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Die Komplementärmethode: ein neues Verfahren in derdynamischen Boden-Struktur-Interaktion

Author(s): Szczesiak, Tadeusz

Publication Date: 1996

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D

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K

OMPLEMENTÄRMETHODE

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ERFAHREN

IN

DER

DYNAMISCHEN

B

ODEN

-S

TRUKTUR

-I

NTERAKTION

T

ADEUSZ

S

ZCZESIAK

Institut für Baustatik und Konstruktion

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich

September 1996

V

ORWORT

Bei modernen Modellen zur Erdbebenberechnung von Staumauern spielen zweiPhänomene, die eng miteinander verwandt sind, eine wichtige Rolle: Einerseitsdie dynamische Boden-Struktur-Interaktion, d.h. die Wechselwirkung zwischendem Boden und dem Bauwerk, und anderseits das Scattering, d.h. die Streuungder einfallenden Wellen, was zu nichtsynchronen Bodenbewegungen an verschie-denen Punkten der Talflanke und somit in verschiedenen Mauerrandbereichenführt, die stark von der Freifeldbewegung abweichen können. Bei der Boden-Struktur-Interaktion hängt die Bewegung der Struktur von der Einwirkung ab,aber die Einwirkung wird auch durch die Bewegung der Struktur beeinflußt. Undbeim Scattering hat vor allem die Talform - in dieser Arbeit durch einen Halbraummit entsprechender Vertiefung erfaßt - einen wesentlichen Einfluß.

In der vorliegenden Dissertation ist es Herrn Szczesiak gelungen, ein neuesVerfahren zur numerischen Behandlung sowohl der Boden-Struktur-Interaktionwie auch des Scattering-Problems zu entwickeln. Das “Komplementärmethode”genannte Verfahren basiert auf der Grundidee der Zerlegung des betrachteten Pro-blems in zwei Teilsysteme, die einfach zu berechnen sind. Die Steifigkeitsmatrixdes Halbraumes mit Vertiefung ergibt sich als Differenz der Steifigkeitsmatrix einesVollraumes und der Steifigkeitsmatrix eines Halbraumes mit aufgesetzter Erhö-hung von der Form der Vertiefung. Die Komplementärmethode ist sehr effizient,indem der Rechenaufwand je nach Verhältnissen um den Faktor 3 bis 20 mal klei-ner ist als bei bisherigen Methoden.

Die Komplementärmethode wird im Rahmen des ETH-Forschungsprojektes“Erdbebenberechnung von Staumauern angewendet werden. Darüber hinaus istdieser Methode eine weitere Verbreitung bei verwandten Fragestellungen zu wün-schen.

Zürich, September 1996 Prof. Dr. Hugo Bachmann

Die vorliegende Arbeit wurde im Rahmen des am Institut für Baustatik und Kon-struktion der ETH Zürich laufenden und vom Bundesamt für Wasserwirtschaftgeförderten Forschungsprojektes “Erdbebenberechnung von Staumauern” durch-geführt. Dem Bundesamt für Wasserwirtschaft möchte ich an dieser Stelle für diefinanzielle Unterstützung meiner Arbeit danken.

Zürich, September 1996 Tadeusz Szczesiak

i

I

NHALTSVERZEICHNIS

1. Einleitung ..................................................................................................... 1

1.1 Bedeutung der Boden-Struktur-Interaktion .................................................. 1

1.2 Modellierung des Bodens .............................................................................. 2

1.2.1 Boden als endliches Kontinuum ........................................................ 21.2.2 Boden als unendliches Kontinuum .................................................... 3

1.3 Substrukturmethode und direkte Methode ................................................... 5

1.4 Zielsetzung ..................................................................................................... 6

1.5 Grundidee ....................................................................................................... 6

1.6 Abgrenzung .................................................................................................... 7

1.7 Übersicht über die einzelnen Kapitel ........................................................... 8

2. Grundlagen ................................................................................................ 11

2.1 Die wichtigsten Gleichungen ...................................................................... 11

2.2 Reflexion ebener Wellen an der Oberfläche des Halbraumes .................. 13

2.2.1 Rayleigh-Wellen ................................................................................ 172.2.2 Scattering ........................................................................................... 19

2.3 Boden-Struktur-Interaktion .......................................................................... 20

2.3.1 Einfaches Berechnungsbeispiel ........................................................ 22

3. Bestimmung der Steifigkeitsmatrix des Halbraumes ............................. 27

3.1 Indirekte Randelementmethode .................................................................. 27

3.2 Die Methode von Dasgupta und Chopra ................................................... 29

3.2.1 Berechnungsbeispiel starre Flachfundation ..................................... 33

4. Die Komplementärmethode ..................................................................... 37

4.1 Grundidee ..................................................................................................... 37

4.2 Teilsystem Halbraum mit Erhöhung ........................................................... 38

4.3 Teilsystem Vollraum ..................................................................................... 39

4.4 Testrechnungen ............................................................................................ 41

4.4.1 Bestimmung der Modellgröße .......................................................... 414.4.2 Gefülltes Tal ...................................................................................... 444.4.3 Ähnlichkeitsgesetze für dynamische Steifigkeitsmatrizen ............... 464.4.4 “Stabilisierung” der Lösung ............................................................... 47

4.5 Effizienz der Berechnung ............................................................................ 49

ii

5. Herleitung der Einflussfunktionen .......................................................... 53

5.1 Herleitung der Einflußfunktionen für den Halbraum ................................ 53

5.2 Herleitung der Einflußfunktionen für den Vollraum .................................. 56

5.3 Modellierung der Materialdämpfung ........................................................... 59

5.4 Die Abstrahlungsbedingung ........................................................................ 59

5.5 Berechnungsbeispiele .................................................................................. 60

6. Auswertung der Einflussfunktionen ........................................................ 63

6.1 Problemstellung ........................................................................................... 63

6.2 Numerische Integration ............................................................................... 63

6.3 Eigenschaften der Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen .......... 65

6.4 Lösung des Halbraumproblems .................................................................. 69

6.4.1 Semi-analytische Methode ................................................................ 69

6.4.2 Alternative Integrationsmethode ...................................................... 73

6.4.3 Beispiel: Vergleich der beiden Integrationsmethoden .................... 75

6.5 Lösung des Vollraumproblems .................................................................... 76

7. Wellenstreuung an einer Vertiefung ........................................................ 79

7.1 Halbkreisförmige Vertiefung ....................................................................... 81

7.1.1 Rayleigh-Wellen ................................................................................ 82

7.1.2 P-Wellen ............................................................................................ 83

7.1.3 SV-Wellen .......................................................................................... 85

7.2 Halbkreis- und kreissegmentförmige Vertiefung ........................................ 87

7.3 Diskussion der Resultate .............................................................................. 92

8. Interaktionsprobleme ............................................................................... 93

8.1 Staumauer auf elastischem Halbraum ......................................................... 93

8.1.1 Kraftanregung an der Mauerkrone ................................................... 95

8.1.2 Seismische Anregung ........................................................................ 97

8.2 Gefülltes Tal ............................................................................................... 102

9. Schlussfolgerungen ................................................................................. 107

9.1 Die Komplementärmethode ...................................................................... 107

9.2 Anwendungen ............................................................................................ 107

9.3 Ausblick ...................................................................................................... 108

I

NHALTSVERZEICHNIS

iii

Zusammenfassung ....................................................................................... 111

Summary ...................................................................................................... 112

Symbole und Begriffe .................................................................................. 113

Literaturverzeichnis .................................................................................... 115

Anhang A ...................................................................................................... 119

A.1 Dynamische Einflußfunktionen für den Halbraum .................................. 119A.2 Dynamische Einflußfunktionen für den Vollraum ................................... 121

Anhang B ...................................................................................................... 125

B.1 Formeln zur Integration von Fourier- Transformierten der Einflußfunktionen. ............................................................................... 125

Anhang C ...................................................................................................... 129

C.1 Implementierung der komplexen Si und Ci Funktionen ...................... 129

1. E

INLEITUNG

1.1 Bedeutung der Boden-Struktur-Interaktion

Die dynamische Boden-Struktur-Interaktion kann als ein relativ neues Gebiet desBauingenieurwesens betrachtet werden. Erste Studien über den Einfluß des Unter-grundes auf das dynamische Verhalten von Hochhäusern für den Fall einer seismi-schen Anregung wurden in den frühen sechziger Jahren durchgeführt [7]. DieStruktur wurde dabei auf ein starres Fundament gestellt und der Zeitverlauf derFundamentverschiebung gleichgesetzt mit der Bodenverschiebung.

Bis etwa zur 5. World Conference on Earthquake Engineering (Rom 1973) wardie Forschung auf dem Gebiet der dynamischen Boden-Struktur-Interaktion nichtsehr intensiv. In den folgenden Jahren wurden aber vermehrt Anlagen mit einemgroßen Gefährdungspotential wie Kernkraftwerke und Staumauern in Gebietenmit größerer Seismizität gebaut. Die daraus folgenden Anforderungen an dieSicherheit dieser Anlagen haben zur Entwicklung von neuen verfeinerten Berech-nungsverfahren geführt. Begünstigend wirkte sich natürlich aus, daß bereits zudieser Zeit die notwendigen Hilfsmittel für numerische Untersuchungen (Hard-ware und Software) zur Verfügung standen.

Um die Problematik der Boden-Struktur-Interaktion zu verdeutlichen, betrach-ten wir eine Struktur, die im Boden eingebettet und der Einwirkung von seismi-schen Wellen ausgesetzt ist. Die Wellen, die sich im unendlichen Bodenausbreiten, werden an der Grenze zwischen der Struktur und dem Boden reflek-tiert und gestreut. Die entstehenden Kräfte setzen die Struktur in Bewegung, unddiese generiert selbst Wellen, die sich bis ins Unendliche ausbreiten. Diese Wellenverändern aber das Spannungsfeld im Boden und somit die ursprüngliche Einwir-kung auf die Struktur. Die Bewegung der Struktur hängt von der Einwirkung abund die Einwirkung wird gleichzeitig durch die Bewegung der Struktur beeinflußt.

Je nach Größe und Steifigkeit der Struktur kann die Streuung der Wellen (auchals “Scattering” bezeichnet) für ein Boden-Struktur-Interaktionsproblem ganzunterschiedlich wichtig werden. Betrachten wir zuerst ein Tal mit einer Bogen-staumauer. Die gekrümmte und dünne Mauerschale ist, verglichen mit Fels, relativnachgiebig. Deshalb wird die Bodenbewegung an den Talflanken durch dieBoden-Struktur-Interaktion wenig beeinflußt. Im Extremfall kann das Problem derWellenstreuung an der Talflanken im voraus unter Vernachlässigung der Strukturberechnet und dann der Struktur als eine kinematische Randbedingung aufge-

2 M

ODELLIERUNG

DES

B

ODENS

zwungen werden. Im anderen Extremfall ist das Tal so mit dem gleichen Bodengefüllt, daß ein homogener Halbraum resultiert. Die Wellen werden nur an derBodenoberfläche reflektiert. Somit stellt sich ein Zustand ein, der Freifeldbewe-gung genannt wird und für ebene einfallende Wellen exakt erfaßt werden kann.Die Lösung des Problems der Wellenstreuung an den in diesem Fall inexistentenTalflanken ist irrelevant.

Charakteristisch bei der Boden-Struktur-Interaktion ist die Energieabstrahlungin Form von Wellen ins Unendliche. Die Energie wird nicht in allen Richtungengleichmäßig abgestrahlt. Maßgebend sind dabei vor allem die Wellen, die sich inder Nähe der Oberfläche ausbreiten.

Bei der Betrachtung von Problemen der Boden-Struktur-Interaktion werdensowohl die Struktur als auch der Boden stark vereinfacht idealisiert. Das resultie-rende Bodenmodell muß aber in der Lage sein, alle relevanten Wellenausbrei-tungsvorgänge nachzubilden. Im nächsten Abschnitt werden verschiedeneAnsätze besprochen, die zur Entwicklung der verschiedenen Bodenmodelle bisherbenutzt wurden.

1.2 Modellierung des Bodens

1.2.1 Boden als endliches Kontinuum

Bei den ersten Versuchen einer dynamischen Berechnung des aus dem Bodenund der Struktur bestehenden Systems wurde der Boden analog zur Struktur mitder Methode der Finiten Elemente modelliert. Auf diese Art konnte mindestens einTeil des Bodens berücksichtigt werden. Ein Beispiel, bei dem die Struktur aufeiner unten fest eingespannten Bodenschicht steht, wird in Bild 1.1 a) gezeigt.

Die Modellierung des Bodens mit Finiten Elementen hat den Vorteil, daßsowohl die Struktur als auch der Boden mit der gleicher Methode betrachtet wer-den können. Probleme ergeben sich allerdings bei der notwendigen Abgrenzungdes Gesamtsystems. Es liegt in der Natur der Methode der Finiten Elemente, daßmit normalen Kontinuumselementen nur endlich ausgedehnte Gebiete modelliertwerden können. Um die Störung zu minimieren, die durch das Abschneiden desunendlichen Bodenbereiches verursacht wurde, muß der diskretisierte Bodenbe-reich sehr groß sein, was sich ungünstig auf den Rechenaufwand auswirkt. Auchdie Wellenabstrahlung ins Unendliche kann mit diesem Bodenmodell nicht reali-siert werden, weil die Wellen an den Rändern reflektiert werden. Lysmer undKuhlemeyer [22] haben die Bedeutung der Energieabstrahlung erkannt und imJahre 1969 spezielle Elemente (“transmitting boundaries”) vorgeschlagen, die eineReflexion der Wellen verhindern sollen (Bild 1.1 b). Diese relativ einfachen, ausviskosen Dämpfern zusammengesetzten Elemente sind aber nicht in der Lage,

1. E

INLEITUNG

3

komplizierte Wellenausbreitungvorgänge, besonders in der Nähe der Bodenober-fläche (Rayleigh-Wellen), nachzubilden.

Ein weiteres stark vereinfachtes Bodenmodell wird oft bei der dynamischenBerechnung von Staumauern verwendet. Dieses Modell berücksichtigt die Steifig-keit des Bodens, währenddem die Masse des Bodens vernachlässigt wird. Die Ein-fachheit allein kann aber die Anwendung dieses Modells nicht rechtfertigen, weilauf diese Weise weder die seismische Anregung noch die Abstrahlung der Wellenrichtig modelliert werden können.

1.2.2 Boden als unendliches Kontinuum

Die Schwierigkeiten mit der Abstrahlungsbedingung bei der Modellierung desBodens mit Finiten Elementen haben gezeigt, daß der Boden als unendliches Kon-tinuum betrachtet werden muß. Analytische und halbanalytische Methoden bietensich zu diesem Zweck an, weil mit ihnen die Wellenausbreitung im Boden exaktmodelliert werden kann. Dazu stehen bereits viele Lösungen der klassischen Wel-lenausbreitungsprobleme zur Verfügung (vgl. Lamb [21] oder Eason, Fulton undSneddon [12]).

Unter vielen anderen Autoren haben Wong [28], Cao und Lee [6] sowie Gregory[15] die Lösung für die Wellenstreuung an einer Vertiefung im Halbraum für ver-schiedene einfallende Wellen angegeben (vgl. Kapitel 7). Diese Lösungen setzeneine bestimmte reguläre Form der Vertiefung voraus. Die numerische Auswertungder Lösung mit Hankelfunktionen höherer Ordnung ist nicht einfach. Von diesenEinschränkungen abgesehen liefern diese Methoden jedoch wertvolle Referenzlö-sungen.

Das folgende Bild 1.2 zeigt ein Beispiel eines Systems, das ebenfalls auf einemanalytischen Ansatz basiert. Das Gesamtsystem ist in zwei Teile, Struktur mit

Bild 1.1 Modellierung des Bodens als endliches Kontinuum. Die früheren Modelle (Nach [5])

(“transmitting boundaries”)

a)

b)

Lysmer-Dämpfer

4 M

ODELLIERUNG

DES

B

ODENS

einem starren Fundament sowie unendlicher Boden, zerlegt. Dieses einfacheBodenmodell erlaubte diverse Parameterstudien [26]. Im Jahre 1979 haben Das-gupta und Chopra eine Methode zur Berechnung der dynamischen Steifigkeitma-trix des Halbraumes vorgeschlagen [8]. Diese Methode wurde später auch ineinem Computerprogramm zur Berechnung von Staumauern auf viskoelastischemHalbraum implementiert [13]. Modellieren des Bodens als Halbraum ist nur fürFundationen an der Oberfläche möglich. Eine Betrachtung von im Boden einge-betteten Strukturen wurde erst mit der Randelementmethode möglich.

Bei den Randelementmethoden kommen spezielle Ansatzfunktionen zur Anwen-dung, die als fundamentale Lösungen bezeichnet werden und sowohl die Wellen-gleichung wie auch die Abstrahlungsbedingung erfüllen. Als eine solche Lösungkann z.B. die Green’sche Einflußfunktion für eine harmonische Kraft benutzt wer-den. Es werden in der Regel Green’sche Funktionen einer Punkt- bzw. einer Lini-enkraft im Vollraum oder im Halbraum verwendet. Die Green’sche Funktionen imVollraum sind leicht zu berechnen, erfüllen die Wellengleichung und die Abstrah-lungsbedingung, erfordern aber eine Diskretisierung der Oberfläche des Halbrau-mes beiderseits der Vertiefung, um die Randbedingung dort mindestensnäherungsweise zu erfüllen. Wenn die Green’schen Funktionen einer Kraft imHalbraum angewendet werden, muß nur der Rand der Vertiefung diskretisiertwerden, weil die Randbedingung an der Oberfläche des Halbraumes automatischerfüllt wird. Leider sind diese Funktionen viel komplizierter als die des Vollrau-mes, besonders wenn die Kraft unterhalb der Oberfläche des Halbraumes angreift.Die Randelementmethode kann grundsätzlich sowohl im Frequenzbereich als imZeitbereich angewendet werden. Im zweiten Fall müßen aber die Randbedingun-gen und die fundamentalen Lösungen im Zeitbereich formuliert werden.

Der Hauptvorteil der Randelementmethoden liegt in der Berücksichtigung derAbstrahlungsbedingung und in der Reduktion der Anzahl Unbekannten des Pro-blems verglichen mit der Methode der Finiten Elemente. Allerdings sind die resul-tierenden komplexen dynamischen Steifigkeitsmatrizen voll besetzt und im

Bild 1.2 Ein einfaches Berechnungsmodell mit Boden als unendliches Kontinuum

starres Fundament

Struktur

Halbraum

1. E

INLEITUNG

5

allgemeinen nicht symmetrisch. Eine Übersicht über die Randelementmethodenunter spezieller Berücksichtigung der Probleme der dynamischen Boden-Struktur-Interaktion findet man z.B. bei Karabalis und Beskos [19], Domingues und Abascal[9] oder in den beiden Büchern von Wolf [32,33].

1.3 Substrukturmethode und direkte Methode

Bei der Betrachtung eines Boden-Struktur-Interaktionsproblems wird unabhängigvon dem gewählten Bodenmodell immer eine Grenze zwischen dem diskretisi-erten System und dem unendlich ausgedehnten Boden gezogen. Diese Grenzewird als Interaktionshorizont bezeichnet. Je nach Lage des Interaktionshorizonteskann zwischen zwei Betrachtungsmethoden unterschieden werden.

In der Substrukturmethode wird das gesamte System in zwei Substrukturen,Struktur und Nahbereich Boden sowie unendlicher Boden, unterteilt, wobei derInteraktionshorizont möglichst nahe an der Struktur angeordnet wird (Bild 1.3links). Der Boden wird repräsentiert durch eine dynamische Steifigkeitsmatrix fürdie Knoten auf dem diskretisierten Interaktionshorizont. Diese Matrix wird in derRegel mit Hilfe der Randelementmethode bestimmt.

In der sogenannten direkten Methode wird der Interaktionshorizont weit weg vonder Struktur mit Nahbereich Boden plaziert (Bild 1.3 rechts). Der Bodenbereichinnerhalb des Interaktionshorizontes und die Struktur können z.B. mit Finiten Ele-menten modelliert werden. Im Prinzip könnte für die Modellierung der Randbe-dingung am Interaktionshorizont wie bei der Substrukturmethode dieRandelementmethode angewendet werden. Aus praktischen Gründen (kleinererRechenaufwand) wird der durch den Interaktionshorizont abgeschnittene unendli-che Bodenbereich aber in der Regel nur näherungsweise erfaßt, indem die Ele-

Bild 1.3 Berechnungsmodelle bei der Substrukturmethode (links) und der direkten Methode(rechts)

Interaktionshorizont

Nahbereich Boden

künstlicher Randdynamische Steifigkeitsmatrix des BodensAbstrahlungsbedingung “exakt” erfüllt Näherungslösung für Wellenabstrahlung

StrukturStruktur

6 Z

IELSETZUNG

mente am Interaktionshorizont die Abstrahlung der Wellen ins Unendlichemodellieren. Einfache Elemente (wie z.B. Lysmer-Dämpfer) können für dieBerechnung im Zeitbereich angewendet werden. Die sogenannten “konsistentenRänder“ [29] sind genauer, umfassen aber mehrere Knoten auf dem Interaktions-horizont und sind zudem frequenzabhängig und können deshalb nur für eineBerechnung im Frequenzbereich angewendet werden.

Die beiden Methoden sind äquivalent und führen, falls konsistent angewendet,zu gleichen Berechnungsresultaten. Eine ausführliche Diskussion der verschiede-nen Möglichkeiten der Formulierung der Bewegungsgleichungen für beide Metho-den findet man z.B. bei Wolf [31] oder Aydinoglu [4].

1.4 Zielsetzung

Die beiden wichtigsten numerischen Methoden zur Lösung der Probleme derBoden-Struktur-Interaktion sind die Methode der Finiten Elemente und die Rand-elementmethode. Die erste Methode ist zwar einfach in der Anwendung, die Erfül-lung der Abstrahlungsbedingung stellt aber trotz vieler Anstrengungen immernoch ein Problem dar. Die zweite Methode erlaubt dagegen eine richtige Betrach-tung der Wellenabstrahlung und eignet sich besser als die Methode der FinitenElemente zur Bestimmung der seismischen Bodenbewegungen (Lösung des “Scat-tering“ Problems). Gerade für sehr große, eingebettete Strukturen wie z.B.Bogenstaumauern spielt “Scattering“ eine wichtige Rolle.

Ziel dieser Arbeit ist es auf der Basis der Randelementmethode, ein neues ein-faches Verfahren zur Berechnung der dynamischen Steifigkeitsmatrix für einenHalbraum mit einer prismatischen Vertiefung zu entwickeln, das sowohl zurBestimmung der seismischen Bodenbewegungen wie auch zur Lösung von Pro-blemen der Boden-Struktur-Interaktion angewendet werden kann (vgl. Abschnitte2.2 und 2.3).

Die seismischen Bodenbewegungen am Rand einer Vertiefung, die sich in derRegel stark von den Freifeldbewegungen unterscheiden und die zu einer nichtsyn-chronen Anregung der verschiedenen Mauerbereiche führen, sollen in der vorlie-genden Arbeit genauer untersucht werden. Als dynamische Anregung stehen beiden betrachteten Problemen unter einem beliebigen Winkel einfallende ebene

P

-,

SV

- und Rayleigh-Wellen im Vordergrund.

1.5 Grundidee

Die Grundidee der neuen Methode, im weiteren Komplementärmethode genannt,basiert auf einer Zerlegung des betrachteten Systems in zwei Teilsysteme, die ein-fach zu berechnen sind. Die Lösungen für die Teilsysteme werden mit Hilfe einer

1. E

INLEITUNG

7

einfachen Variante der indirekten Randelementmethode bestimmt. In Gegensatzzu anderen Randelementmethoden garantiert die gewählte Variante die Symmetrieder dynamischen Steifigkeitsmatrix. Die Methode hat eine einfache physikalischeInterpretation, weil die gewählten fiktiven Kräfte (Streifenkräfte) gleichzeitig Span-nungen in den Elementen darstellen. Die Tatsache, daß die fiktiven Kräfte direktam Rand der Vertiefung angreifen, macht die zusätzliche Berechnung des Span-nungsfeldes nicht notwendig und wirkt sich günstig auf die Genauigkeit derBerechnung aus. Für die Implementierung der Methode ist es von Bedeutung, daßdie Verschiebungsfelder der Streifenkräfte keine Singularitäten aufweisen, wie dasim Falle des Verschiebungsfeldes einer Linienkraft wäre.

Im Falle einer kreissegmentförmigen Vertiefung erlaubt die Komplementärme-thode eine große Reduktion des Rechenaufwandes (vgl. Abschnitt 4.5) gegenüberden anderen Randelementmethoden.

Verglichen mit analytischen Berechnungsmethoden ist die Komplementärme-thode viel allgemeiner anwendbar. Sie hat, wie alle anderen Randelementmetho-den, gegenüber der Methode der Finiten Elemente im Frequenzenbereich zweiVorteile. Erstens kann das Bodenmodell bis auf die unmittelbare Umgebung derStruktur reduziert werden. Zweitens kann die wichtige Abstrahlungsbedingungautomatisch mit der Wahl der fundamentalen Lösung erfüllt werden.

1.6 Abgrenzung

In Rahmen dieser Arbeit werden nur zweidimensionale Probleme untersucht. Dasbedeutet, daß der Rand der Vertiefung als prismatisch angenommen wird. Es wirdvorausgesetzt, daß sich die ebenen Wellen parallel zur

x-y

-Ebene ausbreiten (Bild1.4). Es werden nur die Bewegungen in der Ausbreitungsebene (ebener Verschie-bungszustand) betrachtet. Aus diesem Grund können nur

P

-,

SV

- und Rayleigh-Wellen berücksichtigt werden. Das Berechnungsmodell kann so erweitert werden,daß eine Betrachtung der Bewegung aus der Ebene (

SH

-Wellen) möglich wird (s.Kapitel 9). Hingegen ist eine Modellierung der Schichtung des Halbraumes, dieeine Betrachtung von Love-Wellen ermöglicht hätte, nicht möglich.Inhomogenitäten des Bodens können nur im Nahbereich des Bodens, der mitFiniten Elementen modelliert wird, berücksichtigt werden.

Die Form der Vertiefung kann im Prinzip beliebig angenommen werden. DieBodenoberfläche beiderseits der Vertiefung muß hingegen horizontal sein. Es istvorteilhaft, die dynamische Steifigkeitsmatrix für eine halbkreis- oderkreissegmentförmige Vertiefung zu berechnen, weil im diesem Fall der Rechenauf-wand stark reduziert werden kann (vgl. Abschnitt 4.5). Die Unebenheiten derBodenoberfläche (aus dem Halbraum heraus) oder eine beliebige Form derVertiefung können durch Ergänzung einer kreissegmentförmigen Vertiefung durchFinite Elemente modelliert werden (s. Bild 1.4).

8 Ü

BERSICHT

ÜBER

DIE

EINZELNEN

K

APITEL

Die Komplementärmethode wird im Frequenzbereich formuliert. Weil man vonder Lösung der Wellendifferentialgleichung ausgeht, muß ein linearelastischesMaterialverhalten vorausgesetzt werden. Die durch innere Reibung verursachteEnergiedissipation im Boden wird berücksichtigt, indem die elastischen Material-konstanten durch entsprechende komplexe Werte ersetzt werden. Eine genauereBeschreibung dieses Problems ist im Abschnitt 5.3 zu finden.

Eine Erweiterung der Komplementärmethode auf dreidimensionale Problemeist im Prinzip möglich und wird im Kapitel 9 diskutiert.

