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DISEÑO DE UN BANCO DE PRUEBAS PARA CONTROL DE TEMPERATURA Y FLUJO

LUIS DALADIER MENESES GUERRERO

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE INGENIERÌA

DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA Y MECÁNICA PROGRAMA DE INGENIERIA MECANICA

SANTIAGO DE CALI 2006

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DISEÑO DE UN BANCO DE PRUEBAS PARA CONTROL DE TEMPERATURA Y FLUJO

LUIS DALADIER MENESES GUERRERO

Trabajo de grado para optar por el título de Ingeniero Mecánico

Director CRISTIAN DAVID CHAMORRO RODRÍGUEZ

Ingeniero Mecánico

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA Y MECÁNICA PROGRAMA DE INGENIERIA MECANICA

SANTIAGO DE CALI 2006

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Nota de aceptación: Aprobado por comité de Grado en cumplimiento de los requisitos exigidos por la Universidad Autónoma de Occidente para optar al título de Ingeniero Mecánico

Ing. NÉSTOR ARTURO PINCAY GORDILLO Jurado

Ing. JUAN CARLOS MENA Jurado

Santiago de Cali, 14 de Diciembre de 2006

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Dedicado con todo mi amor al Niño Jesús de Praga por cada una de sus bendiciones, y a mis dos grandes amores Teotiste y Nelly por su amor, comprensión, confianza y su constante motivación y apoyo.

A Lina Marcela Cadena el amor de mi vida y a quién amaré eternamente.

4

AGRADECIMIENTOS

A Dios y la Virgen María que todo lo hacen posible. A cada uno de los integrantes de mi familia quienes han incrementado los niveles de amor, tolerancia y comprensión en mi vida. Al Ing. Cristian David Chamorro por darme la oportunidad de realizar este trabajo y por sus grandes aportes y asesoría y todo el tiempo que tuvo para dedicarme.

5

CONTENIDO

pág.

RESUMEN 18

INTRODUCCIÓN 19

1. GENERALIDADES SOBRE TERMOFLUIDOS 21

1.1 CONCEPTOS TERMODINÁMICOS 21

1.1.1 Ley cero de la termodinámica 21

1.1.2 Primera ley de la termodinámica 21

1.1.3 Segunda ley de la termodinámica 21

1.1.4 Sistemas térmicos 22

1.1.5 Punto de ebullición 24

1.1.6 Punto crítico 24

1.1.7 Saturación del vapor 24

1.1.8 Proceso de evaporación 25

1.1.9 Vapor sobrecalentado 26

1.1.10 Líquido subenfriado 26

1.1.11 Líquido saturado 26

1.1.12 Mezcla líquido vapor 26

1.2 CONCEPTOS DE MECÁNICA DE FLUIDOS 27

1.2.1 Número de Reynolds 27

1.2.2 Teorema de Bernoulli 28

1.2.3 Sistemas hidráulicos 29

6

pág.

1.2.4 Propiedades de los fluidos líquidos 29

1.2.5 Presión 31

2. SENSOR DE TEMPERATURA 33

2.1 EFECTOS TERMOELÉCTRICOS 33

2.1.1 Efecto Peltier 33

2.1.2 Ley de Volta 33

2.1.3 Efecto Thompson 33

2.1.4 Ley de Magnus 33

2.1.5 Efecto Seebeck 34

2.2 SENSORES TERMOELÉCTRICOS 34

2.3 TERMOCUPLA COMO SENSOR DE TEMPERATURA 35

2.3.1 Alambres para termocuplas 36

2.3.2 Relación de la temperatura con la tensión 36

2.3.3 Expresión matemática 37

2.3.4 Clasificación de las termocuplas más usuales 38

2.4 TRANSDUCTORES ELECTRÓNICOS 40

3. 3. SISTEMA DE BOMBEO 41

3.1 BOMBA ROTODINAMICA 41

3.2 CARGA DE BOMBEO 42

3.3 SELECCIÓN DE LA BOMBA 45

3.3.1 Prueba caudalimétrica 46

7

pág.

4. DIMENSIONAMIENTO DEL CALENTADOR ELÉCTRICO 49

4.1 TIEMPO DE RESIDENCIA 49

4.2 TIEMPO DE CALENTAMIENTO 50

4.3 FUNCIONAMIENTO 51

4.4 ANÁLISIS DE FLUJO CONFINADO 52

4.5 CONTROLADOR DE NIVEL 55

5. DISEÑO DE INTERCAMBIADORES DE CALOR 58

5.1 INTERCAMBIADOR DE CALOR DE CONTROL 58

5.1.1 Balance de calor 59

5.1.2 Análisis de flujo interno 62

5.1.3 Análisis flujo externo 65

5.1.4 Sistema de aletas de los tubos 68

5.1.5 Sistema de aletas de la carcasa 72

5.1.6 Serpentín del intercambiador de calor 74

5.2 SEGUNDO INTERCAMBIADOR DE CALOR 75

5.2.1 Análisis de flujo interno 76

5.2.2 Análisis flujo externo 77

5.3 ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA TERMICA 80

5.4 CAÍDA DE PRESIÓN 81

6. 6. ESTUDIO DE LA DE LA VALVULA DE CONTROL 83

6.1 SELECCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN DE DISEÑO 83

8

pág.

6.2 DIMENSIONAMIENTO 85

6.3 VAPORIZACIÓN 87

6.4 CARACTERÍSTICA DE FLUJO 89

6.5 LINEALIZACIÓN DE LA CARACTERÍSTICA INHERENTE 93

6.5.1 Mínimos cuadrados 94

6.5.2 Método de Expansión de Series de Taylor 94

6.6 CARACTERÍSTICA EFECTIVA DE FLUJO 97

6.6.1 Linealización por Expansión de Series de Taylor 101

7. MODELADO MATEMÁTICO 102

7.1 INTERCAMBIADOR DE CALOR 99

7.1.1 Modelo del tanque 103

7.1.2 Modelo del serpentín 105

7.2 SENSOR DE TEMPERATURA 112

7.2.1 Acondicionamiento de señal 112

7.3 ELEMENTO FINAL DE CONTROL 113

7.3.1 Servomotor 115

7.3.2 Reductor de velocidad 119

7.3.3 Válvula de control

121

8. CONTROL DE TEMPERATURA 124

8.1 ANÁLISIS EN LAZO ABIERTO 125

8.2 ANÁLISIS EN LAZO CERRADO 128

9

pág.

8.3 CONTROLADOR PID 130

8.3.1 Método de sintonización ITAE 130

8.4 ESTABILIDAD EN LAZO CERRADO 136

9. CONCLUSIONES 138

BIBLIOGRAFÍA 139

ANEXOS

141

10

LISTA DE TABLAS

pág.

Tabla 1. Valores de las constantes A y B para cada metal 37

Tabla 2. Fragmento de la tabla de tensiones vs. Temperatura para un termopar tipo J entre 0 y 110ºC.

38

Tabla 3. Código de colores de las termocuplas más comunes 39

Tabla 4. Propiedades del fluido de proceso 45

Tabla 5. Características técnicas de la bomba de alimentación 46

Tabla 6. Resistencia térmica R, h-pie2-ºF/Btu. Por pulgada de espesor 60

Tabla 7. Características técnicas del tubo de ½” calibre 20 BWG 61

Tabla 8. Valores típicos del coeficiente de transferencia de calor por convección

66

Tabla 9. Pérdidas secundarias de la línea de tubería 84

Tabla 10. Ajuste por método de Mínimos cuadrados 92

Tabla 11. Datos de volumen de agua 98

Tabla 12. Caudal de la válvula de control 98

Tabla 13. Estimación del error de la ecuación (100) 100

Tabla 14. Límites de entrada y salida 112

Tabla 15. Variación de la señal de error en lazo cerrado sin controlador

118

Tabla 16. Datos técnicos del tren de engranajes 121

Tabla 17. Coeficientes óptimos de T(S) basados en el criterio ITAE para una entrada escalón

131

11

pág.

Tabla 18. Respuesta del sistema en lazo cerrado a una entrada escalón

136

12

LISTA DE FIGURAS

pág.

Figura 1. Diagrama del módulo de control de temperatura 20

Figura 2. Transmisión de calor por conducción 23

Figura 3. Proceso de evaporación 25

Figura 4. Calentamiento agua-vapor a una presión dada 26

Figura 5. Perfil de flujo laminar 27

Figura 6. Perfil de flujo turbulento 28

Figura 7. Energía total en un punto 28

Figura 8. Balance de energía para dos puntos del fluido 29

Figura 9. Elementos de una termocupla 35

Figura 10. Gráfica de Temperatura vs fem 35

Figura 11. Sistema de bombeo al calentador 41

Figura 12. Línea de descarga 42

Figura 13. Curva de flujo 47

Figura 14. Flujo continúo 48

Figura 15. Diagrama eléctrico del sistema 52

Figura 16. Calentador eléctrico 53

Figura 17. Circuito eléctrico conmutable 56

Figura 18. Controlador de nivel – Posición ON 56

Figura 19. Carrera ascendente 56

Figura 20. Controlador de nivel – Posición OFF 57

13

pág.

Figura 21. Carrera descendente 57

Figura 22. Intercambiador de calor de control 58

Figura 23. Volumen de control 59

Figura 24. Factor de corrección para intercambiador de calor de coraza y tubo con una coraza

67

Figura 25. Tubo con aletas refrigerantes 69

Figura 26. Eficiencias de las aletas rectas (perfiles rectangular, triangular y parabólico)

70

Figura 27. Banco de tubos del intercambiador de calor de control 72

Figura 28. Carcasa del intercambiador de calor de control 74

Figura 29. Segundo intercambiador de calor 75

Figura 30. Banco de tubos para el segundo intercambiador de calor con seis líneas de tubería

79

Figura 31. Caída de presión en el serpentín 81

Figura 32. Sistema de tubería – línea de proceso 83

Figura 33. Sistema de tubería con válvula de control 85

Figura 34. Perfil de presión 87

Figura 35. Vaporización en la válvula de control 87

Figura 36. Válvula de control tipo bola 90

Figura 37. Despiece de la válvula de control 90

Figura 38. Característica de igual porcentaje 91

Figura 39. Ajuste de curva de igual porcentaje VNC 93

Figura 40. Ajuste por mínimos cuadrados VNC 94

14

pág.

Figura 41. Ajuste por series de Taylor VNC 96

Figura 42. Ajuste por series de Taylor VNA 97

Figura 43. Vista de corte de la válvula de control 97

Figura 44. Característica de instalación VNA 99

Figura 45. Característica de instalación – ajuste por Lagrange VNA 100

Figura 46. Válvula normalmente abierta 101

Figura 47. Diagrama de bloques del sistema de control de temperatura

102

Figura 48. Descomposición del sistema 103

Figura 49. Carcasa o tanque del intercambiador de calor 103

Figura 50. Serpentín del intercambiador de calor 105

Figura 51. Diagrama de bloques del intercambiador de calor 107

Figura 52. Diagrama de bloques para GT(S) 107

Figura 53. Diagrama de bloques para GM(S) 108

Figura 54. Diagrama de bloques para GR(S) 109

Figura 55. Figura 54. Diagrama de bloques del sistema 109

Figura 56. Diagrama de bloques de lãs funciones de transferência del sistema

111

Figura 57. Diagrama de bloques de la válvula 114

Figura 58. Servosistema de posición 115

Figura 59. Curva característica de un potenciómetro lineal 115

Figura 60. Diagrama de bloques del sistema 117

Figura 61. LGDR del sistema en lazo cerrado 118

15

pág.

Figura 62. Elemento final de control 120

Figura 63. Tren de engranajes 121

Figura 64. Esquema de instrumentación conceptual de la válvula de control

122

Figura 65. Sistema de control de temperatura para el intercambiador de calor

124

Figura 66. Diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado sin compensador

125

Figura 67. Respuesta del sistema en lazo abierto 126

Figura 68. Diagrama del lugar de las raíces en lazo abierto 126

Figura 69. Lugar de las raíces para la función de transferencia equivalente

127

Figura 70. Respuesta de la función de transferencia equivalente en lazo abierto

128

Figura 71. Diagrama de bloques del sistema sin compensación 129

Figura 72. Respuesta a un escalón del sistema en lazo cerrado sin compensador

129

Figura 73. Respuesta a un escalón, a una perturbación y sensibilidad del sistema en lazo cerrado sin compensar

129

Figura 74. Lugar de las raíces del sistema en lazo cerrado sin compensar

130

Figura 75. Diagrama de bloques del sistema de control PID 131

Figura 76. Diagrama de bloques del sistema con control PID 133

Figura 77. Respuesta a un escalón del sistema con controlador PID 133

Figura 78. Respuesta a un escalón, a una perturbación y sensibilidad del sistema con controlador PID sin prefiltro

133

16

pág.

Figura 79. Diagrama de bloques del sistema de control PID con prefiltro

134

Figura 80. Respuesta a un escalón del sistema con controlador PID y prefiltro

135

Figura 81. Respuesta a un escalón, a una perturbación y sensibilidad del sistema con controlador PID con prefiltro

135

Figura 82. Lugar geométrico de las raíces del sistema de control de temperatura con controlador PID y prefiltro

137

Figura 83. Diagrama de localización de las raíces con ganancia de 27.94.

137

17

LISTA DE ANEXOS

pág.

Anexo A. Tablas de pérdidas por fricción para agua 141

Anexo B. Catálogo de la bomba de alimentación 147

Anexo C. Tabla de densidad del agua a presión atmosférica 149

Anexo D. Nomograma de pérdida secundaria 150

Anexo E. Hoja de cálculo de intercambiadores de calor 151

Anexo F. Diagrama de Moody 155

Anexo G. Catálogo de la válvula de control 156

Anexo H. Tablas de temperatura de la termocupla tipo J 157

Anexo I. Símbolos para instrumentos de medición y dispositivos de control

158

Anexo J. Propiedades termofísicas del agua saturada 161

Anexo K. Código Matlab para el sistema de control de temperatura

165

18

RESUMEN

El estudio de las áreas de transferencia de calor, mecánica de fluidos y control e instrumentación representan para el futuro Ingeniero Mecánico herramientas de trabajo de gran importancia para el análisis y diseño de plantas térmicas. Sin embargo, entenderlas en algunos casos es difícil dado su grado de abstracción, por lo cual la presente tesis de grado tiene la finalidad básica de permitir al estudiante asimilar los conceptos de una forma más sencilla a través de la aplicación de éstos en un diseño práctico. Los dos primeros capítulos tratan la teoría básica de termofluidos y el sensor de temperatura. El tercer capítulo plantea los criterios necesarios para la selección del tipo de bomba. La prueba caudalimétrica realizada a la bomba seleccionada es tabulada y se presenta en este capítulo. El capítulo cuarto describe el procedimiento a tener en cuenta para dimensionar el calentador eléctrico. Por otra parte, en el quinto capítulo describe el procedimiento para el diseño del intercambiador de calor y el material complementario se presenta en el anexo F. En el sexto capítulo se realiza el estudio y dimensionamiento de la válvula de control haciendo énfasis en el mejor método de linealización para efectuar el control de posición de ésta. El séptimo capítulo trata el modelado matemático y acondicionamiento de señal de los elementos que intervienen en el lazo de control. En el octavo capítulo se realiza el diseño del sistema de control de temperatura, en el cual se aplica el método de sintonización de controlador más apropiado. En este capítulo se desarrollo programas de simulación para la graficación de la respuesta de tiempo contra la señal de entrada lo cual se presenta en el anexo L. El trabajo literario de la presente tesis es realizado por el programa para computador Microsoft Word (procesador de palabra), las figuras son hechas por los programas Autocad 2000 (dibujo asistido por computador), Solid Edge versión 12, Vision y Working Model 2D, y para el proceso de simulación del sistema de control se usó el programa Matlab versión 7. Palabras claves: Transferencia de calor, mecánica de fluidos, control e instrumentación, intercambiador de calor, dimensionamiento, válvula de control, linealización, modelado matemático, sistema de control de temperatura, sintonización, controlador.

19

INTRODUCCIÓN Ante la necesidad que se presenta hoy en día en las instituciones de educación superior y en la industria de tener a la mano dispositivos de simulación de los diferentes procesos industriales para capacitar el personal e implementar nuevas estrategias de control, se presenta el diseño de un banco de pruebas para el control de temperatura en un intercambiador de calor. Para poder desarrollar el sistema de control de esta planta se debió realizar los modelos matemáticos de los elementos que intervienen en el lazo de control, de esta misma forma se utilizó métodos numéricos para la aproximación de comportamientos físicos a ecuaciones matemáticas. El objetivo general de este trabajo es el diseño de un banco de pruebas para el control de temperatura y flujo, en el cual se aplican los conocimientos adquiridos especialmente en las áreas de Ciencias Térmicas, Mecánica de Fluidos, Control e Instrumentación y manejo de Software. El diseño del banco de pruebas consta de cálculos, planos hidráulicos, planos eléctricos y diagramas de control. La operación de la planta consiste en mantener la temperatura del fluido de proceso en un valor cercano a la temperatura deseada. La variable que se ajusta para controlar la temperatura del agua de proceso a la salida del intercambiador de calor de control es el flujo proveniente del proceso ya que éste determina la cantidad de energía que se suministra al fluido de enfriamiento. El funcionamiento de control por retroalimentación consiste como sigue: La temperatura del agua de proceso a la salida del intercambiador de calor es medida por un termopar tal como se muestra en la Figura 1, en el cual se genera una señal eléctrica proporcional a la temperatura, la cual se envía al controlador, donde se compara contra el punto de control. La señal de salida del controlador se conecta luego al actuador de la válvula de control. La función del actuador es modificar la posición de la válvula según lo ordene la señal de control para conseguir que el valor de temperatura real se acerque al punto de consigna del controlador.

20

Figura 1. Diagrama del Módulo de Control de Temperatura

21

1. GENERALIDADES SOBRE TERMOFLUIDOS

Al diseñar la planta de control de temperatura es necesario tener presente ciertos conceptos de termodinámica y de mecánica de fluidos que son la base del diseño del banco de pruebas.

1.2 CONCEPTOS TERMODINÁMICOS La termodinámica es el estudio de las relaciones entre las diferentes propiedades de la materia que dependen de la temperatura. 1.1.1 Ley cero de la termodinámica. La experiencia muestra que dos cuerpos puestos en contacto, tienden a un estado en el cual cualquier cambio térmico es nulo, es decir, que están en equilibrio térmico. El equilibrio termodinámico o estado de un sistema, está determinado por los valores de la presión, volumen, temperatura y cantidad de sustancias que un sistema puede tener, cuando éste está en equilibrio mecánico, térmico y/o químico. 1.1.2 Primera ley de la termodinámica. Si un sistema pasa de un estado a otro, cualquiera que sea la manera o trayectoria, la cantidad de calor recibida por el sistema menos el trabajo realizado por el sistema es constante. Esta constante es por definición, la variación de la energía interna, la energía cinética y la energía potencial entre el estado final y el inicial. La energía interna es aquella que poseen las moléculas debido a su vibración, traslación, enlace, giro y es una función de la temperatura. De esta podemos tomar la Entalpía, la cual es la energía útil total de una sustancia la que se puede utilizar para variar la temperatura o la presión. 1.1.3 Segunda ley de la termodinámica. Se expresa por alguno de los dos enunciados siguientes: • Primer enunciado (Clausius): El calor fluye espontáneamente de un foco

más caliente a un foco más frío y no viceversa, es decir, que no es posible ningún proceso cíclico cuyo resultado sea la transferencia de calor de un foco frío a un foco caliente.

22

• Segundo enunciado (Kelvin Plank): ZEMANSKY dice que: “No es posible ningún proceso cíclico cuyo único resultado sea la absorción de calor de un foco y su transformación completa en trabajo”1.

Esta segunda ley indica que ninguna máquina puede tener un rendimiento del 100%, es decir, todo el calor transferido no puede ser convertido en trabajo. 1.1.4 Sistemas térmicos. Los sistemas térmicos son aquellos que involucran la transferencia de calor de una sustancia a otra. Estos sistemas tienen dos elementos básicos que son la resistencia y capacitancia. • Resistencia. La resistencia térmica R para la transferencia de calor

entre dos sustancias se define como el cambio en la diferencia de temperatura requerido para producir un cambio en el flujo de calor.

calordeflujoelenCambio

atemperaturdediferencialaenCambioR =

• Capacitancia Térmica. Es la medida de almacenamiento de energía

interna de un sistema y se define como el cambio en el calor almacenado requerido para producir un cambio en la temperatura.

atemperaturlaenCambio

almacenadocalorelenCambioC =

A la energía que se transfiere como resultado de un gradiente de temperatura se le conoce a veces como energía térmica o calor. La transferencia de calor ocurre desde una región de temperatura más alta hacia otra temperatura más baja, del mismo modo en que se dice que la corriente eléctrica fluye de una región de potencial alto a otra de potencial bajo. Existen tres modos de transferencia de calor: conducción, convección y radiación. En general, una situación específica de intercambio de calor puede abarcar transferencias simultáneas de dos o más de estos modos.

1 ZEMANSKY, Mark. Calor y Termodinámica. 2 ed. Madrid: Aguilar, 1979. p. 53.

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• Conducción. Consiste en la transmisión de calor a través de uno o dos cuerpos de forma continua de molécula a molécula por un contacto directo. Dependiendo de la facilidad con la cual se da esta transmisión de calor, los cuerpos y las sustancias se clasifican en buenos o malos conductores de calor. En los gases y en los líquidos, la conducción se debe a las colisiones entre las moléculas durante su movimiento aleatorio. En los sólidos se debe a la combinación de vibraciones de las moléculas de una estructura y a la energía transportada por electrones libres. Se observa que la tasa de conducción de calor, Qconducción, mediante una capa de espesor constante ∆X, es proporcional a la diferencia de temperatura ∆T, a través de la capa y el área, A, normal a la dirección de la transferencia de calor e inversamente proporcional al espesor de la capa y KT es la conductividad térmica del material, la cual es una medida de la capacidad de un material para conducir calor.

∆Τ∆Χ= AKQ TConducción

(1) La Figura 2, muestra un ejemplo de transferencia de calor por conducción al aplicar calor al extremo de una barra de plata. Figura 2. Transmisión de calor por conducción

• Convección. Es el mecanismo de transmisión de calor por medio del

cual los líquidos y/o gases intercambian calor. Es debido a la movilidad y fluidez de las moléculas y consiste en el movimiento de masas más calientes hacia zonas más frías cediendo calor a las masas de menor temperatura. Existen dos tipos de convección, la convección natural y la convección forzada. La convección natural se da debido al gradiente térmico, y se presenta por la diferencia de densidad o de peso específico que aparece debido a las diferentes temperaturas. Esto produce que el fluido más frío circule hacia abajo y el más caliente hacia arriba, produciendo una corriente ascendente. Mientras la convección forzada se da cuando se aplican medios mecánicos para hacer circular el fluido. La tasa de transferencia de calor por

24

convección Qconvección, se determina por la ley de enfriamiento de Newton.

( )fSConvección TThAQ −= (2)

• Radiación. Es la energía emitida por la materia mediante ondas

electromagnéticas (fotones), como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas. A diferencia de la conducción y la convección, la transferencia de energía por radiación no requiere de la presencia de un medio entre el sistema y sus alrededores. Sin embargo, en el caso especial de una superficie relativamente pequeña de emisividad Є y de área de la superficie A, a temperatura absoluta Ts, que está completamente encerrada por una superficie mucho más grande a temperatura absoluta Taire separada por un gas que no interacciona con la radiación, la tasa neta de transferencia de calor por radiación entre estas dos superficies se determina a partir de la ecuación (4).

( )44aireSRadiación TTAQ −= εσ (3)

1.1.5 Punto de ebullición . El punto de ebullición de un líquido se puede definir como la temperatura a la cual su presión de vapor es igual a la presión total, por encima de la superficie del líquido. Es más utilizado para identificar condiciones a presiones atmosféricas estándares. Por ejemplo, el agua hierve a 100ºC, sin embargo, el punto de ebullición o temperatura de saturación es realmente una función de la presión y se eleva cuando la presión se incrementa. 1.1.6 Punto crítico . Este es el punto en el que el agua se convierte en vapor sin pasar a su punto de ebullición. En este punto, el agua y el vapor tienen las mismas propiedades. 1.1.7 Saturación del vapor . Cuando el agua hierve en un recipiente, el agua junto con el vapor liberado, tienen la misma temperatura: la mezcla en este estado se llama temperatura de saturación. Para cada presión a la que hierve el agua existe solamente una temperatura de saturación y viceversa. El calor agregado durante la ebullición es utilizado para pasar el agua de su estado líquido a vapor. Este calor medido se denomina entalpía de evaporación, energía o calor de evaporación. La suma de las entalpías del líquido saturado más la entalpía de evaporación,

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proporciona la entalpía del vapor saturado equivalente al calor agregado para llevar el agua desde 32ºF hasta la fase de vapor a una presión dada. 1.1.8 Proceso de evaporación . Si se calienta una libra de agua, aplicando calor en forma constante dentro de un cilindro con un pistón móvil, como se muestra en la Figura 2, la temperatura aumenta, mientras que la presión se mantiene constante por el peso del pistón. Si se continúa añadiendo calor, se logrará que la temperatura aumente hasta que la presión del vapor generado equilibre exactamente la presión de la atmósfera más la presión debida al peso del pistón. Figura 3. Proceso de evaporación

En este estado (recipiente con agua y vapor), el vapor y el líquido están saturados. A medida que se añade calor, el líquido que se encontraba en estado de saturación comenzará a evaporarse; es decir, mientras haya líquido, continuará el proceso de evaporación a temperatura constante. En este estado se dice que la mezcla está húmeda y que ambos, el líquido y el vapor, están saturados. Después que todo el líquido se ha evaporado, sólo queda vapor (tercer recipiente con sólo vapor); una adición posterior de calor, provocará que la temperatura se incremente a presión constante. Aquí el vapor se llama vapor sobrecalentado. Si se realiza este proceso a diferentes presiones, se obtendrá una curva particular de temperatura de saturación como función de la presión. En la Figura 3, se muestra que el pistón por su propio peso asegura que exista la misma presión durante el proceso de evaporación. La Figura 4, muestra las gráficas que representan el comportamiento del calentamiento del agua-vapor a una presión dada.

