Rafael V azquez Valenzuela Tema 3:An alisis y Diseno~ de ... · el sistema de referencia, latitud...

Trigonometrıa EsfericaTrazas, cobertura y visibilidad

Orbitas de AplicacionManiobras

Astronautica y Vehıculos EspacialesTema 3:Analisis y Diseno de Misiones Geocentricas

Rafael Vazquez Valenzuela

Departmento de Ingenierıa AeroespacialEscuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla

[email protected]

6 de noviembre de 2011



Definiciones y FormulasAplicacionesCırculos Esfericos

Geometrıa en esferas

En problemas de misiones geocentricas, esnecesario considerar las orbitas en el espacioen el entorno de la Tierra.

No es posible limitarse al problema plano,por lo que es necesario trabajar en unentorno geometrico tridimensional.

Asimilando la superficie de la Tierra a unaesfera, se usan coordenadas esfericas (segunel sistema de referencia, latitud φ y longitudλ o declinacion δ y ascension recta AR).

En este marco, aparecen triangulos ycircunferencias esfericos; estos son el objetode estudio de la trigonometrıa esferica.

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Trigonometrıa Esferica I

Objeto: Estudiar relaciones angulares en triangulos esfericos (lostriangulos de la geometrıa esferica).

®

La Encyclopædia Britannica de 1911 dice:

“Perhaps to the student there is no part of ele-mentary mathematics so repulsive as is sphericalgeometry.”

En una esfera, un “cırculo mayor” (grancırculo, cırculo maximo) viene dado por lainterseccion de un plano que pasa por elcentro de la esfera con la esfera.

Las “rectas esfericas” (geodesicas) sonlos cırculos mayores. Observese quecualesquiera dos rectas esfericas cortansiempre en dos puntos; por tanto, noexisten paralelas en geometrıa esferica.

El angulo entre dos rectas esfericas vienedado por el angulo entre las tangentesen el punto de corte.

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Trigonometrıa Esferica II

®

¯

°b ca

Al-JayyaniMatematico musulman nacido en Cordoba o Jaenen el siglo X. Escribio el primer tratado sobre trigo-nometrıa esferica, “Libro de los arcos desconocidossobre una esfera”.

Un triangulo esferico es eldeterminado por tres rectas esfericas.

En un triangulo esferico hay seisangulos: los formados entre las rectasen los vertices, que llamaremos α, β yγ, (que NO suman 180o) y tresangulos interiores, a, b, y c , que seoponen a los anteriores.

Observese que si el radio de la esferaes unidad, entonces a, b y c (enradianes) corresponden a laslongitudes de los arcos que forman eltriangulo; por ello se denominan“lados”, mientras que α, β y γ sonlos “angulos”.

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Trigonometrıa Esferica III

®

¯

°ac

b

Figura: Representacion de untriangulo esferico

Existen otras formulas,pero estas son las masimportantes. A veces seusan simultaneamentepara resolverambiguedades de signo.

Por simplicidad, podemos representar untriangulo esferico como en la figura.

Se cumplen las siguientes relaciones:

Leyes de cosenos:

cos a = cos b cos c + sen b sen c cosα

cos b = cos a cos c + sen a sen c cosβ

cos c = cos b cos a + sen b sen a cos γ

cosα = − cosβ cos γ + senβ sen γ cos a

cosβ = − cosα cos γ + senα sen γ cos b

cos γ = − cosβ cosα + senβ senα cos c

Ley de senos:senα

sen a=

senβ

sen b=

sen γ

sen c

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Relacion entre Trigonometrıa Esferica y Plana

Observese que si los lados a, b, c son pequenos, entonces setiene que sen a ≈ a y cos a ≈ 1− a2/2.

Usando estas aproximaciones:La ley del coseno (cos a = cos b cos c + sen b sen c cosα) queda:

1− a2

2≈ (1− b2

2)(1− c2

2) + bc cosα = 1− b2

2− c2

2+

b2c2

4+ bc cosα

despreciando terminos de orden alto y cambiando el signo:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

La ley de senos queda:senα

a=

senβ

b=

sen γ

c

Estos son los teoremas del seno y el coseno de trigonometrıaplana. Por tanto para pequenas distancias la trigonometrıaesferica coincide con la plana.

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Area de un triangulo esferico

®

¯

°ac

b

El razonamiento anterior permite intuir quecuanto mas “grande” sea un trianguloesferico, mas grande sera la desviacion de untriangulo plano.

Esta idea intuitiva se puede cuantificarmediante el llamado Teorema de Girard.

Si llamamos S a la superficie del triangulo esferico, y R alradio de la esfera en la que esta inscrita el triangulo, severifica que:

S = (α + β + γ − π)R2

S cuantifica el tamano del triangulo, y la formulaα + β + γ − π (llamada el exceso esferico) cuantifica ladesviacion de la trigonometrıa plana (donde los angulos de untriangulo suman π).

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Trigonometrıa Esferica: AplicacionesEn misiones geocentricas o planetocentricas en general(tomando como modelo del planeta una esfera), latrigonometrıa esferica permite determinar cantidades deinteres a partir de los elementos orbitales conocidos.Primera Aplicacion: Encontrar la latitud/declinacion de unsatelite dada su anomalıa verdadera θ y el argumento delperigeo ω.

®

¯

°ac

b

i

Áµ+!

En este caso, γ = 90o , a = φ = δ (la latitudo declinacion), α = i (la inclinacion sobre elecuador) y c = ω + θ.

Aplicamos la ley de senos:senφ

sen i=

sen(ω + θ)

sen 90o

de donde despejamos la latitud como

senφ = sen(ω + θ) sen i8 / 94




Trigonometrıa Esferica: Lanzamiento ISegunda Aplicacion: Determinar la inclinacion de una orbita apartir del azimut de lanzamiento y la latitud de la base delanzamiento.

Az

i

Az

Az

i

Áµ+!

Hipotesis:

La trayectoria de lanzamiento escoplanaria con la orbita.Se desprecia el efecto de rotacion dela Tierra.

En este caso, γ = 90o , a = φ,β = Az, α = i y c = ω + θ.

Aplicamos la ley de cosenos a i :

cos i = − cosAz cos 90o

+ senAz sen 900 cosφ

de donde cos i = senAz cosφ 9 / 94




Trigonometrıa Esferica: Lanzamiento IIPuesto que cos i = senAz cosφ, con Az = 90o (lanzamientohacia el Este) se tiene i = φ. En cualquier otro caso, i > φ.Cada base posee un azimuth maximo y mınimo de lanzamientopor razones geograficas, estrategicas y de seguridad.Habrıa que anadir la velocidad de rotacion de la Tierra en labase, que es vL = ω⊕r cosφ ≈ ω⊕R⊕ cosφ, con direccion Este.

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Trigonometrıa Esferica: Lanzamiento IIISitios de Lanzamiento:

lecture9.ppt ©R.S. Nerem 2004 15

Noncoplanar Transfers

The launch site velocity is:

Note all the velocity is Eastward in the SEZ system, so launchingfrom the equator on a 90° azimuth may be best.

The velocity at the equator is vL = 0.465 km/s. Westward

launches must make this up, so difference is 0.93 km/s.

gcsitesiteLsiteLcosrr or r !"""

