Ring of setsFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Algebraic function 11.1 Algebraic functions in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Introduction and overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 The role of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Almost periodic function 62.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Uniform or Bohr or Bochner almost periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Stepanov almost periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3 Weyl almost periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.4 Besicovitch almost periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.5 Almost periodic functions on a locally compact abelian group . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Quasiperiodic signals in audio and music synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Antiholomorphic function 12

4 Asymmetric norm 134.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Automorphic function 145.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

i

ii CONTENTS

6 Baire function 156.1 Classication of Baire functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2 Baire class 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3 Baire class 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.4 Baire class 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7 Baire one star function 177.1 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8 Barrier function 188.1 Logarithmic barrier function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.1.1 Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.1.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9 Basis function 199.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9.1.1 Polynomial bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.1.2 Fourier basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

10 Bijection 2010.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10.2.1 Batting line-up of a baseball team . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.2.2 Seats and students of a classroom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10.3 More mathematical examples and some non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.4 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.6 Bijections and cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.8 Bijections and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.9 Generalization to partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.10Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

CONTENTS iii

11 Binary function 2611.1 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.2 Example division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.3 Restrictions to ordinary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.4 Generalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.5 Generalisations to ternary and other functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.6 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

12 Birkhos representation theorem 2812.1 Understanding the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2812.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2812.3 The partial order of join-irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912.4 Birkhos theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912.5 Rings of sets and preorders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012.6 Functoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012.7 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3112.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3112.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

13 Bochner measurable function 3413.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

14 Borel set 3614.1 Generating the Borel algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

14.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.2 Standard Borel spaces and Kuratowski theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.3 Non-Borel sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.4 Alternative non-equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3914.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

15 Bounded function 4015.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

16 Bounded type (mathematics) 4216.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4216.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4316.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

iv CONTENTS

16.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

17 Cauchy-continuous function 4517.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.3 Examples and non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.4 Generalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

18 Closed convex function 4718.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4718.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

19 Coarse function 4819.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4819.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

20 Coercive function 4920.1 Coercive vector elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4920.2 Coercive operators and forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4920.3 Norm-coercive mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5020.4 (Extended valued) coercive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5020.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

21 Complex-valued function 5121.1 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5221.2 Functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5321.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5321.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

22 Concave function 5422.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5422.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5622.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

23 Constant function 5723.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5723.2 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5723.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5923.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

CONTENTS v

24 Constructible function 6024.1 Time-constructible denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6024.2 Space-constructible denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6024.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6024.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

25 Continuous function 6225.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6225.2 Real-valued continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

25.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6225.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6525.2.3 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6825.2.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6925.2.5 Directional and semi-continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

25.3 Continuous functions between metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7125.3.1 Uniform, Hlder and Lipschitz continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

25.4 Continuous functions between topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7225.4.1 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7425.4.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7525.4.3 Homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7625.4.4 Dening topologies via continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

25.5 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7625.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7725.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7725.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

26 Continuous functions on a compact Hausdor space 7926.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7926.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8026.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

27 Convex function 8127.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8227.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8227.3 Convex function calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8327.4 Strongly convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

27.4.1 Uniformly convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8527.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8527.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8627.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8727.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8727.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

vi CONTENTS

28 Cyclic order 8828.1 Finite cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8928.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

28.2.1 The ternary relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9028.2.2 Rolling and cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9028.2.3 Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9128.2.4 Automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

28.3 Monotone functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9128.3.1 Functions on nite sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9228.3.2 Completion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

28.4 Further constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9228.4.1 Unrolling and covers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9228.4.2 Products and retracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

28.5 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9428.6 Related structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

28.6.1 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9528.6.2 Modied axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

28.7 Symmetries and model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9528.8 Cognition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9528.9 Notes on usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9628.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9628.11Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10028.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

29 Delta-ring 10229.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10229.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

