Instituto Superior TecnicoDepartamento de MatematicaSeccao de Algebra e Analise

Calculo Diferencial e Integral IITeste 1 - 10 de Novembro de 2012 - 14h30 - Versao 1

Duracao: 90 minutos

Apresente e justifique todos os calculos

Resolucao

1. Considere a funcao

f(x, y) =

y3

2x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

(a) Mostre que f e contınua em (0, 0).(2 val.)

Resolucao:

∣∣∣∣ y3

2x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ (x2 + y2)32

x2 + y2=√x2 + y2 → 0,

quando (x, y)→ (0, 0). Logo, f e contınua na origem.

(b) Determine as derivadas parciais de f em (0, 0).(1 val.)

Resolucao:

∂f

∂x(0, 0) = lim

t→0

f(t, 0)− f(0, 0)t

= 0,

∂f

∂y(0, 0) = lim

t→0

f(0, t)− f(0, 0)t

= 1.

(c) Mostre que f nao e diferenciavel em (0, 0).(1 val.)

Resolucao:

A derivada de f na origem, se existir, sera necessariamente dada pela matriz Jaco-biana

[0 1

]. Temos [

0 1]·[xy

]= y.

Ora,|f(x, y)− f(0, 0)− y|√

x2 + y2=

|2x2y|√x2 + y2(2x2 + y2)

,

nao tem limite quando (x, y)→ (0, 0), o que facilmente se verifica porque os limitesdireccionais com y = mx dependem de m:

limx→0

2mx3√x2 +m2x2(x2 + 2mx2)

=2m√

1 +m2(1 + 2m).

Logo, f nao e diferenciavel na origem.

2. Seja f : R3 −→ R uma funcao de classe C1 tal que Df(0, 0, e) =[1 2 3

]e seja(3 val.)

h(x, y, z) = f(xy2z3, senx, ze5−y2). Calcule

∂h

∂x(0,−2, 1).

Resolucao:

Seja ψ(x, y, z) = (xy2z3, senx, ze5−y2), de modo que h = f ◦ψ e ψ(0,−2, 1) = (0, 0, e).

Entao, com f = f(x1, x2, x3),

∂h

∂x(0,−2, 1) = ∂f

∂x1(0, 0, e)

∂ψ1

∂x(0,−2, 1)+ ∂f

∂x2(0, 0, e)

∂ψ2

∂x(0,−2, 1)+ ∂f

∂x3(0, 0, e)

∂ψ3

∂x(0,−2, 1)

= (1 · y2z3 + 2 · cosx+ 3 · 0)|(x,y,z)=(0,−2,1)= 4 + 2 + 0 = 6.

3. Determine e classifique os pontos de estacionaridade da funcao f : R2 −→ R definida(3 val.)por f(x, y) = y2 − (x2 − 1)2.

Resolucao:

Temos∇f(x, y) = (−2x(x2−1), 2y). Logo, f tem 3 pontos crıticos: (0, 0), (1, 0), (−1, 0).A Hessiana de f e dada por

Hf (x, y) =

[−12x2 + 4 0

0 2

].

Assim, Hf (0, 0) e a matriz diagonal com valores proprios 4 e 2, pelo que (0, 0) e ummınimo local. Nos pontos (±1, 0) a matriz Hessiana de f e diagonal com valores proprios−8 e 2, pelo que estes pontos crıticos sao ambos pontos em sela.

4. Considere o conjunto(2 val.)

A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, x2 ≤ y ≤ 1}.

Sendo f(x, y) = 2xey2, calcule

∫Af.

Resolucao:

∫ 1

0

(∫ √y0

2xey2

dx

)dy =

∫ 1

0

yey2

=1

2(e− 1).

5. Considere o conjunto

S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤√x2 + y2, x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.

(a) Escreva uma expressao para o volume de S na forma∫(∫(∫dx)dy)dz.(2.5 val.)

Resolucao:

V ol(S) =

∫S

1 =

∫ 1

0

(∫ z

0

(∫ √1−y2

√z2−y2

1dx

)dy

)dz+

∫ 1

0

(∫ 1

z

(∫ √1−y2

0

1dx

)dy

)dz.

(b) Calcule o volume de S.(2.5 val.)

Resolucao:

Em coordenadas cilındricas:

V ol(S) =

∫ π2

0

(∫ 1

0

(∫ ρ

0

ρdz

)dρ

)dθ =

π

6.

6. Seja g : R3 → R uma funcao de classe C3. Mostre, detalhada e justificadamente, que(3 val.)

∂3g

∂x∂y∂z=

∂3g

∂z∂x∂y.

Resolucao:

Sendo g de classe C3, as suas derivadas parciais sao de classe C2. Logo, podemos aplicaro teorema de Schwarz a g e as suas derivadas parciais:

∂3g

∂x∂y∂z=

∂

∂x

(∂2g

∂y∂z

)=

∂

∂x

(∂2g

∂z∂y

)=

∂2

∂x∂z

(∂g

∂y

)=

∂2

∂z∂x

(∂g

∂y

)=

∂3g

∂z∂x∂y.