Quadratic Equations Expressions
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8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
1/29
Q u a d r a t i c E q u a t i o n s a n d E x p r e s s i o n
A u g u s t 2 9 , 2 0 0 9
A b s t r a c t
C o m p l e t e i n a l l r e s p e c t s ! w i l l a d d m o r e p r o b l e m s , t h e o r y i s c o m p l e t e
T h i s l e c t u r e s t a r t s w i t h q u a d r a t i c e q u a t i o n s a n d f u r t h e r a d d s q u a d r a t i c
e x p r e s s i o n s t o i n c r e a s e d e p t h o f u n d e r s t a n d i n g o f q u a d r a t i c e q u a t i o n s
C o n t e n t s t r u c t u r e :
D e n i t i o n o f q u a d r a t i c e q u a t i o n - t h i s i s c r u c i a l a s J E E e x p l o i t s d e f -
i n i t i o n s - c h e c k t h e e x a m p l e f o l l o w i n g t h e d e n i t i o n * I f g i v e n q u a d r a t i c
e q u a t i o n - 2 w a y s t o g e t t h e r o o t s , t h o u g h b o t h a r e d i e r e n t f o r m s o f t h e
s a m e i d e a , b u t u s u a g e d e p e n d s o n w h a t r e q u i r e m e n t i s a t h a n d * D i e r e n t
s y m m e t r i c e x p r e s s i o n s t h a t c a n b e c o n s t r u c t e d u s i n g t h e a b o v e m e t h o d s o f
n d i n g t h e r o o t s * N o w w e w o r k t h e r e v e r s e - i f w e k n o w t h e r o o t s t h e n
c a n w e c o n s t r u c t t h e c o r r e s p o n d i n g q u a d r a t i c e q u a t i o n ? * A q u a d r a t i c c a n
b e c o n s t r u c t e d i n t w o f o r m s * N a t u r e o f r o o t s * R o o t s c o m m o n b e t w e e n
t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s - t h a t c a n b e b o t h r o o t s a r e c o m m o n o r e x a c t l y o n e
i s c o m m o n * N e x t w e m o v e t o q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s a s a t o o l t o u n d e r -
s t a n d q u a d r a t i c e q u a t i o n s * w e d e n e i t r s t t h e n u n d e r s t a n d t h e g r a p h o f
q u a d r a t i c e x p r e s s i o n * w h a t i s t h e d i e r e n c e b e t w e e n q u a d r a t i c e x p r e s s i o n
a n d e q u a t i o n * W e s e e t h e g r a p h o f q u a d r a t i c f u n c t i o n * t r a n s f o r m a t i o n s o f
f u n c t i o n - t h i s h e l p s i n t h i n k i n g q u a d r a t i c ( o r f o r t h a t m a t t e r a n y f u n c t i o n )
p r o b l e m s g r a p h i c a l l y w h i c h i s a h u g e a d v a n t a g e * s i g n i c a n c e o f c o n s t a n t s
a n d - d i s c r i m i n a n t i n d e t e r m i n i n g n a t u r e o f r o o t s * s i g n o f q u a d r a t i c
f u n c t i o n * m a x i m a - m i n i m a o f q u a d r a t i c c u r v e s * l o c a t i o n o f r o o t s w i t h r e -
s p e c t t o g i v e n c o n s t a n t * r e l a t i o n o f c o e c i e n t s o f a p o l y n o m i a l g e n e r a t i n g
i t s r o o t s
1
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8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
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2 C O N T E N T S
C o n t e n t s
I C o n c e p t s 4
1 Q u a d r a t i c e q u a t i o n s 4
1 . 1 F i n d r o o t s f r o m e q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 . 1 . 1 R o o t s o f q u a d r a t i c e q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . 4
1 . 1 . 2 A n o t h e r f o r m f o r n d i n g t h e r o o t s . . . . . . . . . . 4
1 . 2 C o n s t r u c t e q u a t i o n s f r o m r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 . 3 N a t u r e o f r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 . 4 R o o t s o f t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Q u a d r a t i c E x p r e s s i o n s 9
2 . 1 G r a p h o f a q u a d r a t i c e x p r e s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 . 2 T r a n s f o r m a t i o n o f g r a p h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 . 2 . 1 A d d i t i o n c h a n g e i n x - c o o r d i n a t e . . . . . . . . . . . 1 0
2 . 2 . 2 S u b t r a c t i o n c h a n g e i n x - c o o r d i n a t e . . . . . . . . . . 1 0
2 . 2 . 3 A d d i t i o n c h a n g e i n y - c o o r d i n a t e . . . . . . . . . . . 1 0
2 . 2 . 4 S u b t r a c t i o n c h a n g e i n y - c o o r d i n a t e . . . . . . . . . . 1 1
2 . 2 . 5 M u l t i p l y i n g b y a c o n s t a n t t o x - v a r i a b l e . . . . . . . 1 1
2 . 2 . 6 M u l t i p l y i n g b y a c o n s t a n t t o y - v a r i a b l e . . . . . . . 1 2
2 . 2 . 7 M u l t i p l y i n g w i t h n e g a t i v e u n i t y . . . . . . . . . . 1 2
2 . 2 . 8 T a k i n g m o d u l u s o f a f u n c t i o n . . . . . . . . . . . . 1 2
2 . 3 H o w q u a d r a t i c e x p r e s s i o n e x p l a i n s q u a d r a t i c e q u a t i o n ? . . . 1 3
2 . 4 G e n e r a t i o n o f n e w q u a d r a t i c c u r v e s f r o m t h e g i v e n . . . . . 1 4
2 . 5 G r a p h s o f q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
2 . 5 . 1 C o n s t a n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
2 . 5 . 2 C o n s t a n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
2 . 5 . 3 C o m b i n i n g b e h a v i o u r s o f b o t h & c o n s t a n t s . . 1 5
2 . 6 S i g n o f Q u a d r a t i c c u r v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
2 . 7 M a x i m a a n d M i n i m a o f Q u a d r a t i c c u r v e s . . . . . . . . . . 1 7
3 I n v e s t i g a t i n g N a t u r e o f r o o t s w i t h Q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s 1 8
3 . 1 I n e q u a l i t i e s f r o m l o c a t i o n o f r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
3 . 1 . 1 k l i e s b e t w e e n t h e r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
3 . 1 . 2 k l i e s t o t h e l e f t o r r i g h t o f b o t h t h e r o o t s . . . . . . 1 9
3 . 2 S i g n i c a n c e o f c o e c i e n t s , & i n . . . . . 2 0
3 . 3 G e o m e t r i c s i g n i c a n c e o f & . . . . . . . . . . . . . . 2 1
3 . 4 A r e t h e r o o t s r e a l o r c o m p l e x , p o s i t i v e o r n e g a t i v e - A n -
o t h e r w a y ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
4 P o l y n o m i a l s i n g e n e r a l 2 1
I I P r o b l e m s a n d a p p r o a c h e s f o r t h e m 2 5
4 . 1 G i v e n e q u a t i o n w e n d t h e r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
4 . 2 G i v e n r o o t s n d t h e e q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
4 . 3 N a t u r e o f r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
4 . 4 R o o t s o f t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
4 . 5 Q u a d r a t i c E x p r e s s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
4 . 6 G r a p h o f q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
4 . 7 T r a n s f o r m a t i o n o f Q u a d r a t i c g r a p h s . . . . . . . . . . . . . 2 6
4 . 8 S i g n i c a n c e o f a n d f o r g r a p h i c a l u n d e r s t a n d i n g o f Q u a d r a t i c
e q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
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C O N T E N T S 3
4 . 9 S i g n o f Q u a d r a t i c c u r v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
4 . 1 0 M a x i m a , M i n i m a o f Q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s . . . . . . . . . . 2 7
4 . 1 1 L o c a t i o n o f r o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
4 . 1 2 P o l y n o m i a l s i n g e n e r a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
4 . 1 3 M i s c e l l a n e o u s p r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
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8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
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4 1 Q U A D R A T I C E Q U A T I O N S
P a r t I
C o n c e p t s
1 Q u a d r a t i c e q u a t i o n s
D e n i t i o n . A n y e q u a t i o n o f t h e f o r m w h e r e &
D e n i t i o n . P o l y n o m i a l o f d e g r e e
: i s d e n e d a s
w h e r e a n d T h e o r e m . F u n d a m e n t a l l a w o f A l g e b r a
A n y n d e g r e e p o l y n o m i a l w i l l h a v e n r o o t s .
