Reseria de libros

G. H. HARDY: "The case against thethemaucal Tripas", Mathematzcalzette, 1948. Págs. 134-145.

El gran matemático inglés Hardy, úl-timamente fallecido, expresa en el ante-rior discurso, con palabras encendidas yapasionadas, su repulsión ante los méto-dos examinadores del Tripas. Traemosa estas páginas un breve comentario dela alocución de Hardy por varias razo-nes, a pesar de la relativa pérdida deactualidad de su publicación. Una detales razones es, justamente, que las no-ticias de última hora no suelen ser lasmás importantes. Consideramos, en cam-bio, de interés todo aquello que reobrasobre nuestro presente o que ilumina loque sucede actualmente en el mundo.Otra razón es que resulta convenientepresenciar las disputas abiertas y clarassobre temas de relieve que se desarro-llan allende nuestras fronteras. La vidaque así se expresa puede servirnos delección.

Hardy comenta acremente la improce-dencia del sistema de exámenes mate-máticos conocidos por la palabra Tripos.Según este plan, los puestos alcanzadospor un examinando repercutían en suvida profesional posterior. Las pruebasa que eran sometidos en tiempos deHardy los estudiantes del Tripos eranfrancamente absurdas y, en la mayoríade los casos, no revelaban un verdaderotalento matemático, sino un ingenio cul-tivado para resolver problemitas depen-dientes del uso de trucos o de ideas máso menos felices. Es claro que la metaperseguida era buena: descubrir al estu-diante capaz de un pensamiento origi-nal. Pero, como dice Hardy, sólo hayun modo de probar la originalidad ma-temática: la realización cle obra origi-nal. Y como es inútil pedir a un mu-chacho de veintidós años que realice untrabajo original en las condiciones delexamen, las pruebas degeneraban nece-sariamente en una especie de juego oexhibición de virtuosismo. Por otra par-te, agrega, la instrucción matemática en-caminada a preparar para los exámenessolía reducirse a la enseñanza de una se-rie de trucos y de recetas.

Naturalmente, a Hardy no le molestabael sistema por la importancia del ordende méritos en la carrera de una persona.Esto le parecía relativamente insignifi-cante. Lo que él denunciaba con indigna-ción eran los efectos nocivos sobre laenseñanza universitaria y la formaciónde los matemáticos. Hasta tal punto que,tal vez excediéndose en su juicio, llegabaa culpar al Tripos de la carencia dematemáticos ingleses de primera fila. Ha-bla de Newton, de quien afirma que escosa segura que está a la altura de Ar-químedes y de Gausa. Y añade que, des-de los tiempos de Newton, Inglaterrano ha producido matemáticos geniales.

Es verdad, dice, que ha habido mate-máticos ingleses—por ejemplo: Cayley-que estuvieron a la cabeza de los mate-máticos de su tiempo. Pero su númeroha sido extraordinariamente pequeño.

El paso más trascendente de la ense-ñanza de la matemática parece consistiren saber mostrar la verdadera significa-ción de la matemática dentro de la vidahumana. Una cosa es enseñar esto yotra muy distinta dar a conocer al dis-cente una serie de técnicas o de rutinascientíficas. Veamos en apoyo de esta te-sis didáctica las palabras del mismo Har-dy: "Yo debo al profesor Love algo mu-cho más valioso que todo lo que meenseñara directamente. Porque él fuéquien me dió a conocer el Cours d'ana-lyse, de Jordan, la "biblia" cle mis pri-meros años. Nunca olvidaré el asombroque sentí al leer este libro notable, alque tantos matemáticos de mi genera-ción deben su educación matemática, ysupe por primera vez, conforme lo ibaleyendo, lo que la matemática es real-mente". Hardy declara a seguida que sudevoción por la matemática era de unaclase fanática y extravagante, que creíaen ella y la amaba apasionadamente has-ta el punto cle que se sentiría muy des-graciado sin ella. Afirma también queestá convencido de que todo el que tienetalento para ella se divierte de verdadcon su cultivo y que tiene que consi-derarla como la disciplina más bella delmundo... Expresiones todas, como se ve,propias del enamorado. Es indudable quepara hacer grandes cosas en el mundohay que estar poseído de cierta clase defanatismo apasionado y obsesivo. Pero lacosa es que ese espíritu monacal y he-roico no se puede exigir a todos. Elmismo Hardy lo reconoce cuando señalaque una gran cantidad de estudiantesdeja la matemática simplemente porquese la enseñan mal. Si los métodos di-dácticos fueran mejores, tales estudian-

