Sα-Connectivity For Fractional DifferenceCaputo’s Type Systems ?

Blanca L. Hernández-Galván ∗ Jesús Rogelio Pulido Luna ∗∗

Nohé R. Cázarez-Castro ∗∗ Jorge A. López-Renteŕıa ∗∗∗

Guillermo Fernández-Anaya ∗

∗Departamento de F́ısica y Matemáticas, Universidad Iberoamericana,CDMX, México, 01219 (emails: blanleth@gmail.com;

guillermo.fernandez@ibero.mx)∗∗Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica y Electrónica, TecNM /

Instituto Tecnológico de Tijuana, Tijuana, México, 22414 (emails:jesus.pulido19@tectijuana.edu.mx, nohe@ieee.org).

∗∗∗Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica y Electrónica, CONACyT -TecNM / Instituto Tecnológico de Tijuana, Tijuana, México, 22414

(email: jorge.lopez@tectijuana.edu.mx).

Abstract: The aim of this work is to give a method to connect a set of polynomials havingall of their roots inside the stability zone for fractional difference systems with the fractionaldiscrete operator of Caputo. Due to the complexity of the stability zone, it is necessary to useits explicit description to build a polynomial family with zeros belonging the described zone.Such a construction of the polynomial family will be based on the connection of their zeros.Moreover, the applicability is shown with the design of a robust stabilizing controller, whichis illustrated by stabilizing the fractional discrete Duffing’s oscillator.

Keywords: Fractional Systems, Systems with time delays, Linear systems, Robust control(linear case), Polynomial methods, Linear parameter-varying systems, Robust time-delaysystems.

1. INTRODUCTION

El estudio de los sistemas de orden fraccional en sistemasdinámicos se ha convertido en tema de gran interéspara los cient́ıficos en las últimas décadas debido a lagran cantidad de aplicaciones en ingenieŕıa y cienciasen general, convirtiéndolo en un tópico muy producivoen contribuciones e investigación (ver A.A. Kilbas andH.M. Srivastava and J.J. Trujillo (2006); R. Caponettoand G. Dongola and L. Fortuna and I. Petras (2010),por ejemplo). El más grande interés de los trabajos delos sistemas fraccionales radica en la gran aproximacióny exactitud de los modelos matemáticos que representana los fenómenos en cuestión.

Actualmente, se puede consultar bastante literaturabásica relacionada con el cálculo fraccional y su apli-cación a ciencias e ingenieŕıa, por ejemplo, en F. Mainardi(1997); I. Podlubny (1999); I. Petráš (2011); ShantanuDas (2011). A su vez, en Christopher Goodrich and AllanC. Peterson (2015) podemos consultar información básicarelacionada con diferencias fraccionales y aplicaciones.

? This research was supported by CONACyT under project numberA1-S-32341. Pulido Luna is supported by CONACyT with a MScfellow support. Hernández Galván was supported by CONACyTwith a PhD fellow support.

Existen diferentes tipos de derivadas fraccionales y dentrode las más usuales por su naturaleza son la derivadafraccional de Caputo, la de Riemann-Liouville y la deGrünwald-Letnikov. Similarmente, y análogo al caso deorden entero, existen las diferencias fraccionales de Ca-puto, de Riemann-Liouville y la Grünwald-Letnikov.

A pesar de la gran cantidad de contribuciones, tanto enecuaciones en derivada de orden fraccional (EDOF, casocontinuo) como en ecuaciones en diferencias fraccionales(EDF, caso discreto), existe mucha más información einvestigación en el caso continuo que el discreto. Algunasaportaciones importantes en el caso discreto, que estudianla estabilidad de sistemas EDF, las podemos cosultar enBus lOwicz and Kaczorek (2009); Bus lowicz, M (2010);Rafal Stanislawski and Krzysztof J. Latawiec (2013a,b);Cermak et al. (2015).

