problembk.ps

8/21/2019 problembk.ps

http://slidepdf.com/reader/full/problembkps 1/79

M a t h P r o b l e m B o o k I

c o m p i l e d b y

K i n Y . L i

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s

H o n g K o n g U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y

C o p y r i g h t

c

2 0 0 1 H o n g K o n g M a t h e m a t i c a l S o c i e t y I M O ( H K ) C o m m i t t

P r i n t e d i n H o n g K o n g



P r e f a c e

T h e r e a r e o v e r f t y c o u n t r i e s i n t h e w o r l d n o w a d a y s t h a t h o l d m a t h -

e m a t i c a l o l y m p i a d s a t t h e s e c o n d a r y s c h o o l l e v e l a n n u a l l y . I n H u n g a r y ,

R u s s i a a n d R o m a n i a , m a t h e m a t i c a l c o m p e t i t i o n s h a v e a l o n g h i s t o r y , d a t -

i n g b a c k t o t h e l a t e 1 8 0 0 ' s i n H u n g a r y ' s c a s e . M a n y p r o f e s s i o n a l o r a m a -

t e u r m a t h e m a t i c i a n s d e v e l o p e d t h e i r i n t e r e s t i n m a t h b y w o r k i n g o n t h e s e

o l y m p i a d p r o b l e m s i n t h e i r y o u t h s a n d s o m e i n t h e i r a d u l t h o o d s a s w e l l .

T h e p r o b l e m s i n t h i s b o o k c a m e f r o m m a n y s o u r c e s . F o r t h o s e i n v o l v e d

i n i n t e r n a t i o n a l m a t h c o m p e t i t i o n s , t h e y n o d o u b t w i l l r e c o g n i z e m a n y o f

t h e s e p r o b l e m s . W e t r i e d t o i d e n t i f y t h e s o u r c e s w h e n e v e r p o s s i b l e , b u t

t h e r e a r e s t i l l s o m e t h a t e s c a p e u s a t t h e m o m e n t . H o p e f u l l y , i n f u t u r e

e d i t i o n s o f t h e b o o k w e c a n l l i n t h e s e m i s s i n g s o u r c e s w i t h t h e h e l p o f t h e

k n o w l e d g e a b l e r e a d e r s .

T h i s b o o k i s f o r s t u d e n t s w h o h a v e c r e a t i v e m i n d s a n d a r e i n t e r e s t e d i n

m a t h e m a t i c s . T h r o u g h p r o b l e m s o l v i n g , t h e y w i l l l e a r n a g r e a t d e a l m o r e

t h a n s c h o o l c u r r i c u l a c a n o e r a n d w i l l s h a r p e n t h e i r a n a l y t i c a l s k i l l s . W e

h o p e t h e p r o b l e m s c o l l e c t e d i n t h i s b o o k w i l l s t i m u l a t e t h e m a n d s e d u c e

t h e m t o d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f w h a t m a t h e m a t i c s i s a l l a b o u t . W e h o p e

t h e i n t e r n a t i o n a l m a t h c o m m u n i t i e s s u p p o r t o u r e o r t s f o r u s i n g t h e s e b r i l -

l i a n t p r o b l e m s a n d s o l u t i o n s t o a t t r a c t o u r y o u n g s t u d e n t s t o m a t h e m a t i c s .

M o s t o f t h e p r o b l e m s h a v e b e e n u s e d i n p r a c t i c e s e s s i o n s f o r s t u d e n t s

p a r t i c i p a t e d i n t h e H o n g K o n g I M O t r a i n i n g p r o g r a m W e a r e e s p e c i a l l y

p l e a s e d w i t h t h e e o r t s o f t h e s e s t u d e n t s I n f a c t , t h e o r i g i n a l m o t i v a t i o n

f o r w r i t i n g t h e b o o k w a s t o r e w a r d t h e m i n s o m e w a y s , e s p e c i a l l y t h o s e w h o

w o r k e d s o h a r d t o b e c o m e r e s e r v e o r t e a m m e m b e r s . I t i s o n l y t t i n g t o

l i s t t h e i r n a m e s a l o n g w i t h t h e i r s o l u t i o n s . A g a i n t h e r e a r e u n s u n g h e r o s

i i i

w h o c o n t r i b u t e d s o l u t i o n s , b u t w h o s e n a m e s w e c a n o n l y h o p e t o i d e n t i

i n f u t u r e e d i t i o n s .