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Figura 4. Calentamiento agua-vapor a una presión dada

Cuando en el recipiente se encuentra solamente agua y se adiciona calor, se inicia el calentamiento con una curva ascendente. Se observa que durante el proceso de evaporación, en la curva de la gráfica, la temperatura de la mezcla agua-vapor, se mantiene constante (curva aplanada). Posteriormente cuando todo el agua se termina de evaporar, al adicionarle más calor, se inicia el proceso de sobrecalentamiento del vapor, como se muestra en el cuarto recipiente de la Figura 3, en este momento se inicia un incremento en la pendiente de la curva, precisamente como resultado del sobrecalentamiento del vapor. 1.1.9 Vapor sobrecalentado . Es aquel que ha absorbido más calor que el necesario para solamente vaporizarse. Mientras el vapor y el agua estén en contacto, la temperatura permanecerá constante y se denomina temperatura de saturación a una presión dada. Si se aumenta la temperatura, toda el agua se evapora y en este momento, el vapor comenzará a evaporarse. La entalpía del vapor aumentará por la cantidad de Btu agregado y así lo hará la temperatura. La medida en la cual se produce este incremento depende, en buen grado, de la variación de la presión. 1.1.10 Líquido subenfriado . Es aquel líquido que no ha alcanzado el punto de ebullición. 1.1.11 Líquido saturado . Es aquel que ha absorbido la máxima energía calorífica sin vaporizarse. 1.1.12 Mezcla líquido vapor . Un líquido y un vapor pueden coexistir a la misma temperatura y presión. A esto se le llama mezcla de dos fases o vapor húmedo.

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1.2 CONCEPTOS DE MECÁNICA DE FLUIDOS La mecánica de fluidos es la parte de la física que estudia las leyes del comportamiento de los fluidos en reposo y en movimiento. Estas leyes se refieren a las ecuaciones básicas que gobiernan el flujo de un fluido tales como las ecuaciones de continuidad, la ecuación de Euler y la ecuación de cantidad de movimiento. 1.2.1 Número de Reynolds . Las fuerzas que afectan el flujo de un fluido son debidas a la gravedad, la flotación, la inercia del fluido, la viscosidad, la tensión superficial y factores semejantes. En muchas situaciones de flujo, las fuerzas resultantes de la inercia del fluido y la viscosidad son más significativas. De hecho, los flujos de fluido en muchas situaciones importantes están dominados ya sea por la inercia o por la viscosidad del fluido. La relación adimensional de la fuerza de inercia con respecto a la fuerza viscosa se llama Número de Reynolds. Así pues, un número de Reynolds grande indica el predominio de la fuerza de inercia y un número pequeño el predominio de la viscosidad.

µρVD

aVisFuerza

InerciadeFuerzaRe ==

cos (4) Donde ρ es la densidad de masa del fluido, µ la viscosidad dinámica, V la velocidad promedio del flujo y D la longitud característica. Para flujo en tubos, la longitud característica es el diámetro interior del tubo. Flujo laminar. Es flujo dominado por la fuerza de viscosidad. Se caracteriza por el deslizamiento de las capas cilíndricas concéntricas una sobre otra de manera ordenada. La velocidad de fluido es máxima en el eje de la tubería y disminuye rápidamente hasta hacerse cero en la pared de la tubería. Su número de Reynolds es ≤ 2000. Figura 5. Perfil de flujo laminar

28

Flujo turbulento. Es el flujo dominado por la fuerza de inercia. Se caracteriza por un movimiento irregular e indeterminado de las partículas del fluido en direcciones transversales a la dirección principal de flujo. La distribución de velocidades es más uniforme a través del diámetro de la tubería. Su número de Reynolds es ≥ 4000. Figura 6. Perfil de flujo turbulento

1.2.2 Teorema de Bernoulli . Es una forma de expresión de la aplicación de la ley de conservación de la energía aplicada al flujo de fluidos en una tubería. La energía total en un punto cualquiera por encima de un plano horizontal arbitrario fijado como referencia es igual a la suma de la altura geométrica, la altura debida a la presión y la altura debida a la velocidad.

Hg

V

g

PZ =++

2

2

ρ (5) Figura 7. Energía total en un punto

Si no se presentarán pérdidas por rozamiento o no hubiese ningún aporte de energía adicional (bombas o turbinas) dentro de la tubería, la altura H debería permanecer constante en cualquier punto del fluido. Sin embargo existen pérdidas ocasionadas por el rozamiento del fluido con la tubería y por las obstrucciones que pudiera tener la línea misma.

29

Figura 8. Balance de energía para dos puntos del fluido

Al realizar el balance de energía entre dos puntos del fluido contenido en una tubería tal como se muestra en la Figura 8, se tiene:

lhg

V

g

PZ

g

V

g

PZ +++=++

22

22

2

22

21

1

11 ρρ (6)

1.2.3 Sistemas hidráulicos . Las características dinámicas de estos sistemas en los procesos industriales pueden analizarse mediante el uso de las leyes fundamentales que gobiernan el flujo de líquidos. Hay tres tipos de elementos básicos en los sistemas hidráulicos: los elementos resistivos, los elementos capacitivos y los elementos de inertancia. Resistencia. Se define como el cambio en potencial requerido para producir un cambio en la corriente, razón de flujo o velocidad.

velocidadoflujoderazóncorrienteenCambio

potencialenCambioR

,=

Capacitancia. Se define como el cambio en la cantidad de material o distancia requerida para producir un cambio unitario en potencial.

potencialenCambio

ciadisomaterialdecantidadlaenCambioC

tan=

1.2.4 Propiedades de los fluidos líquidos . El fluido es una sustancia que, debido a su poca cohesión molecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene. Los líquidos a una presión y temperatura determinadas ocupan un volumen determinado.

30

Los fluidos tienen ciertas propiedades que desempeñan un papel importante en el análisis del comportamiento de éstos. • Densidad. La densidad absoluta es la relación entre la masa y el

volumen de un fluido. La densidad de los líquidos a menos que se manejen a presiones muy elevadas no presenta variaciones significativas.

V

m=ρ (7)

• Peso específico. El peso específico absoluto de una sustancia

homogénea es el peso por unidad de volumen.

V

W=γ (8)

• Densidad relativa. La densidad relativa de un fluido, es la relación

entre las densidades de dos fluidos diferentes a la misma temperatura. Generalmente para líquidos se utiliza el agua a 20 ºC como referencia.

COH

DRº20@2

ρρ=

(9)

• Volumen específico. En el sistema internacional de unidades SI, el volumen específico se define como el recíproco de la densidad absoluta. Mientras en el sistema técnico de unidades ST, éste se define como el recíproco del peso específico.

γ

ρ

1

1

=⇒

=⇒

vSTelEn

vSIelEn

(10)

31

• Viscosidad absoluta. Es conocida también como viscosidad dinámica,

su símbolo es η. Esta propiedad expresa la facilidad que tiene un fluido a desplazarse cuando se le aplica una fuerza externa, es decir, es una medida de su resistencia al desplazamiento a sufrir deformaciones internas.

y

v

∂∂

= ητ (11)

• Viscosidad cinemática. La viscosidad cinemática es el cociente entre

la viscosidad dinámica de un fluido y su densidad.

ρη=v

(12)

• Tensión superficial. Esta es una fuerza que produce efectos de tensión en la superficie de los líquidos, allí donde el fluido entra en contacto con otro fluido no miscible, particularmente un líquido con un gas o con un contorno sólido. El origen de esta fuerza es la cohesión intermolecular y la fuerza de adhesión del fluido al sólido.

• Tensión de vapor. En la superficie libre de un líquido a cualquier

temperatura hay un constante movimiento de moléculas que escapan de dicha superficie, es decir, el líquido se evapora. Si el líquido se encuentra en un recipiente cerrado, y sobre su superficie queda un espacio libre, este espacio se llega a saturar de vapor y ya no se evapora más líquido. Si aumenta la temperatura aumenta la presión de saturación y se evapora más líquido. Es decir, todo fluido tiene para cada temperatura una presión de saturación del vapor a esa temperatura; o lo que es lo mismo, a cada presión corresponde una temperatura de saturación del vapor a esa presión.

1.2.5 Presión . Es la medida más utilizada para cuantificar la fuerza ejercida por los gases y líquidos. La presión es el cociente entre la fuerza total y el área sobre la cual se ejerce dicha fuerza.

A

FP N=

(13)

32

Se llama presión atmosférica o presión barométrica a la presión que ejerce sobre todos los cuerpos el peso del aire. • Presión relativa: Es la diferencia de presión existente en el interior de

un recipiente con respecto a la presión atmosférica y cuyo valor se mide mediante sensores de presión (manómetros, miden las sobrepresiones o presiones relativas positivas; vacuómetros, miden las depresiones o presiones relativas negativas.).

• Presión absoluta: Es la suma algebraica de la presión relativa más la

presión atmosférica. Los instrumentos que miden la presión absoluta se denominan manómetros de presión absoluta. Este tipo de manómetros suele emplearse para la medición de presiones absolutas pequeñas.

La presión atmosférica disminuye a medida que nos elevamos con respecto del nivel del mar y debido a que la columna de aire capaz de ejercer presión es menor. Es importante tener en claro que la presión no es una fuerza; sino el cociente de una fuerza por una superficie. La presión tiene cinco propiedades que la caracterizan. • La presión en un punto de un fluido es igual en todas las direcciones

(principio de Pascal). • La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal

en el seno de un fluido en reposo es la misma. • En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior

de un fluido una parte del fluido sobre la otra contigua al mismo tiene la dirección normal a la superficie de contacto. Como esta fuerza normal es la presión, en el interior de un fluido en reposo no existe más fuerza que la debida a la presión.

• La fuerza de la presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia

el interior del fluido, es decir, es una compresión, jamás una tracción. Tomando como positivo el signo de compresión, la presión absoluta nunca puede ser negativa.

• La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal.

33

2. SENSOR DE TEMPERATURA

2.1 EFECTOS TERMOELÉCTRICOS Los sensores termoeléctricos se basan principalmente en dos efectos que, a diferencia del efecto Joule, son reversibles. Se trata del efecto Peltier y el efecto Thompson. 2.1.1 Efecto Peltier. En la unión de dos conductores A y B diferentes pero a la misma temperatura T, se establece una diferencia de potencial que depende solo de la naturaleza de los conductores y la temperatura; esta es la fem de Peltier:

ABTP (14)

2.1.2 Ley de Volta. En un circuito isotérmico constituido por conductores diferentes, la suma de fem del Peltier es nula:

0=+++ DAT

CDT

BCT

ABT PPPP (15)

2.1.3 Efecto Thompson. Entre dos puntos m y N a diferente temperatura al interior de un conductor homogéneo A, se establece una fem que depende de la naturaleza del conductor y las temperaturas TN y TM, donde ha es el coeficiente Thompson del conductor.

∫ ∂=M

N

NM

T

T

aA

TT ThE (16)

2.1.4 Ley de Magnus. Si los extremos de un circuito constituido por un conductor único y homogéneo están a la misma temperatura, la fem de Thompson es nula.

34

2.1.5 Efecto Seebeck. Sea un circuito cerrado por dos conductores A y B, con las uniones a temperatura T1 y T2 (par termoeléctrico). Este par mantiene una fem denominada fem de Seebeck que resulta de los efectos Peltier y Thompson.

( )∫ ∂−+−=2

1

1212

T

T

BAAB

TAB

TAB

TT ThhPPE (17)

2.2 SENSORES TERMOELÉCTRICOS Un termopar es un circuito cerrado que consta de dos empalmes a diferentes temperaturas T1 y T2. Si se introduce en el circuito un voltímetro de alta impedancia, la fem medida es aproximadamente la diferencia de los potenciales de contacto.

( ) ( ) ( ) ...32

313

22

2122112112

+−+−+−=−== TTaTTaTTaEEEV ABT

ABT

ABTT

(18)

Los termopares son los dispositivos más utilizados para la medición de temperatura. A uno de los empalmes, el que está a la temperatura a medir, se denomina unión caliente y al otro unión fría o de referencia. Aunque parece simple obtener la medida de la temperatura a partir del voltaje Seebeck, se presentan problemas ocasionados por: • Las variaciones de temperatura en la unión de referencia.

• Las alinealidades propias de los termopares. • Las bajas magnitudes de las fem generadas. En general los termopares son transductores de bajo costo y estabilidad aceptable para aplicaciones industriales. Su respuesta no es completamente lineal, por lo que deben usarse circuitos analógicos o digitales para linealización (pueden obviarse si no se requiere mucha precisión).

35

2.3 TERMOCUPLA COMO SENSOR DE TEMPERATURA La termocupla es un transductor de temperatura, es decir, un dispositivo que traduce una magnitud física en una señal eléctrica. Si bien, por un circuito por donde circula corriente, se encuentra evidencia de calentamiento por efecto Joule (RI2), existen algunos casos donde la circulación de corrientes produce efectos refrigerantes. La termocupla está compuesta por dos alambres de metales diferentes, los que unidos convenientemente (soldados generalmente) generan en sus extremos una diferencia de potencial proporcional a la diferencia de temperatura entre ellos. Una termocupla o termopar en su estado básico, se compone de dos alambres de metales diferentes. Estos metales están soldados en un extremo, y terminan en una ficha especial en el otro (clavija). Figura 9. Elementos de una termocupla

La condición indispensable es que los materiales de los conductores deben ser distintos y homogéneos, o sea, sin concentraciones de impurezas. La termocupla produce en el extremo de la clavija, una fuerza electromotriz o fem, la cual depende de la diferencia de temperaturas entre la soldadura y la clavija misma. Como el sentido de la tensión es de importancia, entonces, se distingue a los conductores con los signos positivo y negativo, para no confundirlos. La Figura 10, muestra como evoluciona la fem generada por algunas de las termocuplas más comunes en función de la temperatura. Figura 10. Gráfica de Temperatura vs fem

36

Los colores de aislamiento de los cables, de la vaina externa, o de la clavija representan códigos de identificación, según las distintas normas internacionales. 2.3.1 Alambres para termocuplas. Los materiales conductores con los que se construyen las termocuplas, tienen ciertos requerimientos para poder usarlos con este fin. Por un lado, deben mantener sus propiedades mecánicas a las temperaturas que se pretende medir. Las partes sometidas a altas temperaturas, sufren en algunos casos procesos de sublimación, recristalización, etc. También es de importancia considerar la acción química del medio ambiente, que normalmente es de naturaleza corrosiva. Es muy importante el uso de metales puros y homogéneos, o sea, sin concentraciones de impurezas, ya que de no cumplir este requisito, se pueden tener errores del orden de 10 a 25ºC, e incluso mayores. Esto último está sumamente ligado a las causas de las inexactitudes en las mediciones. El uso de estos elementos puede acarrear procesos de recristalización de los alambres, la evaporación o sublimación de uno de los componentes de la aleación, el intercambio de impurezas con el medio ambiente lo que ocasiona un envenenamiento, etc. Las termocuplas entregan fems del orden de 10 a 70 mV por cada 1ºC de aumento de la temperatura, por tal razón, a la hora de elegir una termocupla, lo ideal es escoger aquella que sea más sensible, es decir, que entregue una fem mayor para un igual salto térmico. 2.3.2 Relación de la temperatura con la tensión. Supóngase que se mide la tensión que entrega una termocupla, entonces, la pregunta a realizarse es ¿ A qué temperatura corresponde esta tensión?. Un criterio para dar respuesta a este interrogante sería ir a una gráfica de temperatura vs fem como la de la Figura 9, y mirar que temperatura le corresponde a la tensión medida. Un segundo criterio sería tener una tabla que, grado por grado, nos indique la tensión que entregaría la termocupla. Dichas tablas existen, y pueden conseguirse con algo de tiempo, ya sea navegando por internet, en algunos textos de instrumentación industrial o en los catálogos que brindan los fabricantes de termocuplas. Pero esto tiene dos inconvenientes: El primero es que necesariamente se debe conocer de forma inequívoca el tipo de termocupla y confiar en que el fabricante respete los códigos de colores, mientras que el segundo inconveniente consiste en confiar que el fabricante usó en la construcción de la termocupla los procesos y materiales adecuados, o sea, si las termocuplas respetan las curvas conocidas. Muchas veces este criterio es válido, si el usuario adquiere sus insumos en proveedores de reconocida trayectoria y si conserva registros de sus inventarios.

37

Un tercer criterio consiste en disponer de una expresión en la cual, si se reemplaza los valores de la tensión, obtengamos el valor de la temperatura. Esta expresión por lo general la da el fabricante de la termocupla, de no ser así, entonces, se debe obtener la expresión basada en los datos de una prueba experimental la cual la puede realizar el usuario. Hoy en día se dispone de instrumentos que almacenan estas expresiones o las tablas en memorias internas, de donde se obtiene directamente los valores de temperatura. 2.3.3 Expresión matemática. Por lo general el voltaje de salida E en un circuito termopar simple se escribe de la forma:

( ) ( )2

2

1OO TTBTTAE −+−= (19)

Donde T es la temperatura en grados Celsius, To es la temperatura de referencia también en grados Celsius y E se basa en la temperatura de junta a la temperatura de referencia, las constantes A y B dependen del material del termopar. To es la temperatura de referencia, a la cual la termocupla no genera ninguna tensión, se suele tomar para la misma, 0ºC, o sea, la temperatura a la cual se da normalmente la transición de hielo sólido a agua líquida, a presión atmosférica. Para conocer los valores de A y B, normalmente se buscan en alguna tabla, donde aparece el valor de cada uno respecto a un metal base. En la Tabla 1, se muestran los valores de las constantes A y B donde el metal de referencia es el plomo. Tabla 1. Valores de las constantes A y B para cada metal

SUSTANCIA A (µV/ºC) B (µV/ºC) Antimonio +35.6 +0,145 Bismuto -74.1 +0.032 Constantan -38.1 +0.0886 Cobre +2.71 +0.0079 Hierro +16.7 -0.02978 Níquel -19,1 -3,02 Platino -3,03 -3,25

Los materiales conductores con los que se construyen las termocuplas, tienen ciertos requerimientos para poder utilizarlos con este fin. A manera de ejemplo, se tiene una termocupla “Tipo J” la cual está fabricada con un alambre de hierro y otro de constantan (aleación de 60% cobre y 40% níquel), al colocar la unión de los dos metales a 90 ºC, debe aparecer en los extremos 4.725 mV.

38

Como se mencionó anteriormente, las termocuplas industriales se consiguen encapsuladas dentro de un tubo de acero inoxidable u otro material (vaina), en un extremo está la unión y en el otro el terminal eléctrico de los cables (clavija), protegido dentro de una caja redonda de aluminio llamada cabezal. A continuación en la Tabla 2, se da los valores de la fem en función de la temperatura para una termocupla tipo J. Para medir la temperatura de la termocupla tipo J, se debe medir con un voltímetro el voltaje que esta entrega y luego buscar en la Tabla 2, a que temperatura corresponde el voltaje. Finalmente sumarle a esta temperatura encontrada en la tabla, la temperatura ambiental (temperatura del contacto de las puntas del voltímetro con los cables de la termocupla) para hacer la compensación de cero. Tabla 2. Fragmento de la tabla de tensiones vs. Temperatura para un termopar tipo J entre 0 y 110ºC. La unión de referencia se supone a 0ºC. Las tensiones están dadas en milivoltios.

ºC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 1.019 1.070 1.122 1.174 1.225 1.277 1.329 1.381 1.432 1.484 30 1.536 1.588 1.640 1.693 1.745 1.797 1.849 1.901 1.954 2.006 40 2.058 2.111 2.163 2.216 2.268 2.321 2.374 2.426 2.479 2.532 50 2.585 2.638 2.691 2.743 2.796 2.849 2.902 2.956 3.009 3.062 60 3.115 3.168 3.221 3.275 3.328 3.381 3.435 3.488 3.542 3.595 70 3.649 3.702 3.756 3.809 3.863 3.917 3.971 4.024 4.078 4.132 80 4.186 4.239 4.293 4.347 4.401 4.455 4.509 4.563 4.617 4.671 90 4.725 4.780 4.834 4.888 4.942 4.996 5.050 5.105 5.159 5.213 100 5.268 5.322 5.376 5.431 5.485 5.540 5.594 5.649 5.703 5.758 110 5.812 5.867 5.921 5.976 6.031 6.085 6.140 6.195 6.249 6.304

PALLÁS ARENY, Ramón. Sensores y acondicionadores de señal. 3 ed. México: Alfaomega, 2004. p. 279. Por ejemplo, se mide en una termocupla tipo J un voltaje de 3.491 mV. En la Tabla 2 de termocupla tipo J se encuentra que para 3.491 mV, lo más aproximado es de 3.488 mV que corresponde a 67ºC. Si la temperatura ambiental en los contactos es de 25ºC aproximadamente, entonces, la temperatura medida es 92ºC (25ºC + 67ºC). 2.3.4 Clasificación de las termocuplas más usuales. Existe una infinidad de tipos de termocuplas, en la Tabla 3, se muestran algunas de las más comunes, pero casi el 90% de las termocuplas utilizadas son del tipo J o del tipo K. Las termocuplas tipo K, según normas ANSI, vienen con vaina marrón, siendo el aislamiento de su conductor positivo (Cromel: Aleación de cromo y níquel) de color amarillo, mientras que la de su conductor negativo (Alumenel: Aleación de aluminio y níquel) es de color rojo. También se pueden identificar por el color de las clavijas.

39

Tabla 3. Código de colores de las termocuplas más comunes Designación Materiales Rangos

ANSI Conductor positivo

Conductor negativo

Temperatura ºC

Tensión mV

B Platino + 30% Rodio Platino + 6% Rodio 600 a 1820 1.792 a 13.82 C Tungsteno + 5%

Rhenio Tungsteno + 26%

Rhenio 0 a 2316 0 a 37.079

E Níquel – Cromo Cobre – Níquel -250 a 1000 -9.719 a 76.37

J Hierro Cobre – Níquel -210 a 1200 -8.096 a 69.555

K Níquel – Cromo Níquel – Aluminio -200 a 1372 -5.891 a 54.886

L Hierro Cobre – Níquel -200 a 900 -8.166 a 53.147

N Níquel-Cromo-Silicio Níquel-Silicio-Magnesio

-200 a 1300 -3.99 a 47.514

R Platino + 13% Rodio Platino -20 a 1767 -0.101 a 47.514

S Platino + 10% Rodio Platino -20 a 1767 -0.103 a 18.682

T Cobre Cobre – Níquel -250 a 400 -6.181 a 20.873

U Cobre Cobre - Níquel -200 a 600 -5.693 a 34.320

PALLÁS ARENY, Ramón. Sensores y acondicionadores de señal. 3 ed. México: Alfaomega, 2004. p. 278. Los materiales que en combinación con el platino exhiben un potencial positivo se utilizan como brazo positivo (P) de termopares, mientras que los que exhiben un potencial negativo se utilizan como brazos negativos (N). En el Anexo A se muestra una tabla de estándares de hilos de termopar y de hilos de extensión de termopar más detallada. Las termocuplas tipo J se usan principalmente en la industria del plástico, goma (extrusión e inyección) y fundición de metales a bajas temperaturas (zamac, aluminio). La termocupla tipo K se usa generalmente en fundición y en hornos a temperaturas menores a 1.300 ºC, por ejemplo, fundición de cobre y hornos de tratamiento térmico. Las termocuplas R, S y B se usan casi exclusivamente en la industria siderúrgica especialmente en la fundición de acero. Por último, las termocuplas tipo T, eran usadas hace algún tiempo en la industria de alimentos, pero han sido desplazadas en esta aplicación por los PT100 (sensor de temperatura de platino). La dependencia entre el voltaje entregado por la termocupla y la temperatura no es lineal, es decir, es deber del instrumento electrónico destinado a mostrar la lectura, efectuar la linealización, o sea, tomar el voltaje y conociendo el tipo de termocupla, ver en las tablas internas a que temperatura corresponde dicho voltaje.

40

2.4 TRANSDUCTORES ELECTRÓNICOS Las resistencias de substrato tienen un coeficiente de temperatura positivo y linealidad del ±0.5% entre –65 y 200ºC. Los rangos de resistencia van de 10 a 10K con tolerancias entre 1 y 20%. Su aspecto físico es el de una resistencia de ¼ de watt. No son muy conocidas en el medio. Los dispositivos de unión permiten medir temperatura gracias a la variación que presenta el potencial de las uniones PN con esta variable. Aunque la sensibilidad no es constante en el rango de temperatura y varía de un dispositivo a otro, su valor es cercano a –2.2mV/ºC; un diodo puede entonces usarse como un transductor barato y de respuesta rápida. La alinealidad que presentan las uniones es corregida mediante montajes especiales de transistores apareados, excitados por fuentes de corriente, que conforman un circuito integrado. Algunos ejemplos de estos circuitos son:

CaCKmVtorSemiconducNationalLM

CaCCmVtorSemiconducNationalLM

CaCKADevicesAnaAD

º150º50º10:335

º150º50º10:35

º150º55º1log:590

−⇒⇒

−⇒⇒

−⇒⇒ µ

El AD590 funciona con voltajes entre 4 y 30V, comportándose como una fuente de corriente dependiente de la temperatura. Los dispositivos LM35 y LM335 se ofrecen con precisiones variadas del orden de 0.1%. El aspecto físico de estos dispositivos es igual al de un transistor aunque se consiguen con encapsulado tipo DIP y SMT.

41

3. SISTEMA DE BOMBEO El sistema de bombeo está conformado por el tanque de succión, el tanque a descarga, una válvula check y una válvula de compuerta. Por ser un sistema de poco cabezal se debe tener en cuenta el cabezal de velocidad, tal como se muestra en la Figura 11. Figura 11. Sistema de bombeo al calentador

3.1 BOMBA ROTODINAMICA Esta clase de bombas son siempre rotativas. Su funcionamiento se basa en la ecuación de Euler; y su órgano transmisor de energía se llama rodete. Se llaman rotodinámicas porque su movimiento es rotativo y la dinámica de la corriente juega un papel esencial en la transmisión de la energía. La clasificación de este tipo de bombas se basa en cinco criterios. • Según la dirección del flujo: Bombas de flujo radial, de flujo axial y de flujo

radioaxial.

