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Equation Chapter 1 Section 1
Proyecto Fin de Carrera
Ingeniería Industrial
Estudio Metodológico mediante Elementos Finitos
del Comportamiento de las Rótulas Plásticas en
Elementos de Hormigón Armado
Autor: Álvaro Blanco Mira
Tutor: Antonio Martínez de la Concha
Dep. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla, 2016
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Proyecto Fin de Carrera
Ingeniería Industrial
Estudio Metodológico mediante Elementos Finitos
del Comportamiento de las Rótulas Plásticas en
Elementos de Hormigón Armado
Autor:
Álvaro Blanco Mira
Tutor:
Antonio Martínez de la Concha
Profesor Sustituto Interino
Dep. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla, 2016
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Agradecimientos
A Don Antonio Martínez de la Concha por brindarme la oportunidad de realizar este proyecto, y por
su inconmensurable aporte de conocimientos, apoyo y dedicación a lo largo del mismo.
A Tere, por su apoyo en todo momento y su férreo convencimiento de que podía llevarse a cabo aún
cuando no se vea el final.
A mis padres, sin los cuales no hubiera llegado donde estoy.
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vii
Resumen
La ingeniería sísmica aplicada al cálculo de estructuras se fundamenta en el empleo de modelos que
permitan predecir con certeza el comportamiento real de una estructura incluyendo el colapso de la
misma.
En el presente proyecto se realiza un estudio del comportamiento de columnas de hormigón armado
sometidas a carga cíclica con el objetivo de establecer una relación momento-rotación que simule la
formación y evolución de una rótula plástica frente a una carga sísmica.
Pretende representar una primera etapa de un análisis futuro más profundo para la consecución de
expresiones experimentales que permitan adaptar las leyes momento rotación en función de las
diferentes tipologías del elemento de estudio.
La modelización mediante elementos finitos se ha realizado en ABAQUS empleando el modelo
Concrete Damaged Plasticity, el cual permite simular el comportamiento del hormigón mediante el
empleo de variables de daño. Los resultados obtenidos en el análisis de elementos finitos se
contrastan con ensayos experimentales de carga lateral en elementos tipo columna.
Varias leyes de comportamiento han sido empleadas en la simulación del hormigón para contrastar
los resultados obtenidos mediante el programa en base al modo de definición del material.
Finalmente se analizan las posibilidades futuras de análisis para establecer leyes experimentales en
función de los parámetros que permitan adaptar el modelo según las diferentes tipologías.
viii
ix
Índice de contenidos
Agradecimientos v
Resumen vii
Índice de contenidos ix
Índice de tablas xi
Índice de figuras xiii
1 Conceptos básicos 1
1.1 Introducción 1
1.2 Concepto de rótula plástica 2
1.3 Diseño sísmico. Acerca de la norma FEMA 356 3
1.3.1 Organización de la norma 3
1.3.2 Método de cálculo estático no lineal o método “push-over” 6
1.3.3 Niveles de aceptación 8
1.3.4 Curvas Fuerza-Deformación 8
1.4 Fundamentos de la plasticidad 10
1.5 Introducción a la mecánica de fractura en el hormigón armado 11
1.5.1 Evolución de la fisuración en un elemento de hormigón armado 11
1.5.2 Modelos de análisis de rótulas plásticas 13
2 Modelos de daño plástico 15
2.1 Fundamentos de la teoría de plasticidad 15
2.2 Criterio de plastificación 17
2.2.1 Criterio de Von Mises 21
2.2.2 Criterio de Mohr-Coulomb 21
2.2.3 Criterio de Drucker-Prager 22
2.3 Concrete Damaged Plasticity 23
2.3.1 Modelo inicial J. Lubliner et al. (12) 23
2.3.2 Modelo J.Lee y G.L. Fenves (13) 28
2.3.3 Modelo CDP incluido en ABAQUS (11) 29
3 Mecánica de la fractura en el hormigón armado 35
3.1 Modelos de fractura en el hormigón 35
3.1.1 Modelo de fisura discreta 35
3.1.2 Modelo de fisura distribuida 37
3.1.3 Modelos de daño 38
3.1.4 Modelos de barras 41
4 Datos experimentales. Descripción del ensayo 42
4.1 Necesidad de bases de datos experimentales 42
4.2 Base de datos empleada 43
x
4.2.1 Base de datos de columnas de hormigón armado 43
4.3 Descripción del ensayo 45
5 Generación de modelos en ABAQUS 50
5.1 Introducción 50
5.2 Geometría 50
5.3 Leyes de comportamiento 51
5.3.1 Leyes de comportamiento del hormigón 51
5.3.2 Ley de comportamiento del acero 65
5.3.3 Parámetros del modelo Concrete Damaged Plasticity 66
5.4 Condiciones de contorno 66
5.5 Carga aplicada 66
5.6 Elementos y mallado 67
5.7 Definición de modelos 67
5.7.1 Modelo M1-HM-S-0.5MM 69
5.7.2 Modelo M1-HM-GFI-0.5MM 70
5.7.3 Modelo M1-HM-W-0.5MM 71
5.7.4 Modelo M2-HA-S-30MM 72
5.7.5 Modelo M2-HA-GFI-30MM 73
5.7.6 Modelo M2-HA-W-30MM 74
5.7.7 Modelo M3-S-3C-5MM 75
5.7.8 Modelo M4-GFI-3C-5MM 76
5.7.9 Modelo M4-GFI-3C-10MM 77
5.7.10 Modelo M4-GFI-3C-2-5-8MM 78
5.7.11 Modelo M5-W-3C-5MM 79
5.7.12 Modelo M5-W-3C-10MM 80
5.7.13 Modelo M5-W-3C-2-5-8MM 81
5.7.14 Modelo M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG 82
5.7.15 Modelo M6-TEST-1Cx25MM 83
5.7.16 Modelo M6-TEST-1Cx25MM-V2 84
5.7.17 Modelo M6-TEST-1Cx50MM 85
5.7.18 Modelo M6-TEST-1Cx80MM 86
6 Análisis de resultados 88
6.1 Modelos de hormigón en masa 88
6.1.1 Formulación del problema 88
6.2 Modelos de hormigón armado frente a carga monotónica 93
6.3 Modelos de hormigón armado sometidos a carga cíclica 94
6.4 Comparación de modelo 6 con test experimental 97
6.4.1 M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG 97
6.4.2 M6-TEST-1Cx25MM 99
6.4.3 M6-TEST-1Cx25MM-V2 100
6.4.4 M6-TEST-1Cx50MM 101
6.4.5 M6-TEST-1Cx80MM 102
7 Conclusiones y trabajos futuros 104
7.1 Conclusiones obtenidas 104
7.2 Trabajos futuros 105
Referencias 106
xi
Índice de tablas
Tabla 4-1: Datos de los materiales del ensayo experimental U1 48
Tabla 5-1: Parámetros de definición del comportamiento a compresión del hormigón 54
Tabla 5-2: Datos de definición de la ley de comportamiento a compresión del hormigón 58
Tabla 5-3: Datos de definición de la ley de comportamiento a tracción (stress-strain) 60
Tabla 5-4: Parámetros del comportamiento a tracción empleando 𝐺𝑓 62
Tabla 5-5: Parámetros del comportamiento a tracción 64
Tabla 5-6: Parámetros del comportamiento a tracción según curva de ablandamiento 65
Tabla 5-7: Parámetros de definición del comportamiento del acero 66
Tabla 5-8: Parámetros del modelo Concrete Damaged Plasticity (CDP) 66
Tabla 6-1: Datos del ensayo 88
Tabla 6-2: Valores mediante teoría de resistencia de materiales 90
Tabla 6-3: Tiempos de resolución de los ensayos M2 94
Tabla 7-1: Tiempos de resolución de análisis 104
xii
xiii
Índice de figuras
Figura 1-1: Viga biempotrada sometida a carga uniforme vertical 2
Figura 1-2: Métodos de análisis sísmico (5) 4
Figura 1-3: Proceso de conversión a modelo de un grado de libertad (5) 5
Figura 1-4: Curva de histéresis (5) 5
Figura 1-5: Envolvente de la curva de histéresis (5) 6
Figura 1-6: Curvas de comportamiento simplificadas (5) 6
Figura 1-7: Curva Fuerza – Desplazamiento (2) 7
Figura 1-8: Ley de comportamiento Fuerza-Desplazamiento (2) 9
Figura 1-9: Parámetros para definición de columnas de hormigón armado (2) 9
Figura 1-10: Curva de ensayo uniaxial de compresión (6) 10
Figura 1-11: Relación Axil-Deformación para un elemento de hormigón armado (7) 12
Figura 1-12: Formación de primera fisura (7) 13
Figura 1-13: Formación de última fisura(7) 13
Figura 2-1: Ley de comportamiento a compresión (9) 16
Figura 2-2: Superficie de plastificación (9) 17
Figura 2-3: Superficies de plastificación según criterio de Von Mises (sólido) y Tresca
(discontinuo): a) meridianos, b) plano desviador, c) tensión plana (10) 21
Figura 2-4: Superficie de plastificación en el plano 𝜎 − 𝜏: a) Mohr-Coulomb, b) Tresca
(10) 22
Figura 2-5: Superficie de plastificación según criterio de Drucker-Prager: a) meridianos,
b) plano desviador, c) tensión plana (10) 22
Figura 2-6: Curvas uniaxiales 𝜎 − 휀𝑝: a) tensión; b) compresión (12) 25
Figura 2-7: Superficie de plastificación en el plano desviador según valores de 𝐾𝑐 31
Figura 2-8: Fenómeno de dilatancia (9) 32
Figura 2-9: Superficie de plastificación en tensión plana (11) 32
Figura 2-10: Ley de comportamiento a tracción (11) 33
Figura 2-11: Ley de comportamiento a compresión (11) 33
Figura 3-1: Variación de tensiones en la formación de grieta (18) 35
Figura 3-2: Ley de ablandamiento 𝜎 − 𝑤 (18) 36
Figura 3-3: Ley de ablandamiento: a) Lineal, b) Bilineal, c) Exponencial (18) 37
xiv
Figura 3-4: Disciplinas relaciones en modelos de daño plástico (9) 38
Figura 3-5: Teorías y métodos de resolución implicados en los modelos de daño plástico
(9) 39
Figura 3-6: Fenómeno de fisuración (9) 39
Figura 4-1: Tipo de configuración del ensayo 45
Figura 4-2: Geometría del ensayo experimental (24) 46
Figura 4-3: Equipo de realización del ensayo (24) 47
Figura 4-4: Historial de carga teórico del ensayo experimental 48
Figura 4-5: Historial de carga digitalizado del ensayo experimental 49
Figura 5-1: Geometría de columna de hormigón en masa (dimensiones en m) 50
Figura 5-2: Geometría de columna de hormigón armado (dimensiones en m) 51
Figura 5-3: Ley de comportamiento a compresión (25) 52
Figura 5-4: Ley de comportamiento a compresión 55
Figura 5-5: Ley de comportamiento a compresión (Okamoto et al. 1976) (26)(27) 56
Figura 5-6: Relación tensión-deformación inelástica 57
Figura 5-7: Ley de comportamiento a tracción (Yankelevsky & Reinhardt (1987b)(28) 59
Figura 5-8: Ley de comportamiento a tracción 60
Figura 5-9: Relación tensión-deformación inelástica 61
Figura 5-10: Ley de comportamiento a tracción mediante el valor 𝐺𝑓 62
Figura 5-11: Leyes de comportamiento a tracción (29) 63
Figura 5-12: Ley de comportamiento a tracción bilineal 64
Figura 5-13: Comparativa entre leyes de comportamiento 65
Figura 6-1: Tensión-Desplazamiento en la base de la columna 91
Figura 6-2: Tensión-Deformación total en un nodo de la base de la columna 92
Figura 6-3: Relación Deformación plástica-desplazamiento 92
Figura 6-4: Relación DAMAGET-Desplazamiento horizontal 93
Figura 6-5: Fuerza-Desplazamiento para modelos 3, 4 y 5. 94
Figura 6-6: Curva de histéresis para ciclos de 5mm (M4-M5) 95
Figura 6-7: Curva de histéresis para ciclos de 10mm (M4-M5) 96
Figura 6-8: Curva de histéresis para ciclos de 2, 5 y 8mm (M4-M5) 97
Figura 6-9: Historial de carga empleado en el análisis M6-TEST-SIMULATION-GFI-
DMG 98
Figura 6-10: Curva de histéresis del modelo M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG
frente al ensayo experimental 99
Figura 6-11: Curva de histéresis con ciclos de 25mm 𝜇 = 0.0001 100
Figura 6-12: Curva de histéresis para ciclo de 25mm (𝜇 = 0.001) 101
Figura 6-13: Curva de histéresis para 50mm 102
Figura 6-14: Curva de histéresis para ciclo de 80mm 103
xv
1
1 CONCEPTOS BÁSICOS
1.1 Introducción
El desarrollo de modelos que permiten caracterizar mejor el comportamiento de estructuras frente a
acciones sísmicas, así como su comportamiento a lo largo del proceso, permiten predecir con mayor
certeza y seguridad el modo de rotura del elemento y la resistencia que este puede experimentar.
Un primer paso en este sentido, fue la aparición de estándares de diseño sísmico como son las
normas FEMA 273 (1) y 356 (2). y ATC 40 (3). En dichas publicaciones se establecen diferentes
enfoques de cálculo no lineal para simular el comportamiento y cuantificar el daño producido en la
estructura.
El proyecto de desarrollo de la FEMA 273/356 fue un importante hito, dado que contempla modelos
no lineales con degradación del material para permitir la evaluación del colapso estructural. Una
pieza fundamental en este diseño radica en la especificación de las “monotonic backbone curve”.
Dichas curvas definen la relación de comportamiento entre fuerza y deformación, en función de
parámetros sísmicos. Puede definirse, por ejemplo, la curva que relaciona el momento-giro para un
elemento en función de su nivel de armado. Cabe destacar que dichos modelos, a pesar de tener
limitaciones en su campo de aplicación, al ser modelos muy idealizados y generalmente
conservativos, son capaces de modelizar numerosas casuísticas en el diseño estructural.
El presente proyecto trata de analizar mediante un modelo de elementos finitos, la similitud en el
comportamiento obtenido mediante dicho modelo frente a los datos experimentales obtenidos en un
ensayo de laboratorio. A partir de dichos resultados, puede extrapolarse una curva de
comportamiento fuerza-deformación, de forma semejante a lo establecido en la FEMA 356 (2).
El presente proyecto se ha estructurado focalizándose tanto en la explicación y compresión de los
análisis realizados, explicando las bases teóricas de donde estos provienen, así como en los
resultados obtenidos y su aplicabilidad.
En el presente Capítulo 1 se establecen los fundamentos básicos relativos a la teoría de plasticidad,
mecánica de fractura y los modelos de daño, los cuales se basan en los conceptos anteriores.
También se introduce brevemente la aplicabilidad de la norma FEMA 356 (2).
En el Capítulo 2 se profundiza en los modelos de daño plástico, describiendo su caracterización y
aplicabilidad. Finalmente se describen los parámetros implicados en el modelo CDP (Concrete
Damaged Plasticity) incorporado en ABAQUS, así como la metodología para su obtención.
En el Capítulo 3 se describe la evolución de la fisuración en un elemento de hormigón armado y se
contemplan los diferentes modelos de la mecánica de la fractura aplicada al hormigón. Entre ellos se
destaca la mecánica basada en el daño plástico, cuyas bases serán las empleadas en el presente
proyecto.
En el Capítulo 4 se explica el tipo de ensayo realizado para la obtención de los datos experimentales.
Se describe su realización, los datos obtenidos, y sus características. Se incluye también una breve
referencia a las bases de datos existentes en este campo.
En el Capítulo 5 se explica la realización del modelo mediante ABAQUS. En este apartado se
describen las leyes de comportamiento empleadas, condiciones de contorno, tipo de carga aplicado,
etc.
1.2 Concepto de rótula plástica
2
En el Capítulo 6, se analizan los resultados obtenidos, comparándolos con los datos experimentales.
Para una mayor comprensión del modelo empleado, se incluyen modelos que simulan el
comportamiento de elementos de hormigón en masa y elementos de hormigón armado hasta rotura,
analizando los resultados obtenidos haciendo referencia a los resultados de la teoría de resistencia de
materiales. Finalmente se realiza una interpolación de los resultados obtenidos para la obtención de
la curva fuerza-deformación.
1.2 Concepto de rótula plástica
El hormigón debido a su ley de comportamiento inelástica, conduce a una redistribución de fuerzas y
momentos que produce un incremento de la carga que la estructura soporta. Al incrementarse la
carga, las rótulas plásticas se forman en aquellos puntos en los que el momento plástico límite es
superado. Con posteriores incrementos de carga, las rótulas continúan aumentando su rotación hasta
que se forma la última rótula y la estructura se convierte en un mecanismo que provoca el fallo de la
misma.
Para ilustrar el concepto de la formación de una rótula plástica se presenta el siguiente ejemplo,
donde se supone una viga biempotrada sometida a una carga uniforme vertical distribuida P (Figura
1-1)
Figura 1-1: Viga biempotrada sometida a carga uniforme vertical
El momento flector máximo se dará en los extremos y su valor vendrá dado por la Ecuación (1-1):
Mientras la carga P se mantenga inferior al valor 𝑃𝑒𝑙 , (siendo éste el valor de la carga que genera un
momento elástico límite a partir del cual la sección comienza a plastificar), la sección se mantendrá
en régimen elástico. Si dicho valor 𝑃𝑒𝑙 es superado, la sección en el empotramiento comienza a
deformarse plásticamente hasta que se alcanza el momento plástico 𝑀𝑝𝑙 .
