ROBUST ADAPTIVE CONTROL OF UAV A COMPARATIVE STUDY.pdf

7/27/2019 ROBUST ADAPTIVE CONTROL OF UAV A COMPARATIVE STUDY.pdf

1/9

R O B U S T A D A P T I V E C O N T R O L O F U N D E R W A T E R

V E H I C L E S : A C O M P A R A T I V E S T U D Y

T h o r I . F o s s e n a n d O l a - E r i k F j e l l s t a d

U n i v e r s i t y o f T r o n d h e i m , T h e N o r w e g i a n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , D e p a r t m e n t o f

E n g i n e e r i n g C y b e r n e t i c s , N - 7 0 3 4 T r o n d h e i m , N O R W A Y ( E - m a i l : t i f @ i t k . u n i t . n o )

A b s t r a c t . R o b u s t a d a p t i v e c o n t r o l o f u n d e r w a t e r v e h i c l e s i n 6 D O F i s a n a l y z e d i n t h e c o n t e x t o f

m e a s u r e m e n t n o i s e . T h e p e r f o r m a n c e o f t h e a d a p t i v e c o n t r o l l a w s o f S a d e g h a n d H o r o w i t z ( 1 9 9 0 ) a n d

S l o t i n e a n d B e n e d e t t o ( 1 9 9 0 ) a r e c o m p a r e d . B o t h t h e s e s c h e m e s r e q u i r e t h a t a l l s t a t e s a r e m e a s u r e d ,

t h a t i s t h e v e l o c i t i e s a n d p o s i t i o n s i n s u r g e , s w a y , h e a v e , r o l l , p i t c h a n d y a w . H o w e v e r , f o r u n d e r w a t e r

v e h i c l e s i t i s d i c u l t t o m e a s u r e t h e l i n e a r v e l o c i t i e s w h e r e a s a n g u l a r v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s c a n b e

o b t a i n e d b y u s i n g a 3 - a x e s a n g u l a r r a t e s e n s o r . T h i s p r o b l e m i s a d r e s s e d b y d e s i g n i n g a n o n l i n e a r

o b s e r v e r f o r l i n e a r v e l o c i t y s t a t e e s t i m a t i o n . T h e p r o p o s e d o b s e r v e r r e q u i r e s t h a t t h e p o s i t i o n a n d

t h e a t t i t u d e a r e m e a s u r e d , e . g . b y u s i n g a h y d r o a c o u s t i c p o s i t i o n i n g s y s t e m f o r l i n e a r p o s i t i o n s ,

t w o g y r o s f o r r o l l a n d p i t c h a n d a c o m p a s s f o r y a w . I n a d d i t i o n a n g u l a r r a t e m e a s u r e m e n t s w i l l

b e a s s u m e d a v a i l a b l e f r o m a 3 - a x e s r a t e s e n s o r o r a s t a t e e s t i m a t o r . I t i s a l s o a s s u m e d t h a t t h e

m e a s u r e m e n t r a t e i s l i m i t e d t o 2 H z f o r a l l t h e s e n s o r s . S i m u l a t i o n s t u d i e s w i t h a 3 D O F A U V

m o d e l a r e u s e d t o d e m o n s t r a t e t h e c o n v e r g e n c e a n d r o b u s t n e s s o f t h e a d a p t i v e c o n t r o l l a w s a n d t h e

v e l o c i t y s t a t e o b s e r v e r .

K e y W o r d s . R O V , A U V , a d a p t i v e c o n t r o l , n o n l i n e a r v e l o c i t y o b s e r v e r , m a r i n e s y s t e m s .

1 . I N T R O D U C T I O N

T h e i m p l e m e n t a t i o n o f a d v a n c e d a d a p t i v e c o n t r o l

l a w s f o r u n d e r w a t e r v e h i c l e s i n 6 d e g r e e s o f f r e e -

d o m ( D O F ) i s m a i n l y l i m i t e d b y t h e p e r f o r m a n c e

o f t h e u n d e r w a t e r n a v i g a t i o n a n d s e n s o r s y s t e m s .

T h e s u r g e , s w a y a n d h e a v e p o s i t i o n c a n b e m e a -

s u r e d w i t h f a i r l y a c c u r a c y b y a p p l y i n g a h y d r o a -

c o u s t i c s h o r t o r l o n g b a s e - l i n e s y s t e m w h e r e a s a t -

t i t u d e u s u a l l y i s m e a s u r e d b y 2 g y r o s ( o r i n c l i -

n o m e t e r s ) a n d a c o m p a s s . T h e b a n d w i d t h l i m i t a -

t i o n o f t h e c o n t r o l s y s t e m i s m a i n l y d u e t o t h e h y -

d r o a c o u s t i c p o s i t i o n i n g s y s t e m w h i c h u s u a l l y o p -

e r a t e s i n t h e i n t e r v a l o f 0 . 1 { 1 . 0 H z .

T h i s p a p e r d i s c u s s e s t h e p e r f o r m a n c e o f t w o s t a t e -

o f - t h e - a r t a d a p t i v e c o n t r o l l a w s f o r r o b o t m a n i p u -

l a t o r s w h i c h a r e m o d i e d t o c o n t r o l a n u n d e r w a t e r

v e h i c l e i n 6 D O F . I n a d d i t i o n , a g l o b a l l y a s y m p -

t o t i c a l l y s t a b l e v e l o c i t y o b s e r v e r u s i n g l i n e a r a c -

c e l e r a t i o n a n d p o s i t i o n m e a s u r e m e n t s i s s u g g e s t e d

f o r e s t i m a t i o n o f l i n e a r v e l o c i t y .

2 . U N D E R W A T E R V E H I C L E M O D E L

T h e f o l l o w i n g 6 D O F a u t o n o m o u s u n d e r w a t e r v e -

h i c l e ( A U V ) e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e c o n s i d e r e d ,

F o s s e n ( 1 9 9 4 ) :

M

_

+ C ( ) + D ( ) + g ( ) = ( 1 )

_

= J ( ) ( 2 )

w h e r e = x ; y ; z ; ; ; ]

T

i s t h e e a r t h - x e d p o s i -

t i o n a n d a t t i t u d e v e c t o r , = u ; v ; w ; p ; q ; r ]

T

i s a

v e c t o r o f b o d y - x e d l i n e a r a n d a n g u l a r v e l o c i t i e s

a n d =

1

; : : : ;

6

]

T

i s a v e c t o r o f c o n t r o l i n p u t s

( f o r c e a n d m o m e n t ) . T h e m a t r i c e s a n d v e c t o r s

a r e g i v e n i n A p p e n d i x A .

