Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 1/99
Notes on
by Thomas H. PulliamNASA Ames Research Center
Moffett Field, California
ased on notes from:
on K’arm’an Institute For Fluid Mechanics Lecture Se
umerical Techniques For Viscous Flow Computation In
anuary 20-24, 1986, Rhode-St-Genese, Belgium.
S o
l u t i o n
M e t h
o d s
I n
Co m putatio n
a l F
l u i d
D y
n a m
i c s
Preliminary notes in revision, April 1994
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 2/99
S o l u t i o n M e t h o d s I n C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s
T h o m a s H . P u l l i a m
R e s e a r c h S c i e n t i s t C F D B r a n c h
N A S A A m e s R e s e a r c h C e n t e r
A b s t r a c t
I m p l i c i t n i t e d i e r e n c e s c h e m e s f o r s o l v i n g t w o d i m e n s i o n a l a n d t h r e e d i -
m e n s i o n a l E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s w i l l b e a d d r e s s e d . T h e m e t h o d s a r e
d e m o n s t r a t e d i n f u l l y v e c t o r i z e d c o d e s f o r a C R A Y t y p e a r c h i t e c t u r e . W e s h a l l c o n -
c e n t r a t e o n t h e B e a m a n d W a r m i n g i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n a l g o r i t h m
i n g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s . T h e m e t h o d s a r e e i t h e r t i m e a c c u r a t e o r a c c e l e r a t e d
n o n - t i m e a c c u r a t e s t e a d y s t a t e s c h e m e s . V a r i o u s a c c e l e r a t i o n a n d e c i e n c y m o d -
i c a t i o n s s u c h a s m a t r i x r e d u c t i o n , d i a g o n a l i z a t i o n a n d u x s p l i t s c h e m e s w i l l b e
p r e s e n t e d . E x a m p l e s f o r 2 - D i n v i s c i d a n d v i s c o u s c a l c u l a t i o n s ( e . g . a i r f o i l s w i t h a
d e e c t e d s p o i l e r , c i r c u l a t i o n c o n t r o l a i r f o i l s a n d u n s t e a d y b u e t i n g ) a n d a l s o 3 - D
v i s c o u s o w a r e i n c l u d e d .
O U T L I N E
C h a p t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P a g e
I . I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I I . T h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . 5
I I I . G e n e r a l i z e d C u r v i l i n e a r C o o r d i n a t e T r a n s f o r m a t i o n s . . . . . . . . . 6
3 . 1 M e t r i c R e l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 . 2 I n v a r i a n t s o f t h e T r a n s f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I V . T h i n - L a y e r A p p r o x i m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
4 . 1 T h i n - L a y e r E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
4 . 2 T u r b u l e n c e M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
V . N u m e r i c a l A l g o r i t h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
5 . 1 I m p l i c i t T i m e D i e r e n c i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
5 . 2 L o c a l T i m e L i n e a r i z a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
5 . 3 S p a c e D i e r e n c i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
5 . 4 S t a b i l i t y A n a l y s i s o f D i e r e n c e F o r m s . . . . . . . . . . . . . . 1 8
5 . 5 M a t r i x F o r m o f U n f a c t o r e d A l g o r i t h m . . . . . . . . . . . . . 1 9
5 . 6 A p p r o x i m a t e F a c t o r i z a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0
5 . 7 R e d u c e d F o r m s o f T h e I m p l i c i t A l g o r i t h m . . . . . . . . . . . . 2 1
1
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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5 . 7 a D i a g o n a l F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
5 . 7 b P r e s s u r e { V e l o c i t y S p l i t t i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
5 . 8 M e t r i c D i e r e n c i n g a n d I n v a r i a n t s . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
V I . A r t i c i a l D i s s i p a t i o n A d d e d t o I m p l i c i t S c h e m e s . . . . . . . . . . . 3 0
6 . 1 C o n s t a n t C o e c i e n t I m p l i c i t a n d E x p l i c i t D i s s i p a t i o n . . . . . . . 3 0
6 . 2 T h e U p w i n d C o n n e c t i o n t o A r t i c i a l D i s s i p a t i o n . . . . . . . . . 3 2
6 . 3 N o n l i n e a r A r t i c i a l D i s s i p a t i o n M o d e l . . . . . . . . . . . . . 3 5
6 . 4 T o t a l V a r i a t i o n D i m i n i s h i n g S c h e m e s , T V D . . . . . . . . . . . 3 8
V I I . T i m e A c c u r a c y , S t e a d y S t a t e s , C o n v e r g e n c e a n d S t a b i l i t y . . . . . . . 4 0
7 . 1 T i m e A c c u r a c y v r s S t e a d y - S t a t e C o m p u t a t i o n . . . . . . . . . . 4 0
7 . 2 E e c t o f D i s s i p a t i o n M o d e l o n C o n v e r g e n c e a n d S t a b i l i t y . . . . . 4 4
V I I I . A R C 2 D - A R C 3 D A l g o r i t h m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
I X . B o u n d a r y C o n d i t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
9 . 1 C h a r a c t e r i s t i c A p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
9 . 2 W e l l P o s e d n e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1
9 . 3 C o m p u t a t i o n a l M a p p i n g o f B o u n d a r i e s . . . . . . . . . . . . . 5 2
X . G e o m e t r y a n d G r i d G e n e r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6
X I . E x a m p l e s a n d A p p l i c a t i o n i n 2 - D . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
1 1 . 1 C o d e V a l i d a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8
1 1 . 2 I n v i s c i d A i r f o i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
1 1 . 3 V i s c o u s A i r f o i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5
1 1 . 4 U n s t e a d y A i l e r o n B u z z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9
1 1 . 5 H i g h A n g l e o f A t t a c k A i r f o i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
X I I . T h r e e - D i m e n s i o n a l A l g o r i t h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5
1 2 . 1 F l o w E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6
1 2 . 2 N u m e r i c a l M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2
1 2 . 3 B o u n d a r y C o n d i t i o n s a n d G e o m e t r y . . . . . . . . . . . . . . 8 2
1 2 . 4 C o d e S t r u c t u r e a n d V e c t o r i z a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . 8 2
1 2 . 5 A p p l i c a t i o n i n T h r e e D i m e n s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4
S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0
R e f e r e n c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0
A p p e n d i x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5
2
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C o m m e n t a r y , 1 9 9 2
T h e s e n o t e s w e r e d e v e l o p e d a n d p u t t o g e t h e r i n 1 9 8 4 - 5 f o r a l e c t u r e s e r i e s e n -
t i t l e d \ v o n K a r m a n I n s t i t u t e F o r F l u i d D y n a m i c s L e c t u r e S e r i e s : N u m e r i c a l T e c h -
n i q u e s f o r V i s c o u s F l o w C o m p u t a t i o n I n T u r b o m a c h i n e r y B l a d i n g s " , v o n K a r m a n
I n s t i t u t e , R h o d e - S t - G e n e s e , B e l g i u m , 1 9 8 5 . T h e y m a y b e a l i t t l e d a t e d t o d a y , b u t
t h e y s t i l l r e p r e s e n t c u r r e n t a l g o r i t h m s a n d c o d e s b e i n g u s e d o n a d a y t o d a y b a s i s
f o r b o t h r e s e a r c h a n d d e v e l o p m e n t . I w i l l u p d a t e a n d c o r r e c t s o m e o f t h e m a t e r i a l ,
b u t I w i l l n o t b e a t t e m p t i n g t o c o m p l e t e l y m o d e r n i z e t h e s e l e c t u r e s . N e w e r t o p i c s ,
e . g . T V D , E N O , a r e h a n d l e d b e t t e r i n o t h e r f o r u m s a n d I w i l l h a v e t o m a k e m y
a t t e m p t a t t h e m s o m e o t h e r t i m e .
F i n a l l y , I w o u l d l i k e t o r e c o g n i z e d t h e i n u e n c e o f o n e o f m y b e s t f r i e n d s a n d
m y m e n t o r , D r . J o s e p h L . S t e g e r w h o p a s s e d a w a y t h i s y e a r . I r s t m e t J o e i n
t h e e a r l y d a y s o f C F D a t N A S A A m e s ( c i r c a 1 9 7 4 ) w h e n I s t a r t e d w o r k o n m y
t h e s i s a n d J o e b e c a m e m y a d v i s o r . I c o n s i d e r m y s e l f J o e ' s r s t s t u d e n t a n d a l -
t h o u g h J o e w e n t o n t o t e a c h a t S t a n f o r d a n d U . C . D a v i s a n d p r o d u c e d m a n y n e
C F D r e s e a r c h e r s , I t h i n k m y y e a r s w i t h J o e w i l l a l w a y s b e s p e c i a l s i n c e t h e y w e r e
h i s a n d m y r s t e x p e r i e n c e s a s f r i e n d s a n d t e a c h e r / s t u d e n t . J o s e p h S t e g e r w a s a
r e a l p i o n e e r f o r C F D , h e d i d m u c h o f t h e g r o u n d b r e a k i n g w o r k i n t r a n s o n i c s a n d
E u l e r / N a v i e r - S t o k e s a l g o r i t h m s . I d o n ' t t h i n k h e g e t s m u c h c r e d i t f o r h i s t r a n s o n i c
w o r k , b u t i f i t w a s n ' t f o r J o e m a n y o f t h e i m p o r t a n t a d v a n c e s m a d e h e r e a t N A S A
A m e s w o u l d n e v e r h a v e h a p p e n e d . W e a l w a y s r e f e r t o t h e \ B e a m - W a r m i n g a l g o -
r i t h m " , b u t p o s s i b i l i t y i t s h o u l d b e c a l l e d t h e \ S t e g e r a l g o r i t h m " . A l t h o u g h , B e a m
a n d W a r m i n g c a n b e c r e d i t e d w i t h t h e i n i t i a l d e v e l o p m e n t , S t e g e r h a d m u c h t o d o
w i t h t h e n a l d e v e l o p m e n t s a n d a n a l y s i s . M o r e i m p o r t a n t l y t h o u g h , i s t h e c o n t r i -
b u t i o n J o e m a d e i n m a k i n g t h e a l g o r i t h m p r a c t i c a l a n d p o p u l a r . I n 1 9 7 6 , J o e w r o t e
w h a t w a s t h e n c a l l A I R 2 D , b a s e d o n t h e B e a m - W a r m i n g a l g o r i t h m a n d g e n e r a l i z e d
c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s . T h a t o n e e o r t h a s b l o s s o m e d i n t o t h e A R C 2 D a n d
A R C 3 D c o d e s a n d t h e i r s u b s e q u e n t i m p a c t o n C F D t o d a y . T h o s e k e r n e l s ( g e m s o f
i d e a s ) f o r m t h e b a s i s o f m o s t o f t h e p r a c t i c a l a n d u s e f u l c o d e s i n e x i s t e n c e t o d a y .
O n e o n l y h a s t o l o o k a n y w h e r e i n t h e l i t e r a t u r e t o s e e t h a t i m p a c t . J o e ' s o t h e r
d e v e l o p m e n t s w e r e e q u a l l y a s i m p o r t a n t t o t h e w h o l e p i c t u r e . H e d e v e l o p e d e l l i p -
t i c g r i d g e n e r a t o r s ( G R A P E ) a n d h y p e r b o l i c g r i d g e n e r a t i n g a l g o r i t h m s . J o e c a n
a l s o b e c r e d i t e d w i t h p r o d u c i n g t h e r s t p r a c t i c a l P a r a b o l i z e d N a v i e r - S t o k e s ( P N S )
c o d e s a n d I n c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s ( I N S ) b a s e d o n p s u e d o - c o m p r e s s i b i l i t y . H i s
w o r k o n t h e C h i m e r a a p p r o a c h f o r c o m p l i c a t e d g e o m e t r y i s c u r r e n t l y t h e w o r k h o r s e
o f c o m p u t a t i o n h e r e a t N A S A A m e s a n d h a s b e e n a s i g n i c a n t p a r t o f t h e o v e r a l l
C F D e o r t . B u t b e s i d e s a l l t h a t , w e r e a l l y h a v e s u e r e d a g r e a t l o s s i n l o s i n g J o e
S t e g e r , h e a l w a y s w i l l b e i n m y h e a r t , h i s l a u g h a n d f r i e n d s h i p a r e d e a r t o m e a n d
I ' m s u r e t o a l l w h o k n e w h i m .
3
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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I . I n t r o d u c t i o n
C o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s i s a g r o w i n g t e c h n o l o g y . E v e n t h o u g h t h e r e i s
s t i l l a s u b s t a n t i a l a m o u n t o f t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t n e c e s s a r y b e f o r e i t b e c o m e s
a n c o n s i s t e n t e n g i n e e r i n g t o o l , w e c a n p r o d u c e r e s e a r c h c o d e s w h i c h c a n b e a p p l i e d
t o r e l e v a n t p h y s i c a l p r o b l e m s . A t p r e s e n t f u l l p o t e n t i a l c o d e s a n d p a n e l m e t h o d s
h a v e b e e n t h e m o s t w i d e l y u s e d t o o l s i n t h e d e s i g n c y c l e . T h o s e m e t h o d s a r e
c o m p u t a t i o n a l l e s s e x p e n s i v e t h a n t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s c o d e s a n d i n g e n e r a l
m o r e r o b u s t a n d a c c u r a t e ( m a i n l y d u e t o t h e a b i l i t y t o e m p l o y a l a r g e n u m b e r o f
g r i d p o i n t s o r p a n e l s ) . E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s c o d e s r e q u i r e m o r e s t o r a g e a n d
c o m p u t a t i o n a l w o r k p e r s o l u t i o n t h a n t h e c l a s s i c a l m e t h o d s . E v e n w i t h t h e p r e s e n t
c l a s s o f s u p e r c o m p u t e r s w e s t i l l h a v e n o t r e a c h e d a s t a g e w h e r e t h e r e s t r i c t i o n s o f
c o m p u t a t i o n a l s p e e d a n d s t o r a g e c a n b e i g n o r e d . A t t h i s s t a g e t h e E u l e r a n d N a v i e r
- S t o k e s c o d e s a v a i l a b l e s h o u l d b e c o n s i d e r e d t o b e r e s e a r c h c o d e s . A t r s t w e s t r i v e
t o d e m o n s t r a t e t h e f e a s i b i l i t y o f t h e n u m e r i c a l t e c h n i q u e u s e d , t h e n w e s h o u l d g o o n
t o e s t a b l i s h t h e a c c u r a c y , e c i e n c y a n d r o b u s t n e s s o f a d e v e l o p e d c o d e . T h e s e a r e
t h e a r e a s i n c o d e d e v e l o p m e n t a n d a p p l i c a t i o n w h i c h r e q u i r e c a r e f u l c o n s i d e r a t i o n .
A w i d e v a r i e t y o f n u m e r i c a l t e c h n i q u e s a r e i n u s e t o d a y . S o m e h a v e d e v e l -
o p e d t o a h i g h e n o u g h l e v e l t o b e u s e d i n p r o d u c t i o n c o d e s ( s e e R e f s . 1 - 6 ] ) w h i l e
o t h e r t e c h n i q u e s ( f o r e x a m p l e T V D s c h e m e s , R e f . 7 - 9 ] ) a r e j u s t n o w e n t e r i n g t h e
r e s e a r c h c o d e r e a l m . I n t h i s p r e s e n t a t i o n w e s h a l l c o n c e n t r a t e o n m e t h o d s a n d t e c h -
n i q u e s w h i c h h a v e b e e n a p p l i e d t o v a r i o u s c o m p u t a t i o n a l u i d o w p r o b l e m s . T h e s e
i n c l u d e , i m p l i c i t n i t e d i e r e n c e s , c e n t r a l s p a c e d i e r e n c i n g , u p w i n d d i e r e n c i n g ,
a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n , n o n l i n e a r d i s s i p a t i o n m o d e l s , c h a r a c t e r i s t i c b o u n d a r y
p r o c e d u r e s , g r i d r e n e m e n t - r e c l u s t e r i n g a l g o r i t h m s a n d v a r i o u s a c c e l e r a t i o n t e c h -
n i q u e s f o r s t e a d y s t a t e a n d t i m e a c c u r a t e c o m p u t a t i o n s . M o s t o f t h e a p p l i c a t i o n s
a r e f o r e x t e r n a l o w s , b u t t h e m e t h o d s h a v e b e e n a n d a r e e a s i l y e x t e n d e d t o i n t e r n a l
o w s . A l o t o f t h e d e v e l o p m e n t w i l l b e i n 2 - D , w i t h t h e e x t e n s i o n t o 3 - D r e l a t i v e l y
s t r a i g h t f o r w a r d .
A s e r i e s o f c o m p u t e r c o d e s h a v e b e e n d e v e l o p e d a t N A S A A m e s R e s e a r c h C e n -
t e r b a s e d o n t h e i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n a l g o r i t h m o f B e a m a n d W a r m i n g
1 ] w i l l b e u s e d f o r d e m o n s t r a t i o n . A p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n i n t w o d i m e n s i o n s w a s
r s t p r e s e n t e d b y S t e g e r 2 ] a n d f o r t h r e e d i m e n s i o n s b y P u l l i a m a n d S t e g e r 3 ] .
C o n c u r r e n t w i t h t h i s w o r k h a s b e e n t h e p a r a l l e l e d d e v e l o p m e n t a n d a p p l i c a t i o n
o f M a c C o r m a c k s m e t h o d 4 ] . I s h a l l c o n c e n t r a t e h e r e o n t h e t h e o r e t i c a l d e v e l o p -
m e n t , a p p l i c a t i o n a n d a s s e s s m e n t o f t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m w h i c h a t t h i s s t a g e h a s
p r o d u c e d t w o c o d e s , A R C 2 D a t w o d i m e n s i o n a l v e r s i o n a n d A R C 3 D t h e t h r e e d i -
m e n s i o n a l c o d e . T h e o r i g i n a l d e v e l o p m e n t o f t h e s e c o d e s w a s m o r e i n t h e s p i r i t
o f a d e m o n s t r a t i o n e o r t , w h e r e w e w e r e m o r e c o n c e r n e d w i t h d e m o n s t r a t i n g t h e
f e a s i b i l i t y o f t h e a l g o r i t h m f o r g e n e r a l g e o m e t r i e s a n d v a r y i n g o w c a s e s . A n u m b e r
o f a p p l i c a t i o n s a p p e a r e d o v e r t h e y e a r s i n t h e l i t e r a t u r e . M o r e r e c e n t l y w e h a v e
i m p r o v e d t h e a c c u r a c y , e c i e n c y a n d r o b u s t n e s s o f t h e c o d e s . I s h a l l p r e s e n t b e l o w
4
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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s o m e d e t a i l s o f t h e c u r r e n t v e r s i o n s o f t h e i m p l i c i t c o d e s , A R C 2 D a n d A R C 3 D .
N o t a b l e e x c e p t i o n s w i l l b e d i s c u s s e d . I s h a l l n o t c o n c e n t r a t e o n t h e i d i o s y n c r a s i e s
o f t h e c o d i n g , I / O o r o t h e r p r o g r a m m i n g a s p e c t s e x c e p t w h e r e t h e y a e c t t h e a l -
g o r i t h m a p p l i c a t i o n .
I I . T h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s
T h e s t a r t i n g p o i n t i s t h e s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w f o r m o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l
N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s . T h e s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w
f o r m i s c h o s e n b e c a u s e w e w i s h t o a c c u r a t e l y c a p t u r e s h o c k s . T h e e q u a t i o n s i n
n o n d i m e n s i o n a l f o r m a r e
@
t
Q + @
x
E + @
y
F = R e
; 1
( @
x
E
v
+ @
y
F
v
) ( 2 1 )
w h e r e
Q =
2
6
4
u
v
e
3
7
5
E =
2
6
4
u
u
2
+ p
u v
u ( e + p )
3
7
5
F =
2
6
4
v
u v
v
2
+ p
v ( e + p )
3
7
5
E
v
=
2
6
4
0
x x
x y
f
4
3
7
5
F
v
=
2
6
4
0
x y
y y
g
4
3
7
5
( 2 2 a )
w i t h
x x
= ( 4 u
x
; 2 v
y
) = 3
x y
= ( u
y
+ v
x
)
y y
= ( ; 2 u
x
+ 4 v
y
) = 3
f
4
= u
x x
+ v
x y
+ P r
; 1
( ; 1 )
; 1
@
x
a
2
g
4
= u
x y
+ v
y y
+ P r
; 1
( ; 1 )
; 1
@
y
a
2
( 2 2 b )
P r e s s u r e i s r e l a t e d t o t h e c o n s e r v a t i v e o w v a r i a b l e s , Q , b y t h e e q u a t i o n o f
s t a t e
p = ( ; 1 )
e ;
1
2
( u
2
+ v
2
)
( 2 3 )
w h e r e i s t h e r a t i o o f s p e c i c h e a t s , g e n e r a l l y t a k e n a s 1 . 4 . T h e s p e e d o f s o u n d i s a
w h i c h f o r i d e a l u i d s , a
2
= p = . T h e d y n a m i c v i s c o s i t y i s a n d i s t y p i c a l l y m a d e
u p o f a c o n s t a n t p l u s a c o m p u t e d t u r b u l e n t e d d y v i s c o s i t y . T h e R e y n o l d s n u m b e r
i s R e a n d P r a n d t l n u m b e r P r
5
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 7/99
T h e c h o i c e o f n o n d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r s i s a r b i t r a r y . H e r e w e h a v e c h o s e n
t o s c a l e t h e v a r i a b l e s ( d e n s i t y ) , u v ( t h e C a r t e s i a n v e l o c i t i e s ) , a n d e ( t h e t o t a l
e n e r g y ) a s
e =
1
e u =
u
a
1
e v =
v
a
1
e e =
e
1
a
2
1
( 2 4 a )
w h e r e 1 r e f e r s t o f r e e s t r e a m q u a n t i t i e s . A s s u m i n g a r e f e r e n c e l e n g t h , l ( u s u a l l y
t a k e n a s s o m e c h a r a c t e r i s t i c p h y s i c a l l e n g t h s u c h a s c h o r d o f a n a i r f o i l ) , t i m e t s c a l e s
a s
e
t = t a
1
= l . T h e v i s c o u s c o e c i e n t s s c a l e a s
e =
1
R e =
1
l a
1
1
( 2 4 b )
N o t e t h a t R e u s e s a
1
a n d t h e r e f o r e R e b a s e d o n u
1
( t h e u s u a l c a s e f o r e x p e r i m e n -
t a l l y g i v e n R e y n o l d s n u m b e r ) m u s t b e s c a l e d b y M
1
= u
1
= a
1
. F o r t h e r e m a i n d e r
o f t h i s d e v e l o p m e n t t h e w i l l b e d r o p p e d f o r s i m p l i c i t y .
T h e E u l e r e q u a t i o n s a r e r e c o v e r e d f r o m E q s . ( 2 . 1 ) a n d ( 2 . 2 ) b y d r o p p i n g t h e
v i s c o u s t e r m s , i . e . s e t t i n g t h e r i g h t h a n d s i d e o f E q . ( 2 . 1 ) e q u a l t o z e r o .
I I I . G e n e r a l i z e d C u r v i l i n e a r C o o r d i n a t e T r a n s f o r m a t i o n s
T h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s c a n b e t r a n s f o r m e d f r o m C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s
t o g e n e r a l c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e s w h e r e
= t
= ( x y t )
= ( x y t )
( 3 1 )
T h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n i n t r o d u c e d h e r e f o l l o w s t h e d e v e l o p m e n t o f V i v i a n d
1 0 ] a n d V i n o k u r 1 1 ] . C u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e s a r e a r e p r e s e n t a t i o n o f n - s p a c e i n
w h i c h a r b r i t a r y v e c t o r s a r e r e p r e s e n t e d b y t w o s e t s o f b a s i s v e c t o r s ( n o t n e c e s s a r i l y
o r t h o g o n a l ) . A n a r b r i t a r y v e c t o r V ( h e r e d e m o n s t r a t e d i n 2 d i m e n s i o n s ) i s d e n e d
a s
V = v
1
e
1
+ v
2
e
2
w i t h e
i
c o v a r i a n t b a s i s v e c t o r s a n d v
i
t h e c o n t r a v a r i a n t c o m p o n e n t s o f V . S i n c e w e
d o n ' t r e q u i r e t h e b a s i s v e c t o r s t o b e o r t h o g o n a l , a n o t h e r s e t o f c o m p o n e n t e x t r a c t i n g
b a s i s v e c t o r s a r e r e q u i r e d , t h e c o n t r a v a r i a n t b a s i s v e c t o r s e
i
. T h e b a s i s v e c t o r s
s a t i s f y t h e r e l a t i o n s h i p e
i
e
j
=
i j
. S o t h a t , c o n t r a v a r i a n t c o m p o n e n t v
i
= e
i
V
A n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n o f V i s i n t e r m s o f c o v a r i a n t b a s i s v e c t o r s e
i
w i t h
V = v
1
e
1
+ v
2
e
2
6
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 8/99
a n d v
i
t h e c o v a r i a n t c o m p o n e n t s o f V , i . e . , v
i
= e
i
V . A n e x c e l l e n t r e f e r e n c e f o r
c u r v i l i n e a r t r a n s f o r m s i s K o r n a n d K o r n a a ] . T h i s r e p r e s e n t a t i o n a n d s e t s o f b a s i s
v e c t o r s f o r m t h e f u n d a m e n t a l f r a m e w o r k f o r t h e c u r v i l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s w h i c h
w i l l b e a p p l i e d t o t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .
T h e t r a n s f o r m a t i o n s a r e c h o s e n s o t h a t t h e g r i d s p a c i n g i n t h e c u r v i l i n e a r s p a c e
i s u n i f o r m a n d o f u n i t l e n g t h , s e e F i g . 1 . T h i s p r o d u c e s a c o m p u t a t i o n a l s p a c e
a n d w h i c h i s a r e c t a n g u l a r d o m a i n a n d w h i c h h a s a r e g u l a r u n i f o r m m e s h s o t h a t
s t a n d a r d u n w e i g h t e d d i e r e n c i n g s c h e m e s c a n b e u s e d i n t h e n u m e r i c a l f o r m u l a t i o n .
T h e o r i g i n a l C a r t e s i a n s p a c e w i l l b e r e f e r r e d t o a s t h e p h y s i c a l d o m a i n . T y p i c a l l y
t h e r e w i l l b e a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n a p h y s i c a l p o i n t i n s p a c e a n d a
c o m p u t a t i o n a l p o i n t , e x c e p t f o r r e g i o n s w h e r e t h e r e a r e s i n g u l a r i t i e s o r c u t s d u e t o
t h e t o p o l o g y . I n t h o s e c a s e s i t m a y b e n e c e s s a r y t o m a p o n e p h y s i c a l p o i n t t o m a n y
c o m p u t a t i o n a l p o i n t s ( t h i s u s u a l l y o c c u r s a t c o m p u t a t i o n a l b o u n d a r i e s ) . W i t h t h i s
c o n s t r u c t i o n w e c a n p r o d u c e o n e c o m p u t a t i o n a l c o d e f o r a w i d e v a r i e t y o f p h y s i c a l
g e o m e t r i e s a n d g r i d s y s t e m s .
F i g u r e 1 . G e n e r a l i z e d C u r v i l i n e a r C o o r d i n a t e T r a n s f o r m a t i o n s .
C h a i n r u l e e x p a n s i o n s a r e u s e d t o r e p r e s e n t t h e C a r t e s i a n d e r i v a t i v e s @
x
a n d
@
y
o f E q . ( 2 . 1 ) i n t e r m s o f t h e c u r v i l i n e a r d e r i v a t i v e s w h e r e i n m a t r i x f o r m
2
4
@
t
@
x
@
y
3
5
=
2
4
1
t
t
0
x
x
0
y
y
3
5
2
4
@
@
@
3
5
( 3 2 )
7
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 9/99
A p p l y i n g E q . ( 3 . 2 ) t o t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , E q . ( 2 . 1 ) , w e h a v e
@
Q +
t
@
Q +
t
@
Q
+
x
@
E +
x
@
E +
y
@
F +
y
@
F =
R e
; 1
(
x
@
E
v
+
x
@
E
v
+
y
@
F
v
+
y
@
F
v
)
( 3 3 )
3 . 1 M e t r i c R e l a t i o n s
I n m o s t c a s e s t h e t r a n s f o r m a t i o n f r o m p h y s i c a l s p a c e t o c o m p u t a t i o n a l s p a c e
i s n o t k n o w n a n a l y t i c a l l y , r a t h e r i t i s g e n e r a t e d n u m e r i c a l l y . T h a t i s , w e u s u a l l y a r e
p r o v i d e d w i t h j u s t t h e x y c o o r d i n a t e s o f g r i d p o i n t s a n d w e n u m e r i c a l l y g e n e r a t e
t h e m e t r i c s (
t
x
y
t
x
y
) u s i n g n i t e d i e r e n c e s .
R e v e r s i n g t h e r o l e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s i n t h e c h a i n r u l e f o r m u l a s , E q .
( 3 . 2 ) , w e h a v e ,
@
= @
t
+ x
@
x
+ y
@
y
@
= x
@
x
+ y
@
y
@
= x
@
x
+ y
@
y
( 3 4 )
w h i c h c a n b e w r i t t e n i n m a t r i x f o r m
2
4
@
@
@
3
5
=
2
4
1 x
y
0 x
y
0 x
y
3
5
2
4
@
t
@
x
@
y
3
5
( 3 5 )
S o l v i n g E q . ( 3 . 5 ) f o r t h e c u r v i l i n e a r d e r i v a t i v e s i n t e r m s o f t h e C a r t e s i a n d e r i v a t i v e s
y i e l d s
2
4
@
t
@
x
@
y
3
5
= J
2
4
( x
y
; y
x
) ( ; x
y
+ y
x
) ( x
y
; y
x
)
0 y
; y
0 ; x
x
3
5
2
4
@
@
@
3
5
( 3 6 )
w h e r e J
; 1
= ( x
y
; x
y
) . E v a l u a t i n g E q . ( 3 . 6 ) f o r t h e m e t r i c t e r m s b y c o m p a r i n g
t o t h e m a t r i x o f E q . ( 3 . 2 ) w e n d t h a t
x
= J y
y
= ; J x
t
= ; x
x
; y
y
x
= ; J y
y
= J x
t
= ; x
x
; y
y
( 3 7 )
w h e r e J i s d e n e d t o b e t h e m e t r i c J a c o b i a n .
8
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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3 . 2 I n v a r i a n t s o f t h e T r a n s f o r m a t i o n
A t t h i s p o i n t w e n o t i c e t h a t E q s . ( 3 . 3 ) a r e i n a w e a k c o n s e r v a t i o n l a w f o r m .
T h a t i s , e v e n t h o u g h n o n e o f t h e o w v a r i a b l e s ( o r m o r e a p p r o p r i a t e l y f u n c t i o n s
o f t h e o w v a r i a b l e s ) o c c u r a s c o e c i e n t s i n t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , t h e m e t r i c s
d o . T h e r e i s s o m e a r g u m e n t i n t h e l i t e r a t u r e , s e e f o r i n s t a n c e H i n d m a n 1 2 ] , w h i c h
a d v o c a t e s t h e u s e o f t h e s o c a l l e d \ c h a i n r u l e f o r m " s i n c e i t s h o u l d s t i l l h a v e g o o d
s h o c k c a p t u r i n g p r o p e r t i e s a n d i n s o m e w a y s i t i s a s i m p l e r f o r m . H e r e , t h o u g h , w e
s h a l l r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w f o r m w h i c h w i l l b e d e r i v e d
b e l o w .
T o p r o d u c e t h e s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w f o r m w e r s t m u l t i p l y E q s . ( 3 . 3 ) b y J
; 1
a n d u s e t h e c h a i n r u l e o n a l l t e r m s s u c h a s
J
; 1
x
@
E = @
x
J
E
; E @
x
J
( 3 8 )
F o r s i m p l i c i t y , w e e x a m i n e o n l y t h e i n v i s c i d t e r m s , t h e d e r i v a t i o n f o r t h e v i s c o u s
t e r m s i s s i m i l a r . C o l l e c t i n g a l l t h e t e r m s i n t o t w o g r o u p s ,
T e r m
1
+ T e r m
2
= 0
w h e r e
T e r m
1
= @
( Q = J ) + @
(
t
Q +
x
E +
y
F ) = J ]
+ @
(
t
Q +
x
E +
y
F ) = J ]
T e r m
2
= ; Q @
( J
; 1
) + @
(
t
= J ) + @
(
t
= J ) ]
; E @
(
x
= J ) + @
(
x
= J ) ] ; F @
(
y
= J ) + @
(
y
= J ) ]
( 3 9 )
I f T e r m
2
i s e l i m i n a t e d t h e n t h e s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w f o r m o f t h e e q u a t i o n s
r e s u l t s , T e r m
1
= 0 . A s s u m i n g s o l u t i o n s s u c h t h a t Q 6= 0 E 6= 0 , a n d F 6= 0 , t h e
e x p r e s s i o n s
@
( J
; 1
) + @
(
t
= J ) + @
(
t
= J )
@
(
x
= J ) + @
(
x
= J )
@
(
y
= J ) + @
(
y
= J )
( 3 1 0 )
a r e d e n e d a s i n v a r i a n t s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n a n d w i l l b e s h o w n t o b e a n a l y t i c a l l y
z e r o . S u b s t i t u t i n g t h e m e t r i c d e n i t i o n s , E q . ( 3 . 7 ) , i n t o t h e i n v a r i a n t s , E q . ( 3 . 1 0 )
w e h a v e
@
( x
y
; y
x
) + @
( ; x
y
+ y
x
) + @
( x
y
; y
x
)
@
( y
) + @
( ; y
) = y
; y
@
( ; x
) + @
( x
) = ; x
+ x
( 3 1 1 )
N o w a n a l y t i c a l l y d i e r e n t i a t i o n i s c o m m u t a t i v e a n d e a c h o f t h e a b o v e t e r m s
t h e n s u m s t o z e r o . T h i s e l i m i n a t e s T e r m
2
o f E q . ( 3 . 9 ) a n d t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s
a r e i n s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w f o r m .
9
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T h e r e i s a n i m p o r t a n t p r o b l e m a s s o c i a t e d w i t h t h e s e i n v a r i a n t s w h i c h c a n b e
d i s c u s s e d n o w . I f T e r m
1
i s e v a l u a t e d f o r u n i f o r m o w ,
= 1 u = M
1
v = 0 a n d e =
1
( ; 1 )
+
1
2
M
2
1
t h e n t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s w h i c h m u s t s u m t o z e r o ( i f w e r e q u i r e t h a t o u r e q u a t i o n s
s a t i s f y f r e e s t r e a m ) a r e e x a c t l y c o m p o s e d o f t h e i n v a r i a n t s , E q . ( 3 . 1 0 ) . N o w w h e n
n u m e r i c a l d i e r e n c i n g i s a p p l i e d t o t h e s e e q u a t i o n s ( a s d e v e l o p e d i n t h e S e c t i o n V )
t h e n t h e n u m e r i c a l d i e r e n c e f o r m u l a s u s e d t o e v a l u a t e t h e s p a t i a l d i e r e n c e s o f
t h e u x e s a n d t h e n i t e d i e r e n c e f o r m s u s e d t o c a l c u l a t e t h e m e t r i c s m u s t s a t i s f y
t h e c o m m u t a t i v e l a w . I t i s n o t t r u e i n g e n e r a l t h a t n i t e d i e r e n c e d e r i v a t i v e s a r e
c o m m u t a t i v e , ( s e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r e n c e s a r e , b u t m i x i n g s e c o n d o r d e r a n d
f o u r t h o r d e r f o r m u l a s i s n o t ) . A s w e s h a l l s e e , t h e c e n t r a l d i e r e n c e f o r m u l a s u s e d
i n t w o - d i m e n s i o n s c a n p r o d u c e c o n s i s t e n t i n v a r i a n t s , b u t i n t h r e e - d i m e n s i o n s i t i s
n o t a s t r a i g h t f o r w a r d p r o c e d u r e .
I t s h o u l d b e a t l e a s t a m i n i m u m r e q u i r e m e n t o f a n y n i t e d i e r e n c e f o r m u l a t i o n
t h a t t h e n i t e d i e r e n c e e q u a t i o n s s a t i s f y f r e e s t r e a m o w . C a r e m u s t b e t a k e n t o
i n s u r e t h a t t h e n i t e d i e r e n c e f o r m u l a t i o n i s c o n s i s t e n t i n t h i s a r e a o r a t l e a s t w e
s h o u l d r e c o g n i z e a n d c o r r e c t a s m u c h a s p o s s i b l e a n y e r r o r s o f t h i s t y p e . H i n d m a n
1 2 ] , P u l l i a m a n d S t e g e r 3 ] a n d F l o r e s e t . a l . 1 3 ] h a v e i n v e s t i g a t e d t h i s a r e a f o r a
v a r i e t y o f n i t e d i e r e n c e f o r m u l a t i o n s .
T h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s w r i t t e n i n g e n e r a l i z e d c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e s a r e
@
b
Q + @
b
E + @
b
F = R e
; 1
@
b
E
v
+ @
b
F
v
] ( 3 1 2 )
w h e r e
b
Q = J
; 1
2
6
4
u
v
e
3
7
5
b
E = J
; 1
2
6
4
U
u U +
x
p
v U +
y
p
U ( e + p ) ;
t
p
3
7
5
b
F = J
; 1
2
6
4
V
u V +
x
p
v V +
y
p
V ( e + p ) ;
t
p
3
7
5
( 3 1 3 a )
w i t h
U =
t
+
x
u +
y
v V =
t
+
x
u +
y
v ( 3 1 3 b )
t h e C o n t r a v a r i a n t v e l o c i t i e s . T h e v i s c o u s u x t e r m s a r e
b
E
v
= J
; 1
(
x
E
v
+
y
F
v
)
a n d
b
F
v
= J
; 1
(
x
E
v
+
y
F
v
)
T h e s t r e s s t e r m s , s u c h a s
x x
a r e a l s o t r a n s f o r m e d i n t e r m s o f t h e a n d
1 0
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d e r i v a t i v e s w h e r e
x x
= ( 4 (
x
u
+
x
u
) ; 2 (
y
v
+
y
v
) ) = 3
x y
= (
y
u
+
y
u
+
x
v
+
x
v
)
y y
= ( ; 2 (
x
u
+
x
u
) + 4 (
y
v
+
y
v
) ) = 3
f
4
= u
x x
+ v
x y
+ P r
; 1
( ; 1 )
; 1
(
x
@
a
2
+
x
@
a
2
)
g
4
= u
x y
+ v
y y
+ P r
; 1
( ; 1 )
; 1
(
y
@
a
2
+
y
@
a
2
)
( 3 1 4 )
w i t h t e r m s s u c h a s u
x
e x p a n d e d b y c h a i n r u l e .
I V T h i n - L a y e r A p p r o x i m a t i o n
I n h i g h R e y n o l d s n u m b e r v i s c o u s o w s t h e e e c t s o f v i s c o s i t y a r e c o n c e n t r a t e d
n e a r r i g i d b o u n d a r i e s a n d i n w a k e r e g i o n s . T y p i c a l l y i n c o m p u t a t i o n s w e o n l y h a v e
e n o u g h g r i d p o i n t s a v a i l a b l e t o u s ( d u e t o c o m p u t e r s t o r a g e l i m i t s ) t o c o n c e n t r a t e
g r i d l i n e s n e a r t h e r i g i d s u r f a c e s . T h e r e s u l t i n g g r i d s y s t e m s u s u a l l y h a v e n e g r i d
s p a c i n g i n d i r e c t i o n s n e a r l y n o r m a l t o t h e s u r f a c e s a n d c o a r s e g r i d s p a c i n g a l o n g
t h e s u r f a c e , s e e F i g . 2 .