A s t h e t i t l e o f t h e b o o k s u g g e s t , t h i s i s a p r o b l e m b o o k . S o v e r y l i t t

i n t r o d u c t i o n m a t e r i a l s c a n b e f o u n d . W e d o p r o m i s e t o w r i t e a n o t h e r b o o

p r e s e n t i n g t h e m a t e r i a l s c o v e r e d i n t h e H o n g K o n g I M O t r a i n i n g p r o g r a m

T h i s , f o r c e r t a i n , w i l l i n v o l v e t h e d e d i c a t i o n o f m o r e t h a n o n e p e r s o n . A l s

t h i s i s t h e r s t o f a s e r i e s o f p r o b l e m b o o k s w e h o p e . F r o m t h e r e s u l t s

t h e H o n g K o n g I M O p r e l i m i n a r y c o n t e s t s , w e c a n s e e w a v e s o f n e w c r e a t i

m i n d s a p p e a r i n t h e t r a i n i n g p r o g r a m c o n t i n u o u s l y a n d t h e y a r e y o u n g

a n d y o u n g e r . M a y b e t h e n e x t p r o b l e m b o o k i n t h e s e r i e s w i l l b e w r i t t e n

o u r s t u d e n t s .

F i n a l l y , w e w o u l d l i k e t o e x p r e s s d e e p g r a t i t u d e t o t h e H o n g K o

Q u a l i t y E d u c a t i o n F u n d , w h i c h p r o v i d e d t h e s u p p o r t t h a t m a d e t h i s b o

p o s s i b l e

K i n Y .

H o n g K o

A p r i l , 2 0

i v



A d v i c e s t o t h e R e a d e r s

T h e o n l y w a y t o l e a r n m a t h e m a t i c s i s t o d o m a t h e m a t i c s . I n t h i s

b o o k , y o u w i l l n d m a n y m a t h p r o b l e m s , r a n g i n g f r o m s i m p l e t o c h a l l e n g i n g

p r o b l e m s Y o u m a y n o t s u c c e e d i n s o l v i n g a l l t h e p r o b l e m s V e r y f e w

p e o p l e c a n s o l v e t h e m a l l T h e p u r p o s e s o f t h e b o o k a r e t o e x p o s e y o u t o

m a n y i n t e r e s t i n g a n d u s e f u l m a t h e m a t i c a l i d e a s , t o d e v e l o p y o u r s k i l l s i n

a n a l y z i n g p r o b l e m s a n d m o s t i m p o r t a n t o f a l l , t o u n l e a s h y o u r p o t e n t i a l

o f c r e a t i v i t y . W h i l e t h i n k i n g a b o u t t h e p r o b l e m s , y o u m a y d i s c o v e r t h i n g s

y o u n e v e r k n o w b e f o r e a n d p u t t i n g i n y o u r i d e a s , y o u c a n c r e a t e s o m e t h i n g

y o u c a n b e p r o u d o f

T o s t a r t t h i n k i n g a b o u t a p r o b l e m , v e r y o f t e n i t i s h e l p f u l t o l o o k a t

t h e i n i t i a l c a s e s , s u c h a s w h e n n = 2 ; 3 ; 4 ; 5 T h e s e c a s e s a r e s i m p l e e n o u g h

t o l e t y o u g e t a f e e l i n g o f t h e s i t u a t i o n s . S o m e t i m e s , t h e i d e a s i n t h e s e

c a s e s a l l o w y o u t o s e e a p a t t e r n , w h i c h c a n s o l v e t h e w h o l e p r o b l e m . F o r

g e o m e t r y p r o b l e m s , a l w a y s d r a w a p i c t u r e a s a c c u r a t e a s p o s s i b l e r s t

H a v e p r o t r a c t o r , r u l e r a n d c o m p a s s r e a d y t o m e a s u r e a n g l e s a n d l e n g t h s .

O t h e r t h i n g s y o u c a n t r y i n t a c k l i n g a p r o b l e m i n c l u d e c h a n g i n g t h e

g i v e n c o n d i t i o n s a l i t t l e o r e x p e r i m e n t i n g w i t h s o m e s p e c i a l c a s e s r s t

S o m e t i m e s m a y b e y o u c a n e v e n g u e s s t h e a n s w e r s f r o m s o m e c a s e s , t h e n

y o u c a n s t u d y t h e f o r m o f t h e a n s w e r s a n d t r a c e b a c k w a r d

F i n a l l y , w h e n y o u g u r e o u t t h e s o l u t i o n s , d o n ' t j u s t s t o p t h e r e . Y o u

s h o u l d t r y t o g e n e r a l i z e t h e p r o b l e m , s e e h o w t h e g i v e n f a c t s a r e n e c e s s a r y

f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m . T h i s m a y h e l p y o u t o s o l v e r e l a t e d p r o b l e m s l a t e r

o n . A l w a y s t r y t o w r i t e o u t y o u r s o l u t i o n i n a c l e a r a n d c o n c i s e m a n n e r .

