Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello 1 Problemi con soddisfacimento dei vincoli.
Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e...
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e MeccatroniciAnalisi Sistemi articolati piani
prof. Paolo [email protected]
Universita degli Studi di BergamoMechatronics And Mechanical Dynamics Labs
November 18, 2011
prof. Paolo Righettini [email protected] Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs
Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e Meccatronici
Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
Rappresentazione vincoli cinematici
Chiusura vettoriale
Soluzione manovellismo
Analisi velocita
Analisi quadrilatero
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Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e Meccatronici
Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I facciamo riferimento a sistemi articolati piani
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Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e Meccatronici
Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I facciamo riferimento a sistemi articolati piani
I i corpi rigidi costituenti il meccanismo definiscono la posizione relative dellecoppie cinematiche (cerniere e pattini)
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I facciamo riferimento a sistemi articolati piani
I i corpi rigidi costituenti il meccanismo definiscono la posizione relative dellecoppie cinematiche (cerniere e pattini)
I la posizione dei vincoli cinematici e rappresentata per mezzo di vettori nel pianocomplesso
zi = ρieiθi
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I facciamo riferimento a sistemi articolati piani
I i corpi rigidi costituenti il meccanismo definiscono la posizione relative dellecoppie cinematiche (cerniere e pattini)
I la posizione dei vincoli cinematici e rappresentata per mezzo di vettori nel pianocomplesso
zi = ρieiθi
I il vettore nel piano complesso e rappresentato con la notazione complessa
zi = ρieiθi
in cui ρi rappresenta il modulo del vettore, mentre θi l’anomalia
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale
I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale
z1
z2
z3e
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale
I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale
z1
z2
z3e
I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale
I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale
z1
z2
z3e
I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)
I la chiusura vettoriale deve essere garantita per tutte le posizioni raggiunte dalmeccanismo
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale
I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale
z1
z2
z3e
I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)
I la chiusura vettoriale deve essere garantita per tutte le posizioni raggiunte dalmeccanismo
I al variare delle posizioni raggiunte dal meccanismo, i vettori partecipanti allachiusura vettoriale cambieranno la loro anomalia o il loro modulo
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I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale
I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale
z1
z2
z3e
I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)
I la chiusura vettoriale deve essere garantita per tutte le posizioni raggiunte dalmeccanismo
I al variare delle posizioni raggiunte dal meccanismo, i vettori partecipanti allachiusura vettoriale cambieranno la loro anomalia o il loro modulo
I z1, z2 variano la loro anomalia, mantengono costante il loro modulo
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale
I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale
z1
z2
z3e
I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)
I la chiusura vettoriale deve essere garantita per tutte le posizioni raggiunte dalmeccanismo
I al variare delle posizioni raggiunte dal meccanismo, i vettori partecipanti allachiusura vettoriale cambieranno la loro anomalia o il loro modulo
I z1, z2 variano la loro anomalia, mantengono costante il loro modulo
I z3 mantiene costante l’anomalia, mentre cambia il modulo
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I sostituendo ad ogni corpo rigido un vettore nel piano complesso possiamorealizzare una chiusura vettoriale