F i g u r e 2 . T h i n V i s c o u s L a y e r N e a r B o d y S u r f a c e .
E v e n t h o u g h w e m a y p r o g r a m t h e f u l l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , t h e v i s c o u s
t e r m s a s s o c i a t e d w i t h d e r i v a t i v e s a l o n g t h e b o d y w i l l n o t b e r e s o l v e d a n d i n m o s t
c a s e s f o r a t t a c h e d a n d m i l d l y s e p a r a t e d o w s t h e s e t e r m s a r e n e g l i g i b l e . T h e t e r m s
i n t h e n e a r n o r m a l w i l l b e r e s o l v e d f o r s u c i e n t l y n e g r i d s p a c i n g a n d t h e s e a r e
s u b s t a n t i a l t e r m s .
1 1
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I n b o u n d a r y l a y e r t h e o r y , a p p r o p r i a t e s c a l i n g a r g u m e n t s s h o w t h a t s t r e a m w i s e
c o m p o n e n t s o f t h e v i s c o u s t e r m s c a n b e n e g l e c t e d r e l a t i v e t o t h e n o r m a l t e r m s . W e
r e l y u p o n s i m i l a r a r g u m e n t s a s a j u s t i c a t i o n f o r t h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n .
T h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n r e q u i r e s t h a t
1 . A l l b o d y s u r f a c e s b e m a p p e d o n t o c o o r d i n a t e s u r f a c e s . S p e c i c a l l y , = c o n s t a n t
c o o r d i n a t e s u r f a c e s , s e e F i g . 1 .
2 . G r i d s p a c i n g i s c l u s t e r e d t o t h e b o d y s u r f a c e s s u c h t h a t s u c i e n t r e s o l u t i o n f o r
a p a r t i c u l a r R e y n o l d s n u m b e r i s o b t a i n e d . ( A t l e a s t o n e o r t w o g r i d p o i n t s i n
t h e s u b l a y e r ) .
3 . A l l t h e v i s c o u s d e r i v a t i v e s i n t h e d i r e c t i o n a r e n e g l e c t e d , w h i l e t h e t e r m s i n
t h e d i r e c t i o n a r e r e t a i n e d . A l l o f t h e i n v i s c i d t e r m s a r e u s e d .
T h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n i s s i m i l a r i n p h i l o s o p h y b u t n o t t h e s a m e a s t h e
b o u n d a r y l a y e r t h e o r y . T h e n o r m a l m o m e n t u m e q u a t i o n i s s o l v e d a n d p r e s s u r e c a n
v a r y t h r o u g h t h e b o u n d a r y l a y e r .
T h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n c a n b r e a k d o w n f o r l o w R e y n o l d s n u m b e r s a n d
i n r e g i o n s o f m a s s i v e o w s e p a r a t i o n . I t i s n o t a n e c e s s a r y s t e p i n t h e d e v e l o p m e n t
o f t h e e q u a t i o n s a n d n u m e r i c a l a l g o r i t h m . T h e f u l l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e
i n c o r p o r a t e d i n c a s e s w h e r e s u c i e n t r e s o l u t i o n w a s p r o v i d e d a n d t h e p h y s i c a l
s i t u a t i o n w a r r a n t e d i t . T h e t h i n l a y e r N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s h a v e b e e n w i d e l y
u s e d f o r a v a r i e t y o f a p p l i c a t i o n s .
4 . 1 T h i n - L a y e r E q u a t i o n s
A p p l y i n g t h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n t o E q s . ( 3 . 1 2 ) , ( 3 . 1 3 ) a n d E q . ( 3 . 1 4 ) ,
w h e r e a l l t h e v i s c o u s t e r m s a s s o c i a t e d w i t h d e r i v a t i v e s a r e n e g l e c t e d w e o b t a i n
@
b
Q + @
b
E + @
b
F = R e
; 1
@
b
S ( 4 1 )
w h e r e
b
S = J
; 1
2
6
4
0
x
m
1
+
y
m
2
x
m
2
+
y
m
3
x
( u m
1
+ v m
2
+ m
4
) +
y
( u m
2
+ v m
3
+ m
5
)
3
7
5
( 4 2 a )
w i t h
m
1
= ( 4
x
u
; 2
y
v
) = 3
m
2
= (
y
u
+
x
v
)
m
3
= ( ; 2
x
u
+ 4
y
v
) = 3
m
4
= P r
; 1
( ; 1 )
; 1
x
@
( a
2
)
m
5
= P r
; 1
( ; 1 )
; 1
y
@
( a
2
)
( 4 2 b )
1 2
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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4 . 2 T u r b u l e n c e M o d e l
T h e v e r y p o l u l a r a n d w i d e l y u s e d B a l d w i n a n d L o m a x 1 4 ] t u r b u l e n c e m o d e l
h a s b e e n t h e m a i n w o r k h o r s e f o r m o s t c o m p u t a t i o n a l e o r t s , a t l e a s t u n t i l r e c e n t l y
c i r c a 1 9 9 0 . I t i s a n a l g e b r a i c m i x i n g l e n g t h t w o - l a y e r m o d e l i n c l u d e d t o a p p r o x i m a t e
t h e e e c t o f t u r b u l e n c e . T h e i n n e r l a y e r i s g o v e r n e d b y t h e P r a n d t l m i x i n g l e n g t h
w i t h V a n D r i e s t d a m p i n g , a n d t h e o u t e r l a y e r f o l l o w s t h e C l a u s e r a p p r o x i m a t i o n .
C o m p u t e d v o r t i c i t y i s u s e d i n d e n i n g t h e r e f e r e n c e m i x i n g l e n g t h r e q u i r e d f o r t h e
o u t e r l a y e r . T h e t u r b u l e n c e m o d e l i s d e t a i l e d b y B a l d w i n a n d L o m a x 1 4 ] a n d w a s
d e s i g n e d s p e c i c a l l y f o r u s e w i t h t h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n . T h e m o d e l i s m o s t
a p p r o p r i a t e t o a t t a c h e d a n d m i l d l y s e p a r a t e d b o u n d a r y l a y e r s . N o a t t e m p t i s m a d e
t o m o d e l w a k e r e g i o n s a n d m a s s i v e l y s e p a r a t e d o w s . T h e m o d e l i s u s e d i n b o t h
t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n s w i t h v e r y l i t t l e m o d i c a t i o n . I t h a s b e e n v e r y s u c c e s s f u l
f o r c o m p u t i n g b o u n d a r y l a y e r g r o w t h , s h o c k - b o u n d a r y l a y e r i n t e r a c t i o n , s e p a r a t i o n
p o i n t s o r l i n e s a n d o t h e r b o u n d a r y l a y e r p r o p e r t i e s .
M o r e m o d e r n t u r b u l e n c e m o d e l s i n c l u d e t h e J o h n s o n - K i n g m o d e l x x ] , t h e o n e
e q u a t i o n s m o d e l s o f B a l d w i n a n d B a r t h x x ] a n d S p a l a r t a n d A l m a r a s x x ] . T h e s e
m o d e l s a r e m o r e c o m p l i c a t e d t h a n B a l d w i n a n d L o m a x , b u t h a v e b e e n s h o w n t o
b e m o r e a c c u a t e a n d a p p l i c a b l e t o s e p a r a t e d a n d w a k e s o w s . A w i d e v a r i e t y o f
t w o e q u a t i o n t u r b u l e n c e m o d e l s a r e a v a i l a b l e , ( e . g . x x x x x x x x ] ) a n d a s o n e q u i c k l y
n d s o u t i n t h i s a r e a , n o s i n g l e m o d e l s e e m s u n i v e r s a l o r c o m p l e t e l y a d e q u a t e .
O n e a s p e c t o f u s i n g t u r b u l e n c e m o d e l s w h i c h i s o f t e n o v e r l o o k e d i s t h a t a d e q u a t e
r e s o l u t i o n i s a l w a y s r e q u i r e d t o g e t r e a s o n a b l e r e s u l t s r e g u a r d l e s s o f t h e t u r b u l e n c e
m o d e l e m p l o y e d . T y p i c a l l y , t h e i n a c c u r a c y o r i n a d e q u a c y o f a s o l u t i o n i s n o t t h e
f a u l t o f t h e t u r b u l e n c e m o d e l , b u t r a t h e r a l a c k o f p r o p e r r e s o l u t i o n i n t h e v i s c o u s
a n d e v e n i n v i s c i d r e g i o n s o f t h e o w e l d .
1 3
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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V . N u m e r i c a l A l g o r i t h m
T h e r e a r e a n u m b e r o f c o n s i d e r a t i o n s t o w e i g h w h e n c h o o s i n g a n u m e r i c a l a l -
g o r i t h m t o a p p l y t o a s e t o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . I f w e r e s t r i c t o u r s e l v e s
t o n i t e d i e r e n c e s c h e m e s t h e n t h e p o s s i b i l i t i e s a r e n a r r o w e d s o m e w h a t t o t h e t w o
c l a s s i c a l a p p r o a c h e s f o r t i m e i n t e g r a t i o n , e x p l i c i t a n d i m p l i c i t t e c h n i q u e s . T h e m e r -
i t s o f e i t h e r o f t h e s e t w o h a v e b e e n e x t e n s i v e l y d i s c u s s e d i n t h e l i t e r a t u r e . E x p l i c i t
m e t h o d s t y p i c a l l y r e q u i r e l e s s c o m p u t a t i o n a l w o r k a n d a r e s i m p l e r b o t h i n d e r i v a -
t i o n a n d a p p l i c a t i o n . I m p l i c i t m e t h o d s , w h i l e c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e , h a v e l e s s
s t r i n g e n t s t a b i l i t y b o u n d s ( c l a s s i c a l s t a b i l i t y a n a l y s i s s h o w s u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y
b u t i n p r a c t i c e o n n o n l i n e a r p r o b l e m s b o u n d s a r e e n c o u n t e r e d ) .
I m p l i c i t n u m e r i c a l s c h e m e s a r e u s u a l l y c h o s e n b e c a u s e w e w i s h t o o b t a i n s o l u -
t i o n s w h i c h r e q u i r e n e g r i d s p a c i n g f o r n u m e r i c a l r e s o l u t i o n , a n d w e d o n o t w a n t
t o l i m i t t h e t i m e s t e p s b y e m p l o y i n g a c o n d i t i o n a l l y s t a b l e e x p l i c i t s c h e m e . E x p l i c i t
s c h e m e s a r e v e r y u s e f u l a n d s c h e m e s s u c h a s M a c C o r m a c k ' s e x p l i c i t a l g o r i t h m 4 ]
h a v e s e n n a l o t o f u s e a n d a r e e v e n p o p u l a r i n w i d e u s e t o d a y . T h e e x t r a w o r k
r e q u i r e d f o r a n i m p l i c i t s c h e m e i s u s u a l l y o s e t b y t h e a d v a n t a g e s o b t a i n e d b y t h e
i n c r e a s e d s t a b i l i t y l i m i t s , a n d i n g e n e r a l i m p l i c i t s c h e m e s h a v e b e e n v e r y u s e f u l a n d
s u c c e s s f u l f o r a v a r i e t y o f i n v i s c i d a n d v i s c o u s o w e l d c a l c u l a t i o n s .
W i t h t h e a d v e n t o f h i g h s p e e d v e c t o r a n d p a r a l l e l p r o c e s s o r s o n e m u s t a l s o c o n -
s i d e r t h e d e g r e e t o w h i c h a c e r t a i n a l g o r i t h m c a n b e v e c t o r i z e d / p a r a l l e l i z e d w h e n
c h o o s i n g a s c h e m e . A s a r u l e e x p l i c i t s c h e m e s a r e m o r e e a s i l y v e c t o r i z e d / p a r a l l e l i z e d
t h a n i m p l i c i t s c h e m e s . B u t i m p l i c i t s c h e m e s c a n b e f u l l y v e c t o r i z e d a n d h a v e
b e e n s u c e s s f u l l y e m p l o y e d o n p a r a l l e l m a c h i n e s . T h i s r e q u i r e s t h o u g h a s u b s t a n t i a l
a m o u n t o f t e m p o r a r y s t o r a g e a n d a c o m m i t m e n t t o t h e d e t a i l s o f d a t a m a n a g e m e n t ,
s e e f o r i n s t a n c e , L o m a x a n d P u l l i a m 1 5 ] .
A n o t h e r c o n s i d e r a t i o n i s t h e q u e s t i o n o f t i m e a c c u r a c y v e r s e s n o n - t i m e - a c c u r a t e
s t e a d y s t a t e i t e r a t i o n . F o r u n s t e a d y , t r a n s i e n t p r o b l e m s w e w i s h t o e m p l o y t i m e
a c c u r a t e m e t h o d s , i n i t i a l i z e t h e o w w i t h s o m e r e a l i z a b l e s t a t e a n d i n t e g r a t e f o r -
w a r d i n t i m e w i t h t i m e s t e p s c o m m e n s u r a t e w i t h t h e u n s t e a d y p h e n o m e n a w h i c h
i s b e i n g c a l c u l a t e d . B o t h i m p l i c i t a n d e x p l i c i t m e t h o d s a r e c a p a b l e o f c o m p u t i n g
t i m e a c c u r a t e l y . I n s t e a d y s t a t e c a l c u l a t i o n w e w i s h t o i n t e g r a t e f r o m s o m e a r b i -
t r a r y s t a t e t o t h e a s y m p t o t i c s o l u t i o n i n a n y m a n n e r w h i c h w i l l g e t u s t h e r e i n t h e
l e a s t a m o u n t o f c o m p u t a t i o n a l w o r k . N o n - t i m e - a c c u r a t e t e c h n i q u e s ( f o r i n s t a n c e
r e l a x a t i o n m e t h o d s , v a r i a b l e t i m e s t e p s , m a t r i x p r e c o n d i t i o n i n g , l a r g e t i m e s t e p s )
c a n b e e m p l o y e d a s l o n g a s t h e y a r e c o n v e r g e n t a n d d o n o t d i s t o r t t h e s t e a d y s t a t e
e q u a t i o n s s o a s t o p r o d u c e i n a c c u r a t e r e s u l t s . T h e m e t h o d s p r e s e n t e d b e l o w c a n b e
e m p l o y e d e i t h e r f o r t i m e a c c u r a t e c a l c u l a t i o n s o r f o r s t e a d y s t a t e r a p i d l y c o n v e r g e n t
s o l u t i o n s .
T h e a l g o r i t h m t o b e p r e s e n t e d i s a n i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n n i t e
d i e r e n c e s c h e m e w h i c h c a n b e e i t h e r r s t o r s e c o n d o r d e r a c c u r a t e i n t i m e . L o c a l
t i m e l i n e a r i z a t i o n s a r e a p p l i e d t o t h e n o n l i n e a r t e r m s a n d a n a p p r o x i m a t e f a c t o r -
1 4
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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i z a t i o n o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l i m p l i c i t o p e r a t o r i s u s e d t o p r o d u c e l o c a l l y o n e -
d i m e n s i o n a l o p e r a t o r s . T h i s r e s u l t s i n b l o c k t r i d i a g o n a l m a t r i c e s , w h i c h a r e e a s y
t o s o l v e . T h e s p a t i a l d e r i v a t i v e t e r m s a r e a p p r o x i m a t e d w i t h s e c o n d o r d e r c e n t r a l
d i e r e n c e s . E x p l i c i t a n d i m p l i c i t a r t i c i a l d i s s i p a t i o n t e r m s a r e a d d e d t o a c h i e v e
n o n l i n e a r s t a b i l i t y . A s p a t i a l l y v a r i a b l e t i m e s t e p i s u s e d t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e
f o r s t e a d y - s t a t e c a l c u l a t i o n s . A d i a g o n a l f o r m o f t h e a l g o r i t h m i s a l s o d i s c u s s e d ,
w h i c h p r o d u c e s a c o m p u t a t i o n a l l y e c i e n t m o d i c a t i o n o f t h e s t a n d a r d a l g o r i t h m
w h e r e t h e d i a g o n a l i z a t i o n r e s u l t s i n s c a l a r t r i d i a g o n a l o r p e n t a d i a g o n a l o p e r a t o r s
i n p l a c e o f t h e b l o c k o p e r a t o r s . T h i s d i a g o n a l f o r m o f t h e a l g o r i t h m p r o d u c e s a
r o b u s t , r a p i d a n d v e r s a t i l e s c h e m e f o r s t e a d y s t a t e c a l c u l a t i o n s . W e a l s o d i s c u s s
t h e d e t a i l s o f a m a t r i x r e d u c t i o n s c h e m e , d u e t o B a r t h a n d S t e g e r 1 6 ] w h e r e t h e
b l o c k m a t r i c e s o f t h e s t a n d a r d i m p l i c i t s c h e m e a r e r e d u c e d t o s e t s o f l o w e r r a n k
m a t r i c e s ( e . g . t w o s c a l a r s a n d a 2 2 i n 2 - D ) .
5 . 1 I m p l i c i t T i m e D i e r e n c i n g
C o n s i d e r E q . ( 4 . 1 ) ( t h e d e r i v a t i o n w i l l b e d o n e f o r t h e t h i n l a y e r e q u a t i o n s b u t
i s e a s i l y e x t e n d e d t o t h e f u l l N a v i e r - S t o k e s ) a n d a p p l y a n i m p l i c i t t h r e e p o i n t t i m e
d i e r e n c i n g s c h e m e o f t h e f o r m , W a r m i n g a n d B e a m 1 7 ]
b
Q
n
=
# t
1 + '
@
@ t
b
Q
n
+
t
1 + '
@
@ t
b
Q
n
+
'
1 + '
b
Q
n ; 1
+ O
( # ;
1
2
; ' ) t
2
+ t
3
( 5 1 )
w h e r e
b
Q
n
=
b
Q
n + 1
;
b
Q
n
a n d
b
Q
n
=
b
Q ( n t ) T h e p a r a m e t e r s # a n d ' c a n b e
c h o s e n t o p r o d u c e d i e r e n t s c h e m e s o f e i t h e r r s t o r s e c o n d o r d e r a c c u r a c y i n t i m e .
F o r # = 1 a n d ' = 0 , w e h a v e t h e r s t o r d e r E u l e r i m p l i c i t s c h e m e , a n d f o r
# = 1 a n d ' = 1 = 2 , t h e t h r e e p o i n t i m p l i c i t s c h e m e .
L e t u s r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e r s t o r d e r i n t i m e s c h e m e ( a l t h o u g h a l l o f t h e
s u b s e q u e n t d e v e l o p m e n t c a n e a s i l y b e e x t e n d e d t o a n y s e c o n d o r d e r s c h e m e f o r m e d
f r o m E q . ( 5 . 1 ) ) . A p p l y i n g E q . ( 5 . 1 ) t o E q . ( 4 . 1 ) , r e s u l t s i n
b
Q
n + 1
;
b
Q
n
+ h
b
E
n + 1
+
b
F
n + 1
; R e
; 1
b
S
n + 1
= 0 ( 5 2 )
w i t h h = t
1 5
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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5 . 2 L o c a l T i m e L i n e a r i z a t i o n s
W e w i s h t o s o l v e E q . ( 5 . 2 ) f o r
b
Q
n + 1
g i v e n
b
Q
n
. T h e u x v e c t o r s
b
E ,
b
F a n d
b
S a r e n o n l i n e a r f u n c t i o n s o f
b
Q a n d t h e r e f o r e E q . ( 5 . 2 ) i s n o n l i n e a r i n
b
Q
n + 1
. T h e
n o n l i n e a r t e r m s a r e l i n e a r i z e d i n t i m e a b o u t
b
Q
n
b y a T a y l o r s e r i e s s u c h t h a t
b
E
n + 1
=
b
E
n
+
b
A
n
b
Q
n
+ O ( h
2
)
b
F
n + 1
=
b
F
n
+
b
B
n
b
Q
n
+ O ( h
2
)
R e
; 1
b
S
n + 1
= R e
; 1
h
b
S
n
+
c
M
n
b
Q
n
)
i
+ O ( h
2
)
( 5 3 )
w h e r e
b
A = @
b
E = @
b
Q ,
b
B = @
b
F = @
b
Q a n d
c
M = @
b
S = @
b
Q a r e t h e u x J a c o b i a n s a n d
b
Q
n
i s O ( h )
N o t e t h a t t h e l i n e a r i z a t i o n s a r e s e c o n d o r d e r a c c u r a t e a n d s o i f a s e c o n d o r -
d e r t i m e s c h e m e h a d b e e n c h o s e n t h e l i n e a r i z a t i o n s w o u l d n o t d e g r a d e t h e t i m e
a c c u r a c y .
T h e J a c o b i a n m a t r i c e s a r e
b
A o r
b
B =
2
6
4
t
x
y
0
; u +
x
2
t
+ ; ( ; 2 )
x
u
y
u ; ( ; 1 )
x
v ( ; 1 )
x
; v +
y
2
x
v ; ( ; 1 )
y
u
t
+ ; ( ; 2 )
y
v ( ; 1 )
y
2
; a
1
]
x
a
1
; ( ; 1 ) u
y
a
1
; ( ; 1 ) v +
t
3
7
5
( 5 4 )
w i t h a
1
= ( e = ) ;
2
, =
x
u +
y
v
2
=
1
2
( ; 1 ) ( u
2
+ v
2
) , a n d = o r
f o r
b
A o r
b
B , r e s p e c t i v e l y .
T h e v i s c o u s u x J a c o b i a n i s
c
M = J
; 1
2
6
4
0 0 0 0
m
2 1
1
@
(
; 1
)
2
@
(
; 1
) 0
m
3 1
2
@
(
; 1
)
3
@
(
; 1
) 0
m
4 1
m
4 2
m
4 3
m
4 4
3
7
5
J ( 5 5 a )
w h e r e
m
2 1
= ;
1
@
( u = ) ;
2
@
( v = )
m
3 1
= ;
2
@
( u = ) ;
3
@
( v = )
m
4 1
=
4
@
; ( e =
2
) + ( u
2
+ v
2
) =
;
1
@
( u
2
= ) ; 2
2
@
( u v = )
;
3
@
( v
2
= )
m
4 2
= ;
4
@
( u = ) ; m
2 1
m
4 3
= ;
4
@
( v = ) ; m
3 1
m
4 4
=
4
@
(
; 1
)
1
= ( 4 = 3 )
x
2
+
y
2
]
2
= ( = 3 )
x
y
3
=
x
2
+ ( 4 = 3 )
y
2
]
4
= P r
; 1
(
x
2
+
y
2
)
( 5 5 b )
1 6
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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A p p l y i n g E q s . ( 5 . 3 ) t o E q . ( 5 . 2 ) a n d c o m b i n i n g t h e
b
Q
n
t e r m s p r o d u c e s t h e
\ d e l t a f o r m " o f t h e a l g o r i t h m
h
I + h @
b
A
n
+ h @
b
B
n
; R e
; 1
h @
c
M
i
b
Q
n
=
; h
@
b
E
n
+ @
b
F
n
; R e
; 1
@
b
S
n
( 5 6 )
T h i s i s t h e u n f a c t o r e d f o r m o f t h e b l o c k a l g o r i t h m . W e s h a l l c a l l t h e r i g h t h a n d
s i d e o f E q . ( 5 . 6 ) t h e \ e x p l i c i t " p a r t a n d t h e l e f t h a n d s i d e t h e \ i m p l i c i t " p a r t o f t h e
a l g o r i t h m .
5 . 3 S p a c e D i e r e n c i n g
T h e n e x t s t e p i s t o t a k e t h e c o n t i n u o u s d i e r e n t i a l o p e r a t o r s @
a n d @
a n d
a p p r o x i m a t e t h e m w i t h n i t e d i e r e n c e o p e r a t o r s o n a d i s c r e t e m e s h .
I n t r o d u c i n g a g r i d o f m e s h p o i n t s ( j k ) , v a r i a b l e s a r e d e n e d a t m e s h p o i n t s
a s
u
j k
: = u ( j k ) ( 5 7 )
T h e g r i d s p a c i n g i n t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s c h o s e n t o b e u n i t y s o t h a t
= 1 a n d = 1
S e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r e n c e o p e r a t o r s c a n b e u s e d w h e r e f o r e x a m p l e ,
u
j k
= ( u
j + 1 k
; u
j ; 1 k
) = 2 a n d
u
j k
= ( u
j k + 1
; u
j k ; 1
) = 2 ( 5 8 a )
F o r t h e v i s c o u s d e r i v a t i v e s t h e t e r m s t a k e t h e f o r m
@
(
j k
@
j k
) ( 5 8 b )
w h i c h i s d i e r e n c e d i n t h e c o m p a c t t h r e e p o i n t f o r m a s
(
j k + 1
+
j k
) (
j k + 1
;
j k
) ; (
j k
+
j k ; 1
) (
j k
;
j k ; 1
) ] = 2 ( 5 8 c )
T h e c h o i c e o f t h e t y p e a n d o r d e r o f t h e s p a t i a l d i e r e n c i n g i s i m p o r t a n t b o t h
i n t e r m s o f a c c u r a c y a n d s t a b i l i t y . I n m o s t a p p l i c a t i o n s s e c o n d o r d e r a c c u r a c y h a s
p r o v e n t o b e s u c i e n t p r o v i d e d t h e g r i d r e s o l u t i o n i s r e a s o n a b l e . T h e c h o i c e s f o r
d i e r e n c i n g t y p e i n c l u d e c e n t r a l a n d u p w i n d o p e r a t o r s . T h e s e c h o i c e s a r e d i c t a t e d
b y s t a b i l i t y , a n d i n t h e n e x t s e c t i o n w e d i s c u s s w h a t m o t i v a t e s c e r t a i n c h o i c e s .
1 7
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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5 . 4 S t a b i l i t y A n a l y s i s o f D i e r e n c e F o r m s
T h e c h o i c e o f t h e t y p e o f d i e r e n c e f o r m s t o u s e f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s c a n
b e j u s t i e d b y a l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s . F o r s i m p l i c i t y , l e t u s e x a m i n e a o n e
d i m e n s i o n a l c o u p l e d s y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n s o f t h e f o r m
Q
t
+ A Q
x
= 0 ( 5 9 )
w h e r e A i s a n a l o g o u s t o t h e u x J a c o b i a n m a t r i x . A s s u m e t h a t A h a s a c o m p l e t e
s e t o f r e a l e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s ( a p r o p e r t y t h a t t h e E u l e r u x J a c o b i a n s
h a v e ) t h e n
= X
; 1
A X ( 5 1 0 )
M u l t i p l y i n g E q . ( 5 . 9 ) b y X
; 1
a n d c o m b i n i n g t e r m s u s i n g E q . ( 5 . 1 0 ) w e h a v e
X
; 1
Q
t
+ X
; 1
A X X
; 1
Q
x
= W
t
+ W
x
= 0 ( 5 1 1 )
w i t h W = X
; 1
Q . S i n c e A i s l i n e a r a n d c o n s t a n t t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x X
; 1
c a n
b e b r o u g h t t h r o u g h t h e d e r i v a t i v e s .
T h e r e s u l t i n g s y s t e m i s n o w u n c o u p l e d a n d w e c a n e x a m i n e t h e r e p r e s e n t a t i v e
m o d e l e q u a t i o n
w
t
+ w
x
= 0 ( 5 1 2 )
w h e r e r e p r e s e n t s a n e i g e n v a l u e o f A
W e s h a l l a p p l y d i e r e n t n i t e d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e s p a t i a l d e r i v a -
t i v e a n d u s e F o u r i e r a n a l y s i s t o d e t e r m i n e c o n d i t i o n s o n f o r s t a b i l i t y .
I f t h e s e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r e n c e o p e r a t o r i s a p p l i e d t o t h e m o d e l e q u a t i o n
o n e g e t s
( w
j
)
t
+ ( w
j + 1
; w
j ; 1
) = ( 2 x ) = 0 ( 5 1 3 )
w h e r e j i s t h e s p a t i a l i n d e x . T h i s i s t h e O D E ( o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n )
a p p r o a c h t o t h e a n a l y s i s , s i n c e n o w w e a r e d e a l i n g w i t h a s y s t e m o f O D E ' s .
C l a s s i c a l F o u r i e r a n a l y s i s c a n b e p e r f o r m e d b y a s s u m i n g p e r i o d i c b o u n d a r y
c o n d i t i o n s a n d a s o l u t i o n o f t h e f o r m
w ( x
j
t ) = e
t
e
i j x
( 5 1 4 )
w i t h i =
p
; 1 a n d x = j x
S u b s t i t u t i n g t h i s i n t o E q . ( 5 . 1 2 ) y i e l d s
e
t
e
i j x
+
e
t
e
i ( j + 1 ) x
; e
t
e
i ( j ; 1 ) x
= ( 2 x ) = 0 ( 5 1 5 )
T h e s t a b i l i t y o f t h e O D E i s d e p e n d e n t o n t h e s i g n o f < ( ) ( t h e r e a l p a r t ) .
O b v i o u s l y , i f < ( ) > 0 t h e n w ( x t ) w i l l g r o w u n b o u n d e d l y w i t h t i m e .
1 8
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F o r E q . ( 5 . 1 5 )
= ;
;
e
i x
; e
; i x
= ( 2 x ) = ; i s i n ( x ) = x ( 5 1 6 )
S i n c e i s p u r e i m a g i n a r y ( < ( ) = 0 ) t h e s c h e m e i s s t a b l e i n t h e O D E s e n s e i n d e -
p e n d e n t o f t h e s i g n o f
I f o n e - s i d e d d i e r e n c e f o r m u l a s a r e e m p l o y e d , c o n d i t i o n s o n a r i s e . F o r s i m -
p l i c i t y , l e t u s c o n s i d e r r s t o r d e r o n e - s i d e d d i e r e n c e s .
A p p l y i n g f o r w a r d d i e r e n c i n g t o t h e m o d e l E q . ( 5 . 1 2 ) g i v e s
( w
j
)
t
+ ( w
j + 1
; w
j
) = x = 0 ( 5 1 7 )
F o u r i e r a n a l y s i s p r o d u c e s
+
;
e
i x
; 1
= x = 0 ( 5 1 8 )
s o t h a t ,
=
;
1 ; e
i x
= x = 1 ; c o s ( x ) + i s i n ( x ) ] = x ( 5 1 9 )
S i n c e c o s ( x ) i s b o u n d e d b y 1 , < ( ) w i l l b e l e s s t h a n z e r o i f < 0 S o
f o r f o r w a r d s p a t i a l d i e r e n c i n g m u s t b e l e s s t h a n z e r o f o r s t a b i l i t y . A s i m i l a r
a r g u m e n t f o r r s t o r d e r b a c k w a r d d i e r e n c i n g s h o w s t h a t > 0 f o r s t a b i l i t y . I t
c a n b e s h o w n t h a t f o r h i g h e r o r d e r c e n t r a l a n d o n e s i d e d d i e r e n c e s t h e s t a b i l i t y
r e q u i r e m e n t s o n r e m a i n t h e s a m e .
T h e s e r e s u l t s h a v e a d i r e c t a p p l i c a t i o n t o t h e c h o i c e o f d i e r e n c i n g f o r t h e
E u l e r e q u a t i o n s . A s w e s h a l l s e e b e l o w t h e i n v i s c i d u x J a c o b i a n s h a v e e i g e n v a l u e s
( e q u i v a l e n t t o ) w i t h b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e s i g n . I n t h e i r b a s i c f o r m t h e
o n l y s t a b l e s p a t i a l d i e r e n c i n g i s c e n t r a l d i e r e n c i n g , b u t a s w e s h a l l s e e w h e n u x
s p l i t t i n g i s u s e d o r w h e n t h e e i g e n v a l u e s c a n b e r e s t r i c t e d t o o n e s i g n t h e n u p w i n d
d i e r e n c i n g c a n b e e m p l o y e d . A c l a s s o f u p w i n d s c h e m e s s h a l l b e d i s c u s s e d i n
S e c t i o n 6 . 2 .
5 . 5 M a t r i x F o r m o f U n f a c t o r e d A l g o r i t h m
W e n o w t u r n t o e x a m i n i n g t h e m a t r i c e s w e g e t w h e n d i e r e n c e f o r m u l a s a r e
a p p l i e d t o t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m . I t i s a l w a y s i n s t r u c t i v e t o e x a m i n e t h e m a t r i x
s t r u c t u r e o f a n y n i t e d i e r e n c e e q u a t i o n . W i t h t h e a p p l i c a t i o n o f c e n t r a l d i e r e n c e s
t o E q s . ( 5 . 6 ) i t i s e a s y t o s h o w t h a t t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m p r o d u c e s a l a r g e b a n d e d
s y s t e m o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s . L e t t h e m e s h s i z e i n b e J m a x a n d i n K m a x
1 9
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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T h e n t h e b a n d e d m a t r i x i s a ( J m a x K m a x 4 ) ( J m a x K m a x 4 ) s q u a r e m a t r i x
o f t h e f o r m
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
] ] ]
] ] ] ]
] ] ] ]
] ] ]
] ] ] ]
; B ; A I A B
] ] ] ]
] ] ]
] ] ] ]
] ] ] ]
] ] ]
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
( 5 2 0 )
w h e r e t h e v a r i a b l e s h a v e b e e n o r d e r e d w i t h j r u n n i n g r s t a n d t h e n k
T h e m a t r i x i s s p a r s e b u t i t w o u l d b e v e r y e x p e n s i v e ( c o m p u t a t i o n a l l y ) t o s o l v e
t h e a l g e b r a i c s y s t e m . F o r i n s t a n c e , f o r a r e a s o n a b l e t w o - d i m e n s i o n a l c a l c u l a t i o n o f
t r a n s o n i c o w p a s t a n a i r f o i l w e c o u l d u s e a p p r o x i m a t e l y 8 0 p o i n t s i n t h e d i r e c t i o n
a n d 4 0 p o i n t s i n t h e d i r e c t i o n . T h e r e s u l t i n g a l g e b r a i c s y s t e m i s a 1 2 , 8 0 0 1 2 , 8 0 0
m a t r i x p r o b l e m t o b e s o l v e d a n d a l t h o u g h w e c o u l d t a k e a d v a n t a g e o f i t s b a n d e d
s p a r s e s t r u c t u r e i t w o u l d s t i l l b e v e r y c o s t l y i n t e r m s o f b o t h C P U t i m e a n d s t o r a g e .
5 . 6 A p p r o x i m a t e F a c t o r i z a t i o n
A s w e h a v e s e e n , t h e i n t e g r a t i o n o f t h e f u l l t w o - d i m e n s i o n a l o p e r a t o r c a n b e
v e r y e x p e n s i v e . O n e w a y t o s i m p l i f y t h e s o l u t i o n p r o c e s s i s t o i n t r o d u c e a n a p -
p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l o p e r a t o r i n t o t w o o n e - d i m e n s i o n a l
o p e r a t o r s . T h e i m p l i c i t s i d e o f E q . ( 5 . 6 ) c a n b e w r i t t e n a s
h
I + h
b
A
n
+ h
b
B
n
; h R e
; 1
c
M
n
i
b
Q
n
=
h
I + h
b
A
n
i h
I + h
b
B
n
; h R e
; 1
c
M
n
i
b
Q
n
; h
2
b
A
n
b
B
n
b
Q
n
+ h
2
R e
; 1
b
A
n
c
M
n
b
Q
n
( 5 2 1 )
N o t i n g t h a t
b
Q
n
i s O ( h ) , o n e s e e s t h a t t h e c r o s s t e r m s ( h
2
t e r m s ) a r e s e c o n d
o r d e r i n t i m e a n d c a n b e n e g l e c t e d w i t h o u t l o w e r e i n g t h e t i m e a c c u r a c y b e l o w
s e c o n d o r d e r .
2 0
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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T h e r e s u l t i n g f a c t o r e d f o r m o f t h e a l g o r i t h m i s
h
I + h
b
A
n
i h
I + h
b
B
n
; h R e
; 1
c
M
n
i
b
Q
n
=
; h
h
b
E
n
+
b
F
n
; R e
; 1
b
S
n
i ( 5 2 2 )
W e n o w h a v e t w o i m p l i c i t o p e r a t o r s e a c h o f w h i c h i s b l o c k t r i d i a g o n a l . T h e
s t r u c t u r e o f t h e b l o c k t r i d i a g o n a l m a t r i x i s
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
] ]
] ] ]
] ] ]
; A I A
] ] ]
] ] ]
] ]
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
( 5 2 3 )
N o t e t h a t t h e t h i n l a y e r i m p l i c i t v i s c o u s t e r m
c
M i s k e p t w i t h t h e f a c t o r .
S i n c e i t i s a t h r e e p o i n t s t e n c i l , i t w i l l n o t a e c t t h e t r i d i a g o n a l s t r u c t u r e . A l s o
w h e n v e c t o r i z a t i o n a n d p a r a l l i z a t i o n i s s u e s a r e c o n s i d e r e d t h e o n e d i m e n s i o n a l f o r m
o f t h e f a c t o r e d a l g o r i t h m w i l l b e a d v a n t a g e o u s .
T h e s o l u t i o n a l g o r i t h m n o w c o n s i s t s o f t w o o n e - d i m e n s i o n a l s w e e p s , o n e i n t h e
a n d o n e i n t h e d i r e c t i o n . T h e b l o c k m a t r i x s i z e i s n o w a t m o s t ( m a x J m a x K m a x ]
4 ) ( m a x J m a x K m a x ] 4 ) . E a c h s t e p r e q u i r e s t h e s o l u t i o n o f a l i n e a r s y s t e m
i n v o l v i n g a b l o c k t r i d i a g o n a l w h i c h i s s o l v e d b y b l o c k L U D ( l o w e r - u p p e r d e c o m p o -
s i t i o n ) . T h e r e s u l t i n g s o l u t i o n p r o c e s s i s m u c h m o r e e c o n o m i c a l t h a n t h e u n f a c t o r e d
a l g o r i t h m i n t e r m s o f c o m p u t e r s t o r a g e a n d C P U t i m e .
5 . 7 R e d u c e d F o r m s o f T h e I m p l i c i t A l g o r i t h m
E v e n t h o u g h t h e f a c t o r i z a t i o n h a s i m p r o v e d t h e e c i e n c y o f t h e b l o c k i m p l i c i t
a l g o r i t h m t h e m a j o r e x p e n s e o f t h e i m p l i c i t s c h e m e s t i l l r e s i d e s i n t h e b l o c k t r i d i -
a g o n a l i n v e r s i o n s . C o m p a r e d t o s t a n d a r d e x p l i c i t a l g o r i t h m s t h e i m p l i c i t s c h e m e
i s s t i l l c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e . T h e i n c r e a s e d s t a b i l i t y b o u n d s o f t h e i m p l i c i t
s c h e m e o s e t s s o m e o f t h i s d i s a d v a n t a g e e s p e c i a l l y f o r p r o b l e m s w h e r e r e n e d g r i d s
a r e u s e d . I n g e n e r a l , t h i s h o l d s t r u e f o r t i m e a c c u r a t e a p p l i c a t i o n s w h e r e m e s h
r e n e m e n t w o u l d u n d u l y r e s t r i c t t h e t i m e s t e p s f o r e x p l i c i t s c h e m e s , b u t d e v e l o p -
m e n t s i n m u l t i g r i d t e c h n i q u e s , s e e J e s p e r s e n 1 8 ] f o r a r e v i e w , a p p l i e d t o s t e a d y
s t a t e p r o b l e m s r e q u i r e s u s t o r e e x a m i n e t h e i m p l i c i t s c h e m e s . O n e w a y t o c a p t u r e
b a c k t h e a d v a n t a g e i s t o m a k e t h e i m p l i c i t s c h e m e l e s s c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e ,
2 1
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 23/99
w e w i l l d i s c u s s o t h e r w a y s , s u c h a s a c c e l e r a t e d c o n v e r g e n c e a n d i m p r o v e d a c c u r a c y ,
i n l a t e r s e c t i o n s .
