Propiedades de coloraci´on en grafos de Kneser

Propiedades de coloracion en grafos de Kneser

Camilo Andres Garcıa Trillos

Asesor : Mario Valencia Ph.D.

Universidad de los AndesBogota D.C., Diciembre de 2004

Dedicado a mis padres y hermano, por su confianza y amor,

a la paciencia y la ayuda incondicional de mis profesores,

y a la nina que me hace sonreir.

Indice general

1. Introduccion 1

2. Preliminares 3

2.1. Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Grafos de Kneser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Conjetura de Kneser 10

3.1. Conceptos previos en Topologıa Algebraica . . . . . . . . . . . 11

3.2. Prueba de Lovasz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3. Prueba de Barany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4. Prueba combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5. Aplicaciones de la prueba de Lovasz . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Polinomios Cromaticos 32

4.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2. Polinomio cromatico de algunos grafos . . . . . . . . . . . . . 35

4.3. Grafos circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Conclusiones y perspectivas 47

A. Lema de Tucker, Teorema de Borsuk y Teorema de Gale 49

Capıtulo 1

Introduccion

En 1955, Martin Kneser presento la famosa conjetura que lleva su nom-bre y que ocuparıa un par de decadas resolver. Construidos en 1978 porLaszlo Lovasz, con el fin de permitir la resolucion de esta conjetura, losgrafos de Kneser fueron ganando importancia por convertirse en una granfuente de ejemplos y contraejemplos dada su atıpica estructura, por su in-tensa simetrıa y complejidad, por su papel en las n-tupla coloraciones y lascoloraciones fraccionales, y por permitir convertir enunciados combinatoriosen enunciados en grafos. Estas dimensiones motivan este estudio que se cen-tra en dos propiedades de coloracion de estos grafos, el numero cromatico yel polinomio cromatico, teniendo como objetivos la comprension de las dis-tintas pruebas que sobre el numero cromatico se han dado y las relacionesentre ellas, y generar un primer acercamiento a la expresion del polinomiocromatico de estos grafos.

En el capıtulo 3 se presenta la relacion existente entre la conjetura de Knesery el numero cromatico de los grafos de Kneser, y se exponen diferentes prue-bas que sobre la expresion para este se han hecho. Se estudiaran tres delas varias pruebas existentes, las dadas por Lovasz y Barany, pruebas queusan nociones de topologıa algebraica y la presentada por Matousek, prue-ba combinatoria de reciente aparicion. Con el fin de ilustrar el alcance y laimportancia de los resultados obtenidos por Lovasz, el capıtulo cierra conuna aplicacion de estos resultados para hallar una cota para la solucion deproblemas de optimizacion entera.

1

2

El estudio del polinomio cromatico de los grafos de Kneser es de gran com-plejidad. Un primer acercamiento es posible si se considera el problema dehallar el polinomio cromatico de ciertos subgrafos de los grafos de Kneser,los grafos circulares. El capıtulo 4 plantea las principales propiedades quesobre polinomios cromaticos se han desarrollado, y presenta la expresion deestos polinomios para dos subfamilias de la familia de los grafos circulares,que utiliza algunos resultados combinatorios.

El ultimo capıtulo que se presenta contiene las conclusiones y las perspectivasque sobre este estudio se desprenden. Finalmente, el apendice A presenta laspruebas del lema de Tucker que es un enunciado sobre etiquetas de ciertastriangulaciones, el teorema de Borsuk un enunciado de naturaleza topologica,y el Teorema de Gale, un enunciado de tipo geometrico.

Capıtulo 2

Preliminares

Este capıtulo presenta los conceptos preliminares que son soporte del traba-

jo en su totalidad. En el primer aparte, algunas nociones basicas en grafos son

senaladas, principalmente para clarificar la forma en que se trabajaran los con-

ceptos y la notacion. En el segundo aparte, se introducen los grafos de Kneser y

se presentan y demuestran algunas de sus propiedades.

2.1. Grafos

Un grafo G se compone por un conjunto de vertices V (G) y un conjuntode aristas E(G), con E(G) ⊆ [V (G)]2. Dos vertices son adyacentes o vecinossi estan relacionados por medio de una arista. Un loop es una arista que rela-ciona un vertice consigo mismo. Llamamos un grafo simple a un grafo finito,sin loops, con a lo sumo una arista relacionando dos vertices. La definicionque hemos dado de grafos, esta restringida a grafos simples no dirigidos.

Dos grafos son iguales si sus conjuntos de aristas y vertices son iguales. Enrealidad, la esencia de un grafo no se ve alterada si los elementos del conjuntode vertices cambian de manera que las relaciones entre ellos se mantenganinalteradas. Esta nocion es capturada por el concepto de isomorfismo.

Definicion 2.1.1 Dos grafos G, H son isomorfos si existe una biyeccionφ : V (G) → V (H) tal que (a, b) ∈ E(G) ⇔ (φ(a), φ(b)) ∈ E(H).

3

2.1. GRAFOS 4

Se denomina grafo completo al grafo en el que todo par de vertices estanrelacionados. Un grafo completo con n vertices es unico modulo isomorfismoy se denotara por Kn. Los grafos completos juegan un papel muy importanteen varios de los conceptos de interes en la teorıa de grafos.

El grafo cuyo conjunto de vertices es vacıo es llamado nulo. Un grafo es vacıosi su conjunto de aristas es vacıo sin serlo su conjunto de vertices.

Un subgrafo de un grafo G, es un grafo cuyos vertices y aristas son subcon-juntos de los vertices y aristas de G. Un subgrafo G′ de G es inducido porun subconjunto de vertices de G, g1, . . . gn si V (G′) = g1, . . . gn y todaarista de G que una elementos de este conjunto, esta entre las aristas de G′.Un conjunto independiente de un grafo G es un subconjunto de los verticesde G tal que induce un subgrafo vacıo.

Si x, y son vertices de un grafo G, se llama camino de x a y a una sucesionde vertices de G con primer elemento x y ultimo y, tal que dos elementosconsecutivos en la sucesion son vecinos. Cada subgrafo de G que sea maximalcon respecto a la propiedad de que exista un camino entre cualquier par desus vertices se denomina componente conexa. Un grafo es conexo, si el es suunica componente conexa.

Definicion 2.1.2 Sean G y H grafos. Un homomorfismo de X en Y es unafuncion φ : V (G) → V (H), tal que (a, b) ∈ E(G) ⇒ (φ(a), φ(b)) ∈ E(H).

De la definicion de homomorfismo se desprende facilmente el siguiente lema.

Lema 2.1.3 Sean G, H y R grafos. Si φ1 es homomorfismo de G en H yφ2 es homomorfismo de H en R, entonces φ2 φ1 es homomorfismo de G enR.

Los homomorfismos mas conocidos y trabajados son los de la familia de lascoloraciones propias de un grafo. Una coloracion propia de un grafo G esuna funcion de los vertices de G, en un conjunto de colores, de tal forma quedos vecinos no compartan el mismo color. El numero cromatico de G es elmınimo numero de colores con los que G puede colorearse propiamente, y sedenomina χ(G).

La relacion entre las coloraciones propias y los homomorfismos se hace claramediante la siguiente caracterizacion.

CAPITULO 2. PRELIMINARES 5

Lema 2.1.4 El numero cromatico de un grafo G es el menor entero r talque existe un homomorfismo de G en Kr.

Demostracion. Suponga que φ es un homomorfismo de G en H, y seay ∈ V (H). Puesto que y no es adyacente a sı mismo (pues H es grafo simple),f−1(y) es un conjunto independiente. Ası, si existe un homomorfismo de Gen Kr, los r conjuntos f−1(1), . . . , f−1(r) forman las clases de una coloracionpropia con r colores, y por lo tanto χ(G) ≤ r. Para el converso, suponga queG puede colorearse propiamente con r colores, sin perdida de generalidad,suponga son 1, . . . , r. Entonces la funcion que envıa cada vertice a su colores un homomorfismo de G en Kr.

El lema anterior y el lema 2.1.3 nos llevan directamente al siguiente resultado:

Lema 2.1.5 Si existe un homomorfismo de G en H, entonces χ(G) ≤ χ(H).

Claramente si existe un isomorfismo entre G y H, existe un homomorfismode G a H y uno de H a G. El contrario no es necesariamente cierto, y lacaracterizacion de las coloraciones nos permiten obtener un contrajemplo.Un arbol es un grafo conexo sin ciclos. Considere un arbol de tres vertices.Puesto que este arbol es coloreable con dos colores, existe un homomorfismode este en una arista. Ası mismo, existe un homomorfismo de una aristaen este arbol (por ejemplo el homomorfismo que identifica la arista y unade las aristas propias del arbol), pero claramente no existe un isomorfismoentre los dos grafos. Cuando ocurre una situacion como esta en la que existeun homomorfismo de G a H y otro de H a G, se dice que H y G sonhomomorficamente equivalentes.

2.2. Grafos de Kneser

Los grafos de Kneser son grafos que por su definicion, poseen una estruc-tura que permite trasladar naturalmente ciertos problemas de combinatoriade conjuntos finitos a problemas en grafos, permitiendo por ejemplo unaaproximacion diferente a los teoremas de Erdos-Ko-Rado y Hilton-Milner(como aparece en [5]), y a la conjetura de Kneser (de donde viene su nom-bre). Por otra parte de entre ellos se obtienen ejemplos de grafos con girth (el

2.2. GRAFOS DE KNESER 6

tamano del ciclo mas corto dentro del grafo) y de numero cromatico arbitrari-amente grandes. Denotaremos al conjunto 1, 2, . . . , n por [n], y definiremoslos grafos de Kneser de la siguiente forma.

Definicion 2.2.1 Sean v, r enteros positivos con v ≥ 2r. El grafo de Kneser(Kv,r), es el grafo cuyo conjunto de vertices es el conjunto [v]r, es decir, esel conjunto de subconjuntos de [v] de tamano r, donde dos vertices A,B sonadyacentes si y solo si A ∩B = ∅.

Puede comprobarse facilmente que el numero de vertices de un grafo deKneser es

v

r , y que es un grafo regular con grado

v − r

r .De acuerdo a la definicion, los grafos completos corresponden a los Kn,1.Otro grafo de gran fama, el grafo de Petersen (Fig. 2.1) corresponde a K5,2.El grafo fue nombrado tras Julius Petersen, matematico danes que lo con-struyo alrededor de 1898, y su importancia radica en servir como contrae-jemplo para numerosas afirmaciones.

Figura 2.1: Grafo de Petersen (K5,2)

Es de interes, para permitir un mayor conocimiento sobre esta familia degrafos, mostrar algunos teoremas que senalan condiciones para que existanhomomorfismos entre ellos.

Teorema 2.2.2 Si v ≥ 2r y r ≥ 2, existe un homomorfismo de Kv,r →Kv−2,r−1.


Demostracion. Si v = 2r, entonces Kv,r es simplemente

2r − 1r − 1 copias de

K2, que admite un homomorfismo en cualquier grafo con una arista. Asumi-mos entonces v > 2r.

Considere la funcion ϕ : Kv,r → Kv−2,r−1 definida por:

ϕ(α) =

α− max(A) si |α ∩ v, v − 1| ≤ 1

(α− v, v + 1) ∪ max(αc) si v, v − 1 ⊆ α

donde αc es el complemento de α. Mostraremos que la funcion ϕ definidaes un homomorfismo. Sea α = α1, α2, . . . , αr y β = β1, β2, . . . , βr, ysuponga que α∩β = ∅ y sin perdida de generalidad asuma αi < αj y βi < βj

si i < j, y αr 6= v. Consideramos los distintos casos posibles:

Si v /∈ β o v − 1 /∈ β, entonces

ϕ(α) ∩ ϕ(β) = α1, α2, . . . , αr−1 ∩ β1, β2, . . . , βr−1 = ∅.

Si βr = v, βr−1 = v−1, . . . , βr−i+1 = v−i+1 pero βr−i 6= v−i, tenemosdos subcasos:

• Si v − i ∈ α, entonces αr = v − i, ya que siendo disyuntos α y β,ninguno de los elementos v, v − 1, . . . , v − i + 1 puede pertenecera α. Ası,

ϕ(α) ∩ ϕ(β) = α1, α2, . . . , αr−1 ∩ β1, . . . , βr−i−1, v − i,

v − i+ 1, . . . , v − 2 = ∅.

• Si v − i /∈ α, entonces

ϕ(α) ∩ ϕ(β) = α1, α2, . . . , αr−1 ∩ β1, . . . , βr−i−1, v − i,

v − i+ 1, . . . , v − 2 = ∅.

Ası, ϕ es un homomorfismo.

Lema 2.2.3 Sea G un grafo, y sean v,v’,r,r’ enteros positivos tales que v ≥2r y v′ ≥ 2r′. Si existe homomorfismo de G en Kv,r y de G en Kv′,r′, entoncesexiste homomorfismo de G en Kv+v′,r+r′.

2.2. GRAFOS DE KNESER 8

Demostracion. Sean ϕ1 : G → Kv,r y ϕ2 : G → Kv′,r′ homomorfismos.Defina ϕ : G→ Kv+v′,k+k′ por ϕ(u) = ϕ1(u)∪i+s : i ∈ ϕ2(u). Claramenteϕ es un homomorfismo.

El concepto de coloracion propia puede generalizarse para definir otras col-oraciones. Es posible, por ejemplo, no asignar solo uno sino varios colores acada vertice. Esta idea lleva a la siguiente definicion.

Definicion 2.2.4 Una r-tupla coloracion de un grafo G, es una funcion quea cada vertice de G le asigna un conjunto de r colores, de tal manera quedos vertices adyacentes no tienen ningun color en comun.

De manera semejante a lo que ocurrıa en el caso de las coloraciones usuales,existe una caracterizacion de una r-tupla coloracion en terminos de homo-morfismos. En este caso, el papel central lo jugaran los grafos de Kneser.

Lema 2.2.5 Un grafo G tiene una r-tupla coloracion con v colores si y solosi existe un homorfismo de G en Kv,r.

Demostracion. Basta con notar que al identificar cada uno de los v colorescon los elementos de [v], las definiciones de la coloracion y de un homomor-fismo con un grafo de Kneser Kv,r coinciden.

Como se puede esperar, las 1-tupla coloraciones coinciden con las coloracionespropias definidas anteriormente. El numero cromatico de un grafo brinda in-formacion sobre la estructura del mismo y permite, entre otras cosas, tener uncriterio para desechar posibles homomorfismos entre grafos. Analogamente, elmınimo numero de colores con los que se puede hacer una r-tupla coloracion,generaliza esta idea y puede ampliar la informacion que se obtiene.

Definicion 2.2.6 Dado un numero natural r, el numero r-cromatico χr(G)de un grafo G es el mınimo v tal que exista un homomorfismo de G en Kv,r.

Observe por ejemplo que para un grafo G, χr(G) = r si y solo si G no tienearistas, y que χr(G) = 2r si y solo si es bipartito con al menos una arista.Los resultados desarrollados sobre homomorfismos entre grafos de Kneser sepueden aplicar al numero r-cromatico de la siguiente manera:


Lema 2.2.7 Sea G un grafo y r1 y r2 enteros positivos. Entonces

1. χr1+1(G) ≥ χr1(G) + 2

2. χr1+r2(G) ≤ χr1

(G) + χr2(G)

Demostracion.

1. Sea v = χr1+1(G). Entonces existe homomorfismo de G en Kv,r1+1, peropor el Teorema 2.2.2, esto implica que existe homomorfismo de G enKv−2,r1

. Luego v − 2 ≥ χr1(G).

2. Sean v1 = χr1(G), v2 = χr2

(G), entonces existe homomorfismo de G enKv1,r1

y en Kv2,r2, luego por el lemma 2.2.3, existe uno en Kv1+v2,r1+r2

,y por lo tanto v1 + v2 ≥ χr1+r2

.

Capıtulo 3

Conjetura de Kneser

En 1955, Kneser formulo una conjetura de tipo combinatorio, sobre la que

se centra este capıtulo. Esta se puede escribir de la siguiente manera: ”Sean ny k enteros positivos. Si se parten los n-subconjuntos de un conjunto de 2n+k

elementos en k+1 clases, una de las clases contendra dos n-subconjuntos disyun-

tos”. Laszlo Lovasz, alrededor de dos decadas despues, construyo con este enun-

ciado una familia de grafos que le permitio trasladar el problema combinatorio

a un problema de coloracion en estos grafos, para despues mostrar una relacion

entre este problema y propiedades topologicas de un cierto complejo simplicial

construido a partir del grafo, completando ası una sorprendente demostracion

que enriquecerıa enormemente tanto la teorıa de grafos como la combinatoria,

y establecerıa puentes entre estas dos ramas y la topologıa algebraica que han

rendido numerosos frutos en el tiempo.

La familia de grafos que sirvio a tal fin fue bautizada por la conjetura que les dio

vida como grafos de Kneser, y la conjetura puede reescribirse en terminos de es-

tos como χ(K2n+k,n) = k+2. Este capıtulo presenta primero algunos conceptos

basicos de topologıa algebraica, necesarios para explicar claramente la prueba de

Lovasz que se expone a continuacion. Posteriormente, una prueba exclusivamente

combinatoria de la conjetura, que aparecio publicada en 2004, se expondra, para

cerrar con algunas aplicaciones adicionales que se desprenden de los desarrollos

hechos por Lovasz en su prueba.

10

CAPITULO 3. CONJETURA DE KNESER 11

3.1. Conceptos previos en Topologıa Algebraica

Comenzaremos presentando algunos de los conceptos necesarios para de-sarrollar adecuadamente la prueba de Lovasz. Algunas nociones basicas detopologıa, como el concepto de conjunto abierto, funcion continua y espaciotopologico no seran presentadas. Para una exposicion de estos temas puedeconsultarse [9] y [10].

Definicion 3.1.1 Dado un conjunto a0, . . . , an de puntos en Rn, decimos

que es geometricamente independiente si las ecuaciones con coeficientes realesti, 0 ≤ i ≤ n,

n∑

i=0

ti = 0 yn

∑

i=0

tiai = 0

implican t0 = t1 = . . . = tn = 0.

La independencia geometrica captura la idea de una conjunto de puntos talesque ninguno de ellos se encuentra en el espacio afın generado por los otros,siendo ası el analogo de la independencia lineal para el caso de espaciosafines.

Definicion 3.1.2 Sea a0, . . . , an un conjunto geometricamente independi-ente en R

n. Se define el n-simplejo σ generado por a0, . . . , an como el con-junto de todos los puntos x de R

n que pueden obtenerse a partir de unacombinacion convexa de los puntos a0, . . . , an, es decir

x =n

∑

i=0

tiai donden

∑

i=0

ti = 1.

dado que los ai son geometricamente independientes, se puede mostrar quelos ti estan unıvocamente determinados por x. Los puntos a0, . . . , an quegeneran a σ se llaman vertices de σ. El numero n es la dimension de σ.Cualquier simplejo generado por un subconjunto de a0, . . . , an es una caradel simplejo. La union de las caras de σ diferentes de σ mismo se denominala frontera de σ, la cual se denota por Bd (σ). El interior de σ correspondea Int (σ) = σ − Bd (σ).

En ocasiones tenemos grupos de simplejos agrupados de manera que solo

3.1. CONCEPTOS PREVIOS EN TOPOLOGIA ALGEBRAICA 12

comparten caras entre ellos. Estos grupos son de gran interes en general, ymas especıficamente en la demostracion de la conjetura de Kneser.

Definicion 3.1.3 Un complejo simplicial K en Rn es una coleccion de sim-

plejos en Rn tales que:

1. Cada cara de un simplejo en K es un simplejo en K

2. La interseccion de cualesquiera dos simplejos de K es una cara de cadauno de ellos.

Se define la dimension de un complejo simplicial como la mayor de las di-mensiones de los simplejos que contiene, si este conjunto tiene un maximo.En caso contrario se dice que el complejo tiene dimension infinita. En generalnos limitaremos a considerar complejos simpliciales finitos.

Definicion 3.1.4 Si L es una subcoleccion de K que es en sı mismo uncomplejo simplicial, se denomina subcomplejo simplicial de K. El subcom-plejo simplicial compuesto por todos los simplejos de hasta dimension p sedenomina p-esqueleto de K (K≤p).

Definicion 3.1.5 Sea K un complejo simplicial, con conjunto de vertices V .Sea K la coleccion de todos los subconjuntos a0, . . . , an de V tales que losvertices a0, . . . , an generan un simplejo de K. La coleccion K se denomina elesquema de vertices de K.

Definicion 3.1.6 Una funcion de un complejo simplicial K en otro complejoN se denomina simplicial si la imagen de un conjunto de vertices a0, . . . , angenera un simplejo siempre que a0, . . . , an generan un simplejo. Dos com-plejos simpliciales se denominan isomorfos si existe una biyeccion simplicialcontinua entre los vertices de ambos.

Dos complejos simpliciales isomorfos son esencialmente los mismos: uno esuna copia rotada, trasladada, escalada o sumergida en un espacio de masdimensiones del otro. En realidad, las propiedades del complejo simplicialdependen fundamentalmente de su estructura, es decir de los simplejos quelo componen y las uniones entre ellos. Resulta entonces conveniente definirun objeto que realice esta abstraccion

Definicion 3.1.7 Un complejo simplicial abstracto es una coleccion K de


conjuntos no vacıos, tales que si A es un elemento de K, tambien lo es cadasubconjunto no vacıo de A. Cada elemento de K es llamado simplejo. Launion de todos los elementos de K se denomina el conjunto de vertices de K.

El resultado que justifica el uso que deseamos darle a los complejos simpli-ciales abstractos se presenta sin demostracion a continuacion.

Lema 3.1.8 Cada complejo simplicial abstracto N es isomorfo al esquemade vertices de algun complejo simplicial N . Se denomina a N realizacion

geometrica o simplemente realizacion de N , y es unica modulo isomor-fismo.

Puesto que las propiedades topologicas de los complejos simpliciales seran degran importancia, es necesario enunciar la topologıa asociada a cada comple-jo simplicial. Si N es un complejo simplicial, un conjunto A es abierto en N sisu interseccion con cada uno de los simplejos de K es abierta. A continuacionse introduce otro concepto de gran importancia, una relacion de equivalenciaentre funciones que sera de gran utilidad para nuestro desarrollo.

Definicion 3.1.9 Si X y Y son espacios topologicos, dos funciones contin-uas f, g : X → Y se dicen homotopicas (y se dentota f ' g) si existe unafuncion continua F : X× [0, 1] → Y , tal que F (x, 0) = f(x) y F (x, 1) = g(x)para todo x ∈ X. La funcion F es una homotopıa.

La definicion permite imaginar que una homotopıa es una metamorfosis con-tinua que se va dando en el tiempo, de la funcion f en la funcion g.

Definicion 3.1.10 Dos espacios X y Y se dicen homotopicamente equiva-lentes, o que tienen el mismo tipo de homotopıa si existen funciones

f : X → Y y g : Y → X

tales que g f ' iX y f g ' iY .

Un espacio X es contraible si es homotopicamente equivalente a un punto (ode manera equivalente si iX es homotopica a una funcion constante).

Sea Bn la bola unitaria de dimension n (Bn = x : x ∈ Rn, ‖x‖ ≤ 1), y

Sn−1 la esfera unitaria de dimension n-1, (Sn−1 = x : x ∈ Rn, ‖x‖ = 1),

donde ‖x‖ denota la norma euclidiana de x.

3.1. CONCEPTOS PREVIOS EN TOPOLOGIA ALGEBRAICA 14

Un espacio topologico T se denomina n-conexo, si cada funcion continuaf : Sr → T , puede extenderse continuamente a una funcion f : Br+1 → Tr = 0, 1, . . . , n (De manera equivalente si toda f : Sr → T es homotopica auna funcion constante).

La topologıa algebraica gira alrededor de los grupos de homotopıa y de ho-mologıa de un espacio. Apenas algunos enunciados y definiciones relacionadoscon estos dos conceptos seran presentados en este trabajo, con el fin de noalargar excesivamente la exposicion. Para un tratamiento mas completo delas nociones basicas relacionadas con los mismos, se recomienda la exposi-cion que se presenta en [10]. Es de importancia senalar por el momento que laconexidad de un espacio es el maximo k para el que los grupos de homotopıaanteriores o iguales a el son todos nulos. Para un espacio simplemente conexo,el primer grupo de homologıa y de homotopıa no nulos ocurren en la mis-ma dimension. Presentaremos otros enunciados de utilidad sobre propiedadestopologicas de los complejos simpliciales.

Lema 3.1.11 Todo simplejo es infinitamente conexo.

Demostracion. Sea A un simplejo. Puesto que todo simplejo es contraible,toda funcion continua de una esfera Sr en A es homotopicamente equivalentea una funcion constante para todo r ≥ 0.

Lema 3.1.12 Sea K un complejo simplicial y X un espacio topologico. En-tonces f : K → X es continua si y solo si f

∣

∣

σes continua para cada σ ∈ K.

Demostracion. Si f es continua, ası mismo lo es f∣

∣

σ, dado que es un

subespacio de K. Por otra parte, suponga que cada f∣

∣

σes continua. Si C es

un conjunto cerrado de X, entonces f−1(C)∩σ = (f∣

∣

σ)−1(C), que es cerrado

en σ por continuidad de f∣

∣

σ. Luego f−1(C) es cerrado en su interseccion con

cada σ de K y por lo tanto es cerrado en K.

Lema 3.1.13 Sean K,N complejos simpliciales. Si f : K → N es simplicial,entonces existe f : K → N funcion continua que extiende a f .


Demostracion. Sea A = v0, v1, . . . , vn un simplejo en K. Cada x ∈ A

puede escribirse, por definicion, de la forma x =n∑

i=0

tivi, donde cada vi es un

vertice de K.

Sea f definida por f(x) =n∑

i=0

tif(vi). Puesto que f(v1), . . . , f(vn) son vertices

de un simplejo (aunque no necesariamente distintos), f(x) pertenece a lacombinacion convexa de f(v1), . . . , f(vn). Luego f envıa continuamente A en

˜f(A), y por el lema 3.1.12, f es funcion continua de K en N .

Lema 3.1.14 Sea K un complejo simplicial. Si el m-esqueleto dimensionalde K (K≤m) es contraible a un punto, entonces K es m-conexo.

Demostracion. Si K≤m es contraible a un punto, los grupos de homologıade K hasta el m-esimo grupo son todos nulos, y por lo tanto K es m-conexo.

Lema 3.1.15 Sean K y L complejos simpliciales. Sean f, h : K → L talesque, para todo x ∈ K, existe un simplejo τ de L tal que h(x) ∈ Int τ yf(x) ∈ τ . Entonces f es homotopico a h.

Demostracion. Sea x ∈ K. Puesto que tanto f(x) como h(x) estan en unmismo simplejo de L, la funcion dada por

F (x, t) = (1 − t)f(x) + t · h(x)

que claramente envıa a K×[0, 1] en L, es composicion de funciones continuas,y por lo tanto es continua en el espacio euclidiano que contiene a L. Ası, Fes continua en L.

3.2. Prueba de Lovasz

Un primer paso para mostrar la validez de la conjetura en su version rela-cionada con grafos es hallar una cota superior para el numero cromatico de losgrafos de Kneser. Esta puede ser hallada con facilidad mediante una repeti-da aplicacion del teorema 2.2.2. En efecto, este teorema senala que existe un

3.2. PRUEBA DE LOVASZ 16

homomorfismo de K2n+k,n en Kk+2,1, y por lo tanto χ(K2n+k,n) ≤ k + 2.

Un ejemplo explıcito de una coloracion con k+2 colores (que por convenien-cia los tomaremos como [k+2]) de K2n+k,n es el siguiente: asigne como colora cada A ∈ [2n+ k]n el color de su menor elemento si este es menor o igual ak+ 1, y k+ 2 en caso que el menor elemento sea mayor a k+ 1. Puede versefacilmente que esta es una buena coloracion del grafo en cuestion. Puestoque una cota superior ya fue mostrada, los teoremas que se mostraran solose refieren a la otra direccion de la desigualdad.

La prueba de Lovasz de la conjetura de Kneser se estructura en dos teoremasprincipales. En el primero, se prueba cierta propiedad general que relacionala conexidad en el poliedro del complejo simplicial de vecindades de un grafoy la incapacidad de colorear el grafo con un numero determinado de colores.La segunda, muestra que este teorema se puede aplicar a los grafos de Kneserpara concluir su numero cromatico. Para la primera parte, se necesitara uti-lizar el teorema de Borsuk, cuyo enunciado se reproduce a continuacion.

Teorema 3.2.1 (Teorema de Borsuk) Si Sk = F1 ∪ . . . ∪ Fk+1, dondeF1, . . . , Fk+1 subconjuntos cerrados de Sk, entonces uno de los Fi contienedos puntos antipodales.

Demostracion. La prueba se presentara en el apendice A

Sea G un grafo. Defina el complejo de vecindad N (G) como el complejosimplicial cuyos vertices son los vertices de G, y cuyos simplejos son aquellossubconjuntos de V (G) que tienen un vecino comun. Para ejemplificar estadefinicion considere el grafo C, la casa esquematizada en la figura 3.1. Enesta misma figura se presenta los simplejos formados por los vecinos de cadauno de los vertices, y el complejo simplicial formado por los mismos. Note queen este caso, N (C) es 0-conexo, y el grafo C no es 2-coloreable. El siguienteteorema, que relaciona la k-conexidad del complejo de vecindades de un grafocon el numero cromatico del mismo, mostrara la generalizacion de este hecho.

Teorema 3.2.2 Si N (G) es (k-2)-conexo, entonces G no es k-coloreable

Demostracion. Sea N1(G) la division baricentrica de N (G), es decir, elcomplejo simplicial cuyos vertices son aquellos conjuntos X ⊂ V (G) que


Figura 3.1: Arriba: Grafo C. Centro: Simplejos inducidos por los vecinos decada vertice del grafo C. Abajo: Complejo Simplicial N (C)

tienen un vecino comun, y algunos de ellos generan un simplejo si y solo siforman una cadena con respecto a la inclusion. Se tiene ademas que N1(G)y N (G) son homeomorfos.

Sea X ∈ V (N1(G)), y denote por v(X) el conjunto de vertices comunes deX. Como v(X) tiene al menos un vertice comun (a saber un elemento de X),v es una funcion de N1(G) en sı mismo. Ademas, por la definicion, tenemos,

X ⊆ Y ⇒ v(X) ⊇ v(Y ), (3.1)

implicando que en esta funcion la imagen de los vertices de un simplejocorresponde a los vertices de otro simplejo, es decir, es una funcion simplicial.

Extendamos (por el lema 3.1.13) la funcion v simplicialmente a una funcion


continua de N1(G) en sı misma, y llamaremos a esta extension v.

De la definicion de v, se tiene que X ⊂ v2(X) para todo conjunto de verticesX. En particular, v(X) ⊂ v2(v(X)) = v3(X). Pero, por (3.1), X ⊂ v2(X) ⇒v(X) ⊃ v3(X), luego:

v = v3 y v3 = v, (3.2)

donde la segunda igualdad es consecuencia de que v es extension continua dev.

Definamos funciones continuas

ϕr : Sr → N1(G) (r = 0, 1, . . . , k − 1),

por induccion en r de tal forma que

∀x ∈ Sr, ϕr(−x) = v(ϕr(x)), (3.3)

donde −x es el punto antipodal a x.

Sea r = 0 y sea w ∈ N1(G) un punto arbitrario. Defina ϕ0(1) = v(w),ϕ0(−1) = v2(w). La identidad (3.2) implica que esta funcion de S0 en N1(G)cumple la propiedad deseada.

Ahora suponga que 1 ≤ r ≤ k − 1, y suponga que ϕr−1 : Sr−1 → N1(G)ha sido definida de manera que se cumple la propiedad (3.3). Sean S+ yS− los hemisferios superior e inferior de Sr respectivamente, de manera queS+∩S− = Sr−1. Ahora, dado que N1(G) es (k-2)-conexa, es posible extendercontinuamente la funcion ϕr−1 para obtener una funcion continua ψ : S+ →N1(G). Defina ahora:

ϕr(x) =

v2(ψ(x)) si x ∈ S+

v(ψ(−x)) si x ∈ S−(3.4)

Sea x ∈ S+ ∩ S− = Sr−1. Entonces, ψ(x) = ϕr−1 y,

ϕr(x) = v2(ψ(x)) = v2(ϕr−1(x)) = v(ϕr−1(−x)) = ϕr−1(x),

dado que la propiedad (3.3) se cumple en ϕr−1 por hipotesis de induccion. Demanera que no hay ambiguedad en la definicion de ϕr y, mas aun, coincide


con ϕr−1 en S+ ∩ S−. Ası (3.4) define una funcion continua de Sr en N1(G).

Sea x ∈ Sr. Si x ∈ S+, entonces

ϕr(−x) = v(ψ(x)) = v3(ψ(x)) = v(ϕr(x)),

por otra parte, si x ∈ S−, entonces

ϕr(−x) = v2(ψ(−x)) = v(ϕr(x)),

luego ϕr cumple la propiedad (3.3), y la definicion queda completa.

Suponga ahora por contradiccion que G admite una k-coloracion. Sea Ni

(i = 1, . . . , k)el subcomplejo de N (G) formado por aquellos simplejos cuyosvertices tienen en comun un vecino de color i. Entonces,

N (G) = N1 ∪ . . . ∪ Nk.

Mas aun, probaremos la siguiente afirmacion: Ni ∩ v(Ni) = ∅

Suponga por contradiccion que x ∈ Ni y v(x) ∈ Ni. Puesto que x ∈ Ni,x pertenece al simplejo de N (G) generado por los vecinos de un verticew ∈ V (G) de color i. En la subdivision baricentrica, existe un unico simplejoque contiene a x en su interior. Sean X1, X2, . . . , Xm los subconjuntos deV (G) que forman este simplejo. Por lo tanto, X1, X2 . . . , Xm ⊆ v(w). SeanYi = v(Xi) para i = 1, . . . ,m, entonces w ∈ Y1, . . . , Ym, y v(x) esta contenidoen el interior de un simplejo de N1(G) generado por algunos de los Y1, . . . , Ym.Pero, dado que v(x) ∈ Ni, se sigue de manera semejante que existe un u ∈V (G) de color i, tal que para algun j, Yj ⊆ v(u). Luego w ∈ v(u), es decir, vy w son vecinos que tienen el mismo color, lo cual es una contradiccion. Porlo tanto, Ni ∩ v(Ni) = ∅.

Ahora, sea Fi = ϕ−1k−1(Ni). Puesto que cada uno de los Ni es cerrado y ϕ es

funcion continua, cada uno de los Fi es un subconjunto cerrado de Sk−1, yclaramente F1 ∪ F2, . . . , Fk = Sk−1. Ahora, suponga que algun Fi contienedos puntos antipodales, es decir suponga que x ∈ Fi y −x ∈ Fi. Entonces,

ϕk−1(x) ∈ Ni y ϕk−1(−x) = v(ϕk−1(x)) ∈ Ni,

lo cual es imposible. Luego ningun Fi tiene puntos antipodales, pero la exis-tencia de estos conjuntos contradice el teorema de Borsuk.


El siguiente enunciado permite utilizar el resultado anterior para mostrar laconjetura de Kneser.

Teorema 3.2.3 Sea S un conjunto finito y sean n, k numeros enteros posi-tivos. Considere el complejo simplicial K cuyos vertices son los n-subconjuntosde S y cuyos simplejos son conjuntos A0, . . . , Am, donde cada Ai es un n-subconjunto de S, para los cuales

∣

∣

∣

∣

∣

m⋃

i=0

Ai

∣

∣

∣

∣

∣

≤ n+ k.

Entonces K es (k-1)-conexo.

Demostracion. Sea A = A0, . . . , Am un simplejo en K. Sea

U(A) =m⋃

i=0

Ai.

Claramente |U(A)| ≤ n+ k. Llame M(A) al simplejo generado por todos losn-subconjuntos de U(A). Se dira que A es saturado si |U(A)| < n+ k.

La prueba procedera por induccion en |S|. Para |S| ≤ n+k, la afirmacion delteorema es clara, ya que, siendo K un simplejo, es r-conexo para cualquier r(Lema 3.1.11). Si |S| = n+ k + 1, entonces S esta compuesto por n+ k + 1simplejos de dimension n+k−1 (y sus respectivas caras), tales que cualquierpar de ellos tiene interseccion no vacıa de dimension n + k − 2. De maneraque es n+ k − 2 conexo, en particular es k − 1 conexo.

Suponga entonces que |S| > n + k + 1. Sea K′ el subcomplejo cerrado deK cuyos simplejos son los simplejos saturados de K, y sea K0 el esqueletok-dimensional de K.

Primero se mostrara que K0 puede deformarse en K′ en K. Definimos fun-ciones continuas ψ : K0 → K′ tales que

(∗)para cada simplejo A de K0, ψ(A) ⊂ M(A).


Esta condicion implica que ψ es homotopica en K a la inyeccion de K0 en K(Lema 3.1.15).

Definimos ψ(A) por induccion en la dimension de A. Si dim(A) = 0, entoncesA es automaticamente saturado y definimos ψ(A) = A.

Asuma ahora que dim(A) > 0 y que ψ esta definido en la frontera A de A talque la propiedad (*) se cumple. Considere el subcomplejo K′

A de K′ inducidopor los vertices de M(A), y sea r = dim (A). Por hipotesis de induccion enla construccion de ψ, ψ(A) ⊂ K′

A. Pero, por la hipotesis de induccion en |S|,

K′A es (r-1)-conexo de manera que puede extenderse ψ sobre el interior de A

de manera continua. Ası, ψ queda definida por induccion.

Ahora, sean u, v ∈ S y defina una funcion continua ϕuv : K′ → K′ de lasiguiente manera: Para cada n-subconjunto X ⊆ S, sea:

ϕuv(X) =

X − u ∪ v si u ∈ X ∧ v /∈ X

X de lo contrario.

Entonces ϕuv es simplicial, es decir, si A = A0, . . . , Am es un simplejoen K′ entonces tambien lo es ϕuv(A) = ϕ(A0), . . . , ϕ(Am). De hecho, siu /∈ A0 ∪ . . . ∪ Am o si v ∈ A0 ∪ . . . ∪ Am, entonces U(ϕuv) ⊆ U(A); siu ∈ A0∪. . .∪Am y v /∈ A0∪. . .∪Am, entonces U(ϕuv(A)) = U(A)−u∪v.En ambos casos,

|U(ϕuv(A))| ≤ |U(A)| < n+ k.

Ası, ϕuv puede considerarse como una funcion continua de K′ en sı mismo.Puede observarse de igual forma que

(**) ϕuv(A) ∪ A esta contenido en el simplejo de Kgenerado por los n-subconjuntos de U(A) ∪ v.

Ası ϕuv es homotopico en K a la inyeccion de K ′ en K (Lema 3.1.15). Con-sidere ahora la siguiente funcion

ϕu2u1ϕu3u2

ϕu3u1· · ·ϕup−1up−2

ϕup−1up−3· · ·ϕup−1u1

ϕupup−1. . .ϕupu1

,

3.3. PRUEBA DE BARANY 22

envıa cada n-subconjunto de S en u1, . . . , un. Dado que es composicionde funciones homotopicas a la inyeccion de K′ en K, ella es homotopica atal inyeccion, y por lo tanto K′ puede ser contraıdo en K a un solo punto.Como se tiene que K0 puede ser deformado en K′, se sigue que K0 puede sercontraıdo en K a un solo punto. Pero por el lema 3.1.14 y la definicion deconexidad, se concluye que K es (k-1)-conexo.

Teorema 3.2.4 χ(K2n+k,n) = k + 2.

Demostracion. Considere el caso en que |S| = 2n+k. El complejo simplicialK, definido como en el enunciado del teorema 3.2.3, son los conjuntos de n-conjuntos que unidos tengan a lo sumo n+k elementos. Todos ellos tienen, enel grafo de kneser al menos un vecino comun (construido con los al menos nelementos no utilizados). Por lo tanto, K resulta ser el complejo de vecindadesde K2n+k,n, y ası, los teoremas 3.2.2 y 3.2.3 juntos implican el teorema 3.2.4.

3.3. Prueba de Barany

Imre Barany, apenas unos meses despues de la aparicion de la prueba deLovasz, presento otra prueba mas corta que seguıa la misma idea de trasladarel problema a un problema topologico, para luego utilizar los teoremas deBorsuk (en una formulacion diferente) y Gale. Los enunciados de los mismosse reproducen a continuacion.

Teorema 3.3.1 (Teorema de Borsuk)’ Si Sn = A1 ∪ . . . ∪ An+1, dondeA1, . . . , An+1 son subconjuntos abiertos de Sn, entonces uno de los Ai con-tiene dos puntos antipodales.

Teorema 3.3.2 (Teorema de Gale) Sean v, r ∈ N. Si v ≥ 2r, existe unconjunto Ω de v puntos en Sv−2r tal que cada semi espacio abierto H(a)contiene al menos r puntos de Ω.

Las demostraciones de estos teoremas, y de la equivalencia entre los dosenunciados de Borsuk, se pueden encontrar en el apendice. Se presentara laprueba de Barany de la conjetura de Kneser a continuacion.


Demostracion. Considere el grafo de Kneser K2n+k,n. Sea Ω ⊂ Sk comoen el enunciado del teorema de Gale, e identifique los elementos de [2n + k]con los puntos de Ω, de manera que el grafo de Kneser puede verse formadopor n subconjuntos de Ω. Se procedera por contradiccion, y considere unacoloracion propia del grafo con k + 1 colores. Sean A1, A2, . . . , Ak+1 subcon-juntos de Sk formados de la siguiente manera: x ∈ Ai si y solo si existe unan-tupla de Ω∩H(x) que tiene color i. Note que dado que en cada uno de losconjuntos Ω ∩H(x) hay al menos n puntos, cada x ∈ Sk pertenece a algunode los Ai, y por lo tanto A1, . . . , Ak+1 es una cobertura abierta de Sk. Peropor el teorema de Borsuk, existe x tal que x,−x ∈ Ai. Entonces existe unan-tupla en Ω∩H(x) y otra en Ω∩H(−x) con el mismo color, que claramenteson disyuntas. Ası, tenemos una contradiccion con la existencia de una buenacoloracion con k + 1 colores.

3.4. Prueba combinatoria

La prueba presentada por Jirı Matousek, se inspira en la posibilidad dedemostrar la conjetura usando el lema de Tucker sobre etiquetas de verticesde ciertas triangulaciones, reformulando una de las demostraciones de estelema para evitar toda mencion a aspectos no combinatorios. Esta prueba esde gran interes al mostrar que es posible obtener el resultado combinatoriocon tecnicas exclusivamente combinatorias, siendo la primera prueba de esteestilo. Los especıfica de la construccion contrasta con lo general que es laprimera prueba dada por Lovasz.

Demostracion. Llamaremos un par ordenado disyunto a una pareja orde-nada (A,B), con A,B ⊆ [2n+k] y A∩B = ∅. Supongamos por contradiccionque c es una coloracion propia de un grafo de Kneser K2n+k,n con k + 1 col-ores, que por conveniencia asumiremos son los enteros 2n, 2n+1, . . . , 2n+k.

Sea un orden lineal de los subconjuntos de [2n + k], tal que si |A| < |B|entonces A ≺ B.

Para cada par ordenado disyunto (A,B) se define una etiqueta λ(A,B). Doscasos principales se distinguen:

Caso I: Si |A| + |B| ≤ 2n− 2

3.4. PRUEBA COMBINATORIA 24

λ(A,B) =

|A| + |B| + 1 si A B

−(|A| + |B| + 1) si A ≺ B.

Caso II: Si |A| + |B| ≥ 2n− 1

λ(A,B) =

c(A) si A B

−c(B) si B A,

donde c(A) es el color de los primeros n elementos de A y c(B) es, de manerasemejante, el color de los primeros n elementos de B. Para ver que la defini-cion de λ es una buena definicion, basta observar que A = B ⇔ A = B = ∅,y que si |A|+ |B| ≥ 2n− 1, entonces A B ⇒ |A| ≥ n y B A⇒ |B| ≥ n.

Una secuencia con signo es una secuencia que puede ser vacıa o de la forma(s1, s2, . . . , sm), donde ∀i ∈ [m], si ∈ ±1,±2, . . . ,±(2n + k), 0 < m ≤2n+ k, y |si| 6= |sj| para i 6= j.

Una secuencia con signo (s1, s2, . . . , sm) define una secuencia de m+1 parejasdisyuntas (A0, B0), (A1, B1), . . . , (Am, Bm), donde

Ai = sj : j ∈ [i], sj > 0, Bi = −sj : j ∈ [i], sj < 0.

La secuencia de etiquetas asociada a (s1, . . . , sm) es (λ0, λ1, . . . , λm) dondeλi = λ(Ai, Bi). Por definicion de λ, cada secuencia tendra en sus primeras en-tradas los numeros (1,±2,±3, . . .) hasta a lo sumo ±(2n− 1), y luego puedetener terminos ±i con 2n ≤ i ≤ 2n+ k.

Si c es una coloracion propia del grafo de Kneser, entonces la secuencia de eti-quetas de cualquier secuencia con signo debe ser tal que no contenga dos eti-quetas complementarias, es decir, ninguna secuencia de etiquetas puede teneri, j distintos para los que λi = −λj. Suponga lo contrario, y considere una se-cuencia con signo tal que su secuencia de etiquetas contenga λi = −λj, i < j.Observe que por definicion, se debe tener i, j ≥ 2n − 1. Si λi > 0, entoncesλi = −λj ⇒ c(Ai) = c(Bj). Si λi < 0, entonces λi = −λj ⇒ c(Bi) = c(Aj).En cualquiera de los dos casos se esta asignando un mismo color a dos nsubconjuntos de [2n+ k] disyuntos, lo cual es una contradiccion.

Mostraremos que existe una secuencia con signo cuya secuencia de etiquetas


asociada contiene etiquetas complementarias, procediendo por contradiccion.Llamaremos a una secuencia s = (s1, . . . , sm) una secuencia permitida, sisi ∈ λ0, λ1, . . . , λm, ∀i ∈ [m], donde (λ0, . . . , λm) es la secuencia de etique-tas asociada a s.

Asumiendo que ninguna secuencia de etiquetas contiene etiquetas comple-mentarias, definimos una o dos secuencias permitidas vecinas para cada se-cuencia permitida, de manera que la relacion ”x es vecino de y”sea simetrica.

El unico vecino de la secuencia vacıa es la secuencia permitida (+1).

Sea s = (s1, . . . , sm) una secuencia permitida no vacıa, y sea (λ0, λ1, . . . , λm)su secuencia de etiquetas (note que en cualquier caso λ0 = 1). Existen almenos m numeros distintos dentro de las m+ 1 etiquetas, mas precisamentes1, . . . , sm (en algun orden). Podemos diferenciar dos casos para definir losvecinos:

1. Existen dos etiquetas que coinciden: λi = λj para algunos i < j.

Primer vecino:

Se define como el resultado de la transposicion (i, i+1) de las posicionesi e i+1 de s, es decir el primer vecino es de la forma (s1, . . . , si−1, si+1,si, si+2, . . . , sm). Esta transposicion conserva todos los terminos de lasecuencia de etiquetas, salvo quizas λi, y por lo tanto es secuenciapermitida.

Segundo vecino:

a) Si j 6= m, se define como el resultado de la transposicion (j, j+1).

b) Si j = m, el segundo vecino de s se definira como la secuenciacontraıda (s1, . . . , sm−1). Claramente esta ultima secuencia tam-bien es permitida, dado que la secuencia de etiqueta solo difiereen que posee un termino menos, termino que estaba repetido.

2. Todas las etiquetas son distintas: λi /∈ s1, . . . , sm para algun i.

Primer vecino:

El primer vecino de s se define como la secuencia que resulta de agregar-le a la sucesion s la etiqueta sobrante: (s1, . . . , sm, λi). Esta secuencia

3.4. PRUEBA COMBINATORIA 26

es con signo, dado que no existen dos etiquetas complementarias, y porlo tanto |λi| /∈ |s1|, . . . , |sm|. Ademas es permitida por construccion.

Segundo vecino:

a) Si 0 < i < m, el segundo vecino se define por transposicion (i, i+1).

b) Si i = m, se obtiene por contraccion (s1, . . . , sm−1).

c) Si i = 0, el segundo vecino se define por cambio de signo: (−s1,−s2,. . . ,−sm). Esta secuencia es permitida pues la secuencia de etique-tas complementarias tendra la forma: (λ0 = 1,−λ1, . . . ,−λm), ypor lo tanto tambien cambian de signo todas las etiquetas usadas.

Claramente ası definida, la relacion es vecino de hace que cada secuencia per-mitida tenga dos vecinos, salvo la vacıa que solo tiene uno. Debemos mostrarque esta relacion es, ademas, simetrica.

Suponga que se tiene una secuencia s = (s1, . . . , sm), con secuencia de eti-quetas asociada (λ0, . . . , λm):

1. Si s′ = (s1, . . . , si−1, si+1, si, . . . , sm) es vecino de s, entonces su secuen-cia de etiquetas asociada es (λ0, . . . , λi−1, λ

∗, λi+1, . . . , λm), donde λ∗

puede ser distinta a las demas etiquetas o coincidir con alguna. Encualquiera de los dos casos, tendra como vecino a la secuencia que re-sulta de transponer (i, i+ 1), es decir a s.

2. Si s′ = (s1, . . . , sm−1) es vecino de s, entonces λm es una etiqueta queo bien es distinta a todos los si, o es igual a otra etiqueta. Ası, lasecuencia de etiquetas asociada a s′ es (λ0, . . . , λm−1), que tiene unaetiqueta λi∗ distinta a las demas (a saber la que era igual a sm), y porlo tanto uno de sus vecinos es (si, . . . , sm−1, λi∗) = (s1, . . . , sm).

3. Si s′ = (s1, . . . , sm, λi) es vecino de s, entonces la secuencia de etiquetasasociada (λ0, . . . , λm, λ

∗), donde λ∗ puede ser igual a alguna de las otrasetiquetas o distinta a todas ellas. En cualquier caso, tiene como vecinoa la secuencia sin su ultimo elemento es decir a s.

4. Si s′ = (−s1, . . . ,−sm) es vecino de s, entonces λ0 = 1 /∈ |s1|, . . . , |sm|,y por lo tanto λ0 = 1 /∈ ±λ1, . . . ,±λm, y dado que la secuencia de


etiquetas de s′ es (λ0 = 1,−λ1, . . . ,−λm), esto implica que s′ tienevecino s.

De esta forma, la relacion tiene vecino es simetrica y esta definida de maneraque cada secuencia permitida tiene dos vecinos, salvo la secuencia vacıa, peroal ser el conjunto de secuencias permitidas finito, esto es una contradiccion,pues suponga que existe una funcion semejante definida sobre un conjuntode r elementos. Al restringir la relacion al conjunto de r − 1 elementos queresulta de no tener en cuenta el elemento que solo tiene un vecino, se tieneque nuevamente en este conjunto todos los elementos tendrıan dos vecinos,salvo por uno (el que tenıa como vecino al eliminado). Puesto que para elcaso r = 2, esta situacion es imposible, se tiene la contradiccion.

Ası, existe una secuencia con signo cuya secuencia de etiquetas correspon-diente contiene una etiqueta y su complemento, pero esto contradice que ces una buena coloracion del grafo de Kneser, y por lo tanto no hay ningunabuena coloracion de este grafo con k + 1 colores.

3.5. Aplicaciones de la prueba de Lovasz

La relacion encontrada por Lovasz entre problemas de tipo combinatorioy resultados topologicos ha sido bastante fructıfera. Alguna de las multi-ples aplicaciones generadas por este hecho, fue presentada por Stahl en [13].Se basa en una version homologica del teorema 3.2.2 que fue probada porJ.W. Walker y A.H. Wright de manera independiente. Este resultado puedereescribirse de la siguiente manera, donde los grupos de homologıa fueronreducidos con coeficientes en Z2:

Teorema 3.5.1 Si los grupos de homologıa H0(N(G)), . . . , Hk(N(G)) sontodos triviales, entonces el numero cromatico de un grafo es al menos k+3.

La ventaja que presenta esta version, es que para complejos simpliciales fini-tos existen algoritmos efectivos para calcular con facilidad los grupos dehomologıa, como el que se presenta en [10]. Por consiguiente, el maximo nat-ural k, para el que la condicion del teorema 3.5.1 tambien es efectivamentecomputable. Denotaremos a este numero por χλ.

3.5. APLICACIONES DE LA PRUEBA DE LOVASZ 28

Sean I1, . . . , Iq los conjuntos independientes deG, y sean v1, . . . , vp los verticesde G. Sea M = m(G) la matriz asociada de p×q, cuyas columnas correspon-den a los conjuntos independientes y las filas a los vertices de G, de talmanera que

M ji =

1 si vi ∈ Ij

0 en otro caso.

Sea χ = mınx · 1q : Mx ≥ 1p,x ∈ Zq+, donde 1s denota un vector de

unos de tamano s, Zq+ es el conjunto de los vectores de R

q con componentesenteras no negativas, y donde x ≥ y ⇔ xi ≥ yi para cada i. Probaremosahora que χ definido de esta manera es igual al numero cromatico de G

Lema 3.5.2 χ = χ(G)

Demostracion. Sea c una coloracion de G con χ(G) colores, y denote lasclases de color de c por C1, . . . , Cχ(G). Dado que cada clase color forma unindependiente, defina ri tal que Ci = Iri

para i = 1, . . . , χ(G). Considere x∗

el vector que en las componentes ri es uno, y cero en las demas. ClaramenteMx∗ = 1p puesto que cada vertice pertenece a una y solo una de las clasesde color. Ası, χ ≤ χ(G).

Suponga que χ < χ(G). Sea x′ tal que x′ · 1q < χ(G). Sea t el numerode entradas de x′ distintas de cero. Puesto que todas las entradas de x′

son enteros no negativos, t ≤ χ. Sean r1, . . . , rt los ındices de las entradaspositivas. Dado que Mx ≥ 1p, entonces cada vertice de G esta en alguno delos independientes Ir1

, . . . , Irt. Sea d una coloracion de G dada por d(v) =

mınri : v ∈ Iri. Claramente es una buena coloracion con t < χ(G) colores,

lo cual es una contradiccion.

El grafo G puede recuperarse a partir de su matriz asociada m(G), para locual se mostrara el siguiente resultado

Lema 3.5.3 Dos vertices son adyacentes en G, si y solo si sus filas corre-spondientes en m(G) son ortogonales.

Demostracion. Suponga que vi y vj son adyacentes en G. Entonces noexiste ningun independiente Ik que los contenga a ambos, luego m(G)k

i =


1 ⇒ m(G)kj = 0, y m(G)k

j = 1 ⇒ m(G)ki = 0, y entonces m(G)i ·m(G)j = 0.

Para probar el converso, suponga que vi y vj no son adyacentes. Sea Ik =vi, vj. Claramente Ik es un independiente al que pertenecen vi y vj. Peroentonces m(G)k

i = m(G)kj = 1, y dado que todas las entradas de cada fila

son no negativas, esto implica que m(G)i ·m(G)j > 0, luego las dos filas noson ortogonales.

El lema anterior nos da una idea de como es posible recuperar G a partirde m(G). Sea M una matriz de p× q cuyas entradas sean todas cero o uno.Definiremos un grafo G = g(M) como el grafo cuyos vertices son las filas deM , y tal que dos vertices forman una arista si y solo si son ortogonales.

Teorema 3.5.4 Sea M una matriz de p × q con entradas en el conjunto0, 1 y columnas distintas. Si G = g(M), entonces

mınx · 1q : Mx ≥ 1p,x ∈ Zq+ ≥ χλ(G) + 3.

Demostracion. Sea M ′ = m(G) una matriz de p × q′. Suponga que c =(c1, . . . , cp)

t es una columna de M con ci = 1 para i = i1, i2, . . . , ik, y ci = 0en caso contrario. Por la definicion de adyacencia de G, vi1 , vi2 . . . , vik es unconjunto independiente de vertices de G, y por lo tanto c es tambien unacolumna de M ′. Entonces, cada columna de M es tambien una columna deM ′

Reordene las columnas de M ′ de manera que las primeras q coincidan con M .Si x0 es un vector de R

q+ (el conjunto de los vectores de R

q con componentesno negativos) tal que x0 · 1

q = mınx · 1q : Mx ≥ 1p,x ∈ Zq+, sea x∗

0 el

vector de Rq′

+ obtenido al agregar q′−q entradas cero al final de x0. Entonces,la siguiente cadena de desigualdades se sigue:

mınx · 1q : Mx ≥ 1p,x ∈ Zq+ = x0 · 1

q = x∗0 · 1

q′

≥ mınx · 1q : M ′x ≥ 1p,x ∈ Zq′

+

= χ(G) ≥ χλ(G) + 3.

3.5. APLICACIONES DE LA PRUEBA DE LOVASZ 30

Si la matriz M tiene columnas repetidas, debe ser reemplazada por la matrizM obtenida de M , dejando tan solo una aparicion de cada columna. Si a xque satisface M x ≥ 1p, se le agregan componentes repetidas de la mismamanera en que las columnas de M estan repetidas, el vector x resultantesatisfara Mx = 1p. La forma de la funcion objetivo garantiza que el optimoobtenido en el problema sin columnas repetidas, tambien lo sera en el prob-lema con las columnas repetidas.

Dado un programa entero arbitrario de la forma mınx · c|Mx ≥ b, x ∈ Zm+

existen algunos procedimientos establecidos para convertirlo en uno en quetodas las entradas de M , b y c son 0 o 1. Esto puede hacerse con el costo deincrementar el numero de variables. Sin embargo existe otro procedimientoque puede determinar una cota, evitando el inconveniente de adicionar vari-ables, que trabaja con el numero r-cromatico. Si G es un grafo, tenemos porel lema 2.2.7 que χr(G) ≥ 2+χr−1(G), y por lo tanto χk(G) ≥ 2k−2+χ(G).Si se observa la demostracion del lema 3.5.2, se puede ver que esta se puedegeneralizar a la siguiente afirmacion con facilidad.

Lema 3.5.5 χr = mınx ·1q : Mx ≥ r,x ∈ Zp+, donde r es un vector cuyas

entradas son todas iguales a r.

Estas ideas permiten encontrar el siguiente resultado.

Teorema 3.5.6 Suponga b = (b1, b2, . . . , bp), r = mınb1, . . . , bp ≥ 1. SeaM una matriz con entradas en 0, 1 de p × q, que contenga al menos dosfilas ortogonales, y con distintas columnas. Entonces, si G = g(M),

mınx · 1q : Mx ≥ b,x ∈ Zp+ ≥ 2r + 1 + χλ(G).

Demostracion. Sea r el vector que tiene todas sus componentes iguales r.Entonces,

mınx · 1q : Mx ≥ b,x ∈ Zp+ ≥ mınx · 1q : Mx ≥ r,x ∈ Z

p+

= χr(G) ≥ 2r + 3 + χ(G)

≥ 2r − 2 + χλ(G) + 3.


De esta forma, los programas enteros de la forma senalada pueden encontraruna cota de una manera eficiente que depende unicamente de la matriz derestricciones y del mınimo del vector de restricciones.

Capıtulo 4

Polinomios Cromaticos

Definiremos como P (G, λ) a la funcion que a cada pareja de un grafo y

un numero de colores, asigna el numero de formas en que puede colorearse Gcon λ colores. Esta funcion, para un G fijo, es de hecho un polinomio y por

ello se denomina polinomio cromatico de G. Los polinomios cromaticos fueron

introducidos por G.D. Birkhoff en 1912, esperando que ayudaran a probar el

teorema de los cuatro colores. Aunque los polinomios no han cumplido con este

objetivo por el momento, un trabajo posterior de este mismo autor con D.C.

Lewis, publicado en 1946, sento las bases del analisis de este problema, y probo la

importancia de estos polinomios en sı. En este capıtulo se presentan las principales

propiedades que se tienen acerca de los polinomios cromaticos, en particular

teoremas que permiten calcular esta funcion para algunas familias, y el calculo

de los polinomios para una familia especıfica de grafos: los grafos circulares,

subgrafos de los grafos de Kneser.

4.1. Propiedades

La primera propiedad que debe ser probada acerca de los polinomioscromaticos es la que justifica su nombre, es decir, probar que de hecho sonpolinomios para un grafo fijo.

Teorema 4.1.1 Si G es un grafo con p vertices, entonces P (G, λ) es unpolinomio de grado p.

32

CAPITULO 4. POLINOMIOS CROMATICOS 33

Demostracion. Para cada k ∈ Z+, sea α(G, k) el numero de formas de

hacer particiones de G en exactamente k independientes no vacıos. Dadauna particion en k independientes, el numero de formas de asignar un colordistinto a cada uno de ellos de entre λ colores es

λ(λ− 1) . . . (λ− k + 1).

Puesto que cada una de estas es una coloracion distinta, y ademas cadacoloracion puede describirse en terminos de sus clases color, el numero deformas de colorear G con λ colores es

P (G, λ) =

p∑

k=1

λ(λ− 1) . . . (λ− k + 1)α(G, k)

que es claramente un polinomio de grado p.

Para algunos grafos el polinomio cromatico es facilmente calculable. Con-sidere por ejemplo un grafo vacıo con n vertices (Nn). Puesto que cada verticepuede recibir cualquiera de los λ colores (dado que no hay aristas), entoncesP (Nn, λ) = λn. Los grafos completos con n vertices (Kn) tambien tienenpolinomios cromaticos simples. Dado que una vez escogido un color para unode los vertices, este no puede usarse para ningun otro vertice, el polinomiocromatico de estos grafos es P (Kn) = λ(λ − 1) . . . (λ − n + 1). Con el finde permitir calcular el polinomio cromatico para otras familias de grafos,mostraremos algunos de los teoremas que reducen su calculo.

Lema 4.1.2 Sea H un grafo. Si G es un grafo compuesto por una copia deH y un vertice nuevo unido a todos los vertices de la copia de H, entonces:

P (G, λ) = λP (H,λ− 1)

Demostracion. Sea z el vertice nuevo, y escoja un color para este vertice,para lo cual se tienen λ posibilidades. Dado que este vertice esta unido atodos los vertices de H, estos deberan colorearse con λ − 1 colores, para locual hay P (H,λ− 1) posibilidades.

4.1. PROPIEDADES 34

Teorema 4.1.3 Sea un grafo G la union de dos subgrafos G1 y G2, tales quesu interseccion es un grafo completo de orden k, entonces

P (G, λ) =P (G1, λ) · P (G2, λ)

λ(λ− 1) . . . (λ− k + 1)

Demostracion. Note que cada coloracion de G puede obtenerse combinan-do una coloracion de G1 y una coloracion de G2 que preserve la coloraciondel completo de la interseccion. Puesto que los grafos completos son grafosunico λ-coloreables para cualquier λ, el numero de las coloraciones de G2 quepreserva una coloracion dada de la interseccion es

P (G2, λ)

λ(λ− 1) . . . (λ− k + 1),

de donde se sigue la afirmacion.

Teorema 4.1.4 (Formula de Eliminacion-Contraccion). Sea G un grafo y euna arista de G. Entonces

P (G, λ) = P (G− e, λ) − P (G/e, λ).

Demostracion. Las coloraciones de G− e pertenecen a una de dos clases:aquellas en las que los vertices de la arista e reciben el mismo color, y aquellasen las que estos reciben distintos colores. Las posibles coloraciones en la quelos vertices de e reciben el mismo color estan en biyeccion con las coloracionesde G/e, mientras que aquellas que tienen colores distintos estan en biyeccioncon las coloraciones de G, de donde se desprende la afirmacion.

Este ultimo resultado es de particular importancia pues no solo es unaecuacion de reduccion aplicable a todo grafo, sino que ademas, nos permitemostrar algunas otras caracterısticas que debe cumplir la funcion P (G, λ)aparte de ser un polinomio.

Teorema 4.1.5 Sea G un grafo con p vertices, q aristas y k componentes

conexas. Sea P (G, λ) =i=p∑

i=0

aiλi. Entonces:


1. aj es distinto de cero si y solo si k ≤ j ≤ p

2. ap = 1, y ap−1 = −q

3. aj tiene el signo de (−1)p−j

Demostracion. La prueba se hara por induccion en q, el numero de aris-tas. Si q = 0, el grafo es un grafo vacıo, y por lo tanto tiene p componentesconexas y su polinomio cromatico es λp, por lo que el teorema se sigue.

Sea q > 0, y suponga el teorema mostrado para todo grafo con menos deq aristas. Entonces, en particular, el teorema se aplica tanto a G − e, comoG/e. El numero de componentes conexas de G/e es igual al de G y el deG− e es a la sumo una mas que la de G, y el numero de vertices en G− e semantiene aunque en G/e se reduce en uno. Por lo tanto, aplicando el teoremade reduccion-contraccion y la hipotesis de induccion se tiene

P (G, λ) =

p∑

i=k

(−1)p−ib′iλi −

p−1∑

i=k

(−1)p−1−ib′′i λi

= 1 +

p−1∑

i=k

(−1)p−ib′iλi −

p−1∑

i=k

(−1)p−1−ib′′i λi

= 1 +

p−1∑

i=k

(−1)p−i(b′i + b′′i )λi

=

p∑

i=k

(−1)p−ibiλi,

donde b′′i > 0 ∀i ∈ k, . . . , p − 1, b′k > 0∀i ∈ k + 1, . . . , p y b′k ≥ 0, dedonde se sigue la afirmacion.

4.2. Polinomio cromatico de algunos grafos

Como fue mencionado, la formula de eliminacion-contraccion, y las otrasformulas de reduccion permiten calcular el polinomio cromatico de los grafos,

4.2. POLINOMIO CROMATICO DE ALGUNOS GRAFOS 36

al poderse usar como algoritmos de reduccion. En efecto, se puede procedera eliminar mediante este teorema todas las aristas de un grafo hasta obtenerexclusivamente grafos vacıos, o, usado en direccion inversa, a anadir tantasaristas como sea necesario para que resulte en grafos completos. Esta idea, us-ada en varios algoritmos programados para calcular polinomios cromaticos degrafos, es sin embargo poco eficiente para la mayorıa de las familias de grafos,aunque muy util para ciertas familias con una gran simetrıa. Algunas de lasfamilias en que podemos calcular con facilidad los polinomios cromaticos sonarboles y ciclos.

Lema 4.2.1 Si G en un arbol conexo con n vertices, entonces P (G, λ) =λ(λ− 1)n−1

Demostracion. La demostracion seguira por induccion. Para el caso n = 2,que es un grafo completo, el polinomio tiene forma P (G, λ) = λ(λ−1), comose desea. Suponga la afirmacion mostrada para todo arbol con menos de nvertices. Sea v la raız de G, y r el numero de aristas incidentes a v.

Si r = 1, sea G′ el subgrafo inducido por V (G) − v. Puesto que es un arbolcon n− 1 vertices, su polinomio cromatico es P (G′, λ) = λ(λ− 1)n−2. Luegoel polinomio de G, por el teorema de eliminacion-contraccion es: P (G, λ) =λλ(λ− 1)n−2 − λ(λ− 1)n−2 = λ(λ− 1)n−1.

Si r > 1, sean v1, v2, . . . , vr los vecinos de v, y sea G′ el subgrafo inducidopor v y los vertices del subarbol cuya raız es v1. Por el teorema 4.1.3 y lahipotesis de induccion, el polinomio cromatico de G es

P (G, λ) =λ(λ− 1)t−1 · λ(λ− 1)(n−t+1)−1

λ= λ(λ− 1)n−1,

donde t = |V (G′)|.

Un ciclo de orden n (Cn) es un grafo conexo en el que cada uno de sus verticestiene exactamente dos vecinos. El polinomio cromatico de esta familia degrafos tambien es facilmente calculable.

Lema 4.2.2 P (Cn, λ) = (λ− 1)n + (−1)n(λ− 1) para n ≥ 3

Demostracion. La prueba procedera por induccion sobre el orden del ciclo.Puesto que C3 = K3, P (C3, λ) = λ(λ− 1)(λ− 2), que es la formula deseada


para n = 3. Suponga la afirmacion cierta para todo ciclo de orden menor quen, y sea e una arista de Cn. Por el teorema de eliminacion-contraccion,

P (Cn, λ) = P (Cn − e, λ) − P (Cn/e, λ).

Pero al eliminar una arista se obtiene una lınea (arbol) con n vertices, mien-tras contraer una arista lleva a un ciclo de orden n− 1. Ası,

P (Cn, λ) = λ(λ− 1)n−1 − P (Cn−1, λ)

= λ(λ− 1)n−1 − (λ− 1)n−1 − (−1)n−1(λ− 1)

= (λ− 1)n + (−1)n(λ− 1)

Aparte de las familias aquı presentadas, se conoce el polinomio cromaticopara apenas unas cuantas familias mas, algunas de las cuales se han obtenidopor metodos algebraicos que relacionan el polinomio cromatico con los espa-cios propios de un cierto operador lineal. Este metodo ha sido principalmentetrabajado por Norman Biggs y Philipp Reinfeld en [4],[2],[3] y [12], con elgran inconveniente de ser muy especıfico, y de una alta complejidad.

4.3. Grafos circulares

Uno de los principales propositos que motivo el estudio realizado sobrepolinomios cromaticos era conseguir deducir el polinomio cromatico de losgrafos de Kneser. Hallar una expresion para este polinomio es de interes entreotras cosas porque brindarıa una demostracion combinatoria a la conjeturade Kneser1, puesto que el numero cromatico de un grafo es el mınimo enteropositivo que no es raız del polinomio. Pero a pesar de la enorme simetrıapresente en los grafos de Kneser, el problema presenta una gran dificultad.Para procurar un acercamiento a la solucion de este problema, se escogio tra-bajar con una familia de grafos que son subgrafos de los grafos de Knesery que ademas tienen una gran importancia en distintos campos: los grafoscirculares.

1Para el momento en que se inicio el estudio no habıa sido publicada la demostracion

combinatoria presentada en la seccion 3.4

4.3. GRAFOS CIRCULARES 38

Figura 4.1: Grafo C8,2 y su complemento, el grafo C8

Definicion 4.3.1 Sean n,k numeros naturales, con n > 2k. Se define el grafocircular Cn,k como el grafo cuyos vertices son los elementos de [n], y tal quedos vertices estan unidos si el valor absoluto de la resta de sus enteros aso-ciados modulo n es mayor o igual a k.

Puede deducirse con facilidad de la definicion que Cn,1 es el grafo completocon n vertices, y Cn,bn

2c es, para n par, un conjunto de n

2aristas no conexas, y

para n impar un ciclo de tamano n. Para estos casos, el polinomio cromaticoya ha sido presentado. En esta seccion se obtendra la expresion para los poli-nomios cromaticos de Cn,2 y Cn,3.

Los grafos Cn,2 se pueden obtener al eliminar las aristas del ciclo exteriorde un grafo completo con n aristas. La figura 4.1 muestra el grafo C8,2 ysu complemento, el grafo C8. La alta simetrıa de los Cn,2, y la simpleza desu grafo complementario seran los elementos que nos permitiran calcular supolinomio cromatico, que requerira de algunas definiciones y resultados pre-liminares. Llamaremos DL(n, k) al numero de formas de elegir k aristas enuna lınea con n aristas de tal manera que no haya dos adyacentes, y DC(n, k)al numero de formas de elegir k aristas, de nuevo sin que existan dos adya-centes, en un ciclo de n vertices.

Lema 4.3.2

DL(n, k) =

(

n− k + 1

k

)


Demostracion. Suponga por convencion que se tiene la lınea orientadahorizontalmente. Puede identificarse cada arista con su vertice izquierdo.Ası, seleccionar k aristas entre n que conforman una lınea es equivalente aseleccionar k vertices de entre n + 1 que no sean dos a dos consecutivos, deforma que el ultimo de ellos (el de mas a la derecha) no quede seleccionado.Pero el numero de formas de realizar esta eleccion es el mismo numero deformas de seleccionar k vertices de n− k + 1, dado que existe una biyeccionentre estos dos conjuntos: considere una lınea formada por n− k+ 1 verticesen el que se ha elegido k de ellos. Si se agrega un vertice mas a la derecha decada uno de los elegidos, se tiene entonces que se han elegido k vertices noconsecutivos de entre n+ 1 y que el ultimo de ellos no ha sido seleccionado.Claramente la funcion descrita es una biyeccion, lo que implica la afirmacion.

Lema 4.3.3

DC(n, k) =n

n− k

(

n− k

k

)

Demostracion. Sea e una arista fija. Las formas en que puede escogerse karistas en un ciclo con n de ellas pertenecen a una de dos clases: aquellas queincluyen a e y aquellas que no. Suponga que e es elegida. Puesto que las dosaristas adyacentes a esta no pueden ser elegidas, se deben elegir k− 1 aristasno adyacentes en la lınea con n− 3 aristas sobrante. Si por el contrario estaarista no es elegida, deben tomarse k aristas no adyacentes en la lınea conn− 1 aristas restantes (ver Fig. 4.2). Luego,

DC(n, k) = DL(n− 3, k − 1) +DL(n− 1, k)

=

(

n− k − 1

k − 1

)

+

(

n− k

k

)

=k(n− k)

(n− k)k

(

n− k − 1

k − 1

)

+

(

n− k

k

)

=k

n− k

(

n− k

k

)

+

(

n− k

k

)

=n

n− k

(

n− k

k

)

.


Figura 4.2: Conteo de numero de formas de escoger k aristas no adyacentesen un ciclo de n aristas

Teorema 4.3.4

P (Cn,2, λ) =

bn2c

∑

i=0

n

n− i

(

n− i

i

)

P (Kn−i, λ).

Demostracion. Se contaran las posibles coloraciones de Cn,2 de la sigu-iente manera: considerando primero todas las formas de colorear el grafo queusan exactamente n colores, luego todas las formas de colorearlo que usanexactamente n − 1 colores, y ası sucesivamente. Note que para que en unacoloracion propia de Cn,2 una pareja de vertices tenga el mismo color, estosdos vertices no pueden estar unidos por una arista, o equivalentemente debeexistir una arista uniendolas en el ciclo de n vertices Cn, que es el grafo com-plemento de Cn,2. De esta forma, el numero de formas de colorear el grafocon exactamente n− i colores, es equivalente al numero de formas de elegiri aristas en Cn para que sus vertices compartan el mismo color, con la unicarestriccion que estas aristas no sean consecutivas: suponga que eligiera dosaristas consecutivas en Cn para tener el mismo color, entonces los extremosde las mismas compartirıan el mismo color y sin embargo no hay arista entreellos, lo cual es una contradiccion.

Ası, el numero de formas de colorear Cn,2 con exactamente n − i colores fi-jos es DC(n, i). Puesto que para cada una de estas se requiere elegir n − i


colores de λ, el numero de coloraciones con exactamente n − i colores esDC(n, i)λ(λ−1) · · · (λ−i+1) = DC(n, i)P (Kn−i, λ), y el polinomio cromaticoes de la forma,

P (Cn,2, λ) =n

∑

i=0

DC(n, i)P (Kn−i, λ) =n

∑

i=0

n

n− i

(

n− i

i

)

P (Kn−i, λ).

Pero, dado que el numero maximo de aristas no adyacentes que se puedeelegir en un ciclo de n aristas es bn

2c, la suma va hasta este numero. Luego,

P (Cn,2, λ) =

bn2c

∑

i=0

n

n− i

(

n− i

i

)

P (Kn−i, λ).

Lema 4.3.5 Si G es un grafo con n vertices y

P (G, λ) =a

∑

i=0

C(i)P (Kn−i, λ)

con C(i) ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , a− 1, y C(a) > 0, entonces χ(G) = n− a.

Demostracion. Puesto que P (Ks, λ) = λ(λ − 1) · · · (λ − s − 1), entoncesP (Ks, λ) tiene raıces 0, 1, . . . , s − 1. Luego P (G, n − a) = C(a)P (Kn−a, n −a) > 0 y P (G, λ) = 0 para λ < n− a. Ası el menor numero que no es raız deP (G, λ) es n− a.

Corolario 4.3.6 χ(Cn,2) = dn2e

Demostracion. Se deduce del lema 4.3.5 y el teorema 4.3.4.

En la demostracion del teorema 4.3.4, para hallar el polinomio cromatico deCn,2 se buscaron todas las formas de colorear el grafo con exactamente n− icolores para cada i. El metodo usado fue escoger i parejas de vertices paraque compartieran el mismo color, eligiendo de forma apropiada aristas en el


grafo complementario: dos vertices pueden tener el mismo color si existe unaarista entre ellos. Esta restriccion, en el caso de los Cn,2 se traduce en elegirun grupo de aristas en el complemento de forma que no sean adyacentes.Es posible generalizar la idea para el caso de los grafos Cn,3, con algunasdiferencias. Observe por ejemplo la figura 4.3, en la que se presenta el grafoC8,3 y su respectivo complemento. Denominaremos al complemento del grafoCn,3 como Zn,2. A diferencia del caso de los complementos de los grafos Cn,2,la eleccion de las aristas de Zn,2 que uniran dos vertices del mismo color en lacoloracion de Cn,3, permite considerar aristas adyacentes: tome por ejemploun par de aristas adyacentes en el ciclo exterior de Zn,2. Puede observarseque, dado que existe una ”diagonal”que une los extremos de este par dearistas, esta eleccion es perfectamente valida.

Figura 4.3: Grafo C8,3, y su complemento, el grafo Zn,2.

El grafo Zn,2, al ser el complemento del grafo Cn,3, es el grafo cuyos verticesson los elementos de [n], tal que (i, j) ∈ E(Zn,2) si vistos como enteros,i y j cumplen que 0 < |i, j| ≤ 2. Dentro de las propiedades que puedenobtenerse con facilidad de la definicion de este grafo, se tiene que el mayorsubgrafo completo que poseen es de 3 vertices. Ademas, es claro que paran > 7, si se desea que para un par de aristas adyacentes exista una aristaque una sus extremos, estas deben encontrarse en el ciclo exterior. Estas dospropiedades son de interes para la demostracion: la primera senala que nopueden elegirse tres o mas aristas adyacentes (pues no existiran las aristasdiagonales entre ellas), y la segunda que si se eligen dos aristas adyacentesestas deben pertenecer al ciclo exterior. Antes de calcular una expresion parael polinomio cromatico de Cn,3, son necesarios algunos resultados auxiliares.


Se denotara(

a

a1, a2, . . . , an

)

,

al numero de formas de elegir n + 1 subconjuntos disyuntos de tamanoa1, . . . , an, n − (a1 + a2 + · · · , an) de un conjunto de tamano a. Llamare-mos DL(n,m1,m2,m3) y DC(n,m1,m2,m3) al numero de formas de elegirm1 aristas, m2 parejas adyacentes de aristas y m3 trios de aristas adyacentes,vertice disyuntos, de una lınea de n aristas y un ciclo de n aristas respecti-vamente.

Lema 4.3.7

DL(n,m1,m2,m3) =

(

n− (m1 + 2m2 + 3m3) + 1

m1,m2,m3

)

.

Demostracion. Se procedera de forma semejante a la seguida en la pruebadel lema 4.3.2. Recordando que un grupo de i aristas concatenadas puedenidentificarse por sus primeros i vertices, asigne a cada forma de seleccionartres grupos, uno de m1 vertices, otro de m2 y un tercero de m3, de una lıneacon n− (m1 + 2m2 + 3m3) + 1 vertices, el resultado de agregar un vertice ala derecha de cada uno de los pertenecientes a m1, dos a la derecha de cadauno de los de m2, y tres a la derecha de los de m3. Esta funcion, al ser unabiyeccion con las elecciones deseadas, demuestra el enunciado.

Lema 4.3.8

DC(n,m1,m2,m3) =n

n− (m1 + 2m2 + 3m3)DL(n− 1,m1,m2,m3).

Demostracion. Considere el ciclo Cn, y sea e una arista cualquiera. Lasposibles formas de elegir las m1 aristas, m2 pares de aristas consecutivas ym3 trıos de aristas consecutivas, vertice disyuntos, se dividen en dos clases:aquellas en que e no es elegida y aquellas en que sı. En el primer caso, debenhacerse las elecciones de entre la lınea de n−1 aristas que resultan de eliminara e del ciclo. En el segundo, e tiene i formas de pertenecer a un grupo detamano i (donde i = 1 significa que e es una de las aristas solas e i = 3senala que e hace parte de un trıo de aristas consecutivo). Dado que no sepermiten grupos adyacentes, los restantes grupos se deben elegir de la lınea


de tamano n− (i+ 2) (las i elegidas y las dos adyacentes a cada lado). Ası,

DC(n,m1,m2,m3)

= DL(n− 1,m1,m2,m3) +DL(n− 3,m1 − 1,m2,m3)

+ 2DL(n− 4,m1,m2 − 1,m3) + 3DL(n− 5,m1,m2,m3 − 1)

=

(

n− (m1 + 2m2 + 3m3)

m1,m2,m3

)

+

(

n− (m1 + 2m2 + 3m3) − 1

m1 − 1,m2,m3

)

+ 2

(

n− (m1 + 2m2 + 3m3) − 1

m1,m2 − 1,m3

)

+ 3

(

n− (m1 + 2m2 + 3m3) − 1

m1 − 1,m2,m3 − 1

)

=

(

n− (m1 + 2m2 + 3m3)

m1,m2,m3

)

+

(

n− (m1 + 2m2 + 3m3) − 1

m1,m2,m3

)

· (m1 + 2m2 + 3m3)

=

(

n− (m1 + 2m2 + 3m3)

m1,m2,m3

) (

1 +m1 + 2m2 + 3m3

n− (m1 + 2m2 + 3m3)

)

=n

n− (m1 + 2m2 + 3m3)

(

n− (m1 + 2m2 + 3m3)

m1,m2,m3

)

.

Teorema 4.3.9

P (Cn,3, λ) =

b 2n3c

∑

i=0

∑

Γi

DC(n, n1, n2 + n3, n4)

(

n2 + n3

n2

)

P (Kn−i, λ),

donde Γi = (n1, n2, n3, n4) ∈ N4 : (n1 + n2) + 2(n3 + n4) = i.

Demostracion. Para calcular el polinomio cromatico del grafo Cn,3, secontara primero el numero de coloraciones que usan exactamente n−i colores.Puesto que esto es equivalente a escoger i aristas en Zn,2 para que seanmonocromaticas, y teniendo en cuenta las observaciones hechas sobre Zn,2,el conteo debe hacerse sobre aristas en todo Zn,2 o pares de aristas en elciclo exterior vertice disyuntos. Este conteo es en general difıcil, pero seestablecera una equivalencia para facilitarlo: codifique las aristas diagonalescomo se muestra en la figura 4.4: una arista diagonal se representa por las dosaristas exteriores que con ella forman un triangulo. La idea de la codificacion


Figura 4.4: Izquierda: Dos aristas del ciclo pueden representar una aristadiagonal, o un triangulo. Derecha: Un par de aristas diagonales puede repre-sentarse por tres aristas del ciclo.

es que las aristas adyacentes a una y otra sean equivalentes, para que contaruna diagonal sea equivalente a contar dos aristas consecutivas en el ciclo. Estose logra salvo por el caso en que dos aristas diagonales se presentan cruzadas.Se establece entonces una identificacion especial de este caso con tres aristasconsecutivas en el ciclo exterior. Considerando ademas las simples eleccionesen el ciclo externo de una arista o parejas de aristas, se cubren todos loscasos. Ası, el numero de coloraciones con n− i colores fijos es

∑

Γi

DC(n, n1, n2 + n3, n4)

(

n2 + n3

n2

)

con n1, n2, n3, n4 ⊂ N y Γi = (n1 + n2) + 2(n3 + n4) = i, donde n1

representa el numero de aristas simples a tomar en el ciclo externo, n2 elnumero de aristas diagonales, n3 el numero de pares de aristas adyacentesen el ciclo externo y n4 el numero de diagonales cruzadas. Es decir, se sumasobre todas las combinaciones posibles de estas alternativas que impliquenque existen i parejas de vertices con el mismo color, de las cuales existenDC(n, n1, n2 + n3, n4). Para distinguir entre un par de aristas representando


una diagonal y un par de aristas en el ciclo exterior, se debe multiplicar,entonces por el combinatorio respectivo, con lo que se tiene la expresion pre-sentada.

Puesto que existen P (Kn−i, λ) formas distintas de colorear una de estas elec-ciones, el enunciado queda probado

Corolario 4.3.10 χ(Cn,3) = dn3e

Demostracion. Se deduce de aplicar el lema 4.3.5 al teorema 4.3.9.

Como se muestra en el calculo de los polinomios cromaticos de Cn,2 y Cn,3,esta no es una labor facil. Incluso familias altamente simetricas y simplescomo las tratadas exigen aproximaciones muy particulares.

Capıtulo 5

Conclusiones y perspectivas

El estudio realizado sobre las distintas pruebas de la conjetura de Kneser,senala la importancia de los metodos de topologıa algebraica para resolverproblemas de tipo combinatorio. El teorema de Lovasz que relaciona el numerocromatico de un grafo y la k-conexidad del complejo simplicial de vecindades,permite establecer cotas en varias aplicaciones. Es posible considerar su apli-cacion con el fin de resolver algunos enunciados que aun esperan ser probadossobre numero cromatico, como la conjetura de Hedetniemi para algunos ca-sos especiales. Tambien se abre la posibilidad de considerar que existan entopologıa herramientas que permitan establecer propiedades sobre conceptosen grafos diferentes al numero cromatico, como el numero de independencia,el girth o el tamano del clique maximal. Un estudio en esta direccion serıade gran beneficio.

Por otro lado, los polinomios cromaticos siguen revelandose para su calculocomo exigentes. Por ello, es relevante que los metodos usados para calcularlos grafos Cn,2 y Cn,3 pueden ser generalizados, dando solucion efectiva a lospolinomios para ciertas familias especiales de grafos. Un artıculo donde segeneraliza el calculo del polinomio cromatico para familias de grafos cuyocomplemento carezca de triangulos, que involucra entre otros al autor, se en-cuentra en preparacion. Tambien se considera en la actualidad extender lasideas seguidas para calcular en general los grafos de la forma Cn,a.

Las posibles relaciones entre el polinomio cromatico de un grafo, y polinomioscromaticos de ciertos subgrafos que le conforman, son un area de los poli-

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nomios cromaticos poco explorada hasta el momento. Las principales aprox-imaciones a este problema son bastante complejas y solo efectivas cuando lossubgrafos son iguales y muy simples. Estudiar este problema puede llevar avarios resultados interesantes, dentro de los que se encontrarıa el polinomiocromatico de los grafos de Kneser.

Apendice A

Lema de Tucker, Teorema deBorsuk y Teorema de Gale

Albert W. Tucker, como parte de su exposicion en el Primer CongresoMatematico Canadiense en 1946, presento una prueba para el teorema deBorsuk-Ulam en 2 dimensiones, usando un lema combinatorio sobre formasde etiquetar vertices de una triangulacion especial del cuadrado. En anosposteriores este lema fue generalizado para permitir probar el teorema deBorsuk-Ulam en general, version que se presenta en esta seccion.

Sea Bn = x ∈ Rn : ‖x‖∞ ≤ 1, la bola unitaria bajo la norma `∞.

Definicion 1.0.11 Llamaremos triangulacion especial de Bn a un complejosimplicial T si:

1. T triangula a Bn, es decir, T ≈ Bn.

2. T es un refinamiento de la subdivision de Bn hecha por los hiper-planos coordenados, es decir, cada simplejo de T esta completamentecontenido en uno de los 2n ortantes.

3. T es antipodalmente simetrico respecto al origen , es decir σ ∈ T ⇔−σ ∈ T

Lema A.0.12 (Lema de Tucker) Sea T una triangulacion especial deBn, y suponga que a cada vertice v de T se le asigna una etiqueta λ(v) ∈

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±1,±2, . . . ,±n de tal forma que para los vertices de la frontera de Bn

(Sn−1), se cumpla que λ(−v) = −λ(v). Entonces existe un 1-simplejo (arista)en T tal que sus dos vertices estan etiquetados con numeros opuestos.

Demostracion. Sea T una triangulacion especial de Bn. Para un simplejoσ ∈ T , definimos la funcion signo de un complejos simplicial como:

sgn(σ) = (sgn(x1), sgn(x2), . . . , sgn(xn)) ∈ −1, 0,+1n,

donde x = (x1, x2 . . . , xn) es un punto arbitrario en el interior relativo de σ.Para comprobar la buena definicion de la funcion, basta observar que, dadoque T es una buena coloracion, σ esta completamente incluido en alguno delos ortantes, de manera que todo punto en su interior tiene los mismos signosen cada una de sus componentes.

Llamaremos a un simplejos σ permitido si se tiene que para i = 1, . . . , n,(sgn(σ))i = 1 implica que alguno de los vertices de σ esta etiquetado por elnumero i y (sgn(σ))i = −1 implica que alguno de los vertices de σ esta eti-quetado por el numero −i.

Si (sgn(σ)) tiene exactamente k componentes distintas de cero, entonces suinterior relativo tiene exactamente k coordenadas distintas de cero, de man-era que σ tiene a lo sumo dimension k. Por otra parte, si σ es permitida,necesita al menos k vertices para asignarle a cada uno la etiqueta de la com-ponente distinta de cero correspondiente, y por lo tanto, debe tener mınimodimension k − 1. Ası, la dimension de los simplejos permitidos en los que elsigno tiene exactamente k componentes distintas de cero es k − 1 o k.

Sea G el grafo cuyos vertices son los simplejos permitidos, y tal que dosaristas σ, τ ∈ T estan conectados si

1. σ, τ ⊂ ∂Bn y σ = −τ , o

2. σ es un k-simplejo y τ es una (k-1)-cara de σ, tal que considerar sololos vertices de τ hace permitido a σ.

El simplejo 0 tiene grado 1 en G, dado que es vecino exactamente de laarista que es permitida por λ(0) (Una arista que une los vertices 0 y unvertices de T tal que todo punto interior en la arista tiene una sola compo-nente distinta de cero, a saber |λ(0)|, con signo sgn(λ(0))). Se mostrara que

APENDICE A. LEMA DE TUCKER, TEOREMA DE BORSUK YTEOREMA DE GALE 51

todos los demas simplejos permitidos tienen dos vecinos cada uno, excepto siel simplejo posee una arista etiquetada de forma complementaria. Dado queno es posible que todos los vertices de un grafo tengan grado par salvo uno,esto demuestra la afirmacion deseada.

Suponga que sgn(σ) tiene exactamente k entradas distintas de cero, de man-era que la dimension de σ es k o k − 1. Se tienen entonces los siguientescasos:

1. Suponga que σ es un (k-1)-simplejo. Entonces se presenta uno de lossiguientes subcasos:

a) σ no pertenece a la frontera de Bn. Puesto que tiene exactamentek vertices, su signo tiene exactamente k entradas distintas de cero,y es permitida, ninguna cara de σ puede ser permitida. Ahora, σesta completamente contenido en el k-cubo L = x ∈ Bn : xi =0 para todo i con sgn(σ)i = 0, triangulado por ciertos simplejosde T . Ahora, dado que σ no esta en la frontera de Bn, es unsimplejo (k-1)-dimensional que no esta en la frontera de L, un k-cubo, y por lo tanto es la cara de precisamente dos k-simplejos,que se hacen permitidos justamente por las etiquetas de σ.

b) σ pertenece a la frontera de Bn. Entonces, σ tiene a −σ comovecino. Ademas, pertenece a la frontera del k-cubo L definido en elpunto anterior, por lo que es la cara de exactamente un k-simplejoque se hace permitido por las etiquetas de σ.

2. Si σ es un k-simplejo, tiene k etiquetas obligatorias y una etiquetaextra. Si se define L como en los numerales anteriores, es claro que σno puede pertenecer a la frontera de L (pues esta tiene dimension k-1),y por lo tanto no puede pertenecer a la frontera de Bn. Ası, tenemoscomo subcasos posibles los siguientes:

a) La etiqueta extra repite una de las etiquetas obligatorias. En estecaso, existen dos (k-1) caras distintas de σ adyacentes a el.

b) La etiqueta extra es el negativo de una de las etiquetas obligato-rias. En este caso se tiene una arista complementaria.

c) La etiqueta extra es un numero i tal que ±i no ocurre entre lasetiquetas obligatorias. En este caso, uno de los vecinos de σ es la

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unica (k-1)-cara permitida por las etiquetas obligatorias. Ademas,σ es la cara de exactamente un (k+1)-simplejo σ′ que es permitidopor las etiquetas de σ, y tal que sgn(σ′) coincide con sgn(σ), salvoen la posicion |i|, donde sgn(σ) = 0 y sgn(σ′) = sgn(i).

Ası, queda mostrada la existencia de la arista complementaria.

La ciudad de Lvov, en Polonia fue durante los anos entre guerras un cen-tro de gran actividad matematica, siendo entre otras cosas el escenario paraque Karol Borsuk y Stanislaw Ulam trabajaran juntos en varios problemasde topologıa. Uno de los resultados de estas reuniones es es la demostracionque en 1933 publico Borsuk del teorema que ahora se conoce como el teore-ma de Borsuk-Ulam. La importancia de este resultado, se mide por su grannumero de aplicaciones que incluyen enunciados sobre existencia de solu-ciones en ecuaciones diferenciales parciales, aplicaciones en calculo funcionaly en geometrıa de espacios de Banach, ademas de las mostradas en la pruebadel numero cromatico de ciertos grafos, como se menciona en [7]. De graninteres es tambien observar las varias formas que puede adquirir el teorema,todas ellas de gran utilidad y que iluminan de diferente manera sus implica-ciones. Algunas de ellas se presentan en el siguiente teorema.

Teorema A.0.13 (Distintas presentaciones del teorema de Borsuk)Los siguientes son equivalentes:

1. Para toda funcion continua f : Sn → Rn existe x∗ ∈ Sn tal que f(x∗) =

f(−x∗).

2. Para toda funcion antipodal f : Sn → Rn (es decir, f continua y

f(−x) = −f(x) para cada x ∈ Sn), existe x∗ ∈ Rn tal que f(x∗) = 0.

3. Sea g : Bn → Rn tal que g(−x) = −g(x) para todo x ∈ Sn−1 (antipodal

en la frontera). Entonces existe x∗ ∈ Bn tal que g(x∗) = 0.

4. No existe una funcion antipodal f : Sn+1 → Sn.

5. Si Sn = F1 ∪ . . . ∪ Fn+1, donde F1, . . . , Fn+1 son subconjuntos cerradosde Sn, entonces uno de los Fi contiene dos puntos antipodales.


6. Si Sn = A1 ∪ . . .∪An+1, donde A1, . . . , An+1 son subconjuntos abiertosde Sn, entonces uno de los Ai contiene dos puntos antipodales.

Demostracion. 1⇒2 Es claro.2⇒1 Sea f ′(x) := f(x)−f(−x). Claramente f ′ es antipodal, y por lo tantoexiste x∗ tal que f ′(x∗) = 0, es decir f(x∗) = f(−x∗).3⇔2 Considere la proyeccion π, funcion del hemisferio superior de Sn enBn, definida por π(x1, x2, . . . , xn+1) := (x1, x2, . . . , xn). Claramente, π es unhomeomorfismo.Si f : Sn → R

n es antipodal, entonces g(x) = f(π−1(x)), es una funcioncontinua de Bn en R

n antipodal en la frontera. Por otra parte, si g : Bn → Rn

es antipodal en la frontera, la funcion definida por f(x) = g(π(x)) para xen el hemisferio superior y f(x) = g(π(−x)) para x en el hemisferio inferior,esta bien definida, es continua (pues es continua en cada hemisferio y coincideen la interseccion de los dos), y es antipodal. Ası, 3⇔2.2⇒4 Una funcion antipodal de Sn+1 en Sn es una funcion antipodal sinceros.4⇒2 Suponga que f : Sn → R

n es funcion antipodal tal que para todox, f(x) 6= 0. Entonces g : Sn → Sn−1 definida por g(x) := f(x)

‖f(x)‖es funcion

antipodal, lo cual es una contradiccion.1⇒5 Sean F1, . . . , Fn+1 subconjuntos cerrados de Sn, tales que su unionsea todo Sn. Considere la funcion continua f : Sn → R

n definida por:

f(x) := (dist (x, F1), dist (x, F2) . . . , dist (x, Fn))

Sea x∗ tal que f(x∗) = f(−x∗). Si la i-esima componente de f(x∗) es cero,entonces tanto x∗ como −x∗ estan contenidos en Fi. Si todas son diferentesde cero, x∗ y −x∗ estan contenidos en Fn+1.5⇒4 Sea σ un simplejo n-dimensional que contenga al origen en su interior.Considere la proyeccion de σ sobre Sn−1, y sean F1, . . . , Fn+1 las imagenesde las caras de σ bajo esta proyeccion. Ası, F1, . . . , Fn+1 cubren a Sn−1, yninguno contiene dos puntos antipodales. Suponga que existe una funcioncontinua antipodal g : Sn → Sn−1, entonces g−1(F1), . . . , g

−1(Fn+1) recubrena Sn y ninguno de ellos contiene dos puntos antipodales (pues de lo con-trario,tambien lo harıa su imagen bajo g), lo cual contradice 5.5⇒6 Sea A1, . . . , An+1 una cobertura abierta de Sn, y sea x ∈ Sn. Supongaque x ∈ Aj, y sea Ux una vecindad de x tal que su cerradura esta incluidaen Aj. Ası, Ux : x ∈ Sn es una coleccion de abiertos que cubre la esfera.

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Aplicando compacidad, tenemos que Ux1, . . . , Uxt

para finitos xj cubre laesfera. Defina una cobertura cerrada F1, . . . , Fn+1 donde cada Fi es la unionde todas las clausuras de los Uxj

tales que xj ∈ Ai. Por 5, uno de estosconjuntos contiene dos puntos antipodales, y por lo tanto uno de los Ai tam-bien.6⇒5 Sea F1, . . . , Fn+1 una cobertura cerrada de Sn, y sea Aε

i = x ∈Sn : dist(x, Fi) < ε. Cada una de los conjuntos Aε = Aε

1, . . . , Aεn+1 es

una cobertura abierta de Sn. Considere la sucesion de A(2)−j

, j = 2, 3, . . ..Entonces, por 6, en cada una de estas coberturas existe un abierto que con-tiene dos puntos antipodales. Seleccionando el subındice de un abierto quecontenga dos puntos antipodales para cada j, obtendremos una sucesion deelementos de 1, 2, . . . , n + 1, y por lo tanto al menos uno de ellos apare-cera infinitas veces en la sucesion. Sea i un subındice con esta propiedad ysean Aj1 , Aj2 , . . . las coberturas en que se selecciono a i. Sean xj1 ,xj2 , . . . pun-

tos tales que xjr,−xjr

∈ A(2)−jr

i , para r ∈ 1, 2, . . .. Esta sucesion tiene unasubsucesion convergente cuyo punto lımite x y su punto antipodal pertenecena Fi, dado que este es cerrado, con lo que se prueba la afirmacion.

Ademas de implicar numerosas aplicaciones y de tener diversos enunciadosequivalentes, el Teorema de Borsuk presenta la particularidad de poder serprobado a traves de herramientas de naturaleza distinta. Pruebas de tipocombinatorio, geometrico o de homologıa entre otras han aparecido con elcorrer de los anos. La prueba que aca se presenta es de naturaleza combina-toria, y utiliza el lema de Tucker.

Teorema A.0.14 (Teorema de Borsuk) Sea g : Bn → Rn tal que g(−x) =

−g(x) para todo x ∈ Sn−1 (antipodal en la frontera). Entonces existe x∗ ∈ Bn

tal que g(x∗) = 0

Demostracion. Puesto que Bn y Bn son homeomorfos, es equivalentemostrar la afirmacion para funciones con dominio en Bn. Suponga que g :Bn → R

n es antipodal en la frontera, y g(x) 6= 0 para todo x. Entonces, porla compacidad de Bn, existe ε > 0 tal que ‖g(x‖∞ ≥ ε para todo x. Mas aun,dado que toda funcion continua sobre un espacio compacto es uniformementecontinua, existe δ > 0 tal que ‖x − x′‖ ≤ δ ⇒ ‖f(x) − f(x′)‖∞ < ε.

Sea T una triangulacion especial tal que el diametro de cada uno de sus sim-plejos sea a lo sumo δ. Definimos un etiquetamiento de los vertices de T . Para


x ∈ V (T ) sea i(x) := mıni : |f(x)i| ≥ ε, y sea λ(x) := sgn(f(x)i(x)) · i(x).Claramente se tiene que λ(−x) = −λ(x), de manera que se puede aplicar ellema de Tucker (A.0.12), luego existe una arista vv′ que es complementaria.Sin perdida de generalidad suponga λ(v) > 0, y sea r := λ(v) = −λ(v′),entonces f(v)r ≥ ε y f(v′)r ≤ −ε, y por lo tanto ‖f(v) − f(v′)‖ ≥ 2ε, perodado que vv′ es arista, por la eleccion de T tenemos que ‖v − v′‖, y por lotanto ‖f(v) − f(v′)‖ < ε lo cual es una contradiccion.

El teorema de Gale es un enunciado de tipo geometrico, que aparecio en 1957,y del cual existen pruebas de variadas complejidades.

Sea H(a) = x ∈ Sk : x · a > 0, en otras palabras, si se forma el planocuyo vector perpendicular es a, H(a) es el semiespacio compuesto por todoslos puntos que estan estrictamente en el mismo lado en el que esta a conrespecto a dicho plano.

Teorema A.0.15 (Teorema de Gale) Sean v, r ∈ N. Si v ≥ 2r, existeun conjunto Ω de v puntos en Sv−2r tal que cada semi espacio abierto H(a)contiene al menos r puntos de Ω.

Demostracion. La prueba que se dara es de naturaleza algebraica. Seana1, . . . , av v numeros reales distintos, y sea G la matriz de (2m+ 1)× v dadapor

G =

1 1 · · · 1a1 a2 · · · av

......

......

a2m1 a2m

2 · · · a2mv

para cada entero m tal que v ≥ 2m+ 2.

Se probara que el rango de G es 2m + 1, mostrando que para cada vectorf = (f0, . . . , f2m)T , se tiene fTG 6= 0, de manera que 2m+ 1 filas de G serıanlinealmente independientes. Si f(t)es el polinomio de grado a lo sumo 2mdado por

f(t) =2m∑

i=0

fiti,

entoncesfTG = (f(a1), . . . , f(av)),

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y por lo tanto fTG tiene a lo sumo 2m entradas iguales a cero. Ası, fTG 6= 0.

Considere ahora el espacio nulo de G. Se mostrara que cualquier vector x 6= 0que pertenezca al espacio nulo, tiene al menos m+ 1 entradas positivas y almenos m + 1 entradas negativas. Suponga por contradiccion que Gx = 0 yx tiene a lo sumo m entradas negativas. Entonces,

g(t) :=∏

xi<0

(t− ai)

es un polinomio de grado a lo sumo m, y h(t) = g(t)2 es un polinomio degrado a lo sumo 2m. Entonces, si se toma h = (h0, . . . , h2m) como el vectorde coeficientes de h(t), se tiene que y = hTG es un vector fila tal que y ≥ 0y yi = 0 si y solo si xi < 0. Puesto que, yx = hTGx = 0, se tiene que xno puede tener componentes positivas. Ademas, dado que Gx = 0, hemosencontrado un conjunto de m columnas linealmente dependientes (a saberaquellas que corresponden a las entradas negativas de x) , lo cual contradiceque G tiene rango 2m+1. Ası, x tiene al menos m+1 componentes negativas.Puesto que −x tambien pertenece al espacio nulo de G, x tiene tambien almenos m+ 1 componentes positivas.

Ahora, seaN la matriz de (v−2m−1)×v cuyas filas son una base normalizadapara el espacio nulo de G. Las columnas de N forman un conjunto de vvectores en R

v−2m−1 tales que para cualquier vector a existen al menos m+1entradas positivas en aTN . Por consiguiente, el semiespacio abierto H(a) enR

v−2m−1 contiene al menos m+1 puntos, correspondientes a las columnas deN , todos ellos de norma 1 (y por lo tanto elementos de Sv−2(m+1)). Tomandom = r − 1, se sigue el teorema.

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