En las proximidades de la zona empotrada, las deformaciones que experimenta la sección son muy
elevadas, formándose sendas rótulas plásticas en ambos empotramientos. Conforme aumenta la
carga, el momento que resisten los empotramientos es menor, y en la sección central comienza a
incrementarse el momento 𝑀 = 𝑃𝐿2/24 hasta llegar a plastificar.
𝑀 =𝑃 ∙ 𝐿2
12 (1-1)
1.3 Diseño sísmico. Acerca de la norma FEMA 356
3
El concepto de rótula plástica por lo tanto trata de definir el hecho de la libre rotación que es capaz de
experimentar una sección cuando en ella se supera el momento plástico. Esto lleva consigo una
transformación de la viga en un mecanismo articulado, produciéndose deformaciones indefinidas
bajo carga constante.
El valor de la rotación plástica 𝜃𝑝 en elementos de hormigón armado depende de una serie de
parámetros como son la ley de comportamiento del acero y del hormigón, la geometría de la sección,
la relación de armado del elemento, la rigidez a tracción y compresión, tipo de carga, etc.
Son varios los investigadores que han realizado estudios sobre este tema, sin embargo la definición
de lo que debe tomarse como capacidad de rotación plástica aún no está claramente definida.
Varias ecuaciones han sido planteadas para calcular la longitud de rótula plástica y la capacidad de
rotación plástica, sin embargo no son de aplicación para una casuística general.
1.3 Diseño sísmico. Acerca de la norma FEMA 356
La FEMA 356 (2) surge como una continuación de la anterior FEMA 273 (1) y tiene como objetivo
consolidar lo establecido en esta última, y estandarizar los métodos de cálculo sísmico en edificación.
Dicha normativa, en conclusión, propone una serie de métodos de diseño sísmico en edificación, así
como las pautas para la definición de los elementos que componen la estructura.
1.3.1 Organización de la norma
En sus primeros capítulos se establecen los requisitos y consideraciones generales a tener en cuenta
en el diseño sísmico. En los siguientes capítulos se definen los métodos de análisis y las
características de los diferentes materiales empleados como son el acero, el hormigón, las obras de
fábrica y la madera.
Los diferentes métodos propuestos en la FEMA 356 (2) se clasifican según su ley de
comportamiento en:
Lineales
No lineales
Y según el modo de análisis en:
Estáticos
Dinámicos
Como se presentó anteriormente, durante las últimas décadas se han realizado importantes progresos
en el campo de la los métodos de diseño basados en el funcionamiento (“Perfomance-based
engineering methods”) principalmente en la aplicación de métodos estáticos no lineales (NSP).
En el año 1996 se publicó el informe ATC-40 (3). Posteriormente en el año 1997 se publicaron la
FEMA 273 (1) y su anexa FEMA 274 (4). Como sucesor de dicha publicación, surgió en el año 2000
la FEMA 356 (2).
Estos documentos, presentan enfoques equivalentes en cuanto al diseño, siendo similares en cuanto a
la definición de la generación de curvas “push-over”. Difieren en cuanto al método empleado en la
definición del desplazamiento inelástico a partir de la carga sísmica. Las publicaciones FEMA
273/274 y FEMA 356 emplean un procedimiento denominado “Método del Coeficiente” mientras
que ATC-40 muestra un método basado en el espectro.
1.3 Diseño sísmico. Acerca de la norma FEMA 356
4
A modo general, en la Figura 1-2 se ilustra un resumen de las diferentes metodologías que se
emplean en el diseño:
Figura 1-2: Métodos de análisis sísmico (5)
Para realizar modelos SDOF simplificados de la estructura, se emplea la metodología ilustrada en la
Figura 1-3, donde a partir de una distribución lateral de carga se obtiene una relación no lineal
fuerza-deformación global de la estructura:
1.3 Diseño sísmico. Acerca de la norma FEMA 356
5
Figura 1-3: Proceso de conversión a modelo de un grado de libertad (5)
En el caso de la ley de comportamiento aplicable a la unión viga pilar, las figuras 1-5, 1-6 y 1-7,
resumen el proceso:
Figura 1-4: Curva de histéresis (5)
En la Figura 1-4 se muestran los resultados de la curva de histéresis típicos de un ensayo.
En la Figura 1-5, se representa esquemáticamente las curvas de histéresis, así como la envolvente que
definiría la ley de comportamiento última del elemento.
1.3 Diseño sísmico. Acerca de la norma FEMA 356
6
Figura 1-5: Envolvente de la curva de histéresis (5)
En la Figura 1-6se representan curvas base típicamente empleadas según el material sea dúctil, semi-
dúctil o frágil.
Figura 1-6: Curvas de comportamiento simplificadas (5)
1.3.2 Método de cálculo estático no lineal o método “push-over”
Dado que uno de los objetivos finales de este proyecto consiste en la validación de un modelo que
permita la obtención de curvas de comportamiento fuerza-deformación, se pretende en este apartado
explicar de manera simplificada la aplicabilidad de dicha curva de comportamiento al diseño sísmico
de estructuras.
Uno de los métodos de cálculo más empleados por su simplicidad, es el método Estático No lineal
(Non Linear Static Procedure, NSP), ampliamente conocido como método Pushover, que se
presenta a continuación:
El método NSP o pushover, en primer lugar, define el comportamiento de los elementos mediante un
modelo matemático no lineal que relaciona las variables fuerza-deformación individualmente para
cada elemento y somete la estructura a una carga lateral, monotónica e incremental hasta que se
1.3 Diseño sísmico. Acerca de la norma FEMA 356
7
supera un desplazamiento máximo establecido previamente.
La normativa establece la localización del punto de control de desplazamiento, asemejable al punto
que hace coincidir la curva de demanda con la de respuesta, es decir el desplazamiento “real”
máximo elástico más el desplazamiento inelástico que alcanzará la estructura cuando se le aplique el
terremoto de diseño en su emplazamiento, y la distribución de carga a aplicar lateralmente. También
se establece el valor de desplazamiento máximo permitido el cual viene definido por la Ecuación
(1-2):
Donde 𝐶0, 𝐶1, 𝐶2, y 𝐶3 son coeficientes de corrección, 𝑆𝑎 es la aceleración espectral y 𝑇𝑒 el valor del
periodo.
El resultado obtenido del análisis, al superar el valor máximo de desplazamiento permitido arroja una
curva similar a la mostrada en la Figura 1-7:
Figura 1-7: Curva Fuerza – Desplazamiento (2)
A partir de dicha curva se obtienen de manera aproximada los valores 𝐾𝑖 y 𝐾𝑒 que representan
respectivamente:
𝐾𝑖 = Rigidez lateral elástica del edificio en la dirección considerada
𝐾𝑒 = Rigidez lateral efectiva del edificio en la dirección considerada
Como resumen de las características del método descrito se pueden remarcar las planteadas a
continuación:
Convierte un problema tridimensional en uno unidimensional en la dirección de carga
establecida
Incorpora una ley de comportamiento fuerza-deformación no lineal para cada elemento
𝛿𝑡 = 𝐶0𝐶1𝐶2𝐶3𝑆𝑎𝑇𝑒
2
4𝜋2𝑔 (1-2)
1.3 Diseño sísmico. Acerca de la norma FEMA 356
8
Se establece un nodo de control de desplazamiento y se define un valor de desplazamiento
máximo para dicho nodo en función del periodo de oscilación, el espectro de aceleración y
una serie de factores correctores
Se obtiene una curva fuerza-desplazamiento que permite obtener la rigidez de la estructura
completa.
Este proyecto se centrará en realizar un modelo que permita obtener esa ley de comportamiento no
lineal que emplea el método pushover.
La normativa proporciona unas pautas para obtener dicha ley de comportamiento y establece a su vez
unos criterios de aceptabilidad según los resultados obtenidos en el análisis.
1.3.3 Niveles de aceptación
Un primer concepto a considerar antes de describir las curvas fuerza-deformación es el de niveles de
aceptación o niveles de funcionamiento. Esto no es más que una clasificación de situaciones de
diseño establecida en base a las capacidades resistentes de la estructura según el método de cálculo
llevado a cabo.
La FEMA 356 establece la siguiente clasificación:
Inmediate Ocuppancy: Situación del edificio posterior a la acción sísmica en la cual existe
seguridad en cuanto a ocupación del mismo. El edificio mantiene sus características previas
al terremoto en cuanto a resistencia y rigidez y cumple con el diseño realizado.
Life safety: Situación del edificio posterior a la acción sísmica en la cual se han producido
daños estructurales en algunos componentes pero se mantiene un margen de seguridad en
cuanto al colapso parcial o total de la estructura en los términos de cálculo establecidos.
Collapse prevention: Situación del edificio posterior a la acción sísmica en la cual se han
producido daños estructurales tales que la estructura es capaz de soportar cargas gravitatorias
pero no dispone de margen en cuanto al colapso según el método de cálculo establecido.
Se definen a su vez estados intermedios continuos, denominados rangos, que incluyen situaciones
que se encuentran en valores intermedios de los anteriores estados.
1.3.4 Curvas Fuerza-Deformación
Como se ha explicado anteriormente, el primer paso en el método de cálculo no lineal, consiste en
establecer una relación fuerza-deformación para los diferentes elementos que constituyen la
estructura según su comportamiento y material.
Una curva fuerza-deformación simplificada se ilustra en la Figura 1-8:
1.3 Diseño sísmico. Acerca de la norma FEMA 356
9
Figura 1-8: Ley de comportamiento Fuerza-Desplazamiento (2)
Donde la relación 𝑄/𝑄𝑦 representa la relación entre la fuerza/momento aplicada/o y la
fuerza/momento de límite elástico, y los valores 𝜃 y ∆ representan las variables de rotación o
deformación respectivamente.
Los valores 𝑎, 𝑏, y 𝑐 representan parámetros de deformación y resistencia que definen la curva.
Dichos parámetros dependen de muchos factores como la geometría, el material, etc. La FEMA 356,
por ejemplo en el caso del elementos de hormigón armado incluye una serie de tablas que permiten
estimar dichos valores según diferentes casuísticas. Un ejemplo de esto se muestra en la Figura 1-9:
Figura 1-9: Parámetros para definición de columnas de hormigón armado (2)
En la Figura 1-9 podemos observar como para diferentes configuraciones se establecen valores para
𝑎, 𝑏, y 𝑐, y los valores que definen los diferentes niveles de aceptación explicados anterioremente.
1.4 Fundamentos de la plasticidad
10
1.4 Fundamentos de la plasticidad
Dado que el modelo que se empleará en el cálculo es un modelo plástico, conviene explicar los
fundamentos de la plasticidad que serán comentados en mayor medida en el capítulo 2 de este
proyecto.
Una de las maneras más sencillas de conocer cómo se comporta un material al someterlo a carga, se
realiza, por ejemplo en el caso del acero, mediante un ensayo uniaxial de tracción. Dicho ensayo
consiste en someter una probeta de dimensiones normalizas a una fuerza axial de tracción y medir la
deformación que se produce en la misma. Al representar los valores de fuerza y deformación se
obtiene una curva semejante a la ilustrada en la Figura 1-10:
Figura 1-10: Curva de ensayo uniaxial de compresión (6)
Un primer tramo, conocido como tramo elástico, conlleva deformaciones, las cuales desaparecen una
vez retirada la carga; éstos son deformaciones elásticas. A partir de un determinado valor,
denominado límite elástico, las deformaciones producidas en el elemento permanecerán en él al
retirar la carga. Dichas deformaciones se conocen como deformaciones plásticas. Llegado un punto,
el material no resiste más carga y éste se rompe (carga de rotura).
Cabe diferenciar entre deformación real y deformación ingenieril, relacionadas por la Ecuación (1-3):
Por lo tanto mediante el ensayo uniaxial, es posible obtener una curva de comportamiento que
relaciona fuerza y deformación para un material en una dirección. Existen ensayos similares que
permiten la obtención de curvas de compresión, como en el caso del hormigón, o de tracción en
materiales frágiles.
Sin embargo, dicho modelo permite predecir el comportamiento de un material en la dirección del
ensayo. Cabe preguntarse que sucederá con el material ante un estado de carga aleatorio. Este
휀𝑟𝑒𝑎𝑙 = ln(1 + 휀𝑛𝑜𝑚 ) (1-3)
1.5 Introducción a la mecánica de fractura en el hormigón armado
11
aspecto, es el que analiza la teoría de la plasticidad, permitiendo analizar el comportamiento de los
materiales ante estados de carga aleatorios.
Como explicaremos más detalladamente en el siguiente capítulo, la teoría de plasticidad se
fundamenta en los siguientes conceptos fundamentales:
Criterio de plastificación: Define el límite a partir del cual el material se comporta
plásticamente
Regla de flujo: Describe la relación entre tensión y deformación una vez el material ha
plastificado
Condición de consistencia: Condición que previene que la tensión supere el límite de
plastificación
Cabe diferenciar el distinto tratamiento que debe realizarse según estudiemos un material típicamente
metálico o un material granular como pueden ser las rocas, suelos, hormigón u otros materiales
granulares.
Mientras que para materiales metálicos es relativamente sencillo definir un comportamiento plástico
al ser éstos incompresibles, no sensibles a la presión hidrostática y seguir con buena aproximación
una regla de flujo asociado. Para materiales como el hormigón, resulta más complicado definir un
comportamiento plástico. Sin embargo como veremos más adelante, también es posible definir
modelos de comportamiento plástico para estos materiales.
1.5 Introducción a la mecánica de fractura en el hormigón armado
En este apartado se presenta la evolución del proceso de fisuración de un elemento de hormigón
armado. La mayor o menor aparición de fisuras está relacionada con multitud de factores como
pueden ser la carga aplicada o la temperatura.
1.5.1 Evolución de la fisuración en un elemento de hormigón armado
Para la explicación del fenómeno de fisuración emplearemos un elemento de hormigón armado
sometido a tracción, siendo extrapolable el concepto a cualquier otro estado de carga, donde, la
evolución de tensiones en la pieza será diferente.
Supongamos un tirante de hormigón de longitud 𝐿, de sección rectangular 𝑏𝑥, y reforzado mediante
una armadura de área 𝐴𝑐 .
El comportamiento de dicho elemento frente a una carga axial creciente viene definido por la gráfica
de la Figura 1-11:
1.5 Introducción a la mecánica de fractura en el hormigón armado
12
Figura 1-11: Relación Axil-Deformación para un elemento de hormigón armado (7)
En la Figura 1-11 podemos observar tres fases diferenciadas:
Fase sin presencia de fisuras
Fase de formación de fisuras
Fase de fisuración estabilizada
En la primera fase, denominada sin presencia de fisuras, existe compatibilidad de deformaciones
entre acero y hormigón en todas las secciones del tirante; esto es, en todas las secciones del mismo la
deformación de ambos materiales es la misma.
Cuando el hormigón alcanza una tensión de tracción de valor igual a la resistencia a tracción 𝑓𝑐𝑡 se
provoca una fisura en la sección más débil del elemento.
En dicha sección, desaparece el hormigón a tracción, siendo el acero quien resiste toda la tracción
producida.
En las zonas alejadas de la fisura, no se ha modificado el estado y permanecen sin fisuración
existiendo en ellas compatibilidad de deformaciones entre acero y hormigón.
En la zona próxima a la fisura, en una longitud 𝑙𝑡 , a cada lado de la misma, las secciones presentan
un comportamiento intermedio entre ambos estados, sin fisuras y formación de fisuras.
Como se puede observar en la Figura 1-11, el tramo de formación de fisuras es horizontal, dado que
sin necesidad de un incremento en la fuerza, el tirante experimenta un aumento de elongación, como
consecuencia de una disminución de rigidez, tanto en la fisura como en las zonas cercanas a ella.
El estado de formación de primera fisura se ilustra en la Figura 1-12:
1.5 Introducción a la mecánica de fractura en el hormigón armado
13
Figura 1-12: Formación de primera fisura (7)
El axil no se ha visto modificado, de modo que cualquiera de las secciones, la más débil en este caso,
podrá volver a fisurarse sin necesidad de que éste se vea incrementado.
Figura 1-13: Formación de última fisura(7)
1.5.2 Modelos de análisis de rótulas plásticas
El comportamiento de las estructuras frente a cargas sísmicas es altamente complejo incluyendo
multitud de factores que influyen en la respuesta como pueden ser acciones dinámicas, grandes
deformaciones y desplazamientos, daño, plasticidad y comportamiento próximo al colapso.
El riesgo que supone la degradación de una estructura debida a la acción sísmica ha provocado que
1.5 Introducción a la mecánica de fractura en el hormigón armado
14
se haya avanzado en este campo enormemente en los últimos años. Una de las estrategias de diseño
más empleadas y que proporciona grandes resultados a pesar de su alto coste es el Análisis Dinámico
Incremental (IDA).
Sin embargo, a pesar de la alta complejidad del cálculo sísmico, mayormente se emplean modelos
simplificados por su mayor aplicabilidad. Es por ello que se necesita la verificación y análisis de la
certeza de los resultados que presentan dichos modelos simplificados de cálculo.
