THE MATHEMATICS OF GAUSS Introduction Carl Friedrich Gauss ...
Quiz gauss y stokes
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Ejercicios resueltos de integrales de superficie. stokes y gauss
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Universidad Tecnica Federico Santa MaraDepartamento de MatematicaCasa Central
Pauta Control 3 de Mat-024
1. Determine el trabajo efectuado por el campo ~F (x, y, z) =(x cosx2 2y, y sin y3 2z, z cos z4 2x) a lo largo de
la curva C que se obtiene a partir de la interseccion del elipsoide 4x2 + 9y2 + z2 = 36 con el plano y = z.
Solucion: C
F dr =
S
rotF ndS
con S la superficie cuyo borde es C.
rotF = [2, 2, 2] y la superficie se puede parametrizar como r(x, y) = [x, y, z] con z = y, (x, y) D R2
el cual se obtiene como 4x2 + 9y2 + y2 36r (x, y) = [x, y, y] con D : 4x2 + 10y2 36
el vector normal unitario es n = [0,1,1]2C
F dr =
S
[2, 2, 2] [0,1, 1]2
dS = 0
1
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2. Determine el flujo del campo vectorial ~F (x, y, z) =
(2x+
zy
x2 + y2 + z2, ez
2 zxx2 + y2 + z2
, x+ y
)a traves de la
superficie S descrita por z + x2 + y2 = 4 con 1 z 4.Solucion:
La superficie S no es una superficie cerrada, le falta la tapa inferior para z = 1. Sea S1 la tapa inferior, por lo
tanto, S = S S1 es una superficie cerrada. La divergencia de F = 2 S
F ndS =
divF dV
donde es la region encerrada por S.
divF dV = 2
dV = 2
2pi0
30
4r21
rdzdrd = 9pi
Luego veamos la tapa inferior: S1
F ndS =
S1
F [0, 0,1]dS =
S1
(x+ y)dS = x2+y23
(x+ y)dA
donde r S1(x, y) = [x, y, 1] con x2 + y2 3
x2+y23
(x+ y)dA = 2pi
0
30
r(rcos() + rsen())drd = 0
por lo tanto, S
F ndS = 9pi
2
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3. Calcular la integral de superficie del campo vectorial
F (x, y, z) = (xy2 + z2, x2y + z2, z(x2 + y2))
donde la superficie S es la frontera del solido W = {(x, y, z) R3/1 z 4, z 4x2 + 4y2}, con vector normalexterior a la superficie.
Solucion:
La superficie S es una superficie que encierra un volumen W. S
F ndS =
W
divF dV
donde la divergencia deF = 2(x2 + y2)
S
F ndS =
2pi0
41
z2
0
2r3drdzd =21pi
16
3
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4. Sea S = S1 S2, donde
S1 = {x2 + y2 = 1, 12 z 1}, S2 = {x2 + y2 + (z 1)2 = 1, 1 z}
y sea el campo vectorial F (x, y, z) = (xz + z2y + x, xyz3 + y, z4x2).
Calcular S
rotF ndS,
con el vector n apuntando hacia afuera.
Solucion: S
rotF ndS =
F dr
donde es la frontera de la region S, : {(x, y, 12 ) / x2 + y2 = 1}r () = [cos, sen, 12 ] con [0, 2pi]
F dr =
2pi0
(sencos
2 sen
2
4+sencos2
8
)d =
2pi0
(sen
2
4
)d = pi
4
4
