Universidad Fermín Toro

Vice-Rectorado Académico

Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela de Administración

Análisis de Problemas y toma de Decisiones

Alumna:

Vásquez Ivette CI: 21141485

Técnicas e Instrumentos para la

Toma Racional de Decisiones

Volumen I. Numero 1. Febrero 2013. Precio Bs.xx

DECISIONES 2

1. Métodos Deterministicos

1.1. Programación Lineal

1.2. Método Simplex

Editorial

2. Métodos Probabilísticos

2.1.Lógica Bayesiana

2.2. Teoría de Juegos

3. Métodos Híbridos

3.1. Modelo de Transporte y Localización

3.2. Técnica Monte Carlo

3

4 y 8

9 y14

Pág.

15 y 21

DECISIONES 3

Durante el transcurso de los últimos años la investigación de operaciones, ha

sido una de las herramientas fundamentales para el mejoramiento de la eficacia y

eficiencia de muchas organizaciones. Sus métodos son de gran ayuda para el

gerente, en cuanto permiten la resolución, de manera racional, mediante la

generación de las soluciones mas acertadas. La Programación Lineal es una

herramienta para la ayuda en la toma de decisiones, permitiéndonos plantear un tipo

particular de modelo matemático, donde representamos en forma simplificada

el problema de decisión, las variables de decisión, el objetivo y las restricciones

mediante símbolos matemáticos y ecuaciones. Se encuentra el método simplex que

permite entender solución óptima, la Lógica bayesiana que es una aproximación

general al problema de inferencia, la Teoría de Juegos que consiste en

razonamientos al considerar cuestiones estratégicas. El método de Monte Carlo es

una técnica numérica para calcular probabilidades y otras cantidades relacionadas,

utilizando secuencias de números aleatorios.

Editora

Ivette Vásquez

DECISIONES 4

s un caso especial de la programación matemática, en donde todas las

funciones que hay en el modelo son lineales: siempre tenemos una función

objetivo lineal a optimizar (maximizar o minimizar), sujeta a restricciones

lineales individuales. Las variables del modelo, que son continuas, únicamente

pueden coger valores no negativos. Si bien puede parecer que estos supuestos quitan

realismo al problema porque el modelador está limitado al uso de ecuaciones que

quizás no son frecuentes en el mundo real, las técnicas de programación lineal se

utilizan en un amplísimo espectro de problemas como, entre otros, de planificación y

gestión de recursos humanos y materiales, de transporte, de planificación financiera

y de organización de la producción.

E

Características

-Un único objetivo lineal a optimizar (maximizar o minimizar).

-Una o más restricciones lineales

-Conocimiento exacto de los parámetros y recursos utilizados en la construcción

del modelo.

-Son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas en

las ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones

importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.

DECISIONES 5

Ejemplo:

Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones

de bolívares y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de

tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de

tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada

una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el

beneficio máximo?

Sean las variables de decisión:

x= n: de viviendas construidas tipo A

y= n: de viviendas construidas tipo B.

La función objetivo es:

Las restricciones son:

DECISIONES 6

La zona de soluciones factibles queda, pues:

Siendo los vértices:

A intersección de r,s:

B intersección de r,t:

C (0, 0)

Y la función objetivo toma los valores:

Teniendo que vender 40 viviendas tipo A y 10 tipo B para obtener un beneficio

máximo de 130 millones de bolívares.

DECISIONES 7

Es un procedimiento interactivo que permite tender progresivamente hacia la

solución óptima, para encontrar y probar soluciones situadas en los vértices de

Optimalidad, asimismo este requiere que las restricciones sean ecuaciones en lugar

de inecuaciones, lo cual se logra añadiendo variables de holgura a cada inecuación

del modelo, variables que nunca pueden ser negativas y tienen coeficiente 0 en la

función objetivo.

Es de gran relevancia destacar que es uno de los más utilizados en la búsqueda de

soluciones óptimas de programas lineales.

Características

Encuentra una solución óptima

Es un método de cambio de bases

Requiere que la función objetivo sea expresada de tal forma que cada

variable básica tenga como coeficiente 0

Requiere que cada variable básica aparezca en una y solamente una

ecuación de restricción.

Ejemplo:

Maximizar = f(x, y) = 3x + 2y

DECISIONES 8

Sujeto a:

2x + y ≤ 18

2x + 3y ≤ 42

3x + y ≤ 24

x≥ 0, y ≥ 0

Convertir las desigualdades en igualdades

2x + y + r = 18

2x + 3y + s = 42

3x +y + t = 24

Igualar la función objetivo a cero

- 3x - 2y + Z = 0

Tabla I . Iteración nº 1

3 2 0 0 0

Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5

P3 0 18 2 1 1 0 0

P4 0 42 2 3 0 1 0

P5 0 24 3 1 0 0 1

Z

0 -3 -2 0 0 0

Condición de parada: Cuando en la fila Z no existe ningún valor negativo, se ha

alcanzado la solución óptima del problema. En tal caso, se ha llegado al final del

algoritmo.