Los dos enfoques de cálculo principales a la hora de realizar un análisis no lineal de estructuras de
hormigón armado se describen a continuación:
1.5.2.1 Lumped plasticity models
En este tipo de modelos, el comportamiento no lineal del hormigón armado se concentra en zonas de
longitud cero en el modelo, denominadas rótulas plásticas, normalmente situadas en las zonas de
conexión entre vigas y columnas.
La ley de comportamiento que define cada rótula plástica es caracterizada mediante una ley fuerza-
desplazamiento.
Este tipo de modelos se encuentra implementado en multitud de programas de elementos finitos,
como puede ser SAP2000. Dichos modelos se basan en las relaciones establecidas en la FEMA 356.
1.5.2.2 Modelos basados en la mecánica de medios continuos
El elemento de hormigón armado se modeliza mediante elementos finitos mediante el empleo de
software de cálculo. En la mayoría de los casos, el hormigón se modela mediante modelos 3D
sólidos mientras que los refuerzos se modelizan mediante elementos tipo viga, imponiendo
condiciones de contorno adecuados entre ambos. Se simula el comportamiento mediante modelos no
lineales de plasticidad
El modelo analizado en el presente proyecto estaría integrado en este grupo.
1.5.2.3 Otros modelos
Otros modelos empleados pueden ser los de plasticidad distribuida. En ellos se emplean fibras para
simular el comportamiento plástico a lo largo del elemento. Cada fibra se asocia con una relación
tensión-deformación y posteriormente se realiza la integración imponiendo las condiciones de Euler-
Bermouilli(8).
15
2 MODELOS DE DAÑO PLÁSTICO
2.1 Fundamentos de la teoría de plasticidad
Como se anticipó en el Capítulo 1, la teoría de la plasticidad es la encargada de representar el
comportamiento de sólidos bajo carga en un rango de aplicación cuyo análisis no es abarcable desde
el punto de vista de la teoría de la elasticidad.
Esta teoría fue inicialmente formulada en 1872 para representar el fenómeno de distorsión en la red
cristalina de los metales y se emplea en la actualidad para representar el comportamiento a escala
macroscópica sin que se esté desarrollando ningún fenómeno de plasticidad de metales a escala
microscópica.
El postulado principal de la teoría de la plasticidad consiste en descomposición de la deformación
según una deformación elástica y una deformación plástica irreversible (Ecuación (2-1)):
Es precisamente la deformación plástica la que lleva asociado un comportamiento energético no
conservativo dependiente del camino recorrido.
La teoría de plasticidad representa el comportamiento físico macroscópico de los sólidos a partir las
siguientes premisas o características:
Un período inicial elástico, el cual puede ser lineal o no lineal.
Un comportamiento elasto-plástico posterior al elástico, donde las tensiones no crecen de manera
proporcional al campo de deformaciones y donde éstas resultan de la adición de una parte
recuperable (elástica) y una parte irrecuperable (plástica). El punto de separación de ambos estados
se conoce como límite de fluencia en materiales metálicos y como límite de discontinuidad en el caso
de materiales friccionales (por ejemplo el hormigón). El espacio tensional que define dicho punto de
separación es conocido como función de fluencia plástica o de discontinuidad respectivamente.
En la Figura 2-1 se ilustra de forma esquemática el comportamiento uniaxial de un punto
correspondiente a un material elasto-plástico ideal. Al inicio se presenta una zona elástica donde
existe proporcionalidad entre tensiones y deformaciones hasta el punto A (límite de
proporcionalidad). A partir de dicho punto se inicia un tramo elástico no lineal hasta el punto A’, a
partir del cual aparece el comportamiento elasto-plástico caracterizado por una disminuación del
módulo de rigidez tangente. En el caso de realizar un proceso de descarga en dicho tramo, se puede
observar que únicamente se recuperaría la parte elástica, quedando remanente una parte plástica.
휀 = 휀𝑒 + 휀𝑝 (2-1)
2.1 Fundamentos de la teoría de plasticidad
16
Figura 2-1: Ley de comportamiento a compresión (9)
Dentro del tramo elasto-plástico se distinguen tres zonas diferentes:
Zona de crecimiento de tensión (Tramo OB), denominada zona elasto-plástica con
endurecimiento.
Zona plástica perfecta o zona sin endurecimiento (Tramo CD)
Zona plástica con ablandamiento (Tramo DE).
Dentro de la teoría de la plasticidad existen dos conceptos a destacar que se explican a continuación:
El criterio de fluencia o plastificación expresado de forma genérica según la Ecuación (2-2),
que permite establecer el inicio del comportamiento inelástico y la posterior evolución de las
fronteras del dominio elástico dentro del espacio de tensiones.
El comportamiento del material fuera del límite elástico, denominado comportamiento
elasto-plástico viene definido mediante la formulación de:
Una descomposición de las deformaciones según una parte elástica y una plástica.
Una regla de flujo plástica 𝑔(𝜎)
Unas variables internas 𝛼(𝜎,𝛼) que dependen de la evolución del proceso elasto-
plástico.
𝐹 𝜎,𝛼 = 0 (2-2)
2.2 Criterio de plastificación
17
Pasemos a continuación a describir la definición y formulación de cada uno de los conceptos
anteriores.
2.2 Criterio de plastificación
Como se explicó en el capítulo anterior, existe un valor por encima del cual el material plastifica. Y
como hemos visto dicho valor es fácil de obtener mediante la realización de un ensayo uniaxial. Sin
embargo en el caso de existir diferentes fuerzas actuando simultáneamente en diferentes direcciones,
establecer el valor de dichas fuerzas a partir del cual el material comienza a plastificar resulta algo
más complejo.
El criterio de fluencia es una función escalar de argumentos tensoriales que delimita el dominio
elástico.
La definición de un criterio de plastificación tiene, de forma genérica una expresión como la
expresada en la Ecuación (2-3):
Donde se incluyen las 6 componentes independientes de tension y 𝛼 define una serie de variables
internas. De forma simplificada se puede expresar como indica la Ecuación (2-4):
La Ecuación (2-4) refleja una superficie tridimensional en el espacio tensión, reflejada en la Figura
2-2 para el caso bidimensional:
Figura 2-2: Superficie de plastificación (9)
𝑓 𝜎𝑥 ,𝜎𝑦 ,𝜎𝑧 ,𝜎𝑥𝑧 ,𝜎𝑥𝑦 ,𝜎𝑦𝑧 ,𝛼𝑖 ,… ,𝛼𝑛 = 0 (2-3)
𝑓 𝝈,𝜶 = 0 (2-4)
2.2 Criterio de plastificación
18
Se distinguen 3 situaciones diferentes:
𝑓 < 0: Nos encontraríamos en zona elastica
𝑓 > 0: Zona inadmisible
𝑓 = 0: Nos encontraríamos en zona plástica
La teoría de la plasticidad tan solo admite dos estados de comportamiento mecánico en cada punto de
un sólido: elástico o elasto-plástico. La situación de un punto cualquiera, en un instante de tiempo
determinado del proceso de carga viene definida a partir de la condición de consistencia plástica.
Esto es:
El proceso de deformación de un punto es elástico si se cumple (Ecuación (2-5)):
El proceso de deformación de un punto es elasto-plástico si se cumple (Ecuación (2-6)):
El hecho de que el material plastifique o no, debe ser independiente del sistema de coordenadas
elegido en el cálculo. Dado que para materiales isótropos, no podemos considerar ningún efecto en
función de la orientación, un criterio de plastificación debe depender únicamente de los invariantes
del tensor de tensiones.
Conviene primeramente, para mayor compresión de los criterios que posteriormente se
explicarán,establecer la división del tensor de tensiones en un tensor esférico o hidrostático, y un
tensor desviador.
El tensor de tensiones viene expresado, en un sistema de coordenadas cualquiera mediante de la
siguiente manera (Ecuación (2-7)):
Las tensiones principales de dicho tensor pueden ser obtenidas resolviendo el siguiente problema de
𝑓 𝜎,𝛼 < 0 ó 𝑓 𝜎,𝛼 =𝜕𝑓
𝜕𝜎∙ 𝜎 +
𝜕𝑓
𝜕𝛼∙ 𝛼 < 0 (𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) (2-5)
𝑓 𝜎,𝛼 = 0 𝑦 𝑓 𝜎,𝛼 =𝜕𝑓
𝜕𝜎∙ 𝜎 +
𝜕𝑓
𝜕𝛼∙ 𝛼 < 0 (𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) (2-6)
𝜎11 𝜎12 𝜎13
𝜎21 𝜎22 𝜎23
𝜎31 𝜎32 𝜎33
=
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧
(2-7)
2.2 Criterio de plastificación
19
autovalores (Ecuación (2-8)):
Lo cual lleva a la resolución de la siguiente Ecuación cúbica en 𝜎 (Ecuación (2-9):
En la Ecuación XX, los valores 𝜎1, 𝜎2, y 𝜎3 representan los valores de las tensiones principales y los
valores 𝐼1, 𝐼2, y 𝐼3 se denominan invariantes del tensor y vienen definidos por las Ecuaciones (2-10) -
(2-12):
La expresión de los invariantes se simplifica teniendo en cuenta que en el plano definido por las
tensiones principales, las tensiones tangenciales son nulas (Ecuaciones (2-13) – (2-15)):
El tensor de tensiones, expresado en copmonentes de tensiones principales puede ser expresado
como la suma de un tensor esférico o hidrostático y un tensor desviador (Ecuación (2-16):
𝜎𝑖𝑗 − 𝜎𝛿𝑖𝑗 = 0 (2-8)
𝜎3 − 𝐼1𝜎2 + 𝐼2𝜎 − 𝐼3 = 0 (2-9)
𝐼1 = 𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 (2-10)
𝐼2 = 𝜎11𝜎22 + 𝜎22𝜎33 + 𝜎33𝜎11 − 𝜎122 − 𝜎13
2 − 𝜎232 (2-11)
𝐼3 =
𝜎11 𝜎12 𝜎13
𝜎21 𝜎22 𝜎23
𝜎31 𝜎32 𝜎33
(2-12)
𝐼1 = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 (2-13)
𝐼2 = 𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎3𝜎1 (2-14)
𝐼3 = 𝜎1𝜎2𝜎3 (2-15)
2.2 Criterio de plastificación
20
Donde 𝜎 representa el tensor esférico y 𝑠 el tensor desviador.
El tensor esférico o hidrostático viene definido por la Ecuación (2-17:
Donde el valor 𝜎𝑚 viene definido por la Ecuación (2-18:
De forma similar a lo realizado para el tensor de tensiones se pueden obtener las tensiones
principales del tensor desviador, obteniendo los valores de los invariantes 𝐽1, 𝐽2 y 𝐽3 (Ecuación (2-19)
- (2-21)):
De esta manera el criterio de plastificación puede expresarse en función de los diferentes invariantes.
Típicamente en el caso de materiales metálicos, se ha probado experimentalmente que la influencia
de la presión hidrostática sobre la deformación plástica es despreciable, siendo dependiente
principalmente de la tensión desviadora. Esto conlleva que los criterios de fluencia para materiales
metálicos vengan expresados generalmente según la Ecuación (2-22):
En el caso de materiales friccionales, como el hormigón, las fuerzas de rozamiento entre partículas
aumentan con la presión en sus caras (tensor esférico o hidrostático). Esto se refleja en el criterio de
plastificación mediante la dependencia del mismo con el invariante 𝐼1 (Ecuación (2-23)):
𝜎 = 𝜎 + 𝑠 (2-16)
𝜎 = 𝜎𝑚 0 00 𝜎𝑚 00 0 𝜎𝑚
(2-17)
𝜎𝑚 =1
3 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 =
1
3𝐼1 (2-18)
𝐽1 = 𝑠1 + 𝑠2 + 𝑠3 = 0 (2-19)
𝐽2 =1
6 𝜎1 − 𝜎2
2 + 𝜎2 − 𝜎3 2 + 𝜎3 − 𝜎1
2 (2-20)
𝐽3 = 𝑠1𝑠2𝑠3 (2-21)
𝑓 𝐽2 , 𝐽3 ,𝛼 = 0 (2-22)
2.2 Criterio de plastificación
21
2.2.1 Criterio de Von Mises
En materiales dúctiles como son típicamente los metales, las deformaciones inelásticas tiene lugar a
partir de la rotura a lo largo de los planos cristalográficos. El principio de plastificación es por lo
tanto independiente de la parte volumétrica del tensor (presión o tensión principal). Esto implica su
independencia del invariante 𝐼1 definido anteriormente.
Este criterio se define según la Ecuación (2-24):
Donde 𝛼 es un parámetro del material.
Figura 2-3: Superficies de plastificación según criterio de Von Mises (sólido) y Tresca (discontinuo):
a) meridianos, b) plano desviador, c) tensión plana (10)
2.2.2 Criterio de Mohr-Coulomb
El criterio de Mohr-Coulomb es un criterio dependiente de la presión, esto es del tensor esférico
empleado frecuentemente para la resistencia de suelos. Se fundamenta en el hecho de que la tensión
tangencial necesaria para la plastificación se incrementa con la tensión de compresión normal a dicho
plano.
En su expresión más sencilla, el criterio viene definido por la Ecuación (2-25):
Donde 𝜏 y 𝜎 son respectivamente las tensiones tangencial y normal, y 𝑐 y 𝜙 son constantes del
𝑓 𝐼1, 𝐽2 , 𝐽3 ,𝛼 = 0 (2-23)
𝐽2 − 𝛼 = 0 (2-24)
𝜏 = 𝑐 − 𝜎 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝜙 (2-25)
2.2 Criterio de plastificación
22
material.
El parámetro 𝑐 se conoce como cohesión y representa la resistencia tangencial del material bajo una
tensión normal a dicho plano nula. El valor 𝜙 es el ángulo de fricción interno.
En el plano 𝜎 − 𝜏, se puede visualizar la plastificación cuando el círculo que representa la tensión,
entra en contacto con la recta representada (Figura 2-4):
Figura 2-4: Superficie de plastificación en el plano 𝜎 − 𝜏: a) Mohr-Coulomb, b) Tresca (10)
2.2.3 Criterio de Drucker-Prager
El criterio de Drucker-Prager, criterio dependiente de la presión, se expresa según la Ecuación
(2-26):
Donde 𝛼 y 𝜏0 son propiedades del material.
Este criterio se asemeja al criterio de Von Mises, sin embargo en este caso, el criterio es dependiente
de la presión (parte esférica del tensor o presión hidrostática).
Figura 2-5: Superficie de plastificación según criterio de Drucker-Prager: a) meridianos, b) plano
desviador, c) tensión plana (10)
𝑓 𝐼1, 𝐽2 = 𝛼𝐼1 + 𝐽2 − 𝜏0 = 0 (2-26)
2.3 Concrete Damaged Plasticity
23
2.3 Concrete Damaged Plasticity
El modelo de daño empleado en el proyecto, y que incorpora el software ABAQUS (11) denominado
Concrete Damaged Plasticity fue incorporado en su versión 2013 y está basado en el modelo(12) y
su posterior modificación según (13)
En este apartado se describirá primeramente el modelo sin degradación de rigidez propuesto por
J.Lubliner (12) para ilustar los conceptos asociados a un modelo plástico. Posteriormente se explicará
el modelo con degradación de rigidez propuesto por J.Lee y G:L. Fenves (13). Finalmente se
formulará el modelo implementado en ABAQUS indicando el significado de los diferentes
parámetros así como los parámetros así como su significado físico y la metodología necesaria para su
obtención.
2.3.1 Modelo inicial J. Lubliner et al. (12)
2.3.1.1 Generalidades del modelo
El modelo implementado en el software ABAQUS procede del modelo presentado por J. Lubliner
(12) et al en el año 1988 modificado posteriormente por J. Lee (13)
Como introducción a los modelos de daño plásticos se describirá a continuación el modelo planteado
inicialmente por Lubliner et al.(12) incidiendo en los aspectos más importantes de la publicación
para posteriormente comentar brevemente los cambios introducidos en el modelo por J. Lee.
La idea surge de la necesidad de contemplar en un único modelo constitutivo el comportamiento no
lineal del hormigón tanto en tracción como en compresión.
Hasta ahora en la mayoría de los casos donde el estudio se centraba en el desarrollo de grietas por
tracción en el hormigón, el enfoque se basaba en la aplicación de la teoría de la plasticidad en la zona
de compresión y en el tratamiento de la zona de tracción mediante diversas versiones de la mecánica
de fractura.
La problemática de este enfoque, a pesar de su probada utilidad, radica en la necesidad de definir
comportamientos independientes en cada dirección principal, la necesidad del uso de factores de
retención de resistencia tangencial a lo largo de la grieta, la falta de equilibrio en el punto de fractura
cuando se forma más de una grieta, la dificultad de definir el camino de fisuración siguiendo la
apertura y cierre de grietas bajo carga cíclica y las dificultades a la hora de enfrentarse con el efecto
combinado de fractura y plasticidad en los puntos dañados.
Como bien es sabido, el hormigón presenta un ablandamiento que lleva a una pérdida total de la
resistencia bajo cualquier estado de carga exceptuando la compresión triaxial, donde la presión
hidrostática predomina frente al tensor desviador. Dicho ablandamiento se produce tanto en tracción
como en compresión, pero mientras que la curva de ablandamiento en tracción se describe en los
modelos de mecánica de fractura, el ablandamiento en compresión es más controvertido.
