Resume du cours de Physique III-IV

jean-eloi.lombard@epfl.ch

13 juin 2008

Table des matieres

1 Proprietes elastique des solides et des fluides 41.1 Comportement Elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Traction simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Compression uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Energie mecanique elastique . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5 Compression uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.6 Cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Viscosite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Viscoelasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Modele d’un solide viscoelastique . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Analyse des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Flexion et fluage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Equations d’equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Analyse des deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Loi de Hooke generalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 Loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Equation d’equilibre d’un solide isotrope . . . . . . . . 12

2 Mecanique des fluides 142.1 Concepts de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Fonction de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Ecoulement irrotationnel et potentiel des vitesses . . . 16

2.2 Dynamique des fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Dynamique des fluides visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1 Equation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 Ecoulement de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Physique des surfaces : tension superficielle et capilarite . . . 19

1

3 Electromagnetisme 213.1 Electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Champ electrique et conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Champ electrique dans la matiere dielectrique . . . . . . . . . 243.4 Courant electrique stationaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Magnetostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5.1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5.2 Champ magnetique cree par des charges en mouvement 28

3.6 Lois fondamentales de la magnetostatique . . . . . . . . . . . 283.7 Potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8 Aimantation de la matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.8.1 Moment magnetique et aimantation . . . . . . . . . . 303.8.2 Potentiel vecteur et champ d’induction magnetique

cree par un milieu aimante . . . . . . . . . . . . . . . 313.9 Induction electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.9.1 Transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.10 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.11 Energie electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Ondes 344.1 Aspect Energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Effet Dopler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Principes generaux de la propagation d’ondes . . . . . . . . . 374.4 Superpostion d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.1 Onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4.2 Phenomene de battement . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4.3 Vitesse de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . 384.4.4 Interference de sources coherentes . . . . . . . . . . . 39

4.5 Interaction ondes-milieu de propagation . . . . . . . . . . . . 404.5.1 Refraction et reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.2 Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6 Ondes electromagnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6.1 Propagation d’une onde electromagnetique dans un

dielectrique anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6.2 Propagation d’une onde electromagnetique dans un

conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.6.3 Guide d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6.4 Interaction entre l’onde et le milieu de propagation . . 47

5 Mecanique quantique 48

2

A Analyse Vectorielle 49A.1 Coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

A.1.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.1.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.1.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.1.4 Tenseur de deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.2 Coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.2.3 Rotationel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.2.4 Tenseur de deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.3 Identites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51A.4 Theoremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3

Chapitre 1

Proprietes elastique dessolides et des fluides

1.1 Comportement Elastique

1.1.1 Traction simple

Definition 1.1 (Contrainte normale) Une contrainte normale est definiepar :

σx =FnxS

avec Fnx la force normale agissant selon x

Definition 1.2 L’allongement specifique est defini par :

εx =∆LxLx

avec ∆Lx = |Lfinal − Linitial|.

Loi 1.1 (de Hooke)

εx =1Eσx

avec E le module de Young

Loi 1.2 (de Poisson)

εy = εz = −νεx = −ν σxE

avec ν le coefficient de Poisson.

Remarque 1.1 1. Une contrainte est positive pour une extension.2. E et ν caracterisent entierement les deformation d’un solide homogene

isotrope.

4

1.1.2 Compression uniforme

Principe 1.1 (de superposition) La superposition des contraintes im-plique la superposition des deformations correspondantes.

Exemple Soit un parrallelepipede rectangle homogene, isotrope de volumeV soumis a une compression uniforme. D’apres le principe de superposition,l’allongement specifique selon x est donne par :

εx =∆LxLx

=σxE− ν

E(σy + σz) =

σ

E(1− 2ν)

La variation de volume du solide est donnee par :

∆VV

= εx + εy + εz =3σE

(1− 2ν)

1.1.3 Cisaillement simple

Definition 1.3 (Contrainte tangentielle) La contrainte tangentielle surla face normale a l’axe xj est definie par :

τxj =FtxjSxj

Loi 1.3 (du cisaillement simple) Soit un parrallelepipede rectangle ho-mogene isotrope, de volume V soumis a deux contraintes tangentielles demaniere a ce que la somme des forces soit nulle. Le solide se deforme selondeux angles γ1 et γ2 avec γ = γ1 + γ2 en verifiant :

γ =τ

G

avec G[N.m2] le module de cisaillement (ou de glissement).

Proposition 1.1 Le module de cisaillement pour un solide isotrope estdonne par :

G =E

2(ν + 1)

Proposition 1.2 Un cisaillement est equivalent a une deformation qui nechange pas le volume du solide.

Proposition 1.3 La deformation d’un cube soumis a des contraintes nor-males et opposees est equivalente a celle d’un cisaillement simple (cf. serieII exo. 4).

5

1.1.4 Energie mecanique elastique

Pour deformer un solide il est necessaire de fournir du travail egal ala variation d’energie elastique du solide (pour une deformation elastiquenon-dissipative).

Traction simple

Le travail est donne par :

W =∫ ∆Lx

0Fnxdx

=∫ ∆Lx

0σxSdx

=∫ ∆Lx

0EεxSdx

=∫ ∆Lx

0

ExS

Lxdx

=EV

L2x

[x2

2

]∆Lx

0

=EV

2L2x

[∆Lx]2

=EV

2ε2x

=σxεxV

2

1.1.5 Compression uniforme

Le travail est donne par le principe de superposition et l’equation 1.1 :

W =∫ ∆V

0σdV

=12σ(εx + εy + εz)V

1.1.6 Cisaillement simple

Pour un cisaillement simple, le travail a fournir est donne par :

W =∫ Lx

0Ftdx

6

1.2 Viscosite

Definition 1.4 (Fluide Newtonien) Une fluide Newtonien :

1. a une relation lineaire entre la force tangentielle appliquee et la vitessetangentielle entre les deux plaques (pour un ecoulement laminaire).

2. est homogene, isotrope

Loi 1.4 (Ecoulement laminaire Newtonien entre deux surfaces planes)

Ft = ηS

evt

avec η[kg.m−1s−1] le coefficient de viscosite dynamique, e la distance entreles deux plaques, S la surface des plaques, Ft la force tangentielle et vt lavitesse constante entre les deux plaques.

1.2.1 Viscoelasticite

Presence simultanee de viscosite et d’elasticite.

Cisaillement

Un corps viscoelastique soumis a un cisaillement simple se deforme selonl’equation :

τz = Gγ + ηγ

1.2.2 Modele d’un solide viscoelastique

1. flugage : la deformation instantanee est suivie d’une deformation lentepour une contrainte constante.

2. relaxation : suite a une deformation la contrainte passive diminue pouratteindre une position d’equilibre.

3. hysteresis : soumis a une deformation cyclique la deformation estdephasee par rapport a la contrainte (ce qui implique une dissipationd’energie).

Modele de Kelvin

Un solide viscoelastique se deforme a la fois comme un solide elastiqueet comme un fluide visqueux et satisfait les phenomenes suivants : le solideest modelise par deux ressorts et un amortisseur dans la disposition suivante(Fig. 1.1)

7

Fig. 1.1 – Modele de Kelvin (ou lineaire standard)

La force appliquee Ftotal = F1 + F2 et la deformation utotal = u1 + u2

satisfont l’equation :

Ftotal + τεFtotal = µ0(utotal + τσutotal)

avec τε = ν1µ1

et τσ = ν1µ0

(1 + µ0

µ1

).

1.3 Analyse des contraintes

Definition 1.5 (Contrainte normale) La contrainte normale a la sur-face S en P au temps t est donnee par :

σn(P, t) =dFndS

Definition 1.6 (Contrainte tangentielle) De meme contrainte tangen-tielle a la surface S au point P a l’instant t est :

σt(P, t) =dFtdS

Methode de calcul des efforts internes

Pour un corps en equilibre :1. la somme des forces exterieurs agissant sur la partie enlevee est egale

a la somme des forces internes aggissant sur la surface de coupure.2. la sommes des moments des forces exterieurs par rapport a la surface

de coupure est egale a la sommes des moments des forces internes parrapport a la surface de coupure.

