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Aula 18, Cálculo Vetorial e Tensorial
PROF. ROLDÃO DA ROCHA
1UFABC
27 Maio 2020
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Métrica: coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I Vetores coordenados:
~e1 =∂r∂u1
~e2 =∂r∂u2
~e3 =∂r∂u3
I Matriz
gij =
g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33
=
~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3
I ou equivalentemente, gij = ~ei · ~ej , onde i, j = 1, 2, 3.
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Métrica: coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I Vetores coordenados:
~e1 =∂r∂u1
~e2 =∂r∂u2
~e3 =∂r∂u3
I Matriz
gij =
g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33
=
~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3
I ou equivalentemente, gij = ~ei · ~ej , onde i, j = 1, 2, 3.
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Métrica: coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)
I Vetores coordenados:
~e1 =∂r∂u1
~e2 =∂r∂u2
~e3 =∂r∂u3
I Matriz
gij =
g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33
=
~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3
I ou equivalentemente, gij = ~ei · ~ej , onde i, j = 1, 2, 3.
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I r = x ı+ y + zk . Vetores coordenados:
~e1 =∂r∂u1
=∂r∂x
= ı
~e2 =∂r∂u2
=∂r∂y
=
~e3 =∂r∂u3
=∂r∂z
= k
I
gij =
~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3
=
1 0 00 1 00 0 1
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I r = x ı+ y + zk . Vetores coordenados:
~e1 =∂r∂u1
=∂r∂x
= ı
~e2 =∂r∂u2
=∂r∂y
=
~e3 =∂r∂u3
=∂r∂z
= k
I
gij =
~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3
=
1 0 00 1 00 0 1
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I Vetor posição: r = x ı+ y + zk .I Diferencial do vetor posição: r = x ı+ y + zkI
dr =∂r∂x
dx +∂r∂y
dy +∂r∂z
dz
= dx ı+ dy + dzk .
I Elemento de linha (ao quadrado):
ds2 = dr · dr = (dx ı+ dy + dzk) · (dx ı+ dy + dzk)
= dx2 + dy2 + dz2 = (dx , dy , dz)
1 0 00 1 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
dxdydz
I Métrica carrega o produto escalar.
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I Vetor posição: r = x ı+ y + zk .I Diferencial do vetor posição: r = x ı+ y + zkI
dr =∂r∂x
dx +∂r∂y
dy +∂r∂z
dz
= dx ı+ dy + dzk .
I Elemento de linha (ao quadrado):
ds2 = dr · dr = (dx ı+ dy + dzk) · (dx ı+ dy + dzk)
= dx2 + dy2 + dz2 = (dx , dy , dz)
1 0 00 1 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
dxdydz
I Métrica carrega o produto escalar.
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Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I Vetor posição: r = x ı+ y + zk .I Diferencial do vetor posição: r = x ı+ y + zkI
dr =∂r∂x
dx +∂r∂y
dy +∂r∂z
dz
= dx ı+ dy + dzk .
I Elemento de linha (ao quadrado):
ds2 = dr · dr = (dx ı+ dy + dzk) · (dx ı+ dy + dzk)
= dx2 + dy2 + dz2 = (dx , dy , dz)
1 0 00 1 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
dxdydz
I Métrica carrega o produto escalar.
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Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I Vetor posição: r = x ı+ y + zk .I Diferencial do vetor posição: r = x ı+ y + zkI
dr =∂r∂x
dx +∂r∂y
dy +∂r∂z
dz
= dx ı+ dy + dzk .
I Elemento de linha (ao quadrado):
ds2 = dr · dr = (dx ı+ dy + dzk) · (dx ı+ dy + dzk)
= dx2 + dy2 + dz2 = (dx , dy , dz)
1 0 00 1 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
dxdydz
I Métrica carrega o produto escalar.
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Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I Vetor posição: r = x ı+ y + zk .I Diferencial do vetor posição: r = x ı+ y + zkI
dr =∂r∂x
dx +∂r∂y
dy +∂r∂z
dz
= dx ı+ dy + dzk .
I Elemento de linha (ao quadrado):
ds2 = dr · dr = (dx ı+ dy + dzk) · (dx ı+ dy + dzk)
= dx2 + dy2 + dz2 = (dx , dy , dz)
1 0 00 1 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
dxdydz
I Métrica carrega o produto escalar.
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Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I Dado um vetor v = vx ı+ vy + vz k , sua norma é dada por
‖v‖2 = v2x + v2
y + v2z
= (vx , vy , vz)
1 0 00 1 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
vxvyvz
.
I Vetor posição: r = x ı+ y + zk , sua norma é dada por
‖r‖2 = x2 + y2 + z2
= (x , y , z)
1 0 00 1 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
xyz
.
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Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I Dado um vetor v = vx ı+ vy + vz k , sua norma é dada por
‖v‖2 = v2x + v2
y + v2z
= (vx , vy , vz)
1 0 00 1 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
vxvyvz
.
I Vetor posição: r = x ı+ y + zk , sua norma é dada por
‖r‖2 = x2 + y2 + z2
= (x , y , z)
1 0 00 1 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
xyz
.
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I Métrica
gij =
g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33
=
1 0 00 1 00 0 1
.