###=$=$=

vvvvvvv


Noncoplanar TransfersLaunch sites and allowable azimuths

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Trigonometrıa Esferica: Lanzamiento IV

Sitios de Lanzamiento:


Launch Sites


Noncoplanar Transfers

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Trigonometrıa Esferica: Lanzamiento VVentanas de Lanzamiento: Determinar la hora del lanzamientode forma que Ω sea la deseada.

Az

i

u¸

µ+!Á

i

Az

Az

El angulo formado entre la base y sera Ω + λu, donde λu esta definida en lafigura. Por definicion dicho angulo es LST.

Encontramos λu de la siguiente formula

cosAz = − cos i cos 90o + sen i sen 900 cosλu

de donde cosλu = cosAz

sen i .

LuegoΩ+λu = LST = GST+λ = GST0+λ+ω⊕t.

Por tanto:

t = Ω+λu−λ−GST0

ω⊕.

La “ventana de lanzamiento” ∆tvendra dada por la tolerancia ∆Ω. 13 / 94




Trigonometrıa Esferica: AplicacionesAscension recta/longitud: Determinar la ascension recta y/ola longitud geografica de un satelite en un cierto instante.

u¸

µ+!Á

i

Az

Az

Se usa la misma figura. En este caso Az sera elazimut (geocentrico inercial) con el que el satelitesurca una determinada zona.

Se calcula en primer lugar el valor de θ en elinstante de tiempo y luego φ (o δ cuyo valor es elmismo) como antes.

Posteriormente se aplica cos(ω + θ) = cosφ cosλu. Seencuentra entonces λu. Para evitar calcular φ se puede usar:tanλu = cos i tan(ω + θ).El angulo formado entre el satelite y sera Ω + λu. Por tantodicho angulo es la ascension recta del satelite:AR = Ω + arctan (cos i tan(ω + θ)).Se calcula λ de la formula Ω + λu = GST0 + λ+ ω⊕t, luego:λ = Ω−GST0 − ω⊕t + arctan (cos i tan(ω + θ)). 14 / 94




Ejemplo: Ascension Recta y Declinacion del Sol IProblema: determinar la Ascension recta y declinacion del Solun cierto dıa D a la hora t (UT).Datos: D, t, y la fecha del Equinoccio de Primavera de dichoano t.Con los datos calculamos ∆T (en dıas) como la diferenciaentre la fecha actual y la del Equinoccio de Primavera (sesuele despreciar t). Se hace la hipotesis de que un ano tropical= 365.25 dıas.Metodo 1:Si solo hace falta la AR del Sol, se puede aproximarpor la AR del Sol Medio, que sera GST + 15(12− t), donde tse escribe en horas. Error maximo 5 grados.Metodo 2: Suponiendo que la orbita de la Tierra es circular.Entonces u = ∆T

365,25 . De las formulas vistas anteriormente:AR = arctan (cos ε tan(u)) (resolver ambiguedad segun laepoca del ano) y δ = arc sen(sen ε sen u). Se comete unpequeno error (maximo 2 grados). 15 / 94




Ejemplo: Ascension Recta y Declinacion del Sol IIMetodo 3: Si se considera tanto la inclinacion como laexcentricidad de la Tierra, hay que usar la ecuacion de Kepler.Llamar θ a la anomalıa verdadera de la Tierra en elequinoccio de Primavera. Se tiene θ = 180− ω⊕ (porqueu = 180 desde el punto de vista del Sol). Calcular con leyeshorarias ∆T (tiempo entre perihelio y equinoccio).El tiempo transcurrido desde perihelio es∆T⊕ = ∆T + ∆T; calcular con leyes horarias θ⊕(∆T⊕).Se tiene u⊕ = ω⊕ + θ⊕ y u = 180 + u⊕.Finalmente: AR = arctan (cos ε tan(u)) (resolverambiguedad segun mes) y δ = arc sen(sen ε sen u). Errormuy pequeno (sobre todo si no se desprecia t).Se puede afinar aun mas (p.ej. para calcular eclipses)incluyendo la precesion de los equinoccios y perturbaciones.Otros datos de entrada pueden ser las fechas de afelio,perihelio, solsticios... 16 / 94




El triangulo astronomico I

La aplicacion mas importante de la trigonometrıa esferica a laastronomıa es el llamado “triangulo astronomico”. Permiteresolver los problemas de la astronomıa esferica queplanteamos en el Tema 1.Sea un cuerpo S “infinitamente” distante de la Tierra, condeclinacion δS , cuyas coordenadas topocentricas respecto a unobservador O son su elevacion h y azimut Az. El observadorse encuentra en un punto de la Tierra de latitud φ, y el angulohorario de S respecto al observador es HS .Recordemos que el angulo horario es la diferencia entre elmeridiano del observador y el meridiano en el que seencuentra S, de forma queHS = LST−ARS = GST0 + λ+ ω⊕t −ARS ).El triangulo astronomico permite obtener una pareja de datos(coordenadas de S topocentricas o geocentricas, coordenadasdel observador) a partir del resto. 17 / 94




El triangulo astronomico II

La clave para plantear el triangulo consiste en desplazar elcentro del sistema de referencia geocentrico al observador; nose alteran las coordenadas angulares de S por la hipotesis deestar “infinitamente” distante de la Tierra.

!"!"#

#!"#

$!"#

!%

Az

!%

ecuador celeste

horizonte

$

#

!"

&'

SW

P

Z

O

E

S

N

-

-

En la figura, Z es el zenit,N,S,E,W los puntoscardinales, y P la direcciondel eje de la Tierra (hacia laestrella polar).

Si el cuerpo S fuera proximoa la Tierra, el planteamientono es valido; el problema hayque resolverlo con vectores.

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El triangulo astronomico III

SHAz

Á90-

h90-S±90-

Del triangulo, obtenemos aplicando dos veces la leyde cosenos y recordando que sen(90−α) = cosα ycos(90− α) = senα, se tiene:

sen δS = senφ sen h + cosφ cos h cosAz,

sen h = senφ sen δS + cosφ cos δS cosHS ,

Hay que recordar que: HS = GST0 + λ+ ω⊕t −ARS .Usando las dos ecuaciones y sustituyendo HS podemosobtener una pareja cualesquiera de datos:

Problema de posicionamiento: hallar δS , ARS .Problema de observacion: hallar h, Az.Problema de navegacion: hallar φ, λ.

Hay que tener cuidado con las ambiguedades de signo; sepuede usar la ley de senos senAz

cos δS= − sen HS

cos h y recordar queδS , φ, h ∈ [−90o, 90o].

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Cırculos esfericos

Un cırculo esferico viene dado por el corte de una esfera con unplano arbitrario.

Si el plano no pasa por el centro de laesfera, se trata de un “cırculo menor”.

Un cırculo esferico vendra dado por sucentro (en la superficie de la esfera, dadousualmente en coordenadas esfericasφ0, λ0) y su radio (normalmente dadocomo un angulo Γ).

La mejor forma de visualizarlo es como lainterseccion de la esfera con un conorecto de vertice el centro de la esfera,angulo Γ y cuyo eje pasa por el centrodel cırculo esferico.

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Calculo de cırculos esfericos con trigonometrıa esferica

Dado el centro en (λ0, φ0) se calculan lascoordenadas (λ, φ) de la circunferencia.

