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Progressoes Geometricas
Guilherme de Paula PradoCurso Pre-vestibular Unicentro
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Conceito
Progressoes Geometricas saosequencias de numeros (termos), emque cada termo, a partir do segundo,e dado pelo produto entre o termoanterior e um valor constante qchamado de razao.
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Notacao
PG (a1, a2, a3, . . . , a(n−1), an, . . . )Em que a1 e o primeiro termo, a2 e osegundo termo, a3 e o terceiro termo,e assim sucessivamente. O termo ane o n-esimo termo.
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Calculo da razao da PG
Sabendo que a partir do segundotermo, os termos sao o produto entreo termo anterior e a razao q,podemos escrever cada termo emfuncao da razao e do termo anterior.
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Calculo da razao da PG
a1 = a1
a2 = a1 × qa3 = a2 × qa4 = a3 × qa5 = a4 × q
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Calculo da razao da PG
Este padrao se repete para todos ostermos, e pode ser escrito de formagenerica como:
an = a(n−1)q → q =an
a(n−1)
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Calculo da razao da PG
Assim, a razao q e dada peloquociente entre um termo qualquer eo seu antecessor:
q =an
a(n−1)
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Termo geral da PG
Os termos de uma PG podem serescritos como funcao do termo a1 eda razao q:
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Termo geral da PG
a1 = a1
a2 = a1 × qa3 = a2 × q = a1 × q × q = a1 × q2
a4 = a3 × q = a1 × q2 × q = a1 × q3
a5 = a4 × q = a1 × q3 × q = a1 × q4
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Termo geral da PG
Este padrao se repete para todos ostermos, e pode ser escrito de formagenerica como:
an = a1q(n−1)
Desta forma e possıvel calcularqualquer termo da PG.
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Exemplos
1) Calcule o 10o termo daPG(2, 4, 8, 16, . . . ).
2) Calcule o 5o termo daPG(−3,−9,−27, . . . ).
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Outros conceitos
As progressoes geometricas podemser crescentes, decrescentes,constantes e oscilantes (oualternadas), quase nula e nula.
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PG crescente
As PGs sao crescentes quando osvalores dos termos aumentamconforme as suas posicoes aumentam,isto ocorre de duas formas:
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PG crescente
1) a1 > 0 e q > 0ex: PG(1, 2, 4, 8, 16, . . . ), com q = 2
2) a1 < 0 e 0 < q < 1ex: PG(−1,−1
2,−14,−
18, . . . ), com
q = 12
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PG decrescente
As PGs sao decrescentes quando osvalores dos termos diminuemconforme as suas posicoes aumentam,isto ocorre de duas formas:
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PG decrescente
2) a1 > 0 e 0 < q < 1ex: PG(1, 1
2,14,
18, . . . ), com q = 1
2
1) a1 < 0 e q > 1ex: PG(−1,−2,−4,−8, . . . ), comq = 2
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PG constante
As PGs sao constantes quando osvalores dos termos nao mudam emnenhuma das posicoes. Isto ocorrequando q = 1.
ex: PG(1, 1, 1, 1, 1, 1, . . . ) ePG(1
5,15,
15,
15, . . . ).
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PG quase nula
Uma PG e quase nula quando osvalores dos termos sao todos zero,com excecao do a1, ou seja, q = 0.
ex: PG(6, 0, 0, 0, 0, 0, . . . ) ePG(1
2, 0, 0, 0, 0).
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PG nula
Uma PG e nula quando os valoresdos termos sao todos zero, incluindoa1, ou seja, a1 = 0.
PG(0, 0, 0, 0, 0, 0, . . . )→ PG nula
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PG oscilante ou alternada
Uma PG e oscilante ou alternadaquando os valores dos termos alternao sinal conforme suas posicoes. Istoocorre quando a1 6= 0 e q < 0.
PG(1,−2, 4,−8, 16, . . . )
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Soma dos termos de uma PG
A soma dos n primeiros termos deuma PG e entendida como a somaalgebrica destes n primeiros termos, ee dada por:
Sn = a1+a2+a3+a4+· · ·+a(n−1)+an
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Soma dos termos de uma PG
Multiplando Sn por q, teremos:Snq = a1q + a2q + · · ·+ a(n−1)q + anqSnq = a2 + a3 + · · · + an + anq
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Soma dos termos de uma PG
Fazendo S − Sn, teremos:Sn − Snq = a1 − anqSn × (1− q) = a1 − (a1q
(n−1))q
Sn = a1−a1qn
1−q = a1(1−qn)1−q
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Exercıcios