1.3.1 Flexion et fluage

Definition 1.7 (Plan neutre) Plan dont la “longueur” ne change pas

8

Flexion d’une barre encastree

Supposons une barre isotrope et homogene encastree a une extremitealors qu’une force F est exercee en l’autre, ainsi que

1. la surface S (de la coupe) est petite devant la longueur L

2. la deformation est petite donc il est possible d’approximer le rayon decourbure par :

1R

=

∣∣ d2ξdy2|[

1 +(dξdy

)2] 3

2

≈∣∣∣∣d2ξ

dy2

∣∣∣∣ (1.1)

3. le poids de la barre est neglige

Soit η une coordonnee radiale dont l’orgine est sur le plan neutre, l’allonge-ment specifique est donne par :

ε(η, y) =∆LL

=η

R(y)

et la contrainte normale est :

σn = Eη

R

Le moment des contraintes par rapport au plan neutre est donne par :

M =∫SησndS

=E

R

∫Sη2dS

=E

RI

⇒ 1R

=F (L− y)

EI(1.2)

avec I le moment d’inertie 1. La contrainte est donc exprimee par :

σn =F

Iη(L− y)

Les equations 1.2 et 1.1 donnent par integration :

ξ(y) =F

EI

(L2

2− y3

6

)(1.3)

1pour un solide le moment d’inertie I est defini par : I =RVρ(r)r2dV

9

Flambage

Lorsqu’une colonne est soumise a une contrainte longitudinale trop eleveeil resulte une grande deformation, c’est le flambage. La somme des momentsdoit etre nulle a l’equilibre donc le moment exercee par une partie de lacolonne en un point P donne doit etre compense par le moment des forcesinternes, soit :

M − Px = 0

⇔ EId2x

dz2+ Px = 0

en ayant utilise l’approximation pour des petits rayons de courbures l’equation1.1. La solution de cette equation differentielle est :

x(z) = C sin

(√P

EIz

)+D cos

(√P

EIz

)

1.3.2 Tenseur des contraintes

Soit P un point d’un solide isotrope homogene et dSi = dSei une surfaceorientee selon ei et dFi de composante (dF i1, dF

i2, dF

i3) la force sur cette

surface. Les contraintes agissant sur cette surface sont :

σki(r) =dF ikdS

i, k = 1, 2, 3

=

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

Les contraintes normales sont donc donnees par σii et les contraintes tan-gentielles par σik pour k 6= i. Le fait que la somme des moments est nulleimplique que le tenseur est symetrique. Il est donc possible de diagonalise letenseur suivant les axes principaux.

Force sur un element de surface

Soit dS une surface d’un solide homogene isotrope et soit dFi les forcesagissant sur cette surface, alors :

dF + dF 1 + dF 2 + dF 3 = 0

ce qui donne avec la definition d’une contrainte :

dFk = σkidSi

⇔

dF1

dF2

dF3

=

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

dS1

dS2

dS3

10

Remarque 1.2 L’etat de contrainte d’un corps ne depends pas des axeschoisi, contrairement au tenseur.

Remarque 1.3 Tout etat de contrainte est la superposition de tractions etde cisaillements.

1.3.3 Equations d’equilibre

Soit un corps isotrope homogene dans un champs ~B soumis a des contraintes,Ω un element de volume et S un element de surface. Alors la somme desforces est donnee par :

Ftotal =∫SdFkek +

∫Ω

Bdω

=∫SσkidSi +

∫Ω

Bdω

=∫

Ωdiv(σk)dω +

∫Ω

Bdω

=∫

Ω

(∂σki∂xi

+Bk

)dω k = 1, 2, 3

La condition d’equilibre sur les forces est donc donnee par :

Ftotal = 0

⇔ ∂σki∂xi

+Bk = 0 k = 1, 2, 3

1.4 Analyse des deformations

Soit P un point d’un solide homogene isotrope tel que la somme desmoments exterieurs et des forces exterieurs est nulle. Avant la deformationle point P est repere dans (Ox1x2x3) par r et apres la deformation par r′.

Definition 1.8 (Vecteur deplacement) Le deplacement de P est definipar le vecteur deplacement u :

u = r′ − r

Prenons deux points distants de dl =√dx2

1 + dx22 + dx2

3 avant la deformation

et de dl′ =√dx,21 + dx,22 + dx,23 apres, donc dl′2 = dx,21 + dx,22 + dx,23 et

dl′2 = dx,2i = (dxi + dui)2

= (dxi +∂ui∂xk

dxk)2

= dl2i + 2∂ui∂xk

dxkdxi +∂ui∂xk

∂uixldxkdxl (1.4)

11

or

∂ui∂xk

dxidxk =∂uk∂xi

dxidxk

et donc Eq. 1.4 devient :

dl′2 = dl2 +∂ui∂xk

dxidxk +∂uk∂xi

dxidxk +∂ul∂xi

∂ul∂xk

dxidxk

= dl2 + 2εikdxidxk

avec

εik =12

(∂ui∂xk

+∂uk∂xi

+∂ul∂xi

∂ul∂xk

)le tenseur de deformation. Pour de petites deformations, il est possiblenegliger les termes de second ordre et le tenseur devient :

εik =12

(∂ui∂xk

+∂uk∂xi

)(1.5)

Proposition 1.4 La trace du tenseur (Tr(εik)) represente la variation re-lative de volume :

∆VV

= Tr(εik)

.

1.5 Loi de Hooke generalisee

1.5.1 Loi de Hooke

Definition 1.9 (solide Hookeen) Un solide Hookeen obeit a la loi deHooke, c’est-a-dire que le tenseur de conrtraintes est proportionnel au ten-seur des deformations.

Loi 1.5 (de Hooke pour un solide isotrope)

σik =E

1 + ν

(εik +

ν

1− 2νεllδik

)(1.6)

εik =1E

[(1 + ν)σik − νσllδik] (1.7)

1.5.2 Equation d’equilibre d’un solide isotrope

graddivu− 1− 2ν2(1− ν)

rotrotu = −ρa(1 + ν)(1− 2ν)E(1− ν)

(1.8)

12

Exemple Deformation d’un cylindre en rotation uniforme selon son axe.Posons :

α :=ρω2(1 + ν)(1− 2ν)

E(1− ν)

En coordonnees cylindriques et en tenant compte de l’enonce (on supposedonc u = (ur(r), 0, 0) l’equation d’equilibre d’un solide isotrope donne :

∂

∂r

(1r

∂(rur)∂r

)= −αr

⇔ 1r

∂(rur)∂r

=−αr2

2+ a

⇔ ur =−αr3

8+ar

2+ b

Or la deformation en r = 0 doit etre finie, donc b = 0. Cherchons mainte-nant la constante d’integration a. Le tenseur de deformation est donne, encoordonnees cylindriques, par :

εr =∂ur∂r

=−3αr2

8+a

2

εθ =urr

+1r

∂uθ∂θ

=−αr2

8+a

2

Tout les autres composants sont nuls. La loi de Hooke pour un solide isotrope1.5 donne l’expression de la composante selon r du tenseur de contraintes :

σrr =E

1 + ν

[−3αr3

8+a

2+

ν

1− 2ν

(a− αr2

2

)](1.9)

Or la contrainte est nulle en r = R, ce qui avec l’equation 1.9, permetd’expliciter la constante d’integration a par :

a =αR2

4(3− 2ν)

Ainsi ur est donne par :

ur =αr

8[(3− 2ν)R2 − r2]

13

Chapitre 2

Mecanique des fluides

2.1 Concepts de base

Definition 2.1 (Ligne de courrant) Une ligne de courrant a l’instant test une courbe dont les tangentes en tout point sont les vecteurs vitesse al’instant t.

Definition 2.2 (Tube de courant) Un tube de courant est forme par unensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour ferme.

Remarque 2.1 Il n’y a pas de transfert de particules du fluides a traversla paroi du tube. Le debit est donc conserve.

Definition 2.3 (Tourbillon) Le vecteur tourbillon est defini par

T =12∇∧ v =

12rotv

et decrit la rotation des particules du fluides sur elles-meme (parrallele avecle vecteur de rotation instantane du solide).

Definition 2.4 (Ecoulement stationnaire) Un ecoulement est dit sta-tionnaire lorsque les derivees temporelles des grandeurs physiques localessont nulles. Les lignes de courrant sont donc confondues avec les trajectoires.

Definition 2.5 (Ecoulement laminaire/turbulent) Un ecoulement estdit laminaire lorsque les lignes de courant et les trajectoires sont confondues(la derivee nulle des grandeurs locales implique que les lignes de courantet les trajectoires sont confondues mais ce n’est pas une equivalence. Unecoulement stationaire est donc laminaire mais non le contraire).

Proposition 2.1 (Equation de continuite) Soit une grandeur physiqueA dans un volume Ω delimite par une surface Σ. Soit P un point de ce

14

volume, dω un element infinitesimal de volume autour de P avec dσ unvecteur normal au bord du volume infinitesimal. Soit JA le courant de A atravers la surface Σ et σA la source (ou le puits) de A par unite de volumeet de temps. l’equation de continuite, l’equation de conservation ou encorele bilan est donnee sous sa forme globale par :

dAdt

=∫

Ω

∂a

∂tdω =

∫ΩσAdω −

∫ΣJA · dσ (2.1)

et sous sa forme locale par :

∂a

∂t= σA −∇ · JA

Proposition 2.2 (Conservation de la masse d’un fluide) Soit Ω un vo-lume de controle limite par une surface fermee Σ. Considerons maintenantla masse m du fluide comme grandeur physique.

m(t) =∫

Ωρ(x, t)dω

En excluant les reactions chimique la seule maniere de faire varier la masse al’interieur du volume de controle est la convection. Supposons dσ un elementinfinitesimal de surface delimitant Ω et v la vitesse du fluide traversant Ω.La quantite de masse traversant Ω est donc :

ρv · dσdt = Jm · dσdt

avec Jm le courant de masse. L’equation de contuite (Eq. 2.1) devient donc :∫Ω

∂ρ

∂t+∫

ΣJm · dσ = 0

Remarque 2.2 Dans le cas de la conservation de la masse, l’Eq. 2.1 de-vient : ∫

Ω

∂ρ

∂tdω +

∫Σρv · dσ = 0

ce qui d’apres le theoreme de la divergence devient :∫Ω

(∂ρ

∂t+ div(ρv)

)dω = 0 (2.2)

Definition 2.6 (Debit volumique) Le debit volumique QV d’un fluideest le volume de fluide traversant une surface Σ par unite de temps :

QV =∫

Σv · dσ [m3.s−1]

15

Definition 2.7 (Debit massique) Le debit massique Qm est la masse defluide traversant une surface Σ par unite de temps :

Qm =∫

Σρv · dσ [kg.s−1]

Remarque 2.3 Dans le cas d’un fluide incompressible (ρ = cst.) l’Eq. 2.2devient :

divv = 0

2.1.1 Fonction de courant

La fonction de courant permet de ramener l’etude du champ vectorieldes vitesses d’ecoulement plan ou axisymetrique d’un fluide incompressbleou stationnaire a un champs scalaire.