tes podrían prolongar, sin duda, sus es-tudios matemáticos mucho más de lo quese acostumbra. La clave para lograr esteinteresante objetivo es para Hardy quese aparte al alumno de problemas quehan dejado de interesar a los matemáti-cos hace ya cincuenta años; la elecciónde verdaderos teoremas, la fijación dehechos fundamentales—no de trivialesexcrecencias—y el planteamiento de pro-blemas vivos de nuestro tiempo. De estemodo, la matemática les enseñará a pen-sar, les ampliará sus intereses y estimu-lará su imaginación. Dejamos al cuida-do del lector interesado por los proble-mas didácticos de la matemática el fácilcomentario que puede hacerse a tan en-cendidas palabras. Ojalá hubiera en nues-tra patria hombres de la talla de Hardyy poseídos a la vez de tan apasionadosentusiasmos. Su espíritu magistral haríamucho por el levantamiento de nuestracultura y la vitalidad de nuestros cursos.RAMÓN CRESPO PEREIRA.

H. R. 11ASSE: "My fifty years of mathe-matics" (Mis cincuenta años de ma-temáticas), Mathematical Gazette, 1951.

Damos sin comentario varias ideas in-teresantes contenidas en el discurso pre-sidencial de H. R. Hassé del 29 demarzo de 1951. El lector que siga aten-tamente las breves reseñas que en laspáginas de la REVISTA DE EDUCACIÓN sededican a los discursos de algunos pre-sidentes de la Mathematical Associationinglesa, estará de acuerdo en que animaa esos presidentes un gran ímpetu vitaly que están llenos de preocupacknes porverdaderos problemas de la enseñanzade la matemática en la Gran Bretaña.

* • *

El verdadero matemático—no hay porqué decir de "primera fila"—sobreviviráa los efectos de cualquier enseñanza yde cualquier plan...

Un informe sobre enseñanza dice: "Laobra de la mitad, por lo menos, de losestudiantes no se ha encontrado satis-factoria cualitativamente. Una causa deesto puede ser que tales candidatos nodedicaron suficiente tiempo a lograr cla-ridad en los principios generales. Lamera manipulación de símbolos acaparódemasiado su atención..." Las columnasde The Times contienen muchas cartasy artículos sobre la controversia suscitadapor los nuevos planes... Lo que pruebaque los matemáticos son seres humanosdespués de todo... Sería extraño, desdeluego, que el impacto de las dos últi-mas guerras no se hubiera dejado sentiren la matemática, como ocurre en lasdemás ciencias... Algunos deplorarán laausencia de cierto tipo de construccionesgeométricas, pero ello es un signo de lasustitución gradual del punto de vistageométrico por un punto de vista pura-mente analítico, que ha ido tomando ca-da vez más incremento en los últimoscincuenta años. Debido al entusiasmo y

ma- Mientras que Francia o Alemania dabanGa- veinte o treinta, Inglaterra producía dos

o tres... Después de esto observa conamarga ironía, al parecer excesiva en suapasionamiento: "d Cuáles han sido lascaracterísticas de los matemáticos ingle-ses? Instituciones incidentales, realizacio-nes aisladas suficientes para probar queseguía habiendo capacidad. En la mayo-ría de los casos, simple afición, ignoran-cia, incompetencia y trivialidad." Reco-noce que palabras tan duras constituyenun juicio cruel, pero desgraciadamenteimposibles de rebatir por un critico ob-jetivo y veraz. A nuestro juicio, las an-teriores palabras de Hardy eran a propó-sito un mucho exageradas. Su valor eraretórico y desempeñaba un papel dentrode concretas circunstancias propias de laGran Bretaña en esos años. Pero si po-damos la fronda exuberante del discursonos encontramos, empero, con un hechode enorme importancia: un gran mate-mático inglés contemporáneo denuncia elestado de la enseñanza de la matemáticaen un país de buena tradición matemá-tica. No cabe duda que Hardy teníarazón al quejarse tan amargamente. Laenseñanza de la matemática, en efecto,deja mucho que desear cuando se sabe,por la honda experiencia de toda unavida dedicada a la ciencia, lo que po-dría hacerse y no se hace.