30 Distributive lattice 10330.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10330.2 Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10330.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10330.4 Characteristic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10530.5 Representation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10530.6 Free distributive lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10730.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10730.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

31 Dynkin system 10931.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10931.2 Dynkins - theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

CONTENTS vii

31.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11031.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

32 Elementary function 11132.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11132.2 Dierential algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11232.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11232.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11232.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

33 Empty function 11333.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

34 Empty set 11434.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11434.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

34.2.1 Operations on the empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11734.3 In other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

34.3.1 Extended real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11734.3.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11734.3.3 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

34.4 Questioned existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11834.4.1 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11834.4.2 Philosophical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

34.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11934.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11934.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11934.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

35 Even and odd functions 12035.1 Denition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

35.1.1 Even functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12135.1.2 Odd functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

35.2 Some facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12335.2.1 Continuity and dierentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12335.2.2 Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12335.2.3 Calculus properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

35.3 Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12635.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12635.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12635.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

36 Fabius function 128

viii CONTENTS

36.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

37 Family of sets 13037.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13037.2 Special types of set family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13037.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13037.4 Related concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13037.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13137.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13137.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

38 Field of sets 13238.1 Fields of sets in the representation theory of Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

38.1.1 Stone representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13238.1.2 Separative and compact elds of sets: towards Stone duality . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

38.2 Fields of sets with additional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13338.2.1 Sigma algebras and measure spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13338.2.2 Topological elds of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13338.2.3 Preorder elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13438.2.4 Complex algebras and elds of sets on relational structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

38.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13538.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13538.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

39 Functional (mathematics) 13639.1 Functional details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

39.1.1 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13639.1.2 Denite integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13739.1.3 Vector scalar product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13839.1.4 Locality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

39.2 Functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13839.3 Functional derivative and functional integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13839.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13939.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

40 Global analytic function 14040.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

40.1.1 Sheaf-theoretic denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14040.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

41 HardyLittlewood maximal function 14141.1 HardyLittlewood maximal inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14141.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

CONTENTS ix

41.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14241.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14341.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

42 Hermitian function 14542.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14542.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

43 Homogeneous function 14743.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

43.1.1 Linear functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14743.1.2 Homogeneous polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14743.1.3 Polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14843.1.4 Rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

43.2 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14943.2.1 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14943.2.2 Ane functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

43.3 Positive homogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14943.4 Homogeneous distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15043.5 Application to dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15043.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15043.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15143.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

44 Hypertranscendental function 15244.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15244.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15244.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

44.3.1 Hypertranscendental functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15244.3.2 Transcendental but not hypertranscendental functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15244.3.3 Non-transcendental (algebraic) functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

44.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15344.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15344.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

45 Ideal (set theory) 15445.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15445.2 Examples of ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

45.2.1 General examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15445.2.2 Ideals on the natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15445.2.3 Ideals on the real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15545.2.4 Ideals on other sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

45.3 Operations on ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

x CONTENTS

45.4 Relationships among ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15545.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15545.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

46 Identity function 15746.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15846.2 Algebraic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15846.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15846.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15846.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

47 Indicator function 15947.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15947.2 Remark on notation and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16047.3 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16047.4 Mean, variance and covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16147.5 Characteristic function in recursion theory, Gdels and Kleenes representing function . . . . . . . 16147.6 Characteristic function in fuzzy set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16147.7 Derivatives of the indicator function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16247.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16247.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16347.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

48 Injective function 16448.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16548.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16648.3 Injections can be undone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16948.4 Injections may be made invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16948.5 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16948.6 Proving that functions are injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17048.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17048.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17148.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17148.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

49 Integer-valued function 17249.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17349.2 Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17349.3 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

49.3.1 Graph theory and algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17349.3.2 Mathematical logic and computability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17349.3.3 Number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17349.3.4 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

CONTENTS xi

49.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

50 Intersection (set theory) 17550.1 Basic denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

50.1.1 Intersecting and disjoint sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17750.2 Arbitrary intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17850.3 Nullary intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17950.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18050.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18050.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18050.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