• Según la presión engendrada: Bombas de baja presión, de media presión y de alta presión.

• Según la posición del eje: Bombas de eje horizontal, de eje vertical y de eje

inclinado. • Según el número de flujos en la bomba: Bombas de simple aspiración o de

un flujo y de doble aspiración, o de dos flujos. • Según el número de rodetes: Bombas de un escalonamiento o de varios

escalonamientos.

42

3.2 CARGA DE BOMBEO El sistema de bombeo está compuesto por la bomba de alimentación, la cual se encuentra sumergida en el tanque de alimentación, de donde se encarga de bombear agua a un calentador eléctrico que está a una cabeza de 0.8 m, tal como se muestra en la Figura 12. Se utiliza tubería nueva de acero (cédula 40) y 3/8 pulgadas de diámetro, la longitud de esta es de 1.3 m. Las válvulas y accesorios de la tubería de descarga consta de una válvula de compuerta, una válvula check y un codo regular de 90º. Figura 12. Línea de descarga

Para determinar la carga total sobre la bomba HB, se hace uso de la ecuación de continuidad.

LdBS hHg

VPHh

g

VP+++=+++

22

222

211

γγ (20)

Donde P1 y P2 es la presión manométrica en los puntos 1 y 2, V la velocidad del líquido en determinado punto, hS altura de succión, g la aceleración de la gravedad, hL pérdidas por rozamiento en accesorios, Hd altura de descarga, es el peso específico del líquido y HB la carga total sobre la bomba. Las pérdidas por fricción en la línea de descarga, se determinan utilizando las Tablas 1, 2 y 3 del Anexo A, las cuales dan valores de la pérdida por fricción para agua limpia a una temperatura de 60ºF y circulando a través de tuberías nuevas de acero (cédula 40) con una rugosidad relativa de 0.00015 pies. Como se indica en la parte inferior de las tablas para tuberías comerciales, se recomienda incrementar los valores en un 15%. Los valores se dan en pies de pérdida por cada 100 pies de tubería recta.

43

Estas tablas se utilizan para calcular las pérdidas por fricción en accesorios. La Tabla 3 muestra los valores de pérdidas por fricción en accesorios que transportan agua limpia a 60ºF. La tabla da la pérdida en el accesorio en términos de longitud equivalente de tubería nueva de acero (cédula 40). Una vez que se hace la conversión se agrega la longitud equivalente a la longitud de la tubería recta de la instalación y con el valor total se entra a los valores de las Tablas 1 y 2 del Anexo A. Debido a que la bomba de operación es sumergible, la carga de succión Hs es cero, por lo tanto, se trabajará con la carga de descarga Hd, la cual será igual a la carga total H de la bomba mostrada en la instalación de la Figura 12. Para este análisis se trabaja con unidades del sistema inglés ya que las tablas proporcionadas utilizan este sistema de unidades. De la Tabla 3 del Anexo A, se obtienen la longitud equivalente para válvulas y accesorios:

piescompuertadeválvulaladeeequivalentLongitud

piescheckválvulaladeeequivalentLongitud

piesderegularcodoundeeequivalentLongitud

piesmadescdetuberíadeLongitud

45.0:

3.7:

1.3:º90

26.43.1:arg ⇒

Al sumar las longitud equivalente de la tubería a la sumatoria de las longitudes equivalentes para válvulas y accesorios se obtiene que la longitud equivalente total LT es igual a 15.11 pies. De la Tabla 1del Anexo A, con el caudal y el diámetro de la tubería se tiene hL de fricción igual a 42.6, luego la pérdida de fricción será:

43.66.42100

11.15 =×

=Lh (21)

Añadiendo el 15% que recomienda las Tablas 1 y 2 del Anexo A para tuberías comerciales, se tiene:

4.715.143.6 =×=Lh (22) La bomba debe elevar el líquido de la cota 2.5 cm a la cota 80 cm. Por consiguiente, la altura de descarga hd es de 83.75cm (2.75 pies). La carga de succión hS es cero; las presiones P1 y P2 son igual a la atmosférica y las velocidades en los puntos 1 y 2 también son las mismas.

44

piesHhHH BLdB 15.10=⇒+= (23) En la práctica se expresa con frecuencia la presión en altura equivalente de columna de un líquido determinado y es necesario tener una expresión matemática que sirva para convertir dicha altura en presión o viceversa. A continuación se muestra una ecuación que permite pasar fácilmente de una presión expresada en columna equivalente de de un fluido a la expresada en unidades de presión de un sistema cualquiera.

( )psiP

SG

psiPHógHP B

BBBB 39.4

31.2=⇒

×== ρ (24)

Por lo tanto, la presión de descarga PB es presión necesaria para contra restar las pérdidas por fricción hL ocasionadas por el flujo de agua en la tubería, válvulas y accesorios. La bomba se especificará así:

gpmQ

piesH B

5.3

15.10

==

La potencia hidráulica de la bomba está dada por:

( )( )( )

WattsbombaladehtoloPor

WattsHPbombaladeEficiencia

WhBh

bombaladeejealadaproporcionPotenciaBh

HPpiesgpm

Wh

bombeadofluidodelespecíficaGravedadSG

SGQHWh

P

PP

P

P

BP

12tan

5.701.0%90

009.0

009.03960

115.105.3

3960

≅⇒

→===

≡

==

≡

=

La clasificación más precisa de las bombas rotodinámicas es una clasificación numérica, asignando a toda la familia de bombas geométricamente semejantes un número, a saber, el “número específico de revoluciones o velocidad específica NS”, el cual oscila entre 35 y 1800.

45

La velocidad específica de la bomba (NS) con un motor de 1200 rpm la es:

( ) ( )rpm

pies

gpmrpm

H

QNN

B

S 39515.10

5.31200

43

43

=== (25)

3.3 SELECCIÓN DE LA BOMBA Para desarrollar el proceso de selección de la bomba de alimentación se realizó en primer lugar un análisis de las condiciones del fluido de trabajo (agua a temperatura ambiente), el cual consiste en determinar todos los datos sobre la naturaleza del líquido que transporta la bomba. Esto incluye por supuesto, las características químicas y físicas del fluido. En la Tabla 4, se muestra las características del fluido de trabajo que para nuestro caso es agua a temperatura ambiente. Tabla 4. Propiedades del fluido de proceso

CARACTERISTICAS DEL AGUA Tipo de agua Dulce Temperatura 25ºC Presión de vapor 3.169 KPa Peso específico 9.777 KN/m3 Densidad 996.95 Kg/m3 Estado Agua limpia Corrosivo No

En segundo lugar se determina el caudal de trabajo el cual es de 700 L/h, a este caudal se le aplica un factor de seguridad del 12.5% ya que este valor está dentro del rango recomendado del 5 al 50% para elegir un factor de seguridad. Al aplicar el factor de seguridad del 12.5%, el caudal requerido es entonces de 800 litros por hora. Con este caudal se realiza el diseño de los demás equipos de proceso como el intercambiador de calor, la torre de enfriamiento, el calentador eléctrico y el sistema de tubería. Luego se seleccionó la cabeza o altura a la que la bomba debe bombear el fluido de trabajo, la cual es de 80 cm y tubería de 3/8 pulg, con estos datos se determina la carga total sobre la bomba. Para este sistema se establece que por economía y simplicidad de operación la bomba debe ser de tipo centrífuga y a demás sumergible para facilitar el mantenimiento de la misma ya que siempre ésta va a estar cebada, y además se evita la cavitación.

46

La bomba seleccionada es del tipo de bomba centrífuga y sumergible. Esta es una bomba pequeña que según los datos que suministra el fabricante da un caudal de 100 a 800 L/h y opera a una cabeza máxima de 1.4 m. La Tabla 5, muestra las características técnicas de la bomba. Tabla 5. Características técnicas de la bomba de alimentación

FICHA TECNICA DE LA BOMBA DE ALIMENTACION Marca SHOTT Modelo 11.10/800-1 Sumergible Sí Tipo Centrífuga Tensión 110 V / 60 Hz Potencia 12 Watt Rata de Flujo 100 – 800 L/h Cabeza Máxima 1.4 m Peso 0.5 Kg Altura 75 mm Ancho 64 mm Largo 85 mm Límites de Aplicación Temperatura máxima del agua 35 ºC Temperatura mínima del agua 4 ºC Profundidad máxima de inmersión 1 m Profundidad mínima de inmersión 5 cm

SHOTT. Internacional S.r.I. 11.10/800-1 sub pumb. La Tabla 5, muestra a demás de las características técnicas de la bomba los límites de aplicación a tener en cuenta para el buen uso de este dispositivo de bombeo (en el Anexo B, se muestra el catálogo del fabricante de la bomba de alimentación). A continuación se presenta una prueba de laboratorio que se le realizó a la bomba para determinar si cumple con los datos suministrados por el fabricante. 3.3.1 Prueba caudalimétrica. La bomba de alimentación es del tipo rotodinámica sumergible. Para la prueba, se midió el volumen en litros que proporciona cada una de las posiciones del regulador manual de caudal a una cabeza de 80 cm y a intervalos de 10 segundos durante 2 minutos. La prueba de laboratorio se realizó a una temperatura ambiente promedio de 22.5 ºC y la temperatura del agua contenida en el tanque fue de 19 ºC. La prueba de laboratorio, muestra que el volumen de llenado es directamente proporcional al tiempo de llenado, lo cual se puede observar en las gráficas de volumen contra tiempo de las siguientes figuras. Estas gráficas se basan en los datos de las Tablas (4 y 5), en donde se realizó dos gráficas, denominadas gráfica de volumen continuo vs tiempo y gráfica de volumen vs tiempo.

47

En la primera gráfica llamada volumen versus tiempo se hace un análisis del volumen de agua bombeado en cada intervalo de tiempo con el fin de observar las variaciones de la curva de flujo en los diferentes intervalos de tiempo, siendo cada intervalo de tiempo de 10 segundos; la segunda gráfica denominada volumen continuo versus tiempo analiza el cambio del volumen de agua bombeado por la bomba a medida que transcurre el tiempo el tiempo. La duración de la prueba para cada posición del regulador de flujo de succión tiene un tiempo total de de dos minutos. Esta es la posición más importante del análisis, ya que es la posición que da el máximo flujo de operación, es decir, no existe restricción de flujo de ninguna clase en el orificio de succión. La Figura 13, muestra la gráfica de volumen contra tiempo, en esta gráfica se muestra el comportamiento de la curva de flujo en relación al volumen de agua bombeado en cada uno de los intervalos de tiempo. Figura 13. Curva de flujo En la Figura 13, se observa que el máximo volumen de agua bombeado se da al principio de la operación de la bomba, esto es en el intervalo de tiempo de 0 a 10 segundos. En este intervalo de tiempo la bomba suministra un volumen de 1.37 litros, mientras que en el resto de intervalos de tiempo el suministro de agua se mantiene constante a un volumen de 1 litro a excepción del intervalo de 20 a 30 segundos donde se aprecia una leve caída de la curva de flujo, esto debido a que el motor de la bomba en este instante de tiempo trata de equilibrar la velocidad de operación. Durante los primeros 10 segundos la bomba bombea 370 ml más que en el intervalo de tiempo restante, es decir, de 10 a 120 segundos. Este pico que se presenta al inicio de la gráfica y considerando que se trabaja con el máximo caudal, se debe a que el motor de la bomba como todo motor eléctrico, al inicio de su operación consume una mayor potencia eléctrica debido a que en los primeros segundos de operación se debe vencer la inercia del sistema y luego de vencer dicha inercia el motor alcanza su velocidad nominal. Generalmente un motor eléctrico sin carga alcanza su velocidad nominal a los 3 segundos, es decir, que un motor eléctrico con carga como el que acciona la bomba hidráulica se demora unos segundos más en alcanzar la velocidad nominal. Una vez alcanzada la velocidad nominal

48

del motor que acciona la bomba y teniendo en cuenta que no hay restricción de flujo en el orificio de succión, se puede apreciar que el flujo permanece constante con el transcurso del tiempo, esto refleja una velocidad constante del motor y un área de succión de geometría regular (totalmente redonda) y libre de toda clase de restricciones. En la Figura 14, se muestra la gráfica de volumen continuo contra tiempo, se le denominó a está gráfica con el nombre de volumen continuo no sólo para diferenciarla de la gráfica de la Figura 13, si no, por que en esta gráfica se tiene en cuenta la suma del volumen de agua que se tiene con el paso del tiempo, es decir, se muestra el comportamiento de la curva de flujo a medida que se incrementa el tiempo. Figura 14. Flujo continúo En la gráfica de la Figura 14, se puede apreciar claramente la linealidad del comportamiento del flujo a medida que transcurre el tiempo. En esta posición se puede ver la calidad de la bomba en lo que a diseño se refiere ya que tiene un comportamiento de operación ideal. La gráfica muestra dos líneas, la línea negra representa la curva de flujo obtenida de los datos de laboratorio y la curva roja representa la tendencia que tiene la curva de flujo, en este caso las dos curvas se comportan exactamente igual, es decir de forma lineal. Con una gráfica como la de la Figura 14, se demuestra que el volumen de agua bombeado es directamente proporcional al tiempo transcurrido. El volumen de agua generado durante dos minutos es de 12.4 litros, lo cual equivale a un caudal de 0.103 Lts/s ó 372 Lts/h; lo que se acerca a los datos que suministra el fabricante, el cual dice que a una cabeza de 80 cm y con la bomba operando al máximo flujo, el caudal suministrado por la bomba es exactamente de 400 Lts/h, es decir que la bomba tiene un rendimiento del 93%. El comportamiento de la curva de flujo presenta una linealidad del 100% al mantener todos los puntos de datos sobre la curva de tendencia lineal representada con color rojo.

49

4. DIMENSIONAMIENTO DEL CALENTADOR ELÉCTRICO El calentador eléctrico es de acero inoxidable de calibre 18, el cual representa aproximadamente 1.2 cm de espesor, suficiente para las características del proceso a trabajar. 4.1 TIEMPO DE RESIDENCIA Este es el tiempo que se tarda en reemplazar el volumen del líquido en el calentador (VT), con una cantidad igual de líquido nuevo.

in

TR F

Vt = (26)

Para el diseño del calentador, el tiempo de residencia asumido es cercano a los tiempos utilizados en el manejo de procesos relativamente lentos.

utotR min1=

Se trabaja con condiciones máximas de operación, es decir, con el máximo flujo de entrada.

gpm

V

F

Vt C

in

CR 5.3

min1 === LtsgalVC 145.3 ≅= (27)

Un recipiente vertical soportado por una estructura, con agitación mecánica puede guardar una proporción entre el diámetro y altura, tal que:

Cdh 5.1= (28)

( )375.00132.04

5.1

4333

2

CCC

C dmdd

hV πππ =⇒

==

mmhmdC 40.033.022.0 ≈=⇒=

50

Por lo tanto, las medidas del calentador eléctrico serán:

LtsV

cmmh

cmmd

C

C

20

4040.0

2525.0

===

==

En condiciones de flujo máximo, el calentador eléctrico se llenará en un tiempo de residencia tR.

seggpm

gal

F

Vt

in

TR 90min5.1

5.3

3.5 ≈=== (29)

El volumen del calentador eléctrico calculado es la suma del porcentaje de seguridad asumido en un 15% sobre el volumen de trabajo normal.

LtsgalVVVV CtCtCtC 5.176.4%15 ≈=⇒+= (30) Con el volumen VCt el nivel de operación ht del calentador eléctrico será.

( ) cmmhhmhV tttC 2523.0)4225.0(017.04225.0 333 ≅=⇒=⇒= ππ (31) El proceso de control de nivel más simple que se puede manejar para la estructura planteada, es el proceso de nivel autorregulado, es decir, que el flujo de salida es igual al de entrada sin acción de ningún control. Pero por razón de seguridad se aplica un control de nivel on–off sobre la bomba de alimentación. 4.2 TIEMPO DE CALENTAMIENTO El tiempo necesario para que el agua del calentador eléctrico alcance la temperatura de operación (100 ºC) está en función de la capacitancia térmica, la diferencia de temperatura y la potencia entregada por la resistencia eléctrica. La formula de potencia para elementos eléctricos está dado por la ley Joule, la cual establece que la cantidad de calor que se produce en un conductor al paso de una corriente eléctrica es proporcional al cuadrado de la intensidad de corriente y la resistencia del conductor. Como según se sabe, V = RI, entonces, se puede definir la potencia producida por la resistencia en términos de el voltaje y la corriente.

51

VIW = (32)

Al combinar la ley de ohm con la fórmula de potencia para elementos eléctricos se tiene dos expresiones para calcular la potencia de una resistencia.

R

VW

2

= (33)

RIW 2= (34)

Como fuente de calor se utiliza una resistencia eléctrica industrial con recubrimiento para ser sumergida en líquido de 2.75 ohmios conectada a un voltaje de 110V lo que produce 4.4 Kw de potencia y una intensidad de corriente de 40 amperios. Luego, para determinar el tiempo de calentamiento se utiliza la ecuación (35), para una temperatura máxima de operación de 100ºC y una temperatura ambiente de 25ºC.

( )W

TTHCRt aOP

60

2 −= ρπ (35)

Donde ρ es la densidad del agua a temperatura ambiente (998.2 Kg/m3 @ 20ºC), R el radio de la superficie transversal del tanque, H la altura o nivel de operación, CP el calor específico del agua a presión constante (4184 J/KgºK), 1/60 constante para convertir segundos en minutos y W la potencia eléctrica entregada por la resistencia eléctrica. Al reemplazar los datos de operación en la ecuación (35), se tiene que aproximadamente 12 minutos es el tiempo que tarda el calentador eléctrico un salto térmico de 75ºC, es decir, disponer de agua caliente a 100ºC cuando la temperatura de entrada de agua fría es de 25ºC alcanzar una temperatura de 100ºC (con el fluido a presión atmosférica). Aunque consume más potencia que un calentador tradicional, éste sólo consume energía cuando realmente se está utilizando agua caliente. 4.3 FUNCIONAMIENTO En primer lugar se cierra la válvula de retención V5 (ver Figura 1) y se abre totalmente la válvula de control. Luego, se llena el tanque del calentador eléctrico hasta su nivel de operación y se prende el elemento calefactor (resistencia eléctrica) hasta que el agua alcance el salto térmico requerido para obtener la temperatura de saturación del agua (a.n.m.). Una vez se ha logrado la temperatura de saturación, se procede a abrir la válvula V1 y posteriormente la válvula de retención V5 para iniciar el proceso de transferencia de calor en el

52

intercambiador de calor. El calentador eléctrico posee un termostato en cargado de mantener el agua de proceso entre 60 y 100ºC, es decir, éste se prende y apaga durante el transcurso de la operación de la planta para mantener el agua de proceso caliente, ya sea porque se abrió la válvula de control o porque se enfrió el agua que pasa por el calentador eléctrico. La pérdida de calor del calentador radica en el intercambio de calor que realiza el agua con el ambiente al tener el tanque abierto a la atmósfera. Por lo tanto, el agua que está dentro del calentador se enfría con el ambiente se esté o no usando. Para disminuir esta pérdida se utiliza una tapa para el calentador, la cual se asegura con cuatro racores. Figura 15. Diagrama eléctrico del sistema

La resistencia presenta la forma de M, con el fin de tener una distribución uniforme del calor y evitar el calentamiento mayor de determinadas zonas. Los terminales de la resistencia están conectados a un termostato, un voltímetro y un amperímetro análogos para registrar el paso de corriente y la diferencia de potencial. Donde la potencia eléctrica V*I, es igual a la transferencia de calor q. 4.4 ANÁLISIS DE FLUJO CONFINADO El agua de alimentación entra al calentador eléctrico a través de una tubería de 3/8 de pulgada de diámetro a razón de Q1 igual a 3.5 g.p.m, y sale de este por una tubería de ¼ de pulgada, es decir, el área transversal A1 de la tubería de entrada es 1.35 veces mayor que el área transversal A2 de la tubería de salida. El líquido fluye al tanque con una cantidad de ingreso Q1 y sale del tanque con una cantidad Q2, el líquido tiene en el tanque una cierta altura h, y como es sabido, el índice del flujo varía con la raíz cuadrada de la altura, es decir, entre mayor es la altura del líquido o nivel, más rápida es la salida del mismo; si el índice de flujo de salida no es exactamente igual al índice de flujo de entrada, el tanque puede quedar vacío si Qs > Qe, o con sobre flujo si Qs < Qe. Se asume que las velocidades en el interior de un elemento ideal de almacenamiento (tanque) son despreciables. Para esta situación es necesario utilizar el concepto de conservación de masa (la ecuación de continuidad) junto con la ecuación de Bernoulli.

53

Para ello, se considera que el fluido de trabajo circula a través de un volumen fijo (calentador eléctrico) el cual tiene una entrada y una salida como se muestra en la Figura 16. Figura 16. Calentador eléctrico

El flujo del fluido de trabajo es estable, de modo que no hay acumulación adicional de fluido dentro del volumen, por lo tanto, la razón a la que circula el fluido al interior del recipiente es igual a la razón con que fluye hacia fuera de éste (en caso contrario no se conservaría la masa). Asimismo, la ley de la conservación de la materia, requiere que:

222111 VAVA ρρ = (36)

Donde ρ es la densidad del fluido. Para el agua que es un fluido incompresible, se tiene que ρ = ρentrada = ρsalida = constante. Por lo tanto, se tiene:

2211 VAVA = ó 21 QQ = (37)

El caudal de entrada Q1 es de 3.5 g.p.m. lo que es igual a 800 litros por minuto (2,22 * 10-4 m3/s), el cual entra al calentador eléctrico a través de una tubería de 3/8 de pulgada. Luego, el caudal de salida Q2 al salir al proceso por una tubería de menor diámetro que la tubería de entrada al calentador, entonces, se tiene que el caudal de salida es igual que el de entrada; pero la velocidad del flujo de fluido será diferente tanto a la entrada como a la salida. Por lo tanto, como el área del flujo que entra es 1.35 veces mayor que el tamaño que el área de flujo de salida, entonces, se concluye que la velocidad en la salida es 1.35 veces mayor que en la entrada, ya que V2 = A1V1 / 0.74 A1 = 1.35 V1, o sea, que la velocidad de salida del fluido es de 2.44 m/s. Una corriente de agua de diámetro d = 0.364 pulgadas (9.24 * 10-3 m) fluye de manera estable de un depósito de D = 0.21 m con un flujo Q de 3.5 g.p.m. Luego, con el valor de la velocidad de salida del calentador eléctrico anteriormente calculada, se procede a determinar la profundidad h a la que el nivel de agua permanece constante.

54

Para flujo estable, no viscoso e incompresible, la ecuación de Bernoulli aplicada entre los puntos 1 y 2 de la Figura 16, es:

2

22

21

21

1 22Z

VPZ

VP γργρ ++=++ (38)

Con las hipótesis de que P1 = P2 = 0, Z1 = h y Z2 = 0, y que la densidad para un fluido incompresible se puede considerar constante, la ecuación (38) se convierte en:

22

22

21 V

ghV =+ (39)

Para flujo estable e incompresible, la conservación de la masa requiere que Q1 = Q2, donde Q = AV. Así A1V1 = A2V2, o bien:

22

12

44VdVD

=

ππ (40)

Por lo tanto:

2

2

1V

D

dV

= (41)

Luego, al reemplazar la ecuación (41) en la ecuación (39), y despejar de ésta la altura h, la ecuación (39) se convierte en la ecuación (42).

( )[ ]G

DdVh

2

1 422 −= (42)

Finalmente, al reemplazar los valores de velocidad, diámetros internos y gravedad en la ecuación (42), se tiene que la profundidad del agua a la que ésta mantiene un nivel constante corresponde a una altura h de diseño igual a 0.3 m. Luego, el nivel de agua en el calentador eléctrico que se mantendrá durante la operación de la planta será el correspondiente a la altura h, y la altura del tanque será de 0.4 m.

55

El calentador eléctrico tiene una capacidad máxima de 14 litros (3.6 galones) y una capacidad de operación de 10.4 litros (2.7 galones) a un nivel (altura) de operación de 30 cm. Por razones de seguridad, es necesario regular el flujo del agua de alimentación para mantener el nivel de agua en la altura h (30 cm) de diseño; para ello, se ha optado por el diseño de un controlador de nivel de tipo flotador. 4.5 CONTROLADOR DE NIVEL La acción de control para el controlador de nivel es de dos posiciones, es decir, la leva como elemento de actuación sólo tiene dos posiciones fijas las cuales son simplemente encendido y apagado (On-Off), el cual actúa sobre la bomba de alimentación. El controlador de nivel es de tipo flotador. El flotador, el cual se encuentra en contacto directo con el agua de proceso tiene un movimiento vertical con una carrera de 0.2 m. El movimiento rectilíneo del flotador es transformado en movimiento circular por medio de una inversión del mecanismo de manivela-corredera de cuatro barras, donde la manivela está representada por un disco o volante, y el eje de éste está conectado a una leva. Este tipo de inversión con el eslabón 1 fijo (riel o guía) y su corredera (flotador) en translación pura, es la más común y se utiliza en motores de pistón y bombas de pistón. Esta es la encargada de accionar cada 180º un interruptor de encendido (ON) o apagado (OFF), para activar o desactivar la bomba de alimentación. En la posición del máximo caudal de operación correspondiente a un nivel de 0.3m, la leva acciona el interruptor de apagado e inmediatamente la motobomba deja de bombear agua al calentador eléctrico. Al disminuir el nivel del agua, el flotador empieza a descender y por ende el volante a girar hasta llegar a una altura de 0.1m y el volante completar un recorrido de 180º donde la leva acciona el interruptor de encendido y la bomba de alimentación inicia nuevamente la operación de bombeo y el flotador reinicia su ascenso hasta llegar a la altura de 0.3m y reiniciar el proceso ON – OFF. El volante o disco tiene un diámetro igual a la carrera (20 cm), el seguidor que hace las veces de biela en un motor de pistón tiene una longitud de 30 cm y el flotador una altura de 6 cm y un radio de 5 cm. En la Figura 16, se muestra la secuencia de funcionamiento del controlador de nivel, el cual funciona con un circuito eléctrico conmutable. La operación se inicia con la válvula de retención cerrada y el llenado de agua del calentador eléctrico. Para una altura o nivel mínimo de operación, la leva que va conectada al eje del volante acciona el interruptor de encendido (ON) y la bomba de alimentación inicia su operación de bombeo.