T o i m p r o v e t h e e c i e n c y o f a n u m e r i c a l s c h e m e w e c a n m o d i f y o r s i m p l i f y t h e
a l g o r i t h m s o t h a t t h e c o m p u t a t i o n a l w o r k i s d e c r e a s e d . M o s t o f t h e c o m p u t a t i o n a l
w o r k f o r t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m i s t i e d t o t h e b l o c k t r i d i a g o n a l s o l u t i o n p r o c e s s .
O n e w a y t o r e d u c e t h a t w o r k w o u l d b e t o r e d u c e t h e b l o c k s i z e f o r t h e t r i d i a g o -
n a l s . T h i s c a n b e a c c o m p l i s h e d b y r e d u c i n g t h e e q u a t i o n s e t f r o m f o u r v a r i a b l e s
( d e n s i t y , x - m o m e n t u m , y - m o m e n t u m , a n d e n e r g y ) t o t h r e e v a r i a b l e s ( d e n s i t y a n d
t h e t w o m o m e n t u m ) b y a s s u m i n g c o n s t a n t t o t a l e n t h a l p y , H = ( e + p ) = = H
0
o r s i m i l a r t h e r m o d y n a m i c a p p r o x i m a t i o n s . T h e e n e r g y e q u a t i o n i s t h e n r e p l a c e b y
t h e t h e r m o d y n a m i c r e l a t i o n a n d t h e s i m p l i e d s e t o f e q u a t i o n s c a n b e s o l v e d . S u c h
a p p r o x i m a t i o n s c a n b e r e s t r i c t i v e i n t e r m s o f t h e p h y s i c a l s i t u a t i o n s w h e r e t h e y c a n
b e a p p l i e d .
5 . 7 a D i a g o n a l F o r m
T h e c o m p u t a t i o n a l w o r k c a n a l s o b e d e c r e a s e d b y i n t r o d u c i n g a d i a g o n a l i z a t i o n
o f t h e b l o c k s i n t h e i m p l i c i t o p e r a t o r s a s d e v e l o p e d b y P u l l i a m a n d C h a u s s e e 1 9 ] .
T h e e i g e n s y s t e m o f t h e u x J a c o b i a n s
b
A a n d
b
B a r e u s e d i n t h i s c o n s t r u c t i o n . F o r
n o w l e t s u s a g a i n r e s t r i c t o u r s e l v e s j u s t t o t h e E u l e r e q u a t i o n s , t h e a p p l i c a t i o n t o
t h e N a v i e r - S t o k e s i s d i s c u s s e d l a t e r .
T h e u x J a c o b i a n s
b
A a n d
b
B e a c h h a v e r e a l e i g e n v a l u e s a n d a c o m p l e t e s e t o f
e i g e n v e c t o r s . T h e r e f o r e , t h e J a c o b i a n m a t r i c e s c a n b e d i a g o n a l i z e d , s e e W a r m i n g ,
B e a m a n d H y e t t 2 0 ] ,
= T
; 1
b
A T
a n d
= T
; 1
b
B T
( 5 2 4 )
w i t h T
t h e m a t r i x w h o s e c o l u m n s a r e t h e e i g e n v e c t o r s o f
b
A a n d T
t h e c o r r e s p o n d -
i n g e i g e n v e c t o r m a t r i x f o r
b
B . T h e y a r e w r i t t e n o u t i n t h e A p p e n d i x .
H e r e w e t a k e t h e f a c t o r e d a l g o r i t h m i n d e l t a f o r m , E q . ( 5 . 2 2 ) a n d r e p l a c e
b
A
a n d
b
B w i t h t h e i r e i g e n s y s t e m d e c o m p o s i t i o n s .
h
T
T
; 1
+ h
T
T
; 1
i
T
T
; 1
+ h
;
T
T
; 1
Q
n
= t h e e x p l i c i t r i g h t h a n d s i d e o f E q ( 5 2 2 ) =
b
R
n
( 5 2 5 )
A t t h i s p o i n t E q . ( 5 . 2 2 ) a n d ( 5 . 2 5 ) a r e e q u i v a l e n t . A m o d i e d f o r m o f E q .
( 5 . 2 5 ) c a n b e o b t a i n e d b y f a c t o r i n g t h e T
a n d T
e i g e n v e c t o r m a t r i c e s o u t s i d e t h e
s p a t i a l d e r i v a t i v e t e r m s
a n d
. T h e e i g e n v e c t o r m a t r i c e s a r e f u n c t i o n s o f a n d
a n d t h e r e f o r e t h i s m o d i c a t i o n r e d u c e s t h e t i m e a c c u r a c y t o a t m o s t r s t o r d e r
i n t i m e , a s s h o w n i n 1 9 ] . T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s a r e
T
I + h
]
b
N I + h
] T
; 1
b
Q
n
=
b
R
n
( 5 2 6 )
2 2
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 24/99
w h e r e
b
N = T
; 1
T
, s e e A p p e n d i x .
T h e e x p l i c i t s i d e o f t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m ( t h e s t e a d y - s t a t e n i t e d i e r e n c e
e q u a t i o n s ) i s e x a c t l y t h e s a m e a s i n t h e o r i g i n a l a l g o r i t h m , E q . ( 5 . 2 2 ) . T h e m o d i -
c a t i o n s a r e r e s t r i c t e d t o t h e i m p l i c i t s i d e a n d s o i f t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m c o n v e r g e s ,
t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n w i l l b e i d e n t i c a l t o o n e o b t a i n e d w i t h t h e u n m o d i e d a l -
g o r i t h m . I n f a c t , l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s w o u l d s h o w t h a t t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m
h a s e x a c t l y t h e s a m e u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y a s t h e o r i g i n a l a l g o r i t h m . ( T h i s i s b e -
c a u s e t h e l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s a s s u m e s c o n s t a n t c o e c i e n t s a n d d i a g o n a l i z e s t h e
b l o c k s t o s c a l a r s , t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m t h e n r e d u c e s t o t h e u n m o d i e d a l g o r i t h m . )
T h e m o d i c a t i o n ( p u l l i n g t h e e i g e n v e c t o r m a t r i c e s o u t s i d e t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e s )
o f t h e i m p l i c i t o p e r a t o r d o e s a e c t t h e t i m e a c c u r a c y o f t h e a l g o r i t h m . I t r e d u c e s
t h e s c h e m e t o a t m o s t r s t o r d e r i n t i m e a n d a l s o g i v e s t i m e a c c u r a t e s h o c k c a l c u -
l a t i o n s a n o n c o n s e r v a t i v e f e a t u r e , i . e . , e r r o r s i n s h o c k s p e e d s a n d s h o c k j u m p s , s e e
1 9 ] . T h e s t e a d y - s t a t e i s i n f u l l c o n s e r v a t i o n l a w f o r m s i n c e t h e s t e a d y - s t a t e e q u a -
t i o n s a r e u n m o d i e d . A l s o , c o m p u t a t i o n a l e x p e r i m e n t s b y P u l l i a m a n d C h a u s s e e
1 9 ] h a v e s h o w n t h a t t h e c o n v e r g e n c e a n d s t a b i l i t y l i m i t s o f t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m
a r e s i m i l a r t o t h a t o f t h e u n m o d i e d a l g o r i t h m .
T h e d i a g o n a l a l g o r i t h m r e d u c e s t h e b l o c k t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n t o 4 4 m a t r i x
m u l t i p l i e s a n d s c a l a r t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n s . T h e o p e r a t i o n c o u n t a s s o c i a t e d w i t h
t h e i m p l i c i t s i d e o f t h e f u l l b l o c k a l g o r i t h m i s 4 1 0 m u l t i p l i e s , 3 5 6 a d d s , a n d 1 0
d i v i d e s , a t o t a l o f 7 7 6 o p e r a t i o n s , w h i l e t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m r e q u i r e s 2 3 3 m u l t i -
p l i e s , 1 2 5 a d d s , a n d 2 6 d i v i d e s o r 3 8 4 o p e r a t i o n s . A d d i n g i n t h e e x p l i c i t s i d e a n d
o t h e r o v e r h e a d s u c h a s I / O ( i n p u t / o u t p u t ) a n d i n i t i a l i z a t i o n , t h e o v e r a l l s a v i n g s i n
c o m p u t a t i o n a l w o r k c a n b e a s h i g h a s 4 0 % . I n f a c t t h e c o m p u t a t i o n a l w o r k c a n b e
f u r t h e r d e c r e a s e d b y n o t i n g t h a t t h e r s t t w o e i g e n v a l u e s o f t h e s y s t e m a r e i d e n t i c a l
( s e e A p p e n d i x ) . T h i s a l l o w s u s t o c o m b i n e t h e c o e c i e n t c a l c u l a t i o n s a n d p a r t o f
t h e i n v e r s i o n w o r k f o r t h e r s t t w o s c a l a r o p e r a t o r s .
T h e d i a g o n a l a l g o r i t h m a s p r e s e n t e d a b o v e i s r e a l l y o n l y r i g o r o u s l y v a l i d f o r t h e
E u l e r e q u a t i o n s . T h i s i s b e c a u s e w e h a v e n e g l e c t e d t h e i m p l i c i t l i n e a r i z a t i o n o f t h e
v i s c o u s u x
b
S
n
i n t h e i m p l i c i t o p e r a t o r f o r t h e d i r e c t i o n . T h e v i s c o u s u x J a c o b i a n
c
M
n
i s n o t s i m u l t a n e o u s l y d i a g o n a l i z a b l e w i t h t h e u x J a c o b i a n
b
B
n
a n d t h e r e f o r e t o
r e t a i n t h e f u l l d i a g o n a l i z a t i o n w e n e g l e c t i t . F o r v i s c o u s o w s w e h a v e i n v e s t i g a t e d
f o u r o p t i o n s . O n e p o s s i b i l i t y i s t h e u s e t h e b l o c k t r i d i a g o n a l a l g o r i t h m i n t h e
d i r e c t i o n a n d i n c l u d e t h e v i s c o u s J a c o b i a n
c
M
n
. T h i s i n c r e a s e s t h e c o m p u t a t i o n a l
w o r k a n d r e s t r i c t s u s f r o m u s i n g s o m e o f t h e c o n v e r g e n c e a c c e l e r a t i o n t e c h n i q u e s
w h i c h w i l l b e d i s c u s s e d b e l o w . A n o t h e r o p t i o n i s t o i n t r o d u c e a t h i r d f a c t o r t o t h e
i m p l i c i t s i d e o f E q . ( 8 . 2 ) w h e r e w e u s e
h
I ; h R e
; 1
c
M
n
i
( 5 2 7 )
T h i s a g a i n i n c r e a s e s t h e c o m p u t a t i o n a l w o r k s i n c e w e n o w h a v e a n a d d e d b l o c k
t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n . W e t a k e t h e s e m e a s u r e s t h o u g h b e c a u s e o f t h e q u e s t i o n a b l e
2 3
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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s t a b i l i t y o f j u s t c o m p l e t e l y n e g l e c t i n g t h e i m p l i c i t v i s c o u s t e r m s . T h e t h i r d o p t i o n
i s t o t h r o w c a u t i o n t o t h e w i n d a n d a c t u a l l y n e g l e c t t h e v i s c o u s J a c o b i a n , t h e r e b y
g a i n i n g t h e i n c r e a s e e c i e n c y o f t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m . A s l o n g a s t h e a l g o r i t h m
r e m a i n s s t a b l e a n d c o n v e r g e n t , t h e s t e a d y s t a t e o b t a i n e d i s i d e n t i c a l f o r a l l t h r e e
o p t i o n s s i n c e t h e e x p l i c i t s i d e i s u n c h a n g e d . T h e f o u r t h o p t i o n i s t o i n c l u d e a
d i a g o n a l t e r m o n t h e i m p l i c i t s i d e w h i c h i s a n a p p r o x i m a t i o n t o t h e v i s c o u s J a c o b i a n
e i g e n v a l u e s . T h e e s t i m a t e ( t a k e n f r o m a n e x a m i n a t i o n o f t h e t e r m s o f t h e J a c o b i a n
c
M ) c u r r e n t l y u s e d i s
v
( ) = R e
; 1
J
; 1
;
2
x
+
2
y
J
; 1
v
( ) = R e
; 1
J
; 1
;
2
x
+
2
y
J
; 1
( 5 2 8 a )
w h i c h a r e a d d e d t o t h e a p p r o p r i a t e i m p l i c i t o p e r a t o r s i n E q . ( 5 . 2 6 ) w i t h a d i e r -
e n c i n g s t e n c i l t a k e n f r o m E q . ( 5 . 8 b ) . T h e n e w f o r m o f t h e d i a g o n a l a l l g o r i t h m i s
g i v e n a s
T
I + h
; h I
v
( ) ]
b
N I + h
; h I
v
( ) ] T
; 1
b
Q
n
=
b
R
n
( 5 2 8 b )
T h e t e r m s i n E q . ( 5 . 2 8 a ) w h i c h a r e c o n t a i n e d u n d e r t h e o v e r b a r a r e d i s t i n g u i s h e d
f r o m t h e J
; 1
b e c a u s e i n t h e a p p l i c a t i o n t o t h e d i e r e n c e f o r m s r e q u i r e t h o s e
t e r m s t o b e a v e r a g e d f a s h i o n a s i n E q . ( 5 . 8 c ) . T h e t e r m i s n o t a d d e d i f t h e t h i n
l a y e r a p p r o x i m a t i o n i s u s e d . I n a l l t h e a b o v e c a s e s t h e e x p l i c i t v i s c o u s o p e r a t o r i s
u n c h a n g e d f r o m t h e s t a n d a r d a l g o r i t h m .
W e h a v e c o m p a r e d t h e f o u r o p t i o n s f o r a n u m b e r o f t e s t c a s e s . F o r t h e r s t
o p t i o n , b l o c k t r i d i a g o n a l w i t h s e c o n d o r d e r i m p l i c i t d i s s i p a t i o n t h e c o n v e r g e n c e r a t e
w a s t h e s l o w e s t . F o r t h e s e c o n d o p t i o n , t h e t h i r d f a c t o r , f a s t c o n v e r g e n c e r a t e s a n d
s t a b i l i t y w e r e o b t a i n e d a t t h e e x p e n s e o f m o r e c o m p u t a t i o n . T h e t h i r d o p t i o n ,
n e g l e c t i n g t h e v i s c o u s u x J a c o b i a n , p r o d u c e d i d e n t i c a l s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e
a s t h e s e c o n d o p t i o n i n m o s t c a s e s b u t r e q u i r e d l e s s c o m p u t a t i o n a l w o r k . I n t h e
f o u r t h o p t i o n ( w h i c h i s t h e r e c o m m e n d e d f o r m ) t h e c o n v e r g e n c e r a t e s a r e t y p i c a l l y
t h e b e s t a n d t h e o v e r a l l r o b u s t n e s s o f a n u m e r i c a l c o d e i s i m p r o v e d . I n a l l c a s e s
t h e c o n v e r g e d s o l u t i o n s a r e i d e n t i c a l .
5 . 7 b P r e s s u r e { V e l o c i t y S p l i t t i n g
A n o t h e r w a y i s t o r e d u c e t h e b l o c k s i z e b y s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n s a s p r o -
p o s e d b y S t e g e r 2 1 ] . T h i s w a s o r i g i n a l l y r e s t r i c t e d t o C a r t e s i a n v a r i a b l e s . B a r t h
a n d S t e g e r 1 6 ] h a v e r e m o v e d s o m e o f t h i s r e s t r i c t i o n a n d d e v e l o p e d a n a l g o r i t h m
w h e r e t w o s c a l a r t r i d i a g o n a l s a n d o n e b l o c k t w o b y t w o t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n i s
r e q u i r e d . T h e b a s i c c o n c e p t c a n b e d e m o n s t r a t e d i n t w o - d i m e n s i o n a l C a r t e s i a n
c o o r d i n a t e s , s e e B a r t h a n d S t e g e r 1 6 ] f o r t h e e x t e n s i o n t o g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s .
2 4
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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T h e d e v e l o p m e n t o f t h e s o u n d s p e e d - v e l o c i t y s p l i t t i n g b e g i n s b y c o n s i d e r i n g
t h e n o n c o n s e r v a t i v e f o r m o f t h e E u l e r e q u a t i o n s
@
t
R + M @
x
R + N @
y
R = 0 ( 5 2 9 a )
w h e r e
R =
0
B
@
u
v
p
1
C
A
M =
2
6
4
u 0 0
0 u 0
; 1
0 0 u 0
0 p 0 u
3
7
5
N =
2
6
4
v 0 0
0 v 0 0
0 0 v
; 1
0 0 p v
3
7
5
( 5 2 9 b )
T h e e i g e n v a l u e s o f c o e c i e n t m a t r i c e s , M a n d N , a r e t h e u s u a l c h a r a c t e r i s t i c s p e e d s
M
= u u u + c u ; c ]
N
= v v v ; c v + c ] ( 5 3 0 )
T h e s e c o e c i e n t m a t r i c e s c a n e a c h b e s p l i t i n t o t w o s u b m a t r i c e s : o n e d e r i v e d
f r o m t h e v e l o c i t y p a r t o f t h e e i g e n v a l u e s a n d t h e o t h e r f r o m t h e s o u n d s p e e d p a r t
o f t h e e i g e n v a l u e s . A p a r t i c u l a r m a t r i x s p l i t t i n g ( t h e r e a r e m a n y p o s s i b i l i t i e s ) w a s
c h o s e n t o s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s
( M ) = ( M
u
) + ( M
c
) ( M
u
) = ( u u u u ) ( M
c
) = ( 0 0 c ; c )
( N ) = ( N
v
) + ( N
c
) ( N
v
) = ( v v v v ) ( N
c
) = ( 0 0 c ; c )
S p e c i c a l l y , M a n d N a r e s p l i t a s
M = M
u
+ M
c
=
2
6
4
u 0 0
0 u 0 0
0 0 u 0
0 0 0 u
3
7
5
+
2
6
4
0 0 0 0
0 0 0
; 1
0 0 0 0
0 p 0 0
3
7
5
N = N
v
+ N
c
=
2
6
4
v 0 0
0 v 0 0
0 0 v 0
0 0 0 v
3
7
5
+
2
6
4
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
; 1
0 0 p 0
3
7
5
( 5 3 1 )
G i v e n t h e c o e c i e n t m a t r i c e s M a n d N , a s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n e x i s t s t h a t
t r a n s f o r m s t h e s e m a t r i c e s i n t o t h e i r c o n s e r v a t i v e c o u n t e r p a r t , t h e u x J a c o b i a n s
A a n d B . A = S M S
; 1
B = S N S
; 1
w h e r e S =
@ Q
@ R
. U s i n g t h i s s i m i l a r i t y
t r a n s f o r m a t i o n , M
c
a n d N
c
t r a n s f o r m t o A
c
= S M
c
S
; 1
a n d B
c
= S N
c
S
; 1
w r i t t e n
o u t a s
A
c
= ( ; 1 )
2
6
4
0 0 0 0
( u
2
+ v
2
) = 2 ; u ; v 1
0 0 0 0
a
c
4 1
a
c
4 2
; u v u
3
7
5
B
c
= ( ; 1 )
2
6
4
0 0 0 0
0 0 0 0
( u
2
+ v
2
) = 2 ; u ; v 1
b
c
4 1
; u v b
c
4 3
v
3
7
5
( 5 3 2 )
2 5
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 27/99
w h e r e
a
c
4 1
= u ( u
2
+ v
2
) = 2 ] ; u p = ( ; 1 )
2
] a
c
4 2
= p = ( ; 1 )
2
] ; u
2
b
c
4 1
= v ( u
2
+ v
2
) = 2 ] ; v p = ( ; 1 )
2
] b
c
4 3
= p = ( ; 1 )
2
] ; v
2
w h i l e A
u
a n d B
v
a r e
A
u
= A ; A
c
B
v
= B ; B
c
( 5 3 3 )
T h i s s p l i t t i n g p r o d u c e s m a t r i c e s A
u
a n d B
v
t h a t a r e m o r e c o m p l e x t h a n A a n d B .
B u t i t i s f o u n d t h a t Q i s a n e i g e n v e c t o r o f A
u
a n d B
v
, i . e .
A
u
Q = u Q B
v
Q = v Q ( 5 3 4 a )
w h i c h m o t i v a t e s t h e f o l l o w i n g s u b s t i t u t i o n
A Q = ( u I + A
c
) Q B Q = ( v I + B
c
) Q ( 5 3 4 b )
I n s e r t i o n o f E q . ( 5 . 3 4 b ) i n t o t h e e q u a t i o n s f o r l o c a l l i n e a r i z a t i o n o f t h e J a c o -
b i a n s , t h e C a r t e s i a n e q u i v a l e n t o f E q s . ( 5 . 3 ) , p r o d u c e s
E
n + 1
= E
n
+ ( u I + A
c
)
n
( Q
n + 1
; Q
n
) ( 5 3 5 a )
F
n + 1
= F
n
+ ( v I + B
c
)
n
( Q
n + 1
; Q
n
) ( 5 3 5 b )
U t i l i z i n g t h e s e l i n e a r i z a t i o n s i n t h e b a s i c a l g o r i t h m e q u a t i o n ( 5 . 2 2 ) y i e l d s
L
x
L
y
Q = ; t
x
E
n
+
y
F
n
] ( 5 3 6 a )
w i t h
L
x
= I + t
x
( u I + A
c
)
n
] ( 5 3 6 b )
L
y
= I + t
y
( v I + B
c
)
n
] ( 5 3 6 c )
T h e e n d r e s u l t o f t h i s s p l i t t i n g i s t h a t t h e n e w o p e r a t o r s L
x
a n d L
y
f o r m
m a t r i c e s t h a t n o l o n g e r r e q u i r e 4 4 b l o c k t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n s . I n m a t r i x o p e r a t o r
f o r m , w e h a v e
L
x
=
2
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
5
+ t
x
2
6
4
u 0 0 0
a
c
2 1
u + a
c
2 2
a
c
2 3
a
c
2 4
0 0 u 0
a
c
4 1
a
c
4 2
a
c
4 3
u + a
c
4 4
3
7
5
( 5 3 7 a )
L
y
=
2
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
5
+ t
y
2
6
4
v 0 0 0
0 v 0 0
b
c
3 1
b
c
3 2
v + b
c
3 3
b
c
3 4
b
c
4 1
b
c
4 2
b
c
4 3
v + b
c
4 4
3
7
5
( 5 3 7 b )
2 6
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 28/99
w h e r e a
c
a n d b
c
a r e t h e r e s p e c t i v e e l e m e n t s o f A
c
a n d B
c
g i v e n b y E q . ( 5 . 3 2 ) .
I n t h e L
x
o p e r a t o r , f o r e x a m p l e , t h e r s t a n d t h i r d r o w s d e c o u p l e f r o m t h e
s y s t e m a n d c a n b e s o l v e d a s s c a l a r t r i d i a g o n a l m a t r i c e s w i t h t h e i r r e s p e c t i v e r i g h t -
h a n d - s i d e s . O n c e t h e s e r o w s a r e s o l v e d , t h e e l e m e n t s o f t h e r s t a n d t h i r d c o l u m n s
c a n b e m o v e d t o t h e r i g h t - h a n d - s i d e . T h e s e c o n d a n d f o u r t h e q u a t i o n s r e m a i n
c o u p l e d a n d a r e s o l v e d a s a 2 2 b l o c k t r i d i a g o n a l m a t r i x . T h e b l o c k d e c o u p l i n g
o f t h e L
y
o p e r a t o r i s e v e n m o r e c o n s p i c u o u s a n d i s i n v e r t e d ( i . e . , s o l v e d f o r ) i n a
s i m i l a r m a n n e r .
T h e u s e o f t h e p r e s s u r e { v e l o c i t y s p l i t t i n g h a s s u b s t a n t i a l l y r e d u c e d t h e c o m p u -
t a t i o n a l w o r k o v e r t h e b a s i c b l o c k i m p l i c i t s c h e m e . A t y p i c a l 2 2 b l o c k t r i d i a g o n a l
r e q u i r e s 5 5 o p e r a t i o n s p e r p o i n t , s o t h e o v e r a l l i n v e r s i o n , i n c l u d i n g t h e t w o s c a l a r
t r i d i a g o n a l s , r e q u i r e s 7 3 o p e r a t i o n s p e r e n t r y . B e c a u s e t h e t w o s c a l a r t r i d i a g o n a l s
h a v e i d e n t i c a l c o e c i e n t s , t h i s w o r k c a n b e e v e n f u r t h e r c u t b y s o l v i n g t h e m t o -
g e t h e r .
T h e m a t r i x s p l i t t i n g p r o d u c e s t h e u x v e c t o r s
E = A Q = u I Q + A
c
Q = E
u
+ E
c
F = B Q = v I Q + B
c
Q = F
v
+ F
c
( 5 3 8 )
w h e r e
E
u
=
0
B
@
u
u
2
v u
u e
1
C
A
E
c
=
0
B
@
0
p
0
u p
1
C
A
F
v
=
0
B
@
v
u v
v
2
v e
1
C
A
F
c
=
0
B
@
0
0
p
v p
1
C
A
N o t e t h a t t h e J a c o b i a n s o f E
c
a n d F
c
a r e n o t A
c
a n d B
c
a s d e n e d a b o v e .
U s u a l l y , t h e u s e o f i m p l i c i t l i n e a r i z a t i o n s w h i c h a r e n o t t h e J a c o b i a n s o f t h e e x p l i c i t
u x v e c t o r s l e a d s t o r e s t r i c t e d s t a b i l i t y b o u n d s o r u n c o n d i t i o n a l l y i n s t a b i l i t y . L i n e a r
s t a b i l i t y a n a l y s i s p r e s e n t e d b y B a r t h a n d S t e g e r , a s w e l l a s n u m e r i c a l e x p e r i m e n t
h a v e s h o w n t h o u g h t h a t t h e u s e o f A
c
a n d B
c
l e a d s t o u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y .
T h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e f o r m o f p r e s s u r e { v e l o c i t y s p l i t t i n g i s d e v e l o p e d i n
B a r t h a n d S t e g e r 1 6 ] . A r o t a t i o n t r a n s f o r m a t i o n i s u s e d t o a l i g n t h e m o m e n t u m
e q u a t i o n s w i t h g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s , e . g . i n t h e d i r e c t i o n t h e y u s e
C
=
2
6
6
4
1 0 0 0
0
x
L
1
y
L
1
0
0 ;
y
L
1
x
L
1
0
0 0 0 1
3
7
7
5
( 5 3 9 )
w i t h L
1
=
q
2
x
+
2
y
. T h i s p r o d u c e s t h e t r a n s f o r m e d s p l i t t i n g m a t r i x
2 7
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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e
A
c
= ( ; 1 )
2
6
4
0 0 0 0
L
1
( u
2
+ v
2
)
2
; U ;
b
V L
1
0 0 0 0
a
c
4 1
a
c
4 2
;
U
b
V
L
1
U
3
7
5
( 5 4 0 )
w h e r e
a
c
4 1
= U ( u
2
+ v
2
) = 2 ;
c
2
( ; 1 )
2
] a
c
4 2
= L
1
c
2
( ; 1 )
2
;
U
2
L
1
w i t h
b
U =
y
u ;
x
v
T h e s t r u c t u r e o f E q . ( 5 . 4 0 ) i s i d e n t i c a l t o E q . ( 5 . 3 2 ) s o t h a t t h e i m p l i c i t
o p e r a t o r s i n g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s a r e a g a i n r e d u c i b l e t o 2 s c a l a r s a n d o n e 2 2
b l o c k o p e r a t o r f o r e a c h d i r e c t i o n . B a r t h a n d S t e g e r a l s o d i s c u s s t h e a p p l i c a t i o n o f
p r e s s u r e { v e l o c i t y s p l i t t i n g t o t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .
5 . 8 M e t r i c D i e r e n c i n g a n d I n v a r i a n t s
O n c e a u i d d y n a m i c s c o d e h a s b e e n w r i t t e n , t h e r e a r e a n u m b e r o f r s t o r d e r
c h e c k s w h i c h m u s t b e p a s s e d t o a s s e s s a c c u r a c y a n d e c i e n c y . A r s t t e s t i s t h a t
t h e c o d e r e c o v e r s f r e e s t r e a m o r u n i f o r m o w . I n t h e c a s e o f a r b i t r a r y c u r v i l i n e a r
c o o r d i n a t e s a n d g e n e r a l n i t e d i e r e n c e s t h i s i s n o t a t r i v i a l e x e r c i s e . B y c o n s t r u c -
t i o n n i t e v o l u m e s c h e m e s a u t o m a t i c a l l y b a l a n c e u x e s a n d t h e r e f o r e t h e y a r e n o t
a s s u s c e p t i b l e t o t h i s t y p e o f e r r o r . T h e r e a r e a n u m b e r o f e x a m p l e s i n t h e l i t e r a t u r e
w h e r e n i t e v o l u m e s c h e m e s h a v e b e e n e m p l o y e d , s e e J a m e s o n e t . a l . 6 ] o r R i z z i
a n d E r i k s o n 5 ] . W e p r e f e r t o e m p l o y n i t e d i e r e n c e f o r m u l a t i o n s s i n c e t h e y a r e
u s u a l l y m o r e e x i b l e , e s p e c i a l l y i n t h e i m p l e m e n t a t i o n o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d
i n o b t a i n i n g h i g h e r o r d e r a c c u r a c y . I n t h i s c a s e t h e d i e r e n c i n g u s e d t o f o r m t h e
u x d e r i v a t i v e s a n d t h e d i e r e n c i n g u s e d t o f o r m t h e m e t r i c s m u s t o b e y c e r t a i n
r e l a t i o n s i f f r e e s t r e a m i s t o b e c a p t u r e d .
A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n I I I , a p p l y i n g f r e e s t r e a m o r c o n s t a n t o w r e d u c e s t h e
o w e q u a t i o n s t o t h e i n v a r i a n t s o f E q . ( 3 . 1 1 ) . E x a m i n i n g o n e o f t h e s e t e r m s @
( y
) +
@
( ; y
) w h e r e c e n t r a l d i e r e n c e s a r e u s e d t o f o r m t h e m e t r i c t e r m s , a n d u s i n g
c e n t r a l d i e r e n c i n g f o r t h e u x d e r i v a t i v e s , w e h a v e ,
c
c
y ;
c
c
y =
y
j + 1 k + 1
; y
j ; 1 k + 1
; y
j + 1 k ; 1
+ y
j ; 1 k ; 1
] = 4
+ ; y
j + 1 k + 1
+ y
j + 1 k ; 1
+ y
j ; 1 k + 1
; y
j ; 1 k ; 1
] = 4 = 0
( 5 4 1 )
W e s e e t h a t c e n t r a l d i e r e n c i n g i n t w o d i m e n s i o n d o e s s a t i s f y t h e i n v a r i a n t
r e l a t i o n s . T h i s b e c o m e s o b v i o u s w h e n o n e r e a l i z e s t h a t s e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r -
e n c i n g o p e r a t o r s c o m m u t e , i . e .
c
c
=
c
c
. T h i s i s n o t t r u e f o r g e n e r a l d i e r e n c e s ,
2 8
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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e . g .
b
c
6=
c
b
. T a k e t h e c a s e o f c e n t r a l d i e r e n c i n g t o f o r m m e t r i c s a n d o n e s i d e d
b a c k w a r d d i e r e n c i n g f o r t h e u x e s . T h e n w e h a v e ,
r
y ; r
y =
y
j k + 1
; y
j ; 1 k + 1
; y
j k ; 1
+ y
j ; 1 k ; 1
] = 2
+ ; y
j + 1 k
+ y
j + 1 k ; 1
+ y
j ; 1 k
; y
j ; 1 k ; 1
] = 2 6= 0
( 5 4 2 )
T h e e r r o r a s s o c i a t e d w i t h n o t s a t i s f y i n g t h e i n v a r i a n t r e l a t i o n s i s t r u n c a t i o n
e r r o r e q u a l t o o r l e s s t h a n t h e l o w e s t o r d e r a c c u r a t e o p e r a t o r u s e d . T h e e r r o r c a n
b e e l i m i n a t e d b y m o d i f y i n g t h e d i e r e n c e f o r m u l a s , f o r e x a m p l e i n t r o d u c i n g s i m p l e
a v e r a g e s . T h e e q u i v a l e n t r e l a t i o n s h i p s f o r t h r e e d i m e n s i o n s c a n b e v e r y c o m p l i c a t e d .
I n m o s t c a s e s t h e e r r o r i n t r o d u c e d i s s m a l l e x c e p t i n r e g i o n s o f l a r g e m e s h s p a c i n g
o r l a r g e d i s t o r t e d c e l l s ( h i g h a s p e c t r a t i o s ) . I t s h o u l d b e s t r e s s e d t h o u g h , t h a t t h e
s a t i s f a c t i o n o f t h e i n v a r i a n t r e l a t i o n s i s a t l e a s t a h i g h p r i o r i t y f o r a n y o w c o d e .
H i n d m a n 1 2 ] h a s i n v e s t i g a t e d t h i s a r e a f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s a n d F l o r e s e t . a l . 1 3 ]
g i v e a n i n t e r e s t i n g a c c o u n t o f s i m i l a r p r o b l e m s a n d s o l u t i o n s f o r t h e c o n s e r v a t i v e
f u l l p o t e n t i a l e q u a t i o n s .
2 9
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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V I . A r t i c i a l D i s s i p a t i o n A d d e d t o I m p l i c i t S c h e m e s
E v e n t h o u g h l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s s h o w s u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y f o r t h e i m -
p l i c i t a l g o r i t h m , i n p r a c t i c e s t a b i l i t y b o u n d s a r e e n c o u n t e r e d . T h i s i s e s p e c i a l l y
t r u e i n s t r o n g l y n o n l i n e a r c a s e s , s u c h a s o w s w i t h s h o c k s .
W h e n e v e r d i s c r e t e m e t h o d s a r e u s e d t o \ c a p t u r e " s h o c k s ( a s o p p o s e d t o t t i n g
t h e m ) , o r t o c o m p u t e h i g h R e y n o l d s n u m b e r v i s c o u s b e h a v i o r , s c a l e s o f m o t i o n
a p p e a r w h i c h c a n n o t b e r e s o l v e d b y t h e n u m e r i c s . T h e s e c a n b e b r o u g h t a b o u t
b y t h e n o n l i n e a r i n t e r a c t i o n s i n t h e c o n v e c t i o n t e r m s o f t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s .
I f s c a l e i s r e p r e s e n t e d b y w a v e l e n g t h o r f r e q u e n c y , i t c a n b e e a s i l y s h o w n t h a t
t w o w a v e s i n t e r a c t a s p r o d u c t s t o f o r m a w a v e o f h i g h e r f r e q u e n c y ( t h e s u m o f t h e
o r i g i n a l t w o ) a n d o n e o f l o w e r f r e q u e n c y ( t h e d i e r e n c e ) . T h e l o w e r f r e q u e n c i e s d o
n o t c a u s e a p r o b l e m , b u t t h e c o n t i n u a l c a s c a d i n g i n t o h i g h e r a n d h i g h e r f r e q u e n c i e s
d o e s . I t i s a c c o u n t e d f o r p h y s i c a l l y b y s h o c k f o r m a t i o n ( t h e h a r m o n i c a n a l y s i s
o f a d i s c o n t i n u i t y c o n t a i n s a l l f r e q u e n c i e s ) o r b y v i s c o u s d i s s i p a t i o n o f t h e v e r y
h i g h w a v e n u m b e r s . I n n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s i t c a n n o t b e i g n o r e d a n d m u s t
b e a c c o u n t e d f o r i n t h e a l g o r i t h m c o n s t r u c t e d . I n a n y n i t e d i s c r e t e m e s h t h e
c a s c a d i n g f r e q u e n c i e s c a n e v e n t u a l l y e x c e e d t h e c a p a c i t y o f t h e m e s h r e s o l u t i o n a t
w h i c h p o i n t t h e y c a n e i t h e r , a ) a l i a s b a c k i n t o t h e l o w e r f r e q u e n c i e s o r b ) p i l e u p
a t t h e h i g h e r f r e q u e n c y s i d e . I n e i t h e r c a s e , i f u n c o n t r o l l e d , t h e s e t e r m s c a n l e a d t o
s e r i o u s i n a c c u r a c i e s a n d p o s s i b l e n u m e r i c a l i n s t a b i l i t y .
T h e m o s t c o m m o n w a y o f c o p i n g w i t h t h e h i g h - f r e q u e n c y c a s c a d e i s t o a d d t o
t h e c o m p l e t e a l g o r i t h m s o m e f o r m o f n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n w i t h a n e r r o r l e v e l t h a t
d o e s n o t i n t e r f e r e w i t h t h e a c c u r a c y o f a n y p h y s i c a l v i s c o u s e e c t s . T h i s c a n b e
d o n e i n a v a r i e t y o f w a y s .
6 . 1 C o n s t a n t C o e c i e n t I m p l i c i t a n d E x p l i c i t D i s s i p a t i o n
H i s t o r i c a l l y , i n t h e c l a s s o f i m p l i c i t n i t e d i e r e n c e c o d e s d e v e l o p e d i n t h e m i d
1 9 7 0 ' s , a c o m m o n p r o c e d u r e w a s t o a d d e x p l i c i t f o u r t h o r d e r a r t i c i a l d i s s i p a t i o n
t o t h e c e n t r a l d i e r e n c e a l g o r i t h m o f t h e f o r m
;
e
t J
; 1
( r
)
2
+ ( r
)
2
] J
b
Q
n
( 6 1 a )
w h i c h i s a d d e d t o t h e r i g h t - h a n d s i d e o f E q . ( 5 . 2 2 ) a n d i m p l i c i t s e c o n d - o r d e r s m o o t h -
i n g
;
i
t J
; 1
r
J ;
i
t J
; 1
r
J ( 6 2 b )
w h i c h w a s i n s e r t e d i n t o t h e r e s p e c t i v e i m p l i c i t b l o c k o p e r a t o r s . S e c o n d o r d e r i m -
p l i c i t d i s s i p a t i o n w a s u s e d t o k e e p t h e b l o c k i m p l i c i t o p e r a t o r s t r i d i a g o n a l . T h e
d i e r e n c e o p e r a t o r s a r e d e n e d a s
r
q
j k
= q
j k
; q
j ; 1 k
q
j k
= q
j + 1 k
; q
j k
r
q
j k
= q
j k
; q
j k ; 1
q
j k
= q
j k + 1
; q
j k
( 6 3 )
3 0
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 32/99
a n d a r e a p p l i e d a t a l l i n t e r i o r p o i n t s . T h e p a r a m e t e r
e
i s c h o s e n t o b e O ( 1 ) a n d
i
= 2
e
. T h e s m o o t h i n g t e r m s a r e s c a l e d w i t h t w h i c h m a k e s t h e s t e a d y s t a t e
i n d e p e n d e n t o f t h e t i m e s t e p .
