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Working Paper

Berechnung von Platten und Rippenplatten nach der Methodeder endlichen Elemente

Author(s): Alberti, Giorgio F.

Publication Date: 1971

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000747229

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Berechnung von Platten

und Rippenplatten nach

der Methode der endlichen

Elemente

Giorgio F. Alberti

Oktober 1971

Bericht Nr. 39

Birkhäuser Verlag Basel Institut für Baustatik ETH Zürich

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Berechnung von Platten und Rippenplattennach der Methode der endlichen Elemente

von

Dr. sc. techn. Giorgio F. Alberti

Institut für Baustatik

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich

Zürich

Oktober 1971

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INHALTSVERZEICHNIS

Seite

1. Einleitung 8

2. Kinematische Methode der endlichen Elemente

für zweidimensionale Tragwerke 11

2.1 Lokale Steifigkeitsmatrix und Lastvektor

eines Elementes 13

2.2 Verwendete Elemente 20

2.3 Globale Steifigkeitsmatrix und globale

Belastungsmatrix 40

2.4 Lösung des Gleichungssystems und Berechnung

der Schnittkräfte 44

2.5 Verschiedene kompatible Plattenelemente 45

3. Generelle Uebersicht des Programmes 52

4. Begründung der Eingabe 56

4.1 Elementorientierte Eingabe 56

4.2 Bandförmige globale Steifigkeitsmatrix 57

4.3 Eingabeprbgramm 58

5. Globale Steifigkeitsmatrix 63

6. Lastfälle 66

7. Randbedingungen 69

8. Lösung des Gleichungssystems 72

8.1 Gauss'sches Eliminationsverfahren 72

8.2 Cholesky-Verfahren 74

9. Numerische Beispiele 77

9.1 Platte 77

9.2 Rippenplatte 79

9.3 Schiefe Plattenbrücke 81

Seite

Zusammenfassung 88

Summary 90

ResumS 92

Anhang I : Eingabebeschreibung des Programmes 134

Anhang II : Knotennumerierung und Vorzeichenkonvention 155

Nomenklatur 156

Literatur 159

VORWORT

Die Methode der finiten Elemente hat sich heute bei der

numerischen Berechnung von Problemen der Elastizitäts- und

der Plastizitätstheorie mit digitalen Rechenautomaten all¬

gemein durchgesetzt. Ihre Anwendbarkeit auf praktische

Ingenieurprobleme hängt in erster Linie von den zur Verfü¬

gung stehenden Computerprogrammen ab. Das in der vorliegenden

Arbeit entwickelte Programm "FEAPS" erlaubt die Berechnung

von allgemein begrenzten und allgemein gestützten elastischen

Platten mit und ohne Rippen. Das Institut für Baustatik

hofft, damit einen nützlichen Beitrag zur Berechnung solcher

Konstruktionen geleistet zu haben.

Die Arbeit wurde von Herrn G. Alberti als Doktordissertation

(Referent: Prof. Dr. B. Thürlimann, Korreferent: Dr. E.

Anderheggen) verfasst. Die theoretischen Grundlagen des

Verfahrens basieren zum Teil auf Arbeiten und Veröffent¬

lichungen von Herrn Dr. E. Anderheggen, der auch diese Arbeit

wissenschaftlich leitete.

Eidgenössische Technische Prof. Dr. Bruno ThürlimannHochschule - Zürich

Oktober 1971

1. EINLEITUNG

Die Berechnung von Verformungen und Schnittkräften von dünnen

Platten mit analytischen Methoden ist nur in Spezialfällen

möglich. Für allgemeine Plattensysteme werden Näherungsmetho¬

den verwendet, die meistens auf einer Diskretisation aufgebaut

sind. Die Methode der endlichen Elemente wurde für die Berech¬

nung von beliebigen zweidimensionalen, dünnen, linear-elasti¬

schen Platten und Rippenplatten verwendet. Diese wurde Ende

der fünfziger Jahre mit den Pionierarbeiten von Argyris [1,30],

Clough [2,28], Melosh [29] und Zienkiewicz [3] entwickelt.

Sie stützt sich auf die Unterteilung des Kontinuums in Teile

einfacher Geometrie. Dies erlaubt die stückweise Bildung von

anpassungsfähigen Ansatzfunktionen für die unbekannten Ver¬

formungen im Innern des Tragwerkes. Die Ansätze dienen zur

Approximation der inneren Formänderungsenergie der einzelnen

Elemente als quadratische Funktion der angenommenen Verfor¬

mungsparameter. Das elastische Potential (Formänderungsenergie)

der einzelnen Elemente wird zur Bestimmung von verallgemeiner¬

ten Spannungsdehnungsbeziehungen (Steifigkeitsmatrizen) im

lokalen elementbezogenen Koordinatensystem verwendet. Das

Potential der äusseren Kräfte kann auch durch Ansatzfunktionen

als lineare Funktion der diskreten Verformungsparameter be¬

rechnet werden. Die totale potentielle Energie des Tragwerkes

wird als Addition der, im globalen Koordinatensystem definier¬

ten, Formänderungsenergien der Elemente und der, im selben

Koordinatensystem abgeleiteten, potentiellen Energie der

äusseren Lasten bestimmt.

Die potentielle Energie eines im Gleichgewicht stehenden

elastischen Tragwerkes wird für den wirklichen Verformungs¬

zustand minimal. Die Anwendung des Minimumprinzips führt zu

einem linearen Gleichungssystem für die unbekannten Verfor¬

mungsparameter. Das entstandene Gleichungssystem kann mit

bekannten Algorithmen (z.B. Gauss'sches Eliminationsverfahren

oder Cholesky-Verfahren) gelöst werden. Die Spannungen werden

dann aus den Dehnungen bzw. aus den Verschiebungen bestimmt.

Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Programmes für

die Berechnung von beliebig begrenzten und gelagerten Platten

und Rippenplatten nach der Methode der endlichen Elemente.

Das Programm hat eine leicht verständliche Eingabe und strebt

minimale Rechenzeiten an. Im Gegensatz zu den bis jetzt be¬

kannten Programmsystemen wurde eine elementorientierte Eingabe

gewählt. Die Elementanordnung basiert auf sich wiederholenden

Elementtypen fester Geometrie, die kolonnenweise angegeben

werden. Die Randbedingungen und die Belastungsgrössen werden

ebenfalls elementorientiert spezifiziert. Die Knotennumerierung

bei den Elementen und Verformungsparametern ist so gewählt,

dass schmale, bandförmige globale Steifigkeitsmatrizen ent¬

stehen. Diese Anordnung minimalisiert die Rechenzeit zur

Auflösung des Gleichungssystems.

Für die vorliegende Arbeit werden die folgenden Elemente

verwendet:

a) Dreieckige und viereckige Plattenelemente mit

18 bzw. 24 Verschiebungsparametern, basierend auf

einem Polynom 5. Grades als Verschiebungsansatz.

b) Dreieckige und viereckige Scheibenelemente mit

18 bzw. 24 Verschiebungsparametern, gestützt auf

einem Polynom 3. Grades als Verschiebungsansätze.

c) Exzentrische Balken (Rippen) mit polynomischen

Verschiebungsansätzen 5. Grades für die Verschiebung

senkrecht zur Plattenebene und 3. Grades für die

Verschiebung in Längsrichtung.

-10-

Im nächsten Kapitel wird eine Uebersicht über die mathe¬

matischen Grundlagen der Methode der endlichen Elemente

gegeben, und es werden gleichzeitig die verwendeten Elemente

beschrieben. Im folgenden dritten Kapitel wird das Programm

FEAPS in seinem Aufbau und in seiner möglichen Verwendung

betrachtet. Nach der Begründung der getroffenen Wahl einer

elementorientierten Eingabe und einer speziellen Element¬

unterteilung der zu berechnenden Tragwerke (Kap. 4), wird

die Aufstellung des linearen Gleichungssystems (Kap. 5, 6

und 7) beschrieben. Im achten Kapitel wird die Lösung des

Gleichungssystems besprochen. Das neunte Kapitel stellt

die untersuchten Platten und Rippenplatten zusammen.

-11-

KINEMATISCHE METHODE DER ENDLICHEN ELEMENTE

FUER ZWEIDIMENSIONALE FLAECHENTRAGWERKE

Die Theorie der dünnen Platten mit kleiner Durchbiegung aus

linear-elastischem Material (Theorie 1. Ordnung) stellt die

Grundlage für die folgenden Ausführungen dar.

Die Methode der endlichen Elemente stützt sich auf die Unter¬

teilung des Kontinuums in Elemente einfacher Geometrie (z.B.

Dreiecke oder Vierecke). Für jedes Element wird eine Anzahl

Verformungsparameter für eine bestimmte Knotenanordnung ge¬

wählt. Die Verformungsparameter stellen die, den Verschie¬

bungsansätzen opi(x,y) entsprechenden Amplituden im Innern

des Elementes dar. Der Verschiebungsansatz beschreibt den

Verformungszustand des Elementes in Funktion der Knoten¬

verformungsparameter. Er stellt als solcher eine Diskreti¬

sation des Verschiebungszustandes dar. Die für die Ver¬

schiebungsansätze verwendeten Funktionen sind meistens

Polynome in den kartesischen Koordinaten x und y oder in

"natürlichen" dimensionslosen Dreieck- oder Viereckkoordi¬

naten. Die letzteren basieren auf Abständen von den Seiten.

Felippa [20], Zienkiewicz [3] und Argyris [15] haben "natür¬

liche" dimensionslose Koordinaten systematisch angewendet.

Durch Integration innerhalb jedes Elementes werden das elasti¬

sche Potential U, das Potential der äussern Kräfte V, als

quadratische beziehungsweise lineare Funktion der Verformungs¬

parameter, und damit die lokale Steifigkeitsmatrix und der

lokale Lastvektor bestimmt. Die Steifigkeitsmatrix und der

Lastvektor des aus Elementen zusammengesetzten Tragwerkes

werden durch die Summe über alle Elemente der entsprechenden

Formänderungsenergien und der Potentiale der äussern Kräfte

-12-

berechnet. Die Anwendung des Minimumprinzips der poten¬

tiellen Energie liefert ein lineares Gleichungssystem für

die unbekannten Verformungsparameter. Die Spannungen folgen

aus den Dehnungen bzw. aus den Verschiebungen.

Bei der Annahme der Verformungsparameter und der Verformungs¬

ansätze müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

a) Kinematische Kontinuitäts- und Randbedingungen entlang

den Rändern der Elemente dürfen nicht verletzt sein.

Die angenommenen Ansatzfunktionen müssen dann entlang

den gemeinsamen Seiten von zwei benachbarten Elementen

Verformungen aufweisen, die nur von den Parametern dieser

Seiten abhängig sind. Für die Verschiebungen der Scheiben¬

elemente in der Ebene des Elementes entstehen in der Regel

keine Schwierigkeiten, weil einfache Kontinuität notwendig

ist. Für die Plattenelemente sind nicht nur die gleiche

Verschiebung senkrecht zur Plattenmittelebene der an¬

grenzenden Seiten zweier Elemente notwendig, sondern

auch gleiche Werte für die Verdrehungen normal zu den

gemeinsamen Elementseiten, Eine gewisse Anzahl externer

Verformungsparameter muss deswegen auf den Rändern der

Elemente gewählt werden. Interne Verformungsparameter

werden in gewissen Fällen zusätzlich, für eine bessere

Erfassung des Gleichgewichtes, eingeführt.

b) Starrkörperverschiebungen dürfen keine Dehnung (und des¬

wegen keine Spannung) verursachen, d.h.: wenn die Knoten¬

verformungen einer Starrkörperverschiebung entsprechen,

muss die Verformungsenergie des Elementes identisch Null

sein.

-13-

c) Zustände konstanter Dehnung müssen möglich sein. Beim

Verfeinern der Elementmaschen nähern sich die Element¬

verformungen Zuständen konstanter Dehnung. Deswegen müssen

diese Zustände in den Ansatzfunktionen enthalten sein. In

diesem Falle, wenn die Verformungsparameter einen konstan¬

ten Dehnungszustand beschreiben, sollen die Dehnungen im

Innern des Elementes konstant sein.

d) Die Ansatzfunktionen sollten invariant bezüglich einer

Aenderung des globalen Koordinatensystems sein. Diese

Eigenschaft wird durch die Verwendung von natürlichen

Koordinaten automatisch erfüllt. Ansatzfunktionen in

Form von bis zu einem bestimmten Grad vollständigen

Polynomen erfüllen ebenfalls diese Bedingung.

2.1 Lokale Steifigkeitsmatrix und Lastvektor eines Elementes

Der lokale Verschiebungszustand |v(x,y)j eines Scheiben¬

oder Plattenelementes kann durch die folgende Beziehung

zwischen der Matrix pKx.yjJ, der angenommenen Ansatzfunk¬

tionen und dem Vektor |fe|der Verformungsparameter beschrieben

werden:

{v(x,y)} =[3>(x,y)]-{fe} d)

Für die Ansatzfunktionen werden meistens polynomische Funktionen

verwendet, welche am besten mit Hilfe von natürlichen, dimen¬

sionslosen Koordinaten (z.B. £ , £ ,£ für Dreieckkoordi¬

naten) formuliert werden.

-14-

Die Beziehungen zwischen den erwähnten Koordinaten und den

karthesischen x- und y-Koordinaten sind von Felippa [20] und

Ergatoudis [26] angegeben worden. Die Dehnungen können auch

in Funktion der angenommenen Ansatzfunktionen berechnet

werden:

(6(x,y)} = [A<J>(x,y)]-{fe} (2,

Die Matrix [A$(x,y)J entsteht aus der Matrix [$(x,y)Jdurch Anwendung der, aus der Theorie der Flächentragwerke

[6,7], bekannten Beziehungen zwischen Dehnungen und Verfor¬

mungen. Die folgende Gleichung gibt die linear-elastischen

Spannungsdehnungsbeziehungen an:

{a(x,y)} = [D]-{€(x,y)} (3)

Die Matrix [D] enthält die Elastizitätskonstanten des ange¬

nommenen Materials. Die lokale Elementsteifigkeitsmatrix [k]

stellt die Beziehung zwischen verallgemeinerten Kräften und

Knotenverformungen dar. Seine Definition folgt aus der Be¬

ziehung für das elastische Potential U:

F F

-15-

U ist die Formänderungsenergie des Elementes für einen vom

Vektor |fej definierten Verschiebungszustand.|e| und |o-jsind Vektoren der Dehnungen und der entsprechenden Spannungen.

Die lokale Steifigkeitsmatrix eines Elementes ist durch die

folgende Beziehung gegeben:

[k] = ff [&&]'¦ [ü]-[tä] ¦ dF es)

F

Für die Bestimmung des lokalen Belastungsvektors |p| in¬

folge allgemeiner äusserer Lasten |p (x , y )| verwendet man den

Ausdruck für das Potential V der äusseren Kräfte:

V = -JJ{v(x,y)}t-{p(x,y)}- dF C6)

Durch die Einsetzung der Beziehung (1) folgt:

V=-{'e},-//[*]'{p}dF=-{fe},{p}

Der lokale Lastvektor |p| ist:

{p} -/ZK' {p}dFF

Der Vektor |p| stellt die "konsistenten", für eine allgemeine

Belastung |p(x,y)| entstandenen, den Verformungsparametern

entsprechenden Knotenbelastungen dar. Analoge Lastvektoren

können für Anfangsdehnungen (z.B. infolge Schwinden) definiert

werden.

-16-

Die Gleichungen (1) bis (8) dienen zur Berechnung des elasti¬

schen Potentials und des Potentials der äusseren Kräfte eines

Elementes mit Hilfe von Verschiebungsansätzen. Analog kann

man auch das elastische Potential mit Dehnungsansätzen berech¬

nen. Dieses Vorgehen hat den grossen Vorteil, dass man eine

geometrieunabhängige Integration, bis auf einige Materialkon¬

stanten und bis auf die Plattendicke, der Elementsteifigkeits¬

matrix [k£ ] für die gewählte Anordnung der diskreten Deh¬

nungsparameter |e| durchführen kann.

Diese Integration kann deswegen einmal für alle Elemente er¬

folgen. Die weiteren Vorteile bestehen im niedrigeren Grad

der Interpolationspolynome für die Dehnungsparameter (im

Falle der Scheibe ist der Grad um Eins und im Falle der

Platte um Zwei kleiner als der Grad der Polynome für die

Verschiebungsansätze) und im Fehlen der Bedingung der kine¬

matischen Zulässigkeit für den Vektor |€|der allgemeinen

Dehnungen. Die Gleichung (2) kann analog für die diskreten

Dehnungsparameter geschrieben werden:

{«}*[¦*]•{«} (9)

Aehnlicherweise zur Gleichung (4) kann man die Steifigkeits¬

matrix für die Dehnungsparameter definieren. Das elastische

Potential U des Elementes, mit Berücksichtigung der Gleichung

(9) wird:

U =1//{,}'H •dF=i-{c-}'//[*€] • [D]{*e] ¦ dF{*}F F

=-H*}*N-{*}

-17-

Daraus ergibt sich die lokale Steifigkeitsmatrix des Elementes

für die gewählten diskreten Dehnungsparameter zu:

[K] = //[*<]' [D] ¦[«*]¦ dF ,..)

Die Steifigkeitsmatrix für die benützten Verformungsparameter

(fe| im lokalen Koordinatensystem entsteht aus [k€ ] durch

eine kongruente Transformation. Die Transformationsmatrix [T]

der Verschiebungsparameter in die Dehnungsparameter ist mei¬

stens relativ leicht aufzustellen:

{*}=[T].{r}

Aus der Definition des elastischen Potentials U folgt:

^W'N'W4{1'[1'N[1M-

-m^-w-k}(13)

Die kongruente Transformation der Steifigkeitsmatrix von den

Dehnungsparametem zur Steifigkeitsmatrix der Verformungs¬

parameter ergibt sich zu:

[K] =[T]'.[K«].[T]

-18-

Der Vektor yr> der allgemeinen Spannungen wird mit den

Gleichungen (3), (9), (12) definiert:

[«r] =[D]-H=[DH4W =»]'(1=i1 "»

Die Matrix [s] ist die Spannungsmatrix:

[.]=[D]-K]-[T] (16)

Die "Kondensation" der internen Verformungsparameter eines

Elementes wird anschliessend beschrieben. Sie wurde von

Felippa [20] ausführlich behandelt. Das Minimumprinzip der

potentiellen Energie kann für die inneren Verformungspara¬

meter |fj| eines Elementes angewendet werden, bevor die

globale Steifigkeitsmatrix zusammengesetzt wird. Das ist

möglich, weil die internen Verformungsparameter keinen Ein-

fluss auf die nebenliegenden Elemente haben. Die potentielle

Energie eines belasteten Elementes ist:

7T=U+V=

kjj i kje

I

kei | kee

• «

'fi", _•

V t

. . .

Pi

A fe Pe^ J

-19-

{fef sind die "externen", den Randverformungen entsprechen¬

den Parameter, {pe} die dazugehörigen Belastungen und Ipjjder Vektor der "internen" Belastungen, entsprechend den "in¬

ternen" Verformungsparametern if\\ . Die symmetrische Stei¬

figkeitsmatrix des Elementes wurde in vier Untermatrizen,

entsprechend den "internen" und "externen" Verformungspara¬

metern, getrennt. Die Anwendung des Minimumprinzips der

potentiellen Energie auf die "internen" Verformungsparameter

gibt:

|-ri]'WMl}-W = 0

{fi} kann jetzt in der Beziehung für TT eingesetzt werden

und man bekommt eine Beziehung der Form:

'¦i{f.}'HW-W'{p}

worin die "kondensierte" Steifigkeitsmatrix

[k] = [kee] - [kei]-[ku]~1- [kie]

und der "kondensierte" Lastvektor

{P}= {Pe}- [kei]'[kii]"1{Pi}

-20-

die angegebene reduzierte Form erhalten. Die "internen" Ver¬

formungsparameter werden eliminiert und deswegen wird das

globale Gleichungssystem reduziert ohne Aenderung des Trag¬

verhaltens des idealisierten Systems.

2.2 Verwendete Elemente

2.2.1 Plattenelemente DRPL21, DRPL18, VKPL24

Da die Plattenstärke klein ist gegenüber den anderen Ab¬

messungen, kann man annehmen, dass die Punkte auf einer

Normalen zur Mittelebene der Platte auch nach der Verformung

auf einer Normalen zur deformierten Mittelfläche liegen.

Weil die Durchbiegungen klein sind, kann man die Verformung

der Mittelebene der Platte vernachlässigen. Diese von Kirch¬

hoff eingeführten Hypothesen haben zur Folge, dass die Ver¬

formung der Platte durch die vertikale Durchbiegung der

Mittelebene vollständig beschrieben ist. Es folgt nun die

mathematische Formulierung dieser Bedingungen für die Ver¬

schiebung w senkrecht zur Mittelebene der Platte und die zwei

Verschiebungen u und v in der Ebene der Platte:

w(x,y,z )= w(x,y)

v(x,y,z) = -z--|^-=-z-w,y d7)

uU,y,z) =-z-ff =

-z-w,x

Die Dehnungen der Platte ergeben sich mit Berücksichtigung

der Gleichungen (17) wie folgt:

-21-

= -z- WXX

- -z •w>yy

a2w

<3xr3y= ¦-2- Z'•w

i.xy

-dii

_dw

x

"

öx öx2

jr3v__

dwey

"

dy" Z

'

dy2

W dy dx<LZ

Die Dehnungen €z , £yz , €xz und die entsprechenden

Spannungen verschwinden.

