพ.ศ.2560อย12%
ถาใน พ.ศ. 2560 ไดรบผลก�าไร 23,000,000 บาท จงหาวา พ.ศ. 2559 บรษทแหงน
ไดรบผลก�าไรกบาท
3. แมคาซอไขไกมารอยละ 210 บาท ขายไขไกหมดไปฟองละ 3 บาท แมคาจะไดก�าไร
กเปอรเซนต
10. รานขายนาฬกาตดราคาขายนาฬกาเรอนหนงเปนเงน1,926บาทซงราคาทตดนเปนราคา
ทรวมกบภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคานาฬกาเมอออมซอนาฬกาเรอนนในราคา
ทตดไวเงนจ�านวนนคดเปนราคานาฬกากบาท และเปนภาษมลคาเพมกบาท ถาตนทน
การผลตนาฬกาเรอนนเปนเงน1,406.25บาทรานขายนาฬกาจะไดก�าไรกเปอรเซนต
4. พอคาตดราคาขายตเยนหลงหนงเปนเงน7,800บาทโดยคดก�าไร30%ถาพอคาลดราคา
ตเยนหลงนให10%ของราคาทตดไวจงหาวาพอคาจะยงคงไดก�าไรกเปอรเซนต
5. สนสามน�าเกลอ 10% โดยน�าหนก จ�านวน 3,000 กรม ถาสนสาตองการน�าเกลอ 6%
จะตองเตมน�าอกกกรมจงจะไดน�าเกลอตามทตองการ
6. รานหนงสอตดราคาหนงสอต�ารากบขาวไวสงกวาตนทน20%แตถาลดราคาขายลง35บาท
รานคาจะไดก�าไรเพยง10%จงหาวาราคาตนทนของหนงสอต�ารากบขาวนเทากบกบาท
7. แมคาตดราคาทเรยนไวสงกวาตนทน25%แตตอมาลดใหผซอ120บาทซงขาดทน5%
ถาแมคาตองการก�าไร10%จะตองขายทเรยนกบาท
8. ตนทนโทรศพทมอถอราคาเครองละ6,000บาทรานคาจะตองตดราคาขายโทรศพทมอถอ
เครองนในราคาเครองละกบาทเมอลดใหผซอ20%แลวยงคงไดก�าไร30%
9. ในการตดราคาขายเครองคดเลขเครองหนงราคาทตดไวจะเปนราคาทไดจากราคา
เครองคดเลขทตงไวรวมกบภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคาเครองคดเลขทตงไว
ถาตงราคาไว450บาทรานคาจะตองตดราคาขายสนคานกบาท
ระดบ ทาทาย
ใหนกเรยนแกโจทยปญหาโดยใชบารโมเดล (Bar model)
ตวอยาง รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายตเยนไว 18,900บาทถาลดราคาใหผซอ 10%
รานขายเครองใชไฟฟายงคงไดก�าไร5%อยากทราบวาราคาตนทนของตเยนนเทากบกบาท
จากภาพท1จะไดวา
100หนวย เทากบ 18,900บาท
1หนวย เทากบ18,900100 =189บาท
ดงนนราคาขายตเยนหลงลดราคาใหผซอ10%คอ
90หนวย เทากบ189×90=17,010บาท
จากภาพท2จะไดวา
105หนวย เทากบ17,010บาท
1หนวย เทากบ17,010105 =162บาท
ดงนนราคาตนทนของตเยนนคอ
100หนวย เทากบ162×100=16,200บาท
ค�าถาม
รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายเครองซกผาเครองหนงไว33,900บาทผานมา2ป
ยงขายเครองซกผาไมได จงประกาศลดราคาขาย15% เมอขายไดแลวพบวา รานขายเครองใช
ไฟฟาขาดทน5%จงหาวาราคาตนทนของเครองซกผานเทากบกบาท
ราคาขายตเยนหลงลดราคา
ราคาขายตเยนหลงลดราคา
18,900บาท
ราคาตนทน
ลด10%
90%
105%
100%
100%
0%
0%
ภาพท1
ภาพท2
ก�าหนดให
แทน100หนวย
ขอตกลง
0% 100%
34 35การแกโจทยปญหาเกยวกบการค�านวณก�าไรและขาดทน
สรปแนวคดหลก
อตราสวน