I t i s i m p o r t a n t t o a s s e s s t h e e e c t o n s t a b i l i t y w h e n t h e s e t e r m s a r e a d d e d .
I n S e c t i o n 7 . 2 , w e p r o v i d e a l i n e a r a n a l y s i s o f t h e e e c t o f a d d e d d i s s i p a t i o n o n
s t a b i l i t y . W e s u m m a r i z e t h e r e s u l t s h e r e . I n t h e o r i g i n a l d e v e l o p m e n t o f t h e i m p l i c i t
a l g o r i t h m w e o n l y a d d e d i n t h e e x p l i c i t d i s s i p a t i o n , b u t t h i s l e a d t o a l i n e a r s t a b i l i t y
b o u n d w h i c h w a s d e p e n d e n t o n t h e m a g n i t u d e o f
e
t . T h e i m p l i c i t s e c o n d o r d e r
t e r m w a s a d d e d t o e l i m i n a t e t h i s s t a b i l i t y b o u n d . T h e p r o p e r a p p r o a c h w o u l d b e
t o m a k e t h e f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n i m p l i c i t . T h i s w o u l d t h e n n e c e s s i t a t e t h e u s e
o f b l o c k p e n t a d i a g o n a l s o l v e r s w h i c h i s t o o c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e . T h e s e c o n d
o r d e r i m p l i c i t d i s s i p a t i o n s t a b i l i z e s t h e a l g o r i t h m a n d a l l o w s u s t o r e t a i n b l o c k
t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n s . L i n e a r a n a l y s i s s h o w s t h a t i f
i
e
t h e n u n c o n d i t i o n a l
s t a b i l i t y i s o b t a i n e d . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t i n p r a c t i c e f o r n o n l i n e a r p r o b l e m s t h e
t o t a l a l g o r i t h m h a s l a r g e b u t c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y b o u n d s .
B e a m a n d B a i l e y 2 2 ] s u g g e s t t h a t w h i l e t h e i m p l i c i t s e c o n d o r d e r d i s s i p a t i o n
i m p r o v e s t h e p r a c t i c a l s t a b i l i t y b o u n d , t h e u s e o f f o u r t h o r d e r i m p l i c i t d i s s i p a t i o n
m a t c h i n g t h e e x p l i c i t t e r m s p r o d u c e s l a r g e r s t a b i l i t y b o u n d s a n d e n h a n c e d c o n v e r -
g e n c e . T h i s i s c o n s i s t e n t w i t h a c o n c e p t w h i c h I w i l l d i s c u s s i n m o r e d e t a i l b e l o w .
T h a t i s , m a x i m u m s t a b i l i t y b o u n d s a n d o p t i m a l c o n v e r g e n c e r a t e s a r e o n l y a c h i e v e d
i f w e p r o p e r l y l i n e a r i z e t h e e x p l i c i t s i d e o f t h e a l g o r i t h m . I n t h i s c a s e a p r o p e r l i n -
e a r i z a t i o n o f t h e e x p l i c i t d i s s i p a t i o n p r o d u c e s i m p r o v e d s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e .
B e a m a n d B a i l e y e m p l o y e d a b l o c k p e n t a s o l v e r w h i c h g r e a t l y i n c r e a s e d t h e c o m p u -
t a t i o n a l w o r k a n d s t o r a g e . W e t a k e a d v a n t a g e o f t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m t o p r o d u c e
a m u c h m o r e e c i e n t s c h e m e . W i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e d i a g o n a l s c h e m e w e
c a n r e p l a c e t h e f o u r s c a l a r t r i d i a g o n a l s w i t h s c a l a r p e n t a d i a g o n a l s w h i c h i s j u s t a
m i n o r i n c r e a s e i n c o m p u t a t i o n a l w o r k . T h e r e s u l t i n g s c h e m e h a s t h e a d v a n t a g e o f
i n c r e a s e d s t a b i l i t y b o u n d s a n d c o n v e r g e n c e r a t e s w i t h t h e t o t a l c o m p u t a t i o n w o r k
s t i l l l e s s t h a n t h e s t a n d a r d b l o c k t r i d i a g o n a l s c h e m e . C o m p u t a t i o n a l e x p e r i m e n t s
d e m o n s t r a t e t h e i n c r e a s e d e c i e n c y a n d s t a b i l i t y .
T h e a p p r o a c h o f a d d i n g a c o n s t a n t c o e c i e n t f o u r t h o r d e r e x p l i c i t d i s s i p a t i o n
c a n p r o d u c e s o m e p r o b l e m s w h i c h a r e o n l y e v i d e n t i n t h e c a s e o f r e n e d m e s h e s .
I n i t i a l l y , b e c a u s e o f c o m p u t e r l i m i t a t i o n s w e o n l y e m p l o y e d c o a r s e g r i d s a n d t h i s
t y p e o f d i s s i p a t i o n w a s s u c i e n t t o p r o d u c e s t a b i l i t y a n d l i m i t e d a c c u r a c y . W i t h
t h e a d v e n t o f m o r e p o w e r f u l c o m p u t e r s w e h a v e g o n e t o g r i d r e n e m e n t e s p e c i a l l y
t o r e s o l v e s h o c k s . T h e u s e o f t h e a b o v e t y p e o f f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n w i t h r e n e
m e s h e s p r o d u c e s w i l d o s c i l l a t i o n s n e a r s h o c k s e v e n i n c a s e s w h e r e t h e c o m p u t a t i o n
i s c o m p l e t e l y s t a b l e a n d c o n v e r g e d . I n F i g . 3 , w e s h o w a c o n v e r g e d s o l u t i o n f o r a
N A C A 0 0 1 2 a i r f o i l a t a t r a n s o n i c M a c h n u m b e r , M
1
= 0 8 a n d a n g l e o f a t t a c k ,
= 0
i s o l a t i n g t h e r e g i o n n e a r t h e s h o c k .
A s c a n b e s e e n , t h e s o l u t i o n s e e m s p e r f e c t l y n e e x c e p t i n t h e r e g i o n o f t h e
3 1
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F i g u r e 3 . C o e c i e n t o f P r e s s u r e S h o w i n g O s c i l l a t i o n s a t S h o c k .
s h o c k w h e r e a l a r g e e v e r y o t h e r p o i n t o s c i l l a t i o n i s e v i d e n t . V a r y i n g t h e c o e c i e n t
o f a r t i c i a l d i s s i p a t i o n o v e r a f a i r l y w i d e r a n g e d i d n o t a l t e r t h e n a t u r e o f t h i s
o s c i l l a t i o n . T h i s i s o b v i o u s l y a n u n d e s i r a b l e r e s u l t w h i c h c a n b e e l i m i n a t e d a s
s h o w n b e l o w .
6 . 2 T h e U p w i n d C o n n e c t i o n t o A r t i c i a l D i s s i p a t i o n
I n t h e e a r l y 1 9 8 0 ' s a n u m b e r o f s c h e m e s w e r e d e v e l o p e d b a s e d o n u p w i n d
d i e r e n c i n g . T h e u x s p l i t s c h e m e s o f S t e g e r a n d W a r m i n g 2 3 ] , R o e 2 4 ] , a n d
V a n L e e r 2 5 ] e m p l o y a d e c o m p o s i t i o n o f t h e u x v e c t o r s i n s u c h a w a y t h a t e a c h
e l e m e n t c a n b e s t a b l y d i e r e n c e d i n a n u p w i n d f a s h i o n . O t h e r s c h e m e s o f a s i m i l a r
n a t u r e b u t b a s e d o n c o m p l i c a t e d t h e o r i e s a r e t h e u x d i e r e n c e s c h e m e o f O s h e r a n d
C h a k r a v a r t h y 2 6 ] a n d H a r t e n ' s T V D m e t h o d s 2 7 ] . T h e s e s c h e m e s a l l c l a i m ( w i t h
g o o d j u s t i c a t i o n ) t o b e p h y s i c a l l y c o n s i s t e n t s i n c e t h e y f o l l o w i n s o m e s e n s e t h e
c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e o w . T h e y i n g e n e r a l c a n b e s h o w n t o p r o d u c e s h a r p o s c i l l a t i o n
f r e e s h o c k s w i t h o u t a d d e d a r t i c i a l d i s s i p a t i o n . T h e y a r e , t h o u g h , c o m p l i c a t e d
s c h e m e s w h i c h a r e j u s t n o w b e i n g a p p l i e d t o c o m p l i c a t e d o w e l d s i t u a t i o n s . A l s o
t h e s e s c h e m e h a v e a n i n h e r e n t a m o u n t o f i n t e r n a l d i s s i p a t i o n , d u e t o t h e o n e s i d e d
3 2
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d i e r e n c e s , w h i c h c a n n o t b e m o d i e d o r d e c r e a s e d . I t m a y b e a d v a n t a g e o u s t o h a v e
t h e e x i b i l i t y o f a s i m p l e c e n t r a l d i e r e n c e s c h e m e w i t h a c o n t r o l l a b l e a m o u n t o f
a r t i c i a l d i s s i p a t i o n .
I t c a n b e s h o w n ( a s d o n e b e l o w ) t h a t t h e u p w i n d s c h e m e s h a v e a n e q u i v a l e n c e
t o c e n t r a l d i e r e n c e s c h e m e s w i t h a d d e d d i s s i p a t i o n . T h e c e n t r a l s c h e m e s a r e m u c h
s i m p l e r a n d m o r e e x i b l e a n d a r e t h e r e f o r e d e s i r a b l e i f t h e d i s s i p a t i o n c a n b e a d d e d
i n a n a n a l o g o u s f a s h i o n t o t h e u p w i n d s c h e m e s .
T h e p l u s - m i n u s u x s p l i t m e t h o d o f S t e g e r a n d W a r m i n g 2 3 ] w i l l b e u s e d
h e r e t o d e m o n s t r a t e t h e d i s s i p a t i v e n a t u r e o f u p w i n d s c h e m e s . T h e a p p r o a c h t a k e n
i s t o s p l i t t h e e i g e n v a l u e m a t r i x o f t h e u x J a c o b i a n s i n t o t w o m a t r i c e s , o n e
w i t h a l l p o s i t i v e e i g e n v a l u e s a n d t h e o t h e r w i t h a l l n e g a t i v e e i g e n v a l u e s . T h e n t h e
s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n s X o r Y a r e u s e d t o f o r m n e w m a t r i c e s A
+
, A
;
a n d B
+
,
B
;
. F o r m a l l y ,
A = X
A
X
; 1
= X (
+
A
+
;
A
) X
; 1
= A
+
+ A
;
( 6 4 a )
w i t h
A
=
A
j
A
j
2
( 6 4 b )
H e r e , j j i m p l i e s t h a t w e t a k e t h e a b s o l u t e v a l u e s o f t h e e l e m e n t s o f . T h e t w o
m a t r i c e s , A
+
a n d A
;
h a v e b y c o n s t r u c t i o n a l l p o s i t i v e a n d a l l n e g a t i v e e i g e n v a l u e s ,
r e s p e c t i v e l y .
N e w u x v e c t o r s c a n b e c o n s t r u c t e d a s
E = A Q = ( A
+
+ A
;
) Q = E
+
+ E
;
F = B Q = ( B
+
+ B
;
) Q = F
+
+ F
;
( 6 5 )
D i e r e n t t y p e o f s p a t i a l d i e r e n c i n g c a n n o w b e u s e d f o r e a c h o f t h e n e w u x
v e c t o r s . O n e s t a b l e f o r m i s t o u s e o n e s i d e d b a c k w a r d d i e r e n c i n g f o r t h e p o s i t i v e
t e r m s a n d o n e s i d e d f o r w a r d d i e r e n c i n g f o r t h e n e g a t i v e t e r m s . T h e o n e - s i d e d
d i e r e n c e o p e r a t o r s a r e u s u a l l y e i t h e r r s t o r d e r a c c u r a t e
r
b
u
j k
=
u
j k
; u
j ; 1 k
a n d
f
u
j k
=
u
j + 1 k
; u
j k
( 6 6 a )
o r s e c o n d o r d e r a c c u r a t e
b
u
j k
=
3
2
u
j k
; 2 u
j ; 1 k
+
1
2
u
j ; 2 k
f
u
j k
=
;
3
2
u
j k
+ 2 u
j + 1 k
;
1
2
u
j + 2 k
( 6 6 b )
3 3
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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T h e f o r m n o w i s a s e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r e n c e t e r m p l u s f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n .
T h e d i s s i p a t i v e t e r m i s a n a t u r a l c o n s e q u e n c e o f t h e u p w i n d d i e r e n c i n g . I t i s
i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e c e n t r a l d i e r e n c e t e r m E q . ( 6 . 1 0 a ) i s n o t t h e s t a n d a r d
t h r e e p o i n t d i e r e n c e . I f r s t o r d e r f o r m u l a s a r e e m p l o y e d f o r t h e u p w i n d d i e r e n c e s
t h e n a s i m i l a r a n a l y s i s w o u l d p r o d u c e t h e s t a n d a r d s e c o n d o r d e r t h r e e p o i n t c e n t r a l
d i e r e n c i n g p l u s a s e c o n d o r d e r d i s s i p a t i v e t e r m . F o r i n s t a n c e , E q . ( 6 . 1 1 a ) i s r e p l a c e
b y
E ;
1
2
(
r
) j A j Q
( 6 1 1 b )
W e n o t e a n u m b e r o f t h i n g s f r o m t h e f o r m o f E q s . ( 6 . 1 1 ) w h i c h c a n g u i d e u s
i n d e v e l o p i n g a r t i c i a l d i s s i p a t i o n m o d e l s f o r a c e n t r a l d i e r e n c e s c h e m e . A d d i n g
f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n t o a c e n t r a l d i e r e n c e p r o d u c e s t h e e q u i v a l e n t o f s o m e
s e c o n d o r d e r u p w i n d s c h e m e . T h e u s e o f s e c o n d o r d e r d i s s i p a t i o n c a n p r o d u c e a
r s t o r d e r u p w i n d e q u i v a l e n t . R e s e a r c h h a s s h o w n t h a t a p p l y i n g u x l i m i t e r s t o
u p w i n d s c h e m e s a n d s o m e o f t h e T V D c o n c e p t s s u g g e s t t h a t t h e b e s t a p p r o a c h
f o r a n u p w i n d a l g o r i t h m i s t o u s e a l o c a l l y r s t o r d e r u p w i n d d i e r e n c e a t a s h o c k
a n d s e c o n d o r d e r e l s e w h e r e . T h i s c a n b e a c c o m p l i s h e d b y s o m e s w i t c h i n g a n d
t r a n s i t i o n i n g o f s e c o n d o r d e r a n d f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n a d d e d t o a c e n t r a l s c h e m e .
T h e c o e c i e n t s f o r t h e d i s s i p a t i o n p a r t s o f E q . ( 6 . 1 1 ) s u g g e s t s o m e s o r t o f u x
J a c o b i a n s c a l i n g w h e r e f o r i n s t a n c e a s p e c t r a l r a d i u s o f t h e J a c o b i a n s c o u l d b e
u s e d .
6 . 3 N o n l i n e a r A r t i c i a l D i s s i p a t i o n M o d e l
A s s e e n f r o m t h e p r e v i o u s a n a l y s i s a m i x e d s e c o n d a n d f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n
m o d e l w i t h a p p r o p r i a t e c o e c i e n t s s h o u l d p r o d u c e a s c h e m e w i t h g o o d s h o c k c a p -
t u r i n g c a p a b i l i t i e s . J a m e s o n e t . a l . 6 ] h a s e m p l o y e d a d i s s i p a t i v e m o d e l o f s u c h a
f o r m w h e r e s e c o n d a n d f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n a r e c o m b i n e d . T h e m o d e l r e w r i t t e n
i n o u r n o t a t i o n i s
r
j + 1 k
J
; 1
j + 1 k
+
j k
J
; 1
j k
( 2 )
j k
Q
j k
;
( 4 )
j k
r
Q
j k
( 6 1 2 )
w i t h
( 2 )
j k
=
2
t m a x (
j + 1 k
j k
j ; 1 k
)
j k
=
j p
j + 1 k
; 2 p
j k
+ p
j ; 1 k
j
j p
j + 1 k
+ 2 p
j k
+ p
j ; 1 k
j
( 4 )
j k
= m a x ( 0
4
t ;
( 2 )
j k
)
( 6 1 3 )
w h e r e t y p i c a l v a l u e s o f t h e c o n s t a n t s a r e
2
= 1 = 4 a n d
4
= 1 = 1 0 0 . S i m i l a r t e r m s
a r e u s e d i n t h e d i r e c t i o n . T h e t e r m
j k
i s a s p e c t r a l r a d i u s s c a l i n g a n d i s d e n e d
3 5
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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a s
j k
= j U j + a
q
2
x
+
2
y
( 6 1 4 )
w h i c h i s t h e s p e c t r a l r a d i i o f
b
A , t h e s p e c t r a l r a d i u s o f
b
B i s u s e d f o r t h e d i s s i p a t i o n .
T h e r s t t e r m o f E q . ( 6 . 1 2 ) i s a s e c o n d o r d e r d i s s i p a t i o n w i t h a n e x t r a p r e s s u r e
g r a d i e n t c o e c i e n t t o i n c r e a s e i t s v a l u e n e a r s h o c k s . T h e s e c o n d t e r m i s a f o u r t h
o r d e r t e r m w h e r e t h e l o g i c t o c o m p u t e
( 4 )
j k
s w i t c h e s i t o w h e n t h e s e c o n d o r d e r
n o n l i n e a r c o e c i e n t i s l a r g e r t h e n t h e c o n s t a n t f o u r t h o r d e r c o e c i e n t . T h i s o c c u r s
r i g h t n e a r a s h o c k . I n F i g s . 4 a n d 5 , w e s h o w s o l u t i o n s f o r t h e o w p r o b l e m o f F i g .
3 , u s i n g t h i s n o n l i n e a r a r t i c i a l d i s s i p a t i o n . F o r F i g . 4 w e e m p l o y j u s t t h e f o u r t h
o r d e r t e r m , i . e .
2
= 0
T h e o s c i l l a t i o n s a t t h e s h o c k a r e e l i m i n a t e d a n d a s h a r p s h o c k i s o b t a i n e d . I n
t h i s c a s e t h o u g h t h e r e i s a n o v e r s h o o t a n d u n d e r s h o o t a t t h e t o p a n d b o t t o m o f t h e
s h o c k w h i c h i s e l i m i n a t e d i n F i g . 5 b y a d d i n g t h e s e c o n d o r d e r t e r m ,
2
= 1 = 4
F i g u r e 4 . C o e c i e n t o f P r e s s u r e O b t a i n e d U s i n g F o u r t h O r d e r N o n l i n e a r D i s s i -
p a t i o n .
T h e r e s u l t s s h o w n a r e f u l l y c o n v e r g e d t o m a c h i n e z e r o a n d i n t h e c a s e o f F i g . 5
r e p r e s e n t t h e c u r r e n t q u a l i t y o f o u r s h o c k c a p t u r i n g c a p a b i l i t i e s . T h e c h o s e n v a l u e s
3 6
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F i g u r e 5 . C o e c i e n t o f P r e s s u r e O b t a i n e d U s i n g S e c o n d + F o u r t h O r d e r N o n -
l i n e a r D i s s i p a t i o n .
o f t h e c o e c i e n t s h a v e , a t l e a s t t o d a t e , b e e n s t a t i c a n d a r e n o t c h a n g e d f r o m c a s e
t o c a s e .
T h e i m p l i c i t d i s s i p a t i o n u s e d w i t h E q . ( 6 . 1 2 ) i s t h e l i n e a r i z a t i o n o f t h e e q u a -
t i o n t r e a t i n g t h e p r e s s u r e c o e c i e n t a n d t h e s p e c t r a l r a d i u s a s s p a c e v a r y i n g
f u n c t i o n s b u t i g n o r i n g t h e i r f u n c t i o n a l d e p e n d e n c y o n Q . T h e n t h e d i s s i p a t i o n i s
l i n e a r i n Q
j k
a n d i s a d d e d t o t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m a g a i n n e c e s s i t a t i n g s c a l a r
p e n t a d i a g o n a l s o l v e r s . T h i s p r o d u c e s a v e r y e c i e n t , s t a b l e a n d c o n v e r g e n t f o r m
o f t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m .
N e a r c o m p u t a t i o n a l b o u n d a r i e s w e m o d i f y t h e f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n s o a s
t o m a i n t a i n a d i s s i p a t i v e t e r m . A d e r i v a t i o n a n d a n a l y s i s o f v a r i o u s b o u n d a r y
t r e a t m e n t s i n g i v e n i n R e f . 2 8 ] . T h e m o d i c a t i o n i s n e e d e d a t t h e r s t i n t e r i o r
p o i n t ( e . g . Q
j + 1 k
) w h e r e t h e v e p o i n t f o u r t h o r d e r t e r m Q
j + 2 k
; 4 Q
j + 1 k
+
6 Q
j k
; 4 Q
j ; 1 k
+ Q
j ; 2 k
i s t o b e a p p l i e d . T h e r e t h e p o i n t Q
j + 2 k
d o e s n ' t e x i s t , t h e
f o r m u l a i s m o d i e d t o a o n e s i d e d s e c o n d o r d e r t e r m w i t h t h e d i e r e n c i n g s t e n c i l
; 2 Q
j + 1 k
+ 5 Q
j k
; 4 Q
j ; 1 k
+ Q
j ; 2 k
. S i m i l a r f o r m u l a s a r e u s e d a t o t h e r b o u n d a r i e s .
3 7
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6 . 4 T o t a l V a r i a t i o n D i m i n i s h i n g S c h e m e s , T V D
T h e d e v e l o p m e n t o f m o n o t o n e , u x v e c t o r / d i e r e n c e s p l i t t i n g , T V D a n d o t h e r
n o n o s c i l l a t o r y s c h e m e s c a n b e f o u n d i n n u m e r o u s p u b l i c a t i o n s , s e e f o r e x a m p l e ,
R e f s . 7 , 8 , 9 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 7 ] . H e r e w e s h a l l j u s t b r i e y d e n e t h e c o n d i t i o n s f o r a
c l a s s o f T V D s c h e m e s i n t r o d u c e d b y H a r t e n 2 7 ] .
T h e c o n d i t i o n s f o r a s c h e m e t o b e T V D i n H a r t e n ' s s e n s e c a n b e d e v e l o p e d f o r
t h e s c a l a r h y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o n l a w
@ u
@ t
+
@ f ( u )
@ x
= 0 ( 6 1 5 )
w h e r e f ( t h e u x ) i s a n o n l i n e a r f u n c t i o n o f u . W e c a n d e n e a c h a r a c t e r i s t i c s p e e d
a ( u ) = @ f = @ u
A o n e p a r a m e t e r f a m i l y o f s c h e m e s c a n b e d e n e d
u
n + 1
j
+
h
n + 1
j +
1
2
; h
n + 1
j ;
1
2
= u
n
j
; ( 1 ; )
h
n
j +
1
2
; h
n
j ;
1
2
( 6 1 6 a )
r e w r i t t e n a s
L u
n + 1
= R u
n
( 6 1 6 b )
4 w h e r e u
n
j
= u ( j x n t ) , = t = x , p a r a m e t e r i z e s t h e e q u a t i o n s f r o m t h e
f u l l y e x p l i c i t t o f u l l y i m p l i c i t f o r m s , a n d h i s t h e n u m e r i c a l u x f u n c t i o n w i t h
h
j
1
2
= h ( u
j 1
u
j
u
j 1
u
j 2
)
T h e t o t a l v a r i a t i o n o f a m e s h f u n c t i o n u
n
i s d e n e d a s
T V ( u
n
) =
1
X
j = ; 1
j u
n
j + 1
; u
n
j
j =
1
X
j = ; 1
j
j +
1
2
u
n
j ( 6 1 7 )
w h e r e
j +
1
2
= u
j + 1
; u
j
A n u m e r i c a l s c h e m e i s T V D i s
T V
;
u
n + 1
T V ( u
n
) ( 6 1 8 )
F o r E q u a t i o n ( 6 . 1 6 ) t h e c o n d i t i o n s d u e t o H a r t e n 2 7 ] a r e
T V ( R u
n
) T V ( u
n
) ( 6 1 9 a )
a n d
T V
;
L u
n + 1
T V
;
u
n + 1
( 6 1 9 b )
R e w r i t t i n g E q . ( 6 . 1 6 ) , a s s u m i n g h i s L i p s c h i t z c o n t i n u o u s ,
3 8
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u
n + 1
j
;
C
;
j +
1
2
j +
1
2
u ; C
+
j ;
1
2
j ;
1
2
u
n + 1
=
u
n
j
+ ( 1 ; )
C
;
j +
1
2
j +
1
2
u ; C
+
j ;
1
2
j ;
1
2
u
n
( 6 2 0 )
w i t h C
b o u n d e d f u n c t i o n s . S u c i e n t c o n d i t i o n s f o r E q . ( 6 . 1 9 ) a r e
f o r a l l j :
( 1 ; ) C
j +
1
2
0
( 1 ; )
C
+
j +
1
2
+ C
;
j +
1
2
1
; 1 < C ; C
j +
1
2
0
( 6 2 1 )
f o r n i t e C
T h e s e c o n d i t i o n s c a n b e u s e d t o a n a l y z e a n d c o n s t r u c t v a r i o u s T V D s c h e m e s .
R e f e r t o R e f e r e n c e s 2 7 ] , 7 ] a n d 8 ] f o r t w o f o r m s o f h i g h r e s o l u t i o n ( a t l e a s t s e c o n d
o r d e r a c c u r a t e ) T V D s c h e m e s a p p l i e d t o h y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o n l a w e q u a t i o n s .
3 9
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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V I I . T i m e A c c u r a c y , S t e a d y S t a t e s , C o n v e r g e n c e a n d S t a b i l i t y
7 . 1 T i m e A c c u r a c y v r s S t e a d y - S t a t e C o m p u t a t i o n
T h e i m p l i c i t a l g o r i t h m i s d e s i g n e d t o b e t i m e a c c u r a t e w h e r e s e c o n d o r d e r a c -
c u r a c y c a n b e m a i n t a i n e d a n d t h e e q u a t i o n s a r e i n t e g r a t e d t h r o u g h t i m e f r o m s o m e
m e a n i n g f u l i n i t i a l c o n d i t i o n t o t h e t h e s o l u t i o n a t t i m e T . I n t h i s c a s e t h e t i m e s t e p
i s c h o s e n t o b e c o m m e n s u r a t e w i t h s o m e t i m e s c a l e o f t h e p r o b l e m . T h e e v o l u t i o n
o f t h e s o l u t i o n t h r o u g h t i m e i s p h y s i c a l l y r e a l i s t i c a n d g o o d s o l u t i o n a c c u r a c y i s
d e p e n d e n t o n t h e m e s h s p a c i n g a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s .
T h e e q u a t i o n s c a n a l s o b e a p p l i e d t o s t e a d y - s t a t e p r o b l e m s . T y p i c a l l y w e
e m p l o y t h e r s t o r d e r s c h e m e i n t i m e a n d a t t e m p t t o a c c e l e r a t e t h e a l g o r i t h m
b y v a r i o u s n o n - t i m e - l i k e m a n e u v e r s . T h e e q u a t i o n s a r e t h e n i n t e g r a t e d f r o m a n
a r b i t r a r y i n i t i a l c o n d i t i o n t o a t i m e a s y m p t o t i c s t a t e . A n y p r o c e d u r e w h i c h d r i v e s
u s t o t h e s t e a d y - s t a t e f a s t e r m u s t a l s o b e s t a b l e a n d a c c u r a t e a t c o n v e r g e n c e . I t
m i g h t b e e x p e c t e d t h a t l a r g e t i m e s t e p s c o u l d b e u s e d t o d r i v e t h e s o l u t i o n t o t h e
s t e a d y - s t a t e f a s t e r . A s w e s h a l l s e e , b a s e d o n l i n e a r a n a l y s i s l a r g e t i m e s t e p s c a n
i n c r e a s e t h e c o n v e r g e n c e r a t e , b u t f o r f a c t o r e d f o r m s t h e l i m i t o f t h e a m p l i c a t i o n
f a c t o r ( a m e a s u r e o f t h e m a x i m u m c o n v e r g e n c e r a t e ) a s h = t ! 1 i s 1 .
A . E e c t o f F a c t o r i z a t i o n E r r o r s O n C o n v e r g e n c e
L e t u s d i v i d e t h e t o t a l s o l u t i o n i n t o t h e t r a n s i e n t ( t i m e - l i k e ) a n d p a r t i c u l a r
( s t e a d y - s t a t e ) p a r t s . T h e g o a l o f a n y f a s t s t e a d y - s t a t e a l g o r i t h m i s t o e l i m i n a t e t h e
t r a n s i e n t a s q u i c k l y a s p o s s i b l e . W e c a n e x a m i n e t h e a b i l i t y o f t h e i m p l i c i t s c h e m e
t o e l i m i n a t e t r a n s i e n t s b y i n v e s t i g a t i n g t h e m o d e l p r o b l e m , E q . ( 5 . 1 2 ) . I n t h i s c a s e ,
i n s t e a d o f E q . ( 5 . 1 4 ) w e t a k e
w = e w ( t ) e
i x
( 7 1 )
a n d t r e a t t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e @
x
a n a l y t i c a l l y , t h e n e x a m i n e t h e t e m p o r a l d i e r -
e n c i n g s c h e m e s i n o n e a n d t w o d i m e n s i o n s . T h i s g i v e s u s t h e p u r e l y t r a n s i e n t o n e
d i m e n s i o n a l m o d e l p r o b l e m
e w
t
+
x
e w = 0 ( 7 2 )
w i t h
x
= i
T h e d e l t a f o r m o f t h e r s t o r d e r i m p l i c i t a l g o r i t h m i s
( 1 + h
x
) e w
n
= ; h
x
e w
n
( 7 3 )
w h i c h c a n b e r e w r i t t e n a s
e w
n + 1
=
1
( 1 + h
x
)
e w
n
o r
e w
n
=
1
( 1 + h
x
)
n
e w
0
( 7 4 )
4 0
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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w h e r e e w
0
i s s o m e i n i t i a l v a l u e . T h e t e r m i n t h e b r a c k e t s i s t h e a m p l i c a t i o n f a c t o r ,
F o r h ! 1 e w
n
! 0 a n d t h e t r a n s i e n t c a n a c t u a l l y b e e l i m i n a t e d d i r e c t l y f o r
l a r g e h
I n c o n t r a s t , l e t u s e x a m i n e a t w o - d i m e n s i o n a l f a c t o r e d i m p l i c i t s c h e m e f o r t h e
t w o - d i m e n s i o n a l t r a n s i e n t p r o b l e m
e w
t
+
x
e w +
y
e w = 0 ( 7 5 )
T h i s i s t h e t w o - d i m e n s i o n a l c o u n t e r p a r t t o E q . ( 7 . 2 ) . A p p l y i n g t h e r s t o r d e r
i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n d e l t a a l g o r i t h m t o E q . ( 7 . 5 ) w e h a v e
1 + h
x
] 1 + h
y
]
e w
n
= ; h (
x
+
y
)
e w
n
( 7 6 )
E x p a n d i n g e w
n
= e w
n + 1
; e w
n
a n d c o m b i n i n g t e r m s w e h a v e
e w
n
=
"
;
1 + h
2
x
y
( 1 + h
x
+ h
y
+ h
2
x
y
)
#
n
e w
0
( 7 7 )
a n d s o j j ! 1 a s h ! 1
A c l o s e e x a m i n a t i o n o f t h i s r e s u l t s h o w s t h a t t h e f a c t o r i z a t i o n h a s d e s t r o y e d
t h e g o o d c o n v e r g e n c e c h a r a c t e r i s t i c s a t l a r g e t i m e s t e p s . T h e f a c t o r i n g e r r o r t e r m
h a s i n t r o d u c e d a h
2
t e r m i n t h e n u m e r a t o r o f t h e a m p l i c a t i o n f a c t o r . T h e r e f o r e
t h e f a c t o r e d s c h e m e s d o n o t h a v e g o o d c o n v e r g e n c e c h a r a c t e r i s t i c s f o r l a r g e t i m e
s t e p s . A c t u a l l y , t h e r e i s a r a n g e o f m o d e r a t e l y l a r g e t i m e s t e p s w h e r e t h e a m p l i -
c a t i o n f a c t o r i s a m i n i m u m , s e e f o r i n s t a n c e A b a r b a n e l , D w o y e r , a n d G o t t l i e b 2 9 ] .
C o n v e r g e n c e c a n t h e r e f o r e b e a c c e l e r a t e d b y u s i n g a t i m e s t e p w h i c h m i n i m i z e s t h e
a m p l i c a t i o n f a c t o r .
N o t e t h a t f o r t h e d e l t a f o r m o f t h e a l g o r i t h m ( e i t h e r f a c t o r e d o r u n f a c t o r e d )
t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n i s i n d e p e n d e n t o f t h e t i m e s t e p , h . ( T h e r e a r e n u m e r i c a l
s c h e m e s w h e r e t h i s i s n o t t h e c a s e , s u c h a s L a x - W e n d r o . ) T h e r e f o r e , t h e t i m e s t e p
p a t h t o t h e s t e a d y - s t a t e d o e s n o t a e c t t h e n a l s o l u t i o n a n d w e c a n e n v i s i o n u s i n g
t i m e s t e p s e q u e n c e s o r s p a t i a l l y v a r i a b l e t i m e s t e p s t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e .
B . S p a c e V a r y i n g t
M a n i p u l a t i o n o f t h e t i m e s t e p c a n h a v e a s u b s t a n t i a l i n u e n c e o n c o n v e r g e n c e
e v e n w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e f a c t o r e d a l g o r i t h m s . I f o n l y a s t e a d y s t a t e s o l u t i o n
i s r e q u i r e d , o n e c a n l e t h ( o r t ) c h a n g e i n s p a c e . T h i s a p p r o a c h c a n b e v i e w a s
a w a y t o c o n d i t i o n t h e i t e r a t i o n m a t r i x o f t h e r e l a x a t i o n s c h e m e d e n e d v i a E q .
( 5 . 2 2 ) o r E q . ( 5 . 2 6 ) . U s e o f a s p a c e v a r y i n g t c a n a l s o b e i n t e r p r e t e d a s a n
a t t e m p t t o u s e a m o r e u n i f o r m C o u r a n t n u m b e r t h r o u g h o u t t h e e l d . I n a n y e v e n t ,
c h a n g i n g t c a n b e e e c t i v e f o r g r i d s p a c i n g s t h a t v a r y f r o m v e r y n e t o v e r y c o a r s e
4 1
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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- a s i t u a t i o n u s u a l l y e n c o u n t e r e d i n a e r o d y n a m i c s i m u l a t i o n s w h e r e g r i d s c o n t a i n a
w i d e v a r i e t y o f l e n g t h s c a l e s .
A s p a c e v a r y i n g t h a s b e e n u s e d i n b o t h e x p l i c i t a n d i m p l i c i t s c h e m e s ( e . g .
S h a n g a n d H a n k e y 3 0 ] , M c D o n a l d a n d B r i l e y 3 1 ] , S h i r n i v a s a n e t a l 3 2 ] , C o a k l e y
3 3 ] , J a m e s o n 6 ] , e t c ) . A s a r u l e o n e w i s h e s t o a d j u s t t a t e a c h p o i n t p r o p o r t i o n a l
t o t h e g r i d s p a c i n g a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c s p e e d o f t h e o w . S o m e t h i n g l i k e t h e
C o u r a n t n u m b e r r e s t r i c t i o n ( w h i c h f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s i n m u l t i - d i m e n s i o n s i s
a b i t o f a n a p p r o x i m a t i o n ) .
F o r h i g h l y s t r e t c h e d g r i d s t h e s p a c e v a r i a t i o n o f t h e g r i d i s t h e m o s t i m p o r t a n t
p a r a m e t e r t o s c a l e w i t h . I n s u b s o n i c a n d t r a n s o n i c o w t h e c h a r a c t e r i s t i c s p e e d s
h a v e m o d e r a t e v a r i a t i o n a n d w e h a v e f o u n d t h a t a p u r e l y g e o m e t r i c v a r i a t i o n o f t
i s a d e q u a t e , s p e c i c a l l y
t =
t j
r e f
1 +
p
J
( 7 8 a )
T o i l l u s t r a t e t h e a d v a n t a g e o f u s i n g a v a r i a b l e t i m e s t e p , F i g . 6 s h o w s t h e
d e g r a d a t i o n i n c o n v e r g e n c e r a t e w h e n a c o n s t a n t s t e p s i z e i s s u b s t i t u t e d f o r t h e
v a r i a b l e t i m e s t e p i n a N A C A 0 0 1 2 t e s t c a s e . F o r t h i s c o m p a r i s o n a l l o t h e r p o s s i b l e
p a r a m e t e r s w e r e h e l d c o n s t a n t a n d n o o t h e r c h a n g e s w e r e e m p l o y e d . W e s h o u l d
n o t e a t t h i s t i m e t h a t t h e a b o v e v a r i a t i o n o f t i m e s t e p h a s o f t e n w o r k e d p o o r l y
i n v i s c o u s o w u n t i l t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n t e r m s w e r e a l s o p u t i n i m p l i c i t l y a s
d e s c r i b e d l a t e r . A l s o o t h e r f o r m s o f t h e v a r i a b l e s t e p s i z e s o m e t i m e s p e r f o r m b e t t e r
t h a n E q . ( 7 . 8 a 1 ) , f o r e x a m p l e
t =
t j
r e f
j U j + j V j + a
q
2
x
+
2
y
+
2
x
+
2
y
( 7 8 b )
w h i c h i s a p p r o x i m a t e l y a c o n s t a n t C F L c o n d i t i o n . H o w e v e r , E q . ( 7 . 8 b ) i s m o r e
c o s t l y t o c o m p u t e t h e n E q . ( 7 . 8 a ) .
C . M e s h S e q u e n c e s
F o r i n v i s c i d a i r f o i l c a l c u l a t i o n s o n a g r i d o f O ( 2 5 0 x 5 0 ) p r a c t i c a l c o n v e r g e n c e i s
u s u a l l y o b t a i n e d i n 5 0 0 - 6 0 0 n e g r i d i t e r a t i o n s w h e n t h e o w e l d h a s b e e n s t a r t e d
f r o m a n i n i t i a l c o n d i t i o n o f u n i f o r m f r e e s t r e a m o w . T y p i c a l l y t h e r s t 1 0 0 t o 2 0 0
i t e r a t i o n s o n t h e n e m e s h a r e n e e d e d t o g e t p a s t t h e i n i t i a l t r a n s i e n t s w h i c h c a n b e
a s u b s t a n t i a l p o r t i o n o f t h e t o t a l s o l u t i o n t i m e . F o r i n s t a n c e , i n t h e a b o v e t e s t c a s e
i t t a k e s o n t h e o r d e r o f 6 0 0 n e g r i d i t e r a t i o n s f o r a t i g h t c o n v e r g e n c e c r i t e r i a ( e . g .
l i f t t o 5 d e c i m a l p l a c e s ) , 2 0 0 o f w h i c h a r e s p e n t o n c l e a r i n g o u t t h e i m p u l s i v e s t a r t .