RESEÑA DE LIBROS

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a la preeminencia de Hardy, lo mejorde nuestros jóvenes matemáticos tuéatraído por el análisis... Los métodos di-dácticos dependen de la clase de estu-diantes. Unos son más capaces de unpensamiento más abstracto. Análogamen-te, en el uso de los símbolos. La pruebadel pudding está en comerlo. Pero lamatemática no es una función de aque-llos a quienes se enseña, y el nivel in-telectual ha de ser el mismo para todos.Esto no significa que se enseñe a todoslo mismo... Pero en cada caso han desubrayarse las ideas fundamentales.

Agrega, además, afirmaciones relativasa cuestiones matemáticas concretas. Porejemplo: señala que muchas veces hasucedido que los resultados numéricoshan estimulado las investigaciones teó-ricas, como al tratar de resolver por quéciertas series numéricas convergen másdespacio que otras. Dice también que enlos últimos años se ha dejado sentir lanecesidad de construir tablas numéricasy matemáticas de varia naturaleza. Pien-sa asimismo que no debe apresurarse laenseñanza de los vectores.

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Dejemos al cuidado del lector inte-resado extraer las consecuencias pertinen-tes.—R. C. P.

Study Abroad. Repertorio internacionalde becas e intercambios educativos, VI,1953-54. Unesco. París, 1954. 710 pá-ginas.

La sexta edición del volumen Estudiosen el extranjero, que la Unesco acabade publicar, describe 45.000 becas ofre-cidas por los organismos internacionales,los Gobiernos y las asociaciones para quela juventud pueda proseguir su forma-ción y perfeccionamiento en todos los ra-mos del saber. Estas facilidades benefi-cian a estudiantes, graduados y profeso-res de más de cien países, los cuales,gracias a este importante movimientocultural, pueden realizar sus estudios enCentros universitarios de 60 naciones ex-tranjeras.

Con respecto a ediciones anteriores, elrepertorio Estudios en el extranjero re-produce ahora un informe de la OficinaInternacional del Trabajo sobre las mo-dalidades que adquieren hoy en día loscursillos de formación técnica, en los cua-les intervienen cada vez más razones detipo pedagógico que han llevado a unaconcepción de programas progresivamen-te más concretos. Existen en la actuali-dad 189 planes de este tipo en 29 paí-ses, con numerosos acuerdos bilateralesy multilaterales, en los que quedan con-sagrados elementos comunes que, al in-corporarse a la legislación, definen condetalle creciente el tipo, duración de loscursos y las condiciones imprescindiblespara asegurar el éxito.

El prefacio está escrito en inglés, es-pañol y francés, con opiniones de los ex-pertos sobre la administración de becas.Las indicaciones que se dan en el librorepresentan una experiencia de más decinco años, con consultas generales quese celebraron en la Habana, El Cairo yBankok.

Otro punto importante reseñado enesta guía es el relacionado con una en-cuesta de la Unesco sobre los estudian-tes extranjeros inscritos en Universida-des de 70 países. El censo comprende untotal de 2.014 Centros de Enseñanza Su-perior y un total de 107.000 estudian-tes. Las cifras reflejan bien el interés delproblema, y si los números atribuidos alos Estados Unidos, Gran Bretaña, Fran-cia y Canadá representan un volumenconsiderable, el área de los países de ha-bla española y portuguesa aparece repre-sentado con excelente relieve por lo querespecta a Argentina (3.622 estudiantesextranjeros), España (1.452), Chile (950),Costa Rica (513), Méjico (3.313), Uru-guay (1.200) y Brasil (400).

Sobre cada país comprendido en ellibro se da cuenta de las entidades queotorgan becas, su cuantía y duración ylas condiciones que deben reunir los can-didatos. Con todo lo cual se ofrece aestudiantes, administradores y profesoresde todos los países los elementos deconsulta para que se asegure la mejorcomunicación espiritual entre los países.

H. DAVENPORT: "Study and research inmathematics", Mathematical Gazette,vol. XXXIV, 1950.

Es la reproducción del discurso pre-sidencial pronunciado el 15 de octubrede 1949 ante la Sección de Londres dela Mathematical Association.