Sin embargo, cualitativamente el comportamiento en tracción y compresión en el hormigón no
difiere mucho en su forma. El hormigón se incluye dentro de los materiales con fricción cohesivos,
siendo el motivo de la pérdida de resistencia la desaparición de la cohesión entre las partículas.
Como se comento anteriormente, los elementos principales que debe incluir todo modelo plástico
son el criterio de plastificación, la regla de flujo y la regla de endurecimiento.
El primero de los elementos enunciados, se consigue mediante el empleo de criterios de
plastificación como el de Mohr-Coulomb o Drucker Prager, descritos anteriormente y que pueden
2.3 Concrete Damaged Plasticity
24
expresarse de forma genérica según la Ecuación (2-27):
Donde 𝑓(𝜎) es una función de los componentes de tensión homogénea de primer grado y el
parámetro 𝑐 se identifica con la cohesión del material.
Estos criterios, sin embargo, no representan de un modo preciso el comportamiento real del
hormigón salvo que sean adecuadamente modificados. Durante los últimos años se han propuesto
numerosos criterios y superficies de plastificación para simular el comportamiento del hormigón
(14)(15)(16)(17). Sin embargo pocos de ellos vienen expresados según la Ecuación (2-27).
El segundo y tercero de los componentes de la teoría de plasticidad, puede obtenerse mediante la
incorporación de una variable de daño plástico que permite determinar la evolución de la variable de
cohesión 𝑐 de forma similar al modelo clásico de plasticidad.
2.3.1.2 Formulación del modelo
El modelo de daño plástico consiste en una forma particular del modelo de la teoría de plasticidad
donde la variable de endurecimiento es sustituida por una variable, que denominaremos 𝜅, similar en
su definición dado que su valor nunca decrete, y éste solo aumenta tan solo si tiene lugar una
deformación plástica. Además el valor de dicha variable tiene un valor máximo límite relacionado
con la formación de una grieta macroscópica.
Como se dijo previamente, dicha variable 𝜅 debe estar relacionada con la degradación de la cohesión
en el material. Se escalará el valor de 𝑐 de manera que se cumpla 𝑐 = 𝑓𝑐𝑜 cuando 𝜅 = 0 y 𝑐 = 0
cuando 𝜅 = 1. Sin embargo a diferencia de los modelos de plasticidad usuales que emplean
endurecimiento isotrópico, el valor 𝑐 tiene necesariamente que ser una función de 𝜅. El valor de 𝑐
para un determinado 𝜅 debe depender del proceso; esto es, el valor de cohesión 𝑐 se incluye como
una variable interna gobernada por una Ecuación donde 𝑐 es proporcional a 𝜅 , siendo dicho
coeficiente de proporcionalidad función de las variables de estado.
Si no contabilizamos la degradación de la rigidez en el modelo, las ecuaciones básicas que incluye el
modelo son las ilustradas en las ecuaciones (2-28) a (2-32):
El criterio de plastificación:
La descomposición elasto-plástica de la deformación:
La regla de flujo:
𝑓 𝜎 = 𝑐 (2-27)
𝑓 𝜎 = 𝑐 (2-28)
휀 = 𝐷−1𝜎 + 휀𝑝 (2-29)
휀 𝑝 = 𝜆 𝑔 (2-30)
2.3 Concrete Damaged Plasticity
25
Donde 𝜆 es el factor de carga plástica y 𝑔 =𝜕𝐺
𝜕𝜎 es el vector de flujo plástico normal a la superficie de
plastificación 𝐺 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
La ecuación de variación para la variable de daño 𝜅:
La ecuación de variación para la variable de cohesión 𝑐
Para entender mejor el concepto de la variable interna 𝜅 procedamos a definir 𝜅 en el caso de
tracción como se muestra en la Ecuación (2-33), partiendo del conocimiento de la curva de
comportamiento 𝜎 − 휀𝑝 como se ilustra en la Figura 2-6:
Figura 2-6: Curvas uniaxiales 𝜎 − 휀𝑝 : a) tensión; b) compresión (12)
La función 𝜎 − 휀𝑝 ha de ser convertida en una función 𝜎 − 𝜅. Para ello se escalará de manera que se
cumplan las siguientes condiciones (ecuaciones (2-34) y (2-35)):
𝜅 = 𝑇(𝜎, 𝑐, 𝜅)휀𝑝 (2-31)
𝑐 = 𝑘(𝜎, 𝑐, 𝜅)𝜅 (2-32)
𝜅 =1
𝑔𝑡 𝜎휀𝑝
0
𝑑휀𝑝 (2-33)
2.3 Concrete Damaged Plasticity
26
De igual manera se puede proceder para el comportamiento a compresión definiendo la variable de
daño 𝜅 según la Ecuación (2-36):
La Ecuación (2-36) deberá cumplir las mismas condiciones que en el caso de tracción; esto es
(Ecuación (2-37) y (2-38)):
La relación considerada que relaciona 𝜎 − 휀𝑝 viene expresada según la Ecuación (2-39):
Donde 𝑎 y 𝑏 son constantes adimensionales.
Combinando la Ecuación (2-36) y (2-39) obtenemos la relación 𝜎 = 𝑓(𝜅) que viene expresada en la
Ecuación (2-40):
Donde: 𝜙 𝜅 = 1 + 𝑎 2 + 𝑎 𝜅.
𝑓𝑡 0 = 𝑓𝑡0 (2-34)
𝑓𝑡 1 = 0 (2-35)
𝜅 =1
𝑔𝑐 𝜎휀𝑝
0
𝑑휀𝑝 (2-36)
𝑓𝑐 0 = 𝑓𝑐0 (2-37)
𝑓𝑐 1 = 0 (2-38)
𝜎 = 𝑓0 1− 𝑎 𝑒𝑥𝑝 −𝑏휀𝑝 − 𝑎𝑒𝑥𝑝 −2𝑏휀𝑝 (2-39)
𝜎 = 𝑓 𝜅 =𝑓0
𝑎 1 + 𝑎 𝜙(𝜅)− 𝜙(𝜅) (2-40)
2.3 Concrete Damaged Plasticity
27
La superficie de plastificación viene determinada por la Ecuación (2-41):
Donde 𝛼, 𝛽 y 𝛾 son constantes adimensionales dependientes del material.
Cabe destacar la relación del criterio de plastificación descrito con el de Drucker-Prager, sin más que
hacer nulo el valor de 𝜎𝑚𝑎𝑥 (en el caso de compresión biaxial).
El parámetro 𝛼 viene definido por la Ecuación (2-42):
Donde 𝑓𝑏0 es la resistencia del hormigón frente a compresión biaxial, y 𝑓𝑐0 es la resistencia a
compresión uniaxial.
Valores experimentales de la relación 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 se encuentran entre 1.10 y 1.16, lo cual implica
valores de 𝛼 entre 0.08 y 0.12.
El valor de 𝛽 puede obtenerse una vez conocido 𝛼 a partir de la Ecuación (2-43):
Donde 𝑓𝑡0 es el valor de la resistencia a tracción uniaxial del hormigón.
El parámetro 𝛾 solamente aparece en el caso de compresión triaxial, es decir, en aquellos casos en los
que 𝜎𝑚𝑎𝑥 < 0.
La regla de flujo empleada en el modelo para evaluar el camino plástico del material consiste en una
modificación del valor de G típico del criterio de Mohr-Coulomb modificando el valor del ángulo de
dilatación por el ángulo de fricción interno (Ecuación (2-44)):
𝑓 𝜎 =1
1 − 𝛼 3𝐽2 + 𝛼𝐼1 + 𝛽 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝛾 𝜎𝑚𝑎𝑥 (2-41)
𝑓𝑏0
𝑓𝑐0=
1− 𝛼
1− 2𝛼 (2-42)
𝑓𝑐0
𝑓𝑡0=
1 + 𝛼 + 𝛽
1 − 𝛼 (2-43)
𝐺 𝜎,𝜓 =𝐼13𝑠𝑒𝑛𝜓+ 𝐽2 𝑐𝑜𝑠𝜃 −
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜓
3 (2-44)
2.3 Concrete Damaged Plasticity
28
2.3.2 Modelo J.Lee y G.L. Fenves (13)
El modelo surge como una mejora al modelo propuesto por J.Lubliner incorporando varias
modificaciones al mismo con el objetivo de simular de una manera más certera el comportamiento
del hormigón frente a cargas cíclicas.
La rotura del hormigón se diferencia de la rotura de otros materiales como pueden ser los metales
debido a que no se debe a una formación de nueva superfícies de rotura, sino a la generación de
microgrietas en el material. Dicha formación de microgrietas es la causante del fallo, y se representa
macroscópicamente a través de un ablandamiento del material.
A su vez, la formación de microgrietas también causa una degradación de la rigidez del material, lo
cual puede verse en el caso de estructuras sometidas a carga cíclica. Esta degradación puede
contemplarse en el campo de la mecánica de medios continuos mediante la relación entre tensiones
totales y tensiones efectivas.
En el modelo propuesto por J. Lubliner, se introducía una variable escalar de daño para representar
cualquier estado de daño del material. Además se introducían variables de degradación elástica y
plástica para simular la degradación de rigidez producida.
Dado que en materiales quasi-frágiles, como el hormigón, sometidos a carga cíclica se producen
diferentes estados de daño como son la fractura por compresión, fractura por tracción y degradación
de rigidez, el empleo de una única variable de daño no parece adecuado.
Este modelo, acorde con lo explicado anteriormente, modifica el modelo de J. Lubliner al incluir dos
variables de daño, una para tracción y otra para compresión, y modifica el criterio de plastificación.
2.3.2.1 Formulación del modelo
Al igual que presentamos anteriormente el modelo de J. Lubliner, las ecuaciones que definen el
presente modelo son idénticas a las presentadas en dicho modelo con las salvedades que se indican a
continuación y que constituyen las mejoras del modelo.
El modelo incluye dos variables para representar el daño a tracción y compresión 𝜅𝑡 y 𝜅𝑐 .
A diferencia del modelo propuesto por J. Lubliner, donde la variable de cohesión 𝑐 dependía
únicamente de la variable de daño 𝑐 = 𝑐(𝜅), en el presente modelo se modela la función de
plastificación mediante dos variables de cohesión 𝑐𝑐 para la cohesión a compresión y 𝑐𝑡 para la
cohesión a tracción. Para ello se hace uso de un parámetro 𝛽. (ecuaciones (2-45) a (2-47)):
De esta manera, el criterio de plastificación queda expresado mediante la Ecuación (2-48):
𝛽 = 𝛽(𝜅) (2-45)
𝛽 =𝑐𝑐 𝜅
𝑐𝑡 𝜅 1− 𝛼 − (1 + 𝛼) (2-46)
𝑐 = 𝑐𝑐(𝜅) (2-47)
2.3 Concrete Damaged Plasticity
29
2.3.3 Modelo CDP incluido en ABAQUS (11)
El modelo implementado en ABAQUS denominado “Concrete Damaged Plasticity” está basado en
todo lo expuesto en los apartados anteriores. A continuación se describen sus características
fundamentales.
Se contempla una descomposición de la deformación en parte elástica y parte plástica (Ecuación
(2-49)):
Se establece la relación entre tensión y defromación mediante un matriz de rigidez multiplicada por
un valor escalar de degradación (Ecuación (2-50)):
Se incluyen dos variables de daño, una para el comportamiento a tracción 휀 𝑡𝑝𝑙
y otra para el
comportamiento a compresión 휀 𝑐𝑝𝑙
. La evolución de dichas variables viene dada por la Ecuación
(2-51):
La función de plastificación en el estado de tensiones efectivas viene dado de forma genérica por la
expresión (2-52):
Dicha expresión de plastificación, en su versión desarrollada viene dada por la Ecuación (2-53):
𝑓 𝜎, 𝜅 =1
1− 𝛼 3𝐽2 + 𝛼𝐼1 + 𝛽(𝜅) 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝑐𝑐(𝜅) (2-48)
휀 = 휀𝑒 + 휀𝑝 (2-49)
𝜎 = 1− 𝑑 𝐷0𝑒𝑙 : (휀 − 휀𝑝𝑙 ) (2-50)
휀 𝑝𝑙 = (𝜎 , 휀 𝑝𝑙 ) ∙ 휀 𝑝𝑙 (2-51)
𝐹 𝜎 , 휀 𝑝𝑙 ≤ 0 (2-52)
2.3 Concrete Damaged Plasticity
30
Donde 𝛼 y 𝛾 son constantes adimensionales del material; 𝑝 es la presión hidrostática efectiva, y 𝑞 es
la tensión equivalente de Von Mises.
El valor 𝛼 y 𝛽 tienen la definición dada anteriormente en las ecuaciones (2-54) y (2-55).
El coeficiente 𝛾 solo entra en juego en el caso de compresión triaxial y se determina mediante la
comparación de los meridianos de tracción y compresión. Definiendo 𝐾𝑐 = 𝑞𝐶𝑀/𝑞𝑇𝑀 , este viene
dado por la Ecuación (2-56):
Típicamente el valor de 𝐾𝑐 se considera igual a 2/3 lo cual equivale a un valor de 𝛾 = 3
El valor de 𝐾𝑐 tiene influencia en la forma de la superficie de plastificación tal y como se puede
apreciar en la Figura 2-7:
𝐹 𝜎 , 휀 𝑝𝑙 =1
1− 𝛼 𝑞 + 3𝛼𝑝 + 𝛽 휀 𝑝𝑙 𝜎 𝑚𝑎𝑥 − 𝛾 −𝜎 𝑚𝑎𝑥 − 𝜎 휀
𝑝𝑙 ≤ 0 (2-53)
𝛽 =𝜎𝑐 휀
𝑝𝑙
𝜎 𝑡 휀 𝑝𝑙
1− 𝛼 − (1 + 𝛼) (2-54)
𝑓𝑏0
𝑓𝑐0=
1− 𝛼
1− 2𝛼 (2-55)
𝐾𝑐 =𝛾 + 3
2𝛾 + 3 (2-56)
2.3 Concrete Damaged Plasticity
31
Figura 2-7: Superficie de plastificación en el plano desviador según valores de 𝐾𝑐
La regla de flujo deriva de un potencial G según la Ecuación (2-57):
Donde 𝜆 es un multiplicador plástico no negativo.
El potencial plástico viene dado por la expresión (2-58):
Donde 𝜓 es el ángulo de dilatancia medido en el plano p-q, 𝜎𝑡0 es la tensión de rotura a tracción, 𝜖 es
un parámetro denominado excentricidad, el cual define lo próxima que se encuentra la superficie a la
asíntota.
El ángulo de dilatancia viene asociado al cambio de volumen inelástico que experimenta un material
𝛾휀 𝑝𝑙 = 𝜆 𝜕𝐺(𝜎 )
𝜕𝜎 (2-57)
𝐺 𝜎,𝜓 = 𝜖𝜎𝑡0𝑡𝑎𝑛𝜓 2 + 𝑞 2 − 𝑝 𝑡𝑎𝑛𝜓 (2-58)
2.3 Concrete Damaged Plasticity
32
friccional, como es el hormigón, debido a la desviación plástica. Este fenómeno, denominado
dilatancia, se puede atribuir al crecimiento de los mecanismos de micro-fisuración que sufre el
hormigón durante el periodo inelástico. La Figura 2-8 representa este fenómeno:
Figura 2-8: Fenómeno de dilatancia (9)
La superficie de plastificación en el estado de tensión plana se representa en la Figura 2-9:
Figura 2-9: Superficie de plastificación en tensión plana (11)
2.3 Concrete Damaged Plasticity
33
La representación de los estados de compresión y tracción uniaxiales viene dada por las Figuras 2-10
y 2-11:
Figura 2-10: Ley de comportamiento a tracción (11)
Figura 2-11: Ley de comportamiento a compresión (11)
Por último, el modelo considera una variable de viscosidad que favorece la convergencia a la hora de
resolver el análisis no lineal. Esta variable resulta muy importante, dado que al definir
comportamientos inelásticos del material, combinado con variables de daño y degradación, así como
bajo estados de carga cíclicos, se producen problemas importantes de convergencia.
2.3 Concrete Damaged Plasticity
34
Esta variable permite que valores de la tensión se sitúen fuera de la superficie de plastificación
definida. El empleo de valores pequeños de dicha variable donde 𝑡
𝜇−→ ∞, permite mejorar
enormemente la convergencia, sin comprometer los resultados.
35
3 MECÁNICA DE LA FRACTURA EN EL
HORMIGÓN ARMADO
En el presente apartado se pretende presentar de manera sucinta los principales métodos de fractura
empleados en la actualidad, describiendo con mayor detalle los modelos de daño, siendo éste el
modelo empleado en el análisis realizado (18).