DECISIONES 9

Es una aproximación general al problema de inferencia consistente con la

teoría de la decisión, la aplicación de formulas derivadas del teorema de Bayes a la

determinación de probabilidades, asociadas a una serie de hipótesis, fundamentadas

en evidencias observadas. La lógica establece unas reglas de inferencia a partir de

las cuales se construye el sistema de razonamiento deductivo, en el que

una proposición determinada es considerada como cierta o falsa, sin que se admitan

grados entre estos dos extremos. Los métodos de razonamiento aproximado, entre los

que se encuentran los métodos bayesianos, aportan modelos teóricos que simulan la

capacidad de razonamiento en condiciones de incertidumbre, cuando no se conoce

con absoluta certeza de la hipótesis, e imprecisión, enunciados en los que se admite

un rango de variación.

A pesar de todo, algunos estadísticos bayesianos creen que las probabilidades

pueden tener un valor objetivo y por lo tanto la inferencia bayesiana puede proveer

un método objetivo de inducción. El teorema de Bayes ajusta las probabilidades,

dada una nueva evidencia, de la siguiente manera:

Donde

representa una hipótesis, llamada hipótesis nula, que ha sido inferida

antes de que la nueva evidencia, , resultara disponible.

DECISIONES 10

se llama la probabilidad a priori de .

se llama la probabilidad condicional de que se cumpla la

evidencia si la hipótesis es verdadera. Se llama también la función de

verosimilitud cuando se expresa como una función de dado .

se llama la probabilidad marginal de : la probabilidad de observar

la nueva evidencia bajo todas las hipótesis mutuamente excluyentes. Se la

puede calcular como la suma del producto de todas las hipótesis mutuamente

excluyentes por las correspondientes probabilidades

condicionales: .

se llama la probabilidad a posteriori de dado .

El factor representa el impacto que la evidencia tiene en la

creencia en la hipótesis. Si es posible que se observe la evidencia cuando la

hipótesis considerada es verdadera, entonces este factor va a ser grande.

Multiplicando la probabilidad a priori de la hipótesis por este factor va a

resultar en una gran probabilidad a posteriori dada la evidencia. En la

inferencia bayesiana, por lo tanto, el teorema de Bayes mide cuánto la nueva

evidencia es capaz de alterar la creencia en la hipótesis.

Toma de

Decisiones Población

Inferencia Muestreo

Muestra Análisis de

Datos

DECISIONES 11

Es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar

interacciones en estructuras formalizadas de incentivos y llevar a cabo procesos

de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el

comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Esta teoría se basa en

analiza el comportamiento estratégico cuando dos o más individuos interactúan y

cada decisión individual resulta de lo que él (o ella) espera que los otros hagan. Es

decir, qué debemos esperar que suceda a partir de las interacciones entre los

individuos. Trata de la toma de decisiones bajo conflicto, un juego incluye dos o más

tomadores de decisiones que buscan maximizar su propio bienestar, es decir, ganar.

Las ideas de la Teoría de Juegos pueden ser una gran relevancia para

explicar las guerras comerciales, así como las guerras de precios y cualquier otra

situación en que dos o más individuos requieran interactuar a fines de obtener

ganancias económicas. En sus inicios se desarrollo como una herramienta para

entender el comportamiento de la economía, en la actualidad se emplea en muchos

campos. Asimismo se puede decir que estudia la elección de la conducta óptima

cuando los costes y los beneficios de cada opción no están fijados de anticipación,

sino que dependen de las elecciones de otros individuos. Según los analistas de

juegos se utilizan otras áreas de la matemática, como lo son las probabilidades,

las estadísticas y la programación lineal, en conjunto con la teoría de juegos.

DECISIONES 12

Objetivos de la Teoría de Juegos

El principal objetivo de la teoría de los juegos es determinar los papeles de conducta

racional en situaciones de "juego" en las que los resultados son condicionales a las

acciones de jugadores interdependientes.

Clasificación de los Juegos

Dilema del Prisionero

Criterio Maximin y Minimax

Simétricos y asimétricos

Suma cero y de suma no cero

Equilibrio de Nash.

Juegos cooperativos

Simultáneos y secuenciales

De información perfecta

Juegos de longitud infinita

Sus investigadores estudian:

1. Las estrategias,

2. Comportamiento previsto y

observado de individuos en

juegos.