O n e w a y t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e t o a s t e a d y s t a t e i s t o o b t a i n a g o o d i n i t i a l g u e s s
f o r a n e m e s h b y r s t i t e r a t i n g o n a s e q u e n c e o f c o a r s e g r i d s a n d t h e n i n t e r p o l a t i n g
t h e s o l u t i o n u p t o t h e n e x t r e n e d g r i d . S u c h a m e s h s e q u e n c e p r o c e d u r e c a n o f t e n
r e d u c e t h e a m o u n t o f t i m e r e q u i r e d t o o b t a i n a s o l u t i o n t o p l o t a b l e a c c u r a c y b y
4 2
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 6 . C o n v e r g e n c e I m p r o v e m e n t D u e t o V a r i a b l e T i m e S t e p .
a f a c t o r o f t w o . A l s o , b e c a u s e a c o a r s e g r i d t e n d s t o d a m p h i g h f r e q u e n c y w a v e s ,
u s i n g a m e s h s e q u e n c e p r o c e d u r e c a n i m p r o v e t h e o v e r a l l r o b u s t n e s s o f t h e c o d e .
A m e s h s e q u e n c i n g p r o c e d u r e c a n b e i m p l e m e n t e d i n a n o p t i o n a l l y c a l l e d s t a n d
a l o n e r o u t i n e . I f a s e q u e n c e o f m g r i d s a r e u s e d , a c o a r s e n e d g r i d i s c u t f r o m e a c h
p r e v i o u s g r i d b y h a l v i n g t h e n u m b e r o f p o i n t s i n t h e - d i r e c t i o n a n d b y r e g e n e r a t i n g
a n e w - d i s t r i b u t i o n o f p o i n t s i n t h e - d i r e c t i o n u s i n g a f e w e r n u m b e r o f p o i n t s .
T h e - d i s t r i b u t i o n i s r e g e n e r a t e d b e c a u s e i n v i s c o u s o w s t h e s p a c i n g n e a r t h e w a l l
w o u l d b e t o o c o a r s e i f t h e h a l v i n g p r o c e d u r e i s u s e d . A n i t e n u m b e r o f i t e r a t i o n s
( p e r h a p s 5 0 ) a r e c a r r i e d o u t o n e a c h c o a r s e n e d g r i d a t w h i c h p o i n t t h e a p p r o x i m a t e
s o l u t i o n i s i n t e r p o l a t e d o n t o a m o r e r e n e d g r i d . T h e n e s t g r i d i s t h e n i t e r a t e d t o
c o n v e r g e n c e . T h e r e s u l t i s f a s t e r c o n v e r g e n c e t o p r a c t i c a l l e v e l s a n d a m o r e r o b u s t
s t a r t i n g p r o c e d u r e .
F o r a N A C A 0 0 1 2 t e s t c a s e a s e q u e n c e o f 3 g r i d s h a s b e e n u s e d 4 8 b y 1 8 a n d
4 3
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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9 6 b y 2 5 a n d t h e n a l g r i d o f 1 9 2 b y 3 3 p o i n t s . T h e c o n v e r g e n c e o f C
l
i s s h o w n i n
F i g . 7 t o i n d i c a t e t h e o v e r a l l i m p r o v e m e n t i n c o n v e r g e n c e d u e t o t h e u s e o f m e s h
s e q u e n c i n g i n c o m p a r i s o n t o t h e u s e o f a n e g r i d o n l y . B o t h c a s e s w e r e s t a r t e d
w i t h a f r e e s t r e a m i n i t i a l c o n d i t i o n .
F i g u r e 7 . I m p r o v e m e n t I n T o t a l C o n v e r g e n c e o f L i f t D u e t o M e s h S e q u e n c i n g .
7 . 2 E e c t o f D i s s i p a t i o n M o d e l o n C o n v e r g e n c e a n d S t a b i l i t y
A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n V I . , b a s e d o n l i n e a r t h e o r y t h e u s e o f e x p l i c i t d i s s i p a -
t i o n p r o d u c e s a n e x p l i c i t s t a b i l i t y b o u n d s u n l e s s i m p l i c i t d i s s i p a t i o n i s a d d e d . T h e
s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n , E q . ( 6 . 2 b ) , w i l l s t a b i l i z e t h e f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i -
p a t i o n i f t h e c o e c i e n t s a r e c h o s e n p r o p e r l y . I d e a l l y t h o u g h , i t w o u l d b e b e t t e r t o
t r e a t t h e e x p l i c i t d i s s i p a t i o n i n a f u l l y i m p l i c i t m a n n e r . T h a t i s , u s e i m p l i c i t f o u r t h -
d i e r e n c e d i s s i p a t i o n w h i c h i s a n e x a c t l i n e a r i z a t i o n o f t h e e x p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e
d i s s i p a t i o n . I n f a c t , a l t h o u g h t h e i m p l i c i t s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n s t a b i l i z e s
4 4
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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t h e f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n i t c a n h a v e a d e t r i m e n t a l e e c t o n t h e c o n v e r g e n c e
r a t e s o f a n i m p l i c i t a l g o r i t h m f o r s t e a d y - s t a t e c o m p u t a t i o n s .
C o n s i d e r t h e m o d e l p r o b l e m i n o n e - d i m e n s i o n ( e q u i v a l e n t t o E q . ( 5 . 1 2 ) w i t h a
c o n v e n i e n t c h a n g e i n n o t a t i o n ) ,
q
t
+ a q
x
= 0 ( 7 9 )
A p p l y i n g t h e r s t - o r d e r t i m e a c c u r a t e E u l e r i m p l i c i t s c h e m e i n d e l t a f o r m t o E q .
( 7 . 9 ) a n d a d d i n g e x p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n (
4
> 0 ) , i m p l i c i t s e c o n d -
d i e r e n c e d i s s i p a t i o n (
2
> 0 ) , a n d i m p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n (
4
> 0 )
g i v e s t h e a l g o r i t h m
1 + h a
x
; h
2
r
x
x
+ h
4
( r
x
x
)
2
( q
n + 1
; q
n
) = ; h
;
a
x
+
4
( r
x
x
)
2
q
n
( 7 1 0 )
F o u r i e r a n a l y s i s u s i n g q
n
= w
n
e
i k
j
j x
( w i t h k
j
t h e w a v e n u m b e r i n x ) p r o d u c e s
1 + h a
x
; h
2
x
+ h
4
2
x
( w
n + 1
; w
n
) = ; h
;
a
x
+
4
2
x
w
n
( 7 1 1 )
w h e r e
x
= 2 i s i n ( k
j
x ) = x r e p r e s e n t s t h e F o u r i e r s i g n a t u r e f o r t h e c e n t r a l d i e r -
e n c e
x
,
x
= ; 2 + 2 c o s ( k
j
x ) t h e s i g n a t u r e o f t h e s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n
o p e r a t o r r
x
x
, a n d
2
x
f o r t h e f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n .
T h e a m p l i c a t i o n f a c t o r f o r w
n + 1
= w
n
i s t h e n
=
1 + h
;
(
4
;
4
)
2
x
;
2
x
1 + h ( a
x
;
2
x
+
4
2
x
)
( 7 1 2 )
T h e c h o i c e s w h i c h w i l l b e i n v e s t i g a t e d a r e
1
4
6= 0 a n d
4
=
2
= 0 , e x p l i c i t d i s s i p a t i o n o n l y .
2
4
6= 0 ,
2
6= 0 , a n d
4
= 0 , e x p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n a n d i m p l i c i t
s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n , n o i m p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n .
3
4
6= 0 ,
4
6= 0 a n d
2
= 0 , e x p l i c i t a n d i m p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n
w i t h n o i m p l i c i t s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n .
F o r c a s e 1 , e x p l i c i t d i s s i p a t i o n o n l y , E q . ( 7 . 1 2 ) b e c o m e s
=
1 ; h
4
2
x
1 + h a
x
( 7 1 3 a )
N o w , s i n c e
x
i s p u r e i m a g i n a r y a n d h a s a m i n i m u m o f 0 , a n d ; 4
x
0 t h e
e x p l i c i t s t a b i l i t y b o u n d i s h
4
<
1
8
. T h i s i s a l i m i t o n t h e p r o d u c t o f h a n d
4
a n d
t h e r e f o r e o n e c a n a l w a y s n d a c o m b i n a t i o n w h i c h w i l l b e s t a b l e . B u t , f o r a r b r i t r a r y
h , e s p e c i a l l y i n t h e c a s e w h e r e l a r g e h a r e u s e d t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e , t h i s b o u n d
i s t o o r e s t r i c t i v e .
4 5
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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I n t h e s e c o n d c a s e , i m p l i c i t s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n c a n e l i m i n a t e t h e
a b o v e s t a b i l i t y b o u n d . T h e a m p l i c a t i o n f a c t o r i s n o w
=
1 ; h
4
2
x
; h
2
x
1 + h a
x
; h
2
x
( 7 1 3 b )
T h e n u m e r a t o r t e r m
x
c a n o n l y i m p r o v e t h e s t a b i l i t y b o u n d s s i n c e i t i s p u r e
i m a g i n a r y , s o i t i s t a k e n a t i t s m i n i m u m , 0 . L e t
2
= 2
4
a n d a p p l y t h e s t a b i l i t y
c o n d i t i o n j j 1 w h i c h r e s u l t s i n t h e c o n d i t i o n ; 2 ; h
4
x
( 4 +
x
) . S i n c e
x
0 , t h e c o n d i t i o n c a n b e r e w r i t t e n a s ; 2 h
4
j
x
j ( 4 +
x
) w h i c h i s s a t i s e d
b e c a u s e ; 4
x
. T h e r e f o r e , u s i n g
2
= 2
4
l e a d s t o u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y . T h e
d i s a d v a n t a g e o f t h i s i s f o r m i s e v i d e n t f r o m t h e a m p l i c a t i o n f a c t o r , E q . ( 7 . 1 3 b ) .
E v e n t h o u g h t h e s c h e m e i s u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e , ! 1 a s h ! 1 . I n f a c t , t h e
a m p l i c a t i o n f a c t o r h a s a m i n i m u m a t a n i t e h a n d t h e n a s y m p t o t e s r a p i d l y t o 1
a s h i n c r e a s e s . F o r t h i s r e a s o n , l a r g e h c a n n o t b e u s e d t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e
e v e n i n t h i s s i m p l e o n e - d i m e n s i o n a l e x a m p l e .
I n c o n t r a s t , t h e t h i r d c a s e o f i m p l i c i t a n d e x p l i c i t d i s s i p a t i o n i s u n c o n d i t i o n a l l y
s t a b l e a n d h a s g o o d c o n v e r g e n c e c h a r a c t e r i s t i c s f o r l a r g e h . T h e a m p l i c a t i o n f a c t o r
f o r
4
=
4
a n d
2
= 0 i s
=
1
1 + h ( a
x
+
4
2
x
)
( 7 1 3 c )
w h i c h i s u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e a n d ! 0 a s h ! 1
T h e a n a l y s i s f o r t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n s i s s t r a i g h t f o r w a r d a n d g i v e s s i m i l a r
r e s u l t s f o r t h e u n f a c t o r e d f o r m s . T h e o p t i m a l a l g o r i t h m i s a f u l l y i m p l i c i t o n e . I n
g e n e r a l , o p t i m a l s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e o n l y o c c u r s f o r t h e f u l l y i m p l i c i t f o r m o f
t h e a l g o r i t h m .
W e d e m o n s t r a t e t h e i m p r o v e d c o n v e r g e n c e a n d s t a b i l i t y b o u n d s i n F i g . 8 .
T h e c u r v e s i n F i g . 8 a r e c o n v e r g e n c e h i s t o r i e s f o r a t r a n s o n i c a i r f o i l c o m p u t a -
t i o n s h o w i n g t h e e e c t o f a f u l l y i m p l i c i t t r e a t m e n t o f t h e a r t i c i a l d i s s i p a t i o n . T h e
u p p e r c u r v e i s t h e r e s u l t o f s e c o n d o r d e r c o n s t a n t c o e c i e n t i m p l i c i t d i s s i p a t i o n ,
E q . ( 6 . 2 b ) , w i t h n o n l i n e a r e x p l i c i t d i s s i p a t i o n , E q . ( 6 . 1 2 ) . A m u c h f a s t e r c o n v e r -
g e n c e r a t e i s o b t a i n e d i n t h i s p r o b l e m w h e n t h e s e c o n d o r d e r i m p l i c i t d i s s i p a t i o n
i s r e p l a c e d b y a n i m p l i c i t l i n e a r i z a t i o n o f t h e n o n l i n e a r d i s s i p a t i o n o f E q . ( 6 . 1 2 ) ,
s e e R e f . 2 8 ] f o r m o r e d e t a i l s . A l s o t h e m a x i m u m a l l o w a b l e t i m e s t e p i s a t l e a s t 1 0
t i m e s l a r g e r f o r t h e f u l l y i m p l i c i t s c h e m e .
4 6
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 8 . I m p r o v e m e n t i n C o n v e r g e n c e R a t e D u e t o I m p l i c i t T r e a t m e n t o f
A r t i c i a l D i s s i p a t i o n .
V I I I . A R C 2 D - A R C 3 D A l g o r i t h m s
G e n e r a l p u r p o s e c e n t r a l l y s p a c e d i e r e n c e d i m p l i c i t n i t e d i e r e n c e c o d e s i n
t w o 2 ] a n d t h r e e 3 ] d i m e n s i o n s h a v e b e e n d e v e l o p e d a t N A S A A m e s a n d h a v e
b e e n w i d e l y d i s t r i b u t e d s i n c e t h e i r i n t r o d u c t i o n i n 1 9 7 7 a n d 1 9 7 8 . T h e s e c o d e s ,
n o w r e f e r r e d t o A R C 2 D a n d A R C 3 D , c a n r u n e i t h e r i n i n v i s c i d o r v i s c o u s m o d e f o r
s t e a d y o r u n s t e a d y o w . T h e y u s e g e n e r a l c o o r d i n a t e s y s t e m s a n d c a n b e r u n o n a n y
s m o o t h l y v a r y i n g c u r v i l i n e a r m e s h , e v e n a m e s h t h a t i s q u i t e s k e w . B e c a u s e t h e y
u s e w e l l o r d e r e d n i t e d i e r e n c e g r i d s , t h e c o d e s c a n t a k e a d v a n t a g e o f v e c t o r i z e d
c o m p u t e r p r o c e s s o r s a n d h a v e b e e n i m p l e m e n t e d f o r t h e C o n t r o l D a t a 2 0 5 a n d t h e
C R A Y 1 - S a n d X - M P . O n a s i n g l e p r o c e s s o r o f t h e X - M P a v e c t o r i z e d v e r s i o n o f t h e
c o d e r u n s a p p r o x i m a t e l y 2 0 t i m e s f a s t e r t h a n t h e o r i g i n a l c o d e w h i c h w a s w r i t t e n
f o r t h e C o n t r o l D a t a 7 6 0 0 .
T r a d i t i o n a l l y g a i n s i n c o m p u t a t i o n a l e c i e n c y d u e t o i m p r o v e d n u m e r i c a l a l -
g o r i t h m s h a v e k e p t p a c e w i t h g a i n s d u e t o i n c r e a s e d c o m p u t e r p o w e r . S i n c e t h e
A R C 2 D a n d A R C 3 D c o d e s w e r e i n t r o d u c e d , a v a r i e t y o f a l g o r i t h m i c c h a n g e s h a v e
b e e n i n d i v i d u a l l y t e s t e d a n d h a v e b e e n s h o w n t o i m p r o v e o v e r a l l c o m p u t a t i o n a l
e c i e n c y . T h e s e i n c l u d e u s e o f a s p a t i a l l y v a r y i n g t i m e s t e p ( t ) , u s e o f a s e q u e n c e
o f m e s h r e n e m e n t s t o e s t a b l i s h a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s , i m p l e m e n t a t i o n o f v a r i o u s
w a y s t o r e d u c e i n v e r s i o n w o r k , i m p r o v e d n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n t e r m s , a n d m o r e i m -
4 7
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 49/99
p l i c i t t r e a t m e n t o f t e r m s . A l t h o u g h t h e v a r i o u s i n d i v i d u a l a l g o r i t h m i m p r o v e m e n t s
c a n i n t e r a c t w i t h e a c h o t h e r , s o m e t i m e s a d v e r s e l y m a k i n g o p t i m i z a t i o n d i c u l t ,
t h e i r c o m b i n e d e e c t h a s l e a d t o a n o r d e r o f m a g n i t u d e g a i n i n c o m p u t a t i o n a l e -
c i e n c y f o r s t e a d y s t a t e a p p l i c a t i o n s . T h i s i s a g a i n e q u i v a l e n t t o t h a t a c h i e v e d w i t h
c o m p u t e r h a r d w a r e . U n s t e a d y o w c a l c u l a t i o n s h a v e a l s o b e n e t e d f r o m s o m e o f
t h e a b o v e i m p r o v e m e n t s .
W e n o w s u m m a r i z e t h e t w o b a s i c a l g o r i t h m s u s e d i n t h e c o d e A R C 2 D , s e e
S e c t i o n V I I I f o r d e t a i l s o f A R C 3 D . T h e s t a n d a r d a l g o r i t h m i s u s e d m a i n l y f o r t i m e
a c c u r a t e c a l c u l a t i o n s . T h e e q u a t i o n s a r e r e p r o d u c e f r o m E q . ( 5 . 2 2 )
h
I + h
b
A
n
i h
I + h
b
B
n
; h R e
; 1
c
M
n
i
b
Q
n
=
b
R
n
b
R
n
= ; h
h
b
E
n
+
b
F
n
; R e
; 1
b
S
n
i ( 8 1 )
T h i s s c h e m e c o n s i s t s o f r s t f o r m i n g t h e r i g h t h a n d s i d e ,
b
R
n
t h e n p e r f o r m i n g t w o
b l o c k t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n s . C e n t r a l d i e r e n c e s a r e u s e d f o r t h e u x a n d J a c o b i a n
d i e r e n c e s . T h e d i s s i p a t i o n m o d e l s u s e d a r e t h e i m p l i c i t s e c o n d o r d e r , E q s . ( 6 . 1 b ) ,
a d d e d t o t h e a p p r o p r i a t e i m p l i c i t o p e r a t o r t o k e e p t h e b a n d w i d t h t r i d i a g o n a l a n d
t h e e x p l i c i t n o n l i n e a r t e r m E q . ( 6 . 1 2 ) . S i n c e t h i s s c h e m e i s u s e d f o r t i m e a c c u r a t e
c a l c u l a t i o n t h e t y p i c a l t i m e s t e p w i l l b e s m a l l e n o u g h t o a s s u r e s t a b i l i t y e v e n t h o u g h
t h e e x p l i c i t d i s s i p a t i o n o p e r a t o r i s n o t p r o p e r l y l i n e a r i z e d . T h e a d v a n t a g e o f t h i s
s c h e m e i s t i m e a c c u r a c y w h i l e t h e d i s a d v a n t a g e i s s u b s t a n t i a l c o m p u t a t i o n a l w o r k .
I n m o s t i n s t a n c e s w e a r e i n t e r e s t e d i n s t e a d y s t a t e c o m p u t a t i o n s . I n t h a t c a s e
w e c a n t a k e a d v a n t a g e o f s i m p l i c a t i o n s s u c h a s t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m a s l o n g
a s t h e s c h e m e c o n v e r g e s a n d w e d o n o t d i s t o r t t h e s t e a d y s t a t e e q u a t i o n s . T h e
d i a g o n a l a l g o r i t h m u s e d i n A R C 2 D i s
T
I + h
]
b
N I + h
] T
; 1
b
Q
n
=
b
R
n
( 8 2 )
I n t h i s c a s e w e a l w a y s e m p l o y t h e n o n l i n e a r d i s s i p a t i o n m o d e l s , E q . ( 6 . 1 2 ) w i t h a
l i n e a r i z a t i o n o f t h e t e r m s w h i c h n e c e s s i t a t e s t h e u s e o f s c a l a r p e n t a d i a g o n a l s o l v e r s .
( N o t e t h a t t h e i m p l i c i t a r t i c i a l d i s s i p a t i o n t e r m s a r e p l a c e d i n s i d e t h e b r a c k e t e d
t e r m s a n d a r e o p e r a t e d o n b y t h e s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n s ) . T h i s f o r m o f t h e
d i a g o n a l s c h e m e g i v e s u s a v e r y e c i e n t c o d e i n t e r m s o f c o m p u t a t i o n a l w o r k a n d
e n h a n c e d s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e d u e t o t h e p r o p e r l i n e a r i z a t i o n o f t h e e x p l i c i t
s t e a d y s t a t e e q u a t i o n s . T h e t i m e a c c u r a c y t h o u g h i s a t m o s t r s t o r d e r . W e
a l s o e m p l o y t h e v a r i a b l e t i m e s t e p E q . ( 7 . 8 ) a n d m e s h s e q u e n c i n g t o a c c e l e r a t e
c o n v e r g e n c e .
W e s h a l l e m p l o y A R C 2 D a n d A R C 3 D t o d e m o n s t r a t e v a r i o u s a s p e c t s o f a l g o -
r i t h m i m p r o v e m e n t s , a c c u r a c y , a n d a p p l i c a t i o n i n t h e r e m a i n d e r o f t h e s e n o t e s .
4 8
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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I X . B o u n d a r y C o n d i t i o n s
T h e i m p l e m e n t a t i o n o f a s o p h i s t i c a t e d n u m e r i c a l a l g o r i t h m a n d t h e d e v e l o p -
m e n t o f a o w c o d e u s u a l l y a r e t r i v i a l t a s k s w h e n c o m p a r e d w i t h t h e w o r k o f a c t u a l l y
s o l v i n g a p a r t i c u l a r u i d d y n a m i c s p r o b l e m . W e c a n a l w a y s a s s e s s t h e a p p l i c a b i l -
i t y o f a n u m e r i c a l a l g o r i t h m b a s e d o n s t a b i l i t y a n d a c c u r a c y c o n s i d e r a t i o n s . T h e
w r i t i n g o f s p e c i a l i z e d i n p u t a n d o u t p u t r o u t i n e s , w h i l e n o t u n i m p o r t a n t , i s u s u a l l y
m e c h a n i c a l . T h e r e a l s t u m b l i n g b l o c k c o m e s w i t h t h e s e l e c t i o n , i m p l e m e n t a t i o n
a n d a s s e s s m e n t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( B C ) .
T h e r e i s a h i e r a r c h y o f d e c i s i o n s w h i c h a r e m a d e w h e n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n
p r o b l e m i s a t t a c k e d . T h e i m p o r t a n t a s p e c t s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n d e v e l o p m e n t
a r e :
1 . T h e p h y s i c a l d e n i t i o n o f t h e o w p r o b l e m m u s t b e s a t i s e d . F o r e x a m p l e ,
i n v i s c i d o w r e q u i r e s t a n g e n c y a t s o l i d s u r f a c e s , o r w e m a y w a n t t o s p e c i f y
p r e s s u r e a t s o m e b o u n d a r y .
2 . T h e p h y s i c a l c o n d i t i o n s m u s t b e p o s e d i n t e r m s o f t h e m a t h e m a t i c s o f t h e
p r o b l e m . C h a r a c t e r i s t i c t h e o r y s u g g e s t s t h e n u m b e r o f c o n d i t i o n s r e q u i r e d a t
a b o u n d a r y . T h e c o n d i t i o n o f n o s l i p f o r v i s c o u s o w i s i m p o s e d b y s e t t i n g t h e
o w v e l o c i t i e s t o z e r o a t s o l i d s u r f a c e s .
3 . T h e m a t h e m a t i c a l c o n d i t i o n s a r e n u m e r i c a l l y a p p r o x i m a t e d .
4 . T h e n u m e r i c a l i n t e r i o r s c h e m e m a y r e q u i r e m o r e b o u n d a r y i n f o r m a t i o n t h a n
t h e p h y s i c s p r o v i d e s . F o r e x a m p l e , s t a n d a r d c e n t r a l d i e r e n c i n g a s a n i n t e r i o r
s c h e m e r e q u i r e s a l l o w q u a n t i t i e s a t b o u n d a r i e s , b u t t h i s m a y n o t b e c o n s i s t e n t
w i t h m a t h e m a t i c a l t h e o r y . A d d i t i o n a l n u m e r i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s m a y b e
a d j o i n e d .
5 . T h e c o m b i n a t i o n o f i n t e r i o r n u m e r i c a l s c h e m e a n d b o u n d a r y s c h e m e s h o u l d b e
c h e c k e d f o r s t a b i l i t y a n d a c c u r a c y .
6 . F i n a l l y , w e m u s t a s s e s s t h e e c i e n c y a n d g e n e r a l i t y o f a o w c o d e i n t e r m s o f
i t s a b i l i t y t o h a n d l e a w i d e v a r i e t y o f p r o b l e m s a n d o w c o n d i t i o n s .
T h e p h y s i c a l d e n i t i o n o f t h e o w p r o b l e m i s t h e r s t a n d f o r e m o s t c o n s i d e r -
a t i o n . O n c e a g e o m e t r y a n d t o p o l o g y h a v e b e e n c h o s e n , t h e n p h y s i c s d i c t a t e s t h e
c o n s t r a i n t s o n t h e b o u n d a r i e s .
9 . 1 C h a r a c t e r i s t i c A p p r o a c h
T h e c o n c e p t o f c h a r a c t e r i s t i c t h e o r y i s b e s t d e m o n s t r a t e d w i t h t h e o n e - d i m e n s i o n a l
E u l e r e q u a t i o n s , w h e r e
@
t
Q + @
x
( A Q ) = 0 ( 9 1 )
r e p r e s e n t s t h e m o d e l e q u a t i o n . A s s u m i n g t h a t A i s a c o n s t a n t c o e c i e n t m a t r i x w e
c a n d i a g o n a l i z e E q . ( 9 . 1 ) u s i n g t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x X , s o t h a t
@
t
;
X
; 1
Q
+
A
@
x
;
X
; 1
Q
= 0 ( 9 2 )
4 9
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 51/99
D e n i n g X
; 1
Q = W , w e n o w h a v e a d i a g o n a l s y s t e m , w i t h
A
=
2
4
u 0 0
0 u + a 0
0 0 u ; a
3
5
( 9 3 )
A t t h e l e f t b o u n d a r y o f a c l o s e d p h y s i c a l d o m a i n , s e e F i g . 9 , w h e r e s a y 0 <
u < a , ( f o r e x a m p l e , s u b s o n i c i n o w f o r a c h a n n e l o w ) t h e t w o c h a r a c t e r i s t i c
s p e e d s u u + a a r e p o s i t i v e , w h i l e u ; a i s n e g a t i v e . A t i n o w t h e n , o n l y t w o p i e c e s
o f i n f o r m a t i o n e n t e r t h e d o m a i n a l o n g t h e t w o i n c o m i n g c h a r a c t e r i s t i c s a n d o n e
p i e c e l e a v e s a l o n g t h e o u t g o i n g c h a r a c t e r i s t i c . A t t h e o u t o w b o u n d a r y o n e p i e c e o f
i n f o r m a t i o n e n t e r s a n d t w o l e a v e . W e w o u l d l i k e t o s p e c i f y t h e r s t t w o c o m p o n e n t s
o f W , w h i c h a r e t h e t w o i n c o m i n g c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s a n d t h e n h a n d l e t h e t h i r d
c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s u c h t h a t i t s v a l u e i s n o t c o n s t r a i n e d , i . e . , i s d e t e r m i n e d b y
t h e i n t e r i o r o w .
F i g u r e 9 . C h a r a c t e r i s t i c s a t S u b s o n i c I n o w a n d O u t o w B o u n d a r i e s o f a C l o s e d
D o m a i n .
I t i s n o t n e c e s s a r y t o x v a l u e s o n l y i n t e r m s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s ,
o t h e r o w q u a n t i t i e s c o u l d b e e m p l o y e d , a s l o n g a s t h e y l e a d t o w e l l p o s e d c o n d i t i o n s
( t h a t i s , c o n d i t i o n s w h i c h g u a r a n t e e t h e s t a b i l i t y o f t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m ) . Y e e
3 4 ] p r o v i d e s a n e x c e l l e n t s u r v e y a n d d e v e l o p m e n t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s w i t h i n t h e
f r a m e w o r k o f a n i m p l i c i t a l g o r i t h m . T h e m a j o r c o n s t r a i n t s w h i c h o c c u r a r e t h a t t h e
c o r r e c t n u m b e r o f b o u n d a r y v a l u e s c o r r e s p o n d i n g t o i n c o m i n g c h a r a c t e r i s t i c s a r e
s p e c i e d a n d t h a t t h e a c t u a l i m p l e m e n t a t i o n i s s t a b l e a n d w e l l p o s e d . C h a k r a v a r t h y
3 5 ] p r e s e n t s a n i m p l i c i t c h a r a c t e r i s t i c b o u n d a r y p r o c e d u r e . I n t h i s t h e e i g e n v e c t o r s
o f t h e s y s t e m a r e c o u p l e d w i t h t h e c h o s e n x e d b o u n d a r y v a l u e s a n d o n e s i d e d
n i t e d i e r e n c e s t o d e v e l o p a n e q u a t i o n w h i c h i s s o l v e d f o r t h e o w v a r i a b l e s a t t h e
b o u n d a r i e s .
5 0
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 52/99
9 . 2 W e l l P o s e d n e s s
A s i m p l e c h e c k o n t h e w e l l p o s e d n e s s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s o b t a i n e d a s p a r t
o f C h a k r a v a r t h y ' s d e v e l o p m e n t . A s a n e x a m p l e , l e t u s c o n s i d e r o n e - d i m e n s i o n a l o w
w i t h s u b s o n i c i n o w a n d s u b s o n i c o u t o w . T h e n t w o v a r i a b l e s c a n b e s p e c i e d a t
i n o w , a s s o c i a t e d w i t h t h e r s t t w o e i g e n v a l u e s , a n d o n e v a r i a b l e c a n b e s p e c i e d
a t o u t o w , a s s o c i a t e d w i t h t h e t h i r d e i g e n v a l u e . A s s p e c i e d v a l u e s t a k e , =
i n
,
u = ( u )
i n
a n d p = p
o u t
. T h e s e c a n b e w r i t t e n a s
B
i n
( Q ) =
2
4
q
1
q
2
0
3
5
= B
i n
( Q
i n
) ( 9 4 a )
B
o u t
( Q ) =
2
4
0
0
( ; 1 ) ( q
3
;
1
2
q
2
2
= q
1
)
3
5
= B
o u t
( Q
o u t
) ( 9 4 b )
w i t h q
1
= q
2
= u q
3
= e
F o r m i n g t h e J a c o b i a n s C
i n
= @ B
i n
= @ Q , a n d C
o u t
= @ B
o u t
= @ Q w e h a v e
C
i n
=
2
4
1 0 0
0 1 0
0 0 0
3
5
a n d C
o u t
=
2
4
0 0 0
0 0 0
( ; 1 ) = 2 ] u
2
; ( ; 1 ) u ; 1
3
5
( 9 5 )
T h e e i g e n v e c t o r m a t r i x X
; 1
i s
2
6
4
1 ;
u
2
2
( ; 1 ) a
; 2
( ; 1 ) u a
; 2
; ( ; 1 ) a
; 2
( ; 1 )
u
2
2
; u a ] a ; ( ; 1 ) u ] ( ; 1 )
( ; 1 )
u
2
2
+ u a ] ; a + ( ; 1 ) u ] ( ; 1 )
3
7
5
( 9 6 )
w i t h = 1 = (
p
2 a )
T h e c o n d i t i o n f o r w e l l p o s e d n e s s o f t h e s e e x a m p l e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s t h a t
C
; 1
i n
a n d C
; 1
o u t
e x i s t w h e r e
C
i n
=
2
4
1 0 0
0 1 0
( ; 1 )
u
2
2
+ u a ] ; a + ( ; 1 ) u ] ( ; 1 )
3
5
( 9 7 a )
a n d
C
o u t
=
2
6
4
1 ;
u
2
2
( ; 1 ) a
; 2
( ; 1 ) u a
; 2
; ( ; 1 ) a
; 2
( ; 1 )
u
2
2
; u a ] a ; ( ; 1 ) u ] ( ; 1 )
( ; 1 )
u
2
2
; ( ; 1 ) u ; 1
3
7
5
( 9 7 b )
5 1
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 53/99
T h e s e m a t r i c e s a r e f o r m e d b y a d j o i n i n g t h e e i g e n v e c t o r a s s o c i a t e d w i t h t h e
o u t g o i n g c h a r a c t e r i s t i c t o t h e J a c o b i a n m a t r i c e s o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e
i n v e r s e s o f t h e a b o v e m a t r i c e s w i l l e x i s t i f d e t ( C ) i s n o n z e r o . F o r t h e t w o b o u n d a r i e s
w e h a v e d e t ( C
i n
) = ( ; 1 ) 6= 0 a n d d e t ( C
o u t
) = ( ; 1 ) a 6= 0 a n d s o t h e
b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e w e l l p o s e d . O t h e r c h o i c e s f o r s p e c i e d b o u n d a r y v a l u e s
c a n b e s i m i l a r l y c h e c k e d .
R a t h e r t h a n g o i n t o a n y m o r e d e t a i l o n b o u n d a r y c o n d i t i o n t h e o r y w e r e f e r
t h e r e a d e r t o R e f s . 3 4 ] a n d 3 5 ] . F o r t h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n , w e s h a l l d i s c u s s
s o m e o f t h e c u r r e n t t y p e s o f p h y s i c a l c o n d i t i o n s w h i c h a r e u s e d i n A R C 2 D .
9 . 3 C o m p u t a t i o n a l M a p p i n g o f B o u n d a r i e s
U s u a l l y i n a o w e l d c o m p u t a t i o n , w e a r e f a c e d w i t h a v a r i e t y o f b o u n d a r y
s u r f a c e s a n d c o n d i t i o n s . O u r e x p e r i e n c e h a s b e e n m o s t l y i n e x t e r n a l o w s a n d s o
w e s h a l l o u t l i n e b e l o w s o m e o f t h e m o r e c o m m o n l y u s e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e
c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s a r e m a d e s u c h t h a t p h y s i c a l b o u n d a r i e s a r e
m a p p e d t o b o u n d a r i e s i n t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . T h i s m a k e s t h e f o r m u l a t i o n
a n d i m p l e m e n t a t i o n o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s e a s i e r .
A t t h i s s t a g e i n t h e d e v e l o p m e n t o f A R C 2 D w e h a v e k e p t t h e b o u n d a r y c o n -
d i t i o n s e x p l i c i t . T h i s g i v e s u s a m o r e e x i b l e c l e a n c o d e s i n c e a l l B C a r e h a n d l e d
i n j u s t o n e s u b r o u t i n e . W e r e a l i z e t h a t i m p l i c i t b o u n d a r y t r e a t m e n t w i l l e n h a n c e
t h e s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e r a t e s o f t h e c o d e s . O u r e x p e r i e n c e h a s b e e n t h a t t h e
b a s i c c o d e i n i t s p r e s e n t f o r m i s f a i r l y r o b u s t a n d c a n b e i m p l e m e n t e d f o r a w i d e
v a r i e t y o f c a s e s . T h e u s e r i s t h e n r e s p o n s i b l e f o r t h e i m p l e m e n t a t i o n o f b o u n d a r y
c o n d i t i o n s .
A p a r t i c u l a r s e t o f B C f o r a n a i r f o i l c a l c u l a t i o n i s u s e d b e l o w f o r d e m o n s t r a t i o n
p u r p o s e s . T h e g e o m e t r y i s m a p p e d o n t o t h e c o m p u t a t i o n a l r e c t a n g l e s u c h t h a t a l l
t h e b o u n d a r y s u r f a c e s a r e e d g e s o f t h e r e c t a n g l e , f o r e x a m p l e s e e F i g . 1 0 .
I n \ O " m e s h t o p o l o g i e s t h e w a k e c u t b o u n d a r y i s p e r i o d i c a n d c a n b e h a n d l e d
a s s u c h w h e r e p e r i o d i c s o l v e r s a r e u s e d i n t h e i m p l i c i t i n v e r s i o n s .
A . B o d y S u r f a c e s
A t a r i g i d b o d y s u r f a c e , t a n g e n c y m u s t b e s a t i s e d f o r i n v i s c i d o w a n d t h e
n o s l i p c o n d i t i o n f o r v i s c o u s o w . I n t w o - d i m e n s i o n s b o d y s u r f a c e s a r e u s u a l l y
m a p p e d t o = c o n s t a n t c o o r d i n a t e s . T h e n o r m a l c o m p o n e n t o f v e l o c i t y i n t e r m s
o f t h e c u r v i l i n e a r m e t r i c s i s g i v e n b y
V
n
=
x
u +
y
v
q
(
2
x
+
2
y
)
( 9 8 a )
5 2
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 54/99
F i g u r e 1 0 . T o p o l o g i c a l M a p p i n g o f a n A i r f o i l o n t o a \ C " M e s h .
a n d t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t i s
V
t
=
y
u ;
x
v
q
(
2
x
+
2
y
)
( 9 8 b )
T h e r e f o r e , t a n g e n c y i s s a t i s e d b y V
n
= 0 ( n o o w t h r o u g h t h e b o d y ) . T h e t a n -
g e n t i a l v e l o c i t y V
t
i s o b t a i n e d a t t h e b o d y s u r f a c e t h r o u g h l i n e a r e x t r a p o l a t i o n f o r
i n v i s c i d c a s e s a n d i s s e t t o z e r o f o r v i s c o u s c a s e s . T h e C a r t e s i a n v e l o c i t i e s a r e t h e n
f o r m e d f r o m t h e i n v e r s e r e l a t i o n b e t w e e n t h e m a n d E q . ( 9 . 8 ) w h e r e
u
v
=
1
q
(
2
x
+
2
y
)
y
x
;
x
y
V
t
V
n
( 9 9 )
T h e e x t r a p o l a t i o n o f V
t
p r o d u c e s l e s s e r r o r i f t h e m e s h l i n e s a r e c l u s t e r e d t o t h e b o d y
s u r f a c e . T h e v e l o c i t i e s o f E q s . ( 9 . 8 a ) , a n d ( 9 . 8 b ) a r e s c a l e d s u c h t h a t t h e m e t r i c
v a r i a t i o n s a r e r e m o v e d w h i c h d e c r e a s e s t h e e r r o r s i n t h e e x t r a p o l a t i o n s , e s p e c i a l l y
f o r n o n o r t h o g o n a l m e s h e s .