3.1 Modelos de fractura en el hormigón
Existen fundamentalmente cuatro procedimientos principales que permiten modelizar el
comportamiento no lineal de estructuras de hormigón armado y en masa, en los cuales se predice la
aparición y posterior evolución de las fisuras y la carga última de colapso:
Modelo de fisura discreta
Modelo de fisura distribuida
Modelos de daño
Modelos de barras
3.1.1 Modelo de fisura discreta
Este modelo se fundamenta en la condición de que al superarse la tensión de resistencia a tracción
del hormigón, se empieza a producir una caída en las tensiones, la cual varía con el valor de la
apertura de grieta. La zona de ablandamiento del hormigón donde se produce la nucleación,
crecimiento y propagación de la microfisuración inicial es la zona de proceso de fisura. En la Figura
3-1 se ilustra este concepto:
Figura 3-1: Variación de tensiones en la formación de grieta (18)
3.1 Modelos de fractura en el hormigón
36
En dicho modelo, se supone que la fisura se produce en el momento en que la fuerza nodal normal a
los contornos de un elemento finito excede la máxima tensión de tracción que resiste el hormigón
acorde a un ensayo uniaxial de tensión. Una vez alcanzado dicho límite en un nodo, se incorporan
nuevos grados de libertad en el mismo y se crea una discontinuidad geométrica entre el nodo antiguo
y el nuevo.
Las principales desventajas que presenta este método son la necesidad de un cambio en la topología
de la malla y la restricción de la propagación de fisuras a líneas nodales del modelo. Esto puede
mejorarse, por ejemplo, mediante el empleo de técnicas de remallado.
La curva que describe el ablandamiento del hormigón se describe mediante una curva tensión –
apertura de grieta (𝜎 − 𝑤) que permite determinar el desarrollo de la zona de proceso de fractura
(ZPF). La Figura 3-2 muestra una curva tensión – apertura de grieta típica del comportamiento del
hormigón:
Figura 3-2: Ley de ablandamiento 𝜎 − 𝑤 (18)
Cabe destacar el valor de 𝑓𝑐𝑡 el cual se corresponde con el límite de tracción del hormigón, y la
relación existente entre la zona de ablandamiento y la energía de fractura, la cual viene relacionada
mediante la Ecuación (3-1):
Donde 𝐺𝑓 representa la energía de fractura, y 𝑤𝑐𝑢 la apertura crítica de grieta a partir de la cual el
valor de las tensiones es nulo.
Como veremos posteriormente en los modelos de daño, se han propuesto diferentes modelos de leyes
de ablandamiento, los cuales se ilustran en la Figura 3-3:
𝐺𝑓 = 𝜎𝑤𝑐𝑢
0
𝑑𝑤 (3-1)
3.1 Modelos de fractura en el hormigón
37
Figura 3-3: Ley de ablandamiento: a) Lineal, b) Bilineal, c) Exponencial (18)
Siendo la distribución más empleada la bilineal.
3.1.2 Modelo de fisura distribuida
El modelo de fisura distribuida o continua, al contrario que el modelo de fisura discreta, contempla el
sólido como un continuo. Una vez iniciada la fisuración, se supone que el comportamiento isótropo
lineal cambia por un modelo ortótropo en función de la dirección de la fisuración. La fundamental
consecuencia de este hecho es la preservación de la topología inicial de la malla.
En las ecuaciones (3-2) y (3-3) se muestran las ecuaciones que modelan el comportamiento antes de
la fisuración y posterior a la fisuración en un elemento plano (donde x e y representan ejes
principales y 1 y 2 ejes locales de la fisura):
El momento en que la tensión principal mayor supera el valor de la resistencia a tracción del
hormigón, se supone la aparición de una fisura en la dirección normal. Alcanzado dicho valor, se
modifica la matriz de comportamiento en ejes locales, reduciéndose la resistencia en la dirección
normal a la fisura y manteniéndose la resistencia en la dirección de la misma. La nueva matriz de
comportamiento se convierte a ejes globales mediante una matriz de transformación.
𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑧 =
𝐸
1− 𝜈2
1 𝜈 0𝜈 1 0
0 01 − 𝜈
2
휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦
(3-2)
𝜎1
𝜎2
𝜏12
=𝐸
1− 𝜈2
0 0 00 𝐸 00 0 𝛽𝐺
휀1
휀2
𝛾12
(3-3)
3.1 Modelos de fractura en el hormigón
38
3.1.3 Modelos de daño
Los modelos daño fundamentan su aplicabilidad en la mecánica del daño. Esta disciplina es una
rama de la mecánica de medios continuos que incorpora los cambios que se producen a nivel
microestructural en el elemento mediante la incorporación de variables internas bien escalares o
vectoriales.
En este sentido, la teoría del daño se encuentra íntimamente ligada a la teoría de la plasticidad, dado
que ambas empleen variables internas para la simular la influencia de la historia del material en la
evolución del mismo.
Las Figuras 3-4 y 3-5 representan las diferentes disciplinas y métodos de resolución que están
presentes en el planteamiento y resolución de los modelos de daño plástico:
Figura 3-4: Disciplinas relaciones en modelos de daño plástico (9)
3.1 Modelos de fractura en el hormigón
39
Figura 3-5: Teorías y métodos de resolución implicados en los modelos de daño plástico (9)
El proceso de microfisuración en el hormigón, sucede a niveles de carga bajos, debido a la pérdida de
cohesión entre las diferentes partículas de mortero y árido presentes en la mezcla, o por la fisuración
del propio mortero.
Dicha fisuración progresa siguiendo caminos no homogéneos que combinan los mecanismos
anteriormente mencionados así como la interconexión entre microfisuras en diferentes direcciones.
Experimentalmente se ha probado que la microfisuración es un fenómeno no direccional y que la
propagación de fisuras sigue caminos aleatorios dependiendo del tamaño de las partículas del árido.
Según esto, las direcciones de fisuración principales pueden interpretarse como el lugar geométrico
de las trayectorias de los puntos dañados del material (Figura 3-6).
Figura 3-6: Fenómeno de fisuración (9)
3.1 Modelos de fractura en el hormigón
40
La conclusión que se extrae de este planeamiento es la posibilidad de modelar el comportamiento no
lineal del hormigón mediante la teoría del daño, si se define una función de daño adecuada que tenga
en cuenta la diferencia de comportamiento en tracción y compresión del material.
La fisuración se interpreta en este caso como un efecto de daño local, definido por la evolución de
parámetros conocidos del material y de funciones que controlan la aparición y posterior evolución
del daño.
La principal ventaja de este tipo de modelos radica en la independencia del análisis de las direcciones
de fisuración, las cuales pueden ser identificadas posteriormente una vez obtenida la solución no
lineal del problema.
3.1.3.1 Modelo de daño isótropo
Para entender mejor el concepto de daño, se ilustra ahora este concepto aplicado a un ejemplo
concreto. Imaginemos un elemento de hormigón, donde la variable 𝑆 representa la sección total de la
probeta y 𝑆′ el área resistente efectiva en cada instante. Definiremos el índice de daño según la
Ecuación (3-4):
Dicho índice de daño 𝑑 puede definirse como la proporción de defectos existente en el material.
En el caso de un material sin daño, el valor de 𝑑 será nulo, viéndose incrementado su valor según se
produzca la propagación de la fisuración en el elemento.
En este caso consideraremos un valor escalar para representar el daño, considerando que las
microfisuras no tienen una dirección particular y definiéndose la fractura macroscópica
posteriormente como el lugar geométrico de los puntos dañados (variable de daño superior a 0).
Podemos relacionar el concepto de daño, con el concepto de tensión efectiva. Por equilibrio debe
cumplirse la relación mostrada en la Ecuación (3-5):
Donde 𝜎′ es el valor de la tensión efectiva.
Sustituyendo el valor de la Ecuación (3-4) en la Ecuación (3-5) obtenemos la siguiente relación
mostrada en la Ecuación (3-6):
𝑑 =𝑆 − 𝑆′
𝑆= 1−
𝑆′
𝑆 (3-4)
𝜎 ∙ 𝑆 = 𝜎′ ∙ 𝑆′ (3-5)
𝜎 = 1− 𝑑 ∙ 𝜎′ = 1− 𝑑 ∙ 𝐸 ∙ 휀 (3-6)
3.1 Modelos de fractura en el hormigón
41
Durante el proceso de fisuración del material, 𝑆′ es el valor del área efectiva que soporta la carga
exterior, y por ello, el valor de la tensión efectiva 𝜎′ es un valor más representativo físicamente que
𝜎.
El modelo de daño requiere conocer en todo momento el valor de la variable de daño 𝑑 en cada
instante de la historia de la deformación de la estructura.
3.1.4 Modelos de barras
En este tipo de modelos, el modelo continuo del elemento se sustituye por una malla de elementos de
barras articuladas o reticuladas. Posteriormente se asignan a dichas barras propiedades de la
microestructura del material dependiendo del elemento que modelen en cada caso.
El empleo de este tipo de modelos es útil cuando el objetivo del análisis es investigar sobre el origen
del proceso de fisuración a nivel de detalle.
42
4 DATOS EXPERIMENTALES. DESCRIPCIÓN DEL
ENSAYO
4.1 Necesidad de bases de datos experimentales
El objetivo del diseño sísmico mediante la ingeniería sísmica basada en la experiencia (perfomance-
based eartquake engineering, PBEE) consiste en la evaluación de los edificios en base a objetivos o
criterios límite.
Un objetivo viene definido como una probabilidad de alcanzarse o superarse un determinado estado
de daño en el edificio (desde un comportamiento elástico hasta el colapso del mismo) según unos
niveles de riesgo discretos.
En los Estados Unidos las primeras referencias a esta metodología se encuentran en las publicaciones
de ATC (1996) y FEMA (1997). Como se comentó en el Capítulo 1, en dichas publicaciones se
establece unos niveles de funcionamiento como son en el caso FEMA: Ocupación inmediata (IO),
Seguridad ocupacional (LS), y Prevención del colapso (CP).
Durante los últimos años, la organización Pacific Earthquake Engineering Research (PEER) ha
desarrollado una metodología de aplicación a la técnica PBEE. Dicha metodología se basa en la
definición de unos patrones de intensidad sísmica y su evaluación en modelos no lineales que
simulan el comportamiento de la estructura. Los resultados obtenidos del análisis permiten obtener
fuerzas, esfuerzos cortantes, momentos, aceleraciones... Posteriormente dichos valores son
relacionados(19) con estados de daño que determinan el estado de daño global del edificio.
Para poder realizar un enfoque de dichas características es precisa la realización de un número
suficiente de ensayos que permitan validar y calibrar los modelos de comportamiento no lineal de las
estructuras.
Hasta hace poco tiempo, tan solo existían algunas bases de datos de estas características. Estas bases
de datos incluían datos parciales sobre los componentes ensayados de acero y hormigón armado. Sin
embargo no incluían informes digitalizados del ensayo de carga o de la relación de histéresis
momento-rotación.
Una de las bases de datos existentes actualmente es la realizada por Lignos y Krawinkler, 2011 (20).
En ella se incluyen 3 bases de datos diferentes:
Secciones en W de vigas de acero
Perfiles cuadrados de sección hueca de acero
Vigas de hormigón armado
El contenido general en cada una de las bases de datos es el siguiente:
Metadatos: Configuración, geometría, propiedades del material, detalles de armado (en el
caso de hormigón armado, etc...
Resultados obtenidos: Historial digitalizado del ensayo.
Datos deducidos del ensayo: Curvas de histéresis momento-rotación, carga última de rotura...
4.2 Base de datos empleada
43
4.2 Base de datos empleada
La base de datos empleada en el presente proyecto ha sido la elaborada por la organización europea
Seismic Engineering Research Infrastructures for European Synergies (SERIES) para el proyecto
“Enrichment of the distributed database with existing data” (2013) (21)
Dicha base de datos se subdivide en 3 categorías:
Vigas de hormigón armado
Columnas de hormigón armado
Muros de hormigón armado
La base de datos se realizó con el propósito de proporcionar a los investigadores una base sólida de
datos experimentales para el desarrollo e investigación en el campo del diseño sísmico. La presente
base de datos se apoya en trabajos previos llevados a cabo en Washington University (PEER
Database), University of Patras (Biskinis et al. 2004, Panagiotakos and Fardis, 2001) (19) (22)(23)
Además de los datos obtenidos de las fuentes anteriores, la presente base de datos también incorpora
datos propios producidos por la propia organización SERIES.
4.2.1 Base de datos de columnas de hormigón armado
Las tres subdivisiones de la base de datos siguen una estructura parecida, sin embargo, siendo la base
de columnas de hormigón armado la empleada en el proyecto, procederemos a comentar los aspectos
principales de la misma, siendo la estructura de las dos restantes muy similar a la descrita.
4.2.1.1 Reported Data
Experiment campaign number: Se incluye el número del experimento. Este es un número de la base
de datos.
Test number: Número de serie del experimento.
Test ID notation: Número que incluye el número de experimento y el número de test.
Reference: Es la fuente, por ejemplo, artículo, donde se describe el experimento.
Digitized History: Hace referencia al archivo que contiene el historial de la respuesta del
experimento.
Comments: Incluye comentarios pertinentes al experimento.
X-Axis: Unidades empleadas en el eje X
Y-Axis: Unidades empleadas en el eje Y.
4.2.1.2 MetaData
Units: Sistema de unidades empleado (Sistema métrico o internacional)
Loading: Tipo de carga cíclica (C) o monotónica (M).
Cross Section: Indica el tipo de sección. Cuadrada (S) o circular (C).
𝑓𝑐 Resistencia a compresión del hormigón
𝑓𝑐𝑡 ,𝑓𝑙 Resistencia a flexión del hormigón
4.2 Base de datos empleada
44
𝑓𝑐𝑡 ,𝑠𝑝 Spliting tensile of concrete
N: Denota la fuerza axial
P-D: Indica el efecto P-delta.
b: Ancho de la sección
h: Altura de la sección
L: Longitud de la columna Cantilever equivalente
𝐿𝑠𝑝𝑙𝑖𝑐𝑒 : Longitud de anclaje
Test configuration: Indica el tipo de configuración del ensayo según las siguiente categorías:
C: Viga Cantilever
DC: Doble curvatura
FB: Viga Cantilever con base flexible
DE: Doble acabado
HH: Cabeza de martillo
Una representación de los tipos de configuración nombrados se muestra en la Figura 4-1:
4.3 Descripción del ensayo
45
Figura 4-1: Tipo de configuración del ensayo
4.3 Descripción del ensayo
Se ha tomado para la comprobación de los modelos de elementos finitos los resultados obtenidos de
los ensayos realizados por Murat Saatcioglu y Guney Ozcebe (1989) (24)
En dichos ensayos se ensayaban elementos de hormigón armado representativos de una columna de
un primer piso. La geometría de dicho pilar se ilustra en la Figura 4-2:
4.3 Descripción del ensayo
46
Figura 4-2: Geometría del ensayo experimental (24)
La carga lateral se aplicó mediante el empleo de dos actuadores de 250 kN de capacidad, actuando
sobre un elemento de transferencia de carga en la parte superior de la columna.
Las columnas se anclaron al suelo mediante armadura postesada para alcanzar una condición de
empotramiento en la base.
Para la medición de los desplazamientos horizontales se emplearon transductores de desplazamiento
variable lineales (LVDTs). A su vez, un sistema de adquisición de datos automático fue empleado
para el registro de datos. La configuración del ensayo, así como los elementos que lo componen se
ilustra en la Figura 4-3:
4.3 Descripción del ensayo
47
Figura 4-3: Equipo de realización del ensayo (24)
Los especímenes fueron sometidos a una carga cíclica en desplazamiento controlado. El historial de
carga se definió relativo al desplazamiento de plastificación (Δ𝑦). Dicho desplazamiento de
plastificación se refiere a aquel desplazamiento impuesto que produce una plastificación a nivel
general de la columna. La Figura 4-4 ilustra el estado de carga previsto en el ensayo:
4.3 Descripción del ensayo
48
Figura 4-4: Historial de carga teórico del ensayo experimental
El ensayo escogido dentro de los existentes fue el realizado al espécimen U1 cuyas características se
incluyen en la Tabla 4-1:
Test
Resistencia
característica
del
hormigón
(MPa)
Acero
longitudinal Acero transversal
Configuración
Carga
axial (kN) 𝑓𝑦 (MPa) 𝑓𝑦 (MPa) Separación (mm)
U1 43.6 430 470 150 Tipo A 0
Tabla 4-1: Datos de los materiales del ensayo experimental U1
La representación del historial de carga real realizado, se representa en la Figura 4-5:
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
De
fle
xió
n D/D
y
Estado de carga
Historial de carga
4.3 Descripción del ensayo
49
Figura 4-5: Historial de carga digitalizado del ensayo experimental
-80,00
-60,00
-40,00
-20,00
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501
De
spla
zam
ien
to h
ori
zon
tal (
mm
)
Estado de carga
Historial de carga real
50
5 GENERACIÓN DE MODELOS EN ABAQUS
5.1 Introducción
Se describe en el presente apartado la metodología para realizar los diferentes modelos analizados en
este proyecto. No pretende ser un manual de uso de ABAQUS, sin embargo si resulta interesante
analizar los valores introducidos y el tratamiento que el programa realiza con ellos.
Se incidirá principalmente en el modelado de las leyes de comportamiento, dada su importancia en la
obtención de la solución.
Finalmente, en el último apartado se aportan los parámetros necesarios para la definición de cada uno
de los modelos, así como las características de los diferentes análisis.
5.2 Geometría
La geometría en aquellos modelos donde se emplea un elemento de hormigón en masa, consiste en
una columna de sección cuadrada de ancho 𝑏 = 0.35 𝑚 y longitud 𝐿 = 1 𝑚. (Figura 5-1)
En los modelos donde el elemento consiste en una columna de hormigón armado, la geometría es
una columna de hormigón armado de sección cuadrada de ancho 𝑏 = 0.35 𝑚 y longitud 𝐿 = 1 𝑚.