Reproducimos y comentamos algunaspartes de la alocución de Davenport, en-tre otras cosas, para reobrar contra opi-niones erróneas sobre lo que es la ma-temática. No falta quien atribuye a talciencia un valor absoluto y olvida quela matemática, como cualquier otra cien-cia, posee notas históricas, es histórica.También los matemáticos son seres hu-manos. Como tales suelen equivocarse ydejarse dominar por las pasiones. En todocaso, cada matemático suele poseer unaidea propia del contenido de la cienciaque cultiva. No hay que decir que sue-len discrepar tales ideas de uno a otromatemático. A causa de una ley histó-rica curiosísima, la obra matemática, unavez hecha, adquiere una cierta objetivi-dad y consistencia respecto de sus crea-dores. De aquí que el matemático sientaespecial veneración por la obra realiza-da. Hasta tal punto, que no vacila enpersonalizarla atribuyéndole una autono-mía independiente, una consistencia pro-pia y hasta una inteligencia que, comoveremos por las declaraciones de Daven-port, el matemático individual llega acreer superior a la suya propia. Todasestas notas tienen interés para la estruc-turación de la Didáctica. Pasemos, pues,a tratar algunos puntos del discurso pre-citado.

Hay una cosa en la que todos estaránde acuerdo: que la matemática es difícil.¡Cuánto esfuerzo para aprender unaparte infenitesimal y cómo, aun así, llegauno a adquirir una comprensión imper-fecta y es puesto en aprietos por lascuestiones más sencillas! ¡Cómo se en-gaña uno, durante muchos años, al pen-sar que se entiende algo a fondo y lue-go descubre por azar que no se ha dadocuenta todavía de algún punto de sumaimportancia! Reflexiones como éstas

—dice Davenport—nos libran de cual-quier sentimiento de complacencia, arro-gancia o endiosamiento.

Ahora bien—sigue—: será másbien que los seres humanos somos estú-pidos? Pues da la impresión de que, aveces, la mente humana no se adapta alpensamiento lógico-matemático. "Cuan-do intento resolver un problema par-ticular siento como si estuviera metidoen un laberinto; creo que mi mente per-siste en explorar laboriosamente avenidatras avenida para tropezarse al final conun callejón sin salida. Muchas veces vol-vernos al mismo sitio una y otra vez,monótonamente. Lo curioso es que cuan-do el problema está resuelto se ve quehabía un camino "bueno". Reflexionan-do con detenimiento, se observa que ha-bía verdaderas razones para escoger des-de el principio esa ruta. Pero tales ra-zonas no se nos mostraban, a pesar deque deberían haber sido evidentes. Talexperiencia—agrega Davenport—me hacepensar en mi propia estupidez más queen la dificultad de la matemática."

Después de todas estas declaraciones,que sirven muy bien para alumbrar so-bre los caminos efectivos que sigue lamente del que quiere encontrar la so-lución de un problema, Davenport ad-vierte que tenemos que precavernos, co-mo profesores de matemáticas, de la teo-ría natural, pero insidiosa, de que siem-pre hay un camino "más sencillo" quedebemos buscar y seguir... En primer lu-gar, lo que puede resultar sencillo y na-tural para un alumno puede no resultarasí a otro. Por otra parte, una vez queun profesor ha elegido un método espe-cial, su enseñanza inevitablemente pier-de espontaneidad, y ésta es esencial sise quiere suscitar y retener el interésde los estudiantes. Por ello, dentro deeste ámbito de cuestiones didácticas sub-raya un hecho de la máxima importan-cia. : lo decisivo en toda buena didácticamatemática es saber despertar interés enel alumno. He aquí las palabras del au-tor que comentamos: "No hay nada máscurioso que comprobar las posibilidadesvariables de la mente del hombre, segúnque se haya despertado o no el interés...Por ello es posible que las tremendas va-riaciones en la capacidad mostrada porlos estudiantes de matemáticas no seandebidas a la presencia o ausencia de untalento innato, sino a que haya sido sus-citado o no su interés."

Alegra oír a un hombre competentedecir estas cosas. Resulta extraño quela Pedagogía y la Didáctica suelan ol-vidar estas realidades que brotan de lossenos más hondos de la condición hu-mana. Para que nos decidamos a haceralgo necesitamos que la orden correspon-diente dimane de nuestra propia intimi-dad personalísima. De ahí la inoperan-cia de las coacciones externas. No bastadecir a un estudiante que tiene que es-tudiar. El imperativo se le presentarácomo ajeno y extraño a su vida y nohará todo lo que podría hacer. Pero, encambio, ¡qué proceso tan distinto cuan-do el estudiante no piensa corno violen-cia o imposición el trabajo que se pidede él! No sentirá, cuando el interés salede dentro, las fatigas del esfuerzo. Sulabor le resultará placentera y las cosasirán por buen camino.

