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Superficies en R4

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Superficies en R4

Gema R. Quintana Portilla

Trabajo dirigido en “Matemática Fundamental”Julio de 2008

Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4

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Superficies de R3

Consideramos las superficies:EsferaToro de revoluciónCilindro

Heredan la métrica de R3

Geometría intrínseca: primera forma fundamental, curvatura deGauss, geodésicas, longitudes y áreasGeometría extrínseca: segunda forma fundamental, curvaturasprincipales, curvatura mediaToda la geometría de las superficies de R3 está regida por{fu, fv, n = fu×fv

‖fu×fv‖}


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Superficies de R3

Esfera.Consideramos la parametrización de S2:

x(u, v) = (cosu cos v, sinu cos v, sin v) u ∈ [0, 2π); v ∈[−π

2,π

2

)

Tiene curvatura de Gauss 1La suma de los ángulos es mayorque π y el área es el excesoesférico.


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Superficies de R3

Cilindro.Parametrizamos el cilindro como :

x(u, v) = (r cosu, r sinu, v) u ∈ [0, 2π), v ∈ R, r = cte ∈ R

Tiene curvatura de Gauss nula.Es localmente isométrico al plano.


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Superficies de R3

Toro de revolución.Sea la parametrización del toro:

x(u, v) = (cosu(a+ r cos v), sinu(a+ r cos v), r sin v)

u, v ∈ [0, 2π), a, r > 0

La curvatura de Gauss del toro esK = cos v

r(a+r cos v)


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Superficies abstractas

Plano hiperbólico.Consideramos el modelo del semiplano de Poincaré:

H2 = {(x1, x2) ∈ R2 : x2 > 0}

Dotado de la métrica:

g11 =1x2

2

; g12 = g21 = 0; g22 =1x2

2

La curvatura de Gauss es -1Localmente isométrico a lapseudoesfera


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Plano estereográfico.Se obtiene al considerar la esfera S2 ⊂ R3 agujereada en elpolo norte dotada de su estructura geométrica habitual y R2

con la métrica heredada de la esfera vía proyecciónestereográfica.

Tiene curvatura de Gauss 1Las distancias iguales “no pareceniguales”


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No heredan la métrica de R3

Su definición engloba la métrica: son variedadesriemannianasTodos los conceptos intrínsecos se definen a partir de ella(curvatura de Gauss, geodésicas...)


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Superficies de R4

Consideramos las superficies:Plano proyectivo realBotella de KleinToro de Clifford

Son subvariedades diferenciables de R4.


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Plano proyectivo real.Se define S2/ ∼, donde la relación de equivalencia ∼ en S2

está dada porp ∼ p′ si p′ = −p

Es localmente isométrico a S2

No admite embedding en R3

Admite un embedding isométrico en R5


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Toro de Clifford.Se define como S1 × S1 ⊂ R4 con la métrica heredada. Sea lasiguiente parametrización:

x(u, v) = (cosu, sinu, cos v, sin v), u, v ∈ [0, 2π)

La curvatura de Gauss es K = 0Es localmente isométrico al plano


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Botella de Klein.Es el cociente de R2 por la relación de equivalencia:

(x′, y′) ∼ (x, y) si x′ = x, y′ = y + 2π o x′ − x = 2π, y′ = 2π − y

Es no orientableAdmite una inmersión isométrica en R4


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Superficies de R4

Es fácil obtener ejemplos de superficies de R4:Grafos de funciones holomorfasEsferas anudadas


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Inmersión de superficies

Teorema (Whitney)Toda variedad diferenciable de dimensión n admite unembedding regular en R2n.

Teorema (Gromov)Toda superficie riemanniana compacta admite un embeddingisométrico en R10.


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Índice general

Geometría de superficies en R3

Geometría intrínseca. Variedades riemannianasGeometría extrínseca

ConexiónSuperficies en R4


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Segundas formas fundamentales

Sea S = r(u1, u2), (u1, u2) ∈ D ⊂ R2 una superficie en R4. Seap ∈ S, sea {e1, e2} una base de TpM y sea {n1, n2} base de(TpS)⊥ = NpS.

DefiniciónSe definen las correspondientes segundas formasfundamentales como:

IIσ = Lσ11(du1)2 + 2Lσ12du

1du2 + Lσ22(du2)2, σ = 1, 2.