Definition 2.8 (Fonction de courant) Soit A le potentiel vecteur des vi-tesses defini par v = rotA. Supposons un ecoulement plan defini par :

v =

vx(x, y)vy(x, y)

0

Comme le fluide est incompressible divv = 0 et donc il existe une fonctionΨ appellee fonction de courant verifiant :

div(v) = 0⇔ ∃Ψ/vx =∂ψ

∂yvy = −∂Ψ

∂x

Proposition 2.3 Les lignes Ψ = cst. co icident avec les lignes de courant

Proposition 2.4 Dans le cas d’un ecoulement plan le debit Q du fluideincompressible dans le tube de courant de section rectangulaire est donnepar ∆Ψ = Ψ2 −Ψ1.

Remarque 2.4 On retrouve donc que le debit volumique d’un fluide in-compressible a l’interieur d’un tube de courant est constant.

2.1.2 Ecoulement irrotationnel et potentiel des vitesses

Definition 2.9 (Ecoulement iorrationnel (ou potentiel)) Un ecoulementest irrotationnel ou potentiel lorsque le vecteur tourbillon est nul en toutpoint. Les ecoulements irrotationnels sont une bonne approximation lorsquela viscosite est negligeable. Pour un ecoulement irrotationnel il est possibled’introduire une fonction de scalaire φ, le potentiel des vitesses, definie par :

rotv = 0⇒ v = gradφ

L’equation de continuite permet decrire :

∇ · v = ∇ · ∇φ = ∆φ = 0

16

2.2 Dynamique des fluides parfaits

Proposition 2.5 (Equation d’Euler) Pour l’ecoulement stationnaire d’unfluide non-visqueux l’application de la seconde loi de Newton a une particulefluide conduit a :

FS + FV = mdv

dt

avec FS les forces de surface et FV les forces de volume. Comme le fluideest non-visqueux les seules forces agissant sur la particule sont normales a lasurface S, donc dFS = −pdS ou encore dFS = −grad(P )dω. En supposant laparticule uniquement soumise a un champs gravitationnel il vient FV = ρgdωavec ρ la densite de la particule. Comme ces equations sont independantesdu volume il est possible d’ecrire l’equation locale du mouvement d’un fluideparfait, appelee equation d’Euler :

ρg −∇p = ρdv

dt(2.3)

Proposition 2.6 (Equation de Bernouilli) Considerons l’ecoulement sta-tionnaire d’un fluide parfait incompressible soumis a la pesanteur. Pour deuxpoints d’une meme ligne de courant :

p1 + ρgz1 +12ρv2

1 = p2 + ρgz2 +12ρv2

2 (2.4)

Definition 2.10 (Ligne fluide fermee) L’ensemble des particules d’un fluideformant un contour ferme est dit ligne de fluide fermee

Theoreme 2.1 (de Kelvin) Pour un fluide parfait la circulation de la vi-tesse le long d’une ligne fluide fermee reste constant :∮

Γv · dl = cst. (2.5)

Theoreme 2.2 (de Helmoltz ) Si une surface1 (ou tube2) fluide est sur-face (ou tube) tourbillon a un instant donne elle l’est a tout instant.

Definition 2.11 (Intensite du tourbillon) L’intensite du tourbillon estdefinie comme la circulation de la vitesse le long d’une ligne fluide fermee :

I =∮

Γv · dl = cst ∀Γ, ∀t

1une surface fluide est definie par un ensemble de particules du fluide a un instantdonne

2de meme un tube fluide est une surface fluide mais fermee

17

2.3 Statique des fluides

Proposition 2.7 (Equations fondamentales de la statique des fluides)Pour un fluide au repos et par rapport a un referentiel d’inertie, l’equationd’Euler (Eq. 2.3) conduit a :

ρg −∇p = 0 (2.6)

et si le referentiel n’est pas inertiel il suffit d’introduire l’acceleration relatived’entrainement ae du referentiel non-inertiel par rapport a un referentielinertiel pour obtenir :

ρg −∇p = ρae

Corollaire 2.1 Pour un fluide statique incompressible la pression augmentelineairement avec la profondeur. Il suffit d’integrer l’Eq. 2.6 :

p = −ρgz + c

la constante c etant definie par les conditions au limites.

Theoreme 2.3 (d’Archimede) Supposons un volume immerge V de sur-face Σ. L’equation fondamentale de la statique et le theoreme du gradientdonnent :

FP =∫

ΣpdS =

∫V∇PdS =

∫V−ρfgdV = −mfg

avec ρf et mf respectivement la masse specifique et la masse du fluidedeplace par le corps.

2.4 Dynamique des fluides visqueux

2.4.1 Equation de Navier-Stokes

Proposition 2.8 (Equation de Navier Stokes) La loi de Newton decrivantle mouvement d’un fluide visqueux est l’equation de Navier-Stokes :

sρg −∇p+ (η + ν)∇(∇ · v) + η∆v = ρdv

dt(2.7)

avec η la viscosite de cisaillement et ν la viscosite de dilatation. Dans le casd’un fluide incompressible l’equation de Navier-Stokes devient :

ρg −∇p+ η∆v = ρdv

dt(2.8)

18

2.4.2 Ecoulement de Poiseuille

Considerons l’ecoulement laminaire stationnaire d’un fluide visqueux in-compressible dans une conduite cylindrique horizontale de longueur L et derayon R. L’ecoulement etant stationnaire et l’effet de la pesanteur negligeel’Eq. 2.8 donne, en coordonnees cylindriques :

−∇p+ η∆v = 0⇔

−∂p∂r

−1r∂p∂φ

−∂p∂z + η∆v

= 0

La vitesse du fluide ne depends que de r et donc le ∆v aussi et ∂p∂z ne depends

que de z donc les deux termes sont egaux a une constante α et le ∆v encoordonnees cylindriques est donne par :

∆v =1r

d

dr

(rdv

dr

)= α (2.9)

et pour la pression :

dp

dz= −α⇒ p(z) = p0 − αz

or la pression decroit lineairement le long du tube, donc :

α =∆pl

donc l’Eq. 2.9 devient, par integration :

v(r) = −∆pηL

(R2 − r2)

Remarque 2.5 Le debit volumique QV pour un ecoulement de poseuilledans une conduite de rayon R est :

QV =∫

Σv · dσ =

∫ R

02πrvrdr =

πR4∆p8ηL

Il est donc avantageux d’accroitre la dimension de la conduite plutot que lapression.

2.5 Physique des surfaces : tension superficielle etcapilarite

Definition 2.12 (Equation de Gibbs pour une surface) Soit Uσ l’energiesuperificielle de la surface consideree, d’aire A. Si la surface augmente de dA

19

l’energie est augmentee de γdA avec γ le coefficient de tension superficielle(qui depends de la temperature et de la composition chimique de la surface).L’equation de Gibbs pour une surface s’ecrit donc :

dUσ = TdSσ + γdA+∑i

µidmiσ

Definition 2.13 (Variation d’energie libre pour une surface) Il est sou-vent plus commode de travailler avec une variation de temperature qu’unevariation d’entropie. Il est donc legitime de s’interesser a la variation d’energielibre d’une surface lors d’une transformation donnee par :

dFσ = γdA− SσdT +∑i

µiσdmiσ

20

Chapitre 3

Electromagnetisme

3.1 Electrostatique

Loi 3.1 (de Coulomb) La force electrique entre deux charges q1 et q2 aurepos distantes de r est :

F =1

4πε0q1q2

r2er (3.1)

avec ε0 = 8.854.10−12[F.m−1] la constante de permitivite du vide.

Definition 3.1 (Champs electrique) La force exercee sur q2 est :

F = q2E

avec E = 14πε0

q1r2

er[V.m−1] le champs electrique.