Al final del discurso, Davenport re-

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REVISTA DE EDUCACIÓN

obra contra la célebre boutade de Ber-trand Russell sobre lo que es la mate-mática: "En matemáticas no sabemos dequé estarnos hablando y no nos preocu-parnos de si lo que decimos es o noverdad." El autor dice que tal tesis esfalaz y sofística. Todos tenemos—sigue-una gran convicción de que sabemos delo que estarnos hablando en matemáti-cas y de que algunas de las proposicio-nes a que llegarnos son verdaderas enun sentido mucho más profundo que elde la mera deducción lógica. Me pareceque los axiomas y las leyes de la lógicano proporcionan un mecanismo que in-tegre a la matemática. Pero con esto nohemos dicho la última palabra. Pues su-pongamos que uno señala a un pianoy dice: aquí hay un instrumento musi-cal. La música es el ruido que resultacuando las teclas se golpean con arre-glo a ciertas reglas. Hasta cierto punto,esto es verdad, pero no nos dice nadasobre la naturaleza de la música. Véasecómo somos incapaces de decir así lo quees la música. Tal vez no sea sorpren-dente que resulte igualmente difícil de-cir lo que es la matemática.

El lector atento podrá vislumbrar, porestas palabras de un matemático, que lamatemática no es una ciencia absoluta-mente segura, indiscutible y cuyas pro-posiciones tienen una validez ajena atodas las incidencias del tiempo y dela Historia. Los matemáticos discutensobre el contenido de su ciencia. Esto esverdad. También es cierto que no sue-len entenderse sobre el sentido íntimode lo que hacen. Pero esto, en el fon-do, no es un mal. La actividad mentales así más atractiva. Ahora bien: porencima de las opiniones personales tam-bién es verdad, como dice Davenport,que todos damos un sentido a lo quehacemos y a lo que nos pasa. De ahíque la matemática, para poder dar ra-zón de sí, ha de situarse en la vidahumana y en la Historia. Sólo así pue-de cobrar sentido.—RAMÓN CRESPO PE-REIRA.

Informe del Director general y del Con-sejo Ejecutivo sobre las actividades dela Unesco durante el año 1953. Pre-sentado a los Estados miembros y ala Conferencia General en su VIII Re-unión de Montevideo. Unesco. París,1954. 228 págs.

Distribuye la Unesco el informe delDirector general y del Consejo Ejecutivosobre las actividades de la Institución enel curso de 1953. Con arreglo a suCarta de Constitución, la Unesco preten-de favorecer las relaciones armónicas en-tre todos los países a través de la edu-cación, la ciencia y la cultura, y el tex-to de este informe muestra la extensióny dificultad de la empresa. Solamentelas contribuciones aportadas para el tra-bajo de las Uniones Científicas Interna-cionales, que agrupan a los investiga-dores del mundo entero en los princi-pales ramos de la ciencia pura y aplica-da, suponen un total de 180.000 dólares.

En el campo de las Universidades, enla vida del teatro, de la música, de lasSociedades de eruditos, historiadores, dela filosofía y de las letras, la Unesco tic-na establecidos una serie de contratos

con los Consejos internacionales corres-pondientes que le permiten abarcar asíactividades tan diversas y tan necesariasen la cooperación intelectual. Pasando aotros terrenos, el informe del Director,señor Evans, indica que en 31 de diciem-bre un total de 130 expertos tenían asu cargo la ejecución de 71 planes deasistencia técnica en todos los continen-tes. Esos trabajos están permitiendo lacreación de centros de educación funda-mental, de carácter nacional, en Ceylán,Iraq y Liberia. En Haití, el personalformado en el valle del Marbial y losbecarios procedentes de Pátzcuaro vana tomar a su cargo trabajos que hastaahora realizaban bajo la responsabilidadde los expertos internacionales.

En el dominio de las bibliotecas, figu-ra en lugar destacado la acción de lainaugurada en Nueva Delhi, y que alos dos años de funcionamiento cuentacon 45.000 volúmenes y un promedio de2.000 visitantes por día. En Medellín(Colombia) se hallan muy adelantadoslos trabajos para la inauguración de unCentro de lectura similar destinado aservir de modelo a los países de hablaespañola y portuguesa, y a fin de en-contrar fórmulas adecuadas para que laBiblioteca sea un auxiliar eficaz en lascampañas contra el analfabetismo y laeducación de base.