La estructura básica de un juego

comprende los jugadores que

tienen diferentes estrategias y los

pagos, que describen los beneficios

que obtienen los jugadores en cada

resultado. El concepto clave es

utilizar la herramienta de matriz de

pagos.

DECISIONES 13

Ejemplo MAXIMIN

Consideremos un “juego de suma cero” en el que un jugador gana lo pierde el otro

jugador. Cada jugador dispone de tres estrategias posibles a las que se designara

como A, B, y C (supongamos que son tres tarjetas con dichas letras impresas).

Los premios o pagos consisten en la distribución de diez monedas que se repartirán

según las estrategias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente

tabla llamada matriz de pagos. Mis ganancias, los pagos que puedo recibir, se

muestran sobre fondo verde. Los pagos al otro jugador se muestran sobre fondo

rosa. Para cualquier combinación de estrategias, los pagos de ambos jugadores

suman diez.

Por ejemplo. Si yo juego la tarjeta C y el otro jugador elige su tarjeta B entonces yo

recibiré ocho monedas y el otro jugador recibirá dos.

Éste es por tanto un juego de suma cero. Se llama juego de suma cero aquél en el

que lo que gana un jugador es exactamente igual a lo que pierde o deja de ganar el

otro. Para descubrir qué estrategia me conviene más vamos a analizar la matriz que

indica mis pagos, la de fondo verde. Ignoro cuál es la estrategia (la tarjeta) que va a

ser elegida por el otro jugador. Una forma de analizar el juego para tomar mi

decisión consiste en mirar cuál es el mínimo resultado que puedo obtener con cada

DECISIONES 14

una de mis cartas. En la siguiente tabla se ha añadido una columna indicando mis

resultados mínimos.

En efecto,

· Si yo elijo la tarjeta A, puedo obtener 9, 1 o 2, luego como mínimo obtendré un

resultado de 1.

· Si elijo la tarjeta B, puedo obtener 6, 5 o 4, luego como mínimo obtendré 4.

· Si elijo la tarjeta C, puedo obtener 7, 8 o 3, luego como mínimo obtendré 3.

De todos esos posibles resultados mínimos, el que prefiero es 4 ya que es el máximo

de los mínimos. La estrategia MAXIMIN consiste en elegir la tarjeta B ya que esa

estrategia me garantiza que, como mínimo, obtendré 4.

DECISIONES 15

El modelo de transporte es aquel que busca determinar un plan de transporte de

una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:

1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.

Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más

fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de

cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total. La

suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es

directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de

“unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.

DECISIONES 16

El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red

con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el

arco que une fuente y un destino representan la ruta por la cual se transporta la

mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el

destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.

Pasos de la Solución del Problemas del Problema de Transporte

Los pasos básicos de la técnica de transporte son:

Paso 1: determínese una solución factible.

Pasó 2: determínese la variable que entra, que se elige entre las variables no

básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (del método

simplex), deténgase; de lo contrario, diríjase al paso 3.

Pasó 3: determínese la variable que sale (mediante el uso de la condición de

factibilidad) de entre las variables de la solución básica actual; después obténgase la

nueva solución básica.

DECISIONES 17

Ejemplo:

Una compañía construye una planta maestra para la producción de un artículo en

un periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200, 180 y

300 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse a través de:

1. Producción excesiva en un mes anterior almacenada para su consumo

posterior.

2. Producción en el mes actual.

3. Producción excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses

anteriores.

El costo de producción variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00.

Una unidad producida para consumo posterior incurrirá en un costo de

almacenamiento razón de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artículos

ordenados en meses anteriores incurren en un costo de penalización de $2.00 por

unidad por mes. La capacidad de producción para elaborar el producto varía cada

mes. Los cálculos de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades,

respectivamente.

El objetivo es el de formular el plan de inventario de producción a costo

mínimo. Este problema se puede formular como un modelo de “transporte”. La

equivalencia entre los elementos de los sistemas de producción y transporte se

establece de la manera siguiente:

DECISIONES 18

Sistema de Transporte Sistema de Producción

1. Fuente i 1. Periodo de producción i

2. Destino j 2. Periodo de demanda j

3. Oferta en la fuente i 3. Capacidad de producción del periodo i

4. Demanda en el destino j 4. Demanda del periodo j

5. Costo de transporte de la fuente i al

destino j

5. Costo de producto e inventario del

periodo i al j

En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de transporte:

Periodo

1 2 3 4 Capacidad

Demanda 1 4 4.5 5 5.5 50

2 6 4 4.5 5 180

3 8 6 4 4.5 280

4 10 8 6 4 270

Demanda: 100 200 180 300

La definición de C i j indica que la producción en el periodo i para el mismo

periodo (i = j) sólo iguala el costo unitario de producción. Si el periodo i se produce

para periodos futuros j (i < j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional.

