Ring of setsFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Algebraic function 11.1 Algebraic functions in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Introduction and overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 The role of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Almost periodic function 62.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Uniform or Bohr or Bochner almost periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Stepanov almost periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3 Weyl almost periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.4 Besicovitch almost periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.5 Almost periodic functions on a locally compact abelian group . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Quasiperiodic signals in audio and music synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Antiholomorphic function 12

4 Asymmetric norm 134.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Automorphic function 145.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

i

ii CONTENTS

6 Baire function 156.1 Classication of Baire functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2 Baire class 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3 Baire class 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.4 Baire class 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7 Baire one star function 177.1 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8 Barrier function 188.1 Logarithmic barrier function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.1.1 Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.1.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9 Basis function 199.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9.1.1 Polynomial bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.1.2 Fourier basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

10 Bijection 2010.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10.2.1 Batting line-up of a baseball team . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.2.2 Seats and students of a classroom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10.3 More mathematical examples and some non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.4 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.6 Bijections and cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.8 Bijections and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.9 Generalization to partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.10Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

CONTENTS iii

11 Binary function 2611.1 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.2 Example division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.3 Restrictions to ordinary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.4 Generalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.5 Generalisations to ternary and other functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.6 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

12 Birkhos representation theorem 2812.1 Understanding the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2812.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2812.3 The partial order of join-irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912.4 Birkhos theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912.5 Rings of sets and preorders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012.6 Functoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012.7 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3112.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3112.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

13 Bochner measurable function 3413.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

14 Borel set 3614.1 Generating the Borel algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

14.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.2 Standard Borel spaces and Kuratowski theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.3 Non-Borel sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.4 Alternative non-equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3914.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

15 Bounded function 4015.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

16 Bounded type (mathematics) 4216.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4216.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4316.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

iv CONTENTS

16.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

17 Cauchy-continuous function 4517.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.3 Examples and non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.4 Generalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

18 Closed convex function 4718.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4718.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

19 Coarse function 4819.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4819.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

20 Coercive function 4920.1 Coercive vector elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4920.2 Coercive operators and forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4920.3 Norm-coercive mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5020.4 (Extended valued) coercive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5020.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

21 Complex-valued function 5121.1 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5221.2 Functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5321.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5321.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

22 Concave function 5422.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5422.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5622.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

23 Conformal map 5723.1 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5723.2 Riemannian geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5823.3 Higher-dimensional Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5823.4 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5823.5 Alternative angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

CONTENTS v

23.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5923.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5923.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

24 Constant function 6224.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6224.2 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6224.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6424.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

25 Constructible function 6525.1 Time-constructible denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6525.2 Space-constructible denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6525.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6525.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

26 Continuous function 6726.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6726.2 Real-valued continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

26.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6726.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7026.2.3 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7326.2.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7426.2.5 Directional and semi-continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

26.3 Continuous functions between metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7626.3.1 Uniform, Hlder and Lipschitz continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

26.4 Continuous functions between topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7726.4.1 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7926.4.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8026.4.3 Homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8126.4.4 Dening topologies via continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

26.5 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8126.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8226.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8226.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

27 Continuous functions on a compact Hausdor space 8427.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8427.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8527.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

28 Convex function 8628.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

vi CONTENTS

28.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8728.3 Convex function calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8828.4 Strongly convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

28.4.1 Uniformly convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9028.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9028.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9128.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9228.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9228.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

29 Cyclic order 9329.1 Finite cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9429.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

29.2.1 The ternary relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9529.2.2 Rolling and cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9529.2.3 Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9629.2.4 Automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

29.3 Monotone functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9629.3.1 Functions on nite sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9729.3.2 Completion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

29.4 Further constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9729.4.1 Unrolling and covers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9729.4.2 Products and retracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

29.5 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9929.6 Related structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

29.6.1 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10029.6.2 Modied axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