En la próxima Conferencia General dela Unesco en Montevideo, este informedel Director general y del Consejo Eje-cutivo servirá de base a las nuevas de-liberaciones, en las que han de interve-nir los 72 países que componen la Ins-titución.—R. E.

JEAN PIAGET y BARBEL INHELDER: Expé-riences sur la construction pro jectivede la ligue droite. Delachaux et Nies-dé. Ginebra, 1946. 17 págs.

Se trata de uno de los cuadernos dePedagogía experimental y de Psicologíadel niño, que se publican bajo la direc-ción del Instituto de Ciencias de la Edu-cación, de la Universidad de Ginebra.

El presente estudio contiene los resul-tados de las experiencias llevadas a caboentre niños suizos de edad inferior aocho años, con objeto de precisar la gé-nesis de la recta proyectiva.

Como es sabido, existen varias clasesde geometrías, cada una correspondientea diversas estructuras espaciales. Cadageometría queda caracterizada por el gru-po de axiomas y de transformaciones que,en el aspecto definido por aquél, dejaninvariantes ciertas propiedades. Decirrecta a secas no basta para que el sig-nificado de tal vocablo quede unívoca-mente determinado. Cuando se descono-cía la existencia de varias geometrías—almenos de modo explícito y sistemático—,se creía que la palabra "recta" bastabapor sí sola para tener significado. Peroen la actualidad se exige algo más. Senecesita saber dentro de qué sistemaaxiomático estamos operando. El conjun-to de postulados o de axiomas (ambaspalabras se manejan actualmente comosinónimas) que caracterizan al espacioproyectivo es distinto del que sirve paradeterminar el espacio euclídeo. La pala-bra "recta" tiene así, por lo pronto, dossignificaciones totalmente distintas. (Na-

turalmente se puede atribuir al término"recta" otras muchas significaciones, puesel número de espacios geométricos con-siderados hoy en la matemática no sereduce a dos.) Desde el punto de vistamatemático, la recta proyectiva es mu-cho más simple que la recta euclidiana.También desde otros puntos de vistacabe defender la tesis de una primacíade lo proyectivo sobre lo euclídeo. Así,por lo menos, ocurre en la génesis histó-rica. Asimismo, en la vida del niño. Elprimer punto de vista lo defiende entrenosotros el arquitecto don Luis Moya,para quien los monumentos más anti-guos de los griegos estarían concebidosproyectivamente. Sólo más tarde se im-pondría la estructura euclídea en la cons-trucción de ciudades y de edificios. Elpunto de vista psicológico de Piaget yde Inhelder aboga por la tesis según lacual, antes de llegar a la idea euclídeade recta, el niño pasa por el conceptoproyectivo del mismo ente geométrico.

Veamos más de cerca ahora las ideasexpuestas en el cuaderno que reseñamos.Las experiencias realizadas consisten enlo siguiente: se dispone de una mesa rec-tangular y de otra redonda. Hay uncierto número de cerillas con mango demadera plantadas, por la cabeza, en unpedacito de pasta para modelar, a finde que puedan adherirse a la mesa, que-dando en posición vertical. Se dice alniño que estas cerillas representan pos-tes y que hay que plantarlas bien de-rechas para formar una línea telefónica.Se comienza por situar los postes extre-mos a distancias variables (20,30 ó 40centímetros), siguiendo el borde de lamesa rectangular, de manera que el niño,al colocar los otros postes, construya unarecta paralela al borde de la mesa. Des-pués de esta experiencia, se vuelven acolocar los dos postes extremos de ma-nera que se evite todo paralelismo conlos bordes y toda diagonal. Se procedede manera análoga con la mesa redonda.

