Redes Complexas na Modelagem de Redes de...

Introducao Caracterizacao Modelos Metodos estatısticos Aplicacoes Conclusoes Referencias

Redes Complexas na Modelagem de Redes deComputadores

Marcelo G. Almiron Heitor S. Ramos Eduardo M. OliveiraJoao G. M. de Menezes Daniel L. Guidoni Pedro O. StancioliFelipe D. da Cunha Andre L. L. de Aquino Raquel A. F. Mini

Alejandro C. Frery Antonio A. F. Loureiro

Abril de 2010

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Conteudo

Introducao

Caracterizacao de redes complexas

Modelos de redes complexas

Metodos estatısticos

Aplicacoes

Conclusoes

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Redes complexasIntroducao

E a intersecao entre teoria de grafos e mecanica estatıstica

Surgiu na decada dos 40, mais e so recentemente que tornou-se ponto fortede pesquisa

Isto foi motivado principalmente devido ao descobrimento de que redes“reais” tem caracterısticas que nao podem ser descritas simplesmenteconsiderando conexoes aleatorias uniforme entre vertices

Atualmente o interesse da area, nao e somente aplicar os conceitosdesenvolvidos a muitos dados reais e situacoes, mas tambem estudar aevolucao dinamica da topologia de redes

Caracterısticas dos estudos

Analise estatıstica de propriedades de grafos de larga escala

Redes com centenas a milhoes e ate mesmo bilhoes de vertices

Essa grande escala leva a necessidade de criar novas tecnicas e teorias,dando lugar a teoria de redes complexas

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Redes complexas

Aplicacao em redes de computadores

Roteamento na Internet (IP, Sistemas Autonomos (AS), ou outros nıveis)

Grafos que representam as aplicacoes Web, como por exemplo as ligacoesentre blogs

Redes ponto a ponto (P2P), overlays e exchanges

Correio eletronico e outros tipos de comunicacao entre os usuarios

Redes sociais on-line como o Facebook e Flickr

Processo de disseminacao de vırus e worms

Grafos dinamicos que representem mobilidade e redes de sensores sem fio

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Objetivos do minicurso

Introduzir os conceitos de medidas de caracterizacao

Apresentar os modelos de redes complexas mais expressivos para a area deredes de computadores

Incentivar a boa pratica na aplicacao dos metodos estatısticos basicos emredes complexas

Apresentar alguns exemplos de uso da teoria de redes complexas namodelagem de redes de computadores

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Conteudo

Introducao




Aplicacoes

Conclusoes

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Revisao de grafosGrafo direcionado simples

E uma dupla ~G = (V, ~E), onde V e um conjunto finito de vertices, e ~E eo conjunto de arcos

Cada arco e um par ordenado de vertices (u, v), com u 6= v

Grafo nao direcionado simples

E uma dupla G = (V,E), onde V e um conjunto finito de vertices, e E eo conjunto de arestas

Cada aresta e um conjunto de vertices u, v, com u 6= v

Matriz de adjacencia

E uma representacao de grafos

Para um grafo ~G = (V, ~E), e uma matriz A( ~G) de dimensao |V | × |V |,definida por

A( ~G)[i, j] =

1 se (i, j) ∈ ~E,0 caso contrario.

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Revisao de grafos

Grafo valorado

E um grafo onde cada arco (ou aresta) tem um valor associado, tambemconhecido como “peso” (temos uma funcao Π: E → P associada aografo)

Matriz de pesos

E uma generalizacao da matriz de adjacencia

Para um grafo ~G = (V, ~E) e uma funcao Π: E → P , e uma matriz

W ( ~G) de dimensao |V | × |V |, definida por

W ( ~G)[i, j] =

Π((i, j)) se (i, j) ∈ ~E,∞ caso contrario.

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Revisao de grafos

Adjacencia e grauConsideremos um grafo direcionado ~G = (V, ~E)

Um vertice v e adjacente a u se A( ~G) = 1

A quantidade de vertices adjacentes a u chama-se grau de u, ediferenciamos entre

• grau de saıda

koutu ( ~G) =

Xv 6=u

A[u, v]

• grau de entrada

kinu ( ~G) =

Xv 6=u

A[v, u]

• grauku( ~G) = kout

u ( ~G) + kinu ( ~G)

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Revisao de grafos

Vizinhanca

A vizinhanca de um vertice u e definida como Nu = v | (u, v) ∈ E Para grafos nao direcionados, temos que |Nu| = ku

Grafo conexoUm grafo nao direcionado simples G = (V,E) e dito conexo se existe umcaminho simples u v, para todo vertice u ∈ V e todo vertice v ∈ V

Grafo fortemente conexoUm grafo direcionado simples ~G = (V, ~E) e dito fortemente conexo se existeum caminho simples u v, para todo vertice u ∈ V e todo vertice v ∈ V

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Revisao de grafos

Caracterıstica polinomial

E o determinante det(xI −A(G)), onde I e a matriz identidade dedimensao |V | × |V |, e x uma variavel real