P r o b l e m 1 . F i n d t h e r e l a t i o n b e t w e e n
s u c h t h a t e q u a t i o n
h a s e x a c t l y o n e r o o t .
S o l u t i o n : F o r t h i s t o h a p p e n s h o u l d b e e q u a l t o z e r o , ( a s i f a n d
w i l l r e s u l t s i n a b s u r d r e s u l t ) a n d c c a n t a k e a n y r e a l v a l u e .
P r o b l e m 2 . F i n d n u m b e r o f r o o t s o f t h e e q u a t i o n
S o l u t i o n : T h e r e i s a n i c e o b s e r v a t i o n h e r e .
s e e m s t o b e o n e o f t h e
s o l u t i o n s b u t i s n o t s i n c e t h e n t h e p r o b l e m s c e a s e s t o b e t h e s o l u t i o n .
1 . 1 F i n d r o o t s f r o m e q u a t i o n
1 . 1 . 1 R o o t s o f q u a d r a t i c e q u a t i o n
h a s r o o t s g i v e n b y t h e e q u a t i o n s
R o o t s a r e a l s o c a l l e d t h e z e r o s
1 . 1 . 2 A n o t h e r f o r m f o r n d i n g t h e r o o t s
S u p p o s e w e a r e g i v e n t h e e q u a t i o n a n d w e a r e a s k e d t o n d
t h e v a l u e o f t h e e x p r e s s i o n
. N o w c a n w e u s e h e r e t h e a b o v e f o r m u l a ?
W e c a n b u t t h a t i s n o t g o i n g t o b e a g o o d w a y o f d o i n g t h i s ! S o w e m o v e t o t h e
n e x t t o p i c .
I f
&
a r e r o o t s o f t h e e q u a t i o n
t h e n w e h a v e ,
W e p r o v e t h i s n o w !
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1 . 2 C o n s t r u c t e q u a t i o n s f r o m r o o t s 5
P r o b l e m 3 . I f o n e r o o t o f t h e e q u a t i o n i s t h e s q u a r e o f t h e o t h e r , p r o v e t h a t
S u m m a r y t i l l h e r e w e h a v e s e e n i f g i v e n e q u a t i o n s t h e n h o w t o
d e t e r m i n e t h e r o o t o f t h e e q u a t i o n . N e x t w e s e e i f g i v e n t h e r o o t s
h o w c a n w e n d t h e e q u a t i o n .
1 . 2 C o n s t r u c t e q u a t i o n s f r o m r o o t s
G i v e n q u a d r a t i c e q u a t i o n h a s r o o t s & t h e n t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n i n t e r m s o f t h e r o o t s i s
H o w w e d e r i v e t h i s ?
C o n s i d e r t h e e q u a t i o n
H e n c e w e c a n c o n c l u d e
S u m m a r y
a r e r o o t s o f t h e e q u a t i o n
o r o f e q u a t i o n
o r
S o a l l s y m m e t r i c f u n c t i o n s o f t h e r o o t s & c a n b e c o n s t r u c t e d u s i n g t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s
1 .
2 .
3 .
4 .
P r o b l e m 4 . I f r b e t h e r a t i o o f t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n
t h e n
s h o w t h a t
P r o b l e m 5 . I f a q u a d r a t i c e q u a t i o n
h a s r o o t s
&
t h e n
w h a t i s t h e e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e
&
-
8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
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6 1 Q U A D R A T I C E Q U A T I O N S
T h e n e w e q u a t i o n i s
T h i s c o u l d h a v e b e e n d o n e i s a s l i g h t t r i c k y w a y .
W e h a v e a e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e s o m e A n d n o w w e s e e t h a t t h e y a r e a s k i n g u s t o n d t h e e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e s o m e
.
f o r m . H e n c e
. S i n c e
i s t h e r o o t o f t h e e q u a t i o n
w e g e t
w h i c h c a n b e w r i t t e n i n t h e
u s u a l w a y o f w r i t t i n g a n e x p r e s s i o n .
S i m i l a r l y t r y t o n d t h e e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e
I f t h e r e a r e t h r e e r o o t s o f a n e q u a t i o n 1 , 2 & 3 t h e n n d t h e e q u a t i o n .
1 . 3 N a t u r e o f r o o t s
1
T h e d e c i d i n g f a c t o r f o r t h e n a t u r e o f r o o t s o f a q u a d r a t i c e q u a t i o n
i s t h e D i s c r i m i n a n t ( D )
S o O b s e r v e t h e d i s c r i m i n a n t i n
1 . I f i t h a s t w o r e a l d i s t i n c t r o o t s ( a ) M o r e o v e r i f a n d D i s a p e r f e c t s q u a r e t h e n t h e r e a r e t w o
d i s t i n c t r a t i o n a l r o o t s
2 . I f i t h a s t w o e q u a l r e a l r o o t s ( a ) M o r e o v e r i f
t h e n t h e r e a r e t w o e q u a l r a t i o n a l r o o t s
3 . I f
i t h a s t w o c o m p l e x c o n j u a g a t e
2
r o o t s
1
N a t u r e o f r o o t s
t w o r e a l e q u a l r o o t s
T w o d i s t i n c t r e a l r o o t s
i s p e r f e c t s q u a r e
R a t i o n a l r o o t s
C o n j u g a t e r o o t s o f f o r m w h e r e N o r e a l r o o t s i . e . t w o c o m p l e x c o n j u g a t e r o o t s
2
C o m p l e x r o o t s :
I f a q u a d r a t i c e q u a t i o n h a s t h e n t h e r o o t s c a n n o t b e e v a l u a t e d i n r e a l d o m a i n b u t i n c o m p l e x d o m a i n y o u c a n n d t h e r o o t s . A n d w e a l w a y s g e t t h e c o m p l e x r o o t s i n c o n j u g a t e
p a i r s . i . e . i n t h e f o r m a n d ( a c o n j u g a t e i s d e n e d a s t h e c o m p l e x n u m b e r o b t a i n e d b y r e p l a c i n g b y ) .