3 . A G L O B A L L Y A S Y M P T O T I C A L L Y

S T A B L E V E L O C I T Y O B S E R V E R

F o r u n d e r w a t e r v e h i c l e s i t i s d i c u l t t o m e a s u r e

t h e l i n e a r v e l o c i t y w i t h g o o d a c c u r a c y . A g l o b a l l y

a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e o b s e r v e r c a n b e d e s i g n e d f o r

t h i s p u r p o s e . L e t :

v = u ; v ; w ]

T

x = x ; y ; z ]

T

! = p ; q ; r ]

T

q = ; ; ]

T

( 3 )

I n s o m e c a s e s i t i s a d v a n t a g e o u s t o u s e 3 l i n e a r

a c c e l e r o m e t e r s t o i m p r o v e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e

o b s e r v e r . T h e l o c a t i o n o f t h e l i n e a r a c c e l e r o m e t e r

i s g i v e n b y t h e c o o r d i n a t e s :

r

a

= x

a

; y

a

; z

a

]

T

( 4 )

3 . 1 . E s t i m a t i o n o f L i n e a r V e l o c i t y

T h e o u t p u t f r o m t h e l i n e a r a c c e l e r o m e t e r s a r e :

a =

_

v + ! v +

_

! r

a

+ ! ( ! r

a

) + g

1

( q ) ( 5 )

I F A C W o r k s h o p o n C o n t r o l A p p l i c a t i o n s i n M a r i n e S y s t e m s ( C A M S ' 9 5 ) 1


2/9

x

x

_

x

K

2

K

1

a

a

c

v

_

v

S ( ! )

J

1

( q )

F i g . 1 . N o n l i n e a r v e l o c i t y o b s e r v e r u s i n g p o s i t i o n a n d l i n e a r a c c e l e r a t i o n m e a s u r e m e n t s .

w h e r e g

1

( q ) i s t h e a c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y d e n e d

a s ; s e e ( 5 8 ) i n A p p e n d i x A :

g

1

( q ) = g s ; ? g c s ; ? g c c ]

T

( 6 )

T h e b o d y - x e d a c c e l e r a t i o n

_

i n ( 5 ) c a n b e w r i t -

t e n i n t e r m s o f t h e a c c e l e r a t i o n m e a s u r e m e n t a

a c c o r d i n g t o :

_

v = ? S ( ! ) v + a ? a

c

( 7 )

_

x = J

1

( q ) v ( 8 )

w h e r e a

c

i s a n a c c e l e r a t i o n c o r r e c t i o n t e r m d e -

n e d a s :

a

c

= _! r

a

+ ! ( ! r

a

) + g

1

( q ) ( 9 )

E q s . ( 7 ) a n d ( 8 ) s u g g e s t t h e o b s e r v e r s t r u c t u r e :

_

v = ? S ( ! )

v + a ? a

c

+ K

1

~

x ( 1 0 )

_

x = J

1

( q )

v + K

2

~

x ( 1 1 )

w h e r e

~

x = x ?

x i s t h e p o s i t i o n e s t i m a t i o n e r r o r ,

a n d K

1

a n d K

2

a r e t h e e s t i m a t o r g a i n m a t r i c e s .

3 . 2 . C o m p u t a t i o n o f K

1

a n d K

2

L e t

~

v = v ?

v a n d

~

x = x ?

x .

3 . 2 . 1 . K a l m a n F i l t e r A p p r o a c h . E q u a t i o n s ( 1 0 )

a n d ( 1 1 ) c a n b e w r i t t e n i n s t a t e - s p a c e f o r m :

_

v

_

x

=

? S ( ! ) 0

J

1

( q ) 0

v

x

( 1 2 )

+

I

0

u +

K

1

K

2

~

y ( 1 3 )

m

_

( t ) = A ( t )

+ B u ( t ) + K ( t )

~

y ( t ) ( 1 4 )

w i t h o b v i o u s d e n i t i o n s o f A ( t ) ; B a n d K , a n d

u = a ? a

c

;

=

v

T

;

x

T

]

T

a n d

~

y = H ( ?

) w i t h

H = 0 ; I ] . S i n c e ( 1 4 ) i s a l i n e a r t i m e - v a r y i n g

s y s t e m , K

1

a n d K

2

c a n b e c o m p u t e d b y a p p l y i n g

t h e K a l m a n l t e r a l g o r i t h m , G e l b e t a l . ( 1 9 8 8 ) :

K ( t ) = P ( t ) H

T

R

? 1

( 1 5 )

w i t h

_

( t ) = A ( t )

( t ) + B u ( t ) + K ( t )

~

x ( t ) ( 1 6 )

_

P ( t ) = A ( t ) P ( t ) + P ( t ) A

T

( t ) + Q

? K ( t ) R K

T

( t ) ( 1 7 )

w h e r e Q i s t h e p r o c e s s a n d R i s t h e m e a s u r e m e n t

c o v a r i a n c e m a t r i c e s . T h i s r e q u i r e t h a t t h e t i m e -

v a r y i n g e r r o r c o v a r i a n c e m a t r i x p r o p a g a t i o n g i v e n

b y ( 1 7 ) m u s t b e c o m p u t e d o n - l i n e .

3 . 2 . 2 . N o n l i n e a r O b s e r v e r D e s i g n . A n a l t e r n a -

t i v e a p p r o a c h t o t h e K a l m a n l t e r a l g o r i t h m i s a

n o n l i n e a r p o l e - p l a c e m e n t a l g o r i t h m u t i l i z i n g t h e

s t r u c t u r e o f t h e o b s e r v e r d y n a m i c s . N o t i c e t h a t :

_

J

1

( q ) = J

1

( q ) S ( ! ) ( 1 8 )

H e n c e ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) c a n b e w r i t t e n a s :

~

x ( t ) + K

2

_

~

x ( t ) + J

1

( q ) K

1

~

x ( t ) = 0 ( 1 9 )

A n i n t u i t i v e s o l u t i o n i s t o c h o o s e K

1

a n d K

2

a s :

K

1

= J

T

1

( q ) K

1 0

; K

2

= K

2 0

( 2 0 )

w h i c h r e d u c e s ( 1 9 ) t o :

~

x ( t ) + K

2 0

_

~

x ( t ) + K

1 0

~

x ( t ) = 0 ( 2 1 )

E q . ( 2 1 ) s a t i s e s t h e L y a p u n o v f u n c t i o n c a n d i -

d a t e :

V =

1

2

(

_

~x

T

_

~x + ~x

T

K

1 0

~x ) ( 2 2 )

+ ( 2 3 )

_

V = ?