Autovalores de um grafo

Os autovalores de um grafo G = (V,E) sao as raızes da caracterısticapolinomial

O espectro de um grafo G = (V,E) e o multiconjunto de autovaloresassociados

Seja |V | = m, entao existem m autovalores associados a G

Laplaciano de um grafo

O laplaciano L de um grafo G define-se como L = D−A(G), onde D ea matriz diagonal de graus dos vertices de G

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Revisao de grafos

Conectividade algebrica

A conectividade algebrica do grafo G = (V,E) com laplaciano L deautovalores λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn e λ2

Exemplos

(a) λ2 = −1, 591 · 10−16 (b) λ2 = 0 (c) λ2 = 0, 486

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Tipos de redes complexas

Grafosdirecionados

valorados

Grafos direci-onados naovalorados

Grafos naodirecionados

valorados

Grafos naodireciona-dos nao

valorados

limiar simetria

simetria limiar

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Caracterizacoes e representacoes

Caracterizacao

Representacao

~µ =

µ1

µ2

...µm

Caracterizacao

Representacao

~µT =

µT1

µT2

...µTm

T

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Estudo do dinamismo

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Medidas relacionadas a distancia

O conceito de distancia esta associado a quantidade de arestas contidas emum caminho que conecta dois vertices

Distancia geodesicaE o comprimento do caminhomınimo entre dois nos. No exemplo:d1,5 = 2 e d1,7 =∞

1

3

2

54

76

Comprimento medio dos caminhosmınimosSeja um grafo G = (V,E), definimosesta medida por

L =1

N(N − 1)

∑i 6=j

di,j

% Se nao tiver nenhum caminho entrealgum par de vertices em G?

Eficiencia global Media harmonica

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Medidas relacionadas a agrupamentos e ciclos

Estas medidas foram propostas com o intuito de estudar a estrutura cıclicaem redes e a tendencia a formarem conjuntos de vertices agrupados

Coeficiente de agrupamentoExistem duas maneiras de caracterizar a presenca de loops de grau 3:

1. C = 3N4N3

, onde

• N4 e a quantidade de triangulos• N3 e a quantidade de triplas

conexas

2. C = 1N

∑iCi, onde

• Ci =3N4(i)

N3(i)

1

3

2

5

4

7

6

Estas medidas do coeficiente de agrupamento nao sao equivalentes

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Medidas relacionadas a agrupamentos e ciclos

Coeficiente “clube dos ricos” de grau k

A ideia e captar o fenomeno “os ricostendem a fazer negocios com outros ricos”

Um exemplo deste comportamento e arede de colaboracoes cientıficas eco-autoria em publicacoes

Formalmente,

φ(k) =

∑i,j∈R(k) ai,j

|R(k)|(|R(k)| − 1)

onde R(k) e o conjunto de vertices nografo que tem grau maior a k

Exemplo para k = 3:R(3) = 6, 7, 10 eφ(3) = 1

10

1

3

2

5

4

7

6

98

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Medidas de centralidade

Quantificar a intuicao de queexistem vertices mais centrais

Ranquear os vertices porimportancia topologica

Caracterısticas mais comunsutilizadas pelas medidas:

• distancia• vizinhanca• caminhos mınimos

11

10

13

12

15

14

16

1

3 2

54

7

6

98

Centralidade de grauE a quantidade de arestas associada aum vertice

CD(u) =k(u)

N − 1

Quando temos arcos em lugar dearestas

• CDin(u) = kin(u)N−1

• CDout(u) = kout(u)N−1

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Excentricidade

Mede a distancia maxima entreum vertice u e qualquer outrovertice v do grafo

Ecc(u) = maxv∈V

du,v

Os vertices com menor Eccserao os mais centrais

4

2

43

33

4

3

3

3

O valor maximo de Ecc(u) e o diametro da rede

O valor mınimo de Ecc(u) e o raio da rede

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Medidas de centralidadeCloseness

Nocao de proximidade

Existem varias definicoes desta medida, sendo que ha duas principais

1. Distancia geodesica media de umvertice u aos outros vertices

CCL(u) =

∑v 6=u du,v

N − 1

2. Recıproca da soma total dasdistancias geodesicas de um verticeu aos outros vertices

CCL(u) =1∑

v 6=u du,v

21

14

2317

1517

20

20

17

14

% E se a rede for desconexa? CCL(u) =∞ e CCL(u) = 1∞ = 0, ∀u ∈ V

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Medidas de centralidadeCloseness

Quando um vertice e mais central para estas medidas?

Para CCL(u) =Pv 6=u du,v

N−1, os valores menores representam maior

centralidade

Para CCL(u) = 1Pv 6=u du,v

, os valores maiores representam maior

centralidade

Excentricidade vs. Closeness

Vertice mais centralsegundo Ecc

Vertice mais centralsegundo CCL

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Stress centrality

Enumeracao dos caminhosmınimos (geodesicos)

Numero de caminhos mınimos quepassam por u

CS(u) =∑s 6=u

∑t 6=u

σs,t(u)

onde σs,t(u) e a quantidade decaminhos mınimos de s ate tpassando por u

Grau de intermediacao(betweenness)

Stress centrality ponderado portodos os caminhos mınimos de sate t presentes no grafo

CB(u) =∑s 6=u

∑t 6=u

σs,t(u)

