S1a Inec de 1er Grado_con_una_variable

8/18/2019 S1a Inec de 1er Grado_con_una_variable

1/14

Tema: Inecuaciones de

primer grado con una

variable.


2/14

Inecuaciones de primer grado con una variable

Definición [Intervalo]. Sea un subconjunto de ℝ ( ℝ ). Decimos que es un intervalo,

si y sólo si es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre otros

dos llamados extremos (que pueden ser reales o ideales).

Tipos de Intervalos

Intervalos acotados. Son Son aquellos intervalos cuyos extremos son reales, éstos pueden

ser:

Intervalo cerrado. Es aquel que incluye a los extremos. Se denota por ; -, es decir

; = * ∈ ℝ ≤ ≤

Gráficamente se representa por

+∞ −∞

Intervalo abierto. Es aquel que no incluye a los extremos. Se denota por ; , es decir

; = * ∈ ℝ < <

Gráficamente se representa por

+∞

−∞


3/14


Tipos de Intervalos (continuación)

Intervalo semiabierto por la derecha. Es aquel que no incluye al extremo derecho del

intervalo, pero sí al izquierdo

; = * ∈ ℝ ≤ <

Gráficamente se representa por:

+∞

−∞

Intervalo semiabierto por la izquierda. Es aquel que no incluye al extremo izquierdo del

intervalo, pero sí al derecho

; = * ∈ ℝ < ≤

Gráficamente se representa por:

+∞ −∞


4/14


Tipos de Intervalos (continuación)

Intervalos no acotados. Son aquellos intervalos donde uno de los extremos son de la forma

infinita por la derecha +∞ o por la izquierda. −∞ .


5/14


Definición [Desigualdad]. Una desigualdad es un enunciado que establece que un número

es menor o mayor que otro.

Propiedades de una desigualdad

Sea , y números reales, entonces:

(a) Si < , entonces ± < ± .

(b) Si < y > 0, entonces × < × .

(c) Si < y < 0, entonces × > × .

Ejemplo.

Si a la desigualdad 2 < 5 le adicionamos 3, entonces se tendrá que 5 < 8.

Si a la desigualdad−1 < 1

le restamos 4, entonces se tendrá que−5 < −3

.

Si a la desigualdad −2 < 3 lo multiplicamos por 5, entonces se tendrá que −10 < 15.

Si a la desigualdad −4 < 2 lo multiplicamos por −3, entonces 12 > −6.


6/14


Definición [Inecuación lineal]. Sean , constantes reales tal que ≠ 0 y una variable

real, llamaremos inecuación lineal a toda expresión que puede adoptar alguna de las

siguientes formas:

+ < 0

+ > 0

+ ≤ 0

+ ≥ 0

Ejemplo.

3 + 2 > 0 es una inecuación lineal.

− > 0 no es una inecuación lineal.

La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la

recta numérica.


7/14


Ejercicios diversos

Ejercicio.

Dados los Intervalos: = −∞; 0 , = −3; 5 y = 3; +∞

Determine: ∪ − ( ∩ )


8/14


Ejercicio.

En el cuadro mostrado hay dos columnas, usted debe elegir convenientemente una de lasexpresiones matemáticas contenidas en la primera columna y completar los enunciados

presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas.


9/14


Ejercicio.

En el cuadro mostrado hay dos columnas, usted debe elegir convenientemente una de lasexpresiones matemáticas contenidas en la primera columna y completar los enunciados

presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas.

Columna Proposiciones

I. −2; 19

II. - − 1; 17-

III. −1; 19

IV. 19; −1

a) [1p] Si es un número real que cumple −3 < ≤ 7,

entonces el intervalo al que pertenece 2 + 5 , es

________


10/14


Ejercicio

Determine el conjunto solución de: − 1

2 +

− 2

3 +

− 3

4 ≥ 120

Resolución

− 1

2

+ − 2

3

+ − 3

4

≥ 120

MCM(2; 3; 4) = 12

6 − 1 + 4 − 2 + 3 − 3 ≥ 120 12

6 − 6 + 4 − 8 + 3 − 9 ≥ 1 440

13 − 21 ≥ 1 440 13 ≥ 1 461

≥1 461

13

Respuesta: C.S.=1 461

13 ; +∞


11/14


12/14


Ejercicio

Determine el conjunto solución de:2

3 + 5 ≤ 8 −3

4 ≤ 7 +4

5

Resolución

2

3 + 5 ≤ 8 −

3

4 ≤ 7 +

4

5

MCM(3; 4; 5) = 60

602

3 + 5 ≤ 60 8 −

3

4 ≤ 60 7 +

4

5

40 + 300 ≤ 480 − 45 ≤ 420 + 48

Primera separación

40 + 300 ≤ 480 − 45

40 + 45 ≤ 480 − 300

85 ≤ 180

≤36

17

→ = −∞;

36

17

Segunda separación

480 − 45 ≤ 420 + 48

480 − 420 ≤ 45 + 48

60 ≤ 93

20

31 ≤ → =

20

31; +∞

Obteniendo el conjunto solución

C. S. = ∩ =20

31;36

17


13/14


Ejercicio [Aplicación: ingreso, costo y utilidad]

Una compañía vende cada Ipod que produce a $60. Si el costo de cada Ipod es de $20 y laempresa tiene costos fijos de $1 000.

a) Modele las expresiones que representan al Costo, el Ingreso y la Utilidad al vender y

producir Ipod.

b) Exprese la inecuación que se obtiene al vender y producir unidades, si se quiere

obtener utilidades no menores a $2 800.

Resolución

Parte a) Ingreso: = 60

Costo: = 20 + 1 000

Utilidad: = 40 − 1 000

Parte b) ≥ 2 800

40 − 1 000 ≥ 2 800

Frase: “obtener utilidades no menores a $2 800”


14/14


Ejercicio 5 [Aplicación: ingreso, costo y utilidad]

Un fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce a $45 cada artículo.En la fabricación de cada unidad gasta $38 y tiene costos fijos adicionales de $4900

mensuales en la operación de la planta. Plantee, resuelva y responda:

a) ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe producir y vender para obtener

utilidad?

b) ¿Cuál es el número de unidades que debe producir y vender para obtener utilidades

de al menos $700?Resolución

Parte a) Ingreso: = 45

Costo: = 38 + 4 900

Utilidad: = 7 − 4 900

Parte b)

≥ 700

7 − 4 900 ≥ 700

Frase: “obtener utilidades de al

menos $700”

Frase: “obtener utilidad”

> 0

7 − 4 900 > 0

7 > 4 900

> 700

Rpta: debe producir y vender comomínimo 701 artículos

7 ≥ 5 600

≥ 800

Rpta: debe producir y vender por lo

menos 800 artículos.

S1a Inec de 1er Grado_con_una_variable

Documents

Transcript of S1a Inec de 1er Grado_con_una_variable