Die Momente für eine Platte mit Dicke t sind wie folgt

definiert:

+t/2 +t/2

Mx = /crx-z-dz My = fay z-dz-t/2+t/2

Mxy = / rxy•

z• dz

(18)

-t/2

-t/2+t/2

(19)

Für die Plattenelemente und für das angenommene linear-elasti¬

sche, orthotrope Material folgt aus den Gleichungen (3), (17)

und (18) die Gleichung (20). Sie stellt eine Verallgemeinerung

der Gleichung (3) dar, und sie zeigt die Beziehung zwischen

den verallgemeinerten Dehnungen wxx ,

wyy ,

wxy

und den

verallgemeinerten Spannungen Mx , My und Mxy .

-22-

M„

M,

Mxy

Pl1 P12 °

P12 P22 0

0 0 P33

w xx

W.yy

w,xy

(20)

Für isotropes Material und konstante Plattendicke t ergeben

sich die folgenden Koeffizienten für die obere Gleichung:

P11=

R22E- t;

12 (1-zr2)

p33 Ml-irVpu

P12= ^"Pn

(21)

worin V die Poisson'sche Zahl und E der Elastizitätsmodul

sind. Für Plattenelemente berechnet man die Formänderungs-

energie wie folgt:

U =\ ff (wiXX-Mx+ w,yy-My + 2-w,Xy-Mxy)-dF ^

Die Momente sind durch die Beziehung (20), (21) von den

Krümmungen abhängig.

Das verwendete dreieckige Plattenelement DRPL21 (21 Verfor¬

mungsparameter) basiert auf der Annahme eines vollständigen

-23-

Polynoms 5. Grades als Durchbiegungsfunktion. Dieses Element

wurde von mehreren Autoren beschrieben und programmiert [34,

32, 35, 36, 20, 23, 58]. Bell [35] hat dieses Element ohne

Anwendung von natürlichen Koordinaten programmiert. Die Rechen¬

zeit (CP-Zeit) für die Berechnung der Steifigkeitsmatrix eines

Dreieckelementes ist deswegen gross. Anderheggen [32] hat

durch Anwendung von natürlichen, dimensionslosen Dreieck¬

koordinaten die Rechenzeit gegenüber Bell stark reduziert.

Sein Algorithmus benötigt keine Matrizeninversion. Die Ma¬

trizen und Vektoren, die mit diesen Koordinaten hergeleitet

werden, sind von Geometrie und Materialeigenschaften weit¬

gehend unabhängig, so dass viele Berechnungen nur einmal für

alle Elemente gemacht werden müssen. Die Tabelle 2.2.1.1

stellt diese Angaben zusammen.

Programm -

SpeicherlängeAnlage Rechenzeit (Sek.)

Anderheggen [32] 1100 Wörter

(1 Wort = 60bits)

CDC-6500 0.17

(inkl. Lastvektoren)

Bell [35] UNIVAC-1107 2.70

Butlin [58] 64000 bytes

(1 byte = 8 bits)

IBM 360-75 0.12

Tabelle 2.2.1.1 : Berechnung der Steifigkeitsmatrix des Elementes DRPL21

Anderheggen [32] entwickelte gleichzeitig Viereckelemente

VKPL24, bestehend aus vier Dreiecken DRPL21 mit "konden¬

sierten" inneren Verformungsparametern und Elimination der

vier äusseren Verdrehungen in Seitenmitte.

-24-

Die Verträglichkeit der Verformungen muss in den Berührungs¬

flächen und im Innern des Elementes gewährleistet sein. Der

angenommene Verschiebungsansatz für w im Innern des Elementes

muss kontinuierlich und kontinuierlich differenzierbar sein.

Die Hauptschwierigkeit bei den Plattenelementen liegt in der

kinematischen Verträglichkeit der Durchbiegung und ihrer

ersten Ableitung normal zu den Rändern von benachbarten end¬

lichen Elementen. Für die Ränder verlangt man kontinuierliche

Durchbiegung w sowie auch kontinuierliche Verschiebung u und

v an zwei angrenzenden Elementen. Die erste Bedingung ist bei

den Elementen DRPL21 und DRPL18 erfüllt. Die Durchbiegung w

entlang einer Seite ist durch die Verschiebung w, die Ver¬

drehung w und die Krümmung w (der Index p steht für>P »PP

parallel zur Seite) an beiden Enden der Seite als Polynom

5. Grades vollständig bestimmt. Die Verschiebungen u, v (in

x- und y-Richtung) der Punkte ausserhalb der Mittelfläche

der Platte und in den gemeinsamen Randflächen von zwei Ele¬

menten müssen für beide Elemente gleich sein. Die Kirchhoff'

sehen Annahmen (17) zeigen eine direkte Abhängigkeit der

Verschiebungen u , v von den Verdrehungen W)X ,w„ . Für

die kinematische Kompatibilität der Plattenränder verlangt

man deswegen gleiche Normalverdrehung der Seite für die an¬

grenzenden Elemente. Die Normalverdrehung wn muss durch die

Werte der Seitenverformungsparameter vollständig bestimmt

sein. Für das DRPL21-Element hat man für die Normalverdrehun¬

gen entlang einer Seite ein Polynom 4. Grades. Für ihre ein¬

deutige Bestimmung braucht man fünf Parameter. Weil die Ver¬

drehung v»7n und die Krümmung wjnp an beiden Seitenenden

bekannt sind, fehlt ein zusätzlicher Verformungsparameter.

Als fünfter Parameter wird die Verdrehung normal zur Seiten¬

mitte gewählt. Die drei Verdrehungen in Seitenmitte werden

beim Element DRPL18 eliminiert, indem verlangt wird, dass die

Ableitung der Durchbiegungsfunktion in Normalrichtung entlang

-25-

den drei Seiten eine Funktion 3. Grades (und nicht 4. Grades

wie beim Element DRRL21) ist. Der Vektor der Verschiebungs¬

parameter reduziert sich von 21 auf 18 Parameter.

Für die Vollständigkeit des Verschiebungsansatzes wird ver¬

langt, dass alle Starrkörperverschiebungen und Zustände kon¬

stanter Dehnung im Verschiebungsansatz enthalten sind. Für

die verwendeten Plattenelemente DRPL18 bedeutet dies, dass

im Polynom der Durchbiegungsfunktion w(x,y) die Terme

1,

x, y (Starrkörperverschiebungen) und xy ,

x2, y2

(Zustände konstanter Dehnung £x ,ey , yiXy bzw. konstanter

Krümmungen aus den Gleichungen (18)) enthalten sind.

Die Entwicklung der Steifigkeitsmatrix und der konsistenten

Lastmatrix des von Anderheggen [32] programmierten Platten¬

elementes DRPL21 werden im folgenden Teil kurz zusammenge-

fasst. Im Bilde 2.3 sind die verschiedenen benötigten Ko¬

ordinatensysteme zusammengestellt. Die angenommenen Knoten¬

anordnungen und zugehörigen Numerierungen sowie die ent¬

sprechenden Interpolationspolynome sind der Veröffentlichung

von Felippa [20] entnommen worden. Der Ansatz für die Durch¬

biegungsfunktion ist ein vollständiges Polynom 5. Grades in

x und y mit 21 Termen. Die Krümmungen sind nach der Platten¬

theorie die zweiten Ableitungen der Durchbiegung. Sie werden

als voneinander unabhängige Feldvariablen betrachtet. Die

Interpolationspolynome für die Krümmungen im kartesischen

Koordinatensystem wxx , wyy ,wxy sind Polynome 3. Grades

mit je 10 Termen. Für die unabhängig voneinander angenommenen

kartesischen Krümmungsfeldvariablen sind die kubischen Inter¬

polationsfunktionen in natürlichen Dreieckkoordinaten für

die 10 Knoten des Bildes 2.3.C bekannt (Felippa [20]). Mit

diesen Interpolationsfunktionen werden die Krümmungsfeider

als Funktion der diskreten Krümmungsparameter der gewählten

-26-

Knotenanordnung bestimmt. Man kann auf Grund dieser Annahmen

die Steifigkeitsmatrix [kvl für die diskreten Krümmungspara¬

meter ableiten. Sie ist bis auf einige Faktoren unabhängig

von der Geometrie und den Materialeigenschaften des Elementes.

Eine kongruente Transformation der Steifigkeitsmatrix [kxjliefert dann die für die Verformungsparameter des Dreieckes

DRPL21 gebrauchte Steifigkeitsmatrix [k]. Definiert werden

zuerst die benötigten Vektoren (s. Bild 2.3):

Krümmungsvektoren im kartesischen Koordinatensystem:.

[Xk}f1x30 = <Wa,xx-"WjiXX i WQiyy---Wjiyy ! WQ)Xy--WjjXy>

Krümmungsvektoren im schiefen Koordinatensystem:

Us}\x30

= <wa,occx--wj,acxi %,ßß-^Ußß ! ™apß"

wj^ >

Verschiebungsvektoren im kartesischen und schiefen

Koordinatensystem:

{rk}f1x21 = <W1 W1,x W1,y W1,xx W1,yy W1,xy ! W2''

^,xy !

W3-W3,xy i-W12,n "W23,n +W31,n >

{rs} 1x21= <W1 W1,cx w1,/3 w1,cxoc w1,flS w1A/9 i W2

""

w2pc/3!W3" ^3,003 i (W12,cx +

«12.0 > W23,cx W31,/3 >

{^1x21 = <(W12,oc- W12,/3) W23>/S W31i0( >

-27-

Zu den sechs diskreten Verschiebungsvariablen der drei Ecken

kommen noch drei Rotationen in Normalrichtung in der Mitte

der Seiten des Dreieckes. Die Vorzeichenkonvention der Ver¬

formungsparameter in Seitenmitte ist die folgende: Eine

positive Rotation +w erzeugt positive Durchbiegungen im

Innern des Elementes.

Aus der Definition der elastischen Formänderungsarbeit U

erhält man eine den Krümmungsparametern entsprechende Steifig¬

keitsmatrix. Nach Gleichung (22) gilt:

u = T-IT(w,xx-Mx+wyy-My + 2-wxy-lv1xy)'dF =

= "2'Wt1x30' |>]30x30 'W

(23)

30x1

Die Interpolationsfunktionen 3. Grades in natürlichen, dimen¬

sionslosen Dreieckkoordinaten £i , C2'^3 nach der Knoten¬

anordnung des Bildes 2.3.C sind (Felippa [20, Seite 29]):

faX*i=^3£r1)(3£i-2)£^^

2=3 =2C ° C(24)

J10x1

9£iÖ3C-1)| 95,^(3^-1)1 9y3(3C2-1)i

9^3^-1)19£A(3fe 1)| 9^(3^-1)!

54&fefe>

Für die allgemeinen Krümmungsfeldvariablen kann man schreiben:

-28-

M=W,xx '44 0 0

Wyy= 0 44 0

w,xy 3x10 0 <«

W 30x1(25)

3x30

Die Momentkrümmungsbeziehungen (20) sind bekannt. Die

Gleichungen (20), (23) und die folgenden (24), (25) liefern

die Elementsteifigkeitsmatrix für die diskreten Krümmungs¬

parameter:

h)

Pn• M j Pi2* m

P12" W~jP22-Wo 0

0

~0

2-P33 M

F

30x30

(26)

F ist die Fläche des Elementes. Die Matrix I V' J10 x 10

ist eine numerische Matrix, deren Elemente den folgenden

Wert haben:

^ =T'/Ai'^-dF (27)

wobei:

-29-

/Trp-£q-/:r-dF= 2!P1q|r! -f (28)JJ M *2*3ar

2+D+a+r)!h

Die durch Integration abgeleitete Matrix [ty \ i-st von

Felippa [20, Seite 35] gegeben.

Die Steifigkeitsmatrix [k^l wird dann durch eine kongruente

Transformation auf die 21 Verformungsparameter des Dreieck¬

elementes DRPL21 zurückgeführt:

Mzi,2i= W-W-m (29)

Die Plattenelemente DRPL21, DRPL18, VKPL24 haben den Vorteil

einer einfachen Berechnung der Momente in den Ecken, da die

drei Krümmungen wxx , wyy , wxy als Verformungsparameter

der Ecken direkt vorhanden sind. Diese drei Verformungspara¬

meter haben aber auch den Nachteil, dass sie in den Ecken

kontinuierlich sind. Das führt zu Fehlern bei aufliegenden

und eingespannten Rändern an einspringenden Ecken und bei

diskontinuierlicher Matrix [D] der Spannungsdehnungsbeziehun-

gen, (s. Gleichung (3)).

2.2.2 Elastisch aufgelagertes, viereckiges Plattenelement

Mit diesem speziellen Element kann man Stützen und Fundament¬

platten auf einem elastisch senkbaren Boden (nach der Bettungs¬

ziffertheorie [8,39]) behandeln. Der Fall der Platte auf frei

drehbaren, elastisch senkbaren oder festen Stützen kann eben¬

falls untersucht werden. Anderheggen [32] gibt den ent-

-30-

sprechenden Algorithmus. Angenommen wird, dass die Stütze

einen gleichmässig verteilten Druck s auf das Element ausübt.

Analog zur früher beschriebenen "Kondensation" (s. Abschnitt

2.1) kann man eine erweiterte Form der potentiellen Energie

V* angeben:

»=TT

-

4-T -(F.ctf + Q ff UI-HF (3°)TT' -

TT

-

-J 'CS'(F*S)2+ sffvJ'ÖF

c ist die Federkonstante des Stützenelementes (Verschiebung

infolge Krafteinheit), und F ist seine Fläche. Die zwei

Summanden stellen die Formänderungsarbeit der Stütze und

die Arbeit des gleichmässigen Stützendruckes s für die

Plattendurchbiegung w dar. Durch die Nullsetzung der par¬

tiellen Ableitung nach s des Ausdruckes für 7T*folgt:

|f*=-cs-F2-s*//wdF=0 (31)

oder:

Cs-F-s = -jr-jfjf w-dF = 8

(F.s) ist die StUtzenkraft und 8 die durchschnittliche

Durchbiegung.

Anderheggen [32] zeigt die Herleitung von verallgemeinerten

kondensierten Matrizen (z.B. die Steifigkeitsmatrix) und

Vektoren, die die Federkonstante cg berücksichtigen. Für

cs unendlich gross bekommt man das normale Viereckelement

und für cg gleich Null ein unsenkbares, jedoch biegsames

StUtzenelement.

-31-

2.2.3 Scheibenelemente DRSC21, DRSC18, VKSC24

Zwei vollständige Polynome 3. Grades in x und y werden als

Verformungsfunktionen u(x,y) , v(x,y) in x- und y-Richtung

angenommen. Jedes Polynom hat zehn Terme. Das Dreieckelement

muss deswegen zwanzig Verformungsparameter haben. Mehrere

Autoren [20, 21, 37, 38] haben ähnliche Scheibenelemente

beschrieben. Anderheggen [32] beschrieb und programmierte

das benützte dreieckige Scheibenelement DRSC18. Die sechs

Verformungsparameter in den drei Ecken des Dreieckes sind

die Verschiebungen u, v in x- und y-Richtung, die Dehnungen

ux , Vy die Schiebung y= uy + v„ und die Rotation

der Ecke iti = V2 lu,y + v,x) um eine Axe senkrecht zur Ebene

der Scheibe. Zusätzlich zu den 18 externen Verformungspara¬

metern der Ecken kommen noch zwei interne Verformungspara¬

meter. Anderheggen hat als interne Parameter an Stelle der

Schwerpunktverschiebungen u, v die folgenden Integrale ein¬

geführt:

ff U'dx-dy jjvdx-dy (32>

Diese zwei Parameter können durch "Kondensation" eliminiert

werden. Achtzehn Verformungsparameter (6 für jede Ecke) bleiben

dann für das DRSC18-Scheibenelement übrig.

Für die verwendeten Scheibenelemente und für orthotropes

Material erhält man die Normalkräfte durch die folgenden

Beziehungen:

-32-

"nx"

Ny . =

Nxy* >

s11 s12 °

s12 s22 0

0 0 S33

",y

(U,y + Vx)

(33)

worin:

ux=

£x ; vy=

6y und (Uy + viX) =/(Schiebung)

Für eine konstante Scheibendicke t und isotropes Material

bekommt man folgende Koeffizienten für ebene Spannungs¬

probleme (o-z = 0, ez ^ 0):

S11- S<-

E- t

'11 =22 [y_^'12 S11

*

*

(34)

S33~ S11= G't

Für ebene Dehnungsprobleme €z=

Oj crz ± 0 gelten die

folgenden Koeffizienten:

-33-

S11=

S22E-t-Q-z/)

(1 + ^)(1-2'ZJ)

zr-E-ts

- (35)12

(1 + P)-(1-2-ir)

S33"

2(1 + if)" b T

wobei E der Elastizitätsmodul, G der Schubmodul und V die

Poissons"sehe Zahl sind.

Für Scheibenelemente folgt die Formänderungsenergie als:

U = \ J7(€*-Nx +VNy + /'Nxy) 'dF < 36)

Die Gewährleistung der kinematischen Verträglichkeit verlangt

die Kontinuität der Verschiebungen für die Ränder von zwei be¬

nachbarten Elementen. Im Innern des Elementes sind die Ver¬

schiebungsansätze (Polynome 3. Grades in x und y) kontinuier¬

lich. Die Kontinuitätsbedingung bei den Rändern verlangt die

eindeutige Bestimmung der Verschiebungen der Ränder durch die

Verformungsparameter derselben. Das Polynom 3. Grades verlangt

vier Verformungsparameter pro Seitenverschiebung. Die Ver¬

formungsparameter der zwei Ecken der Seite enthalten eine Ver¬

schiebung (u bzw. v) und eine Dehnung (aus der Kombination von

-34-

u und u bzw. v und v ), sodass die Verschiebungen>x ,y ,x ,y

längs der Ränder durch die Verformungsparameter der Ecken

vollständig bestimmt sind. Die Starrkörperverschiebungen und

die Zustände konstanter Dehnung für die Vollständigkeit des

Verschiebungsansatzes sind durch die Terme 1,

X, y des

Interpolationspolynoms 3. Grades der DRSC18-Elemente gewähr¬

leistet.

Die Ableitung der Steifigkeitsmatrix und der Lastmatrizen

des Scheibenelementes DRSC18 wird im folgenden Teil be¬

schrieben. Die Koordinatensysteme des Bildes 2.3 (a,b)

gelten auch für dieses Element. Die Ansätze für die Ver¬

schiebungen u, v sind vollständige Polynome 3. Grades in

x und y. Die Dehnungen entstehen aus den ersten Ableitungen

der Verschiebungen u und v.

Für die Beschreibung der unabhängig voneinander angenommenen

Dehnungsfeldvariablen in Funktion der diskreten Dehnungs¬

parameter der Knotenanordnung nach Bild 2.3.b werden Inter¬

polationsfunktionen zweiten Grades in natürlichen Dreieck¬

koordinaten verwendet. Die Steifigkeitsmatrix für die dis¬

kreten Dehnungsparameter [k€] ist bis auf einige Faktoren

von der Geometrie und von den Materialeigenschaften unab¬

hängig. Eine kongruente Transformation der Steifigkeitsmatrix

[k€] gibt die für die 20 diskreten Verschiebungsparameter des

Dreieckes gesuchte Steifigkeitsmatrix [k].

Die "Kondensation" der zwei inneren Verformungsparameter

führt zur Steifigkeitsmatrix des Scheibenelementes DRSC18.

Die Knotenanordnung des Bildes 2.3.b für die Plattenelemente

wird für die diskreten Dehnungsparameter des Scheibenele¬

mentes benutzt. Definiert werden die folgenden Verschiebungs¬

vektoren nach Bild 2.3.b im kartesischen Koordinatensystem:

-35-

Wix20 = <77"»->-dx-dyijfy*vdx-dy i u1 ^ u1jX v1t)

/, cü1ju2 ••• oj2i u3---oj3>

und im schiefen Koordinatensystem;

WLrT <ffü'**'äfa VÜ1,* i Ü2 Ü2jOC ü2>^ j1x20

v2.» v2?ö; v \ß>~- <üs i vsf>

Die oberen Striche bezeichnen die Verschiebungen im schiefen

Koordinatensystem. Die Numerierung 1 bis 3 entspricht den

Ecken des Dreieckes.

Die Vektoren der diskreten Dehnungsparameter für das Knoten¬

system a bis f (entsprechend den Knoten 1 bis 6 des Bildes

2.3.b) folgen im kartesischen Koordinatensystem:

klk18

= <Uq,x UbtX..¦

UfiX i VQiy•••

Vf>y j

Xa •••/f>=<€xtki eyV \yl>

{€s}1x24 = <Qa,a ÜQwgi ÜbiCX übtß\ • • • j üf(CX UUß j

= <4 i 4s>

-36-

Die elastische Formänderungsarbeit U als Funktion der karte¬

sischen Dehnungen ist nach Gleichung (36):

U =i-//(€x-Nx+€y.Ny+/-Nxy)-dF =

= T'Kr1x18 * Lke]18x18 '{£k}18x1(37)

Die Interpolationsfunktionen zweiten Grades in natürlichen,

dimensionslosen Dreieckkoordinaten Ci ? £2 ' C3 (Felippa

[20, Seite 26j) sind für die angenommene Knotenanordnung

des Bildes 2.3.b:

{*L=<^(2^1) ie2(2c2-i)jc3(2c3-i)4^C3! 4C2C3j 4C3-C, >

(38)

Für die allgemeinen Dehnungsfeldvariablen kann man schreiben:

w=€*

€y' zz

73x1

JrVj _0 i 0_"

0 I o]i»H

3x1818x1

(39)

•W -Kl

Mit den Spannungsdehnungsbeziehungen (3) und (33) und mit

den Gleichungen (37) bis (39) folgt die elastische Form¬

änderungsarbeit :

-37-

'iW-f/W-W-W-dF^HW-W-W

Die Steifigkeitsmatrix für die diskreten Dehnungsparameter

ist:

w18x18

311

3127 >Tt-

o

522'M I°

0 ~[S33' [*]

F (41)

F ist die Fläche des Elementes.