En adición, parte del análisis cualitativo para sistemasEDOF se realiza por medio del espectro de su partelinealizada, estudiando la ecuación caracteŕıstica, la cualresulta ser un polinomio de orden no entero, tambiénllamados pseudo-polinomios (ver en Farges et al. (2010);D. Matignon (1996, 1998); MOZ (2005)). En ese sen-tido, la investigación acerca de la estabilidad de sistemasdinámicos fraccionales se dirige en el estudio de la lo-calización de ceros de pseudo-polinomios (ver Tan et al.(2009); B. Senol and C. Yeroglu (2012); López-Renteŕıa

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and Fernández-Anaya (2016); J.A. López-Renteŕıa andB. Aguirre-Hernández and G. Fernández-Anaya (2019)).Sin embargo, la ecuación caracteŕıstica de sistemas EDFresulta ser un cuasi-polinomio, el cual se puede expre-sar como un polinomio de orden superior al del sistemaen cuestión (Bus lowicz, M (2010)). En este caso, enBus lOwicz and Kaczorek (2009); Bus lowicz, M (2010);Cermak et al. (2015) se describe el conjunto de estabilidada partir de la ecuación caracteŕıstica.

Espećıficamente, en J.A. López-Renteŕıa and B. Aguirre-Hernández and F. Verduzco (2017) se trabaja con conec-tividad de polinomios de orden entero para los dos casos,continuo y discreto. Tal conección es monoparamétrica yse realiza por medio de una función P : [a, b] × Pn ×Pn → Pn, dada por (µ, p0(λ), p1(λ)) 7→ P (µ, λ), donde[a, b] ⊂ R y Pn es el conjunto de polinomios de grado n,tal que P (a, λ) = p0(λ) y P (b, λ) = p1(λ). La función Pse utiliza para diseñar controladores estabilizantes parasistemas dinámicos lineales. Esa es la importancia deconectar las ecuaciones caracteŕısticas y obtener una fa-milia de funciones caracteŕısticas estables, en el sentidoah́ı descrito.

En el presente trabajo se abordará el problema de conec-tar monoparamétricamente un par de polinomios con lacaracteŕıstica de poseer todos sus ceros dentro del con-junto de estabilidad para sistemas EDF, con la definiciónde Caputo, y obtener una familia con las mismas carac-teŕısticas para todo valor del parámetro en un intervalo.

El resto de este trabajo está organizado como sigue: En lasección 3, se darán algunas nociones básicas del operadorde diferencias fraccional de Caputo aplicado a sistemas,aśı como la descripción del conjunto de estabilidad. En lasección 4, se establece la conección polinomial mediante elcriterio que describe la región de estabilidad. En la sección5, se usa tal conección polinomial para el diseño de contro-ladores estabilizantes para sistemas EDF. Finalmente, enla sección 6, se desarrolla un ejemplo ilustrativo en el cualse implementa el controlador y se verifica gráficamente laestabilidad.

2. NOMENCLATURA

N Conjunto de números naturalesNα Conjunto de números α-naturalesR Conjunto de números realesRn Conjunto de n-adas realesC Conjunto de números complejosD Disco unitario abierto (Schur estabilidad)Dα Interior de pA(z) = det

(z(1− z−1)αI −A

)Sα Conjunto

{z ∈ C : |z| < $α y | arg z| > απ2

}∆ Operador de diferencias∆α Operador de diferencias fraccional αΓ Función gamma de Eulerσ(A) Conjunto de valores propios de la matriz Adet(A) Determinante de la matriz A

Una función f : C→ C se dice ser Schur estable si todossus ceros están contenidos en D. La función f se diceser Dα-estable ó α-Schur estable si todos sus ceros estáncontenidos en Dα; mientras que f se dice ser Sα-establesi todos los ceros de f están contenidos en Sα.

3. SISTEMAS EN DIFERENCIAS FRACCIONAL

3.1 Diferencia fraccional de Caputo

Sea Nα = {α, α+ 1, α+ 2, . . .}, con α ∈ R, y sea x :N0 → Rn. Se define la α-ésima diferencia fraccional de xcomo

∆−αxk =1

Γ(α)

k−α∑j=0

(k − j + 1)(α−1)xj , α ∈ R+, k ∈ Nα,

donde el śımbolo (s)(r) es la función potencia fraccionaldefinida como

(s)(r) =Γ(s+ 1)

Γ(s− r + 1),

para todo r, s ∈ R, y Γ es la función gama de Euler. Aśı,se define la diferencia fraccional de Caputo de x de orden0 < α < 1 como

∆αxk = ∆−(1−α)(∆xk), k ∈ N1−α, (1)

donde ∆xk = xk+1 − xk. Utilizando la identidad(αj

)=

Γ(α+ 1)

Γ(j + 1)Γ(α− j + 1), α ∈ R, j ∈ N0,

entonces (1) se puede escribir como

∆αxk+1−α =

k+1∑j=0

(−1)k+1−j(

αk + 1− j

)xj

−(−1)k+1(α− 1k + 1

)x0, (2)

con k ∈ N0.

