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8/19/2019 Productos Notabl

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UNIDAD II: ÁLGEBRASEMANA 2-2: PRODUCTOS NOTABLES

1. Hallar el valor numérico de

( ) ( ) ( ) ( )2 416 1 1 1 1 1 x x x x− + + + +para 36 x =

Solución:Aplicando Diferencia de Cuadrados en las expresiones

( ) ( ) ( ) ( )2 416 1 1 1 1 1 x x x x− + + + +

( ) ( ) ( )2 2 416 1 1 1 1 x x x− + + +

( ) ( )4 416 1 1 1 x x− + +

( )816 1 1 x − +

16 8 1 1 x − +

16 8 x

x , Reemplazando x = 36 tenemos 36 6=

2. Hallar la raíz cú ica de( ) ( ) ( )( ) ( ) 24xx3x3x4x2x 22 −+−−+−++− se o tiene!

Solución:

Resolviendo los productos nota les " lue#o multiplicando distri utivamente

o tenemos!

4x4x)2x( 22 +−=−16x8x)4x( 22 ++=+

( ) 9x3x)3x( 2 −=−+x4x)4x(x 2 +=+

( ( 2x4x9x16x8x4x4x 2222 −+−−−++++−=DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 2016-0

COMPLEMENTOS DEMATEMÁTICA


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24x9x16x8x4x4x 2222 −−−+−++++−=27=

Luego la raíz cúbica es 3.

. $i2 3 5 0 x x+ − = , entonces %alle!

( ) ( ) ( )1 2 3 2 5 P x x x x= + + + −Solución:

&rdenamos la expresi'n!2 3 5 0 x x+ − =

2 3 5 x x+ =

Arre#lamos la expresi'n ( ) ( ) ( )1 2 3 2 5 P x x x x= + + + − para (ue podamoso tener 2 3 x x+ )

( ) ( ) ( )3 1 2 P x x x x= + + +( ) ( )2 23 3 2 P x x x x= + + +

Reemplazando2 3 5 x x+ = tenemos!

( )5 5 2 2 5 P = + −5 2 5 2 5 P = + −

5 P =

!. *fectuar!)25)(25()23()23( 22 +−+++−

Solución:

+sando el si#uiente resultado! a - ./ - a 0 ./ =1 a/ - /. " diferenciade cuadrados se tiene

)25)(25()23()23( 22 +−+++−2222 )2()5(])2()3(2 −++=

132510 =−+=

5. Calcular ( ) 2

53

Solución:

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2 2016-0


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( ) ( )

( )

2 2

2 2

53 50 3

50 2(50)(3) (3)

2500 300 92809

= += + += + +=

". $impli2car!2 22 4 5 7 9 17E (x )(x )(x )(x ) (x x )= + + + + − + +

Solución !

*n la expresi'n * reordenamos los términos de la si#uiente manera "multiplicamos los dos primeros términos " lue#o los dos últimos

* = x - 1. x - . x - 4. x - 5. 0 x/ - x - 7 ./ * = x/ - x - 74. x/ - x - 18. 0 x/ - x - 7 ./

Haciendo cam io de varia le

x/ - x =u

" remplazando en * se tiene

* = u - 74. u - 18. 0 u - 7 ./ * = u/ - 34u - 198 0 u/ - 34u - 19 . * = u/ - 34u - 198 : u/ : 34u 0 19 * = :

7. Reducir:( ) ( ) ( ) ( )2 23 1 1 1 1 1 R x x x x x x= + − + + − + +

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 23

3 3 3 33

23 33

3 6

3 6 2

1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

1 1

R x x x x x x

x x

x

x

x x

= + − + − + + += + − +

= − +

= − += =

#. $impli2car la expresi'n al#e raica!

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 4 2 1 2 3 E x x x x x x= + − − − − + +



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Solución

&rdenando de manera conveniente

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

22 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

22 2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

4 4 1 3 ! 4

1 3

2 2 3

2 2 3

3

4 4 3 4

8 16 4 3 1216 12 4

E x x x x x cambio de variable a x

E a x a x x

E a ax x a x x

E a ax x ax ax a

E a x ax a

E x x x x x

E x x x x x x E

⇒ = − + − − − + = −⇒ = + − − +⇒ = + + − + −⇒ = + + − − +⇒ = + − +⇒ = − + − − + −⇒ = − + + − + + −⇒ = − =

$. $i!2

4(x y) xy+ = , %alle el valor de! * =9 9 xyx y

x y− + +

Solución:

De la expresi'n2

4(x y) xy+ = desarrollamos el inomio al cuadrado

x/ - 1x" - "/ = 4x"x/ : 1x" 0 4x" - "/ =8

x/ : 1x" - "/ =8x : "./ = 8 x =" ;;;;;;)) 7.

Remplazando 7. en * o tenemos

x x

x x xx

x x E 2

299 =++−=

2 x

E =

10. Sí1 10 x x −+ = . Calcular

2 2 62 x x−+ −

Solución:

En el dato

110 x

x+ = elevamos al cuadrado ambos miembros:



5/8

22

22

2

2

22

110

1 12 100

12 100

198

x x

x x x x

x x

x x

+ = ÷

+ + =

+ + =+ =

Reemplazando en

2 2 22

162 62 98 62 36 6 x x x

x−+ − = + − = − = =

11. $i! 6 ba −=+ , adem


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$i)5422).(5422( 3 23 2 −−−+ nnnn

+sando la propiedad de raícesnnn b xab xa =

)5422)(5422((3 22 −−−+ nnnn

>ue#o por diferencia de cuadrados se tiene

3 222 )542()2(( −− nn3 22 54.444( +− nn

63.227.2.4( 3 ==

1 . Hallar el valor de!( )( )( )( )( )32 16884422 ##x#x#x#x#x$ +++++−= , para x = 97

Solución:

Aplicando la diferencia de cuadrados!( )( )( )( )32 1688442222 ##x#x#x#x$ ++++−=( )( )( )32 16884444 ##x#x#x$ +++−=( )( )32 168888 ##x#x$ ++−=

32 161616 ##x$ +−=32 16x$ =

x$ =9$ =

1!. $i62"

x y y x

+ = entonces %alle el valor de

13

" 0 0. x y

P x y xy

+= ∀ > ∧ >

Solución:

De la i#ualdad62

x yy x

+ = desarrollemos las operaciones al#e raicas

62=+ x y

y x

xy y x 6222

=+



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>ue#o adicionemos 1x" a am os lados de la i#ualdad así

xy xy y xy x 2622 22 +=++

?or inomio al cuadrado " sacando raíz cuadrada a am os lados de lai#ualdad se tiene

xy y x 64)( 2 =+ xy y x 8=+

;;;)) 7.

Remplazando 7. en ? se tiene

28)8()( 331

31

===+= xy xy

xy y x P

1). $impli2car!

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 6 61 1 1 1 1 1 x x x x x x x x+ − + + − + − + −

Solución !

Como en la primer parte todos est


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1". $i2!a b m ab n+ = = , ademue#o reemplazando en

3 3 13 ( ) 3

a bab a b

+ =+

3 2

2

3 13 3

m n mn m− =

@$acando factor común m

( )2 22

3 13 3

m m n

n m

−=

2 2

2

2 2 2

2 2

31

3

4

m nn

m n n

m n

−=

− ==

2

2 4mn

=, entonces

2mn

=

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2016-0

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