Para cada valor de azimuth A ∈ [0, 360o ]:cos(90 − φ) = cos(90 − φ0) cos Γ + sen(90 − φ0) sen Γ cos A

es decir: senφ = senφ0 cos Γ + cosφ0 sen Γ cosA

Por otro lado:cos Γ = cos(90 − φ0) cos(90 − φ) + sen(90 − φ0) sen(90 − φ) cos ∆λ

es decir: cos ∆λ = cos Γ−senφ0 senφcosφ0 cosφ

Se calcula λ de la siguiente forma:Si A ∈ [0, 180o ], λ = λ0 + ∆λ. SiA ∈ [180o , 360o ], λ = λ0 −∆λ.

Tambien valido en la esfera celeste(cambiar λ por AR y φ por δ).

Area: 2πR2(1− cos Γ).21 / 94




Pertenencia de un punto a un cırculo esferico

Problema: Dado un cırculo esferico de centro (λ0, φ0) y deradio Γ, determinar si otro punto (λ, φ) pertenece al cırculoesferico.

Metodo 1: Usando las formulas que parametrizan lacircunferencia. En primer lugar si φ > φ0 + Γ o φ < φ0 − Γ,tenemos garantıa de que no pertenece a la circunferencia. Enotro caso, tomando cos ∆λ = cos Γ−senφ0 senφ

cosφ0 cosφ , siλ ∈ [λ0 −∆λ, λ0 + ∆λ], entonces el punto pertenece alcırculo.

Metodo 2: Usando la formula que define la distancia angularortodromica α sobre una esfera (ver problemas),cosα = senφ0 senφ+ cosφ0 cosφ cos(λ0 − λ). Si α ≤ Γentonces el punto se encuentra dentro del cırculo.

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Aplicacion: calculo de la circunferencia de eclipse

El objetivo es encontrar la circunferencia esferica que forma lasombra de la Tierra, a una determinada altura h, un cierto dıadel ano.

Los eclipses son fundamentales para los vehıculos espaciales:gradientes de temperaturas, inutilizacion de paneles solares,etc...

Hipotesis: Se considera la Tierra esferica, se desprecian losefectos de refraccion, se supone que el Sol esta a unadistancia “infinita”.

Ademas se supone el Sol inmovil durante todo el dıa; enrealidad la circunferencia se desplaza lentamente.

Datos del problema: Coordenadas del sol δ y AR para eldıa dado (se supone constante), altura h.

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Aplicacion: calculo de la circunferencia de eclipse

¡©R+h©R

¯

Tierra

Observese que se usa el sistema geocentrico inercial ecuatorialpara no tener que incluir la rotacion de la Tierra.En primer lugar se calcula Γ. De la figura, sen Γ = R⊕

R⊕+h .

Llamemos O al punto antipodal al punto solar (δO = −δ,ARO = AR + 180o),Para cada valor de azimuth A ∈ [0, 360o ] se tendra:sen δ = sen δO cos Γ + cos δO sen Γ cosA, cos ∆AR = cos Γ−sen δO sen δ

cos δO cos δ

Esto delimita totalmente la circunferencia donde seexperimentarıa eclipse a altura h. 24 / 94



Trazas (Groundtracks)CoberturaVisibilidad

Trazas I

Traza: Lugar geometrico de los puntos (llamados puntossubsatelite) de la superficie de la Tierra (u otro planeta)directamente sobrevolados por el satelite o vehıculo.

Las trazas son de gran utilidad a la hora de formular yverificar requisitos en el diseno de misiones geocentricas oplanetocentricas, al ofrecer una representacion grafica de laorbita desde el punto de vista de la superficie.

Debida a la combinacion del movimiento (posiblementeexcentrico) del satelite y de la Tierra, ademas del efecto de lasperturbaciones, el computo de la traza no es trivial.

Se suelen representar en una proyeccion terrestre tipocilındrica.

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Proyecciones I

La proyeccion de Mercator es unaproyeccion cilındrica definida poruna transformacion conforme.

Por tanto, tiene la propiedad deque los angulos medidos en laproyeccion corresponden conangulos reales.

Ademas, tiene la propiedad de quelas lıneas de rumbo constante sonlıneas rectas.

No obstante, lejos del Ecuador laproyeccion no es fidedigna, y lospuntos cercanos a los polos (que seproyectan en el infinito) quedana alturas muy elevadas. 26 / 94




Proyecciones II

La proyeccion cilındrica equidistante escala los paralelos deforma que angulos iguales abarcan distancias iguales. Portanto longitud y latitud tienen una escala lineal y uniforme.Por tanto, no es conforme, sin embargo permite representartoda la Tierra en una superficie finita, por lo que es mas utilque la de Mercator para representar trazas.

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Proyecciones III

Azimuthal Equidistant; Azimuthal;Neither Conformal or Equal-area;Originator Unknown; Ancient;(Also used by and named for Postel; 1581)

Azimuthal Equidistant; Azimuthal;Neither Conformal or Equal-area;Originator Unknown; Ancient;(Also used by and named for Postel; 1581)

La proyeccion azimutal equidistante es una proyeccion sobreun plano tangente a la Tierra.Es util para observar fenomenos cercanos al punto detangencia. Las distancias y direcciones solo son verdaderasmedidas desde el punto de tangencia. 28 / 94




Proyecciones IV

La proyeccion estereografica esuna proyeccion conforme sobreun plano tangente a la Tierra(tıpicamente en el polo).

Esta proyeccion respeta angulospero no areas, ademas requiereuna superficie infinita ya que elpunto opuesto al de tangenciase proyecta en el infinito.

La representacion es muy buena en las proximidades del puntode tangencia, con lo que se usa con frecuencia para estudiarorbitas proximas al polo, o la visibilidad de estaciones deelevada latitud.

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Trazas II

La traza se representa usualmente sobre una proyeccioncilındrica equidistante como una curva (λ(t), φ(t)).Las latitudes maximas alcanzadas por la traza son ±i (paraorbitas directas) y ±(180− i) para orbitas retrogradas.Si la Tierra no rotase y en ausencia de perturbaciones, lacurva se cerrarıa tras 1 revolucion, asemejandose a unasinusoidal. En general, no se cierra, y el retraso nodal∆λ = −ω⊕T

SAT (en radianes por revolucion). Considerandola perturbacion secular del J2, ∆λ = −(ω⊕ − Ω)T SAT

N . 30 / 94




Calculo de la Traza I

La traza se puede determinaranalıticamente, si se conoce GST0 ylos elementos en t = 0. En primerlugar consideramos el modelo sinperturbaciones.

De la figura, u(t) = ω + θ(t) ysenφ(t) = sen u(t) sen i .

Por otro lado: tan u(t) cos i =tan (GST0 + ω⊕t + λ(t)− Ω).

Por tanto las ecuaciones que determinan la traza son:φ(t) = arc sen (sen u(t) sen i)λ(t) = Ω− GST 0 − ω⊕t + arctan (tan u(t) cos i).

Queda determinar u(t) en funcion de t. Si la orbita escircular, u(t) = ω + θ0 + nt.

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Calculo de la Traza II

En el caso circular, las ecuaciones son, portanto:φ(t) = arc sen

sen

ω + θ0 + t

√µ⊕(

R⊕+h)3

sen i

λ(t) = Ω−GST 0 −ω⊕t + arctan

tan

ω + θ0 + t

√µ⊕(

R⊕+h)3

cos i

Al aumentar la altura, aumenta el periodo ypor tanto aumenta el retraso nodal∆λ = −ω⊕TSAT, hasta llegar a la alturageoestacionaria, donde es exactamente 360o .