1.7 Übersicht über die einzelnen Kapitel

Im 2. Kapitel werden wichtige theoretische Grundlagen bereitgestellt. Zuerst wirddie Wellendifferentialgleichung in einem homogenen elastischen Raum angege-ben. Die Lösungen dieser Gleichung, welche die Ausbreitung der ebenen

P

-,

SV

-,und Rayleigh-Wellen im Halbraum beschreiben, werden kurz besprochen.Anschließend werden Ansätze zur Lösung der Probleme der Boden-Struktur-Inter-aktion erläutert.

Im 3. Kapitel wird die bereits erwähnte, halbanalytische Methode von Dasguptaund Chopra [8] zur Berechnung der dynamischen Steifigkeitsmatrix des Halbrau-mes vorgestellt. Weil es sich dabei um eine Anwendung der indirekten Randele-mentmethode handelt, wird letztere am Anfang des Kapitels kurz beschrieben.

Im 4. Kapitel wird die Komplementärmethode vorgestellt. Es wird gezeigt, wiedie dynamische Steifigkeitsmatrix des Halbraumes mit einer Vertiefung als Diffe-renz der dynamischen Steifigkeitsmatrizen von zwei Teilsystemen dargestellt wer-den kann. Im weiteren werden die Lösungen für die Teilsysteme erklärt. Anhandeiniger Testbeispiele werden auch Fragen zur Genauigkeit und Effizienz derneuen Methode diskutiert.

Bild 1.4 Das benutzte Berechnungsmodell

x

z

y

homogener HalbraumRand der Vertiefung

Nahbereich Boden

(Interaktionshorizont)

1. EINLEITUNG 9

Die Komplementärmethode benutzt die klassischen Lösungen für Einflußfunktio-nen einer gleichmäßig verteilten harmonischen Streifenkraft. Im 5. Kapitel werdendiese Lösungen vorgestellt und diskutiert. Es wird zuerst eine Streifenkraft unter-sucht, die an der Oberfläche des Halbraumes einwirkt und anschließend eineStreifenkraft, die im Inneren des Vollraumes angreift. Die Auswertung der Einfluß-funktionen entspricht der inversen Fourier-Transformation. Diese muß im vorlie-genden Fall numerisch durchgeführt werden. Im 6. Kapitel wird diese Problematikgenauer untersucht und es werden zwei neue Integrationsmethoden vorgeschla-gen.

Die seismischen Bodenbewegungen am Rand einer Vertiefung können je nachWellenlänge der einfallenden Welle sehr stark von der Freifeldbewegung abwei-chen. Dieses Phänomen spielt besonders bei sehr ausgedehnten Strukturen wiez.B. Staumauern eine große Rolle. Im 7. Kapitel wird die Bewegung am Randeines halbkreisförmigen und kreissegmentförmigen Tales, verursacht durch ver-schiedene Arten von seismischen Wellen, in Abhängigkeit von der Anregungsfre-quenz berechnet.

Das 8. Kapitel beinhaltet weitere Anwendungsbeispiele. Beim ersten handelt essich um eine dynamische Berechnung einer Staumauer, die auf einem elastischenHalbraum fundiert ist. Es werden verschiedene Anregungsarten und Bodenmo-delle behandelt. Das nachfolgende Beispiel zeigt ein flaches Tal, das mit Sedimen-ten gefüllt ist. Die seismische Anregung verursacht an der BodenoberflächeBewegungen, die stark von den Freifeldbewegungen abweichen. Es geht darum,diesen Aspekt zu untersuchen.

Das 9. Kapitel beinhaltet Schlußfolgerungen und Ideen zur Weiterentwicklungder Komplementärmethode.

2. GRUNDLAGEN

Die in dieser Arbeit vorgeschlagene Berechnungsmethode basiert auf den Lösun-gen einiger klassischer Wellenausbreitungsprobleme. So werden z.B. Verschiebun-gen infolge einer harmonischen, über eine bestimmte Länge verteiltenEinheitskraft für die Berechnung der dynamischen Steifigkeitsmatrizen gebraucht(s. Kapitel 3) und für die Definition der seismischen Anregung ist die Betrachtungder Reflexion der ebenen Wellen an der Oberfläche des Halbraumes notwendig.

Die theoretischen Grundlagen der Wellenausbreitung sind in zahlreichenBüchern über Wellenausbreitung und Elastodynamik zu finden (z.B bei Achen-bach [3], Graff [16] oder Sayir [24]). Für eine bessere Übersicht scheint es trotzdemsinnvoll zu sein, die wichtigsten Gleichungen im ersten Teil dieses Kapitels kurzzusammenzufaßen. Anschließend wird die Vorgehensweise bei der Betrachtungverschiedener Probleme der Boden-Struktur-Interaktion kurz erläutert.

2.1 Die wichtigsten Gleichungen

Wir betrachten ebene Wellen, die sich im Halbraum ausbreiten. Wir neh-men an, daß die Ausbreitungrichtung der Welle in der x-y-Ebene liegt. Darausfolgt, daß die Bewegung des Bodens von der Koordinate unabhängig ist. (vgl.[16]).

Die Verschiebungen werden mit Hilfe zweier Potentialfunktionenbeschrieben. Die erste Funktion stellt das skalare Potential rotationsfreierWellen, die zweite das Vektorpotential isochorer Wellen dar(vgl. [24]):

(2.1)

(2.2)

wobei

y 0#( )

z

u v w, ,( )F

C Cx Cy Cz, ,( )5

u F,x Cz ,y15

v F,y Cz 2 ,x5

w Cx 2 ,y Cy ,x15

0 Cx ,x Cy ,y15

( ),x /x5

12 DIE WICHTIGSTEN GLEICHUNGEN

Die zweite Gleichung in (2.2) resultiert aus der Annahme, daß das Volumen beiden isochoren Wellen konstant bleibe. Die Wellendifferentialgleichungen laßensich dann wie folgt formulieren:

(2.3)

mit dem Laplace Operator in kartesischen Koordinaten:

(2.4)

und sind die Wellengeschwindigkeit der ebenen rotationsfreien bzw. derebenen isochoren Wellen. Mit den beiden Lamé-Konstanten und gilt:

(2.5)

Die vier Gleichungen (2.3) stellen zwei unabhängige Wellenausbreitungsproblemedar. Für , was einem ebenen Verschiebungszustand entspricht,gelten folgende Beziehungen:

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Für den Fall kommen nur die SH-Wellen vor. Es gelten fol-gende Beziehungen:

(2.9)

(2.10)

(2.11)

FD1

cp2

-----F,tt5

CiD1

cs2

-----Ci ,tt5 i x y z, ,5( )

D 2/x2 2/y2 2/z21 1 ( ),xx ( ),yy ( ),zz1 15 5

cp csl m

cp l 2m1( )/r5

cs m/r5

w /z 05 5

u F,x Cz ,y15 v F,y Cz 2 ,x5

FD1

cp2

-----F,tt5 CzD1

cs2

-----Cz,tt5

sxx l 2m1( ) F,xx F,yy1( ) 2m F,yy Cz,xy2( )15

syy l 2m1( ) F,xx F,yy1( ) 2m F,xx Cz,xy1( )15

txy m 2F,xy Cz,yy Cz,xx21( )5

u v /z 05 5 5

w Cx 2 ,y Cy ,x15 0 Cx ,x Cy ,y15

CxD1

cs2

-----Cx,tt5 CyD1

cs2

-----Cy,tt5

tyz m C2 x,yy Cy,xy1( )5

2. GRUNDLAGEN 13

Die Wellendifferentialgleichung für SH-Wellen kann auch direkt mit der Verschie-bungen als Variable formuliert werden.

(2.12)

In dieser Arbeit werden im weiteren nur Wellen betrachtet, die dem ebenen Ver-schiebungszustand entsprechen (Gleichungen (2.6) bis (2.8)). Die Potentialfunk-tion wird weiter als bezeichnet.

2.1.1 Reflexion ebener Wellen an der Oberfläche des Halbrau-mes

Sowohl für eine Betrachtung eines “Scattering“ Problemes (vgl. Abschnitt 2.2 ) alsauch eines Boden-Struktur-Interaktionsproblemes (vgl. Abschnitt 2.3) ist dieBestimmung der Spannungen und Verschiebungen in einem Halbraum infolge dereinfallenden und der reflektierten Wellen notwendig.

Die Reflexion ebener Wellen an der Oberfläche des Halbraumes wird zuerst fürebene, schräg zur Oberfläche des Halbraumes einfallende longitudinale P-Wellenund transversale SV-Wellen untersucht. Anschließend werden auch die Rayleigh-Wellen besprochen.

Einfallende ebene P-Wellen

Die unter einem Winkel einfallende, ebene harmonische P-Welle (Bild 2.1)kann mit Hilfe der folgenden Potentialfunktion dargestellt werden( ):

(2.13)

mit .

Es ist ersichtlich, daß dieser Ansatz die Wellengleichung (2.7) erfüllt. Die Oberflä-che des Halbraums ist unbelastet und muß somit spannungsfrei bleiben.Diese Randbedingung läßt sich mit einer P-Welle alleine nicht erfüllen. Vielmehrwird sowohl eine P- als auch SV-Welle von der Oberfläche reflektiert. Dieses Phä-nomen wird als “mode conversion” bezeichnet.

Die zwei reflektierten Wellen sind wie folgt darstellbar ( ):

(2.14)

wD1

cs2

-----w,tt5

Cz C

ua

Fe( )

e einfallend5

Fe( )

eika x uasin2 y uacos2( ) vt15

ka v/cp5

y 05( )

r reflektiert5

Fr( )

K1eika x uasin2 y uacos1( ) vt15

Cr( )

K2eikb x ubsin2 y ubcos1( ) vt15


mit .

Der Reflexionswinkel der P-Welle ist gleich . Die Beziehung zwischen dem Ein-fallswinkel der P-Welle und dem Reflexionswinkel der SV-Welle folgt ausder Randbedingung an der Oberfläche des Halbraumes und lautet:

(2.15)

Für folgt, daß .

Die Reflexionskoeffizienten und (vgl. Gleichung (2.14)) können in Funk-tion von , und angegeben werden (vgl. Achenbach [3]):

(2.16)

Bild 2.1 Reflexion einer einfalenden P-Welle

Bild 2.2 Reflexionskoeffizienten und als Funktionen des Einfallswinkels einer harmoni-schen ebenen P-Welle für

ua

Fe( )

Fr( )

Cr( )einfallende P-Welle

reflektierte P- und SV-Wellen

y

x

kb v/cs5

ua

ua ub

uasin /cp ubsin /cs5

cp cs. ua ub.

K1 K2ua ub k ka/kb5

K1

2ua 2ub 1/k( )22ubcos( )2

2sinsin


1sinsin--------------------------------------------------------------------------------------5

K2

2 2ua 2ubcossin2


1sinsin--------------------------------------------------------------------------------------5

K1

K2

ua ua

K1 K2n 1/35

2. GRUNDLAGEN 15

Die Reflexionskoeffizienten und werden in Bild 2.2 für als Funk-tionen des Einfallswinkels dargestellt.

Die Verschiebungen und Spannungen in einem beliebigen Punkt des Halbrau-mes können jetzt mit Hilfe der Gleichungen (2.6) und (2.8) berechnet werden.Bild 2.3 zeigt die Amplituden der Verschiebung der Oberfläche in Abhängigkeitvom Einfallswinkel . Die Amplitude der einfallenden Welle wurde dabei zu gesetzt.

Einfallende ebene SV-Wellen

Es wird eine ebene harmonische SV-Welle betrachtet, die unter einem Winkel einfällt. Auch in diesem Fall folgt aus der Spannungsfreiheit der Oberfläche desHalbraumes,daß sowohl eine P- als auch eine SV-Welle reflektiert. Die Wellenwerden wie folgt dargestellt (die Zeitfunktion kann ausgeklammert werdenund wird weiter nicht angegeben):

(2.17)

Es gilt wiederum

Aus Gleichung (2.15) geht hervor, daß eine reflektierte P- Welle nur bis zu einemkritischen Einfallswinkel existiert. Für gilt

. Eine genauere Betrachtung des folgenden Ausdrucks für zeigt,daß für eine neue Wellenart erzeugt wird. Es gilt:

(2.18)

Der Ausdruck unter der Wurzel wird für negativ. Deshalb kann die Glei-chung (2.18) wie folgt geschrieben werden:

Bild 2.3 Amplituden der Oberflächenverschiebung des Halbraumes als Funktionen des Einfalls-winkels einer harmonischen ebenen P-Welle für

ua ua

uv

n 1/ 35

K1 K2 n 1/35

ua

ua 1.0

ub

eivt

Ce( )

eikb x ubsin2 y ubcos2( )5

Cr( )

K1eikb x ubsin2 y ubcos1( )5

Fr( )

K2eika x uasin2 y uacos1( )5

uasin( )/cp ubsin( )/cs5

ub ucr arc cs/cp( )sin5 5 n 1/35

ucr 3085 Fr( )

ub ucr.

Fr( )

K2eika

xcp

cs-------- ubsin2 y 1

cp

cs----- ubsin

2

21

5

ub ucr.


(2.19)

Die Potentialfunktion mit positivem Vorzeichen in der Klammer (vgl. Gl.

(2.19)) klingt in der Tiefe exponentiell ab. Die Potentialfunktion mit negativem

Vorzeichen wächst dagegen mit zunehmender Tiefe und ist physikalisch nicht

sinnvoll. Es resultiert also zusätzlich zur reflektierten SV-Welle eine Welle, die sich

in der Nähe der Oberfläche des Halbraumes fortpflanzt. Diese sogenannte Ober-

flächenwelle kann als eine verallgemeinerte ebene Welle bezeichnet werden (vgl.

Sayir [24]).

Die Reflexionskoeffizienten und (Gleichung (2.20)) werden im Bild 2.5

in Abhängigkeit des Einfallwinkels für dargestellt:

(2.20)

Bild 2.4 Reflexion einer einfalenden SV-Welle

Bild 2.5 Reflexionskoeffizienten und als Funktionen des Einfallwinkels einer ebenen SV-Welle für

einfallende SV-Welle

reflektierte P- und SV-Wellen

y

x

Ce( )

Fr( )

Cr( )

ub

Fr( )

K2eka Aix By6( )5

Fr( )

K1 K2

ub n 1/35

K1


2sinsin


1sinsin--------------------------------------------------------------------------------------5

K2

2 2ub 2ubcossin

k2

2ua 2ub 2ubcos( )21sinsin

---------------------------------------------------------------------------5

K1

K2

ubub

Re K( )Im K( )

K1 K2n 1/ 35

2. GRUNDLAGEN 17

Bild 2.6 zeigt die Amplituden der Oberflächenverschiebung des Halbraumes inAbhängigkeit vom Einfallwinkel . Die Amplitude der einfallenden Welle wurdewie bei den P-Wellen zu gesetzt.

2.1.2 Rayleigh-Wellen

Die im vorangehenden Abschnitt beschriebenen SV-Wellen erzeugen für bei der Reflexion Oberflächenwellen. Es existieren aber im Halbraum auch freieOberflächenwellen, die von den anderen Wellen unabhängig sind.

Die nach Lord Rayleigh J.W. Strutt, genannten Rayleigh-Wellen können mitHilfe der beiden Potentialfunktionen und dargestellt werden (die Zeitfunk-tion wird weiterhin weggelassen).

(2.21)

Die Potentialfunktionen (2.21) erfüllen die Wellengleichung (2.7), falls:

(2.22)

Aus den Randbedingungen an der Oberfläche des Halbraumes ergibt sich zuerst(vgl. (2.15)):

(2.23)

Wir setzen jetzt und ein. Damit die Rayleigh-Welle tat-sächlich mit der Tiefe verschwindet, muß die noch unbekannte Rayleigh-Wellen-

Bild 2.6 Amplituden der Oberflächenverschiebung des Halbraumes als Funktionen des Einfalls-winkels einer SV-Welle für .

ub ub

abs

u()

abs

v()

n 1/ 35

ub

1.0

ub ucr.

F C

eivt

F Aeika nxa2 x nyay2( )5

C Beikb nxbx2 nyby2( )5

nya 1 nxa( )225

nyb 1 nxb( )225

nxa/cp nxb/cs5

kR v/cR5 nxa kR/ka5


geschwindigkeit kleiner als die P- und SV-Wellengeschwindigkeit sein (vgl.(2.21) und (2.22)).

Aus den Randbedingungen an der Oberfläche des Halbraumes ergibt sich imweiteren folgendes homogene Gleichungssystem mit den Unbekannten A , B und

:

(2.24)

Eine nichttriviale Lösung des Gleichungssystems (2.24) existiert nur, wenn dieDeterminante mit Null identisch wird. Mit und erhalten wir durch Nullsetzen der Determinante folgende Form der Rayleigh-Glei-chung:

(2.25)

Mit Hilfe dieser frequenzunabhängigen Gleichung kann nun für ein bestimmtes das zugehörige und damit für ein bestimmtes das zugehörige gefundenwerden.

Für gilt . Gleichung (2.25) hat hierfür eine reelleNullstelle mit . Die anderen Nullstellen sind in diesem Fall komplex,und die zugehörigen Wellenformen haben keine physikalische Bedeutung, da für

die Amplituden der Verschiebung verschwinden (vgl. [16]). Es gibt schließ-lich nur eine Art von Rayleigh-Wellen in einem isotropen Halbraum. Für ist die Rayleigh-Wellengeschwindigkeit und liegt wie verlangtunter der Geschwindigkeit der SV-Wellen. Aus dem Gleichungssystem (2.24) folgtfür :

(2.26)

Die Potentialfunktionen und (vgl. Gleichung (2.21)) sind somit bis auf einenParameter (A oder B) bestimmt. Die Verschiebungen und Spannungen in einembeliebigen Punkt des Halbraumes können jetzt mit Hilfe der Gleichungen (2.6)und (2.8) berechnet werden.

An der Oberfläche ergibt sich für folgende Beziehung zwischen derAmplitude der Horizontalverschiebung und der Amplitude der Vertikalverschie-bung (vgl. [31]):

(2.27)

Die Phasenverschiebung zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebungbewirkt, daß sich die Punkte an der Oberfläche des Halbraumes auf einer ellipti-schen Bahn bewegen.

cR

kR

A 2ka2 kb

22( ) 22 Aka2 1 kR/kb( )2

2( ) 2BkRkb 1 kR/kb( )221 05

BkR2 B2 kb

2 1 kR/kb( )22( ) 22 AkRka 1 kR/ka( )2

2 05

h kR/kb cs/cR5 5 k cs/cp5

1 4h22 4h4 4h2k 1 h22 1 h/k( )221 1 05

k

h cs cR

n 1/35 k ka/kb 1/25 5

h 1.07245

t `→n 1/35

cR 0.9325cs5

n 1/35

A 0.6389iB25

F C

n 1/35

uv

v 1.565iu5

p/2

2. GRUNDLAGEN 19

In Bild 2.7 werden die vertikalen und horizontalen Amplituden der Bodenbewe-gung als Funktion der Tiefe aufgetragen. Es ist ersichtlich, daß Rayleigh-Wellennur bis zur Tiefe von etwa einer Wellenlänge eindringen. In der Nähe derOberfläche des Halbraumes ist der Gradient der Amplitude der Horizontalbewe-gung sehr groß, weshalb eine feinere Diskretisierung in diesem Bereich erforder-lich wird.

2.2 Scattering

In den vorangehenden Abschnitten wurden die Lösungen der Wellengleichung füreinfallende P- und SV-Wellen sowie Rayleigh-Wellen im elastischen Halbraumangegeben. Die Bedingung, daß die Oberfläche des Halbraumes spannungsfreisein muß, ließ sich dabei relativ leicht erfüllen. Die Verschiebungen, die diesenLösungen entsprechen, werden als Freifeldbewegung bezeichnet. Eine Vertiefungdes Halbraumes verursacht eine Änderung des Wellenbildes. Die einfallendenWellen werden nicht nur von der Oberfläche des Halbraumes, sondern auch vomRand der Vertiefung reflektiert, wobei hier, wie im Halbraum, auch andere Wellen-arten (“mode conversion”) entstehen können.

Es ist naheliegend, für die Lösung des Wellenausbreitungsproblems eines Halb-raumes mit Vertiefung von der bekannten Halbraumlösung auszugehen. DieseLösung erfüllt automatisch die Bedingung der spannungsfreien Oberfläche desHalbraumes. Wir berechnen zuerst in den Punkten, die dem Rand der Vertiefungentsprechen, die Verschiebungen und die Spannungen , infolge der einfallendenund von der Oberfläche des Halbraumes reflektierten Wellen (Freifeldbewegung).Aus der Diskretisierung des Randes der Vertiefung ergeben sich die Knotenver-schiebungen und die Knotenkräfte . Wird der Teil des Bodens, der sich in

Bild 2.7 Horizontale Amplitude (links) und vertikale Amplitude (rechts) der Bodenbewegung alsFunktionen der Tiefe (Rayleigh-Wellen)

lS

abs u( ) abs v( )

y/l

S

y/l

S

q0 p0

20 BODEN-STRUKTUR-INTERAKTION

der Vertiefung befindet, entfernt, mußen am Rand der Vertiefung die dort im Halb-raum wirkende Kräfte durch die Kräfte kompensiert werden, damitder Rand der Vertiefung Kräftefrei bleibt (s. Bild 2.8).

Wenn wir mit die frequenzabhängige dynamische Steifigkeit des Halb-raumes mit einer Vertiefung bezeichnen, bewirken die Kräfte folgende Kno-tenverschiebungen :

(2.28)

Die totalen Verschiebungen setzen sich wie folgt zusammen:

(2.29)

Es ist auch eine andere Formulierung der Gleichung (2.29) möglich (vgl. Wolf[31]).

2.3 Boden-Struktur-Interaktion

Das betrachtete System setzt sich aus zwei Teilen zusammen (Bild 2.9). Der ersteTeil, Halbraum mit einer Vertiefung, wird durch eine frequenzabhängige dynami-sche Steifigkeitsmatrix repräsentiert. Der zweite Teil, der mit fini-ten Elementen modelliert wird, umfaßt die Struktur und den Nahbereich desBodens.

Die Steifigkeitsmatrix (Struktur mit Nahbereich des Bodens) wirdin vier Teile zerlegt (s. Bild 2.9). Der Teil entspricht den Knoten am Rand derVertiefung. Der Teil entspricht den Knoten, die keinen Kontakt mit dem Randder Vertiefung haben. Die Teile und stellen die Kopplung zwischen denKnoten am Rand der Vertiefung und den Knoten der Struktur dar.

Bild 2.8 Die Lösung des “Scattering” Problems

p0 p2 0{ }

p0

q0

q1

p02

P SVP SV

Freifeld

V V v( )5

p2 0q1

q1 V212p05

qscatt q0 q11 q0 V212p05 5

Vbb Vbb v( )5

S K v2M25

SbbSss

Sbs Ssb

2. GRUNDLAGEN 21

Bei einer dynamischen Anregungkraft direkt an der Struktur ist die Berücksichti-gung der Boden-Struktur-Interaktion sehr einfach. In diesem Fall gilt folgendeBewegungsgleichung (vgl. [32]):

(2.30)

Bei einer seismischen Anregung hingegen wird das Problem der Interaktion kom-plexer, weil die Kräfte, die auf den Interaktionshorizont wirken, sowohl von derseismischen Anregung, als auch von der dynamischen Steifigkeit des Systemsabhängen.

Wir nehmen an, daß sich die seismische Anregung als eine Superposition vonP-, SV- und Rayleigh-Wellen darstellen läßt. Zuerst werden die Freifeldbewegung

und die Spannungen , die am Rand der Vertiefung wirken, bestimmt. DasInteraktionsproblem kann durch folgende Überlegung gelöst werden. Für dieberechnete Verschiebung bleibt der Rand der Vertiefung definitionsgemäßspannungsfrei. Die Interaktionskräfte im Boden entstehen also nur infolge der zur

relativen Verschiebungen. Diese sind:

(2.31)

Die Bewegungsgleichung für die Knoten auf dem Rand der Vertiefung sieht in die-sem Fall wie folgt aus:

(2.32)

Für die anderen Knoten der Struktur, die nicht mit dem Rand der Vertiefung imKontakt sind, gilt:

Bild 2.9 Die Teilsysteme eines Boden-Struktur-Interaktionsproblems

Vertiefung (Interaktionshorizont)

Struktur + Nahbereich Boden (FEM)

Boden

S v( )Sss Ssb

Sbs Sbb

5

Vbb v( )

Sss Ssb

Sbs Sbb Vbb1( )

qs

qb ps

0

5

q0 p0

qbscatt

qbscatt

qbrel q0 qb

scatt25

Sbb qb Vbb qb qbscatt2( ) Sbs qs1 1 05


(2.33)

Aus den zwei über die Matrizen und gekoppelten Gleichungen (2.32) und(2.33) entstehen folgende Bewegungsgleichungen:

(2.34)

Die seismische Anregung wird somit über auf dem Interaktionshorizont angrei-fende Kräfte definiert. Aus Gleichung (2.29) geht hervor, daß es notwendig ist, dieMatrix zu invertieren, um zu finden. Bei der Lösung eines Boden-Struktur-Interaktionsproblems muß die Verschiebung aber nicht direktberechnet werden, weil sich die rechte Seite des Gleichungssystems (2.34) wiefolgt schreiben läßt:

(2.35)

Es sei noch darauf hingewiesen, daß es noch andere Möglichkeiten gibt, dieBewegungsgleichungen (2.34) aufzustellen. Die Boden-Struktur-Interaktion kannz.B. in einen Trägheitsanteil und einen kinematischen Anteil aufgespalten werden.Bei dieser Methode kommen die Trägheitskräfte in der Struktur direkt zum Vor-schein. Diese Vorgehensweise eignet sich vor allem zur Betrachtung von starrenFundamenten (vgl. Wolf [31]).

2.3.1 Einfaches Berechnungsbeispiel

Im ersten Kapitel wurde erwähnt, daß die Berücksichtigung der Wellenabstrah-lung ins Unendliche bei der Betrachtung eines Boden-Struktur-Interaktionsproble-mes von großer Bedeutung ist. Dies kann mit Hilfe eines einfachen Beispielesverdeutlich werden.

Das betrachtete System (vgl. Bild 2.10), das den Boden mit einer aufgesetztenStruktur modellieren soll, besteht aus einem halbunendlichen, dünnen elastischenStab mit der Querschnittsfläche , dem Elastizitätsmodul und der Dichte . AmEnde des Stabes ist ein Einmassenschwinger mit Federsteifigkeit und Masse angeordnet. Die dynamische Anregung ist in Form einer von unten einfallendenebenen harmonischen Longitudinalwelle gegeben. Gesucht ist die resul-tierende Verschiebung des Stabendes und der Masse im stationärenZustand.

Sss qs Ssb qb1 05

Ssb Sbs

Sss Ssb

Sbs Sbb Vbb1( )

qs

qb 0

Vbb qbscatt

5

Vbb qbscatt

qbscatt

0

Vbb qbscatt

0

Vbb q0 p02

5

A E r

k m

u1 x t,( )q1 t( ) q2 t( )

2. GRUNDLAGEN 23

Wir betrachten die Kopplung eines diskreten und eines unendlichen kontinuierli-chen Systems. Die Ausbreitung der ebenen Longitudinalwellen in dem Stab ist mitder Wellengleichung (2.36) beschrieben:

(2.36)

wobei

(2.37)

Gleichung (2.38) beschreibt eine von unten einfallende harmonische Longitudinal-welle (seismische Anregung):

(2.38)

Am Stabende wird die einfallende Welle reflektiert. Es entsteht eine in Richtung laufende Welle, die als bezeichnet wird.

Weil wir einen stationären Zustand betrachten, suchen wir eine Lösung des Pro-blems in der folgenden Form:

(2.39)

Es stehen drei Gleichungen zur Verfügung, um die Unbekannten , und zu bestimmen. Die erste ist die Kompatibilitätsbedingung am Stabende .Die zweite die Gleichgewichtsbedingung an gleicher Stelle. Die dritte ist die

Bild 2.10 Halbunendlicher Stab mit Einmassenschwinger

q2

q1

m

x

u1 x t,( ) u2 x t,( )

k

u̇̇ cL2u,xx5

cL2 E/r5

u1 x t,( ) C1eiv t x/cL2( )5

u1 x t,( )x2 u2 x t,( )

q1 t( ) q1eivt5

q2 t( ) q2eivt5

u2 x t,( ) C2eiv t x/cL1( )5

q1 q2 C2x 05( )


Bewegungsgleichung der Masse . Für die gewählten Ansatzfunktionen (2.39)ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

(2.40)

Um die Darstellung der Resultate zu vereinfachen, werden jetzt zwei dimensions-lose Größen (Gl. (2.41)) und (Gl. (2.42)) eingeführt:

(2.41)

(2.42)

Die Lösungen des Gleichungssystems (2.40) ergeben sich somit zu:

(2.43)

(2.44)

(2.45)

Bild 2.11 zeigt und bezogen auf die Amplitude der einfallenden Welle als Funktion der dimensionslosen Anregungsfrequenz . Es sind drei Kurvendargestellt, die den verschiedenen Werten des Parameters entsprechen.

Für eine tiefe Frequenz der Anregung als auch für eine höhere resultiert am Stabende eine Amplitude der Verschiebung, die doppelt so groß istwie die Amplitude der einfallenden Welle. Die Masse bewegt sich für mit dem Boden, bleibt aber für praktisch in Ruhe. Interessant ist der Fall

. Die Frequenz der Anregung ist gleich der Eigenfrequenz des Einmassen-schwingers. Das Stabende bewegt sich nicht . Obwohl das System unge-dämpft ist, bleibt die Amplitude der Bewegung der Masse endlich. Die effektivvorhandene, von abhängige Dämpfung (sogenannte Abstrahlungsdämpfung)kann damit erklärt werden, daß die am Stabende reflektierte Welle diegleiche Energie wie die einfallende Welle hat. Im stationären Zustandwird deshalb dem Einmassenschwinger pro Schwingungsperiode keine Energiemehr zugeführt. Die Bedeutung der sogenannten Abstrahlungsbedingung wirddamit ersichtlich. Bei der Lösung eines Interaktionsproblemes ist es notwendig,

m

C1 C21 q15

ivEA C2 1 C21( )/cL q2 q12( )k5

q2 q12( )k v2mq25

k a0

kcL km

EA----------------- km

rEA2

-----------------5 5

a0 v m/k5

q1

2C1 a02 12( )

a02 12( ) ia0k2

-----------------------------------------5

q2

22 C1

a02 12( ) ia0k2

-----------------------------------------5

C2 C1

a02 12( ) ia0k1

a02 12( ) ia0k2

-----------------------------------------5

q1 q2 C1a0

k

a0 1! a0 1@

m a0 1!

a0 1@

a0 15

q1 05( )q2

k

u2 x t,( )u1 x t,( )

2. GRUNDLAGEN 25

die Wellen im Boden zu berücksichtigen, die Energie von dem System wegbrin-gen.

Das Problem kann auch mit Hilfe der Vorgehensweise, die im Abschnitt 2.3 imDetail beschrieben wurde, gelöst werden. Zuerst wird für eine harmonische Anre-gung die dynamische Steifigkeitsmatrix des Stabes bestimmt. Zu diesem Zweckwird am Stabende eine harmonische Einheitsverschiebung aufgezwungen. DieKraft, die dieser Verschiebung entspricht, stellt direkt den Koeffizienten der dyna-mischen Steifigkeitsmatrix dar. In diesem Schritt muß die Abstrahlungsbedingungbeachtet werden (keine einfallende Wellen). Die dynamische Steifigkeitsmatrix ergibt sich zu:

(2.46)

Wir erkennen sofort, daß die Matrix einen einfachen Lysmer-Dämpfer (vgl. [22])darstellt. Die dynamische Steifigkeitsmatrix der Struktur (Einmassenschwinger)wird in folgender Gleichung angegeben:

(2.47)

Wenn nur der Stab allein betrachtet wird (Freifeldbewegung), ist das Stabendespannungsfrei ( ). Die am Stabende reflektierte Welle verdoppelt dort

Bild 2.11 Vertikale Verschiebung der Masse (oben) und des Stabendes (unten) als Funktion der An-regungsfrequenz

abs

q2/C

1(

)k 0.55

k 1.05

k 2.05

a0 v m/k5

abs

q1/C

1(

)

k 0.55

k 1.05k 2.05

V

V

V iv EA/cL[ ]5

V

S k k2

k2 kv2 m 0

0 025

p0 0{ }5


die Amplitude der Bewegung ( ). Wir setzen , , und in dieGleichung (2.34) ein und erhalten:

(2.48)

Das Gleichungssystem (2.48) hat gleiche Lösungen wie das Gleichungssystem(2.40). Die zwei in diesem Abschnitt gezeigten Lösungsmethoden sind äquivalent.

q0 2C1{ }5 V S p0 q0

k k2

k2 kv2 m 0

0 02 iv

0 0

0 EA/cL

1 q2

q1

iv0

2C1EA/cL

5

3. BESTIMMUNG DER STEIFIGKEITSMATRIX DES HALBRAUMES

In diesem Kapitel wird eine von Dasgupta und Chopra [8] vorgeschlageneMethode zur Bestimmung der dynamischen Steifigkeitsmatrix des Halbraumesbesprochen. Diese einfache Methode stellt eine Variante der indirekten Randele-mentmethode mit „Weighted-Residual Technique“ dar (vgl. [31]). Die dynamischeSteifigkeitsmatrix des Halbraumes kann einerseits für die Betrachtung von Funda-tionen an der Oberfläche benutzt werden, anderseits ist sie ein wichtiger Bestand-teil der Komplementärmethode zur Behandlung von eingebetteten Fundationen,wie sie im nächsten Kapitel beschrieben wird.

3.1 Indirekte Randelementmethode

Die Berechnung der dynamischen Steifigkeitsmatrix einer Fundation auf einemelastischen Halbraum stellt ein Problem mit gemischten Randbedingungen dar(mixed boundary-value problem). An der Grenze zwischen Boden und Strukturwerden die Verschiebungen vorgeschrieben (kinematische Randbedingung). Ander verbleibenden Oberfläche des Halbraumes wirken keine Kräfte, und sie mußdeshalb spannungsfrei bleiben.

Zur Lösung dieses Problems kann die indirekte Randelementmethode angewendetwerden. Dafür wird zunächst der betrachtete Teil der Oberfläche des Halbraumesunter dem Fundament in Elemente unterteilt. Es werden danach fiktive Kräfte eingeführt.

Bild 3.1 Definition der Steifigkeitsmatrix für den Halbraum

Einheitsverschiebung

j

KnotenreaktionS2j 2i,

u2i 15

i

S2j 12 2i,1

2

S

p

28 INDIREKTE RANDELEMENTMETHODE

Zwischen den Spannungen im Element und den Kräften gilt folgendeBeziehung:

(3.1)

Die Matrix beinhaltet Funktionen, die den Spannungsverlauf in den Elemen-ten interpolieren. Mit s wird die Grenze Struktur-Boden bezeichnet.

Im nächsten Schritt werden die Verschiebungen an der Grenze Struktur-Bodeninfolge der fiktiven Kräfte bestimmt. Dies erfordert die Herleitung von Einfluß-funktionen, die in einer Matrix zusammengefaßt werden. Diese Funktionenmüßen sowohl die Wellengleichung wie auch die Randbedingungen und dieAbstrahlungsbedingung erfüllen. Die Amplituden der Verschiebung am Rand sergeben sich dann zu:

(3.2)

Seitens der Struktur sind die mit bezeichneten Verschiebungen auf demRand s durch die Knotenverschiebungen und zwischen den Knoten durchAnsatzfunktionen (Formfunktionen) gegeben:

(3.3)

An der Grenze zwischen Boden und Struktur wird die Kompatibilität der Verschie-bungen verlangt. Diese kann mit einer endlichen Anzahl von Kräften exakt nurin gewählten Punkten auf dem Rand s erfüllt werden. In der Art wie die Kompati-bilitätsbedingung formuliert wird, unterscheiden sich die Varianten der indirektenRandelementmethode. Es wird im weiteren die sogenannte “Weighted-ResidualTechnique“ (s. [31]) angewendet. Bei dieser Methode wird eine Matrix vonGewichtsfunktionen eingeführt. Die gewünschte Kompatibilität zwischen

und wird mit Hilfe der folgenden Gleichung (3.4) im Mittel erreicht:

(3.4)

Es sind verschiedene Ansätze für die Gewichtsfunktionen möglich. Sie wer-den im weiteren identisch wie die, den Spannungsverlauf in den Elementenapproximierenden, Funktionen gewählt:

(3.5)

Wenn man in den Elementen konstante Spannung annimt, bedeutet Gleichung(3.4), daß die Differenz zwischen und verschwinden muß, wenn sieüber die Länge des Elementes integriert wird.

Gleichungen (3.2) und (3.3) eingesetzt in (3.4) ergeben:

(3.6)

pS p

pS L s( ) p5

L s( )

pG s( )

uP s( ) G s( ) p5

uS s( )ub

N s( )

uS s( ) N s( ) ub5

p

W s( )uP s( ) uS s( )

W s( )T uP s( ) uS s( )2( ) sdS

# 05

W s( )

L s( )

W s( ) L s( )5

uP s( ) uS s( )

F p T ub5

3. BESTIMMUNG DER STEIFIGKEITSMATRIX DES HALBRAUMES 29

wobei

(3.7)

(3.8)

Die Flexibilitätsmatrix ist für symmetrisch, was mit dem Maxwell-Betti Reziprozitätstheorem bewiesen werden kann.

Als nächstes werden aus die konzentrierten Knotenkräfte bestimmt. Eswird verlangt, daß die von den fiktiven Kräften an den vorausgesetzten Ver-schiebungen geleistete Arbeit gleich der Arbeit der Knotenkräfte an denKnotenverschiebungen wird. Aus dieser Bedingung folgt:

(3.9)

Um die Beziehung zwischen und zu finden, wird zuerst Gleichung (3.6)nach aufgelöst und dann mit Gleichung (3.1) in Gleichung (3.9) eingesetzt. Esresultiert:

(3.10)

Die gesuchte symmetrische Steifigkeitsmatrix , die eine Beziehung zwischen denKnotenkräften und den Knotenverschiebungen darstellt, ergibt sich somit zu:

(3.11)

3.2 Die Methode von Dasgupta und Chopra

Die von Dasgupta und Chopra [8] vorgeschlagene Berechnungsmethode stellt, wiewir sehen werden, eine Variante der indirekten Randelementmethode dar. Dasbetrachtete System besteht aus Knoten und Elementen gleicher Länge (Bild 3.2).

Als fiktive Kräfte werden über die Länge jedes Elementes gleichmäßig ver-teilte Einheitskräfte gewählt (Streifenkräfte). Die Interpolationsfunktion nimmt für den Wert an und verschwindet für . Das bedeutet einekonstante Spannung in jedem Element. Der Verlauf der Verschiebung wird zwi-schen den Knoten linear angenommen (s. Bild 3.3).

Wie einfach zu zeigen ist, ergibt sich die Matrix (vgl. Gleichung (3.8)) zu:

F L s( )TG s( ) sdS

#5

T L s( )TN s( ) sdS

#5

F W s( ) L s( )5

p s( ) pbp s( )

uS s( ) pbub

pb N s( )T p s( ) sdS

#5

pb ubp

pb TT F 12 T ub5

S

S TT F 12 T5

N N 12 b

piLij s( )

i j5 1/b i jÞ

T

30 DIE METHODE VON DASGUPTA UND CHOPRA

(3.12)

Im nächsten Schritt werden die Einflußfunktionen bestimmt, was der Berechnungder Verschiebungen an der Oberfläche des Halbraumes infolge einer über dieLänge eines Elementes gleichmäßig verteilten Einheitskraft (Streifenkraft) ent-spricht (s. Kapitel 5).

Gemäß Gleichung (3.7) werden die Elemente der Flexibilitätsmatrix aus denEinflußfunktionen , die mit den im Element konstanten Interpolationsfunktio-nen integriert werden, berechnet. Dasgupta und Chopra haben eine einfacheIntegration mit zwei Stützstellen gewählt (Trapez-Regel). Deshalb müssen die Ein-flußfunktionen nur in den Knoten (Stützstellen) berechnet werden. Die in einemPunkt berechneten Verschiebungen bilden (s. Bild 3.4) eine Matrix der Einfluß-koeffizienten .

Bild 3.2 System für die Berechnung der Steifigkeitsmatrix des Halbraumes

Bild 3.3 Oben: Die gewählten fiktiven Kräfte . Mitte: Interpolationsfunktion . Unten: Form-funktion

x

y

b

Halbraum

si

pi

s

s

1

i 12 i

L s( )

N s( )

1/b

pi L s( )N s( )

T12---

1 0 1 · · · · · 0

· 1 0 1 · · · · ·

· · · · · · · · ·

· · · · · 1 0 1 ·

0 · · · · · 1 0 1

5

FG s( )

L s( )

mGm


Die Matrix , die eine Beziehung zwischen den fiktiven Kräften und den Kno-tenverschiebungen darstellt, setzt sich aus den Teilmatrizen wie folgtzusammen:

(3.13)

Mit (s. Gleichung (5.13)) und mit (s. Bild 3.4) ergibtsich:

(3.14)

Die Gleichung (3.13) kann somit wie folgt umgeschrieben werden:

(3.15)

oder kürzer:

(3.16)

Bild 3.4 Definition der Einflußkoeffizienten

x

y

x

g21m

g22m

g21m2

g22m2

Gmg11

m g12m

g21m g22

m5

m-m -1 1 2

Halbraum

G pup Gm

up

G 12 G 22 G 32 · · G1 N2

G1 G 12 G 22 · · G2 N2

· · · · · ·

· · · · · ·

· · · · · G 12

GN 12 GN 22 GN 32 · · G1

p5

g21m g2 12

m5 g21m g2 21

m25

Gm G m2T5

up

G1T G2

T G3T · · GN 12

T

G1 G1T G2

T · · GN 22T

· · · · · ·

· · · · · ·

· · · · · G1T

GN 12 GN 22 GN 32 · · G1

p5

up G p5


Die Matrix der Einflußkoeffizienten hat die Dimension . Zubemerken ist, daß für die vorausgesetzten konstanten Elementenlängen nur Elementenmatrizen benötigt werden, um zu bestimmen.

Die Flexibilitätsmatrix ergibt sich zu:

(3.17)

Gleichung (3.17) entspricht Gleichung (3.7), wenn wir für die Integration die Tra-pez-Regel verwenden. Aus Gleichung (3.11) folgt jetzt:

(3.18)

Bei der vorgestellten Berechnungsmethode fällt die aufwendige Auswertung derGreen’schen Einflußfunktionen stärker ins Gewicht als die Matrizenoperationen.Die Methode ist deshalb sehr effizient, weil die Einflußfunktionen nur in den Kno-ten ausgewertet werden. Die vereinfachte Integration der Einflußfunktionen überdie Elementenlänge wird mit Hilfe der Trapez-Regel durchgeführt. Eine genauereIntegration erfordert entweder mehrere Stützstellen in einem Element oder einenPolynomansatz für die Einflußfunktion über mehrere Elemente. Auf die Problema-tik der Auswertung der Green’schen Einflußfunktionen werden wir im Kapitel 6genauer eingehen.

Die frequenzabhängige Steifigkeitmatrix des Halbraums hat die Dimension und ist singulär, weil nur unabhängige Einheitskräfte bei der

Berechnung der Knotenverschiebungen benutzt wurden. Bei der Betrachtungvon Boden-Struktur-Interaktionsproblemen ist das ohne Bedeutung, weil dieMatrix mit der dynamischen Steifigkeitsmatrix der Struktur gekoppelt ist undnicht direkt invertiert werden muß.

Mit Hilfe der Matrix kann nicht nur eine Flachfundation modelliert werden,sondern es ist ebenso möglich, eine Erhöhung auf einem Halbraum zu betrachten(s. Bild 3.5). Der Bereich der Erhöhung kann in diesem Fall wie eine Struktur pro-blemlos mit Finiten Elementen modelliert werden. Nicht möglich ist es hingegen,das Problem einer Vertiefung auf diese Weise zu lösen, weil dazu auch Punkte imInnern des Halbraumes gebraucht werden. Dieses Problem wird im nächstenKapitel behandelt.

Bild 3.5 Halbraum mit einer Erhöhung

G 2 N 12( ) N3

N 12

G

F

F TG5

S TT TG( ) 12 T5

S2N 2N3 2 N 12( )

2N

S

S

S


3.2.1 Berechnungsbeispiel starre Flachfundation

In diesem Abschnitt wird ein starres Streifenfundament auf einem homogenenviskoelastischen Halbraum betrachtet. Die dynamische Steifigkeitsmatrix des Halb-raumes wird unter der Annahme eines ebenen Verformungszustandes gemäß demVorschlag von Dasgupta und Chopra [8] berechnet. Dabei wird die im sechstenKapitel dargestellte Integrationsmethode angewendet. Der Halbraum wird unterdem starren Fundament mit Elementen gleicher länge diskretisiert. Beider Berechnung werden somit für jede betrachtete Frequenz Matrizender Einflußkoeffizienten bestimmt.

Das starre Fundament mit der Breite 2b hat mit den Verschiebungen in x- und y-Richtung und der Rotation um die z-Achse drei Freiheitsgrade (s. Bild 3.6). Diehorizontale Verschiebung ist mit der Rotation gekoppelt. Gleichung (3.19)beschreibt die Beziehung zwischen den Verschiebungen des starren Fun-damentes und den auf das Fundament wirkenden Kräften :

(3.19)

In Bild 3.7 werden die dimensionslosen Steifigkeitskoeffizienten , , und in Funktion der dimensionslosen Frequenz dargestellt. Der

Reallteil von kann als Federsteifigkeit, der Imaginärteil als Dämpfungskonstanteeines viskosen Dämpfers interpretiert werden. Es gilt:

(3.20)

Bild 3.6 Starres Fundament auf einem elastischen Halbraum

n 105

n 12 95

Gm

2b

y

xstarres Fundament Px

PyMz

Halbraum

2b

u wzu v w, ,( )

Px Py Mz, ,( )

Px/m

Py/m

Mz/mb

Kx 0 Kxz

0 Ky 0

Kxz 0 Kz

u

v

wzb

5

Kx Ky KzKxz a0 vb/cS5

K

K k ia0c15


Bild 3.7 Horizontale, vertikale, rotations- und gekoppelte Steifigkeit eines starren Fundamentes

Kx kx ia0cx15

kx

cx

h 050.05

Ky ky ia0cy15

ky

cy

h 050.05

Kz kz ia0cz15

kz

cz

h 050.05

a0 vb/cS5

kxz

cxz

h 050.05

Kxz kxz ia0cxz15


Bei der Berechnung wurde für den Halbraum die Poissonszahl und einekonstante Hysteresisdämpfung (keine Dämpfung) bzw. ange-nommen (vgl. Abschnitt 5.3 S. 59). Das entspricht einem äquivalenten viskosenDämpfungsmaß bzw. . Die Resultate der Berechnung mit derKomplementärmethode stimmen sehr gut mit den Resultaten in Referenz [5] über-ein, wobei von dort lediglich Resultate für zur Verfügung stehen.

Wird die dimensionslose Frequenz konstant gehalten, ergibt sich für einesehr große Breite des Fundamentes die gleiche dynamische Steifigkeit wiefür . Die Wellenausbreitung im Halbraum wird in diesem Fall eindimensio-nal. Die horizontale und die vertikale dynamische Steifigkeit kann somit an einemeinfachen Stab mit dem Kompressionsmodul und dem Schubmodul ähnlich wie in Abschnitt 2.3.1 berechnet werden. Mit und d.h.für bekommt man:

(3.21)

(3.22)

Aus den Gleichungen (3.21) und (3.22) ergeben sich folgende Grenzwerte (vgl.Bild 3.7):

(3.23)

(3.24)

Für den Fall, daß auf dem betrachteten Fundament eine Struktur aufgestellt wird,hängt die effektive Dämpung des gesamten Systems sowohl von den Eigenschaf-ten des Halbraumes als auch von den Eigenschaften der Struktur ab (vgl.Abschnitt 2.3.1).

n 1/35

h 05 h 0.055

z 05 z 0.0255

z 0.0255

a0b `→

v `→

l 2m1 m

cp 2cs5 l 2m5

n 1/35

Kx 2ivb/cs 2ia05 5

Ky 2ivb/cp 4ivb/cs 4ia05 5 5

kxa0 `→lim 05

cxa0 `→lim 25

kya0 `→lim 05

cya0 `→lim 45

4. DIE KOMPLEMENTÄRMETHODE

In diesem Kapitel wird eine neue Methode zur Berechnung der dynamischen Stei-figkeitsmatrix für einen homogenen Halbraum mit einer prismatischen Vertiefungvorgestellt. Diese Methode, im weiteren Komplementärmethode genannt, führtschnell zu einer guten Näherungslösung für komplexe Boden-Struktur-Interakti-onsprobleme.

4.1 Grundidee

Ein homogener Halbraum mit einer Vertiefung kann, denken wir ihn uns durcheinen komplementären Halbraum mit einer Erhöhung ergänzt, als Teil eines Voll-raumes betrachtet werden (s. Bild 4.1).

Es gilt folgende Beziehung:

(4.1)

Bild 4.1 Zwei Komplementärsysteme (oben) und das aus ihnen zusammengesetzte Gesamtsystem(unten)

Halbraum

EHalbraum

S

Vollraum

Erhöhung

V

Vertiefung

E V1 S5

38 TEILSYSTEM HALBRAUM MIT ERHÖHUNG

Hierin steht für die Steifigkeitsmatrix des Halbraumes mit aufgesetzter Erhö-hung, für die Steifigkeitsmatrix des Halbraumes mit einer Vertiefung und fürdie Steifigkeitsmatrix des Vollraumes. Die Knotenanordnung ist bei allen dreiSystemen identisch. Die gesuchte Steifigkeitsmatrix des Halbraumes mit einerVertiefung ergibt sich somit zu:

(4.2)

Demzufolge kann die gesuchte Steifigkeitsmatrix als Differenz der Steifigkeits-matrizen und bestimmt werden. Das Problem der Berechnung der dynami-schen Steifigkeitsmatrix des Halbraumes mit einer Vertiefung wurde somit in zweiTeilprobleme zerlegt. Dabei sind die Lösungen der beiden Teilprobleme einfacherbestimmbar als die Lösung des ursprünglichen Problems.

In weiteren Abschnitten dieses Kapitels wird beschrieben, wie die dynamischenSteifigkeitsmatrizen der Teilsysteme bestimmt werden können. Anschließend wirddie Genauigkeit und Effizienz der Komplementärmethode mit Hilfe von mehrerenTestbeispielen untersucht.

4.2 Teilsystem Halbraum mit Erhöhung

Das Teilsystem Halbraum mit Erhöhung setzt sich wiederum aus zwei Bereichenzusammen, die separat betrachtet werden können, nämlich aus einem Halbraumund einer Erhöhung (s. Bild 4.2). Bei der Berechnung der dynamischen Steifig-keitsmatrix des Halbraumes wird unter Voraussetzung einer konstanten Element-länge die im Kapitel 3 vorgestellte Methode von Dasgupta und Chopra [8]angewendet. Die Erhöhung wird mit Finiten Elementen modelliert. Aus den bei-den Bereichssteifigkeitsmatrizen (Halbraum) und (Erhöhung) wird durchElimination der überflüssigen Freiheitsgrade die Steifigkeitsmatrix gebildet (Bild4.2).

Für das Teilsystem Halbraum mit Erhöhung kann dank dieser Zerlegung dieBerechnung der dynamischen Steifigkeitsmatrix des unendlichen Teiles für einereguläre Knotenanordnung (konstante Elementlänge) erfolgen. Die Form derErhöhung (und damit der Vertiefung) kann dabei beliebig sein.

Bei der Modellierung der Erhöhung werden isoparametrische Solid-Elemente mit 4Knoten verwendet [18]. Die Diskretisierung des Bereiches der Erhöhung kanndabei weitgehend automatisch erfolgen. Ausgehend von der Elementaufteilung fürein Rechteck (Bild 4.3 links) ergibt sich eine Möglichkeit zur Generierung derKnoten und Elemente: Durch Transformation der Koordinaten so, daß die dreiSeiten des Rechtecks in einen Halbkreis (Bild 4.3 rechts) oder eine andere gege-bene Kurve überführt werden.

EV S

V S E25

VS E

H SEE

4. DIE KOMPLEMENTÄRMETHODE 39

4.3 Teilsystem Vollraum

Im Unterschied zum Teilsystem Halbraum mit Erhöhung kann das Teilsystem Voll-raum nicht mehr vereinfacht werden. Man muß bei der Berechnung der dynami-schen Steifigkeitsmatrix des Vollraumes von einer beliebigen Knotenanordnungausgehen. Auch die Länge der Elemente ist somit im allgemeinen nicht konstant(Bild 4.4).

Um die Steifigkeitsmatrix des Vollraumes zu bestimmen, kann das Verfahrenvon Dasgupta und Chopra zur Berechnung der Steifigkeitsmatrix des Halbraumesadaptiert werden.

Die Matrix der Einflußkoeffizienten ist wie folgt in lokalen Koordinaten (imweiteren mit (1) bezeichnet) definiert:

(4.3)

Bild 4.2 Zerlegung des Teilproblems “Halbraum mit Erhöhung”

Bild 4.3 Beispiel eines FE-Modells für die “Erhöhung“. Links ursprüngliches, rechts transformiertesSystem

SE

H

E

Halbraum

Erhöhung

S

S

Gij

Gij1( )pi

1( ) rj1( )5

40 TEILSYSTEM VOLLRAUM

wobei

Zur Transformation auf das globale Koordinatensystem wird eine Transfor-mationsmatrix benutzt:

(4.4)

Mit dieser Transformationsmatrix kann die Matrix der Einflußkoeffizienten inglobalen Koordinaten ausgerechnet werden:

(4.5)

Die dynamische Steifigkeitsmatrix des Systems wird analog zu der des Halbrau-mes aufgestellt und ist wie folgt definiert (vgl. Gleichung (3.18)):

(4.6)

Bei der Berechnung werden im allgemeinen Fall alle Elemente der Einflußmatrixbestimmt. Der Rechenaufwand hängt somit quadratisch und nicht wie für denHalbraum linear von der Anzahl Elemente ab. Deshalb ist die Berechnung desTeilsystems Vollraum für die Effizienz der Komplementärmethode entscheidend.

Bild 4.4 Globale und lokale Koordinaten bei der Berechnung der Matrix derEinflußkoeffizienten

y

xi

i 11

j

xj yj,( )

xj1( ) yj

1( ),( )

x 1( )

y 1( )

pi

pi1( )

x y,( ) x 1( ) y 1( ),( )Gij

rj1( ) uj

1( ) vj1( ),{ } T5

x y,( )R

R ex ex 1( )?( ) ey ex 1( )?( )

ex ey 1( )?( ) ey ey 1( )?( )5

Gij

RTGij1( )R Gij5

S

S TT TG( ) 12 T5


4.4 Testrechnungen

Obwohl die Grundidee der Komplementärmethode sehr einfach ist, ergeben sichbei der Implementierung einige Fragen, die nur mit Hilfe von Testrechnungenbeantwortet werden können.

4.4.1 Bestimmung der Modellgröße

In der Praxis ist hauptsächlich der Rand der Vertiefung von Bedeutung, weil diesereinen möglichen Interaktionshorizont für Boden-Struktur-Interaktionsproblemedarstellt. Deshalb sollte zur Minimierung des Rechenaufwandes die Länge der dis-kretisierten Oberfläche des Halbraumes möglichst kurz sein. Gleichzeitig abersollte die Bedingung, daß die Oberfläche des Halbraumes spannungsfrei bleibt,möglichst gut erfüllt werden. Mit der folgender Problemstellung soll bestimmtwerden, wie lange die diskretisierte Oberfläche seitlich der Vertiefung mindestenssein soll.

Der Bereich einer halbkreisförmigen Vertiefung ist mit Elementen dis-kretisiert. Die Anzahl der Elemente in den Bereichen beiderseits der Vertiefungvariiert zwischen und . In Bild 4.5 sind alle betrachteten Systemedargestellt.

Bild 4.5 Bestimmung der Modellgröße. Die betrachteten Systeme

n 125

m 205 m 05

a)2R

a

b)

c)

d)

42 TESTRECHNUNGEN

Die dynamische Anregung erfolgt durch eine unter dem Winkel schräg einfall-ende P-Welle. Die Amplitude der Welle wurde dabei gleich gesetzt. Material-kennwerte und die Anregungsfrequenz sind so gewählt, daß dieKompressionswellenlänge dem vierfachen Radius R des Halbkreises entspricht( ). Die für den Halbraum angenommene konstante Hysteresis-dämpfung von entspricht dem äquivalenten viskosen Dämpfungsmaßvon . Für die Poissonzahl folgt, daß die Kompressionswellen-länge doppelt so lang ist wie die Schubwellenlänge . Die Elementlänge aufdem Rand der Vertiefung ist in diesem Beispiel ca. 6 mal kleiner als und liegtsomit im Grenzbereich der Anwendbarkeit der Methode (s. Abschnitt 5.5). Bei derBetrachtung von höheren Anregungsfrequenzen wäre eine feinere Diskretisierungdes Randes der Vertiefung erforderlich.

Die Berechnung der Verschiebung am Rand der Vertiefung wird wie imAbschnitt 2.2 beschrieben durchgeführt. Es werden zunächst in den Bildern 4.6und 4.7 die Resultate für die Systeme a), b), und c) jeweils für verschiedene Ein-fallswinkel angegeben. Dargestellt sind immer die Amplituden der vertikalenund horizontalen Verschiebung. Es wird in diesem Beispiel keine Referenzlösungangegeben, weil es um die Frage geht, wie stabil die Komplementärmethode inBezug auf den untersuchten Parameter ist.

Die besten Resultate können für System a) erwartet werden. Wir stellen aberfest, daß die berechneten Verschiebungen am Rand der Vertiefung praktisch unab-hängig davon sind, wie lange der diskretisierte Bereich der Oberfläche des Halb-raumes beiderseits der Vertiefung ist. Selbst für System c) mit nur einem Elementan der Oberfläche des Halbraumes sind die Deformationen am Rand derVertiefung fast gleich wie beim System a), welches 20 Elemente hat. Diese Resul-tate sind überraschend, weil die Bedingung, daß die Oberfläche des Halbraumesspannungsfrei bleibt, nur innerhalb des diskretisierten Bereiches erfüllt wird. DieErfüllung der Randbedingung in größer Entfernung von der Vertiefung scheintsomit keinen großen Einfluß auf die in den Bildern 4.6 und 4.7 gezeigten Berech-nungsresultate zu haben. Wenn wir aber die Lösungen der Teilprobleme genauerbetrachten, merken wir, daß die spannungsfreie Oberfläche des Halbraumes beieinem der Teilsysteme (Halbraum mit Erhöhung) “exakt” modelliert wird. Die ver-letzte Randbedingung ist somit mindestens teilweise erfüllt. Viel wichtiger für dasgesamte System ist aber, daß auch der Energietransport an der Oberfläche desHalbraumes beim Teilsystem Halbraum mit Erhöhung “exakt” berücksichtigt wird.

Die Bedeutung des Energietransportes an der Oberfläche des Halbraumes wirdin [23] verdeutlicht. Es wird dort angegeben, daß für eine normal zur Oberflächeeines Halbraumes angreifende harmonische Punktkraft ca. 67% der Energie inForm von Rayleigh-Wellen, 26% in Form von Schubwellen (SV) und nur ca. 7% inForm von Kompresionswellen (P) abgestrahlt wird. In diesem Zusammenhangwird auch besser verständlich, warum auch das Resultat für System d) von denanderen Resultaten wenig abweicht (Bild 4.8), obwohl die Oberfläche des Halb-raumes außerhalb der Vertiefung in diesem Fall gar nicht diskretisiert wird.

a

1.0

lpv pcp /2R5

h 0.15

z 0.055 n 1/35

lp lSlS

a


Aufgrund dieser Überlegungen wurden bei der Berechnung der Anwendungsbei-spiele (Kap. 7 und 8) maximal zwei Elemente an der Oberfläche des Halbraumesangeordnet.

Bild 4.6 Bestimmung der Modellgröße. System a), b) und c). Vertikale und horizontale Verschie-bungsamplitude ( P-Wellen)

Bild 4.7 Bestimmung der Modellgröße. System a), b) und c). Vertikale und horizontale Verschie-bungsamplitude ( P-Wellen)

x/R

lS 2R5

abs

u()

abs

v()

a) 20 El.b) 5 El.c) 1 El.

x/R

a 085

x/R

lS 2R5

abs

u()

abs

v()

a) 20 El.b) 5 El.c) 1 El.

x/R

a 4585

44 TESTRECHNUNGEN

4.4.2 Gefülltes Tal

In diesem Abschnitt wird ein Spezialfall der Boden-Struktur-Interaktion unter-sucht. Die kreissegmentförmige Vertiefung wird mit Finiten Elementen gefüllt,denen die gleichen Materialeigenschaften zugewiesen werden wie dem Halbraum(Bild 4.9 rechts). Das gesamte System ist somit mit dem Halbraum identisch. Des-halb sind die Verschiebungen an der Oberfläche des Systems mit der exakten ana-lytischen Lösung für den Halbraum vergleichbar. So kann die Genauigkeit derKomplementärmethode sehr einfach beurteilt werden.

Bild 4.8 Bestimmung der Modellgröße. System a) und d). Vertikale und horizontale Verschie-bungsamplitude für P-Wellen: (links) bzw. (rechts)

Bild 4.9 Gefülltes Tal. Links: Freifeld mit seismischer Anregung. Rechts: Berechnungsmodell

x/R

abs

u()

abs

v()

a) 20 El.d) 0 El.

x/R

lS 2R5

x/R

abs

u()

abs

v()

a) 20 El.d) 0 El.

x/R

lS 2R5

a 085 a 4585

P SV

R

L

0.25L

Vdynamische Steifigkeitsmatrix der Vertiefung


Die Anregung erfolgt durch P-, SV- und Rayleigh-Wellen. Für die P- und SV-Wellen

wurde die Amplitude zu gesetzt. Für die Rayleigh-Welle wurde die Vertikal-

komponente der Freifeldbewegung ebenfalls zu gesetzt. Für den Halbraum

wurde eine konstante Hysteresisdämpfung von und die Poissonzahl

angenommen. Die Anregungsfrequenz ist so gewählt, daß die entspre-

chende Schubwellenlänge mit der Breite L der Vertiefung identisch ist.

In Bild 4.10 sind die Resultate der Berechnung dargestellt. Sie zeigen eine gute

Übereinstimmung der Lösung, die mit Hilfe der Komplementärmethode berechnet

wurde, mit der exakten Lösung.

Bild 4.10 Gefülltes Tal. Vertikale und horizontale Verschiebungsamplitude an der Oberfläche desHalbraumes infolge einfallender P-, SV- und Rayleigh-Wellen für

1.0

1.0

h 0.15

n 1/35

lSab

sv()

abs

u()

x/Lx/L

P Welle2 a 6085

1)2)

abs

v()

abs

u()

x/L x/L

SV Welle2 a 6085

1)2)

abs

v()

abs

u()

x/L x/L

Rayleigh Welle2

1) Komplementärmethode2) exakte analytische Lösung

1)2)

lS L5

46 TESTRECHNUNGEN

4.4.3 Ähnlichkeitsgesetze für dynamische Steifigkeitsmatrizen

Die dynamische Steifigkeitsmatrix des Halbraums mit Vertiefung hängt von derGeometrie der Vertiefung, von den Materialeigenschaften des Bodens und von derAnregungsfrequenz ab. Die dynamischen Einflußkoeffizienten, die bei der Berech-nung der dynamischen Steifigkeitsmatrix bestimmt werden müssen, sind Funktio-nen der dimensionslosen Frequenz . Daraus folgt, daß dieSteifigkeitsmatrizen geometrisch ähnlicher Systeme mit gleichem identischsind. Dieser Sachverhalt kann, wie im folgenden dargestellt, genutzt werden.

Wir betrachten eine Vertiefung mit der Dimension wie im Bild 4.11 (links). Eswird zuerst für die Frequenz die dynamische Steifigkeitsmatrix berechnet. Wir wollen für die gleiche Vertiefung und eine tiefere Frequenz

die dynamische Steifigkeitsmatrix bestimmen. Wir können dazu dieVertiefung so mit einem Material füllen, das die gleichen Eigenschaften hat wieder Halbraum, bis eine ähnliche, kleinere Vertiefung mit der charakteristischenLänge resultiert. Die Steifigkeitsmatrix, die für der Rand der kleinerenVertiefung gilt, bezeichnen wir als . Es gilt:

(4.7)

So können wir aus einer Steifigkeitsmatrix, die für eine höhere Anregungsfre-quenz berechnet wurde, mit Hilfe der Methode der finiten Elemente die Matrizenfür tiefere Anregungsfrequenzen bekommen. Diese Vorgehensweise erlaubt es,das gleiche Problem für verschiedene Anregungsfrequenzen zu behandeln, ohnedaß die Steifigkeitsmatrix des Halbraumes mit Vertiefung jedesmal neu berechnetwerden muß.

Das im folgenden betrachtete System besteht aus einer halbkreisförmigenVertiefung, die mit 25 Elementen modelliert ist (Bild 4.12). Zusätzlich ist auf jederSeite der Vertiefung ein Teil der Oberfläche des Halbraumes mit je zwei Elemen-ten diskretisiert.

Bild 4.11 Nutzung der dimensionslosen Frequenz zur Berechnung der dynamischen Steifigkeits-matrix

a0 vb/cS5

a0

V Av L1,( )

V v AL1,( )L2 AL15

V v L1,( )

L1

L1v1 V v1 L1,( )

v2 Av15

L2 AL15

V v1 L, 2( )

V v1 L, 2( ) V v1 AL1,( ) V Av1 L1,( )5 5


Die Anregung erfolgt wieder durch P- und SV-Wellen. Die Anregungsfrequenz istso gewählt, daß zunächst die entsprechende Schubwellengeschwindigkeit identisch R ist ( ). Die dynamische Steifigkeitsmatrix des Halbraumesmit Vertiefung wird mit Hilfe der Komplementärmethode bestimmt.

Um die dynamische Steifigkeitsmatrix für eine viermal tiefere Anregungsfre-quenz zu finden, wird die Vertiefung so mit finiten Elementengefüllt, daß der Radius der Vertiefung viermal kleiner wird .Anschließend werden alle Freiheitsgrade bis auf diejenigen auf dem Rand der klei-neren Vertiefung eliminiert. Dies führt auf die gesuchte Steifigkeitsmatrix. DieseBerechnungsmethode wird als “indirekt” bezeichnet. Zur Kontrolle ist jeweils dasResultat einer direkten Berechnung mit dargestellt. Bild 4.13 zeigteine gute Übereinstimmung der Resultate einer “indirekten” und einer “direkten”Berechnung (nicht zu verwechseln mit der direkten und indirekten Randelement-methode).

4.4.4 “Stabilisierung” der Lösung

Die dynamische Steifigkeitsmatrix des Halbraumes mit einer Vertiefung wird mitHilfe der Steifigkeitsmatrizen des Halbraums, des Vollraumes und der Erhöhungbestimmt. Die ersten zwei Matrizen sind singulär (vgl. Seite 32). Aus diesemGrund ist es möglich, dass die dynamische Steifigkeitsmatrix des Halbraumes miteiner Vertiefung schlecht konditioniert wird. Anders als bei den Interaktionspro-blemen muß bei der Betrachtung der Wellenstreuung (“Scattering”) die Steifig-keitsmatrix des Halbraumes mit der Vertiefung invertiert werden. Eine schlechtkonditionierte Steifigkeitsmatrix kann zu numerischen Problemen führen, wie esin Bild 4.14 (punktierte Linie) zu erkennen ist. Die Resultate solcher Berechnun-gen können wie folgt “stabilisiert“ werden. Die dynamische Steifigkeitsmatrix desHalbraumes mit der Vertiefung wird vorerst für eine vergrößerte Vertiefungberechnet. Diese wird anschließend mit finiten Elementen gefüllt, um die

Bild 4.12 Ähnlichkeitsgesetze für dynamische Steifigkeitsmatrizen: Links: Das betrachtete System.Rechts: Das benutzte FE Modell

2R0.5R

a 60.085

P-Welle

lsv 2pcs /R5

v pcs/2R5

R1 0.25R5( )

v pcs / 2R5

48 TESTRECHNUNGEN

ursprüngliche Form der Vertiefung zu erhalten. Es resultiert eine besser konditio-nierte Matrix, die problemlos invertiert werden kann.

Die Resultate einer derart verbesserten Berechnung sind ebenfalls im Bild 4.14(ausgezogene Linie) dargestellt. Diese Vorgehensweise wurde nur bei der Lösungdes Problems der Wellenstreuung (Scattering) angewendet.

Bild 4.13 Ähnlichkeitsgesetze für dynamische Steifigkeitsmatrizen: Vertikale und horizontale Ver-schiebungsamplitude am Rand einer halbkreisförmigen Vertiefung infolge einfallenderWellen. Vergleich zwischen den Resultaten der “direkten” und “indirekten” Berechnung

Bild 4.14 “Stabilisierung“ der Lösung: Vertikale und Horizontale Verschiebungsamplitude amRand einer halbkreisförmigen Vertiefung infolge einfallender P-Wellen. Resultate einerBerechnung mit schlecht konditionierter dynamischer Steifigkeitsmatrix (punktierte Li-nie) und einer stabilisierten Berechnung (ausgezogene Linie)

x/R x/R

abs

v()

abs

u()

P Welle2 a 6085 lS R 4R→5

“direkt”“indirekt”

x/R x/R

abs

v()

abs

u()

SV Welle2 a 6085 lS R 4R→5

“direkt”“indirekt”

P Welle2 a 3085 lS R5

x/R x/R

abs

v()

abs

u()

a)b)

a) normale Berechnungb)“stabilisierte” Berechnung


4.5 Effizienz der Berechnung

Bei der Berechnung der dynamischen Steifigkeitsmatrix für jedes der beiden Teil-systeme der Komplementärmethode wird zunächst die Einflußmatrix bestimmt. Imallgemeinen Fall sind zur Ermittlung der Einflußmatrix auf jedem der N ElementeEinheitskräfte, die jeweils einem Freiheitsgrad entsprechen, anzusetzen. Für dieseEinheitskräfte werden in allen Knoten entsprechende Knotenverschiebungenberechnet. Es ergibt sich für ein Element und einen Knoten eine antimetrische(Halbraum) oder eine symmetrische (Vollraum) Matrix der Einflußkoeffizi-enten. Somit sind insgesamt Knotenverschiebungen zu bestimmen.

Für den Spezialfall gleicher Elementlänge und konstanter Krümmung des dis-kretisierten Randes sind die aus der Einheitskraft auf einem Element ermitteltenKnotenverformungen ausreichend zur Bestimmung der gesamten Einflußmatrix,da die gleichen Knotenverschiebungen bei Einheitskraftanordnung auf einemanderen Element lediglich in anderen Knoten auftreten. So sehen wir in Bild 4.15,daß für zwei Elementkräfte und gleiche Verschiebungen in den Knoten

bzw. entstehen. Der Rechenaufwand hängt somit im oben genanntenSpezialfall nur linear von der Anzahl Elemente ab.

Dieser Sachverhalt wurde schon von Chopra und Dasgupta bei der Berechnungder Steifigkeitsmatrix des Halbraumes angewendet und kann unter bestimmtenBedingungen auch für die Lösung des Vollraumproblems benutzt werden. Fallsder Rand der Vertiefung durch ein Kreissegment beschrieben wird, sind die Bedin-gungen für den oben genannten Spezialfall erfüllt und der Rechenaufwand verrin-gert sich dementsprechend erheblich.

Bild 4.15 Eine kreissegmentförmige Vertiefung

2 23

3 N 11( )N

pi pji k1 j k1

••••

•

•

•••

•

••

• R

••••

•

•

•••

•

••

•

pi

ui k1

pj

uj k1

50 EFFIZIENZ DER BERECHNUNG

Um die Möglichkeit der Effizienzsteigerung bei der Berücksichtigung der regulä-ren Form der Vertiefung besser beurteilen zu können, betrachten wir eine halb-kreisförmige Vertiefung mit bzw. Elementen auf dem Umfang(s. Bild 4.16). Die Anzahl der Elemente in den Bereichen beiderseits derVertiefung variiert zwischen und . Somit wird die Oberfläche desHalbraumes bei der Betrachtung des Teilsystems Halbraum mit Erhöhung mit

Elementen diskretisiert.

Der normalen Berechnung (Methode a)) wird eine zweite Berechnung gegen-übergestellt, bei der die reguläre Form der Vertiefung berücksichtigt wird(Methode b)),

Unter der Annahme, daß der Berechnungsaufwand vor allem von der Auswertungder Green’schen Funktionen bestimmt wird, kann der Rechenaufwand der Varian-ten a) und b) der Komplementärmethode mit Hilfe der Gleichung (4.8) bzw. derGleichung (4.9) grob abgeschätzt werden:

(4.8)

(4.9)

In der folgenden Tabelle ist der Vergleich zusammengefaßt. Dabei wurde dieBerechnung mit zwei Elementen beiderseits der Vertiefung jeweils als Referenzlö-sung betrachtet ( ).

Bild 4.16 Die betrachteten Systeme (mit )

n m Methode a) Methode b)

24( )

0 73% 5%

1 87% 19%

2 100% 31%

36( )

0 81% 3%

1 90% 13%

2 100% 23%

Tabelle 4.1 Abschätzung der Effizienz der Komplementärmethode (Methode a) und b))

n 245 n 365

m 05 m 25

n1 2m1

n 365

n1 205

m 25

n 255

n1 145

m 25

m 25

Na 3 n 2m1( )2 2m n11 1( )25

Nb 3 n 2m1( )2 n22 n 2m n11 1 1( )25

Rechenaufwand 100%5

n1 145

n1 205


Obwohl es sich um eine stark vereinfachte Betrachtung handelt, läßt sich auf-grund der Werte in Tabelle 4.1 sagen, daß die Berechnung der Steifigkeitsmatrixfür eine kreissegmentförmige Vertiefung viel schneller durchgeführt werden kann,wenn die reguläre Form der Vertiefung berücksichtigt wird. Auch für eine allge-meine Form der Vertiefung ist es daher zweckmäßig, die Steifigkeitsmatrix zuerstfür eine kreissegmentförmige Vertiefung zu berechnen und die Form nachträglichdurch Ergänzung durch Finite Elementen zu modellieren.

Die schnellste Variante der Komplementärmethode ( ) kann am bestendann angewendet werden, wenn auch noch der Nahbereich des Bodens zwischendem Interaktionshorizont und der Struktur mit Finiten Elementen modelliert wird.Beispiele einer solchen Berechnung findet man im Abschnitt 8.1.

m 05

5. HERLEITUNG DER EINFLUSSFUNKTIONEN

Bei der Betrachtung der Teilsysteme der Komplementärmethode werden zuerstdie Flexibilitätsmatrizen aus den Einflußkoeffizienten zusammengesetzt (vgl. Kap.4). Diese Koeffizienten sind die Werte der Einflußfunktion der Verschiebung einerharmonischen Einheitskraft, die an der Oberfläche des elastischen Halbraumes,bzw. im Innern des elastischen Vollraumes angreift. Die Lösung dieses klassischenProblems der Wellenausbreitung wurde von Lamb [21] im Jahre 1904 publiziertund kann z.B. in den Referenzen [14], [16] und vielen anderen Büchern über Elas-todynamik und Wellenausbreitung gefunden werden.

Bei der Herleitung aller Formeln und bei den übrigen analytischen Berechnun-gen wurde das Computerprogramm Maple eingesetzt [17]. Das Programm, das ander Waterloo Universität (Ontario, Canada) 1980 entwickelt wurde, erlaubt sowohlnumerische wie auch algebraische Berechnungen. Hier wurden nur die algebrai-schen Herleitungen mit Maple derchgeführt, während der numerische Teil mitFORTRAN-Programmen berechnet wurde. Dabei wurde die Möglichkeit vonMaple benutzt, die Formeln direkt als FORTRAN-Code auszugeben.

5.1 Herleitung der Einflußfunktionen für den Halbraum

In diesem Abschnitt wird die Herleitung der Einflußfunktionen einer Streifenkraftfür einen linear-elastischen Halbraum beschrieben. Es wird zuerst eine vertikaleund dann eine horizontale, gleichmäßig über eine Länge verteilte, harmonischeStreifenkraft untersucht. (s. Bild 5.1).

Bild 5.1 Zwei betrachtete Fälle (Halbraum)

b

x

y

b

syy1b---e

ivt25

x

y

bsxy

1b---e

ivt25

54 HERLEITUNG DER EINFLUßFUNKTIONEN FÜR DEN HALBRAUM

Anregung in y-Richtung

Alle Verschiebungen und Spannungen werden mit Hilfe der zwei Potentialfunktio-nen und dergestellt (vg. Gl.(2.6) und Gl.(2.8)). Aus der Wellendifferential-gleichung (2.7) folgt mit und :

(5.1)

Zur Lösung des Problems wird wie bei Lamb nochmals die Fourier-Transformation(diesmal in Bezug auf Variable ) angewendet. Die Amplitude der Spannungenan der Oberfläche des Halbraumes kann wie folgt dargestellt werden.

(5.2)

Im “k-Bereich” sieht die Gleichung (5.2) wie folgt aus:

(5.3)

wobei

(5.4)

Die Aufgabe besteht nun darin, Funktionen zu finden, die im “k-Bereich” sowohldie Gleichung (5.1) als auch die Randbedingungen (5.3) erfüllen. Es wird voraus-gesetzt, daß diese Funktionen sich als Produkt von Funktionen einer Variable dar-stellen lassen (Variablenseparation). Es werden in -Richtung trigonometrischeund in -Richtung expotentielle Funktionen benutzt.

Wir setzen also:

(5.5)

wobei: und

Mit Hilfe der Gleichung (2.8) werden Spannungen an der Oberfläche des Halbrau-mes bestimmt. Aus den Randbedingungen (5.3) resultiert ein Gleichungssystemfür die noch unbekannten Funktionen und . Die Lösung lautet:

F Cka v/cp5 kb v/cs5

F ka2 F1D 05

C kb2 C1D 05

x

syy x 0,( ) 2 kb/2( )sinpkb

----------------------------- kx( )cos dk0

`

#25

sxy x 0,( ) 05

syy x 0,( ) Z k( ) kx( )cos?25

sxy x 0,( ) 05

Z k( )2 kb/2( )sin

pkb-----------------------------5

xy

F Ae sy2( ) kx( )cos5

C Be s9y2( ) kx( )sin5

s2 k2 ka225 s92 k2 kb

225

A B

5. HERLEITUNG DER EINFLUSSFUNKTIONEN 55

(5.6)

repräsentiert hierin die Rayleigh-Funktion:

(5.7)

Da mit (5.5) und (5.6) die Potentialfunktionen für das Grundproblem eindeutigdefiniert wurden, können jetzt auch die Verschiebungen an der Oberfläche desHalbraumes ( ) bestimmt werden. Dazu verwenden wir Gleichung (2.6) undführen anschließend eine inverse Fourier-Transformation durch. Die Vertikalver-schiebung wird mit und die Horizontalverschiebung mit bezeichnet (vgl. Anhang A):

(5.8)

Die Einflußfunktionen und können auch in dimensionsloser Form darge-stellt werden (vgl. [8] oder [5]). Wir setzen und und erhaltenfür folgende Gleichung:

(5.9)

Gleichung (5.9) enthält die dimensionslose Frequenz . Alle Einfluß-koeffizienten, und in der Folge die Einfluß- und Steifigkeitsmatrix hängen nur von

und von Materialkonstanten ab.

Die Eigenschaften der Einflußfunktionen und die Methoden zur Durchführungder inversen Fourier-Transformation sind ausführlich im Kapitel 6 “Auswertungder Einflußfunktionen” beschrieben.

Anregung in x-Richtung

Das Vorgehen hier ist grundsätzlich mit dem für die y-Richtung beschriebenenidentisch. Aus diesem Grund werden nur die wichtigsten Resultate angegeben.

AZ

mR------- kb

2 2k22( )5

BZ

mR------- 2sk( )5

R

R k v,( ) 2k2 kb22( )2 4k2s9s25

y 05

gyy v x,( ) gxy v x,( )

gyy v x,( ) g̃yy k x,( ) kx( )cos kd0

`

#2Zkb

2 s kx( )cos

mR--------------------------------- kd

0

`

#25 5

gxy v x,( ) g̃xy k x,( ) kx( )sin kd0

`

# Zk kx( ) 2k2 kb2 2s9s22( )sin

mR------------------------------------------------------------------------- kd

0

`

#5 5

gyy gxyk w/b5 k ka/kb5

gyy v x,( )

gyy a0 x,( )

2a02

pm---------

w2 a022 w/b( ) wx/b( )cossin

w 2w2 a022( )2 4w2 w2 a0

22( ) w2 k2a022( )2[ ]

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- wd0

`

#2

5

a0 vb/cS5

a0

56 HERLEITUNG DER EINFLUßFUNKTIONEN FÜR DEN VOLLRAUM

Die Randbedingungen für die Grundlösung im “k -Bereich” sind:

(5.10)

Gewählt werden folgende Ansatzfunktionen:

(5.11)

Als Lösung erhalten wir:

(5.12)

Die Horizontalverschiebung und die Vertikalverschiebung ander Oberfläche des Halbraumes ( ) ergeben sich zu:

(5.13)

5.2 Herleitung der Einflußfunktionen für den Vollraum

Bei der Herleitung der Einflußfunktionen einer Streifenkraft für den Vollraum wer-den wieder zwei Fälle untersucht, eine horizontale, sowie eine vertikale, gleich-mäßig über die Länge verteilte Streifenkraft (s. Bild 5.2). Es wird angenommen,daß sich der Vollraum aus zwei Halbräumen zusammensetzt. An der Grenze bei-der Teile wird Kompatibilität der Spannungen und der Verschiebungen verlangt.

Anregung in y-Richtung

Die Koordinatensysteme sind mit den Indizes (1) und (2) bezeichnet. Es gelten fol-gende Randbedingungen für die Grundlösung im k -Bereich:

sxy x 0,( ) Z kx( )cos?25

syy x 0,( ) 05

F Ae sy2( ) kx( )sin5

C Be s2 9y( ) kx( )cos5

AZ2

mR-------- 2s9k( )5

BZ

mR------- kb

2 2k22( )5

gxx v x,( ) gyx v x,( )y 05

gxx v x,( )Zkb

2 s' kx( )cos

mR---------------------------------- kd

0

`

#25

gyx v x,( ) g2 xy v x,( )5

b


(5.14)

Die gewählten Ansatzfunktionen für die beiden Teile des Vollraumes lauten:

(5.15)

Die Lösung im k -Bereich ergibt sich zu:

(5.16)

Die Vertikalverschiebung und die Horizontalverschiebung können ineinem Punkt mit Koordinaten für wie folgt berechnet werden:

Bild 5.2 Zwei betrachteten Fälle (Vollraum)

x1

x2

b

y1

y2

syy1b---e

ivt25

x1

x2

b

y1

y2

sxy1b---e

ivt25

syy1( ) x1 0,( ) syy

2( ) x2 1 0,( ) Z2 k( ) kx( )cos5

sxy1( ) x1 0,( ) sxy

2( ) x2 1 0,( )5

u1 x1 0,( ) u2 2 x2 1 0,( )5

v1 x1 0,( ) v2 2 x2 1 0,( )5

j 1 2,5( )

F j( ) A j( )e syj2( ) kxj( )cos5

C j( ) B j( )e s9yj2( ) kxj( )sin5

A 1( )Z

2mkb2

-------------5

A 2( ) A 1( )25

B 1( )Zk

2mkb2 s9

------------------5

B 2( ) B 1( )25

gyy gxyx1 y1,( ) y1 0$

58 HERLEITUNG DER EINFLUßFUNKTIONEN FÜR DEN VOLLRAUM

(5.17)

Für sind die Koordinaten mit multipliziert einzusetzen.

Anregung in x-Richtung

Es gelten folgende Randbedingungen für die Grundlösung im “k-Bereich”:

(5.18)

Die gewählten Ansatzfunktionen lauten :

(5.19)

Die Lösung im k -Bereich ergibt sich zu:

(5.20)

Die Horizontalverschiebung und die Vertikalverschiebung können ineinem Punkt mit Koordinaten für wie folgt berechnet werden:

(5.21)

Für sind die Koordinaten mit multipliziert einzusetzen.

gyy v x1 y1, ,( )Z kx1( ) ss9e sy12( ) k2e s9y12( )2( )cos

2ms9kb2

--------------------------------------------------------------------------------------- kd0

`

#25

gxy v x1 y1, ,( )Zk kx1( )sin e sy12( )2 e s9y12( )1( )

2mkb2

----------------------------------------------------------------------------------- kd0

`

#5

y1 0, x1 y1,( ) 12( )

syy1( ) x1 0,( ) syy

2( ) x2 1 0,( )5

sxy1( ) x1 0,( ) sxy

2( ) x2 1 0,( ) Z k( ) kx( )cos25

u1 x1 0,( ) u2 2 x2 1 0,( )5

v1 x1 0,( ) v2 2 x2 1 0,( )5

j 1 2,5( )

F j( ) A j( )e syj2( ) kxj( )sin5

C j( ) B j( )e s9yj2( ) kxj( )cos5

A 1( )Zk

2mkb2 s

----------------5

A 2( ) A 1( )25

B 1( )Z

2mkb2

-------------5

B 2( ) B 1( )25

gxx gyxx1 y1,( ) y1 0$

gxx v x1 y1, ,( )Z2 kx1( ) ss9e s9y12( ) k2e sy12( )2( )cos

2mskb2

-------------------------------------------------------------------------------------------- kd0

`

#5

gxy v x1 y1, ,( ) gyx v x1 y1, ,( )5

y1 0, x1 y1,( ) 12( )


5.3 Modellierung der Materialdämpfung

Bei einer Berechnung im Frequenzbereich wird die Materialdämpfung - z.B.infolge innerer Reibung - berücksichtigt, indem die elastischen Lamé-Materialkon-stanten durch komplexe Größen ersetzt werden (vgl. [8] und [13]). Es kann sowohleine viskose als auch eine konstante Hysteresisdämpfung auf diese Art modelliertwerden. Für eine viskose Dämpfung setzt man:

(5.22)

wobei eine dimensionslose Frequenz und das Dämpfungsmaß bezeichnet.Für eine konstante Hysteresesdämpfung gilt:

(5.23)

Die imaginären Teile der komplexen Materialkonstanten bewirken eine Phasen-verschiebung zwischen der Spannung und der Verzerrung. Dadurch entsteht beijedem Schwingungszyklus ein Energieverlust. In dieser Arbeit wurde bei allenweiteren Berechnungen die Materialdämpfung immer als eine konstante Hystere-sisdämpfung modelliert (Gl. 5.23). In einem praktischen Fall sollte sich die Wahldes Dämpfungsmodells auf die Versuchsresultate abstützen.

5.4 Die Abstrahlungsbedingung

Die Lösung der Wellengleichung (5.1) ist mit den gegebenen Randbedingungen(5.3) bzw. (5.10) nicht eindeutig. Für die gewählten Ansatzfunktionen gibt esLösungen, die entweder für gegen unendlich gehen oder eine rücklauf-ende Welle darstellen und somit physikalisch unmöglich sind. Es müssen deshalbweitere Bedingungen gestellt werden.

Die Ansatzfunktionen beinhalten einen exponentiellen Term , wobei. Wir verlangen, daß:

(5.24)

Es ist wichtig zu zeigen, daß diese Bedingungen auch für den Fall mit Material-dämpfung erfüllt werden können. Es gilt nämlich:

(5.25)

Diese Gleichung definiert mögliche Lagen von in der komplexen Ebene. Derreelle Teil des Ausdruckes unter der Wurzel kann sowohl positiv, als auch negativ

mp m 1 2za0i1( )?5 lp l 1 2za0i1( )?5

a0 z

mp m 1 ih1( )?5 lp l 1 ih1( )?5

y `5

e sy2( )

s k2 v/c( )225

Re s( ) 0$

Im s( ) 0$

sp k2v2

c2 1 ih1( )?--------------------------------2 k2

v2

c2 1( )?------------------ ih

c2 1 h21( )?--------------------------------125 5

sp

60 BERECHNUNGSBEISPIELE

sein, der imaginäre Teil dagegen nur positiv ( ). Im Bild 5.3 sieht man, daß injedem Fall die Abstrahlungsbedingungen (5.24) erfüllt werden können.

5.5 Berechnungsbeispiele

Auswertung der Einflußfunktionen für den Halbraum

Die folgenden Bilder zeigen die Werte der Einflußfunktion (vgl. Gleichung(5.8)) in Abhängigkeit der dimensionslosen Frequenz in den Punk-ten mit den Koordinaten und .

Bei der Berechnung wurde für den Halbraum die Poissonzahl zu unddie konstante Hysteresisdämpfung zu bzw. gesetzt, um denVergleich mit den Resultaten von Dasgupta und Chopra [8] zu ermöglichen. Ausdem gleichen Grund wurde die dimensionslose Frequenz im Intervall gewählt. Zusätzlich werden auch die bei Dasgupta und Chopra nicht vorhande-nen. Resultate für (keine Materialdämpfung) angegeben (ausgezogeneLinie).

Die Werte der Einflußfunktionen haben nur bis zur einer bestimmten Frequenz eine praktische Bedeutung. Bei der Bestimmung der dynamischen Steifigkeitsma-trix des Halbraumes wurde angenommen, daß die Deformation im Element linearverläuft (vgl. Abschnitt 3.2). Tatsächlich hängt die Deformation im Element vomVerhältnis Elementlänge zu Wellenlänge ab. Die obere Grenze für diedimensionslose Frequenz kann wie folgt abgeschätzt werden:

(5.26)

wobei (gewünschte Anzahl Elemente pro Wellenlänge)

Die in [8] angenommene obere Grenze für die dimensionslose Frequenz von entspricht ungefähr einer Wellenlänge pro Element. Die Annahme, daß

die Deformation im Element linear verläuft, stimmt somit nicht mehr. Zu akzeptie-ren wäre und eine dazugehörige maximal zulässige Frequenz .

Bild 5.3 Abstrahlungsbedingung

s1p( )2

s2p( )2

Re sjp( ) 0$

Im sjp( ) 0$ s1

p

s2p

Im

Re

h 0.

gyya0 vb/cs5

x 0.5b5 x 1.5b5

n 1/35

h 0.15 h 0.255

a0 0 5,( )

h 05

a0

b/lSa0

a0 2p/n,

n lS /b5

a0 55

n 6< a0 1.0<


Diese kurze Betrachtung zeigt, daß die Elementlänge auf die größte bei derBerechnung betrachtete Frequenz abgestimmt werden muß.

Auswertung der Einflußfunktionen für den Vollraum

Die Einflußfunktionen , und (vgl. Gleichung (5.17) und (5.21)) wur-den in den Punkten mit den Koordinaten und ausge-wertet (vgl. Bild 5.5) und sind in Abhängigkeit der dimensionslosen Frequenz

in Bild 5.6 dargestellt.

Bei der Berechnung wurde für den Vollraum die Poissonzahl zu unddie konstante Hysteresisdämpfung zu (Vollraum linearelastisch) gesetzt.Der reelle Teil der Verschiebung wurde durch eine ausgezogene Linie und derimaginäre Teil durch eine punktierte Linie dargestellt.

Interessant ist der Vergleich zwischen den Resultaten für den Halbraum ( inBild 5.4 rechts) und für den Vollraum ( mit und Bild 5.6).Für kleinere Frequenzen ist die Verschiebung in den betrachteten Punkten desHalbraumes etwa zweimal so groß wie in den entsprechenden Punkten des Voll-raumes. Im Gegensatz zur Halbraumlösung (vgl. Anhang A) verschwinden diegemischten Einflußkoeffizienten der Vollraumlösung für .

Bild 5.4 Einflußfunktion für und (Halbraum )

gyy a0 0.5b,( )

a0 vb/cS5

Re

g()

Img()

h 050.10.25

gyy a0 1.5b,( )

a0 vb/cS5

Re

g()

Img()

h 050.10.25

gyy x 0.5b5 x 1.5b5 n 1/35 m 15,

gxx gyy gxyr 1.5b5 u 0 p/4 p/2, ,5

a0 vb/cs5

n 1/35

h 05

gyygyy r 1.5b5 u 05

gxy u 05

62 BERECHNUNGSBEISPIELE

Bild 5.5 Definition des Koordinatensystems ( )

Bild 5.6 Einflußfunktionen für den Vollraum für (Vollraum, )

r

u x

y

b

r u,

a0 vb/cS5

r 1.5b5 u 0.05gyygxx gxy

Re g( )

Im g( )Im g( )

Re g( )

a0 vb/cS5

r 1.5b5 u 45.05gyygxx gxy

Re g( )

Re g( ) Im g( )

Im g( )

Im g( )

Im g( )

a0 vb/cS5

r 1.5b5 u 90.05

gyygxx gxy

Re g( ) Re g( )

Im g( ) Im g( )

r 1.5b5 n 1/35 m 1.5,

6. AUSWERTUNG DER EINFLUSSFUNKTIONEN

6.1 Problemstellung

Die dynamischen Einflußkoeffizienten (Werte der Einflußfunktion) sind in Formvon Fourier-Transformierten gegeben (verg. Kapitel 5). Die Auswertung einer Ein-flußfunktion entspricht somit der Berechnung eines Integrales der Form:

(6.1)

Darin bedeutet eine komplexe und eine trigonometrische Funk-tion.

6.2 Numerische Integration

Die numerische Auswertung des Integrales (6.1) erfordert den Einsatz von speziel-len Algorithmen. Dasgupta und Chopra [8] haben festgehalten, daß die Simpson-Quadratur besser dazu geeignet ist als FFT-Algorithmus (Fast Fourier Transform).Bei der zweiten Methode wäre es notwendig, die gleiche Zahl der Stützstellen füralle Argumente zu verwenden. Das hätte entweder ein viel zu kleines Integrati-onsinkrement für kleine Argumente oder große Ungenauigkeiten für die größe-ren Argumente zur Folge. Dasgupta und Chopra haben die Einflußfunktionentabelliert, um auf eine aufwendige Integration bei Problemen der Boden-Struktur-Interaktion verzichten zu können (vgl. auch [13]). Apsel hat in seiner Dissertation[1] vorgeschlagen, daß die komplexe Funktion abschnittsweise durchein Polynom vierten Grades approximiert werden kann. Die Integration (6.1)erfolgt dann abschnittsweise analytisch. Autoren wie z.B. Kundu [20] benutztenzur Auswertung des Integrales (6.1) eine adaptive Gauß Quadratur. Xsu und Mal[34] benutzten die Clenshaw-Curtis Methode mit der Zerlegung der Funktion

in eine Reihe von Tschebyshev Polynomen mit anschließender analyti-scher Integration.

f1 v k y, ,( )f2 kx( ) kd0

`

#

f1 v k y, ,( ) f2 kx( )

xx

x

f1 v k y, ,( )

f1 v k y, ,( )

64 NUMERISCHE INTEGRATION

Einen Vergleich der verschiedenen Integrationsmethoden findet man in einemAufsatz von Dravinski und Mossesian [10]. Dravinski zerlegt dabei das unendlicheIntegrationsinterval in zwei Teile. Der erste, endliche Teil beinhaltetalle Nullstellen der Funktion . Der zweite, unendliche Teil wirdspeziell betrachtet. Dravinsky schlägt dafür die Methode von Longman vor, dieeine Näherungslösung in Form einer Reihe gibt. Beim Vergleich wird die von Xsuund Mal angewandte Clenshaw-Curtis Methode als die effizienteste Methodebezeichnet.

Alle bis jetzt besprochenen Methoden können nur für einen viskoelastischenBoden (mit Materialdämpfung) angewendet werden, weil die Funktion für einen rein elastischen Boden singulär wird.

Analytische Lösungen

In bestimmten Fällen, wie z.B. für eine harmonische Quelle der SH-Wellen imVollraum, und an der Oberfläche des Halbraumes kann die Lösung in einergeschloßenen Form angegeben werden. Eine analytische Lösung gibt es auch füreine harmonische Quelle von P- und SV-Wellen und für eine harmonische Punkt-und Linienkraft im Vollraum. Diese Lösungen findet man in vielen Publikationenüber Elastodynamik und Wellenausbreitung, z.B. bei Graff [16] oder bei Eason,Fulton und Sneddon [12]. Weil aber für den wichtigen Fall einer harmonischenKraft auf dem Halbraum die Lösung nur in der Integralform gegeben ist, kann dienumerische Auswertung des Integrales (6.1) bei der Anwendung der Komplemen-tärmethode nicht vermieden werden.

Eine andere analytische Lösung kann für eine plötzlich auf einen Halbraumgestellte konstante Linienkraft angegeben werden. Diese Lösung ist z.B in denReferenzen [14] und [16] zu finden. Das Problem wird im Laplace-Raum und nichtwie bei Lamb im Fourier-Raum formuliert. Die inverse Laplace-Transformationwird mit Hilfe der Cagniard’s Methode durchgeführt. In dieser Methode werdenVariablen und der Integrationsweg so transformiert, daß der Integrand in der Form

geschrieben werden kann. Aus der Definition der Laplace-Transforma-tion folgt, daß die Funktion die Lösung des Problems darstellt. DieseLösung kann leider nicht für eine harmonische Kraft angewendet werden und istdeshalb zur Auswertung der Einflußfunktionen nicht geeignet.

Asymptotische Näherungslösungen

Lamb hat in seiner klassischen Arbeit aus dem Jahre 1904 unter anderem eine har-monische Kraft auf dem elastischen zweidimensionalen Halbraum untersucht unddie Lösung in der Form (6.1) angegeben. Die Einflußfunktionen wurden mit Hilfeder Konturintegration in der komplexen Ebene ausgewertet. Diese Methode

0 `,( ) 0 k1,( )f1 v k y, ,( ) k1 `,( )

f1 v k y, ,( )

f x t,( )e st2

f x t,( )

6. AUSWERTUNG DER EINFLUSSFUNKTIONEN 65

erlaubt es, einige Teilresultate in geschloßener Form darzustellen und ermöglichtes, das Verschiebungsfeld der harmonischen Linienkraft in drei Teile zu zerlegen,die den Auswirkungen der P-, SV- und Rayleigh-Wellen entsprechen.

Lamb hat auch eine asymptotische Lösung für Punkte in großer Entfernung vonder Anregung angegeben. Dabei nutzte er aus, daß in diesem Fall einigebestimmte Integrale gegen Null konvergieren, weil sie eine sehr stark oszillierendeFunktion beinhalten. Weitere Methoden, die zu einer asymptotischen Lösung desIntegrales (6.1) führen könnten, sind die "method of the stationary phase" und dieallgemeinere "steepest-decent method". Diese Methoden wurden beispielsweisevon Graff [16] zur Lösung von Wellenausbreitungsproblemen angewandt. Bei derAnwendung der Randelementmethoden sind aber nicht nur die asymptotischenLösungen des Integrales (6.1) von Bedeutung. Um die wichtigen Diagonaltermeder Einflußmatrizen zu berechnen, müßen die Einflußfunktionen vor allem in derNähe der fiktiven Kraft ausgerechnet werden. Aus diesem Grund wurde die Ver-wendung den oben genannten Näherungsmethoden ausgeschlossen.

In den weiteren Abschnitten dieses Kapitels werden die Eigenschaften der Fou-rier-Transformierten der Einflußfunktionen für den Halbraum und für den Voll-raum untersucht und zwei neue numerische Methoden zur Auswertung desIntegrales (6.1) genauer diskutiert. Die neuen Methoden erlauben unter anderemdie Betrachtung eines rein elastischen Bodens (ohne Materialdämpfung) und eineanalytische Auswertung des unendlichen Teils des Integrales.

6.3 Eigenschaften der Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen

Fourier-Transformierte der Einflußfunktionen für den Halbraum

Zuerst wird der Verlauf der Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen fürden Halbraum untersucht. Die im Bild 6.1 dargestellten Funktionen sind (vgl.Anhang A):

(6.2)

g̃

g̃xx

2 kb/2( )sin kb2 s92

mpkb 2k2 kb22( )2 4k2ss92( )

---------------------------------------------------------------------------5

g̃yy

2 kb/2( )sin kb2 s2

mpkb 2k2 kb22( )2 4k2ss92( )

---------------------------------------------------------------------------5

g̃xy

2 kb/2( )sin 2k2 kb2 2ss922( )

mpb 2k2 kb22( )2 4k2ss92( )

---------------------------------------------------------------------------5

66 EIGENSCHAFTEN DER FOURIER-TRANSFORMIERTEN DER EINFLUßFUNKTIONEN

Die Rayleigh-Funktion, die im Nenner aller Funktionen steht, besitzt nebst zwei

komplexen eine reelle Nullstelle . Die zugehörige Wellengeschwindigkeit der

Rayleigh-Wellen hängt von der Querdehnungszahl ab und liegt ein wenig

tiefer als die Schubwellengeschwindigkeit . Für wird .

Daraus ergibt sich für alle Funktionen eine Singularität bei .

Für den Halbraum wurde eine konstante Hysteresisdämpfung angenommen.

Das Dämpfungsmaß beträgt jeweils , und . Der letzte Wert ist nur

theoretisch und wurde zum Vergleich eingesetzt. Für kleine Materialdämpfung

( ) verhält sich der Imaginärteil der Einflußfunktion wie die Dirac- -Funk-

tion. Ein zu großes Inkrement in diesem Bereich kann somit leicht zu numeri-

schen Fehlern führen.

Bild 6.1 Die Funktionen und für den Halbraum ( , )

kR

cR n

cS n 1/35 cR /cS 0.9325

g̃ kR 1.073kb5

h 0.0 0.1 0.4

h 0.0→ d

k/kbk/kb

Re

g̃ xx

()

Img̃ x

x(

)h 05

0.40.1

k/kbk/kb

Re

g̃ yy

()

Img̃ y

y(

)

h 05

0.40.1

h 05

Re

g̃ xy

()

Img̃ x

y(

) 0.40.1

g̃xx g̃yy, g̃xy m 15 n 1/35


Um das Verhalten der Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen für großeArgumente zu untersuchen, betrachten wir vorerst folgende Beziehungen:

(6.3)

(6.4)

Wenn wir die Beziehungen (6.3) und (6.4) in die Gleichungen (6.2) einsetzen,erhalten wir bis auf einen Skalierungsfaktor drei identische Formeln. Die Funktio-nen , und die Funktion , die noch mit dem Faktor multipli-ziert werden muß, sind somit für größere Argumente k praktisch gleich undkönnen alle durch folgende Funktion approximiert werden:

(6.5)

Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen für den Vollraum

Der Verlauf der Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen für den Vollraumwird in den Bildern 6.2 bis 6.4 graphisch dargestellt. Die dargestellten Funktionensind (vgl. Anhang A):

(6.6)

Aus den Gleichungen (6.6) folgt, daß die Singularität bei für und bei für liegt. Die Funktion hat für keine Singularitätstelle.

Für gilt:

(6.7)

k

sk `→lim k5

s9k `→lim k5

2k2 kb2 2ss922( )

k `→lim ka

25

1

2k2 kb22( )2 4k2ss92

------------------------------------------------------k `→lim

12k2 ka

2 kb22( )

----------------------------------25

g̃xx g̃yy g̃xy kb/ka( )2

g̃C kb/2( )sin

k2-----------------------------<

g̃xx

kb/2( )sin ss9 s9y2( ) k2

sy2( )exp2exp( )2

mpkbskb2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------5

g̃yy

kb/2( )sin ss9 sy2( ) k2

s9y2( )exp2exp( )2

mpkbs9kb2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------5

g̃xy

kb/2( )sin s9y2( ) sy2( )exp2exp( )mpbkb

2--------------------------------------------------------------------------------------------5

k ka5 g̃xxk kb5 g̃yy g̃xy y 0Þ

y 05

g̃xy 05

68 EIGENSCHAFTEN DER FOURIER-TRANSFORMIERTEN DER EINFLUßFUNKTIONEN

Bild 6.2 Funktion für den Vollraum (oben für , unten für ), ( ,

)

Bild 6.3 Funktion für den Vollraum (oben für , unten für ), ( ,

)

Re

g̃ xx

()

Img̃ x

x(

)

y 05 h 05

0.40.1

k/kb k/kb

Re

g̃ xx

()

Img̃ x

x(

)

y 2b5 h 05

0.40.1

g̃xx y 05 y 2b5 m 15

n 1/35

Re

g̃ yy

()

Img̃ y

y(

)

y 05h 05

0.40.1

k/kbk/kb

Re

g̃ yy

()

Img̃ y

y(

)

y 2b5h 05

0.40.1

g̃yy y 05 y 2b5 m 15

n 1/35


Die asymptotischen Eigenschaften der Funktionen und für den Vollraumsind für ähnlich wie für den Halbraum (vgl. S. 67). In diesem Fall klingendie Funktionen und wie folgende Funktion ab:

(6.8)

Für klingen alle drei Funktionen für größere Argumente sehr stark ab.Es gilt die folgende asymptotische Darstellung:

(6.9)

6.4 Lösung des Halbraumproblems

6.4.1 Semi-analytische Methode

Bei der numerischen Integration der Fourier-Transformierten der Einflußfunktio-nen werden üblicherweise die Oszillationen des Integranden ausgeklammert unddie bleibende Funktion abschnittsweise durch ein Polynom approximiert (vgl.[10]). Dieses Vorgehen erlaubt eine abschnittsweise analytische Integration. Dabeimuß eine Materialdämpfung eingeführt werden, um die Singularitäten zu eliminie-ren.

In diesem Abschnitt wird eine Erweiterung dieser Integrationsmethode vorge-schlagen. Es werden dabei nicht nur Oszillationen des Integranden sondern aucheinige andere Funktionen ausgeklammert und die verbleibende Funktion wirdabschnittsweise durch ein Polynom approximiert. In der Folge wird der Verlaufder Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen so approximiert, daß eine ana-lytische Integration im Bereich der Singularität auch ohne Materialdämpfung mög-

Bild 6.4 Funktion für den Vollraum ( ), ( , )

k/kb k/kb

Re

g̃ xy

()

Img̃ x

y(

)

y 2b5h 05

0.40.1

g̃xy y 2b5 m 15 n 1/35

g̃xx g̃yyy 05

g̃xx g̃yy

g̃C kb/2( )sin

k2-----------------------------<

y 0Þ g̃ k

g̃ C kb/2( ) ky2( )expsin<

70 LÖSUNG DES HALBRAUMPROBLEMS

lich wird. Der unendliche Teil des Integrals kann ebenfalls analytisch berechnetwerden. Für ist diese Möglichkeit sehr wichtig, weil die Funktion nicht mehr um den Nullpunkt oszilliert und andere Berechnungsmethoden (vgl.[10]) nicht effektiv sind.

Wir betrachten die Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen , und (vgl. Gleichung (6.2)) in drei Intervallen , und

. Für die gewählten Parameter liegt die Singularität bei .Die Dämpfungskonstante ist gleich .

Intervall 1

Im ersten Intervall sind keine Singularitäten vorhanden (vgl. Bild 6.5). Bei derIntegration den Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen können wir wiefolgt vorgehen:

Nur die Funktionen oder werden ausgeklammert. Für dieApproximation oder gilt:

(6.10)

Analog gilt für :

(6.11)

Es können auch Ansätze höherer Ordnung wie z.B. kubische Spline-Funktionenoder Polynomapproximationen verwendet werden. Für alle diese Funktionenkann die Integration analytisch durchgeführt werden (vgl. [10]).

Bild 6.5 Reeller und imaginärer Teil der Funktion im Intervall 1

x b/25 g̃xy

g̃xx g̃yyg̃xy 0.0 bis kb( ) kb bis 2kb( )2kb bis `( ) kR 1.0725

h 0.1

0.0 bis kb( )

kx( )sin kx( )cosg̃xx g̃yy Ak B1( )<

g̃xx kx( )cos kd# A kx( ) x Ak B1( ) kx( )sin1cos( )/x2<

g̃xy Ak B1( )<

g̃xy kx( )sin kd# A kx( )sin x2 Ak B1( ) kx( )cos( )/x2<

g̃xx

k/kb

Re g̃ ( )Im g̃ ( )

g̃xx


Intervall 2

Die Rayleigh-Funktion, die bei allen Fourier-Transformierten der Einflußfunktio-nen im Nenner steht, hat eine einfache reelle Nullstelle für . Ausdiesem Grund wählen wir im Bereich von folgenden Ansatz für und :

(6.12)

Für gilt:

(6.13)

Bei vorhandener Materialdämpfung ( ) wird durch ersetzt, wobei. Bild 6.6 zeigt, daß nach Ausklammerung des trigonometri-

schen Faktors tatsächlich eine Funktion resultiert, die abschnittsweise mit einerlinearen Funktion approximiert werden kann.

Wir zerlegen zuerst den Ansatz (6.12) in zwei Teile:

(6.14)

oder für :

(6.15)

Der erste Term läßt sich sehr einfach integrieren, weil darin nur die trigonometri-schen Funktionen vorkommen. Der zweite Teil kann ebenfalls analytisch integriertwerden. Dabei treten die Funktionen und (Integral-Sinus bzw. -

Bild 6.6 Reeller und imaginärer Teil der modifizierten Funktion im Intervall 2

kb bis 2kb( )

kR 1.072kb5

kb bis 2kb g̃xx

g̃yy

g̃xx kx( )cos A k kR2( ) B1( ) kb/2( ) kx( )cossink kR2

----------------------------------------------<

g̃xy

g̃xy kx( )sin A k kR2( ) B1( ) kb/2( ) kx( )sinsink kR2

---------------------------------------------<

h 0.0Þ kR kRp

kRp kR/ 1 ih15

f g̃xx

k kRp2( )

kb/2( )sin-------------------------5

k/kb

Re f ( )Im f ( )

g̃xx

g̃xx kx( )cos A kb/2( ) kx( )cossin Bkb/2( ) kx( )cossin

k kR2----------------------------------------------1<

g̃xy

g̃xy kx( )sin A kb/2( ) kx( )sinsin Bkb/2( ) kx( )sinsin

k kR2---------------------------------------------1<

Si k( ) Ci k( )


Cosinus) auf (s. Anhang C, Bild C.1). Alle Formeln, die bei der Integration derFourier-Transformierten der Einflußfunktionen in diesem Intervall benutzt werden,findet man im Anhang B.

Intervall 3

Für klingen alle Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen wie dieFunktion ab (vgl. S. 67). Wir machen abschnittsweise folgenden Ansatz für

und :

(6.16)

Analog für :

(6.17)

Wie wir in Bild 6.7 sehen, kann A in der Gleichung (6.16) oder (6.17) für größereArgumente gleich Null gesetzt werden. Die Grenze liegt bei ca. . Darausfolgt, daß die Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen im Intervall von

bis Unendlich analytisch integriert werden können. Die Integration der Glei-chung (6.16) oder (6.17) führt wiederum zu Integral-Sinus und -Cosinus. DieResultate sind im Anhang B zu finden.

Besonderheiten der Integration für

Für den Fall ohne Materialdämpfung liegt die Singularität der Fourier-Transfor-mierten der Einflußfunktionen für den Halbraum bei . Bei der Integrationmuß die Singularität (der Pol) in der komplexen Ebene so umfahren werden, daßdie Abstrahlungsbedingung (vgl S. 59) weiterhin erfüllt wird. Das folgende Bild6.8 zeigt den richtigen Integrationsweg.

Bild 6.7 Reeller und imaginärer Teil ( ) der modifizierten Funktion im Intervall 3

2kb bis `( )

k `→1/k

2

g̃xx g̃yy

g̃xx kx( )cos Ak B1( ) kb/2( ) kx( )cossin

k2

----------------------------------------------<

g̃xy

g̃xy kx( )sin Ak B1( ) kb/2( ) kx( )sinsin

k2

---------------------------------------------<

k 20kb

20kb

f g̃xxk2

kb/2( )sin-------------------------5

Re f ( )Im f ( )

k/kb

Im f ( ) 0< g̃xx

h 05

k kR5


Diese Bedingung läßt sich wie folgt umsetzen. Wir betrachten den Grenzübergang. In diesem Fall können wir alle Terme linearisieren. Anschließend schrei-

ben wir die Funktion wie folgt:

(6.18)

Das Integral wird wie folgt berechnet:

(6.19)

Es ist leicht zu zeigen, daß der erste Term des Integrales beim Umfahren der Sin-gularität im Grenzfall keinen Beitrag liefert. Der zweite Term dagegen liefert denBeitrag , der bei der Berechnung des Integrales für berücksichtigtwerden muß.

6.4.2 Alternative Integrationsmethode

Die Materialdämpfung, die durch die komplexen Materialkonstanten eingeführtwird (vgl. Abschnitt 5.3, S. 59), beruhigt den Verlauf der Fourier-Transformiertender Einflußfunktionen und eliminiert die Singularitäten (vgl. Bild 6.1). In diesemFall kann bei der Integration der Fourier-Transformierten der Einflußfunktionendie Anzahl der notwendigen Stützstellen reduziert werden.

Dies führt zur Idee einer zweiten Integrationsmethode, die darin besteht, daßbei der Integration der Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen eine sehrhohe künstliche Materialdämpfung eingeführt wird. Nach der Integration wird derEinfluß der künstlichen Dämpfung eliminiert. Mit Hilfe dieser Methode kann eben-falls der Fall (keine Materialdämpfung) betrachtet werden. Die Grundideedieser Methode wurde von Wolf in einem anderen Zusammenhang vorgeschlagen[33]. Die folgende mathematische Formulierung ist aber nicht gleich wie bei seiner“Damping-Solvent Extraction”.

Bild 6.8 Der richtige Integrationsweg in der Umgebung der Singularität für

•D

Im k( )

Re k( )kR

h 0.05

D 0→g̃

g̃C k kR2( ) D1

k kR2--------------------------------------5

C k kR2( ) D1

k kR2--------------------------------------# kd Ck D k kR2( )ln15

Dpi2 h 05

h 05


Die Einflußfunktion hängt von der dimensionslosen Frequenz ab, wobei die charakteristische Länge und die Schubwellengeschwindigkeitbedeutet (vgl. Abschnitt 5.1). Anderseits ist die dynamische Deformation in einemPunkt umgekehrt proportional zur Steifigkeit des Materialkonstante :

(6.20)

Für eine vorhandene Materialdämpfung wird die Lamé-Materialkonstante durch ersetzt, wobei das Dämpfungsmaß der kostanten Hystere-

sisdämpfung bedeutet. Gleichzeitig werden für die Transversalwellenge-schwindigkeit und somit auch komplex. Aus diesem Grund schreibt man:

(6.21)

Gesucht wird für eine Dämpfung . Wir gehen von der Annahme aus,daß sich einfacher für eine Dämpfung berechnen läßt undmachen folgenden Taylorreihen-Ansatz (mit ):

(6.22)

Die Ableitungen in Gleichung (6.22) werden numerisch wie folgt ermittelt:

(6.23)

(6.24)

Mit Hilfe der Gleichung (6.22) kann der Funktionswert für eine kleinere Dämp-fung bestimmt werden. Im Grenzfall wird eingesetzt. Für eine künstli-che Dämpfung bis zu reicht der erste lineare Term der Reihe aus. Indiesem Fall muß die Funktion bei der Berechnung der ersten Ableitungzweimal ausgewertet werden. Für eine größere künstliche Dämpfung von

muß auch der quadratische Term (dritte Zeile der Gleichung6.22) berücksichtigt werden.

g a0( ) a0 vb/cs5

b cS

m

g a0( ) 1m----f a0( ) für h 05 5

m

mp m 1 ih1( )?5 h

h 0Þ

cS a0

g a0p( ) g a0 h,( ) 1

m 1 ih1( )-------------------------- f a0 h,( ) für h 0Þ5 5

g a0 h,( ) h1g a0 h,( ) h2 h1.

a a0/ 1 ih15

g a h1,( ) 1m 1 ih11( )---------------------------- f a h1,( )

1m 1 ih11( )---------------------------- f a h2,( ) f a h,( ),h

h h25h1 h22( )1( )

1m 1 ih11( )---------------------------- f a h,( ),hh

h h25h1 h22( )2

/2

1

<5

f a h,( ),hh h25

f a h2, Dh1( ) f a h2,( )2

Dh---------------------------------------------------------------<

f a h,( ),hhh h25

f a h2, Dh1( ) 2f a h2,( )2 f a h2, D2 h( )1

Dh2-----------------------------------------------------------------------------------------------------------<

h1 h1 05

h2 0.45

f a h,( )

h2 0.4 0.825


Bei höherer Materialdämpfung braucht es zwar weniger Stützstellen für die Inte-gration; die Funktionen müssen aber in jedem Punkt dreimal ausgewertet werden,weil es in diesem Fall notwendig ist, auch die zweite Ableitung der Einflußfunk-tion numerisch zu berechnen.

6.4.3 Beispiel: Vergleich der beiden Integrationsmethoden

In diesem Abschnitt werden die Einflußfunktionen für den Halbraum, die mit denzwei präsentierten Methoden ausgewertet wurden, dargestellt. Die Lösung mit dersemi-analytischen Methode (vgl. Abschnitt 6.4.1) kann dabei als Referenzlösungbetrachtet werden. Die Methode, bei der die künstliche Materialdämpfung einge-führt wird, führt zu einer Näherungslösung.

Im Bild 6.9 sind die Resultate der Berechnung dargestellt. Die ausgezogene Kurvestellt die semi-analytische Lösung mit dar. Die punktierte Linie, praktischidentisch mit der semi-analytischen Lösung, stellt die Näherungslösung für denFall dar. Für diese Lösung wurde bei der Integration eine künstlicheDämpfung eingesetzt. Die semi-analytische Lösung mit wirdebenfalls zum Vergleich dargestellt (Strichlinie). Die semi-analytische und dieNäherungslösung, beide für stimmen sehr gut überein. Für sehr tiefe Fre-quenzen treten jedoch bei der Näherungsmethode numerische Probleme auf.

Bild 6.9 Einflußkoeffizient für und . Vergleich zwischen semi-analyti-

scher und Näherungslösung

gxx a0 0.5b,( ) gxx a0 1.5b,( )

a0 vb/cS5 a0 vb/cS5

Re

g()

Img()

h 050.4 0→0.4

gxx x 0.5b5 x 1.5b5

h 0.05

h 0.05

h 0.45 h 0.45

h 0.05

76 LÖSUNG DES VOLLRAUMPROBLEMS

6.5 Lösung des Vollraumproblems

Die Singularitäten der Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen für den Voll-raum sind vom Typ und unterscheiden sich von den Singularitätender Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen des Halbraumes (Typ

). Es können deshalb nicht die gleichen Lösungsansätze in der Umge-bung der Singularität angewendet werden. Nur wenn man die trigonometrischenTeile der Einflußfunktionen linearisiert, kann in einer kleinen Umgebung der Sin-gularität eine analytische Lösung des Integrales gefunden werden. Für die als Bei-spiel gewählte Funktion mit einer Singularität bei setzt man:

(6.25)

Die Integration kann dann analytisch wie folgt durchgeführt werden:

(6.26)

Bei der Auswertung des Integrales (6.26) wird die komplexe Logarithmus-Funk-tion eingesetzt. Für den Fall ohne Materialdämpfung ( ) muß analog wie beider Lösung des Halbraumproblems der Integrationsweg richtig festgelegt werden(vgl. S. 73). Diesmal leistet der Pol keinen Beitrag zum Integral.

Bei der Integration außerhalb der Umgebung der Singularität werden die Funk-tionen bzw. und die Funktion ausgeklammert. Wenn wirannehmen, daß die bleibende Funktion abschnittsweise linear ist, kann die Inte-gration wie folgt durchgeführt werden:

(6.27)

(6.28)

1/ x2 a22

1/ x a2( )

g̃yy k kb5

g̃yy kx( )cosA k kb2( ) B1

k2 kb22

-------------------------------------<

g̃yy k v x y, , ,( ) kx( )cos kd#A k2 kb

22 Akb B2( ) k k2 kb221( )ln2

<

h 05

kx( )sin kx( )cos e ky2( )

Ak B1( ) kx( )sin e yk2( ) kd#xB

x2 y21-------------------2 2

xyAx2 y21( )2

--------------------------2xAk

x2 y21-------------------2

e yk2( ) kx( )

yBx2 y21-------------------2

y2 x22( )Ax2 y21( )2

----------------------------2yAk

x2 y21-------------------2

e yk2( ) kx( )sin

1cos

5

Ak B1( ) kx( )cos e yk2( ) kd#yB

x2 y21-------------------2

y2 x22( )Ax2 y21( )2

----------------------------2yAk

x2 y21-------------------2

e yk2( ) kx( )

xBx2 y21-------------------2 2

xyAx2 y21( )2

--------------------------2xAk

x2 y21-------------------2

e yk2( ) kx( )sin

1cos

5


Bei der Bestimmung der oberen Grenze des Integrationsintervalls muß manbeachten, daß die Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen für den Vollraumfür sehr stark abklingen (vgl. S. 69). Wenn wir mit die gewünschteAbminderung der Amplitude der Fourier-Transformierten der Einflußfunktionenan der Stelle bezeichnen, kann folgende eher konservative Abschät-zung für benutzt werden:

(6.29)

oder:

(6.30)

Für einen Bereich zwischen ca. und können folgende Ansätze undIntegrationsformeln benutzt werden:

(6.31)

(6.32)

Die Formel (6.32) gilt auch für .

(6.33)

(6.34)

Für klingen die Fourier-Transformierten der Einflußfunktionen wie dieFunktion ab. Bei der Integration für größere Argumente k kommt in diesemFall folgender Ansatz zur Anwendung:

(6.35)

kmax

y 0Þ e

k kmax5

kmax

kmax eln /y25

kmax /kb

eln / a0y/b( )25

20kb kmax

g̃xx kx( )cos C kb/2( ) kx( )e yk2( )cossin<

g̃xx kx( )cos kd# C/2e yk2( )

b2 /2 x2( ) k b/2 x1( )( )cosy2 b/2 x1( )21

------------------------------------------------------------------------- k b/2 x1( )( )siny2 b/2 x1( )21-----------------------------------------

b/2 x2( ) k b2 /2 x1( )( )cosy2 b2 /2 x1( )21

------------------------------------------------------------------------- k b2 /2 x1( )( )siny2 b2 /2 x1( )21----------------------------------------------1

22

<

g̃yy

g̃xy kx( )sin C kb/2( ) kx( )e yk2( )sinsin<

g̃xy kx( )sin kd# C/2e yk2( )

k b2 /2 x1( )( )cosy2 b2 /2 x1( )21------------------------------------------------

2

b/2 x2( ) k b2 /2 x1( )( )siny2 b2 /2 x1( )21

------------------------------------------------------------------------

k b/2 x1( )( )cosy2 b/2 x1( )21------------------------------------------ b2 /2 x2( ) k b/2 x1( )( )sin

y2 b/2 x1( )21------------------------------------------------------------------------1

22

?<

y 05

1/k2

g̃xx k v x 0, , ,( ) kx( )cos C kb/2( ) kx( )/k2cossin<

78 LÖSUNG DES VOLLRAUMPROBLEMS

Der Ansatz (6.33) gilt auch für . Bei der Integration werden für Gleichungen (B.7) und (B.8) benutzt. Für gelten die Gleichungen(B.11) und (B.12).

Bei der Integration der Einflußfunktionen des Vollraumes kann selbstverständ-lich auch die alternative Methode (vgl. S. 73) mit künstlicher Materialdämpfungangewendet werden.

gyy abs x( ) b/2Þ

abs x( ) b/25

7. WELLENSTREUUNG AN EINER VERTIEFUNG

Zur Lösung des Problems der Wellenstreuung an einer Vertiefung (“Scattering“) ineinem elastischen Halbraum eignen sich vor allem die analytischen und halb-ana-lytischen Berechnungsmethoden. Diese Methoden operieren mit Ansatzfunktio-nen, die automatisch die Abstrahlungsbedingung erfüllen. Allerdings sind reinanalytische Methoden nur beschränkt anwendbar, denn es gibt Einschränkungenbezüglich der Wellenart und der Form der Vertiefung. Eine Lösung für ein prisma-tisches Tal mit halbkreisförmigem Querschnitt und für geneigt einfallende ebeneSH-Wellen wurde von Trifunac angegeben [25]. Später gelang auch eine Erweite-rung dieser Lösung für Täler mit einem halbelliptischen Querschnitt. Die Streuungder SH-Wellen stellt aber, verglichen mit der Streuung der ebenen P- oder SV-Wellen, ein einfaches Problem dar, weil in diesem Fall keine Umwandlung derWellen stattfindet (mode conversion). Deshalb kann das Problem mit einer einzi-gen Potentialfunktion beschrieben werden. Auch die Randbedingungen lassensich relativ einfach formulieren.

Für die Streuung der P- und SV-Wellen in einem Halbraum mitkreissegmentförmiger Vertiefung haben Cao und Lee [6] , resp. Gregory [15]Lösungen vorgeschlagen. Sie unterscheiden sich in der Art, wie die Randbedin-gung an der Oberfläche des elastischen Halbraumes erfüllt wird.

Die Lösung von Cao und Lee [6] wird wie üblich in Form einer unendlichenReihe von Hankel- und trigonometrischen Funktionen formuliert. Die einfallendenund von der Oberfläche des Halbraumes reflektierten ebenen P- und SV-Wellen(Freifeldbewegung) werden ebenfalls mit einer solchen Reihe dargestellt. DieRandbedingung am Rand der Vertiefung kann im Gegensatz zur Randbe-dingung an der Oberfläche des Halbraumes relativ einfach formuliert werden. Caound Lee haben deshalb vorgeschlagen, daß die Oberfläche des Halbraumes eben-falls als ein Kreisbogen mit einem grossen Radius approximiert werdensoll (s. Bild 7.1). Diese Annahme erlaubt es, beide Randbedingungen ähnlich zuformulieren. Die Lösung führt zu einem unendlichen Gleichungssystem. DieLösung von Cao und Lee ist zwar nicht exakt, liefert aber plausible Resultate. Den-noch ist nicht klar, wie sich die Annahme einer gekrümmten Oberfläche des Halb-raumes auf die Abstrahlungsbedingung auswirkt.

Gregory [15] verwendet in seiner Lösung des Problems der Wellenstreuung ineinem Halbraum mit kreissegmentförmiger Vertiefung ebenfalls eine Reihe von

r a15( )

a2 a1@

80

Hankel- und trigonometrischen Funktionen. Jeder Term wird aber um einen Inte-gralausdruck ergänzt, so daß auch die Randbedingungen an der Oberfläche desHalbraumes automatisch erfüllt sind. Die Auswertung dieses Integrals erforderteine aufwendige Konturintegration in der komplexen Ebene.

Wong [28] benutzt zur Lösung des Problems der Wellenstreuung eine indirekteRandelementmethode. Die Methode von Wong ist für ein zweidimensionalesModell mit beliebiger Talform anwendbar. Als fundamentale Lösung benutzt er dieGreen’sche Einflußfunktionen einer Linienkraft in einem Vollraum. Für den in dervorliegenden Arbeit nicht betrachteten Fall der SH-Wellen gibt es nur eine Rand-bedingung an der Oberfläche des Halbraumes, weil dort nur Schubspannungenentstehen können. Diese einzige Randbedingung kann durch die Spiegelung ander Oberfläche des Halbraumes erfüllt werden, weil in diesem Fall die Schubspan-nungen an der Symmetrieachse verschwinden. Die Symmetrie wird also ausge-nutzt, um in einem unendlichen Vollraum eine spannungsfreie Oberfläche zuerzeugen. Für den Fall der SV- und P-Wellen genügt eine Spiegelung nicht, weildadurch nur die Schubspannungen verschwinden, während sich gleichzeitig dieSpannungen normal zur Oberfläche des Halbraumes verdoppeln.

Die Resultate aus der Berechnung mit der Komplementärmethode werden mitden Lösungen von Vogt [27] verglichen. Die Berechnungsmethode von Vogtbasiert wie die von Wong auf der indirekten Randelementmethode. Das am Talgestreute Wellenfeld wird als Superposition der Verschiebungsfelder fiktiver ver-teilter Kräfte dargestellt. Die Berechnung der Verschiebungsfelder sowohl fürdiese Kräfte als auch für einfallende Wellen erfolgt für den geschichteten Halb-raum ohne Tal. Die Randbedingung der spannungsfreien Taloberfläche ergibt dieGleichungen zur Bestimmung der Amplituden der fiktiven Kräfte. Vogt hat dieResultate in einer umfangreichen Parameterstudie dargestellt. Dabei wurdensowohl Raumwellen (SH-, SV, und P-Wellen) wie auch Oberflächenwellen (Love-und Rayleigh-Wellen) untersucht. Der Rand der Vertiefung wird bei Vogt mit biszu 24 Elementen modelliert.

Bild 7.1 Das Berechnungsmodell bei der Methode von Cao und Lee

a1

a2 a1@

7. WELLENSTREUUNG AN EINER VERTIEFUNG 81

7.1 Halbkreisförmige Vertiefung

Es wird eine halbkreisförmige Vertiefung (s. Bild 7.2 (links)) untersucht. Der Randder Vertiefung wird mit 36 Elementen diskretisiert. Auf jeder Seite der Vertiefungwird nur ein kleiner Teil der Oberfläche des Halbraumes mit je zwei Elementendiskretisiert (vgl. S. 41). Das FE-Modell für die Erhöhung, das bei der Berechnungverwendet wurde, sehen wir in Bild 7.2 (rechts).

Bei höheren Anregungsfrequenzen kann die mit Hilfe der Komplementärmethodeberechnete dynamische Steifigkeitsmatrix schlecht konditioniert sein. Weil dasInvertieren der Steifigkeitsmatrix erforderlich ist (vgl. Abschnitt 2.2 S. 19), wird dieStabilität der Lösung in Frage gestellt. Um die Eigenschaften der Steifigkeitsmatrixzu verbessern, wird das gleiche Verfahren wie im Abschnitt 4.4.4 angewendet: DieVertiefung wird mit einigen Reihen finiter Elemente ausgekleidet (s. Bild 7.3). Ausder so gewonnenen Steifigkeitsmatrix werden alle Freiheitsgrade bis auf jene aufdem Rand der neuen Vertiefung eliminiert.

Es soll nun der Einfluß von Wellenart, Einfallswinkel der Welle und Anregungsfre-quenz (bzw. Wellenlänge) untersucht werden. Die dynamische Anregung erfolgtdurch schräg einfallende ebene P-, SV- und durch Rayleigh-Wellen. Der Einfall-winkel ist in Bild 7.2 definiert. Die Amplitude der einfallenden Welle wird für P-und SV-Wellen gleich 1.0 gesetzt. Für Rayleigh-Wellen wird die totale Amplitudeder Verschiebung an der Oberfläche des Halbraumes gleich 1.0 gesetzt.

Bild 7.2 Halbkreisförmige Vertiefung (links). FE-Modell für die Erhöhung (rechts)

Bild 7.3 „Stabilisierung“ der Steifigkeitsmatrix

R

u

va

2R

a

82 HALBKREISFÖRMIGE VERTIEFUNG

Die Anregungsfrequenz wurde zu , und gewählt. Dieentsprechende Schubwellenlänge nimmt die Werte zwischen 4R und 1R an,wobei R dem Radius des Halbkreises entspricht. Für die angenommene Pois-sonzahl wird die Kompressionswellenlänge doppelt so lang wie dieSchubwellenlänge . Für den Boden wird eine konstante Hysteresisdämpfungvon angenommen.

Mit Hilfe dieser Berechnungen soll auch die Genauigkeit der Komplementär-methode beurteilt werden. Die wichtige Annahme, daß nur ein kleiner Teil derOberfläche des Halbraumes neben der Vertiefung diskretisiert werden muß, kannnur dann bestätigt werden, wenn die Berechnungen für möglichst viele Kombina-tionen der gewählten Parameter gute Resultate liefern.

Es werden zunächst die Resultate für Rayleigh-Wellen (s. Bild 7.4) und dann fürP-Wellen für verschiedene Einfallswinkel und Anregungsfrequenzen angegeben(Bilder 7.5 bis 7.8). Dargestellt sind immer die Amplituden der resultierenden ver-tikalen und horizontalen Verschiebung (gestreut). Zum Vergleich ist die Freifeld-verschiebung (Freifeld) mit einer Strichlinie markiert. Wo die Referenzlösung vonVogt [27] vorhanden ist, wurde sie durch einzelne Punkte dargestellt. Analog zuden P-Wellen werden in den Bildern 7.9 bis 7.12 die Resultate für SV-Wellen dar-gestellt. Eine Diskussion der Resultate findet man im Abschnitt 7.3.

7.1.1 Rayleigh-Wellen

Bild 7.4 Halbkreisförmige Vertiefung. Vertikale und horizontale Verschiebungsamplitude infolgeRayleigh-Wellen

v pcs /2R pcs /R 2pcs /Rls

n 1/35 lPls

h 0.025

gestreutFreifeld

lS 4R5

x/R

abs

u()

abs

v()

Vogt

gestreutFreifeld

lS 2R5

x/R

gestreutFreifeld

lS R5

x/R

Vogt


7.1.2 P-Wellen

Bild 7.5 Halbkreisförmige Vertiefung. Vertikale und horizontale Verschiebungsamplitude (P-Wellen )


lS 4R5

x/R

abs

u()

abs

v()

gestreutFreifeldVogt

lS 2R5

x/R

gestreutFreifeld

gestreutFreifeld

lS R5

x/R

Vogt

a 085

lS 4R5

x/R

abs

u()

abs

v()


lS 2R5

x/R

gestreutFreifeld

gestreutFreifeld

lS R5

x/R

Vogt

a 3085




lS 4R5

x/R

abs

u()

abs

v()

gestreutFreifeld

lS 2R5

x/R

gestreutFreifeld

gestreutFreifeld

lS R5

x/R

a 4585

lS 4R5

x/R

abs

u()

abs

v()


lS 2R5

x/R

gestreutFreifeld

gestreutFreifeld

lS R5

x/R

Vogt

a 6085


7.1.3 SV-Wellen

Bild 7.9 Halbkreisförmige Vertiefung. Vertikale und horizontale Verschiebungsamplitude (SV-Wellen )


lS 4R5

x/R

abs

u()

abs

v()


lS 2R5

x/R

gestreutFreifeld

gestreutFreifeld

lS R5

x/R

Vogt

a 085

lS 4R5

x/R

abs

u()

abs

v()


lS 2R5

x/R

gestreutFreifeld

gestreutFreifeld

lS R5

x/R

Vogt

a 1585




lS 4R5

x/R

abs

u()

abs

v()

gestreutFreifeld

Vogt

lS 2R5

x/R

gestreutFreifeld

gestreutFreifeld

lS R5

x/R

Vogt

a 3085

lS 4R5

x/R

abs

u()

abs

v()

gestreutFreifeld

lS 2R5

x/R

gestreutFreifeld

gestreutFreifeld

lS R5

x/R

a 6085


7.2 Halbkreis- und kreissegmentförmige Vertiefung

Im folgenden Beispiel werden zwei Systeme mit einer halbkreisförmigen undeiner kreissegmentförmigen Vertiefung (s. Bild 7.13 (links)) vergliechen. Bei denbeiden Systemen ist der Rand der Vertiefung mit 24 Elementen diskretisiert. Diekreissegmentförmige Vertiefung hat ein Tiefe/Breite Verhältnis von . Ähnlichwie im Abschnitt 7.1 wird auf jeder Seite der Vertiefung nur ein kleiner Teil derOberfläche des Halbraumes mit je zwei Elementen diskretisiert. Das FE- Modellfür die Erhöhung sehen wir in Bild 7.13 (rechts).

Die dynamische Anregung erfolgt durch vertikal einfallende ebene P- bzw. SV-Wellen. Die Amplitude der einfallenden Wellen wird zu gesetzt. Die Anre-gungsfrequenz liegt zwischen und , wobei L derBreite der Vertiefung entspricht. Die entsprechende Schubwellenlänge nimmtdie Werte zwischen 0.667L und 10.0L an. Für den Boden wird eine konstanteHysteresisdämpfung von angenommen.

Die Amplituden der Verschiebungen am Rand der Vertiefung werden, andersals im Abschnitt 7.1, über die Abwicklung des Kreisbogens, gegeben durch denWinkel , aufgetragen. Auf diese Art können die Verschiebungen an den steilenTalflanken besser dargestellt werden. Zur besseren Übersicht wird nur die rechteHälfte der symmetrischen Lösung angegeben. Die totale Bewegung bzw.

wird jeweils links und die dazugehörige Freifeldbewegung bzw. rechts dargestellt (s. Bilder 7.14 bis 7.21). Eine Diskussion der Resultate findet manim Abschnitt 7.3.