Die Matrix ty] gxg ist eine numerische Matrix, die analog

zum Plattenelement (Gleichung (27)) integriert wird. Eine kon¬

gruente Transformation gibt die gesuchte Steifigkeitsmatrix für

die Verformungsparameter:

[*wm'-M-[T] (42)

Diese Scbeibenelemente haben den Vorteil, dass die Berechnung

der Spannungen in den Elementecken aus den Dehnungsverformungs-

parametern u)X , v,y , y trivial ist. Das bedingt aber auch

eine unnötige Kontinuität der Dehnungen in den Ecken. Falls

-38-

die Matrix [D] (aus (3)) der Spannungsdehnungsbeziehungen

nicht kontinuierlich ist, entstehen Fehler bei den berech¬

neten Eckspannungen.

2.2.4 Balkenelement BAL24

Das Balkenelement BAL24 ist mit den verwendeten Platten- und

Scheibenelementen DRPL18, VKPL24 bzw. DRSC18, VKSC24 voll¬

ständig verträglich für die vertikale Verschiebung w und für

die Verschiebung u in seiner Längsaxe. Das Element BAL24 ent¬

steht aus der Annahme eines vollständigen Polynoms 5. Grades

für die Verschiebung w senkrecht zur Plattenebene und eines

vollständigen Polynoms 3. Grades für die Verschiebung in

Längsrichtung. Das Element ist nach den Bildern 2.2 und 3.2

exzentrisch an der Platte angeschlossen. Mehrain [22] und

Argyris [36] haben ähnliche Balkenelemente entwickelt.

Der angenommene Balken hat keine Torsionssteifigkeit und

keine Querbiegesteifigkeit. Für einen beliebigen Punkt des

symmetrischen Balkens gelten die folgenden Beziehungen für

das lokale Koordinatensystem des Bildes 2.2:

w(x,z)= w(x,o) = w (x) bzw.

/ \ / \ dw(x.o) - —

u(x,z)= u(x,o)- dx'•

z =

u-wtX•

z

(43)

Die einzige Dehnung €x ,die bei der Bestimmung der

elastischen Formänderungsenergie berücksichtigt wird, ist:

€X(X,Z)= Ux=

U)X- Wxx- Z C44)

-39-

Als Verschiebungsansatz für die Durchbiegung w(x) wird ein

Polynom 5. Grades in x mit sechs Termen und als Verschie¬

bungsansatz für die Verschiebung u(x) wird ein Polynom 3.

Grades in x mit vier Termen angenommen. Der Vektor {f*f der

lokalen, in den Knoten 1 und 2 definierten Verformungspara¬

meter des Balkenelementes ist nach Bild 2.2:

r. -\

>- Jlx10= <W- W.

1 "1,x

w2 w2jX

w.1,xx U1 U1,x

W2,xx U2 ü2,x>

Analog zur Gleichung (1) folgt:

{Vi- [*"i*uU¦{'•}= [*]¦{'•}

Die Berechnung für die Dehnung €x ist analog zur Gleichung

(2):

<A<3»{f*}

wo <A4>> aus der Berücksichtigung der Gleichung (44) von

[3>] abgeleitet wird.

Die Formänderungsenergie des Balkens ist nach Gleichung (4):

U = TjffR- Ol' dV = ifJM • E •

«„=

=l-{f}'7/M>'E^*>{f'}-dv4{f}'K].{f}V

-40-

wobei:

Mw» =///<A*>'-E-<A<#>>dV («,

die Steifigkeitsmatrix des Balkens im lokalen Koordinaten¬

system ist. E ist der Elastizitätsmodul des Balkens. Die

Steifigkeitsmatrix [k] des Balkens wird durch Vor- bzw.

Nachmultiplikation mit einer "Rotationsmatrix" [R*] er¬

halten:

[kk24=[R"L»-[k"]110x10R"

Jl0x24(47)

Die Rotationsmatrix [R ] ist aus der folgenden Beziehung

definiert:

L J10x1

r » i

fl l >| ff6]T1

f*2

• —__ + ___

i r*

i'

•

10x24 .2.

[*Hf}J 24x1

wobei die Vektoren vf}<i2x1 unc* V2J12x1 aus ^en zw°lf

globalen Verschiebungsparametern im Knoten 1 und 2 gebildet

sind.

2.3 Globale Steifigkeitsmatrix und globale Belastungsmatrix

Die Steifigkeitsmatrix des Tragwerkes entsteht aus der direkten

Addition der Elementsteifigkeitsmatrizen zur globalen Matrix.

-41-

Dies ist möglich, weil die Elementsteifigkeitsmatrizen sich

auf Koordinatenrichtungen beziehen, die parallel zu den glo¬

balen sind. Dasselbe gilt für die Belastungsvektoren. Prak¬

tisch erfolgt eine Umnumerierung der Verformungsparameter,

die durch eine "topologische" Matrixmultiplikation symboli¬

siert werden kann:

{f} = [r] • {f*}

Der Vektor |f9| stellt alle im globalen Koordinatensystem

befindlichen Verformungsparameter des Tragwerkes dar. Die

Matrix [Te] enthält Glieder, die eins oder Null sind, je

nachdem, ob die globalen Verformungsparameter mit den Element¬

verformungsparametern identisch sind oder nicht. Diese Matrix

wird auch als "Topologiematrix" bezeichnet.

Für das elastische Potential Ue des Elementes gilt dann:

s-Hf«Hk<Hf} <«>

In diesem Ausdruck wird die globale Elementsteifigkeitsmatrix

definiert als:

-42-

Analog kann man das Potential V der äusseren Kräfte definieren

als:

v=-{f},-{p'}=-{f,y-[T'],-{p'}

=-{'9}-{pg}

(51)

In dieser Gleichung wird der globale Elementlastvektor be¬

stimmt als:

{p4=[Te]'-{pe} <5Z)

Die potentielle Energie TT des Systems ist die Summe aller

potentiellen Energien der Elemente:

NEL NEL

TT = I Uj + I V| =

i=1 i=1

= i £{fl[k«Hf9}-£{¦¦}'•M •

= m-z [k'H?}-M'.?M =

1=1 1=1»¦ j

¦i{f}-[K].{f«} -{ff{P}

-43-

NEL ist die totale Anzahl Elemente des Tragwerkes. Die globale

Steifigkeitsmatrix [K] folgt aus der oberen Beziehung als:

NEL' -

(54,M - % \Ai=1

Die globale Belastungsmatrix ist auch analog:

f 1 NEL r i

{p} = y {pg} (55)

In Wirklichkeit werden die Multiplikationen mit der Matrix

Lje] nicht formell ausgeführt, sondern es erfolgt eine

direkte Addition der Steifigkeitskoeffizienten zu den dazu¬

gehörigen Knoten. Nach der Bildung von [K] werden die kine¬

matischen Randbedingungen eingeführt, durch eine Addition

von geeigneten Steifigkeitskoeffizienten zu den entsprechen¬

den Diagonalgliedern der [K]-Matrix. Im folgenden Kapitel 7

wird dieser Vorgang näher beschrieben. Durch die Anwendung

des Minimumprinzips der potentiellen Energie bekommt man:

ÄJL.

<3{fg}[KHf9} - {p} = ° (56)

Diese Gleichung stellt ein lineares Gleichungssystem für

die unbekannten Verformungsparameter des Tragwerkes dar.

-44-

2.4 Lösung des Gleichungssystems und Berechnungen

der Schnittkräfte

Für die numerische Lösung des linearen Gleichungssystems werden

bekannte Algorithmen nach dem Gauss'sehen Eliminationsverfahren

oder nach dem Cholesky-Verfahren [11,63] verwendet. Die Anzahl

Gleichungen und die Rechenzeit für deren Auflösung sind schon

für mittlere Probleme gross. Diese Zeit stellt den grössten

Anteil der Rechenzeit dar, die für die Berechnung des Trag¬

werkes nötig ist. Melosh [43], Iron [44] und Anderheggen [32]haben Lösungsalgorithmen unter besonderer Berücksichtigung der

Methode der endlichen Elemente vorgeschlagen.

Im entwickelten Programm sind zwei Lösungsalgorithmen ein¬

gebaut. Als erstes ist das Lösungsprogramm von Anderheggen

[32] nach dem Gauss'sehen Eliminationsverfahren verwendet

worden. Das Programm erlaubt die Lösung von unbeschränkt

grossen, bandförmigen Gleichungssystemen. Die globale Stei¬

figkeitsmatrix [K] und der globale Belastungsvektor |p|werden in gleich grosse Blöcke unterteilt. Die Anzahl Kolonnen

NK der Blöcke von [K] ist konstant angenommen. Die Grösse

NK ist gleich der um eins erhöhten maximalen Differenz der

zu den Verformungsparametern eines Elementes gehörenden

Nummern. NK wird oft als maximale Bandbreite des Gleichungs¬

systems bezeichnet (Bild 5.1). Als zweites Lösungsprogramm

[48] ist ein Algorithmus nach Cholesky im Programm eingebaut

worden. Dieses Programm arbeitet mit Blöcken, deren Anzahl

Elemente pro Zeile variabel ist, was Speicherplatz und Rechen¬

zeit erspart.

Sobald die Verformungsparameter bekannt sind, sind auch die

Dehnungen in den entsprechenden Knoten bekannt. Bei den ge¬

wählten Elementen (DRPL18, VKPL24, DRSC18, VKSC24, BAL24)

-45-

sind die Dehnungen direkt als Verformungsparameter enthalten.

Die Berechnung der Spannungen in den Knoten der Platten- und

Scheibenelemente erfolgt direkt aus den Gleichungen des Ab¬

schnittes 2.1.

2.5 Verschiedene kompatible Plattenelemente

Das Plattenelement DRPL21 gehört zu einer Familie von drei¬

eckigen Elementen, die von Argyris den Namen TUBA [36] er¬

halten haben. Die Ansatzfunktionen für die Durchbiegung

w(x,y) sind vollständige Polynome von fünftem und höherem

Grad. Als Verschiebungsparameter sind die Krümmungen w,

w,w mit der Verschiebung w und den zwei Verdrehungen

>yy >xy

w , w an den drei Ecken des Dreieckes immer vorhanden.,x ,y

Zusätzlich kommen, je nach dem Grad n des Interpolations¬

polynoms, (n+1)(n+2)/2-18, weitere Verformungsparameter für

die Seiten und im Innern des Elementes dazu. Die Verteilung

dieser restlichen Verformungsparameter wird durch die Bedin¬

gungen für die kinematische Verträglichkeit der Verschie¬

bungen und Verdrehungen der Ränder bestimmt. Diese Parameter

sind vertikale Verschiebungen und Verdrehungen normal zu den

Rändern.

Die Verträglichkeit der Verschiebungen w der Ränder verlangt

pro Seite n-5 Verschiebungsparameter. Die Verträglichkeit

der Verdrehungen w normal zu den Seiten (Polynom vom Grad

n-1) verlangt pro Seite n-4 Verschiebungsparameter. Es bleiben

somit im Innern des Elementes (n-5)(n-4)/2 weitere Parameter.

Die Tabelle 2.5.1 gibt eine Uebersicht über diese Familie von

Elementen. Die Elemente DRPL28 und DRPL36 sind auch von Argyris

[36] unter den Namen TUBA13 und TUBA15 beschrieben worden. Das

Bild 2.1 zeigt z.B. eine mögliche Konfiguration des DRPL45-

Plattenelementes. Bei steigendem Grad n des Interpolations¬

polynoms steigt auch die Anzahl der Seitenverformungspara¬

meter.

Grad

des

Polynoms

Verschiebungs¬

parameter

auf

den

Seiten

Verdrehungs¬

parameter

aufden

Seiten

Interne

Verschiebungs¬

parameter

Total

Parameter

Bezeichnung

5 6 7 8 9

0 3 6 9

12

3 6 9

12

15

0 1 3 6 10

21

28

36

45

55

DRPL

21

DRPL28

DRPL

36

DRPL45

DRPL55

n3-(n-5)

3-(n-4)

(n-5)-(n-4)/2

(n+1)-(n+2)/2

Tabelle

2.5.1

Kompatible

Verschiebungselemente

-47-

Diese Parameter haben einen grösseren Einfluss auf die Anzahl

Gleichungen und auf die Bandbreite der globalen Steifigkeits¬

matrix als die Parameter der Ecken des Dreieckes.

Viereckige Elemente können mit der Zusammenstellung von vier

dreieckigen Elementen gebildet werden. Zum Beispiel entsteht

aus vier DRPL21 ein Viereck VKPL24 (Bild 2.4.b). Die vier

externen Seitenverdrehungen werden eliminiert wie beim DRPL18-

Element. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass die Anzahl

Gleichungen, und vor allem die Bandbreite, reduziert werden.

Im Innern des Viereckes entstehen in diesem Fall zehn Ver¬

formungsparameter. Diese Parameter werden "kondensiert" und

damit aus dem Gleichungssystem eliminiert. Die "Kondensation"

erlaubt eine Reduktion der Grösse der Steifigkeitsmatrizen

und der Lastvektoren ohne Beeinflussung des Verformungsver¬

haltens des Elementes.

Es folgen einige Betrachtungen über den Einfluss der Anordnung

der Verformungsparameter im Element selber. Aehnliche Ueber-

legungen wurden von Fjeld [16] und Anderheggen [47] gemacht.

Es sei eine Platte in eine grosse Anzahl NEL Elemente unter¬

teilt. Die Anzahl Knoten NKN und Seiten NSE sind mit der An¬

zahl Elemente NEL folgendermassen verbunden. Das Kontinuum

wird zuerst in dreieckförmige Elemente unterteilt. Die Summe

der Winkel eines Dreieckes ist 180 Grad und zu jedem Knoten

gehört ein Winkel von 360 Grad. Wenn NEL gross ist, gilt:

360 • NKN « 180 • NEL d.h. :

NKN » 0.5 • NEL

Die Anzahl Seiten pro Dreieck ist drei. Jede Seite gehört

aber zu zwei Dreiecken. Für ein grosses NEL gilt also:

-48-

3 • NEL ~ 2 • NSE d.h. :

NSE ~ 1.5 • NEL

Wenn die Anzahl Verformungsparameter der Knoten NFKN und

der Seiten NFS ist, hätte man als totale Anzahl Gleichungen

NTGL für das gewählte System mit einer Unterteilung in

Dreiecke:

NTGL3 ~ 0.5 -NEL -NFKN +1.5- NEL -NFS

Für eine Unterteilung in Vierecke gibt es analoge Beziehungen.

Das Knotenelementverhältnis ist:

NKN w NEL

und das Seitenelementverhältnis:

2-NEL~ NSE

Für die totale Anzahl Gleichungen folgt:

NTGL4 « NEL • NFKN + 2-NEL- NFS

Folgende Ueberlegungen gelten für die in Tabelle 2.5.1 an¬

gegebenen Dreieckelemente. Das Dreieckelement DRPL18 folgt

aus DRPL21 durch Elimination der drei Normalverdrehungen in

Seitenmitte. Die benützten Viereckelemente bestehen aus vier

Dreiecken. Die inneren Verformungsparameter sind "kondensiert"

-49-

worden. So entsteht z.B. aus vier DRPL21-Elementen ein

Viereckelement VKPL24 mit 24 Verformungsparametern (Bild

2.4.b).

Die Tabelle 2.5.2 gibt für eine Reihe von Elementen eine

Zusammenstellung des Einflusses der Seitenverformungspara¬

meter auf die totale Anzahl Gleichungen einer grossen

Elementmasche.

Bezeichnung

Element

NFS

NTKN

NTSE

NTGL/NEL

NTSE./NTKN-100

DRPL

18

DRPL

21

DRPL45

0 1 7

3-NEL

3-NEL

3-NEL

0

1.5-NEL

10.5-NEL

3 4.5

13.5

0

50

350

VKPL24

VKPL28

VKPL52

0 1 7

6-NEL

6•

NEL

6•NEL

0

2-NEL

14-NEL

6 8

20

0

-33

-233

NFS

=Anzahl

NTKN=

Totale

NTSE=

Totale

NTGL=

Totale

Verformungsparameter

einer

Seite

(ohne

Ecken)

Anzahl

Eckenverformungsparameter

für

NEL

Elemente(NFKN

•

NEL/2)

Anzahl

Seitenverformungsparameter

für

NEL

Elemente(2-NFS-NEL)

Anzahl

Gleichungen

des

Tragwerkes(NTKN+NTSE)

Tabelle

2.5.2.

:Verhältnis

Seitenverformungsparameter-

Eckenverformungsparameter

-51-

In der Tabelle wurden Elemente dargestellt, bei denen die

Anzahl Verformungsparameter der Ecken NFKN gleich sechs ist.

Die Vergrösserung des prozentualen Anteiles der Seiten- zu

den Eckenverformungsparametern bei den aus Interpolations¬

polynomen höheren Grades entwickelten Elementen hat die Zu¬

nahme der Anzahl Gleichungen des Systems und die Zunahme der

Bandbreite zur Folge. Der Uebergang vom Dreieckelement DRPL18

zum Element DRPL21 erhöht die Anzahl Gleichungen um 50 % .

Zusätzlich wird die Bandbreite erhöht. Die Erhöhung der

Genauigkeit im Uebergang von DRPL18 zu DRPL21 ist gering

und mit einem grossen Rechenaufwand verbunden. Dies wurde

durch viele durchgerechnete Beispiele bestätigt.

Die Aussage der vierten Kolonne der Tabelle 2.5.2 bestätigt

die vorteilhafte Anzahl Gleichungen bei einer Konzentration

der Verformungsparameter in den Ecken.

-52-

3. GENERELLE UEBERSICHT DES PROGRAMMES

Das Programm FEAPS ("Finite Element Analysis of Plate System")

erlaubt die Berechnung von beliebig begrenzten und belasteten

Platten und Rippenplatten. Bei reinen Plattenproblemen (ohne

Scheibenwirkung) werden nur Plattenbiegungselemente einge¬

setzt. Für die Berechnung von Rippenplatten (Bild 3.1) werden

Platten-, Scheiben- und exzentrisch angeschlossene Balken¬

elemente verwendet.

Die Verformungsparameter der Platten- und Scheibenelemente

sind an sich voneinander unabhängig. Durch die exzentrisch

angehängten Balkenelemente (Bild 3.2) wird die Platten- und

Scheibenwirkung gekoppelt. Bei den Rippenplatten bezeichnet

man als "Schalenelement" die Kombination des Platten- und

Scheibenelementes.

Die Elementunterteilung muss nach bestimmten Regeln erfolgen.

Das Tragwerk wird in Längsrichtung in Kolonnen von Elementen

unterteilt. Jede Kolonne besteht aus einer Anzahl gleicher

oder/und ungleicher Elemente. Die Elemente gleicher Geometrie

(Form und Abmessungen der Dreiecke, Vierecke oder Balken)

und gleicher Materialeigenschaften werden zu Elementtyp-

Gruppen zusammengefasst. Die Anzahl der Elementtypen ist so

klein wie möglich zu halten, damit der Umfang der Eingabe

des Programmes und die Rechenzeit zur Bestimmung der Steifig-

keitsmatrizen der Elementtypen minimal sind.

Verschiedene Elementarten (Bild 3.1) sind möglich:

-53-

VK : Viereck.

DR : Dreieck mit Spitze rechts: d.h. nur ein Knoten

auf der rechten Kolonnenseite.

DL : Dreieck mit Spitze links: d.h. nur ein Knoten

auf der linken Kolonnenseite.

VS : Elastisch aufliegendes Viereck (dient zum

Einbau von Stützen und für die Berechnung

von Fundamentplatten).

BL : Balkenelemente in Längsrichtung.

Die Elemente sind an den Längsrändern der

"Schalenelemente" exzentrisch angehängt.

BQ : Balkenelemente in Querrichtung.

Die Elemente sind an den Querrändern der

"Schalenelemente" exzentrisch angehängt.

Jedes Element kann eigene Material'eigenschaften aufweisen.

Das Material kann orthotrop oder isotrop sein. Im ersten

Fall braucht man vier Konstanten für die Platte und acht

für die Rippenplatte. Im zweiten Fall genügen zwei Kon¬

stanten (Elastizitätsmodul und Poissons'sehe Zahl), um

das Material zu beschreiben (Gleichungen (20, 21, 33, 34,

35)).

Im Falle der Rippenplatte hat jeder Knoten zwölf Verfor¬

mungsparameter: die sechs Parameter des Plattenelementes

DRPL18 [32] (Verschiebung w, Verdrehungen w,w und

>x ,y

Krümmungen w,w

,w ) und die sechs Parameter des

,xx ,yy ,xyScheibenelementes DRSC18 [32] (Verschiebungen u,v , Dehnungen

eY= u

, € = v, Schiebung y = (u + v ) und Ecken-

A »•*¦ / >/ >/ >A

rotation üj = 1/2.(u + v ) um eine Senkrechte zur Scheiben-* y i

x

ebene). Bei der Steifigkeitsmatrix des "Schalenelementes"

nach Bild 3.3 kann man formell eine den Plattenparametern (A)

-54-

und eine den Scheibenverformungsparametern (B) entsprechende

Zone unterscheiden. Der Zone (A) entspricht die Steifigkeits¬

matrix des Plattenelementes DRPL18 (oder VKPL24) und der Zone

(B) entspricht die Steifigkeitsmatrix des Scheibenelementes

DRSC18 (oder VKSC24). Die Verformungsparameter der Balken¬

elemente sind diejenigen der Platten- und Scheibenelemente.