I Ao denominarmos x1 = x , x2 = y , x3 = z, podemos escrever
‖r‖2 =
∑3i=1
∑3j=1︷︸︸︷
3∑i,j=1
gij x i x j
= g11x1x1 + g12x1x2 + g13x1x3 + · · ·+ g33x3x3
= g11x1x1 + g22x2x2 + g33x3x3
= (x1)2 + (x2)2 + (x3)2
= x2 + y2 + z2.
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I Métrica
gij =
g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33
=
1 0 00 1 00 0 1
.
I Ao denominarmos x1 = x , x2 = y , x3 = z, podemos escrever
‖r‖2 =
∑3i=1
∑3j=1︷︸︸︷
3∑i,j=1
gij x i x j
= g11x1x1 + g12x1x2 + g13x1x3 + · · ·+ g33x3x3
= g11x1x1 + g22x2x2 + g33x3x3
= (x1)2 + (x2)2 + (x3)2
= x2 + y2 + z2.
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Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)
I Similarmente, podemos escrever
ds2 = dr · dr = ‖dr‖2 =
∑3i=1
∑3j=1︷︸︸︷
3∑i,j=1
gij dx i dx j
= g11dx1dx1 + g12dx1dx2 + g13dx1dx3 + · · ·+ g33dx3dx3
= g11dx1dx1 + g22dx2dx2 + g33dx3dx3
= dx2 + dy2 + dz2.
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cilíndricas (u1 = ρ, u2 = θ, u3 = z)
I Coordenadas cilíndricas r = ρ cos θı+ ρ sin θ+ zk . Vetores coordenados:
I
~e1 = ~eρ =∂r∂ρ
= cos θı+ sin θ = ρ
~e2 = ~eθ =∂r∂θ
= −ρ sin θı+ ρ cos θ = ρθ
~e3 =∂r∂z
= k .
I Portanto
gij =
~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3
=
1 0 00 ρ2 00 0 1
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cilíndricas (u1 = ρ, u2 = θ, u3 = z)
I Coordenadas cilíndricas r = ρ cos θı+ ρ sin θ+ zk . Vetores coordenados:
I
~e1 = ~eρ =∂r∂ρ
= cos θı+ sin θ = ρ
~e2 = ~eθ =∂r∂θ
= −ρ sin θı+ ρ cos θ = ρθ
~e3 =∂r∂z
= k .
I Portanto
gij =
~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3
=
1 0 00 ρ2 00 0 1
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cilíndricas (u1 = ρ, u2 = θ, u3 = z)
I
dr = dρ
ρ︷︸︸︷eρ +ρdθ
θ︷︸︸︷eθ +dz
k︷︸︸︷ez
= dρρ+ ρdθθ + dzk .
I Elemento de linha (ao quadrado):
ds2 = dr · dr = (dρρ+ ρdθθ + dzk) · (dρρ+ ρdθθ + dzk)
= dρ2 + ρ2dθ2 + dz2 (SI)
= (dρ, dθ, dz)
1 0 00 ρ2 00 0 1
dρdθdz
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cilíndricas (u1 = ρ, u2 = θ, u3 = z)
I
dr = dρ
ρ︷︸︸︷eρ +ρdθ
θ︷︸︸︷eθ +dz
k︷︸︸︷ez
= dρρ+ ρdθθ + dzk .
I Elemento de linha (ao quadrado):
ds2 = dr · dr = (dρρ+ ρdθθ + dzk) · (dρρ+ ρdθθ + dzk)
= dρ2 + ρ2dθ2 + dz2 (SI)
= (dρ, dθ, dz)
1 0 00 ρ2 00 0 1
dρdθdz
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cilíndricas (u1 = ρ, u2 = θ, u3 = z)
I
dr = dρ
ρ︷︸︸︷eρ +ρdθ
θ︷︸︸︷eθ +dz
k︷︸︸︷ez
= dρρ+ ρdθθ + dzk .
I Elemento de linha (ao quadrado):
ds2 = dr · dr = (dρρ+ ρdθθ + dzk) · (dρρ+ ρdθθ + dzk)
= dρ2 + ρ2dθ2 + dz2 (SI)
= (dρ, dθ, dz)
1 0 00 ρ2 00 0 1
dρdθdz
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cilíndricas (u1 = ρ, u2 = θ, u3 = z)
I Dado um vetor v = vρρ+ vθ θ + vz k , sua norma é dada porI
‖v‖2 = (vρ, vθ, vz)
1 0 00 ρ2 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
vρvθvz
= (vρ, vθ, vz)
vρρ2vθvz
= v2
ρ + ρ2v2θ + v2
z .
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cilíndricas (u1 = ρ, u2 = θ, u3 = z)
I Dado um vetor v = vρρ+ vθ θ + vz k , sua norma é dada porI
‖v‖2 = (vρ, vθ, vz)
1 0 00 ρ2 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
vρvθvz
= (vρ, vθ, vz)
vρρ2vθvz
= v2
ρ + ρ2v2θ + v2
z .
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas cilíndricas (u1 = ρ, u2 = θ, u3 = z)
I Dado um vetor v = vρρ+ vθ θ + vz k , sua norma é dada porI
‖v‖2 = (vρ, vθ, vz)
1 0 00 ρ2 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
gij
vρvθvz
= (vρ, vθ, vz)
vρρ2vθvz
= v2
ρ + ρ2v2θ + v2
z .
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Métrica
gij =
g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33
=
1 0 00 ρ2 00 0 1
.