De la misma manera, la producción en i para cubrir j pedidos hechos con

anterioridad (i > j) incurre en un costo de penalización adicional.

DECISIONES 19

Es un método no determinístico o estadístico numérico, usado para

aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.

Proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas

matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números

pseudoaleatorios en una computadora.

Monte Carlo es un proceso de resolver un problema simulando datos originales

con generadores de números al azar. Su aplicación sólo requiere Tres cosas básicas:

1. Se debe tener un modelo que represente una imagen de realidad tal como lo

vemos. El modelo en este caso no es más que la distribución por

probabilidades de la variable que se considera. El mérito importante de la

simulación es que puede ser aplicada aunque las distribuciones de

probabilidades no puedan ser expresadas explícitamente en cualquiera de

las formas teóricas, tales como aquellas que han sido presentadas en este

texto. Todo lo que se requiere es una tabla o un gráfico de una distribución

de una variable directa o, indirectamente, por el uso de registros pasados.

2. Es un mecanismo para simular el modelo. El mecanismo pudo ser cualquier

generador de números al azar, tal como un par de dados, un puntero

giratorio, una rueda de ruleta, una tabla de dígitos al azar o una

computadora de alta velocidad apropiadamente instruida.

3. El método Monte Carlo es para simular, mediante procedimientos al azar,

situaciones del mundo real de naturaleza probabilística

DECISIONES 20

Según John Von Neumann, aplicaba la simulación para resolver Problemas

complejos que no podrían ser resueltos de forma analítica. Puede ser adaptada

fácilmente a cualquier situación, con tal que las alternativas puedan ser especificadas

cuantitativamente y que los datos requeridos puedan ser calculados con aceptable

confianza.

Ejemplo:

Una nueva empresa industrial que ha estado en el negocio por espacio de 3000 horas

de operación, tiene en uso un gran número de máquinas idénticas. Tiene una sola

estación de servicio con un equipo de operarios, La reparación de cualquier maquina

es un esfuerzo conjunto del equipo. Cuando la estación de servicio es ocupada por

una maquina y ocurren otras descomposturas, se crea una línea de espera. Se han

registrado cuidadosamente durante las 3000 horas pasadas datos sobre él número de

computadoras por hora y él número de reparaciones que requieren varios periodos de

tiempo para prestarles servicio. Las probabilidades de estos dos conjuntos de hechos

basados en datos del pasado se indican en los cuadros 1 y 2, respectivamente.

Cuadro 1, datos sobre descomposturas

HORAS DE

REPARACION

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

ACUMULATIVA

INTERVALO DE

NUMEROS AL

AZAR DE TRES

DIGITOS

1 0.251 0.251 000-250

2 0.375 0.626 251-625

3 0.213 0.839 626-838

4 0.124 0.963 839-962

5 0.037 1.000 963-999

DECISIONES 21

Cuadro 2, datos sobre tiempo requerido para reparación

Se considera que los dos conjuntos de hechos son estadísticamente

independientes. Una prueba Chi Cuadrado sobre las frecuencias absolutas conjuntas

mostraría si la independencia estadística es razonable.

Lo primero que debemos hacer es asignar intervalos de números al azar a

descomposturas de maquinas por hora y a números de horas requeridos para

reparar las máquinas. Estos intervalos se dan en las últimas columnas de los

cuadros 1 y 2. Obsérvese que en ambos casos los intervalos de números al azar

asignados n proporcionales a las probabilidades de ocurrencia de los hechos

respectivos.

El método de monte carló es muy usado es los lenguajes de programación ya

que se usa para hallar la probabilidad de un suceso, el trabajo que les presento

explica el Método Monte Carlo , usado en la simulación de la mecánica estadística..

Una estimación de Monte Carlo de es obtenida por dibujar al azar N

muestras desde la distribución f. Muestra desde f medios esta probabilidad de elegir

un muestreo x* desde el intervalo (x,x+x) es f(x)x. El Monte Carlo de estimación

es dada por

Descomposturas por

horas

Probabilidad

Probabilidad

Acumulativa

Intervalo de

números al azar de

tres dígitos

0 0.900 0.900 000-899

1 0.090 0.990 900-989

2 0.008 0.998 990-997

3 0.002 1.000 998-999

DECISIONES 22

Referencias Bibliográficas

Taha. H Investigación de Operaciones. Editorial Alfa-Omega

Davis. D Investigación en Administración. Editorial Thomson

Referencias Electrónicas

Matías. M (2005) Teoría de Juegos

http://www.gestiopolis.com/recursos4/docs/rrhh/teorijuegos.htm

Sánchez. D (2001) Método de Montecarlo

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Montecarlo