La siguiente representación la puede encontrar en Cermaket al. (2015).

Lemma 1. (Cermak et al. (2015)). El sistema discreto frac-cional

∆αxk+1−α =Axk, k ∈ N, (3)es asintóticamente estable si, y solo si, el sistema discreto

xk+1 = Axk +k∑j=0

ck−jxj + g(k), k ∈ N, (4)

es asintóticamente estable, con cr(α) = (−1)r(

αr + 1

)y

g(k) = (−1)k+1(α− 1k + 1

)x0,

donde x0 es la condición inicial del sistema.

Aplicando la transformada de Z en el sistema (4), la serieconvergente resultante arroja el siguiente resultado.

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Theorem 2. (Cermak et al. (2015)). El sistema discreto-fraccional (4) bajo la condición inicial x0 = 0, para0 < α < 1, es asintóticamente estable si los ceros dela función det(λI − A) están contenidos en D, dondeλ = z(1− z−1)α.

Es importante observar que λ es solución de det [λI −A] =0 si y solo si z es cero de det

(z(1− z−1)αI −A

)= 0.

Un alternativo criterio de estabilidad para (3), el cualse puede encontrar en Cermak et al. (2015), recae en elsiguiente conjunto:

Sα ={z ∈ C : |z| < $α y | arg z| > απ

2

}, (5)

con $α =[2 cos

(| arg z|−π

2−α

)]α.

Para una matriz A ∈ Rn×n sea σ(A) el espectro o con-junto de valores propios de A. Considérese también eloperador ‖·‖ una norma apropiada en Rn. Aśı, el siguienteresultado se asegura.

Theorem 3. (Cermak et al. (2015)). El sistema (3) bajola condición inicial x0 = 0 es asintóticamente estable siσ(A) ⊂ Sα. En este caso, las soluciones de (3) tienden acero algebráicamente (no exponencialmente), es decir

‖xk‖ = O(k−α), cuando k →∞,para cualquier solución xk de (3).

Por otro lado, Dα el interior de la región encerrada porla función λ = z(1− z−1)α. Observe que el sistema (3) esestable si, y solo si, la ecuación caracteŕıstica det([z(1 −z−1)α]I −A) tiene todos sus ceros en Dα. Este resultadonos permite utilizar ambos conjuntos para establecer unacaracterización de estabilidad más amplia de los sistemasEDF.

Theorem 4. (Cermak et al. (2015)). Se asegura la igual-dad Dα = Sα para 0 < α < 1.

En este sentido, z es cero de det(z(1− z−1)αI −A

)= 0

si, y solo si, z está en Sα.

En la figura 1 se observa cómo la función compleja λ =λ(z) mapea a D en Dα = Sα.

4. CONECTIVIDAD DE Sα

El objetivo principal de esta sección es exhibir la conec-tividad de Sα, a través de la construcción de una funciónmonoparamétrica totalmente contenida en Sα, la cual unea cualesquier par de polinomios α-Schur estables.

El primer paso es conectar las partes principales de lo queserá la curva mediante el criterio que brinda el conjuntoSα. El siguiente resultado nos provee de lo requerido.

Fig. 1. Gráfica de los mapeos de las regiones de estabilidadpara α = 0.6. Ilustración tomada de Rafal Stanis-lawski and Krzysztof J. Latawiec (2013a).

Theorem 5. Sean z1 = r1eiθ1 y z2 = r2e

iθ2 un par denúmeros complejos tales que |θj | > απ2 y rj < $, paraj = 1, 2, donde

$ = max

{[2 cos

(θ1 − π2− α

)]α,

[2 cos

(θ2 − π2− α

)]α},

entonces,

(i) |Θ(µ)| = |µθ2 + (1− µ)θ1| > απ2 ,(ii) R(µ) = µr2 + (1− µ)r1 < $,para toda µ ∈ [0, 1] y α ∈ (0, 1).