I Ao denominarmos x1 = ρ, x2 = θ, x3 = z, podemos escreverv = vρρ+ vθ θ + vz k , e
‖v‖2 =
∑3i=1
∑3j=1︷︸︸︷
3∑i,j=1
gij v i v j
= g11v1v1 + g12v1v2 + g13v1v3 + · · ·+ g33v3v3
= g11v1v1 + g22v2v2 + g33v3v3
= v2ρ + ρ2v2
θ + v2z .
![Page 26: professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha/wordpress/wp-content/uploads… · PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC Tensores I Procuramos generalizar a ideia de escalares](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050502/5f948a41be94e0027f3d51f0/html5/thumbnails/26.jpg)
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I Métrica
gij =
g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33
=
1 0 00 ρ2 00 0 1
.
I Ao denominarmos x1 = ρ, x2 = θ, x3 = z, podemos escreverv = vρρ+ vθ θ + vz k , e
‖v‖2 =
∑3i=1
∑3j=1︷︸︸︷
3∑i,j=1
gij v i v j
= g11v1v1 + g12v1v2 + g13v1v3 + · · ·+ g33v3v3
= g11v1v1 + g22v2v2 + g33v3v3
= v2ρ + ρ2v2
θ + v2z .
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Coordenadas esféricas (u1 = r , u2 = θ, u3 = φ)
I Vetores coordenados:
~e1 = ~er =∂r∂r
= sin θ cosφı+ sin θ sinφ+ cos θk = r
~e2 = ~eθ =∂r∂θ
= r cos θ cosφı+ r cos θ sinφ− r sin θk
~e3 = ~eφ =∂r∂φ
= −r sin θ sinφı+ r sin θ cosφ.
I Fatores de escala:
hr = h1 = ‖~e1‖ = 1
hθ = h2 = ‖~e2‖ = r
hφ = h3 = ‖~e3‖ = r sin θ.
I Portanto
gij =
~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3
=
1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ
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Coordenadas esféricas (u1 = r , u2 = θ, u3 = φ)
I Vetores coordenados:
~e1 = ~er =∂r∂r
= sin θ cosφı+ sin θ sinφ+ cos θk = r
~e2 = ~eθ =∂r∂θ
= r cos θ cosφı+ r cos θ sinφ− r sin θk
~e3 = ~eφ =∂r∂φ
= −r sin θ sinφı+ r sin θ cosφ.
I Fatores de escala:
hr = h1 = ‖~e1‖ = 1
hθ = h2 = ‖~e2‖ = r
hφ = h3 = ‖~e3‖ = r sin θ.
I Portanto
gij =
~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3
=
1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ
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Coordenadas esféricas (u1 = r , u2 = θ, u3 = φ)
I Diferencial do vetor posição:
dr = dr
r︷︸︸︷er +rdθ
θ︷︸︸︷eθ +r sin θdφ
φ︷︸︸︷eφ
= dr r + rdθθ + r sin θdφφ.
I Elemento de linha (ao quadrado):
ds2 = dr · dr = (dr r + rdθθ + r sin θdφ φ) · (dr r + rdθθ + r sin θdφ φ)
= dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2, análogo do teorema de Pitágoras,
= (dr , dθ, dφ)
1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ
drdθdφ
︸ ︷︷ ︸
drr2dθ
r2 sin2 θdφ
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Coordenadas esféricas (u1 = r , u2 = θ, u3 = φ)
I Diferencial do vetor posição:
dr = dr
r︷︸︸︷er +rdθ
θ︷︸︸︷eθ +r sin θdφ
φ︷︸︸︷eφ
= dr r + rdθθ + r sin θdφφ.
I Elemento de linha (ao quadrado):
ds2 = dr · dr = (dr r + rdθθ + r sin θdφ φ) · (dr r + rdθθ + r sin θdφ φ)
= dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2, análogo do teorema de Pitágoras,
= (dr , dθ, dφ)
1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ
drdθdφ
︸ ︷︷ ︸
drr2dθ
r2 sin2 θdφ
![Page 31: professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha/wordpress/wp-content/uploads… · PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC Tensores I Procuramos generalizar a ideia de escalares](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050502/5f948a41be94e0027f3d51f0/html5/thumbnails/31.jpg)
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Coordenadas esféricas (u1 = r , u2 = θ, u3 = φ)
I Diferencial do vetor posição:
dr = dr
r︷︸︸︷er +rdθ
θ︷︸︸︷eθ +r sin θdφ
φ︷︸︸︷eφ
= dr r + rdθθ + r sin θdφφ.
I Elemento de linha (ao quadrado):
ds2 = dr · dr = (dr r + rdθθ + r sin θdφ φ) · (dr r + rdθθ + r sin θdφ φ)
= dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2, análogo do teorema de Pitágoras,
= (dr , dθ, dφ)
1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ
drdθdφ
︸ ︷︷ ︸
drr2dθ
r2 sin2 θdφ
![Page 32: professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha/wordpress/wp-content/uploads… · PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC Tensores I Procuramos generalizar a ideia de escalares](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050502/5f948a41be94e0027f3d51f0/html5/thumbnails/32.jpg)
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas esféricas (u1 = r , u2 = θ, u3 = φ)
I Dado um vetor v = vr r + vθ θ + vφφ, sua norma é dada porI
‖v‖2 = (vr , vθ, vφ)
1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ
︸ ︷︷ ︸
gij
vrvθvφ
= (vr , vθ, vφ)
vrr2 vθ
r2 sin2 θ vφ
= v2
r + r2v2θ + r2 sin2 θv2
φ.