A l o n g t h e w a y , y o u w i l l p o l i s h t h e a r g u m e n t a n d s e e t h e s t e p s o f t h e s o -

l u t i o n s m o r e c l e a r l y . T h i s h e l p s y o u t o d e v e l o p s t r a t e g i e s f o r d e a l i n g w i t h

o t h e r p r o b l e m s .

v

T h e s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n t h e b o o k a r e b y n o m e a n s t h e o n l y w a

t o d o t h e p r o b l e m s . I f y o u h a v e a n i c e e l e g a n t s o l u t i o n t o a p r o b l e m a

w o u l d l i k e t o s h a r e w i t h o t h e r s ( i n f u t u r e e d i t i o n s o f t h i s b o o k ) , p l e a s e s e

i t t o u s b y e m a i l a t m a k y l i @ u s t . h k . A l s o i f y o u h a v e s o m e t h i n g y o u c a n n

u n d e r s t a n d , p l e a s e f e e l f r e e t o c o n t a c t u s b y e m a i l . W e h o p e t h i s b o o k w

i n c r e a s e y o u r i n t e r e s t i n m a t h .

F i n a l l y , w e w i l l o e r o n e l a s t a d v i c e . D o n ' t s t a r t w i t h p r o b l e m 1 . R e

t h e s t a t e m e n t s o f t h e p r o b l e m s a n d s t a r t w i t h t h e o n e s t h a t i n t e r e s t y o u t

m o s t . W e r e c o m m e n d i n s p e c t i n g t h e l i s t o f m i s c e l l a n e o u s p r o b l e m s r s t .

H a v e a f u n t i m e .

v i



T a b l e o f C o n t e n t s

P r e f a c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : i i i

A d v i c e s t o t h e R e a d e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : v

C o n t r i b u t o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : i x

A l g e b r a P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

G e o m e t r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0

N u m b e r T h e o r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8

C o m b i n a t o r i c s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4

M i s c e l l a n e o u s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 8

S o l u t i o n s t o A l g e b r a P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5

S o l u t i o n s t o G e o m e t r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 9

S o l u t i o n s t o N u m b e r T h e o r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 8

S o l u t i o n s t o C o m b i n a t o r i c s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 1

S o l u t i o n s t o M i s c e l l a n e o u s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3 5



C o n t r i b u t o r s

C h a n K i n H a n g , 1 9 9 8 , 1 9 9 9 , 2 0 0 0 , 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

C h a n M i n g C h i u , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

C h a o K h e k L u n , 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

C h e n g K e i T s i , 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

C h e u n g P o k M a n , 1 9 9 7 , 1 9 9 8 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

F a n W a i T o n g , 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

F u n g H o Y i n , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

H o W i n g Y i p , 1 9 9 4 , 1 9 9 5 , 1 9 9 6 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

K e e W i n g T a o , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

L a m P o L e u n g , 1 9 9 9 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

L a m P e i F u n g , 1 9 9 2 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

L a u L a p M i n g , 1 9 9 7 , 1 9 9 8 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

L a w K a H o , 1 9 9 8 , 1 9 9 9 , 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

L a w S i u L u n g , 1 9 9 6 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

L e e T a k W i n g , 1 9 9 3 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

L e u n g W a i Y i n g , 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

L e u n g W i n g C h u n g , 1 9 9 7 , 1 9 9 8 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

M o k T z e T a o , 1 9 9 5 , 1 9 9 6 , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

N g K a M a n , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

N g K a W i n g , 1 9 9 9 , 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

P o o n W a i H o i , 1 9 9 4 , 1 9 9 5 , 1 9 9 6 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

P o o n W i n g C h i , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

T a m S i u L u n g , 1 9 9 9 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

T o K a r K e u n g , 1 9 9 1 , 1 9 9 2 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

W o n g C h u n W a i , 1 9 9 9 , 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

W o n g H i m T i n g , 1 9 9 4 , 1 9 9 5 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

Y u K a C h u n , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

Y u n g F a i , 1 9 9 3 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

i x



P r o b l e m s



A l g e b r a P r o b l e m s

P o l y n o m i a l s

1 . ( C r u x M a t h e m a t i c o r u m , P r o b l e m 7 ) F i n d ( w i t h o u t c a l c u l u s ) a f t h

d e g r e e p o l y n o m i a l p ( x ) s u c h t h a t p ( x ) + 1 i s d i v i s i b l e b y ( x 1 )