Proof. Para (i), se tiene que el intervalo abierto Θα =(απ2 , α

3π2 ) es un conjunto convexo en R. Mientras que

para (ii), si $ domina a r1 y a r2, entonces domina alsegmento de recta que los une.

Observación 1. Observe que si z1 y z2 son números reales,entonces |Θ(µ)| = π > απ2 , para toda µ ∈ [0, 1], conα ∈ (0, 1). Además, |z1 − z2| < $ = 2α.

Además, con el objetivo de exhibir la Sα-estabilidad entérminos de las conecciones (i) y (ii), vamos a establecerel siguiente resultado.

Lemma 6. Sean z1 = r1eiθ1 y z2 = r2e

iθ2 númeroscomplejos tales que |θj | > απ2 y rj < $, para j = 1, 2.Entonces,

z (µ) = R(µ)eiΘ(µ) ∈ Sα,para toda µ ∈ [0, 1] y α ∈ (0, 1).

Proof. Se sigue del hecho que R(µ) y Θ(µ) satisfacen elteorema 5.

Esta serie de consecuencias inmediatas nos permite es-tablecer un resultado más fuerte que envuelve a unafamilia sintética de polinomios, la cual se construyeconectando los radios y los argumentos.

Theorem 7. Sean zj = rjeiθj y wj = ρje

iφj númeroscomplejos en Sα, j = 1, . . . , n. Considere las funciones

Θj(µ) = µφj + (1− µ)θj ,Rj(µ) = µρj + (1− µ)rj

y

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$j = max

{[2 cos

(θj − π2− α

)]α,

[2 cos

(φj − π2− α

)]α},

con µ ∈ [0, 1]. Suponga que rj , ρj < $j , j = 1, 2, . . . , n,for all µ ∈ [0, 1]. Entonces, la familia

f(λ, µ) =n∏j=1

[λ−Rj(µ)eiΘj(µ)]

es Sα-estable para toda µ ∈ [0, 1], α ∈ (0, 1).

Proof. Se sigue del teorema 5 y el lema 6.

5. APLICABILIDAD

Consideremos el sistema de control EDF

∆αxk+1−α = Axk +Buk, (6)

con A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m y u ∈ Rm. La idea esutilizar las mismas técnicas de J.A. López-Renteŕıa and B.Aguirre-Hernández and F. Verduzco (2017), aplicadas apolinomios de sistemas EDF. Aśı que, vamos a considerara la pareja (A,B) de la forma

A =

0 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1an an−1 · · · a1

, B =

10...0

.Aśı, consideremos un controlador monoparamétrico de laforma uk = −GT (µ)xk, conGT (µ) = (gn(µ), . . . , g1(µ))T−aT , donde aT = (an, . . . , a1)

T es el vector de dirección deG. Por tanto, el sistema en lazo cerrado se escribe como

∆αxk+1−α =

0 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

−gn(µ) −gn−1(µ) · · · −g1(µ)

xk=A(µ)xk, (7)

cuyo polinomio caracteŕıstico es la familia

f(λ, µ) = λn + g1(µ)λn−1 + · · ·+ gn(µ). (8)

Utilizando la diferencia fraccional de Caputo de laecuación (2), es posible escribir el sistema de control (7)como

xk+1 = A(µ)xk +k−1∑j=0

Aj(α)xk−j , (9)

con Aj(α) = cj(α)I, donde I ∈ Rn×n es la matrizidentidad. El sistema (9) es un sistema de ecuacionesen diferencias con multi-retardos y, por tanto, el análisisdebe ser tratado en forma especial. Debido a que loscoeficientes cj(α) tienden a cero cuando j → ∞ a partirde un momento J ∈ N, ésta es una cota para j y se lellamará la longitud de implementación práctica. Aśı que,es conveniente reescribir el sistema (9) como T. Kaczorek(2008)

xk+1 = A(µ)xk +N∑j=0

Aj(α)xk−j , (10)

con N = min {k − 1, J}.Con toda la discusión anterior es posible establecer elsiguiente resultado, el cual viene a ser el más importantede este trabajo.

Theorem 8. El sistema discreto con multi-retardo (10),con 0 < α < 1, es asintóticamente estable para todaµ ∈ [0, 1].