σs,t

Nao possui problema para grafosdesconexos; a fracao referente aum par de vertices que nao saoalcancaveis vale 0

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Page-RankTM

Baseado num modelo do comportamento de usuario que navega pelaspaginas

Modelo considera um usuario que fica entediado e vai para uma paginaaleatoria com probabilidade 1− d

PR(u) =1− dN

+ d∑v∈Bu

PR(v)

L(v)

• Bu e o conjunto de paginas que tem links apontando para u• L(v) e o numero de hiperlinks que apontam para v• Por estudos feitos variando-se o valor de d, em geral assume-se d = 0.85

O Page-Rank de u e calculado recursivamente atraves do Page-Rank daspaginas que apontam para u

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Conteudo

Introducao




Aplicacoes

Conclusoes

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Introducao

A observacao de padroes comuns no comportamento de redes, estimuloudiversos pesquisadores a desenvolverem modelos que descrevem ecaracterizam tais comportamentos

Os seguintes modelos foram amplamente utilizados e estudados emdiferentes areas de conhecimento:

1. Modelos de grafos aleatorios =⇒ fusao de teoria de grafos comprobabilidade (Erdos e Renyi, 1959)

2. Modelos de mundo pequeno (small world) =⇒ existencia de caminhosgeodesicos pequenos e ciclos de tamanho 3 (Milgram, 1967; Watts eStrogatz, 1998)

3. Modelos livres de escala (scale free) =⇒ associacao preferencial (Barabasi eAlbert, 1999)

4. Modelos de comunidades =⇒ clusters ou modulos (Girvan e Newman,2002)

5. Modelos geograficos =⇒ distancia Euclideana e processos pontuais(Gilbert, 1961)

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Grafos aleatorios E um dos modelos de redes mais simples e antigo

Foram inicialmente estudados por Solomonoff e Rapoport e extensivamenteestudados por Paul Erdos e Alfred Renyi

Erdos e Renyi estudaram dois diferentes modelos de grafos aleatorios :Gn,m e Gn,p

O modelo Gn,m

Gn,m e o conjunto de todos osgrafos que consistem de n verticese m arestas

Geracao de amostra: adicionar marestas “aleatorias” entre os nvertices

Exemplar para G8,5

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Grafos aleatorios

O modelo Gn,p

Gn,p e o conjunto de todos os grafos que consistem de n vertices, ondecada par de vertices e conectado de acordo com uma probabilidade p

Geracao de amostra: adicionam-se arestas entre todos os pares de verticessegundo uma probabilidade p

p = 0 p = 0.1 p = 0.15

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Grafos aleatorios

Gn,m possui uma quantidade fixa de arestas (m arestas)

Gn,p possui uma quantidade variavel de arestas (de acordo com o valor p)

A quantidade de arestas criadas no modelo Gn,p e proporcional a p epossui em media a quantidade de arestas

pn(n− 1)

2

Gn,m possui uma distribuicao de grau binomial. Assim, a probabilidade pkque um vertice qualquer seja conectado por exatamente k outros vertices(vizinhanca de tamanho k) e

pk =(n

k

)pk(1− p)n−k

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Grafos aleatorios

Distribuicao de grau para o modelo Gn,p

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Mundo pequeno (Small world)

Redes small world recebem esse nome por analogia ao fenomeno smallworld, tambem conhecido como ”seis graus de separacao”

O fenomeno small world corresponde a hipotese de que em uma rede sociala distancia para conectar duas pessoas quaisquer em qualquer lugar domundo e, em geral, pequena.

Em 1967, Stanley Milgram testou experimentalmente essa hipotese edescobriu que, em media, apenas 6 pessoas separam quaisquer pessoas nomundo

Caracterısticas

Para uma rede ser chamada de small world, ela deve possuir as seguintescaracterısticas:

1. Pequeno comprimento medio de caminhos mınimos entre nos2. Alto coeficiente de agrupamento

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Como saber o que e um pequeno comprimento medio de caminhos mınimose alto coeficiente de agrupamento? Devemos comparar essas metricas como grafo aleatorio “correspondente”

L La C CaAtores 3.65 2.99 0.79 0.00027Rede de Energia 18.7 12.4 0.080 0.005C. elegans 2.65 2.25 0.28 0.05

Tabela: Exemplos empıricos de redes small world

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Modelo de Watts & Strogatz

Nesse modelo, parte-se de um grafo regular e, para cada aresta do grafo, aaresta em questao e reposicionada no grafo de maneira aleatoria segundouma probabilidade pre-definida p

p = 0 0 < p 1 p = 1Grafo regular Grafo Small World Grafo Aleatorio

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Distribuicao de grau para o modelo de Watts & Strogatz

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Modelo de Watts & Newman

Para cada aresta existente no grafo regular, uma nova aresta e adicionadasegundo uma probabilidade p

p = 0 0 < p 1 p = 1Grafo regular Grafo Small World Grafo Aleatorio

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Modelo de Kleinberg

Nos modelos anteriores uma aresta e reposicionada ou adicionada segundouma probabilidade fixa p

No modelo de Kleinberg, uma aresta e adicionada no grafo original segundouma probabilidade

p =1

(di,j)r

Aqui,• edi,j : distancia em hops entre os vertices i e j• r e o parametro estrutural que define o peso da distancia no calculo da

probabilidade.

