QM_method
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K-Maps Difficult in Visualization forsix variables and above
Not software adaptable
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1. Find all the prime implicants
)14,10,9,8,7,6,5,2,1,0(),,,( md cba f
group 0
group 1
group 2
group 3
0 0000
1 00012 00108 1000
5 01016 01109 1001
10 1010
7 011114 1110
Group the mintermsaccording to the numberof 1s in the minterm .
This way we only have tocompare minterms fromadjacent groups.
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group 0
group 1
group 2
group 3
0 00001 00012 00108 1000
5 01016 01109 1001
10 1010
7 011114 1110
Column I Column II
Combininggroup 0 and
group 1:
-
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group 0
group 1
group 2
group 3
0 00001 00012 00108 1000
5 01016 01109 1001
10 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -
Combininggroup 0 and
group 1:
-
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6/87
group 0
group 1
group 2
group 3
0 00001 00012 00108 1000
5 01016 01109 1001
10 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -0
Combininggroup 0 and
group 1:
-
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7/87
group 0
group 1
group 2
group 3
0 00001 00012 00108 1000
5 01016 01109 1001
10 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -000
Does it makesense to combinegroup 0with group 2 or 3?
No, there are atleast two bits thatare different.
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group 0
group 1
group 2
group 3
0 00001 00012 00108 1000
5 01016 01109 1001
10 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -000
Does it makesense to nocombine group 0with group 2 or 3?
No, there are atleast two bits that
are different.Thus, next wecombine group 1and group 2.
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group 0
group 1
group 2
group 3
0 00001 00012 00108 1000
5 01016 01109 1001
10 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -01
Combine group 1and group 2.
-
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group 1
group 2
group 3
0 00001 00012 00108 1000
5 01016 01109 1001
10 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -01
Combine group 1and group 2.
-
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group 2
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10 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -001Combine group 1
and group 2.
-
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10 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -001Combine group 1
and group 2.
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10 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -001Combine group 1
and group 2.
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9 100110 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -001Combine group 1
and group 2.
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9 100110 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
Combine group 1and group 2.
-
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Column I Column II
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Combine group 1and group 2.
-
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2,10 -010
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-
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Column I Column II
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-
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7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
Combine group 1and group 2.
-
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9 100110 1010
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Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -0108,9 100 -
Combine group 1and group 2.
-
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5 01016 0110
9 100110 1010
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Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -0108,9 100 -
8,10 10 -0
-
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5 01016 0110
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7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -0108,9 100 -
8,10 10 -0Lets try to combinegroup 2 withgroup 3.
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0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -1
Combine group 2and group 3.
-
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7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
Combine group 2and group 3.
-
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5 01016 0110
9 100110 1010
7 011114 1110
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -110
Combine group 2and group 3.
-
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7 011114 1110
Column I Column II
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2,10 -010
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6,14 -110
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-
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7 011114 1110
Column I Column II
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6,14 -110
Combine group 2and group 3.
-
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Column I Column II
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2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -110
Combine group 2and group 3.
-
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30/87
Column I Column II
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
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7 011114 1110
We have nowcompleted thefirst step. Allminterms incolumn I wereincluded.
We can dividecolumn II intogroups.
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2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
-
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34/87
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2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
-
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6,14 -11010,14 1 -10
Column III
-
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Column III
-
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Column III
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-
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group 1
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Column III
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Column III
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-
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Column I Column II
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Column III
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-
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Column III
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-
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2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
-
8/12/2019 QM_method
46/87
Column I Column II