29.7 Symmetries and model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10029.8 Cognition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10029.9 Notes on usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10129.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10129.11Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10529.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

30 Delta-ring 10730.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10730.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

31 Distributive lattice 10831.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.2 Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

CONTENTS vii

31.4 Characteristic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11031.5 Representation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11031.6 Free distributive lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11131.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11231.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11231.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

32 Dynkin system 11432.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11432.2 Dynkins - theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11432.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11532.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

33 Elementary function 11633.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11633.2 Dierential algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11733.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11733.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11733.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

34 Empty function 11834.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

35 Empty set 11935.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11935.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

35.2.1 Operations on the empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12235.3 In other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

35.3.1 Extended real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12235.3.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12235.3.3 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

35.4 Questioned existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12335.4.1 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12335.4.2 Philosophical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

35.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12435.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12435.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12435.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

36 Even and odd functions 12536.1 Denition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

36.1.1 Even functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12636.1.2 Odd functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

viii CONTENTS

36.2 Some facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12836.2.1 Continuity and dierentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12836.2.2 Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12836.2.3 Calculus properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

36.3 Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13136.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13136.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13136.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

37 Fabius function 13337.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

38 Family of sets 13538.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13538.2 Special types of set family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13538.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13538.4 Related concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13538.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13638.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13638.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

39 Field of sets 13739.1 Fields of sets in the representation theory of Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

39.1.1 Stone representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13739.1.2 Separative and compact elds of sets: towards Stone duality . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

39.2 Fields of sets with additional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13839.2.1 Sigma algebras and measure spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13839.2.2 Topological elds of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13839.2.3 Preorder elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13939.2.4 Complex algebras and elds of sets on relational structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

39.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14039.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14039.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

40 Functional (mathematics) 14140.1 Functional details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

40.1.1 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14140.1.2 Denite integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14240.1.3 Vector scalar product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14340.1.4 Locality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

40.2 Functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14340.3 Functional derivative and functional integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14340.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

CONTENTS ix

40.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

41 Global analytic function 14541.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

41.1.1 Sheaf-theoretic denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14541.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

42 HardyLittlewood maximal function 14642.1 HardyLittlewood maximal inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14642.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14742.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14742.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14842.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

43 Hermitian function 15043.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15043.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

44 Holomorphic function 15244.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15244.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15344.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15344.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15444.5 Several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15444.6 Extension to functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15544.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15544.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15544.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

45 Homogeneous function 15945.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

45.1.1 Linear functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15945.1.2 Homogeneous polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15945.1.3 Polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16045.1.4 Rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

45.2 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16145.2.1 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16145.2.2 Ane functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

45.3 Positive homogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16145.4 Homogeneous distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16245.5 Application to dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16245.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16245.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

x CONTENTS

45.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

46 Hypertranscendental function 16446.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16446.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16446.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

46.3.1 Hypertranscendental functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16446.3.2 Transcendental but not hypertranscendental functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16446.3.3 Non-transcendental (algebraic) functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

46.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16546.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16546.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

47 Ideal (set theory) 16647.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16647.2 Examples of ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

47.2.1 General examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16647.2.2 Ideals on the natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16647.2.3 Ideals on the real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16747.2.4 Ideals on other sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

47.3 Operations on ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16747.4 Relationships among ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16747.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16747.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

48 Identity function 16948.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17048.2 Algebraic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17048.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17048.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17048.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

49 Indicator function 17149.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17149.2 Remark on notation and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17249.3 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17249.4 Mean, variance and covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17349.5 Characteristic function in recursion theory, Gdels and Kleenes representing function . . . . . . . 17349.6 Characteristic function in fuzzy set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17349.7 Derivatives of the indicator function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17449.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17449.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17549.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

CONTENTS xi

50 Injective function 17650.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17750.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17850.3 Injections can be undone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18150.4 Injections may be made invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18150.5 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18150.6 Proving that functions are injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18250.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18250.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18350.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18350.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