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Coordenadas esféricas (u1 = r , u2 = θ, u3 = φ)
I Dado um vetor v = vr r + vθ θ + vφφ, sua norma é dada porI
‖v‖2 = (vr , vθ, vφ)
1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ
︸ ︷︷ ︸
gij
vrvθvφ
= (vr , vθ, vφ)
vrr2 vθ
r2 sin2 θ vφ
= v2
r + r2v2θ + r2 sin2 θv2
φ.
![Page 34: professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha/wordpress/wp-content/uploads… · PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC Tensores I Procuramos generalizar a ideia de escalares](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050502/5f948a41be94e0027f3d51f0/html5/thumbnails/34.jpg)
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Coordenadas esféricas (u1 = r , u2 = θ, u3 = φ)
I Dado um vetor v = vr r + vθ θ + vφφ, sua norma é dada porI
‖v‖2 = (vr , vθ, vφ)
1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ
︸ ︷︷ ︸
gij
vrvθvφ
= (vr , vθ, vφ)
vrr2 vθ
r2 sin2 θ vφ
= v2
r + r2v2θ + r2 sin2 θv2
φ.
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Tensores
I Procuramos generalizar a ideia de escalares e vetores e matrizes, introduzindoesse novo conceito que chamamos de tensores.
I Lembramos que:I Escalar: definido por um número (ou função, em caso de um campo escalar). É
especificado, portanto, por uma única componente.I Vetor (v =
∑ni=1 v i ei ) lista de números, cujo número de componentes v i é igual
à dimensão do espaço, n. Segmento de reta orientado.I Matriz: componentes aij . Número de componentes (entradas): n2.
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Tensores
I Procuramos generalizar a ideia de escalares e vetores e matrizes, introduzindoesse novo conceito que chamamos de tensores.
I Lembramos que:I Escalar: definido por um número (ou função, em caso de um campo escalar). É
especificado, portanto, por uma única componente.I Vetor (v =
∑ni=1 v i ei ) lista de números, cujo número de componentes v i é igual
à dimensão do espaço, n. Segmento de reta orientado.I Matriz: componentes aij . Número de componentes (entradas): n2.
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Tensores
I Procuramos generalizar a ideia de escalares e vetores e matrizes, introduzindoesse novo conceito que chamamos de tensores.
I Lembramos que:I Escalar: definido por um número (ou função, em caso de um campo escalar). É
especificado, portanto, por uma única componente.I Vetor (v =
∑ni=1 v i ei ) lista de números, cujo número de componentes v i é igual
à dimensão do espaço, n. Segmento de reta orientado.I Matriz: componentes aij . Número de componentes (entradas): n2.
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Tensores
I Procuramos generalizar a ideia de escalares e vetores e matrizes, introduzindoesse novo conceito que chamamos de tensores.
I Lembramos que:I Escalar: definido por um número (ou função, em caso de um campo escalar). É
especificado, portanto, por uma única componente.I Vetor (v =
∑ni=1 v i ei ) lista de números, cujo número de componentes v i é igual
à dimensão do espaço, n. Segmento de reta orientado.I Matriz: componentes aij . Número de componentes (entradas): n2.
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Tensores
I Procuramos generalizar a ideia de escalares e vetores e matrizes, introduzindoesse novo conceito que chamamos de tensores.
I Lembramos que:I Escalar: definido por um número (ou função, em caso de um campo escalar). É
especificado, portanto, por uma única componente.I Vetor (v =
∑ni=1 v i ei ) lista de números, cujo número de componentes v i é igual
à dimensão do espaço, n. Segmento de reta orientado.I Matriz: componentes aij . Número de componentes (entradas): n2.
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Tensores
I
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Tensores
I
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Tensores
I
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Tensores
I Rotação ativa (coordenadas)
x ′ = x cos θ + y sin θ
y ′ = −x sin θ + y cos θ
I Rotação passiva (componentes dos vetores).Dado o vetor v = vx ı+ vy = v ′x ı′ + v ′y ′.
v ′x = vx cos θ − vy sin θ
v ′y = vx sin θ + vy cos θ
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Tensores
I Rotação ativa (coordenadas)
x ′ = x cos θ + y sin θ
y ′ = −x sin θ + y cos θ
I Rotação passiva (componentes dos vetores).Dado o vetor v = vx ı+ vy = v ′x ı′ + v ′y ′.
v ′x = vx cos θ − vy sin θ
v ′y = vx sin θ + vy cos θ
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Tensores
I O comprimento de um vetor é invariante sob rotações (sejam elas no vetor ouno sistema de coordenadas), porém suas componentes são modificadas nesseprocesso.
I
v ′x = vx cos θ − vy sin θ
v ′y = vx sin θ + vy cos θ
I Cálculo da norma de v:
‖v‖2 = v ′2x + v ′2y
= (vx cos θ − vy sin θ)2 + (vx sin θ + vy cos θ)2
= v2x cos2 θ
�����
��:−2vx vy sin θ cos θ + v2
y sin2 θ
+v2x sin2 θ
������
�:+2vx vy sin θ cos θ + v2
y cos2 θ
= v2x + v2
y
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Tensores
I O comprimento de um vetor é invariante sob rotações (sejam elas no vetor ouno sistema de coordenadas), porém suas componentes são modificadas nesseprocesso.