Quando o valor de r e proximo de zero, a probabilidade de criacao de umaaresta entre os vertices i e j sera proxima de 1.

r pode ser entendido como um parametro de agrupamento.

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Livre de escala (Scale free)

Conceito

Sao redes em que a distribuicao de grau dos vertices segue uma lei depotencia

Pr(X = k) = ck−α

Aqui,• c e uma constante que geralmente e 1• k e o grau• 2 < α < 3 e o ındice de cauda

Considerando log(Pr(X = k)), temos log (ck−α) = log c− α log k

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Exemplos de redes livre de escala

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Modelo de Barabasi & Albert

Segue dois princıpios base

1. crescimento2. conexao preferencial

Uma rede e construıda seguindo osseguintes passos

1. Comecamos com uma rede conexacom n0 > 2 vertices

2. Um novo vertice i e adicionado arede representada pelo grafo

3. Ele conecta-se a outro no j existentena rede com probabilidade

pi,j =kjP

u 6=j ku

4. Volta para o passo 2

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pi,j =kjP

u 6=j ku


12

14

14

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pi,j =kjP

u 6=j ku


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pi,j =kjP

u 6=j ku


38

18

14

14

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pi,j =kjP

u 6=j ku


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Formacao de hubs

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Distribuicao de grau para o modelo de Barabasi & Albert

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Comunidades

Conceito

Sentido forte: vertices dacomunidade tem mais conexoesentre eles que com o resto da rede

Sentido fraco: soma do grau detodos os vertice dentro dosub-grafo e maior que fora dele

Problema: com estas definicoes, toda uniao de comunidades e umacomunidade tambem!

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Comunidades

Modelo de Girvan & Newman

Construcao

1. N vertices sao classificados em c grupos (comunidades)2. Cada par de vertices sao conectados com probabilidade pin caso eles

pertencam a mesma comunidade, caso contrario eles sao conectados comprobabilidade pout

Quando pin pout comunidades podem ser facilmente identificadas

Quando pin ≈ pout as comunidades misturam-se

Como mensurar a qualidade da identificacao?

Dado que identificamos c comunidades na rede, a modularidade Q diz aqualidade da identificacao

Seja E uma matriz de c× c onde cada elemento eij indica a proporcao deconexoes entre vertices da comunidade i e vertices da comunidade j

Logo definimos a modularidade Q =∑i(eii − (

∑j eij)

2)

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ComunidadesExemplo

1

3

2

Calculamos E ∗ 31

1 2 31 14 2 12 2 8 13 1 1 5

Q =

(14

31−(

17

31

)2)

+

(8

31−(

11

31

)2)

+

(5

31−(

7

31

)2)

= 0.39334027

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ComunidadesExemplo

1

3

2Calculamos E ∗ 31

1 2 31 14 2 12 2 8 13 1 1 5

Q =

(14

31−(

17

31

)2)

+

(8

31−(

11

31

)2)

+

(5

31−(

7

31

)2)

= 0.39334027

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Geograficas

Conceito

Incorpora um elemento a mais queos outros modelos apresentadosnao consideram: o posicionamentodos vertices no espaco

A conectividade de dois vertices darede quaisquer, pode estardeterminado por varios fatoresgeograficos

• Distancia Euclideana• Acidentes geograficos• Limitacoes territoriais• Fatores ambientais

Modelo simples

1. Distribuir N vertices num espacod-dimensional Ω

2. Conectar dois vertices i e j comuma probabilidade que decaia coma distancia, por exemplo

Pr((i, j) ∈ E(G)) ∼ e−λδi,j

onde• δi,j e a distancia Euclideana

entre os vertices i e j• λ fixa a escala de comprimento

das arestas

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Geograficas

Grafos aleatorios geometricos

E basicamente o modelo simplesapresentado anteriormente

Neste modelo a conectividade edeterminada de maneiradeterminıstica como segue

(i, j) ∈ E(G) ⇐⇒ δi,j ≤ r

r

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Conteudo

Introducao




Aplicacoes

Conclusoes

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Processos pontuais

Sao uteis para para modelar o posicionamento dos vertices em redesgeograficas

Sem perda de generalidade vamos considerar redes em [0, `]2

O modelo mais simples na literatura de redes ad hoc e o URP (UniformRandom Placement)

O modelo URP e conhecido na literatura de processos pontuais comoProcesso Pontual de Poisson, e tem as caracterısticas a seguir:

1. Estacionariedade: a distribuicao de pontos numa regiao dada e invariavel nodeslocamento da regiao a outra posicao do plano

2. Independencia: a quantidade de pontos em regioes disjuntas saoindependentes

3. Ausencia de acumulacao: somente teremos uma quantidade finita de pontosnuma regiao limitada, sendo que essa quantidade e proporcional a area daregiao

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Processos pontuaisDeposicao URP

1. Observar n, ocorrencia da variavel aleatoria N com distribuicao de Poisson

e parametro λ = η`2, isto e, Pr(N = k) = e−λλk

k!