C a n i t h a p p e n t h a t a q u a d r a t i c e q u a t i o n h a s o n e r e a l r o o t a n d o t h e r c o m p l e x ?
W e l l y e s i t c a n h a p p e n . f o r e . g . h a s t w o r o o t s ( a s p e r f u n d a m e n t a l l a w o f a l g e b r a ) a n d t h e y a r e a n d . T h e n w h y d o w e s p e a k o f q u a d r a t i c w i l l h a v e c o m p l e x r o o t s i n c o n j u g a t e p a i r ? A g a i n y o u f o r g o t t h e d e n i t i o n w e t o o k f o r q u a d r a t i c
e q u a t i o n h e n c e t h e c o n j u g a t e p a i r s e l s e s e e t h e e q u a t i o n w e h a v e d e r i v e d w i t h a n d a s t h e r o o t s , t h i s q u a d r a t i c d o e s n ' t h a v e r e a l c o e c i e n t s .
-
8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
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1 . 3 N a t u r e o f r o o t s 7
N o t e : A q u a d r a t i c e q u a t i o n i f h a s m o r e t h a n 2 r o o t s t h e n i t b e c o m e s a n i d e n t i t y .
G e n e r a l i s i n g i f a n p o l y n o m i a l e q u a t i o n h a s 1 m o r e t h a n t h e d e g r e e t h e n t h e
e q u a t i o n i s a n i d e n t i t y .
P r o b l e m 6 . P r o v e t h a t i f t h e r o o t s o f a r e i m a g i n a r y , t h e n
m u s t l i e i n b e t w e e n
a n d
P r o b l e m 7 . P r o v e t h a t w i l l h a v e e q u a l r o o t s i f a n d o n l y i f
T h i s p r o b l e m h a s t w o p a r t s i n t h e p r o o f
3
I f g i v e n
t h e n p r o v e t h a t g i v e n q u a d r a t i c h a s e q u a l r o o t s
M e t h o d I
L e t
P u t
s i n c e g i v e n T h a t m e a n s
i s t h e r o o t s o f
S i m i l a r l y ,
i s a l s o t h e r o o t o f
S o w e h a v e p r o v e d a r e r o o t s o f b u t w e a l s o a r e g i v e n h e n c e w e c o n c l u d e t h a t t h e r o o t s a r e e q u a l
M e t h o d I I
( s i n c e )
a n d w e c a n c o c l u d e b o t h r o o t s a r e
h e n c e p r o v e d o n e s i d e
I f g i v e n q u a d r a t i c e q u a t i o n h a s e q u a l r o o t s t h e n p r o v e
N o w h e r e w e s h o u l d a s s u m e t h e e q u a t i o n
h a s b o t h r o o t s e q u a l a n d h a v e t o p r o v e
B u t t o b e f o r e s t a r t i n g t h e p r o o f s e e h o w w e a r e g o i n g t o g e t
i s
b y t r i n g t o p r o v e t h e f o l l o w i n g s e q u e n c e
N o w w e s t a r t o u r p r o o f ,
h a s e q u a l r o o t s
h a s e q u a l r o o t s i . e . S o w e h a v e t o g e t t h e e q u a t i o n i n a b o v e f o r m t o g e t w h a t w e w a n t
D o u r e m e m b e r w h e r e y o u h a v e s e e n t h i s e q u a t i o n ! y e s i n f a c t o r i z a t i o n
o f
t h a t i m p l i e s ( s i n c e s u m o f p o s i t i v e n u m b e r s e q u a l s z e r o m e a n s e a c h i s z e r o )
3
i f a n d o n l y i f o r i i n m a t h e m a t i c s m e a n s : d o u b l e i m p l i c a t i o n y o u h a v e t o p r o v e e i t h e r
w a y . A n e x a m p l e o f d o u b l e i m p l i c a t i o n i s A n a n g l e i n a t r i a n g l e i s r i g h t a n g l e i ( i f a n d o n l y
i f ) s u m o f s q u a r e s o f t h e s i d e s i s e q u a l t o s q u a r e o f t h e g r e a t e s t s i d e S o i t c o n t a i n s a d o u b l e
i m p l i c a t i o n O N E S I D E g i v e n a n g l e r i g h t a n l g e i n a t r i a n g l e p r o v e O T H E R S I D E g i v e n i n a t r i a n g l e t h e n a n g l e o p p o s i t e t o i s r i g h t a n g l e
-
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8 1 Q U A D R A T I C E Q U A T I O N S
1 . 4 R o o t s o f t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s
1 . I f t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s & h a v e b o t h r o o t s s a m e t h e n
( a ) S p e c i a l c a s e : W h a t i f t h e t w o e q u a t i o n s a r e g i v e n a s &
?T h e r e l a t i o n s h i p i n t h e c o e c i e n t s a r e
2 . I f t h e a b o v e t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s h a v e j u s t o n e r o o t i n c o m m o n t h e n
t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e c o e c i e n t s i s g i v e n b y c r o s s m u l t i p l i c a t i o n r u l e
4
3 . T h e q u a d r a t i c e q u a t i o n s
a n d
w i t h & a s t h e i r d i s c r i m i n a n t s h a v e
( a )
B o t h e q u a t i o n s h a v e r e a l r o o t s B o t h e q u a t i o n s h a v e n o r e a l r o o t s
( b )
a t l e a s t o n e e q u a t i o n h a s r e a l r o o t s ( c ) a t l e a s t o n e e q u a t i o n h a s r e a l r o o t s
( d )
E i t h e r e x a c t l y o n e e q u a t i o n h a s r e a l r o o t s o r B o t h h a v e i d e n t i c a l r e a l r o o t s
P r o b l e m 8 . F i n d t h e v a l u e o f
s u c h t h a t e q u a t i o n s
a n d
m a y h a v e o n e c o m m o n r o o t . A l s o n d t h e c o m m o n r o o t . T h e r e a r e t w o w a y s t o s o l v e t h i s p r o b l e m . B u t r s t a p p r o a c h i s m u c h b e t t e r .
t h i s i m p l i e s t h e r o o t s o f t h i s e q u a t i o n a r e
&
N o w o n e o f t h e s e s h o u l d b e t h e r o o t i n c o m m o n w i t h t h e o t h e r g i v e n e q u a -
t i o n .
C a s e I : c o m m o n r o o t i s
C a s e I I : c o m m o n r o o t i s
4
C r o s s M u l t i p l i c a t i o n R u l e :
S o l u t i o n t o l i n e a r e q u a t i o n s
i s g i v e n b y t h e r a t i o
I f t h e s e e q u a t i o n s a r e l i n e a r w i t h n o v a r i a b l e t h e n w e c a n p u t i n t h e a b o v e m e t h o d a n d s t i l l g e t t h e c o r r e s p o n d i n g s o l u t i o n .