_

~

x

T

K

2 0

_

~

x 0 ( 2 4 )

2 I F A C W o r k s h o p o n C o n t r o l A p p l i c a t i o n s i n M a r i n e S y s t e m s ( C A M S ' 9 5 )


3/9

0 100 200 300 4002

1

0

1

2

3

m

s0 100 200 300 400

0.02

0

0.02

0.04

m/s

s

0 100 200 300 4000

20

40

60

80estimated surge and sway pos.

ypos

xpos0 100 200 300 400

0.5

0

0.5

1

1.5estimated surge and sway vel.

m/s

s

F i g . 2 . P o s i t i o n a n d v e l o c i t y e s t i m a t i o n e r r o r s ( u p p e r p l o t s ) a n d p o s i t i o n a n d v e l o c i t y s t a t e e s t i m a t e s ( l o w e r

p l o t s ) .

A p p l i c a t i o n o f L a S a l l e ' s i n v a r i a n t s e t t h e o r e m

t h e n s h o w s t h a t

_

~

x ! 0 a n d

~

x ! 0 i n n i t e t i m e .

3 . 3 . I m p l e m e n t a t i o n I s s u e s

I m p l e m e n t a t i o n o f ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) r e q u i r e t h a t

x ; q ; ! a n d a a r e m e a s u r e d . I f a c c e l e r a t i o n a i s

i n c o n v i e n t t o m e a s u r e t h e o b s e r v e r s t r u c t u r e i n

F i g u r e 1 c a n b e m o d i e d t o u s e a n e s t i m a t e o f a

g e n e r a t e d b y a l t e r , e . g . ( s e e F i g u r e 3 ) :

_

a = ?

1

T

a + K

0

~

x ; K

0

=

1

T

K

0 0

> 0 ( 2 5 )

w h e r e T > 0 i s t h e l o w - p a s s l t e r t i m e c o n s t a n t

r e e c t i n g t h e v e h i c l e d y n a m i c s .

K

0

a

~

x

1

T

F i g . 3 . E s t i m a t i o n o f a c c e l e r a t i o n a i n F i g . 1 . K

0

i s a

n e w l t e r g a i n m a t r i x t o b e c o m p u t e d t o g e t h e r

w i t h K

1

a n d K

2

i n F i g 1 .

I f ! n o t i s m e a s u r e d , ! s h o u l d b e a p p r o x i m a t e d

b y

! w h i c h c a n b e o b t a i n e d f r o m a n a n g u l a r v e -

l o c i t y o b s e r v e r . A s s u m i n g t h a t

_

! 0 ( s l o w l y -

v a r y i n g a t t i t u d e ) y i e l d s :

a

c

! (

! r

a

) + g

1

( q ) ( 2 6 )

3 . 4 . S i m u l a t i o n S t u d y o f O b s e r v e r

T h e n o n l i n e a r o b s e r v e r ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) w a s s i m u -

l a t e d w i t h a

c

= 0 . T h e A U V m o d e l i n A p p e n d i x

B w a s u s e d t o g e n e r a t e t h e a c c e l e a r t i o n m e a s u r e -

m e n t s i n s u r g e a n d s w a y w h i l e t h e h e a v e a c c e l e r -

a t i o n w a s s e t t o z e r o . T h e h e a d i n g o f t h e v e h i c l e

w a s c h o s e n a s :

( t ) = 0 : 5 s i n ( 0 : 0 3 t ) ; r ( t ) = 0 : 0 1 5 c o s ( 0 : 0 3 t )

T h e e s t i m a t o r g a i n m a t r i c e s w e r e c h o s e n a s

K

1 0

= 0 : 0 0 1 I a n d K

2 0

= 1 : 0 I . T h e s a m p l i n g

f r e q u e n c y w a s 2 H z . I t i s s e e n f r o m F i g . 2 t h a t

a c c u r a t e e s t i m a t e s o f u a n d v c a n b e g e n e r a t e d

f r o m n o i s y p o s i t i o n m e a s u r e m e n t s ( a p p r o x . a m -

p l i t u d e o f t h e w h i t e n o i s e i s 1 . 0 m ) .

4 . A D A P T I V E C O N T R O L

T h e s t a b i l i t y p r o o f a n d r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t w o

c o n t r o l l a w s t o b e p r e s e n t e d a r e b a s e d o n t h e p a -

r a m e t e r i z a t i o n :

M

_

r + C ( ) r + D ( ) r

= Y (

_

r ; r ; ) ( 2 7 )

T h e g r a v i t y a n d b u o y a n c y t e r m g ( ) ( w i t h o u t l o s s

o f g e n e r a l i t y ) i s a s s u m e d t o b e p e r f e c t l y k n o w n . I n

t h i s r e p r e s e n t a t i o n Y (

_

r ; r ; ) i s t h e r e g r e s s o r m a -

t r i x ( k n o w n ) a n d i s a c o n s t a n t p a r a m e t e r v e c t o r

( u n k n o w n ) . L e t t h e t r a c k i n g e r r o r b e d e n o t e d b y :

~

= ?

d

( 2 8 )

w h e r e

d

2 I R

6

i s a s s u m e d t o b e a s m o o t h r e f e r -

e n c e t r a j e c t o r y .

4 . 1 . T h e A d a p t i v e C o n t r o l L a w o f S l o t i n e a n d

B e n e d e t t o ( A S B )

T h e a d a p t i v e c o n t r o l l a w o f S l o t i n e a n d B e n e d e t t o

( 1 9 9 0 ) w i t h t h e p a r a m e t r i z a t i o n o f F o s s e n ( 1 9 9 3 )

i s a c t u a l l y i n t e n d e d f o r 3 D O F s p a c e c r a f t a t t i -

t u d e c o n t r o l . A n e x t e n s i o n o f t h i s w o r k t o 6 D O F

u n d e r w a t e r v e h i c l e c o n t r o l i s d i s c u s s e d b y F o s s e n

a n d S a g a t u n ( 1 9 9 1 ) . T h e A S B a d a p t i v e c o n t r o l

s c h e m e c a n b e r e p r e s e n t e d i n t e r m s o f t h e m o d e l



4/9

LOS AutopilotAUVDynamics Kinematics

PilotInputs

way-points(x ,y )

k k

velocitiesu , v

cc

c

x, y

u, v, r

outer servo-loop (guidance system)

inner servo -loops

F i g . 4 . W a y - p o i n t g u i d a n c e b y m e a n s o f a y a w a n g l e a u t o p i l o t a n d a s u r g e - s w a y v e l o c i t y c o n t r o l s y s t e m . T h e

l i n e - o f - s i g h t ( L O S ) a l g o r i t h m i s u s e d t o g e n e r a t e t h e d e s i r e d y a w a n g l e .

p a r a m e t e r i z a t i o n ( P ) , c o n t r o l l a w ( C ) a n d p a r a m -

e t e r a d a p t a t i o n l a w ( A ) a c c o r d i n g t o :

P : M

_

r

+ C ( )

r

+ D ( )

r

= Y (

_

r

;

r

; )

C : = Y (

_

r

;

r

; )

+ g ( ) ? J

T

( ) K

d

s

A :

_

= ? ? Y

T

(

_

r

;

r

; ) J

? 1

( ) s

w h e r e K

d

> 0 , ? = ?