2. Observar 2n ocorrencias de variaveis aleatorias independentes eidenticamente distribuıdas no intervalo [0, `]: (x1, y1, . . . , xn, yn)

3. Posicionar n pontos na regiao W nas coordenadas (x1, y1), . . . , (xn, yn)

Exemplos

(a) η = 10 (b) η = 100 (c) η = 100049 / 88


Experimentos Monte Carlo

Conceito

E uma ferramenta de aplicabilidade geral

So deve ser usada quando outras abordagens falham ou seriam muitodemoradas para dar uma resposta aceitavel

Para ilustrar o processo de construcao de um experimento Monte Carlo,vamos montar um experimento para um exemplo

Exemplo de construcao de experimento Monte Carlo

Consideramos uma rede ad hoc sem fio

Consideramos o modelo de deposicao URP para o posicionamento dos nosno espaco [0, `]2

Utilizamos o modelo de comunicacao UDG (Unit Disk Graph), que nao emais do que um modelo com a regra a seguir

(u, v) ∈ E ⇐⇒ (xu − xv)2 + (yu − yv)2 ≤ δ2c

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Experimentos Monte CarloNosso modeloA tripla (`, η, δc) estipula ou indexa um modelo onde ` determina a area deinteresse W , η e a intensidade do processo e δc e o raio de comunicacao quevai determinar a conectividade de dois nos quaisquer

ExemploTres eventos do modelo URP com intensidade η = 50 definido sobre a janelaW = [0, 1]2

(a) δc = 0.1 (b) δc = 0.2 (c) δc = 0.3551 / 88



Montar um experimento Monte CarloMontar um experimento Monte Carlo requer de duas etapas basicas:

1. O primeiro passo consiste em discretizar o conjunto de todas as situacoesde interesse formando, assim, o conjuntoΘ = [η1, . . . , ηM1]× [δc1, . . . , δcM2]

• O tamanho desse conjunto (M1M2), e a abrangencia dos intervalosdeverao ser tao grandes quanto possıvel, mas sem comprometer a execucaoda experiencia pelo tempo demandado

2. O segundo passo consiste em montar os algoritmos de simulacao, isto e, astecnicas que irao produzir os eventos do grafo aleatorio G para cadaθ ∈ Θ.

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Estrutura do experimento Monte Carlo

for cada η ∈ [η1, . . . , ηM1 ] dofor cada δc ∈ [δc1, . . . , δcM2 ] do

for cada r ∈ 1, . . . , NR doGerar o evento gr do modelo (`, η, δc)Calcular e armazenar (~µ)(gr)

end forend for

end forAnalisar resultados e procurar padroes

Observacoes

~µ e o conjunto de medidas (ou metricas) de interesse

NR e a quantidade de replicacoes que serao realizadas

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Determinando a quantidade de replicacoes

Suponhamos que queremos estimar uma proporcao p, desconhecida,atraves da repeticao de N experimentos dicotomicos independentes eidenticamente distribuıdos

Podemos estimar p atraves de

p =1

N

N∑i=1

Xi

p e uma variavel aleatoria, pois e o resultado de transformar as variaveisaleatorias X1, . . . , XN

Dizemos que p e um estimador de p

Uma vez realizada a experiencia e observado um valor particular nao temosmais um estimador mas sim uma estimativa

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Determinando a quantidade de replicacoes (continuacao)

Mediremos a variabilidade de um estimador atraves da acuracia; dizemosque o estimador p tem acuracia a ao nıvel 1− α, com α ∈ (0, 1) se

Pr(|p− p| < a) ≥ 1− α

Intuitivamente, se aumentarmos o tamanho da amostra N , o nossoestimador ficara cada vez mais confinado ao intervalo em volta doverdadeiro valor e, com isso, a probabilidade da equacao acima aumentaracom N

Valores tıpicos dessa probabilidade sao 90/100, 95/100, 99/100 e999/1000, que correspondem a α = 1/10, 5/100, 1/100 e 1/1000,respectivamente

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Suponhamos que desejamos a = 1/100 e α = 5/100, isto e, desejamoscalcular o tamanho da amostra N tal que

Pr(|p− p| < 10−2) ≥ 95/100

para todo valor de p ∈ (0, 1)

Equivalentemente, temos

Pr(−10−2 < p− p < 10−2) ≥ 95/100

Lembrando que a variancia de p e p(1− p)/N ,

Pr

(−

10−2√p(1−p)N

<p− p√p(1−p)N

<10−2√p(1−p)N

)≥ 95/100

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O Teorema Central do Limite afirma que, sob condicoes bastante gerais, asoma de variaveis aleatorias convenientemente padronizada e uma variavelaleatoria cuja distribuicao pode ser aproximada por uma lei gaussiana

Em particular, se X1, . . . , XN sao variaveis aleatorias independentes eidenticamente distribuıdas com esperanca µ e variancia σ2, entao

Pr( 1N

∑Ni=1Xi − µσ

∈ I)→∫I

1√

2πexp−t2/2dt,

quando N →∞, para qualquer intervalo I

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Se for possıvel considerar valido o Teorema Central do Limite para avariavel aleatoria

Z =p− p√p(1−p)N

,

entao e imediato que Pr(−1, 96 ≤ Z ≤ 1, 96) ≈ 95/100 e, com isso,

1, 96 =10−2√p(1−p)N

,

e daıN = (1, 96)2104p(1− p)

A equacao acima requer o valor de p que e desconhecido!