51 Invex function 18151.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18151.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18151.3 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

52 K-convex function 18252.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

52.1.1 Denition 1 (The original denition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18252.1.2 Denition 2 (Denition with geometric interpretation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18252.1.3 Proof of Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

52.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18352.2.1 Property 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18352.2.2 Property 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18352.2.3 Property 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18352.2.4 Property 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

52.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18352.4 External Links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

53 Koenigs function 18453.1 Existence and uniqueness of Koenigs function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

53.1.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18453.2 Koenigs function of a semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18553.3 Structure of univalent semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18553.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18653.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

54 Kostant partition function 18754.1 Relation to the Weyl character formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18754.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

55 Lebesgue measure 18955.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

xii CONTENTS

55.1.1 Intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18955.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19055.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19055.4 Null sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19155.5 Construction of the Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19255.6 Relation to other measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19255.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19355.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

56 Liouvillian function 19456.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19456.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19456.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19556.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

57 List of types of functions 19657.1 Relative to set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19657.2 Relative to an operator (c.q. a group or other structure) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19657.3 Relative to a topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19757.4 Relative to an ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19757.5 Relative to the real/complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19757.6 Ways of dening functions/Relation to Type Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19757.7 Relation to Category Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19757.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

58 Locally integrable function 19958.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

58.1.1 Standard denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19958.1.2 An alternative denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19958.1.3 Generalization: locally p-integrable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20058.1.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

58.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20058.2.1 Lp, is a complete metric space for all p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20058.2.2 Lp is a subspace of L, for all p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20158.2.3 L, is the space of densities of absolutely continuous measures . . . . . . . . . . . . . . . 201

58.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20258.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20258.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20358.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20358.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20458.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

59 Mathematics 206

CONTENTS xiii

59.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20759.1.1 Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20759.1.2 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

59.2 Denitions of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21059.2.1 Mathematics as science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

59.3 Inspiration, pure and applied mathematics, and aesthetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21359.4 Notation, language, and rigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21459.5 Fields of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

59.5.1 Foundations and philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21559.5.2 Pure mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21659.5.3 Applied mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

59.6 Mathematical awards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21859.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21959.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21959.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22159.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22259.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

60 Measurable function 22460.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22460.2 Caveat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22560.3 Special measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22560.4 Properties of measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22560.5 Non-measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22560.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22660.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22660.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

61 Measure (mathematics) 22761.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22761.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22861.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

61.3.1 Monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22961.3.2 Measures of innite unions of measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22961.3.3 Measures of innite intersections of measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

61.4 Sigma-nite measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22961.5 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23061.6 Additivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23061.7 Non-measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23061.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23061.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23161.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

xiv CONTENTS

61.11Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23261.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

62 Morphism of varieties 23562.1 Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23562.2 Ocial denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23562.3 Relation to rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23562.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23662.5 Fibers of a morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23662.6 Degree of a nite morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23762.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23762.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

63 Negligible function 23963.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23963.2 Use in Cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24063.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24063.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

64 Non-measurable set 24164.1 Historical constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24164.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24164.3 Consistent denitions of measure and probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24264.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24264.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

64.5.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24264.5.2 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

65 Nowhere continuous function 24365.1 Dirichlet function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24365.2 Hyperreal characterisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24465.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24465.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24465.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

66 Periodic function 24566.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24566.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24666.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24666.4 Double-periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24666.5 Complex example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24766.6 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

66.6.1 Antiperiodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

CONTENTS xv

66.6.2 Bloch-periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24766.6.3 Quotient spaces as domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

66.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24866.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24866.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

67 Pi system 25067.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25067.2 Relationship to -Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

67.2.1 The - Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25167.3 -Systems in Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

67.3.1 Equality in Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25267.3.2 Independent Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

67.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25367.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25367.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

68 Piecewise linear function 25468.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25468.2 Fitting to a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25468.3 Fitting to data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25468.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25468.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25668.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25668.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