T h e p r e s s u r e o n t h e b o d y s u r f a c e i s o b t a i n e d f r o m t h e n o r m a l m o m e n t u m
e q u a t i o n
@
t
+ u @
x
+ v @
y
] ; U (
x
u
+
y
v
) =
(
x
x
+
y
y
) p
+ (
x
2
+
y
2
) p
= p
n
q
x
2
+
y
2
( 9 1 0 )
w h e r e n i s t h e l o c a l n o r m a l t o t h e b o d y s u r f a c e . E q u a t i o n ( 9 . 1 0 ) i s s o l v e d a t t h e
s u r f a c e u s i n g c e n t r a l s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e d i e r e n c e s i n a n d o n e - s i d e d r s t - o r
s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e d i e r e n c e s i n . F o r s t e a d y u n i f o r m i n c o m i n g o w f r e e - s t r e a m
5 3
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 55/99
s t a g n a t i o n e n t h a l p y H
0
i s h e l d c o n s t a n t a l o n g t h e b o d y i n i n v i s c i d o w . U s i n g t h e
e q u a t i o n f o r e n t h a l p y H
0
= ( e + p ) = a n d t h e c o m p u t e d v e l o c i t i e s a n d p r e s s u r e , a
v a l u e o f d e n s i t y i s o b t a i n e d a t t h e b o d y . A d i a b a t i c o r c o n s t a n t t e m p e r a t u r e w a l l s
a r e u s e d f o r v i s c o u s a n d u n s t e a d y o w s t o o b t a i n d e n s i t y a t t h e s u r f a c e . I n e i t h e r
c a s e , t o t a l e n e r g y e i s d e c o d e d f r o m t h e e q u a t i o n o f s t a t e .
B . F r e e S u r f a c e s S t r e t c h e d g r i d s a r e u s u a l l y u s e d t o p l a c e f a r e l d b o u n d -
a r i e s f a r a w a y f r o m b o d y s u r f a c e s . W h e n b o w s h o c k s a n d a t t a c h e d s h o c k s a r e
g e n e r a t e d a t a b o d y s u r f a c e c a r e i s t a k e n t o e n s u r e t h a t t h e s h o c k s a r e s u c i e n t l y
w e a k w h e n t h e y r e a c h f a r e l d b o u n d a r i e s s o t h a t t h e y a r e n o t r e e c t e d o r a t l e a s t
t h e y r e e c t o u t s i d e t h e o w d o m a i n . A n o n r e e c t i v e c h a r a c t e r i s t i c l i k e b o u n d a r y
p r o c e d u r e i s u s e d a t f a r e l d b o u n d a r i e s .
F o r s u b s o n i c f r e e s t r e a m l o c a l l y o n e - d i m e n s i o n a l R i e m a n n i n v a r i a n t s a r e u s e d
a t t h e o u t e r f a r e l d b o u n d a r i e s . T h e l o c a l l y o n e - d i m e n s i o n a l R i e m a n n i n v a r i a n t s
a r e g i v e n i n t e r m s o f t h e n o r m a l v e l o c i t y c o m p o n e n t a s
R
1
= V
n
; 2 a = ( ; 1 ) a n d R
2
= V
n
+ 2 a = ( ; 1 ) ( 9 1 1 )
T h e R i e m a n n i n v a r i a n t s R
1
R
2
a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e t w o c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t i e s
( l o c a l l y o n e - d i m e n s i o n a l )
1
= V
n
; a a n d
2
= V
n
+ a r e s p e c t i v e l y . T w o o t h e r e q u a -
t i o n s a r e n e e d e d s o t h a t f o u r u n k n o w n s ( t h e f o u r o w v a r i a b l e s ) c a n b e c a l c u l a t e d .
W e c h o o s e V
t
a n d S = l n ( p =
) w h e r e S i s e n t r o p y . A t t h e f a r e l d b o u n d a r i e s
s h o w n i n F i g . 1 0 , t h e n o r m a l n i s d i r e c t e d a w a y f r o m t h e b o u n d a r y . F o r s u b s o n i c
i n o w V
n
< 0 a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y
2
> 0 , t h e r e f o r e t h e c h a r a c t e r i s t i c
v a r i a b l e R
2
c a n b e s p e c i e d a l o n g w i t h t w o o t h e r c o n d i t i o n s . T h e R i e m a n n i n v a r i -
a n t R
2
, V
t
a n d S a r e a l l s e t t o f r e e s t r e a m v a l u e s . T h e o t h e r c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y
1
< 0 a n d R
1
i s e x t r a p o l a t e d f r o m t h e i n t e r i o r o w v a r i a b l e s . O n s u b s o n i c o u t o w
V
n
> 0 a n d
2
> 0 w h i l e
1
< 0 s o o n l y R
1
i s x e d t o f r e e s t r e a m a n d R
2
, V
t
a n d
l n ( S ) a r e e x t r a p o l a t e d . O n c e t h e s e f o u r v a r i a b l e s a r e a v a i l a b l e a t t h e b o u n d a r y t h e
f o u r o w v a r i a b l e s Q c a n b e o b t a i n e d . F o r s u p e r s o n i c i n o w b o u n d a r i e s a l l o w
v a r i a b l e s a r e s p e c i e d a n d f o r s u p e r s o n i c o u t o w a l l v a r i a b l e s a r e e x t r a p o l a t e d .
A l o n g s i n g u l a r i t i e s o r c u t s i n t h e g e o m e t r y ( s u c h a s t h e w a k e c u t i n a \ C "
m e s h ) , a v e r a g i n g i s u s e d t o p r o v i d e c o n t i n u o u s o w v a r i a b l e s . A s m e n t i o n e d a b o v e
p e r i o d i c c o n d i t i o n s a r e u s e d f o r \ O " m e s h e s .
C . F a r F i e l d C i r c u l a t i o n C o r r e c t i o n
F o r l i f t i n g a i r f o i l s i n s u b s o n i c f r e e s t r e a m , c i r c u l a t i o n a t t h e f a r e l d b o u n d -
a r y i s a c c o u n t e d f o r t o r s t - o r d e r ( f o l l o w i n g S a l a s , e t . a l . 3 6 ] ) b y i m p o s i n g a
c o m p r e s s i b l e p o t e n t i a l v o r t e x s o l u t i o n w h i c h i s a d d e d a s a p e r t u r b a t i o n t o t h e f r e e
5 4
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 56/99
s t r e a m q u a n t i t i e s ( u
1
= M
1
c o s ( ) a n d v
1
= M
1
s i n ( ) ) . T h e p e r t u r b e d f a r e l d
b o u n d a r y v e l o c i t i e s a r e d e n e d a s
u
f
= u
1
+
; s i n ( )
2 r
;
1 ; M
2
1
s i n
2
( ; )
( 9 1 2 a )
a n d
v
f
= v
1
;
; c o s ( )
2 r
;
1 ; M
2
1
s i n
2
( ; )
( 9 1 2 b )
w h e r e t h e c i r c u l a t i o n ; =
1
2
M
1
l C
l
, l i s t h e c h o r d l e n g t h , C
l
t h e c o e c i e n t o f l i f t a t
t h e s u r f a c e , M
1
t h e f r e e s t r e a m M a c h n u m b e r , t h e a n g l e o f a t t a c k , =
p
1 ; M
2
1
a n d r a r e p o l a r c o o r d i n a t e s t o t h e p o i n t o f a p p l i c a t i o n o n t h e o u t e r b o u n d a r y
r e l a t i v e t o a n o r i g i n a t t h e q u a r t e r c h o r d p o i n t o n t h e a i r f o i l c e n t e r l i n e . A c o r r e c t e d
s p e e d o f s o u n d i s a l s o u s e d w h i c h e n f o r c e s c o n s t a n t f r e e s t r e a m e n t h a l p y a t t h e
b o u n d a r y w h e r e
a
2
f
= ( ; 1 )
H
1
;
1
2
( u
2
f
+ v
2
f
)
( 9 1 2 c )
E q u a t i o n s ( 9 . 1 2 ) a r e u s e d i n s t e a d o f f r e e s t r e a m v a l u e s i n d e n i n g t h e x e d q u a n -
t i t i e s f o r t h e f a r e l d c h a r a c t e r i s t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h e
s u r f a c e l i f t .
F i g u r e 1 1 s h o w s t h e c o e c i e n t o f l i f t C
l
p l o t t e d a g a i n s t t h e i n v e r s e o f t h e
d i s t a n c e t o t h e o u t e r b o u n d a r y f o r a N A C A 0 0 1 2 a i r f o i l a t t h e t r a n s o n i c c o n d i t i o n
M
1
= 0 8 = 1 2 5
a n d a t s u b c r i t i c a l c o n d i t i o n s M
1
= 0 6 3 = 2 0
I n
t h e s e c a s e s t h e o u t e r b o u n d a r y v a r i e s f o r 4 . 5 c h o r d s t o 9 6 c h o r d s w h e r e o u t e r m e s h
r i n g s w e r e e l i m i n a t e d f r o m t h e 9 6 c h o r d g r i d t o p r o d u c e t h e c u t d o w n m e s h e s . T h i s
i n s u r e s t h a t t h e g r i d s p a c i n g b e t w e e n t h e b o d y a n d o u t e r b o u n d a r y i s i d e n t i c a l f o r
a l l t h e c a s e s . W i t h o u t t h e f a r e l d v o r t e x c o r r e c t i o n t h e l i f t o f t h e s u b c r i t i c a l c a s e
c a n v a r y b y a s m u c h a s 1 2 % a s s e e n i n F i g . 1 1 . W i t h t h e f a r e l d v o r t e x l o g i c t h e
s u b c r i t i c a l c a s e n o w h a s v i r t u a l l y n o v a r i a t i o n w i t h o u t e r b o u n d a r y d i s t a n c e . F o r
t h e t r a n s o n i c c a s e w e s e e r o u g h l y a 1 - 2 % c h a n g e w h i c h i s q u i t e g o o d c o n s i d e r i n g
t h e s t r e n g t h o f t h e s h o c k s . T h e t y p i c a l d i s t a n c e c h o s e n f o r m o s t c a s e s p r e s e n t e d
h e r e i s 2 5 c h o r d s .
T h e v o r t e x c o r r e c t i o n l o g i c c a n b e m o d i e d t o p r o d u c e b o u n d a r y c o n d i t i o n s
w h i c h a l l o w o n e t o c o m p u t e t h e a n g l e o f a t t a c k f o r a g i v e n l i f t . T h i s i s d o n e b y
x i n g t h e c i r c u l a t i o n ; i n E q . ( 9 . 1 2 ) a t i t s v a l u e f o r t h e g i v e n l i f t . A n i t e r a t i v e
p r o c e d u r e i s u s e d w h e r e t h e l i f t c o m p u t e d a t t h e s u r f a c e i s c o m p a r e d t o t h e d e s i r e d
l i f t a n d t h e n t h e i n i t i a l a n g l e o f a t t a c k i s m o d i e d b y t h e f o r m u l a
= ;
( C
l
( i n p u t ) ; C
l
( c a l c u l a t e d ) )
w i t h
a r e l a x a t i o n p a r a m e t e r o n t h e o r d e r o f 2 . C o m p u t a t i o n s i n w h i c h a s p e c i e d
l i f t r e s u l t e d i n a n a n g l e o f a t t a c k w e r e c o m p a r e d w i t h x e d s o l u t i o n s a t t h e s a m e
5 5
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F i g u r e 1 1 . E e c t o n L i f t o f V a r y i n g O u t e r B o u n d a r y D i s t a n c e s W i t h a n d
W i t h o u t V o r t e x C o r r e c t i o n .
M a c h n u m b e r a n d s h o w e d e x c e l l e n t a g r e e m e n t . T h i s p r o c e d u r e h a s b e e n v e r i e d i n
n u m e r i o u s n u m e r i c a l e x a m p l e s .
X . G e o m e t r y a n d G r i d G e n e r a t i o n
T h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n p r o d u c e s a s y s t e m o f e q u a t i o n s
w h i c h c a n b e a p p l i e d t o a n y r e g u l a r a n d n o n s i n g u l a r g e o m e t r y o r g r i d s y s t e m . T h e
5 6
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a d v a n t a g e s o f t h i s f o r m a r e : S i n c e u n i f o r m u n i t s p a c i n g i s u s e d , t h e c o m p u t a t i o n a l
d o m a i n h a s a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h e p o s i t i v e i n t e g e r s a n d t h e r e f o r e
r e g u l a r u n w e i g h t e d d i e r e n c e f o r m u l a s c a n b e u s e d i n t h e n u m e r i c a l s c h e m e . T h i s
p r o d u c e s a c o m p u t e r c o d e w h i c h c a n b e a p p l i e d t o a w i d e v a r i e t y o f p r o b l e m s w i t h -
o u t m o d i c a t i o n o f t h e e q u a t i o n s a n d n u m e r i c a l s c h e m e . P h y s i c a l b o u n d a r y s u r f a c e s
c a n b e m a p p e d o n t o c o o r d i n a t e s u r f a c e s , w h i c h m a k e s a p p l i c a t i o n o f b o u n d a r y c o n -
d i t i o n s e a s i e r . T h e t r a n s f o r m a t i o n a l l o w s f o r u n s t e a d y m o t i o n o f t h e c o o r d i n a t e s ,
s o t h a t m o v i n g m e s h e s a n d d i s t o r t i n g s u r f a c e s c a n b e c o m p u t e d . G r i d l i n e s c a n b e
c o n c e n t r a t e d i n r e g i o n s o f h i g h g r a d i e n t s , f o r i n s t a n c e c l u s t e r e d t o b o d y s u r f a c e s t o
c a l c u l a t e b o u n d a r y l a y e r s , o r c l u s t e r e d n e a r s h o c k s .
T h e r e a r e a w i d e v a r i e t y o f m e t h o d s f o r g e n e r a t i n g g r i d s y s t e m s . A l g e b r a i c
m e t h o d s s u c h a s c o n f o r m a l m a p p i n g s , q u a d r a t i c f u n c t i o n s , o r t h e c o n t r o l f u n c t i o n
a p p r o a c h o f E i s e m a n 3 7 ] h a v e b e e n w i d e l y e m p l o y e d . T h e n u m e r i c a l a p p r o a c h
o f u s i n g e l l i p t i c s o l v e r s , T h o m p s o n , T h a m e s a n d M a s t i n 3 8 ] , i s a l s o w i d e l y u s e d .
T h o m p s o n 3 9 ] p r o v i d e s a g o o d r e v i e w o f t h e c u r r e n t s t a t e o f t h e a r t i n g r i d g e n e r -
a t i o n . F i g u r e s 1 2 a n d 1 3 s h o w a \ C " m e s h a n d a n \ O " m e s h t o p o l o g y f o r a n a i r f o i l
w h e r e t h e m e s h h a s b e e n g e n e r a t e d u s i n g a v a r i a n t o f E i s e m a n ' s m e t h o d 3 7 ] . T h e
t e r m i n o l o g y \ C " c o m e s f r o m t h e w r a p a r o u n d n a t u r e o f t h e g r i d . I n t h e c a s e s h o w n
g r i d l i n e s a r e c l u s t e r e d a t t h e l e a d i n g a n d t r a i l i n g e d g e , n e a r t h e b o d y i n t h e n e a r
n o r m a l d i r e c t i o n a n d o n t h e u p p e r s u r f a c e t o c a p t u r e a n e x p e c t e d s h o c k .
O n e o f t h e m a j o r d e c i e n c i e s i n c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s t o d a y l i e s i n
t h e a r e a o f s u r f a c e d e n i t i o n a n d g r i d g e n e r a t i o n . W h i l e t h e r e a r e a w i d e v a r i e t y
o f g e n e r a t i o n m e t h o d s , t h e r e i s n o e c i e n t a n d a c c u r a t e m e a n s t o a s s e s s t h e u s e -
f u l n e s s o f a p a r t i c u l a r g r i d . T h e o b v i o u s r s t c h e c k s s u c h a s n o t h a v i n g g r i d l i n e s
c r o s s , n o d i s c o n t i n u o u s c h a n g e s i n g r i d s p a c i n g a n d o t h e r c o s m e t i c q u a l i t i e s c a n
b e c h e c k e d . B u t , a s p e c t s s u c h a s h i g h s k e w n e s s , c u r v a t u r e s m o o t h n e s s , a n d o t h e r
i n t r i n s i c p r o p e r t i e s a r e h a r d t o a s s e s s . W h a t i s n e e d e d a t t h i s p o i n t i s a s e t o f w e l l
d e n e d q u a l i t a t i v e a n d q u a n t i t a t i v e c h e c k s f o r g r i d s y s t e m s w h i c h w i l l a l l o w u s t o
d i s t i n g u i s h b e t w e e n a \ b a d " g r i d a n d a \ g o o d " g r i d . A s y s t e m a t i c s t u d y o f t h i s
f o r m i s l a c k i n g a n d h o p e f u l l y w i l l b e p u r s u e d i n t h e n e a r f u t u r e .
X I . E x a m p l e s a n d A p p l i c a t i o n i n 2 - D
1 1 . 1 C o d e V a l i d a t i o n
O n c e a c o m p u t a t i o n a l c o d e h a s b e e n w r i t t e n a n d d e b u g g e d , t h e a u t h o r i s f a c e d
w i t h t h e d i c u l t c h a l l e n g e o f a s s e s s i n g t h e a c c u r a c y , e c i e n c y a n d r o b u s t n e s s o f
t h e p i e c e o f w o r k . E a c h c o d e i s o b v i o u s l y t a i l o r e d t o w a r d a c l a s s o f p r o b l e m s a n d
a t l e a s t i n i t i a l l y o n e s h o u l d r e s t r i c t a t t e n t i o n t o t h a t c l a s s . A s e r i e s o f t e s t c a s e s
s h o u l d b e e v a l u a t e d a n d t h e n d e t a i l e d g o a l s s h o u l d b e a t t a c k e d .
5 7
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F i g u r e 1 2 . \ C " M e s h f o r a N A C A 0 0 1 2 A i r f o i l .
I n t h e c a s e o f A R C 2 D a n d A R C 3 D a n u m b e r o f s a m p l e c a s e s h a v e b e e n c o m -
p u t e d a n d d e t a i l s o f t h e s e c a n b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e , s e e f o r i n s t a n c e 2 ] , 3 ] ,
4 0 - 4 7 ] , a n d n u m e r i o u s o t h e r s . H e r e I s h a l l b r i e y d i s c u s s s o m e o f t h e m o r e e x o t i c
c a s e s w i t h t h e g o a l o f d e m o n s t r a t i n g t h e v e r s a t i l i t y a n d b r e a t h o f a p p l i c a t i o n s . I
r e f e r t h e r e a d e r t o t h e o r i g i n a l p a p e r s ( w h e r e a p p r o p r i a t e ) f o r e x t e n s i v e d e t a i l s .
1 1 . 2 I n v i s c i d A i r f o i l s
T h e c o d e A R C 2 D h a s t h e o p t i o n o f c o m p u t i n g t h e i n v i s c i d e q u a t i o n s ( t h e
E u l e r e q u a t i o n s ) . T h e b a s i c v e r s i o n o f t h e c o d e i s w r i t t e n s p e c i c a l l y f o r a i r f o i l
c o m p u t a t i o n s . T h e p a r t i c u l a r s e t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s u s e d n o w t h o u g h a r e
d i r e c t e d t o w a r d t h e s o l u t i o n o f o w p a s t g e n e r a l a i r f o i l s h a p e s . T h e c o d e h a s b e e n
a p p l i e d t o a w i d e v a r i e t y o f a i r f o i l s h a p e s , o w c o n d i t i o n s , a n d o t h e r g e o m e t r i e s .
W e h a v e v a l i d a t e d t h e c o d e a g a i n s t o t h e r c o m p u t a t i o n a l m e t h o d s , 2 ] , 4 7 ] . T o
d e m o n s t r a t e t h e a c c u r a c y a n d e c i e n c y w e h a v e c h o s e n t w o t e s t c a s e s , a N A C A 0 0 1 2
a i r f o i l a t M
1
= 0 8 , = 1 2 5
o n a c o a r s e g r i d ( 1 9 2 b y 3 3 p o i n t s ) a n d a n e
g r i d ( 2 4 8 b y 4 9 p o i n t s ) . F o r c o m p a r i s o n p u r p o s e s w e u s e r e s u l t s f r o m J a m e s o n ' s
m u l t i g r i d E u l e r c o d e F L O 5 2 R 4 8 ] . F L O 5 2 R i s a n E u l e r c o d e u s i n g a m u l t i s t a g e
R u n g e - K u t t a l i k e a l g o r i t h m w i t h a m u l t i g r i d s c h e m e t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e .
5 8
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F i g u r e 1 3 . \ O " M e s h f o r a N A C A 0 0 1 2 A i r f o i l .
T h e c o d e e m p l o y s e n t h a l p y d a m p i n g , r e s i d u a l a v e r a g i n g a n d a n a r t i c i a l d i s s i p a t i o n
m o d e l o f t h e s a m e f o r m a s p r e s e n t e d i n S e c t i o n 6 . 3 . I n f a c t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s
a n d a r t i c i a l d i s s i p a t i o n m o d e l u s e d i n A R C 2 D w e r e m o d i e d t o b e t h e s a m e a s
i n F L O 5 2 R s o t h a t q u a n t i t a t i v e a s w e l l a s q u a l i t a t i v e c o m p a r i s o n s c o u l d b e m a d e .
T h e t w o c o d e s w e r e r u n o n t h e s a m e m a c h i n e , t h e C R A Y X M P a t N A S A A m e s , o n
t h e s a m e m e s h e s a n d a t t h e s a m e o w c o n d i t i o n s .
T h e r s t c a s e i s t h e N A C A 0 0 1 2 a i r f o i l a t M
1
= 0 8 a n d = 1 2 5
. T h e g r i d
u s e d i s a n \ O " m e s h t o p o l o g y w i t h 1 9 2 p o i n t s o n t h e a i r f o i l s u r f a c e ( r u n n i n g f r o m
t h e l o w e r t r a i l i n g e d g e a r o u n d t h e n o s e t o t h e u p p e r t r a i l i n g e d g e ) a n d 3 3 p o i n t
i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n . T h e g r i d w h i c h i s c l u s t e r e d a t t h e l e a d i n g a n d t r a i l i n g
e d g e s , n e a r t h e e x p e c t e d s h o c k l o c a t i o n s o n t h e u p p e r a n d l o w e r s u r f a c e s a n d i n t h e
n o r m a l d i r e c t i o n i s s h o w n i n F i g . 1 4
R e s u l t s f r o m t h i s c a s e u s i n g A R C 2 D a r e s h o w n i n F i g . 1 5 . W e s h o w h e r e
c o e c i e n t o f p r e s s u r e , M a c h c o n t o u r s , p r e s s u r e c o n t o u r s a n d c o n t o u r s o f e n t r o p y .
I n F i g . 1 6 w e s h o w s i m i l a r r e s u l t s f o r F L O 5 2 R . C o m p u t e d l i f t f o r A R C 2 D i s C
L
=
0 3 3 9 5 7 a n d f o r F L O 5 2 R C
L
= 0 3 2 4 0 8 . T h e c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e t w o c o d e s i s
q u i t e g o o d , d e s p i t e t h e d i e r e n c e s i n s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n .
W e h a v e e s t a b l i s h e d a n u m b e r o f a c c u r a c y c h e c k s a n d c o n v e r g e n c e c r i t e r i a f o r
c o m p a r i s o n p u r p o s e s . I n t e r m s o f a c c u r a c y w e r e c o m m e n d c o m p a r i s o n o f p r e s s u r e
5 9
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F i g u r e 1 4 . N A C A 0 0 1 2 G r i d U s i n g 1 9 2 b y 3 3 G r i d P o i n t s .
c o e c i e n t s , l i f t a n d o t h e r o w q u a n t i t i e s . I t i s a l s o i m p o r t a n t t o e s t a b l i s h t h e
a c c u r a c y o f c e r t a i n o w r e g i o n s . T h e s t a g n a t i o n r e g i o n n e a r t h e n o s e o f t h e a i r f o i l
i s p a r t i c u l a r l y s u s c e p t i b l e t o e r r o r s d u e t o p o o r b o u n d a r y c o n d i t i o n s , r e s o l u t i o n ,
o r p h y s i c a l a s s u m p t i o n s . T h e b e s t m e a s u r e o f t h i s e r r o r i s t h e e n t r o p y e l d . F o r
6 0
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F i g u r e 1 5 . A R C 2 D R e s u l t s f o r 1 9 2 b y 3 3 G r i d .
6 1
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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i n v i s c i d o w t h e r e s h o u l d b e n o g e n e r a t i o n o f e n t r o p y a t t h e l e a d i n g e d g e o f a n
a i r f o i l i n t h e a b s e n c e o f a l e a d i n g e d g e s h o c k . E x a m i n a t i o n o f t h e e n t r o p y a t t h e
l e a d i n g e d g e f o r t h e a b o v e c a s e s h o w s , s e e F i g . 1 7 , t h a t b o t h c o d e s g i v e r i s e t o s o m e
e r r o r a t t h e l e a d i n g e d g e , a l t h o u g h t h e m a g n i t u d e i s r a t h e r s m a l l .
F i g u r e 1 7 . E n t r o p y E r r o r s a t L e a d i n g E d g e . a ) A R C 2 D , b ) F L O 5 2 R .
A n u m b e r o f c o n v e r g e n c e c r i t e r i a h a v e b e e n c h o s e n t o a s s e s s t h e e c i e n c y a n d
c o n v e r g e n c e r a t e s o f t h e c o d e s . W e h a v e c h o s e n t o u s e c o m p u t e r t i m e s a s o u r
m e a s u r e o f r e l a t i v e s p e e d . S i n c e t h e t w o c o d e s a r e r u n o n t h e s a m e m a c h i n e s a n d
w i t h t h e s a m e m e s h e s t h i s i s a n a d e q u a t e m e a s u r e . O t h e r m e a s u r e s s u c h a s o p e r a -
t i o n c o u n t , w o r k o r i t e r a t i o n a r e u s u a l l y p r o g r a m m i n g d e p e n d e n t o r s u s c e p t i b l e t o
m i s i n t e r p r e t a t i o n . T h e c o n v e r g e n c e c r i t e r i a u s e d h e r e a r e :
1 . C o e c i e n t o f l i f t ( C
L
) t o 1 % o f c o n v e r g e d v a l u e .
2 . C o e c i e n t o f l i f t ( C
L
) t o 1 / 2 % o f c o n v e r g e d v a l u e .
3 . C o e c i e n t o f l i f t ( C
L
) t o 5 d e c i m a l p l a c e s .
4 . N u m b e r o f s u p e r s o n i c p o i n t s t o c o n v e r g e d v a l u e .
5 . R e s i d u a l t o m a c h i n e z e r o . ( 1 0
; 1 3
o n t h e C r a y X M P . )
T h e r e s i d u a l i s t h e l
2
n o r m o f t h e e x p l i c i t o r r i g h t h a n d s i d e o f E q . ( 8 . 1 ) . W e
u s e j u s t t h e c o m p o n e n t f r o m t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n , t h e o t h e r c o m p o n e n t s b e h a v e
6 2
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 1 6 . F L O 5 2 R R e s u l t s f o r 1 9 2 b y 3 3 G r i d .
6 3
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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C o n v e r g e n c e C o m p a r i s o n ( s e c o n d s )
C r i t e r i a A R C 2 D F L O 5 2 R
1 % o f C
L
6 8
1 / 2 % o f C
L
1 7 1 0 . 5
C
L
t o 5 p l a c e s 5 7 3 1
N o . S . S . p t s 3 6 1 7
M a c h i n e z e r o 1 2 0 9 7
T a b l e 1 . C o n v e r g e n c e D a t a f o r 1 9 2 b y 3 3 g r i d .
s i m i l a r l y . F o r t h e a b o v e c a s e o n t h e 1 9 2 b y 3 3 m e s h t h e c o m p u t e r t i m e s f o r t h e
c o n v e r g e n c e c r i t e r i a a r e g i v e n i n T a b l e 1 .
A s c a n b e s e e n f o r t h i s c a s e F L O 5 2 R i s u p t o t w i c e a s f a s t a s A R C 2 D f o r
s o m e c r i t e r i a . I n e i t h e r e v e n t t h e s e a r e f a i r l y g o o d c o n v e r g e n c e t i m e s . I n g e n e r a l ,
t h e s e n u m b e r s c a r r y o v e r f a i r l y c o n s i s t e n t l y f o r a w i d e v a r i e t y o f a i r f o i l s a n d o w
c o n d i t i o n s f o r s i m i l a r m e s h e s .
A m o r e s t r i n g e n t t e s t i s o b t a i n e d w i t h a n e r g r i d a n d m o r e g r i d p o i n t s . A
g r i d o f 2 4 8 b y 4 9 p o i n t s i s e m p l o y e d a s t h e s e c o n d s t u d y . T h e m e s h i s r e n e d m o r e
a t t h e n o s e , t a i l a n d n e a r t h e s h o c k s . A l s o t o r e d u c e t h e e n t r o p y e r r o r s a t t h e n o s e
t h e g r i d i s c l u s t e r e d m o r e t i g h t l y i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n b y r e d u c i n g t h e m i n i m u m
n o r m a l s p a c i n g b y a f a c t o r o f 2 . T h e m e s h i s s h o w n i n F i g . 1 8 .
C o m p u t a t i o n a l r e s u l t s f o r A R C 2 D a n d F L O 5 2 R a r e s h o w n i n F i g s . 1 9 a n d
2 0 . I n t h i s c a s e t h e s h o c k s a r e s h a r p e r a n d e n t r o p y e r r o r s a t t h e l e a d i n g e d g e a r e
e l i m i n a t e d .
C o n v e r g e n c e d a t a f o r t h i s c a s e i s c o n t a i n e d i n T a b l e 2 . I n F i g u r e 2 1 , w e s h o w
c o n v e r g e n c e h i s t o r y v r s i t e r a t i o n f o r t h e t w o A R C 2 D r e s u l t s . A l l t h e r e s u l t s o b -
t a i n e d w i t h A R C 2 D w e r e d o n e u s i n g t h e f u l l y i m p l i c i t p e n t a d i a g o n a l a l g o r i t h m .
A s m e n t i o n e d a b o v e , n u m e r i o u s o t h e r c a s e s a n d a i r f o i l s h a v e b e e n c o m p u t e d a n d
p e r f o r m s i m i l a r l y .
C o n v e r g e n c e C o m p a r i s o n ( s e c o n d s )
C r i t e r i a A R C 2 D F L O 5 2 R
1 % o f C
L
3 8 2 3
1 / 2 % o f C
L
5 2 . 5 2 5 . 5
C
L
t o 5 p l a c e s 1 7 4 1 6 8 . 5
N o . S . S . p t s 1 1 8 1 6 0
M a c h i n e z e r o 3 7 6 8 0 0 +
T a b l e 2 . C o n v e r g e n c e D a t a f o r 2 4 8 b y 4 9 g r i d .
6 4
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 66/99
F i g u r e 1 8 . N A C A 0 0 1 2 M e s h , 2 4 8 b y 4 9 .
1 1 . 3 V i s c o u s A i r f o i l s
T h e c o d e A R C 2 D h a s b e e n a p p l i e d t o a w i d e v a r i e t y o f v i s c o u s c o m p u t a t i o n s f o r
a i r f o i l s 2 ] , c a s c a d e s 4 1 ] , i n l e t s 4 2 ] , a i r f o i l s w i t h a s p o i l e r 4 3 ] , c i r c u l a t i o n c o n t r o l l e d
a i r f o i l s 4 4 ] , a n d o t h e r s . I t h a s b e e n u s e d i n a n u n s t e a d y m o d e ( s e e t h e n e x t s e c t i o n )
a n d f o r s t e a d y v i s c o u s c o m p u t a t i o n s . T h e a l g o r i t h m a s p r e s e n t e d a b o v e p e r f o r m s
v e r y w e l l f o r v i s c o u s c a s e s . I t i s c o n v e r g e n t , f a s t a n d a c c u r a t e . T w o e x a m p l e
c a s e s a r e p r e s e n t e d b e l o w . T h e c a s e s a r e t a k e n f r o m t h e s u g g e s t e d p r o b l e m s o f
t h e 1 9 8 1 S t a n f o r d O l y m p i c s 4 9 ] , a n R A E 2 8 2 2 a i r f o i l a t M
1
= 0 6 7 6 , = 1 9 3
,
R e = 5 7 1 0
6
a n d M
1
= 0 7 3 , = 2 7 9 a n d R e = 6 5 1 0
6
R e s u l t s o b t a i n e d f r o m A R C 2 D f o r t h e r s t c a s e a r e s h o w n i n F i g . 2 2 . T h e g r i d
u s e d i s a 2 4 8 b y 5 1 p o i n t \ O " m e s h . T h e t u r b u l e n c e m o d e l w a s u s e d a n d t r a n s i t i o n
w a s x e d a t 1 1 % c h o r d . E x p e r i m e n t a l d a t a d u e t o C o o k e t . a l . 5 0 ] i s u s e d f o r
c o m p a r i s o n . W e s e e a g o o d c o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t f o r p r e s s u r e c o e c i e n t ,
a n d b o u n d a r y l a y e r p r o p e r t i e s .
T h e c o m p u t e d l i f t , d r a g a n d m o m e n t a r e c o m p a r e d w i t h o t h e r c o m p u t a t i o n s
a n d t h e e x p e r i m e n t i n T a b l e 3 . D u e t o t h e u n c e r t a i n t y o f t h e a n g l e o f a t t a c k
c o r r e c t i o n a l l c o m p u t o r s m a t c h e d l i f t . W e s h o w h e r e o u r c o m p u t a t i o n f o r b o t h t h e
e x p e r i m e n t a l l y c o r r e c t e d a n g l e o f a t t a c k a n d t h e v a l u e s w h e n l i f t i s m a t c h e d . A l s o
s h o w n a r e r e s u l t s f r o m c o m p u t o r s a t t h e S t a n f o r d O l y m p i c s a n d s o m e r e s u l t s o f
M e h t a 5 1 ] . F o r t h e p r e s e n t c o m p u t a t i o n s a t t h e t w o a n g l e s o f a t t a c k t h e p r e s s u r e
6 5
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 1 9 . A R C 2 D R e s u l t s f o r 2 4 8 b y 4 9 G r i d .
a n d b o u n d a r y l a y e r q u a n t i t i e s a r e a l m o s t i d e n t i c a l . T h e c h a n g e s i n l i f t a n d d r a g a r e
6 6
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 2 0 . F L O 5 2 R R e s u l t s f o r 2 4 8 b y 4 9 G r i d .
n o t e d . T h e o v e r a l l c o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t a n d o t h e r c o m p u t a t i o n s i s q u i t e
6 7
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 2 1 . C o n v e r g e n c e H i s t o r y v r s I t e r a t i o n f o r A R C 2 D R e s u l t s .
g o o d .
R e s u l t s o b t a i n e d f o r t h e s e c o n d c a s e a r e s h o w n i n F i g . 2 3 . T h e g r i d u s e d i s
a 2 4 8 b y 5 1 p o i n t \ O " m e s h . T h e t u r b u l e n c e m o d e l w a s u s e d a n d t r a n s i t i o n w a s
x e d a t 3 % c h o r d . W e a g a i n s e e a g o o d c o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t f o r p r e s s u r e
c o e c i e n t , a n d b o u n d a r y l a y e r p r o p e r t i e s .
T h e c o m p u t e d l i f t , d r a g a n d m o m e n t a r e c o m p a r e d w i t h o t h e r c o m p u t a t i o n s
a n d t h e e x p e r i m e n t i n T a b l e 4 . R e s u l t s f r o m c o m p u t o r s a t t h e S t a n f o r d O l y m p i c s
a n d s o m e r e s u l t s o f M e h t a 5 1 ] a r e s h o w n . T h e o v e r a l l c o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t
a n d o t h e r c o m p u t a t i o n s i s a g a i n q u i t e g o o d . T h e s h o c k l o c a t i o n o n t h e u p p e r
s u r f a c e c o m p a r e s w e l l . I n t h e p r e s e n t c o m p u t a t i o n s a s m a l l r e g i o n o f s e p a r a t e d o w
o c c u r s a t t h e b a s e o f t h e s h o c k a n d n e a r t h e t r a i l i n g e d g e o n t h e u p p e r s u r f a c e .
C o n v e r g e n c e h i s t o r y v r s i t e r a t i o n f o r t h e s e c a s e s a r e s h o w n i n F i g . 2 4 . T a b l e 5
s h o w s t h e c o m p u t e d c o n v e r g e n c e c r i t e r i a f o r t h e s e c a s e s . T h e c o n v e r g e n c e f o r t h e s e
c a s e s i s q u i t e g o o d .
6 8
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 2 2 . V i s c o u s R e s u l t s f o r R A E 2 8 2 2 A i r f o i l a t R e = 5 7 1 0
6
, M
1
= 0 6 7 6 ,
= 1 9 3
1 1 . 4 U n s t e a d y A i l e r o n B u z z
A c a l c u l a t i o n o f u n s t e a d y a i l e r o n b u z z w a s p e r f o r m e d b y S t e g e r a n d B a i l e y
4 0 ] . A c o m p o s i t e o f t h e r e s u l t s f r o m t h e i r p a p e r i s s h o w n i n F i g . 2 5 .
6 9
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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L o a d s { R A E 2 8 2 2 A i r f o i l { M
1
= 0 6 7 6 R e = 5 7 1 0
6
C
L
C
D P
C
D f
C
D
C
M
E x p e r i m e n t 2 . 4 0 0 . 5 6 6 0 . 0 0 8 5 { 0 . 0 8 2
C o r r e c t e d E x p . 1 . 9 3 0 . 5 6 6 0 . 0 0 8 5 { 0 . 0 8 2
M e h t a ( 1 9 8 3 ) 1 . 8 0 0 . 5 6 6 0 . 0 0 3 3 0 . 0 0 6 1 0 . 0 0 9 4 { 0 . 0 8 7
M e l n i k ( 1 9 8 1 ) 1 . 8 4 0 . 5 6 6 0 . 0 0 2 7 0 . 0 0 6 0 0 . 0 0 8 7 { 0 . 0 8 2
L e B a l l e u r ( 1 9 8 1 ) 1 . 9 3 0 . 5 6 6 0 . 0 0 3 6 0 . 0 0 5 6 0 . 0 0 9 2 { 0 . 0 8 0
P r e s e n t 1 . 9 3 0 . 5 7 6 0 . 0 0 3 4 0 . 0 0 5 5 0 . 0 0 8 9 { 0 . 0 8 1
P r e s e n t C o r . 1 . 8 7 0 . 5 6 6 0 . 0 0 3 4 0 . 0 0 5 5 0 . 0 0 8 9 { 0 . 0 8 1
T a b l e 3 . F o r c e s f o r R A E 2 8 2 2 V i s c o u s C a l c u l a t i o n .
I n t h i s c a s e a t w o d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o n o f t h e i n t e r a c t i o n o f a s h o c k a n d
t h e m o v a b l e a i l e r o n ( a p ) o n a w i n g w a s p e r f o r m e d . S t e g e r a n d B a i l e y u s e d a
p r e d e c e s s o r o f A R C 2 D c o u p l e d w i t h a o n e d e g r e e o f f r e e d o m e q u a t i o n d e s c r i b i n g
t h e m o t i o n o f t h e a i l e r o n o n a n a i r f o i l . A a i r f o i l w i t h a h i n g e p o i n t a t 7 5 % c h o r d
w a s u s e d . T h e a i l e r o n w a s f r e e m o v i n g w i t h o u t d a m p i n g a n d r e s p o n d e d t o t h e
a e r o d y n a m i c f o r c e s i n b a l a n c e w i t h t h e i n e r t i a f o r c e s .