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Podemos substituir p na equacao anterior por uma primeira estimativap = M−1

∑Mj=1Xj baseada em M replicacoes, com M um numero

aceitavel de replicacoes

Se na nossa simulacao exploratoria determinarmos p = 1/10, entao oexperimento Monte Carlo que precisamos realizar requerN = (1, 96)2104(9/10)/10 ≈ 3457 replicacoes

Utilizando valores teoricos, temos

N =(tα/2a

)2

p(1− p)

A equacao acima fornece uma relacao util entre o numero mınimo dereplicacoes N necessario para ter precisao a ao nıvel de confianca 1− αna estimacao da proporcao p, onde tν e o quantil de ordem ν dadistribuicao gaussiana padrao

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Analise de dados de um ensaio Monte Carlo

Os dados de um ensaio Monte Carlo devem ser tratados como dados dequalquer experiencia empırica, isto e, devem ser convenientementecatalogados e organizados

Toda analise de dados e formada por operacoes que podem sercategorizadas em

1. analise qualitativa: costuma ser exploratoria2. analise quantitativa: e mais confirmatoria

A primeira procura hipoteses a serem verificadas ou descartadas com asegunda

Ambas podem ser feitas com ferramentas graficas ou quantitativas

Nao se trata de atividades lineares; sao operacoes que se realizam conformeo analista vai conhecendo os dados a procura de informacoes relevantes

Um bom analista dispoe de um amplo ferramental, e de experiencia paraguiar as atividades

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Conteudo

Introducao




Aplicacoes

Conclusoes

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Introducao

Exemplos onde a teoria de redes complexas ja foi empregada comexito

Enlace: Geracao e manutencao de topologia

Rede: Roteamento e multicast

Transporte: Controle de trafego e controle de fluxo

Aplicacao: Seguranca e reconfiguracao

Os tipos de redes onde a teoria foi empregada sao os seguintes

Internet

Peer-to-peer

Redes ad hoc

Redes de sensores sem fio

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Seguranca em redes livres de escala

Resistencia a falhas

Notemos que em estas redes, uma grande quantidade de vertices possuibaixo grau

A remocao aleatoria de vertices pode ser feita em grande escala mantendoa rede conectada

Vulnerabilidade a ataques

Podemos fazer um ataque, considerando a eliminacao dos vertices mais“importantes”

Uma maneira de medir a importancia de um vertices numa rede, e por meiodo grau

A remocao de poucos vertices com a estrategia acima, produz umafragmentacao da rede

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Seguranca em redes livres de escala

Estudo Monte Carlo

Eficiencia no envio de informacoes E = 1N(N−1)

∑i6=j

1di,j

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Roteamento e busca em redes livres de escala

Ideia do algoritmo de busca

Em cada passo, escolher um vertice com grau maior ao atual

Rapidamente sera atingido o vertice com maior grau

Uma vez visitado, esse vertice sera evitado, escolhendo a seguir o verticecom aproximadamente o segundo maior grau

Experimento Monte Carlo

Uma rede livre de escala foi gerada com ındice de cauda α = 2.1, e foiconsiderado o componente Giant

Dois vertices escolhidos aleatoriamente sao escolhidos em cada replicacao,sendo um o vertice fonte, e o outro o destino

Dado que todos os vertices conhecem os seus vizinhos, um vertice podeentregar a mensagem para o destino se ele pertencer a vizinhanca

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Roteamento e busca em redes livres de escalaEstrategias DG (busca por grau) vs. RW (caminhamento aleatorio)

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Roteamento e busca em redes livres de escala

Aplicacoes em redes P2P: O caso de GNUTELLA

E um sistema peer-to-peer de arquivos compartilhados

Todos os vertices tem funcionalidade equivalente

Nao existe um servidor central com informacao sobre a localizacao dosarquivos

A estrategia utilizada usualmente e broadcast limitado por um TTL

A escalabilidade com esta estrategia esta limitada pela largura de banda:modems de 54k nao podem tratar mais de 20 requisicoes por segundo

Desta maneira, usuarios estao limitados a fazer requisicoes a uma fracaopequena da rede

Podem ser utilizadas as estrategias de busca por grau para atenuar esteproblema

Em particular, o GNUTELLA passou a utilizar esta abordagem depois doestudo apresentado por Adamic et al. (2001)

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Internet

Modelagem (Faloutsos et al., 1999)A compreensao da topologia da Internet traz beneficios, dentre eles

Conhecendo melhor a topologia, seremos capazes de projetar protocolosmais eficientes que tirem proveito das propriedades topologicas presentesna Internet;

E possıvel obter modelos de redes mais precisos para efetuar simulacoes, e;

Podemos derivar estimadores de parametros topologicos para a analise deprotocolos, assim como tambem obter predicoes da evolucao da topologiada Internet no futuro