El armado de la sección se indica en la Figura 5-2:
Figura 5-1: Geometría de columna de hormigón en masa (dimensiones en m)
5.3 Leyes de comportamiento
51
Figura 5-2: Geometría de columna de hormigón armado (dimensiones en m)
5.3 Leyes de comportamiento
La definición de las leyes de comportamiento requiere una mayor atención, dada su especial
importancia en el modelo realizado. Se comentarán a continuación las diferentes leyes de
comportamiento empleadas para el hormigón así como la ley de comportamiento empleada para la
definición del acero.
5.3.1 Leyes de comportamiento del hormigón
Se han definido 3 leyes diferentes de comportamiento para el hormigón para un mayor análisis del
comportamiento del modelo CDP. Las tres leyes de comportamiento simulan de igual manera el
comportamiento a compresión, diferenciándose entre sí en la definición del comportamiento a
tracción.
5.3.1.1 Ley de comportamiento a compresión
La definición de la curva de comportamiento a compresión del hormigón ha sido idéntica en todos
los modelos analizados. Se ha definido mediante una curva 𝜎𝑐 − 휀𝑐,𝑖𝑛 , representando pares de
valores de tensión y deformación inelástica.
Para una correcta definición de la curva se ha hecho uso del Código Modelo (1993). Dicho estándar
de diseño establece, en función de la resistencia a compresión 𝑓𝑐𝑘 del hormigón una serie de
ecuaciones que permiten la obtención de parámetros de diseño.
Se define la resistencia a compresión media 𝑓𝑐𝑚 según la Ecuación (5-1):
5.3 Leyes de comportamiento
52
Donde ∆𝑓 = 8 𝑀𝑃𝑎.
El valor del módulo de elasticidad puede ser obtenido mediante la Ecuación (5-2):
Donde 𝑓𝑐𝑚0 = 10 𝑀𝑃𝑎, ∆𝑓 = 8 𝑀𝑃𝑎 y 𝐸𝑐0 = 2.15𝑥104𝑀𝑃𝑎.
El coeficiente de Poisson (𝜈) puede tomar valores comprendidos entre 0.1 y 0.2. En nuestro se acepta
como válido un valor del coeficiente de Poisson 𝜈 = 0.2.
En la Figura 5-3 se ilustra un diagrama típico de compresión uniaxial para el hormigón:
Figura 5-3: Ley de comportamiento a compresión (25)
La curva que describe el comportamiento hasta el punto de rotura 𝜎𝑐 ,𝑙𝑖𝑚 viene dada por la Ecuación
(5-3):
𝑓𝑐𝑚 = 𝑓𝑐𝑘 + ∆𝑓 (5-1)
𝐸𝑐𝑖 = 𝐸𝑐0 𝑓𝑐𝑘 + ∆𝑓
𝑓𝑐𝑚0
1/3
(5-2)
5.3 Leyes de comportamiento
53
Donde el valor 𝐸𝑐1 se corresponde con el módulo de elasticidad secante desde el origen hasta la
tensión pico de compresión y viene definido por la Ecuación (5-4):
El valor correspondiente a la deformación en el punto de tensión máxima tiene se define 휀𝑐1 =0.0022.
El valor de tensión límite 휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚 se obtiene mediante la aplicación de la Ecuación (5-5):
Para describir la curva de ablandamiento posterior al valor de deformación límite se emplea la
Ecuación (5-6):
Donde el valor 𝜉 viene definido por la Ecuación (5-7):
𝜎𝑐 = −
𝐸𝑐𝑖
𝐸𝑐1∙휀𝑐
휀𝑐1−
휀𝑐
휀𝑐1
2
1 + 𝐸𝑐𝑖
𝐸𝑐1− 2 ∙
휀𝑐
휀𝑐1
∙ 𝑓𝑐𝑚 (5-3)
𝐸𝑐1 = 𝑓𝑐𝑚 /0.0022 (5-4)
휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚
휀𝑐1=
1
2
1
2
𝐸𝑐𝑖𝐸𝑐1
+ 1 + 1
4
1
2
𝐸𝑐𝑖𝐸𝑐1
+ 1 2
−1
2
1/2
(5-5)
𝜎𝑐 = 1
휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚
휀𝑐1
∙ 𝜉 −2
휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚
휀𝑐1
2 ∙ 휀𝑐휀𝑐1
2
+ 4
휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚
휀𝑐1
− 𝜉 ∙휀𝑐휀𝑐1
−1
∙ 𝑓𝑐𝑚 (5-6)
5.3 Leyes de comportamiento
54
En nuestro caso, se ha considerado un rango elástico del material desde el origen hasta un valor de
tensión de compresión 𝜎𝑐 = 0.4 ∙ 𝑓𝑐𝑚 .
En la Tabla 5-1 se ilustran los valores que definen el comportamiento del hormigón a compresión y
la expresión para su obtención:
Parámetro Valor
𝑓𝑐𝑘 43.6 MPa (Obtenido del ensayo)
𝑓𝑐𝑚 51.60 MPa (Ecuación (5-1)
𝜈 0.2
𝐸𝑐1 23.454 GPa
𝐸𝑐𝑖 37.152 GPa (Ecuación (5-2)
휀𝑐1 0.0022 (Según Código Modelo)
휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚 0.0035 (Aprox. acorde a Código Módelo)
𝜎𝑒 0.4 ∙ 𝑓𝑐𝑚
Tabla 5-1: Parámetros de definición del comportamiento a compresión del hormigón
En la Figura 5-4 se ilustra la curva definida por las ecuaciones (5-3) y (5-6) anteriormente
formuladas:
𝜉 =4 ∙
휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚
휀𝑐1
2∙
𝐸𝑐𝑖
𝐸𝑐1− 2 + 2 ∙
휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚
휀𝑐1−
𝐸𝑐𝑖
𝐸𝑐1
1 + 𝐸𝑐𝑖
𝐸𝑐1− 2 ∙
휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚
휀𝑐1
2 (5-7)
5.3 Leyes de comportamiento
55
Figura 5-4: Ley de comportamiento a compresión
Para obtener los valores de degradación de la rigidez, se ha escalado la curva de comportamiento
relativa a los valores de tensión 𝑓𝑐𝑚 y deformación 휀𝑐1, y comparado con la curva experimental de
Okamoto et al. (1976) (26). (Figura 5-5).
0
10
20
30
40
50
60
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007
Ten
sió
n (
MP
a)
Deformación total
Ley de comportamiento a compresión
Compresión Elástica Lineal Daño 0.18 Daño 0.57 Daño 0.86
5.3 Leyes de comportamiento
56
Figura 5-5: Ley de comportamiento a compresión (Okamoto et al. 1976) (26)(27)
Visualmente se han determinado tres puntos de descarga y obtenido el valor de la pendiente de
dichas rectas para determinar los valores de 𝑑𝑐 .
En la Figura 5-6 se muestra la curva de comportamiento del hormigón a compresión introducida en
ABAQUS, teniendo en cuenta que deben incluirse pares de valores tensión-deformación inelástica,
siendo ésta última el valor de la deformación total menos el valor de la deformación elástica.
(Ecuación (5-8)):
휀𝑖𝑛 = 휀𝑡𝑜𝑡 − 휀𝑒𝑙 = 휀𝑡𝑜𝑡 −𝜎
𝐸𝑖 (5-8)
5.3 Leyes de comportamiento
57
Figura 5-6: Relación tensión-deformación inelástica
Se ha tomado un número de puntos de manera que la curva de comportamiento del hormigón sea
suficientemente representativa. En la Tabla 5-2 se muestran los valores de tensión, deformación y
daño seleccionados para el modelo.
Tensión (MPa) Deformación inelástica Variable de daño 𝑑𝑐
20.64 0 0
32.66831842 0.000120697 0
44.30781636 0.000307408 0
49.01412441 0.000480732 0
51.6 0.000811131 0
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
0
10
20
30
40
50
60
0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 0,0045
Ten
sió
n (
MP
a)
Deformación inelástica
Ley de Comportamiento a Compresión
5.3 Leyes de comportamiento
58
Tabla 5-2: Datos de definición de la ley de comportamiento a compresión del hormigón
5.3.1.2 Leyes de comportamiento a tracción
En la primera ley de comportamiento, la etapa de tracción se ha modelado mediante la definición de
una curva 𝜎𝑡 − 휀𝑡 ,𝑖𝑛 para simular el ablandamiento del hormigón una vez superado el límite de
tracción. En esta ley, los valores de degradación de la rigidez 𝑑𝑡 se han definido para los diferentes
puntos de deformación inelástica.
En la segunda ley de comportamiento, se ha simulado la etapa de tracción mediante la definición del
valor de la energía de fractura del material obtenida de acuerdo al Código Modelo. En esta ley, los
valores de degradación de la rigidez se han definido para diferentes valores de apertura de grieta (𝑤).
En la tercera ley, el comportamiento del hormigón a tracción se ha definido mediante una curva
bilineal 𝜎𝑡 − 𝑤 que relaciona el valor de la tensión a tracción (𝜎𝑡) con el valor de apertura de grieta
(𝑤). En esta ley, los valores de degradación de la rigidez se han definido para diferentes valores de
apertura de grieta.
Cabe destacar la relación existente entre las dos últimas definiciones del comportamiento a tracción,
siendo equivalentes entre sí en su modo de definición.
5.3.1.3 Ley de comportamiento 𝝈𝒕 − 𝜺𝒕,𝒊𝒏
Inicialmente se ha determinado el valor de la resistencia media a la tracción definido según el Código
Modelo mediante la Ecuación (5-9):
Donde 𝑓𝑐𝑡𝑘0,𝑚 = 1.40 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑐𝑘0 = 10 𝑀𝑃𝑎.
Se considera un tramo elástico con pendiente 𝐸𝑐𝑖 desde punto inicial hasta el valor 𝑓𝑐𝑡𝑚 de
resistencia a la tracción. Posteriormente se considera una curva de de ablandamiento en tracción.
Dicha evolución del ablandamiento en tracción se ha modelado partiendo de la curva experimental
realizada por Yankelevsky and Reinhardt (1987b) (28) que se ilustra en la Figura 5-7:
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 𝑓𝑐𝑡𝑘0,𝑚 ∙ 𝑓𝑐𝑘𝑓𝑐𝑘0
2/3
(5-9)
5.3 Leyes de comportamiento
59
Figura 5-7: Ley de comportamiento a tracción (Yankelevsky & Reinhardt (1987b)(28)
Al igual que se realizó en el caso de compresión, se obtienen los parámetros de daño de forma visual
según las curvas de descarga establecidas en el ensayo.
La curva que representa la tensión frente a la deformación total a tracción, incluyendo las curvas de
descarga en los puntos donde se ha especificado el daño se ilustra en la Figura 5-8:
5.3 Leyes de comportamiento
60
Figura 5-8: Ley de comportamiento a tracción
En la Tabla 5-3 se muestran los valores introducidos en el modelo de ABAQUS para simular su
comportamiento a tracción mediante una ley de comportamiento del tipo tensión-deformación
inelástica, de igual manera que se realizó para introducir el comportamiento a compresión.
Tensión (MPa) Deformación inelástica Variable de daño 𝑑𝑡
3.73639138 0 0
3 0.000169252 0
2 0.000346168 0
1.3 0.000565009 0
0.68 0.000981697 0.7
0.52 0.001486004 0.92
0.45 0.001987888 0.96
Tabla 5-3: Datos de definición de la ley de comportamiento a tracción (stress-strain)
La curva que representa los puntos indicados en la Tabla 5-3 se ilustra en la Figura 5-9:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025
Ten
sió
n (
MP
a)
Deformación total
Ley de Comportamiento a Tracción
Tensión
Daño 0.7
Daño 0.92
Daño 0.96
5.3 Leyes de comportamiento
61
Figura 5-9: Relación tensión-deformación inelástica
5.3.1.4 Ley de comportamiento mediante 𝑮𝑭
En este caso, el comportamiento en tracción del hormigón se determina mediante el valor de la
resistencia a tracción 𝑓𝑐𝑡𝑚 hallada previamente según el Código Modelo y el valor de la energía de
fractura del hormigón. Dicho valor viene definido mediante la Ecuación (5-10):
Donde 𝑓𝑐𝑚0 = 10 𝑀𝑃𝑎 y el valor de 𝐺𝐹0 viene dado en función del tamaño máximo del árido.
Considerando un tamaño máximo de árido 𝑑𝑚á𝑥 = 32 𝑚𝑚, se obtiene un valor de 𝐺𝐹0 =0.058 𝑁𝑚𝑚/𝑚𝑚2.
Otra fórmula propuesta para la determinación de la energía viene dada por la Ecuación (5-11), y será
la empleada en este modelo:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025
Ten
sió
n (
MP
a)
Deformación inelástica
Ley de Comportamiento a Tracción
𝐺𝐹 = 𝐺𝐹0 ∙ 𝑓𝑐𝑚𝑓𝑐𝑚0
0.7
(5-10)
5.3 Leyes de comportamiento
62
El comportamiento al igual que en el caso anterior vendrá dado por un tramo lineal, seguido por un
ablandamiento, el cual se define mediante el valor de la energía de fractura definido arriba.
En la Tabla 5-4 se muestran los valores que definen este modelo de comportamiento:
Parámetro Valor
𝐺𝑓 148.4567013 N/m (Ecuación (5-11)
𝐸𝑐𝑖 37.152 GPa (Ecuación (5-2)
𝑓𝑐𝑡𝑚 3.736391 MPa (Ecuación (5-9)
Tabla 5-4: Parámetros del comportamiento a tracción empleando 𝐺𝑓
A la hora de definir los valores de daño, hay que interpretar la definición que realiza ABAQUS de la
energía de fractura. El software considera, si empleamos está definición, una ley lineal que relaciona
el valor de la tensión de tracción y la apertura de grieta como se ilustra en la Figura 5-10, siendo el
valor de 𝐺𝐹 , el área interior de dicha zona:
Figura 5-10: Ley de comportamiento a tracción mediante el valor 𝐺𝑓
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005 0,00006 0,00007 0,00008 0,00009
Ten
sió
n (
MP
a)
Apertura de grieta w (m)
Ley de Comportamiento a Tracción
Ley de comp. Daño 0.5 Daño 0.8
𝐺𝐹 = 73 ∙ 𝑓𝑐𝑚0.18 (5-11)
5.3 Leyes de comportamiento
63
Es sencillo, a raíz de lo explicado, obtener el valor de la apertura de grieta para el cual el hormigón
no resiste mayor tracción, mediante la Ecuación (5-12):
5.3.1.5 Ley de comportamiento 𝝈𝒕 −𝒘
Para caracterizar el comportamiento mediante la curva tensión-apertura de grieta se parte de la curva
aportada por el Código Modelo ilustrada en la Figura 5-11:
Figura 5-11: Leyes de comportamiento a tracción (29)
La curva de subida se simplificará en el modelo considerando un tramo lineal hasta el valor de 𝑓𝑐𝑡𝑚
con pendiente 𝐸𝑐𝑖 .
Para determinar el tramo de ablandamiento del hormigón se deben obtener los valores 𝑤1 y 𝑤𝑐 definidos según las ecuaciones (5-13) y (5-14) respectivamente:
𝑤𝑢 =2𝐺𝐹𝑓𝑐𝑡𝑚
= 7.947𝐸 − 05 𝑚 (5-12)
5.3 Leyes de comportamiento
64
En Tabla 5-5: se muestran los valores que definen el comportamiento de ablandamiento en tracción:
Parámetro Valor
𝑤1 3.97326E-05 m (Ecuación (5-13))
𝑤𝑐 1.98663E-04 m (Ecuación (5-14))
𝑓𝑐𝑡𝑚 3.736391 MPa (Ecuación (5-9))
Tabla 5-5: Parámetros del comportamiento a tracción
En la Figura 5-12 se muestra la curva que define el comportamiento de ablandamiento:
Figura 5-12: Ley de comportamiento a tracción bilineal
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
Ten
sió
n (
MP
a)
Apertura de grieta w (m)
Ley de Comportamiento a Tracción
𝑤1 =𝐺𝐹𝑓𝑐𝑡𝑚
(5-13)
𝑤𝑐 = 5𝐺𝐹𝑓𝑐𝑡𝑚
(5-14)
5.3 Leyes de comportamiento
65
Los valores introducidos en el modelo se ilustran en la Tabla 5-6:
Tensión (MPa) Apertura de grieta (m)
3.736391383 0
0.747278277 3.97326E-05
0 0.000198663
Tabla 5-6: Parámetros del comportamiento a tracción según curva de ablandamiento
En este modelo, no se ha considerado variable de disminución de la rigidez a tracción.
En la Figura 5-13 se ilustra una comparativa entre los dos métodos de definición del comportamiento
a tracción basados en la relación tensión-apertura de grieta:
Figura 5-13: Comparativa entre leyes de comportamiento
5.3.2 Ley de comportamiento del acero
La ley de comportamiento del acero considerada en los modelos que incluyen armado viene dada por
una ley elasto-plástica ideal formada por un tramo lineal hasta el valor de la tensión de límite elástico
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
Ten
sió
n (
MP
a)
Apertura de grieta w (m)
Leyes de Comportamiento a Tracción
GFI Desplazamiento Daño 0.5 Daño 0.8
5.4 Condiciones de contorno
66
y un tramo plástico horizontal.