อตราสวนaตอbเขยนแทนดวยa:bหรอabอานวาaตอb
เรยกจ�านวนaในอตราสวนa:bวาจ�านวนแรกหรอจ�านวนทหนง
เรยกจ�านวนbในอตราสวนa:bวาจ�านวนหลงหรอจ�านวนทสอง
อตราสวนทเทากน
การหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหโดยใชหลกการคณหรอหลกการหารดงน
ก�าหนดอตราสวนa:bและcเปนจ�านวนใดๆ ทไมเทากบศนยแลวจะไดวา
a:b=ab=a×cb×c และa:b=
ab=
a÷cb÷c
การตรวจสอบการเทากนของอตราสวน
ก�าหนดอตราสวนabและcdเมอa,b,cและdเปนจ�านวนบวกสามารถตรวจสอบโดยใช
การคณไขวดงน
ab cd
พจารณาผลคณa×dและc×bวาเทากนหรอไมดงน
1. ถาa×d=c×b แลวab=cd
2. ถาa× d ≠c×b แลวab ≠ cd
อตราสวนของจานวนหลายๆ จานวน
เมอมอตราสวนสองอตราสวนใดๆ แสดงการเปรยบเทยบปรมาณของทมากกวาสองชนด
ขนไปหรอเปรยบเทยบจ�านวนหลายจ�านวนสามารถเขยนอตราสวนของจ�านวนหลายๆ จ�านวน
จากอตราสวนทงสองไดดงน
1. พจารณาจ�านวนทเปนตวรวมในอตราสวนทละค
2. ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ1.เทากนเขยนอตราสวนของจ�านวนหลายๆ จ�านวนได
ทนท
3. ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ1.ไมเทากนตองท�าตวรวมนนใหเทากนโดยใชหลกการคณ
หรอหลกการหารหรอค.ร.น.
อตราสวนทอง(goldenratio)1
ประมาณ2,000ปทผานมาสถาปนกและศลปนไดคนพบรปสเหลยมผนผาซงมคณสมบต
คอ หากแบงรปสเหลยมผนผาออกเปน 2 สวน โดยทสวนแรกเปนรปสเหลยมจตรสและสวน
ทสองเปนรปสเหลยมผนผา จะพบวา รปสเหลยมผนผาสวนทสองมอตราสวนระหวางความยาว
ตอความกวาง เทากบอตราสวนระหวางความยาวตอความกวางของรปสเหลยมผนผาเดม เปน
1.618033:1(1.618033เปนคาประมาณ)เรยกอตราสวนดงกลาววาอตราสวนทองและเรยก
รปสเหลยมผนผาทมอตราสวนระหวางความยาวตอความกวางเปนอตราสวนทองวา รปสเหลยม
ผนผาทองรปสเหลยมผนผาทองนยมน�าไปใชในการออกแบบตางๆ ดงตวอยางตอไปน
นอกจากน นกคณตศาสตรยงไดตงขอสงเกตวา สดสวนของรางกายมนษยใกลเคยงกบ
อตราสวนทองอกดวยเชน
1. ความยาวของนวชหารดวยความยาวจากปลายนวชถงขอทสองของนวช
2. ความยาวจากไหลถงปลายนวมอหารดวยความยาวจากขอศอกถงปลายนวมอ
3. ความสงตงแตศรษะถงพนหารดวยความสงจากสะดอถงพน
4. ความยาวจากสะโพกถงพนหารดวยความยาวจากหวเขาถงพน
นกเรยนคดวาขอสงเกตดงกลาวขางตนเปนจรงหรอไมและใหยกตวอยางสงของเครองใช
ในชวตประจาวนทใกลเคยงกบอตราสวนทองมา3อยางพรอมทงอธบายคาตอบ
คณตศาสตรในชวตจรง
1 ความมหศจรรยของเลขฟโบนกชตอนท2:1.618สดสวนมหศจรรยแหงธรรมชาต.สบคนเมอ18ตลาคม2560, จากhttp://www.scimath.org/article_mathematics/item/7583-2-1-618
การออกแบบสถาปตยกรรมประตมากรรมเชนวหารพารเธนอนในกรงเอเธนสประเทศกรซ
36 37
สดสวน
ประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวนเรยกวาสดสวน
การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน
การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนโดยใชแนวคดของโพลยาม4ขนตอนดงน
ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถาม
2) สงทโจทยก�าหนด
ขนท2 วางแผนแกปญหา
น�าจ�านวนทโจทยก�าหนดและจ�านวนทโจทยถามเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดยให
จ�านวนในแตละอตราสวนมล�าดบเดยวกนดงน
จ�านวนทหนง(สงเดยวกน)
จ�านวนทสอง(สงเดยวกน)
=
ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไวเพอหาคาตวแปร
โดยใชความรเรองสดสวนและการแกสมการ
ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ
อตราสวนและรอยละ
การเปรยบเทยบจ�านวนใดจ�านวนหนงกบ100เรยกวารอยละหรอเปอรเซนต
นกเรยนสามารถเขยนรอยละaหรอa%ในรปอตราสวนไดเปนa:100หรอ a100
การนาความรเกยวกบอตราสวนสดสวนและรอยละไปใชในชวตจรง
นกเรยนสามารถแกปญหาเกยวกบรอยละในชวตจรงหรอชวตประจ�าวนได โดยใชอตราสวน
ทเทากนหรอใชสดสวน
แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1
1. จงแสดงใหเหนวาอตราสวนทก�าหนดใหในแตละขอตอไปนเปนอตราสวนทเทากนหรอไม
1) 12:13และ6:7
3) 16:17และ8:3
2) 15:17และ45:51
4) 19:20และ58:60
2. จงเขยนอตราสวนซงเทากบอตราสวน36:64มาอก5อตราสวน
3. ก�าหนดx:y=7:3และy:z=18:36จงเขยนอตราสวนของx:y:z
4. จงหาวาจ�านวนใดเปนรอยละ37ของ250
5. จงหาวา64เปนรอยละเทาใดของ160
6. จงหาวา75เปนรอยละ15ของจ�านวนใด
7. ถาp-58 =74แลวคาของp+2เทากบเทาใด
8. ฟารมแหงหนงเลยงสตวไว3ชนดคอเปดไกและววเปนอตราสวนดงนจ�านวนเปดตอ
จ�านวนไกเปน 7 : 8 และจ�านวนววตอจ�านวนไกเปน 5 : 6 ถาฟารมแหงนเลยงสตว
ทงสามชนด4,745ตวจงหาวาฟารมแหงนเลยงเปดมากกวาววกตว
9. รปสเหลยมคางหมรปหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวของดานคขนานสองดาน
เปน2:3:5ถารปสเหลยมคางหมรปนมความสง10เซนตเมตรพนทของ
รปสเหลยมคางหมรปนเทากบกตารางเซนตเมตร
10. แทงไมทรงสเหลยมมมฉากอนหนง มอตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 3 : 2
และอตราสวนของความกวางตอความสงเปน3:5ถาปรมาตรของแทงไมนเทากบ4,320
ลกบาศกเซนตเมตรจงหาความกวางความยาวและความสงของแทงไมน
11. พอคาตดราคาโทรทศนไว8,500บาทถาพอคาลดราคาใหผซอเงนสด10%แลวยงคงได
ก�าไร20%พอคาซอโทรทศนเครองนมาราคากบาท
12. รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายตเยนเปนเงน5,564บาทซงราคาทตดไวรวมกบภาษ
มลคาเพม7%ของราคาตเยนจงหาวา
1) ผซอจะตองจายเปนคาภาษมลคาเพมกบาท
2) ถาตนทนของตเยนเปนเงน4,000บาทรานขายเครองใชไฟฟาจะไดก�าไรกเปอรเซนต
38 39