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Internet

Topologia a nıvel de Sistemas Autonomos (Siganos et al., 2003)

Os autores coletaram informacoes das tabelas de roteamento BGP

A coleta foi feita quase diariamente desde 1999 ate 2002

As medidas topologicas consideradas foram• Dd: a funcao de distribuicao acumulada complementar de um grau, que e a

porcentagem de nos que possuem grau maior ou igual a d;• rv: a ordem de um no, v, e o ındice na ordem decrescente de graus;• P (h): o “numero de pares” de nos, e o numero total de pares ordenados de

nos que estao como maximo a h hops de distancia;• NN(h): o numero medio de nos em uma vizinhanca de h hops;• λ: o autovetor do grafo de comunicacoes;• i: o autovalor de ordem i do autovetor λ ordenado.

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Internet

Topologia a nıvel de Sistemas Autonomos

Baseado nestas medidas, as seguintes leis de potencia foram validadas• Expoente de rank: dado um grafo, o grau dv de um no v e proporcional ao

rank rv a potencia de uma constante R, isto e, dv ∼ rRv ;• Expoente de grau: dado um grafo, a funcao de distribuicao acumulada

complementar de um grau Dd de d e proporcional ao grau a potencia deuma constante D, isto e, Dd ∼ dD;

• Auto-expoente: dado um grafo, os autovalores λi sao proporcionais aoordem i a potencia de uma constante E , isto e, λi ∼ iE .

Os autores validaram estas leis considerando fatores temporais

De qualquer maneira, ainda temos somente uma “caracterizacao” daInternet em cada instante do tempo, faltam outras analises para determinara evolucao da topologia

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Internet


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Internet


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Internet


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Conceito

Uma rede de sensores sem fio (RSSF) e um tipo especial de redes ad-hoc

Ela e composta por dispositivos sensores que atuam em conjunto nosentido de monitorar, instrumentar e, eventualmente controlar aspectos domundo fısico

As RSSFs apresentam diversas restricoes no consumo de energia

Possuem fortes restricoes de processamento e comunicacao

A topologia e um parametro muito importante para o projeto deste tipo deredes (assim como de muitas outras classes de redes)

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Aplicacoes de RSSFs

Baixa Confiabilidade Alta Confiabilidade

Poucos pacotes

Muitos pacotesAplicacoes de

StreamingReprogramacao

Detecao deeventos

Agregacao dedados

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Aplicacoes em reprogramacao de sensores (Pasztor et al., 2010)

Reprogramacao seletiva de redes de sensores moveis

Monitoram alguns aspectos da vida de animais

Abordagem que aproveita a estrutura de comunidade entre os indivıduosque estao sendo monitorado para disseminacao de codigo de maneiraeficiente

Implantacao de nos sensores nos proprios indivıduos

Os programas de aplicacao utilizados em cada no sensor dependem docomportamento do animal o qual o sensor esta localizado

Reprogramacao online neste caso e a unica solucao aceitavel

E necessario identificar o comportamento para determinar a aplicacao quesera necessaria num determinado no

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Aplicacoes em reprogramacao de sensores (Pasztor et al., 2010)

O sistema consta de tres passos

1. O codigo de aplicacao e as restricoes que determinam a reprogramacao eenviado ao no sink

2. E feito um broadcast das restricoes para todos os nos da rede3. O codigo e disseminado, atraves de um algoritmo ciente da estrutura social,

somente para os nos que satisfazem as restricoes

Na fase de disseminacao, os indivıduos socialmente centrais sao utilizadoscomo disseminadores, ja que potencialmente tendem a conhecer maiorquantidade de indivıduos satisfazendo restricoes

Estes lıderes formam uma hierarquia de roteamento

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Redes de sensores sem fioAplicacoes em reprogramacao de sensores (Pasztor et al., 2010)

Lıder Alvo Proximo Distancia

A Sim Sink 2B Nao C 2C Sim C 1D Sim – –

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Requisicoes em redes dinamicas (Zuniga et al., 2010)

Existem duas amplas categorias de solucoes na literatura

1. Flooding ou flooding controlado: cada no (re)transmite o pacote derequisicao uma unica vez

2. Caminhos aleatorios: o caminho comeca em um no fixo, e em cada passo opacote de requisicao e enviado a um vizinho

As estrategias de flooding sao otimas em termos da latencia, mas tem oproblema de nao serem eficientes em termos de energia

As tecnicas de caminhos aleatorios sao melhores em termos de gasto deenergia

Porem, esta tecnica possui perda de desempenho em relacao a latenciaquando os dados de interesse estao muito afastados do no sink, ja queesses caminhos podem conter ciclos

Zuniga et al. (2010) apresentam uma combinacao de estas duas tecnicaschamada “caminho aleatorio sem repeticao”

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Requisicoes em redes dinamicas (Zuniga et al., 2010)

O caminho aleatorio sem repeticao funciona como segue

1. O caminho comeca com um no fixo (quem faz a requisicao)2. Em cada passo o vizinho com menor quantidade de visitas e escolhido para

repassar o pacote de requisicao

O desempenho foi avaliadopelo “tempo decobertura”: o numeroesperado de passos paraum caminho iniciado em uvisitar toda a rede