T

> 0 a n d :

s =

_

~

+

~

; =

T

> 0 ( 2 9 )

T h e v i r t u a l r e f e r e n c e t r a j e c t o r i e s a r e c o m p u t e d

a c c o r d i n g t o :

r

= J

? 1

( )

_

r

( 3 0 )

_

r

= J

? 1

( )

r

?

_

J ( ) J

? 1

( )

_

r

] ( 3 1 )

w h e r e _

r

= _

d

? ~ .

4 . 2 . T h e A d a p t i v e C o n t r o l L a w o f S a d e g h a n d

H o r o w i t z ( D C A L )

S t r a i g h t f o r w a r d e x t e n s i o n s o f t h e r o b o t c o n t r o l

s c h e m e o f S a d e g h a n d H o r o w i t z ( 1 9 9 0 ) t o u n d e r -

w a t e r v e h i c l e s y i e l d s :

P : M

_

d

+ C (

d

)

d

+ D (

d

)

d

= Y (

_

d

;

d

)

C : = Y (

_

d

;

d

)

+ g (

d

)

? J

T

( ) K

p

~

+ K

d

_

~

+ K

f

k

~

k

2

s ]

A :

_

= ? ? Y

T

(

_

d

;

d

) J

? 1

( ) s

w h e r e K

p

= K

T

p

> 0 , K

d

> 0 , K

f

> 0 , ? =

?

T

> 0 . T h e a b o v e c o n t r o l l a w i s k n o w n a s t h e

d e s i r e d c o m p e n s a t i o n a d a p t i v e l a w ( D C A L ) s i n c e

t h e d e s i r e d s t a t e s

d

a n d

d

a r e u s e d i n s t e a d o f

t h e a c t u a l s t a t e s a n d i n C (

d

) , D (

d

) a n d

g (

d

) .

4 . 3 . A U V C a s e S t u d y

T h e p e r f o r m a n c e o f t h e A S B a n d D C A L c o n t r o l

l a w s a r e s t u d i e d f o r t h e N P S A U V I I g i v e n i n A p -

p e n d i x B . A c o m b i n e d v e l o c i t y a n d p o s i t i o n c o n -

t r o l s c h e m e i s s t u d i e d f o r t h e f o l l o w i n g c a s e s :

1 . P a r a m e t e r a d a p t i o n , A S B

2 . A l l p a r a m e t e r s k n o w n , A S B

3 . P a r a m e t e r a d a p t i o n , D C A L

4 . A l l p a r a m e t e r s k n o w n , D C A L

T h e r e s u l t s a r e p r e s e n t e d a c c o r d i n g t o :

S e c t i o n 4 . 3 . 1 : P e r f e c t m e a s u r e m e n t s

S e c t i o n 4 . 3 . 2 : N o i s y m e a s u r e m e n t s

T h e p e r f o r m a n c e i n d i c e s a r e c h o s e n a s :

J

u v

=

1

N

N

X

i = 1

u ( t

i

) ? u

d

( t

i

) ]

2

+ v ( t

i

) ? v

d

( t

i

) ]

2

J

r

=

1

N

N

X

i = 1

r ( t

i

) ? r

d

( t

i

) ]

2

J

=

1

N

N

X

i = 1

( t

i

) ?

d

( t

i

) ]

2

J

=

1

N

N

X

i = 1

T

( t

i

) ( t

i

)

w h e r e N i s t h e n u m b e r o f s a m p l e s u s e d i n t h e s i m -

u l a t i o n s t u d y . T h e s a m p l i n g f r e q u e n c y i s c h o s e n

a s 2 H z . T h e D C A L a n d A S B c o n t r o l l a w s w e r e

t u n e d a c c o r d i n g t o :

K

A S B

d

= K

D

( 3 2 )

K

D C A L

p

= K

D

( 3 3 )

K

D C A L

d

= K

D

( 3 4 )

K

D C A L

f

= 0 ( 3 5 )

w i t h = 0 : 1 I a n d K

D

= 5 0 0 0 I . A n a u t o p i l o t f o r

s i m u l t a n e o u s l y h e a d i n g a n d s p e e d c o n t r o l ( s u r g e

a n d s w a y ) w a s c o n s i d e r e d , s e e F i g . 4 . T h e d e s i r e d

h e a d i n g s t a t e s (

d

;

_

d

;

d

) , s u r g e s t a t e s ( _u

d

; u

d

)

a n d s w a y s t a t e s ( _v

d

; v

d

) a r e c o m p u t e d b y u s i n g

t h e l t e r s :

d

+ 2 !

n

_

d

+ !

2

n

d

= !

2

n

f

( 3 6 )

T _u

d

+ u

d

= u

f

( 3 7 )

T _v

d

+ v

d

= v

f

( 3 8 )



5/9

T a b l e 1 P e r f o r m a n c e i n d i c e s f o r t h e A S B a n d D C A L c o n t r o l l a w s . F u l l s t a t e f e e d b a c k a n d n o

m e a s u r e m e n t n o i s e ( 8 0 0 s a m p l e s ) .

i n d e x A S B D C A L u n i t s

1 . A d a p t i v e 2 . P e r f e c t 3 . A d a p t i v e 4 . P e r f e c t

M o d e l M o d e l

J

u v

0 0 0 1 1 3 9 8 9 2 1 0

? 8

0 0 0 1 1 6 5 4 1 4 1 0

? 6

( m / s )

2

J

r

0 0 0 0 3 9 5 2 6 0 1 0

? 6

0 0 0 0 3 1 3 7 2 7 1 0

? 5

( d e g / s )

2

J

0 1 2 4 9 0 0 0 0 9 0 1 0 2 1 0 0 0 1 5 ( d e g )

2

J

3 9 7 9 5 4 5 6 1 2 3 9 7 5 3 4 5 6 3 3 1 0

6

T a b l e 2 P e r f o r m a n c e i n d i c e s f o r t h e A S B , D C A L a n d P D c o n t r o l l a w s . F u l l s t a t e f e e d b a c k a n d

m e a s u r e m e n t n o i s e ( 8 0 0 s a m p l e s ) .

i n d e x A S B D C A L u n i t s

1 . A d a p t i v e 2 . P e r f e c t 3 . A d a p t i v e 4 . P e r f e c t

M o d e l M o d e l

J

u v

p a r . d r i f t 0 0 0 7 0 0 0 0 6 7 0 0 0 4 8 ( m / s )