I
v ′x = vx cos θ − vy sin θ
v ′y = vx sin θ + vy cos θ
I Cálculo da norma de v:
‖v‖2 = v ′2x + v ′2y
= (vx cos θ − vy sin θ)2 + (vx sin θ + vy cos θ)2
= v2x cos2 θ
�����
��:−2vx vy sin θ cos θ + v2
y sin2 θ
+v2x sin2 θ
������
�:+2vx vy sin θ cos θ + v2
y cos2 θ
= v2x + v2
y
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Tensores
I Delta de Kronecker. Para i, j = 1, 2, . . . , n
δij =
{0, se i 6= j,1, se i = j.
I Como estamos trabalhando com o espaço R3, então consideramos n = 3.I Delta de Kronecker
δij =
δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33
=
1 0 00 1 00 0 1
.
I Calcule3∑
i,j=1
δij x i x j .
![Page 48: professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha/wordpress/wp-content/uploads… · PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC Tensores I Procuramos generalizar a ideia de escalares](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050502/5f948a41be94e0027f3d51f0/html5/thumbnails/48.jpg)
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Tensores
I Delta de Kronecker. Para i, j = 1, 2, . . . , n
δij =
{0, se i 6= j,1, se i = j.
I Como estamos trabalhando com o espaço R3, então consideramos n = 3.I Delta de Kronecker
δij =
δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33
=
1 0 00 1 00 0 1
.
I Calcule3∑
i,j=1
δij x i x j .
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Tensores
I Delta de Kronecker. Para i, j = 1, 2, . . . , n
δij =
{0, se i 6= j,1, se i = j.
I Como estamos trabalhando com o espaço R3, então consideramos n = 3.I Delta de Kronecker
δij =
δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33
=
1 0 00 1 00 0 1
.
I Calcule3∑
i,j=1
δij x i x j .
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PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Tensores
I Delta de Kronecker. Para i, j = 1, 2, . . . , n
δij =
{0, se i 6= j,1, se i = j.
I Como estamos trabalhando com o espaço R3, então consideramos n = 3.I Delta de Kronecker
δij =
δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33
=
1 0 00 1 00 0 1
.
I Calcule3∑
i,j=1
δij x i x j .
![Page 51: professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha/wordpress/wp-content/uploads… · PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC Tensores I Procuramos generalizar a ideia de escalares](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050502/5f948a41be94e0027f3d51f0/html5/thumbnails/51.jpg)
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Tensores
I Delta de Kronecker
δij =
δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33
=
1 0 00 1 00 0 1
.
I Calcule:
3∑i,j=1
δij x i x j = δ11x1x1 + δ12x1x2 + δ13x1x3 + · · ·+ δ33x3x3
= δ11x1x1 + δ22x2x2 + δ33x3x3
= (x1)2 + (x2)2 + (x3)2
= ‖(x1, x2, x3)‖
I Convenção da somatória de Einstein: consiste em omitir o símbolo desomatório e interpretar índices que se repetem uma vez em um mesmo termocomo indicador desse somatório.
I Portanto a notação δij x i x j implica3∑
i,j=1
δij x i x j .
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Tensores
I Delta de Kronecker
δij =
δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33
=
1 0 00 1 00 0 1
.
I Calcule:
3∑i,j=1
δij x i x j = δ11x1x1 + δ12x1x2 + δ13x1x3 + · · ·+ δ33x3x3
= δ11x1x1 + δ22x2x2 + δ33x3x3
= (x1)2 + (x2)2 + (x3)2
= ‖(x1, x2, x3)‖
I Convenção da somatória de Einstein: consiste em omitir o símbolo desomatório e interpretar índices que se repetem uma vez em um mesmo termocomo indicador desse somatório.
I Portanto a notação δij x i x j implica3∑
i,j=1
δij x i x j .
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Tensores
I Delta de Kronecker
δij =
δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33
=
1 0 00 1 00 0 1
.
I Calcule:
3∑i,j=1
δij x i x j = δ11x1x1 + δ12x1x2 + δ13x1x3 + · · ·+ δ33x3x3
= δ11x1x1 + δ22x2x2 + δ33x3x3
= (x1)2 + (x2)2 + (x3)2
= ‖(x1, x2, x3)‖
I Convenção da somatória de Einstein: consiste em omitir o símbolo desomatório e interpretar índices que se repetem uma vez em um mesmo termocomo indicador desse somatório.
I Portanto a notação δij x i x j implica3∑
i,j=1
δij x i x j .
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Tensores
I Espaço R3: i, j = 1, 2, 3.I Exemplo:
δijδij = δ11δ
11 + δ12δ12 + δ13δ
13 + δ21δ21 + δ22δ
22 + δ23δ23
+δ31δ31 + δ32δ
32 + δ33δ33
= δ11δ11 + δ22δ
22 + δ33δ33
= 3.
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Tensores
I Espaço R3: i, j = 1, 2, 3.I Exemplo:
δijδij = δ11δ
11 + δ12δ12 + δ13δ
13 + δ21δ21 + δ22δ
22 + δ23δ23
+δ31δ31 + δ32δ
32 + δ33δ33
= δ11δ11 + δ22δ
22 + δ33δ33
= 3.