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Redes de sensores sem fioMundo pequeno (Helmy, 2003)

Redes sem fio sao grafos espaciais (grafos geograficos) que tendem aapresentar maior quantidade de agrupamentos e comprimento doscaminhos medios maiores quando comparados com os grafos aleatorios

A adicao de poucas interconexoes de longa distancia (atalhos) pode reduzirdrasticamente o comprimento medio dos caminhos mınimos

Esta rede apresenta caracterısticas de mundo pequeno

Mundo pequeno (Guidoni et al., 2008)

Geracao de redes de sensores sem fio que apresentam a propriedade demundo pequeno

Sugerem o uso de duas categorias de sensores, L e H, sendo o segundopossui maior capacidade de energia, processamento, memoria e potencia detransmissao

Apenas uma pequena porcentagem do total de nos da rede seria compostade sensores H

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Redes de sensores sem fioMundo pequeno (Guidoni et al., 2008)

E considerado que a comunicacao acontece do no sink aos nos sensores, edos sensores ao sink

Os atalhos sao adicionados tendo em consideracao a direcao que leva ao nosink

Consequentemente, estes atalhos reduzem a latencia na rede

(a) p = 0.001 (b) p = 0.01

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Caracterizacao do buraco de energia (Ramos et al., 2010)

Os nos proximos ao sink tem uma carga de trabalho maior que o resto dosnos da rede

Consequentemente, estes nos deixarao de funcionar mais rapidamente

Nem sempre a distancia e o fator mais relevante neste problema, devemosconhecer mais sobre a topologia e o tipo de cenario

Os autores conseguiram caracterizar este problema para cenarios tıpicos emRSSFs atraves de uma modificacao da medida betweenness

A ideia e considerar, na conta dos caminhos mınimos, somente os caminhosate o sink

Esta nova medida e chamada de sink betweenness

SB(v) =∑t∈Vv 6=t

σst(v)

σst

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Redes de sensores sem fioCaracterizacao do buraco de energia (Ramos et al., 2010)

O sink betweenness se mostra altamente correlacionado com o consumo deenergia devido a tarefa de retransmissao de pacotes

Uma vez estimado, pode ser utilizado no projeto de algoritmos deroteamento e de camada de enlace

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Conteudo

Introducao




Aplicacoes

Conclusoes

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Conclusoes

Foram apresentados os principais conceitos de teoria de redes complexas

As principais metricas de caracterizacao foram consideradas

Apresentamos os modelos mais comumente empregados em aplicacoes deredes tecnologicas, com enfase especial em redes de computadores

Foram apresentadas algumas consideracoes para aplicacao de metodosestatısticos em redes

Por fim foram apresentadas diversas aplicacoes no contexto de redes decomputadores

• Internet• redes P2P• redes ad-hoc• redes de sensores sem fio

Ainda ha muito trabalho por ser feito, e muitas oportunidades para aplicarredes complexas na modelagem e projeto de redes de computadores

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Referencias I

Adamic, L., Lukose, R., Puniyani, A. & Huberman, B. (2001), ‘Search inpower-law networks’, Physical Review E.

Faloutsos, M., Faloutsos, P. & Faloutsos, C. (1999), On power-law relationshipsof the internet topology, in ‘SIGCOMM ’99: Proceedings of the conference onApplications, technologies, architectures, and protocols for computercommunication’, ACM, New York, NY, USA, pp. 251–262.

Guidoni, D. L., Mini, R. A. F. & Loureiro, A. A. F. (2008), On the design ofheterogeneous sensor networks based on small world concepts, in ‘MSWiM’08: Proceedings of the 11th ACM International Symposium on Modeling,Analysis and Simulation of Wireless and Mobile Systems’, ACM, pp. 309–314.

Helmy, A. (2003), ‘Small worlds in wireless networks’, IEEE CommunicationsLetters 7(10), 490–492.

Pasztor, B., Motolla, L., Mascolo, C., Picco, G. P., Ellwood, S. & Macdonald,D. (2010), Selective reprogramming of mobile sensor networks through socialcommunity detection, in ‘Proceedings of the 7th European Conference ofWireless Sensor Networks (EWSN)’, Vol. 5970 of Lecture Notes in ComputerScience, pp. 178–193.

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Referencias II

Ramos, H. S., Frery, A. C., Almiron, M. G., Oliveira, E. M. & Loureiro, A. A. F.(2010), ‘A new topological measure of centrality and its application to theenergy hole problem in wireless sensors networks’, Special Issue of ComputerCommunications on Complex Networks. Artigo submetido, em processo deavaliacao.

Siganos, G., Faloutsos, M., Faloutsos, P. & Faloutsos, C. (2003), ‘Power lawsand the AS-level internet topology’, IEEE-ACM Transactions on Networking11(4), 514–524.

Zuniga, M., Avin, C. & Hauswirth, M. (2010), Querying dynamic wireless sensornetworks with non-revisiting random walks, in ‘Proceedings of the 7thEuropean Conference of Wireless Sensor Networks (EWSN)’, Vol. 5970 ofLecture Notes in Computer Science, pp. 49–64.

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