-
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9
O t h e r m e t h o d w o u l d b e t o u s e t h e a b o v e s a i d t h e o r y b u t f a c t o r i s a t i o n
i s i n v o l v e d h e n c e w e l e a v e t h a t a s a n e x e r c i s e .
P r o b l e m 9 . L e t
b e r e a l n u m b e r s s u c h t h a t
. C o n s i d e r
t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n s :
a n d
. T h e n n o n e o f
t h e s e h a s r e a l r o o t s
1 . b o t h h a v e r e a l r o o t s
2 . a t m o s t o n e e q u a t i o n h a s r e a l r o o t s
3 . a t l e a s t o n e e q u a t i o n h a s r e a l r o o t s
2 Q u a d r a t i c E x p r e s s i o n s
D e n i t i o n . Q u a d r a t i c E x p r e s s i o n i s d e n e d a s a n d a n d
2 . 1 G r a p h o f a q u a d r a t i c e x p r e s s i o n
A q u a d r a t i c e x p r e s s i o n d e n e d a s a b o v e i s
I t s g r a p h
5
i s g i v e n a s f o l l o w s
T a b l e 1 : T h i s i s g r a p h o f q u a d r a t i c c u r v e w h e n o r
2 . 2 T r a n s f o r m a t i o n o f g r a p h s
W e k n o w t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n c a n w e d r a w t h e g r a p h o f
?
w e c a n d o t h a t p r o v i d e d w e k n o w t r a n s f o r m a t i o n s w o r k l i k e !
5
A l w a y s r e m e m b e r t h a t a q u a d r a t i c e x p r e s s i o n r e p r e s e n t s a p a r a b o l a
I f w e h a v e t h e n i s t h e y - a x i s i n t e r c e p t
-
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1 0 2 Q U A D R A T I C E X P R E S S I O N S
W e s e e t h a t a d d i t i v e o r m u l t i p l i c a t i v e c h a n g e i n x v a r i a b l e , r e -
v e r s e o f w h a t w e e x p e c t h a p p e n s
A n d a d d i t i v e o r m u l t i p l i c a t i v e c h a n g e i n y v a r i a b l e , w h a t w e
e x p e c t h a p p e n s ( y o u w i l l u n d e r s t a n d a s w e p r o c e e d b y w h a t I m e a n
h e r e )
I f w e k n o w t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n
, w e a l s o t a k e
2 . 2 . 1 A d d i t i o n c h a n g e i n x - c o o r d i n a t e
H o w t o g e t t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n R e s u l t : W e e x p e c t t h e c u r v e t o m o v e t o w a r d s p o s i t i v e x - a x i s s i n c e w e h a v e
a d d e d a p o s i t i v e q u a n t i t y i n x , B u t r e v e r s e w i l l h a p p e n , t h e c u r v e w i l l m o v e
t o w a r d s l e f t .
F o r e x a m p l e ,
g r a p h w e k n o w n o w t o g e n e r a t e t h e g r a p h o f
2 . 2 . 2 S u b t r a c t i o n c h a n g e i n x - c o o r d i n a t e
H o w t o g e t t h e g r a p h o f f u n c t i o n R e s u l t : W e e x p e c t a s e a r l i e r t h a t w e a r e a d d i n g p o s i t i v e
t o
a n d e x p e c t i n g
t h e c u r v e t o m o v e t o w a r d s l e f t b u t t h e r e v e r s e w i l l h a p p e n t h e c u r v e w i l l m o v e
t o w a r d s r i g h t .
F o r e x a m p l e ,
g r a p h w e k n o w w e g o t g e t t h e g r a p h o f
, t h a t
s h i f t s t o t h e r i g h t ( b u t w e e x p e c t t o t h e l e f t b e c a u s e o f
)
2 . 2 . 3 A d d i t i o n c h a n g e i n y - c o o r d i n a t e
H o w t o g e t t h e g r a p h o f f u n c t i o n , h e r e w e m a k e c h a n g e i n a n de x p e c t t h e c u r v e t o m o v e a l o n g p o s i t i v e y d i r e c t i o n a n d t h a t i s w h a t h a p p e n s .
f o r e x a m p l e , o u r c u r v e i f i s t r a n f o r m e d t o w e e x p e c t t h e
-
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2 . 2 T r a n s f o r m a t i o n o f g r a p h s 1 1
m o v e m e n t a l o n g p o s i t i v e x a x i s a n d t h a t i s t h e m o v e m e n t
2 . 2 . 4 S u b t r a c t i o n c h a n g e i n y - c o o r d i n a t e
S i m i l a r y t h e f u n c t i o n c a n b e c r e a t e d b y m o v i n g t h e g r a p h )b y m o v i n g i t a l o n g n e g a t i v e
L e t s o t h e g r a p h o f
2 . 2 . 5 M u l t i p l y i n g b y a c o n s t a n t t o x - v a r i a b l e
S o h e r e w e w a n t t o c o n s t r u c t t h e g r a p h o f
w h e r e
t h e n w e e x p e c t
t h e g r a p h t o e l o n g a t e a l o n g a n d w h e n t h e g r a p h t o c o n t r a c t b u t t h e r e v e r s e w i l l h a p p e n a s w e a r e w o r k i n g w i t h c h a n g e i n
L e t u s s e e a n e x a m p l e . a n d w e w a n t t o s e e h o w i s t h e g r a p h o f
-
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1 2 2 Q U A D R A T I C E X P R E S S I O N S
2 . 2 . 6 M u l t i p l y i n g b y a c o n s t a n t t o y - v a r i a b l e
I f w e n e e d g r a p h o f f r o m b y d o i n g w h a t w e e x p e c t . T h e n e w c u r v e w i l l e l o n g a t e o r c o n t r a c t ( d e p e n d i n g u p o n w h e t h e r
o r
) a s w e e x p e c t a l o n g y - a x i s .
F o r e x a m p l e , a n d
2 . 2 . 7 M u l t i p l y i n g w i t h n e g a t i v e u n i t y
W e k n o w t h e g r a p h o f f u n c t i o n h o w w e c a n e s t i m a t e t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n
. O n m u l t i p l y i n g a f u n c t i o n w i t h
w e s e e t h e r e s u l t a n t
g r a p h i s r e e c t i o n o f a b o u t
2 . 2 . 8 T a k i n g m o d u l u s o f a f u n c t i o n
I f w e k n o w t h e g r a p h o f a f u n c t i o n t h e n o n t a k i n g t h e m o d u l u s t h e f u n c t i o n ' s
p a r t b e l o w x - a x i s i s r e e c t e d a b o v e x - a x i s , b u t t h e p a r t a b o v e x - a x i s r e m a i n s
a b o v e .
