prova1_S1_2014

7/23/2019 prova1_S1_2014

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Gabarito - Prova P 1 de Métodos de Cálculo 2 - Fatec - 1S 2014

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Questão 4 - Determine as Integrais indefinidas:

2 Sinx 3 Cosx x x

x2

2 2 Cosx 3 Sinx

Expx 2x x

x

2x

Log2

3 x5

8 x3 1

x4 x

1

3 x3

3 x2

2 8 Logx

x

1 4 x2 x

1

8Log1 4 x2

Questão 5 - Determine as integrais definidas:

2

1x2 3 x x

15

2

0

Π

2 Sin2 x Cosx x

2

Sin2 x x

1

2Cos2 x

0

Π

2

Sin2 x x

1

Cosx x

Sinx

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0

Π

2

Cosx x

1

Questão 2 - (a) Taxa de Variação no Ponto (1,1,-2) na direção u

= - 2i + 3 j

- 6k

de:

T(x,y,z) =20

1 x 22 y 23 z 2

T

20

1 x 2

2 y 2

3 z 2

20

1 x2 2 y2

3 z2

x

20

1 x2 2 y2

3 z2, y

20

1 x2 2 y2

3 z2, z

20

1 x2 2 y2

3 z2

40 x

1 x2 2 y2

3 z22 ,

80 y

1 x2 2 y2

3 z22 ,

120 z

1 x2 2 y2

3 z22

T

u

T.u

u 2, 3, 6 2, 3, 6

Normalizeu

2

7,

3

7,

6

7

x0 1

y0 1

z0 2

1

1

2

GradTP 40 x0 1 x02

2 y02

3 z022

,

80 y0 1 x02

2 y02

3 z022

, 120 z0 1 x02

2 y02

3 z022

5

32,

5

16,

15

16

DotGradTP.Normalizeu

25

28

NDotGradTP.Normalizeu 0.892857

2 rova1_S1_2014.nb

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Norm GradTP5 41

32

T

u

T N Norm GradTP1.00049

Questão 3 - f(x,y)= x 4 y 3 2 x 2+27y

f x 4

y 3

2 x 2

27 y

2 x2 x4

27 y y3

x f

4 x 4 x3

y f

27 3 y2

Solve 4 x 4 x3 0 && 27 3 y2

0, x, yx 1, y 3, x 0, y 3, x 1, y 3,

x 1, y 3, x 0, y 3, x 1, y 3

D Det x,x f x,y f

y,x f y,y f

24 y

72 x

2

y

Fpi xi4

yi3

2 xi2

27 yi

55

Dxx x,x f

4 12 x2

Dxxpi 4 12 xi2

8

DPi "

delta

"

delta

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x0 "xi"

y0 "yi"

Fp0 "func"

xi

yi

func

delta

2 f

x2

Classificação do Ponto Pxi,yi

x1 1

1

y1 3

3

Fp1 x14

y13

2 x12

27 y1

55

DP1 24 y1 72 x12 y1

144

Dxxp1 4 12 x12

8

Critico1 "minimo relativo"

minimo relativo

x2 0

0

y2 3

3

Fp2 x24

y23

2 x22

27 y2

54

DP2 24 y2 72 x22 y2

72

Dxxp2 4 12 x22

4

Critico2 "ponto de sela"

ponto de sela

4 rova1_S1_2014.nb

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x3 1

1

y3 3

3

Fp3 x34

y33

2 x32

27 y3

55

DP3 24 y3 72 x32 y3

144

Dxxp3 4 12 x32

8

Critico3 "mínimo relativo"

mínimo relativo

x4 1

1

y4 3

3

Fp4 x44

y43

2 x42

27 y4

53

DP4 24 y4 72 x42 y4

144

Dxxp4 4 12 x42

8


ponto de sela

x5 1

1

y5 3

3

Fp5 x54

y53

2 x52

27 y5

53

DP5 24 y5 72 x52 y5

144

prova1_S1_2014.nb 5

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Dxxp5 4 12 x52

8


ponto de sela

x6 1

1

y6 3

3

Fp6 x64

y63

2 x62

27 y6

55

DP6

24 y6

72 x6

2 y6

144

Dxxp6 4 12 x62

8

Critico6 "mínimo relativo"

mínimo relativo

Tablexi, yi, Fpi, DPi, Dxxpi, Criticoi, i, 0, 6

x

i, y

i, func, 24 y

i 72 x

i

2 yi0

,

2 f

x2, Classificação do Ponto P

x

i,y

i,

1, 3, 55, 72, 8, ponto de sela, 0, 3, 54, 722, 4, ponto de sela,

1, 3, 55, 144, 8, mínimo relativo, 1, 3, 53, 1444, 8, ponto de sela,

1, 3, 53, 1445, 8, ponto de sela, 1, 3, 55, 144, 8, mínimo relativo

MatrixForm Tablexi, yi, Fpi, DPi, Dxxpi, Criticoi, i, 0, 6xi yi func 24 yi 72 xi

2 yi0

2 f

x2 Classificação do Ponto Pxi,yi

1 3 55 72 8 ponto de sela


1 3 55 144 8 mínimo relativo



1 3 55 144 8 mínimo relativo

6 rova1_S1_2014.nb

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Plot3Dx 4 y 3

2 x 2

27 y , x, 5, 5, y, 5, 5,

AxesLabel "x", "y", "z", PlotRange 55, 126

5

0

5

x

5

0

5

y 50

0

50

100

z

Questão 1 - Encontre as derivadas parciais:

x 5 x3 y4 2 x2 y

4 x y 15 x2 y4

y 5 x3 y4 2 x2 y

2 x2 20 x3 y3

x x2 y2

z23

2 x

3 x2 y2

z223

x x2 y2 Exp x y2

2 x y2

x x y2

y2 x2 y2

y x2 y2 Exp x y2

2 x y2

y 2 x y2

x y x2 y2

x,y 3 x2 4 y2

Sinx y CosyCosx y x y Sinx y

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