Otras experiencias consisten en colocar,preferentemente sobre la mesa redonda,una sucesión de postes en zigzag a finde que el sujeto corrija la posición delos postes intermedios y los coloque enlínea recta. Después que el niño hahecho las colocaciones que él juzga ne-cesarias, se le pregunta dónde habrá quesituarse para juzgar si la línea es o norecta. Los autores dan como resultadode sus experiencias lo siguiente: duran-te un estadio I (antes de cuatro años),el niño no es capaz de construir unarecta ni siquiera paralela al borde dela mesa, así como tampoco de dibujarlas rectas de los lados de un triánguloo de un cuadrado. En el estadio II (decuatro a siete años, aproximadamente),el niño construye con más o menos fa-cilidad la línea recta paralela al bordede la mesa. Pero fracasa en otras con-diciones. En un subestadio II A (hastalos seis años), el niño es incapaz deliberarse de las sugestiones que le pre-sentan las rectas que él percibe directa-mente sobre la mesa. A partir del esta-dio III (de siete años en adelante), apar-te de los casos precoces, la recta se cons-truye independientemente de la posiciónde los postes extremos, y el sujeto com-prueba la derechura de la línea por elmétodo de la mirada que se enfila a lospostes desde uno de los extremos. (06-

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sérvese, pues, que este procedimientovisual de comprobación de la línea rec-ta prescinde de toda métrica. De ahí sucarácter proyectivo fundamental. Una delas maneras de tratar la geometría pro-yectiva es precisamente la de partir dela operación básica de proyectar. (Hayotras maneras de hacerlo igualmente ri-gurosas.) Intuitivamente, esta operaciónde proyectar puede asociarse con la demirar. Luis Moya, en su discurso "Lageometría de los arquitectos griegos pre-eucludianos", dice: "... En cambio, Pla-tón, antes, casi en los tiempos de laAcrópolis, la define como una línea enque un punto intermedio queda cubierto,o a la sombra, por los extremos, o sea,en el camino de un rayo de luz quepase por éstos, y la operación es ahorasemejante a la de alinear una fila desoldados".)

Los autores dan cuenta en el cuader-no de algunas de sus experiencias. Des-pués de exponerlas, hacen un pequeñocomentario y extraen consecuencias.

En lo que respecta al estadio I, dicenque está caracterizado por la ausenciade una representación de la recta. Sinembargo, el niño tiene un conocimientoperceptivo de ella, pues distingue uncuadrado de una circunferencia. Pero lalínea recta es entendida de manera to-

pológica, es decir, como una ordenaciónde elementos que permanecen próximosunos a otros.

Las consecuencias de Piaget y de sucolaborador sobre las experiencias englo-badas en el estadio II son éstas: exis-tencia de dos clases de representacionesespaciales: una, simplemente intuitiva,que se encuentra inhibida o favorecida,según los casos, por las percepciones ac-

tuales; otra, fundada sobre las opera-ciones que el niño realiza, con tenden-cia a una liberación de los apoyos in-tuitivos.

Por último, según las experiencias másavanzadas—las del estadio III—, quedapatente el tránsito al concepto de rectaproyectiva: "una línea topológica con suscaracteres ordinales, etc., de tal natura-leza que los elementos permanecen or-denados con respecto a un "punto clt:vista" y se siguen unos a otros segúnla relación "delante, detrás", de tal modoque el primero de los elementos ocultaa todos los demás".

He aquí una de las experiencias con-tenidas en el opúsculo que reseñamospara dar una idea del método efectivoseguido por los investigadores suizos:"CHEL (siete años, siete meses) hace unalínea recta con seis postes y rectifica la

posición a ojo. "e Dónde habrá que co-locarse para ver mejor?" —Me gustamás estar allí (en la prolongación, perosin el enfilamiento de la mirada queconviene). "e Y de este modo?" (obli-cuamente respecto del borde de la mesa).(Hace de una vez una línea recta y rec-tifica sin inclinarse.) "Aquí, ¿dónde tepondrás para ver mejor?" —Veo mejorde costado (donde está). "De este modo,está derecho?" (hay una ligera incur-

vación). —No, porque usted ha colo-cado ésos un poco de lado. "Pues hazlotú otra vez" (lo hace). "Está ahoraderecho?" (Se inclina a un lado, luegoal otro y al final, en la prolongación.)—Sí (después de haber hecho algunascorrecciones)."

Después de publicar el pequeño tra-bajo reseñado, Piaget, con ayuda delmismo Inhelder, dió a la imprenta dosgruesos volúmenes dedicados a extendersus investigaciones. Los títulos de dichasobras, aparecidas durante el año 1948,son: La représentation de l'espace chezl'enfant y La géometrie spontanée de¡'en/ant. En la REVISTA DE EDUCACIÁN

(véase núm. 18, pág. 66) hemos dadocuenta de uno de los últimos trabajosde Piaget (publicado en Scientific Ame-rican, 1953) sobre las mismas cuestiones.RAM6N CRESPO PEREIRA.