-
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2 . 3 H o w q u a d r a t i c e x p r e s s i o n e x p l a i n s q u a d r a t i c e q u a t i o n ? 1 3
N o w w e s e e t h e f o l l o w i n g e x a m p l e t o s e e t h e p o w e r o f t r a n s f o r m a t i o n s
P r o b l e m 1 0 . I f a n d t h e n n u m b e r o f r o o t s o f t h e e q u a t i o n
S o l u t i o n : ( w h o s e g r a p h i s a s u n d e r ) h a s 2 p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n w i t h x - a x i s
( g r a p h i s i n b l u e ) h a s 3 p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n w i t h x - a x i s
( g r a p h i n r e d ) h a s 4 p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n w i t h x - a x i s
w e c a n g u e s s t h a t t h a t f u n c t i o n g r a p h w i l l h a v e 9 p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n s w i t h x - a x i s . t h e r e f o r e t h e r e a r e 9 r o o t s t o t h e e q u a t i o n
N o w d o y o u r e a l i s e t h e p o w e r o f t r a n s f o r m a t i o n s i n J E E m a t h e m a t i c s .
2 . 3 H o w q u a d r a t i c e x p r e s s i o n e x p l a i n s q u a d r a t i c e q u a -
t i o n ?
A q u a d r a t i c e q u a t i o n c a n b e u n d e r s t o o d b e t t e r u s i n g a q u a d r a t i c e x p r e s s i o n .
A q u a d r a t i c e q u a t i o n c a n b e s e p a r a t e d a s a s y s t e m o f t w o e q u a t i o n s . L i k e
t h i s ,
6
6
I f w e h a v e a s y s t e m o f e q u a t i o n s a n d a l g e b r a i c a l l y w e c a n s o l v e t h e s e t w o e q u a t i o n s i n t w o u n k n o w n s
a n d n d t h e i r v a l u e s . B u t i f w e t r y t o s o l v e t h e s e t w o
e q u a t i o n s g e o m e t r i c a l l y . T h e n t h e s o l u t i o n w o u l d b e i n t e r s e c t i o n s o f t h e s e t w o c u r v e s i n p l a n e . R i g h t !
-
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1 4 2 Q U A D R A T I C E X P R E S S I O N S
S o t h e s o l u t i o n t o t h i s s y s t e m o f e q u a t i o n s i s s a m e a s t h e s o l u t i o n t o t h e
q u a d r a t i c e q u a t i o n . N o w o b s e r v e w h a t t h i s m e a n s , i n t e r s e c t i o n o f t h e c u r v e s
a n d ( x - a x i s ) a r e t h e r o o t s o f t h e c o r r e s p o n d i n g q u a d r a t i c e q u a t i o n . H e n c e t h e l o c a t i o n o f t h e r o o t s o f a q u a d r a t i c e q u a t i o n a r e t h e i n t e r -
s e c t i o n o f t h e s e t w o c u r v e s ( a s s h o w n a b o v e ) .
7
2 . 4 G e n e r a t i o n o f n e w q u a d r a t i c c u r v e s f r o m t h e g i v e n
N o t s u r e i f t h i s g o e s h e r e o r s o m e o t h e r p l a c e i n t h e o w o f t o p i c s .
G i v e n t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s
B o t h t h e r o o t s a r e c o m m o n i s a n e w q u a d r a t i c e q u a t i o n t h a t p a s s e s t h r o u g h t h e s a m e r o o t s s h a r e d b y t h e g i v e n q u a d r a t i c
c u r v e s
a n d
I n t h e g r a p h b e s i d e R e d
a n d b l u e r e p r e s e n t t h e c u r v e s
a n d ) a n d g r e e n i s
t h e f a m i l y o f c u r v e s p a s s i n g
t h r o u g h t h e c o m m o n r o o t s .
E x a c t l y o n e r o o t i s c o m m o n t h e n a l s o h a s t h e s a m e r o o t c o m m o n o r i n o t h e r w o r d s p a s s e s t h r o u g h t h e s a m e c o m m o n r o o t ( i s
a f a m i l y o f q u a d r a t i c c u r v e s ) w h e r e
2 . 5 G r a p h s o f q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s
L e t s u n d e r s t a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e c o n s t a n t s
&
2 . 5 . 1 C o n s t a n t
C o n s i d e r
i s c o n c a v e u p w a r d s i f
i s c o n c a v e d o w n w a r d s i f F o r e x a m p l e , r e m e m b e r y o u s o l v e d s y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n s i n s c h o o l s , s a y &
. A n d t h a t w a s p o s s i b l e a l g e b r a i c a l l y a n d g e o m e t r i c a l l y . G e o m e t r i c a l l y t h i s w o u l d b e i n t e r s e c t i o n o f t h e s e t w o l i n e s t o g e t t h e s a m e s o l u t i o n a s a l g e b r a i c a l l y .
S o t h e i m p o r t a n t p o i n t w e m a k e h e r e i s a l g e b r a i c s o l u t i o n o f a s y s t e m o f e q u a t i o n i s s a m e
a s g e t t i n g t h e i n t e r s e c t i o n s o f t h e c u r v e s g e o m e t r i c a l l y ( c o - o r d i n a t e )
7
Q u a d r a t i c e q u a t i o n h a s r o o t s i n r e a l s p a c e t h a t c a n b e v i s u a l i s e d a n d i n t e r s e c t i o n o f
Q u a d r a t i c c u r v e ( e x p r e s s i o n ) a n d x - a x i s . I f t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n i s h a v i n g r o o t s
&
t h e n
t h e p o i n t s w h e r e t h e q u a d r a t i c c u r v e c u t s t h e a r e & T h i s g i v e s h u g e a d v a n t a g e o f s o l v i n g p r o b l e m s v i s u a l l y .
-
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2 . 5 G r a p h s o f q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s 1 5
T a b l e 2 : I f o n e r o o t i s c o m m o n t h e n
r e p r e s e n t s a f a m i l y o f q u a d r a t i c c u r v e s p a s s i n g t h r o u g h t h e s a m e c o m m o n r o o t .
2 . 5 . 2 C o n s t a n t
W e s a w t h a t f r o m N a t u r e o f r o o t s a b o v e ,
w e g e t r e a l r o o t s
t h e e q u a t i o n
h a s r e a l d i s t i n c t
r o o t s
c u r v e s
i n t e r s e c t s t h e x - a x i s
i n t w o d i s t i n c t
p o i n t s
t h e e q u a t i o n h a s t w o i d e n t i c a l r e a l r o o t s c u r v e s
i n t e r s e c t s t h e x - a x i s ,
i n e x a c t l y o n e p o i n t
w e g e t i m a g i n a r y r o o t s
t h e e q u a t i o n
h a s n o r e a l
r o o t s
c u r v e s d o e s n o t i n t e r s e c t t h e x - a x i s ,
2 . 5 . 3 C o m b i n i n g b e h a v i o u r s o f b o t h & c o n s t a n t s
r e p r e s e n t s a p a r a b o l a w h i c h i s e i t h e r c o n c a v e u p w a r d s o r
d o w n w a r d s . S o t h e a x i s i s p a r e l l e l t o y a x i s .
C o n c a v e u p w a r d s & t w o d i s t i n c t r e a l r o o t s C o n c a v e d o w n w a r d s & t w o d i s t i n c t r e a l r o o t s
C o n c a v e u p w a r d s & t w o i d e n t i c a l r o o t s C o n c a v e d o w n w a r d s & t w o i d e n t i c a l r o o t s
C o n c a v e u p w a r d s & t w o i m a g i n a r y r o o t s C o n c a v e d o w n w a r d s & t w o i m a g i n a r y r o o t s
T h i s c o n c l u s i o n s a r e g o i n g t o h e l p i n s o l v i n g l o t o f p r o b l e m s .