2

J

r

p a r . d r i f t 0 0 2 7 8 0 0 2 1 2 0 0 1 8 9 ( d e g / s )

2

J

p a r . d r i f t 2 1 4 2 1 2 4 3 8 9 2 4 5 3 9 ( d e g )

2

J

p a r . d r i f t 8 9 3 8 4 8 9 0 9 1 8 9 0 1 2 1 0

6

w h e r e t h e r e f e r e n c e i n p u t s

f

, u

f

a n d v

f

a r e p r e -

l t e r e d b y a 1 s t - o r d e r l t e r t o a v o i d a c c e l e r a t i o n

s t e p i n p u t s . T h e p a r a m e t e r s w e r e c h o s e n a s =

1 : 0 ; !

n

= 0 : 1 r a d / s a n d T = 1 = !

n

= 1 0 : 0 s . T h e

p r e - l t e r s a r e d e s i g n e d a c c o r d i n g t o :

T

f

_u

f

+ u

f

= u

c

( 3 9 )

T

f

_v

f

+ v

f

= v

c

( 4 0 )

T

f

_

f

+

f

=

c

( 4 1 )

w h e r e T

f

= T , a n d u

c

; v

c

a n d

c

a r e t h e c o m -

m a n d e d s u r g e v e l o c i t y , s w a y v e l o c i t y a n d y a w a n -

g l e , r e s p e c t i v e l y . T h e c o m m a n d e d i n p u t

c

c a n

b e c o m p u t e d b y a p p l y i n g a l i n e - o f - s i g h t ( L O S ) a l -

g o r i t h m , e . g . H e a l e y a n d L i e n a r d ( 1 9 9 3 ) :

c

( t ) = t a n

? 1

y

d

( k ) ? y ( t )

x

d

( k ) ? x ( t )

( 4 2 )

w h e r e x

k

a n d y

k

( k = 1 . . . N ) r e p r e s e n t s t h e w a y -

p o i n t c o o r d i n a t e s . C a r e m u s t b e t a k e n t o s e l e c t

t h e p r o p e r q u a d r a n t f o r

c

( t ) . A f t e r t h e q u a d r a n t

c h e c k i s p e r f o r m e d , t h e n e x t w a y p o i n t c a n b e

s e l e c t e d o n a b a s i s o f w h e t h e r t h e v e s s e l l i e s w i t h i n

a c i r c l e o f a c c e p t a n c e :

x

d

( k ) ? x ( t ) ]

2

+ y

d

( k ) ? y ( t ) ]

2

2

0

( 4 3 )

w h e r e

0

i s t h e r a d i u s . I f t h i s c o n s t r a i n t i s s a t i s -

e d t h e n e x t w a y p o i n t x

d

( k + 1 ) ; y

d

( k + 1 ) ] s h o u l d

b e s e l e c t e d . T h e m e a s u r e o f t r a c k i n g i s :

s = ~u ; ~v ;

_

~

+

~

]

T

( 4 4 )

H e n c e t h e A S B v i r t u a l r e f e r e n c e t r a j e c t o r i e s c a n

b e c o m p u t e d a s :

_

r

=

2

4

_u

r

_v

r

r

3

5

=

2

4

u

d

v

d

d

? (

_

?

_

d

)

3

5

( 4 5 )

T h e r e s u l t i n g c o n t r o l l a w s a r e :

A S B

= Y ( _

r

;

r

; )

A S B

? K

D

s ( 4 6 )

D C A L

= Y (

_

d

;

d

;

d

)

D C A L

? K

D

s ( 4 7 )

w h e r e Y ( ) i s g i v e n i n A p p e n d i x B a n d :

_

A S B

= ? ? Y

T

(

_

r

;

r

; ) s ( 4 8 )

_

D C A L

= ? ? Y

T

(

_

d

;

d

;

d

) s ( 4 9 )

w h e r e ? = 1 0 0 I . N o t i c e t h a t J ( ) = I f o r t h i s

p a r t i c u l a r c a s e s i n c e

_

= r w h e r e a s t h e o t h e r t w o

s t a t e s a r e v e l o c i t y c o n t r o l l e d .

4 . 3 . 1 . P e r f e c t M e a s u r e m e n t s . T h e n u m e r i c a l r e -

s u l t s a r e s h o w n i n T a b l e 1 . F i g . 5 s h o w s t h e p a -

r a m e t e r e s t i m a t e s a n d F i g . 6 s h o w s t h e t r a c k i n g

p e r f o r m a n c e o f t h e t w o a l g o r i t h m s . N o t i c e t h a t

t h e p e r f o r m a n c e o f t h e t w o a d a p t i v e c o n t r o l l e r s

a r e a l m o s t e q u a l . A l s o n o t i c e t h a t t h e p e r f e c t

m o d e l c o n t r o l l a w s ( =

t r u e

) y i e l d b e t t e r p e r -

f o r m a n c e t h a n t h e i r a d a p t i v e c o u n t e r p a r t s .

4 . 3 . 2 . N o i s y M e a s u r e m e n t s . T h e s i m u l a t i o n

s t u d y i n S e c t i o n 4 . 3 . 1 w a s r e p e a t e d b y a d d i n g

w h i t e n o i s e t o t h e s t a t e m e a s u r e m e n t s o f u ; v ; r

a n d . I t t u r n e d o u t t h e A S B a l g o r i t h m w a s

q u i t e s e n s i t i v e t o m e a s u r e m e n t n o i s e . F o r i n s t a n c e

a d d i n g a z e r o - m e a n w h i t e n o i s e s i g n a l

t o t h e

y a w a n g l e m e a s u r e m e n t :



6/9

0 100 200 300 4000

5000

10000

15000

time (s)

M par. estimates DCAL

0 100 200 300 400100

0

100

200

300

400

time (s)

D par. estimates DCAL

0 100 200 300 4000

5000

10000

15000

time (s)

M par. estimates ASB

0 100 200 300 400100

0

100

200

300

400

time (s)

D par. estimates ASB

F i g . 5 . N o m e a s u r e m e n t n o i s e : P a r a m e t e r e s t i m a t e s f o r A S B a n d D C A L .

0 100 200 300 4000

0.5

1

1.5

time (s)

m/s

desired surge vel.

0 100 200 300 4000.5

0

0.5

time (s)

m/s

desired sway vel.