I ad esem-pio, per un manovellismo deviato possiamo realizzare la seguente chiusura vettoriale
z1
z2
z3e
I in cui e rappresenta l’eccentricita del manovellismo (distanza asse di scorrimentodel corsoio dall’asse di rotazione della manovella)
I la chiusura vettoriale deve essere garantita per tutte le posizioni raggiunte dalmeccanismo
I al variare delle posizioni raggiunte dal meccanismo, i vettori partecipanti allachiusura vettoriale cambieranno la loro anomalia o il loro modulo
I z1, z2 variano la loro anomalia, mantengono costante il loro modulo
I z3 mantiene costante l’anomalia, mentre cambia il modulo
I altri vettori, che rappresentano il telaio, rimangono costanti (modulo e anomalia)
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
z1
z2
z3e
I la chiusura vettoriale del manovellismo risulta
−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→e = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e
iθ2 − ρ3eiθ3 − ee iπ/2 = 0
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z1
z2
z3e
I la chiusura vettoriale del manovellismo risulta
−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→e = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e
iθ2 − ρ3eiθ3 − ee iπ/2 = 0
I proiettando lungo l’asse reale e immaginario si ottiene
{
ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 − ρ3 = 0ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 − e = 0
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z1
z2
z3e
I la chiusura vettoriale del manovellismo risulta
−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→e = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e
iθ2 − ρ3eiθ3 − ee iπ/2 = 0
I proiettando lungo l’asse reale e immaginario si ottiene
{
ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 − ρ3 = 0ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 − e = 0
I riorganizzando i termini (isolando i termini contenenti θ2, incognita, descriventerotazione della biella, si ottiene
{
ρ2 cos θ2 = ρ3 − ρ1 cos θ1ρ2 sin θ2 = e − ρ1 sin θ1
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z1
z2
z3e
I la chiusura vettoriale del manovellismo risulta
−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→e = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e
iθ2 − ρ3eiθ3 − ee iπ/2 = 0
I proiettando lungo l’asse reale e immaginario si ottiene
{
ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 − ρ3 = 0ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 − e = 0
I riorganizzando i termini (isolando i termini contenenti θ2, incognita, descriventerotazione della biella, si ottiene
{
ρ2 cos θ2 = ρ3 − ρ1 cos θ1ρ2 sin θ2 = e − ρ1 sin θ1
I quadrando e sommando si ottiene un’equazione di secondo grado in ρ3 (posizionedel corsoio)
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I si ottieneρ23 − 2ρ3ρ1 cos θ1 − ρ22 + ρ21 − e2 − 2eρ1 sin θ1 = 0
in cui θ1 e noto, rappresenta la rotazione imposta alla manovella
ρ23 − 2ρ3B + A = 0
in cui A, B sono costante note, funzioni della rotazione della manovella
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I si ottieneρ23 − 2ρ3ρ1 cos θ1 − ρ22 + ρ21 − e2 − 2eρ1 sin θ1 = 0
in cui θ1 e noto, rappresenta la rotazione imposta alla manovella
ρ23 − 2ρ3B + A = 0
in cui A, B sono costante note, funzioni della rotazione della manovella
I le soluzioni sonoρ3 = B ±
√
B2 − A
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I si ottieneρ23 − 2ρ3ρ1 cos θ1 − ρ22 + ρ21 − e2 − 2eρ1 sin θ1 = 0
in cui θ1 e noto, rappresenta la rotazione imposta alla manovella
ρ23 − 2ρ3B + A = 0
in cui A, B sono costante note, funzioni della rotazione della manovella
I le soluzioni sonoρ3 = B ±
√
B2 − A
I valutato ρ3 e possibile determinare l’angolo θ2 (sin θ2, cos θ2)
cos θ2 =B±
√B2−A−ρ1 cos θ1
ρ2
sin θ2 = e−ρ1 cos θ1ρ2
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I l’analisi delle velocita viene condotta derivando l’equazione di chiusura vettorialerispetto al tempo
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I l’analisi delle velocita viene condotta derivando l’equazione di chiusura vettorialerispetto al tempo
I partendo daρ1e
iθ1 + ρ2eiθ2 − ρ3e
iθ3 − ee iπ/2 = 0
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I l’analisi delle velocita viene condotta derivando l’equazione di chiusura vettorialerispetto al tempo
I partendo daρ1e
iθ1 + ρ2eiθ2 − ρ3e
iθ3 − ee iπ/2 = 0
I considerando che dipendono dal tempo θ1, θ2, ρ3, derivando rispetto al tempo siottiene
ρ1eiθ1 i θ1 + ρ2e
iθ2 i θ2 − ρ3 = 0
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I l’analisi delle velocita viene condotta derivando l’equazione di chiusura vettorialerispetto al tempo
I partendo daρ1e
iθ1 + ρ2eiθ2 − ρ3e
iθ3 − ee iπ/2 = 0
I considerando che dipendono dal tempo θ1, θ2, ρ3, derivando rispetto al tempo siottiene
ρ1eiθ1 i θ1 + ρ2e
iθ2 i θ2 − ρ3 = 0
I la derivata rispetto al tempo di un vettore zi , in cui il modulo e costante, risulta
dzi
dt= ρie
iθi i θi = zi i θi
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zi = ρieiθi
ρi θiei(θi+π/2)
I il vettore zi i θi puo essere espresso nella forma
ρi θiei(θi+π/2)
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
zi = ρieiθi
ρi θiei(θi+π/2)
I il vettore zi i θi puo essere espresso nella forma
ρi θiei(θi+π/2)
I e allora un vettore ruotato di π/2 rispetto al vettore −→zi , di modulo ρi θi ,
rappresenta quindi il vettore velocita del punto estremo del vettore
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I proiettando l’equazione vettoriale delle velocita, lungo l’asse reale ed immaginario,si ottiene
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I proiettando l’equazione vettoriale delle velocita, lungo l’asse reale ed immaginario,si ottiene
I{
ρ1θ1 sin θ1 + ρ2θ2 sin θ2 − ρ3 = 0
ρ1θ1 cos θ1 + ρ2θ2 cos θ2 = 0
in cui tutti gli angoli θi sono noti, risolti al punto precedente; e nota anche lavelocita istantanea della manovella θ1
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I proiettando l’equazione vettoriale delle velocita, lungo l’asse reale ed immaginario,si ottiene
I{
ρ1θ1 sin θ1 + ρ2θ2 sin θ2 − ρ3 = 0
ρ1θ1 cos θ1 + ρ2θ2 cos θ2 = 0
in cui tutti gli angoli θi sono noti, risolti al punto precedente; e nota anche lavelocita istantanea della manovella θ1
I si tratta allora di un sistema lineare nelle incognite θ2, θ3, di facile soluzione
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I proiettando l’equazione vettoriale delle velocita, lungo l’asse reale ed immaginario,si ottiene
I{
ρ1θ1 sin θ1 + ρ2θ2 sin θ2 − ρ3 = 0
ρ1θ1 cos θ1 + ρ2θ2 cos θ2 = 0
in cui tutti gli angoli θi sono noti, risolti al punto precedente; e nota anche lavelocita istantanea della manovella θ1
I si tratta allora di un sistema lineare nelle incognite θ2, θ3, di facile soluzione
I risulta
θ2 = − ρ1ρ2
θ1cos θ1cos θ2
ρ3 = ρ1θ1sin(θ1−θ2)
cos θ2
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I proiettando l’equazione vettoriale delle velocita, lungo l’asse reale ed immaginario,si ottiene
I{
ρ1θ1 sin θ1 + ρ2θ2 sin θ2 − ρ3 = 0
ρ1θ1 cos θ1 + ρ2θ2 cos θ2 = 0
in cui tutti gli angoli θi sono noti, risolti al punto precedente; e nota anche lavelocita istantanea della manovella θ1
I si tratta allora di un sistema lineare nelle incognite θ2, θ3, di facile soluzione
I risulta
θ2 = − ρ1ρ2
θ1cos θ1cos θ2
ρ3 = ρ1θ1sin(θ1−θ2)
cos θ2
I in modo del tutto analogo si procede con l’analisi delle accelerazioni
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
z1
z2
z3
z4
I analogamente si puo procedere per il quadrilatero articolato
−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→z4 = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e
iθ2 − ρ3eiθ3 − ρ4 = 0
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
z1
z2
z3
z4
I analogamente si puo procedere per il quadrilatero articolato
−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→z4 = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e
iθ2 − ρ3eiθ3 − ρ4 = 0
I proiettando l’ungo l’asse reale ed immaginario si ottiene
{
ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 − ρ3 cos θ3 − ρ4 = 0ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 − ρ3 sin θ3 = 0
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z1
z2
z3
z4
I analogamente si puo procedere per il quadrilatero articolato
−→z1 +−→z2 −−→z3 −−→z4 = 0 → ρ1eiθ1 + ρ2e
iθ2 − ρ3eiθ3 − ρ4 = 0
I proiettando l’ungo l’asse reale ed immaginario si ottiene
{
ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 − ρ3 cos θ3 − ρ4 = 0ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 − ρ3 sin θ3 = 0
I in cui, considerando noto θ1 (rotazione dell’asta motrice), sono incogniti θ2 e θ3.La soluzione di questo sistema non lineare pue essere cercata sia per via numericache per via analitica
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I isolando i termini dipendenti da θ2 si ottiene
{
ρ2 cos θ2 = −ρ1 cos θ1 + ρ3 cos θ3 + ρ4ρ2 sin θ2 = −ρ1 sin θ1 + ρ3 sin θ3
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I isolando i termini dipendenti da θ2 si ottiene
{
ρ2 cos θ2 = −ρ1 cos θ1 + ρ3 cos θ3 + ρ4ρ2 sin θ2 = −ρ1 sin θ1 + ρ3 sin θ3
I quadrando e sommando si ottiene
ρ22 = ρ21 +ρ23 +ρ24 −2ρ3ρ1 cos θ1 +cos θ3(2ρ4ρ3 −2ρ1ρ3 cos θ1)−2ρ1ρ3 sin θ1 sin θ3
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I isolando i termini dipendenti da θ2 si ottiene
{
ρ2 cos θ2 = −ρ1 cos θ1 + ρ3 cos θ3 + ρ4ρ2 sin θ2 = −ρ1 sin θ1 + ρ3 sin θ3
I quadrando e sommando si ottiene
ρ22 = ρ21 +ρ23 +ρ24 −2ρ3ρ1 cos θ1 +cos θ3(2ρ4ρ3 −2ρ1ρ3 cos θ1)−2ρ1ρ3 sin θ1 sin θ3
I considerando le costanti
A = −2ρ1ρ3 sin θ1B = 2ρ3ρ4 − 2ρ1ρ3 cos θ1C = ρ21 − ρ22 + ρ23 + ρ24 − 2ρ1ρ4 cos θ1
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I isolando i termini dipendenti da θ2 si ottiene
{
ρ2 cos θ2 = −ρ1 cos θ1 + ρ3 cos θ3 + ρ4ρ2 sin θ2 = −ρ1 sin θ1 + ρ3 sin θ3
I quadrando e sommando si ottiene
ρ22 = ρ21 +ρ23 +ρ24 −2ρ3ρ1 cos θ1 +cos θ3(2ρ4ρ3 −2ρ1ρ3 cos θ1)−2ρ1ρ3 sin θ1 sin θ3
I considerando le costanti
A = −2ρ1ρ3 sin θ1B = 2ρ3ρ4 − 2ρ1ρ3 cos θ1C = ρ21 − ρ22 + ρ23 + ρ24 − 2ρ1ρ4 cos θ1
I si ottiene il sistema in sin θ3 e cos θ3{
C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1
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I partendo da{
C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1
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Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I partendo da{
C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1
I sostituendo a cos θ3 = x e sin θ3 = y si ottiene il sistema del secondo ordine
{
y = −C−BxA
x2 + C2+B2x2+2BCxA2 − 1 = 0
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I partendo da{
C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1
I sostituendo a cos θ3 = x e sin θ3 = y si ottiene il sistema del secondo ordine
{
y = −C−BxA
x2 + C2+B2x2+2BCxA2 − 1 = 0
I le cui soluzioni sono
x =−BC±A
√B2+A2−C2
A2+B2 = cos θ3
y =−CA∓B
√B2+A2−C2
A2+B2 = sin θ3
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I partendo da{
C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1
I sostituendo a cos θ3 = x e sin θ3 = y si ottiene il sistema del secondo ordine
{
y = −C−BxA
x2 + C2+B2x2+2BCxA2 − 1 = 0
I le cui soluzioni sono
x =−BC±A
√B2+A2−C2
A2+B2 = cos θ3
y =−CA∓B
√B2+A2−C2
A2+B2 = sin θ3
I il segno della soluzione dipende dal montaggio da utilizzare (quadrilateri diGrashof)
prof. Paolo Righettini [email protected] Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs
Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e Meccatronici
Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I partendo da{
C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1
I sostituendo a cos θ3 = x e sin θ3 = y si ottiene il sistema del secondo ordine
{
y = −C−BxA
x2 + C2+B2x2+2BCxA2 − 1 = 0
I le cui soluzioni sono
x =−BC±A
√B2+A2−C2
A2+B2 = cos θ3
y =−CA∓B
√B2+A2−C2
A2+B2 = sin θ3
I il segno della soluzione dipende dal montaggio da utilizzare (quadrilateri diGrashof)
I in modo analogo si procede per il calcolo di θ2
prof. Paolo Righettini [email protected] Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs
Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e Meccatronici
Sommario Rappresentazione vincoli cinematici Chiusura vettoriale Soluzione manovellismo Analisi velocita Analisi quadrilatero
I partendo da{
C + B cos θ3 + A sin θ3 = 0sin2 θ3 + cos2 θ3 = 1
I sostituendo a cos θ3 = x e sin θ3 = y si ottiene il sistema del secondo ordine
{
y = −C−BxA
x2 + C2+B2x2+2BCxA2 − 1 = 0
I le cui soluzioni sono
x =−BC±A
√B2+A2−C2
A2+B2 = cos θ3
y =−CA∓B
√B2+A2−C2
A2+B2 = sin θ3
I il segno della soluzione dipende dal montaggio da utilizzare (quadrilateri diGrashof)
I in modo analogo si procede per il calcolo di θ2I per l’analisi delle velocita e delle accelerazioni e necessario derivare rispetto al
tempo l’equazione di chiusura vettoriale.
prof. Paolo Righettini [email protected] Universita degli Studi di Bergamo Mechatronics And Mechanical Dynamics Labs
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