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Tensores
I
I Símbolo de Levi-Civita:
εijk =
1, para permutações cíclicas (ijk) = (123), (312), (231),−1, para transposições (ijk) = (213), (132), (321),0 se um índice se repetir.
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Tensores
I
I Símbolo de Levi-Civita:
εijk =
1, para permutações cíclicas (ijk) = (123), (312), (231),−1, para transposições (ijk) = (213), (132), (321),0 se um índice se repetir.
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Tensores
I Transformação inversão de paridade
I
I A inversão de paridade é induzida pela ação da matriz aij = −δij em um vetor.I Dado o vetor posição~r = (x1, x2, x3), a inversão de paridade é dada por
x ′i = −δij xj = −δi1x1 − δi2x2 − δi3x3
= −xi .
I Isso significa que~r′ =(x ′1, x
′2, x′3
)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.
I Essa transformação muda a orientação do sistema de coordenadas: se osistema em é dextrógiro (mão direita), passa a ser levógiro (mão esquerda) evice-versa.
I Um vetor que se comporta dessa forma, sob a transformação de paridade édenominado vetor polar.
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Tensores
I Transformação inversão de paridade
I
I A inversão de paridade é induzida pela ação da matriz aij = −δij em um vetor.I Dado o vetor posição~r = (x1, x2, x3), a inversão de paridade é dada por
x ′i = −δij xj = −δi1x1 − δi2x2 − δi3x3
= −xi .
I Isso significa que~r′ =(x ′1, x
′2, x′3
)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.
I Essa transformação muda a orientação do sistema de coordenadas: se osistema em é dextrógiro (mão direita), passa a ser levógiro (mão esquerda) evice-versa.
I Um vetor que se comporta dessa forma, sob a transformação de paridade édenominado vetor polar.
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Tensores
I Transformação inversão de paridade
I
I A inversão de paridade é induzida pela ação da matriz aij = −δij em um vetor.I Dado o vetor posição~r = (x1, x2, x3), a inversão de paridade é dada por
x ′i = −δij xj = −δi1x1 − δi2x2 − δi3x3
= −xi .
I Isso significa que~r′ =(x ′1, x
′2, x′3
)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.
I Essa transformação muda a orientação do sistema de coordenadas: se osistema em é dextrógiro (mão direita), passa a ser levógiro (mão esquerda) evice-versa.
I Um vetor que se comporta dessa forma, sob a transformação de paridade édenominado vetor polar.
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I Transformação inversão de paridade
I
I A inversão de paridade é induzida pela ação da matriz aij = −δij em um vetor.I Dado o vetor posição~r = (x1, x2, x3), a inversão de paridade é dada por
x ′i = −δij xj = −δi1x1 − δi2x2 − δi3x3
= −xi .
I Isso significa que~r′ =(x ′1, x
′2, x′3
)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.
I Essa transformação muda a orientação do sistema de coordenadas: se osistema em é dextrógiro (mão direita), passa a ser levógiro (mão esquerda) evice-versa.
I Um vetor que se comporta dessa forma, sob a transformação de paridade édenominado vetor polar.
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I Transformação inversão de paridade
I
I A inversão de paridade é induzida pela ação da matriz aij = −δij em um vetor.I Dado o vetor posição~r = (x1, x2, x3), a inversão de paridade é dada por
x ′i = −δij xj = −δi1x1 − δi2x2 − δi3x3
= −xi .
I Isso significa que~r′ =(x ′1, x
′2, x′3
)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.
I Essa transformação muda a orientação do sistema de coordenadas: se osistema em é dextrógiro (mão direita), passa a ser levógiro (mão esquerda) evice-versa.
I Um vetor que se comporta dessa forma, sob a transformação de paridade édenominado vetor polar.
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I Transformação inversão de paridade
I
I A inversão de paridade é induzida pela ação da matriz aij = −δij em um vetor.I Dado o vetor posição~r = (x1, x2, x3), a inversão de paridade é dada por
x ′i = −δij xj = −δi1x1 − δi2x2 − δi3x3
= −xi .
I Isso significa que~r′ =(x ′1, x
′2, x′3
)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.
I Essa transformação muda a orientação do sistema de coordenadas: se osistema em é dextrógiro (mão direita), passa a ser levógiro (mão esquerda) evice-versa.
I Um vetor que se comporta dessa forma, sob a transformação de paridade édenominado vetor polar.
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I Transformação inversão de paridade
I
I A inversão de paridade é induzida pela ação da matriz aij = −δij em um vetor.I Dado o vetor posição~r = (x1, x2, x3), a inversão de paridade é dada por
x ′i = −δij xj = −δi1x1 − δi2x2 − δi3x3
= −xi .
I Isso significa que~r′ =(x ′1, x
′2, x′3
)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.
I Essa transformação muda a orientação do sistema de coordenadas: se osistema em é dextrógiro (mão direita), passa a ser levógiro (mão esquerda) evice-versa.
I Um vetor que se comporta dessa forma, sob a transformação de paridade édenominado vetor polar.
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I Transformação inversão de paridade
I
I A inversão de paridade é induzida pela ação da matriz aij = −δij em um vetor.I Dado o vetor posição~r = (x1, x2, x3), a inversão de paridade é dada por
x ′i = −δij xj = −δi1x1 − δi2x2 − δi3x3
= −xi .