51 Integer-valued function 18451.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18551.2 Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18551.3 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

51.3.1 Graph theory and algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18551.3.2 Mathematical logic and computability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18551.3.3 Number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18551.3.4 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

51.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

52 Intersection (set theory) 18752.1 Basic denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

52.1.1 Intersecting and disjoint sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18952.2 Arbitrary intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19052.3 Nullary intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19152.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19252.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19252.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19252.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

53 Invex function 19353.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19353.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19353.3 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

54 K-convex function 19454.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

54.1.1 Denition 1 (The original denition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19454.1.2 Denition 2 (Denition with geometric interpretation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19454.1.3 Proof of Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

54.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

xii CONTENTS

54.2.1 Property 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19554.2.2 Property 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19554.2.3 Property 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19554.2.4 Property 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

54.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19554.4 External Links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

55 Koenigs function 19655.1 Existence and uniqueness of Koenigs function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

55.1.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19655.2 Koenigs function of a semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19755.3 Structure of univalent semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19755.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19855.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

56 Kostant partition function 19956.1 Relation to the Weyl character formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19956.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

57 Lebesgue measure 20157.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

57.1.1 Intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20157.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20257.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20257.4 Null sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20357.5 Construction of the Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20457.6 Relation to other measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20457.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20557.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

58 Liouvillian function 20658.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20658.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20658.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20758.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

59 List of types of functions 20859.1 Relative to set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20859.2 Relative to an operator (c.q. a group or other structure) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20859.3 Relative to a topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20959.4 Relative to an ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20959.5 Relative to the real/complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20959.6 Ways of dening functions/Relation to Type Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

CONTENTS xiii

59.7 Relation to Category Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20959.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

60 Locally integrable function 21160.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

60.1.1 Standard denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21160.1.2 An alternative denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21160.1.3 Generalization: locally p-integrable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21260.1.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

60.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21260.2.1 Lp, is a complete metric space for all p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21260.2.2 Lp is a subspace of L, for all p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21360.2.3 L, is the space of densities of absolutely continuous measures . . . . . . . . . . . . . . . 213

60.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21460.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21460.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21560.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21560.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21660.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

61 Mathematics 21861.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

61.1.1 Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21961.1.2 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

61.2 Denitions of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22261.2.1 Mathematics as science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

61.3 Inspiration, pure and applied mathematics, and aesthetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22561.4 Notation, language, and rigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22661.5 Fields of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

61.5.1 Foundations and philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22761.5.2 Pure mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22861.5.3 Applied mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

61.6 Mathematical awards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23061.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23161.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23161.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23361.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23461.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

62 Measurable function 23662.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23662.2 Caveat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

xiv CONTENTS

62.3 Special measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23762.4 Properties of measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23762.5 Non-measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23762.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23862.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23862.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

63 Measure (mathematics) 23963.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23963.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24063.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

63.3.1 Monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24163.3.2 Measures of innite unions of measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24163.3.3 Measures of innite intersections of measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

63.4 Sigma-nite measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24163.5 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24263.6 Additivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24263.7 Non-measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24263.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24263.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24363.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24363.11Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24463.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

64 Morphism of varieties 24764.1 Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24764.2 Ocial denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24764.3 Relation to rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24764.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24864.5 Fibers of a morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24864.6 Degree of a nite morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24964.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24964.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

65 Negligible function 25165.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25165.2 Use in Cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25265.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25265.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

66 Non-measurable set 25366.1 Historical constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25366.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

CONTENTS xv

66.3 Consistent denitions of measure and probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25466.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25466.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

66.5.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25466.5.2 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

67 Nowhere continuous function 25567.1 Dirichlet function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25567.2 Hyperreal characterisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25667.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25667.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25667.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

68 Periodic function 25768.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25768.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25868.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25868.4 Double-periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25868.5 Complex example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25968.6 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