Im Bild 3.3 sieht man die von den Balkenverformungsparametern

besetzten Zonen (A, B, C). Die Zone (C) stellt formell die

Koppelung der Platten- und Scheibenverformungsparameter

durch die Balken dar. Im Falle einer vertikalen Belastung

entstehen somit infolge der Exzentrizität der Balken auch

Scheibenverformungen.

Beliebige knotengebundene Randbedingungen, inklusiv ela¬

stische Einspannung, können eingegeben werden. Statische

Belastungen aller Arten (gleichmässig verteilte Element¬

belastungen und Linienlasten (Elementrandlasten) senkrecht

zur Plattenebene, konzentrierte Knotenlasten, Momenten-

einflussflächen, feste Verformungen, Vorspannung bei den

Elementrändern) können berechnet werden.

Das Programm ist in FORTRAN IV und für kleine Programmteile

in der "Assembler"-Sprache COMPASS für die Rechenanlage

CONTROL DATA 6500 programmiert worden. Die Angaben über die

angewendeten Programmiersprachen und über die Arbeitsweise

der Rechenanlage CDC 6500 können aus den folgenden Publika¬

tionen der CONTROL DATA über die 6000-Familie gelesen werden:

FORTRAN Referenee Manual Publ. No. 60174900/1969

COMPASS Referenee Manual Publ. No. 60190900/1969

SCOPE Referenee Manual Publ. No. 60189400/1969

-55-

Man unterscheidet CP- ("Central Processor") und I/O- ("Input/

Output") Rechenzeit. Die erste ist die Zeit des Zentral¬

rechners und die zweite ist diejenige für die Ein- und Aus¬

gabe von und zu den peripheren Geräten.

Das ganze Programm bleibt nicht gleichzeitig im Kernspeicher

der Rechenanlage, sondern ist in Programmstücke ("Overlays")

unterteilt, die nacheinander geladen und ausgeführt werden.

Jede neue Ladung von einem "Overlay" überschreibt den alten

Programmteil. Ein kleines, im Kernspeicher ständig bleibendes

Hauptprogramm "Main" (Bild 3.4) steuert die Ladung der ver¬

schiedenen Programmteile ("Overlays"). Mit dieser Anordnung

steht mehr Platz für die Speicherung der problemabhängigen

Daten zur Verfügung. Bild 3.5 zeigt im Detail die Speicher¬

konfiguration. Das folgende Bild 3.6 zeigt die Speicher¬

benützung während der Berechnung mit den verschiedenen Pro¬

grammteilen ("Overlays"). In diesen beiden Bildern fängt das

"Blank-Common" mit dem "Array" (eindimensionale Matrix)

U(l) an.

-56-

4. BEGRUENDUNG DER EINGABE

4.1 Elementorientierte Eingabe

Die bekannten allgemeinen Programme für die Berechnung von

Stabwerken und Flächentragwerken (STRESS [33], ASKA [l],

STRIP [56], EASE [57]) sind "knotenorientiert" aufgebaut.

Diese Eingabeart verlangt die Angabe der globalen Knoten¬

koordinaten (Geometrie-Eingabe). Für die Festlegung der

Lage der Elemente im Knotennetz sind zusätzliche Daten

notwendig. Diese Informationen geben an, mit welchen Knoten

die Elemente verbunden sind. Sie werden oft als "topolo-

gische" Angaben bezeichnet. Die "elementorientierte" Eingabe

des Programmes basiert auf der, im dritten Kapitel beschrie¬

benen Kolonnenunterteilung des Tragwerkes. Das Plattensystem

wird in Elemente einfacher Geometrie unterteilt. Dabei wird

aber eine möglichst kleine Anzahl von sich wiederholenden

Elementtypen angestrebt. Die Eingabe der Geometrie beschränkt

sich auf der Beschreibung der Elementtypen. Die Eingabe der

Elementanordnung ("Topologie-Eingabe") gibt in diesem Fall

die Reihenfolge der Elemente in den Kolonnen (Bild 3.1) an.

Eine zusätzliche Vereinfachung der Geometrieeingabe ist

möglich. Die Elemente des zweidimensionalen Tragwerkes müssen

aufgrund der angegebenen Anordnung ("Topologie") geometrisch

verträglich sein. Das bedeutet, dass viele Angaben der Geome¬

trie von der "Topologie" und von vorher angegebenen geome¬

trischen Grössen abgeleitet werden können (Abschnitt 4.3).

In den folgenden Abschnitten wird durch Beispiele diese Ein¬

gabeart ausführlich beschrieben. Die Eingabe der Randbedin¬

gungen und der Belastungen ist ebenfalls "elementorientiert".

-57-

4.2 Bandförmige globale Steifigkeitsmatrix

Die Unterteilung des Tragwerkes in Kolonnen von Elementen

ist mit einer Knotennumerierung nach Bild 4.1 verbunden.

Die gewählte Numerierung hat einen günstigen Einfluss auf die

Struktur der globalen Steifigkeitsmatrix des Tragwerkes, da

diese bandförmig wird. Als Bandbreite für eine gewählte Zeile

der globalen Steifigkeitsmatrix wird die Anzahl der Koeffizien¬

ten, angefangen vom Diagonalglied bis zum letzten Term, welches

noch ungleich Null ist, bezeichnet. Wenn man alle Verformungs¬

parameter des Tragwerkes in der Knotenreihenfolge des Bildes

4.1 numeriert, bekommt man die Bandbreite für einen bestimmten

Verformungsparameter (d.h. für eine bestimmte Zeile der glo¬

balen Steifigkeitsmatrix) durch Subtraktion der Zahl des be¬

trachteten Parameters von der höchsten Parameterzahl des dazu¬

gehörenden Elementes plus eins. Das gewählte Element enthält

den untersuchten Verformungsparameter sowie den Verformungs¬

parameter mit der grössten möglichen Zahl der Numerierung.

Die Wahl der Knotennumerierung nach Bild 4.1 zuerst in der

Kolonnenrichtung, die am wenigsten Knoten aufweist, ergibt

minimale Bandbreiten und minimale Rechenzeiten für die Lösung

des Gleichungssystems. Diese Rechenzeit ist, mit der Anwendung

des Gauss'sehen Eliminationsverfahrens oder des Cholesky-

Verfahrens, proportional zur totalen Anzahl Gleichungen mal

die Bandbreite im Quadrat und stellt den grössten Anteil der

gesamten Rechenzeit dar. Das Bild 4.2 zeigt, wie auch für

komplizierte Plattensysteme mit Hilfe der gewählten Unter¬

teilung und Numerierung minimale Bandbreiten erzeugt werden

können. Zusammenfassend wurde für die Entwicklung des Pro¬

grammes den folgenden Punkten Aufmerksamkeit geschenkt:

-58-

a) Einfache Beschreibung des Tragwerkes und

einfache Anordnung der Elemente.

b) Minimale Bandbreite durch günstige Numerierung

der Verformungsparameter.

c) Minimale Rechenzeit für die Lösung des Gleichungs¬

systems durch Wahl von geeigneten Algorithmen.

Die getroffenen Wahlen sind:

a) "Elementorientierte" Eingabe verbunden mit der Unter¬

teilung des Tragwerkes in Kolonnen von Elementen. Ein¬

führung von Elementtypen, die eine bestimmte Geometrie

und bestimmte Materialeigenschaften haben, und die sich

so oft wie möglich wiederholen. Minimale Eingabe für die

Geometrie der Elementtypen durch automatische Berech¬

nung gewisser Elementdimensionen durch die Berücksich¬

tigung der relativen Anordnung ("Topologie") der

Elemente.

b) Konsequente Numerierung der Verformungsparameter, um

die Bandbreite und damit die Rechenzeit für die Lösung

des Gleichungssystems minimal zu halten.

c) Lösungsalgorithmus nach Cholesky mit besonderer Berück¬

sichtigung der variablen Bandbreite.

4.3 Eingabeprogramm

Das Eingabeprogramm liest die Daten und verarbeitet sie für

die spätere Zusammenstellung des Gleichungssystems. Das Bild

4.3 zeigt das Flussdiagramm dieses Programmstückes. Die Be¬

deutung der Symbole ist aus der Eingabebeschreibung des Pro¬

grammes ersichtlich (Anhang I). Sowohl orthotrope als auch

-59-

isotrope Materialeigenschaften können eingegeben werden.

Falls die Anzahl Materialien grösser als zwei ist, kann man

noch zusätzliche orthotrope oder isotrope Eigenschaften ein¬

geben. Die Geometrie wird für die eingegebene Anzahl Element¬

typen gegeben. Die normalen Eingaben sind die sechs (für das

Viereck) oder die vier (für die Dreiecke) Koordinaten x,y

der Knoten 2, 3 und eventuell 4 (für die Vierecke) bezüglich

Knoten 1 (Bild 4.4.a). Gemeinsam mit diesen Daten werden

die Dicke des Elementes und die Materialnummer angegeben.

Die Numerierung der Knoten des Elementes erfolgt im Gegen¬

uhrzeigersinn. Falls die Elementanordnung ("Topologie"),

die nachher eingegeben wird, die Berechnung von bestimmten

Koordinaten ermöglicht, kann man die entsprechenden Angaben

weglassen. Das Bild 4.4.b veranschaulicht diese vereinfachte

Eingabemethode. Für dieses Beispiel werden die folgenden

Koordinaten eingegeben:

Für den Elementtyp I der Vierecke gibt man sechs relative

Koordinaten nach Bild 4.4.a. Für Typ II der Vierecke ge¬

nügen die relativen Koordinaten von Knoten 13 und 6 bezüg¬

lich 5, für Typ III der Vierecke die Angaben der Knoten 22

und 23 bezüglich Knoten 15, für Typ IV der Vierecke die An¬

gaben der Knoten 27 und 28 bezüglich 22 und für die Typen

V bis VII nur die Angaben der Knoten 29 bezüglich 23, 30

bezüglich 24 und 31 bezüglich 25. Die Angabe von 24 Grössen

genügt für die Beschreibung der Knotenkoordinaten der ganzen

Platte.

Für die Balkengeometrie benötigt man die Länge nicht. Sie

wird vom Programm automatisch berechnet. Für die einzelnen

Balkentypen werden die Balkenexzentrizität, das Eigenträg¬

heitsmoment und die Querschnittsfläche zusammen mit der

Materialnummer eingegeben. Die Eingabe der Plattenelement-

anordnung ("Plattentopologie") erfolgt kolonnenweise von

"links" nach "rechts" und in jeder Kolonne elementweise von

"unten" nach "oben".

-60-

Bei dieser Eingabe wird die Kolonne, die Form des Elementes

(VK: Viereck; VS: elastisch aufgelagertes Element; DL: Drei¬

eck mit Spitze links; DR: Dreieck mit Spitze rechts), die

Nummer des Elementtyps, die Anzahl gleicher Elemente nach¬

einander in der Kolonne und der Winkel ALPHA angegeben. Das

Element wird im Gegenuhrzeigersinn bezüglich des globalen

Koordinatensystems um ALPHA gedreht. Falls mehrere Kolonnen

gleich sind, genügt nach der Eingabe der ersten Kolonne die

Angabe der letzten Kolonnenzahl zur automatischen Erzeugung

aller dazwischen liegenden Kolonnen. Das Programm kon¬

trolliert die Kompatibilität der nebeneinander liegenden

Elemente und berechnet die fehlenden Geometrieangaben, die

von der Elementanordnung abgeleitet werden können.

Die Eingabe der Balkenelementanordnung ("Balkentopologie")

ist nur im Falle der Rippenplatte notwendig. Die zwei Balken¬

arten BL, BQ haben je eine eigene Eingabe der Elementanord¬

nung. Die Balken BL quer zu den Kolonnen werden nur an der

Seite zwischen den Knoten 1 und 2 (Bild 4.4.a) der "Schalen¬

elemente" angehängt. Die Balken BQ längs der Kolonnen werden

an der linken Seite (Knoten 1 und 4 für die Vierecke; Knoten

1 und 3 für die Dreiecke) der "Schalenelemente" angeschlossen.

Die Eingabe der Randbedingungen ist "elementorientiert".

Gegeben wird die Elementkolonne, das Element mit seiner Knoten¬

nummer und die Anzahl gleicher Randbedingungen in der Kolonne.

Es folgen die Verformungen, die gleich Null gesetzt werden

können.

Eine weitere mögliche Eingabe ist der Rotationswinkel im

Gegenuhrzeigersinn des lokalen Koordinatensystems der Knoten¬

verformungen. Falls die Verformungsparameter eine elastische

Einspannung aufweisen, ist noch ein entsprechender Steifig-

keitskoeffizient (Kraft pro Einheitsverformung) einzugeben.

-61-

Wird dieser Koeffizient nicht angegeben, so wird er gleich

einer sehr grossen Zahl (10 ) gesetzt. Das bedeutet eine

Nullsetzung der entsprechenden Verformungen. Die zwölf Knoten¬

verformungsparameter der Rippenplatte oder die sechs der Platte

können einzeln aufgeführt werden. Für die meistgebrauchten Auf¬

lagerungsarten (einfach gelagert, eingespannt, symmetrisch)

sind Kennworte vorgesehen. Symmetrie entlang einer Linie p

verlangt, dass die Verdrehung w normal dazu und die Drillung

w zu Null gesetzt werden.,np

B

Man kann eine beliebige Anzahl Belastungsfälle angeben. Jeder

Belastungsfall besteht aus einer beliebigen Anzahl Lasten.

Die Eingabe ist "elementorientiert". Folgende Lasten sind

möglich:

a) Gleichmässige Belastung über das gesamte Tragwerk

(Bezeichnung GT) senkrecht zur Plattenebene.

b) Gleichmässige Belastung über einzelne Elemente

(Bezeichnung GE) senkrecht zur Plattenebene.

c) Konzentrierte Knotenlasten (Bezeichnung KE).

Als konzentrierte Lasten sind Kräfte und Momente

möglich. Einflussflächen können auch für die

Krümmungenw

,w

,w oder für die Momente

6,xx ,yy ,xy

M,M , M erzeugt werden (Kapitel 6).

Vorgeschriebene Verformungen von Auflagern (z.B.

Senkung oder Verdrehung) sind möglich (Kapitel 7).

d) Linienlasten (Elementrandlasten) (Bezeichnung RE)

senkrecht zur Plattenebene.

e) Vorspannung (Bezeichnung VO). Es können parabel-

förmige Kabel an den Rändern einzelner Elemente

eingeführt werden (Anhang I).

f) Kombinationen der vorher angegebenen Belastungsfälle.

-62-

Gegeben sind: die Form der Belastung mit den vorher beschrie¬

benen Bezeichnungen, die Richtung der Belastung und, falls

nötig, die Kolonne, die Elementnummer in der Kolonne, die

Knotennummer des Elementes und die Anzahl Elemente in der

Kolonne, die gleiche Lasten bekommen. Darauf folgt der Wert

der Belastung oder die Vorspannkraft und die Kabelexzentri¬

zitäten am Anfang, in der Mitte und am Ende des Elementrandes.

-63-

5. GLOBALE STEIFIGKEITSMATRIX

Die globale Steifigkeitsmatrix des Systems entsteht aus der

direkten Addition der Elementsteifigkeitsmatrizen zur globalen

Steifigkeitsmatrix [K] (direkte Steifigkeitsmethode, Gleichung

(54)). Die globale Matrix wird von einem Energieausdruck ab¬

geleitet und ist deswegen symmetrisch. Die obere Hälfte von

[K] wird in Blöcke konstanter Anzahl Zeilen (NZ) unterteilt

und auf den Plattenspeicher geschrieben. Die Matrix weist

aufgrund der getroffenen und in den vorherigen Kapiteln be¬

schriebenen Annahmen eine bandförmige Struktur auf (Bild 5.1).

Die Anzahl Koeffizienten einer Zeile bis zum letzten Term

ungleich Null variiert für jede Zeile. Für die Vorbereitung

der Blöcke der globalen Steifigkeitsmatrix wird der maximale

Wert dieser Anzahl Koeffizienten (Bandbreite NK) verwendet.

Die Bandbreite NK ist eine vom berechneten Problem abhängige

aber vom verfügbaren Speicherplatz unabhängige Grösse. Die

Anzahl Zeilen NZ der Blöcke wird so bestimmt, dass im Speicher¬

platz der Rechenanlage zwei Blöcke von [K] und der entsprechen¬

den globalen Belastungsmatrix |pj während der Lösung des

Gleichungssystems Platz haben. Die maximale Grösse des Problems

ist praktisch nicht von der Bandbreite der Matrix [K] be¬

stimmt. Die folgenden Angaben veranschaulichen die Beziehung

zwischen Bandbreite NK und Anzahl Zeilen eines Blockes NZ für

eine Anzahl von 40000 Speicherplätzen für zwei Blöcke von [K].

Falls:

NK = NZ

NK = 5-NZ

NK = 10-NZ

2-NKz = 40000 ; NK £ 140

2/5-NK2 = 40000 ; NK = 316

2/10-NK2 = 40000 ; NK = 447

-64-

Die Bandbreite ist eine Funktion der Anzahl Elemente in einer

Kolonne (Abschnitt 4.2). Für die Rippenplatten sind pro Knoten

zwölf Verformungen vorhanden. Die Bandbreite ist für NE Vier¬

eckelemente in der Kolonne:

NK =(NE+3)- 12

Für die drei oben angegebenen NK kann man die Anzahl Viereck¬

elemente in der Kolonne zurückrechnen.

NK = 140 ; NE = 8

NK = 316 ; NE = 23

NK = 447 ; NE = 34

Die maximale Grösse des Problems ist folglich eher von der

wirtschaftlich maximal zumutbaren Rechenzeit bestimmt. Die

Lösung eines Gleichungssystems von 1980 Gleichungen und einer

maximalen Bandbreite NK von 156 benötigte auf der CDC-6500

Rechenanlage eine Rechenzeit (CP-Zeit) von ca. 300 Sekunden.

Bild 5.2 zeigt die Zonen der globalen Steifigkeitsmatrix, in

welchen die Koeffizienten der Steifigkeitsmatrizen des Platten-

und Scheibenelementes "I" einer aus vier Vierecken gebildeten

Rippenplatte addiert werden. Die Zonen der Koeffizienten der

Steifigkeitsmatrizen der Balkenelemente unten und links des

Viereckes "I" sind durch zusätzliche Bezeichnungen angegeben.

Das Bild 5.2 zeigt einige wichtige Merkmale der globalen

Steifigkeitsmatrix [K]:

-65-

a) Die globale Numerierung der Verformungsparameter

und die entsprechende Bandbreite NK.

b) Die Reihenfolge der Platten- und Scheibenverformungs¬

parameter.

c) Die Zonen der Platten- und Scheibenelementsteifigkeits¬

koeffizienten.

d) Die von den exzentrischen Balkenelementen besetzten

Zonen und deren Koppelung mit den Platten- und

Scheibenverformungen.

e) Die drei Hauptzonen der Speicherung der Steifigkeits¬

koeffizienten entsprechend den Knoten links und rechts

der Kolonne.

f) Die effektive Variation der Bandbreite.

Das Bild 5.3 zeigt die globale Steifigkeitsmatrix der Rippen¬

platte des Bildes 5.2 mit allen vier Platten- und Scheiben¬

elementen vor der Addition der Balkensteifigkeitskoeffizienten.

Man sieht deutlich die Variation der Bandbreite für jede Zeile,

auch wenn die Anzahl Elemente in jeder Kolonne konstant bleibt.

Diese Eigenart wurde für die Auflösung des Gleichungssystems

mit einem speziell programmierten Cholesky-Verfahren berück¬

sichtigt. In diesem Algorithmus ist es möglich, die globale

Steifigkeitsmatrix in kompakten Blöcken mit variablen Band¬

breiten zu speichern (Kapitel 8).

-66-

6. LASTFAELLE

Alle angegebenen Belastungsfälle werden gemeinsam behandelt.

Die möglichen Belastungen sind im Abschnitt 4.3 angegeben.

Die konzentrierten Belastungen werden direkt zu den ent¬

sprechenden Zeilen der globalen Belastungsvektoren addiert.

Für die elementweise gleichmässige Belastung senkrecht zur

Plattenebene werden die bei der Berechnung der Elementsteifig¬

keitsmatrizen abgeleiteten, "konsistenten" Lastvektoren für

eine Einheitsbelastung gebraucht. Die "konsistenten" Last¬

vektoren werden mit dem effektiven Wert der Belastung mul¬

tipliziert und zur globalen Belastungsmatrix addiert. Die

Elementrandlasten werden auch durch "konsistente" Knoten¬

lasten an den zwei Knoten am Ende der Seite ersetzt.

Die Vorspannung wird analog zum STRESS-Programm [33] durch

Ersatzlasten behandelt. Für die Eingabe der Vorspannung

(Anhang I) werden die Vorspannkraft V und die Exzentrizi¬

täten senkrecht zur Plattenebene am Anfang EAZ, in der Mitte

EMZ und am Ende EEZ der Elementseite benötigt. Die Ersatz¬

lasten sind konzentrierte Kräfte am Anfang (A) und am Ende (E)

der Seite des Elementes:

a) Normalkraft in Seitenrichtung: i V

(nur für die Rippenplatte)

b) Querkraft senkrecht zur Plattenmittelebene:

In (A) : (V/L)-(4-EMZ-3-EAZ-EEZ)

In (E) : (V/L)-(4-EMZ-3-EEZ-EAZ)

L ist die Seitenlänge zwischen (A) und (E).

¦67-

c) Konzentrierte Momente:

In (A) : V-EAZ

In (E) : -V-EEZ

d) Gleichmässig verteilte Linienlast senkrecht

zu Plattenmittelebene:

pAE= (4-V/L2HEAZ-2-EMZ+EEZ)

Zu dieser gleichmässig verteilten Belastung werden noch

die "konsistenten" Knotenlasten am Anfang (A) und am

Ende (E) der Seite des Elementes bestimmt.