I Isso significa que~r′ =(x ′1, x
′2, x′3
)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.
I Essa transformação muda a orientação do sistema de coordenadas: se osistema em é dextrógiro (mão direita), passa a ser levógiro (mão esquerda) evice-versa.
I Um vetor que se comporta dessa forma, sob a transformação de paridade édenominado vetor polar.
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Tensores
I
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Tensores
I Considere agora um vetor definido a partir do produto vetorial
~C = ~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣ı k
A1 A2 A3B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣cujas componentes são da forma
C1 = A2B3 − A3B2, C2 = A3B1 − A1B3, C3 = A1B2 − A2B1.
I Sob inversão de paridade, Ai 7→ −Ai , Bj 7→ −Bj e, portanto Ci 7→ +Ci .I Esse tipo de vetor é chamado de vetor axial ou pseudo-vetor.I Exemplos:
velocidade angular ~ω. v = ~ω ×~r
momento angular : ~L = ~r × ~p
torque ~τ : = ~r × ~F
campo magnético∂~B∂t
= −∇× ~E
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Tensores
I Considere agora um vetor definido a partir do produto vetorial
~C = ~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣ı k
A1 A2 A3B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣cujas componentes são da forma
C1 = A2B3 − A3B2, C2 = A3B1 − A1B3, C3 = A1B2 − A2B1.
I Sob inversão de paridade, Ai 7→ −Ai , Bj 7→ −Bj e, portanto Ci 7→ +Ci .I Esse tipo de vetor é chamado de vetor axial ou pseudo-vetor.I Exemplos:
velocidade angular ~ω. v = ~ω ×~r
momento angular : ~L = ~r × ~p
torque ~τ : = ~r × ~F
campo magnético∂~B∂t
= −∇× ~E
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Tensores
I Considere agora um vetor definido a partir do produto vetorial
~C = ~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣ı k
A1 A2 A3B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣cujas componentes são da forma
C1 = A2B3 − A3B2, C2 = A3B1 − A1B3, C3 = A1B2 − A2B1.
I Sob inversão de paridade, Ai 7→ −Ai , Bj 7→ −Bj e, portanto Ci 7→ +Ci .I Esse tipo de vetor é chamado de vetor axial ou pseudo-vetor.I Exemplos:
velocidade angular ~ω. v = ~ω ×~r
momento angular : ~L = ~r × ~p
torque ~τ : = ~r × ~F
campo magnético∂~B∂t
= −∇× ~E
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Tensores
I Considere agora um vetor definido a partir do produto vetorial
~C = ~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣ı k
A1 A2 A3B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣cujas componentes são da forma
C1 = A2B3 − A3B2, C2 = A3B1 − A1B3, C3 = A1B2 − A2B1.
I Sob inversão de paridade, Ai 7→ −Ai , Bj 7→ −Bj e, portanto Ci 7→ +Ci .I Esse tipo de vetor é chamado de vetor axial ou pseudo-vetor.I Exemplos:
velocidade angular ~ω. v = ~ω ×~r
momento angular : ~L = ~r × ~p
torque ~τ : = ~r × ~F
campo magnético∂~B∂t
= −∇× ~E
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Tensores
I momento angular : ~L = ~r × ~p.I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Li = εijk xj pk .I De fato,
L1 = ε1jk xj pk
= ε111x1p1 + ε112x1p2 + ε113x1p3 + ε121x2p1 + ε122x2p2
+ε123x2p3 + ε131x3p1 + ε132x3p2 + ε133x3p3
= ε123x2p3 + ε132x3p2
= x2p3 − x3p2.
I Similarmente,
L2 = x3p1 − x1p3,
L3 = x1p2 − x2p1.
I Portanto Li = εijk xi pk é uma notação tensorial para o produto vetorial (que só
existe em R3 [e R7]) ~L =~r ×~p .
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Tensores
I momento angular : ~L = ~r × ~p.I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Li = εijk xj pk .I De fato,
L1 = ε1jk xj pk
= ε111x1p1 + ε112x1p2 + ε113x1p3 + ε121x2p1 + ε122x2p2
+ε123x2p3 + ε131x3p1 + ε132x3p2 + ε133x3p3
= ε123x2p3 + ε132x3p2
= x2p3 − x3p2.
I Similarmente,
L2 = x3p1 − x1p3,
L3 = x1p2 − x2p1.
I Portanto Li = εijk xi pk é uma notação tensorial para o produto vetorial (que só
existe em R3 [e R7]) ~L =~r ×~p .
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Tensores
I momento angular : ~L = ~r × ~p.I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Li = εijk xj pk .I De fato,
L1 = ε1jk xj pk
= ε111x1p1 + ε112x1p2 + ε113x1p3 + ε121x2p1 + ε122x2p2
+ε123x2p3 + ε131x3p1 + ε132x3p2 + ε133x3p3
= ε123x2p3 + ε132x3p2
= x2p3 − x3p2.
I Similarmente,
L2 = x3p1 − x1p3,
L3 = x1p2 − x2p1.
I Portanto Li = εijk xi pk é uma notação tensorial para o produto vetorial (que só
existe em R3 [e R7]) ~L =~r ×~p .