56

Figura 17. Circuito eléctrico conmutable

La Figura 18, muestra al flotador en la posición de mínimo nivel de operación y a la leva accionando el interruptor de encendido. Figura 18. Controlador de nivel – Posición ON

Los interruptores de encendido y apagado están conectados a un circuito eléctrico conmutable de AC, ya que la motobomba funciona con 110V de AC a 60Hz. Luego, mientras el calentador se empieza a llenar de agua, el flotador comienza su recorrido ascendente y por medio de una biela trasmite su movimiento rectilíneo a un volante, el cual lo transforma en circular, como se muestra en la Figura 19. Figura 19. Carrera ascendente

En la Figura 19, se muestra el controlador de nivel donde el flotador empujado por el agua se encuentra en su carrera ascendente y la leva realiza un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj. También se muestran las gráficas de posición vs tiempo para el volante, la leva y el flotador, donde el volante y la

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leva presentan igual comportamiento al estar los dos conectados a un mismo eje. El flotador presenta un comportamiento sinusoidal, esto debido a su movimiento intermitente de subida y bajada. Una vez, el flotador ha realizado su carrera de ascenso completa, es decir, ha recorrido 0.2m, y a su vez la leva realiza un giro de 180º, entonces, ésta acciona el interruptor de apagado con el cual se da la orden a la bomba de alimentación de suspender la operación de bombeo, como se muestra en la Figura 20. Figura 20. Controlador de nivel – Posición OFF

En esta posición, se suspende el suministro de agua y al abrir las válvulas de retención y control una vez alcanzada la temperatura de saturación del agua, el nivel de ésta empieza a descender y la leva continua nuevamente su giro hasta completar otro giro de 180º y reiniciar el ciclo, como se muestra en la Figura 21. Figura 21. Carrera descendente

Hay que diferenciar la función del controlador de nivel y la del indicador de nivel. En el primero, la función es la de controlar o mantener el nivel del agua a una altura o nivel menor o igual al nivel de referencia establecido (a una altura no mayor a 0.3 m, no menor a 0.1 m), y en el segundo, la función es la de indicar mediante la luz emitida por un led el nivel del líquido contenido en el recipiente.

58

5. DISEÑO DE INTERCAMBIADORES DE CALOR En este capítulo se presenta el procedimiento básico de diseño de dos intercambiadores de calor, en los cuales se tratan aspectos relacionados con la primera ley de la termodinámica y la transferencia de calor por convección, así como también los criterios para la selección de tubería del intercambiador de calor. Los intercambiadores de calor son de tipo serpentín, por los cuales circula el fluido del proceso (agua caliente), por fuera de éste circula el fluido de enfriamiento. Las condiciones de diseño de los intercambiadores de calor se basan en condiciones extremas de operación de la planta. En el primer intercambiador se realza el control de temperatura; mientras el segundo, se utiliza únicamente para disminuir el agua de proceso a una temperatura no mayor a 30ºC. Esto debido a que el agua de proceso se utiliza para realimentar el sistema y la bomba de alimentación opera a una temperatura máxima de 35ºC. 5.1 INTERCAMBIADOR DE CALOR DE CONTROL Este es el primer intercambiador que se encuentra en la línea de proceso, al cual se le realiza el control de temperatura, por esta razón se lo denomina intercambiador de calor de control. Las condiciones máximas de operación del intercambiador de calor de control se muestran en la Figura 22. Figura 22. Intercambiador de calor de control

El fluido entra a la línea de proceso bajo las siguientes condiciones de operación. En el Anexo C, se registra los valores de la densidad del agua en función de la temperatura a presión atmosférica.

CTCT

mKggpmQ

º60º100

8.9715.3

21

3

==== ρ

59

Se sabe que el flujo másico está dado por:

sKgmQm PP 21.0=⇒×= && ρ (43) 5.1.1 Balance de calor. Para encontrar las propiedades térmicas del fluido de proceso, se estima una temperatura promedio Tc, donde:

( )C

CTTTC º80

2

º60100

221 =+=

+= (44)

Como se mencionó anteriormente, la temperatura máxima T1 en el calentador eléctrico es de 100ºC, la cual fue escogida por ser este valor la temperatura de saturación a presión atmosférica, ya que la planta operará a presión atmosférica estimada en 101 KPa. Propiedades Térmicas del Agua de Proceso a 80ºC.

2.2

º108.669

108.351

º4.4197

3

26

=×=×=

=

−

−

r

P

P

KmWk

mNS

KKgJC

µ

La transferencia de calor que se requiere del intercambiador de calor para el proceso de enfriamiento se calcula utilizando la ecuación de enfriamiento de Newton.

( )21 TTcmq PP −= (45) Para determinar la transferencia de calor se elige el volumen ocupado por el agua de proceso dentro del serpentín como volumen de control, tal como se ilustra en la Figura 23. Figura 23. Volumen de control

60

Por lo tanto, la transferencia de calor del agua de proceso al agua de enfriamiento es:

( ) KWCKKg

J

s

Kgq 35258º60100

º4.419721.0 =−

=

De haber elegido el volumen ocupado por el agua de enfriamiento como volumen de control, se habría obtenido el mismo resultado con signo opuesto, ya que el calor ganado por el agua de enfriamiento es igual al calor perdido por el agua de proceso. Dado que la transferencia de calor es la misma tanto para el fluido de proceso como para el fluido de enfriamiento, entonces, se puede emplear la ecuación de enfriamiento de Newton con las condiciones del fluido de enfriamiento para determinar el flujo másico de agua de enfriamiento requerido para absorber la carga térmica liberada por al agua de proceso.

( ) ( )( ) sKgCCKKgJ

W

TTc

qm

PP 84.0

º25º35º4.4178

35258

34

=−

=−

=& (46)

La tubería seleccionada para el intercambiador de calor está compuesta por tubos de aluminio de ½” calibre 20 BWG. Se elige al aluminio como el material de los tubos del serpentín debido a que éste es el que menor resistencia térmica ofrece. Tabla 6. Resistencia térmica R, h-pie2-ºF/Btu. Por pulgada de espesor

Material R, por pulgada Aluminio 0.0007 Concreto (arena y grava) 0.08 Cobre 0.004 Fibra de vidrio 3.1 Acero 0.003 Uretano, expandido 5.9

PITA, Edward G. Principios y sistemas de refrigeración. México: Limusa, 2004. p. 130. En la Tabla 7, se muestran las especificaciones técnicas del tubo seleccionado para el intercambiador de calor.

61

Tabla 7. Características técnicas del tubo de ½” calibre 20 BWG

Diámetro exterior 0.5 in Diámetro interior 0.43 in Espesor de la pared 0.035 in Área de flujo por tubo 0.145 in2 Superficie exterior por pie lineal 0.1309 ft2

Superficie interior por pie lineal 0.1125 ft2 DONALD Q, Kern. Procesos de transferencia de calor. México: Continental S. A,1974. p. 948. Los tubos se pueden obtener en diferentes gruesos de pared, definidos por el calibrador Birmingham para alambre, que en la práctica se refiere como calibrador BWG del tubo. Estos tubos para intercambiador se encuentran disponibles en varios metales, los que incluyen acero, cobre, admiralty, metal Muntz, latón, 70-30 cobre-níquel, aluminio-bronce, aluminio y aceros inoxidables. Los tubos para intercambiador de calor también son conocidos como tubos para condensador y no se deben confundir con tubos de acero u otro tipo de tubería obtenida por extrusión a tamaño normal de tubería de hierro. El diámetro exterior de los tubos para condensador o intercambiador de calor, es el diámetro exterior real en pulgadas dentro de tolerancias muy estrictas. Los tubos de ¾ y de 1 pulgada de diámetro exterior son los más comunes en el diseño de intercambiadores de calor. La longitud total del tubo que se requiere se puede obtener de la ecuación (47).

MLS TFUAq ∆= (47) Donde: U es el coeficiente global de transferencia de calor AS el área superficial del tubo F el factor de corrección para un intercambiador de calor ∆TML es la diferencia de temperatura media logarítmica para el fluido de proceso.

62

El coeficiente global de transferencia de calor U, está dado por:

+

=

OI hh

U11

1 (48)

Donde hi es el coeficiente de transferencia de calor por convección para el fluido de proceso o fluido interno, o sea, el agua que circula por dentro de serpentín del intercambiador de calor, se expresa en unidades de [W/m2ºK] para el S.I, y hO es el coeficiente de transferencia de calor por convección para el fluido de enfriamiento o fluido externo. Para utilizar la ecuación (47), es necesario primero dar solución a la ecuación (48), y para ello es indispensable realizar un análisis de flujo interno y otro de flujo externo con el fin de calcular los coeficientes de transferencia de calor por convección del fluido de proceso y del fluido de enfriamiento hi y hO, respectivamente. 5.1.2 Análisis de flujo interno. Para obtener hi se debe calcular en primera instancia el número de Reynolds ReD, para saber el comportamiento del fluido durante la operación de proceso.

N

mm P=1

(48)

La ecuación (48), determina el flujo másico de agua de proceso por tubo m1; donde N representa el número de tubos del banco y mP el flujo másico total del fluido de proceso que entra al intercambiador de calor. Reemplazando los datos del fluido de proceso y las características técnicas de la tubería en la ecuación (48), se tiene:

seg

KgsKgm 21.0

1

21.01 ==

Para calcular el número de Reynolds, se tiene la siguiente expresión:

697004 1 =⇒= eD

IeD R

D

mR

πµ (49)

63

Por lo tanto, se tiene que el agua de proceso tiene un comportamiento turbulento. Dado que el flujo del agua de proceso se comporta de forma turbulenta, entonces, se pueden usar las correlaciones de convección para flujo turbulento en tubos circulares. Debido a que un análisis de flujo turbulento es muy complejo, entonces se hace énfasis en la determinación de las correlaciones empíricas, una de estas expresiones es la ecuación propuesta por Dittus-Boelter2 para calcular el número de Nusselt NuD tal como se muestra en la ecuación (50).

nreDUD PRN 5

4023.0= (50)

Donde n= 0,4 para calentamiento (TS > Tm) con TS que es la temperatura de la superficie externa del tubo y Tm la temperatura promedio del fluido, y 0,3 para enfriamiento (TS < Tm). Estas consideraciones se hacen confirmando de forma experimental las siguientes condiciones:

≥

≥≤≤

10

000.10

1607.0

D

L

R

P

eD

r

Luego, como las condiciones en estudio cumplen los anteriores requerimientos, entonces, es factible utilizar la ecuación (50) para calcular el número de Nusselt. Por lo tanto, el número de Nusselt NuD para el proceso de enfriamiento es 231. Aunque la ecuación (50), se aplica fácilmente y es ciertamente satisfactoria para propósitos académicos, errores tan grandes como del 25% pueden resultar de su uso. Tales errores se pueden reducir a menos del 10% mediante el uso de correlaciones más recientes, pero por lo general más complejas. Una correlación que se usa ampliamente y se atribuye a Petukhov3, es de la forma:

( )

−+

=1

87.1207.1

8

32

r

reDUD

Pf

PRfN

(51)

2ICROPERA, Frank; DE WITT, David. Fundamentos de transferencia de calor. 4 ed. México: Prentice Hall, 1996. p.445. 3 Ibid., p. 445.

64

Donde el factor de fricción f se puede obtener del diagrama de Moody o, para tubos suaves de la ecuación (52). La correlación es válida para:

<<

≤≤

000.000.510

20005.04

eD

r

R

P

El factor de fricción f para tubos suaves y que cumplen las anteriores condiciones, se da en la siguiente expresión:

( )[ ] 019.064.179.0 2 =⇒−= − fRLnf eD (52)

Debido a que el número de Reynolds calculado con la ecuación (49), es igual a 69700, o sea, 69 x 103, entonces, el número de Reynolds calculado no entra en las condiciones requeridas para usar la ecuación (51). Para obtener concordancia con los datos para números de Reynolds pequeños, Gnieslinski modificó la correlación de la ecuación (51), y propuso una expresión de la forma:

( )( )

−+

−=1

87.121

10008

32

r

reDUD

Pf

PRfN

(53)

Donde para tubos lisos, el factor de fricción f de nuevo está dado por la ecuación (52). La ecuación (53), es válida para las siguientes condiciones:

<<≤≤

000.000.53000

20005.0

eD

r

R

P

El número de Nusselt calculado con la ecuación (53), la cual es la más indicada para el diseño del intercambiador de calor, se tiene que es igual a 248. El número de Nusselt calculado por medio de la ecuación (53) es más grande que el número de Nusselt calculado en la ecuación (50), lo cual indica que la transferencia de calor por convección en el interior del tubo es más grande que lo que se predecía inicialmente al basarnos en la ecuación (50).

65

Con el número de Nusselt, se puede determinar el coeficiente de transferencia de calor por convección hi del fluido de proceso en el interior de la tubería utilizando la siguiente expresión:

KmWhD

KNh i

I

UDi º15248 2=⇒= (54)

5.1.3 Análisis flujo externo. Es necesario una fuente o foco frío que permita extraer el calor del conjunto. El medio ideal es utilizar agua a temperatura ambiente que rodee la tubería del serpentín, para provocar una transferencia de calor. El intercambiador de calor se compone de una tubería sin aislamiento, la cual se encuentra rodeada de agua de enfriamiento a 25ºC. El diámetro exterior DE de la tubería es de 0.5 in con una temperatura superficial de 100ºC. La pérdida de calor por convección con el agua de enfriamiento es de 35.2 KW. El agua de enfriamiento entra al intercambiador por una tubería de acero galvanizado de 1 pulgada (DI = 2 cm) a una velocidad de 9 m/s, 25ºC y 0.84 Kg/s. La temperatura promedio del fluido de enfriamiento es de 27ºC, a esta temperatura se evalúa las propiedades del fluido de enfriamiento.

KmWK

P

mNS

mKg

CaAgua

r

º10613

83.5

10855

35.996

º27

3

26

3

−

−

×=

=×=

=µρ

Para el tubo, la longitud característica es el diámetro exterior D, y el número de Reynolds es:

798000ReRe =⇒= DD

VD

µρ (55)

Para calcular el número de Nusselt, se utiliza la correlación para Pr≥0.6.

3328PrRe15.1 3121

=⇒= DDD NuNu (56)

66

El coeficiente de transferencia de calor por convección, se puede obtener utilizando la correlación empírica de Hilpert, ecuación (54).

KmWhD

KNuh D

O º16062=⇒=

El valor encontrado para el coeficiente de transferencia de calor por convección para el flujo de enfriamiento se encuentra dentro del rango de valores típicos de transferencia de calor por convección para líquidos en convección forzada proporcionados por la Tabla 8. Tabla 8. Valores típicos del coeficiente de transferencia de calor por convección

Proceso h (W/m2ºK) Convección libre Gases 2 – 25 Líquidos 50 - 1000 Convección forzada Gases 25 – 250 Líquidos 50 – 20000 Convección con cambio de fase Ebullición o condensación 2500 - 100000

ICROPERA, Frank; DE WITT, David. Fundamentos de transferencia de calor. 4 ed. México: Prentice Hall, 1996. p. 8. Una vez encontrados los valores para los coeficientes de transferencia de calor por convección hO y hi, para los fluidos externo e interno respectivamente, se calcula el coeficiente global de transferencia de calor U.

Km

WU

º7822

16062

1

15248

11

2=

+

=

El factor de corrección F que aparece en la ecuación (47), se puede obtener de la Figura 24, donde:

1.010060

3525

12

43 =−−=

−−=

TT

TTR (57)

5.010025

10060

13

12 =−−=

−−=

TT

TTP (58)

67

Con los valores R y P se va a la Figura 24, donde se halla el factor de corrección F aproximadamente igual a 1. Figura 24. Factor de corrección para intercambiador de calor de coraza y tubo con una coraza

ICROPERA, Frank; DE WITT, David. Fundamentos de transferencia de calor. 4 ed. México: Prentice Hall, 1996. p. 592. La temperatura de un fluido en un intercambiador de calor está en continuo proceso de cambio, y por consiguiente la diferencia de temperatura entre los dos fluidos no es constante, ya que la temperatura del fluido cambia con mayor rapidez al principio, y luego más gradualmente. Por lo tanto, es necesario trabajar con una diferencia de temperaturas promedio apropiada, la cual es la diferencia de temperatura media efectiva para la transferencia de calor, conocida también como la diferencia de temperaturas media logarítmica ∆TML.

∆∆

∆−∆=∆

1

2

12

T

TLn

TTTML

(59)

Donde:

( ) CCTTT º35º2560321 =−=−=∆

( ) CCTTT º70º30100412 =−=−=∆ Reemplazando los valores de las temperaturas en la Ecuación (59), se tiene.

C

Ln

TML º50

30

65

3065=

−=∆

68

Una línea de tubería conduce el agua a través del tanque del intercambiador de calor, ésta tiene pared delgada de 0.0109 m de diámetro, y ha sido dispuesta para efectuar nueve pasos. Por lo tanto, la longitud de la línea de tubería que se requiere para lograr el enfriamiento del agua especificado es:

( )( ) mmKmW

W

TFDUN

qL

MLI

6.2500.10109.0º7822

352582

=××

=∆

=ππ

(60)

Al aplicar la relación L/DI > 10 para flujo turbulento con L=2.6 m se tiene que la relación es de 238.5, luego se justifica la suposición de condiciones completamente desarrolladas a lo largo del tubo. Con nueve pasos, la longitud de cada tramo del tubo LT se reduce utilizando la siguiente expresión, donde M es el número de pasos de la tubería.

mLmm

M

LL TT 3.029.0

9

.6.2 ≅→=== (61)

5.1.4 Sistema de aletas de los tubos. Para mejorar la transferencia de calor, se diseña un sistema de aletas exteriores longitudinales de 20 cm de longitud en la sección central de cada tubo. Este sistema consta de cuatro aletas por tubo espaciadas a 90º, no sólo se diseña con el propósito de aumentar el área superficial de transferencia de calor, sino también con el objetivo de aumentar la turbulencia del fluido exterior al tener este que atravesar el sistema de aletas, con lo cual se mejora la transferencia de calor del intercambiador. Las aletas del banco de tubos son de aluminio 2024-T6. La temperatura de la superficie del tubo TS se estima en 100ºC, esto se debe a que el tubo es de pared delgada. La temperatura del fluido de enfriamiento TR que rodea el tubo es de 25ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección hO (16062 W/m2ºK) para el fluido de enfriamiento calculado en la ecuación (54). Para hallar la conductividad térmica del material de la aleta, es necesario trabajar con la temperatura promedio de operación TP, la cual se expresa de la siguiente forma.

( )

KKTT

T SRP º5.335

2

º373298

2=

+=

+= (10.21)

A esta temperatura, se tiene que la conductividad térmica K para el aluminio 2024-T6 es de 178.6 W/mºK.

69

El tubo tiene una longitud H de 25cm y diámetro D de 0.0127m. Cada aleta tiene un espesor t de 6 mm, una longitud L de 20mm y un ancho w de 200mm. Las aletas son de tipo rectangular. El acotado del sistema de aletas de refrigeración se puede apreciar en la Figura 25, en la cual se muestra el tubo en una sección de corte y el isométrico con su sistema de aletas de refrigeración. Figura 25.Tubo con aletas refrigerantes

Con las aletas instaladas, la transferencia de calor está dada por la ecuación (62).

( ) bft

ftO A

NAAhq θη

−

−= 11 (62)

Donde: Af es el área de la superficie de la aleta At es el área de la superficie total ho es el coeficiente de transferencia de calor del fluido refrigerante N es el número de aletas ηf es la eficiencia de la aleta θb es la diferencia de temperatura de la base de la aleta El área de la superficie de la aleta Af está dada por la siguiente expresión.

Cf wLA 2= (63)

70

Donde w es el ancho de la aleta y LC es la longitud de la aleta corregida. La ecuación (64), muestra la expresión para calcular LC.

mm

mt

LLc 023.02

006.002.0

2=+=+= (64)

Ahora con LC, se puede calcular la superficie de la aleta Af de la ecuación (63).

( )( ) 20092.0023.02.02 mmmAf ==

De la gráfica de la Figura 26, se tiene las ecuaciones (65) y (66) para hallar la eficiencia de la aleta ηf.

( )p

oC KA

hL 2/3 (65)

tLA cp = (66)

Figura 26. Eficiencias de las aletas rectas (perfiles rectangular, triangular y parabólico)

ICROPERA, Frank; DE WITT, David. Fundamentos de transferencia de calor. 4 ed. México: Prentice Hall, 1996. p.123. De las ecuaciones (65) y (66), se tiene que AP es 0.00014m2 y la relación de la Ecuación (65) es igual a 1.8, con estos resultados se va a la gráfica de la Figura 26, y se tiene que la eficiencia de la aleta es aproximadamente del 40%.

71

El área de la superficie total At está dada por la ecuación (67), donde R1 es el radio exterior del tubo.

( ) 21 048.02 mNtHRNAA ft =−+= π (67)

Otra manera de hallar la eficiencia de una aleta es utilizando la Ecuación (68), para una aleta tipo rectangular.

( )C

Cf mL

mLtanh=η (68)

Donde tanh es la función trigonométrica tangente hiperbólica y el factor m está dado por la ecuación (69).

P

CO

KA

Lhm

2= (69)

De la ecuación (69), se tiene que el factor m es 110.4. Al reemplazar el valor de m en la ecuación (68), se tiene que la eficiencia de la aleta ηf calculada de la ecuación 10.29, es del 39%. Por consiguiente, se puede observar que los valores de la eficiencia ηf para la aleta son casi iguales, por lo tanto se trabaja con la mayor eficiencia, hallada por la gráfica de la Figura 26, correspondiente a ηf = 0.40, o sea, una eficiencia del 40%. La diferencia de temperatura de la base de la aleta θb está dada por la ecuación (70). De tal forma que θb es:

( ) CCTT RSb º75º25100 =−=−=θ (70) Ahora se puede utilizar la ecuación (62), para hallar la transferencia de calor para cada tramo de la línea de tubería.

( )( ) ( ) ( ) ( ) KWKm

mm

KmKWqt 31º754.01

048.0

0092.041048.0

º16

2

22

2 =

−

−=

72

En la Figura 27, se muestra el prototipo del banco de tubos con su respectivo sistema de aletas, éste tiene forma de serpentín se y consta de nueve tubos y ocho codos de 180º. Figura 27. Banco de tubos del intercambiador de calor de control

5.1.5 Sistema de aletas de la carcasa. Para la carcasa del intercambiador de calor se diseña un sistema de aletas hechas en el mismo material de las aletas de los tubos, o sea, en acero inoxidable AISI 316. El diseño se hace con el fin de evacuar el calor acumulado en el interior del intercambiador al exterior, y con ello reducir la temperatura del fluido refrigerante a la salida del intercambiador. Para el presente análisis, se utiliza aire como fluido de enfriamiento, el cual se encuentra a temperatura ambiente estimada en 25ºC y se ha supuesto un coeficiente de transferencia de calor por convección h de 100 W/m2ºK. El valor del coeficiente convectivo h para el aire, se supuso basado en el valor de h más utilizado por los textos de transferencia de calor en sus problemas y ejemplos a condiciones ambiente y de convección libre para el flujo de aire; esto se hace debido a que en los libros, manuales técnicos y conferencias, no se cuenta con valores de h tabulados para el aire y las fórmulas proporcionadas para hallar el valor de h para flujo de aire, se dan en condición de convección forzada. El análisis se hace para la seccione transversal y longituinal. Para temperatura en la superficie de la carcasa se supone un valor máximo de 63ºC. • Sección transversal. Las aletas al igual que la carcasa son de acero

inoxidable AISI 316. La temperatura de la superficie de la carcasa TS se estima en 63ºC. La temperatura del aire de enfriamiento TR que rodea la carcasa es de 25ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección h para el aire a 25ºC se estima en 100 W/m2ºK. La conductividad térmica del acero 316 a 336ºK es K = 14 W/mºK.

73

La carcasa tiene una longitud H de 80 cm. Cada aleta tiene un espesor t de 10 mm, una longitud L de 20 mm y un ancho w de 100 mm. Las aletas son de tipo rectangular.

Con las aletas colocadas, la transferencia de calor está dada por la ecuación (62). El área de la superficie de la aleta Af está dada por la siguiente expresión.

Cf wLA 2= (71)

La ecuación (64), muestra la expresión para calcular LC, la cual se tiene que es 0,025 m. Ahora con LC, se puede calcular la superficie de la aleta Af de la ecuación (71). Luego, el área de la superficie de la aleta Af es 0,005 m2. De la gráfica de la Figura 26, se tienen las expresiones para hallar la eficiencia de la aleta ηf. De las ecuaciones (65) y (66), se tiene que AP es 0.00025m2 y la relación de la Ecuación (65) es igual a 0.67, con estos resultados se va a la gráfica de la Figura 26, y se tiene que la eficiencia de la aleta es aproximadamente del 68%. El área de la superficie total At está dado por la ecuación (72), donde R1 es el radio exterior del tubo.

( )NtHwNAA ft −+= 2 (72)

De la ecuación (72), se tiene:

( ) ( )( ) 22 2.001.0138.01.02005.013 mmmmAt =×−+= De la ecuación (69), se tiene se tiene que el factor m es 38. Al reemplazar el valor de m en la ecuación (68), se calcula una eficiencia de la aleta ηf del 78%. Por consiguiente, se puede observar que los valores de la eficiencia ηf para la aleta tienen una diferencia apreciable, por lo tanto se trabaja con una eficiencia promedio ηfP del 73%. De la ecuación (70), se tiene que la diferencia de temperatura de la base de la aleta θb es 38ºK.