Bild 7.13 Die betrachteten Systeme (links). FE-Modelle für die Erhöhung (rechts)

0.25

1.0v pcS/5L5 v 3pcS/L5

lS

h 0.025

w

uscattvscatt u0 v0

Rw

u

v

L

0.625L

0.25L

w

88 HALBKREIS- UND KREISSEGMENTFÖRMIGE VERTIEFUNG

Halbkreis

Bild 7.14 Horizontale Verschiebungsamplitude für vertikal einfallende P-Welle

Bild 7.15 Vertikale Verschiebungsamplitude für vertikal einfallende P-Welle

w/p

abs uscatt( )

L/lS

w/p

abs u0( )

L/lS

L/lSw/p

abs vscatt( )

L/lSw/p

abs v0( )


Kreissegment

Bild 7.16 Horizontale Verschiebungsamplitude für vertikal einfallende P-Welle

Bild 7.17 Vertikale Verschiebungsamplitude für vertikal einfallende P-Welle

w/p

abs uscatt( )

L/lS

w/p

abs u0( )

L/lS

L/lSw/p

abs vscatt( )

L/lSw/p

abs v0( )

90 HALBKREIS- UND KREISSEGMENTFÖRMIGE VERTIEFUNG

Halbkreis

Bild 7.18 Horizontale Verschiebungsamplitude für vertikal einfallende SV-Welle

Bild 7.19 Vertikale Verschiebungsamplitude für vertikal einfallende SV-Welle

w/p

abs uscatt( )

L/lS

w/p

abs u0( )

L/lS

L/lSw/p

abs vscatt( )

L/lSw/p

abs v0( )


Kreissegment

Bild 7.20 Horizontale Verschiebungsamplitude für vertikal einfallende SV-Welle

Bild 7.21 Vertikale Verschiebungsamplitude für vertikal einfallende SV-Welle

w/p

abs uscatt( )

L/lS

w/p

abs u0( )

L/lS

L/lSw/p

abs vscatt( )

L/lSw/p

abs v0( )

92 DISKUSSION DER RESULTATE

7.3 Diskussion der Resultate

Die Komplementärmethode liefert für alle betrachteten Parameter plausible Resul-

tate. Die Übereinstimmung zwischen den Resultaten der Komplementärmethode

und den Resultaten von Vogt ist sehr gut für größere Wellenlängen der einfallen-

den Wellen ( ). Für die Wellenlänge ( ) sind der qualitative Verlauf

der beiden Lösungen und die Amplituden der Bewegung am Rand der Vertiefung

sehr ähnlich. Die kleinen Abweichungen zwischen den Resultaten sind auch

dadurch zu erklären, daß der Rand der Vertiefung bei Vogt mit 24 Elementen, bei

der Berechnung mit der Komplementärmethode aber mit 36 Elementen, und somit

feiner, diskretisiert wurde. Bei diesen Wellenlängen gibt es aber auch zwischen

den Lösungen von Vogt und Wong kleine Unterschiede.

Die Vertiefung hat auch einen Einfluß auf die Bewegung an der Oberfläche des

Halbraumes (s. Kapitel 4 Bilder 4.6 und 4.7). Die gegenseitige Beeinflußung der

benachbarten Täler oder Erhöhungen kann relevant sein. Aus diesem Grund ist es

schwierig, mit Hilfe dieses einfachen Modells Aussagen über einen Standort im

Gebirge zu machen.

Der Einfluß einer Vertiefung auf die seismischen Bodenbewegungen wird rele-

vant, wenn die der Anregungsfrequenz entsprechende Schubwellenlänge klei-

ner ist als etwa die doppelte Breite der Vertiefung (s. Bilder 7.14 bis 7.21

). Für eine halbkreisförmige Vertiefung mit und für

ergibt sich z.B. eine Grenzfrequenz von .

Die Amplituden der Bewegung am Rand einer kreissegmentförmigen Vertie-

fung mit dem Verhältnis Tiefe zu Breite von 0.25 können viel kleiner werden als

bei einer halbkreisförmigen Vertiefung (vgl. Bild 7.19 und Bild 7.21). Sie sind im

allgemeinen nicht größer als die totale Amplitude der Freifeldbewegung an der

Oberfläche des Halbraumes (Bilder 7.16, 7.17, 7.20, 7.21).

Für Rayleigh-Wellen ergeben sich keine relevanten Amplifikationen der Bewe-

gung am Rand der Vertiefung bei grösseren Frequenzen (s. Bild 7.4). Weil ein

grosser Teil der Energie in der Nähe der Oberfläche übertragen wird, kann eine

Abminderung der Amplituden der Bewegung an der Oberfläche des Halbraumes

hinter der Vertiefung erwartet werden.

Der Einfluß des Einfallwinkels ist für die SV-Wellen größer als für die P-Wel-

len, vor allem in der Nähe des Grenzwinkels (vgl. Bild 7.11).

Sehr wichtig bei einer seismischen Anregung sind nicht nur die Vergrößerung

der Amplitude der Bewegung am Rand der Vertiefung sondern auch die auftreten-

den Phasenunterschiede. Schon für resultieren Werte bis etwa .

ls 4R5 ls R5

lS

L/lS 0.5. R 50m5

cs 1000m/s5 f 5Hz5

u

ucr 3085

ls 4R5 p/2

8. INTERAKTIONSPROBLEME

Im folgenden wird die Komplementärmethode auf zwei Probleme der Boden-Struktur-Interaktion angewendet.

8.1 Staumauer auf elastischem Halbraum

Beschreibung der Staumauer

In diesem Beispiel betrachten wir die Pine Flat Staumauer (vgl. Fenves und Cho-pra [13]). Es handelt sich um eine Gewichtsmauer, die aus Blöcken mit einertotalen Länge von besteht. Für die Berechnung wurde der Block mit dergrößten Höhe von gewählt und mit Finiten Elementen als zweidimensio-naler Körper in einem ebenen Verschiebungszustand modelliert (s. Bild 8.1). DasModell besteht aus isoparametrischen 4-Knoten Elementen mit total Kno-ten. Die Übergang Mauer-Boden wurde mit Elementen von je Längediskretisiert.

Die Eigenschaften des Staumauerbetons wurden gleich wie in [13] angenommen.Die Lamé-Konstanten sind bzw. . Miteiner spezifischen Masse von und mit einer Poisson-Zahl ergibt sich in einem ebenen Verschiebungszustand eine Geschwindigkeit der P-

Bild 8.1 Modellierung der Pine Flat Staumauer mit Finiten Elementen

36561.8m121.9m

136 1628 11.97m

121.

9

95.8

1.0

1.0

0.780.05

9.75

l 6.39×10 N/m

25 m 10.59

9×10 N/m2

5

r 2600kg/m3

n 0.25

94 STAUMAUER AUF ELASTISCHEM HALBRAUM

Wellen von und die Geschwindigkeit der SV-Wellen von. Für den Staumauerbeton wird eine konstante Hysteresisdämpfung von angenommen. Das entspricht einem äquivalenten viskosen Dämpfungs-

maß von .

Modellierung des Bodens

Es werden vier verschiedene Bodenmodelle betrachtet (s. Bild 8.2). Im Bodenmo-dell a), das zugleich als Referenzmodell gilt, wird der Boden als ein homogener,isotroper und viskoelastischer Halbraum modelliert. Die Materialeigenschaftensind wieder wie in [13] definiert und entsprechen in etwa einem verwitterten Gra-nit oder Basalt. Die Lamé-Konstanten sind bzw.

und die spezifische Masse . Für eine Pois-son-Zahl ergibt sich somit eine Geschwindigkeit der P-Wellen von

und eine Geschwindigkeit der SV-Wellen von . Es wurdewie beim Staumauerbeton eine konstante Hysteresisdämpfung von angenommen. Der Teil der Oberfläche des Halbraumes unter der Staumauer wirdin 8 Abschnitte gleicher Länge unterteilt. Zur Berechnung der dyna-mischen Steifigkeitsmatrix des Bodens wird die Methode von Dasgupta und Cho-pra [8] angewendet (vgl. Kapitel 3).

Das Bodenmodell b) besteht aus einem mit Finiten Elementen modelliertenNahbereich und einem homogenen, isotropen und viskoelastischen Halbraum miteiner kreissegmentförmigen Vertiefung. Die Vertiefung ist breit und

tief. Die Materialeigenschaften sowohl im Nahbereich als auch im unendli-chen Teil sind die gleichen wie beim Bodenmodell a). Der unendliche Teil desBodens wird mit Hilfe der Komplementärmethode durch eine dynamische, fre-quenzabhängige Steifigkeitsmatrix repräsentiert. Es wird die effizienteste Varianteder Komplementärmethode eingesetzt, bei der nur der Rand der Vertiefung dis-kretisiert wird. In diesem Fall ist der Berechnungsaufwand linear von der Anzahlder Elemente am Rand der Vertiefung abhängig (s. Abschnitt 4.5, S. 49). Die Resul-tate dieses Modells können direkt mit denen von Modell a) vergliechen werden.

Beim Bodenmodell c) wird ebenfalls wie im Modell b) ein Nahbereich desBodens mit Finiten Elementen modelliert. Es wird dabei nur die Steifigkeitsmatrixdes diskretisierten Bodenbereichs berücksichtigt und die Massenmatrix vernach-lässigt (masseloser Boden). Am Rand der Vertiefung wird eine Einspannung ange-nommen. Modell c) wird vor allem bei 3-D Berechnung von Bogenstaumauernangewendet. Das Verhalten dieses Modells kann aber auch im vorliegendenm 2-DFall erfaßt werden.

Das vierte Bodenmodell d) ist bis auf die Randbedingung am Rand der Vertie-fung mit dem Bodenmodell c) identisch. In diesem Fall werden am Rand der Ver-tiefung Lysmer-Dämpfer angeordnet. Auf diese Art wird versucht, dieAbstrahlungsbedingung näherungsweise zu erfüllen. Dieser Bodenmodell ist für

cp 3315m/s cs1587m/sh 0.15

z 0.055

l 16.99×10 N/m

25

m 8.459×10 N/m

25 r 2661kg/m

35

n 1/35 cp3568m/s cs 1784m/s

h 0.15

b 11.97m5

167.6m41.9m

8. INTERAKTIONSPROBLEME 95

den Vergleich wichtig, weil die Lysmer-Dämpfer in allen komerziellen FE-Pro-grammen zur Verfügung stehen und sehr häufig zur Anwendung kommen.

Ein weiteres Bodenmodell kann aus dem Bodenmodell b) abgeleitet werdenund wird mit b1) bezeichnet. Die dynamische Steifigkeitsmatrix des Halbraumesmit einer Vertiefung wird als konstant angenommen und nur für eine einzige wil-kürlich gewählte Frequenz von berechnet. In diesem Fall könnte diedynamische Berechnung auch direkt im Zeitbereich durchgeführt werden.

8.1.1 Kraftanregung an der Mauerkrone

An der Krone der Mauer greift eine harmonische Kraft an (s. Bild 8.3).Gesucht sind die Frequenzganglinien für die Verschiebungen im Kraftan-griffspunkt. Die Lösungen für die vier betrachteten Systeme zeigt Bild 8.4.

Bild 8.2 Die vier betrachteten Systeme und Bodenmodelle

Bild 8.3 Kraftanregung an der Mauerkrone der Pine Flat Staumauer

a)FEM

viskoelastischer Halbraum

FEM

starrer Boden

c)

masseloser Boden

FEM

Komplementärmethode

b)FEM

Lysmer-Dämpfer

d)

167.6m41

.6

f 6Hz5

peivt

T f ( )

px

py


Bild 8.4 Die Frequenzganglinien fur die Verschiebung an der Krone der Gewichtsmauer

abs

Tx

x(

)ab

sT

yy

()

f Hz( )

a)

b)

c)

d)

abs

Tx

y(

)

a) Referenzlösung b) Komplementärmethodec) masseloser Bodend) Lysmer-Dämpfer

T f ( )


Es ist deutlich zu erkennen, daß sich die Lösung der Komplementärmethode(Bodenmodell b) kaum von der Referenzlösung (Bodenmodell a) unterscheidet.Die Lösungen c) und d) weichen dagegen stark von der Referenzlösung ab. Beider Lösung d) ist die erste Eigenfrequenz immerhin besser getroffen,allerdings wird die Antwort des Systems um etwa 30% unterschätzt.

8.1.2 Seismische Anregung

In diesem Fall erfolgt die Anregung durch einfallende ebene P-, SV- und Rayleigh-Wellen. Die Untersuchung der P-Wellen wird für einen Einfallswinkel von (vertikal einfallende Welle) bzw. und die Untersuchung der SV-Wellen füreinen Einfallswinkel von bzw. durchgeführt. Die Amplitude dereinfallenden Welle wird für P- und SV-Wellen zu 1.0 gesetzt. Für Rayleigh-Wellenwird die totale Amplitude der Verschiebung an der Oberfläche des Halbraumes zu1.0 gesetzt. Gesucht wird die Frequenzganglinie der Verschiebung an der Mauer-krone.

Bei der Lösung dieses Problems muß zuerst die Freifeldbewegung für alle betrach-teten Wellen berechnet werden. Für die Bodenmodelle a) und b) wird für jedebetrachtete Frequenz eine dynamische Steifigkeitsmatrix des Bodens berechnetund die Interaktionskräfte gemäß Abschnitt2.3 bestimmt. Den Vergleich zwischender Referenzlösung a) und der Lösung mit der Komplementärmethode b) sehenwir in Bild 8.6 und Bild 8.7. Die Übereinstimmung der Resultate ist sehr gut.

Die zwei weiteren Bodenmodelle erfordern eine spezielle Betrachtungsweise.Die seismische Anregung kann für Modell c) nicht in Form einfallender Wellendefiniert werden, weil es im masselosen Boden keine Wellenausbreitung gibt. Indiesem Fall wird deshalb nur eine synchrone vertikale und horizontale Anregungbetrachtet. Als dynamische Einwirkung wirken auf die Staumauer die Trägheits-kräfte. Beim Modell d) mit Lysmer-Dämpfern wird zuerst das Problem der Wellen-streuung am Rand der Vertiefung infolge vertikal einfallender P-und SV-Wellen mitder Komplementärmethode (Modell b) gelöst und der Verschiebungsvektor als

Bild 8.5 Seismische Anregung der Pine Flat Staumauer

f1 2.4Hz<

ua 0.08

60.08

ub 0.08 45.08

uv

u


Definition der seismischen Anregung für Modell d) verwendet. Die Interaktions-kräfte ergeben sich weiter als Produkt der Matrix der Lysmer-Dämpfer und desberechneten Verschiebungsvektors (vgl. Gleichung 2.34).

Zum Vergleich wird für eine vertikal einfallende P-und SV-Welle noch eineBerechnung mit dem Modell b1) durchgeführt. Dadurch, daß die dynamische Stei-figkeitsmatrix nur für eine einzige Frequenz bestimmt wird, kann die Berechnungsehr schnell durchgeführt werden. Diese grobe Vereinfachung kann damitgerechtfertigt werden, daß die dynamische Steifigkeitsmatrix des Bodens imbetrachteten Fall nicht stark frequenzabhängig ist. Mit dieser Vereinfachungkönnte auch eine Berechnung im Zeitbereich durchgeführt werden.

Bild 8.6 Vertikale und horizontale Amplitude der Verschiebung an der Mauerkrone infolge voneinfallenden P-Wellen ( ), SV-Wellen ( )

a)

b)

abs v( )

abs u( )

P Welle2 ua 60.085

a)

b)

f Hz( )

SV Welle2 ub 45.085

abs u( )

abs v( )

a) Referenzlösungb) Komplementärmethode

ua 60.085 ub 45.085


Bild 8.7 Vertikale und horizontale Amplitude der Verschiebung an der Mauerkrone infolge voneinfallenden P-Wellen ( ), SV-Wellen ( ) und Rayleigh-Wellen

a)

b)

abs v( )

abs u( )

P Welle2 ua 0.085

a)

b)

abs v( )

abs u( )

SV Welle2 ub 0.085

f Hz( )

a)

b)

abs v( )

abs u( )

a) Referenzlösungb) Komplementärmethode

Rayleigh-Welle

ua 0.085 ub 0.085


Weil die Lösung mit der Komplementärmethode sich so wenig von der Referenz-lösung unterscheidet, wird sie aus den weiteren Vergleichen ausgeschloßen. InBild 8.8 sehen wir die horizontale und vertikale Amplitude der Verschiebung ander Mauerkrone infolge einer vertikal von unten einfallenden P-Welle. Die Ampli-tude der einfallenden Welle wird zu gesetzt.

Bild 8.9 zeigt dieselbe Verschiebung an der Mauerkrone, diesmal infolge einervertikal von unten einfallenden SV-Welle. Die Amplitude der einfallenden Wellewird in diesem Fall wieder zu gesetzt. Beim Vergleich der Resultate fällt sofortauf, daß einzig die Lösung für Modell b1) in der Nähe der Referenzlösung liegt.Beim Modell c) ergeben sich unrealistischen Resonanzspitzen.

Bild 8.8 Vertikale und horizontale Amplitude der Verschiebung an der Mauerkrone infolge einervertikal von unten einfallenden ebenen P-Welle

1.0

1.0

a)

b1)

c)

d)

P Welle2 ua 0.085

f Hz( )

abs

u()

a)

b1)

c)

d)

f Hz( )

abs

v()

a) Referenzlösungb1) Komplementärmethode (nur für )c) masseloser Bodend) Lysmer-Dämpfer

f 6Hz5


Auch Modell d) mit Lysmer-Dämpfern liefert falsche Resultate, obwohl “Scattering“berücksichtigt wurde. Der Grund dafür ist, dass die Matrix der Lysmer-Dämpfersich stark von der wirklichen dynamischen Steifigkeitsmatrix des Halbraumes miteiner Vertiefung unterscheidet. In diesem Fall bringt also die genaue Lösung des“Scattering“ Problems nichts. Es muß aber gesagt werden, daß die Lösung d) ver-bessert werden kann, wenn man einen größeren Bodenbereich mit Finiten Ele-menten modelliert.

Für eine 3-D Bogenstaumauer ist die Steifigkeitsverhältnis zwischen der Mauerund dem Fels ganz anders als im 2-D Fall. Weil Bogenstaumauern im Vergleichzum Fels relativ weich sind, wird die seismische Bodenbewegung an der Talflan-ken (die Lösung des “Scattering“ Problems) durch die Boden-Struktur-Interaktionwenig beeinflußt.

Bild 8.9 Vertikale und horizontale Amplitude der Verschiebung an der Mauerkrone infolge einervertikal von unten einfallenden ebenen SV-Welle

a)

b1)

c)

d)

f Hz( )

SV Welle2 ub 0.085

abs

u()

a)

b1)

c)

d)

f Hz( )

abs

v()

a) Referenzlösungb1) Komplementärmethode (nur für )c) masseloser Bodend) Lysmer-Dämpfer

f 6Hz5

102 GEFÜLLTES TAL

8.2 Gefülltes Tal

Nebst der Topografie können auch lokale Inhomogenitäten des Bodens einen gro-ßen Einfluß auf die seismischen Bodenbewegungen haben. Als Beispiel wird einTal betrachtet, welches mit weichen Ablagerungen gefüllt ist.

Das Tal wird durch eine kreissegmentförmige Vertiefung mit einem VerhältnisTiefe h zu Breite L von 0.25 modelliert. Die Vertiefung wird mit Finiten Elementengefüllt, denen andere Materialeigenschaften zugewiesen werden als dem Halb-raum (Bild 8.10). Die Wellengeschwindigkeiten und im Bereich derVertiefung sind nur halb so gross wie im übrigen Halbraum.

Die Anregung erfolgt wieder durch P-, SV- und Rayleigh-Wellen. Die Anre-gungsfrequenz ist so gewählt, daß die entsprechende Schubwellenlänge bzw. beträgt.

In den Bildern 8.11 bis 8.18 werden die vertikalen und horizontalen Amplitudender Verschiebung auf der Oberfläche des Halbraumes im Bereich der Vertiefungdargestellt (Linie a)). Ähnlich wie im Abschnitt 4.4.2, werden auch die Amplitudender Verschiebung für den Fall, daß die Vertiefung mit dem gleichen Material wieim Halbraum gefüllt wird, angegeben (Linie c)). Schließlich werden die exaktenanalytischen Resultate für einen homogenen Halbraum angegeben (Linie b)).

Für den Fall, daß die Vertiefung mit einem weicheren Material gefüllt wird, wei-chen die Amplituden der Bewegung an der Oberfläche stark von der Freifeldbe-wegung ab. Der Amplifikationsfaktor ist aber im allgemeinen nicht größer als 2.

Ist die Vertiefung mit dem gleichen Material gefüllt, so ist die Abweichung zwi-schen der exakten analytischen Lösung (punktierte Linie) und der Lösung mit derKomplementärmethode (Strichlinie) klein. Diese Aussage gilt für alle Kombinatio-nen der drei betrachteten Parameter (Wellenart, Einfallwinkel und Anregungsfre-quenz). Es steht somit fest, daß die Komplementärmethode sich gut zur Lösungdes vorliegenden Problems eignet.

Bild 8.10 Das betrachtete System

cP cS

lS 2L5

lS L5

PSV

R

Komplementärmethode

FEM

r cP cS, ,

r cP /2 cS /2, ,

L

u

0.25

Lh

5

0.625L


Rayleigh-Wellen

P-Wellen

a) gefülltes Talb) Freifeldbewegung-exaktc) Freifeldbewegung-Komplementärmethode

Bild 8.11 Vertikale und horizontale Verschiebungsmplitude an der Oberfläche eines gefüllten Talesinfolge Rayleigh-Wellen


Bild 8.12 Vertikale und horizontale Verschiebungsmplitude an der Oberfläche eines gefüllten Talesinfolge von, unter einem Winkel einfallenden, P-Wellen

lS 2L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

lS L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

lS 2L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

lS L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

u 085

104 GEFÜLLTES TAL





lS 2L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

lS L5

x/Lab

su(

)ab

sv()

a)b)c)

u 3085

lS 2L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

lS L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

u 6085


SV- Wellen


Bild 8.15 Vertikale und horizontale Verschiebungsmplitude an der Oberfläche eines gefüllten Talesinfolge von, unter einem Winkel einfallenden, SV-Wellen



lS 2L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

lS L5

x/Lab

su(

)ab

sv()

a)b)c)

u 085

lS 2L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

lS L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

u 1585

106 GEFÜLLTES TAL





lS 2L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

lS L5

x/Lab

su(

)ab

sv()

a)b)c)

u 3085

lS 2L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

lS L5

x/L

abs

u()

abs

v()

a)b)c)

u 6085

9. SCHLUSSFOLGERUNGEN

9.1 Die Komplementärmethode

Die Komplemetärmethode ist ein effizientes und genaues Verfahren zur Bestim-mung der dynamischen Steifigkeitsmatrix des Halbraumes mit einer Vertiefung.Das Konzept der Methode ist einfach und anschaulich. Die gesuchte Steifigkeits-matrix des Halbraumes mit einer Vertiefung wird als Differenz zweier dynamischerSteifigkeitsmatrizen berechnet. Die erste wird für den Vollraum und die zweite fürden Halbraum mit einer Erhöhung ermittelt. Bei der Berechnung der Steifigkeits-matrizen der Teilsysteme wurde die indirekte Randelementmethode angewendet.Die fundamentalen Lösungen wurden für eine harmonische, gleichmäßig übereine Elementlänge verteilte Streifenkraft hergeleitet. Im Prinzip sind aber auchandere Ansätze, wie z.B. solche mit Linienkräften möglich.

Um die Genauigkeit der Komplementärmethode beurteilen zu können, wurdenzahlreiche Beispiele berechnet (vgl. Kap. 7 und Kap. 8). Die Methode liefert inallen Fällen gute Resultate für den Bereich der Vertiefung. Die gute Übereinstim-mung mit den exakten Lösungen und den Lösungen aus der Literatur kann mandamit erklären, daß die sehr wichtige Wellenabstrahlung an der Oberfläche desHalbraumes bei einem der zwei Teilmodelle (Halbraum mit einer Erhöhung) exakterfaßt wird.

Die neuen Integrationsmethoden, die bei der Auswertung der Einflußfunktio-nen angewendet wurden, basieren auf analytisch integrierbaren Approximationen.Dies erlaubt eine effiziente und genaue Integration auch für den Fall ohne Materi-aldämpfung.

Eine sehr effiziente Variante der Komplementärmethode ergibt sich bei derBerechnung der dynamischen Steifigkeitsmatrix für einen Halbraum mitkreissegmentförmiger Vertiefung. In diesem Fall hängt der Rechenaufwand etwalinear von der Anzahl der Elemente ab. Eine beliebige Form der Vertiefung kanndurch Ergänzung einer Kreissegmentförmigen Vertiefung durch Finite Elementemodelliert werden.

9.2 Anwendungen

Die Berechnungsbeispiele zeigen, daß auch die effizienteste Variante der Komple-mentärmethode, bei der nur der Rand der Vertiefung diskretisiert wird, für Boden-Struktur-Interaktionsprobleme sehr gute Resultate liefert (vgl. Abschnitt 8.1).

108 AUSBLICK

Die Methode erlaubt es auch, den Einfluß der Topographie auf die seismischeBodenbewegungen (“Scattering“) mit einem relativ kleinen Aufwand zu untersu-chen (s. Kapitel 7).

In Wirklichkeit hat man es selten mit einfachen geometrischen Verhältnissen zutun. So beeinflussen sich z.B. Täler und Gebirge gegenseitig. Aber auch wenn esgelingen würde, ein vollständiges Modell der Oberfläche zu bilden, gibt es wenigeAnhaltspunkte, welches Wellenbild als Anregung anzusetzen wäre. Weitere Unsi-cherheiten betreffen die Eigenschaften des Bodens.

Trotz unsicheren Ausgangsgrößen scheint es sehr wichtig, den Einfluß derTopographie zu berücksichtigen. Dies ist insbesondere bei Bogenstaumauern derFall, bei denen die nichtsynchrone Anregung mit großen Amplifikationen der Frei-feldbewegung eine wichtige Einwirkung darstellt.

Es stellt sich die Frage, ob die Lösung eines zweidimensionalen “Scattering“Problems bei der Analyse einer dreidimensionalen Bogenstaumauer verwendetwerden kann. Wenn man bedenkt, daß Bogenstaumauern im Vergleich zum Felsrelativ weich sind, kann folgende Vorgehensweise vorgeschlagen werden: Dieseismische Anregung wird durch unter einem bestimmten Winkel einfallendeWellen definiert. Die Bodenbewegungen am Rand des Tales werden zuerst ohneBerücksichtigung der Staumauer mit einem zweidimensionalen Berechnungsmo-dell erfaßt und dann als seismische Anregung auf die Bogenstaumauer übertragen.Auf diese Art können zwar nicht alle Aspekte der Boden-Struktur-Interaktionberücksichtigt werden, aber zumindest jene des “Scattering“.

9.3 Ausblick

Einige Fragen wurden im Rahmen dieser Arbeit nicht behandelt. Interessant wärees zu untersuchen, ob die Teilsysteme der Komplementärmethode mit anderenAnsätzen als den in dieser Arbeit verwendeten verteilten Streifenkräften betrachtetwerden könnten. Aus der Berechnung mit Hilfe der Green’schen Einflußfunktio-nen für Linienkräfte würden reguläre dynamische Steifigkeitsmatrizen resultieren.In der Folge wäre wahrscheinlich keine Stabilisierung der Lösungen (s.Abschnitt 4.4.4) notwendig.

