Regla de La Cadena Derivacon
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8/18/2019 Regla de La Cadena Derivacon
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REGLA DE LA CADENA YDERIVACIÓN IMPLICITA
Escuela de Ingeniería Industrial
Matemática III
Abril - 2016
Prof. Billy Toribio Aranda [email protected]
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Calcula la derivada parcial de una función en dos
variables haciendo uso de la regla de la cadena.
Calcula la derivada parcial de una función definida
implícitamente haciendo uso de la derivación
implicita.
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Regla de la cadena para funciones de una
variable ( : ℝ ⟶ ℝ)
0 también:
dxdu
dudy
dxdy
Regla de la cadena
Si = y = .
′ = ′ ′
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Regla de la cadena para funciones de dosvariables ( : ℝ ⟶ ℝ)
Sea = , diferenciable en , . Si = e =
ℎ , siendo y ℎ derivable en . Luego la derivada de
con respecto a es:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
′ = ′( )
′()
O también:
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,
,
Observación:
′ = ′( ) ′()
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Ejemplo 1
Si = , = , = −. Calcula
.
Ejemplo 2
Si = , = 3 1, = ln . Calcula
.
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Ejemplo 3
Si = , = , = . Calcula
.
Ejemplo 4
Si = , = 1, = 2 . Calcula
.
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Regla de la cadena para = , ; = , , =ℎ ,
TEOREMA.- Si es diferenciable en , , y si y ℎ son
derivables en , , entonces
=
=
Para funciones de mas de dos variables estos resultados se
generalizan.
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Observación:
= =
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Ejemplo 1
Si = , = +
, =
+
. Calcula
v
z
u
z
,
Ejemplo 2
Si = , = , = . Calcula s
z
t
z
,
-
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Ejemplo 3Si =
−
+, = , = . Calcula
Ejemplo 4
Si = 3 , = 2, = 6. Calcula
s
u
t
u
,
s
u
r
u
,
-
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Ejemplo 5
Si = −
+
, = 3 , = 2 3. Calcular
z
s
z
t
z
,,
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Derivación implícita
TEOREMA.- Si la relación , , = 0 define a = ,
Como una función implícita de e , entonces:
z
x
F
F
z
F
x
F
x
z
z
y
F
F
z
F y
F
y
z
y
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Ejemplo 1
Si = 1. Calcula y
z
x
z
,
Ejemplo 2
Si 4 = 0. Calcula y
z
x
z
,
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Ejemplo 3
Si = 0. Calcula z w
y
w
x
w
,,
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Ejemplo 4
Si = . Calcula y
z
x
z
,
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Ejemplo 5
Si =
. Calcula y
z
x
z
,