0 100 200 300 40010

5

0

5

10

time (s)

deg

desired yaw angle

0 100 200 300 4000.4

0.2

0

0.2

0.4

time (s)

deg/s

desired yaw rate

0 100 200 300 4000.05

0

0.05

0.1

m/s

ASB surge/sway vel. errors

time (s)0 100 200 300 400

1

0.5

0

0.5

1

deg

ASB yaw angle error

time (s)

0 100 200 300 4001

0.5

0

0.5

1

deg

DCAL yaw angle error

time (s)0 100 200 300 400

0.05

0

0.05

0.1

0.15

m/s

DCAL surge/sway vel. errors

time (s)

F i g . 6 . U p p e r p l o t s s h o w t h e d e s i r e d s t a t e s w h e r e a s t h e l o w e r p l o t s s h o w t h e t r a c k i n g e r r o r s f o r t h e A S B a n d

D C A L ( n o m e a s u r e m e n t n o i s e ) .



7/9

0 500 10001000

0

1000

2000

3000ASB D par. estimates

time [s]0 500 1000

1

0

1

2x 10

4 ASB M par. estimates

time [s]

0 500 10005000

0

5000

10000

15000

20000.

time [s]0 500 1000

1000

0

1000

2000

3000.

time [s]

F i g . 7 . M e a s u r e m e n t n o i s e : M a s s m a t r i x p a r a m e t e r e s t i m a t e s f o r A S B a n d D C A L . N o t i c e t h a t

3

a n d

6

a r e

d r i f t i n g f o r t h e A S B a l g o r i t h m .

0 100 200 300 4000.5

0

0.5

1

1.5

2

time (s)

m/s

actual and desired surge vel.

0 100 200 300 4001

0.5

0

0.5

1

time (s)

m/s

actual and desired sway vel.

0 100 200 300 40020

10

0

10

20

time (s)

deg

actual and desired yaw angle

0 100 200 300 4001

0.5

0

0.5

1

time (s)

deg/s

actual and desired yaw rate

F i g . 8 . M e a s u r e m e n t n o i s e : A c t u a l a n d d e s i r e d s t a t e s f o r D C A L .

m

= +

; j

j 1 : 0 d e g ( 5 0 )

g a v e t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s s h o w n i n F i g . 7 . I t

i s s e e n t h a t t h e f o r t h e A S B a l g o r i t h m , t h e p a -

r a m e t e r e s t i m a t e s o f

3

= I

z

? N

_r

a n d

6

= ? N

r

b o t h c o r r e s p o n d i n g t o t h e y a w m o d e a r e d r i f t i n g .

I t i s a l s o s e e n t h a t t h e D C A L p a r a m e t e r e s t i m a t e s

a r e b o u n d e d e v e n f o r t h e n o i s y c a s e .

P a r a m e t e r d r i f t i n t h e A S B a l g o r i t h m c a n b e e x -

p l a i n e d b y c o n s i d e r i n g t h e u p d a t e l a w s f o r

3

a n d

6

w h e r e t h e s q u a r e s i g n a l

2

m

o c c u r s . T h i s i m -

p l i e s t h a t w h i t e n o i s e

i s s q u a r e d a n d i n t e g r a t e d

u p t o a n o n - z e r o t e r m c a u s i n g p a r a m e t e r d r i f t .

F o r t h e D C A L a l g o r i t h m t h i s i s a v o i d e d s i n c e t h e

p r o d u c t b e t w e e n t h e d e s i r e d s t a t e

d

a n d t h e m e a -

s u r e m e n t

m

i s u s e d i n s t e a d . T h e p e r f o r m a n c e o f

t h e D C A L a l g o r i t h m w i t h t h e h i g h l y n o i s e c o n -

t a m i n a t e d s i g n a l s :

u

m

= u +

u

; j

u

j 0 : 1 m / s ( 5 1 )

v

m

= v +

v

; j

v

j 0 : 1 m / s ( 5 2 )

r

m

= r +

r

; j

r

j 0 : 1 d e g / s ( 5 3 )

m

= +

; j

j 1 : 0 d e g ( 5 4 )

a r e s h o w n i n F i g u r e 8 . I t i s s h o w n t h a t t h e p e r -

f o r m a n c e i s s a t i s f a c t o r y a l s o f o r t h i s c a s e .

4 . 4 . C o m m e n t s o n t h e A S B a n d D C A L A l g o -

r i t h m s

I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e A S B c o n t r o l s c h e m e

i s s e n s i t i v e t o v e l o c i t y m e a s u r e m e n t n o i s e , s e e

B e r g h u i s ( 1 9 9 3 ) f o r i n s t a n c e . F o r a n u n d e r w a -

t e r v e h i c l e b o d y - x e d v e l o c i t i e s a r e u s u a l l y o b -

t a i n e d b y m o d e l - b a s e d s t a t e e s t i m a t i o n t h r o u g h



8/9

n o i s y p o s i t i o n m e a s u r e m e n t s . T h i s i m p l i e s t h a t

t h e v e l o c i t y e s t i m a t e s c a n b e c o n t a m i n a t e d w i t h

a s i g n i c a n t a m o u n t o f n o i s e . I n s u c h c a s e s t h e

A S B a l g o r i t h m c a n g o u n s t a b l e d u e t o d r i f t i n

t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s . H o w e v e r , s o m e p r e c a u -

t i o n s a g a i n s t p a r a m e t e r d r i f t c a n b e t a k e n b y

s m a l l m o d i c a t i o n s o f t h e a d a p t i v e s c h e m e e . g .

b y a p p l y i n g t h e s o - c a l l e d a n d e

1

m o d i c a t i o n

s c h e m e s , N a r e n d r a a n d A n n a s w a m y ( 1 9 8 7 ) .

T h e c a s e s t u d y s h o w e d t h a t t h e D C A L w a s l e s s

s e n s i t i v e t o v e l o c i t y m e a s u r e m e n t n o i s e t h a n t h e

A S B . T h e m a i n r e a s o n f o r t h i s i s t h a t t h e a c t u a l

p o s i t i o n a n d v e l o c i t y i n t h e D C A L r e g r e s s o r i s

r e p l a c e d b y t h e d e s i r e d s t a t e t r a j e c t o r i e s .

5 . C O N C L U S I O N S

I n t h i s p a p e r t w o d i r e c t a d a p t i v e c o n t r o l l a w s , r e -

f e r r e d t o a s t h e a d a p t i v e c o n t r o l l a w o f S l o t i n e

a n d B e n e d e t t o ( A S B ) , a n d t h e d e s i r e d c o m p e n -

s a t i o n a d a p t i v e c o n t r o l l a w ( D C A L ) b y S a d e g h

a n d H o r o w i t z , h a v e b e e n s t u d i e d i n t h e c o n t e x t

o f m e a s u r e m e n t n o i s e . I t i s c o n c l u d e d t h a t t h e

D C A L a l g o r i t h m i s t h e o n l y s u i t e d a l g o r i t h m f o r

r e a l - t i m e A U V a p p l i c a t i o n s . A g l o b a l l y a s y m p t o t -

i c a l l y n o n l i n e a r o b s e r v e r f o r e s t i m a t i o n o f l i n e a r

v e l o c i t y i s a l s o p r e s e n t e d .