P r o b l e m 1 1 . I f t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n a r e & t h e n p r o v e t h a t
&
a r e r o o t s o f t h e e q u a t i o n
( I I T )
P r o b l e m . M e t h o d I
R o o t s o f a r e & i . e . N o w w e n e e d t o p r o v e t h a t
a r e r o o t s o f
t h i s c a n
b e p r o v e d i n t w o w a y s
1 . e i t h e r b y s h o w i n g t h a t t h e e q u a t i o n
h a s r o o t s
o r
2 . b y s h o w i n g t h a t t h e e q u a t i o n h a v i n g r o o t s i s W e s h o w h o w t o d o b o t h w a y s .
C o n s i d e r t h e e q u a t i o n ,
-
8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
16/29
1 6 2 Q U A D R A T I C E X P R E S S I O N S
O t h e r w a y i s , w e h a v e t h e r o o t s a s & a n d w e n e e d t o s h o w t h a t t h e y a r e r o o t s o f t h e e q u a t i o n
L e t s c o n s t r u c t t h e q u a d r a t i c w h o s e r o o t s a r e &
M e t h o d I I
a r e r o o t s o f t h e e q u a t i o n A l s o
a r e r o o t s o f
H e n c e
a r e r o o t s o f
M e t h o d I I I ( G r a p h i c a l m e t h o d )
G i v e n
a r e r o o t s o f t h e e q u a t i o n
m e a n s
a r e
r o o t s o f C o n s i d e r t h e c u r v e t h a t h a s r o o t s & t h i s c u r v e e q u a t i o n i s
a n d i f w e t r a n s l a t e t h i s e q u a t i o n w i t h
b e l o w w e g e t t h e e q u a t i o n w h o s e r o o t s
a r e a n d v i c e v e r s a .
2 . 6 S i g n o f Q u a d r a t i c c u r v e s
A q u a d r a t i c c u r v e s s i g n i . e . c a n b e i n v e s t i g a t e d a n d c o n c l u d e d u s i n g
&
1 . I f
2 . I f
3 . I f
Y o u c a n b e t t e r u n d e r s t a n d t h e a b o v e t h r e e c o n d i t i o n s f r o m t h e b e l o w g r a p h
-
8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
17/29
2 . 7 M a x i m a a n d M i n i m a o f Q u a d r a t i c c u r v e s 1 7
P r o b l e m 1 2 . I f
w h e r e
i s r e a l t h e v a l u e o f
l i e s i n w h i c h
i n t e r v a l ?
S o l u t i o n :
H e r e w e g e t a q u a d r a t i c i n x a n d g i v e n t h i s t a k e s o n l y r e a l v a l u e s , t h a t m e a n s t h e r o o t s t o t h i s e q u a t i o n s a r e r e a l
H e n c e
P r o b l e m 1 3 . F o r r e a l , t h e e x p r e s s i o n
w i l l a s s u m e a l l r e a l
v a l u e s i f w h a t c o n d i t i o n i s m e t b e t w e e n &
S o l u t i o n : L e t
S i n c e x i s r e a l , t h e d i s c r i m i n a n t
S i n c e y t a k e s a l l r e a l v a l u e s a b o v e i n e q u a l i t y h o l d s i ( s i n c e t h e q u a d r a t i c h a s t o b e p o s i t i v e a n d
h e r e )
o r d e p e n d i n g u p o n w h e t h e r o r a
2 . 7 M a x i m a a n d M i n i m a o f Q u a d r a t i c c u r v e s
a t t a i n s m a x i m a w h e n
a t
a n d m a x i m a
a t t a i n s m i n i m a w h e n a t
a n d m a x i m a
-
8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
18/29
1 8 3 I N V E S T I G A T I N G N A T U R E O F R O O T S W I T H Q U A D R A T I C E X P R E S S I O N S
N o t e h e r e t h a t t h e m a x i m a o r m i n i m a w h a t e v e r e x i s t s
8
P r o b l e m 1 4 . G i v e n t w o q u a d r a t i c a n d h a v i n g r o o t s a n d s u c h t h a t t h e n p r o v e t h a t m i n i n u m
v a l u e o f t h e e x p r e s s i o n s
a n d
a r e s a m e
3 I n v e s t i g a t i n g N a t u r e o f r o o t s w i t h Q u a d r a t i c
e x p r e s s i o n s
3 . 1 I n e q u a l i t i e s f r o m l o c a t i o n o f r o o t s
N a t u r e o f r o o t s i s i n u e n c e d b y s p e c i c c o n d i t i o n s o n t h e c o e c i e n t s .
S i m i l a r l y l o c a t i o n o f r o o t s w i t h r e s p e c t o n e o r m o r e c o n s t a n t s t o o r e q u i r e s s p e -
c i c c o n d i t i o n s o n t h e c o e c i e n t s .
3 . 1 . 1 k l i e s b e t w e e n t h e r o o t s
S o w e h a v e a s i t u a t i o n w h e r e
l i e s s u c h t h a t i t s r o o t s
l i e s o n t h e o t h e r s i d e o f c o n s t a n t
F i r s t n e c e s s a r y c o n d i t i o n r e q u i r e d i s e x i s t e n c e o f t h e r o o t s b e t w e e n w h i c h
l i e s , t h i s i s s a t i s e d u s i n g
. T h e c u r v e s h o u l d r s t i n t e r s e c t
8
I f t h e n t h e s i g n o f t h e q u a d r a t i c e x p r e s s i o n i s s a m e a s t h e s i g n o f . T h i s c a n b e u n d e r s t o o d a s
S o t e r m i n s i d e t h e c u r l y b r a c e i s a l w a y s p o s i t i v e i f a n d h e n c e s i g n o f t h e q u a d r a t i c i s s a m e a s s i g n o f
A b o v e a n a l y s i s t a l k s a b o u t m a x i m a a n d m i n i m a o f a n y q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s . B u t w e
c a n a n a l y s e t h e a b o v e m a x / m i n f o r e q u a t i o n s w h i c h h a v e r e a l r o o t s , i . e . t h e c o r r e s p o n d i n g
e x p r e s s i o n i n t e r s e c t s t h e
.