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Tensores
I momento angular : ~L = ~r × ~p.I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Li = εijk xj pk .I De fato,
L1 = ε1jk xj pk
= ε111x1p1 + ε112x1p2 + ε113x1p3 + ε121x2p1 + ε122x2p2
+ε123x2p3 + ε131x3p1 + ε132x3p2 + ε133x3p3
= ε123x2p3 + ε132x3p2
= x2p3 − x3p2.
I Similarmente,
L2 = x3p1 − x1p3,
L3 = x1p2 − x2p1.
I Portanto Li = εijk xi pk é uma notação tensorial para o produto vetorial (que só
existe em R3 [e R7]) ~L =~r ×~p .
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I momento angular : ~L = ~r × ~p.I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Li = εijk xj pk .I De fato,
L1 = ε1jk xj pk
= ε111x1p1 + ε112x1p2 + ε113x1p3 + ε121x2p1 + ε122x2p2
+ε123x2p3 + ε131x3p1 + ε132x3p2 + ε133x3p3
= ε123x2p3 + ε132x3p2
= x2p3 − x3p2.
I Similarmente,
L2 = x3p1 − x1p3,
L3 = x1p2 − x2p1.
I Portanto Li = εijk xi pk é uma notação tensorial para o produto vetorial (que só
existe em R3 [e R7]) ~L =~r ×~p .
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Tensores
I Isso vale para qualquer produto vetorial
~C = ~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣ı k
A1 A2 A3B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣ = (A2B3 − A3B2)ı+ (A3B1 − A1B3)+ (A1B2 − A2B1)k .
I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Ci = εijk Aj Bk .I De fato,
C1 = ε1jk Ai Bk
= ε111A1B1 + ε112A1B2 + ε113A1B3 + ε121A2B1 + ε122A2B2
+ε123A2B3 + ε131A3B1 + ε132A3B2
= ε123A2B3 + ε132A3B2
= A2B3 − A3B2
I Analogamente, C2 = A3B1 − A1B3 e C3 = A1B2 − A2B1.
I PortantoCi = εijk Aj Bk
é uma notação tensorial para o produto vetorial ~C = ~A× ~B.
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Tensores
I Isso vale para qualquer produto vetorial
~C = ~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣ı k
A1 A2 A3B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣ = (A2B3 − A3B2)ı+ (A3B1 − A1B3)+ (A1B2 − A2B1)k .
I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Ci = εijk Aj Bk .I De fato,
C1 = ε1jk Ai Bk
= ε111A1B1 + ε112A1B2 + ε113A1B3 + ε121A2B1 + ε122A2B2
+ε123A2B3 + ε131A3B1 + ε132A3B2
= ε123A2B3 + ε132A3B2
= A2B3 − A3B2
I Analogamente, C2 = A3B1 − A1B3 e C3 = A1B2 − A2B1.
I PortantoCi = εijk Aj Bk
é uma notação tensorial para o produto vetorial ~C = ~A× ~B.
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Tensores
I Isso vale para qualquer produto vetorial
~C = ~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣ı k
A1 A2 A3B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣ = (A2B3 − A3B2)ı+ (A3B1 − A1B3)+ (A1B2 − A2B1)k .
I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Ci = εijk Aj Bk .I De fato,
C1 = ε1jk Ai Bk
= ε111A1B1 + ε112A1B2 + ε113A1B3 + ε121A2B1 + ε122A2B2
+ε123A2B3 + ε131A3B1 + ε132A3B2
= ε123A2B3 + ε132A3B2
= A2B3 − A3B2
I Analogamente, C2 = A3B1 − A1B3 e C3 = A1B2 − A2B1.
I PortantoCi = εijk Aj Bk
é uma notação tensorial para o produto vetorial ~C = ~A× ~B.
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Tensores
I Isso vale para qualquer produto vetorial
~C = ~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣ı k
A1 A2 A3B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣ = (A2B3 − A3B2)ı+ (A3B1 − A1B3)+ (A1B2 − A2B1)k .
I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Ci = εijk Aj Bk .I De fato,
C1 = ε1jk Ai Bk
= ε111A1B1 + ε112A1B2 + ε113A1B3 + ε121A2B1 + ε122A2B2
+ε123A2B3 + ε131A3B1 + ε132A3B2
= ε123A2B3 + ε132A3B2
= A2B3 − A3B2
I Analogamente, C2 = A3B1 − A1B3 e C3 = A1B2 − A2B1.
I PortantoCi = εijk Aj Bk
é uma notação tensorial para o produto vetorial ~C = ~A× ~B.
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Tensores
I Isso vale para qualquer produto vetorial
~C = ~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣ı k
A1 A2 A3B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣ = (A2B3 − A3B2)ı+ (A3B1 − A1B3)+ (A1B2 − A2B1)k .
I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Ci = εijk Aj Bk .I De fato,
C1 = ε1jk Ai Bk
= ε111A1B1 + ε112A1B2 + ε113A1B3 + ε121A2B1 + ε122A2B2
+ε123A2B3 + ε131A3B1 + ε132A3B2
= ε123A2B3 + ε132A3B2
= A2B3 − A3B2
I Analogamente, C2 = A3B1 − A1B3 e C3 = A1B2 − A2B1.
I PortantoCi = εijk Aj Bk
é uma notação tensorial para o produto vetorial ~C = ~A× ~B.