( ) KKb º38º298336 =−=θ

74

Al utilizar la ecuación (62), para hallar la transferencia de calor para cada tramo de la tubería, se tiene que la transferencia de calor con aletas por tubo qt es 6.9 KW. • Sección longituinal. La carcasa tiene una longitud H de 80 cm. Cada aleta

tiene un espesor t de 10 mm, una longitud L de 20 mm y un ancho w de 300 mm. Al utilizar la ecuación (64), se tiene Lc es 0,025 m. Ahora con LC, se puede calcular la superficie de la aleta Af de la ecuación (63).

( )( ) 2015.0025.03.02 mmmAf ==

De la ecuación (67), se tiene que:

( ) ( )( ) 22 6.001.0138.03.02015.013 mmmmAt =×−+=

Al utilizar la ecuación (62), para hallar la transferencia de calor por tubo se tiene que la transferencia de calor con aletas por tubo qt es 2KW. En la Figura 28, se puede observar el modelo de la carcasa del intercambiador de calor. Figura 28. Carcasa del intercambiador de calor de control

5.1.6 Serpentín del intercambiador de calor. El serpentín permite un volumen de agua de 1.66 x 10-4m3, para una sección efectiva transversal de 9.3 x 10-5 m2 y un área de transferencia de calor 0.09 m2. En el diseño del serpentín se tiene en cuenta que este pueda evacuar el calor generado en la resistencia eléctrica, tomando el caso más crítico de suministro de energía, esto es en forma continua para una temperatura máxima de saturación del agua de proceso y una diferencia en las termocuplas de entrada y salida del intercambiador de calor no menor a 60ºC, se tiene que el flujo másico de proceso mp es 0.21Kg/s.

75

Luego, se tiene:

s

ml

s

m

mKg

sKgmQ P 216101.2

8.971

21.0 34

3≈×=== −

ρ (73)

Si la capacidad del serpentín es de 2.42 x 10-4m3 implica que una partícula de agua demora en el caso más crítico 1.2 segundos en recorrer 2.6 m del serpentín. Para cualquier otro valor menor de potencia y diferencia de temperaturas, el flujo másico será menor y por lo tanto será la velocidad de recorrido del agua lo que permite mejorar el proceso. 5.2 SEGUNDO INTERCAMBIADOR DE CALOR Para el diseño de este intercambiador de calor se utiliza las mismas ecuaciones que en el primero, ya que ambos son del mismo tipo. Este es el segundo intercambiador que se encuentra en la línea de proceso, el cual se utiliza únicamente para disminuir la temperatura del agua de proceso a una temperatura no mayor a 30ºC, ya que el agua de proceso se vuelve a utilizar como agua de alimentación y la bomba de alimentación que se encuentra sumergida en el tanque de abastecimiento opera hasta una temperatura máxima de 35ºC. Las condiciones máximas de operación del intercambiador de calor se muestran en la Figura 29. Figura 29. Segundo intercambiador de calor

El fluido entra a la línea de proceso bajo las siguientes condiciones de operación.

CTCT

mKggpmQ

º30º60

2.9905.3

21

3

==== ρ

76

Para encontrar las propiedades térmicas del fluido de proceso, se estima una temperatura promedio Tc, donde:

( )C

CTTTC º45

2

º3060

221 =+=+=

Propiedades Térmicas del Agua de Proceso a 45ºC.

92.3

º106.637

10855

º6.4179

3

26

=×=

×=

=

−

−

r

P

P

KmWk

mNS

KKgJC

µ

Por lo tanto, la transferencia de calor del agua de proceso al agua de enfriamiento es:

( ) WCKKg

J

s

Kgq 26331º3060

º6.417921.0 =−

=

El flujo másico de agua de enfriamiento requerido para absorber la carga térmica liberada por al agua de proceso.

( ) ( )( ) sKgCCKKgJ

W

TTc

qm

PP 26.1

º25º30º4179

26331

34

=−

=−

=&

La tubería seleccionada para el segundo intercambiador de calor tiene las mismas especificaciones que el primer intercambiador de calor 5.2.1 Análisis de flujo interno. Para obtener hi se debe calcular en primera instancia el número de Reynolds ReD, para saber el comportamiento del fluido durante la operación de proceso. Para seis líneas de tubería del intercambiador de calor se tiene que el flujo másico de cada línea es:

seg

KgsKg

N

mm P 035.0

6

21.01 ===

77

Para calcular el número de Reynolds, se tiene la siguiente expresión:

68304 1 =⇒= eD

IeD R

D

mR

πµ

Por lo tanto, se tiene que el agua de proceso tiene un comportamiento turbulento. El factor de fricción f para tubos suaves y que cumplen las anteriores condiciones, se da en la siguiente expresión:

( )[ ] 035.064.179.0 2 =⇒−= − fRLnf eD

Para obtener concordancia con los datos para números de Reynolds pequeños, se tiene la siguiente expresión:

( )( )51

18

17.121

10008

32

=⇒

−+

−= UD

r

reDUD N

P

PRfN

Con el número de Nusselt, se puede hallar el coeficiente de transferencia de calor por convección en el interior hi de la tubería utilizando la siguiente expresión.

KmWhD

KNh i

I

UDi º2964 2=⇒=

5.2.2 Análisis flujo externo. El intercambiador de calor se compone de una tubería sin aislamiento, la cual se encuentra rodeada de agua de enfriamiento a 25ºC. El diámetro exterior DE de la tubería es de 0.5 in con una temperatura superficial de 60ºC. La pérdida de calor por convección con el agua de enfriamiento es de 26.3 KW. El agua de enfriamiento entra al intercambiador por una tubería de acero galvanizado de 1 pulgada (DI = 2 cm) a una velocidad de 4 m/s, 25ºC y 1.26 Kg/s.

78

Las propiedades termofísicas del agua de enfriamiento son:

KmWK

P

mNS

mKg

CaAgua

r

º10613

83.5

10855

35.996

º27

3

26

3

−

−

×=

=×=

=

µρ

Para el tubo, la longitud característica es el diámetro exterior D, y el número de Reynolds es:

59600ReRe =⇒= DD

VD

µρ

Para calcular el número de Nusselt, se utiliza la correlación para Pr≥0.6.

909PrRe15.1 3121

=⇒= DDD NuNu El coeficiente de transferencia de calor por convección, se puede obtener utilizando la correlación empírica de Hilpert.

KmWhD

KNuh D

O º43889=⇒=

Una vez encontrados los valores para los coeficientes de transferencia de calor por convección hO y hi, para los fluidos externo e interno respectivamente, se calcula el coeficiente global de transferencia de calor U.

Km

WU

º2776

43889

1

2964

11

2=

+

=

El factor de corrección F que aparece en la ecuación (47), se puede obtener de la Figura 24, donde:

2.06030

3025

12

43 =−−=

−−=

TT

TTR 9.0

6025

6030

13

12 =−−=

−−=

TT

TTP

79

Con los valores R y P se va a la gráfica de la Figura 24, donde se halla el factor de corrección F aproximadamente igual a 0.85. Por otro lado, la diferencia de temperaturas media logarítmica ∆TML, es:

CTML º14=∆ Seis tubos conducen el agua a través del tanque del intercambiador de calor, cada tubo tiene pared delgada de 0.0109 m de diámetro, y ha sido dispuesto para efectuar once pasos. Por lo tanto, la longitud del tubo que se requiere para lograr el enfriamiento del agua especificado es:

( )( ) mmKmW

W

TFDUN

qL

MLI

9.31485.00109.0º2776*6*

263312

=××

=∆

=ππ

Con once pasos, la longitud de cada tramo del tubo LT se reduce utilizando la siguiente expresión, donde M es el número de pasos de la tubería.

mm

M

LLT 4.0

11

.9.3 ===

Finalmente, la disposición del banco de tubos para el segundo intercambiador de calor queda como se muestra en la Figura 30. Figura 30. Banco de tubos para el segundo intercambiador de calor con seis líneas de tubería

80

5.3 ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA TERMICA En la práctica, la suposición de una resistencia térmica ideal es razonable para un cuerpo con masa despreciable, como los materiales muy delgados o los cuerpos con volúmenes muy reducidos. El comportamiento de los materiales que almacenan energía se describe en la primera ley de la termodinámica, que afirma que “el cambio en la energía total de un sistema es igual al calor que se le transfiere, menos el trabajo realizado por el sistema”.

WQE ∂−∂=∂ (74) La energía de un sistema consiste de su energía interna U, su energía potencial P y su energía cinética K, así:

KPUE ∂+∂+∂=∂ (75) En el componente de un sistema típico ideal de energía térmica, se suponen despreciables las cantidades de trabajo, energía cinética y energía potencial.

QU ∂=∂ (76) Para un flujo consistente de calor (Q = q), la ecuación es:

qt

TC

t

U =∂∂=

∂∂ ; cmC = (77)

Donde m es la masa de la sustancia en estudio, c el calor específico a volumen constante, T la temperatura, t el tiempo y C se conoce como capacitancia calorífica, y la relación dinámica de la ecuación (77) describe el comportamiento del intercambiador de calor como capacitor térmico. Es importante aclarar que “q” representa el flujo total hacia el componente. Por lo tanto, la capacitancia térmica del intercambiador de calor está dada por:

PLCrC 2ρπ= (78)

81

Al reemplazar los valores de densidad, radio interior, calor específico y la longitud del tubo del intercambiador de calor en la ecuación (78), se tiene que el intercambiador de calor de control tiene una capacitancia térmica igual a 990 J/ºK, mientras el segundo intercambiador tiene una capacitancia térmica de 9037 J/ºK. 5.4 CAÍDA DE PRESIÓN Es importante determinar la caída de presión en el serpentín del intercambiador de calor para conocer el estado del agua de proceso a la salida de éste. La caída de presión se la determina con la válvula de control completamente abierta, es decir, se trabaja con el máximo flujo de proceso. Figura 31. Caída de presión en el serpentín

La presión del intercambiador de calor de control a la entrada del serpentín es de 103KPa, con un flujo másico de 0.21Kg/s a una temperatura promedio de 70ºC. El serpentín está compuesto por una tubería de 3.4m de longitud y 0.0109m de diámetro interno, y de 8 codos de 180º. Empleando el método de longitud de tubería equivalente y el nomograma de pérdida de carga secundaria (ver Anexo D), se tiene:

∑ =⇒=→ mLemLedecodos 6.57.0º1808

El número de Reynolds para el fluido de proceso es:

turbulentoFlujoD

mD

ID →=⇒= 69700Re

4Re

µπ&

82

Del diagrama de Moody se obtiene el coeficiente de pérdidas λ para tubería lisa igual a 0.0195, es importante aclarar que como la tubería es lisa λ no depende de la rugosidad relativa, ya que ésta es nula, es decir, el coeficiente de pérdidas está en función únicamente del número de Reynolds. Para calcular las pérdidas primarias y secundarias se utiliza la ecuación fundamental de pérdidas primarias.

( )mH

gD

LeLVH r

Ir 4.4

2

2

=⇒∑+= λ (79)

Por lo tanto, la suma total de pérdidas primarias y secundarias es de 4.4 m lo que equivale a una caída de presión de:

KPaPPPP

KPagHP r

61

42

221 =⇒−=∆

=∆Ρ⇒=∆ ρ (80)

Luego, la presión a la salida del serpentín es de 61KPa a una temperatura de 60ºC, lo que indica que el agua se encuentra como líquido comprimido ya que la presión en este punto es mucho mayor que la presión de saturación a 40ºC.

En el Anexo E, se muestran los resultados de los diferentes parámetros a calcular para determinar la longitud de la tubería de un intercambiador de calor a contraflujo bañado por el agua de enfriamiento y un intercambiador de calor de placas a contraflujo para diferentes requerimientos de la temperatura del fluido de enfriamiento. En esta hoja de cálculo de Excel, es interesante observar como varía el valor de temperatura media logarítmica así como el coeficiente global de temperatura, los cuales son factores claves para determinar la longitud del tubo del intercambiador de calor.

83

6. ESTUDIO DE LA DE LA VALVULA DE CONTROL La válvula de control es el elemento final de control más usual en una planta de proceso, ésta manipula el flujo para mantener en el punto de control la variable controlada. La válvula de control actúa como una resistencia variable en la línea de proceso; mediante el cambio de su abertura se modifica la resistencia al flujo y, en consecuencia, el flujo mismo. La válvula de control no es más que un regulador de flujo que se comporta como un orificio de área continuamente variable. 6.1 SELECCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN DE DISEÑO La válvula de control únicamente puede manejar las tasas de flujo mediante la producción o absorción de una caída de presión en el sistema, la cual es una pérdida en la economía de operación del sistema, ya que la presión la debe suministrar la bomba de alimentación. Para la selección de la caída de presión de diseño, existen varias reglas prácticas que en general especifican según dice SMITH y CORRIPIO: “La caída de presión que se lee en la sección transversal de la válvula debe ser de 20 a 50% de la caída dinámica de presión total en todo el sistema de conductos o a 10 psi, la que sea mayor”4. Para dimensionar la válvula primero se debe determinar la caída de presión en la línea de proceso entre el punto 1, a la salida del calentador eléctrico, y el punto 2, a la entrada del intercambiador de calor; dicha caída de presión se debe a pérdidas por fricción en el sistema de tubería. Como se ve en el diagrama de la Figura 32, el sistema de tubería consta de 0.6 m de tubo de ½ pulg, una válvula de cierre y un medidor de flujo. La caída de presión en la línea de proceso, ∆PP, se calcula mediante el método de longitud de tubería equivalente y se encuentra que es de 24.2 psi. Figura 32. Sistema de tubería de la línea de proceso

4 SMITH, Carlos; CORRIPIO, Armando. Control automático de procesos: Teoría y práctica. México: Limusa, 2001. p. 186-187.

84

Este método consiste en considerar las pérdidas secundarias como longitudes equivalentes, es decir, longitudes en metros de un trozo de tubería del mismo diámetro que producirá las mismas pérdidas de carga que los accesorios en cuestión. Para calcular las pérdidas secundarias se hace uso del nomograma del Anexo D, el cual consta de tres escalas y funciona uniendo con una recta el punto de la escala izquierda correspondiente al accesorio de que se trata con el punto de la escala derecha correspondiente al diámetro interior de la tubería, el punto de intersección de esta recta con la escala central da la longitud equivalente del accesorio. Tabla 9. Pérdidas secundarias de la línea de tubería

Accesorio Longitud equivalente m Válvula de cierre 0.04 Medidor de caudal 5 ∑ Longitud equivalente 5.04

Para lo cual se aplica la ecuación fundamental de las pérdidas primarias ecuación (79).

( )gD

LLVH e

r 2

2 ∑+=

λ

Donde Hr es la suma total de pérdidas y secundarias, λ (0.033) coeficiente de pérdidas del diagrama de Moody (ver Anexo F), L (0.6 m) longitud total de los tramos rectos de tubería, ∑Le suma de todas las longitudes equivalentes de los accesorios, V (3.13 m/s) la velocidad media en la tubería y D (0.0094 m) el diámetro interno de la tubería. Al reemplazar los valores de los parámetros en la Ecuación (79) se tiene que Hr es 17.6 m, lo que equivale a una caída de presión dinámica ∆PP en la línea 2 igual a 24.2 psi ó 167 KPa. Una vez conocida la caída dinámica de presión, se puede elegir la caída de presión en la válvula, ∆PV, para lo cual se elige el criterio de tener una caída de presión en la válvula igual al 25% de la caída dinámica de presión total.

25.0=∆+∆

∆

VDP

VD

PP

P (81)

Por lo tanto, la caída de presión en la válvula ∆PVD es 8 psi. Pero como se requiere una caída de presión de diseño del 25% de la caída dinámica de presión total o 10 psi, lo que sea mayor, entonces, ∆PVD = 10 psi.

85

Con los valores de la caída de presión dinámica en la línea de proceso y la caída de presión en la válvula se obtiene la caída dinámica de presión total ∆PO igual a 34.2 psi, tal como se muestra en la Figura 33.

PVO PPP ∆+∆=∆ (82) Figura 33. Sistema de tubería con válvula de control

6.2 DIMENSIONAMIENTO El dimensionamiento de la válvula de control es el procedimiento mediante el cual se calcula el coeficiente de flujo de la válvula, CV; éste método tiene bastante aceptación entre los fabricantes de válvulas. El coeficiente CV se define como la cantidad de galones que fluye por minuto a través de la válvula completamente abierta, con una caída de presión de 1 psi en la sección transversal de la válvula. Este coeficiente depende de las dimensiones internas y de la tersura de la superficie de la válvula. En los países que emplean unidades métricas se suele utilizar adicionalmente el coeficiente KV el cual está definido por la norma IEC 534 – 1987 de válvulas de control “caudal de agua (de 5 a 40ºC) en m3/h que pasa a través de la válvula a una temperatura dada y una pérdida de 1 bar”. El coeficiente KV para la válvula totalmente abierta se denomina KVS mientras que para el mínimo valor recibe el nombre de KVO. Por lo tanto, la relación KVS/KVO es la denominada rangeabilidad o campo de control que expresa la relación de caudales que la válvula puede controlar. La equivalencia entre los coeficientes CV y KV se expresa mediante las siguientes relaciones:

[ ][ ]hmCK

gpmKC

VV

VV

386.0

16.1

→=

→= (83)

86

En términos del coeficiente de dimensionamiento CV, para una válvula que trabaja con líquidos se tiene:

V

fV P

GFC

∆= (84)

Donde Gf es la gravedad específica del líquido a la temperatura en que fluye, ∆PV la caída de presión en la válvula y F el flujo volumétrico. El dimensionamiento de la válvula se debe hacer de manera tal que, cuando la válvula se abra completamente, el flujo que pase sea más grande del que se requiere en condiciones normales de operación; es decir, debe haber algo de sobré diseño en la válvula para el caso en que se requiera más flujo. Por lo tanto, se decide sobrediseñar la válvula en un factor de 2 veces el flujo que se requiere.

Vmáx CC 2= (85) Al dimensionar la válvula de control para dos veces el flujo nominal se tiene.

5.2

1

8

7 ==VmáxC

Por otro lado, se requiere una caída de presión de diseño del 25% de la caída dinámica de presión total o 10 psi, lo que sea mayor, entonces, ∆PV = 10 psi. Luego, al dimensionar la válvula para dos veces el flujo nominal se tiene.

2.2

1

10

7 ==VmáxC

Por lo tanto, se tiene que la poca caída de presión da como resultado mayores dimensiones de la válvula de control y, por tanto, mayor costo inicial, así como un decremento en el rango de operación.

87

6.3 VAPORIZACIÓN El fenómeno de cavitación aparece cuando a un líquido que fluye a través de una tubería se le estrangula el paso mediante una válvula de control de forma que éste aumenta considerablemente su velocidad, lo que conlleva a una pérdida de presión. Si esta pérdida de presión baja por debajo de la saturación del fluido, parte de éste produce burbujas de vapor que buscan zonas de mayor presión donde colapsan bruscamente. Estas zonas suelen ser la propia válvula de control y las zonas que están inmediatamente después de ella, puesto que la presión se recupera al disminuir la velocidad a su valor inicial. Figura 34. Perfil de presión

En este proceso, las burbujas de vapor forman una zona de cavitación estática que varía de longitud en función de la presión diferencial. Las implosiones de burbujas de vapor producen lo que se conoce como micro-jets (pequeñas porciones de fluido propulsadas a gran velocidad y de vida muy corta, máximo varios milisegundos). Estos causan daños y desgaste cuando golpean el cuerpo de la válvula. Figura 35. Vaporización en la válvula de control

Para evitar la vaporización se debe tener en cuenta dos aspectos; primero, si la temperatura de entrada es inferior en 2.8ºC (5ºF), a la temperatura de saturación del agua, es decir: CT º8.2≤∆ la pérdida máxima de carga admisible es:

106.0 PPVA =∆ (86)

88

La cual es la máxima caída de presión admisible en la válvula. Ahora, en el segundo caso, si la temperatura de entrada es inferior en más de 2.8ºC, a la temperatura de saturación del agua, es decir: CT º8.2>∆ la pérdida máxima de carga admisible es:

( )1

19.0

TTT

PPP

Sat

SatVA

−=∆−=∆ (87)

Donde TSat es la temperatura de saturación a la presión de entrada P1, y PSat la presión de saturación a la temperatura de entrada. Para evitar el problema de vaporización, es indispensable verificar si la caída de presión de diseño de la válvula de control es la correcta de acuerdo al método de vaporización y con este valor determinar nuevamente el tamaño de válvula a utilizar. Por consiguiente, se determina el coeficiente de la válvula que cumpla las siguientes condiciones:

( )

AguaLïquido

psiKPacmKgP

CT

absKPacmKgP

gpmhmQ

VD

MÁX

⇒

⇒⇒=∆

=⇒=

⇒=

1095.687.0

º100

72.103058.1

5.38.0

2

1

21

3

La experiencia recomienda que el caudal de diseño Q sea 25 a 30% mayor que el caudal máximo QMÁX.

( ) hmhmQQMÁX

33 18.025.125.1 === (88)

Debido a la temperatura alta hay que chequear si hay vaporización con la caída de presión de diseño de la válvula ∆PVD y con la presión de entrada P1. Para la presión de entrada se tiene de las tablas de vapor la temperatura de saturación.

( ) CCTTT

iönInterpolacCT

KPaKPacmKgP

Sat

Sat

º57.0º10057.100

º57.100

72.10307.98058.1

1

21

=−=−=∆→=

=×=

89

Por lo tanto, CT º8.2<∆ . Luego, la caída de presión máxima admisible ∆PVA es:

( ) KPacmKgcmKgPPVA 18.6063.0058.106.006.0 221 →===∆

Para evitar el fenómeno de cavitación, se selecciona la menor caída de presión en la válvula entre el ∆PVD y el ∆PVA. Por lo tanto, con 2063.0 cmKgPVA =∆ , todavía no se presenta el problema de flashing.

( )

6.416.1

4063.0

11

=→=

==∆

=

VVV

VA

fV

CKC

P

GQK

Este factor es corregido por el fabricante de la válvula en la determinación de la función de la válvula, se recomienda el uso de una válvula de bola en V para control de media pulgada, preferiblemente de igual porcentaje. 6.4 CARACTERÍSTICA DE FLUJO La relación entre el flujo que pasa por la válvula y su apertura se denomina característica de flujo. Los fabricantes de válvulas proveen lo que se denomina “característica inherente de flujo”, que es la relación caudal apertura para pérdida de carga constante, que en definitiva es la relación de CV con la apertura. Esta es una propiedad intrínseca de la válvula. La válvula seleccionada para el control del flujo de proceso de acuerdo al coeficiente CV calculado, es una válvula de control tipo bola de cuatro tornillos de cierre en v de 1/2" y de asiento simple, fabricada en acero inoxidable. Esta tiene un ángulo de abertura de 90º con un par mínimo de abertura de 15 N-m según especificaciones del fabricante. Las partes internas de la válvula son por lo general las piezas metálicas internas desmontables que están en contacto directo con el fluido. Estas piezas son el vástago, la empaquetadura, los anillos guía del vástago, el obturador (bola) y el asiento.

90

Figura 36. Válvula de control tipo bola

La Figura 37, muestra el despiece de la válvula de control tipo bola realizado en Solid Edge, en el cual se pueden observar dichas partes. Figura 37. Despiece de la válvula de control

Las válvulas de control tienen un comportamiento de caudal característico antes y otro diferente después de su instalación, el cual depende del diseño de la geometría y mecanizado del obturador de la válvula, es decir, el obturador determina la característica de caudal de la válvula. Cabe señalar que el obturador y el asiento constituyen el corazón de la válvula al controlar el caudal gracias al orificio de paso variable que forman al variar su posición relativa, y que además tienen la misión de cerrar el paso del fluido. La característica de caudal inherente tiene entre sus curvas características más significativas tres tipos: La de apertura rápida, la lineal y de igual porcentaje. Siendo las dos últimas las más importantes. Otras curvas son las parabólicas y las correspondientes a válvulas de tajadera, mariposa, Saunders, y con obturador excéntrico rotativo. La válvula seleccionada tiene una característica de igual porcentaje tal como se muestra en la Figura 38.

91

Figura 38. Característica de igual porcentaje

Para hacer la gráfica de la Figura 38, fue necesario calcar la curva de porcentaje igual en papel milimetrado de la gráfica original, luego se tomaron 19 puntos de esta gráfica y se procedió a realizar la curva característica de igual porcentaje. Dada esta curva de la característica de flujo inherente de porcentaje igual para una válvula de bola de cierre en V, y siendo consiente de que diecinueve puntos no dan una precisión absoluta, entonces, se procede a hacer una mejor aproximación en forma exponencial. La variable θ representa la posición del vástago expresada en porcentaje y la variable Q representa el porcentaje de flujo que atraviesa la válvula, obtenidos de la Tabla 10, y la curva suministrada en la Figura 38, nos podemos dar cuenta de que es razonable suponer una mejor aproximación de la forma:

( )θa

X beQ = ó ( )( ) ( ) θθ abLnQLn += (89)

Al sumar las columnas apropiadas se obtienen los datos restantes en la Tabla 10, donde las constantes a y b se determinan de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )( )( )22

ii

iii

n

QLnQLnna i

θθ

θθ

∑−∑

∑∑−∑= (90)

( ) ( ) ( )( )

( )22

2

ii

iiii

Kn

QLnQLnb i

θθ

θθθ

∑−∑

∑∑−∑∑= (91)

( )KbLnb= (92)

92

Tabla 10. Ajuste por método de Mínimos cuadrados

n θ Q Ln(Q) θ2

θLn(Q) Q(θ) 0 0.00 0.00 ------ ------ ------ ------ 1 14.30 1.43 0.36 204.49 5.11 2.83 2 28.60 5.72 1.74 817.96 49.88 5.24 3 32.89 7.15 1.97 1081.75 64.70 6.30 4 42.90 11.44 2.44 1840.41 104.55 9.69 5 47.19 14.30 2.66 2226.89 125.54 11.65 6 50.05 15.73 2.75 2505.00 137.91 13.18 7 57.20 21.45 3.06 3271.84 175.36 17.92 8 64.35 28.60 3.35 4140.92 215.79 24.38 9 71,50 35.75 3.58 5112.25 255.72 33.15

10 75.79 42.90 3.76 5744.12 284.88 39.87 11 80.08 50.05 3.91 6412.80 313.35 47.94 12 84.37 57.20 4.05 7118.30 341.41 57.65 13 85.80 58.63 4.07 7361.64 349.31 61.31 14 88.66 64.35 4.16 7860.59 369.21 69.33 15 91.52 71.50 4.27 8375.91 390.76 78.41 16 94.38 78.65 4.36 8907.58 411.97 88.67 17 97.24 85.80 4.45 9455.62 432.91 100.27 18 100.0 100.00 4.60 10000.00 460.52 112.91

Total 1206.82 750.65 59.56 92438.00 4488.90 780.73

Reemplazando los valores de la Tabla 10, en las ecuaciones (90), (91), y (92), se tienen los valores de las constantes a y b.