Matricialmente:

Lσ = (Lσij) =(Lσ11 Lσ12

Lσ21 Lσ22

), σ = 1, 2

Donde Lσij = nσ · ruiuj


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Vector de curvatura normal

DefiniciónSea p ∈ S y sea τ ∈ TpS se llama vector curvatura normal enla dirección τ , kN (τ) ∈ NpS, a

kN (τ) = II1(τ, τ)n1 + II2(τ, τ)n2

En cada punto p ∈M tenemos la aplicación diferenciable:

(kN )p : S1 ⊂ TpS → NpS

La imagen de S1 por esta aplicación se denomina indicatriz decurvatura normal.


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Elipse de curvatura normal

TeoremaLa indicatriz de curvatura normal es una elipse denominadaelipse de curvatura normal.

Idea de la demostración.Sea p ∈ S. Sea τ = (cos θ, sin θ) ∈ S1 y sea γ(s) una curvaparametrizada por la longitud de arco tal que el vector tangenteen p es τ . Geométricamente (kn)p(τ) es la proyección delvector de curvatura d2γ

ds2sobre NpM .

Se tiene que:

(kn)p(τ) = (L111 cos2 θ + 2L1

12 cos θ sin θ + L122 sin2 θ)n1+

(L211 cos2 θ + 2L2

12 cos θ sin θ + L222 sin2 θ)n2


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Esto lo podemos expresar matricialmente:

(kN −H)(θ) =(

12(L1

11 − L122) L1

1212(L2

11 − L222) L2

12

)(cos 2θsin 2θ

)donde H = 1

2(L111 + L1

22)n1 + 12(L2

11 + L222)n2.

Así tenemos definida una transformación afín de matriz: 1 0 00 L1

11 − L122 L1

12

0 L211 − L2

22 L212


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Por tanto, la imagen de S1 es una elipse en el plano normal a Sen p.

NotaLa elipse de curvatura normal puede degenerar en unsegmento de recta o en un punto.


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Vector de curvatura media

DefiniciónSe define el vector de curvatura media como

H =12(L1

11 + L122)n1 +

12(L2

11 + L222)n2

Es decir, suscoordenadas en el planonormal afín a S en p sonlas del centro de la elipsede curvatura normal.


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Aplicaciones de la elipse de curvatura normal.

La elipse de curvatura normal permite caracterizar propiedadesgeométricas de la superficie como:

Estar contenida en un hiperplanoEstar contenida en una esfera


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TeoremaSupongamos que la indicatriz de curvatura normal de lasuperficie S ⊂ R4 es degenerada consistiendo en un segmentopasando por p para cada p ∈ S. Si la curvatura de Gausssatisface que K 6= 0 en todos los puntos de S entonces S estácontenida en algún hiperplano de R4.


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TeoremaSi una superficie S está contenida en una esfera de radio R deR4, entonces en cada punto p la elipse de curvatura normaldegenera en un segmento a distancia β = 1

R de p.Recíprocamente, si en cada punto p la elipse de curvaturanormal degenera en un segmento a distancia β de p y lacurvatura de Gauss es distinta de β2, entonces S estácontenida en la esfera de radio 1

β .


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Una superficie se dice minimal si el vector de curvatura mediaes nulo en todo punto.Esto es equivalente a que la elipse de curvatura media en ptenga su centro en el propio p para todo p punto de S.


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TeoremaEl grafo de una función analítica f : C→ C es una superficiereal de R4 que satisface la siguiente condición: para todo puntop la elipse de curvatura normal es una circunferencia centradaen el propio p.

Consecuencia: los grafos de las funciones analíticas sonsuperficies minimales.Idea de la demostración:Consideramos la función holomorfaF (u+ iv) = f(u, v) + ig(u, v) como superficie de R4. Es decir,tenemos la parametrización:

r(u, v) = (u, v, f(u, v), g(u, v))


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Las derivadas de la parametrización son:ru = (1, 0, fu,−fv)rv = (0, 1, fv, fu)ruu = (0, 0, fuu,−fuv)ruv = (0, 0, fuv, fuu)rvv = (0, 0, fvv, fuv)

Por tanto, una base del plano normal vendrá dada por:n1 = (fv,−fu, 0, 1)n2 = (−fu,−fv, 1, 0)


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Los coeficientes de las segundas formas fundamentales son:

L111 = −fuv, L1

12 = fuu, L122 = fuv

L211 = fuu, L

212 = fuv, L

222 = −fuu

De donde se sigue que H = ~0, y que el vector curvaturanormal, en el punto p de la superficie, para τ = (cos θ, sin θ) es:

kN (τ) = (−fuv cos 2θ + fuu sin 2θ)n1+(fuu cos 2θ + fuv sin 2θ)n2

Luego la elipse de curvatura normal es una circunferencia decentro p y radio

√f2uv + f2

uu


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Toro de Clifford

Consideramos el toro S1 × S1 ⊂ R4 con la métrica heredada.Parametrización:

x(u, v) = (cosu, sinu, cos v, sin v), u, v ∈ [0, 2π)

Derivadas de la parametrización:xu = (− sinu, cosu, 0, 0);xv = (0, 0,− sin v, cos v);xuu = (− cosu,− sinu, 0, 0);xvv = (0, 0,− cos v,− sin v);xuv = (0, 0, 0, 0).


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Toro de Clifford

Base del plano normal:

n1 = (cosu, sinu, 0, 0), n2 = (0, 0, cos v, sin v)

Coeficientes de las segundas formas fundamentales:

L111 = −1, L1

12 = 0, L122 = 0

L211 = 0, L2

12 = 0, L222 = −1

Vector de curvatura normal para τ = (τ1, τ2), unitario:

kN (τ) = −(τ1)2n1 − (τ2)2n2

Vector de curvatura media:

H = −12(n1 + n2)


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Toro de Clifford

Conclusiones:La elipse de curvatura normal degenera en un segmentode extremos (−1, 0) y (0,−1)El toro de Clifford está contenido en una esfera de radio

√2

No es una superficie minimal de R4, pero sí de la esfera enque está contenido


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Función analítica

Consideramos el grafo de la función analítca f(z) = z2 comosuperficie de R4. Sea la parametrización:

r(u, v) = (u, v, u2 − v2, 2uv), u, v ∈ R

Derivadas de la parametrización:ru = (1, 0, 2u, 2v);rv = (0, 1,−2v, 2u);ruu = (0, 0, 2, 0);rvv = (0, 0,−2, 0);ruv = (0, 0, 0, 2).


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Función analítica

Coeficientes de las segundas formas fundamentales:

L111 = 0, L1

12 = −2, L122 = 0

L211 = −2, L2

12 = 0, L222 = 2

Respecto de la base:

n1 = (2v, 2u, 0,−1), n2 = (−2u, 2v,−1, 0)

Vector de curvatura normal, τ = (cos θ, sin θ):

kN (τ) = 2 sin 2θn1 − 2 cos 2θn2

Vector de curvatura media: H = ~0


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Función analítica

Conclusiones:es una superficie minimalla elipse de curvatura normal es una circunferencia concentro en p y radio 2


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Resumen


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Bibliografía

W. Klingenberg.Curso de Geometría Diferencial.Ed. Alhambra S.A., Madrid (1978).

B. O’Neill.Elementos de Geometría Diferencial.Limusa-Wiley S.A., México (1972).

J.G. Pérez.Variedades y Geometría: un curso breve.Ed. U.A.M., Madrid (2005).

M.P. Do Carmo.Geometría Diferencial de Curvas y Superficies.Alianza(1990).


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Bibliografía

R.W.R. Darling.Differential forms and Connections.Cambridge University Press, N. Y. (1994).

S. Kobayasi, K. Nomizu.Foundations of Differential Geometry.J.Wiley (1969).


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Bibliografía

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J.A. Little.On singularities of submanifolds of higher dimensionalEuclidean spaces.Ann. Mat. Pura Appl. (4) 83 (1969) 261-335.

Yu. Aminov.The Geometry of the Submanifolds.Taylor and Francis Group, FL (2001).

Q. Han, J.X. Hong.Isometric Embedding of Riemannian Manifolds inEuclidean Spaces.AMS, USA (2006).


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La geometría de las superficies de R4 admite varias líneas deinvestigación activas:

El estudio de las propiedades similares y de las diferentesal caso de espacio ambiente tridimensionalLa generalización a subvariedades de codimensión dos omayorEl estudio de la influencia que las estructuras compleja ysimpléctica de R4 (visto como C2) producen en todasuperficie de R4


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