Nun folgen generelle Betrachtungen für die Berechnung von

Einflussflächen. Die Grundgleichung (56) ist:

[K]-{f'} = {P} oder {f}=[K]H. {P}

|eajsei der Einflussvektor für irgendeine Spannungs- oder

Verformungskomponente O" :

a={ea}<.{p} <")

CTkann aus dem Lösungsvektor If j durch den Spannungsvektor

jso-j berechnet werden:

-68-

Durch Einsetzung der Grundgleichung folgt:

-W-[Kr-{P}={e.}'-{P}

Weil: [K]H = (LK]-1)* folgt:

•jeo-ferhält man aus der Lösung des Gleichungssystems:

[K] • {e^} = {so-} w

In unserem Fall ist der Vektor {So-j für die Berechnung der

Momenteneinflussflächen sehr einfach, weil die Krümmungen

als Verformungsparameter vorhanden sind. Die allgemeine

Ableitung der Spannungsmatrix [s] wurde mit Gleichung (16)

schon angegeben. In der Literatur findet man verschiedene

Publikationen und Tabellenwerke über die Berechnung von Ein¬

flussflächen von Platten: Pucher [54], Rüsch [52], HanuSka

und Balas [10], Kawai und Thürlimann [60], Riehle und Stein

[53]. Pfaffinger [25] gibt auch einige Beispiele von sehr

allgemeinen, mit verbesserten Differenzengleichungen ge¬

rechneten Einflussflächen an. Eine direkte Berechnung von

Einflussflächen mit der Methode der endlichen Elemente ist

aber dem Autor nicht bekannt.

Die Behandlung von vorgeschriebenen Auflagerverschiebungen

wird im folgenden Kapitel "Randbedingungen" näher beschrieben.

-69-

7. RANDBEDINGUNGEN

Die Programmeingabe (Anhang I) ermöglicht die Nullsetzung

eines beliebigen Verformungsparameters. Die Standardrand¬

bedingungen (einfache Auflagerung (Linienauflagerung),

Linieneinspannung, Liniensymmetrie) verlangen die Nullsetzung

verschiedener Verformungsparameter. Falls diese Linienrand¬

bedingungen gegenüber dem globalen Koordinatensystem gedreht

sind, werden die dem gewählten Knoten entsprechenden Zeilen

und Kolonnen der globalen Steifigkeitsmatrix [K] (Bild 7.2)

und die Zeilen des Belastungsvektors {p} durch Vor- bzw. Nach¬

multiplikation mit "Rotationsmatrizen" transformiert. Das

Bild 7.1 zeigt die Drehung des Koordinatensystems. Die Drehung

im Gegenuhrzeigersinn ist als positiv angenommen. Es sei

c = cos(oc) und s ¦ sin(a). Für die Rotation der Verformungs¬

parameter gelten die folgenden "Rotationsmatrizen":

W

W',P

W,n

W.PP

Wnn

W,np

10 0 0 0

0 C -S 0 0

0

0

0 S C 0 0 0

0 0 0 Cz S2 -2sc

0 0 0 S2 C2 2sc

0 0 0 SC "SC (C2~S2)

W

W•X

w.y

W,xx

W,yy

W;xy

(61)

-70-

J,P

7

ÜJ

s

0

0

0

0

C

0

0

0

0

s

2 sc

0

0

s2

c2

¦sc

0

0

-sc

0

0

0

CS 0

(C2-S2) 0

0 1

u,x

v,y

7

Die Nullsetzung oder die elastische Einspannung einer Ver¬

formung erfolgt programmtechnisch durch Addition eines Stei-

figkeitskoeffizienten (Kraft für eine Einheitsverformung) zum

Diagonalelement der entsprechenden Zeile der globalen Steifig¬

keitsmatrix. Bei der Nullsetzung wird ein sehr grosser Stei-

figkeitskoeffizient (10 ) eingeführt. Dies entspricht der

Einführung einer, im Vergleich zur Steifigkeit des Tragwerkes,

sehr steifen Feder. Diese Addition bringt keine numerischen

Schwierigkeiten mit sich. Diese Behandlung der Randbedingungen

erlaubt jedoch die Berechnung der konzentrierten Auflager-

kräfte. Diese Art der Behandlung der Randbedingungen ent¬

spricht einer Elimination der entsprechenden Gleichungen und

Variablen ohne an der Struktur der globalen Steifigkeitsmatrix

etwas zu ändern. Die Kondition der Matrix wird damit verbessert.

Diese Behandlung der Matrix [K] ist nicht zu verwechseln mit

einer Matrix [K] ,die aus einem Tragwerk entsteht, welches sehr

grosse Aenderungen in seiner Steifigkeit aufweist (z.B. Zonen

mit kleinen Plattendicken, kombiniert mit Zonen mit viel grösse¬

ren Plattendicken)[63].

-71-

Die Grundgleichung (56) sei für die Zeile i nochmals ge¬

schrieben:

f? =<K71>« {P} (63)

Falls diese Zeile durch Addition einer Federkonstante (Kraft

für eine Einheitsverformung) c geändert worden ist, folgt:

f^ = R/C (64)

wobei R die konzentrierte Federkraft bedeutet und wie folgt

bestimmt wird:

R = C • f9| (65)

So werden z.B. konzentrierte Auflagerkräfte, Einspannmomente

und Drillungsmomente berechnet.

Die Eingabe von festen Verschiebungen ist möglich (Anhang I).

Falls infolge der angenommenen Randbedingungen, entsprechend

dem gewählten Verformungsparameter, ein Steifigkeitskoeffizient

s zum Diagonalelement der globalen Steifigkeitsmatrix [k] addiert

wird, kann man durch einen Lastkoeffizient Pj =S • 8j (wobei 8j

die gewünschte Verformung ist) die vorgeschriebene Auflagerver¬

schiebung berücksichtigen.

-72-

8. LOESUNG DES GLEICHUNGSSYSTEMS

Die für die Lösung des Gleichungssystems benötigte Rechenzeit

stellt für die meisten Programme einen beträchtlichen Anteil

der gesamten Rechenzeit dar. Für Probleme mittlerer Grösse

(ca. 1000 Gleichungen und eine Bandbreite von ca. 100) liegt

dieser Anteil bei ca. 80 %. Deswegen wurde der Lösung des

Gleichungssystems grosse Aufmerksamkeit geschenkt. Zwei Lö¬

sungsprogramme wurden verwendet. Das erste Programm wurde von

Anderheggen [32] beschrieben und programmiert und arbeitet

nach dem Gauss'sehen Eliminationsverfahren. Das zweite Pro¬

gramm von Mazzario [48] basiert auf dem Cholesky-Verfahren

und führt zu wesentlichen Zeitersparnissen gegenüber dem

ersten. Die Rechenzeitersparnisse (CP-Zeit) liegen bei 40 %

und werden im Bild 8.1 für eine Reihe von Beispielen zusammen¬

gestellt .

Für die folgenden Betrachtungen wird die Gleichung (56) anders

geschrieben:

L JlMGLxNGL L JNGLxNBEL L JNGLxNBEL

wobei [A] die symmetrische bandförmige Koeffizientenmatrix

(NGL = Anzahl Gleichungen), [X] die Matrix der unbekannten

Lösungsvektoren (NBEL = Anzahl Belastungsfälle) und [B] die

Matrix der Belastungsvektoren darstellt.

8.1 Gauss'sches Eliminationsverfahren

Die symmetrische Matrix [A] kann als Produkt folgender Ma¬

trizen dargestellt werden:

-73-

[a]=[l]-[d].[l]'

[L] ist eine Linksdreiecksmatrix [ll] mit lauter Einsen in

der Diagonale. [D] ist eine Diagonalmatrix, deren Elemente

die Pivot-Elemente des Gauss'sehen Algorithmus darstellen.

[R] = [D] •[!_]' C)

ist eine Rechtsdreiecksmatrix, deren Diagonalelemente die

Pivot-Elemente des Gauss'sehen Algorithmus sind.

Das Gleichungssystem (66) kann folgendermassen geschrieben

werden:

[l] -[r]-[x]-[b] r ° (69)

Zur Bildung der Lösungsmatrix [X] sind zwei Schritte not¬

wendig:

a) Vorwärtselimination zur Bildung von [R] und [L] . [B] .

Die folgende Gleichung gilt:

[R].[X]-[L]-'.[B] = 0

Im Programm von Anderheggen ist auch die Speicherung von

[R] für spätere Berechnungen vorgesehen. In diesem Fall

([R] bekannt) reduziert sich dieser Schritt zur Bestimmung

von [L]"1. [B]. Wobei:

[L]'=M>]

-74-

Weil [R] die gleiche Bandstruktur hat wie [A], kann [R] auch

anstelle von [A] gespeichert werden.

b) Rückwärtselimination zur Bildung des Lösungsvektors [X]:

[x] = [R]-'.[Lr-[B]

Im Programm sind die [Aj- und [ß]- Matrizen in Blöcke kon¬

stanter Anzahl Zeilen NZ unterteilt. Die Breite NK der Blöcke

der bandförmigen [A]-Matrix ist konstant. Im Speicher der

Rechenanlage werden gleichzeitig nur zwei Blöcke von [A] und

[B] benötigt.

NZ kann auch kleiner als NK sein. Dies erlaubt die Lösung von

grossen Gleichungssystemen mit einem beschränkten Speicher¬

platz (z.B. mit dem auf der CONTROL DATA 6500 Anlage maximal

zur Verfügung stehenden Speicherplatz von ca. 30000 Wörtern).

Zu beachten ist aber, dass die Rechenzeit für die Einlesung

der Blöcke im Speicher zunimmt, falls NZ<NK-1 ist. In diesem

Fall erstreckt sich der Einfluss jedes Eliminationsschrittes

auf mehrere Blöcke der globalen Steifigkeitsmatrix, so dass

mehr als zwei Blöcke im Speicher nacheinander geladen und

transformiert werden müssen.

8.2 Cholesky-Verfahren

Das Cholesky-Verfahren basiert auf der folgenden Zerlegung

der Koeffizientenmatrix der Gleichung (66):

[A] = [R*] • [R#]f <73)

-75-

[R ] ist eine Rechtsdreiecksmatrix. Diese Zerlegung ist anders

als die normalerweise in der Literatur [11] angegebene:

[A] = [L*]-[L*]f C74D

Durch Einsetzung von Gleichung (73) in Gleichung (66) folgt:

[R*]-[R*]' • [X]= [B] (">

Zuerst wird [R*] bestimmt.

Die Auflösung des Gleichungssystems erfolgt in zwei Schritten.

Wenn die Gleichung (75) wie folgt geschrieben wird:

[r*] -[y] = [b] <76a>

ist der erste Schritt:

[y] • [r-]"1- [b] l»M

und weil:

[Y]= [R#](-[X] (77a)

folgt der zweite Schritt als:

[X].([R']T -[Y]

Diese zwei Schritte sind einfache Vor- und Rückwärtseliminationen.

-76-

Das Programm von Mazzario [48] speichert die Matrix [A] zei¬

lenweise nur bis zum letzten, nicht verschwindenden Term der

Zeile. Diese komprimierte Speicherung ermöglicht grosse Platz¬

ersparnisse, speziell im Falle von stark variierenden Band¬

breiten der globalen Steifigkeitsmatrix [K]. Aus diesem Grunde

verkleinert sich die Anzahl Blöcke der globalen Steifigkeits¬

matrix und die Anzahl notwendiger Ein- und Ausgabeoperationen.

Das bedeutet kleinere Ein- und Ausgaberechenzeit.

-77-

9. NUMERISCHE BEISPIELE

9.1 Platte

9.1.1 Vergleiche mit analytischen Lösungen für

quadratische und schiefe Platten

Für diese Untersuchungen wurden sowohl die VKPL28- als auch

die VKPL24-Plattenelemente [32] verwendet. Das Viereckelement

mit 28 Verformungsparametern besitzt noch die vier Normal¬

verdrehungen in der Mitte der Seiten. Beim Element VKPL24

sind die vier Normalverdrehungen eliminiert. Das Element

VKPL28 gibt selbstverständlich für die gleiche Maschenkonfi¬

guration etwas bessere Resultate (Abschnitt 2.5), aber mit

einer beträchtlichen Vergrösserung der Rechenzeit. Eine

erste Serie von Vergleichen betrifft quadratische, einfach

gelagerte oder eingespannte Platten mit verschiedenen Element¬

unterteilungen. Als Belastung ist eine Einzellast in der

Plattenmitte und eine gleichmässig verteilte Belastung unter¬

sucht worden. Aus Symmetriegründen wird ein Viertel der Platte

mit den entsprechenden Randbedingungen nach Bild 9.1 benutzt.

Die Tabelle 9.1.1 stellt die Resultate der durchgerechneten

Beispiele, zusammen mit den entsprechenden analytisch gerech¬

neten Werten [6], dar. Ebenso wurden einfach gelagerte und

eingespannte Platten mit verschiedenen Winkeln der Schiefe

und verschiedenen Elementunterteilungen berechnet. Die in

Tabelle 9.1.2 (a, b) eingetragenen Werte wurden in der Mitte

des gleichseitigen Viereckes (Seitenlänge a) und mit einer

Poissons'sehen Zahl V = 0.3 berechnet. Das Koordinaten¬

system entspricht dem des Bildes 9.6 und die Elementunter¬

teilung erfolgt parallel zu den Seiten (z.B. Bild 9.10,

Fall 3). Analytische Lösungen des Problems der schiefen

Platte sind aus den Arbeiten von Favre und Lardy [50, 51]bekannt. Morley [9], Mehmel [61], Hanuska [10], Rüsch [52],

-78-

Newmark und Jensen [19, 41, 42j untersuchten schiefe Platten

sowohl mit Differenzenmethoden als auch mit Modellmessungen.

Genaue numerische Werte sind aber selten angegeben. Deswegen

sind in der Tabelle 9.1.2 (a, b) zum Vergleich nur Werte ein¬

getragen, die aus der Verwendung von anderen endlichen Ele¬

menten (Argyris [30], Anderheggen [59]) entstanden sind. Die

Werte von Anderheggen [59] sind für eine Elementunterteilung

8 mal 8 gerechnet worden, wobei Gleichgewichtselemente, ba¬

sierend auf einem Spannungsansatz, verwendet worden sind.

Die Werte der Momente unter der Einzellast sind zur Beur¬

teilung der Aenderung derselben für verschiedene Element¬

unterteilungen eingetragen worden. Diese Momente sind für

die analytische Lösung unendlich gross.

9.1.2 Stützeneinbau

Das Bild 9.2 zeigt ein Viertel einer Platte mit einer Stütze

in der Mitte. Verschiedene Elementunterteilungen wurden un¬

tersucht. Für die Berücksichtigung der Stütze ist das ela¬

stisch aufliegende Viereckelement VS verwendet worden. Das

Beispiel wurde auch von Anderheggen [32] mit einer Unter¬

teilung 7 mal 7 nach Bild 9.2 und mit einer Fourieranalyse

(Programm PLATE-FOURIER von Pfaffinger [40]) berechnet. Die

aus VKPL24-Elementen bestehende Platte wurde für eine gleich¬

mässige Belastung berechnet. Damit ein Vergleich mit den

Resultaten des PLATE-FOURIER-Programmes möglich ist, wurde

die Federkonstante des VS-Elementes so gewählt, dass die

Durchbiegung in der Elementmitte gleich Null wird. Die Ta¬

belle 9.1.3 zeigt die Resultate für die verschiedenen Unter¬

teilungen und die Konvergenz der Verformungen und der Momente

zu den analytischen Werten.

-79-

9.2 Rippenplatten

Verschiedene Rippenplatten wurden berechnet und die Resultate

mit denen von Mehrain [22] verglichen. Der zitierte Autor un¬

tersuchte Rippenplatten mit der Methode der endlichen Elemente

und führte parallel dazu Modellmessungen aus. Die rechteckige

Rippenplatte des Bildes 9.3 wurde mit verschiedenen Element¬

unterteilungen untersucht. Schiefe Rippenplatten, in einer

oder beiden Richtungen verstärkt, nach Bild 9.10, wurden mit

verschiedenen Randbedingungen, Belastungen und Elementunter¬

teilungen berechnet.

9.2.1 Rechteckige Rippenplatte

Das Bild 9.3 zeigt die Abmessungen und die von Mehrain [22]

gewählten Elementunterteilungen für ein Viertel der Rippen¬

platte. Belastung und Materialeigenschaften sind im selben

Bild aufgetragen. Aus Symmetriegründen konnte die Berechnung

auf ein Viertel der Platte beschränkt werden. Bild 9.4 zeigt

die Konvergenz der Durchbiegung unter dem Belastungspunkt

und im Bild 9.5 die Biegungsmomentverteilung in der Platte.

Im Bild 9.4 sind verschiedene Konvergenzkurven eingezeichnet.

Sie entsprechen verschiedenen von Mehrain [22] entwickelten

Programmen. Bei den drei aufgezeichneten Varianten des COMDEK-

Programmes wurden Balken verwendet, die aufgrund von ver¬

schiedenen Verschiebungsansätzen entwickelt wurden. Die besten

Resultate von Mehrain mit der Methode der endlichen Elemente

liefert das Programm REFDECK. MULTPL ist ein Programm für

Faltwerke, das Mehrain als Vergleichsbasis benutzt hat. Das

COMDECK-Programm benützt als Verformungsparameter an den

Ecken der Vierecke die vertikale Verschiebung, die zwei Ver¬

drehungen und die zwei Verschiebungen in der Ebene der Platte.

-80-

Das REFDECK-Programm verwendet Vierecke, die neben den Ver¬

formungsparametern der Elemente des COMDEK-Programmes auch

die Verschiebung in Seitenrichtung in der Mitte der vier

Seiten des Viereckes besitzen. Im Balkenelement dieses Pro¬

grammes ist zusätzlich zu den obenerwähnten Verformungs¬

parametern der Ecken des Viereckes auch der Verschiebungs¬

parameter in der Seitenmitte entlang der Seite des Viereckes

vorhanden. Der Balken ist mit den Viereckverformungen voll

kompatibel.

9.2.2 Schiefe Rippenplatte

Eine Serie von 14 Beispielen nach Bild 9.6 und 9.10 aus

Mehrain [22] wurde mit dem FEAPS-Programm nachgerechnet. Es

handelt sich um schiefe, in einer oder zwei Richtungen ver¬

steifte Platten. Die Rippenplatte des Bildes 9.6 ist in A

und B mit Einzellasten belastet. Verschiedene Unterteilungen

für die Platten- und Scheibenvierecke (4 mal 4, 8 mal 8,

12 mal 12) wurden angenommen. Die Tabelle 9.1.4 fasst die

Rechenzeit des zentralen Rechenwerkes (CP-Zeit) für die

untersuchten Elementunterteilungen zusammen. Mehrain unter¬

suchte die Rippenplatte mit dem COMDEK-Programm (Viereck-

Unterteilung 12 mal 12 und 845 Gleichungen) und mit dem

REFDEK-Programm (Viereekunterteilung 8 mal 8 und 549 Gleichun¬

gen). Die Bilder 9.8 und 9.9 zeigen die Schnittkräfte N und

M für einige Schnitte durch die Rippenplatte. Die Werte der

Schnittkräfte von Mehrain sind nicht genau in der Mitte der

Platte, was auch die Abweichung der FEAPS-Kurven teilweise

erklären kann. Für die anderen Beispiele des Bildes 9.10

wurde eine Viereckelementunterteilung 8 mal 8 (Fall 1 bis 8)

und 12 mal 6 für die Querrichtung (Fälle 9 bis 12) vorge¬

nommen. Die vorher beschriebenen Berechnungen für das Beispiel

-81-

nach Bild 9.6 zeigen eine genügende Genauigkeit für eine

8 mal 8 Unterteilung. Die Rippenplatten der ersten Serie (Fall

1 bis 8) weisen dieselbe Geometrie und dieselben Materialei¬

genschaften des Beispieles des Bildes 9.6 auf. Die Aenderungen

betreffen nur die Lage der exzentrischen Balken, die Auflager¬

bedingungen und den Winkel der Schiefe. Die Balken in Quer¬

richtung haben dieselben Abmessungen wie diejenigen in Längs¬

richtung. Bei der zweiten Serie von Rippenplatten (Fälle 9

bis 12) sind die Abmessungen zwischen den einfach gelagerten

Seiten dieselben wie bei der ersten Serie. Die Abmessung in

y-Richtung der Rippenplatten der zweiten Serie (Bild 9.6)

ist aber die Hälfte von der Abmessung der ersten Serie. Das

Bild 9.7 zeigt die Lage der konzentrierten Lasten auf. Die

Bilder 9.11 bis 9.22 stellen die Durchbiegungen dar, die man

mit dem FEAPS- und COMDEK-Programm mit denselben Viereck¬

unterteilungen erhält.

9.3 Schiefe Plattenbrücke

Eine in Wirklichkeit gebaute, schiefe Plattenbrücke wurde an

einem Modell untersucht. Es handelt sich um eine punktförmig

gelagerte zweifeldrige Platte, deren spitzer Winkel 20 Grad

aufweist. Die Abmessungen sind im Bild 9.23 angegeben. Die

Platte ist 60 cm dick und isotrop (Elastizitätsmodul E =

300000 kg/cm2 und Poissons'sehe Zahl V =0.3). Die Platte

wurde mit einer ständigen Last von 2 t/m2 belastet. Dieselbe

Platte wurde mit dem FEAPS-Programm berechnet. Zur Verein¬

fachung der Einteilung wurden die Teile der Brücke über den

Widerlageraxen bei den spitzen Ecken nicht berücksichtigt.