532.1

043.0

==

b

a

Determinadas las constantes a y b tenemos la ecuación (89), asume la forma:

( )θ

θ043.0532.1 eQ = (93)

La ecuación (93) proporciona los valores de Q(θ) registrados en la Tabla 10. El comportamiento de la ecuación (93), se puede observar en la Figura 39.

93

Figura 39. Ajuste de curva de igual porcentaje VNC

6.5 LINEALIZACIÓN DE LA CARACTERÍSTICA INHERENTE El comportamiento característico de la válvula no es lineal (es de forma exponencial), es decir, no se puede representar mediante una ecuación lineal. Entonces, una vez obtenida la ecuación de la mejor aproximación se procede a linealizarla. Los métodos de regresión lineal empleados son el método de mínimos cuadrados y la expansión por series de Taylor. Una vez obtenidas la expresión matemática que describe la linealización del sistema, se procede a calcular el error evaluado en el punto de operación θ para determinar cual es el método de linealización más adecuado para emplear en el control de la válvula. En ingeniería de control, una operación normal del sistema puede ocurrir alrededor de un punto de equilibrio o punto de operación, y las señales pueden considerarse señales pequeñas alrededor del punto de operación. El punto de operación θ se considera como el punto promedio de la zona de operación.

n

θθ ∑= (94)

Al utilizar la ecuación (94), se tiene que n es igual a 19 puntos y la suma de la columna θ de la Tabla 10 es igual a 1206.82. Por lo tanto, el punto de operación θ es igual a 63.51.

94

6.5.1 Mínimos cuadrados. Al linealizar la ecuación (93) por el método de mínimos cuadrados, método del que ya es conocido su procedimiento al ser visto en la asignatura de análisis numérico, se tiene la expresión matemática.

( ) 8.2708.1 −= θθQ (95)

Donde la variable independiente θ representa la posición de la válvula en %, y la variable dependiente Q representa el caudal en términos de %. La línea roja de la gráfica de la Figura 40, describe el comportamiento de la ecuación (95). Figura 40. Ajuste por mínimos cuadrados VNC

Ahora se procede a determinar el error de la ecuación linealizada (95), para ello se evalúa en el punto de operación θ , y se compara con la ecuación (93) evaluada en θ .

( ) ( ) 06.418.2751.6308.1 =−=θQ

( )( ) 51.23532.1 51.63043.0 == eQ θ

El valor exacto de la ecuación no linealizada es 23.51. Por lo tanto, el error en términos de porcentaje es 74.6%. 6.5.2 Método de Expansión de Series de Taylor. Para que una ecuación sea lineal, cada uno de sus términos no debe contener más de una variable o derivada y ésta debe estar a la primera potencia. Para realizar el proceso de linealización se supone que la respuesta de la aproximación lineal representa la respuesta del proceso en la región cercana al punto de operación, alrededor del cual se hace la linealización. El manejo de ecuaciones linealizadas se

95

facilita en gran medida con la utilización de las variables de desviación o perturbación. La variable de desviación θ, se define como la diferencia entre el valor de la variable o señal y su valor en el punto de operación.

( ) ( ) θθθ −= tt (96)

Ahora se linealiza la ecuación no lineal (93), en la región 0 ≤ θ ≤ 100. Para ello, se desarrolla la ecuación no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación θ , y sin considerar los términos de orden más alto al contemplar que la variación de la variable de desviación θ es pequeña, lo que hace posible el no considerar los términos de orden superior en θ. Entonces, la ecuación a emplear para la regresión lineal se escribe como:

θKQQ += (97) Donde ( )θfQ = , θ es la variable de desviación y θ∂∂= fK con θθ = , y f(θ) igual

a la ecuación (93). Luego, al evaluar Q en el punto de operación θ se tiene que Q es 23.51 y K que es la primera derivada de la ecuación (93), que es 1.011. Al reemplazar los valores de Q y de K se tiene que la ecuación linealizada tiene la forma:

( ) 7.40011.1 −= θθQ (98)

Donde la variable independiente θ representa la posición de la válvula en %, y la variable dependiente ( )θQ representa el caudal en términos de %. La

ecuación (98), puede escribirse como:

θKQQ =− ó 21.64011.151.23 −=− θQ (99) Lo cual indica que QQ − , es decir, 51.23−Q es proporcional a θθ − (variable de desviación), ó 51.63−θ . Por lo tanto, la ecuación (99), da un modelo matemático lineal para el sistema no lineal de la ecuación (93) cerca del punto de operación ( 51.63−θ , 51.23−Q ).

96

En la gráfica de la Figura 41, se muestra la superposición de la curva isoporcentual de la característica de flujo inherente y su respectiva linealización demarcada por la línea azul, la cual describe el comportamiento de la ecuación linealizada (98) obtenida por series de Taylor. Figura 41. Ajuste por series de Taylor VNC

Ahora se procede a determinar el error de la ecuación linealizada (98), para ello se evalúa en el punto de operación θ , y se compara con la ecuación no linealizada (93) evaluada en θ .

( ) ( ) 51.2369.4051.63011.1 =−=θQ

( )( ) 51.23532.1 51.63043.0 == eQ θ

El valor exacto de la ecuación no linealizada es 23.51. Por lo tanto, el error en términos de porcentaje es 0%. Luego, el método más apropiado para la regresión lineal es el de las series de Taylor, porque este método permite hacer una linealización cercana al punto de operación; mientras que el método de método mínimos cuadrados no permite hacer una linealización cerca al punto de operación, dando como resultado un error muy grande (74.6%). Por tanto, la ecuación linealizada a utilizar para el control de caudal de la válvula será la ecuación (98). Cuando la válvula de control opera en una posición de normalmente abierta (la cual es la posición de operación), entonces, la gráfica de la Figura 40 adquiere la forma de la gráfica de la Figura 42, siendo la ecuación (98) la encargada del control de flujo.

97

Figura 42. Ajuste por series de Taylor VNA

6.6 CARACTERÍSTICA EFECTIVA DE FLUJO En la mayor parte de las válvulas que trabajan en condiciones reales, la presión diferencial cambia cuando varía la apertura de la válvula, por lo cual la curva real que relaciona la carrera de la válvula con el caudal, se aparta de la característica de caudal inherente. Esta nueva curva recibe el nombre de característica de caudal efectiva o de instalación. La presión diferencial señalada depende de las combinaciones entre la resistencia de la tubería, y las características de la bomba y tanques del proceso, por lo cual es evidente que una misma válvula instalada en procesos diferentes presentará inevitablemente curvas características efectivas diferentes. Para el estudio de la característica efectiva o de instalación de flujo, se realizó una prueba de caudal a la válvula. Esta prueba consistió en medir la cantidad de agua que pasa por la válvula durante un tiempo de dos minutos operando con la válvula normalmente abierta VNA, para ello se conectó la tubería de la válvula a la de la bomba de alimentación. La Figura 43, muestra un corte transversal de la válvula de control que permite observar la posición del vástago y del obturador cuando la válvula está completamente abierta. Figura 43. Vista de corte de la válvula de control

98

Para el laboratorio de la determinación de la curva de característica efectiva de caudal se realizaron cinco pruebas y con el promedio de estas se determinó la curva de característica efectiva o de instalación de la válvula de control. La Tabla 11, registra el resultado de las pruebas realizadas a la válvula. Tabla 11. Datos de volumen de agua

PRUEBA (Litros) Posición 1 2 3 4 5 Promedio

5º 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10º 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15º 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 20º 0.08 0.12 0.40 0.33 0.32 0.25 25º 1.75 1.42 1.25 1.12 1.04 1.32 30º 2.98 2.57 2.66 2.42 2.0 2.54 35º 3.81 3.50 3.44 3.49 3.18 3.48 40º 4.20 4.33 4.50 4.20 4.05 4.26 45º 4.25 5.04 5.00 4.82 4.97 4.82 50º 5.06 5.62 5.20 5.30 5.45 5.33 55º 5.10 5.95 5.55 5.56 5.57 5.55 60º 5.70 5.75 5.64 6.06 6.04 5.84 65º 6.05 6.10 6.00 6.10 6.19 6.09 70º 6.50 6.00 6.03 6.00 6.01 6.11 75º 6.50 6.17 6.12 6.28 6.29 6.27 80º 6.12 5.76 6.00 6.17 5.98 6.01 85º 6.16 6.30 5.94 5.90 6.06 6.07 90º 6.75 6.37 6.13 6.20 5.96 6.28

Con los datos registrados en la Tabla 11, se elabora la Tabla 12, la cual muestra el caudal promedio que proporciona cada posición de la válvula de control en unidades de litros por hora y en términos de porcentaje. Tabla 12. Caudal de la válvula de control

Posición

Caudal (L / h)

Posición % X

Caudal % Q

5º 0.00 5.55 0.00 10º 0.00 11.11 0.00 15º 0.12 16.66 0.06 20º 7.50 22.22 3.98 25º 39.60 27.77 21.01 30º 76.20 33.33 40.44 35º 104.40 38.88 55.41 40º 127.80 44.44 67.83 45º 144.60 50.00 76.75 50º 159.90 55.55 84.87 55º 166.50 61.11 88.37 60º 175.20 66.66 92.99 65º 182.70 72.22 96.97 70º 183.30 77.77 97.29 75º 188.10 83.33 99.84 80º 180.30 88.88 95.70 85º 182.10 94.44 96.65 90º 188.40 100.00 100.00

99

Con base en el caudal promedio que suministra cada posición de la válvula de control, se interpolan los valores de posición y caudal en términos de porcentaje en intervalos de 10, y se representa la gráfica correspondiente de caudal versus posición de la válvula en una escala de 0 a 100%, como se muestra en la gráfica de la Figura 44. Figura 44. Característica de instalación VNA

La gráfica de la Figura 44, muestra una curva de característica de instalación que tiene una tendencia lineal entre el 20 y 50% del recorrido del vástago de la válvula, y luego tiende a tener un comportamiento de un polinomio de grado dos. Para determinar la ecuación del comportamiento de la curva de instalación de la Figura 44, se tomaron por interpolación los puntos más significativos, con los que se determinó por el método de Lagrange la ecuación (100), la cual rige el comportamiento del flujo de la válvula de control una vez instalada en la planta.

( ) 6.6795.3023.0 2 −+−= θθθQ (100)

En la Figura 45, se puede observar la superposición de las curvas de instalación. La curva de color azul es la obtenida por datos de laboratorio, mientras que la curva de color rojo pertenece al comportamiento de Lagrange.

100

Figura 45. Característica de instalación – ajuste por Lagrange VNA

Como se puede ver en la gráfica de la Figura 45, las curvas de datos y tendencia son casi similares. Esto es debido a que la curva de tendencia perteneciente a la ecuación (100), tiene un error de tan sólo el 4.5% con respecto a la curva real de comportamiento de flujo. Este porcentaje de error se obtuvo al evaluar cada posición del vástago de la válvula en la ecuación (100) y comparar el resultado obtenido con el caudal real para dicha posición (obtenido por prueba de laboratorio), como lo muestra la Tabla 13. Tabla 13. Estimación del error de la ecuación (100)

Posición, %

θ Caudal, % Q

Lagrange Q(θ)

Error %

0 0.0 -67.6 ------ 10 0.0 -30.4 ------ 20 2.4 2.2 8.3 30 29.7 30.2 1.5 40 57.9 53.6 7.4 50 76.7 72.4 5.6 60 87.7 86.6 1.2 70 95.4 96.2 0.9 80 98.3 101.2 2.9 90 95.9 101.6 6.5

100 100.0 97.4 2.6 Promedio 4.50

Una vez calculado el porcentaje de error de la curva de tendencia de característica efectiva de flujo y al considerar que el error promedio es pequeño, entonces, se determina que la ecuación (100) es apta para la descripción del comportamiento del flujo de la válvula durante su operación. Ahora, se procede a linealizar la ecuación (100) utilizando el método de expansión de series de Taylor.

101

6.6.1 Linealización por Expansión de Series de Taylor. Para la linealización de la ecuación (100) por este método, se considerará que la válvula de control operará en un recorrido comprendido entre el 20 y el 100%, ya que en un ángulo de recorrido inferior al 20%, la válvula no permitirá el paso de agua como se puede ver en las gráficas de las Figuras 44 y 45. Por lo tanto, el rango de operación de 0 a 100% cambia a 20 a 100%, lo que trae como consecuencia un nuevo punto de operación θ . El primer paso es determinar el punto de operación θ para posiciones a intervalos de 5 grados. Para ello, de la Tabla 13 se toman los valores de posición en términos de porcentaje, comprendidos entre 20 y 50%, los cuales son 4 puntos y con la ecuación (94) se determina que el nuevo punto de operación θ es igual a 35. Ahora se linealiza la ecuación no lineal (100), en la región 5020 ≤≤ θ . Para ello, se desarrolla la ecuación no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación θ . Donde ( )θfQ = , θ es la variable de

desviación y θ∂∂= fK con θθ = , y ( )θf igual a la ecuación no linealizada (100).

Luego, al evaluar Q en el punto de operación θ se tiene que ỹ es igual a 42.5 y K que es la primera derivada de la ecuación (100), la que es igual a 2.34. Al reemplazar los valores de Q y de K se tiene que la ecuación linealizada tiene la forma:

( ) 5.4234.2 −= θθQ (101)

La Figura 46, muestra la curva que describe el comportamiento de la ecuación linealizada (101). Figura 46. Válvula normalmente abierta

Al evaluar el punto de operación (θ = 35) en las ecuaciones (100) y (101), se tienen valores de flujo iguales a 42.5 y 39.4 respectivamente, lo cual genera un error en la ecuación linealizada del 7.2%, lo que es aceptable para el control de la válvula al no ser un error considerablemente alto. En el Anexo G, se muestra el catálogo de la válvula de control.

102

7. MODELADO MATEMÁTICO

En este capítulo se realiza el modelo matemático de cada uno de los elementos intervienen en el lazo de control de temperatura de la Figura 47, como lo son: el intercambiador de calor, el cual se asume como la planta, la válvula de control que es el actuador y el sensor de temperatura que es el elemento de realimentación del sistema. Figura 47. Diagrama de bloques del sistema de control de temperatura

El objetivo de control es controlar la temperatura de la línea de proceso a la salida del intercambiador de calor mediante la manipulación del flujo de proceso. 7.1 INTERCAMBIADOR DE CALOR Se tiene un intercambiador de calor tipo serpentín, el cual está compuesto por un serpentín por donde circula el flujo caliente y un tanque (carcasa) por el cual circula el flujo de refrigeración, tal como se representa en la Figura 48. En este sistema se realiza transferencia de calor del serpentín hacia el medio a calentar. Para ello, se asume que no hay cambio de fase tanto en el tanque (carcasa) como en el serpentín. La respuesta dinámica de temperatura de un intercambiador de calor es una relación de los balances de masa y energía los cuales se definen por los cambios en la posición de la válvula de control y la transferencia de calor del sistema. Por lo tanto, son las ecuaciones base en el cual se presenta el principio de operación de este sistema.

103

Las consideraciones asumidas para el modelado matemático son: • El volumen y los fluidos son constantes con densidades y calores

específicos constantes. • La rata de flujo de entrada al tanque, la rata de flujo de entrada al serpentín,

la temperatura de entrada al tanque, la temperatura de entrada al serpentín pueden cambiar (entradas).

• La tasa de transferencia de calor del serpentín al tanque es regida por:

( ) ( )42 TTUAqt −= (102)

Para mayor simplicidad del modelamiento matemático del sistema, se divide el intercambiador de calor en dos partes: una es el serpentín y la otra el tanque (carcasa) que contiene al serpentín. En la Figura 48, se muestra la descomposición del sistema para su respectivo modelamiento matemático. Figura 48. Descomposición del sistema

7.1.1 Modelo del tanque. El tanque se lo puede asumir como un calentador eléctrico al cual le entra un flujo másico de agua 3m& a temperatura ambiente T3,

también le entra un flujo de calor ( )tq y tiene una salida de flujo másico de agua

4m& a temperatura T4, tal como se ilustra en la Figura 49. Figura 49. Carcasa o tanque del intercambiador de calor

104

• Balance de masa. La acumulación de masa dentro del recipiente es igual a la masa que entra menos la que sale del sistema, así se obtiene:

∑ ∑ ∂∂=−

t

mmm se && (103)

La masa en el balance se puede obtener a partir de diferentes configuraciones de volumen: volúmenes variables o volúmenes constantes. Para volúmenes constantes, se tiene:

∑ ∑ ==→=−⇒=− Rse mmmmmmm &&&&&&& 4343 00 (104)

• Balance de energía. Primero se establece todo el intercambiador de calor

como el sistema a tratar, en él no se encuentran momentos que involucren trabajo, por tal razón la energía cinética (K) y potencial (P) son cero, por lo tanto, el balance de energía de estado dinámico para el fluido de enfriamiento es de la forma:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )tttt

VtpRtpRt TTUAqt

TcVTcmTcmq 42

443 ; −=

∂∂

=−+ ρ&& (105)

Al ordenar la ecuación se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t

TcVcmUATTcmUAT t

VpRttpRt ∂∂

=+−+ 4432 ρ&& (106)

Al reordenar la ecuación algebraicamente, se tiene:

( )( ) ( ) ( )ttt

t TCTCTt

T32214

41 +=+

∂∂

τ (107)

Donde:

pR

pR

pRpR

v

cmUA

cmC

cmUA

UAC

cmUA

cV

&

&

&& +=

+=

+= 211

ρτ

105

Aplicando la transformada de Laplace, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )SSSS TCTCTST 3221441 +=+τ (108)

Por lo tanto, la temperatura de salida del tanque es:

( ) ( ) ( )[ ]SSS TCTCs

T 32211

4 1

1 ++

=τ

(109)

7.1.2 Modelo del serpentín. El serpentín es simplemente un tubo doblado en ocho partes en forma de serpentín, éste se lo puede asumir como una resistencia eléctrica, al cual le entra un flujo másico ( )tm& a temperatura T1, y

sale de éste a temperatura T2, también sale un flujo de calor ( )tq , tal como se

muestra en el esquema de la Figura 50. Figura 50. Serpentín del intercambiador de calor

• Balance de masa. Para volumen constante, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ==→=−⇒=− ttttttste mmmmmmm &&&&&&& 2121 00 (110) • Balance de energía. Para realizar este balance es necesario tener en

cuenta que tanto la energía entra al serpentín como parte de la energía que sale de éste depende de dos variables.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )tttt

Vttpttpt TTUAqt

TcVqTcmTcm 42

221 ; −=

∂∂

=−− ρ&& (111)

106

Ahora se linealiza los dos términos no lineales de la ecuación (111), y se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

t

TcVUATUATmCTCmCTC t

Vtttttt ∂∂

=+−−−+ 242523413 ρ&& (112)

Donde:

25143 TcCTcCmcC ppp === &

Reorganizando la ecuación (112), y definiendo la constante de tiempo, se tiene:

( )( ) ( ) ( ) ( )tttt

t TCmCTCTt

T487162

22 ++=+

∂∂

&τ (113)

Donde:

38

3

547

3

36

32 CUA

UAC

CUA

CCC

CUA

CC

CUA

cV v

+=

+−

=+

=+

=ρ

τ

Aplicando la transformada de Laplace, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )SSSSS TCMCTCTST 48716222 ++=− &τ (114)

Por lo tanto, la temperatura de salida del serpentín es:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]SSSS TCMCTCs

T 487162

2 1

1 +++

= &

τ (115)

En la Figura 51, se esquematiza el diagrama de bloques para el intercambiador de calor, el cual se obtiene del encadenamiento de las ecuaciones (109) y (115).

107

Figura 51. Diagrama de bloques del intercambiador de calor

Utilizando el principio de superposición se calculan cada una de las funciones de transferencia del sistema, las cuales son:

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )S

SSR

S

SSM

S

SST T

TG

M

TG

T

TG

3

22

1

2 ===&

(116)

Para ( )STG , se utiliza el principio de superposición al igual que en las demás

funciones de transferencia, luego, en ausencia de ( )SM& y ( )ST3 se obtiene el

diagrama de bloques de la Figura 52. Figura 52. Diagrama de bloques para GT(S)

Del diagrama de bloques de la Figura 52, se tiene:

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

++++++++++=

+

++

+==818121

22221

3221

212

216

21

81

26

1

2

122

1

1

1

11

1

1

CCsCCss

ssC

ss

CC

sC

T

TG

S

SST τττττττ

ττττ

ττ

τ (117)

108

Reorganizando la ecuación (117), se tiene la función de transferencia de la forma:

( )( )

( )

+++++

==65

24

33

22

16

1

2 1

KsKsKsK

sKsKC

T

TG

S

S

ST (118)

Donde:

8168121522214

2213212211

122 CCKCCKK

KKK

+=+−=+=

=+==

τττττττττττ

Para ( )SMG , se tiene el diagrama de bloques de la Figura 53.

Figura 53. Diagrama de bloques para GM(S)

Del diagrama de bloques de la Figura 53, se tiene:

( )( )

( )

+

++

+==

1

1

11

1

1

21

81

26

2

ss

CC

sC

M

TG

S

SSM

ττ

τ&

(119)

Por lo tanto, la función de transferencia es:

( )( )

( )

+++++

==65

24

33

22

17

2 1

KsKsKsK

sKsKC

M

TG

S

SSM &

(120)

109

Para ( )SRG , se tiene el diagrama de bloques de la Figura 54.

Figura 54. Diagrama de bloques para GR(S)

Del diagrama de bloques de la Figura 54, se tiene:

( )( )

( )

+

++

+

+==

1

1

11

11

1

21

81

2

8

12

3

2

ss

CC

S

C

SC

T

TG

S

SSR

ττ

ττ (121)

Por lo tanto, la función de transferencia es:

( )( )

( )827

622

1

73

2 1CCK

KsKsKK

T

TG

S

SSR =→

++== (122)

Por último se tiene el diagrama de bloques del proceso térmico del sistema como se muestra en la Figura 55. Figura 55. Diagrama de bloques del sistema

110

Una vez determinadas todas las funciones de transferencia del sistema, se procede a cuantificarlas con base a los valores de los parámetros de este. Valores numéricos de los parámetros del tanque

toenfriamiendefluidodelsalidadeaTemperaturCT

toenfriamiendefluidodelentradadeaTemperaturCT

toenfriamiendefluidodelespecíficoCalorKKgJc

toenfriamiendefluidodelDensidadmKg

toenfriamiendefluidodelmásicoFlujosKgm

quedelVolumenLtsmV

p

R

T

º30

º25

º4178

35.996

69.1

tan24024.0

4

3

3

3

==

==

=→=

ρ&

Valores numéricos de los parámetros del serpentín

procesodefluidodelsalidadeaTemperaturCT

procesodefluidodelentradadeaTemperaturCT

serpentíndelLongitudmL

procesodefluidodelespecíficoCalorKKgJc

procesodefluidodelDensidadmKg

procesodefluidodelmásicoFlujosKgm

serpentíndelVoluimenLtsmV

p

S

º60

º100

6.2

º4.4197

8.971

21.0

24.01042.2

2

1

3

34

===

==

=→×= −

ρ&

Valores numéricos de parámetros comunes

calordeciatransferendeerficialAreamA

calordeciatransferendeglobaleCoeficientKmWU

sup104.0

º78222

2

==

Valores numéricos de las constantes del tanque

[ ] segsegcmUA

cV

pR

v 1311 =⇒→+

= τρτ&

[ ] 103.0dim 11 =⇒→+

= CensionalacmUA

UAC

pR&

[ ] 90.0dim 22 =⇒→+

= CensionalacmUA

cmC

pR

pR

&

&

111

Valores numéricos de las constantes del serpentín

4.881º 33 =⇒

×→= C

SegK

JmcC p &

2.1565630414 =⇒

→= C

Kg

JTcC p

2.1397734525 =⇒

→= C

Kg

JTcC p

[ ] segsegCUA

cV v 6.023

2 =→→+

= τρτ

[ ] 52.0dim 63

36 =⇒→

+= Censionala

CUA

CC

99º

73

547 =⇒

×→+−

= CKg

segK

CUA

CCC

[ ] 48.0dim 83

8 =⇒→+

= CensionalaCUA

UAC

Para las funciones de transferencia se tiene:

[ ] 8.712

211 =⇒→= KsegK ττ [ ] 6.132212 =⇒→+= KsegK ττ [ ] 7.43

32213 =⇒→= KsegK ττ

[ ] 162 422

2214 =⇒→+= KsegK τττ [ ] 25.142 581215 =⇒→+−= KsegCCK ττ [ ] 05.1dim1 6816 =⇒→+= KensionalaCCK [ ] 43.0dim 7827 =⇒→= KensionalaCCK

Funciones de transferencia cuantificadas

( )( )

( )

+++++==

05.125.14167.4

16.138.752.0

23

2

1

2

SSS

SS

T

TG

S

S

ST

( )

( )

( )

+++++==

05.125.14167.4

16.138.799

23

22

SSS

SS

M

TG

S

SSM &

( )( )

( )

++==

05.16.138.7

143.0

23

2

SST

TG

S

SSR

Por último se tiene el diagrama de bloques del proceso de temperatura del sistema como se muestra en la Figura 56. Figura 56. Diagrama de bloques de lãs funciones de transferência del sistema

112

7.2 SENSOR DE TEMPERATURA Se tiene una termocupla tipo J, la cual opera en una escala de temperatura de 10 a 110 ºC. Para una entrada de 10 ºC, la termocupla registra un valor de 0.507 mV y para 110 ºC el voltaje es de 5.812 mV (ver Anexo 9). Por lo tanto, se tiene que la ganancia del sensor es:

( )( ) C

mVKS º10110

507.0872.5

−−=

C

mVK S °

=→ 05.0 (123)

Lo cual indica que tiene una buena sensibilidad, y esto es importante en un sensor de temperatura. 7.2.1 Acondicionamiento de señal. Se desarrolla un sistema de medida para una escala de temperatura de 0 a 1 voltios. Para el termopar tipo J con temperatura de referencia de 0 ºC se tendrá una salida de 5.872 mV a 110 ºC, por tanto, la ganancia mínima requerida es:

V

VKmín 005872.0

1= 3.170=→ mínK (124)

Ahora, se puede calcular la ganancia KT del elemento sensor-transmisor utilizando los valores de voltaje máximo y mínimo de la señal de realimentación. Tabla 14. Límites de entrada y salida

Tensión Entrada (mV) Salida (V) Mínimo 0.000507 0 Máximo 0.005872 1

Donde estos valores se pueden representar por medio de un sistema de ecuaciones lineales de la siguiente forma:

1005872.0

0000507.0

=+=+

O

O

Vm

Vm

113

Por lo tanto, la señal de voltaje de realimentación se puede expresar mediante la Ecuación (125).