Principe 3.1 (de superposition) Le champs electrique produit par plu-sieurs charges ponctuelles et la somme de champs produits par chacune descharges

E =∑i

Ei

Loi 3.2 (de Gauss ou premiere loi de l’ectrostatique) Le flux du champselectrique a travers une surface fermee quelconque est egal a la somme Qdes charges contenues dans le volume delimite par cette surface, divise parε0 : ∫

Σf

E · dσ =Q

ε0(3.2)

et si la distribution des charges ρ(x) est continue le theoreme de la divergenceimplique :

divE(x) =ρ(x)ε0

(3.3)

21

Definition 3.2 (Champs de deplacement electrique) Le champs de deplacementelectrique D est defini par :

D = ε0E

Loi 3.3 (Circulation du champs electrique ou seconde loi de l’ectrostatique)La circulation de E le long d’un contour ferme est nul :∮

E · dl = 0 (3.4)

et la forme locale :

rotE = 0 (3.5)

Proposition 3.1 Le champs electrique est conservatif donc le travail ef-fectue pour deplacer une charge d’un point A a un point B est donne par ladifference d’energie potentielle entre ces deux points :

WAP = −(Epot.P − EpotA )

donc la difference de potentiel entre deux points correspond au travail fournipar le champs electrique pour deplacer une charge unite entre ces deuxpoints :

V (B)− V (A) = −∫ B

AE · dl [V ]

avec V (A) le potentiel electrique au point A ce qui est equivalent a :

E = −gradV (3.6)

Remarque 3.1 Par convention le potentiel a l’infini est nul.

Proposition 3.2 Le principe de superposition permet de generaliser ladefinition de potentiel pour un ensemble continu de charges de densitesρ(x0) contenue dans un volume Ω0 par :

V (x) =1

4πε0

∫Ω0

ρ(x0)r

dω0

avec r = |x− x0|. Le champs electrique produit par une densite continue decharges ρs(x) sur une surface Σ est donne par :

E(x) =1

4πε0

∫σ

ρs(x0)r2

dω

avec r = |x− x0|.

22

Definition 3.3 (Surface equipotentielle) Les points qui sont au memepotentiel definissent une surface appelee surface equipotentielle. Ces surfacessont en tout points perpendiculaires aux lignes de champs.

Proposition 3.3 (Equation de Poisson) La loi de Gauss et l’Eq. 3.6 im-pliquent

−divgradV =ρ

ε0

d’ou l’equation de Poisson∆V = − ρ

ε0

Proposition 3.4 (Equation de Laplace) et si ρ(x) = 0 on obtient l’equationde Laplace

∆V = 0

3.2 Champ electrique et conducteurs

Definition 3.4 (Conducteur electrique) Un conducteur electrique estmateriau dans lequel des particules chargees peuvent se deplacer librement.

Definition 3.5 (Charge par influence) Lorsqu’un conducteur est placedans un champs qui deplace ses charges libres on dit qu’il y charge parinfluence.

Proposition 3.5 Le champs electrique a l’interieur d’un conducteur estnul.

Proposition 3.6 Le potentiel electrique a l’interieur d’un conducteur estnul (decoule de l’Eq 3.6 et de la proposition precedente).

Proposition 3.7 Le champs electrique est perpendiculaire a la surface d’unconducteur.

Definition 3.6 (Pression electrostatique) La force dF agissant sur lacharge de surface ρsdσ d’un condensateur soumis a un champs E est orientevers l’exterieur du conducteur quel que soit le signe de la charge de surface :

dF = ρsdσE =ρ2s

2ε0dσn

avec p = ρ222ε0

= ε0E2

2 la pression electrostatique et n un vecteur unitairenormal a la surface.

23

Definition 3.7 (Capacite d’un conducteur) En supposant V (inf) = 0pour tout point A du conducteur on a :

V (A) =∫ inf

AE · dl = V

et le champs electrique etant proportionnel a la charge totale du conducteurV l’est aussi. Il est donc possible de definir la capacite d’un conducteurcomme :

C =V

Q[F ]

Definition 3.8 (Condensateur) Un condensateur est forme de deux conduc-teurs separes par du vide ou par un dielectrique

Proposition 3.8 Si n condensateurs sont en serie la capacite resultanteest la somme des inverses :

1Ceq.serie

=n∑i=1

1Ci

et si les condensateurs sont branches en parallele les capacites s’ajoutent :

Ceq. =n∑i=1

Ci

Proposition 3.9 L’energie stockee dans un condensateur de capacite C estdonne par :

Ec =∫ Q

0V (q)dq =

CV 2

2[J ]

3.3 Champ electrique dans la matiere dielectrique

Definition 3.9 (Dipole electrique) Un dipole electrique est forme de deuxcharges ponctuelles q egale de signe opposee separes par un petite distancea.

Definition 3.10 (Moment dipolaire) Cette configuration conduit a ladefinition du moment dipolaire electrique p defini par :

p = qa [Cm]

Remarque 3.2 Par convention le vecteur a est dirige de la charge negativea la charge positive.

24

Definition 3.11 (Polarisation) La polarisation P(x) d’une substance estdefinie comme le moment dipolaire electrique du milieu par unite de volume :

P(x) = np [C.m−2]

avec n le nombre de particules entourant le point x.

Definition 3.12 (Champ de deplacement) Dans un materieau dielectrique,le champ de deplacement est defini par :

D = ε0E + P [C.m−2]

avec P le champs de polarisation a l’interieur du dielectrique polarise.

Loi 3.4 (Premiere loi de l’electrostatique dans un dielectrique) Lapremiere loi de l’electrostatique dans un dielectrique sous forme globale estdonnee par : ∫

Σf

D · dσ =∫

Ωρl(x)dω = Ql (3.7)

avec ρl la densite volumique moyenne de charges libres et Ql la somme descharges libres. Sous forme locale, la loi devient :

divD(x) = ρl(x) (3.8)

Remarque 3.3 La polarisation P(x) est proportionnelle au champ electriquelocal E(x) et non pas au champ applique E0.

Remarque 3.4 Le champ et le potentiel electrique dus a une charge ponc-tuelle placee dans un dielectrique est :

E(r) =q

4πεr2er V (r) =

14πε

q

r

avec ε la permitivite du milieu.

Remarque 3.5 La force d’interaction entre deux charges dans un dielectriqueest :

F =1

4πεq1q2

r2er

avec ε la permitivite du milieu.

25

3.4 Courant electrique stationaire

Proposition 3.10 (Conservation de la charge) L’equation de conserva-tion de la charge ou equation de continuite est :∫

Σf

ρv · dσ +∫

Ω

∂ρ(x, t)∂t

dω = 0 (3.9)

avec ρv · dσ la charge traversant Σ par unite de temps et∫

Ω∂ρ(x,t)∂t dω la

variation temporelle de charge a l’interieur de Ω.

Definition 3.13 (Densite de courant J) La densite de courant J me-sure la charge passant par unite de temps a travers une surface unite per-pendiculaire au vecteur vitesse des charges. Elle est definie par :

J(x, t) = ρv [A.m2]

Proposition 3.11 (Conservation de la charge (forme locale)) La conser-vation de la charge sous sa forme locale est :

divJ +∂ρ

∂t= 0

Definition 3.14 (Courant electrique) Le courant electrique I a traversune surface Σ comme le flux de densite de courant :

I =∫

ΣJ · dσ [A]

Loi 3.5 (d’Ohm)V = RI

et sous forme locale

E = ρJ ⇔ J = σE = −σgradV

avec ρ la resistivite [Ω] et σ = 1ρ la conductivite [Ω−1].

Proposition 3.12 (effet Joule) La puissance dissipee par une resistancesous forme de chaleur est :

P = RI2 =V 2

R[W ]

Proposition 3.13 En negligeant les variations de longueur et de section laresistance varie en fonction de la temperature comme :

R = R0[1 + α(T − T0)]

26

Proposition 3.14 La resistance resultant de la mise en series de n resistanceest la somme des resistance et si elle sont en parallele l’inverse de la resistanceresultante est egale a la somme des inverses.

Loi 3.6 (de Kirchhoff) 1. la somme des courants entrant et sortantd’un noeud est nulle : ∑

j,noeud

Ij = 0

2. et la somme des tensions sur une maille est nulle∑i,maille

Uj = 0

3.5 Magnetostatique

3.5.1 Force de Lorentz

Definition 3.15 (Force de Lorentz) Une charge electrique en mouvementdans un champs magnetique B et dans un champs electrique E est soumisea la force de Lorentz :

F = q(E + v ∧B) (3.10)

avec v la vitesse de la charge.

Proposition 3.15 (Force magnetique agissant sur un courant electrique)La force magnetique dans un conducteur soumis a un champ magnetique B :

F = I

∫L

dl ∧B

avec I le courant dans le conducteur et dl un vecteur tangent a l’axe duconducteur.

Proposition 3.16 (Couple mecanique d’une spire) Supposons une spirede surface S parcourue par un courant I avec n un vecteur normal unitaire.Le couple exerce par le champs B sur la spire est :

C = m ∧B

avec m = ISn le moment magnetique.

Proposition 3.17 (Energie potentielle magnetique d’une spire) L’energiepotentielle magnetique d’une spire soumise a un champs B est :

Epot. = −m ·B

avec m = ISn le moment magnetique et B = µ0In avec n le nombre despires et I l’intensite du courant.