T h e o b s e r v e r i s i n t e n d e d f o r i m p l e m e n t a t i o n t o -

g e t h e r w i t h t h e D C A L a l g o r i t h m . T h e c a s e s t u d y

a l s o s h o w s t h a t t h e D C A L w i t h x e d p a r a m e t e r s

i s h i g h l y r o b u s t f o r m e a s u r e m e n t n o i s e . I t c a n a l s o

b e c o n c l u d e d t h a t d i r e c t p a r a m e t e r a d a p t a t i o n

s h o u l d o n l y b e u s e d i f a c c u r a t e p o s i t i o n m e a s u r e -

m e n t s a r e a v a i l a b l e a t h i g h s a m p l i n g f r e q u e n c y

( 1 { 1 0 H z ) .

6 . R E F E R E N C E S

B e r g h u i s , H . ( 1 9 9 3 ) . M o d e l - B a s e d R o b o t C o n t r o l :

F r o m T h e o r y t o P r a c t i c e . P h D t h e s i s . U n i v e r -

s i t y o f T w e n t e , E n s c h e d e , T h e N e t h e r l a n d s .

F o s s e n , T . I . ( 1 9 9 3 ) . C o m m e n t s o n " H a m i l t o n i a n

A d a p t i v e C o n t r o l o f S p a c e c r a f t " . I E E E T r a n s -

a c t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t r o l A C - 3 8 ( 4 ) , 6 7 1 {

6 7 2 .

F o s s e n , T . I . ( 1 9 9 4 ) . G u i d a n c e a n d C o n t r o l o f

O c e a n V e h i c l e s . J o h n W i l e y a n d S o n s L t d .

F o s s e n , T . I . a n d O . E . F j e l l s t a d ( 1 9 9 5 ) . N o n l i n -

e a r M o d e l l i n g o f M a r i n e V e h i c l e s i n 6 D e g r e e s o f

F r e e d o m . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M a t h e m a t i -

c a l M o d e l l i n g o f S y s t e m s J M M S - 1 ( 1 ) .

F o s s e n , T . I . a n d S . I . S a g a t u n ( 1 9 9 1 ) . A d a p -

t i v e C o n t r o l o f N o n l i n e a r S y s t e m s : A C a s e

S t u d y o f U n d e r w a t e r R o b o t i c S y s t e m s . J o u r -

n a l o f R o b o t i c S y s t e m s J R S - 8 ( 3 ) , 3 9 3 { 4 1 2 .

G e l b , A . , J . F . K a s p e r , J r . , R . A . N a s h , J r . , C . F .

P r i c e a n d A . A . S u t h e r l a n d , J r . ( 1 9 8 8 ) . A p p l i e d

O p t i m a l E s t i m a t i o n . M I T P r e s s . B o s t o n , M a s -

s a c h u s e t t s .

H e a l e y , A . J . a n d D . L i e n a r d ( 1 9 9 3 ) . M u l t i v a r i a b l e

S l i d i n g M o d e C o n t r o l f o r A u t o n o m o u s D i v i n g

a n d S t e e r i n g o f U n m a n n e d U n d e r w a t e r V e h i -

c l e s . I E E E J o u r n a l o f O c e a n E n g i n e e r i n g O E -

1 8 ( 3 ) , 3 2 7 { 3 3 9 .

N a r e n d r a , K . S . a n d A . M . A n n a s w a m y ( 1 9 8 7 ) . A

N e w A d a p t i v e L a w f o r R o b u s t A d a p t i o n W i t h -

o u t P e r s i s t e n t E x c i t a t i o n . I E E E T r a n s a c t i o n s

o n A u t o m a t i c C o n t r o l A C - 3 2 ( 2 ) , 1 3 4 { 1 4 5 .

S a d e g h , N . a n d R . H o r o w i t z ( 1 9 9 0 ) . S t a b i l i t y a n d

R o b u s t n e s s A n a l y s i s o f a C l a s s o f A d p t i v e C o n -

t r o l l e r s f o r R o b o t i c M a n i p u l t a o r s . I n t . J o u r n a l

o f R o b o t i c s R e s e a r c h 9 , 7 4 { 9 4 .

S a g a t u n , S . I . a n d T . I . F o s s e n ( 1 9 9 1 ) . L a g r a n g i a n

F o r m u l a t i o n o f U n d e r w a t e r V e h i c l e s ' D y n a m -

i c s . I n : P r o c e e d i n g s o f t h e I E E E I n t e r n a t i o n a l

C o n f e r e n c e o n S y s t e m s , M a n a n d C y b e r n e t i c s .

C h a r l o t t e s v i l l e , V A . p p . 1 0 2 9 { 1 0 3 4 .

S l o t i n e , J . J . E . a n d M . D . D i B e n e d e t t o ( 1 9 9 0 ) .

H a m i l t o n i a n A d a p t i v e C o n t r o l o f S p a c e c r a f t .

I E E E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t r o l A C -

3 5 ( 7 ) , 8 4 8 { 8 5 2 .

S N A M E ( 1 9 5 0 ) . T h e S o c i e t y o f N a v a l A r c h i t e c t s

a n d M a r i n e E n g i n e e r s . N o m e n c l a t u r e f o r T r e a t -

i n g t h e M o t i o n o f a S u b m e r g e d B o d y T h r o u g h

a F l u i d . I n : T e c h n i c a l a n d R e s e a r c h B u l l e t i n

N o . 1 - 5 .

A . G E N E R A L 6 D O F A U V M O D E L

A U V D y n a m i c s . T h e 6 6 i n e r t i a m a t r i x M i n -

c l u d e d h y d r o d y n a m i c a d d e d m a s s i s w r i t t e n :

M =

M

1 1

M

1 2

M

2 1

M

2 2

( 5 5 )

E x p a n d i n g t h i s e x p r e s s i o n i n t e r m s o f t h e S N A M E

( 1 9 5 0 ) n o t a t i o n y i e l d s :

M =

2

6

6

4

m ? X

_u

? X

_v

? X

_w

? X

_v

m ? Y

_v

? Y

_w

? X

_w

? Y

_w

m ? Z

_w

? X

_p

? m z

G

? Y

_p

m y

G

? Z

_p

z

G

? X

_q

? Y

_q

? m x

G

? Z

_q

? m y

G

? X

_r

m x

G

? Y

_r

? Z

_r

? X

_p

m z

G

? X

_q

? m y

G

? X

_r

? m z

G

? Y

_p

? Y

_q

m x

G

? Y

_r

m y

G

? Z

_p

? m x

G

? Z

_q

? Z

_r

I

x

? K

_p

? I

x y

? K

_q

? I

z x

? K

_r

? I

x y

? K

_q

I

y

? M

_q

? I

y z

? M

_r

? I

z x

? K

_r

? I

y z

? M

_r

I

z

? N

_r

3

7

7

5

( 5 6 )