Proof. Si consideramos la función f(λ, µ) del teorema 7,entonces el sistema (9) tiene todos sus valores propios enSα. Por tanto, por el lema 1 y el teorema 3, el sistema(7) es asintóticamente estable para toda µ ∈ [0, 1], con0 < α < 1.

6. ESTABILIZANDO EL OSCILADOR DE DUFFING

El objetivo de esta sección es verificar el funcionamientodel controlador diseñado en la sección 5. Para eso, con-sideremos el oscilador de Duffin discreto-fraccional, dadopor el sistema

∆αxk+1−α = yk (11)

∆αyk+1−α =−βxk − δyk − γx3k + ukdonde β, δ y γ son números reales, y uk = (g2(µ), g1(µ))Xkes un controlador lineal escalar, Xk = (xk, yk)

T . El sis-tema si control admite tres puntos de equilibrio si βγ < 0y solo un punto de equilibrio si βγ ≥ 0 (ver Cermaket al. (2015)). Sin embargo, el origen siempre es punto deequilibrio y, dado que la idea es mostrar que el controladordiseñado funciona, se estabilizará el sistema alrededor delcero sin importar su tipo de estabilidad.

Suponga que queremos estabilizar desde los valores z1 =−1, z2 = − 12 hasta w1 = −

710 y w2 = −

13 . Si tomamos

α = 12 , entonces zj , wj ∈ S12 y $1,2 =

√2 > |zj |, |wj |,

j = 1, 2. Ahora, Θj(µ) = π para toda µ ∈ [0, 1], j = 1, 2.Además,

R1(µ) =−7

10µ− (1− µ),

R2(µ) =−1

3µ− 1

2(1− µ),

por lo que la familia

f(λ, µ) = λ2 − [R1(µ) +R2(µ)]λ+R1(µ)R2(µ)tiene sus ráıces en S 12 para toda µ ∈ [0, 1]. Definamos elvector

GT (µ) = (g1(µ)− β, g2(µ)− δ),= (−[R1(µ) +R2(µ)]− β,R1(µ)R2(µ)− δ),

para construir el controlador uk(µ) = −GT (µ)Xk. En-tonces, el sistema discreto fraccional de Duffing (11) enlazo cerrado, con implementación práctica N = 3, seescribe como

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Xk+1 =

[0 1

−g2(µ) −g1(µ)

]Xk −

[0γx3k

](12)

+3∑j=0

Aj(1

2)Xk−j , (13)

donde A0(12 ) =

12I, A1(

12 ) =

18I, A2(

12 ) =

116I, A3(

12 ) =

15384I. Finalmente, se conlcuye que el oscilador de Duffingdiscreto fraccional (11), equivalente al sistema discreto(12), es asintóticamente estable para toda µ ∈ [0, 1].

Fig. 2. Fase en los planos k − xk y k − yx, con diagramade Nyquist para µ = 0.

En las figuras 2 y 3 se muestra la estabilidad para losvalores en los extremos µ = 0 y µ = 1, mientras que en lafigura 4 se muestra la estabilidad para el valor intermediode µ = 0.5.

Observación 2. Recordemos que la estabilización se real-iza en una vecindad del origen, si cambiamos de puntode equilibrio, el sistema lineal podŕıa cambiar, por lo quetambién cambiaŕıa el vector de dirección del controlador.

7. CONCLUSIONES

Se mostró que a pesar de tener una zona de estabilidad noconvexa, es posible conectar a un par de polinomios contodos sus ceros dentro de tal zona mediante un criterioexpĺıcito para obtener Sα-estabilidad, para cualquier 0 <α < 1. Se aprovechó tal conección de polinomios paradiseñar un controlador monoparamétrico robustamenteestabilizante, cuya utilidad se pudo corroborar mediantela estabilización del sistema discreto fraccional de Duffing.

ACKNOWLEDGEMENTS

López-Renteŕıa Thanks to CONACyT for its receivedsupport as Chair Proffessor No. 366.

Fig. 3. Fase en los planos k − xk y k − yx, con diagramade Nyquist para µ = 1.

Fig. 4. Fase en los planos k − xk y k − yx, con diagramade Nyquist para µ = 0.5.

REFERENCES

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