T h e o w c o n d i t i o n s w e r e i n t h e t r a n s o n i c r a n g e o f M a c h n u m b e r f r o m M
1
=
0 . 7 6 t o 0 . 8 3 a n d a n g l e s o f a t t a c k o f = ; 1 0
t o 1 0
. E x p e r i m e n t s p e r f o r m e d
b y E r i k s o n a n d S t e p h e n s o n 5 2 ] o n a P - 8 0 w i n g - a i l e r o n a r r a n g e m e n t w e r e u s e d f o r
c o m p a r i s o n . A b u z z b o u n d a r y w a s e s t a b l i s h e d i n t h e e x p e r i m e n t s ( i n t e r m s o f
M a c h n u m b e r a n d a n g l e o f a t t a c k ) w h e r e b e l o w t h e b o u n d a r y t h e a i l e r o n r e m a i n e d
s t a t i o n a r y . A b o v e t h e b u z z b o u n d a r y t h e s h o c k s y s t e m o n t h e a i r f o i l m o v e s o n t o t h e
a i l e r o n a n d e x c i t e s t h e b u z z m o t i o n o f t h e a i l e r o n . A n u n s t e a d y h a r m o n i c m o t i o n
o c c u r s w i t h t h e u p p e r a n d l o w e r s h o c k s r u n n i n g a c r o s s t h e h i n g e o n t o a n d o o f
t h e a i l e r o n .
S t e g e r a n d B a i l e y s i m u l a t e d t h i s o w u s i n g t h e t h i n l a y e r N a v i e r S t o k e s e q u a -
t i o n s f o r t h e c o n d i t i o n s s h o w n b y t h e s y m b o l s i n F i g . 2 5 b . F i g u r e 2 5 c s h o w s a c a s e
b e l o w t h e b u z z b o u n d a r y . I n t h i s c a s e t h e y g a v e t h e a i l e r o n a n i n i t i a l d e e c t i o n o f
4
a n d i n t e g r a t e d f o r w a r d i n t i m e . A s s e e n t h e a i l e r o n m o t i o n d a m p s t o t h e n e u t r a l
p o s i t i o n o f 0
d e e c t i o n . A b o v e t h e b u z z b o u n d a r y e v e n a n a i l e r o n d e e c t i o n o f
0
i s e x c i t e d t o t h e u n s t e a d y m o t i o n . I n F i g . 2 5 d t h e r e s u l t s a r e c o m p a r e d w i t h
t h e m e a s u r e d e e c t i o n a n g l e s . I n F i g . 2 5 c t h e c o m p u t e d b u z z b o u n d a r y c o m p a r e s
q u i t e w e l l w i t h t h e m e a s u r e d b o u n d a r y .
1 1 . 5 H i g h A n g l e o f A t t a c k A i r f o i l s
A p p l i c a t i o n o f t h e c o d e A R C 2 D t o t h e s t u d y o f a i r f o i l s a t h i g h a n g l e s o f a t t a c k
w a s c a r r i e d o u t b y B a r t o n a n d P u l l i a m 5 3 ] . I n t h i s s t u d y N A C A 0 0 1 2 a i r f o i l o w s a t
7 0
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 72/99
F i g u r e 2 3 . V i s c o u s R e s u l t s f o r R A E 2 8 2 2 A i r f o i l a t R e = 6 5 1 0
6
, M
1
= 0 7 3 ,
= 2 7 9
l o w M a c h n u m b e r , M
1
= 0 2 5 t o 0 4 0 a n d a n g l e s o f a t t a c k u p t o 1 5
w e r e e x a m i n e d .
C o m p u t a t i o n s w e r e p e r f o r m e d f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s a n d t h i n l a y e r N a v i e r - S t o k e s .
T h e c a l c u l a t i o n s p r e s e n t e d w e r e r u n t i m e a c c u r a t e l y b e c a u s e u n s t e a d y e e c t s w e r e
7 1
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 73/99
L o a d s { R A E 2 8 2 2 A i r f o i l { M
1
= 0 7 3 R e = 6 5 1 0
6
C
L
C
D P
C
D f
C
D
C
M
E x p e r i m e n t 3 . 1 9 0 . 8 0 3 0 . 0 1 6 8 { 0 . 0 9 9
C o r r e c t e d E x p . 2 . 7 9 0 . 8 0 3 0 . 0 1 6 8 { 0 . 0 9 9
M e h t a ( 1 9 8 3 ) 2 . 7 9 0 . 7 9 3 0 . 0 1 1 8 0 . 0 0 5 9 0 . 0 1 7 7 { 0 . 0 9 4
M e l n i k ( 1 9 8 1 ) 2 . 5 4 0 . 8 0 3 0 . 0 1 0 0 0 . 0 0 5 7 0 . 0 1 5 7 { 0 . 0 9 4
L e B a l l e u r ( 1 9 8 1 ) 2 . 7 9 0 . 7 8 7 0 . 0 1 1 1 0 . 0 0 5 5 0 . 0 1 6 6 { 0 . 0 8 6
P r e s e n t 2 . 7 9 0 . 8 2 4 0 . 0 1 2 8 0 . 0 0 5 0 0 . 0 1 7 8 { 0 . 0 9 2
P r e s e n t C o r . 2 . 6 7 0 . 8 0 3 0 . 0 1 1 3 0 . 0 0 5 1 0 . 0 1 6 4 { 0 . 0 9 2
T a b l e 4 . F o r c e s f o r R A E 2 8 2 2 V i s c o u s C a l c u l a t i o n .
a n t i c i p a t e d . I n t h a t p a p e r u n s t e a d y s e p a r a t e d b u t i n v i s c i d r e s u l t s w e r e o b t a i n e d .
C o m p a r i s o n s w e r e m a d e w i t h v i s c o u s c o m p u t a t i o n a n d e x p e r i m e n t t o d e m o n s t r a t e
t h a t i n v i s c i d o w s e p a r a t i o n c a n b e q u a l i t a t i v e l y d i e r e n t t h a n v i s c o u s o w . A
s i m i l a r s t u d y w h i c h c o n c e n t r a t e d o n c o m p a r i s o n s w i t h v i s c o u s e x p e r i m e n t a l d a t a
w a s c a r r i e d o u t b y A n d e r s o n , T h o m a s a n d R u m s e y 5 4 ] i n w h i c h g o o d q u a n t i t a t i v e
c o m p a r i s o n w e r e o b t a i n e d . W e s h a l l b r i e y d i s c u s s h e r e t h e c o m p u t a t i o n s o f B a r t o n
a n d P u l l i a m .
B a r t o n a n d P u l l i a m p r e s e n t e d t w o t y p e s o f i n v i s c i d o w s e p a r a t i o n . I n t h e
r s t c a s e a t o w c o n d i t i o n s , M
1
= 0 2 5 = 1 5
a s h o c k f r e e s o l u t i o n w i t h
i n v i s c i d o w s e p a r a t i o n w a s o b t a i n e d a n d t h e c a u s e o f t h e s e p a r a t i o n w a s t r a c e d t o
n u m e r i c a l e r r o r . A t t h e h i g h a n g l e o f a t t a c k , i n a c c u r a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d
r e s o l u t i o n a t t h e l e a d i n g e d g e p r o d u c e d v o r t i c i t y ( e n t r o p y g r a d i e n t s ) w h i c h w a s
c o n v e c t e d d o w n s t r e a m , r e s u l t i n g i n a n u n s t e a d y s e p a r a t i o n o n t h e u p p e r s u r f a c e
n e a r t h e t r a i l i n g e d g e . B y r e n i n g t h e g r i d a n d i m p r o v i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s
a s t e a d y e r r o r f r e e s o l u t i o n w a s o b t a i n e d . F i g u r e 2 6 s h o w s t h e e n t r o p y c o n t o u r s a t
t h e l e a d i n g e d g e b e f o r e a n d a f t e r t h e i m p r o v e m e n t . F i g u r e 2 7 s h o w s a c o m p a r i s o n
w i t h f u l l p o t e n t i a l r e s u l t s u s i n g T A I R 5 5 ] a n d s h o w s t h a t g o o d i n v i s c i d r e s u l t s a r e
o b t a i n e d .
A t a h i g h e r M a c h n u m b e r M
1
= 0 4 a n d t h e s a m e a n g l e o f a t t a c k = 1 5
a
s h o c k f o r m s a t t h e l e a d i n g e d g e , s e e F i g . 2 8 . I n t h i s c a s e t h e s h o c k i s t h e s o u r c e
o f v o r t i c i t y w h i c h i s t h e n c o n v e c t e d d o w n s t r e a m a n d f o r m s a n u n s t e a d y s e p a r a t i o n .
G r i d r e n e m e n t a n d t h e i m p r o v e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s w e r e u s e d p r o d u c i n g a n
e r r o r f r e e l e a d i n g e d g e , b u t t h e u n s t e a d y m o t i o n w a s u n a e c t e d . T h e v o r t i c i t y
( e n t r o p y ) g e n e r a t i o n i s a r e s u l t o f t h e s t r o n g n o r m a l s h o c k s t r e n g t h g r a d i e n t a n d
h i g h c u r v a t u r e o f t h e l e a d i n g e d g e .
T h e u n s t e a d y m o t i o n o f t h e s o l u t i o n i s d e p i c t e d i n F i g . 2 9 , w h i c h s h o w s t h e
t i m e h i s t o r y o f t h e p r e s s u r e c o e c i e n t , s t r e a m f u n c t i o n c o n t o u r s a n d e n t r o p y e l d s
o v e r a c o m p l e t e c y c l e . A d e s c r i p t i o n o f t h e e v o l u t i o n o f t h i s c a s e i s a s f o l l o w s .
A s t h e o w d e v e l o p s , a s t r o n g s h o c k i s g e n e r a t e d a t t h e l e a d i n g e d g e . E n t r o p y ,
7 2
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 2 4 . C o n v e r g e n c e H i s t o r y f o r R A E 2 8 2 2 V i s c o u s C a s e s .
v o r t i c i t y , a n d p r e s s u r e l o s s a r e c r e a t e d a t t h e s h o c k n e a r t h e l e a d i n g e d g e , a n d
c o n v e c t e d d o w n s t r e a m a l o n g t h e b o d y . A s m a l l s e p a r a t i o n r e g i o n a p p e a r s a t t h e
t r a i l i n g e d g e , w h i c h g r o w s a l o n g t h e b o d y t o w a r d s t h e l e a d i n g e d g e . A t s o m e
p o i n t t h e r e c i r c u l a t i o n r e g i o n i s c a p t u r e d b y t h e o n c o m i n g o w a n d i s s w e p t o t h e
7 3
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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C o n v e r g e n c e C o m p a r i s o n ( s e c o n d s )
C r i t e r i a M
1
= 0 6 7 6 M
1
= 0 7 3
1 % o f C
L
2 1 2 1 9 1
1 / 2 % o f C
L
2 6 4 2 9 5
C
L
t o 5 p l a c e s 7 1 2 7 3 8
N o . S . S . p t s 6 0 8 5 1 3
M a c h i n e z e r o 1 1 4 7 1 2 0 3
T a b l e 5 . C o n v e r g e n c e D a t a R A E 2 8 2 2 V i s c o u s C a s e s .
a i r f o i l b y c o n v e c t i o n . A s t h e r e c i r c u l a t i o n r e g i o n p a s s e s t h e t r a i l i n g e d g e , a n o t h e r
p o c k e t o f r e c i r c u l a t i o n f o r m s a t t h e t r a i l i n g e d g e , r o t a t i n g i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n .
T h i s c o u n t e r - r o t a t i o n i s c a u s e d b y t h e o w o t h e l o w e r s u r f a c e , w h o s e d i r e c t i o n i s
o p p o s i t e t o t h a t o f t h e o r i g i n a l r e g i o n o f r e c i r c u l a t i o n . T h e s h o c k t h e n c o l l a p s e s , a n d
b e g i n s t o s l o w l y g r o w i n s t r e n g t h a s t h e p a t t e r n r e p e a t s i t s e l f . T h i s o w p a t t e r n h a s
a w e l l d e n e d p e r i o d a n d a m p l i t u d e a n d h a s b e e n r e p r o d u c e d i n o t h e r c o m p u t a t i o n s
w i t h s i m i l a r g r i d s a n d d i e r e n t v a l u e s o f t i m e s t e p a n d a r t i c i a l v i s c o s i t y .
A s a n a l c a s e B a r t o n a n d P u l l i a m c o m p u t e d a v i s c o u s c a l c u l a t i o n a t s i m i l a r
c o n d i t i o n s , a M a c h n u m b e r M
1
= 0 3 0 1 a n d = 1 3 5
. T h e R e y n o l d s n u m b e r
u s e d w a s R e = 3 9 1 1 0
6
a n d t h e c a l c u l a t i o n w a s p e r f o r m e d u s i n g t h e a l g e b r a i c
e d d y - v i s c o s i t y t u r b u l e n c e m o d e l . I n t h i s c a s e e x p e r i m e n t a l d a t a d u e t o M c C r o s k e y
5 6 ] w a s a v a i l a b l e . F o r a n i n v i s c i d s i m u l a t i o n u n s t e a d y r e s u l t s s i m i l a r t o t h e a b o v e
M
1
= 0 4 c a s e w e r e o b t a i n e d , b u t f o r t h e v i s c o u s c o m p u t a t i o n a s t e a d y r e s u l t s
o c c u r r e d w h i c h c o m p a r e d w e l l w i t h t h e e x p e r i m e n t a l d a t a . T h e s t e a d y v i s c o u s
c o m p a r i s o n i s s h o w n i n F i g . 3 0 .
A s s u m i n g t h e v a l i d i t y o f t h e i n v i s c i d o s c i l l a t i o n f o r t h i s c a s e , i t w a s c o n c l u d e d
c o n c l u d e t h a t t h e E u l e r s o l u t i o n i s n o t a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o t h e N a v i e r - S t o k e s
s o l u t i o n , u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s . I r e f e r t h e r e a d e r t o t h e f u l l p a p e r f o r m o r e d e t a i l s .
7 4
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 2 5 . U n s t e a d y A i l e r o n B u z z , S t e g e r a n d B a i l e y 1 9 8 0 .
X I I . T h r e e - D i m e n s i o n a l A l g o r i t h m
T h e 3 - D f o r m o f t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m f o l l o w s t h e s a m e d e v e l o p m e n t a s t h e 2
- D a l g o r i t h m . T h e c u r v i l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s a r e c a r r i e d o u t i n t h e s a m e f a s h i o n .
T h e s t a n d a r d a n d d i a g o n a l a l g o r i t h m t a k e t h e s a m e f o r m a t . W e a l s o e m p l o y t h e
t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n . B o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s i m i l a r . T h e e q u a t i o n s , a l g o -
r i t h m , a n d o t h e r d e t a i l s c a n b e f o u n d i n P u l l i a m a n d S t e g e r 3 ] . W e s h a l l b r i e y
o u t l i n e t h e i m p o r t a n t a s p e c t s a n d p o i n t o u t t h e p e r t i n e n t d i e r e n c e s f r o m t h e 2 -
D d e v e l o p m e n t .
7 5
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 2 6 . E n t r o p y C o n t o u r s a t L e a d i n g E d g e B e f o r e a n d A f t e r I m p r o v e d
A c c u r a c y .
F i g u r e 2 7 . I n v i s c i d S o l u t i o n C o m p a r e d w i t h T A I R R e s u l t .
1 2 . 1 F l o w E q u a t i o n s
T h e f u l l t h r e e d i m e n s i o n a l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w
f o r m a r e r e d u c e d t o t h e t h i n l a y e r f o r m u n d e r t h e s a m e r e s t r i c t i o n s a n d a s s u m p t i o n s
7 6
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 2 8 M a c h C o n t o u r s a t L e a d i n g E d g e S h o w i n g S h o c k .
a s i n t w o d i m e n s i o n s . T h e e q u a t i o n s i n g e n e r a l i z e d c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e s a r e
@
b
Q + @
b
E + @
b
F + @
b
G = R e
; 1
@
b
S ( 1 2 1 )
w h e r e n o w
b
Q = J
; 1
2
6
6
6
4
u
v
w
e
3
7
7
7
5
b
E = J
; 1
2
6
6
6
4
U
u U +
x
p
v U +
y
p
w U +
z
p
U ( e + p ) ;
t
p
3
7
7
7
5
b
F = J
; 1
2
6
6
6
4
V
u V +
x
p
v V +
y
p
w V +
z
p
V ( e + p ) ;
t
p
3
7
7
7
5
b
G = J
; 1
2
6
6
6
4
W
u W +
x
p
v W +
y
p
w W +
z
p
W ( e + p ) ;
t
p
3
7
7
7
5
( 1 2 2 a )
w i t h
U =
t
+
x
u +
y
v +
z
w
V =
t
+
x
u +
y
v +
z
w
W =
t
+
x
u +
y
v +
z
w
( 1 2 2 b )
7 7
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 79/99
F i g u r e 2 9 . U n s t e a d y S o l u t i o n a t M
1
= 0 4 = 1 5
7 8
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 80/99
F i g u r e 2 9 . C o n t i n u e d .
7 9
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 81/99
F i g u r e 2 9 . C o n t i n u e d .
8 0
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 3 0 . V i s c o u s S o l u t i o n C o m p a r e d w i t h E x p e r i m e n t a l D a t a o f M c C r o s k e y ,
e t . a l .
w i t h
b
S = J
; 1
2
6
6
6
4
0
m
1
u
+ ( = 3 ) m
2
x
m
1
v
+ ( = 3 ) m
2
y
m
1
w
+ ( = 3 ) m
2
z
m
1
m
3
+ ( = 3 ) m
2
(
x
u +
y
v +
z
w )
3
7
7
7
5
( 1 2 2 c )
h e r e m
1
=
2
x
+
2
y
+
2
z
, m
2
=
x
u
+
y
v
+
z
w
, a n d m
3
= ( u
2
+ v
2
+ w
2
)
= 2 +
P r
; 1
( ; 1 )
; 1
( a
2
)
P r e s s u r e i s a g a i n r e l a t e d t o t h e c o n s e r v a t i v e o w v a r i a b l e s , Q , b y t h e e q u a t i o n
o f s t a t e
p = ( ; 1 )
e ;
1
2
( u
2
+ v
2
+ w
2
)
( 1 2 3 )
T h e m e t r i c t e r m s a r e d e n e d a s
x
= J ( y
z
; y
z
)
x
= J ( z
y
; y
z
)
y
= J ( z
x
; z
x
)
y
= J ( x
z
; z
x
)
z
= J ( x
y
; y
x
)
z
= J ( y
x
; x
y
)
x
= J ( y
z
; z
y
)
t
= ; x
x
; y
y
; z
z
y
= J ( z
x
; x
z
)
t
= ; x
x
; y
y
; z
z
z
= J ( x
y
; y
x
)
t
= ; x
x
; y
y
; z
z
( 1 2 4 a )
w i t h
J
; 1
= x
y
z
+ x
y
z
+ x
y
z
; x
y
z
; x
y
z
; x
y
z
( 1 2 4 b )
8 1
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 83/99
1 2 . 2 N u m e r i c a l M e t h o d s
T h e i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n a l g o r i t h m a p p l i e d t o t h e t h r e e d i m e n -
s i o n a l e q u a t i o n s i s
h
I + h
b
A
n
i h
I + h
b
B
n
i h
I + h
b
C
n
; h R e
; 1
c
M
n
i
b
Q
n
=
; h
b
E
n
+
b
F
n
+
b
G
n
; R e
; 1
b
S
n
( 1 2 5 )
T h e i n v i s c i d t h r e e d i m e n s i o n a l u x J a c o b i a n s ,
b
A
b
B
b
C a r e d e n e d i n t h e A p -
p e n d i x a l o n g w i t h t h e v i s c o u s u x J a c o b i a n
c
M . A r t i c i a l d i s s i p a t i o n t e r m s c a n b e
a d d e d i n t h e c o n s t a n t c o e c i e n t f o r m , s t r a i g h t f o r w a r d e x t e n s i o n o f E q s . ( 6 . 1 ) , o r
i n t h e n o n l i n e a r f o r m E q . ( 6 . 1 2 ) .
T h e s c a l a r p e n t a d i a g o n a l a l g o r i t h m i n t h r e e d i m e n s i o n s h a s t h e f o r m
T
I + h
]
b
N I + h
]
b
P I + h
] T
; 1
b
Q
n
=
b
R
n
( 1 2 6 )
w i t h
b
N = T
; 1
T
a n d
b
P = T
; 1
T
. J u s t a s i n t w o d i m e n s i o n s w e u s e t h e e x p l i c i t
a n d i m p l i c i t n o n l i n e a r a r t i c i a l d i s s i p a t i o n t e r m s .
I t i s i n t e r e s t i n g ( a n d s o m e w h a t d i s t u r b i n g ) t o n o t e t h a t l i n e a r c o n s t a n t c o e -
c i e n t F o u r i e r a n a l y s i s ( p e r i o d i c B C ) f o r t h e t h r e e d i m e n s i o n a l m o d e l w a v e e q u a t i o n
s h o w s u n c o n d i t i o n a l i n s t a b i l i t y f o r t h e t h r e e d i m e n s i o n a l f a c t o r e d a l g o r i t h m . T h i s
i s d u e t o t h e c r o s s t e r m e r r o r s . I n c o n t r a s t t o t h e c a s e o f t w o d i m e n s i o n s w h e r e
t h e c r o s s t e r m s e r r o r j u s t a e c t t h e r a p i d c o n v e r g e n c e c a p a b i l i t y ( a t l a r g e t i m e
s t e p s ) o f t h e a l g o r i t h m . I n t h r e e d i m e n s i o n s w e a l s o h a v e a w e a k i n s t a b i l i t y d u e t o
t h e c r o s s t e r m s . L i n e a r a n a l y s i s s h o w s t h a t t h e i n s t a b i l i t y i s a w e a k o n e w h e r e t h e
a m p l i c a t i o n f a c t o r i s v e r y c l o s e b u t g r e a t e r t h a n o n e . I t c a n b e s h o w n t h o u g h t h a t
a s m a l l a m o u n t o f a d d e d a r t i c i a l d i s s i p a t i o n m o v e s t h e a m p l i c a t i o n f a c t o r b e l o w
o n e a n d t h e r e f o r e w e h a v e c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y . A l s o p r a c t i c a l m o d e l e q u a t i o n a n a l -
y s i s u s i n g n o n p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l s o s h o w s a s t a b i l i t y r a n g e . I n a c t u a l
p r a c t i c e o n t h r e e d i m e n s i o n a l n o n l i n e a r p r o b l e m s w e h a v e n e v e r e n c o u n t e r e d a c a s e
w h e r e w e c o u l d a t t r i b u t e a n i n s t a b i l i t y t o t h i s p r o b l e m a r e a . I n f a c t , n u m e r i c a l e x -
p e r i m e n t s s h o w t h a t i f a n y t h i n g t h e t h r e e d i m e n s i o n a l a l g o r i t h m s e e m s t o b e m o r e
s t a b l e a n d c o n v e r g e n t f o r a g i v e n p r o b l e m t h a n i n t w o d i m e n s i o n s . N u m e r o u s c a s e s
h a v e b e e n c a l c u l a t e d w h e r e t h e t h r e e d i m e n s i o n a l a l g o r i t h m c o n v e r g e s a n d r e s i d u a l s
g o t o m a c h i n e z e r o .
1 2 . 3 B o u n d a r y C o n d i t i o n s a n d G e o m e t r y
P h y s i c a l b o u n d a r i e s a r e a g a i n m a p p e d t o c o m p u t a t i o n a l b o u n d a r i e s . E x p l i c i t
n u m e r i c a l a n d p h y s i c a l c o n d i t i o n s c a n b e a p p l i e d a r e n e c e s s a r y . T h e a c t u a l c o n d i -
t i o n s u s e d a r e t h e s t r a i g h t f o r w a r d e x t e n s i o n s o f t h e m e t h o d s o u t l i n e d i n S e c t i o n I X .
8 2
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O n e a s p e c t o f t h e t h r e e d i m e n s i o n a l a p p l i c a t i o n w h i c h i s m o r e c o m p l i c a t e d t h e n i n
t w o d i m e n s i o n s i s t h e d e v e l o p m e n t o f g r i d t o p o l o g y a n d m e s h s y s t e m s . S u r f a c e d e f -
i n i t i o n a n d t h e c o m p u t a t i o n a l m a p a r e c o m p l i c a t e d b y t h e m a n y s u r f a c e s i n v o l v e d ,
c o o r d i n a t e s i n g u l a r i t i e s ( u n a v o i d a b l e w h e n m a p p i n g a c l o s e d 3 - D b o d y ) , t h e l a c k o f
a n a d e q u a t e n u m b e r o f g r i d p o i n t s s i n c e 3 - D i s a b i g g e r s t r a i n o n c o m p u t e r s t o r a g e
l i m i t a t i o n s . T h i s w i l l d e n i t e l y d r i v e t h e c o m p u t a t i o n a l c o m m u n i t y t o w a r d s z o n a l
o r p a t c h m e t h o d s , i . e . t h e l a r g e 3 - D p r o b l e m i s b r o k e n i n t o m u l t i p l e s e c t i o n s a n d
e a c h s e c t i o n i s h a n d l e d s e p a r a t e l y . T h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n z o n e s c a n b e e x p l i c i t ,
s e e R a i 5 7 ] o r i m p l i c i t , H e s s e n i u s a n d P u l l i a m 5 8 ] . A l s o g r i d r e n e m e n t t e c h -
n i q u e s n e e d m o r e d e v e l o p m e n t , s e e B e r g e r 5 9 ] a n d N a k a h a s h i a n d D e i w e r t 6 0 ] f o r
e x a m p l e s o f t h e s e c o n c e p t s .
G e o m e t r y s e e m s t o b e o n e o f t h e b i g g e s t s t u m b l i n g b l o c k s i n t h r e e d i m e n s i o n s .
A n o t h e r a s p e c t o f 3 - D w h i c h c a u s e s p r o b l e m s i s t h e q u e s t i o n o f t h e m e t r i c i n v a r i a n t s .
I f c e n t r a l d i e r e n c i n g i s u s e d t o c o m p u t e t h e m e t r i c s a n d f o r t h e u x d e r i v a t i v e s t h e n
f o r 3 - D t h e m e t r i c i n v a r i a n t s a r e n o t s a t i s e d . T h i s w a s p o i n t e d o u t i n t h e o r i g i n a l
p a p e r b y P u l l i a m a n d S t e g e r 3 ] . B y m o d i f y i n g t h e c o m p u t a t i o n o f t h e m e t r i c s
w e c a n s a t i s f y t h e i n v a r i a n t s . T h i s i s d o n e b y a v e r a g i n g t h e c e n t r a l d i e r e n c e s o f
t h e g r i d v a l u e s , ( x
x
e t c . ) t o p r o d u c e m e t r i c s w h i c h a r e s i m i l a r t o t e r m s w h i c h
w o u l d b e c o m p u t e d b y a n i t e v o l u m e m e t h o d . F o r i n s t a n c e ,
x
w o u l d b e c o m p u t e d
a s
x
= J (
y ) (
z ) ; (
y ) (
z ) ] ( 1 2 7 )
w h e r e i s t h e s t a n d a r d c e n t r a l d i e r e n c e o p e r a t o r a n d i s a n a v e r a g e o p e r a t o r ,
f o r i n s t a n c e
x
k
= ( x
k + 1
+ x
k ; 1
) = 2 . I f a l l t h e m e t r i c t e r m s a r e c a l c u l a t e d i s t h i s
m a n n e r t h e n t h e m e t r i c i n v a r i a n t s a r e s a t i s e d .
1 2 . 4 C o d e S t r u c t u r e a n d V e c t o r i z a t i o n
W i t h t h e a d v e n t o f v e c t o r i z e d c o m p u t e r a r c h i t e c t u r e o n e c a n n o t j u s t p r o g r a m
i n a l i n e a r f a s h i o n w i t h o u t r e g a r d t o c o d e s t r u c t u r e a n d e x p e c t t o p r o d u c e e c i e n t
c o d e . T w o m a j o r d e c i s i o n s f a c e t h e p r o g r a m m e r w h e n w r i t i n g c o d e f o r a v e c t o r
m a c h i n e , f o r i n s t a n c e C R A Y t y p e a r c h i t e c t u r e . F i r s t y o u m u s t i d e n t i f y t h e v e c t o r
l e n g t h o r c o n s t r u c t . W h i c h i n d i c e s c a n b e c o n s i d e r e d v e c t o r s , w h a t a r e t h e v e c t o r
l e n g t h s ( s o m e m a c h i n e s r e q u i r e l o n g v e c t o r s ) a n d h o w i s a v e c t o r l o o p i m p l e m e n t e d .
S e c o n d l y , h o w d o w e m a n a g e t h e l a r g e d a t a b a s e s w h i c h n o w c a n b e p r o c e s s e d
b e c a u s e o f t h e e c i e n c y a n d s p e e d o f v e c t o r m a c h i n e s . M a n y o f t h e n e a r f u t u r e
c o m p u t e r s w i l l h a v e e i t h e r l a r g e i n - c o r e m e m o r y o r h i g h s p e e d o u t - o f - c o r e s t o r a g e .
T h e s e l a r g e a m o u n t s o f d a t a w i l l h a v e t o b e m a n a g e d e c i e n t l y . I n t h r e e d i m e n s i o n s
f o r i n s t a n c e a d a t a b a s e o f 1 m i l l i o n g r i d p o i n t s a n d 3 2 v a r i a b l e s w i l l b e c o m m o n
p l a c e r e q u i r i n g u s t o m a n a g e 3 2 m i l l i o n s w o r d s . T o e c i e n t l y h a n d l e t h i s d a t a
b a s e , m a n a g e m e n t s y s t e m s s u c h a s p l a n e s l i c e s o r p e n c i l c o n c e p t s , s e e L o m a x a n d
8 3
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P u l l i a m 1 5 ] , n e e d t o b e d e v e l o p e d a n d r e n e d . T h e p r o p e r w a y t o h a n d l e t h i s i s t o
d i v i d e m e m o r y i n t o t w o p a r t s , t h e o p e r a t i n g p a r t o f m e m o r y a n d t h e s t o r a g e p a r t .
I d e n t i a b l e b l o c k s o f d a t a a r e b r o u g h t i n t o t h e w o r k i n g a r e a , p r o c e s s e d a n d t h e n
m o v e d b a c k t o s t o r a g e . T h e r e a r e a n u m b e r o f a d v a n t a g e s t o s u c h a s y s t e m . O n e
i s t h a t l a r g e b l o c k s o f d a t a c a n b e m o v e d m o r e e c i e n t l y e s p e c i a l l y f o r o u t - o f - c o r e
s t o r a g e d e v i c e s b u t e v e n f o r i n - c o r e s t o r a g e . T h e d i m e n s i o n s o f t h e b l o c k s d e n e t h e
v e c t o r l e n g t h s . F o r S I M D ( s i n g l e i n s t r u c t i o n - m u l t i p l e d a t a ) o r M I M D ( m u l t i p l e
i n s t r u c t i o n - m u l t i p l e d a t a ) a r c h i t e c t u r e t h e b l o c k s d e n e m u l t i p l e d a t a s t r i n g s t o
b e o p e r a t e d o n . I n g e n e r a l , a s m a c h i n e s b e c o m e l a r g e r a n d m o r e p o w e r f u l w e w i l l
h a v e t o t a k e m o r e c a r e i n t h e d e v e l o p m e n t o f a w e l l s t r u c t u r e e c i e n t c o d e .
1 2 . 5 A p p l i c a t i o n i n T h r e e D i m e n s i o n s
A p p l i c a t i o n s i n t h r e e d i m e n s i o n s r e q u i r e s u b s t a n t i a l c o m p u t a t i o n a l r e s o u r c e s .
M o s t o f t h e p r o b l e m s a t t e m p t e d s o f a r h a v e b e e n f o r s i m p l e g e o m e t r i e s a n d l i m i t e d
o w c o n d i t i o n s . T h e a d v e n t o f t h e h i g h s p e e d { l a r g e m e m o r y m a c h i n e s , s u c h a s
t h e C R A Y 1 S , X M P o r C Y B E R 2 0 5 , w i l l e n a b l e u s t o a t t e m p t r e a l i s t i c p r o b l e m s
b u t e v e n t h e y f a l l s h o r t o f p r o v i d i n g e n o u g h c o m p u t e r p o w e r f o r g e n e r a l p u r p o s e s .
I s h a l l p r e s e n t b e l o w a p p l i c a t i o n s o f t h e c o d e A R C 3 D f o r s i m p l e b o d y s h a p e s . T h e
o w c o n d i t i o n s u s e d , t h o u g h , p r o d u c e s o m e i n t e r e s t i n g a n d c o m p l i c a t e d o w e l d s .
T h e s e c o m p u t a t i o n s d e m o n s t r a t e t h e c a p a b i l i t i e s o f t h e c o d e a n d d e m o n s t r a t e t h e
a c c u r a c y a n d e c i e n c y .
A ) H e m i s p h e r e - C y l i n d e r A t H i g h A n g l e O f A t t a c k
T h e r s t a p p l i c a t i o n i s o w p a s t a s e m i { i n n i t e h e m i s p h e r e { c y l i n d e r a t a s u -
p e r s o n i c M a c h n u m b e r M
1
= 1 2 a n d h i g h a n g l e o f a t t a c k = 1 9
. T h e c a l c u l a t i o n
i s f o r a l a m i n a r R e y n o l d s n u m b e r R E = 2 2 2 5 0 0 0 T h i s c a l c u l a t i o n w a s o r i g i n a l l y
p r e s e n t e d b y P u l l i a m a n d S t e g e r 3 ] w h e r e i t w a s c o m p u t e d o n a g r i d w i t h 3 0 p o i n t s
i n t h e a x i a l d i r e c t i o n , 1 9 p o i n t s c i r c u m f e r e n t i a l l y a n d 3 0 p o i n t s i n t h e n o r m a l d i r e c -
t i o n , a t o t a l o f 1 7 1 0 0 g r i d p o i n t s . T h e g r i d i s a w a r p e d s p h e r i c a l t o p o l o g y , s e e F i g .
3 1 a n d i s c l u s t e r e d i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n f o r b o u n d a r y l a y e r r e s o l u t i o n . I n t h e
o r i g i n a l c o d e 3 ] t h e c o n v e r g e n c e r a t e ( r e d u c t i o n i n r e s i d u a l p e r i t e r a t i o n ) f o r t y p -
i c a l c a s e s w a s o n t h e o r d e r o f 0 . 9 9 6 , f o r t h e c u r r e n t a l g o r i t h m i t h a s b e e n r e d u c e d
t o a p p r o x i m a t e l y 0 . 9 8 6 . E m p l o y i n g t h e a l g o r i t h m a s d e s c r i b e d a b o v e a n d u s i n g
t h e f u l l y i m p l i c i t p e n t a d i a g o n a l a l g o r i t h m t h e c o m p u t a t i o n t i m e f o r t h r e e o r d e r s o f
m a g n i t u d e d r o p i n r e s i d u a l ( p l o t t i n g a c c u r a c y ) w a s r e d u c e d f r o m a b o u t 3 0 0 m i n u t e s
f o r a c o n v e r g e d c a s e o n t h e C D C 7 6 0 0 t o a b o u t 5 m i n u t e s o n a C R A Y - X M P . I n f a c t
c a s e s w h i c h c o u l d n o t b e c o n v e r g e d b e f o r e o n t h e C D C 7 6 0 0 a r e n o w c o n v e r g e n t .
T h i s i s a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n t h e c o m p u t e t i m e a n d c a n b e i m p r o v e d f u r t h e r .
A n e x a m p l e o f t h e c o m p u t a t i o n i s s h o w n i n F i g . 3 2 a n d 3 3 . A c r o s s o w s e p -
a r a t i o n o c c u r s a t t h i s a n g l e o f a t t a c k w h i c h i s i n d i c a t e d b y t h e p r e s s u r e c o n t o u r s
a n d v e l o c i t y v e c t o r s a t t h e c r o s s s e c t i o n a l p l a n e s h o w n . I n F i g . 3 3 p r e s s u r e a l o n g
8 4
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F i g u r e 3 1 . W a r p e d S p h e r i c a l T o p o l o g y f o r H e m i s p h e r e { C y l i n d e r .
t h e b o d y a t t h r e e c i r c u m f e r e n t i a l l o c a t i o n s i s c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a
d u e t o H s i e h 6 1 ] a n d c o m p a r e s q u i t e w e l l . A l s o s h o w n i s t h e c o m p u t e d c r o s s o w
s e p a r a t i o n a n g l e a g a i n s t e x p e r i m e n t .
D e t a i l s o f t h e i n t e r a c t i o n o f t h e c r o s s o w a n d s y m m e t r y p l a n e a s w e l l a s o t h e r
f e a t u r e s o f t h i s o w r e q u i r e f u r t h e r s t u d y . R e s u l t s b y P a n a n d P u l l i a m 4 6 ] h a v e
e x p a n d e d A R C 3 D t o u s e t h e S S D ( s o l i d s t a t e d i s k ) o n t h e X M P . T h i s g i v e u s t h e
c a p a c i t y f o r u p t o 1 m i l l i o n g r i d p o i n t s . W i t h t h a t r e s o l u t i o n a n d t h e i n c r e a s e
e c i e n c y o f t h e c o d e w e a r e c a r r i n g o u t a d e t a i l e d s t u d y o f h i g h a n g l e o f a t t a c k
o w e l d s .
O t h e r c o m p u t a t i o n s p r e s e n t e d f o r t h i s c o n g u r a t i o n a t l o w e r M a c h n u m b e r s
a n d a n g l e s o f a t t a c k w e r e r e p o r t e d b y P u l l i a m a n d S t e g e r a n d c o m p a r e d w e l l w i t h
d a t a . T h e c o d e i s a l s o u s e d t o o b t a i n s t a r t i n g s o l u t i o n s f o r a P N S ( p a r a b o l i z e d
N a v i e r - S t o k e s ) c o d e , s e e S c h i a n d S t e g e r 6 2 ] , C h a u s s e e , e t . a l . 6 3 ] .
B ) B o a t t a i l
A s a s e c o n d a p p l i c a t i o n , D e i w e r t e m p l o y e d a v e r s i o n o f t h e c o d e t o s t u d y
b o a t t a i l s a t a n g l e s o f a t t a c k 6 4 ] a n d b o a t t a i l e x h a u s t p l u m e s 6 5 ] . A c o m p o s i t e o f
D e i w e r t s b o a t t a i l c o m p u t a t i o n i s g i v e n i n F i g . 3 4 . T h e c o m p u t a t i o n w a s p e r f o r m e d
u s i n g a b o a t t a i l c o n g u r a t i o n w i t h a i n n i t e s t i n g . T h e r e g i o n o f i n t e r e s t i s t h e
c o n v e r g i n g a r e a o f t h e b o a t t a i l . T h e o w c o n d i t i o n s a r e M
1
= 2 0 , R e = 6 5 1 0
7
a n d a n g l e s o f a t t a c k f r o m 0
t o 1 2
. C o m p u t e d p r e s s u r e s a t v a r i o u s a n g l e s o f a t t a c k
8 5
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 3 2 . H e m i s p h e r e { C y l i n d e r a t M
1
= 1 2 = 1 9
F i g u r e 3 3 . C o m p a r i s o n w i t h E x p e r i m e n t .