27

3.5.2 Champ magnetique cree par des charges en mouve-ment

Loi 3.7 (de Biot-Savart) Le champs d’induction magnetique B cree enun point x quelconque par un courant stationnaire I circulant dans un circuitquelconque est donne par la loi de Biot-Savart :

B(x) =Iµ0

4π

∮eτ ∧ er

r2dl (3.11)

avec µ0 = 4π.10−7[V.s.m−1.A−1] la constante de permeabilite magnetique duvide.

Proposition 3.18 (Loi de Biot-Savart sous forme differentielle) Soitdl un element du fil pointant dans le sens du courant I et x un vecteur al-lant de cet element filaire a un point d’observation P . Alors un elementinfinitesimal du champs magnetique est donne par :

dB = kI(dl ∧ x)|x|3

Proposition 3.19 Le champs magnetique en un point P distant de r d’unun fil rectiligne de longueur infinie est donne par :

B(R) =Iµ0

2πR

Proposition 3.20 Pour une spire de rayon r parcourue par un courant Ila loi de Briot-Savart donne le champs magnetique en un point P situe surl’axe a une distance d est donne par :

B(d) =Iµ0r

2

2(r2 + d2)32

Proposition 3.21 L’intensite du champs magnetique a l’interieur d’un solenoideforme de n spires et parcouru par un courant I est donne par :

B = µ0In

3.6 Lois fondamentales de la magnetostatique

Loi 3.8 (Premiere loi de la magnetostatique) Le flux magnetique a tra-vers une surface fermee Σf est nul :

φB =∫

Σf

B · dσ [V.s] = [Weber] (3.12)

et le theoreme de la divergence donne la forme locale :

divB = 0 (3.13)

28

Loi 3.9 (Seconde loi de la magnetostatique ou loi d’Ampere) Soit uncontour ferme L entourant un fil rectiligne infiniment long parouru par uncourant I. La circulation du champs magnetique le long de se contour estdonnee par : ∮

LB · dl =

Iµ0

2π

∮L

eφ · dlR

= µ0I (3.14)

en coordonnees cylindrique, ez tangent au fil. En utilisant la definition dela densite de courant I =

∫Σ J · dσ il est possible de reecrire la loi sous la

forme : ∮L

B · dl = µ0

∫Σ

J · dσ (3.15)

et le theoreme de Stokes donne la loi d’Ampere sous sa forme locale :

rotB = µ0J (3.16)

3.7 Potentiel vecteur

Definition 3.16 (Potentiel vecteur) Le potentiel vecteur est defini par

B(x) = rotA(x)

Definition 3.17 (Jauge) Si A′ = A+ gradφ alors rotA = rotA′. Le choixde A est donc libre, c’est le choix de la jauge.

Proposition 3.22 (Loi d’ampere et potentiel vecteur) En remplacantB par rotA(x) dans la loi d’Ampere, la loi devient :

graddivA−∆A = µ0J (3.17)

Definition 3.18 (Jauge de Coulomb) Par definition, la jauge de Cou-lomb correspond a prendre A verifiant divA = 0 de maniere a ce que l’Eq.3.17 devienne :

∆A = −µ0J

Proposition 3.23 Dans le cas d’un fil, le potentiel vecteur A est donnepar :

A(x) =µ0

4πm ∧ er

r2m = πIR2ez

avec l’axe z correspondant avec celui de la spire. Le champs magnetiques’ecrit alors :

B =3µ0(m · er)er −m

4πr3

29

3.8 Aimantation de la matiere

3.8.1 Moment magnetique et aimantation

Definition 3.19 (Courant particulaire) Le mouvement circulaire d’unelectron de vitesse v sur une orbite de rayon r engendre courant particulaire :

I =e

2πrv [A]

avec e la charge de l’electron.

Definition 3.20 (Moment dipolaire magnetique) Le champs d’induc-tion mangetique induit par une spire est donne par

B(z) =µ0m

2π|z|3

avec z la distance a la spire et m le moment dipolaire magnetique defini par :

M = IS

ou S est la surface de la spire.

Definition 3.21 (Aimantation) L’aimantation M(x) est definie commele moment magnetique par unite de volume :

M(x) =1Ω

∑i

mi [A.m−1]

avec Ω le volume de la matiere consideree.

Proposition 3.24 (Dipole magnetique dans un champs) Une force agitsur un dipole (de moment dipolaire m associe) magnetique place dans unchamps B stationnaire et non-uniforme. Pour une translation sans deformation :

F = (m · grad)B

Definition 3.22 (H) Il est parfois pratique d’introduite le champs H :

H =Bµ0−M

Definition 3.23 (Suceptibilite magnetique) Comme l’aimantation dela matiere M depends du champs magnetique B, pour de faibles amplitudesde H :

M = χmH

avec χm la susceptibilite magnetique

30

3.8.2 Potentiel vecteur et champ d’induction magnetique creepar un milieu aimante

3.9 Induction electromagnetique

Un flux magnetique variable produit un courant dans un conducteur.

Loi 3.10 (de Faraday) Dans tout circuit, un flux magnetique variable in-duit une force electromotrice ε :

ε =∮

E · dl = −∂φB

∂tavec φB =

∫Σ

B · dσ

et le theoreme de Stokes donne la forme locale :

∇∧E = −∂B∂t

Proposition 3.25 Si une spire est deplacee avec une vitesse v dans unchamps uniforme B alors il existe une force electromotrice dans la spiredonnee par :

ε =∮L

(v ∧B) · dl

Definition 3.24 (Coefficient d’auto-induction) Soit un circuit caracterisepar une surface Σ1,2,un courant i1,2 qui induit un champs B1,2. Notons φ11

le flux du champs B1 a travers la surface Σ1. Le coefficient d’auto-inductiondu circuit 1 est defini par :

L1 =φ11

i1[V.s.A−1]

Definition 3.25 (Coefficient d’induction mutuelle) Soit un circuit ca-racterise par une surface Σ1,2,un courant i1,2 qui induit un champs B1,2.Notons φ12 le flux du champs B1 a travers la surface Σ2. Le coefficientd’induction mutuelle est defini par :

M =φ12

i1[V.s.A−1]

Definition 3.26 (Tension induite) La tension induite par un courant iparcourant une une self L est :

ε = −Ldidt

Definition 3.27 (Energie magnetique) Dans un circuit electrique l’energiemagnetique est definie par :

Em =LI2

2

31

Proposition 3.26 L’energie dissipee par effet Joule a l’interieur d’une spireest

P =ε2

R

avec R la resistance de la spire.

3.9.1 Transformateur

Definition 3.28 (Couplage Parfait) Le couplage de deux circuits est ditparfait si toutes les lignes cree par le premier traversent le second et reciproquement.

Proposition 3.27 Si le couplage est parfait, alors les relations du transfor-mateurs sont :

v2

v1=M

L1=N2

N1

i2i1

=N1

N2

3.10 Equations de Maxwell

Les equations de Maxwell, invariantes d’un point de vue relativiste, unifiel’electromagnetisme.

∇ ·D = ρ ⇔∫

ΣD · dσ =

∫Ωρ(x)dω = Q (3.18)

∇∧E = −∂B∂t

⇔∮L

E · dl =ddt

∫Σ

B · dσ (3.19)

∇ ·B = 0 ⇔∫

ΣB · dσ = 0 (3.20)

∇∧H = J +∂D∂t

⇔∑

i +ddt

∫Σ

D · dσ (3.21)

3.11 Energie electromagnetique

Remarque 3.6 Un champs electromagnetique travail lorsqu’il devie, par laforce de Lorentz, la trajectoire d’une particule en mouvement.

Definition 3.29 (Puissance) La puissance echangee par unite de volumeest definie par :

δW

dt · dω= ρE · v = E · J

Definition 3.30 (Courant d’energie electrostatique) Le courant d’energieelectrostatique est l’energie transmise par le champs electromagnetique parunite de temps a travers une surface normale unitaire.

32

Proposition 3.28 (Conservation de l’energie) L’equation de conserva-tion de l’energie est :

ddt

∫ΩuEMdω = −

∫Σ

S · dσ −∫

ΩE · Jdω

avec S(x, t)[W.m−2] le courant d’energie electrostatique, E · J le travail parunite de temps et de volume exerce par le champs.

Remarque 3.7 Par convention E · J est negatif pour une source et positifpour un puit.

Definition 3.31 (Vecteur de Poynting) Le vecteur de Poynting S, definipar :

S = E ∧H

est un vecteur courant d’energie.

33

Chapitre 4

Ondes

Definition 4.1 (Onde progressive) Une onde est dite progressive lors-qu’elle se deplace dans le sens positif de l’axe x.

Definition 4.2 (Onde retrograde) Une onde est dite retrograde lorsqu’ellese deplace dans le sens negatif de l’axe x.

Definition 4.3 (de d’Alembert) L’equation de d’Alembert, ou l’equationd’onde est :

∂2ψ

∂t2= u2∂

2ψ

∂x2

ou ψ represente une variation de pression, une composante d’un champs’electrique, etc. En trois dimensions l’equation de D’Alembert devient :

∆ψ(x, t) =1u2

∂2ψ

∂t2

Definition 4.4 (Onde longitudinale/transversale) Une onde est ditelongitudinale lorsque le mouvement des particules est parrallele a la directionde propagation et transversale lorsque le mouvement est normal.

Definition 4.5 (Onde sinusoıdale) L’onde sinusoıdale ou harmonique

ψ(x, t) = ψ0 sin(kx− ut)

est une solution particuliere de l’equation de D’Alembert, avec ψ0 l’ampli-tude de l’onde, k le nombre d’onde et u la vitesse de l’onde.

Definition 4.6 (Nombre d’onde) Le nombre d’onde k est defini par :

k =2πλ

34

Definition 4.7 (Pulsation) La pulsation ω est definie par :

ω = 2πf =2πT

= ku

avec f la frequence de l’onde et T sa periode.

Definition 4.8 (Milieu dispersif) Un milieu est dit dispersif si la vitessede propagation de l’onde u depends de la frequence f .

Definition 4.9 (Onde de pression) Une onde de pression est definie par :

ψ = p− pr

avec p la pression du fluide et pr la pression au repos.

Remarque 4.1 Une onde de pression dans un gaz est une onde acoustique

Definition 4.10 (Impedance) L’impedance Z d’un milieu caracterise laresistance du milieu a la deformation. Pour une onde de pression :

Z =p(x, t)− pr

v(x, t)

pour une onde elastique :

Z =σ(x, t)v(x, t)

et sur une corde :

Z =−F ∂ξ(x,t)

∂x

v(x, t)

4.1 Aspect Energetique

Definition 4.11 (Densite d’onde) La densite d’energie est definie par :

e(x, t) = epot. + ecin. =ρu2

2

(∂ξ

∂x

)2

+ρ

2

(∂ξ

∂t

)2

et dans le cas particulier d’une onde elastique :

e(x, t) =E2

(∂ξ

∂x

)2

+ρ

2

(∂ξ

∂t

)2

Definition 4.12 (Densite d’energie moyenne) La densite d’energie moyenneest definie par :

e =1T

∫ T

0e(x, t)dt

et dans le cas particulier d’une onde sinusoıdale :

e =ρω2ξ2

0

2

35

Definition 4.13 (Intensite) L’intensite I transportee par une onde estsa puissance moyenne a travers une surface unitaire dans la direction de lapropagation. Dans le cas d’une onde elastique dans un bareau la puissancemoyenne est

P (x, t) = Sue

d’ou l’intensite :

I =P

S= ue = Zv2

et dans le cas particulier d’une onde sinusoıdale :

I =ρuω2ξ2

0

2(4.1)

Remarque 4.2 L’energie de l’onde est transmise a sa vitesse de propaga-tion pour un onde dans un milieu non-dispersif et a sa vitesse de groupedans un milieu dispersif.

Definition 4.14 (Niveau d’intensite) Dans le cas d’une onde accous-tique l’intensite est definie par le niveau d’intensite :

L = 10 log(I

I0

)[] = [dB]

avec I0 une intensite de reference (10−12[W.m−2] pour l’air).

4.2 Effet Dopler

Lorque l’emetteur et/ou le recepteur sont en mouvement relatif par rap-port au milieu de propagation la frequence emise differe de la frequencerecue.

Proposition 4.1 (Effet Dopler) La frequence recue f ′ est liee a la frequenceemise f par :

f ′ = fu− vou− vs

avec vo la vitesse de l’observateur, vs la vitesse de la source et u la vitessede l’onde.

Definition 4.15 (Frquence Dopler) La frequence Dopler est definie par :

fD = |f ′ − f |

Remarque 4.3 Par convention :

1. vs est positive si la source s’approche de l’osbservateur.

2. vo est positive si l’observateur s’eloigne de la source

36

Proposition 4.2 (Effet Dopler Relativiste) Dans le cas d’une onde electromagnetiqueles frequences sont reliees par :

f ′ = f1− vo

c√1−

(vsc

)2avec c la vitesse de la lumiere dans le vide.

Definition 4.16 (Onde de Choc) Lorsque que la source d’une onde spheriquese deplace plus rapidement que le front d’onde il y a accumulation de frontsd’onde formant un cone avec la source au sommet, c’est l’onde de choc (ouonde de Mach) . L’angle du cone est caracterise par :

sinα =u

vs

avec u la vitesse de l’onde et vs la vitesse de la source.

4.3 Principes generaux de la propagation d’ondes

Principe 4.1 (de superposition) L’equation de D’Alembert etant lineaire,la somme de deux solutions est encore une solution. Physiquement, deuxondes peuvent se superposer sans se “gener”, en gardant leur caracteristiquespropes.

Principe 4.2 (de Huyghens) Tout point atteint par une onde devient lecentre d’une onde secondaire qui, dans un milieu homgene et isotrope, estspherique et se propage a la meme vitesse que l’onde primaire.

Principe 4.3 (de Fermat) Une onde se propageant de A a B parcours lechemin minimisant le temps.

4.4 Superpostion d’ondes

4.4.1 Onde stationnaire

Definition 4.17 (Onde stationnaire) Considerons deux ondes sinusoıdalesunidimensionnelles de meme amplitude et de meme frequence, l’une progres-sive et l’autre retrograde. L’onde stationnaire resultante est definie par :

ψ(x, t) = ψ0 sin k(x− ut) + ψ0 sin k(x+ ut) = 2ψ0 sin(kx)cos(ωt)

L’onde est dite stationnaire car elle ne se propage pas la dependance spatialeest modulee par la dependance temporelle : il n’y a pas de transfert d’energie.

37

Proposition 4.3 Une onde tri-dimensionnelle est dite stationnaire s’il y aseparation de variables :

ψ(x, t) = φ(x) · θ(t)

Remarque 4.4 L’energie ne peut pas etre transmise a travers un noeuds,donc la corde d’un violon doit etre fixee en ses noeuds.

Definition 4.18 (Frequence propre) La frequence propre ou harmoniquecorresponds aux frequences pour lesquelles les points d’attache (ou les pa-rois, etc) sont sur des noeuds :

λn =2Ln

Definition 4.19 (Timbre) L’amplitude et le nombre d’harmoniques definissentle timbre d’une note.

4.4.2 Phenomene de battement

Definition 4.20 (Battement) Lorsque deux ondes de frequence legerementdifferente se superposent il y a battement. Dans le cas d’onde sinusoıdalesde pulsations ω1 et ω2 :

ψ(x, t) = A(sinω1t+ sinω2t) = 2A sin(ω1 + ω2

2t

)cos(ω1 − ω2

2t

)ω1−ω2

2 la pulsation des battements.

4.4.3 Vitesse de phase et de groupe

Definition 4.21 (Vitesse de phase) La vitesse de propagation

u =ω

k= λf

est la vitesse de phase.

Definition 4.22 (Pulse) Pour pouvoir contenir de l’information une ondedoit etre modulee (en phase, frequence ou amplitude), dit pulse ou paquetd’onde

Definition 4.23 (Vitesse de groupe) La vitesse a laquelle le pulse sepropage defini la vitesse de groupe.

Remarque 4.5 (Milieu dispersif) Si le milieu est dispersif la vitesse del’information est la vitesse de groupe mais si le milieu est non-dispersif, lavitesse de groupe est egale a la vitesse de phase.

38

4.4.4 Interference de sources coherentes

Considerons deux ondes circulaires de pression (le meme raisonementest valable pour des ondes lumineuses, elastiques, etc) coherentes, ou syn-chrones, c’est-a-dire de meme frequence de dephasage constant (suppose nulpour simplifier) :

∆p1(r1, t) =A

r1sin(kr1 − ωt) ∆p2(r2, t) =

A

r2sin(kr2 − ωt)

Par principe de superposition la pression en un point P est :

∆p(r1, r2, t) =A

r1

(sin(kr1−ωt)+sin(kr2−ωt)

)+(A

r2− A

r1

)sin(kr2−ωt)

Le second terme est negligeable si r1 et r2 sont semblables, sinon il n’y apas d’interference car le premier terme devient negligeable devant le second,soit :

∆p(r1, r2, t) =2Ar1

cos(k(r1 − r2)

2

)sin(k(r2 + r1)

2− ωt

)

Definition 4.24 (Interference constructive/destructive) L’amplitudede l’onde pression est donc maximale, interference constructive, lorsque

r1 − r2 = nλ

et minimale, interference destructives, lorsque

r1 − r2 =(2n+ 1)λ

2

Remarque 4.6 Le lieu des points maximum ou minimum est une hyper-boloıde de foyers S1 et S2 verifiant r1 − r2 = cst.

Proposition 4.4 (Intensite en P) Par definition l’intensite I en P est :

I(P ) =∆p2

Z=

1Z

(∆p2

1 + ∆p22 + 2∆p1∆p2

)(4.2)

seul le troisieme terme tiens compte de l’interference :

2∆p1∆p2 =A2

r1r2

(∫ T

0sin[k(r1 − r2) + φ1 − φ2]dt

)donc l’Eq. 4.2 devient :

I(P ) = I1(P ) + I2(P ) +A2

Zr1r2cos (k(r1 − r2) + φ1 − φ)2)

39

ce qui avec :

Ii(P ) =A2

2Zr2i

donne

I(P ) = 4I0(P ) cos2

(ka sin θ − φ)

2

)(4.3)

avec r1 ≈ r2 ≈ asinθ, I1(P ) ≈ I2(P ) ≈ I0(P ) et φ1 − φ2 = φ.

Definition 4.25 (Ordre de l’interference) En posant φ = 0 dans l’Eq. 4.3l’intensite passe par un maximum pour

a sin θ = nλ n ∈ N

n est l’ordre de l’interference.

4.5 Interaction ondes-milieu de propagation

4.5.1 Refraction et reflexion

Loi 4.1 (de Snell-Descartes) Lorsqu’une onde electromagnetique changede milieu (passant d’un indice de refraction n1 a n2, l’angle d’incidence α1

et de reflexion α2 sont lies par :

n1 sin(α1) = n2 sin(α2)

Definition 4.26 (Coefficient de transmission) Le coefficient de trans-mission T caracterise la fraction de l’onde initiale qui est transmise au nou-veau medium :

T =2Z1

Z1 + Z2

Definition 4.27 (Coefficient de reflexion) Le coefficient de reflexion Tcaracterise la fraction de l’onde initiale qui est reflechie a l’interface entreles deux mediums :

R =Z1 − Z2

Z1 + Z2

4.5.2 Diffraction

Definition 4.28 (Diffraction) La difraction est un phenomene observedans tout les mouvements ondulatoire lorsqu’un objet de dimension compa-rable a la longueur d’onde deforme l’onde incidente.

Definition 4.29 (Diffraction de Fraunhofer) On parle de diffraction deFraunhofer lorsque les ondes incidentes sont planes et on etudie la figure dediffraction suffisament loin de l’objet (pour que les rayons diffractes soientparalleles).

40

Proposition 4.5 (Diffraction de Fraunhofer par une fente) Supposonsune fente de largeur a et de hauteur b << λ dans le plan Oxz. Calculonsl’intensite en un point Q(r, θ) distant de la fente, dans le plan xy pour uneonde sinusoıdale de pression selon y. La surpression en Q est :

dp(r, t)A sin(kr − ωt)dxdzr

En supposant r >> a le front d’onde dans le plan xz la surpression totaleest :

∆p(r, t) = Ab

∫ a/2

−a/2

1 sin(kr − ωt)r

dx

or r ≈ r0 − x sin(θ) donc

∆p(r, t) =Ab

r0 − x sin θ

∫ a/2

−a/2

1 sin(k(r0 − x sin θ)− ωt)r

dx

=Aab sin

(ka sin θ

2

)(r0 − x sin θ) sin

(ka sin θ

2

) (4.4)

et l’intensite en Q est donnee par l’Eq. 4.1

Definition 4.30 (Diffraction de Fresnel) On suppose que la source desrayons incidents est ponctuelle ou que les rayons diffractes sont observe enun point donne de l’espace, ou les deux ensembles.

Remarque 4.7 Contrairement au phenomenes d’interferences, les phenomenesde diffraction sont des interactions ondes-matiere.

4.6 Ondes electromagnetiques

Definition 4.31 (Equations de Maxwell et de d’Alembert) Les equationsde Maxwell sont :

∇ ·D = ρ ⇒ ∇ ·E = 0 (4.5)

∇∧E = −∂B∂t

⇒ ∇∧E = −µ0µr∂H∂t

(4.6)

∇∧H = J +∂D∂t

⇒ ∇∧H = ε0εr∂E∂t

(4.7)

∇ ·B = 0 ⇒ ∇ ·H = 0 (4.8)

En derivant l’equation 4.7 par rapport au temps :

∇∧ ∂H∂t

= ε0εr∂E

∂t(4.9)

41

puis en utilisant l’Eq. 4.6 avec l’identite Eq. A.1

− 1µ0µr

(∇∇ ·E−∆E) = ε0εr∂E

∂t

et l’Eq. 4.5 permet de retrouver l’equation de d’Alembert caracteristiqued’une onde :

∆E = ε0εrµ0µr∂E∂t

de meme on trouve :∆B = ε0εrµ0µr

∂B

∂t

Proposition 4.6 (Vitesse de la lumiere) La vitesse de propagation d’uneonde electromagnetique dans le vide est :

c =√

1µ0ε0

= 2.997925.108[m.s−1]

Proposition 4.7 Supposons une onde plane progressive sinusoıdale mono-chromatique se propageant selon x :

E(x, t) = E0 sin(kx− ωt) u =ω

k

E0 = (E′0,x, E′0,y, E

′0,z) l’amplitude. L’Eq. 4.5 impose E′0,x = 0 donc l’onde

est transversale : elle se propage selon x et vibre dans un plan normal.Choisissons abitrairement y comme direction de vibration soit :

E(x, t) = E0,y sin(kx− ωt)ey

De maniere analogue le champs magnetique est decrit par :

B(x, t) = B0,y sin(kx− ωt+ φy)~ey +B0,z sin(kx− ωt+ φz)~ez

or l’Eq. 4.6 impose

B0,y =∂E0 sin(kx− ωt)~ey

∂z= 0

et

∂E

∂x= kE0 cos(kx− ωt) =

∂B

∂t= kcB0,z cos(kx− ωt+ φz) ω = kc

donc le champs magnetique vibre selon ~ez, φz = 0 donc les champs magnetiqueet electriques vibrent en normalement et en phase et E0,y = cB0,z.

Definition 4.32 (Polarisation lineaire et direction de polarisation)Impose au champs electrique une vibration selon ~ey revient a le polariserlineairement. La direction selon laquelle vibre le champs electrique est ladirection de polarisation.

42

Definition 4.33 (Direction de polarisation) La direction de polarisa-tion est celle du champs electrique.

Definition 4.34 (Plan d’onde) Le plan d’onde est defini par le vecteurd’onde k = kn.

Definition 4.35 (Plan de polarisation) Le plan de polarisation est definipar le vecteur E et le vecteur k.

Definition 4.36 (lumiere naturelle) La lumiere naturelle est non-polariseesa phase est aleatoire, pour une onde electromagnetique se propageant selon~x :

Ey(x, t) = E0,y sin(kx− ωt+ φy(t))Ez(x, t) = E0,z sin(kx− ωt+ φz(t))

Definition 4.37 (Lumiere polarisee elliptiquement) Une onde electro-magnetique se propageant selon x est dite polarisee elliptiquement si

φ = φy − φz = cst. 6= 0 6= π

Definition 4.38 (Lumiere polarisee circulairement) Une onde electro-magnetique se propageant selon x est dite polarisee circulairement si :

φ =π

2||π

3et E0,y = E0,z

1

Proposition 4.8 Une onde electromagnetique transporte de l’energie quicorrespond au vecteur de Poynting :

S = E ∧H

Sa densite d’energie est donnee par :

e = ¯uEM =ε0E

20

2

et son intensite par :

I =ε0cE

20

2

Definition 4.39 (Indice de refraction) L’indice de refraction d’un materiauxest defini par :

n =c

u=√εrµr

1|| est un “ou”

43

Remarque 4.8 Dans un milieu dispersif, l’indice de refraction depends dela frrequence (d’ou le spectre produit par un prisme en quartz).

Proposition 4.9 (Equation de Planck) L’equation de Planck etablit ladualite entre l’aspect corpusculaire et ondulatoire du photon :

ε = hν

avec h = 6.6256.10−34[J.s] est la constante de Planck.

4.6.1 Propagation d’une onde electromagnetique dans un die-lectrique anisotrope

Les equations de Maxwell permettent de montrer qu’independament dela polarisation du rayon incident dans un milieu anisotrope deux rayons pola-rises perpendiculairement se propagent a differentes vitesses. A un dielectriqueanisotrope on associe un tenseur des susceptibilites electriques possedant 3axes principaux correspondant aux directions cristallographiques. A chaqueaxe principal correspond donc un coefficient de refraction ni. L’incidenced’une onde electromagnetique sur un dielectrique anisotrope provoque unerefraction double : onde ordinaire et onde extraordinaire.

Definition 4.40 (Onde ordinaire) Dans le cas d’une birefringence uni-axe (n2 = n3) l’onde ordinaire est polarisee lineairement dans une directionperpendiculaire au plan forme par l’axe optique et la direction de propaga-tion de l’onde. Sa vitesse est c

n2.

Definition 4.41 (Onde extraordinaire) Dans le cas d’une birefringenceuni-axe (n2 = n3) l’onde extraordinaire est polarisee lineairement dans leplan forme par l’axe optique et la propagation de l’onde incidente. Sa vitessedepend de la direction de propagation et varie de c

n2a c

n1(lorsque l’axe

optique est perpendiculaire a la propagation de l’onde incidente).

A la sortie du dielectrique anisotrope les deux ondes (ordinaire et extra-ordinaire) sont paralleles, perpendiculaires a la face de sortie et polariseesperpendiculairement.

Definition 4.42 (Dichroıque) Un milieu anisotrope qui absorbe les ondesordinaires et extraordinaire dans des proportions differentes est dit dichroıque.