Para alturas mayores, la orbita es“supersıncrona” y la mayor parte de la trazaes retrograda.

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Calculo de la Traza III

En el caso excentrico, serıa necesarioemplear la Ecuacion de Kepler para obtenerθ en cada instante.

Las orbitas de pequena excentricidad no sediferencian mucho de las circulares.

Las de elevada excentricidad modificanmucho su aspecto debido a los cambios develocidad, ademas de introducir unadependencia en el argumento del perigeo delaspecto de la traza.

En la figura, un ejemplo con i = 50o ye = 0,75. Observese el movimientoretrogrado en las proximidades del apogeo.

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Calculo de la Traza IV

Determinacion de la velocidad aparente del satelite sobre la traza.

Queremos calcular φ y λ. Se pueden calculargeometricamente, pero lo mas sencillo es tomar derivadatemporal en φ(t) = arc sen (sen u(t) sen i) yλ(t) = Ω− GST 0 − ω⊕t + arctan (tan u(t) cos i).

Llegamos a: φ(t) = cos u(t) sen i√1−sen2 u(t) sen2 i

u(t) y

λ(t) = −ω⊕+ 1+tan2 u(t)1+tan2 u(t) cos2 i

u(t) cos i = −ω⊕+ u(t) cos i

1−sin2 u(t) sin2 i.

Recordando senφ(t) = sen u(t) sen i :

φ(t) =cos u(t) sen i

cosφ(t)u(t) =

tanφ(t)

tan u(t)u(t)

λ(t) = −ω⊕ +cos i

cos2 φ(t)u(t)

Se tiene de problemas que u(t) = θ(t) = n (1+e cos θ)2

(1−e2)3/2 .34 / 94




Calculo de la Traza V

En un punto dado se puede calcular el Azimut relativo oaparente con el que el satelite cruza el cielo como:

tanAz = cosφ λφ

.

De la expresion senφ(t) = sen u(t) sen i se calculan la maximay mınima latitud (φ = ±i); se tendran cuando u(t) = ±90o.Orbitas retrogradas: se tendran cuando λ(t) < 0, es decir:

cos i

cos2 φ(t)u(t) < ω⊕

Si i ≥ 90o entonces la traza siempre es retrograda.Si existen puntos donde cos i

cos2 φ(t)u(t) = ω⊕ en dichos puntos la

traza cambia de direccion.Para orbitas circulares:

φ(t) =tanφ(t)

tan (ω + θ0 + nt)n, λ(t) = −ω⊕ +

cos i

cos2 φ(t)n

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Cobertura geografica I

©R

r

¡

Se denomina cobertura geografica deun satelite la zona de la Tierra visiblepor dicho satelite para cada instante.

Dicha zona estara delimitada por lacircunferencia terrestre donde estangente a la esfera de la Tierra uncono de vertice el satelite.

Desde un punto de esta circunferenciase verıa el satelite justo en elhorizonte.

El “radio angular” Γ de dicha circunferencia viene dado porcos Γ = R⊕

R⊕+h .

En la leccion de trigonometrıa esferica (cırculos esfericos) sevio como calcular este tipo de circunferencias.

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Cobertura instrumental

°

°+®

®

r©R

Considerando el caso mas realista deun instrumento (antena o sensor) conun angulo de visibilidad mas estrecho(α), se determina una circunferenciade “radio angular” γ ≤ Γ como en lafigura.

Se tiene que(R⊕ + h) senα = R⊕ sen(α+ γ), luego

γ = arc sen(

R⊕+hR⊕

senα)− α.

Ademas, se define el “ancho de huella” w como la longituddel arco maximo tendido por la circunferencia de coberturadel instrumento. Se tiene pues que w = 2R⊕γ (si γesta expresado en radianes).

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Visibilidad I

Un satelite es visible desde una estacion si elvector estacion-satelite ~s esta por encima delhorizonte geografico de la estacion.

La condicion matematica es que el angulo de~s sobre el horizonte (elevacion, h) debe sermayor que un valor hmin, determinado por lainstrumentacion y topografıa.

De la figura, h = arc sen(~s · ~c) donde ~c = ~reR⊕

apunta al cenit

de la estacion. Por otro lado ~s = ~r−~re√r2+R2

⊕−2R⊕r cos Ψ.

Por tanto: h = arc sen

(r cos Ψ−R⊕√

r2+R2⊕−2R⊕r cos Ψ

)y la condicion de

visibilidad queda h > hmin.

Puesto que ~r · ~c = r cos Ψ podemos hallar Ψ a partir de ~r y ~c .38 / 94




Visibilidad II

Para ~r se tiene, usando los angulos de Euler de la orbita:

[r ]R = r [T ]RF (Ω, i, ω + θ)

100

= r

cΩc(ω + θ) − sΩs(ω + θ)cisΩc(ω + θ) + cΩs(ω + θ)ci

s(ω + θ)si

Por otro lado, para ~c: [c]R =

c(LST)cφs(LST)cφ

sφ

donde

LST = GST0 + λ+ ω⊕t es el tiempo sidereo local de laestacion.Se deduce: cos Ψ = cφ [c(LST − Ω)c(ω + θ) + s(LST − Ω)s(ω + θ)ci ] + s(ω + θ)sisφ

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Visibilidad III

Las anteriores relaciones permitencalcular, para cada instante(recordando que LST , θ y r sonfuncion de t) la llamada “funcion devisibilidad”, que proporciona laelevacion para cada t.

Solo cuando h > hmin el satelitesera visible.

Estas ideas se pueden aplicar no solo a satelites, sino acualquier cuerpo observable desde la Tierra. El analisissera mas o menos complicado segun la complejidad delmovimiento del cuerpo.Para un satelite en orbita circular este analisis se puedesimplificar y obtener directamente de la representacion de lastrazas del satelite.

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Visibilidad IV

Para el caso circular la circunferencia de visibilidad sera lainterseccion entre el cono de visibilidad (de angulo 90o − hmin

y vertice la estacion) y una esfera de radio R⊕ + hSAT, queluego hay que proyectar sobre la Tierra. En la figura ε = hmin.El “radio angular’ Φ del cırculo de visibilidad se obtiene de la

formula Φ = arc cos(

R⊕R⊕+hSAT

cos hmin

)− hmin. Con dicho

angulo se pueden emplear las mismas formulas explicadas encobertura para dibujar la circunferencia. 41 / 94




Visibilidad V

Ejemplo circular: la plataforma EURECA (1992-1993)[EUropean REtrievable CArrier].

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Visibilidad VI

Ejemplo circular: satelite europeo de recursos ERS-1 conorbita polar.

Observese la deformacion de los cırculos cerca de los polos.43 / 94




Visibilidad VII

Proyeccion estereografica polar para el estudio de la visibilidaden las cercanıas del polo.

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Orbitas geoestacionariaLEO (orbita baja) y la orbita heliosıncronaOrbitas de alta excentricidadOtros: Orbita media, constelaciones, orbita “cementerio”

Orbitas de Aplicacion

Si bien hay una gran posible diversidad para las orbitasgeocentricas, en la practica se utilizan los siguientes tipos deorbitas:

Geosıncronas/geoestacionarias.Orbitas bajas, especialmente la orbita heliosıncrona.Orbitas de alta excentricidad.Orbita media.Constelaciones.