Die vorliegende Arbeit ist Teil eines Gesamtprojektes mit dem Ziel das Erdbe-benverhalten von Bogenmauern mit Boden-Struktur-Interaktion, Wasser-Struktur-Interaktion [30] und Fugenverhalten numerisch möglichst wirklichkeitsnah zuerfassen. Für die seismische Anregung sind außer den hier behandelten P-, SV-und Rayleigh-Wellen auch die SH-Wellen (Aufregung in Talrichtung) wichtig. Eineentsprechende Erweiterung der Komplementärmethode sollte aber keine grund-sätzlichen Schwierigkeiten bieten.

Es stellt sich auch die Frage, ob die Komplementärmethode für die Lösung drei-dimensionaler Probleme erweitert werden kann. Die Grundidee der Zerlegungdes Vollraumes in zwei komplementäre Bereiche, läßt sich auch in diesem Fallanwenden. Die Lösungen für die Teilsysteme könnten wieder mit der Randele-

9. SCHLUSSFOLGERUNGEN 109

mentmethode berechnet werden. Es ist aber nicht klar, ob für eine reguläre Formder Vertiefung auch eine derartige Vereinfachung der Berechnung wie im zweidi-mensionalen Fall möglich wäre (vgl. Abschnitt 4.5).

111

ZUSAMMENFASSUNG

In dieser Arbeit wird eine neue Methode zur Berechnung der dynamischen Steifig-keitsmatrix für einen Halbraum mit einer prismatischen Vertiefung vorgestellt, diesowohl zur Lösung von Problemen der Boden-Struktur-Interaktion wie auch zurBestimmung der seismischen Bodenbewegungen am Rand der Vertiefung (Lösungdes “Scattering“ Problems) im Frequenzenbereich angewendet werden kann. MitHilfe der neuen Methode kann auch der Erdbebeninput entlang des Fußes einerBogenmauer bestimmt werden.

Die Grundidee der neuen Methode, im weiteren Komplementärmethodegenannt, basiert auf einer Zerlegung des betrachteten Systems in zwei Teilsy-steme, die einfach zu berechnen sind. Die gesuchte dynamische Steifigkeitsmatrixdes Halbraumes mit einer Vertiefung wird als Differenz der Steifigkeitsmatrix fürden Vollraum und der Steifigkeitsmatrix für den Halbraum mit einer Erhöhungermittelt. Die Bestimmung der Lösungen für die Teilsysteme mit Hilfe der dynami-schen Einflußkoefizienten entspricht der Anwendung einer vereinfachten indirek-ten Randelementmethode.

Die Berechnung der dynamischen Einflußkoefizienten ist ein wichtigerBestandteil der Komplementärmethode dar. Aus diesem Grund wurde ein neuessemi-analytisches Verfahren entwickelt. Dieses Verfahren, das analytisch integrier-bare Approximationen benutzt, erlaubt eine effiziente und genaue Berechnung fürSysteme mit oder ohne Materialdämpfung.

Bei der Berechnung mit der Komplementärmethode wird nur der Rand der Ver-tiefung und ein kleiner Teil der Oberfläche des Halbraumes beiderseits der Vertie-fung diskretisiert. Die sehr wichtige Wellenabstrahlung an der Oberfläche desHalbraumes wird beim Teilsystem “Halbraum mit Erhöhung” exakt erfaßt.

Eine sehr effiziente Variante der Komplementärmethode ergibt sich, wenn dieVertiefung kreissegmentförmig ist. In diesem Fall müßen nur wenige Einflußkoefi-zienten berechnet werden. Eine beliebige Form der Vertiefung kann durch Ergän-zung mit Finiten Elementen modelliert werden.

Die betrachteten Anwendungsbeispiele umfassen Boden-Struktur-Interaktions-probleme und zweidimensionales “Scattering”. Es wird eine Staumauer, die aufeinem viskoelastischen Halbraum fundiert ist, und ein mit Sedimenten gefülltesTal, untersucht. Weitere Beispiele zeigen die Bodenbewegung am Rand eineshalbkreisförmigen bzw. kreissegmentförmigen Tales, verursacht durch einfallendeP-,SV- undRayleigh-Wellen. Die Ergebnisse der Berechnungen mit Hilfe der Kom-plementärmethode stimmen mit den exakten analytischen Lösungen und denAngaben aus der Literatur sehr gut überein

112

SUMMARY

A new method called the Complementary-Domain Method is presented in this

work. This method can be used to evaluate the dynamic stiffness matrix of a two-

dimensional halfspace with a canyon. The method can be applied to interaction

problems and to the scattering of waves on the canyon. In particular, the method

can be used to determine the earthquake input along the dam-foundation inter-

face of an arch dam.

The proposed method is based on a relatively simple engineering approach. Ahalfspace with a canyon can be considered as a fullspace from which the comple-mentary domain (a halfspace with an elevation) is “subtracted“. Therefore theproblem of finding the stiffness matrix of a halfspace with a canyon can be sepa-rated into the two subproblems of a halfspace with an elevation and a fullspace.These two subproblems can more easily be solved than the original problemusing a simplified indirect Boundary Element Method.

The dynamic stiffness matrices for the two subproblems are determined usingdynamic flexibility influence coefficients. The new semi-analytical method wasdeveloped to make the calculation of this coefficients more efficient and accuratethan when using standard methods. Special approximating functions are used,which can be integrated analytically. The method also works for zero materialdamping.

In the Complementary-Domain Method only the surface of the canyon and avery small portion of the surface of the halfspace have to be discretised. The veryimportant energy transport on the surface of the halfspace is exactly modelled inthe subsystem “halfspace with elevation“.

A regular geometry of the canyon makes the Complementary-Domain Methodvery efficient because the number of dynamic influence coefficients required isreduced significantly. The geometric restriction is not a problem as the canyon canbe filled with finite elements to fit an arbitrary shape.

Two examples of soil-structure interaction in the frequency domain are pre-sented: a gravity dam on a viscoelastic halfspace and a canyon filled with soft soil.The dynamic excitation is given by the dynamic force applied to the structure andby incident waves (earthquake input). Other examples show the displacements onthe surface of a circular canyon for incident P- SV- and Rayleigh waves. For casesdocumented in the literature the results compare well.

113

SYMBOLE UND BEGRIFFE

Symbole

Kreisfrequenz der Anregung

Wellengeschwindigkeit der ebenen P-Wellen

Wellengeschwindigkeit der ebenen SV-Wellen

Wellengeschwindigkeit der Rayleigh-Wellen

Wellenlänge oder eine der Lamé-Materialkonstanten

Lamé-Materialkonstante

Poisson-Zahl

das äquivalente viskose Dämpfungsmaß

das Maß der konstanten Hysteresisdämpfung

Wellenzahl

Verschiebungsvektor in Kartesischen-Koordinaten

Einflußfunktion einer Streifenkraft im Vollraum

Fourier-Transformierte von

Einflußfunktion einer Streifenkraft im Halbraum

Fourier-Transformierte von

skalare Potentialfunktion der rotationsfreien Wellen

Vektorpotential der isochoren Wellen. einzige Komponente von

bei ebenem Verschiebungszustand ( ): wird in dieser Arbeit als bezeichnet

v

cp

cs

cR

l

m

n

z

h h 2z5

k ka v/cp5

kb v/cs5

kR v/cR5

u v w, ,( )

g x y v, ,( )

g̃ x y k, ,( ) g x y v, ,( )

g x y v, ,( ) g̃ x y k, ,( )t kx( ) kd0

`

#5

wobei t kx( ) kx( ) bzw. kx( )cossin5

g x v,( )

g̃ x k,( ) g x v,( )

F

C Cz C

w 05

C

114

Begriffe

Abstrahlungsdämpfung:

Energiedissipation im System durch Abstrahlung von Wellen.

Abstrahlungsbedingung:

Eine Bedingung an die Lösung eines Wellenausbreitungsproblems, dieverlangt, daß in einer großen Entfernung vom System die Lösung nuraus Wellen besteht, die sich ins Unendliche ausbreiten.

Interaktionshorizont:

Grenze zwischen einer verallgemeinerten Struktur (Struktur mit demNahbereich Boden) und dem unendlichen Bodenbereich.

Komplementärmethode:

Eine neue Methode zur Berechnung der dynamischen Steifigkeitsmatrixdes Bodens im Frequenzenbereich.

Materialdämpfung:

Die durch innere Reibung verursachte Dämpfung.

Teilsystem Halbraum mit Erhöhung:

Ein Teilsystem der Komplementärmethode, das aus einem viskoelasti-schen Halbraum mit einer Erhöhung besteht.

Teilsystem Vollraum:

Ein Teilsystem der Komplementärmethode, das durch eine dem Randder Vertiefung entsprechende in Vollraum liegende Fläche definiertwird.

Vertiefung:

Ein prismatischer Ausschnitt in einem Halbraum. Der Rand der Vertie-fung definiert den Interaktionshorizont.

Punktkraft: Linienkraft: Streifenkraft:

x

y

z x

y

z x

y

z

115

LITERATURVERZEICHNIS

[1] J. R. Apsel. Dynamic Green’s functions for layered media und applicationsto boundary value problem. Ph.D Thesis, University of California at SanDiego, La Jolla, California, 1979

[2] M. Abramovitz und I. A. Stegan. Handbook of mathematical functionswith formulas, graphs und mathematical tables. Dover, New York, 1972

[3] J. D. Achenbach. Wave Propagation in Elastic Solids. North-Holland,Amsterdam, 1973

[4] M. N. Aydinoglu. Unified formulations for soil-structure interaction. Proc.7th World Conference on Earthquake Engineering, Vol 6, pp. 121-128,1980

[5] M. N. Aydinoglu. Developement of analytical techniques in soil-structureinteraction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Devel-opements in Dynamic Soil-Structure Interaction, Kemer, Antalya, Turkey,Publisched by Kluver Academic Publischers, Dordrecht, Netherlands, 1992

[6] H. Cao and V. W. Lee. Scattering and diffraction of plane p-waves by cir-cular cylindrical canyons. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol.9, No. 3, 1990

[7] R. W. Clough. On the importance of higher modes of vibration in theearthquake responce of a tall building. Bulletin, Seismological Society ofAmerika, Vol. 45, pp. 289-301, 1955

[8] G. Dasgupta und A. K. Chopra. Dynamic stiffness matrices for viscoelastichalf planes. Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol.105, No. EM5,October 1979

[9] J. Domingues und R. Abascal. Dynamics of foundations. in C.A. Brebbia(ed.), Topics in Boundary Element Research, Vol. 4, Springer-Verlag, Ber-lin, 27-75,1987,

[10] M. Dravinski und T. K. Mossessian. On evaluation of the Green functionsfor harmonic line loads in a viscoelastic half space. International journalfor numeric methods in engineering, Vol 26, 823-841,1988

[11] A. C. Eringen und E. S. Sahubi. Elastodynamisc. Vol II, Linear Theory, Aca-demic Press, NY, 1975,

[12] Eason Fulton und Sneddon. The generation of waves in an infinite elasticsolids by variable body forces. Philosophical transactions of the RoyalSociety of London, Ser. A/245, 1955

[13] G. Fenves und A. K. Chopra. EAGD-84: A computer Program for earth-quake analysis of concrete gravity dams. Report No. UCB/EERC-84/11,Berkeley, California, 1984

116

[14] Y. C. Fung. Foundations of solid mechanics. Prentice-Hall, EnglewoodCliffs, N.J. 1965

[15] R. D. Gregory and D. M. Austin. Scattering of waves by the surface of anelastic half-space. Q. Jl Mech. appl. Math., Vol. 43, Pt. 3, 1990

[16] K. F. Graff. Wave motion in elastic solids. Clarendon Press, London, 1975

[17] A. Heck. Introduction to the Maple. Springer-Verlag, 1993

[18] T. J. R. Hughes. The Finite Element Method. Prentice-Hall, EnglewoodCliffs, N.J. 1987

[19] D. L. Karabalis und D. E. Beskos. Dynamic Soil-Structure Interaction. in D.E. Beskos (ed.), Boundary Element Methods in Mechanics. Elsevier Sci-ence Publishers, Amsterdam, 499-562, 1987

[20] T. Kundu. Computation of surface motion in a stratified half space. Ph.DThesis, University of California at Lis Angeles, Los Angeles, California,1985

[21] H. Lamb. On the Propagation of Tremors over the Surface of an ElasticSolid. Philosophical transactions of the Royal Society of London, Ser. A/203, 1904

[22] J. Lysmer und R. L. Kuhlemayer. Finite dynamic model for infinite media.Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 95, pp. 859-877,1969

[23] G.F. Miller und H. Pursey. On the partition of energy between elasticwaves in a semi-infinite solid. Proc. Royal Society of London, A233, 55-69,1954

[24] M. Sayir. Wellenausbreitung in Festkörpern. Vorlesungsunterlagen, ETHZürich

[25] M. D. Trifunac. Scattering of plane sh-waves by the semi-cylindrical can-yon. Earthquake Eng. and Structural Dynamics, Vol. 1, pp 267-281, 1973

[26] A. S. Veletsos und J. W. Meek. Dynamic behaviour of building-foundationsystems. Int. J. Earthquake Engineering and Structural Dynamics,Vol. 3, pp121-138, 1974

[27] R. Vogt. Einfluss von Tälern auf die seismischen Bodenbewegungen.Bericht Nr. 158, Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH-Zürich,Birkhäuser Verlag Basel, 1987

[28] H. L. Wong. Diffraction of P-, SV-, und Rayleigh-waves by surface topog-raphies. USC Report No. CE 79-05, 1979

[29] G. Waas. Analysis Method for Footing Vibrations through Layered Media.Ph.D Thesis, Department of Civil Engineering,University of California,Ber-keley, 1972

[30] B. Weber. Ratonal transmitting boundaries for time-domain analysis ofdam-reservoir interaction. IBK Bericht Nr. 205, Institut für Baustatik undKonstruktion, ETH-Zürich, Birkhäuser Verlag Basel, 1994

LITERATURVERZEICHNIS 117

[31] J. P. Wolf. Dynamic soil-structure interaction. Prentice-Hall, EnglewoodCliffs, N.J. 1985

[32] J. P. Wolf. Soil-structure interaction in time domain. Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, N.J. 1988

[33] J. P. Wolf. Survey and classification of computational approaches in soil-structure interaction: comparison of time- and frequency-domain analyses.Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Developements inDynamic Soil-Structure Interaction, Kemer, Antalya, Turkey, Publisched byKluver Academic Publischers, Dordrecht, Netherlands, 1992

[34] P. C. Xu und A. K. Mal. An adaptive scheme for irregulary oscillatory func-tions. Wave Motions. 7, 459-471, 1985

119

ANHANG A

A.1 Dynamische Einflußfunktionen für den Halbraum

Für eine harmonische, im Intervall gleichmäßig verteilte Streifen-kraft , die an der Oberfläche des Halbraumes angreift,ergibt sich in einem Punkt mit den Koordinaten folgende Amplitude derVerschiebung :

(A.1)

mit

(A.2)

wobei

und

Die Funktionen und (Rayleigh-Funktion) sind wie folgt definiert(s. Kapitel 5, Gl. (5.4) und (5.7)):

Bilder A.1 bis A.3 zeigen die Werte der Einflußfunktionen , und (dyna-mische Einflußkoeffizienten) in den Punkten bzw. in Funk-tion der dimensionslosen Frequenz .

b/2 x b/2# #2

p px py ,( )T5 y 0.

x 0,( )r u v,( )T5

r G pg̃xx kx( )cos g̃xy kx( )sin

g̃yx kx( )sin g̃yy kx( )cosdk

0

`

#

p5 5

g̃xxZ2

Rm--------s9kb

25

g̃yyZ2

Rm--------skb

25

g̃xyZ

Rm-------k 2k2 kb

2 2ss922( ) g̃2 yx5 5

s2 k2 ka225 s92 k2 kb

225

Z k( ) R k v,( )

Z k( )2 kb/2( )sin

pkb-----------------------------5

R k v,( ) 2k2 kb22( )2 4k2s9s25

gxx gyy gxyx 0.5b5 x 1.5b5

a0 vb/cs kbb5 5

120

Bild A.1 Einflußfunktion für und (Halbraum )


gxx a0 0.5b,( )Re

g()

Img()

a0 vb/cS5

h 050.10.25

gxx a0 1.5b,( )

a0 vb/cS5

Re

g()

Img()

h 050.10.25

gxx x 0.5b5 x 1.5b5 n 1/35 m 15,

gyy a0 0.5b,( )

a0 vb/cS5

Re

g()

Img()

h 050.10.25

gyy a0 1.5b,( )

a0 vb/cS5

Re

g()

Img()

h 050.10.25

gyy x 0.5b5 x 1.5b5 n 1/35 m 15,

ANHANG A 121

A.2 Dynamische Einflußfunktionen für den Vollraum

Für eine harmonische, im Intervall gleichmäßig verteilte Streifen-last , die auf der Geraden angreift, ergibt sich in einemPunkt des Vollraumes mit den Koordinaten für folgende Amplitudeder Verschiebung (für sind die Koordinaten mit multipliziert einzusetzen).

(A.3)

mit

(A.4)


gxy a0 0.5b,( )

a0 vb/cS5

Re

g()

Img()

h 050.10.25

gxy a0 1.5b,( )

a0 vb/cS5Re

g()

Img()

h 050.10.25

gxy x 0.5b5 x 1.5b5 n 1/35 m 15,

b/2 x b/2# #2

p px py ,( )T5 y 05

x y,( ) y 0$

r u v,( )T5 y 0, x y,( ) 12( )

r G pg̃xx kx( )cos g̃xy kx( )sin

g̃yx kx( )sin g̃yy kx( )cosdk

0

`

#

p5 5

g̃xx

Z ss9e s9y2( ) k2e sy2( )2( )2

2mskb2

-----------------------------------------------------------------5

g̃yy

Z ss9e sy2( ) k2e s9y2( )2( )2

2ms9kb2

---------------------------------------------------------------5

g̃xy

Zk e s9y2( ) e sy2( )2( )2mkb

2-------------------------------------------------- g̃yx5 5

122

Bilder A.4 bis A.6 zeigen die Werte der Einflußfunktionen , und (dyna-mische Einflußkoeffizienten) in den Punkten und

(vgl. Bild 5.5) in Funktion der dimensionslosen Frequenz.

Bild A.4 Einflußfunktionen für Vollraum für .

gxx gyy gxyr 0.5b 1.5b 2.5b, ,5

u 0 p/4 p/2, ,5

a0 vb/cs5

a0 vb/cS5

r 0.5b5 u 0 0,5

gyygxx gxy

Re g( )Re g( )

Im g( ) Im g( )

a0 vb/cS5

r 1.5b5 u 0 0,5

gyygxx gxy

Re g( ) Re g( )

Im g( ) Im g( )

a0 vb/cS5

r 2.5b5 u 0 0,5

gyygxx gxy

Re g( )Re g( )

Im g( ) Im g( )

u 05 n 1/35 m 15,( )

ANHANG A 123


a0 vb/cS5

r 0.5b5 u 45 0,5

gyygxx gxy

Re g( )

Re g( )

Im g( )

Im g( )

Im g( )

Re g( )

a0 vb/cS5

r 1.5b5 u 45 0,5

gyygxx gxy

Re g( )

Re g( ) Im g( )

Im g( )

Im g( )

Im g( )

a0 vb/cS5

r 2.5b5 u 45 0,5

gyygxx gxy

Re g( ) Re g( )

Im g( ) Im g( )

Re g( )

Im g( )

u p/45 n 1/35 m 15,( )

124


a0 vb/cS5

r 0.5b5 u 90 0,5

gyygxx gxy

Im g( )Im g( )

Re g( )Re g( )

a0 vb/cS5

r 1.5b5 u 90 0,5

gyygxx gxy

Re g( ) Re g( )

Im g( ) Im g( )

a0 vb/cS5

r 2.5b5 u 90 0,5

gyygxx gxy

Re g( )

Im g( )

Re g( )

Im g( )

u p/25 n 1/35 m 15,( )

125

ANHANG B

B.3 Formeln zur Integration von Fourier- Transformierten der Einflußfunktionen.

Die Green’schen Einflußfunktionen sind in Form eines Fourier-Integrals gegeben(vgl. Kapitel 5). Der Integrand wird abschnittsweise durch eine analytisch inte-grierbare Funktion ersetzt (vgl. Kapitel 6). Es sind im folgenden die Integrations-formeln angegeben, die bei der Auswertung der Green’schen Funktionen einer ander Oberfläche des Halbraumes angreifenden Kraft benutzt werden.

In der Umgebung der Singularität (Nullstelle der Rayleigh-Funktion)gelten folgende Formeln:

(B.5)

(B.6)

k kR5

B kb/2( ) kx( )cossink kR2

--------------------------------------------------- kd#

B/2 Si k kR2( ) b/2 x1( )( ) kR b/2 x1( )( )

B/2 Ci abs k kR2( ) b/2 x1( )( ) kR b/2 x1( )( )

B/2 Si k kR2( ) b/2 x2( )( ) kR b/2 x2( )( )

B/2 Ci abs k kR2( ) b/2 x2( )( ) kR b/2 x2( )( )sin?

1cos?

1sin?

1cos?

5

B kb/2( ) kx( )sinsink kR2

------------------------------------------------- kd#

B2 /2 Si k kR2( ) b/2 x2( )( ) kR b/2 x2( )( )

B/2 Ci abs k kR2( ) b/2 x2( )( ) kR b/2 x2( )( )

B/2 Si k kR2( ) b/2 x1( )( ) kR b/2 x1( )( )

B/2 Ci abs k kR2( ) b/2 x1( )( ) kR b/2 x1( )( )cos?

2sin?

1cos?

1sin?

5

126

Für gilt:

(B.7)

(B.8)

Die Formeln (B.5) bis (B.8) sind für den elastischen Halbraum definiert. Sie geltenaber auch für einen viskoelastischen Halbraum mit konstanter Hysteresisdämp-fung, wenn die Funktion überall weggelassen wird. In diesem Fall müs-sen und als komplexe Funktionen definiert werden (s. Anhang C).Für wird durch ersetzt, wobei . Der Beitragdes Poles muß für separat berücksichtigt werden (s. Seite 72).

Im Intervall werden folgende Ansätze benutzt:

(B.9)

(B.10)

(B.11)

x b/25

B kb/2( ) kb/2( )cossink kR2

--------------------------------------------------------- kd#

B/2 Si k kR2( )b( ) kRb( ) B/2 Ci abs k kR2( )b( ) kRb( )sin?1cos?

5

B kb/2( ) kb/2( )sinsink kR2

------------------------------------------------------- kd#

B/2 Si k kR2( )b( ) kRb( )

B/2 Ci abs k kR2( )b( ) kRb( ) abs k kR2( )b( )ln1cos?

2sin?

5

abs( )Si k( ) Ci k( )

h 0.0Þ kR kRp kR

p kR/ 1 ih15

k kR5 h 05

2kb bis `( )

A kb/2( ) kx( )cossink

--------------------------------------------------- kd#

A/2 Si k b/2 x1( )( ) Si k b/2 x2( )( )1( )

5

A kb/2( ) kx( )sinsink

------------------------------------------------- kd#

A/2 C2 i k b/2 x1( )( ) Ci k x b/22( )( )1( )

5

A kb/2( ) kx( )cossin

k2

--------------------------------------------------- kd#

B/2k k b/2 x1( )Ci k b/2 x1( )( ) k x b2 /2( )Ci k x b2 /2( )( )1( )

B/2k k b/2 x1( )( ) k b/2 x2( )( )sin1sin( )?

2?

5

ANHANG B 127

(B.12)

Für gilt:

(B.13)

(B.14)

(B.15)

(B.16)

Für setzt man: und (vgl. Anhang C, Bild C.1).

B kb/2( ) kx( )sinsin

k2

------------------------------------------------- kd#

B/2k k2 b/2 x1( )Si k b/2 x1( )( ) k x b2 /2( )Si k x b2 /2( )( )1( )

B/2k k b/2 x1( )( )cos k x b2 /2( )( )cos2( )?

1?

5

x b/25

A kb/2( ) kb/2( )cossink

--------------------------------------------------------- kd# A/2 Si kb( )?5

A kb/2( ) kb/2( )sinsink

------------------------------------------------------- kd# A/2 kb/2( ) C2ln i kb( )( )?5

B kb/2( ) kb/2( )cossin

k2

--------------------------------------------------------- kd# B/2 bCi kb( ) kb( )sin /k2( )?5

B kb/2( ) kb/2( )sinsin

k2

------------------------------------------------------- kd#

B/2 b Si kb( ) 12 kb( )cos1( )/k1( )?

5

k `→ Si k( ) p/2→ Ci k( ) 0→

129

ANHANG C

C.4 Implementierung der komplexen und Funktionen

Bei der Integration der Fourier-Transformierten der Einflußfunktion für den Halb-raum treten die Funktionen und (Integral-Sinus bzw. Cosinus) auf(vgl. Abschnitt 6.4.1). Im Bild C.1 sind diese Funktionen dargestellt. Eine detail-lierte Beschreibung dieser Funktionen findet man z.B. bei Abramovitz [2]. An die-ser Stelle werden nur die wichtigsten Definitionen angegeben.

(C.17)

Für (Materialdämpfung) werden bei der Berechnung des Integrales imIntervall die Argumente der Funktionen und kom-plex. In den wichtigsten Bibliotheken mit Fortran-Unterprogrammen (IMSL,MATH77) sind die beiden Funktionen aber nur für reale Argumente definiert. Des-halb wurden diese Funktionen für komplexe Argumente wie folgt implementiert:Für kleine Argumente werden die Reihenentwicklungen benutzt:

(C.18)

Bild C.1 Die Funktionen Si(x) und Ci(x)

Si z( ) Ci z( )

Si k( ) Ci k( )

Si z( ) t( )sint

-------------- td0

z

#5 Ci z( ) t( )cost

---------------- td0

z

#5

Si k( )

Ci k( )

k

z 0Þ

kb bis 2kb( ) Si k( ) Ci k( )

z 1#

Si z( ) 12( )nz

2n 11

2n 11( )! 2n 11( )------------------------------------------------

n 05

`

^5

Ci z( ) g z( ) 12( )n 11z

2n 11

2n( )! 2n( )-----------------------------------------

n 05

`

^1ln15 g 0.5772…5( )

130

Für Argumente werden asymptotische Approximationen angewendet [2]:

(C.19)

Die rationalen Funktionen und sind dabei wie folgt definiert:

(C.20)

(C.21)

In der komplexen Ebene gelten die folgenden Beziehungen, die ebenfalls berück-sichtigt werden müssen:

(C.22)

z 1.

Si z( ) p/2 f z( ) z( )cos2 g z( ) z( )sin25

Ci z( ) f z( ) z( )sin g z( ) z( )cos25

f z( ) g z( )

f z( ) 1z---

z4

a1z2

a21 1

z4

b1z2

b21 1---------------------------------------

5 mit

a1 7.2411635 b1 9.0685805

a2 2.4639635 b2 7.1574335

g z( ) 1

z2

-----z

4a1z

2a21 1

z4

b1z2

b21 1---------------------------------------

5 mit

a1 7.5474785 b1 12.7236845

a2 1.5640725 b2 15.7236065

Si z2( ) Si z( )25

Ci z2( ) Ci z( )2 ip25 0 z p/2,arg,( )

Ci z( ) Ci z( )5

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