69 Polyconvex function 25869.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

70 Positive-denite function 25970.1 In dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25970.2 In analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

70.2.1 Bochners theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25970.2.2 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

70.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26070.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26070.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

71 Positive-real function 26171.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26171.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26271.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26271.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

xvi CONTENTS

71.4.1 Irrational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26271.4.2 Matrix-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

71.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

72 Power function 26472.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

73 Progressive function 267

74 Proper convex function 26874.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26874.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

75 Proto-value functions 26975.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26975.2 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26975.3 Basis functions from graph Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

75.3.1 Graph construction on discrete state space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27075.3.2 Graph construction on continuous or large state space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

75.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27075.4.1 Least-squares approximation using proto-value functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

75.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27175.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

76 Pseudoanalytic function 27276.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27276.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

77 Pseudoconvex function 27377.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27377.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27377.3 Generalization to nondierentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27377.4 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27477.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27477.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27477.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

78 Quasiconvex function 27578.1 Denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27778.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

78.2.1 Mathematical optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27878.2.2 Economics and partial dierential equations: Minimax theorems . . . . . . . . . . . . . . . 279

78.3 Preservation of quasiconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27978.3.1 Operations preserving quasiconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

CONTENTS xvii

78.3.2 Operations not preserving quasiconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27978.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27978.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27978.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28078.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

79 Quasiperiodic function 28179.1 Quasiperiodic signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28279.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28279.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

80 Quasisymmetric function 28380.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28380.2 Important bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28380.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28480.4 Related algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28480.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28580.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

81 Radial function 28781.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28781.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

82 Radially unbounded function 28982.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

83 Radonifying function 29083.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29083.2 Push forward of a CSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29083.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

84 Real-valued function 29284.1 In general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29284.2 Measurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29384.3 Continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29384.4 Smooth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29384.5 Appearances in measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29384.6 Other appearances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29484.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29484.8 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29484.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

85 Regulated function 29585.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

xviii CONTENTS

85.2 Properties of regulated functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29585.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

86 Representative function 29786.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

87 Ring of sets 29887.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29887.2 Related structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29987.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29987.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

88 Ring of symmetric functions 30088.1 Symmetric polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30088.2 The ring of symmetric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

88.2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30188.2.2 Dening individual symmetric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30288.2.3 A principle relating symmetric polynomials and symmetric functions . . . . . . . . . . . . 303

88.3 Properties of the ring of symmetric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30388.3.1 Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30388.3.2 Structural properties of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30488.3.3 Generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

88.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30588.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

89 Round function 30689.1 For instance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30689.2 Round complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30789.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

90 Rvachev function 30890.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30890.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30890.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

91 Semiring 30991.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30991.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

91.2.1 In general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31091.2.2 Specic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

91.3 Semiring theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31191.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31191.5 Complete and continuous semirings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31191.6 Star semirings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

CONTENTS xix

91.6.1 Complete star semirings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31291.7 Further generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31391.8 Semiring of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31391.9 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31391.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31391.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31391.12Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31391.13Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

92 Set (mathematics) 31692.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31792.2 Describing sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31792.3 Membership . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

92.3.1 Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31992.3.2 Power sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

92.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32092.5 Special sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32092.6 Basic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

92.6.1 Unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32192.6.2 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32292.6.3 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32292.6.4 Cartesian product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

92.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32592.8 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32592.9 Principle of inclusion and exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32692.10De Morgans Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32692.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32792.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32792.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32792.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

93 Sigma-algebra 32893.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

93.1.1 Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32893.1.2 Limits of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32993.1.3 Sub -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

93.2 Denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33093.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33093.2.2 Dynkins - theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33093.2.3 Combining -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33093.2.4 -algebras for subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33193.2.5 Relation to -ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

xx CONTENTS

93.2.6 Typographic note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33293.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

93.3.1 Simple set-based examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33293.3.2 Stopping time sigma-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