09.05.186 −= VVR (125)

Debido a que la ganancia de 186.5 aún es grande, entonces, se utiliza un amplificador diferencial con una ganancia de -100 que produce un voltaje intermedio, V1 = -100V. Luego, la expresión matemática de la señal de realimentación queda de la siguiente manera.

( )09.086.1 1 −= VVR (126)

Como 0.09 es una cantidad pequeña, entonces, se lo puede despreciar, teniendo finalmente la expresión:

186.1 VVR = (127) Por lo tanto, la ganancia del elemento de realimentación KT es:

( )( ) C

V

C

V

º01.0

10110

01 =Κ→°−

−=Κ ΤΤ (128)

La respuesta dinámica de la mayoría de los sensores/transmisores es mucho más rápida que la del proceso; en consecuencia, sus constantes de tiempo y tiempo muerto se pueden considerar despreciables y, por tanto, su función de transferencia H(S) la da la ganancia pura KT. Luego, se tiene que la función de transferencia de realimentación unitaria H(S) es:

( ) TS KH 100= (129)

7.3 ELEMENTO FINAL DE CONTROL El elemento final de control es un dispositivo encargado de transformar una señal de control en un flujo de masa o energía (variable manipulada). Es esta variable manipulada la que incide en el proceso causando cambios de la variable controlada (temperatura a la salida del intercambiador de calor).

114

Lo más usual en control de procesos es que la manipulación sea un caudal. Para ajustar el flujo de fluido en una línea existen primariamente dos mecanismos: • Modificar la energía entregada al fluido (bombas y ventiladores de velocidad

variable). • Modificar la resistencia al paso del fluido (válvulas, registros en ductos de

gases). De los diversos elementos finales de control se ha escogido la válvula automática con actuador eléctrico. Esta es básicamente un orificio variable por efecto de un actuador (servomotor de cd y tren de engranajes). La válvula utiliza una señal externa de tipo eléctrico y posteriormente la transforma en movimiento mecánico rotacional. Estos elementos se pueden considerar constituidos por dos partes: • Actuador: recibe la señal del controlador y la transforma en movimiento

(rotacional).

• Cuerpo: el movimiento es transmitido al vástago o eje de la válvula que hace que la sección de pasaje del fluido cambie y con ésta el caudal.

Con un diagrama de bloques tal como el de la Figura 57, se puede representar a la válvula como un sistema en serie. Figura 57. Diagrama de bloques de la válvula

Desde el punto de vista estático el actuador es moderadamente lineal. El cuerpo carece de retardo y la ganancia viene determinada por la característica de flujo.

ACTUADOR CUERPO ө(t)

U(t) Q(t)

Señal de Movimiento

Rotacional

Caudal

115

7.3.1 Servomotor. Para obtener el modelo matemático empleando técnicas de identificación, se debe alimentar el sistema con una señal de entrada de frecuencia variable que lo excite en todo su ancho de banda y, posteriormente, con la ayuda de herramientas computacionales (system identification Toolbox de Matlab), se procesan las señales de entrada y salida hasta obtener el modelo que represente en mejor forma la dinámica del sistema. Sin embargo, no siempre se dispone de las herramientas computacionales ni tarjetas de adquisición de datos indispensable para la toma de las variables de entrada y salida, por lo que se recurre a formas manuales no muy precisas pero válidas para lograr un modelo aceptable. Para ello se utiliza un potenciómetro lineal de 10 KΩ acoplado al eje del motor, al cual se le aplican 5V de cd entre sus terminales fijos a y b, tal como se muestra en la Figura 58. Figura 58. Servosistema de posición cd

Al aplicar un voltaje de referencia de 2.5V y tomar los datos de voltaje para cada posición del potenciómetro la graficación de estos demuestran el comportamiento lineal de éste, tal como se muestra en la Figura 59. Figura 59. Curva característica de un potenciómetro lineal

La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la salida y la entrada del sistema en el dominio de Laplace asumiendo condiciones iniciales nulas. Con base en la definición de función de transferencia, se aplica una señal escalón al sistema, se grafica la salida, se halla las ecuaciones de cada variable en el dominio del tiempo, se las lleva al dominio de Laplace, y la relación salida-entrada será el modelo matemático del mismo.

116

La señal de salida corresponde a una señal tipo rampa con pendiente m.

( ) mty t = (130)

Cuya transformada de Laplace es:

( ) 2S

mY S = (131)

La señal de entrada (señal de control) corresponde a una señal escalón de amplitud igual a la de voltaje cd aplicado.

( ) Vu t = (132)

Cuya transformada de Laplace es:

( ) S

VU S = (133)

Por lo tanto, el modelo matemático será la función de transferencia del sistema, es decir:

( )( )

SV

mG SM = (134)

Al reemplazar los valores de la pendiente m y el voltaje de referencia, se tiene:

( ) SG SM

028.0=

• Análisis del modelo matemático. El modelo obtenido no tiene ceros y tiene

un polo en el origen. Un polo en el origen representa un sistema tipo uno. La Figura 63, muestra el sistema del servomotor en lazo cerrado sin controlador, donde GM(S) es la función de transferencia del conjunto motor-potenciómetro y H(S) es la función de transferencia del lazo de retroalimentación, que en nuestro caso es unitaria.

117

La salida del sistema, y(t), es la señal de voltaje del potenciómetro y, por lo tanto, la señal de referencia debe ser una señal de voltaje de 0 a 5 voltios. Así, si se desea un giro desde 0 a 90º se debe aplicar una referencia de 2.5 voltios. Figura 60. Diagrama de bloques del sistema La ecuación de error es:

( )( )

( ) ( )( )SS

SS HG

RE

+=

1 (135)

Por lo tanto,

( )( )

( )

+

=

SV

m

RE S

S

1

(135)

Para determinar el error en estado estable se utiliza el teorema del valor final.

( )

0→

=

S

límSEe SSS (136)

Es decir, si la entrada es un escalón de amplitud V, el error es estado estacionario es:

( ) 0;

1

→

+

= S

SSV

m

SVlímeSS

(137)

118

O sea, que el error en estado estable es cero, lo cual quiere decir que el sistema responderá ante una orden de ubicación en cualquier posición angular, con exactitud. En la práctica no sería así por lo siguiente: si imaginamos que se quiere cambiar la posición del potenciómetro, que está en 0º, a la posición de 90 º, se aplica entonces un voltaje de referencia de 2.5 voltios. El sumador resta de 2.5 voltios, de la señal de referencia, la señal de voltaje de salida, proveniente del potenciómetro, produciendo la señal de error que será el voltaje que se aplicará al motor. La Tabla 15, muestra la forma como varía el error, y por tanto el voltaje aplicado al motor, a medida que el potenciómetro se mueve hacia la posición de 90º. Tabla 15. Variación de la señal de error en lazo cerrado sin controlador Referencia (voltios)

Posición angular del potenciómetro

Voltaje producido por el potenciómetro

y(t)

Señal de error voltaje

aplicado al motor

2.5 10º 0.278 2.22 2.5 20º 0.556 1.944 2.5 30º 0.833 1.667 2.5 40º 1.111 1.389 2.5 50º 1.389 1.111 2.5 60º 1.667 0.833 2.5 70º 1.944 0.556 2.5 80º 2.222 0.278 2.5 90º 2.500 0.000

Al tener en cuenta de la existencia de un voltaje mínimo, superior a cero, al cual el motor no continuará girando por que no es capaz de vencer su propia inercia, éste se detendrá sin lograr el objetivo deseado, es decir, sin lograr un error nulo. • Lugar geométrico de las raíces. Utilizando Matlab, se obtiene el lugar

geométrico de las raíces del sistema en lazo cerrado, como se muestra en la Figura 61.

Figura 61. LGDR del sistema en lazo cerrado

119

La Figura 61, muestra el lugar de las raíces, donde se puede apreciar que el polo del sistema en lazo cerrado se traslada desde el origen hasta -∞, sobre el eje real negativo, a medida que se aumenta la ganancia del sistema. Esto quiere decir que el sistema responde más rápido a ganancias altas lo cual es correcto ya que la velocidad del motor de cd de imán permanente es proporcional al voltaje aplicado. 7.3.2 Reductor de velocidad. El reductor de velocidad se trata de un tren de engranajes simple (cada eje tiene un solo engrane), el cual es un dispositivo mecánico que transmite energía del motor al vástago de la válvula en una forma tal que se alteran la fuerza, el par, la velocidad y el desplazamiento angular. Este dispositivo también se puede ver como un dispositivo de acoplamiento empleado para lograr la máxima transferencia de potencia. Las relaciones entre los pares T1 y T2, los desplazamientos ө1 y ө2, y los números de dientes N1 y N2 del tren de engranajes se obtienen de los siguientes hechos: • El número de dientes sobre la superficie de los engranes es proporcional a

los radios r1 y r2 de los engranes.

1221 NrNr = (138)

• La distancia sobre la superficie que viaja cada engrane es la misma.

2211 θθ rr = (139) • El trabajo realizado por un engrane es igual al que realiza el otro engrane,

ya que se supone que no hay pérdidas.

2211 θθ TT = (140) Dado que las velocidades angulares de los engranes, ω1 y ω2, son opuestas, entonces, se tiene:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

r

r

N

N

T

T====

ωω

θθ (141)

120

En la práctica, los engranes tienen inercia y fricción entre los dientes de los engranes acoplados que a menudo no se pueden despreciar. La Figura 62, representa el equivalente del tren de engranajes con fricción viscosa, fricción de Coulomb e inercia, considerados como parámetros concentrados, en donde TM denota el par del motor o par aplicado, T1 y T2 son los pares de torsión transmitidos, FC1 y FC2, son los coeficientes de fricción de Coulomb, y B1 y B2 son los coeficientes de fricción viscosa. Figura 62. Elemento final de control

Ecuación del par para el engrane 2.

( )( ) ( )

2

2222

2

22 ωωθθ

CtVtV

t Ft

Bt

JT +∂

∂+

∂∂

= (142)

Ecuación del par para el engrane 1.

( )

( ) ( )

1

1112

2

1 ωωθθ

CtMtM

tM Ft

Bt

JT +∂

∂+

∂∂

= (143)

Finalmente, se tiene.

( )( ) ( )

FtM

etM

etM Tt

Bt

JT +∂

∂+

∂∂

=θθ

12

2

1 (144)

Donde,

22

111 J

N

NJJ e

+=

2

2

2

111 B

N

NBB e

+=

2

22

2

1

1

11 ω

ωωω

CCF FN

NFT +=

121

Se diseña un tren de engranajes de tal forma que el par de entrada sea 7 N-m y el de salida 15 N-m. Esto a una razón de 2 a 1 y los diámetros de paso están en la misma relación. Se tiene un piñón de 18 dientes que mueve un engrane de 39 dientes. Figura 63. Tren de engranajes

Para el diseño del tren de engranajes se utiliza un módulo de paso m = 3, por ser el de mayor uso en la industria. La Tabla 16, registra los datos técnicos del tren de engranajes. Tabla 16. Datos técnicos del tren de engranajes

Rueda N D P PC a b Ra Rb t Piñón 18 54 9.42 3 3.75 30 23.25 4.7 Engrane 39 117 9.42 3 3.75 61.5 54.75 4.7

Donde N es el número de dientes, DP el diámetro de paso, PC el paso circular, a el adendo, b el dependo, Ra el radio de adendo y Rb el radio de dependo. 7.3.3 Válvula de control. La válvula de control es de tipo bola, la cual tiene un giro de ¼ de vuelta, en la que una bola taladrada gira entre asientos elásticos, lo cual permite la circulación directa en la posición abierta y corta el paso cuando se gira la bola 90° y cierra el conduct o. La ganancia KV de la válvula, al igual que la de cualquier otro dispositivo, es la razón de cambio en estado estable de la salida con respecto a la entrada. La Figura 64 muestra que la salida de la válvula es el flujo F(t) y que su entrada es la señal de salida del controlador expresada en forma porcentual өV(t).

122

Figura 64. Esquema de instrumentación conceptual de la válvula de control

La función de transferencia de la válvula de control se determina utilizando el método experimental basado en la linealización de la ecuación (98) por series de Taylor y el método teórico, el cual se fundamenta en la fórmula de la ganancia para una válvula de igual porcentaje. • Función de transferencia usando la ecuación linealizada por series de

Taylor obtenida de datos experimentales. La ganancia de la válvula KV se define como la variación del flujo respecto a la variación del porcentaje de apertura de la válvula. Para la determinación de esta constante se utiliza la derivada de la ecuación (98) linealizada por series de Taylor y se determina KV.

( )

( )011.1=

∂∂

=t

tV m

FK (145)

Del balance de flujo se tiene:

( ) ( )( )

t

FFK t

ttV ∂∂

=−θ (146)

Luego, al reemplazar KV por su valor numérico se tiene:

( ) ( )( )

t

FF t

tt ∂∂

=−θ011.1 (147)

Al aplicar transformada de Laplace y reordenar la ecuación (147), se tiene la función de transferencia de la válvula GV(S) es:

( )

( ) 1

011.1

+=

S

F

S

S

θ (148)

123

• Función de transferencia usando la formula teórica de linealización para una válvula de igual porcentaje. La ganancia de la válvula KV se define como la variación del flujo respecto a la variación del porcentaje de apertura de la válvula. Esta ganancia teóricamente depende del coeficiente de dimensionamiento de la válvula para flujo líquido cuando la caída de presión a través de la válvula es variable. Para una válvula de igual porcentaje, la ganancia de la válvula KV está dada por:

+±=

21100 VLV CK

FLnK

α 2FG

PK

f

LL

∆= (149)

Es de notar que la ganancia permanece más constante con la válvula abierta, porque el término del flujo en el numerador tiende a cancelar algún efecto del término de Cv en el denominador, por lo menos hasta que la válvula logre su posición de completamente abierta. Donde VC es el coeficiente promedio de flujo de la válvula, KL es una constante de fricción y Gf es la gravedad específica del líquido. El coeficiente de fricción KL se calcula de la caída de presión dinámica de línea de proceso y el flujo nominal.

( )( ) 2222

5.31

2.24

gpm

psi

gpm

psi

FG

PK

f

LL ==∆=

Al reemplazar los valores de Cv y KL en la ecuación (77), se tiene:

( )( )( ) CO

gpmgpmLnKV %

04.01.121

5.3

100

502 =

+=

La ecuación dinámica que rige el comportamiento de la válvula es:

( ) ( )( )

t

FF t

ttV ∂∂

=−θ04.0 (150)

Transformando al plano de Laplace, se tiene la función de transferencia de la válvula de control.

( ) 1

04.0

+=

SG SV

(151)

124

8. CONTROL DE TEMPERATURA

El propósito de la unidad es enfriar el fluido que se procesa, de una temperatura de entrada T1(t), a cierta temperatura de salida T2(t), que se desea. En este proceso existen variables que pueden cambiar, si esto llega a suceder, se deben emprender algunas acciones para corregir la desviación; esto es, el objetivo de controlar la temperatura de salida del proceso para mantenerla en el valor que se desea. La forma de lograr este objetivo es primero, medir la temperatura T2(t), después comparar ésta con el valor de temperatura que se desea (set point) y, con base en la comparación, decidir qué se debe hacer para corregir cualquier desviación. Se utiliza el flujo del proceso para corregir la desviación, es decir, si la temperatura está por encima del valor deseado, entonces se puede cerrar un poco la válvula de control para disminuir el flujo del mismo (energía) hacia el intercambiador de calor. En el caso contrario, es decir, si la temperatura está por abajo del valor que se desea, entonces se puede abrir un poco más la válvula de control para aumentar el flujo de proceso hacia el intercambiador. Para lograr este objetivo se diseña un sistema de control. En la Figura 65, se muestra el sistema de control y sus componentes básicos. En el Anexo J, se presentan los símbolos e identificación de los diferentes instrumentos utilizados en el sistema de control automático. El primer paso es medir la temperatura de salida de la corriente de proceso, esto se hace mediante un sensor (termocupla tipo J). El sensor se conecta físicamente al transmisor, el cual capta la salida del sensor y la convierte en una señal lo suficientemente intensa como para transmitirla al controlador. El controlador recibe la señal, que está en relación con la temperatura, la compara con el valor que se desea y, según el resultado de la comparación, decide qué hacer para mantener la temperatura en el valor deseado. Con base en la decisión, el controlador envía otra señal al actuador de la válvula de control, la cual a su vez maneja el flujo del fluido de proceso. Figura 65. Sistema de control de temperatura para el intercambiador de calor

125

La estrategia de control de temperatura muestra una ganancia del proceso positiva con respecto al flujo manipulado y la temperatura medida, ya que un incremento en la variable manipulada (flujo caliente) aumenta la temperatura de salida del intercambiador de calor (variable controlada), es importante aclarar que la temperatura del flujo de salida nunca está más alta que el valor del setpoint. Para el diseño del controlador de temperatura, es necesario realizar dos análisis uno en lazo abierto y otro en lazo cerrado para determinar el método de sintonización del controlador más apropiado. 8.1 ANÁLISIS EN LAZO ABIERTO El sistema en lazo abierto funciona sin realimentación y genera directamente la salida en respuesta a una señal de entrada. Para el proceso de control de temperatura en el primer intercambiador de calor se utiliza el flujo másico de proceso como variable manipulada y como variable controlada la temperatura a la salida del serpentín. Para el análisis de la función de transferencia de la trayectoria directa, se consideran las funciones de transferencia de la válvula de control y la del intercambiador de calor. En la Figura 66, se muestra el sistema de la planta sin realimentación, a menudo denominado sistema directo o sistema en lazo abierto. Figura 66. Diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado sin compensador

La función de transferencia de la planta, considerando como planta a la válvula de control y el intercambiador de calor, es decir, la función de transferencia de la trayectoria directa, presenta un polinomio de cuarto orden con dos polos reales y dos polos complejos conjugados, y dos ceros reales. La función de transferencia de la planta multiplicada por la ganancia de la misma es:

( )125.1525.307.207.4

1.10013617.780234

2

++++++=

SSSS

SSG SP

(152)

126

Al aplicar una entrada escalón a la función de transferencia de trayectoria directa se obtiene una respuesta con una ganancia de 98, lo cual, significa un error en estado excesivamente grande difícil de controlar mediante una acción de control, y un tiempo de asentamiento de 7 segundos, tal como se muestra en la Figura 67. Figura 67. Respuesta del sistema en lazo abierto

Luego, la función de transferencia de la planta en lazo abierto presenta los siguientes polos y ceros:

−=−=

→

−−=+−=

−=−=

→66.1

076.0

09.066.1

09.066.1

1

076.0

2

1

4

3

2

1

Z

ZCeros

jS

jS

S

S

Polos

La Figura 68, muestra el lugar geométrico de las raíces de ( )SPG para el sistema

en lazo abierto. Figura 68. Diagrama del lugar de las raíces en lazo abierto

127

El LGDR muestra claramente la cancelación del polo en S=-0.076 con el cero en Z=0.076, lo cual reduce el orden de la ecuación característica y por consiguiente aumenta la estabilidad relativa del sistema y el tiempo de asentamiento de la respuesta. Por lo tanto, se tiene:

( )( )( )

( )( )( )( )jSjSSS

SSG SP 09.066.109.066.11076.0

66.1076.0

++−+++++= (153)

Al cancelar el polo en S=-0.076 con el cero en Z=-0.076, se tiene la siguiente función de transferencia equivalente que mejora las condiciones del sistema.

( )76.208.632.4

66.123 ++++=

SSS

SG SP

(154)

Ahora se tiene tres polos y un cero para la función de transferencia equivalente.

[ ]66.1

06.066.1

06.066.1

1

1

3

2

1

−=→

−−=+−=

−=→ ZCero

jS

jS

S

Polos

El lugar geométrico de las raíces para la función de transferencia equivalente se muestra en la Figura 69. Figura 69. Lugar de las raíces para la función de transferencia equivalente

El diagrama del lugar de las raíces de la Figura 69, muestra que el sistema es estable para cualquier valor de ganancia proporcional a la hora de compensar el sistema con una acción de control.

128

Al aplicar una entrada escalón a la función de transferencia equivalente de trayectoria directa se obtiene una respuesta con un error en estado estacionario del 40%, y un tiempo de asentamiento de 5 segundos, lo cual es un valor aceptable para aplicar una ley de control. En la Figura 70, se ilustra la respuesta al escalón de la función de transferencia equivalente en lazo abierto. Figura 70. Respuesta de la función de transferencia equivalente en lazo abierto

8.2 ANÁLISIS EN LAZO CERRADO Del análisis en lazo abierto se tiene que la función de transferencia de la planta más adecuada para el sistema de control es:

( )76.208.632.4

66.123 ++++=

SSS

SG SP

(155)

Para compensar el sistema mediante un controlador PID se utilizan los tres métodos de sintonización más adecuados para este sistema, como lo son el método de Ziegler-Nicchols de ganancia última, el método de sintonización ITAE óptimo y el método de curva de reacción. Las Figuras 71 y 72, muestran el diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado sin compensación y la respuesta a un escalón unitario del sistema en lazo cerrado sin compensar respectivamente.

129

Figura 71. Diagrama de bloques del sistema sin compensación

Figura 72. Respuesta a un escalón del sistema en lazo cerrado sin compensador

Utilizando la herramienta computacional sisotool de Matlab, se determina gráficamente el comportamiento de la respuesta en escalón (curva de color azul que en este caso se junta con la de color rojo), la entrada de una perturbación (curva de color verde) y ante la sensibilidad del sistema (curva de color rojo) como se muestra en la Figura 73. Figura 73. Respuesta a un escalón, a una perturbación y sensibilidad del sistema en lazo cerrado sin compensar

130

La respuesta al escalón del sistema sin compensador en lazo cerrado de la Figura 73, muestra un error en estado estacionario de 63%, y un tiempo de asentamiento de 5 segundos. Por lo tanto, para minimizar el error en estado estacionario es necesario aplicar una ley de control que garantice el buen funcionamiento del sistema. En la Figura 74, se muestra el lugar geométrico de las raíces del sistema en lazo cerrado. Figura 74. Lugar de las raíces del sistema en lazo cerrado sin compensar

La gráfica del lugar de las raíces de la Figura 74, muestra que el sistema es estable al tener sus polos en el semiplano izquierdo del plano S. Pero no se puede utilizar el método de Ziegler – Nichols de ganancia última para la sintonización del controlador PID debido a que las ramas del lugar de las raíces no cortan al eje imaginario ωj . El segundo método de Ziegler-Nichols de curva de reacción tampoco es posible usarlo debido a que la curva de respuesta a un escalón en lazo abierto no presenta una gráfica en forma de “S” y a demás la función de transferencia presenta un par de polos complejos conjugados. Por lo tanto, el método de sintonización a utilizar es el índice de comportamiento ITAE óptimo. 8.3 CONTROLADOR PID A pesar de los grandes avances en la ingeniería de control, el controlador PID sigue siendo el algoritmo más utilizado en el control de procesos industriales. Esto se debe básicamente a su robustez y al conocimiento de las relaciones entre sus parámetros y la respuesta del sistema. 8.3.1 Método de sintonización ITAE. Para el sistema de control de temperatura de la Figura 75, se utiliza la acción PID, la cual es necesaria para estabilizar el proceso y darle mayor rapidez a la respuesta. El método de diseño a utilizar es el índice de comportamiento ITAE y los coeficientes óptimos de la Tabla 17, para una entrada en escalón. De aquí, se seleccionan los tres

131

coeficientes PID para minimizar el índice de comportamiento ITAE que produce una excelente respuesta transitoria a un escalón. Se desea obtener un comportamiento ITAE óptimo para una entrada en escalón y un tiempo de asentamiento inferior a 2 segundos con un criterio del 2%. Por tanto, la función de transferencia del controlador PID es:

( )

++=

S

KSKSKG SC

212

3 (156)

Figura 75. Diagrama de bloques del sistema de control PID

Este índice de comportamiento, proporciona la mejor selectividad de los índices de comportamiento, es decir, el valor de la integral se discierne fácilmente a medida que varían los parámetros del sistema. La función de transferencia del sistema con compensador PID en lazo cerrado es:

( )( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) 212

231

33

4

2122

313

32

66.166.176.266.108.632.4

66.166.166.1

KSKKSKKSKS

KSKKSKKSK

R

TT

S

SS +++++++++

+++++==

[157]

En la Tabla 17, se proporcionan los coeficientes óptimos para la ecuación característica aplicando el criterio ITAE. Tabla 17. Coeficientes óptimos de T(S) basados en el criterio ITAE para una entrada escalón

nS ω+ 22 4.1 nnSS ωω ++

3223 15.275.1 nnn SSS ωωω +++ 432234 7.24.31.2 nnnn SSSS ωωωω ++++

54233245 4.35.558.2 nnnnn SSSSS ωωωωω +++++ 6524334256 95.345.76.86.625.3 nnnnnn SSSSSS ωωωωωω ++++++

DORF, Richard; BISHOP, Robert. Sistemas de control moderno. 10 ed. Madrid: Prentice Hall, 2005. p. 272.

132

Por lo tanto, los coeficientes óptimos de la ecuación característica para ITAE son:

432234 7.24.31.2 nnnn SSSS ωωωω ++++ [158]

Para cumplir la especificación del tiempo de asentamiento ST con un criterio del 2%, y una razón de amortiguamiento ρ de 0.8, se tiene:

segradT nn

S 5.24 =→= ω

ρω [159]

Igualando el denominador de la ecuación [157] con la ecuación [158], se obtienen los valores de los parámetros del controlador PID.

93.0

83.16

62.13

3

2

1

===

K

K

K

Luego, la función de transferencia del controlador PID es:

( ) S

SSG SC

83.1662.1393.0 2 ++= [160]

Por lo tanto, la función de transferencia del sistema compensado en lazo cerrado es:

( )94.272.4224.2125.5

94.2744.3916.1593.0234

23

+++++++=SSSS

SSST S

[161]

El diagrama de bloques para el sistema compensado con el controlador PID se muestra en la Figura 76.

133

Figura 76. Diagrama de bloques del sistema con control PID

La respuesta de este sistema a una entrada escalón tiene una sobreelongación de aproximadamente el 35%, tal como se muestra en la Figura 77. Figura 77. Respuesta a un escalón del sistema con controlador PID

Utilizando la herramienta computacional sisotool de Matlab, se determina gráficamente el comportamiento de la respuesta en escalón (curva azul), la entrada de una perturbación (curva verde) y ante la sensibilidad del sistema (curva roja) como se muestra en la Figura 78. Figura 78. Respuesta a un escalón, a una perturbación y sensibilidad del sistema con controlador PID sin prefiltro

134

La Figura 78, muestra que para una entrada de perturbación ( ) SD S 1= , la

magnitud de la perturbación decrece a medida que la respuesta del sistema alcanza su valor de estado estable. De la misma forma, la sensibilidad del sistema respecto a la planta, es decir, el efecto de la perturbación en la salida presenta un valor máximo del 0.2 de la magnitud de la perturbación y luego decrece rápidamente hasta hacer insensible al sistema ante la perturbación, es decir, se logra un error nulo de estado estable. Con el fin de eliminar los ceros de T(S) y reducir la sobreelongación mientras se mantiene la ganancia de trayectoria directa de 27.94, se selecciona un prefiltro GF(s) de forma que se consiga la respuesta ITAE deseada.

( )( )

( )( )

94.272.4224.2125.5

94.27

1 234 ++++=⇒

+=

SSSST

GG

GGGT S

SPC

SFPCS

[162]

Por lo tanto, se requiere que:

( )304.423.16

3023 +++

=SSS

G SF [163]

Al insertar un prefiltro GF(S) al sistema, el diagrama de bloques del sistema queda como se muestra en la Figura 79. Figura 79. Diagrama de bloques del sistema de control PID con prefiltro

Luego, al colocar un prefiltro al sistema de control se tiene la respuesta al escalón de la Figura 80.

135

Figura 80. Respuesta a un escalón del sistema con controlador PID y prefiltro

Utilizando la herramienta computacional sisotool de Matlab, se determina gráficamente el comportamiento de la respuesta en escalón (curva azul), la entrada de una perturbación (curva verde) y ante la sensibilidad del sistema (curva roja) como se muestra en la Figura 81. Figura 81. Respuesta a un escalón, a una perturbación y sensibilidad del sistema con controlador PID con prefiltro

El sistema al aplicarle el prefiltro presenta una pequeña sobreelongación del 2%, el tiempo de asentamiento es de 4 segundos y el error en estado estacionario es nulo. Además, para una perturbación ( ) SD S 1= , el valor máximo

de ( )ty debido a la perturbación es de 0.3% de la magnitud de la perturbación.

Por lo tanto, se obtiene un diseño muy favorable.

136

En la Tabla 18, se indica la respuesta del sistema T(S) a una entrada en escalón. Tabla 18. Respuesta del sistema en lazo cerrado a una entrada escalón

Controlador G C(S)=1 PID y GF(s)=1 PID con prefiltro GF(S)

Porcentaje de sobreelongación 0.0 36% 2% Tiempo de asentamiento (seg) 5.0 4.0 5.0 Error de estado estacionario 63% 0.0% 0.0%

( ) ( ) máximott dy 38% 0.2% 0.2%

8.4 ESTABILIDAD EN LAZO CERRADO La estabilidad del sistema en lazo cerrado depende del controlador. Como se puede elegir el tipo de controlador, es decir, la función de transferencia del controlador o lo que es mismo el tipo de ley de control a implementar, y el valor de sus parámetros, es decir, la sintonización de la función de transferencia del controlador. Dado que el proceso y los elementos de medición y actuación ya están fijados, se puede concluir entonces que la estabilidad del sistema de control depende de una buena elección del tipo y sintonización del controlador. En este caso, las funciones de transferencia de los distintos elementos del lazo tienen parámetros que se han obtenido a partir de modelos matemáticos. Es interesante recordar que no es necesario ninguna información sobre las perturbaciones que pueden afectar al sistema, pues la estabilidad del sistema en lazo cerrado depende exclusivamente de los elementos del lazo. Para analizar la estabilidad del sistema, se tiene la ecuación característica del sistema en lazo cerrado.

094.272.4224.2125.5 234 =++++ SSSS [164] Luego, la ecuación característica del sistema de control de temperatura en lazo cerrado con controlador PID y prefiltro presenta los siguientes polos:

−−=+−=

−=−=

→

jS

jS

S

S

Polos

3180.31070.1

3180.31070.1

6615.1

3745.1

4

3

2

1

137

El sistema de control de temperatura en lazo cerrado es estable dado que de las raíces de la ecuación característica dos de ellas son reales negativas y se tiene un par de raíces complejas conjugadas con parte real negativa, es decir, todas las raíces se encuentran en el semiplano izquierdo del plano S, tal como se muestra en la gráfica del LGDR de la Figura 82. Figura 82. Lugar geométrico de las raíces del sistema de control de temperatura con controlador PID y prefiltro

La Figura 82, se muestra el valor el diagrama de localización de las raíces del sistema de control de temperatura en lazo cerrado con los respectivos valores del coeficiente de amortiguamiento. Por tanto, la ley de control implementada cumple con los requerimientos del sistema al tener un sistema estable, con mínimo porcentaje de sobreelongación y mantener el lugar de las raíces dentro del valor de amortiguamiento relativo deseado para cualquier valor de la ganancia proporcional. Figura 83. Diagrama de localización de las raíces con la ganancia de 27.94

138

9. CONCLUSIONES

Las variaciones en accesorios, válvulas, diámetros de tubería, etc. Alteran la carga total sobre la bomba. Esto conlleva al cambio de caudal y de la potencia necesaria para impulsar el fluido y la eficiencia de la bomba. La válvula de control presenta comportamiento diferente antes y después de su instalación debido a la variación de la caída de presión con el cambio de apertura de la válvula. El segundo intercambiador de calor es un elemento adicional que se diseña con el fin de evitar el desperdicio de agua ya que el agua se puede reutilizar y no se encuentra a una temperatura muy alta que pueda afectar las variables de control.

Mediante el uso de una adecuada ley de control se logró hacer nulo el error en estado estacionario, lográndose de esta forma cumplir con el objetivo de funcionamiento de la planta.

La sintonización del controlador presenta un buen desempeño, el cual se puede garantizar ya que éste depende del modelo de la planta, el cual representa a satisfacción las características dinámicas del proceso controlado.

Se ha desarrollado una estrategia de control basada en el método de sintonización ITAE para una planta de tercer orden. El esquema de control fue aplicado satisfactoriamente en la simulación donde el resultado obtenido fue satisfactorio en cuanto al seguimiento de la referencia para la temperatura de proceso a la salida del intercambiador de calor de control, teniendo un buen rechazo a la perturbación (cambio de temperatura del agua de enfriamiento).

139

BIBLIOGRAFIA

BEQUETTE, B. Wayne. Process Control: Modeling, design and simulation. New Jersey: Prentice Hall, 2003. 769 p. CENGEL, Yunus A; BOLES, Michael A. Termodinámica. 2 ed. México: McGraw Hill, 1996. 448 p. DORF, Richard; BISHOP Robert. Sistemas de Control Moderno. 10 ed. Madrid:Prentice Hall, 2005. 882 p. ENRIQUEZ HARPER, Gilberto. El ABC de la instrumentación en el control de procesos industriales. México: Limusa, 2004. 292 p. ICROPERA, Frank; DE WITT, David. Fundamentos de transferencia de calor. 4 ed. México: Prentice Hall, 1996. 886 p. JOHNSON, Curtis D. Process control instrumentation technology. 4 ed. New Jersey: Prentice Hall, 1993. 592 p. KERN, Donald Q. Procesos de transferencia de calor. México: Cotinental S.A, 1974. 952 p. KUO, Benjamin C. Sistemas de control automático. 7 ed. México: Prentice Hall, 1996. 897 p. MATAIX, Claudio. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas. 2 ed. México: Alfaomega, 2004. 660 p. MUNSON, Bruce R; OKIISHI, Theodore H. Fundamentos de Mecánica de Fluidos. México: Limusa Willey, 1999. 867 p. OGATA, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna. 4 ed. Madrid: Prentice Hall, 2003. 965 p.

140

PITA, Edward G. Principios y sistemas de refrigeración. México: Limusa, 2004. 497 p. PÉREZ LÓPEZ, Cesar. Matlab y sus aplicaciones en la ingeniería. Madrid: Prentice Hall, 2003. 610 p. RAMIREZ SCARPETTA, José Miguel. Notas de clase: Control I y Control II. Santiago de Cali: Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Universidad del Valle, 2005. 295 p. SHIGLEY, Joseph E; MISCHKE Charles R. Diseño en ingeniería mecánica. 6 ed. México: McGraw Hill, 2002. 1257 p. SMITH, Carlos A; CORRIPIO, Armando B. Principles and practice of automatic process control. 2 ed. New York: John Wiley & Sons, 1997. 768 p. SMITH, Carlos A; CORRIPIO, Armando B. Control automático de procesos: Teoría y práctica. México: Limusa, 2001. 717 p. VIEJO ZUBICARAY, Manuel; ALVAREZ FERNANDEZ, Javier. Bombas: Teoría, diseño y aplicaciones. 3 ed. México: Limusa, 2003. 239 p. WARNER, Leonhard. Introduction to control engineering and linear control systems. Berlin: Springer Verlag, 1976. 237 p. ZEMANSKY, Mark W. Calor y Termodinámica. 2 ed. Madrid: Aguilar, 1979. 429 p.

141

ANEXOS

Anexo A. Tablas de pérdidas por fricción para agua

Tabla 1

VIEJO ZUBICARAY, Manuel. ALVAREZ FERNANDEZ, Javier. Bombas: Teoría, diseño y aplicaciones. 3 ed. México: Limusa, 2003. p 204.

142

Tablas de pérdidas por fricción para agua Tabla 1

VIEJO ZUBICARAY, Manuel. ALVAREZ FERNANDEZ, Javier. Bombas: Teoría, diseño y aplicaciones. 3 ed. México: Limusa, 2003. p 205.

143

Tablas de pérdidas por fricción para agua Tabla 2

VIEJO ZUBICARAY, Manuel. ALVAREZ FERNANDEZ, Javier. Bombas: Teoría, diseño y aplicaciones. 3 ed. México: Limusa, 2003. p 206.

144

Tablas de pérdidas por fricción para agua Tabla 2

VIEJO ZUBICARAY, Manuel. ALVAREZ FERNANDEZ, Javier. Bombas: Teoría, diseño y aplicaciones. 3 ed. México: Limusa, 2003. p 207.

145

Tablas de pérdidas por fricción para agua Tabla 3

VIEJO ZUBICARAY, Manuel. ALVAREZ FERNANDEZ, Javier. Bombas: Teoría, diseño y aplicaciones. 3 ed. México: Limusa, 2003. p 208.

146

Tablas de pérdidas por fricción para agua Tabla 3

VIEJO ZUBICARAY, Manuel. ALVAREZ FERNANDEZ, Javier. Bombas: Teoría, diseño y aplicaciones. 3 ed. México: Limusa, 2003. p 209.

147

Anexo B. Catálogo de la bomba de alimentación

148

149

Anexo C. Densidad, viscosidad dinámica y cinética en función de la temperatura a presión atmosférica.

Temperatura (ºC)

Densidad (kg/m3)

Viscosidad Dinámica µ (105 kg/ms)

Viscosidad Cinemática νννν

(106 m2/s) 0 999.8 178.7 1.787 2 999.9 167.1 1.671 4 1000 156.2 1.562 6 999.9 146.4 1.464 8 999.8 137.6 1.375

10 999.7 130.5 1.307 12 999.4 122.6 1.277 14 999.2 116.1 1.163 16 998.9 110.4 1.106 18 998.5 105.2 1.053 20 998.2 100.2 1.0038 22 997.7 95.5 0.957 24 997.2 91.1 0.914 26 996.6 87.2 0.875 28 996.1 83.4 0.837 30 995.7 79.7 0.801 32 994.9 76.4 0.768 34 994.2 74.1 0.745 36 993.4 70 0.705 38 992.8 68 0.685 40 992.2 65.3 0.658 45 990.2 59.8 0.604 50 988 54.8 0.554 55 985.7 50.5 0.512 60 983.2 46.7 0.475 65 980.6 43.4 0.443 70 977.8 40.4 0.413 75 974.8 37.8 0.388 80 971.8 35.5 0.365 85 968.6 33.4 0.345 90 965.3 31.5 0.326 95 961.8 29.8 0.310

100 958.4 28.2 0.295 150 916.9 18.6 0.205 200 864.6 13.6 0.161 250 799.2 10.9 0.140 300 712.4 8.91 0.132

MATAIX, Claudio. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas. 2 nd. México: Alfaomega, 2004. p. 17.

150

Anexo D. Nomograma de pérdida de carga secundaria de la firma Gould Pumas, USA.

MATAIX, Claudio. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas. 2 nd. México: Alfaomega, 2004. p. 248.

151

Anexo E. Hoja de cálculo del intercambiador de calor de control Para diseñar el intercambiador de calor de control se realizó siete pruebas para siete valores de temperatura a la salida del serpentín y con un flujo másico del fluido de proceso de 0.21 Kg/s y una sola línea de tubería. Para garantizar una buena transferencia de calor así como un buen salto térmico y dimensiones aceptables del intercambiador de calor se seleccionó las condiciones máximas de operación de la prueba 4. Las Tablas 1, 2, 3 y 4 muestran los resultados de las diferentes pruebas con sus respectivas gráficas. Tabla 1. Variación de la temperatura media logarítmica respecto a la variación de la temperatura de salida del serpentín

TEMPERATURAS Prueba T1 (ºC) T2 (ºC) T3 (ºC) T4 (ºC) ∆Tml (ºC) Q (w) toenfriamienm&

1 100 90 25 30 67 8845 0.42 2 100 80 25 30 62 17668 0.85 3 100 70 25 30 57 26469 1.27 4 100 60 25 30 50 35258 1.69 5 100 50 25 30 44 44031 2.11 6 100 40 25 30 36 52791 2.53 7 100 30 25 30 25 61552 2.95

Los resultados registrados en la Tabla 1, muestran que el flujo de masa de enfriamiento necesario para disipar cierta carga térmica, aumenta a medida que la diferencia de temperatura media logarítmica sea menor.

Figura 1. Gráfica de variación de la temperatura media logarítmica respecto de la temperatura de salida del serpentín

152

Para el fluido de proceso que viaja por el interior del serpentín del intercambiador de calor se tienen los siguientes resultados. Tabla 2. Resultados del coeficiente de transferencia de calor por convección h para el fluido de proceso.

FLUIDO INTERNO AGUA DE PROCESO Prueba µ DI K Pr Re f NuD h

1 0,000279 0,0109 0,679 1,80 8,79E+04 0,018 300 18413 2 0,000306 0,0109 0,677 1,91 8,02E+04 0,019 257 15988 3 0,000324 0,0109 0,674 2,02 7,57E+04 0,019 253 15669 4 0,000352 0,0109 0,670 2,20 6,97E+04 0,019 248 15248 5 0,000365 0,0109 0,668 2,29 6,72E+04 0,020 246 15074 6 0,000389 0,0109 0,668 2,45 6,31E+04 0,020 242 14826 7 0,000420 0,0109 0,660 2,66 5,84E+04 0,020 237 14354

Figura 2. Gráfica de variación del coeficiente de transferencia de calor por convección respecto de la diferencia de temperatura media logarítmica

153

Para el fluido de enfriamiento que viaja por el exterior del serpentín del intercambiador de calor a temperatura ambiente, se tienen los siguientes resultados. Tabla 3. Resultados del coeficiente de transferencia de calor por convección h para el fluido de enfriamiento.

Prueba DI V (m/s) µ ρ K Pr Re NuD H agua 1 0,02 1E+00 0,000855 996,35 0,613 5,83 2,001E+05 1667 8044 2 0,02 3E+00 0,000855 996,35 0,613 5,83 4,00E+05 2355 11369 3 0,02 4E+00 0,000855 996,35 0,613 5,83 5,99E+05 2883 13915 4 0,02 5E+00 0,000855 996,35 0,613 5,83 7,98E+05 3327 16060 5 0,02 7E+00 0,000855 965,3 0,613 5,83 9,96E+05 3718 17947 6 0,02 8E+00 0,000855 996,35 0,613 5,83 1,19E+06 4071 19652 7 0,02 9E+00 0,000855 996,35 0,613 5,83 1,39E+06 4396 21220

Figura 3. Gráfica de variación del coeficiente de transferencia de calor por convección respecto de la diferencia de temperatura media logarítmica

154

Finalmente, se tienen los resultados del coeficiente global de transferencia de calor por convección y de la longitud de la tubería del serpentín. Para reducir las dimensiones del intercambiador de calor, se dispone de la tubería en forma de serpentín con un determinado número de pasos. Entre mayor sea el número de pasos, menor será la longitud de cada tramo recto de la tubería del serpentín. Tabla 4. Resultados del coeficiente global de transferencia de calor y de la longitud de la tubería del intercambiador de calor

Prueba U L (m) Nº Pasos L tramo (m) 1 5598 0.7 9 0,1 2 6644 1.2 9 0,1 3 7370 1.9 11 0,2 4 7822 2.6 11 0,2 5 8193 3.7 11 0,3 6 8451 5.4 11 0,5 7 8562 10.0 11 0,9

Figura 4. Gráfica del coeficiente global de transferencia de calor versus la longitud de la tubería.

155

Anexo F. Diagrama de Moody

Pérdidas primarias en conductos cerrados o tuberías

MATAIX, Claudio. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas. 2 nd. México: Alfaomega, 2004. p. 217.

156

Anexo G. Catálogo de la válvula de control tipo bola

157

Anexo H. Relación Temperatura - f.e.m (milivoltios) termocupla tipo J.

ºC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 1.019 1.070 1.122 1.174 1.225 1.277 1.329 1.381 1.432 1.484 30 1.536 1.588 1.640 1.693 1.745 1.797 1.849 1.901 1.954 2.006 40 2.058 2.111 2.163 2.216 2.268 2.321 2.374 2.426 2.479 2.532 50 2.585 2.638 2.691 2.743 2.796 2.849 2.902 2.956 3.009 3.062 60 3.115 3.168 3.221 3.275 3.328 3.381 3.435 3.488 3.542 3.595 70 3.649 3.702 3.756 3.809 3.863 3.917 3.971 4.024 4.078 4.132 80 4.186 4.239 4.293 4.347 4.401 4.455 4.509 4.563 4.617 4.671 90 4.725 4.780 4.834 4.888 4.942 4.996 5.050 5.105 5.159 5.213 100 5.268 5.322 5.376 5.431 5.485 5.540 5.594 5.649 5.703 5.758 110 5.812 5.867 5.921 5.976 6.031 6.085 6.140 6.195 6.249 6.304

PALLÁS ARENY, Ramón. Sensores y acondicionadores de señal. 3 ed. México: Alfaomega, 2004. p. 279.

158

Anexo I. Símbolos para instrumentos de medición y aparatos de control

Tabla 1. Significado de las letras de los globos de un diagrama ISA

LETRA PRIMERA SEGUNDA A Análisis Alarma B Quemador C Conductividad Control D Densidad E Voltaje Elemento primario F Flujo G Medición Vidrio (tubo de vista) H Manual I Corriente eléctrica Indicado J Potencia K Tiempo Estación de control L Nivel Luz (lámpara) M Humedad O Orificio P Presión Punto Q Cantidad R Radioactividad Registro S Velocidad Switch T Temperatura Transmite U Multivariable Multifunción V Viscosidad Válvulas W Peso Bien Y Relevador Z Posición Accionamiento

ENRIQUEZ HARPER, Gilberto. El ABC de la instrumentación en el control de procesos industriales. México: Limusa, 2004. p. 32-33. En un diagrama ISA, para designar los instrumentos usados en los procesos de control, se usa un círculo denominado “globo”, dentro del globo se indica un código que dice la función y naturaleza del dispositivo representado, el código está dado por dos letras que indican de qué dispositivo se trata y números que identifican el lazo de control del proceso en el cual el elemento desarrolla una función.

ENRIQUEZ HARPER, Gilberto. El ABC de la instrumentación en el control de procesos industriales. México: Limusa, 2004. p. 32.

159

Instrumentos generales y funciones

ENRIQUEZ HARPER, Gilberto. El ABC de la instrumentación en el control de procesos industriales. México: Limusa, 2004. p. 40.

160

Instrumentos generales y funciones

ENRIQUEZ HARPER, Gilberto. El ABC de la instrumentación en el control de procesos industriales. México: Limusa, 2004. p. 41.

161

Anexo J. Propiedades termofísicas del agua saturada

ICROPERA, Frank; DE WITT, David. Fundamentos de transferencia de calor. 4 ed. México: Prentice Hall,1996. p. 846.

162

Propiedades termofísicas del agua saturada

ICROPERA, Frank; DE WITT, David. Fundamentos de transferencia de calor. 4 ed. México: Prentice Hall,1996. p. 847.

163

Propiedades termofísicas del agua saturada

CENGEL, Yunus A; BOLES, Michael A. Termodinámica. 2 ed. México: McGraw Hill, 1996. Apéndice A-10.

164

Propiedades termofísicas del agua saturada

CENGEL, Yunus A; BOLES, Michael A. Termodinámica. 2 ed. México: McGraw Hill, 1996. Apéndice A-11.

165

Anexo K. Código Matlab para el sistema de control de temperatura

Sistema en lazo abierto

clc; clear; echo on %CONTROL DE TEMPERATURA - LAZO ABIERTO %Por: Luis Daladier Meneses Guerrero. %UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE-2006 echo off num1=input( 'Escriba el numerador de la válvula G1 []:\n' ); den1=input( 'Escriba el denominador de la válvula []:\n' ); G1=tf(num1,den1); k=input( 'Escriba la ganancia de la planta:\n' ); num2=input( 'Escriba el numerador de la planta []:\n' ); den2=input( 'Escriba el denominador de la planta []:\n' ); G2=tf(num2,den2); G=G1*k*G2; t=[0:0.5:30]; [y,T]=step(G,t); plot(T,y) grid xlabel( 'Tiempo (segundos)' ),ylabel( 'Respuesta a un escalón' )

Sistema en lazo cerrado sin controlador

clc; clear; echo on %CONTROL DE TEMPERATURA - LAZO CERRADO %Por: Luis Daladier Meneses Guerrero. %UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE-2006 echo off num1=input( 'Escriba el numerador de la válvula []:\n' ); den1=input( 'Escriba el denominador de la válvula []:\n' ); G1=tf(num1,den1); k=input( 'Escriba la ganancia de la planta:\n' ); num2=input( 'Escriba el numerador de la planta []:\n' ); den2=input( 'Escriba el denominador de la planta []:\n' ); G2=tf(num2,den2); G=G1*k*G2; GT=feedback(G,[1]); t=[0:0.5:30]; [y,T]=step(GT,t); plot(T,y) grid xlabel( 'Tiempo (segundos)' ),ylabel( 'Respuesta a un escalón' )

166

Código Matlab para el sistema de control de temperatura

Sistema en lazo cerrado con controlador

clc; clear; echo on %CONTROL DE TEMPERATURA - CONTROLADOR PID %Por: Luis Daladier Meneses Guerrero. %UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE-2006 echo off Kp=input( 'Escriba la ganancia proporcional:\n' ); num=input( 'Escriba el numerador del controlador []:\n' ); den=input( 'Escriba el denominador del controlador []:\n' ); GC=tf(num,den); num1=input( 'Escriba el numerador de la válvula de control []:\n ' ); den1=input( 'Escriba el denominador de la válvula de control []: \n' ); G1=tf(num1,den1); K=input( 'Escriba la ganancia de la planta:\n' ); num2=input( 'Escriba el numerador de la planta []:\n' ); den2=input( 'Escriba el denominador de la planta []:\n' ); G2=tf(num2,den2); G=Kp*GC*G1*K*G2; GT=feedback(G,[1]); t=[0:0.5:50]; [y,T]=step(GT,t); plot(T,y) grid xlabel( 'Tiempo (segundos)' ),ylabel( 'Respuesta a un escalón' )