S a g a t u n a n d F o s s e n ( 1 9 9 1 ) h a v e s h o w n t h a t t h e

C o r i o l i s a n d c e n t r i p e t a l m a t r i x c a n b e d e n e d i n

t e r m s o f t h e i n e r t i a m a t r i x e l e m e n t s a c c o r d i n g t o :

C ( ) =

0

3 3

? S ( M

1 1

1

+ M

1 2

2

)

? S ( M

1 1

1

+ M

1 2

2

)

? S ( M

2 1

1

+ M

2 2

2

)

( 5 7 )



9/9

w h e r e S ( ) i s a 3 3 s k e w - s y m m e t r i c a l m a t r i x o p -

e r a t o r d e n e d s u c h t h a t S ( a ) b = a b f o r a 2 I R

3

a n d b 2 I R

3

; s e e F o s s e n a n d F j e l l s t a d ( 1 9 9 5 ) f o r

d e t a i l s . T h e v e c t o r t e r m D ( v ) v 2 I R

6

i s s i m p l y a

v e c t o r c o n t a i n i n g d i s s i p a t i v e f o r c e s a n d m o m e n t s

d u e t o h y d r o d y n a m i c d a m p i n g a n d l i f t w h e r e a s

g ( ) 2 I R

6

i s t h e g r a v i t a t i o n a l a n d b u o y a n t f o r c e s

a n d m o m e n t s d e n e d b y :

g ( ) = g

T

1

( ) ; g

T

2

( ) ]

T

2

6

6

6

4

( W ? B ) s

? ( W ? B ) c s

? ( W ? B ) c c

? ( y

G

W ? y

B

B ) c c + ( z

G

W ? z

B

B ) c s

( z

G

W ? z

B

B ) s + ( x

G

W ? x

B

B ) c c

? ( x

G

W ? x

B

B ) c s ? ( y

G

W ? y

B

B ) s

3

7

7

7

5

( 5 8 )

K i n e m a t i c s . E q . ( 2 ) d e s c r i b e s t h e k i n e m a t i c

e q u a t i o n s o f m o t i o n w h e r e J ( ) i s a 6 6 b l o c k

d i a g o n a l t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x u s u a l l y d e n e d i n

t e r m s o f t h e E u l e r a n g l e s ; a n d a c c o r d i n g t o :

J ( ) =

J

1

( ) 0

3 3

0

3 3

J

2

( )

( 5 9 )

H e r e J

1

( ) i s t h e E u l e r a n g l e r o t a t i o n m a t r i x d e -

n e d a s :

J

1

( ) =

"

c c ? s c + c s s

s c c c + s s s

? s c s

s s + c c s

? c s + s s c

c c

#

( 6 0 )

a n d J

2

( ) i s t h e a n g u l a r v e l o c i t y t r a n s f o r m a t i o n

m a t r i x d e n e d a s :

J

2

( ) =

"

1 s t c t

0 c ? s

0 s = c c = c

#

( 6 1 )

N o n l i n e a r M o d e l P r o p e r t i e s . I n F o s s e n ( 1 9 9 4 ) i t

i s s h o w n t h a t t h e n o n l i n e a r m o d e l ( 1 ) a n d ( 2 ) s a t -

i s e s t h e f o l l o w i n g m o d e l p r o p e r t i e s :

1 . M = M

T

> 0 a n d

_

M = 0 ( a s s u m i n g c o n s t .

a d d e d m a s s f o r a d e e p l y s u b m e r g e d v e h i c l e ) .

2 . C ( ) = ? C

T

( ) i m p l y i n g t h a t :

x

T

C ( ) x = 0 8 x 2 I R

6

; 2 I R

6

3 .

T

D ( ) 0 8 2 I R

6

B . N P S A U V I I M O D E L P A R A M E T E R S

T h e A U V m o d e l u s e d i n t h e c a s e s t u d i e s i s b a s e d

o n t h e N a v a l P o s t g r a d u a t e S c h o o l ( N P S ) A U V I I ,

H e a l e y a n d L i e n a r d ( 1 9 9 3 ) . T h e h o r i z o n t a l m o -

t i o n ( s u r g e , s w a y a n d y a w ) o f t h e N P S A U V I I i s

d e s c r i b e d b y :

W = 5 3 4 0 0 N I

z

= 2 0 3 8 k g m C

d

= 0 0 0 3 4

m = 5 4 4 3 4 k g L = 5 3 m = 1 0 0 0 k g / m

3

T h e d y n a m i c p r e s s u r e i s :

q = 0 : 5 L

2

= 1 4 0 4 5 : 0 k g / m

w h e r e a s

X

_u

= ? 7 6 1 0

? 3

q L X

u j u j

= ? C

d

q

Y

_v

= ? 5 5 1 0

? 2

q L Y

v

= ? 1 0 1 0

? 1

q

N

_r

= ? 3 4 1 0

? 3

q L

3

N

r

= ? 1 6 1 0

? 2

q L

2

Y

r

= 1 2 1 0

? 3

q L N

v

= ? 7 4 1 0

? 3

q L

T h e m a t r i c e s a r e :

M =

"

m ? X

_u

0 0

0 m ? Y

_v

0

0 0 I

z

? N

_r

#

C ( ) =

0 0 ? ( m ? Y

_v

) v

0 0 ( m ? X

_u

) u

( m ? Y

_v

) v ? ( m ? X

_u

) u 0

D ( ) =

"

? X

u j u j

j u j 0 0

0 ? Y

v

? Y

r

0 ? N

v

? N

r

#

R e g r e s s i o n F o r m . T h i s m o d e l c a n b e w r i t t e n i n

r e g r e s s i o n f o r m :

M

_

r + C ( v ) r + D ( v ) r = Y (

_

r ; r ; v )

w i t h p a r a m e t e r v e c t o r :

= m ? X

_u

; m ? Y

_v

; I

z

? N

_r

;

? X

u j u j

; ? Y

v

; ? N

r

; ? Y

r

; ? N

v

T

a n d r e g r e s s o r :

Y = Y

m

+ Y

c

; Y

d

]

w h e r e :

Y

m

=

"

_r

1

0 0

0 _r

2

0

0 0 _r

3

#

Y

c

=

"

0 ? r

2

v

3

0

r

1

v

3

0 0

? r

1

v

2

r

2

v

1

0

#

Y

d

=

"

j r

1

j v

1

0 0 0 0

0 v

2

0 v

3

0

0 0 v

3

0 v

2

#


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