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Orbita geoestacionaria ISe define la orbita geoestacionaria (ideal) como:

Geosıncrona, es decir, su periodo es el de la Tierra(T⊕ = 23 h 56 m 4 s), por tanto

aGEO =(µ⊕

T 2⊕

4π2

)1/3

= 42164 km.

Circular (e = 0), ecuatorial y directa (i = 0).Por tanto RGEO = aGEO y hGEO = 35786 km.

Para ubicar un satelite geoestacionario, por tanto, solonecesitamos la longitud λ del punto del Ecuador sobre el quese encuentra fijo.

Otra forma de dar la posicion del satelite es mediante sulongitud verdadera λT (no se puede usar θ, ω, ni Ω). Se tieneque λT (t) = GST(t) + λ y por otro lado puesto que n = ω⊕,λT (t) = λT (t0) + ω⊕t.

La Tierra, vista desde GEO, presenta la forma de un discoque ocupa aproximadamente 17o en el horizonte.

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Orbita geoestacionaria IILa Tierra vista desde GEO:

Un satelite geoestacionario permaneceinmovil respecto a la Tierra: su “vista” esfija. Las antenas de recepcion pueden serpor tanto fijas.

Inconveniente: no se cubren bien las zonaspolares (por encima de 81,3o de latitud).

La orbita GEO:

La orbita GEO esta muy congestionada(en sentido fısico y de interferenciasradioelectricas). Esta reguladainternacionalmente.

Se necesitan lanzadores potentes parallegar a GEO.

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Orbita geoestacionaria IIIEclipses:

Los eclipses son importantes porquelos paneles solares (principal fuente dealimentacion) dejan de funcionar y seproducen fuertes gradientes termicos.

El eclipse maximo se produce en losequinoccios.

La “temporada de eclipses” comienza21 dıas antes del equinoccio y finaliza21 dıas despues.

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Orbita geoestacionaria IV

Cobertura de la Tierra:

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Orbita geoestacionaria V

Cobertura total de la Tierra (excepto los polos): sonnecesarios tres satelites geoestacionarios.

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Orbita geoestacionaria VI

Efecto de perturbaciones:

Puesto que la orbita es ecuatorial, por simetrıa el J2 no alterael plano de la orbita.Puesto que la orbita es de gran altitud, no existe resistenciaatmosferica.La perturbacion lunisolar tiene el efecto de sacar al satelite delplano ecuatorial (cambiando la inclinacion) aproximadamente1o/ano. A veces se denomina perturbacion N-S.La presion de radiacion solar tiene un efecto apreciable; el masimportante es una perturbacion periodica (periodo 1 ano) de laexcentricidad.El efecto mas importante es el de la triaxialidad (J22).Estas perturbaciones se tienen que compensar mediantemaniobras (stationkeeping).

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Orbita geoestacionaria VII

Perturbacion N-S:

Efecto en la traza:

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Orbita geoestacionaria VIII

Efecto de la triaxialidad:El J22 provoca que los satelites oscilenen longitud. La dinamica aproximadaviene dada por la ecuacion

λ ≈ −k2 sen 2(λ− λS )

donde k2 = 18

(nR⊕a

)2

J22 y

λS = 75,3o es la posicion de uno delos equilibrios. Se tienek2 ≈ 0,002o/dia2.

Las posiciones estables se puedenutilizar como “basurero espacial” paraGEO.

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LEO (orbita baja)

La orbita baja es la mas utilizada, porsu proximidad “energetica” a laTierra. Las estaciones espaciales sehan situado en LEO.

Se considera orbita baja a aquellaorbita que no se extiende mas alla deuna altitud de 2000 km.

Se evitan altitudes inferiores a 300 kmya que la resistencia atmosfericareduce mucho la vida util.

Las perturbaciones mas importantesson el J2 y la resistencia atmosferica.

Muy utilizadas son las orbitasheliosıncronas.

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Heliosincronismo I

En el sistema geocentrico ecuatorial, la proyeccion del SolMedio en una esfera con la Tierra en su centro sera un puntoS (el punto subsolar medio) que define un “meridiano solar”(medio); este punto se desplaza en el sentido antihorario conuna velocidad de 360/365,25o/dia.

Sea ARM (α en la figura) laascension recta del Sol Medio:ARM = 360/365,25o/dia.

Por otro lado Ω, la ascensionrecta del nodo ascendente,cambia debido a perturbaciones.Llamemos δ = Ω−ARM.

Una orbita es heliosıncrona si secumple que δ ≈ cte.

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Heliosincronismo II

Del modelo de perturbacionesseculares con el J2, se tiene queddt i = cte. mientras que

d

dtΩ = −3

2J2n

(R⊕p

)2

cos i

La condicion que tiene que cumplir la orbita, por tanto, esΩ = ARM, es decir:

−3

2J2

√µ⊕a3

(R⊕

a(1− e2)

)2

cos i =2π

365,25× 1 dia solar medio

Para el caso de orbita circular de altura h, se cumple:

cos i

(R⊕

R⊕ + h

)7/2

= −0,098956 / 94




Heliosincronismo III

Por tanto, existen multiples orbitas heliosıncronas condiferente inclinacion y altitud. No obstante, de la ecuacion,cos i ha de ser negativo (luego i > 90o , es decir, orbitasretrogradas); normalmente se usan alturas en LEO, con lo quecos i es pequeno, es decir, las orbitas son aproximadamentepolares.

Puesto que el angulo δ es constante, se puede utilizar paraidentificar una orbita heliosıncrona concreta.

Si δ = 0o , entonces el nodo ascendente cruza el Ecuador amediodıa medio (y el nodo descendente a medianoche media).Esta orbita se llama 12h-24h (high noon orbit).Si δ = 90o el nodo ascendente cruza el Ecuador al atardecermedio (y el nodo descendente, al amanecer medio). Esta orbitase llama 18h-6h (dusk-dawn).

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Heliosincronismo IV

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Heliosincronismo V

Ventajas de la orbita heliosıncrona

Los mecanismos de apuntado de los paneles solares al Sol sesimplifican considerablemente, y se posibilitan largos periodosde iluminacion solar; ademas, con una altura suficiente (1400kilometros) nunca se producen eclipses.Puesto que la hora solar y la hora solar media sonaproximadamente iguales, las condiciones de iluminacion en elpaso por el Ecuador (es decir, la hora solar) son casiconstantes.Mas aun, la hora solar media en el paso por una latitudcualquiera (al atravesar un paralelo) tambien es constante.Esta propiedad es tremendamente util para las tareas deobservacion y reconocimiento.

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Heliosincronismo VILa hora solar media en un punto de la tierra L esHM = σ/15 + 12, donde σ = LST−ARM. Si el satelite pasapor dicho punto, entonces por un lado AR = Ω + λu = LST.

Es decir, HM = Ω−ARM+λu15 + 12. La hora de paso por el

Ecuador, HM0 se da para λu = 0, es decir,HM0 = Ω−ARM

15 + 12 = δ15 + 12.

Por otro lado, de la trigonometrıa esferica, senλu = tanφtan i .

Por tanto, se tiene: HM = HM0 +arc sen( tanφ

tan i )15 y como i y

HM0 son constantes para un satelite heliosıncrono (δ ≈ cte.),HM siempre es la misma para la misma latitud φ.

