Processos Aleat orios e Ru do -...

Processos Aleatorios e Ruıdo

Luis Henrique Assumpcao Lolis

11 de fevereiro de 2014

Luis Henrique Assumpcao Lolis Processos Aleatorios e Ruıdo 1

Conteudo

1 Processos Aleatorios

2 Media, Correlacao e Covariancia

3 Passagem do Processo Estacionario por um Sistema Linear

4 Densidade espectral de potencia

5 Processo Gaussiano


Sumario







Sinais Aleatorios - Introducao

Probabilıstico

Fonte aleatoria

Ruıdo do canal

PotenciaDensidade de Potencia


Definicao Matematica

Varia no tempo

Valor exato imprevisıvel


Processo Aleatorio

Um processo aleatorio, observado num instante de tempo euma variavel aleatoria

Processo Aleatorio: conjunto indexado de V.A. onde o ındicee o tempo

Para uma V.A: o resultado de um experimento aleatorio eassociado a um numero

Para um processo aleatorio: o resultado de um experimentoaleatorio e associado a uma forma de onda que e uma funcaodo tempo


Definicao Matematica

X(t, s), −T ≤ t ≤ T2T - Tempo total de observacao

xj(t) = X(t, sj)

O Processo Estocastico

E um conjunto de funcoes no tempo trazendo uma regra deprobabilidade. Essa probabilidade traz a probabilidade paraqualquer evento significativo de uma amostra das funcoes doprocesso aleatorio


Processos Aleatorios: Caracterizacao Estatıstica

Funcao de Distribuicao Conjunta:FX(t1)X(t2)···X(tk)(x1, x2, . . . , xk)

Processo Aleatorio Estacionario: A sua caracterizacaoestatıstica e independente do tempo em que a observacao doprocesso e iniciada

FX(t1+τ)X(t2+τ)···X(tk+τ)(x1, x2, . . . , xk) = FX(t1)X(t2)···X(tk)(x1, x2, . . . , xk)


Sumario







Media, Correlacao e Covariancia

Media

No instante t:

µX(t) = E [X(t)] =

∫ ∞−∞

xfX(t)(x)dx

Sendo estacionario:

µX(t) = µX para todo t

Autocorrelacao

RX(t1, t2) = E [X(t1)X(t2)] =∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

x1x2fX(t1)X(t2)(x1, x2) dx1dx2

Se o processo for estacionario:

RX(t1, t2) = RX(t2 − t1) = RX(τ) para todo t1 e t2, ondeτ = t2 − t1


Media, Correlacao e Covariancia

Autocovariancia de um processo estritamente estacionario:

CX (t1, t2) = E [(X(t1)− µX) (X(t2)− µX)]= RX (t2 − t1)− µ2X


Propriedades da Autocorrelacao

Definimos a autocorrelacao de um processo estacinoariocomo:

RX(τ) = E [X (t+ τ)X(t)] para todo t

Media QuadraticaRX(0) = E[X2(t)]

Autocorrelacao e uma funcao par

RX(τ) = RX(−τ)

A autocorrelacao e maxima para τ = 0

|Rx(τ)| ≤ Rx(0)

O sinal aleatorio varia mais rapidamente se a autocorrelacaodecai rapidamente em funcao de τ


Exemplo: Onda Senoidal com Fase Aleatoria


Exemplo: Sequencia Binaria Aleatoria

RX(τ) =

{A2[1− |τ |T

], |τ | < T

0, |τ | ≥ T

}


Ergodismo

Um processo estocastico pode ter uma media em relacao asamostras µX e nao varia para o valor de t para um processoestacionario

Um processo estocastico tambem tem uma media no tempopara uma realizacao x(t), µx(T ) calculada num intervalo T :

A variavel e ergotica se:

limT→∞

µx(T ) = µX

limT→∞

var [µx(T )] = 0


Sumario







Passagem por um Sistema Linear

Media

Y (t) =

∫ ∞−∞

h(τ1)X(t− τ1)dτ1

µY (t) = E[Y (t)] = E

[∫ ∞−∞

h(τ1)X(t− τ1)dτ1]Luis Henrique Assumpcao Lolis Processos Aleatorios e Ruıdo 18


se E[X(t)] e finita para todo t e o sistema e estavel:

µY (t) =

∫ ∞−∞

h(τ1)E [X (t− τ1)] dτ1

=

∫ ∞−∞

h(τ1)µX(t− τ1)dτ1com x(t) um processo estacionario:µX(t− τ1) = µX

µY = µX

∫ ∞−∞

h(τ1)dτ1 = µXH(0)∫ ∞−∞

h(τ1)dτ1 =

∫ ∞−∞

h(τ1)dτ1e−j2π0τdτ = H(0)



Autocorrelacao e Media Quadratica (potencia)

RY (t, u) = E [Y (t)Y (u)]

RY (t, u) =

E

[∫ ∞−∞

h(τ1)X(t− τ1)dτ1∫ ∞−∞

h(τ2)X(u− τ2)dτ2]

Se E[X2(t)] e finito para todo t e o sistema e estavel:

RY (t, u) =∫ ∞−∞

h(τ1)dτ1

∫ ∞−∞

h(τ2)E [X(t− τ1)X(u− τ2)] dτ2

=

∫ ∞−∞

h(τ1)dτ1

∫ ∞−∞

h(τ2)RX(t− τ1, u− τ2)dτ2



Sendo X(t) estacionario, a funcao de autocorrelacao sodepende de do intervalo das funcoes, nesse caso:(u− τ2)− (t− τ1). Sendo assim e definindo τ = t− u:

(u− τ2)− (t− τ1) = τ − τ1 − τ2Dessa forma a autocorrelacao de Y fica:

RY (τ) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

h(τ1)h(τ2)RX(τ − τ1 − τ2)dτ1dτ2

E RY (0) para τ = 0 fica:

E[Y 2(t)] = RY (0) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

h(τ1)h(τ2)RX(τ2 − τ1)dτ1τ2


Sumario







Densidade espectral de potencia

Sinal aleatorio - sem funcao definida

A transformada de Fourier se aplica a uma funcao definida

Funcao de densidade de probabilidade - e uma funcao fechada

Para entender como um sinal aleatorio se distribui nafrequencia: densidade espectral de potencia

Transformada de Fourier da funcao de autocorrelacao de sinalaleatorio


Definicao matematica

SX(f) =

∫ ∞−∞

RX(τ)e−j2πfτdτ


Potencia do sinal e passagem por filtro

h(τ1) =

∫ ∞−∞

H(f)ej2πfτ1df

E[Y 2(t)] =∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

[∫ ∞−∞

H(f)ej2πfτ1df

]h(τ2)RX(τ2 − τ1)dτ1dτ2 =

O fator ej2πfτ1 nao depende da variavel de integracao df e evisto como uma constante para essa integral, logo podemosretira-la dessa integral. Como esse fator depende da variavelde integracao dτ1, esse fator passa multiplicando a integral dedτ1:∫ ∞−∞

H(f)df

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

h(τ2)RX(τ2 − τ1)ej2πfτ1dτ1τ2



∫ ∞−∞

H(f)df

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

h(τ2)RX(τ2 − τ1)ej2πfτ1dτ1τ2

Como RX(τ2 − τ1) ainda depende das duas variaveis τ1 e τ2,nao poderıamos separar essas duas variaveis. No entanto,sendo X um processo estacionario, a sua correlacao sodepende do intervalo τ = τ2 − τ1. Definimos:

τ = τ2 − τ1 e dτdτ1

= −1 fazemos a troca de variaveis:∫ ∞−∞

H(f)df

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

h(τ2)RX(τ)ej2πf(τ2−τ) − dτ1dτ2

Agora separamos as integrais em termos que dependemsomente da propria variavel de integracao variavel deintegracao:∫ ∞−∞

H(f)df

∫ ∞−∞

h(τ2)ej2πfτ2dτ2

∫ ∞−∞




E[Y 2(t)

]=∫ ∞

−∞H(f)df

∫ ∞−∞

h(τ2)ej2πfτ2dτ2

∫ ∞−∞


A integral do meio e o complexo conjugado da transformadade Fourier de h(τ2), H∗(f), de tal maneira que:

E[Y 2(t)

]=

∫ ∞−∞|H(f)|2 SX(f)df

O valor medio quadratico (potencia) da saıda de um filtro linearestavel invariante no tempo em resposta a um processoestacionario e igual a integral sobre todas as frequencias dadensidade espectral de potencia do processo de entradamultiplicada pelo modulo da resposta do filtro elevada ao quadrado


Densidade Espectral de Potencia: Propriedades

1 SX(0) =

∫ ∞−∞

RX(τ) dτ

O valor da densidade espectral de potencia para a frequencia zero e a area abaixofuncao de autocorrelacao

2 E[X2(t)

]=

∫ ∞−∞

SX(f) df

A media quadratica de um processo estacionario e a area abaixo da densidadeespectral de potencia

3 SX(f) ≥ 0 para todo fA densidade espectral de potencia e sempre nao negativa

4 SX(−f) = SX(f) se o processo aleatorio for realA densidade espectral de potencia de um sinal real e uma funcao par


Exemplo: Onda senoidal com fase aleatoria

RX(τ) = A2

2 cos(2πfcτ) SX(f) = A2

4 [δ(f − fc) + δ(f + fc)]∫ ∞−∞

SX(f)df =A2

2


Exemplo: Sequencia Binaria Aleatoria

RX(τ) =

{A2[1− |τ |T

], |τ | < T

0, |τ | ≥ T

}SX(f) = A2T sinc2(fT )


Sumario







Processos Gaussianos

fY (y) =1√

2πσYexp

[− (y − µY )2

2σ2Y

]

Teorema do Limite Central

O efeito soma devido a um grande numero de causasindependentes tende a um processo Gaussiano:

Y = X1 +X2 + · · ·+Xn ≈ Gaussiana para n→∞


Propriedades de um Processo Gaussiano, X(t)

1 Quando X(t) passa por um sistema LIT, o processo de saıdacontinua sendo Gaussiano

2 Considerando um conjunto de V.A., X(t1), X(t2), . . . , X(tn),resultantes da observacao de X(t) em t1, t2, . . . , tn, se X(t)for Gaussiano, esse conjunto de V.A. sera conjuntamenteGaussiano ∀n

3 Se as V.A. X(t1), X(t2), . . . , X(tn) de um processoGaussiano nao sao correlacionadas, ou seja, se

E[(X(tk)− µX(tk)

) (X(ti)− µX(ti)

)]= 0, i 6= k

entao essas V.A. sao estatisticamente independentes


Ruıdo

Ruıdo

Sinais indesejaveis que perturbam a transmissao e o processamentode sinais no receptor e que sao incontrolaveis

Fontes externas: ruıdo atmosferico, galactico e ruıdoprovocado pelo homem

Fontes internas: flutuacoes espontaneas de corrente ou tensaoem circuitos eletricos

Ruıdo Impulsivo: Resulta da natureza discreta da correnteRuıdo Termico: Resulta do movimento aleatorio de eletronsem um condutor.


Modelo Equivalente de Ruıdo Termico

E[V 2TN ] = 4kTR∆f(Volts)2

k− Constante de Boltzmann(k = 1, 38× 10−23 Joules/K) T−Temperatura em K R− Resistencia emOhms ∆f− Largura de banda em Hz


Ruıdo Branco

Ruıdo Branco: Forma idealizada cuja densidade espectral depotencia e independente da frequencia de operacao (contemfrequencia e potencia infinita).

Temperatura equivalente de ruıdo do receptor (N0 = kTe)

Temperatura de um resistor ruidoso de tal maneira que quandoconectado a versao de um sistema sem ruıdo, produz o mesmoruıdo na saıda que as o sistema produz com as fontes de ruıdoreais do sistema.

Exemplo: Ruıdo na saıda de um filtro passa-baixas ideal

SN (f) =

{ N0

2, −B < f < B

0, |f | > B

RN (τ) =

∫ ∞−∞

N0

2ej2πfτdf = N0B sinc(2Bτ)


Processos Aleat orios e Ru do -...

Documents

Transcript of Processos Aleat orios e Ru do -...