Los valores que definen dicha curva se indican en la Tabla 5-7:
Parámetro Valor
𝜎𝑦 ,𝑡 (límite elástico armado transversal) 470 MPa (Según ensayo)
𝜎𝑦 ,𝑙 (límite elástico armado longitudinal) 430 MPa (Según ensayo)
𝐸𝑠 (Módulo de elasticidad del acero) 210000 MPa
Tabla 5-7: Parámetros de definición del comportamiento del acero
5.3.3 Parámetros del modelo Concrete Damaged Plasticity
Los parámetros explicados en el Capítulo 4 referente a la definición de la superficie de plastificación
que emplea el modelo CDP, incluidos en los modelos descritos se reflejan a en la Tabla 5-8:
Parámetro Valor
Dilation angle 40⁰
Eccentricity 0.1
𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 1.16
𝐾 0.67
Viscosity Parameter 1E-03 – 1E-05
Tabla 5-8: Parámetros del modelo Concrete Damaged Plasticity (CDP)
5.4 Condiciones de contorno
Las condiciones aplicadas en el problema son las típicas de una configuración de viga en voladizo,
estando la base empotrada y el extremo libre.
En los modelos con armado, la compatibilidad de deformaciones entre acero y hormigón se ha
modelado mediante la condición embedded que ofrece ABAQUS.
La placa superior de anclaje de las armaduras se ha modelado mediante una condición tipo
embedded con la armadura interior, así como una condición tipo tie entre la placa y el hormigón de
su base para simular el contacto entre la superficie inferior de la placa y la parte superior de la viga
de hormigón.
5.5 Carga aplicada
En todos los modelos, la aplicación de carga se ha realizado mediante desplazamiento controlado.
En la comparativa de los diferentes modelos entre sí, la carga aplicada ha consistido en ciclos de 5, 8,
5.6 Elementos y mallado
67
y 10. A su vez, la carga empleada para la comparativa con el modelo experimental se realizó
mediante los datos digitalizados disponibles en la base de datos del mismo.
En el caso de los modelos de hormigón en masa, se introdujo una carga muy pequeña hasta los
0.5mm para contrastar la formación de grietas en la base de la columna.
En la comparativa entre los diferentes modelos entre sí se empleó por un lado una carga creciente
hasta 30mm para ver la evolución fuerza-desplazamiento y por otro lado cargas cíclicas como se
indica a continuación:
3 ciclos de carga de amplitud 5 mm
3 ciclos de carga de amplitud 10 mm
3 ciclos de carga de amplitud 2, 5 y 8 mm
A la hora de implementar los ciclos de carga en ABAQUS es necesario introducirla mediante
incrementos muy pequeños para facilitar la convergencia. En los modelos se emplearon incrementos
de carga de entre 0.1 y 0.2mm, así como incrementos mayores (1-2 mm) en el caso de la
introducción de la carga digitalizada del ensayo.
La carga se ha aplicado en su totalidad en un única etapa de carga (“step”) definiendo una tabla con
los diferentes valores que toma el desplazamiento impuesto en cada instante. Para ello se ha hecho
uso de la variable “time” que incluye ABAQUS y que en nuestro caso representa un tiempo ficticio
dado que no incluimos efectos dinámicos en el modelo.
5.6 Elementos y mallado
Para simular el hormigón se han empleado elementos denominados C3D8R y que representan
elementos·3D de 8 nodos. El mallado se realizó empleando elementos de 30mm.
De igual manera para modelar la placa de acero ubicada en la parte superior se emplearon elementos
tipo C3D8R de 50mm.
Para la simulación de las barras de armado longitudinal y transversal, se emplearon elementos
lineales 3D lineales tipo “truss” (T3D2) de una longitud de 25mm.
5.7 Definición de modelos
En los siguientes apartados se incluyen todos los parámetros necesarios para la realización de cada
uno de los modelos incluyendo a su vez todas las características del análisis realizado.
La lista de ensayos realizados se muestra a continuación:
M1-HM-S-0.5MM
M1-HM-GFI-0.5MM
M1-HM-W-0.5MM
M2-HA-S-30MM
M2-HA-W-30MM
5.7 Definición de modelos
68
M2-HA-GFI-30MM
M3-S-3C-5MM
M4-GFI-3C-5MM
M4-GFI-3C-10MM
M4-GFI-3C-2-5-8MM
M5-W-3C-5MM
M5-W-3C-10MM
M5-W-3C-2-5-8MM
M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG
M6-TEST-1Cx25MM
M6-TEST-1Cx25MM-V2
M6-TEST-1Cx50MM
M6-TEST-1Cx80MM
Las siglas empleadas tienen el siguiente significado:
𝑀1 −𝑀6: Identifican el archivo .cae de ABAQUS desde el modelo 1 hasta el 6.
𝐻𝑀: Hormigón en masa
𝐻𝐴: Hormigón armado
𝑆: Ley de comportamiento del hormigón a tracción mediante curva Stress-Strain
𝐺𝐹𝐼: Ley de comportamiento del hormigón a tracción mediante valor de Energía de Fractura
𝑊: Ley de comportamiento del hormigón a tracción mediante ley de ablandamiento bilineal
(tensión-apertura de grieta)
1𝐶𝑥10𝑀𝑀: Representan el número de ciclos y el valor de la amplitud de la carga en
desplazamiento.
A continuación, en las siguientes páginas se explican los parámetros de cada modelo detalladamente
en una hoja de características:
5.7 Definición de modelos
69
5.7.1 Modelo M1-HM-S-0.5MM
Identificador de ensayo: M1-HM-S-0.5MM
Descripción: Columna de hormigón en masa, empotrada en la base sometida a una carga lateral
creciente hasta un valor de 0.5mm.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 0
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) Deformación
inelástica
Variable de
daño 𝑑𝑡
20.64 0 0 3.73639138 0 0
32.66831842 0.000120697 0 3 0.000169252 0
44.30781636 0.000307408 0 2 0.000346168 0
49.01412441 0.000480732 0 1.3 0.000565009 0
51.6 0.000811131 0 0.68 0.000981697 0.7
49.78033893 0.001160109 0 0.52 0.001486004 0.92
43.44396921 0.001630659 0 0.45 0.001987888 0.96
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 50 Monotónica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde 0 hasta 0.5mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.1mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
70
5.7.2 Modelo M1-HM-GFI-0.5MM
Identificador de ensayo: M1-HM-GFI-0.5MM
Descripción: Columna de hormigón en masa, empotrada en la base sometida a una carga lateral
creciente hasta un valor de 0.5mm.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 0
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) GFI (N/m)
20.64 0 0 3.73639138 148.4567
32.66831842 0.000120697 0 Apertura de grieta (m) Variable de daño 𝑑𝑡
44.30781636 0.000307408 0 0 0
49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5
51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 50 Monotónica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde 0 hasta 0.5mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.1mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
71
5.7.3 Modelo M1-HM-W-0.5MM
Identificador de ensayo: M1-HM-W-0.5MM
Descripción: Columna de hormigón en masa, empotrada en la base sometida a una carga lateral
creciente hasta un valor de 0.5mm.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 0
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) Apertura de grieta (m)
20.64 0 0 3.736391383 0
32.66831842 0.000120697 0 0.747278277 3.97326E-05
44.30781636 0.000307408 0 0 0.000198663
49.01412441 0.000480732 0
51.6 0.000811131 0
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0
13.80480411 0.003128429 0
5.074601045 0.004263412 0
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 50 Monotónica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde 0 hasta 0.5mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.1mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
72
5.7.4 Modelo M2-HA-S-30MM
Identificador de ensayo: M2-HA-S-30MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base sometida a una carga lateral
creciente hasta un valor de 30mm.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-04
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) Deformación
inelástica
Variable de
daño 𝑑𝑡
20.64 0 0 3.73639138 0 0
32.66831842 0.000120697 0 3 0.000169252 0
44.30781636 0.000307408 0 2 0.000346168 0
49.01412441 0.000480732 0 1.3 0.000565009 0
51.6 0.000811131 0 0.68 0.000981697 0.7
49.78033893 0.001160109 0 0.52 0.001486004 0.92
43.44396921 0.001630659 0 0.45 0.001987888 0.96
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 300 Monotónica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde 0 hasta 30mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.1mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
73
5.7.5 Modelo M2-HA-GFI-30MM
Identificador de ensayo: M2-HA-GFI-30MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base sometida a una carga lateral
creciente hasta un valor de 30mm.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-04
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) GFI (N/m)
20.64 0 0 3.73639138 148.4567
32.66831842 0.000120697 0 Apertura de grieta (m) Variable de daño 𝑑𝑡
44.30781636 0.000307408 0 0 0
49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5
51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 300 Monotónica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde 0 hasta 30mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.1mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
74
5.7.6 Modelo M2-HA-W-30MM
Identificador de ensayo: M2-HA-W-30MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base sometida a una carga lateral
creciente hasta un valor de 30mm.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-04
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) Apertura de grieta (m)
20.64 0 0 3.736391383 0
32.66831842 0.000120697 0 0.747278277 3.97326E-05
44.30781636 0.000307408 0 0 0.000198663
49.01412441 0.000480732 0
51.6 0.000811131 0
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0
13.80480411 0.003128429 0
5.074601045 0.004263412 0
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 300 Monotónica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde 0 hasta 30mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.1mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
75
5.7.7 Modelo M3-S-3C-5MM
Identificador de ensayo: M3-S-3C-5MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de carga
lateral de 5mm de amplitud.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-05
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) Deformación
inelástica
Variable de
daño 𝑑𝑡
20.64 0 0 3.73639138 0 0
32.66831842 0.000120697 0 3 0.000169252 0
44.30781636 0.000307408 0 2 0.000346168 0
49.01412441 0.000480732 0 1.3 0.000565009 0
51.6 0.000811131 0 0.68 0.000981697 0.7
49.78033893 0.001160109 0 0.52 0.001486004 0.92
43.44396921 0.001630659 0 0.45 0.001987888 0.96
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 300 Cíclica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde -5mm hasta +5mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.2mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
76
5.7.8 Modelo M4-GFI-3C-5MM
Identificador de ensayo: M4-GFI-3C-5MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de carga
lateral de 5mm de amplitud.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-05
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) GFI (N/m)
20.64 0 0 3.73639138 148.4567
32.66831842 0.000120697 0 Apertura de grieta (m) Variable de daño 𝑑𝑡
44.30781636 0.000307408 0 0 0
49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5
51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 300 Cíclica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde -5mm hasta +5mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.2mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
77
5.7.9 Modelo M4-GFI-3C-10MM
Identificador de ensayo: M4-GFI-3C-10MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de carga
lateral de 10mm de amplitud.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-05
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) GFI (N/m)
20.64 0 0 3.73639138 148.4567
32.66831842 0.000120697 0 Apertura de grieta (m) Variable de daño 𝑑𝑡
44.30781636 0.000307408 0 0 0
49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5
51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 600 Cíclica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde -5mm hasta +5mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.2mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
78
5.7.10 Modelo M4-GFI-3C-2-5-8MM
Identificador de ensayo: M4-GFI-3C-2-5-8MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de carga
lateral de 2, 5 y 8mm de amplitud respectivamente.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-05
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) GFI (N/m)
20.64 0 0 3.73639138 148.4567
32.66831842 0.000120697 0 Apertura de grieta (m) Variable de daño 𝑑𝑡
44.30781636 0.000307408 0 0 0
49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5
51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 300 Cíclica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde +-2mm. +-5mm, +-8mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.2mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
79
5.7.11 Modelo M5-W-3C-5MM
Identificador de ensayo: M5-W-3C-5MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de carga
lateral de 5mm de amplitud.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-05
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) Apertura de grieta (m)
20.64 0 0 3.736391383 0
32.66831842 0.000120697 0 0.747278277 3.97326E-05
44.30781636 0.000307408 0 0 0.000198663
49.01412441 0.000480732 0
51.6 0.000811131 0
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0
13.80480411 0.003128429 0
5.074601045 0.004263412 0
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 300 Monotónica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: +-5mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.2mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT
5.7 Definición de modelos
80
5.7.12 Modelo M5-W-3C-10MM
Identificador de ensayo: M5-W-3C-10MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de carga
lateral de 10mm de amplitud.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-05
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) Apertura de grieta (m)
20.64 0 0 3.736391383 0
32.66831842 0.000120697 0 0.747278277 3.97326E-05
44.30781636 0.000307408 0 0 0.000198663
49.01412441 0.000480732 0
51.6 0.000811131 0
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0
13.80480411 0.003128429 0
5.074601045 0.004263412 0
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 600 Monotónica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: +-10mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.2mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT
5.7 Definición de modelos
81
5.7.13 Modelo M5-W-3C-2-5-8MM
Identificador de ensayo: M5-W-3C-2-5-8MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de carga
lateral de 2, 5 y 8mm de amplitud respectivamente.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-05
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) Apertura de grieta (m)
20.64 0 0 3.736391383 0
32.66831842 0.000120697 0 0.747278277 3.97326E-05
44.30781636 0.000307408 0 0 0.000198663
49.01412441 0.000480732 0
51.6 0.000811131 0
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0
13.80480411 0.003128429 0
5.074601045 0.004263412 0
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 300 Monotónica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: +-2mm, +-5mm, +-8mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.2mm
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT
5.7 Definición de modelos
82
5.7.14 Modelo M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG
Identificador de ensayo: M6-TEST-SIMULATION-
GFI-DMG
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a los ciclos de carga
digitalizados del ensayo experimental.
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-05
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) GFI (N/m)
20.64 0 0 3.73639138 148.4567
32.66831842 0.000120697 0 Apertura de grieta (m) Variable de daño 𝑑𝑡
44.30781636 0.000307408 0 0 0
49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5
51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 151 Cíclica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: -
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: Variable
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
83
5.7.15 Modelo M6-TEST-1Cx25MM
Identificador de ensayo: M6-TEST-1Cx25MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de amplitud
aproximada 25mm (según ensayo experimental)
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-05
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) GFI (N/m)
20.64 0 0 3.73639138 148.4567
32.66831842 0.000120697 0 Apertura de grieta (m) Variable de daño 𝑑𝑡
44.30781636 0.000307408 0 0 0
49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5
51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 41 Cíclica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Aprox. +-25mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: Variable
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
84
5.7.16 Modelo M6-TEST-1Cx25MM-V2
Identificador de ensayo: M6-TEST-1Cx25MM-V2
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de amplitud
aproximada 25mm (según ensayo experimental)
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-04
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) GFI (N/m)
20.64 0 0 3.73639138 148.4567
32.66831842 0.000120697 0 Apertura de grieta (m) Variable de daño 𝑑𝑡
44.30781636 0.000307408 0 0 0
49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5
51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 41 Cíclica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Aprox. +-25mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: Variable
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
85
5.7.17 Modelo M6-TEST-1Cx50MM
Identificador de ensayo: M6-TEST-1Cx50MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de amplitud
aproximada 50mm (según ensayo experimental)
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-03
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) GFI (N/m)
20.64 0 0 3.73639138 148.4567
32.66831842 0.000120697 0 Apertura de grieta (m) Variable de daño 𝑑𝑡
44.30781636 0.000307408 0 0 0
49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5
51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 48 Cíclica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: Aprox. +-50mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: Variable
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
86
5.7.18 Modelo M6-TEST-1Cx80MM
Identificador de ensayo: M6-TEST-1Cx80MM
Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de amplitud
aproximada 80mm (según ensayo experimental)
Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2
Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇
40 1.16 0.67 0.1 1E-03
Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción
Tensión
(MPa)
Deformación
inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) GFI (N/m)
20.64 0 0 3.73639138 148.4567
32.66831842 0.000120697 0 Apertura de grieta (m) Variable de daño 𝑑𝑡
44.30781636 0.000307408 0 0 0
49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5
51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8
49.78033893 0.001160109 0
43.44396921 0.001630659 0
28.05121663 0.002390972 0.18760414
13.80480411 0.003128429 0.57194406
5.074601045 0.004263412 0.86589321
Parámetros de ejecución
Análisis (Job) Carga aplicada
Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado
Step time: 160 Cíclica
Step Max. Increments: 5000000 Rango: +-80mm
Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.2
Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC
5.7 Definición de modelos
87
88
6 ANÁLISIS DE RESULTADOS
6.1 Modelos de hormigón en masa
En un primer análisis para comprender el funcionamiento del modelo, y su comprobación con la
teoría de resistencia de materiales se ha realizado un modelo de una columna de hormigón en masa
sometida a una carga lateral monotónica hasta la rotura del elemento.
Los modelos analizados son:
M1-HM-S-0.5MM
M1-HM-GFI-0.5MM
M1-HM-W-0.5MM
Dichos modelos difieren entre sí, únicamente en la definición de la ley de comportamiento del
hormigón. En el primer caso, se empleó una ley tensión deformación con degradación de rigidez, en
el segundo se empleó el valor de la energía de fractura y en el tercero una ley de ablandamiento
tensión-apertura de grieta.
Primeramente formularemos el problema según la teoría de resistencia de materiales para las
características del ensayo, y posteriormente analizaremos los resultados obtenidos mediante
ABAQUS.
6.1.1 Formulación del problema
Se analiza una columna de 1 metro de altura, empotrada en su base, sometida a una carga lateral; esto
es típicamente una configuración de ensayo Cantilever.