Se toma una solucion del arc sen cuando se va de Sur a Nortey otra cuando se va en la otra direccion.

Por tanto cada vez que un satelite heliosıncrono cruza unparalelo en un sentido (de Norte a Sur o de Sur a Norte) lohace a la misma hora solar media HM. 60 / 94




Heliosincronismo VII

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Orbitas de alta excentricidad: Los Molniya

Los Molniya (“relampago” en ruso) sonuna familia de satelites decomunicaciones de la antigua URSS .

Puesto que los satelites en GEO nocubren bien altas latitudes (cercanas alpolo), y gran parte del territorio ruso seencuentra muy al Norte, un satelite enGEO no proporciona una coberturageografica adecuada.

Ademas dado que los sitios delanzamiento rusos son de elevada latitud,la orbita GEO es muy costosa enterminos “energeticos”.

Solucion: varios satelites en orbitas dealta excentricidad 62 / 94




Molniya I

Supongamos una orbita con los siguienteselementos: T ≈ 12 h, e = 0,75, es decir unaorbita “semi-sıncrona” (cada dosrevoluciones pasa por la misma localizaciongeografica) y de alta excentricidad.

Obtendrıamos hp ≈ 300 km,ha ≈ 40000 km.

¿Que angulo se recorre en dos horas desde elperigeo? De la ecuacion de Kepler,n∆t = E − e senE , obtenemos queE = 1,78 rad luego θ = 2,54 rad ≈ 145o .

Por tanto en las cuatro horas restantes delsemi-periodo se recorren los 35o restantes.

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Molniya II

Por tanto, ya que con 35o se pueden cubrirlas altas latitudes rusas, situando el apogeoen la zona de maxima latitud donde sequiere tener cobertura, se pueden conseguiraproximadamente ocho horas de cobertura.

Son necesarios pues tres satelites paraobtener 24 h de cobertura.

Es fundamental evitar que las perturbacionesdel J2 desplacen el apogeo.

La regresion de los nodos se puede compensar eligiendoadecuadamente el periodo del satelite.

Puesto que dωdt =

3J2nR2⊕

4p2 (5 cos2 i − 1), se elige i tal que

dωdt = 0. Por tanto, i = arc cos

√15 = 63,4o , la llamada

inclinacion crıtica.64 / 94




Molniya III

La orbita Molniya con sus dos apogeos diarios: uno en Rusia yotro en Norteamerica.

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Orbita Tundra

Otra orbita de alta excentricidad es la orbita tundra.Es una orbita geosıncrona inclinada con la i crıtica(i = 63,4o) y de alta excentricidad, de forma que el apogeo sesitua sobre Norteamerica.Se emplea para los satelites Sirius (radio por satelite); con 3satelites se garantiza que 1 sobrevuela USA en todo momento.

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Orbita Media

Se considera orbita media (MEO) la queesta por encima de la orbita baja (mas de2000 km) y por debajo de la GEO.

Al ser de mayor altitud, ofrece mascobertura que las orbitas LEO sin requerir lapotencia de transmision/recepcion ni elcoste de la GEO.

Tıpicamente usada por constelaciones de satelites denavegacion (GPS, Glonass, Galileo), o por satelites decomunicaciones polares.

Contiene las orbitas semisıncronas circulares (con periodoigual a la mitad del periodo terrestre).

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Constelaciones I

Para proporcionar cobertura durante 24 h no basta con unsolo satelite: son necesarios varios.

Una constelacion de satelites es un conjunto de satelitessituados en orbitas coordinadas, de forma que ofrecencobertura total o casi total.

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Constelaciones II

Hemos visto ya varios ejemplosTres satelites geoestacionarios proporcionan cobertura total delplaneta, excepto los polos.Tres satelites Molniya proporcionan cobertura para Rusia.La orbita Tundra (tres satelites).

Otros ejemplos son la constelacion de satelites de GPS (unos24 satelites en orbita media, a = 26600 km), la constelacionIridium (66 satelites en orbita baja) o la constelacionGlobalstar (unos 40 satelites, no ofrece cobertura total). 69 / 94




Constelaciones tipo Walker

Una constelacion que contiene orbitas circulares, de altitud he inclinacion i constantes, con planos separados de formapareja se denomina constelacion de Walker.

Esta definida por tres numeros enteros:Numero total de satelites tNumero de planos orbitales pEspacio relativo entre satelites en planos adyacentes,f ∈ [0, p − 1].

Con estos datos, la separacion entre nodos ascendentessera 360/po, la separacion entre vehıculos en el mismo plano360p/t y la separacion relativa entre satelites en planosadyacentes sera 360f /t.

Una constelacion 15,5,1 tendra 5 planos espaciados 72o, contres satelites cada uno separados por 120o, y la separacionentre satelites de planos adyacentes es de 24o.

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Constelaciones tipo Walker: Ejemplos

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Orbitas “cementerio”

Para subsanar el problema de la “basura espacial”, se situanlos satelites en una zona segura al final de su vida.Para los satelites en LEO estos pueden ser eliminadossimplemente provocando la reentrada.Para los GEO, la orbita cementerio esta situadasignificativamente sobre la orbita original.De acuerdo a la IADC (Inter-Agency Space DebrisCoordination Comitee) la altitud mınima de perigeo sobreGEO debe ser: ∆h = 235 + (1000CR

AmV

) km dondeCR = (1 + ε) cosφS ≈ 1,2− 1,4.

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Conceptos GeneralesManiobras de un solo impulsoManiobras de mas de un impulso. TransferenciasRendezvous

Introduccion

En general, no es posible alcanzar la orbita requerida para unamision directamente en el lanzamiento.

El rango de inclinaciones que se pueden alcanzar es limitado.Las sondas lunares o interplanetarias no se suelen lanzar a sutrayectoria definitiva, sino a una orbita de “aparcamiento”intermedia.El objetivo de la mision puede necesitar una orbita inicial queluego debe ser modificada.

Ademas, debido al efecto de perturbaciones, las orbitas sedegradan con el tiempo y es necesario corregirlas(stationkeeping).Por tanto, las maniobras para modificar una orbita son partede cualquier mision. La forma de llevar a cabo una maniobraes mediante propulsion, proporcionada por motores cohete decombustible solido o lıquido (en este curso no consideramosotros tipos de propulsion continua, como motores electricos ovelas solares, que exigen integracion numerica). 73 / 94




Maniobra basica I

Hipotesis fundamental: El tiempo de combustion de loscohetes es muy pequeno comparado con el periodo orbital delsatelite.Entonces el efecto de la propulsion se puede asimilar a un

impulso instantaneo−−→∆V en la velocidad; la nueva velocidad

~Vf = ~Vi +−−→∆V define una orbita diferente, con el mismo foco:

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Maniobra basica II

En el caso mas simple (maniobracoplanaria) la maniobra queda definida

por el escalar |−−→∆V | = ∆V y el angulo

ψ que forma−−→∆V con ~Vi .

Partiendo de la velocidad final deseadaVf y ϕ (el angulo entre Vi e Vf ), seobtienen (∆V , ψ) mediante el teoremadel coseno:∆V 2 = V 2

i + V 2f − 2ViVf cosϕ, y el

teorema del seno: senψ = Vf senϕ∆V .