L e t b e t h e r o o t s o f a q u a d r a t i c e q u a t i o n . S o t h e c o r r e s p o n d i n g q u a d r a t i c e x p r e s s i o n i s .
t h e m i n i s a t t a i n e d a t
a n d v a l u e o f m i n i s
. N o w a v e r y n i c e p o i n t
h e r e i s t h a t i f t w o e q u a t i o n s
w i t h r o o t s a n d w i t h r o o t s h a v i n g d i e r e n c e o f t h e i r t w o r o o t s c o n s t a n t i . e . w i l l h a v e t h e s a m e m i n v a l u e
-
8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
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3 . 1 I n e q u a l i t i e s f r o m l o c a t i o n o f r o o t s 1 9
C a s e 1 . I f
i s c o n c a v e u p w a r d s . S o
C a s e 2 . I f
i s c o n c a v e d o w n w a r d s . S o
H e r e w e c a n c o n c l u d e b o t h t h e c a s e s i n o n e g o a s . T h i s i s r e q u i r e d c o n d i t i o n
S o
3 . 1 . 2 k l i e s t o t h e l e f t o r r i g h t o f b o t h t h e r o o t s
I n t h i s s i t u a t i o n ,
F i r s t c o n d i t i o n t h a t i s r e q u i r e d i s
t o m a k e s u r e t h e e q u a t i o n h a s r e a l
r o o t s
C a s e 1 . I f
i s c o n c a v e u p w a r d s a n d s o
C a s e 2 . I f
i s c o n c a v e d o w n w a r d s , s o
S o w e c a n c o m b i n e b o t h s t a t e s a s b u t t h i s c a n a l s o c o n c l u d e t h a t
s o t o d i e r e n t i a t e
9
b o t h t h e c a s e w e s e p a r a t e t h e m a s f o l l o w s
S o s u m m a r i s i n g b o t h t h e c a s e s w e h a v e ,
I f
I f
P r o b l e m 1 5 . L e t b e r e a l . I f h a s t w o r e a l r o o t s w h e r e
a n d
, t h e n s h o w t h a t
M e t h o d I
,L e t t h e n w e g e t t h e r e d c u r v e b e l o w
g i v e n
S o w h e n
w e g e t ,
&
w h i c h c a n b e c o m b i n e d
9
N o t e :
w h i c h i s m i d p o i n t o f r o o t s
-
8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
20/29
2 0 3 I N V E S T I G A T I N G N A T U R E O F R O O T S W I T H Q U A D R A T I C E X P R E S S I O N S
a s
N o w i f w e t a k e
, w e g e t t h e s a m e
M e t h o d I I
L e t h a v e r o o t s &
&
W e n e e d t o p r o v e
C o n s i d e r
I f ( s i n c e
a n d
)
I f
( s i n c e g i v e n
&
I f
( s i n c e
a n d )
H e n c e
.
3 . 2 S i g n i c a n c e o f c o e c i e n t s
,
&
i n
F o r a q u a d r a t i c e q u a t i o n h a v i n g w e c a n c o n c l u d e t h e f o l l o w i n g
R o o t s a r e
-
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3 . 3 G e o m e t r i c s i g n i c a n c e o f
&
2 1
1 . S a m e m a g n i t u d e o p p o s i t e s i g n
R o o t s a r e
2 . R e c i p r o c a l s o f e a c h o t h e r
3 . B o t h p o s i t i v e
4 . B o t h n e g a t i v e
5 . B o t h a r e o f o p p o s i t e s i g n
3 . 3 G e o m e t r i c s i g n i c a n c e o f
&
1 . i s p o s i t i v e o r n e g a t i v e : T h i s s i g n i e s i f t h e g r a p h o f t h e q u a d r a t i c i s c o n c a v e u p w a r d s o r d o w n w a r d , t h i s i s s o m e t h i n g w h i c h w e h a v e s e e n
a b o v e .
( a ) : t h e n t h e q u a d r a t i c c u r v e w i l l g o o n c o n t r a c t i n g a l o n g o r e x p a n d i n g a l o n g
( b )
: t h e n t h e q u a d r a t i c c u r v e w i l l g o o n e x p a n d i n g a l o n g
o r c o n t r a c t i n g a l o n g
2 . v a l u e c h a n g e s : t h e n i t c o n t r i b u t e s t o c h a n g i n g t h e p o s i t i o n o f t h e v e r t e x
3 .
v a l u e c h a n g e s :
( a )
h e n c e i t g i v e s u s t h e p o i n t w h e r e
i n t e r s e c t s t h e .
( b ) I f t h e n o n e o f t h e r o o t s i s Z e r o
T h e s e a l l a b o v e c o n d i t i o n s m i g h t s e e m t o b e v e r y o b v i o u s b u t w i l l s u r e l y h e l p
i n s o l u t i o n t o p r o b l e m s
3 . 4 A r e t h e r o o t s r e a l o r c o m p l e x , p o s i t i v e o r n e g a t i v e -
A n o t h e r w a y !
4 P o l y n o m i a l s i n g e n e r a l
I f
a r e r o o t s o f t h e p o l y n o m i a l e q u a t i o n
t h e n t h e r o o t s a r e r e l a t e d t o t h e c o e c i e n t s a s b e l o w
-
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2 2 4 P O L Y N O M I A L S I N G E N E R A L
c o e o f
c o e o f
c o e o f
c o e o f
.
.
.
c o e o f
c o e o f
P r o b l e m 1 6 . I f b e t h e r o o t s o f t h e n n d t h e v a l u e o f
S o l u t i o n :
B y t h e g i v e n i n f o r m a t i o n , w e h a v e
N o w w e n e e d t o e v a l u a t e
P r o b l e m 1 7 . I f
b e t h e r o o t s o f
t h e n n d t h e e q u a t i o n
w h o s e r o o t s a r e
S o l u t i o n : G i v e n t o u s ,
-
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2 3
N o w w e k n o w t h e r o o t s o f t h e r e q u i r e d e q u a t i o n w h i c h w o u l d l o o k l i k e
N o w l e t s n d t h e r e q u i r e d c o e c i e n t s
U s i n g t h e f o r m u l a
1 0
N o w
1 0
-
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24/29
2 4 4 P O L Y N O M I A L S I N G E N E R A L
S o t h e r e q u i r e d e q u a t i o n i s
M e t h o d I I
a n d r o o t s o f t h i s e q u a t i o n a r e
. W e n e e d t o n d t h e
e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e l i k e
a n d s i m i l a r l y f o r o t h e r s .
S o l e t
b e t h e r o o t o f t h e r e q u i r e d e q u a t i o n . S o
S u b s t i u t i n g i n t h e e q u a t i o n w e g e t
U s i n g t h e u s u a l n o t a t i o n t o w r i t e a p o l y n o m i a l r e p l a c e
b y
w e g e t t h e
r e q u i r e d p o l y n o m i a l .
-
8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
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2 5
P a r t I I
P r o b l e m s a n d a p p r o a c h e s f o r t h e m
4 . 1 G i v e n e q u a t i o n w e n d t h e r o o t s
1 . I f
b e t h e r o o t s o f
t h e n s h o w t h a t
. H e n c e o r o t h e r w i s e p r o v e t h a t
2 . T h e r o o t s o f
a r e r e c i p r o c a l t o e a c h o t h e r i f
( a )
( b )
( c )
( d )
3 . I f
h a s r o o t s e q u a l i n m a g n i t u d e b u t o p p o s i t e i n s i g n t h e n
t h e v a l u e o f
i s
( a )
( b )
( c )
( d )
4 . I f t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n i s l e s s t h a t
t h e n t h e s e t o f p o s s i b l e v a l u e s o f i s ?
4 . 2 G i v e n r o o t s n d t h e e q u a t i o n s
1 . I f o n e r o o t o f t h e e q u a t i o n i s t h e s q u a r e o f t h e o t h e r , p r o v e t h a t
2 . I f r o o t s o f t h e e q u a t i o n a r e o f t h e f o r m
a n d
p r o v e t h a t
3 . I f b e t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n i n , a n d b e t h e t w o v a l u e s o f f o r w h i c h a n d a r e c o n n e c t e d b y t h e r e l a t i o n
t h e n n d t h e e q u a t i o n w h o s e r o o t s a r e
a n d
-
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2 6
4 . 3 N a t u r e o f r o o t s
1 . I f r o o t s o f t h e e q u a t i o n
a r e e q u a l i n m a g n i t u d e a n d
o p p o s i t e i n s i g n t h e n p r o v e t h a t
a n d h e n c e s h o w t h a t t h e
p r o d u c t o f t h e r o o t s i s
2 . P r o v e t h a t i f t h e r o o t s o f
a r e i m a g i n a r y t h e n
m u s t
l i e b e t w e e n
a n d
4 . 4 R o o t s o f t w o q u a d r a t i c e q u a t i o n s
4 . 5 Q u a d r a t i c E x p r e s s i o n s
4 . 6 G r a p h o f q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s
1 . D r a w t h e g r a p h o f f o l l o w i n g c u r v e s a n d m e n t i o n t h e r e g i o n s w h e r e t h e y
a r e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e
( a ) ( b )
( c )
4 . 7 T r a n s f o r m a t i o n o f Q u a d r a t i c g r a p h s
1 . I f t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n
h a s r e a l r o o t s
t h e n
( a ) r o o t s o f
h a s
i . r e a l r o o t s
i i . i m a g i n a r y r o o t s
i i i . b o t h r o o t s b e t w e e n
&
i v . b o t h r o o t s o n o t h e r s i d e o f &
( b ) r o o t s o f
h a s
i . r e a l r o o t s
i i . i m a g i n a r y r o o t s
i i i . b o t h r o o t s b e t w e e n
&
i v . b o t h r o o t s o n o t h e r s i d e o f &
4 . 8 S i g n i c a n c e o f
a n d
f o r g r a p h i c a l u n d e r s t a n d i n g o f
Q u a d r a t i c e q u a t i o n s
4 . 9 S i g n o f Q u a d r a t i c c u r v e s
1 . F o r w h a t v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r i n t h e i n e q u a l i t y
t h e i n e q u a l i t y i s s a t i s e d f o r a l l r e a l v a l u e s o f x ?
-
8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
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4 . 1 0 M a x i m a , M i n i m a o f Q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s 2 7
4 . 1 0 M a x i m a , M i n i m a o f Q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s
4 . 1 1 L o c a t i o n o f r o o t s
1 . F i n d a l l v a l u e s o f f o r w h i c h t h e e q u a t i o n , h a s r o o t s
a n d
s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n
S o l u t i o n :
H e r e l e t S i n c e w e h a v e
i . e . i . e .
o r
i . e .
2 . T h e e q u a t i o n h a s a t l e a s t o n e r o o t . D e t e r m i n e t h e r a n g e f o r m
S o l u t i o n :
M e t h o d I :
W e n e e d t o n d w h a t a r e t h e p o s s i b l e v a l u e s o f s u c h t h a t t h e g i v e n e q u a t i o n h a s a t l e a s t o n e p o s i t i v e r o o t . S o t h e t y p i c a l c u r v e o f t h e q u a d r a t i c
e x p r e s s i o n l o o k s l i k e t h i s
S o t h e g r e e n g r a p h r e p r e s e n t t h e p o s i b i l i t y o f g e t t i n g b o t h p o s i t i v e r o o t s
o r e x a c t l y o n e i s p o s i t i v e a n d o t h e r n e g a t i v e .
C a s e I : B o t h r o o t s a r e p o s i t i v e
S o f o r b o t h r o o t s t o b e p o s i t i v e w e r e q u i r e
C a s e I I : O n e r o o t i s p o s i t i v e a n d o t h e r i s n e g a t i v e
F o r t h i s w e r e q u i r e d t o s a t i s f y t h e c o n d i t i o n
S o c o m b i n i n g b o t h t h e c o n d i t i o n s w e g e t
M e t h o d I I :
-
8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
28/29
2 8
I f r o o t s e x i s t i . e .
I f b o t h t h e r o o t s a r e p o s i t i v e t h e n
I f o n e r o o t i s p o s i t i v e a n d o t h e r n e g a t i v e t h e n
S o u s i n g t h e a b o v e i n f o r m a t i o n w e h a v e : b o t h p o s i t i v e r o o t s i f
w i t h t h e c o n d i t i o n w e g e t
O n e r o o t i s p o s i t i v e a n d o t h e r n e g a t i v e i f a n d w e a l s o c h e c k f o r
w e g e t t h e r o o t s a r e o p p o s i t e i n s i g n .
M e t h o d I I I
I f w e n e e d a t l e a s t o n e p o s i t i v e r o o t t h e n t h e c o m p l e m e n t p r o b l e m i s ( n o
r o o t s ) o r ( b o t h n e g a t i v e )
i . e . o r { & i . e .
o r {
i . e .
i . e .
S o t h e p r o b l e m t o g e t a t l e a s t o n e p o s i t i v e r o o t i s c o m p l e m e n t o f t h e g i v e n
p r o b l e m
3 . I f
a r e t h e r o o t s o f
. F i n d a l l v a l u e s o f
s u c h
t h a t b o t h a n d l i e b e t w e e n a n d S o l u t i o n :
S i n c e
a n d w e h a v e c o e c i e n t o f
i s p o s i t i v e
W e h a v e , a n d
i . e . a n d
4 . 1 2 P o l y n o m i a l s i n g e n e r a l
1 . I f
i s a s f a c t o r o f t h e e x p r e s s i o n
, t h e n
( a ) ( b )
( c )
( d ) N o n e o f t h e s e
-
8/2/2019 Quadratic Equations Expressions
29/29
4 . 1 3 M i s c e l l a n e o u s p r o b l e m s 2 9
4 . 1 3 M i s c e l l a n e o u s p r o b l e m s
1 . S o l v e t h e e q u a t i o n 2 . I f a n d t h e n n d t h e v a l u e o f
3 . P r o v e t h a t
i s a n i d e n t i t y
4 . I f
t h e n n d a l l r e a l v a l u e s o f
f o r
w h i c h t a k e s r e a l v a l u e s
5 . S o l v e
6 . I f
t h e n t h e v a l u e o f
l i e s i n t h e i n t e r v a l .
S o l u t i o n : H i n t : w e n e e d t o g e n e r a t e r a n g e f o r
a n d f o r t h a t w e n e e d
t o m a k e u s e o f e x p a n s i o n
a n d
R e f e r e n c e s
[ 1 ] H a l l & K n i g h t - H i g h e r A l g e b r a
[ 2 ] B e r n a r d & C h i l d - H i g h e r A l g e b r a
[ 3 ] V i d y a l a n k a r n o t e s