Diese Teile entsprechen einem Gewicht von ca. 35 t, das im

Bild 9.24 für die Auflagerkräfte bei den Stellen 00, Ol, 37,

38 noch zu den Werten in den Klammern zu addieren wäre.

-82-

Die Unterteilung nach Bild 9.23 (14 Kolonnen von Elementen

und 10 Elemente pro Kolonne) führt zu einer genügenden Ge¬

nauigkeit. Im Bild 9.23 sind die aus FEAPS erhaltenen Bie¬

gungsmomente M und M für einige Schnitte eingetragen.x y

Gleichzeitig wurden auch die Werte aus der Modellmessung

angegeben. Im Bild 9.24 sind die Auflagerkräfte aus der Mo¬

dellmessung und aus der Berechnung mit dem FEAPS-Programm

eingetragen. Die verwendete Plattenunterteilung erzeugt ein

Gleichungssystem von 990 Gleichungen und eine Bandbreite von

78 Verformungen und Schnittkräfte werden in 305 Punkten ge¬

liefert. Die Eingabe braucht 62 Karten und die Rechenzeit

ist ca. eineinhalb Minuten. Die Symmetrie der Auflagerkräfte

bezüglich des Zentrums der Platte stellt ein Mass für die

numerische Genauigkeit dar.

QUADRATISCHE

PLATTE

NACH

BILD

9.1

(ir=0.3)

5! ODm r~

r-

m CO

EINFACH

GELAGERTE

PLATTE

EINGESPANNTE

PLATTE

VKPL28-

Viereckelemente

[32]

VKPL24-Viereckelemente

[32]

VKPL28-Viereckelemente[3

2]

"Mitte

wPMitte

MMit

teMMitte

wMitte

wMitte

p

M|viitte

^Mitte

wMitte

«Mit

teMMitte

MMit

te

c 3 CO öT E"

X

0.0115520004063

(0.33)

OJ0484

00115520004063

(0.33)

0.0481

OJ00557

0.001265

(0.28)

0.0240

ro

X IN}

QD11588

QD04062

(0.4

0)0.0479

Q011588

0004062

(0.40)

0.0480

00055990001265

(0.35)

00230

X

0.0115980.004062

(0.47)

0.0479

0.011597

0.004062

(0.47)

0.0479

0005609Q0O1265

(0.4

2)OJ0229

Timoshenko

[6]

a01160

0J00406

CO

0.0479

0.01160

0.00406

00

0.0479

0.00560000126

CO

0.0231

Faktor

Pa2

D

pa«

DD

DP

a2

D

pa4

DD

DP

a2

D

pa«

DD

D

VKPL28

EINFACH

GELAGERTE

SCHIEFE

PLATTE

^=0.3

(Werte

in

Plattenmitte)

COo n>

'

CD

Unter¬teilung

EINZELLAST

IN

MITTE

P=:

1GLEICHMÄSSIG

VERTEILTEBELASTUNG

P=1

>—i

II > CTo Ed ii 31c ui

3- ö* D 1—i

< ii

O —\ «T

•<

H 3>

OD

m r~

r-m CO

rv>

o

wMitte

Mx,Mitte

My,M

itte

MXy,

Mrtt

eWMitte

MX,Mi1te

My.M

itte

Mxy,

Mitte

CT)

O0 13

2x2

8.827

3.160

3.328

1.406

2.493

3.443

3.942

4.322

4x4

8.955

3.865

4.019

1.333

2.527

3.518

3.992

4.106

8x8

9.010

4.586

4.739

1.318

2.543

3.538

4.006

4.049

2.56

QV]

cn o

2x2

5.770

2.813

3.205

1.961

1.181

1.968

2.835

4.336

4x4

6.020

3.584

3.938

1.767

1.234

2.171

2.954

3.915

8x8

6.152

4.328

4.672

1.719

1.265

2.239

2.998

3.793

1.34

[H]

1.299

[I]

Oo

2x2

2.605

2.206

2.908

2.028

3.020

5.784

1.452

2.522

4x4

2.886

3.031

3.713

1.968

3.335

8.110

1.641

2.396

8x8

3.039

3.837

4.466

1.817

3.538

9.335

1.689

2.182

407

[IV]

Faktor

10-*£

10"1

D10"1

D10

"1D

io-V

1Ö~2D

10"2D

10~3D

VKPL28

EINGESPANNTE

SCHIEFE

PLATTE

zf=0.3

(Werte

nPlattenmitte)

COo =r

Unter -

teilungEINZELLAST

IN

1 VIITTE

P-=

1GLEICHMÄSSIG

VERTEILTEBELASTUNG

p=1

II > fi n > 3 Q.

n>—i

3"

a>

<Qo CD3 roX oo

11?

g H XIc tn3-

O 3 V ii£

> DD

m V r-

m CO

IV)

er

wMitte

MX,Mitte

My.Mit

teMx

y,Mi

tte

wMit

teMx,Mitte

My.M

itte

Mxy,

Mitte

CD

o0

2x2

4.244

0.263

0.272

0.975

7.598

1.709

1.810

1.770

4x4

4.313

0.335

0.346

1.000

7.690

1.655

1.875

1.906

8x8

4.323

0.406

0.418

0.994

7.691

1.653

1.871

1.882

7-3

[L

7.68900

1.66

[I]

1.87

[I]

1.83

[n]

Ol o "1

2x2

2.900

0.247

0.267

1.134

3.667

1.157

1.340

1.530

4x4

2.972

0.312

0.339

1.291

3.768

1.036

1.374

1.689

8x8

2.982

0.385

0.411

1.279

3.771

1.044

1.376

1.659

3.89

[1.

3.77

[I1.05

[I]

1.37[I]

1.61

tn]

OJ

o0

1

2x2

1.502

0.214

0.263

1.454

1.051

0.649

0.876

0.884

4x4

1.551

0.276

0.322

1.311

1.080

0.475

0.773

0.860

8x8

1.564

0.348

0.394

1.345

1.084

0.476

0.781

0.872

-1.0

1.08H

0.489QI]

0.778[H]

0.833&]

Faktor

10"^

DD

10~2D

io-V-

410

~2D

10~2

D10"3

D

D=

Plottensteifig-

keit

Verschieb¬

ung

in

WM

My/D

M2/D

M3/D

MyVD

Stützen

-

kraft

Anzahl

Gleich¬

ungen

Band¬

breite

CP-Zeit

(Sek

.)

AnalytischeWerte

(Pfa

ffmg

er[4

0])

71814.3

192.29

267.32

-755.0

-683.3

4689.58

Unterteilung

mit

VKPL24

(2x2)

96789.5

(213.01)

(189.63)

-920.32

-944.06

5100.56

54

30

7.2

(3x3)

76381.3

241.78

279.21

-809.29

-752.25

4802.96

96

36

8.4

(4x4)

73569.5

(188.06)

(266.15)

-777.05

-713.28

4734.98

150

42

10.4

(7x7)

72041.6

193.22

267.41

-758.17

-692.63

4696.17

348

60

22.7

Tabelle

9.1.3

:Platte

mit

Stütze

mit

verschiedenen

Unterteilungen

nach

Bild

9.2

(Werte

in

Klammern

sind

vom

nächstliegenden

Viereckmittelpunkt).

Element-

Unterteilung

fürFEAPS

Anzahl

Gleichungen

NGL

Bandbreite

NB

NGL»NB2

Totale

CP-Zeit

(5

Belast¬

ungsfälle

)

CP-Zeit

fürLösung

des

Gleich¬

ungssystems

(CDC-6500)

Sekunden

Sekunden

4x4

Elemente

8x8

Elemente

12x12Elemente

300

972

2028

84

132

180

2.11680-106

16.9361-106

65.7072-106

32.55

158.40

561.31

16.215

(50%)

127.640

(80.5%)

482.540

(86.0%)

CP-Zeit

Rechenzeit

des

zentralen

Rechners.

Tabelle

9.1.4:

Schiefe

,zwei

seit

igeinfach

gelagerte,Rippenplatte

mit

verschiedenen

Unte

rtei

lung

ennoch

Bild

9.6

ZUSAMMENFASSUNG

Die Methode der endlichen Elemente wird für die Berechnung

von dünnen, elastischen, isotropen oder orthotropen Platten

und Rippenplatten beliebiger Form, Auflagerung und Belastung

nach der Theorie 1. Ordnung verwendet. Ein entsprechendes

Programm (FEAPS: "Finite Element Analysis of Plate Systems")

wird für eine CDC-6500 Rechenanlage entwickelt.

Das Programm verwendet eine problemorientierte Eingabe, um

seine praktische Benützung zu vereinfachen. Die benützten

dreieckigen und viereckigen Platten- und Scheibenelemente,

sowie die Balkenelemente sind kinematisch kompatibel. Für

rippenlose Plattenberechnung ohne Scheibenwirkung verwendet

FEAPS nur Plattenelemente. Die Rippenplatten werden durch

Schalenelemente erfasst, die aus der Zusammensetzung eines

Platten- und eines Scheibenelementes, sowie aus zur Platten-

mittelebene exzentrischen Rippen, entstanden sind. Die ein¬

gesetzten Plattenelemente (DRPL18, VKPL24) sind Verschiebungs¬

elemente, deren Verschiebungsansatz ein Polynom fünften Grades

ist. Für die Scheibenelemente (DRSC18, VKSC24) werden für die

Verschiebungen in x- und y-Richtung Polynomansätze dritten

Grades verwendet. Die exzentrischen Balkenelemente entstehen

aus einem Verschiebungsansatz fünften Grades für die Ver¬

schiebung senkrecht zur Platte und dritten Grades für die

Verschiebung in Längsrichtung.

Die Plattenelemente und die Scheibenelemente haben sechs

Verformungsparameter pro Knoten. Die Plattenelemente eine

Verschiebung, zwei Verdrehungen und drei Krümmungen, und

die Scheibenelemente zwei Verschiebungen, zwei Dehnungen,

eine Schiebung in der Ebene der Scheibe und eine Rotation

um eine Senkrechte zur Scheibe.

-89-

Die viereckigen Elemente entstehen aus der "Kondensation"

von vier Dreiecken. Besondere, elastisch gestützte Vierecke

für die Behandlung von Stützen und Fundamentplatten sind

im Programm eingebaut.

Es wird eine elementorientierte Eingabe und eine kolonnen¬

weise festgelegte Elementanordnung und Knotennumerierung

gewählt. Dies vereinfacht die Eingabe und reduziert die

Gesamtrechenzeit, da schmale, bandförmige, symmetrische

Gleichungssysteme erzeugt werden. Das lineare Gleichungs¬

system wird mit zwei speziell programmierten Algorithmen

wahlweise gelöst (Gauss'sches Eliminationsverfahren oder

Choleskyverfahren). Bei der Cholesky-Zerlegung wird bei der

Speicherung der Koeffizientenmatrix die variable Bandbreite

berücksichtigt. Die kompakte Speicherungsart dieses Algo¬

rithmus erlaubt wesentliche Rechenzeitersparnisse.

Verschiedene analytisch und mit der Methode der endlichen

Elemente berechnete, aus der Literatur bekannte Platten und

Rippenplatten werden überprüft. Dabei wird festgestellt,

dass schon mit einer groben Unterteilung recht beachtliche

Resultate erzielt werden.

-90-

SUMMARY

The finite element method using a displacement model is

employed to analyse the elastic bending of plates and

eccentrically stiffened plates. For the stiffened plates

both the stiffnesses due to in-plane and to plate-bending

action for the plate and beam elements are taken into

aecount. A generei FORTRAN IV program for the CDC-6500-

Computer was developed.

The finite element used are the following:

1. Fully compatible triangulär and "Condensed"

quadrilateral plate bending element with 18 and 24

degrees of freedom (DRPL18, VKPL24).

2. Fully compatible triangulär and "Condensed"

quadrilateral plane stress element with 18 and 24

degrees of freedom (DRSC18, VKSC24).

3. Eccentric fully compatible beam elements with

24 degrees of freedom (BAL24).

The plate bending element ensures displacement and slope

compatibility along the edges of adjacent elements.

Six parameter are introduced at each corner: the deflection,

two rotations and three curvatures. This element assumes as

a displacement field a complete polynomial of fifth degree

in x and y.

The plane stress element is based on a complete third degree

polynomial in x and y for the displacements u and v in

x- and y-direction. Six parameters are introduced at each

corner: two displacements, three strains and a rotation.

-91-

Quadrilateral elements are assembled by four triangulär

elements. The internal degrees of freedom are eliminated

by static condensation. Special quadrilateral elements

for the traitment of columns and elastic foundations are

also available.

An element-oriented input combined with columnwise dis-

position of the elements characterises the program. The

geometry is specified only for element types, assuming that

the whole structure is built up by a redueed number of element

types.

The direct stiffness method is used to assemble the global

stiffness and loading matrices.

The system of linear equations is solved by specially

programmed algorithms based on the Gauss-Elimination or

Cholesky-Method. The variable bandwidth of the global

stiffness matrice was taken into aecount by the programmed

Cholesky algorithm.

Several numerical Solutions are given showing good

correspondence with known analytical or experimental

results.

-92-

RESUME

On presente le calcul par la methode des elements finis

des plaques avec ou sans nervures de forme et de conditions

d'appui quelconques. Pour 1'idealisation de la plaque

nervurie, on utilise d'une part des Clements de plaque et

de membrane superposes et d'autre part des elements de

barre.

On a d6veloppe pour l'ordinateur CDC 6500 un programme en

FORTRAN IV.

Differents types d'elements sont utilisis :

1. Elements de plaque completement compatibles,

triangulaires et quadrilateraux avec respectivement

18 et 24 degres de liberte (DRPL18, VKPL24).

2. Elements de membrane completement compatibles,

triangulaires et quadrilateraux avec respectivement

18 et 24 degres de liberte (DRSC18, VKSC24).

3. Elements de barre purement compatibles ä 24 degrSs

de liberte (BAL24).

L'element de plaque flSchie assure la continuite des deplace-

ments et des pentes entre les elements.

On a introduit ä ehaque angle 6 parametres: la fleche, deux

rotations et trois courboures.

Pour l'element de plaque on a adoptß un polynome de 5e degre

complet en x et y.

-93-

Pour 1'Clement de membrane on a adopt§ un polynome de 3e

degri complet en x et y pour les dSplacements u et v en

direction des axes x et y.

On a introduit ä ehaque angle les 6 parametres suivants:

2 deplacement, 3 dilatations et une rotation.

Les elements quadrilateraux sont formes par 4 Clements

triangulaires, avec Elimination par "condensation" des

degrSs de liberte1 internes.

On dispose encore d'Elements quadrilateraux pour le traite-

ment de colonnes et de fondation Slastiques.

Les donn§es du programme se basent sur la gesomgtrie et la

topologie des Clements qui sont groupSs en colonnes.

Pour assembler les matrices globales de rigidite et des

eharges, on utilise la methode des deformations en additionant

directement les rigidites des Clements.

Le Systeme d'equations lineaire est rSsolu par un algorythme

basS sur 1'elimination de Gauss ou par la m6thode de Cholesky.

Pour cette derniere, on a tenu compte de la largeur variable

de la bände de la matrice de rigiditß.

Pour Controller la bonne convergence des rSsultats, on a

calculö certains systemes, dont on trouve les Solutions

dans la littgrature.

-94-

3 analog zu 1

WlO,«iw10,y

194-24: w

Seite 1-r 3

analog zu

2t3

Seite 1t2 analog zu 2t3 2 analog zu 1

«1 ; w1)X; w1iyw1,»*iw1,yyi w1,xy

Bild 2.1: DRPL 45-Rattenelement

x.x.u

z,z ,w,w

Bild 2.2 : Exzentrisches Balkenelement

-95-

Koordinatensystem

x,y- Kartesisches Koordi-

natensystem (Index "k")

oc,/3- schiefes Koordinaten¬

system mit Dreieck-

koordinaten (Index"s")

Knotenpunktsystem

Verschiebungsvektoren6 Knoten

Knotenpunktsystem

Krümmungsvektoren10 Knoten

Bild 2.3 : Koordinatensysteme für die Steifigkeitsmatrix des dreieckigen

Plattenelemtes mit 21 Freiheitsgraden.

-96-

W:

Wi

y, i rw2

[7-/-12] N

w2,x

w2,yy

w2,y

«2,xy

\ri •6]fw,

"«1

W3,x w3,yl [3^^^^xx w3,yy w3,xyJ [13 18]

P* «l,x wi,:

LWl,xx Wtjry W|,:

? x

Bild 2.4.a: Plattenelement DRPL18 mit 18 Verschiebungsvariablen

w3 w3,x

W^ ^.xx

[19- -24](X2,y2) w2 w2,x

w2,y w2,xx

w4 w4>x

w4,y w4,xx

4,yy 4,xy,

W1 «1.x

w1,y «l.xx

_W)>yy W||Xy

Bild 2.4.b: Plattenelemente VKPL 24 mit 24 Verschiebungsvariablen

eing

espa

nnt

einfach

gelagert

Stütze

Bild

3.1:

Generelle

Rippenplatte

10

-98-

t

-Exzentrizität des Balkenschwerpunktes

Bild 3.2: Balken und Platte

a>

*-¦

o

a.

c

ct.

.c

ti

Plattenknoten-

verschiebungen

Scheibenknoten-

verschiebungen*

N. Zone A

Ratte

(VK.VS,

DR,DL,Bl_BQ)

Zone C

Plotfenscheibe

(BL , BQ)

Symmetrisch

\Zone B

Scheibe\

(BL.VS^DR.DL.BL.BQ)

\

Bild 3.3: Einflusszonen der Steifigkeitsmatnzen der verschiedenen Elemente

Beginn

Main

Overlay

1

Date

nein

gabe

Eing

abevon:

Parametern

Geometrie

Topo

logie

Randbeding¬

ungen

Belastungen

Overlay2

Berechnung

der

Element-

Steifigkeiten

und

Last-

vektoren

Overlay3

Zusammen

-

Stel

lung

der

glob

alen

Stei

figk

eits

-

matrix

Behandlung

der

Randbeding¬

ungen

Overlay4

Vorbereitung

der

Belastungs-

vektoren

Overlay5

Lösung

des

Gleichungs-

systems

Overlay6

Berechnung

der

Schnitt-

kräfte

und

Herausgabe

der

Resultate

(O

<0

Bild3.4:

Flussdiagramm

FEAPS-Programm

-100-

Speicherplatz CDC - 6500

Fix

für das

ganze

Programm

"Labeled Common Main"

Fixe Informationen : Problemparameter

[AnfangsodresserTgMatrizen im Speicher

Absolute Ocfaladressen

00 000

00 101

'Main" Hauptprogramm ¦• immer im

mit Hiifsroutmen

Blank Common ud.

Overlay 1,2

Programm

Dieser Teil des

Speicherplatzesvariert in der Länge

von Overlay zu

Overlay.

U( IA BEGIN ) Beginn der Speicherung der

verschiedenen Matrizen mit variablen

Dimensionen.

(Eingabeinformationen und Blöcke der

Steifigkeits- und Belastungsmatrizen )

Diese Informationen werden von

Overlay zu Overlay verschoben.

ca 024 000

"Adresse variert

mit den Overlays.

Gebrauchte Feldlänge

Bild 3.5: Speicherkonfiguration CDC-6500 mit FEAPS -Programm

Over

lay

1

MAIN-Programm

U(1)

(ca.11OO08)

JOverlay-

1

Programm

Overlay-2

Programm

<lU(IABEGIN)

U(IABEGIN)

Input

-

Matrizen

!

U(IABEL)

UÜABEL]

'Elementen

-]ISteifig

keit

s-ä

|matrizen

fix

lim

Speicher!

Over

lay-3

Programm

Overlay-4

Programm

U(IABEGIN)

U(IABEGIN)

UÜABEL)

u

Elementen

-

Stei

figk

eits

-

matrizen

fix

im

Speich

er

sll(IABIGK);

iBIock

globale

|Ste

ifig

keit

s-f

i.matrixü

:U(IABEL);

JNmRBhHKMmIPLj

Block

glob

alef

Belastungs

matrizen

I

Over

lay-5

Programm

Over

lay-6

Programm

üluÜABEGIN)!

U(IABEGIN)

UÜABEL

[Diese

Länge

bestimmt

die

Anzahl

Zeilen

NZ

derBlöcke

des

Gleichungs¬

systems

NHBNHH

.2*NK

*NZ)

2*NK*

NBEL)

lU(IABEL)

O)

c £ s a>

a>

CTc <

Bild

3.6

:Speicherbenützung

für

die

verschiedenen

Programm

-

Over

lays

.

eingespannt

einfach

gela

gert

frei

Uäoq*^2

o

Bild

4.1

:Elementunterteilungund

Numerierung

-104-

Beginn Eingabe

Eingabe:Problemparameter

INMAT > 2

Eingabe: Materialien

(l

±Eingabe:

Geometrie

NTYPQ > 0 NTYPQS>0 NTYPTL>0 NTYPTR>0 NTYPBH >0 NTYPBV>0

Vierecke Vierecke

mit elast.