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9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
0,8,1,9 -00 -
-
8/12/2019 QM_method
47/87
-
8/12/2019 QM_method
48/87
Column I Column II
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5 01016 0110
9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
0,8,1,9 -00 -0,8,2,10 -0-0
-
8/12/2019 QM_method
49/87
Column I Column II
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1 00012 00108 1000
5 01016 0110
9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
0,8,1,9 -00 -0,8,2,10 -0-0
-
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50/87
Column I Column II
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9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
0,8,1,9 -00 -0,8,2,10 -0-0
-
8/12/2019 QM_method
51/87
Column I Column II
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9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
0,8,1,9 -00 -0,8,2,10 -0-0
-
8/12/2019 QM_method
52/87
Column I Column II
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9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
0,8,1,9 -00 -0,8,2,10 -0-0
-
8/12/2019 QM_method
53/87
Column I Column II
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9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
0,8,1,9 -00 -0,8,2,10 -0-0
2,6,10,14 --10
-
8/12/2019 QM_method
54/87
Column I Column II
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5 01016 0110
9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
0,8,1,9 -00 -0,8,2,10 -0-0
2,6,10,14 --102,10,6,14 --10
-
8/12/2019 QM_method
55/87
Column I Column II
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1 00012 00108 1000
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9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
0,8,1,9 -00 -0,8,2,10 -0-0
2,6,10,14 --102,10,6,14 --10
-
8/12/2019 QM_method
56/87
Column I Column II
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1 00012 00108 1000
5 01016 0110
9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
0,8,1,9 -00 -0,8,2,10 -0-0
2,6,10,14 --102,10,6,14 --10
-
8/12/2019 QM_method
57/87
-
8/12/2019 QM_method
58/87
Column I Column II
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1 00012 00108 1000
5 01016 0110
9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
0,8,1,9 -00 -0,8,2,10 -0-0
2,6,10,14 --102,10,6,14 --10
We can eliminate repeatedcombinations
-
8/12/2019 QM_method
59/87
Column I Column II
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1 00012 00108 1000
5 01016 0110
9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
2,6,10,14 --10
f = a c d
Now we form f with theterms not checked
-
8/12/2019 QM_method
60/87
Column I Column II
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1 00012 00108 1000
5 01016 0110
9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
2,6,10,14 --10
f = a c d + a bd
-
8/12/2019 QM_method
61/87
Column I Column II
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group 1
group 2
group 3
0 0000
1 00012 00108 1000
5 01016 0110
9 100110 1010
7 011114 1110
0,1 000 -0,2 00 -00,8 -0001,5 0 -011,9 -0012,6 0 -10
2,10 -010
8,9 100 -8,10 10 -05,7 01 -16,7 011 -
6,14 -11010,14 1 -10
Column III
0,1,8,9 -00 -0,2,8,10 -0-0
2,6,10,14 --10
f = a c d + a bd + a bc
-
8/12/2019 QM_method
62/87
-
8/12/2019 QM_method
63/87
-
8/12/2019 QM_method
64/87
-
8/12/2019 QM_method
65/87
Column I Column II
group 0
group 1
group 2
group 3
0
128
56
910
714
0,10,20,81,51,92,6
2,10
8,98,105,76,7
6,1410,14
Column III
0,1,8,90,2,8,10
2,6,10,14
f = a c d + a bd + a bc + b c+ b d + cd
-
8/12/2019 QM_method
66/87
f = a c d + a bd + a bc + b c + b d + cd
But, the form below is not minimized, using aKarnaugh map we can obtain:
a
1
b
c
d1
-
8/12/2019 QM_method
67/87
f = a c d + a bd + a bc + b c + b d + cd
But, the form below is not minimized, using aKarnaugh map we can obtain:
a
1
1
b
c
d1
-
8/12/2019 QM_method
68/87
-
8/12/2019 QM_method
69/87
-
8/12/2019 QM_method
70/87
f = a c d + a bd + a bc + b c + b d + cd
But, the form below is not minimized, using aKarnaugh map we can obtain:
a
1
1
1
1
1
11 1
b
c
d1
-
8/12/2019 QM_method
71/87
f = a c d + a bd + a bc + b c + b d + cd
But, the form below is not minimized. Using aKarnaugh map we can obtain:
a
1
1
1
1
1
11 1 1
b
c
d1
)14,10,9,8,7,6,5,2,1,0(),,,( md cba f
-
8/12/2019 QM_method
72/87
-
8/12/2019 QM_method
73/87
f = a c d + a bd + a bc + b c + b d + cd
But, the form below is not minimized, using aKarnaugh map we can obtain:
a
1
1
1
1
1
11 1 1
b
c
d1
F = a bd + cd
-
8/12/2019 QM_method
74/87
-
8/12/2019 QM_method
75/87
f = a c d + a bd + a bc + b c + b d + cd
What are the extra terms in the solution obtainedwith the Quine -McCluskey method?
a
1
1
1
1
1
11 1 1
b
c
d1
F = a bd + cd + b c
Thus, we need a method toeliminate this redundant termsfrom the Quine -McCluskey solution.
-
8/12/2019 QM_method
76/87
-
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77/87
0 1 2 5 6 7 8 9 10 14(0,1,8,9) b c X X X X(0,2,8, 10 ) b d X X X X(2,6,10,14) cd X X X X(1,5) a c d X X(5,7) a bd X X(6,7) a bc X X
Question: Given the prime implicant chart above,how can we identify the essential primeimplicants of the function?
minterms
-
8/12/2019 QM_method
78/87
0 1 2 5 6 7 8 9 10 14(0,1,8,9) b c X X X X(0,2,8, 10 ) b d X X X X(2,6,10,14) cd X X X X(1,5) a c d X X(5,7) a bd X X(6,7) a bc X X
Similar to the Karnaugh map, all we have to do isto look for minterms that are covered by a singleterm.
minterms
-
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79/87
-
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0 1 2 5 6 7 8 9 10 14(0,1,8,9) b c X X X X(0,2,8, 10 ) b d X X X X(2,6,10,14) cd X X X X(1,5) a c d X X(5,7) a bd X X(6,7) a bc X X
minterms
-
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81/87
0 1 2 5 6 7 8 9 10 14(0,1,8,9) b c X X X X(0,2,8, 10 ) b d X X X X(2,6,10,14) cd X X X X(1,5) a c d X X(5,7) a bd X X(6,7) a bc X X
As we have not covered all the minterms with
essential prime implicants, we must chooseenough non -essential prime implicants tocover the remaining minterms.
minterms
-
8/12/2019 QM_method
82/87
0 1 2 5 6 7 8 9 10 14(0,1,8,9) b c X X X X(0,2,8, 10 ) b d X X X X(2,6,10,14) cd X X X X(1,5) a c d X X(5,7) a bd X X(6,7) a bc X X
What strategy should we use to find a minimumcover for the remaining minterms?
minterms
-
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83/87
0 1 2 5 6 7 8 9 10 14(0,1,8,9) b c X X X X(0,2,8, 10 ) b d X X X X(2,6,10,14) cd X X X X(1,5) a c d X X(5,7) a bd X X(6,7) a bc X X
We choose first prime implicants that cover themost minterms.
minterms
-
8/12/2019 QM_method
84/87
0 1 2 5 6 7 8 9 10 14(0,1,8,9) b c X X X X(0,2,8, 10 ) b d X X X X(2,6,10,14) cd X X X X(1,5) a c d X X(5,7) a bd X X(6,7) a bc X X
Therefore our minimum solution is:
f(a,b,c,d) = b c + cd + a bd
minterms
-
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-
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-
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