68.6.1 Antiperiodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25968.6.2 Bloch-periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25968.6.3 Quotient spaces as domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

68.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26068.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26068.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

69 Pi system 26269.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26269.2 Relationship to -Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

69.2.1 The - Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26369.3 -Systems in Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

69.3.1 Equality in Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26469.3.2 Independent Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

69.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26569.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26569.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

70 Piecewise linear function 26670.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26670.2 Fitting to a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26670.3 Fitting to data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26670.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

xvi CONTENTS

70.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26870.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26870.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

71 Polyconvex function 27071.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

72 Positive-denite function 27172.1 In dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27172.2 In analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

72.2.1 Bochners theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27172.2.2 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

72.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27272.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27272.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

73 Positive-real function 27373.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27373.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27473.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27473.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

73.4.1 Irrational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27473.4.2 Matrix-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

73.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

74 Power function 27674.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

75 Progressive function 279

76 Proper convex function 28076.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28076.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

77 Proto-value functions 28177.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28177.2 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28177.3 Basis functions from graph Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

77.3.1 Graph construction on discrete state space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28277.3.2 Graph construction on continuous or large state space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

77.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28277.4.1 Least-squares approximation using proto-value functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

77.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28377.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

CONTENTS xvii

78 Pseudoanalytic function 28478.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28478.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

79 Pseudoconvex function 28579.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28579.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28579.3 Generalization to nondierentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28579.4 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28679.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28679.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28679.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

80 Quasiconvex function 28780.1 Denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28980.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

80.2.1 Mathematical optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29080.2.2 Economics and partial dierential equations: Minimax theorems . . . . . . . . . . . . . . . 291

80.3 Preservation of quasiconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29180.3.1 Operations preserving quasiconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29180.3.2 Operations not preserving quasiconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

80.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29180.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29180.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29280.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

81 Quasiperiodic function 29381.1 Quasiperiodic signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29481.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29481.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

82 Quasisymmetric function 29582.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29582.2 Important bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29582.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29682.4 Related algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29682.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29782.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

83 Radial function 29983.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29983.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

84 Radially unbounded function 301

xviii CONTENTS

84.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

85 Radonifying function 30285.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30285.2 Push forward of a CSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30285.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

86 Real-valued function 30486.1 In general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30486.2 Measurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30586.3 Continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30586.4 Smooth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30586.5 Appearances in measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30586.6 Other appearances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30686.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30686.8 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30686.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

87 Regulated function 30787.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30787.2 Properties of regulated functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30787.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

88 Representative function 30988.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

89 Ring of sets 31089.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31089.2 Related structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31189.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31189.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

90 Ring of symmetric functions 31290.1 Symmetric polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31290.2 The ring of symmetric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

90.2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31390.2.2 Dening individual symmetric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31490.2.3 A principle relating symmetric polynomials and symmetric functions . . . . . . . . . . . . 315

90.3 Properties of the ring of symmetric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31590.3.1 Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31590.3.2 Structural properties of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31690.3.3 Generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

90.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31790.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

CONTENTS xix

91 Round function 31891.1 For instance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31891.2 Round complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31991.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

92 Rvachev function 32092.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32092.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32092.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

93 Semiring 32193.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32193.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

93.2.1 In general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32293.2.2 Specic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

93.3 Semiring theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32393.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32393.5 Complete and continuous semirings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32393.6 Star semirings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

93.6.1 Complete star semirings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32493.7 Further generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32593.8 Semiring of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32593.9 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32593.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32593.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32593.12Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32593.13Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

94 Set (mathematics) 32894.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32994.2 Describing sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32994.3 Membership . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

94.3.1 Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33194.3.2 Power sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

94.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33294.5 Special sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33294.6 Basic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

94.6.1 Unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33394.6.2 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33494.6.3 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33494.6.4 Cartesian product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

94.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

xx CONTENTS

94.8 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33794.9 Principle of inclusion and exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33894.10De Morgans Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33894.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33994.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33994.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33994.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