Remarque 4.9 A la sortie d’un milieu dichroıque une onde polarisee aleatoirementressort polarisee lineairement.

Definition 4.43 (Polariseur) Un polariseur est un milieu qui ne transmetque la composante du champs selon une direction, dite axe de polarisation.

44

Proposition 4.10 (Loi de Malus) Supposons une onde de lumiere natu-relle sur deux polariseurs formant dont les axes de polarisation forment unangle θ. L’intensite du rayon transmis a la sortie du second polariseur estdonne par la loi de Malus :

I(θ) = I0 cos2(θ)

avec I0 l’intensite de l’onde apres le premier polariseur.

Definition 4.44 (Birefringence accidentelle) Il y a birefringence acci-dentelle lorsqu’un milieu isotrope soumis a une contrainte mecanique devientanisotrope.

Definition 4.45 (Effet Kerr) Lorsqu’un milieu soumis isotrope soumis aun champs electrique constant intense devient anisotrope et birefringent ondit qu’il y a effet Kerr

Definition 4.46 (Effet Compton) Il y a effet Compton lorsqu’un milieuisotrope soumis a un champs magnetique statique devient anisotrope et bi-refringent.

4.6.2 Propagation d’une onde electromagnetique dans un conduc-teur

Pour une onde plane sinusoıdale polarisee lineairement selon ey et sepropageant selon ez dans un conducteur lineaire (B = µH et D = εE) leschamps ont la forme :

E(x, t) = E0e−αx sin(kx− ωt)ey B(x, t) = B0e−αx sin(kx− ωt + φ)ez

avec

α =

(−ωu

)2 +√(

ωu

)4 + (µσω)2

2avec u la vitesse de propagation de l’onde, ω la pulsation de l’onde, σ laconductivite du conducteur et µ = µ0µr.

Proposition 4.11 (Profondeur de penetration) Dans le cas d’un bonconducteur, la profondeur de penetration δ est :

δ =1α≈√

2µσω

45

4.6.3 Guide d’onde

Proposition 4.12 (Onde dans un guide d’onde) Supposons une ondepolarisee lineairement monochromatique se deplacent suivant l’axe x d’untube rectangulaire de dimensions a × b (a selon y). Le champs electriques’ecrit :

Ez(x, y) = E0 sin(kyy) sin(kx− ωt)avec ky = nπ

a et

kx = ±√(ω

c

)2−(nπa

)2

Definition 4.47 (Longueur d’onde guidee) La longueur d’onde a l’interieurd’un guide d’onde rectangulaire, pour une onde monochromatique polariseelineairement est :

λg =2πkx

=λ0√

1−(λ02a

)2

avec λ0 la longueur d’onde dans le vide.

Proposition 4.13 (Frequence de coupure) Un guide d’onde est un mi-lieu dispersif, la frequence de coupure est :

fc =πc

a

dans le cas d’un guide d’onde rectangulaire de largeur a.

Proposition 4.14 (Vitesse) La vitesse de phase d’une onde guidee est :

u =c√

1−(ωcω

)2et la vitesse de groupe est :

ug = c

√1−

(ωcω

)2

Proposition 4.15 (Intensite et puissance) L’intensite et la puissancemoyenne d’une onde monochromatique (sinusoıdale) polarisee lineairementdans un guide d’onde rectangulaire sont :

I =ε0ugE

20

2P =

ε0abugE20

2

Proposition 4.16 Lorsque le second milieu est plus “refringent” que lepremier :

1.2.3.

46

4.6.4 Interaction entre l’onde et le milieu de propagation

Refraction et reflexion

Proposition 4.17 (Coefficients de Fresnel) Les coefficients de Fresnelsont donnes par :

T// =2 cosαi sinαt

sin(αi + αt) cos(αi − αt)

R// =tan(αi − αt)tan(αi + αt)

T⊥ =2 cosαi sinαtsin(αi + αt)

R⊥ = − sin(αi − αtsin(αi + αt)

Proposition 4.18 Lorsque le second milieu est plus refringent que le pre-mier (n2 > n1) :

1. les ondes transmises ne subissent pas dephasage

2. onde incidente polarisee // au plan d’incidence l’onde reflechie (E et B)dephasee de π pour un angle d’incidence inferieur a l’angle de Brewster

3. onde incidente polarisee ⊥ plan d’incidence onde reflechie dephasee deπ.

Reseaux optiques de diffraction

Proposition 4.19 Pour N fentes de largeur b distantes de a et une ondesinusoıdale monochromatique sous incidence normale, l’intensite en fonctionde l’angle

I(θ) = I0

(sin(bπ sin θλ

)bπ sin θλ

)2(sin(Naπ sin θ

λ

)sin(aπ sin θλ

) )2

Proposition 4.20 (Dispersion du reseau) La dispersion du reseau est

D =n√

a2 − n2λ2

avec a la distance entre les sources

Definition 4.48 (Pouvoir de resolution) Le pouvoir de resolution oucritere de Rayleigh R = λ

∆λ = Nn avec n l’ordre de diffraction.

47

Chapitre 5

Mecanique quantique

48

Annexe A

Analyse Vectorielle

A.1 Coordonnees cylindriques

u(r, θ, z) et A = (Ar(r, θ, z), Aθ(r, θ, z), Az(r, θ, z)).

A.1.1 Gradient

grad(u) =

∂u∂r

1r∂u∂θ∂u∂z

A.1.2 Divergence

div(A) =1r

∂(rAr)∂r

+1r

∂Aθ∂θ

+∂Az∂z

A.1.3 Rotationnel

rot(A) =

1r

(∂(rAr)∂r + ∂Aθ

∂θ

)+ ∂Az

∂z∂Ar∂z −

∂Az∂r

1r

(∂rAθ∂r −

∂Ar∂θ

)

49

A.1.4 Tenseur de deformation

εr =∂ur∂r

εφ =1r

(∂uφ∂φ

+ ur

)εz =

∂uz∂z

2εφz =1r

∂uz∂φ

+∂uφ∂z

2εrz =∂ur∂z

+∂uz∂r

2εrφ =∂uφ∂r−uφr

+1r

∂ur∂φ

A.2 Coordonnees spheriques

u(r, θ, φ) A(Ar(r, θ, φ), Aθ(r, θ, φ), Aφ(r, θ, φ))

A.2.1 Gradient

grad(u) =

∂u∂r

1r∂u∂θ

1r sin θ

∂u∂φ

A.2.2 Divergence

div(A) =1r2

∂r2Ar∂r

+1

r sin θ∂ sin θAθ

∂θ+

1r sin θ

∂Aφ∂φ

A.2.3 Rotationel

rot(A) =

1

r sin θ

(∂ sin θAφ

∂θ − ∂Aθ∂φ

)1r

(1

sin θAr∂φ −

∂Aφ∂r

)1r

(∂rAθ∂r −

∂Ar∂θ

)

50

A.2.4 Tenseur de deformation

εr =∂ur∂r

εθ =1r

∂uθ∂θ

+urr

εφ =1

r sin θ∂uφ∂φ

+uθr

cot θ +urr

2εθφ =1r

(∂uφ∂θ− uφ cot θ

)+

1r sin θ

∂uθ∂φ

2εrθ =∂uθ∂r− uθ

r+

1r

∂ur∂θ

2εφr =1

rsinθ

∂ur∂φ

+∂uφ∂r−uφr

A.3 Identites

∇∇ · a = ∇∧∇ ∧ a + ∆a (A.1)∇ · fa = a∇f + f∇ · a (A.2)

∇ · ∇ ∧ a = 0 (A.3)∇∧∇f = 0 (A.4)

(a · ∇)b =∑i

ai∂bk∂xi

(A.5)

∇a2

2= (a·∇)a + a ∧∇ ∧ a (A.6)

∇ · a ∧ b = b · ∇ ∧ a− a∇∧ b (A.7)

∇∧ (a ∧ b) = a∇ · b− b∇ · a +∑i

∂a

∂xibi −

∑i

∂b

∂xiai (A.8)

∇∧ (fa) = ∇(f ∧ a) + f∇∧ a (A.9)

A.4 Theoremes

Theoreme A.1 (de Stokes)∫Σ

a · dσ =∫

Ω∇ · adω

Theoreme A.2 (du Gradient)∫Σfdσ =

∫Ω∇fdω

51

Theoreme A.3 (du rotationnel)∫Σ

dσ ∧ a =∫

Ω∇∧ adω

Theoreme A.4 (de Stokes)∫Σ∇∧ a · dσ =

∮Γa · dl

52

Bibliographie

[1] J.-J. Meister Proprietes elastiques des solides et des fluides Polycopie(Automne 2006)

[2] Y. C. Fung A First Course in Continuum Mechanics Third EditionPrentice Hall, 1994

[3] L. D. Landau, E. M. Lifshitz Theory of Elasticity Third Edition But-terworth Heinemann, 1986

[4] Feynmann R.P. Feynnman Lectures

[5] Electromagnetisme Presses Polytechniques et Universitaires Romandes,Lausanne, 2004

[6] Alonso M., Finn E.J. Physique Generale 2, Champs et Ondes Dunod,Paris, 2001

53