93.4 -algebras generated by families of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33293.4.1 -algebra generated by an arbitrary family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33293.4.2 -algebra generated by a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33293.4.3 Borel and Lebesgue -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33393.4.4 Product -algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33393.4.5 -algebra generated by cylinder sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33393.4.6 -algebra generated by random variable or vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33493.4.7 -algebra generated by a stochastic process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

93.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33493.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33593.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

94 Sigma-ideal 33694.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

95 Sigma-ring 33795.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33795.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33795.3 Similar concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33795.4 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33795.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33895.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

96 Simple function 33996.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33996.2 Properties of simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33996.3 Integration of simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33996.4 Relation to Lebesgue integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34096.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

97 Single-valued function 34197.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34197.2 Injective functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

98 Singular function 34398.1 When referring to functions with a singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34498.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34498.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

99 Slowly varying function 345

CONTENTS xxi

99.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34599.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34599.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34699.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

100Subharmonic function 347100.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347100.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347100.3Subharmonic functions in the complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

100.3.1 Harmonic majorants of subharmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348100.3.2 Subharmonic functions in the unit disc. Radial maximal function . . . . . . . . . . . . . . 348

100.4Subharmonic functions on Riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349100.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349100.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349100.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

101Sublinear function 351101.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351101.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351101.3Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351101.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

102Subset 352102.1Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353102.2 and symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353102.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353102.4Other properties of inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354102.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354102.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354102.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

103Successor function 356103.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356103.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

104Support function 357104.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357104.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357104.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

104.3.1 As a function of x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358104.3.2 As a function of A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

104.4Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359104.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

xxii CONTENTS

104.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

105Supporting functional 360105.1Mathematical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360105.2Relation to support function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360105.3Relation to supporting hyperplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360105.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

106Surjective function 361106.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362106.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362106.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

106.3.1 Surjections as right invertible functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363106.3.2 Surjections as epimorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364106.3.3 Surjections as binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365106.3.4 Cardinality of the domain of a surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365106.3.5 Composition and decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365106.3.6 Induced surjection and induced bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

106.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365106.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366106.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

107Symmetrically continuous function 367107.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

108Test functions for optimization 368108.1Test functions for single-objective optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368108.2Test functions for multi-objective optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368108.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368108.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

109Transcendental function 370109.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370109.2History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370109.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370109.4Algebraic and transcendental functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371109.5Transcendentally transcendental functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371109.6Exceptional set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371109.7Dimensional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372109.8See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372109.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372109.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

110Transfer function 374

CONTENTS xxiii

110.1LTI systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374110.1.1 Direct derivation from dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

110.2Signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375110.2.1 Common transfer function families . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

110.3Control engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377110.4Optics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377110.5Non-linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377110.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377110.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378110.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

111Triangle inequality 379111.1Euclidean geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

111.1.1 Mathematical expression of the constraint on the sides of a triangle . . . . . . . . . . . . . 380111.1.2 Right triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381111.1.3 Some practical examples of the use of the triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . 383111.1.4 Generalization of the inequality to any polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383111.1.5 Converse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384111.1.6 Generalization of the inequality to higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

111.2Normed vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385111.2.1 Example norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

111.3Metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386111.4Reverse triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387111.5Reversal in Minkowski space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387111.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387111.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387111.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388111.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

112Unary function 389112.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389112.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

113Unit interval 390113.1Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

113.1.1 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390113.2Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391113.3Fuzzy logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391113.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391113.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

114Upper set 392114.1Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

xxiv CONTENTS

114.2Ordinal numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393114.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393114.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

115Vector-valued function 394115.1Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394115.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395115.3Derivative of a three-dimensional vector function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

115.3.1 Partial derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396115.3.2 Ordinary derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396115.3.3 Total derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396115.3.4 Reference frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396115.3.5 Derivative of a vector function with nonxed bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396115.3.6 Derivative and vector multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

115.4Deriv