Auflagerung

Dreiecke

Spitze

links

Dreiecke

Spitze

rechts

Balken

quer zu

den Kolonnen

Balken

längs der

Kolonnen

cEingabe:Topologie

' '

1 1

TopologiePlattenelemente

NTYPBH > 0

Topologie Balken

quer der

Kolonnen

NTYPBV > 0

Topologie Balken

längs der

Kolonnen

Eingabe:Randbedingungen

rEingabe:

Belastungen

Bild 4.3: Eingabe -Flussdiagramm

-105-

YGIobal 3(X3,Y3)

1 X2

(unten, links)

2(X2,Y2)

-*- xGlobal

Bild 4.4.a : Geometrie des Viereckelementes

nvGlobal7 14 21

/ II I /\

7

/ J

137

/ I/\TR

/ I ^S.19/5/ 12 ^\26 31

I I 1 M1

4 11 18 25 zo

I I I 21 13 10 17 24 2a

I I I 2 12 9 16 23 ZQ

I I m m 11. 8 15 22 _/27

xGlobal

to-

Bild4.4.b: Elementtypanordnung

-106-

Bild 5.1 Globale Steifigkeitsmatrix

-107-

CTO) 0)

3 o <u

(25-7 36;

Legende: E\nnn^1 : Platte

frX*yfl : Scheibe

B (=BQ + BL)

BL, BQ : Balken

Tragwerk: Platte(4x4)-Einteilung

7f108)

(13-r24)

BQ -*¦ vertikale

Balken

(85t96)

(1t12) (37r48) (73-1-84)

BL —»• horizontale

Balken

-vBild 5.2: Steifigkeitsmatrix eines Elementes I in der Bandmatrix

Bandbreite

60

Bild

5.3:

Globale

Steifigkeitsmatrix

für

2x2

Vierecke

(nur

Platteund

Scheibe

ohne

Balkenanteile)

-109-

Bild 7.1 : Gedrehtes Koordinatensystem

Knoten i

NFKN = Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten

(12 im Falle der Rippenplatte)

Bild 7.2 : Einflusszone rotierte Randbedingungen in der globalen

Steifigkeitsmatrix

370Sek

ASekunden

RechenzeiHCP-ZeitohneEin-undAusgaberechenzeit)

300

240-

180

120-

60-

28+«^k}

Sek.

NK

=Bandbreite

NGL=

Totale

Anzahl

Gleichungen

„{28+ÄJGL

Q6}Sek

Lösung

durchBandvar

für5

Belastungsfä

lle

(Cholesky-

variable

Bandbreite)

Lösung

durchBandmat

für

1Belastungsfall

Algorithmus-

konst.Bandbreite)

144Sek.

<JNGL=2000

NK

=130

<\NGL=2000

NK

=100

3.38-107

Bild

2-10°

107

2-107

3-10

7

8.1

:Rechenzeit

für

dieLösung

derGleichungssysteme

4-107

5-107

-(NK)-NGL

¦111

Einfach gelagerte Platte V4

\

¦—>*f

,w=w,x

=w,xx = 0

w =

w,x=

w,xx¦

=

w.xy= 0

Wx=

W,xy= 0

/W,X=

W,y= W,xy=0

a)

Symmetrien

Eingespannte Platte 0/4)

VL¦w»y=

w.xv= °

,W =

W,X=

W,y= w,xx:

=

W,yy= 0

-W =

W,y=

W,yy= 0

rW =

W,y=

W,yy=

W,Xy= 0

i? = 0.3

\

hV

Symmetrien VV

W =W,x

=

W,y=W,xx== W,Xy=0

W=W,x=

W,y=W,XX=

:W,Xy= 0

/W.x=

w.xy =0

LWlX=W,y = W,xy=0

b)

/W,y=

W,Xy= 0

-W=W,X=W,y=W,xx==

W,yy=

W,xy =0

.W =

WlX=

W1y=

W,yy==

W,xy= 0

1

/,W=W,x=W,y

=

W,yy=

=

W,xy= 0

? X

Bild 9.1: Randbedingungen Platten (Unterteilung 2x2 Elemente)

-112-

Unterteilung (2x2)^W*- Symmetrie

I-

r

o

a>

° l

-gl

•|IL

\

\/

\ /WM

/

/

/(Mittelpunkt/ VK-Element

\

\

J\l

eingespannt

(4x4)

Stütze (VS-Element)- -W

*T

\\\

/

iL.//

,V*x.

\ /

VWM

V \i

m

/

//

\\\

h

-i

KMl\T

\-V

iL/

(3x3)

WM

(7x7)

Mv

\

/

\

/

/WM

\

L.

XdMy,MX

j/m;

/

J-

\-*r

/

\\

y3M^.MJ

/My

3x20.0 5.0 6x10.0 5.0

fr = 0.2

Bild 9.2: Quadratische Platte mit Stütze

-113-

einfach gelagert

Frei

1" — 2.54cm

1LBS— 0.4536kg (P=400LBS -*• 181.44kg)

1PSI — ~0.07kg/cm2(E=60.000PSI -* 420kg/cm2)

N = 1

N =2

?>̂>^

'">

A^N = 4

N= 6

A^

**

Bild 9.3: Rippenplatte: Geometrie und Elementunterteilung

-114-

PP«p-(Anzahl Gleichungen

(.Totale CP - Zeit in Sekunden

0.4048 Gleich. 300 588

0.35

o

IM

c

u

ea>

'030'

0.25

Netzeinteilung

Bild 9.4: Durchbiegung Mittelpunkt Rippenplatte des Bildes 9.3

-115-

cV

Eo

2

FEAPS (N = 2)

FEAPS (N=6)

MULTPL

fC0MDEK,(N=6)&&< (EL, SM,CD)

UEFDEK,(N = 4)

Abstand y längs x

(für FEAPS x

11L/24

L/2)

Bild 9.5: Momentenverteilung von Mx und Myder Rippenplatte

des Bildes 9.3

-116-

K

000 PSI

v4"

Belastung P = 100LB

in A und B

Bild 9.6 : Schiefe zweiseitig gelagerte Rippenplatte

E = 453000 psiif= 0.343

==10.0

B cV DJ/pound

HV I

Fall 1 bis 8 Fall 9 bis 12

Bild 9.7 : Lage der konzentrierten Belostungen

-117-

COMDEK, N = 12

(EL.SM.CD Balken)

Abstand yF (FEAPS) nach Bild 9.6

Abstand yc (COMDEK , REFDEK) nach Bild 9.6

Bild 9.8 : Verteilung von Nx der Rippenplatte des Bildes 9.6

-118-

-o— COMDEK (EL.SM.CDBeam) N=12

-ä— REFDEK, N=8

-X— FEAPS , N=12

Abstand yF (FEAPS) nach Bild 9.6

Absfand yc (COMDEK, REFDEK) nach Bild 9.6

Bild 9.9 : Momentenverteilung Mx der Rippenplatte des Bildes 9.6

F=

Frei

EG=einfach

gelagert

—

Ripp

enun

terteilung

F

ex

=63.434°(aretan2)

ß=45.00°

Fall

1Fall2

Fall3

Fall4

Fall

5Fall6

Fall7

Fall

8

CO

EG

//

l

7'T

/egeg/

Ä«

LEGW

AA

yy

Fall

9Fall10

Fall

11

/&////Ä

Fall

12

Bild

9.10

:Zusammenstellung

gere

chne

ter

schiefer

Platten

mit

Ripp

enun

tert

eilu

ng

-120-

\

Belc stunc in (^

\

,^**^t1S

^k

.15

IN.

.10

I I IBelastung in D

1Belastun

1j in E

//

t/1t/£

'/m

VY4

M/

\\

V

.05IN.

I I I

Belastung in H

nach ^Schnitt C-D-E-F-G

Bild 97jSchnitt A-B-E-H-l

-o— FEAPS —

•*y- FEAPS-

—• Mehrain Analysis— Mehrain Analysis

Bild 9.11 : Durchbiegungen der schiefen Platte Fall 1 nach Bild 9.9

in den Schnitten nach Bild 9.10

-121-

Belastung in H

/p \

k \Kfuk «

\\lA

\ \/;/ \

\

\ \ •

*\ •

\\ 1

\\\\\\

1 1 1Belastung in E

f1

s

11

V

IiIiII \\Ii \\ll

\\Ii\\

j \

Iiii

.05

IN.

.04

.03

.02

.01

.00

1 1 1

Belastung in E

^ ^//' L^\y fc

!/1\

i \\r }I \

l \\

/ \X i

nach -»Schnitt C-D-E-F-G :

Bild 9.7JScfnitt A-B-E-H-l :

~°— FEAPS Mehrain Analysis

•A- FEAFS Mehrain Analysis

Bild 9.12: Durchbiegungen der schiefen Platte Fall 2 nach Bild 9.9


-122-

.10IN.

OR

Ofi

.04

0?

^•00/!

Bellastung in C Belastung in D

r=5~3=***

FiU

•

<^L

<\r Y r

i

Belastun g in H

^>v,

*"' *v^> \s

/' \

/1V

1r

\/

H inach -| Schnitt C-D-E-F-G :

—°— FEAPS

Bild 9.7J Schnitl A-B-E-H-l —A- FEAPS

Mehrain Analysis

Mehrain Analysis



¦123-

.020IN.

.015

010

.005

i -i i

Belastung in H

-A-

w / '

//7/ \r\

tVI

\ \\ \\ \\ \

\

t \ii A i

\k

\\ \

w Vhk

V '

>k

1V

L l 1 1

^Belastung in E

\\

\

\

.03

IN.

.02

.01

.00

#Ii

II

l

a i—i—r

/'Jt^-JBelastung in E

1\

\

inach "1 Schnitt C-D-E-F-G

Bild 9.7J Schnitt A-B-E-H-l

—°— FEAPS

--£*- FEAPS

Mehrain Analysis

Mehrain Analysis



-124-

1 \

1 1 1Belastung in C

1 1 1Belastung in D

\ \

15\ \

\ \\ 1\

\\

\ \\ \

IN.

.10\ \\\

V

.05

"

%^.

/t*^ä

¦

-*

s

Ä'T' ^^N

•S""1

]^ i-ook: \

06

IN.

04

Belasfum I in H

//f

---ot

>

\n? ^i

W \(

00/V

f \\

nach "I Schnitt C-D-E-F-G :

Bild 9.7JSchnitt A-B-E-H-l :

-°— FEAPS

¦A™ FEAPS

— Mehrain Analysis-- Mehrain Analysis



¦125-

1 1 1Belastung in H

03

IN. f^K\/

t

/7i// v

0?

/

1 ,

fii

\

\ \\ii

i

II

/v

1 II \ \ l

1 ft \ \ \\1 I \

'// \ A\

01\ lM\

// \ \/

Ia

11/

f\

•\\If \ -4

il \\

.00 '5

¦ 1 1Belastung in E

f.h1/ NX'

( »'h \

1 \

//// \\// \\

/

//V

\\\\\\tI

.05IN.

.04

.03

.02

.01

i i i

Belastung in E

/

Ak

\

/ n\i.

iY \i

;

1

\/ \

nach ySchnitt C-D-E-F-G

Bild 9.7/schnitt A-B-E-H-l

~~°— FEAPS Mehrain Analysis

—A— FEAPS Mehrain Analysis


m den Schnitten nach Bild 9.10

-126-

I I IBelastung in C

I I IBelastung in D

15

IN

10

05

.00/

-^-*--

Vv

N^^

* ^ä—*-v

N

N

s

L_^

l l i

Belastung in H

w

~1***^!'

h(

5 \\

—i

/V

h

V

i 1\

\

inach "(Schnitt C-D-E-F-G

Bild 9.7JSchnitt A-B-E-H-l•

-°— FEAPS

•A- FEAPS

Mehrain Analysis

Mehrain Analysis

Bild 9 17: Durchbiegungen der schiefen Platte Fall 7 nach Bild 9.9


-127-

03i i

Belastung in D

/ \>~v

{

/

/ ^^1/ /

/\\ \

!i

i

kj *

1/i

k

V>

L\

w \

IN.1 1 '

Belastung in H

M02

/ fit \ \

/

'

1>

\ \

\

i

1//V \

\ Vi

01 It\

\ \l

i

li

r\ 1

\t\

11i ff'//it ¦^

s-00^ A

1 1 1

^Belastung in E Aiiii

K Belastung in E

it

.03

IN

ir \{i \

1 \

.02i \

1

i \

i \

.01 \f ) l

y \/ \

00,\ ),

nach ^Schnitt C-D-E-F-G :—°— FEAPS Mehrain Analysis

Bild 9.7JSchnitt A-B-E-H-l : —A-- FEAPS —- Mehrain Analysis



-128-

noch "(Schnitt A-B-C-D-E:

Bild 9.7JSchnitt F-G-H-l-J.

—°— FEAPS Mehrain Analysis

—A— FEAPS Mehrain Analysis



-129-

—i—i—r i—

Belastung in C

AAkr\

k" 's

InrVil \»

I

\

A

f1

\

—1

.05

IN.

.04

03

,02

.01

,00

Belastuncr—i

in D

// >*T Ts

k rlA

II r\[

\i

Beiast jng in I

>

-<

**•

^

\^ *

1 \

i(; ,*•— *N \

jw*mt

/ •• \

nach "»Schnitt A-B-C-D-E :

Bild 9.7JSchnitt F-G-H-l-J :

—o— FEAPS Mehrain Analysis

—öt~ FEAPS Mehrain Analysis



-130-

)Q''s

1 ' 1Belastung in

\

c

h

kilIi

V

\

\

VA

iff

X1

08IN.

.04

1 1

Belastung in D

/ \

/ _\t {?, —.

1 ^/

A-ty..' \

1 V? 4\ \\/ IL

~T fif\3 IW

1 %t \ \\1m 2

H

I •M

if\

iif

_1 ' 1 1

Belastung in I

16

IN.

08

i

1

(/

>

(/y

-?k^

,\0 t

i

ll —•

--. \

i s

s

f *

*

h*0 J fs

nSchnitt A-B-C-D-E:

7jSchnitt F-G-H-l-J:

nach -iSchnitt A-B-C-D-E:

Bild 9.7J

FEAPS Mehrain Analysis

—A-- FEAPS Mehrain Analysis



-131-

Ii.4

>

kBfslastung in C

jfi

Ii'

H\

Vs

/\ 1

\

\

.08

IN.

06

04

02

00

l i 1 1Belastung in D

/ _\

/ ^ji f / *^

/

/// JrH

t •'A %\

/

L11

<

}IP Ji

A \/ \

nach TSchnitt A-B-C-D-E: —°— FEAPS Mehrain Analysis

lild 9.7JSchnitt F-G-H-lBild -l-J : —A— FEAPS Mehrain Analysis



-132-

Widerlaqer

Legende:

Mx-FEAPS

My-FEAPS

Mx =+16.03tmStützenzone

10.90m

1050m

Mass- Skizze:

Punktförmig gelagert

Mx = Mx - Modell

My = My -Modell

oooobo>o«o

Frei- Punktförmig gelagertm o o o o o o -Frei

20°

56.0m

Punktförmig gelagert

76.0m

25 tm

Massstab

Momente

>2-0r% 6.0m 6.0 m 6.0 m 6.0 m 6.0 m 6.0 m

^Widerlager

336.0 m j. 6.0m 6.0m 6.0 m 6.0m 6.0 m ,2.0m

Bild 9.23: Momente der schiefen Plattenbrücke nach dem FEAPS-Programm und nach den Modell messungen

-133-

(63.05)63.C

(72.32)76.7

(243.04)276.1

(92.97)97.8 (243.04)

269.3

QMderlaqer

Bild 9.24: Auflagerkräfte in Tonnen der schiefen Plattenbrücke (in Klammern, Werte nach dem FEAPS - Programm)

-134-

ANHANG

-135-

FEAPS-Programm für die Berechnung von Platten und Rippenplatten

1. ZUSAMMENFASSUNG

FEAPS Finite Element Analysis of Plate Systems

Programmiert von: Giorgio F. Alberti,

ETHZ Institut für Baustatik und

FIDES-Rechenzentrum.

Für : Control Data 6500 Anlage

Fertigstellung : September 1971

Das Programm dient zur Berechnung von zweidimensionalen

Platten und Rippenplatten mit exzentrisch angeschlossenen

Balken (Rippen). Beliebige Geometrie und Materialeigenschaften,

Belastungen und Randbedingungen können behandelt werden. FEAPS

erlaubt die Berechnung mit Plattenelementen allein oder die

Berechnung mit Plattenscheibenelementen und exzentrisch an¬

gehängten Balken. Das in FORTRAN IV geschriebene FEAPS-

Programm enthält kleine Programmteile in der "Assembler"-

Sprache COMPASS. Die Daten werden in Funktion der Eingabe-

grössen dynamisch gespeichert.

1.1 Netzeinteilung

Die Plattensysteme werden in Kolonnen von Elementen von

"links" nach "rechts" unterteilt. Die einzelnen Elemente

sind in derselben Richtung der Kolonnen und in jeder Kolonne

von unten nach oben fortlaufend numeriert. Sie sind drei¬

eckig oder viereckig. Für den Einbau von Stützen und ela¬

stisch aufgelagerten Elementen sind spezielle viereckige

-136-

Elemente vorgesehen. Exzentrisch angeschlossene Balken längs

und quer zu den Kolonnen, aber immer mit einer Seite eines

Viereckes oder Dreieckes zusammenfallend, verursachen die

Koppelung der Platten- und Scheibenwirkung.

1.2 Belastungen

1) Konzentrierte Lasten in den Knoten

2) Gleichmässig verteilte Belastung über ein, mehrere

oder alle Elemente

3) Linienlasten (Elementrandlasten)

4) Vorspannung

5) Einflussflächen

6) Vorgeschriebene Rand- bzw. Knotenverschiebungen

1.3 Kinematische Randbedingungen

Jedem Knoten entsprechen sechs (für die Platte) oder zwölf

(für die Rippenplatte) Verformungsparameter. Zur Behandlung

von kinematischen Randbedingungen kann jeder Verformungs¬

parameter eliminiert, d.h. zu Null gesetzt werden. Durch

Angabe des, dem Diagonalglied der globalen Steifigkeitsmatrix

zu addierenden Steifigkeitskoeffizienten, kann man elastische

Federungen im Tragwerk einbauen. Die Randbedingungen können

auch in einem gedrehten Koordinatensystem angegeben werden.

Einfach gelagerte, eingespannte und liniensymmetrische

Ränder werden durch besondere Kennwerte eingegeben.

2. EINGABE

¦137-

Erste Karte

Kolonne 1-15

Kolonne 16-25

Optionskarte (A5, 10X, A5)

Nur die ersten fünf Buchstaben werden

interpretiert.

Ende der Berechnung

Platte mit Scheibenwirkung

und exzentrisch angehängten

Balken (Rippen)

Platte ohne Scheibenwirkung

(Plattenelemente allein)

Rippenplatte wird angenommen

STOP

RIPPE(NPLATTE)

PLATT(E)

Leer

Es werden nur die ersten 5 Buchstaben

interpretiert.

CHOLE(SKY): Lösung des Gleichungssystems

mit Cholesky's Algorithmus

GAUSS : Lösung des Gleichungssystems

mit Gauss'schem Algorithmus

Leer : wird als GAUSS angenommen

Nächste Karte

Kolonne 1-5

Beginn-Karte (A5)

BEGIN: vorher können bis zu 20 Kommentar¬

karten vorhanden sein

Nächste Karte : Titelkarte (10A8)

Kolonne 1-80 : Titel des Problems, der in der Ausgabe

herausgedruckt wird.

-138-

2.1 Parameter des Problems

Nächste Karte

Kolonne 6-10

Kolonne 11-15

Kolonne 16-20

(SX, 315)

Anzahl Kolonnen von Elementen (NKOE)

Maximale Anzahl Elemente in einer Kolonne

(MAXEKO)

Anzahl zusätzlicher (zu den generellen)

Materialien (die Numerierung ist 3,4,..)

(NMAT)

Nächste Karte

Kolonne 6-10

Kolonne 11-15

Kolonne 16-20

Kolonne 21-25

Kolonne 26-30

Kolonne 31-35

(5X, 715)

Anzahl Vierecktypen (NTYPQ)

Anzahl Vierecktypen mit elastischer

Auflagerung (NTYPQS)

Anzahl Dreiecktypen mit Spitze links (NTYPTL)

Anzahl Dreiecktypen mit Spitze rechts (NTYPTR)

Anzahl Balken quer zu den Kolonnen (NTYPBL)

Anzahl Balken längs der Kolonnen (NTYPBQ)

Nächste Karte : (5X, 315)

Kolonne 6-10 : Anzahl Randbedingungen (NESRB)

Kolonne 11-15 : Anzahl Belastungsfälle (NBEL)

Kolonne 16-20 : Anzahl Stützen (NSTU)

2.2 Steuerung des Echoprint

Nächste Karte : Falls das Herausdrucken der eingelesenen

Karten verlangt wird:

Kolonne 1-5 : DRUKA

Eine beliebige Anzahl solcher Karten kann verwendet werden.

-139-

Nächste Karte : Falls das Herausdrucken der vom Computer

verstandenen Daten verlangt wird:

Kolonne 1-5 : DRUDA

Falls diese Karten weggelassen werden, werden die Karten

einmal herausgedruckt.

2.3 Generelle Materialeigenschaften

Nächste Karte

Kolonne 1-5

Nächste Karte

Kolonne 11-25

Kolonne 26-40

Kolonne 41-55

Kolonne 56-70

Oder

nächste Karten

Kolonne 1-5

Nächste Karten

Falls Angabe generelle isotrope Material¬

eigenschaften

GEISO

Generelle isotrope Materialeigenschaften

(10X.4F15)

Generelle Dicke (T) (Abschnitt 2.5)

Generelle Poisson's-Zahl (XNU)

Genereller Elastizitätsmodul Platte (PEL)

Genereller Elastizitätsmodul Balken (BEL)

Falls Angabe generelle orthotrope Material¬

eigenschaften

GEORT

Generelle orthotrope Materialeigenschaften

2(10X,4F1S/)

Erste Karte : Pii>Pi7>P?2,p33 der platten-Elastizitätsmatrix

Pll,W,xx+Pl2-w,yy

Pl2-W,xx+P22'W,yyM =

p,,-wxy r33 ,xy

-140-

Zweite Karte : Falls Rippenplatte

s,.,s.2,s-2,s,- der Scheibenelastizitätsmatrix.