Observese que la velocidad final se maximiza (minimiza) en elcaso de que ψ = 0o (180o). En tal caso Vf = Vi + ∆V(Vf = Vi −∆V ). Es decir, la direccion tangente es la de“maximo aprovechamiento” del impulso anadido.

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Consumo de combustible I

El consumo de combustible viene dado por:

∆V = Ve lnm0 + mp

m0

donde Ve es la velocidad especıfica de escape del propulsante,m0 es la masa sin propulsante y mp es la masa de propulsante.

Ve = Ispg donde Isp es el impulso especıfico y g = 9,81 m/s2.

De la anterior expresion, mp = m0

(e

∆VIspg − 1

)Observese que si se requieren n maniobras:∆VTOTAL = ∆V1 + ∆V2 + . . . + ∆Vn

= Ve

(ln

m0 + mp1 + . . . + mpn

m0 + mp2 + . . . + mpn+ ln

m0 + mp2 + . . . + mpn

m0 + mp3 + . . . + mpn+ . . . + ln

m0 + mpn

m0

)

= Ve lnm0 + mp1 + . . . + mpn

m0

= Ve lnm0 + (mp )TOTAL

m0

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Consumo de combustible II

El razonamiento anterior no es valido si consideramosdiferentes etapas, que no solo constan del peso decombustible mpi sino tambien del peso estructural msi de cadaetapa (que contiene al deposito), que se eyecta al consumirse.Por ejemplo, para dos etapas, se tendrıa:

∆V1 = Ve lnm0 + ms1 + ms2 + mp1

+ mp2

m0 + ms1 + ms2 + mp2

= Ve ln

(1 +

mp1

m0 + ms1 + ms2 + mp2

)

∆V2 = Ve lnm0 + ms2 + mp2

m0 + ms2

= Ve ln

(1 +

mp2

m0 + ms2

)

∆VTOTAL = Ve ln

[(1 +

mp1

m0 + ms1 + ms2 + mp2

)(1 +

mp2

m0 + ms2

)]

En la anterior expresion (tambien para n etapas) se puedenbuscar los valores optimos de (mp1,ms1) y (mp2,ms2) queminimizan el consumo mp1 + mp2 para un valor de ∆VTOTAL.Esta distribucion optima del combustible por etapas (yaconsiderada por Tsiolkovsky) permite alcanzar valores de ∆Vque no se podrıan alcanzar con una sola etapa. 77 / 94




Cambio de radio de perigeo/apogeo y circularizacion

Regla: Para cambiar el apogeo, aplicar un ∆V tangente en elperigeo. Para cambiar el perigeo, aplicar un ∆V tangente enel apogeo.

Ejemplo. Cambio de apogeo:

Supongamos un perigeo rp, un apogeo inicial rai y uno final raf .

Por tanto ai =rp+rai

2 y af =rp+raf

2 .Usando la ecuacion de las fuerzas vivas en el perigeo:

vi =√

2µrp− µ

aiy vf =

√2µrp− µ

af.

Por tanto:∆V = |vf − vi | =

√2µrp

∣∣∣√1− 11+raf /rp

−√

1− 11+rai/rp

∣∣∣Si el objetivo es circularizar, entonces es necesario hacerra = rp. En el ejemplo anterior, serıa lo mismo que hacer

raf = rp, y por tanto: ∆V =√

µrp

(√2√

1− 11+rai/rp

− 1)> 0

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Cambio generico de orbita coplanaria

En general un ∆V arbitrario enel mismo plano provocara uncambio de a, e y ω.

Conocidos (ai , ei , ωi ) y(af , ef , ωf ), el punto demaniobra se obtiene deri =

ai (1−e2i )

1+ei cos θi= rf =

af (1−e2f )

1+ef cos θf,

donde θi + ωi = θf + ωf .

vi solo depende de ai , ri y vf deaf , rf ⇒ ∆V = f (ai , af , ri ).

Usando los angulos de trayectoria, ϕ = γi − γf .Para encontrar γf y γi se usa la formula tan γ = e sin θ

1+e cos θ .Un proceso similar permite obtener (af , ef , ωf ) a partir de(ai , ei , ωi ) y ∆V , ψ. 79 / 94




Rotacion de la linea de apsidesV¢~

iV~

fV~

r~

'

FINAL

INICIAL

µ!¢

f°

i°

V¢~

iV~

fV~

r~

'

Se pretende rotar ω en una cantidad∆ω, sin modificar a ni e.

Por tanto, Vf = Vi =√

2µr −

µa . De la

figura, el punto de aplicacion de ∆Vvendra dado por θi = ∆ω/2, por tanto

r = a(1−e2)1+e cos ∆ω/2 . Observese que

θf = −∆ω/2.

Falta encontrar ϕ, que se deduce deϕ = γi − γf . Puesto quetan γ = e sin θ

1+e cos θ , se tiene queγf = −γi , luego ϕ = 2γi y quetan γi = e sin ∆ω/2

1+e cos ∆ω/2 .

Se deduce ∆V = 2Vi sen γi .

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Cambio de plano orbital

Supongamos que queremosmantener a, e, ω y θ peroqueremos variar el plano (Ω e i).

Si a no cambia,Vf = Vi =

√2µ/r − µ/a, por

tanto el angulo ϕ (∆A en lafigura) determina la maniobra,junto con la latitud φ en la quese debe efectuar la maniobra.

De la trigonometrıa esferica se encuentran las formulas:cos ∆A = cos ii cos if + sen ii sen if cos(Ωf − Ωi ) y

senφ = sen ii sen if sen(Ωf −Ωi )sen ∆A

Se tiene ∆V = 2Vi sen ∆A/2.

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Cambio solo de nodo o de inclinacion

Cambio de Ω sin cambiar i : Delas formulas anteriorescos ∆A = cos2 i+sen2 i cos(Ωf−Ωi )

y senφ = sen2 i sen(Ωf −Ωi )sen ∆A .

Usando la formulacosα = 1− 2 sen2 α/2 se puedededucir:sen ∆A

2 = sen i sen Ωf −Ωi2 .

Se tiene entonces∆V = 2Vi sen i sen(Ωf − Ωi )/2.

Cambio de i sin cambiar Ω:cos ∆A = cos ii cos if + sen ii sen if = cos(ii − if ) luego∆A = ii − if ; ademas, φ = 0.

Se tiene entonces ∆V = 2Vi sen(ii − if )/2.82 / 94




Introduccion

Si la orbita final no tiene ningun punto encomun con la orbita inicial, no es posiblerealizar la maniobra con un solo impulso.

Es necesario realizar una transferencia,con al menos dos maniobras intermediasde un solo impulso.

La orbita intermedia se denomina orbitade transferencia.

En general existen infinitas posibles orbitas de transferencia.El “coste” de la transferencia sera ∆V = ∆V1 + ∆V2.

Es importante determinar cuales son las optimas en algunsentido (mınimo consumo de combustible, mınimo tiempo detransferencia...).

Inicialmente consideraremos transferencias coplanarias entredos orbitas circulares.

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Transferencia de Hohmann I

Dadas dos orbitas cırculares de radios ri y rf ,se puede demostrar que la transferencia demınimo ∆V usando dos impulsos es lallamada transferencia de Hohmann.

El primer impulso lleva la orbita a una cuyoapogeo coincide con rf , mientras que elsegundo circulariza la orbita.

La elipse de transferencia de Hohmanncumple aH = ri +rf

2 .

Luego ∆V1 =√

2µri− µ

aH−√

µri

, ∆V2 =√

µrf−√

2µrf− µ

aH.

Llamando λ = rfri

, se llega a ∆V1 = Vi

(√2λ

1+λ − 1)

,

∆V2 = Vi

(√1λ −

√2

λ(1+λ)

), luego se llega a

∆VTVi

=√

2λ(1+λ) (λ− 1) +

√1λ − 1. Tambien TH = π

√a3

Hµ . 84 / 94




Transferencia de Hohmann II

El coste de la transferencia de Hohmann esta representado enla figura mas arriba, incluyendo transferencias interiores.Para λ→∞ tenemos el impulso de escape (

√2− 1).

Solo para valores de λ en torno a la unidad es mas economicala transferencia que el escape.Existe un maximo, λ ≈ 15,58, para el cual el costo es maximo.

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Transferencia biparabolica/bielıptica I

Es posible mejorar la transferencia deHohmann realizando mas impulsos. Latransferencia bielıptica requiere tresimpulsos (que siempre son tangentes)y emplea dos orbitas de transferencia.

La primera orbita de transferenciatiene como perigeo ri y apogeo rt ;mientras que la segunda tiene comoperigeo rf y apogeo rt .

Si rt =∞ la transferencia se denomina “biparabolica” (casoa) ya que las dos orbitas de transferencia son parabolas.Se cumple a1 = ri +rt

2 y a2 = rf +rt2 .

Se tiene ∆V1 =√

2µri− µ

a1−√

µri

,

∆V2 =√

2µrt− µ

a2−√

2µrt− µ

a1y ∆V3 = −

√µrf

+√

2µrf− µ

a2.

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Transferencia biparabolica/bielıptica II

Llamamemos como antes λ = rfri

yβ = rt

ri.

Se tiene ∆V1 = Vi

(√2− 2 1

1+β − 1)

,

∆V2 = Vi

(√2β −

2λ+β −

√2β −

21+β

)y ∆V3 = Vi

(−√

1λ +

√2λ −

2λ+β

).

Por tanto:∆VT = Vi

(√2β

1+β − 1 +√

2λβ(λ+β) −

√2

β(1+β) −√

1λ +

√2β

λ(λ+β)

)Si rt →∞, entonces β →∞ y ∆VT → Vi

(√2− 1

) (1 +

√1λ

)Se tiene que ∆VT es decreciente con β, por lo tanto elanterior valor es el mınimo.El tiempo de transferencia sera la suma de los dos

semiperiodos: TB = T1+T22 = π

(√a3

1µ +

√a3

2µ

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Comparacion entre transferencias

Se usan transferencias notangenciales para disminuir lostiempos, si bien aumenta el coste.

El aerobraking puede disminuirmucho el coste de una transferenciaa una orbita de menor radio, yaque se obtiene un impulso “gratis”.

En la figura, R = λ y R∗ = β.

La transferencia biparabolica (ypor tanto la bielıptica) solomejora a la de Hohmann paraλ > 12).

Para λ ∈ [12, 15,58] es necesariotomar β grande para mejorar latransferencia de Hohmann.

Para λ > 15,58 la biparabolicasiempre mejora a la Hohmannpara β > λ.

Observacion: el coste de ir a laorbita lunar es similar al costede ir a GEO.

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Transferencia circular-elıptica y elıptica-elıptica

Entre dos orbitas elıpticas (alguna de ellas posiblementecircular) coaxiales (con la misma lınea de apsides), se puedeencontrar una maniobra optima tipo Hohmann.La trayectoria optima conecta el apogeo de una de las orbitascon el perigeo de otra; la regla optima consiste en elegir elmayor de los apogeos. Observacion: para una orbita circular,los radios de apogeo y perigeo son iguales entre sı e iguales alradio nominal (todos sus puntos son perigeo y apogeo).En el caso c) es mas economica la transferencia que lamaniobra de un impulso. 89 / 94




Maniobra restringida de tres impulsos para cambio deplano I

Para disminuir el coste de la maniobra decambio de inclinacion, se puede consideraruna transferencia de tres impulsos.

Consideremos el caso circular, con dosorbitas circulares de radio r1 y diferencia deinclinacion ∆i . Si se utiliza una solamaniobra, el gasto es ∆V = 2V1 sen ∆i/2.

Consideremos una orbita de transferencia con radio de perigeor1 y radio de apogeo r2. Una vez alcanzado r2, se cambia deplano y se vuelve por una orbita de transferencia similar.

Por tanto: ∆V1 =√

2µr1− 2µ

r1+r2−√

µr1

, ∆V3 = ∆V1.

∆V2 = 2√

2µr2− 2µ

r1+r2sen ∆i/2.

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Maniobra restringida de tres impulsos para cambio deplano II

Llamando λ = r2r1

, se tiene: ∆VT =

2V1

(√2λ

1+λ − 1 +√

2λ(1+λ) sen ∆i/2

).

Por tanto,∆VT

V1= 2

[√2λ

1+λ

(1 + sen ∆i/2

λ

)− 1].

Podemos buscar el valor de λ optimomaximizando el corchete.

Se llega a λOPT = sen ∆i/21−2 sen ∆i/2 .

De aquı obtenemos la siguiente regla:

Si ∆i ≤ 38,94o , no emplear esta maniobra (no compensa).Si 38,94o < ∆i ≤ 60o , emplear λ = λOPT.Si ∆i > 60o , emplear λ→∞ (tan grande como sea posible).

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Transferencia de Hohmann con cambio de plano

Es tıpico tener que realizar una maniobra para cambiar elradio y una maniobra para cambiar de plano.

Es mas economico realizar ambas maniobras simultaneamente.

Se puede realizar el cambio de plano simultaneo con el primerimpulso, con el segundo, o “repartirlo” entre ambos impulsos.

El “reparto” del cambio de inclinacion se puede realizar deforma optima.

La correccion en el ∆V se encuentra usando el teorema delcoseno.

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Rendezvous e intercepcion

Rendezvous/intercepcion: Encontrar una transferencia para irde un punto dado de una orbita a un punto dado de otra.El problema generico es equivalente al problema de Lambert;algunos casos particulares se pueden resolver mediante lasmaniobras y transferencias que hemos visto.Estudiamos el caso en el que ambos puntos estan en la mismaorbita, pero desfasados en su anomalıa verdadera.En dicho caso la maniobra de rendezvous se llama “phasing”.Para simplificar consideramos el caso de una orbita circular. 93 / 94




Maniobra de phasing

Puede haber dos casos: el blanco se encuentraun angulo ν en adelanto (arriba) o un angulo νen retraso (abajo).

La idea es modificar ligeramente la orbita delinterceptor, de forma que al volver a pasar porel punto de inicio, se encuentre al blanco.

Si T es el periodo de la orbita comun, el nuevoperiodo ha de ser Tph = T (1− ν

2π ) (adelanto)o Tph = T (1 + ν

2π ) (retraso).

A partir de Tph se encuentra aph y el impulso∆V necesario (para regresar a la orbita departida habra que aplicarlo una segunda vez).

Para reducir ∆V se impone que el encuentrosea tras k orbitas del interceptor. EntoncesTph = T (1± ν

2πk ), bajando ∆V . 94 / 94

Rafael V azquez Valenzuela Tema 3:An alisis y Diseno~ de ... · el sistema de referencia, latitud...

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