Los datos del ensayo se incluyen a continuación en la Tabla 6-1:
Dato Valor
B (ancho de sección) 350 mm
H (altura de sección) 350 mm
L (Longitud de la columna) 1000 mm
𝑓𝑐𝑘 43.6 MPa
𝑓𝑐𝑚 51.6 MPa
𝑓𝑐𝑡 3.73 MPa
E 37.152 GPa
Tabla 6-1: Datos del ensayo
El ensayo se realizará mediante desplazamiento controlado en la cabeza de la columna hasta rotura.
6.1 Modelos de hormigón en masa
89
Según la teoría de resistencia de materiales, el valor del desplazamiento de una viga Cantilever
empotrada en su extremo y en voladizo viene dado según la Ecuación (6-1):
Donde:
𝑃 = carga aplicada
𝐿 = Longitud de la columna
𝐸 = Módulo de elasticidad del hormigón
𝐼 = Inercia de la sección
∆ = Desplazamiento impuesto
El valor de la inercia para una sección rectangular viene dado por la Ecuación (6-2):
En nuestro caso, al tratarse de una sección cuadrada, 𝑏 = y dicha expresión se simplifica
(Ecuación (6-3)):
Mediante la Ecuación (6-2) es posible obtener el valor de la carga aplicada según el desplazamiento
impuesto. A su vez, el momento en la base de la columna vendrá dado por la Ecuación (6-4):
El valor de la tensión que se produce en cualquier sección en función del momento viene dado por la
Ecuación (6-5):
∆=𝑃𝐿3
3𝐸𝐼 (6-1)
𝐼 =𝑏 ∙ 3
12 (6-2)
𝐼 =𝑏4
12 (6-3)
𝑀𝐵 = 𝑃 ∙ 𝐿 (6-4)
6.1 Modelos de hormigón en masa
90
Donde 𝑧 = /2.
Dicha tensión será en un lateral de la sección de compresión y en el otro de tracción.
Primeramente, al iniciar el proceso de carga, estaremos en un tramo elástico, mientras las tensiones
en la sección más desfavorable, en este caso en la base, se encuentren por debajo del límite de
tracción del hormigón. Una vez superado dicho límite se comenzarán a producir grietas en dicha
sección y las tensiones disminuirán en la zona de fractura, dado que el hormigón no es capaza de
soportar dichas tracciones. Al seguir incrementando el desplazamiento, y con ello la carga, la grieta
en la base seguirá progresando hasta producirse el fallo total de la columna.
Según las dimensiones de nuestro problema, en la Tabla 6-2 se muestran los valores resultantes:
Parámetro Valor
𝑏 = 0.35 m
𝐿 1 m
𝐼 1.25E-03 m
𝜎𝑐𝑡𝑚 3.73 MPa
𝑀𝑐𝑡𝑚 26.7 kNm
𝑃𝑐𝑡𝑚 26.7 kN
𝑢𝑐𝑡𝑚 ~0.2 mm
Tabla 6-2: Valores mediante teoría de resistencia de materiales
Por lo tanto, la teoría lineal de resistencia de materiales prevé que la tensión de rotura por tracción se
alcanzará aproximadamente con valores de desplazamiento impuesto de 0.2mm. Los resultados
obtenidos en un punto de la base de la columna, mediante los 3 modelos empleados, se ilustran en la
Figura 6-1:
𝜎 =𝑀𝐵
𝐼∙ 𝑧 (6-5)
6.1 Modelos de hormigón en masa
91
Figura 6-1: Tensión-Desplazamiento en la base de la columna
Podemos observar en la Figura 6-1, como para los 3 modelos, la zona de fractura se produce para el
valor de tensión de resistencia a tracción (3.73 MPa) en la zona comprendida entre 0.2 y 0.3 mm. Los
resultados obtenidos están en concordancia con lo expuesto previamente mediante la teoría de
resistencia de materiales.
En las siguientes gráficas (Figuras 6-2, 6-3 y 6-4) podemos ver la curva tensión-deformación, la
deformación plástica y la variable de degradación de rigidez a tracción. Puede comprobarse que es a
partir de la superación del valor de la resistencia a tracción cuando tanto la variable daño como la
deformación plástica comienzan a incrementarse.
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
4000000
0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006
Ten
sió
n (
Pa)
Desplazamiento horitzontal (m)
Tensión - Desplazamiento
M1-HM-S-0.5MM M1-HM-GFI-0.5MM M1-HM-W-0.5MM
6.1 Modelos de hormigón en masa
92
Figura 6-2: Tensión-Deformación total en un nodo de la base de la columna
Figura 6-3: Relación Deformación plástica-desplazamiento
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
4000000
0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004
Ten
sió
n (
Pa)
Deformación total
Tensión - Deformación
M1-HM-S-0.5MM M1-HM-GFI-0.5MM M1-HM-W-0.5MM
-0,0005
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
0,004
0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006
De
form
ació
n p
lást
ica
Desplazamiento horizontal (m)
Deformación plástica - Desplazamiento
M1-HM-S-0.5MM M1-HM-GFI-0.5MM M1-HM-W-0.5MM
6.2 Modelos de hormigón armado frente a carga monotónica
93
Figura 6-4: Relación DAMAGET-Desplazamiento horizontal
6.2 Modelos de hormigón armado frente a carga monotónica
Los 3 modelos comparados en este caso son los siguientes:
M2-HA-S-30MM
M2-HA-W-30MM
M2-HA-GFI-30MM
Difieren, al igual que en la comparativa anterior en la definición de la ley de comportamiento del
hormigón a tracción.
Tras someterse en los 3 casos a una carga lateral de desplazamiento controlado hasta 30mm se
obtuvieron los resultados ilustrados en la Figura 6-5:
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006
Var
iab
le d
e d
año
DA
MA
GET
Desplazamiento hortizontal (m)
Damaget - Desplazamiento
M1-HM-S-0.5MM M1-HM-GFI-0.5MM
6.3 Modelos de hormigón armado sometidos a carga cíclica
94
Figura 6-5: Fuerza-Desplazamiento para modelos 3, 4 y 5.
El modelo definido mediante la ley de comportamiento tensión-deformación no concluyó el análisis,
siendo su tiempo de computación mucho mayor que en los dos otros modelos. El modelo que mostró
mayor convergencia de los tres fue sin duda, el definido mediante el parámetro de la energía de
fractura (GFI). En la Tabla 6-3 se muestran los parámetros de resolución que permiten compara la
facilidad de resolución de los tres casos:
M2-HA-S-30MM M2-HA-GFI-30MM M2-HA-W-30MM
% Completado 26.67% 100% 75.33%
Tiempo requerido 1 hora 57 minutos 22 minutos 3 horas 45 minutos
Tabla 6-3: Tiempos de resolución de los ensayos M2
6.3 Modelos de hormigón armado sometidos a carga cíclica
Primeramente se ha realizado una comparativa entre los 3 modelos diferentes para determinar cuál es
la definición de la ley de comportamiento del hormigón que permite obtener buenos resultados y una
convergencia de los mismos en un tiempo adecuado.
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035
Fuerza - Desplazamiento
M2-HA-S-30MM M2-HA-W-30MM M2-HA-GFI-30MM
6.3 Modelos de hormigón armado sometidos a carga cíclica
95
Los ensayos comparados en este apartado son los siguientes:
M3-S-3C-5MM
M4-GFI-3C-5MM
M4-GFI-3C-10MM
M4-GFI-3C-2-5-8MM
M5-W-3C-5MM
M5-W-3C-10MM
M5-W-3C-2-5-8MM
Cabe destacar desde un inicio la no convergencia del modelo definido mediante la ley de
comportamiento del hormigón a tracción mediante tensión-deformación (M3-S-3C-5MM, el cual no
se representa).
En las Figuras 6-6, 6-7 y 6-8 se representa la comparación entre los modelos definidos mediante el
valor de la energía de fractura (M4-GFI) y los modelos definidos mediante una ley de ablandamiento
bilineal mediante una relación tensión-apertura de grieta (M5-W)
Figura 6-6: Curva de histéresis para ciclos de 5mm (M4-M5)
-300000
-200000
-100000
0
100000
200000
300000
-0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006Fue
rza
(N)
Desplazamiento horitzonal (m)
Fuerza - Desplazamiento (Ciclos de 5 mm)M5-W-3C-5MM M4-GFI-3C-5MM
6.3 Modelos de hormigón armado sometidos a carga cíclica
96
Figura 6-7: Curva de histéresis para ciclos de 10mm (M4-M5)
-300000
-200000
-100000
0
100000
200000
300000
-0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015
Fue
rza
(N)
Desplazamiento horizontal (m)
Fuerza - Desplazamiento (Ciclos de 10 mm)M5-W-3C-10MM M4-GFI-3C-10MM
6.4 Comparación de modelo 6 con test experimental
97
Figura 6-8: Curva de histéresis para ciclos de 2, 5 y 8mm (M4-M5)
6.4 Comparación de modelo 6 con test experimental
Una vez realizada la comparación entre los modelos 3, 4 y 5 a diferentes estados de carga, y
concluido que el modelo que mejor se comporta es el definido mediante el valor de la energía de
fractura del hormigón, procedemos a realizar una comparación entre los resultados que arroja dicho
modelo sometido a los estados de carga digitalizados del ensayo experimental.
Se han realizado los siguientes análisis:
M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG
M6-TEST-1Cx25MM
M6-TEST-1Cx25MM-V2
M6-TEST-1Cx50MM
M6-TEST-1Cx80MM
6.4.1 M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG
Este primer análisis consistió en la realización del siguiente estado de carga en desplazamiento
(Figura 6-9):
-300000
-200000
-100000
0
100000
200000
300000
-0,01 -0,008 -0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01Fue
rza
(N)
Desplazamiento horizontal (m)
Fuerza - Desplazamiento (Ciclos 2-5-8 mm)M5-W-3C-2-5-8MM M4-GFI-3C-2-5-8MM
6.4 Comparación de modelo 6 con test experimental
98
Figura 6-9: Historial de carga empleado en el análisis M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG
Los resultados arrojados por el modelo, contrastados con los disponibles del ensayo se ilustran en la
Figura 6-10:
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
30,001 7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
10
3
10
9
11
5
12
1
12
7
13
3
13
9
14
5
De
spla
zam
ien
to (
mm
)
Estados
Historial de carga
Historial de carga
6.4 Comparación de modelo 6 con test experimental
99
Figura 6-10: Curva de histéresis del modelo M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG frente al ensayo
experimental
Podemos observar como la pendiente varía de manera acertada de los tramos iniciales (ciclos de
aproximadamente 4-6mm) a los ciclos de 25mm mostrando una pérdida de rigidez.
6.4.2 M6-TEST-1Cx25MM
En este análisis, se sometió al modelo a un ciclo de 25mm comparándolo con los datos del ensayo
experimental (Figura 6-11):
-300000
-200000
-100000
0
100000
200000
300000
-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03Fue
rza
(N)
Desplazamiento (m)
Fuerza - Desplazamiento
Test Experimental M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG
6.4 Comparación de modelo 6 con test experimental
100
Figura 6-11: Curva de histéresis con ciclos de 25mm 𝜇 = 0.0001
En este caso la variable de viscosidad empleada fue 𝜇 = 0.0001. Dada su no convergencia al llegar
a incrementos de carga en desplazamiento negativos, se modificó el valor de la viscosidad,
realizando el modelo que se ilustra en el siguiente apartado.
6.4.3 M6-TEST-1Cx25MM-V2
En este modelo, se realizó el mismo estado de carga anterior, es decir, un ciclo de 25mm acorde a lo
establecido en el ensayo experimental asignándole al parámetro de viscosidad un valor de 𝜇 =0.001.
El modelo convergió y los resultados se ilustran en la Figura 6-12:
-300000
-200000
-100000
0
100000
200000
300000
-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03Fue
rza
(N)
Desplazamiento (m)
Fuerza - Desplazamiento
M6-TEST-1Cx25MM Test Experimental
6.4 Comparación de modelo 6 con test experimental
101
Figura 6-12: Curva de histéresis para ciclo de 25mm (𝜇 = 0.001)
Puede observarse en la gráfica que aproxima de manera adecuada la carga límite en el tramo
positivo.
Cabe destacar que los resultados del modelo representan una curva de primer ciclo, y los resultados
experimentales representan una curva de 4 ciclo.
6.4.4 M6-TEST-1Cx50MM
Los resultados obtenidos para un ciclo de 50mm se ilustran en la Figura 6-13:
-300000
-200000
-100000
0
100000
200000
300000
-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03
Fue
rza
(N)
Desplazamiento horizontal (m)
Fuerza - Desplazamiento
M6-TEST-1Cx25MM-V2 Test Experimental
6.4 Comparación de modelo 6 con test experimental
102
Figura 6-13: Curva de histéresis para 50mm
Al igual que en el caso anterior, la curva del modelo representa un primer ciclo, y la curva del ensayo
es una curva de final de ciclo (habiendo transcurrido 8-10 ciclos).
6.4.5 M6-TEST-1Cx80MM
Finalmente como última comparativa se muestra la de un ensayo de 80mm de carga en
desplazamiento (Figura 6-14):
-300000
-200000
-100000
0
100000
200000
300000
400000
-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06
Fue
rza
(N)
Desplazamiento hortizontal (m)
Fuerza - Desplazamiento
Test Experimental M6-TEST-1Cx50MM
6.4 Comparación de modelo 6 con test experimental
103
Figura 6-14: Curva de histéresis para ciclo de 80mm
-200000
-150000
-100000
-50000
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Fue
rza
(N)
Desplazamiento hortizontal (m)
Fuerza - Desplazamiento
Test Experimental M6-TEST-1Cx80MM
104
7 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS
7.1 Conclusiones obtenidas
En base a los análisis realizados, descritos en los apartados anteriores, se puede constatar la mayor
facilidad de convergencia que posee el modelo en el cual se definió el comportamiento a tracción del
hormigón mediante el valor de la energía de fractura. Para dar fe de este hecho se presenta a
continuación (Tabla 7-1) un resumen de los análisis realizados indicando el porcentaje que se llegó a
completar así como el tiempo requerido en cada caso.
Modelo % Completado Tiempo requerido
M1-HM-S-0.5MM 100.00% <15 minutos
M1-HM-GFI-0.5MM 100.00% <15 minutos
M1-HM-W-0.5MM 72.00% <15 minutos
M2-HA-S-30MM 26.67% 2 horas
M2-HA-W-30MM 75.33% 3 horas 45 minutos
M2-HA-GFI-30MM 100.00% 22 minutos
M3-S-3C-5MM ~5% -
M4-GFI-3C-5MM 100.00% 4 horas 30 minutos
M4-GFI-3C-10MM 56.50% 4 horas 25 minutos
M4-GFI-3C-2-5-8MM 100.00% 5 horas 15 minutos
M5-W-3C-5MM 71.67% 3 horas
M5-W-3C-10MM 36.67% 6 horas 5 minutos
M5-W-3C-2-5-8MM 74.00% 4 horas 5 minutos
M6-Test-Simulation-GFI-DMG 76.82% 4 horas
M6-Test-1Cx25MM 53.66% 3 horas 30 minutos
M6-Test-1Cx25MM-v2 100.00% 3 horas 30 minutos
M6-Test-1Cx50MM 100.00% 3 horas 40 minutos
M6-Test-1Cx80MM 100.00% 4 horas
Tabla 7-1: Tiempos de resolución de análisis
7.2 Trabajos futuros
105
Para permitir la convergencia del modelo, los incrementos de carga deben realizarse mediante
valores muy pequeños, (en nuestro caso del orden de 0.1-0.2mm). Para incrementos superiores a 2-
3mm el programa presenta serias dificultades y en muchos casos no es posible la convergencia.
Resulta de vital importancia la inclusión de la variable de viscosidad en modelos donde se define de
manera completa el material, como en el presente caso donde se incluyen curvas de comportamiento
no lineales a partir de puntos, y donde existen condiciones de contorno con las barras de armado, el
empleo de la variable de viscosidad.
Dicha variable facilita enormemente la convergencia, pues permite superar la zona de plastificación
definida mediante los parámetros del CDP en una cierta cantidad. El valor de viscosidad debe
ajustarse mediante prueba y error.
Los resultados obtenidos mediante el modelo empleado simulan de manera cualitativamente
adecuada los ensayos a baja carga (hasta 25mm) con pendientes de razonable parecido, y
envolventes similares.
7.2 Trabajos futuros
Como se anticipó en el resumen inicial, el presente proyecto pretende sentar una base sobre la que
construir unas leyes experimentales que permitan ajustar un modelo que simule el comportamiento
frente a sismo en función de la tipología del elemento.
Este primer paso ha establecido la adecuación de emplear el modelo Concrete Damaged Plasticity
para simular el comportamiento del hormigón armado frente a sismo, estableciendo la manera más
adecuada de realizarlo.
En este sentido, partiendo de un modelo definido a partir de la energía de fractura, el cual se ha
postulado como la mejor opción de definir el comportamiento a tracción del hormigón, sería
adecuado realizar un análisis de los diferentes parámetros que definen el comportamiento plástico.
Entre ellos, valores fundamentales que influyen de manera decisiva y para los cuales existe muy poca
definición son los parámetros de degradación de rigidez 𝑑𝑐 y 𝑑𝑡 .
106
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