95 Sigma-algebra 34095.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

95.1.1 Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34095.1.2 Limits of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34195.1.3 Sub -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

95.2 Denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34295.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34295.2.2 Dynkins - theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34295.2.3 Combining -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34295.2.4 -algebras for subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34395.2.5 Relation to -ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34395.2.6 Typographic note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

95.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34495.3.1 Simple set-based examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34495.3.2 Stopping time sigma-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

95.4 -algebras generated by families of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34495.4.1 -algebra generated by an arbitrary family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34495.4.2 -algebra generated by a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34495.4.3 Borel and Lebesgue -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34595.4.4 Product -algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34595.4.5 -algebra generated by cylinder sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34595.4.6 -algebra generated by random variable or vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34695.4.7 -algebra generated by a stochastic process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

95.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34695.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34795.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

96 Sigma-ideal 34896.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

97 Sigma-ring 34997.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34997.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34997.3 Similar concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

CONTENTS xxi

97.4 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34997.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35097.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

98 Simple function 35198.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35198.2 Properties of simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35198.3 Integration of simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35198.4 Relation to Lebesgue integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35298.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

99 Single-valued function 35399.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35399.2 Injective functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

100Singular function 355100.1When referring to functions with a singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356100.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356100.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

101Slowly varying function 357101.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357101.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357101.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358101.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

102Subharmonic function 359102.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359102.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359102.3Subharmonic functions in the complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

102.3.1 Harmonic majorants of subharmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360102.3.2 Subharmonic functions in the unit disc. Radial maximal function . . . . . . . . . . . . . . 360

102.4Subharmonic functions on Riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361102.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361102.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361102.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

103Sublinear function 363103.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363103.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363103.3Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363103.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

104Subset 364

xxii CONTENTS

104.1Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365104.2 and symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365104.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365104.4Other properties of inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366104.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366104.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366104.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

105Successor function 368105.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368105.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

106Support function 369106.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369106.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369106.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

106.3.1 As a function of x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370106.3.2 As a function of A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

106.4Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371106.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371106.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

107Supporting functional 372107.1Mathematical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372107.2Relation to support function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372107.3Relation to supporting hyperplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372107.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

108Surjective function 373108.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374108.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374108.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

108.3.1 Surjections as right invertible functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375108.3.2 Surjections as epimorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376108.3.3 Surjections as binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377108.3.4 Cardinality of the domain of a surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377108.3.5 Composition and decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377108.3.6 Induced surjection and induced bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

108.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377108.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378108.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

109Symmetrically continuous function 379

CONTENTS xxiii

109.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

110Test functions for optimization 380110.1Test functions for single-objective optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380110.2Test functions for multi-objective optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380110.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380110.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

111Transcendental function 382111.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382111.2History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382111.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382111.4Algebraic and transcendental functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383111.5Transcendentally transcendental functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383111.6Exceptional set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383111.7Dimensional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384111.8See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384111.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384111.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

112Transfer function 386112.1LTI systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

112.1.1 Direct derivation from dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387112.2Signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

112.2.1 Common transfer function families . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388112.3Control engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389112.4Optics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389112.5Non-linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389112.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389112.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390112.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

113Triangle inequality 391113.1Euclidean geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

113.1.1 Mathematical expression of the constraint on the sides of a triangle . . . . . . . . . . . . . 392113.1.2 Right triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393113.1.3 Some practical examples of the use of the triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . 395113.1.4 Generalization of the inequality to any polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395113.1.5 Converse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396113.1.6 Generalization of the inequality to higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

113.2Normed vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397113.2.1 Example norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

113.3Metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

xxiv CONTENTS

113.4Reverse triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399113.5Reversal in Minkowski space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399113.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399113.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399113.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400113.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

114Unary function 401114.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401114.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

115Unit interval 402115.1Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

115.1.1 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .