Rectas, planos e hiperplanos - Campus Virtual · Semestre 02-2008, Algebra Lineal 37 Rectas, planos...
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Semestre 02-2008, Algebra Lineal 37
Rectas, planos e hiperplanos
Recta
P punto de la recta L,
d vector no nulo de Rn (vector director de la recta)
X punto de la recta L PX paralelo a d (PX = td).
PX = OX − OP = x − p
x − p = td
ecuación vectorial de la recta
x = p + t d
x1
x2
...
xn
=
a1
a2
...
an
+ t
d1
d2
...
dn
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 38
ecuaciones paramétricas de la recta L
x1 = a1 + td1
x2 = a2 + td2
...
xn = an + tdn .
ecuaciones simétricas de la recta
x1 − a1
d1
=x2 − a2
d2
= · · · =xn − an
dn, di 6= 0, i = 1, 2, · · ·n
Si di = 0 para algún i,
a cambio dexi − ai
dise incluye la ecuación xi = ai
Rectas paralelas
L1, vector director d1
L2, vector director d2
L1 y L2 son paralelas (L1 ‖ L2)
si y solo si
d1 y d2 son paralelos (d1 = λd2)
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 39
Rectas iguales
L1, vector director d1
L2, vector director d2
L1 y L2 son iguales
si y solo si
d1 y d2 son paralelos (d1 = λd2)
existe P ∈ L1 ∩ L2
Rectas ortogonales
L1, vector director d1
L2, vector director d2
L1 y L2 son ortogonales (L1 ⊥ L2)
si y solo si
d1 y d2 son ortogonales (d1 · d2 = 0)
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 40
Ejemplos:
L1 :
x1 = −2 + 3t
x2 = −5t
x3 = 1
d1 =
L2 es la recta que pasa por los puntos
P =
0
−2
1
y Q =
6
−12
1
d2 =
L3 :x − 2
5=
y + 1
−3, z = 7 d3 =
Son las rectas L1 y L2 paralelas?
Son las rectas L1 y L2 iguales?
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 41
Son las rectas L1 y L3 ortogonales?
Encuentre una ecuación de una recta L4 que pase por el origen y
sea ortogonal a L1
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 42
Plano
P punto del plano
c y d vectores no nulos , no paralelos (vectores directores)
X punto del plano P PX combinación lineal de c y d
(PX = tc + sd para t, s ∈ R)
Así,
PX = OX − OP = x − p
x − p = tc + sd .
ecuación vectorial del plano
x = p + t c + s d
x1
x2
...
xn
=
a1
a2
...
an
+ t
c1
c2
...
cn
+ s
d1
d2
...
dn
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 43
ecuaciones paramétricas del plano
x1 = a1 + tc1 + sd1
x2 = a2 + tc2 + sd2
...
xn = an + tc2 + sdn .
P1, vectores directores c1, d1
P2, vectores directores c2, d2
L, vector director d
Planos paralelos
P1 y P2 son paralelos (P1 ‖ P2)
si y solo si
c1 y d1 son combinación lineal de c2 y d2
(c1 = λ1c2 + λ2d2 y d1 = µ1c2 + µ2d2 )
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 44
Planos iguales
P1 y P2 son iguales
si y solo si
P1 y P2 son paralelos y existe P ∈ P1 ∩ P2
Recta y plano paralelos
L y P1 son paralelos (L ‖ P1)
si y solo si
d es combinación lineal de c1 y d1
(d = λ1c1 + λ2d1, )
Recta contenida en un plano
L está contenida en P1 (L ⊂ P1)
si y solo si
L y P1 son paralelos y existe P ∈ L ∩ P1
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 45
Recta y plano ortogonales
L y P1 son ortogonales (L ⊥ P1)
si y solo si
d es ortogonal a d1 y a d2
(d · c1 = 0 y d · d1 = 0)
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 46
Ejemplos:
L :
x1 = −2 − 3t
x2 = t
x3 = 1 + 11t
d =
P1 es el plano que pasa por los puntos
P =
1
1
1
, Q =
2
4
−4
y R =
−2
15
16
c1 = d1 =
P2 :
x1
x2
x3
=
2
0
−3
+ t
−1
2
3
+ s
0
5
−2
c2 = d2 =
Son los planos P1 y P2 paralelos?
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 47
Está la recta L contenida en el plano P2?
Es la recta L ortogonal al plano P1?