8 6
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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a r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t i n t h e p a p e r . T h e c a s e s h o w n h e r e i s f o r = 6
a n d s h o w s c o m p a r i s o n a t t h r e e c i r c u m f e r e n t i a l s t a t i o n s . C o m p u t e d s u r f a c e o i l o w
( p a r t i c l e p a t h s r e s t r i c t e d t o t h e b o d y ) a n d s u r f a c e p r e s s u r e f o r = 6
s h o w t h e
t y p e o f r e s u l t s p r e s e n t e d . T h e r e s u l t s r e p o r t e d b y D e i w e r t 6 4 ] c o m p a r e d v e r y w e l l
w i t h t h e e x p e r i m e n t a l d a t a o f S h r e w s b u r y 6 6 ] .
F i g u r e 3 4 . B o a t t a i l S t u d y a t M
1
= 2 0 = 6
R e = 6 5 1 0
5
T h e b o a t t a i l s t u d y w a s u n d e r t a k e n a s a r s t s t e p t o w a r d t h e s i m u l a t i o n o f
b o a t t a i l e x h a u s t p l u m e s w h i c h h a s b e e n c a r r i e d o u t i n a p r e l i m i n a r y s t a g e b y D e i -
w e r t 6 5 ] . I n t h i s s i m u l a t i o n t h e b o a t t a i l s t i n g i s e l i m i n a t e d a n d a c o n i c a l e x h a u s t
j e t i s a d d e d a t t h e b a s e r e g i o n F i g u r e s 3 5 a n d 3 6 s h o w c o m p a r i s o n s o f d e n s i t y
c o n t o u r s a n d s t r e a m l i n e s w i t h S c h l i e r e n p h o t o g r a p h s f r o m A g r e l l a n d W h i t e 6 7 ] .
I n F i g . 3 5 t h e p r e s s u r e r a t i o f o r t h e j e t w a s 3 a n d w e s e e a n e x p a n d e d e x h a u s t
p l u m e a n d a c o m p l i c a t e d s h o c k s h e a r o w p a t t e r n ( d e p i c t e d b y t h e b o l d l i n e s ) .
T h e q u a l i t a t i v e c o m p a r i s o n w i t h t h e p h o t o g r a p h i s q u i t e r e m a r k a b l e . A t a h i g h e r
e x h a u s t r a t i o , F i g . 3 6 t h e j e t i s t i g h t e r a n d t h e s h o c k s h e a r s u r f a c e p a t t e r n m o r e
c o m p l i c a t e d . A g a i n t h e q u a l i t a t i v e c o m p a r i s o n w i t h t h e p h o t o g r a p h i s q u i t e g o o d .
I r e f e r t h e r e a d e r t o t h e o r i g i n a l p a p e r s a n d o n e b y N a k a h a s h i a n d D e i w e r t 6 0 ] f o r
a m o r e d e t a i l e d a n a l y s i s o f t h e s e o w e l d s .
8 7
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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F i g u r e 3 5 . B o a t t a i l E x h a u s t P l u m e F l o w D e t a i l s a t P r e s s u r e R a t i o = 3 .
8 8
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 90/99
F i g u r e 3 6 . B o a t t a i l E x h a u s t P l u m e F l o w D e t a i l s a t P r e s s u r e R a t i o = 9 .
8 9
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S u m m a r y
I n s u m m a r y , t h e d e v e l o p m e n t o f s o m e c o m p u t a t i o n a l a l g o r i t h m s i n t w o - a n d
t h r e e - d i m e n s i o n s h a v e b e e n p r e s e n t e d . D e t a i l s o f t w o c o m p u t a t i o n a l c o d e s , A R C 2 D
a n d A R C 3 D h a v e b e e n p r e s e n t e d . T h e b a s i c a l g o r i t h m u s e d i s t h e B e a m a n d
W a r m i n g i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n s c h e m e o r v a r i a n t s o f t h a t s c h e m e s u c h
a s t h e d i a g o n a l i z a t i o n . T h e c o d e s e m p l o y i m p r o v e m e n t s t o e n h a n c e a c c u r a c y , ( g r i d
r e n e m e n t , b e t t e r b o u n d a r y c o n d i t i o n s , m o r e v e r s a t i l e a r t i c i a l d i s s i p a t i o n m o d e l )
a n d e c i e n c y ( d i a g o n a l a l g o r i t h m , i m p l i c i t t r e a t m e n t o f a r t i c i a l d i s s i p a t i o n t e r m s ,
v a r i a b l e t i m e s t e p s ) . R e s u l t s f o r a w i d e v a r i e t y o f c a s e s s u b s t a n t i a t e t h e a c c u r a c y
a n d e c i e n c y c l a i m s .
F u t u r e w o r k i s r e q u i r e d t o a d d r e s s i m p r o v e m e n t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s , e x -
a m i n i n g s t a b i l i t y q u e s t i o n s , e l i m i n a t i n g c r o s s t e r m e r r o r s a n d m o r e . W e a r e a l s o
i n t e r e s t e d i n d e v e l o p i n g n e w g r i d g e n e r a t i o n c o n c e p t s b o t h i n t e r m s o f g e n e r a t i o n
a n d g r i d q u a l i t y . I n t h r e e d i m e n s i o n s w e s e e t h e a r e a o f z o n a l c o n c e p t s a s t h e n e w e s t
h o r i z o n a n d e n v i s i o n s u b s t a n t i a l g a i n s i n s o l u t i o n c a p a b i l i t y a s a r e s u l t .
R e f e r e n c e s
1 B e a m , R . a n d W a r m i n g , R . F . A n I m p l i c i t F i n i t e - D i e r e n c e A l g o r i t h m f o r
H y p e r b o l i c S y s t e m s i n C o n s e r v a t i o n L a w F o r m , J . C o m p . P h y s . , V o l . 2 2 1 9 7 6 ,
p p . 8 7 - 1 1 0
2 S t e g e r , J . L . I m p l i c i t F i n i t e D i e r e n c e S i m u l a t i o n o f F l o w A b o u t A r b i t r a r y
G e o m e t r i e s w i t h A p p l i c a t i o n t o A i r f o i l s , A I A A P a p e r 7 7 - 6 6 5 , 1 9 7 7
3 P u l l i a m , T . H . a n d S t e g e r , J . L . I m p l i c i t F i n i t e - D i e r e n c e S i m u l a t i o n s o f
T h r e e D i m e n s i o n a l C o m p r e s s i b l e F l o w , A I A A J V o l . 1 8 1 9 8 0 p a g e 1 5 9
4 M a c C o r m a c k , R . W . T h e E e c t o f V i s c o s i t y i n H y p e r v e l o c i t y I m p a c t C r a t e r i n g ,
A I A A P a p e r 6 9 - 3 5 4 , 1 9 6 9 .
5 R i z z i , A . a n d E r i k s s o n , L . E x p l i c i t M u l t i s t a g e F i n i t e V o l u m e P r o c e d u r e t o S o l v e
t h e E u l e r E q u a t i o n s f o r T r a n s o n i c F l o w L e c t u r e , S e r i e s o n C o m p u t a t i o n a l
F l u i d D y n a m i c s , v o n K a r m a n I n s t i t u t e , R h o d e - S t - G e n e s e , B e l g i u m 1 9 8 3
6 J a m e s o n , A . , S c h m i d t , W . a n d T u r k e l , E . N u m e r i c a l S o l u t i o n s o f t h e E u -
l e r E q u a t i o n s b y F i n i t e V o l u m e M e t h o d s U s i n g R u n g e - K u t t a T i m e - S t e p p i n g
S c h e m e s , A I A A p a p e r 8 1 - 1 2 5 9 A I A A 1 4 t h F l u i d a n d P l a s m a D y n a m i c s C o n -
f e r e n c e , P a l o A l t o 1 9 8 1
7 Y e e , H . C . , a n d H a r t e n , A . I m p l i c i t T V D S c h e m e s f o r H y p e r b o l i c C o n s e r v a -
t i o n L a w s i n C u r v i l i n e a r C o o r d i n a t e s , A I A A - 8 5 - 1 5 1 3 A I A A 7 t h C o m p u t a t i o n a l
F l u i d D y n a m i c s C o n f e r e n c e , C i n c i n a t t i , O h . , 1 9 8 5
8 C h a k r a v a r t h y , S . , a n d O s h e r , S . A N e w C l a s s o f H i g h A c c u r a c y T V D S c h e m e s
f o r H y p e r b o l i c C o n s e r v a t i o n L a w s , A I A A - 8 5 - 0 3 6 3 A I A A 2 3 r d A e r o s p a c e S c i -
e n c e s M e e t i n g , R e n o , N e v a d a . , 1 9 8 5
9 A n d e r s o n , W . K . , T h o m a s , J . L . , a n d V a n L e e r , B . A C o m p a r i s o n o f F i n i t e
V o l u m e F l u x V e c t o r S p l i t t i n g s f o r T h e E u l e r E q u a t i o n s , A I A A - 8 5 - 0 1 2 2 , A I A A
2 3 r d A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g , R e n o , N V , 1 9 8 5
9 0
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
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1 0 V i v i a n d , H . C o n s e r v a t i v e F o r m s o f G a s D y n a m i c s E q u a t i o n s , L a R e c h e r c h e
A e r o s p a t i a l e 1 9 7 4 p a g e 6 5
1 1 V i n o k u r , M . C o n s e r v a t i o n E q u a t i o n s o f G a s - D y n a m i c s i n C u r v i l i n e a r C o o r d i -
n a t e S y s t e m s , J . C o m p . P h y s . p p . 1 0 5 - 1 2 5 V o l . 1 4 , 1 9 7 4
a a K o r n , G . a n d K o r n , T . , M a t h e m a i c a l H a n d b o o k f o r S c i e n t i s t s a n d E n g i n e e r s ,
M c G r a w H i l l B o o k C o , N e w Y o r k , 1 9 6 1
1 2 H i n d m a n , R . G e o m e t r i c a l l y I n d u c e d E r r o r s a n d T h e i r R e l a t i o n s h i p t o t h e F o r m
o f t h e G o v e r n i n g E q u a t i o n s a n d t h e T r e a t m e n t o f G e n e r a l i z e d M a p p i n g s , A I A A
P a p e r 8 1 - 1 0 0 8 1 9 8 1
1 3 F l o r e s , J . , H o l s t , T . , K w a k , D . , a n d B a t i s t e , D . A N e w C o n s i s t e n t S p a t i a l
D i e r e n c i n g S c h e m e f o r t h e T r a n s o n i c F u l l P o t e n t i a l E q u a t i o n , A I A A P a p e r
8 3 - 0 7 3 1 9 8 3
1 4 B a l d w i n , B . S . a n d L o m a x , H . T h i n L a y e r A p p r o x i m a t i o n a n d A l g e b r a i c M o d e l
f o r S e p a r a t e d T u r b u l e n t F l o w s , , A I A A P a p e r N o . 7 8 - 2 5 7 1 9 7 8
1 5 L o m a x H . a n d P u l l i a m T . H . A F u l l y I m p l i c i t F a c t o r e d C o d e f o r C o m p u t i n g
T h r e e D i m e n s i o n a l F l o w s o n t h e I L L I A C I V , P a r a l l e l C o m p u t a t i o n s , G . R o -
d r i g u e , E d . , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k 1 9 8 2 p p . 2 1 7 - 2 5 0
1 6 B a r t h , T . J . a n d S t e g e r , J . L . A F a s t E c i e n t I m p l i c i t S c h e m e f o r t h e G a s d y -
n a m i c s E q u a t i o n s U s i n g A M a t r i x R e d u c t i o n T e c h n i q u e , A I A A - 8 5 - 0 4 3 9 , A I A A
2 3 r d A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g , R e n o , N V , 1 9 8 5
1 7 W a r m i n g , R . F . , a n d B e a m , R . M . O n t h e C o n s t r u c t i o n a n d A p p l i c a t i o n o f I m -
p l i c i t F a c t o r e d S c h e m e s f o r C o n s e r v a t i o n L a w s , S I A M - A M S P r o c e e d i n g s V o l .
1 1 1 9 7 8 p p . 8 5 { 1 2 9
1 8 J e s p e r s e n , D . C . R e c e n t D e v e l o p m e n t s i n M u l t i g r i d M e t h o d s f o r t h e S t e a d y
E u l e r E q u a t i o n s , L e c t u r e N o t e s f o r L e c t u r e S e r i e s o n C o m p u t a t i o n a l F l u i d
D y n a m i c s 1 9 8 4 , v o n K a r m a n I n s t i t u t e , R h o d e - S t - G e n e s e , B e l g i u m
1 9 P u l l i a m , T . H . a n d C h a u s s e e , D . S . A D i a g o n a l F o r m o f a n I m p l i c i t A p p r o x i -
m a t e F a c t o r i z a t i o n A l g o r i t h m , J C P V o l . 3 9 1 9 8 1 p a g e 3 4 7
2 0 W a r m i n g , R . F . , B e a m , R . , a n d H y e t t , B . J . D i a g o n a l i z a t i o n a n d S i m u l t a n e o u s
S y m m e t r i z a t i o n o f t h e G a s - D y n a m i c M a t r i c e s , M a t h C o m p , V o l . 2 9 1 9 7 5 p a g e
1 0 3 7
2 1 S t e g e r , J . C o e c i e n t M a t r i c e s f o r I m p l i c i t F i n i t e D i e r e n c e S o l u t i o n o f t h e
I n v i s c i d F l u i d C o n s e r v a t i o n L a w E q u a t i o n s , C o m p u t e r M e t h o d s I n A p p l i e d
M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g V o l . 1 3 p p . 1 7 5 - 1 8 8 1 9 7 8
2 2 B e a m , R . a n d B a i l e y , H P r i v a t e C o m m u n i c a t i o n
2 3 S t e g e r J . L . a n d W a r m i n g , R . F . F l u x V e c t o r S p l i t t i n g o f t h e I n v i s c i d G a s
D y n a m i c E q u a t i o n s w i t h A p p l i c a t i o n s t o F i n i t e D i e r e n c e M e t h o d s , J . C o m p .
P h y s . V o l . 4 0 p p . 2 6 3 - 2 9 3 1 9 8 1
2 4 R o e , P . L . T h e U s e o f t h e R i e m a n n P r o b l e m i n F i n i t e D i e r e n c e S c h e m e s ,
p r e s e n t e d a t t h e S e v e n t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n N u m e r i c a l M e t h o d s i n
F l u i d D y n a m i c s , S t a n f o r d , C A 1 9 8 0
9 1
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 93/99
2 5 v a n L e e r , B . F l u x - V e c t o r S p l i t t i n g f o r t h e E u l e r E q u a t i o n s E i g h t h I n t e r n a t i o n a l
C o n f e r e n c e o n N u m e r i c a l M e t h o d s i n F l u i d D y n a m i c s , S p r i n g e r L e c t u r e N o t e s
i n P h y s i c s n o . 1 7 0 , e d . E . K r a u s e 1 9 8 3
2 6 O s h e r S . a n d C h a k r a v a r t h y , S . U p w i n d S c h e m e s a n d B o u n d a r y C o n d i t i o n s w i t h
A p p l i c a t i o n s t o E u l e r E q u a t i o n s i n G e n e r a l G e o m e t r i e s , J . C o m p . P h y s . V o l .
5 0 p p . 4 4 7 { 4 8 1 1 9 8 3
2 7 H a r t e n , A . A H i g h R e s o l u t i o n S c h e m e f o r t h e C o m p u t a t i o n o f W e a k S o l u t i o n s
o f H y p e r b o l i c C o n s e r v a t i o n L a w s , J . C o m p . P h y s . V o l . 4 9 1 9 8 3 p p . 3 5 7 - 3 9 3
2 8 P u l l i a m , T . H . A r t i c i a l D i s s i p a t i o n M o d e l s F o r t h e E u l e r E q u a t i o n s , A I A A
8 5 - 0 4 3 8 A I A A 2 3 r d A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g , R e n o , N e v a d a . , 1 9 8 5
2 9 A b a r b a n e l , S . , D w o y e r , D . a n d G o t t l i e b , D . I m p r o v i n g t h e C o n v e r g e n c e R a t e
o f P a r a b o l i c A D I M e t h o d s , I C A S E R e p o r t 8 2 - 2 8 1 9 8 2
3 0 S h a n g , J . a n d H a n k e y , W . , N u m e r i c a l S o l u t i o n o f t h e C o m p r e s s i b l e N a v i e r -
S t o k e s E q u a t i o n s f o r a T h r e e - D i m e n s i o n a l C o r n e r , A I A A p a p e r 7 7 - 1 6 9 1 9 7 7
3 1 M c D o n a l d , H . a n d B r i l e y , W . R . C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c A s p e c t s o f
I n t e r n a l F l o w s , A I A A p a p e r 7 9 - 1 4 4 5 , P r o c e e d i n g s o f A I A A C o m p u t a t i o n a l
F l u i d D y n a m i c s C o n f e r e n c e , W i l l i a m s b u r g , V a . 1 9 7 9
3 2 S r i n i v a s a n , G . , C h y u , W . , a n d S t e g e r , J . C o m p u t a t i o n o f S i m p l e T h r e e - D i -
m e n s i o n a l W i n g - V o r t e x I n t e r a c t i o n i n T r a n s o n i c F l o w , A I A A p a p e r 8 1 - 1 2 0 6
1 9 8 1
3 3 C o a k l e y , T . J . N u m e r i c a l M e t h o d f o r G a s D y n a m i c s C o m b i n i n g C h a r a c t e r i s t i c
a n d C o n s e r v a t i o n C o n c e p t s , A I A A P a p e r 8 1 - 1 2 5 7 1 9 8 1
3 4 Y e e , H . C . N u m e r i c a l A p p r o x i m a t i o n o f B o u n d a r y C o n d i t i o n s w i t h A p p l i c a t i o n s
t o I n v i s c i d E q u a t i o n s o f G a s D y n a m i c s , N A S A T M - 8 1 2 6 5 1 9 8 1
3 5 C h a k r a v a r t h y , S . E u l e r E q u a t i o n s { I m p l i c i t S c h e m e s a n d I m p l i c i t B o u n d a r y
C o n d i t i o n s , A I A A P a p e r 8 2 - 0 2 2 8 , O r l a n d o , F l a . 1 9 8 2
3 6 S a l a s , M . , J a m e s o n , A . , a n d M e l n i k , R . A C o m p a r a t i v e S t u d y o f t h e N o n u n i -
q u e n e s s P r o b l e m o f t h e P o t e n t i a l E q u a t i o n , A I A A p a p e r 8 3 - 1 8 8 8 , A I A A 6 t h
C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s C o n f e r e n c e 1 9 8 3
3 7 E i s e m a n , P . G e o m e t r i c M e t h o d s i n C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s , I C A S E
R e p o r t 8 0 - 1 1 1 9 8 0
3 8 T h o m p s o n , J . , T h a m e s , F . a n d M a s t i n , C . A u t o m a t i c N u m e r i c a l G e n e r a t i o n o f
B o d y F i t t e d C u r v i l i n e a r C o o r d i n a t e S y s t e m s f o r F i e l d C o n t a i n i n g A n y N u m b e r
o f A r b i t r a r y T w o D i m e n s i o n a l B o d i e s , J . C o m p . P h y . V o l . 1 5 p p . 2 9 9 - 3 1 9
1 9 7 4
3 9 T h o m p s o n , J . N u m e r i c a l G r i d G e n e r a t i o n , J . T h o m p s o n E d . N o r t h H o l l a n d ,
1 9 8 2
4 0 S t e g e r , J . L . a n d B a i l e y , H . E . C a l c u l a t i o n o f T r a n s o n i c A i l e r o n B u z z , A I A A
J o u r . 1 8 p p . 2 4 9 - 5 5 1 9 8 0
4 1 S t e g e r , J . L . , P u l l i a m , T . H . , a n d C h i m a , R . V . A n I m p l i c i t F i n i t e D i e r e n c e
C o d e f o r I n v i s c i d a n d V i s c o u s C a s c a d e F l o w , A I A A p a p e r 8 0 { 1 4 2 7 , A I A A
9 2
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 94/99
1 3 t h F l u i d a n d P l a s m a D y n a m i c s C o n f e r e n c e , S n o w m a s s , C o l o r a d o 1 9 8 0
4 2 C h a u s s e e , D . S . a n d P u l l i a m , T . H . A D i a g o n a l F o r m o f a n I m p l i c i t A p p r o x -
i m a t e F a c t o r i z a t i o n A l g o r i t h m w i t h A p p l i c a t i o n t o a T w o D i m e n s i o n a l I n l e t ,
A I A A J . V o l . 1 9 1 9 8 1 p a g e 1 5 3
4 3 B a r t h , T . J . , P u l l i a m , T . H . , a n d B u n i n g , P . G . N a v i e r - S t o k e s C o m p u t a t i o n s
F o r E x o t i c A i r f o i l s , A I A A - 8 5 - 0 1 0 9 A I A A 2 3 r d A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g ,
R e n o , N e v a d a . , 1 9 8 5
4 4 P u l l i a m , T . H . , J e s p e r s e n , D . C . , a n d B a r t h , T . J . N a v i e r - S t o k e s C o m p u t a t i o n s
F o r C i r c u l a t i o n C o n t r o l l e d A i r f o i l s , A I A A - 8 5 - 1 5 8 7 A I A A 7 t h C o m p u t a t i o n a l
F l u i d D y n a m i c s C o n f e r e n c e , C i n c i n a t t i , O h . , 1 9 8 5
4 5 K u t l e r , P . , C h a k r a v a r t h y , S . , a n d L o m b a r d , C . S u p e r s o n i c F l o w O v e r A b l a t e d
N o s e t i p s U s i n g a n U n s t e a d y I m p l i c i t N u m e r i c a l P r o c e d u r e , A I A A P a p e r 7 8 {
2 1 3 1 9 7 8
4 6 P a n , D . a n d P u l l i a m , T . H . T h e C o m p u t a t i o n o f S t e a d y 3 - D S e p a r a t e d F l o w s
O v e r A e r o d y n a m i c B o d i e s A t H i g h I n c i d e n c e a n d Y a w , A I A A 8 6 - 0 1 0 9 , A I A A
2 4 r d A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g , R e n o , N V , 1 9 8 6
4 7 P u l l i a m , T . H . , J e s p e r s e n , D . C . , a n d C h i l d s , R . , E . A n E n h a n c e d V e r s i o n o f
a n I m p l i c i t C o d e f o r t h e E u l e r E q u a t i o n s , A I A A p a p e r 8 3 - 0 3 4 4 A I A A 2 1 s t
A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g s , R e n o , N V . 1 9 8 3
4 8 J a m e s o n , A . S o l u t i o n o f t h e E u l e r E q u a t i o n s f o r T w o - D i m e n s i o n a l T r a n s o n i c
F l o w b y a M u l t i g r i d M e t h o d , A p p l . M a t h . a n d C o m p u t a t i o n V o l . 1 3 p p . 3 2 7 {
3 5 5 1 9 8 3
4 9 T h e 1 9 8 0 - 8 1 A F O S R - H T T M - S t a n f o r d C o n f e r e n c e o n C o m p l e x T u r b u l e n t F l o w s :
C o m p a r i s o n o f C o m p u t a t i o n a n d E x p e r i m e n t , V o l . 2 , T a x o n o m i e s , R e p o r t e r s '
S u m m a r i e s , E v a l u a t i o n a n d C o n c l u s i o n s , E d s . S . J . K l i n e , B . J . C a n t w e l l a n d
G . M . L i l l e y , T h e r m o s c i e n c e D i v i s i o n , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , C a l i f o r n i a 1 9 8 2
5 0 C o o k , P . , M c D o n a l d , M . a n d F i r m i n , M . A e r o f o i l R A E 2 8 2 2 - P r e s s u r e D i s -
t r i b u t i o n s , a n d B o u n d a r y l a y e r a n d W a k e M e a s u r e m e n t s , A G A R D - A R - 1 3 8
1 9 7 9
5 1 M e h t a , U . R e y n o l d s A v e r a g e d N a v i e r { S t o k e s C o m p u t a t i o n s o f T r a n s o n i c F l o w s
A r o u n d A i r f o i l s , P r e s e n t e d a t S e c o n d S y m p o s i u m o n N u m e r i c a l a n d P h y s i c a l
A s p e c t s o f A e r o d y n a m i c F l o w s , L o n g B e a c h , C a l i f , 1 9 8 3
5 2 E r i k s o n , A . L . a n d S t e p h e n s o n , J . D . A S u g g e s t e d M e t h o d o f A n a l y z i n g f o r
T r a n s o n i c F l u t t e r o f C o n t r o l S u r f a c e s B a s e d o n A v a i l a b l e E x p e r i m e n t a l E v i -
d e n c e , N A C A R M A 7 F 3 0 1 9 4 7
5 3 B a r t o n , J . T . a n d P u l l i a m , T . H . A i r f o i l C o m p u t a t i o n a t H i g h A n g l e s o f A t -
t a c k , i n v i s c i d a n d V i s c o u s P h e n o m e n a , A I A A 8 4 { 0 5 2 4 , A I A A 2 2 n d A e r o s p a c e
S c i e n c e M e e t i n g , R e n o , N e v a d a 1 9 8 4
5 4 A n d e r s o n , W . , T h o m a s , J . , a n d R u m s e y , C . A p p l i c a t i o n o f T h i n L a y e r N a v i e r
S t o k e s E q u a t i o n s N e a r M a x i m u m L i f t , A I A A 8 4 { 0 0 4 9 , A I A A 2 2 n d A e r o s p a c e
s c i e n c e M e e t i n g , R e n o , N e v a d a 1 9 8 4
9 3
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 95/99
5 5 H o l s t , T . L . I m p l i c i t A l g o r i t h m f o r t h e C o n s e r v a t i v e T r a n s o n i c F u l l - P o t e n t i a l
E q u a t i o n U s i n g a n A r b i t r a r y M e s h , A I A A J . 1 7 , 1 9 7 9 p p . 1 0 3 8 { 1 0 4 5
5 6 M c C r o s k e y , W . , M c A l i s t e r , K . , C a r r , L . , a n d P u c c i , S . A n E x p e r i m e n t a l S t u d y
o f D y n a m i c S t a l l o n A d v a n c e d A i r f o i l S e c t i o n s , V o l . 1 , S u m m a r y o f E x p e r i m e n t
N A S A T M 8 4 2 4 5 1 9 8 2
5 7 R a i , M . M . A C o n s e r v a t i v e T r e a t m e n t o f Z o n a l B o u n d a r i e s f o r E u l e r E q u a t i o n s
C a l c u l a t i o n s , A I A A p a p e r 8 4 { 0 1 6 4 , A I A A 2 2 n d A e r o s p a c e S c i e n c e M e e t i n g ,
R e n o , N V 1 9 8 4
5 8 H e s s e n i u s , K . E . a n d P u l l i a m , T . H . A Z o n a l A p p r o a c h t o S o l u t i o n o f t h e E u l e r
E q u a t i o n s , A I A A p a p e r 8 2 - 0 9 6 9 1 9 8 2
5 9 B e r g e r , M . A d a p t i v e M e s h R e n e m e n t f o r H y p e r b o l i c P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a -
t i o n s , P h . D . T h e s i s , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , S t a n f o r d U n i v e r s i t y
1 9 8 2 .
6 0 N a k a h a s h i , K . a n d D e i w e r t , G . S . A P r a c t i c a l A d a p t i v e G r i d M e t h o d f o r C o m -
p l e x F l u i d F l o w P r o b l e m s , S u b m i t t e d t o N i n t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n
N u m e r i c a l M e t h o d s i n F l u i d D y n a m i c s , S a c l a y , F r a n c e 1 9 8 4
6 1 H s i e h , T . A n I n v e s t i g a t i o n o f S e p a r a t e d F l o w A b o u t a H e m i s p h e r e { C y l i n d e r a t
0 - t o 9 0 - d e g I n c i d e n c e i n t h e M a c h N u m b e r R a n g e f r o m 0 . 6 t o 1 . 5 , A E D C - T R -
7 6 - 1 1 2 1 9 7 6
6 2 S c h i , L . B . , a n d S t e g e r , J . L . N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f S t e a d y S u p e r s o n i c
V i s c o u s F l o w , A I A A p a p e r 7 9 - 0 1 3 0 , A I A A 1 7 t h A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g ,
N e w O r l e a n s , L a . 1 9 7 9
6 3 C h a u s s e e D . S . , P a t t e r s o n J . L . , K u t l e r P . , P u l l i a m T . H . a n d S t e g e r J . L . A
N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f H y p e r s o n i c V i s c o u s F l o w s o v e r A r b i t r a r y G e o m e t r i e s
a t H i g h A n g l e o f A t t a c k , A I A A P a p e r n o . 8 1 - 0 0 5 0 1 9 8 1
6 4 D e i w e r t , G . S . N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f T h r e e - D i m e n s i o n a l B o a t t a i l A f t e r b o d y
F l o w e l d s , A I A A J . V o l . 1 9 1 9 8 1 p p . 5 8 2 - 5 8 8
6 5 D e i w e r t , G . S . A C o m p u t a t i o n a l I n v e s t i g a t i o n o f S u p e r s o n i c A x i s y m m e t r i c
F l o w O v e r B o a t t a i l s C o n t a i n i n g a C e n t e r e d P r o p u l s i v e J e t , A I A A P a p e r 8 3 -
0 4 6 2 1 9 8 3
6 6 S h r e w s b u r y , G . D . E e c t o f B o a t t a i l J u n c t u r e S h a p e o n P r e s s u r e D r a g C o e -
c i e n t s o f I s o l a t e d A f t e r b o d i e s , N A S A T M X - 1 5 1 7 1 9 6 8
6 7 A g r e l l , J . a n d W h i t e , R . A . A n E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f S u p e r s o n i c A x -
i s y m m e t r i c F l o w o v e r B o a t t a i l s C o n t a i n i n g a C e n t e r e d , P r o p u l s i v e J e t F F A
T e c h . N o t e A U - 9 1 3 1 9 7 4
9 4
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 96/99
A p p e n d i x
T h e u x J a c o b i a n m a t r i c e s o f E q . ( 5 . 4 ) h a v e r e a l e i g e n v a l u e s a n d a c o m p l e t e
s e t o f e i g e n v e c t o r s . T h e s i m i l a r i t y t r a n s f o r m s a r e
b
A = T
T
; 1
a n d
b
B = T
T
; 1
( A 1 )
w h e r e
=
2
6
6
6
4
U
U
U + a
q
2
x
+
2
y
U ; a
q
2
x
+
2
y
3
7
7
7
5
( A 2 a )
=
2
6
6
6
4
V
V
V + a
q
2
x
+
2
y
V ; a
q
2
x
+
2
y
3
7
7
7
5
( A 2 b )
w i t h
T
=
2
6
6
4
1 0
u e
y
( u + e
x
a ) ( u ; e
x
a )
v ; e
x
( v + e
y
a ) ( v ; e
y
a )
2
( ; 1 )
( e
y
u ; e
x
v )
h
2
+ a
2
( ; 1 )
+ a
e
i
h
2
+ a
2
( ; 1 )
; a
e
i
3
7
7
5
( A 3 )
T
; 1
=
2
6
6
4
( 1 ;
2
= a
2
)
; (
e
y
u ;
e
x
v ) =
(
2
; a
e
)
(
2
+ a
e
)
( ; 1 ) u = a
2
e
y
=
e
x
a ; ( ; 1 ) u ]
; e
x
a + ( ; 1 ) u ]
( ; 1 ) v = a
2
;
e
x
=
e
y
a ; ( ; 1 ) v ]
; e
y
a + ( ; 1 ) v ]
; ( ; 1 ) = a
2
0
( ; 1 )
( ; 1 )
3
7
5
( A 4 )
a n d = = (
p
2 a ) = 1 = (
p
2 a )
e
= e
x
u + e
y
v a n d f o r e x a m p l e e
x
=
x
=
q
2
x
+
2
y
R e l a t i o n s e x i s t b e t w e e n T
a n d T
o f t h e f o r m
b
N = T
; 1
T
b
N
; 1
= T
; 1
T
( A 5 )
9 5
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 97/99
w h e r e
b
N =
2
6
4
1 0 0 0
0 m
1
; m
2
m
2
0 m
2
2
( 1 + m
1
)
2
( 1 ; m
1
)
0 ; m
2
2
( 1 ; m
1
)
2
( 1 + m
1
)
3
7
5
( A 6 a )
a n d
b
N
; 1
=
2
6
4
1 0 0 0
0 m
1
m
2
; m
2
0 ; m
2
2
( 1 + m
1
)
2
( 1 ; m
1
)
0 m
2
2
( 1 ; m
1
)
2
( 1 + m
1
)
3
7
5
( A 6 b )
w i t h m
1
=
e
x
e
x
+
e
y
e
y
m
2
=
e
x
e
y
;
e
y
e
x
a n d = 1 =
p
2
I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e m a t r i x
b
N i s o n l y a f u n c t i o n o f t h e m e t r i c s a n d
n o t t h e o w v a r i a b l e s .
I n t h r e e d i m e n s i o n s t h e J a c o b i a n m a t r i c e s
b
A o r
b
B o r
b
C =
2
6
6
6
4
t
x
x
2
; u
t
+ ;
x
( ; 2 ) u
y
2
; v
x
v ;
y
( ; 1 ) u
z
2
; w
x
w ;
z
( ; 1 ) u
;
;
e = ; 2
2
x
;
e = ;
2
; ( ; 1 ) u
y
z
0
y
u ;
x
( ; 1 ) v
z
u ;
x
( ; 1 ) w
x
( ; 1 )
t
+ ;
y
( ; 2 ) v
z
v ;
y
( ; 1 ) w
y
( ; 1 )
y
w ;
z
( ; 1 ) v
t
+ ;
z
( ; 2 ) w
z
( ; 1 )
y
;
e
; 1
;
2
; ( ; 1 ) v
z
;
e
; 1
;
2
; ( ; 1 ) w
t
+
3
7
7
7
5
( A 7 )
w h e r e
=
x
u +
y
v +
z
w
2
= ( ; 1 ) (
u
2
+ v
2
+ w
2
2
)
w i t h = o r o r f o r
b
A
b
B o r
b
C r e s p e c t i v e l y .
T h e v i s c o u s u x J a c o b i a n i s
c
M = J
; 1
2
6
6
6
4
0 0 0 0 0
m
2 1
1
@
(
; 1
)
2
@
(
; 1
)
3
@
(
; 1
) 0
m
3 1
2
@
(
; 1
)
4
@
(
; 1
)
5
@
(
; 1
) 0
m
4 1
3
@
(
; 1
)
5
@
(
; 1
)
6
@
(
; 1
) 0
m
5 1
m
5 2
m
5 3
m
5 4
0
@
(
; 1
)
3
7
7
7
5
J ( A 8 a )
9 6
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 98/99
w h e r e
m
2 1
= ;
1
@
( u = ) ;
2
@
( v = ) ;
3
@
( w = )
m
3 1
= ;
2
@
( u = ) ;
4
@
( v = ) ;
5
@
( w = )
m
4 1
= ;
3
@
( u = ) ;
5
@
( v = ) ;
6
@
( w = )
m
5 1
=
0
@
; ( e =
2
) + ( u
2
+ v
2
+ w
2
) =
;
1
@
( u
2
= ) ;
4
@
( v
2
= ) ;
6
@
( w
2
= )
; 2
2
@
( u v = ) ; 2
3
@
( u w = ) ; 2
5
@
( v w = )
m
5 2
= ;
0
@
( u = ) ; m
2 1
m
5 3
= ;
0
@
( v = ) ; m
3 1
m
5 4
= ;
0
@
( w = ) ; m
4 1
m
4 4
=
4
@
(
; 1
)
0
= P r
; 1
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
1
= ( 4 = 3 )
x
2
+
y
2
+
z
2
]
2
= ( = 3 )
x
y
3
= ( = 3 )
x
z
4
=
x
2
+ ( 4 = 3 )
y
2
+
z
2
]
5
= ( = 3 )
y
z
6
=
x
2
+
y
2
+ ( 4 = 3 )
z
2
]
( A 8 b )
T h e e i g e n s y s t e m d e c o m p o s i t i o n o f t h e t h r e e d i m e n s i o n a l J a c o b i a n s h a v e t h e
f o r m
b
A = T
T
; 1
,
b
B = T
T
; 1
, a n d
b
C = T
T
; 1
. T h e e i g e n v a l u e s a r e
1
=
2
=
3
=
t
+
x
u +
y
v +
z
w
4
=
1
+ a
5
=
1
; a
=
q
2
x
+
2
y
+
2
z
( A 9 )
T h e m a t r i x T
, r e p r e s e n t i n g t h e l e f t e i g e n v e c t o r s , i s
T
=
2
6
6
6
4
e
x
e
y
e
x
u e
y
u ; e
z
e
x
v + e
z
e
y
v
e
x
w ; e
y
e
y
w + e
x
e
x
2
= ( ; 1 ) + ( e
z
v ; e
y
w )
e
y
2
= ( ; 1 ) + ( e
x
w ; e
z
u )
e
z
e
z
u + e
y
( u + e
x
a ) ( u ; e
x
a )
e
z
v ; e
x
( v + e
y
a ) ( v ; e
y
a )
e
z
w ( w +
e
z
a ) ( w ;
e
z
a )
e
z
2
= ( ; 1 ) + ( e
y
u ; e
x
v )
h
(
2
+ a
2
) = ( ; 1 ) +
e
a
i
h
(
2
+ a
2
) = ( ; 1 ) ;
e
a
i
3
7
7
7
7
5
( A 1 0 )
w h e r e
=
p
2 a
e
x
=
x
e
y
=
y
e
z
=
z
e
=
9 7
7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD
http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 99/99
T h e c o r r e s p o n d i n g T
; 1
i s
T
; 1
=
2
6
6
6
6
4
e
x
;
1 ;
2
= a
2
; ( e
z
v ; e
y
w ) = e
x
( ; 1 ) u = a
2
e
y
;
1 ;
2
= a
2
; ( e
x
w ; e
z
u ) = e
y
( ; 1 ) u = a
2
; e
z
=
e
z
;
1 ;
2
= a
2
; ( e
y
u ; e
x
v ) = e
z
( ; 1 ) u = a
2
+ e
y
=
(
2
;
e
a ) ; ( ; 1 ) u ; e
x
a ]
(
2
+
e
a ) ; ( ; 1 ) u +
e
x
a ]
e
x
( ; 1 ) v = a
2
+
e
z
=
e
x
( ; 1 ) w = a
2
;
e
y
= ;
e
x
( ; 1 ) = a
2
e
y
( ; 1 ) v = a
2
e
y
( ; 1 ) w = a
2
+ e
x
= ; e
y
( ; 1 ) = a
2
e
z
( ; 1 ) v = a
2
; e
x
= e
z
( ; 1 ) w = a
2
; e
z
( ; 1 ) = a
2
; ( ; 1 ) v ;
e
y
a ] ; ( ; 1 ) w ;
e
z
a ] ( ; 1 )
; ( ; 1 ) v + e
y
a ] ; ( ; 1 ) w + e
z
a ] ( ; 1 )
3
7
7
7
5
( A 1 1 )
w h e r e
=
1
p
2 a
T h o m a s H . P u l l i a m
M a i l S t o p T 2 7 B - 1 , N A S A A m e s R e s e a r c h C e n t e r
M o e t t F i e l d , C a l i f o r n i a , 9 4 0 3 5
P h o n e : 4 1 5 - 6 0 4 - 6 4 1 7
e m a i l : p u l l i a m @ n a s . n a s a . g o v
J a n u a r y , 1 9 8 6