N = s..-u +s.,*v

x 11 ,x 12 ,y

N » s,..u +S---Vy 12 ,x 22 ,y

Nxy =S33-(u,y+v,x^

Oder

nächste Karten : Falls Angabe generell isotrope und orthotrope

Materialeigenschaften

Kolonne 1-5 : GISOR

Nächste Karten : Generelle isotrope und orthotrope

Materialeigenschaften

3(10X,4F1S/)

s. oben wie für GEISO und GEORT zusammen.

2.4 Zusätzliche Materialien

Falls NMAT>2

Nächste Karte

Kolonne 1-5

Nächste Karten

(Generelle isotrope und orthotrope

Materialien erhalten die Nummer 1 und 2)

Material (A5)

MATER

Materialeigenschaften der NMAT zusätzliche

Materialien

(5X,AS,4F1S) für isotropes Material

(SX,A5,4F1S/10X,F15) für orthotropes Material

(2. Karte nur mit Rippenplatte)

-141-

Für isotropes Material:

Kolonne 6-10 : ISOTR oder nichts

Kolonne 11-25 : Elastizitätsmodul-Platte (PEL)

Kolonne 26-40 : Poisson"s-Zahl (XNU)

Kolonne 41-55 : Elastizitätsmodul-Balken (BEL)

Für orthotropes Material:

ORTHOKolonne 6-11

Kolonne 11-25

Kolonne 26-40

Kolonne 41-55

Kolonne 56-70

'11

hl

?22

?33

s. oben für Platte

Nächste Karte : falls Rippenplatte

Kolonne 11-25

Kolonne 26-40

Kolonne 41-55

Kolonne 56-70

'11

512

522

533

s. oben für Scheibe

2.5 Geometrieeingabe

Es gibt zwei Möglichkeiten dieser Eingabe:

Knotenkoordinaten oder Seitenlängen mit dazugehörigen Winkeln.

Nächste Karte : Geometrie der Plattenelemente (A5)

Kolonne 1-5 : GEOEL

-142-

Nächste Karten

Falls NTYPQ>0

Kolonne 6-15

Kolonne 16-25

Kolonne 26-35

Kolonne 36-45

Kolonne 46-55

Kolonne 56-65

Kolonne 66-75

Kolonne 76-77

Andere Art der

Kolonne 6-15

Kolonne 16-25

Kolonne 26-35

Kolonne 36-45

Kolonne 46-55

Kolonne 66-75

Kolonne 76-77

NTYPQ-Karten für die Vierecke

(5X,7F10,I2)

Koordinate X Knoten 2

(Falls 8888.88888 siehe später)

Koordinate Y Knoten 2





*»x

Falls NTYPQS>0

Erste Karte

Zweite Karte

Kolonne 6-15

: Dicke der Platte (Wenn leer wird T gesetzt)

: Materialnummer (Wenn leer wird 1 gesetzt)

(generelles isotropes Material : 1

generelles orthotropes Material: 2)

Eingabe, falls die erste Zahl 8888.88888

: 8888.88888

: Länge der Seite 1-2 (3-4)

: Länge der Seite 2-3 (4-1)

: Winkel (Neunzigerteilung) zwischen Seite 1-2

und x-Achse

: Winkel (Neunzigerteilung) zwischen Seite 1-2

und 2-3



2 mal NTYPQS Karten für die Vierecke mit

elastischer Auflagerung

(5X,7F10,I2/ 5X,F10)

: Siehe normale Vierecke

: Feder-Konstante (Verschiebung für eine

Krafteinheit)

-143-

Falls NTYPTL>0

Kolonne 6-15

Kolonne 16-25

Kolonne 26-35

Kolonne 36-45

Kolonne 46-55

Kolonne 56-57

Andere Art der

Kolonne 6-15

Kolonne 16-25

Kolonne 26-35

Kolonne 36-45

Kolonne 46-55

Kolonne 56-57

NTYPTL-Karten für Dreiecke mit der Spitze

links der Kolonne

(5X,5F10,I2)


(Falls 8888.88888 siehe später)




Falls NTYPTR>0

analog zu TL

Dicke der Platte (Wenn leer wird T gesetzt)

Materialnummer (Wenn leer wird 1 gesetzt)

(generelles isotropes Material : 1,


8888.88888

Länge Seite 1-2

Länge Seite 2-3 (1-3 für DR)

Winkel (Neunzigerteilung) zwischen Seite 1-2

und x-Achse.

Die Seite 2-3 (1-3 für DR) steht senkrecht

zur Seite 1-2.



: NTYPTR-Karten für Dreiecke mit der Spitze

rechts der Kolonne

(5X,5F10,I2)

-144-

Falls NTYPBH>0

Kolonne 6-¦15

Kolonne 16-•25

Kolonne 26--35

Kolonne 36--41

NTYPBH-Karten für Balken quer zu den

Kolonnen

(5X,3F10,I5)

Balkenachse Exzentrizität (nach unten positiv)

(EX)

Eigenträgheitsmoment IZ = fz -dF (ZI)

Querschnitt

Fläche F Querschnitt

Materialnummer (Wenn leer 1 gesetzt)

(generelles isotropes Material : 1


Falls NTYPBV>0 : NTYPBV-Karten für Balken längs ("Vertikal")

der Kolonne

(5X,3F10,I5)

analog NTYPBH

2.6 Topologie der Plattenelemente

Nächste Karte : Topologie der Plattenelemente (A5)

Kolonne 1-5 : TOPPL

Nächste Karten : Platten Topologie

(A5, 15, 3X, A2, 215, F20)

Gelesen wird bis eine Bezeichnung in Kolonne 1-5 gefunden wird.

Die nächsten vier Angaben (falls Null) werden von den vorherigen

genommen.

Kolonne 6-10 : Kolonnennummer (JC)

Falls nur JC und NE gegeben werden, wird

die Kolonne bis zum neuen JC wiederholt.

Falls NE ändert, wird linear interpoliert.

•145-

Kolonne 14-15

Kolonne 16-20

Kolonne 21-25

Kolonne 26-45

: Form des Elementes

VK: Viereck

VS: Viereck elast. gestützt

DL: Dreieck mit Spitze links

DR: Dreieck mit Spitze rechts

: Nummer des Elementtypes (NTY)

: Anzahl gleichförmiger Elemente in der

Kolonne (NE)

: Winkel der Drehung des Elementes im

Gegenuhrzeigersinn (Neunzigerteilung)

Falls Option Plattenscheibe + Balken und NTYBL>0:

Nächste Karte : Topologie der Balken quer zu den Kolonnen (A5)

Kolonne 1-5 : TOPBL

Nächste Karten : (A5, 615)

Gelesen wird bis in Kolonne 1-5 nächstes Label.

Kolonne 6-10

Kolonne 11-15

Kolonne 16-20

Kolonne 21-25

Kolonne 26-30

Kolonne 31-35

Kolonnennummer (JC)

Nummer des Typs (NTY)

Plattenelement bei welchem der Balken auf

Seite 1-2 (untere Seite) steht. (IEL)

Anzahl gleicher Elementtypen in der Kolonne (NE)

Intervall (falls NE>1) in der Kolonne (KDE)

Intervall zwischen den Kolonnen (KDK),

falls Schleife über Kolonnen

Falls nur JC und NE gegeben werden, wird die

Kolonne bis zum neuen JC wiederholt. Falls NE

ändert, wird linear interpoliert.

Falls Option Plattenscheibe + Balken und NTYBQ>0:

Nächste Karte : Topologie der Balken längs der Kolonnen (A5)

Kolonne 1-5 : TOPBQ

-146-

Nächste Karten

Gelesenwird

bii

Kolonne 6-10

Kolonne 11-15

Kolonne 16-20

Kolonne 21-25

Kolonne 26-30

Kolonne 31-35

(A5, 615)wird

bis in Kolonne 1-5 nächstes Label

Kolonnennummer (JC)

Nummer des Typs (NTY)

Plattenelement bei welchem der Balken links

ist (Seite 4-1 für Vierecke und 3-1 für

Dreiecke) (IEL)

Anzahl gleicher Elementtypen in der Kolonne (NE)

Intervall (falls NE>1) in der Kolonne (KDE)

Intervall falls Schleife über Kolonnen (KDK)

Falls nur JC und NE gegeben werden, wird die

Kolonne bis zum neuen JC wiederholt. Falls NE

ändert, wird linear interpoliert.

2.7 Randbedingungen

Nächste Karte

Kolonne

Nächste

1-5

Karten

Randbedingungen (A5)

RABES

(A5,415,5X,1211,3X.F10)

Gelesenwird,

Kolonne 6-10

Kolonne 11-15

Kolonne 16-20

Kolonne 21-25

Kolonne 31-42

wird,

bis in Kolonne 1-5 eine Bezeichnung gelesen wird.

Elementkolonne, welche Randbedingungen hat (KOL)

Elementnummer der Kolonnen (von unten nach

oben) (IEL)

Knotennummer des Elementes (NOPKT)

Anzahl Randbedingungen gleicher Art in der

Kolonne

"1" falls der Verformungsparameter null ist.

Für die Platte allein werden nur die ersten

6 berücksichtigt. Die 12 Freiheitsgrade sind:

w; w

und:

,m*

v; u

w

,PPw

,mm'w für die Platte,mp

: v :y, Cü für die Scheibe.,P >m

'

Falls ALPHA=0.0 ist p die x-Richtung und m

die y-Richtung.

-147-

Bis auf den Winkel und die Angabe der einzelnen Verformungs¬

parameter werden die anderen Werte, falls nicht angegeben,

gleich den vorherigen gesetzt. Eine Schleife über die Kolonnen

ist möglich (mit dazwischen linear interpolierten Werten),

falls nur KOL und NE gegeben werden.

Die drei meistgebrauchten Randbedingungen sind:

a) Einfach gelagerter Rand

In der Auflagerrichtung werden:

w;w;w ;u;u zu Null gesetzt,

b) Eingespannter Rand

In der Einspannrichtung werden:

w;w ;w ;w: w : u ; u ;v

(*)

,p ,m'

,pp»

mp'

,p' l >

zu Null gesetzt.

c) Rand mit Symmetrie

Normal zur Symmetrierichtung werden:

w ; w ; v ; V ; Ol zu Null gesetzt.jui

y mp

Kolonne 46-55 : Winkel ALPHA (90er Teilung, dezimal)

der Rotation der x-Achse und y-Achse

im Gegenuhrzeigersinn

(45 30' wäre 45.5)

Kolonne 56-65 : Steifigkeitskoeffizient (Kraft für Einheits¬

verformung) gleich für alle in den Kolonnen

31 bis 42 angegebenen Verformungsparameter.

(Falls er nicht angegeben wird, wird er

gleich 10 angenommen)

(*) Die kinematischen Randbedingungen sind in diesem Fall nicht

ganz erfüllt.

¦148-

Für die drei obenerwähnten, speziellen Randbedingungen

existiert eine direkte Methode:

Kolonne 31-33 : PAR: falls die zu betrachtende Seite die

um ALPHA im Gegenuhrzeigersinn gedrehte

Parallele (PAR) zur globalen x-Achse im

angegebenen Knoten ist.

NOR: falls die zu betrachtende Seite die

um ALPHA im Gegenuhrzeigersinn gedrehte

Parallele zur globalen y-Achse im angegebenen

Knoten ist.

AUF: falls punktaufliegend (w=0)

EIN: falls alle Freiheitsgrade zu Null

gesetzt werden.

Die zwei letzten Bezeichnungen brauchen keine

weiteren Angaben in den folgenden Kolonnen.

Kolonne 34-36 : AUF für aufliegend

EIN für eingespannt

SYM für symmetrisch

z.B. PARSYM bedeutet (angenommen ALPHA=0.0) Symmetrie bezüglich

der x-Achse.

2.8 Belastungen und Ausgabesteuerung der Resultate

Nächste Karte : Belastungen (A5)

Kolonne 1-5 : BELFA

Nächste Karten : Titel, Steuerung der Ausgabe, Lasten.

Gelesen wird bis in Kolonne 1-5 BELFA für neuen Belastungs¬

fall oder andere Bezeichnungen.

Titelkarte (10A8)

Der Titel wird in der Ausgabe herausgedruckt.

¦149-

Karte für die Steuerung der Ausgabe (5X,5(A3,2X))

(Nur die ersten 3 Buchstaben werden interpretiert)

Kolonne 6-10

Kolonne 11-15

Kolonne 16-20

Kolonne 21-25

Kolonne 26-30

Gebraucht für die Bestimmung des Ortes,

(Ecken oder Schwerpunkte der Elemente)

an dem die Resultate herausgedruckt werden.

ECK(E) : Herausdrucken der Werte in der Ecke "1"

(Knoten) der Elemente.

Herausdrucken bei den SchwerpunktenSCH(WE)

ALL(ES)

leer

VER(SC)

nichts

ALL (ES)

KRA(EF)

nichts

HAU(PT)

nichts

RAN(DK)

nichts

(nur bei viereckigen Elementen)

: An beiden obenerwähnten Orten werden

die Werte herausgedruckt

: Nichts wird herausgedruckt

: Herausdrucken Verschiebungen

: Keine Ausgabe

: Herausdrucken der Verschiebungen,

Schnittkräfte, Hauptschnittkräfte

und Randkräfte (braucht keine

weiteren Bezeichnungen)

: Herausdrucken Schnittkräfte

: Keine Ausgabe

: Herausdrucken Hauptschnittkräfte

: Keine Ausgabe

: Herausdrucken Randkräfte

: Keine Ausgabe

Lastkarten (A5,3X,A2,3X,A2,4I5,4F10)

Gelesen wird bis in Kolonne 1-5 eine Bezeichnung (BELFA,

ENDPR, STOP) gefunden wird.

-150-

Kolonne 9-10 Form der Belastung (IFO)

GT: Gleichmässige Belastung über das

ganze Tragwerk

GE: Gleichmässige Belastung über

einzelne Elemente

RE: Linienlast (Elementrandlast)

Analog wie für die Vorspannung können die

Randlasten nur an der "unteren" Seite

(Knoten 1-2) oder an der "linken" Seite

(Knoten 1-4 für Vierecke und 1-3 für

Dreiecke) angebracht werden. Für die

Randfälle werden zusätzliche, tatsächlich

nicht vorhandene ("dummy") Elemente einge¬

führt.

KE: Knotenlast

VO: Vorspannung

KO: Kombination

Kolonne 14-15 : Richtung der Belastung (NTYP)

KX.KY.KZ: Kraft in globaler Richtung der

x-, y-, z-Achsen

Vorspannung und Linienlasten sind in

z-Richtung

MX,MY: Moment in globaler Richtung um die

x-, y-Achsen

XX,YY,XY: Globale Krümmungsbelastungen

w

,xx

flächen.

w ; w Richtung für Einfluss-»yy > xy

Kolonne 16-20

Kolonne 21-25

Kolonnennummer (KOL).

(Nicht benutzt für GT).

Elementnummer (IEL).

(Nicht benutzt für GT).

Kolonne 26-30

Kolonne 31-35

-151-

Knotennummer (NO).

(Nicht benutzt für GT,GE).

Seitennummer im Falle Vorspannung oder

Randlast.

Anzahl Elemente in der Kolonne (NE)

(Nicht benutzt für GT) mit gleicher

Belastung.

Kolonne 36-45 : Wert der Belastung (oder Vorspannkraft V)

2.9 Vorspannung

Für die Vorspannung wird als Richtung KZ angegeben. Falls

eine Vorspannlast angegeben ist, folgen, nach dem Wert der

Vorspannkraft, 3 Exzentrizitäten in z-Richtung (positiv nach

unten) am Anfang, in der Mitte und am Ende der angegebenen

Seite des Elementes. Zwischen den 3 Punkten wird ein parabel-

förmiges Kabelstück angenommen. Die Parabel ist zweiten Grades

und das Programm rechnet automatisch die Ersatzlasten. Analog

zur Balkentopologie wird die Last Vorspannung an einem Element

nur an der "unteren" (Knoten 1-2) oder an der "linken" Seite

(Knoten 1-4 für Vierecke und 1-3 für Dreiecke) angebracht.

Deswegen hat man ein tatsächlich nicht vorhandenes ("dummy")

Element mehr in der Kolonne und eine zusätzliche ("dummy")

Kolonne am Ende.

-152-

Y

i \

\(A)

-? X

Für die Last Vorspannung:

Kolonne 46-55 : Exzentrizität am Anfang der Seite (EAZ)

Kolonne 56-65

Kolonne 66-75

Nächste Karten

in z-Richtung

Exzentrizität in Seitenmitte (EMZ)

in z-Richtung

Exzentrizität am Ende der Seite (EEZ)

in z-Richtung

Falls weitere Lasten im Belastungsfall vor¬

handen sind, werden zusätzliche Lastenkarten

angegeben.

2.10 Vorgeschriebene Rand- bzw. Knotenverschiebungen

Die Eingabe von festen Verschiebungen ist auch möglich. Bei

der Eingabe der Randbedingungen wurde gezeigt, dass bei der

Nullsetzung gewisser Verformungsparameter (Einspannung) oder

-153-

für eine elastische Einspannung der entsprechenden Verfor¬

mungen (Einführung einer Federung bei gewissen Verformungs¬

richtungen) ein Steifigkeitskoeffizient s angegeben wird.

Im Falle der Einspannung wird s ohne besondere Eingabe auto¬

matisch gleich 10 gesetzt. Für eine vorgeschriebene Ver¬

schiebung 8. kann man einfach bei den, mit s beeinflussten

Verformungsparametern eine konzentrierte Last P. = s. 8.

in Richtung der vorgeschriebenen Verformung 8. angeben.

2.11 Kombinationen von Belastungen

Für Kombinationen von Belastungen wiederholen wir die kom¬

plette Eingabe nach der Karte für die Steuerung der Ausgabe.

Gelesen wird, bis in Kolonne 1-5 eine Bezeichnung vorhanden

ist. (Maximal drei Karten werden interpretiert).

Nächste Karte

Kolonne 9-10

Nächste Karten

Kolonne 11-15

Kolonne 16-25

Kolonne 26-30

Kolonne 31-40

Kolonne 41-45

Kolonne 46-55

Kolonne 56-60

Kolonne 61-70

: Form der Belastung (A5,3X,A2)

: KO: Kombinationen

: höchstens drei Karten (AS,5X,4(I5.F10)) mit

maximal 12 Belastungsfallnummern und Werten,

mit denen die Resultate multipliziert werden.

: Nummer eines Belastungsfalles

: Wert, mit dem die Resultate dieses Belastungs¬

falles zu multiplizieren sind.

: Analog oben 11-15

: Analog oben 16-25

: Analog oben 11-15

: Analog oben 16-25

: Analog oben 11-15

: Analog oben 16-25

-154-

2.12 Abschlusskarten

Für den Abschluss des Problems (Jobs) folgen die Karten:

Kolonne 1-5 : ENDPR: Beginn der Berechnung

STOP : Ende des Problems.

Diese Karte kann allein stehen ohne

ENDPR-Karte. In diesem Falle wird nicht

gerechnet.

-155-

Anhang II

Numerierung Knoten Numerierung Schwerpunkte

Vorzeichenkonvention

MXy Nx

z-Axe

NOMENKLATUR

Skalare Grössen

¦156-

£1 • G2 . £3

ex ß

U

V

TT

X, y .

z

u,V

,w

«x. «y.^z > Xxy

Mx , My

Mxy

Sx Sy , Si

*xy

7

UI

t

E

V

Nx . Ny NXy

F

Natürliche dimensionslose

Dreieckkoordinaten

Schiefe Koordinaten

Formänderungsenergie (elastisches Potential)

Potential der äusseren Kräfte

Totale potentielle Energie (U+V)

des Tragwerkes

Koordinaten

Verschiebung in Richtung x,y,z

Dehnungen, Schiebung

Biegungsmomente pro Längeneinheit

Drillungsmoment

Normalspannungen

Schubspannung

Schiebung (u + v ) der Scheibe>y ix

Eckenrotation 1/2 (u + v ) der Scheibe»y I*

Plattendicke

Elastizitätsmodul

Poissons'sche Zahl

Scheibenkräfte pro Längeneinheit

Fläche

¦157-

L : Seitenlänge

e : Balkenexzentrizität

S : Statisches Moment (F.e)

Vektoren und Matrizen

: Vektor des lokalen Verschiebungszustandes

: Vektor der lokalen Elementverformungs¬

parameter

: Matrix der Elementansatzfunktionen

: Vektor der allgemeinen Dehnungen

: Vektor der allgemeinen Spannungen

: Matrix der abgeleiteten Ansatzfunktionen

für die Dehnungsverformungsbeziehungen

: Elastizitätsmatrix

: Lokale Elementsteifigkeitsmatrix

: Lokaler Lastvektor

: Lokale Elementsteifigkeitsmatrix für

diskrete Dehnungsparameter

PPe] : Matrix der Dehnungsansatzfunktionen

des Elementes

je} : Vektor der diskreten Dehnungsparameter

[T] : Transformationsmatrix

[s] : Spannungsmatrix

{fjj : Vektor der internen Verformungsparameter

|fej- : Vektor der externen Verformungsparameter

{»(«. y)}

{«•}

[*(X ,y)]

€ (X ,,y)

S(x ,,y)

LA*(x .y>]

[D]

M

{P}CK«]

-158-

{P,}

M

[Te3

[K°]

W[K]

{P}

Vektor der internen "konsistenten"

Elementbelastungen

Vektor der externen "konsistenten"

Elementbelastungen

Transformationsmatrix zwischen lokalen

und globalen Verformungsparametern

Globale Elementsteifigkeitsmatrix

Globaler Elementlastvektor

Globale Steifigkeitsmatrix des Systems

Globaler Belastungsvektor des Systems

-159-

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