Encuentre la ecuación de un plano P3 que contenga a la recta L y
al origen
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 48
Hiperplano
P un punto
n un vector no nulo (vector normal),
X punto del hiperplano H PX ortogonal a n (PX · n = 0)
PX = OX − OP = x − p
ecuación vectorial del hiperplano
(x − p) · n = 0
x1
x2
...
xn
−
a1
a2
...
an
·
l1l2...
ln
= 0
ecuación general del hiperplano
l1(x1 − a1) + l2(x2 − a2) + · · · + ln(xn − an) = 0
ó equivalentemente,
l1x1+ l2x2+ · · ·+ lnxn = d con d = l1a1+ l2a2+ · · ·+ lnan = n ·p.
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 49
H1, vector normal n1
H2, vector normal n2
Hiperplanos paralelos
H1 y H2 son paralelos (H1 ‖ H2)
si y solo si
n1 y n2 son paralelos (n1 = λn2)
Hiperplanos ortogonales
H1 y H2 son ortogonales (H1 ⊥ H2)
si y solo si
n1 y n2 son ortogonales (n1 · n2 = 0)
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 50
Ejemplos:
H1 :
x1
x2
x3
x4
−
2
0
−3
1
·
−1
2
3
−2
= 0
n1 =
H2 : 2x − 4y − 6z + 4w = 5
n2 =
H3 : 2x + 2y + w = 0
n3 =
Son los hiperplanos H1 y H2 paralelos?
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 51
Son los hiperplanos H1 y H3 ortogonales?
Encuentre la ecuación de un hiperplano H4 que contenga al origen
y sea ortogonal al hiperplano H2
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 52
Producto vectorial en R3
u =
u1
u2
u3
y v =
v1
v2
v3
de R3,
u × v =
u2v3 − u3v2
−(u1v3 − u3v1)
u1v2 − u2v1
.
Ejemplo:
−1
0
3
×
2
−5
0
=
0 · 0 − 3 · (−5)
−((−1) · 0 − 3 · 2)
(−1) · (−5) − 0 · 2
=
15
6
5
2
−5
0
×
−1
0
3
=
(−5) · 3 − 0 · 0
−(2 · 3 − 0 · (−1))
2 · 0 − (−5) · (−1)
=
−15
−6
−5
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 53
Propiedades del producto vectorial
u, v y w vectores de R3, λ escalar, entonces:
1. u × v = −v × u. Ley anticonmutativa
2. u × (v + w) = u × v + u × w. Ley distributiva para la suma
por derecha
3. (u + v) × w = u × w + v × w. Ley distributiva para la suma
por izquierda
4. λ(u × v) = (λu) × v = u × (λv).
5. u × 0 = 0 × u = 0.
6. u × u = 0.
7. u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w.
8. (u × v) · u = (u × v) · v = 0.
9. u · (v × w) = w · (u × v).
Ejemplo: Dados
u =
2
−5
0
, v =
15
−7
2/3
, w =
5
8
−21
Calcule
[(2u × v) − (3v × u)] · (u + v)
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 54
Magnitud del Producto Vectorial
u y v vectores de R3, θ ángulo entre u y v, entonces
1. ‖u × v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. [Identidad de Lagrange ]
2. ‖u × v‖ = ‖u‖‖v‖ sen θ.
Demostración
2. ‖u × v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2.
= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ
= ‖u‖2‖v‖2(1 − cos2 θ)
= ‖u‖2‖v‖2 sen2 θ
Por tanto, ‖u × v‖ = ‖u‖‖v‖ sen θ.
u y v vectores no nulos de R3 son paralelos
u × v = 0.
u y v vectores no paralelos de R3
El área del paralelogramo de lados u y v es ‖u × v‖.
(‖u × v‖ = ‖u‖‖v‖ sen θ.)
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 55
u, v y w vectores no paralelos de R3
el volumen del paralelepípedo de lados u, v y w es |u · (v × w)|
Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares
u · (v × w) = 0.
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 56
Ecuación Normal del Plano en R3
P en R3 que contiene a P con vectores directores c y d
H en R3 que contiene a P y es ortogonal a n = c × d
P=H
Rectas y Planos en R3
Recta L, vector director d ∈ R3
Plano P , vector normal n ∈ R3.
L ‖ P si y solo si d ⊥ n (d · n = 0)
L ⊥ P si y solo si d ‖ n (d = λn)
Semestre 02-2008, Algebra Lineal 57
Ejemplos:
L :
x1
x2
x3
=
2
−1
3
+ t
2
−7
−2
, t ∈ R
P plano que contiene a M =
5
−2
3
con vectores directores
c1 =
0
−2
1
y d1 =
2
0
−3
Es L paralela a P?
Es L ortogonal a P?
Encuentre la ecuación de un plano ortogonal a P que pase por el
origen.