3

a n d

p ( x ) 1 i s d i v i s i b l e b y ( x + 1 )

3

2 . A p o l y n o m i a l P ( x ) o f t h e n - t h d e g r e e s a t i s e s P ( k ) = 2

k

f o r k =

0 ; 1 ; 2 ; ; n F i n d t h e v a l u e o f P ( n + 1 )

3 . ( 1 9 9 9 P u t n a m E x a m ) L e t P ( x ) b e a p o l y n o m i a l w i t h r e a l c o e c i e n t s

s u c h t h a t P ( x ) 0 f o r e v e r y r e a l x P r o v e t h a t

P ( x ) = f

1

( x )

2

+ f

2

( x )

2

+ + f

n

( x )

2

f o r s o m e p o l y n o m i a l s f

1

( x ) ; f

2

( x ) ; ; f

n

( x ) w i t h r e a l c o e c i e n t s

4 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I s i t p o s s i b l e t o n d t h r e e q u a d r a t i c

p o l y n o m i a l s f ( x ) ; g ( x ) ; h ( x ) s u c h t h a t t h e e q u a t i o n f ( g ( h ( x ) ) ) = 0 h a s

t h e e i g h t r o o t s 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ?

5 . ( 1 9 6 8 P u t n a m E x a m ) D e t e r m i n e a l l p o l y n o m i a l s w h o s e c o e c i e n t s a r e

a l l 1 t h a t h a v e o n l y r e a l r o o t s .

6 . ( 1 9 9 0 P u t n a m E x a m ) I s t h e r e a n i n n i t e s e q u e n c e a

0

; a

1

; a

2

; o f

n o n z e r o r e a l n u m b e r s s u c h t h a t f o r n = 1 ; 2 ; 3 ; ; t h e p o l y n o m i a l

P

n

( x ) = a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ + a

n

x

n

h a s e x a c t l y n d i s t i n c t r e a l r o o t s ?

7 . ( 1 9 9 1 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t P ( x ) b e a p o l y n o m i a l

w i t h r e a l c o e c i e n t s s u c h t h a t P ( x ) 0 f o r 0 x 1 S h o w t h a t

t h e r e a r e p o l y n o m i a l s A ( x ) ; B ( x ) ; C ( x ) w i t h r e a l c o e c i e n t s s u c h t h a t

( a ) A ( x ) 0 ; B ( x ) 0 ; C ( x ) 0 f o r a l l r e a l x a n d

( b ) P ( x ) = A ( x ) + x B ( x ) + ( 1 x ) C ( x ) f o r a l l r e a l x

( F o r e x a m p l e , i f P ( x ) = x ( 1 x ) ; t h e n P ( x ) = 0 + x ( 1 x )

2

+ ( 1 x ) x

2

)

1

8 . ( 1 9 9 3 I M O ) L e t f ( x ) = x

n

+ 5 x

n 1

+ 3 ; w h e r e n > 1 i s a n i n t e g e

P r o v e t h a t f ( x ) c a n n o t b e e x p r e s s e d a s a p r o d u c t o f t w o p o l y n o m i a

e a c h h a s i n t e g e r c o e c i e n t s a n d d e g r e e a t l e a s t 1 .

9 . P r o v e t h a t i f t h e i n t e g e r a i s n o t d i v i s i b l e b y 5 , t h e n f ( x ) = x

5

x +

c a n n o t b e f a c t o r e d a s t h e p r o d u c t o f t w o n o n c o n s t a n t p o l y n o m i a l s w i

i n t e g e r c o e c i e n t s .

1 0 . ( 1 9 9 1 S o v i e t M a t h O l y m p i a d ) G i v e n 2 n d i s t i n c t n u m b e r s a

1

; a

2

; ; a

b

1

; b

2

; ; b

n

; a n n n t a b l e i s l l e d a s f o l l o w s : i n t o t h e c e l l i n t h e i -

r o w a n d j - t h c o l u m n i s w r i t t e n t h e n u m b e r a

i

+ b

j

P r o v e t h a t i f t

p r o d u c t o f e a c h c o l u m n i s t h e s a m e , t h e n a l s o t h e p r o d u c t o f e a c h r o

i s t h e s a m e .

1 1 . L e t a

1

; a

2

; ; a

n

a n d b

1

; b

2

; ; b

n

b e t w o d i s t i n c t c o l l e c t i o n s o f n p o

i t i v e i n t e g e r s , w h e r e e a c h c o l l e c t i o n m a y c o n t a i n r e p e t i t i o n s . I f t h e t w

c o l l e c t i o n s o f i n t e g e r s a

i

+ a

j

( 1 i < j n ) a n d b

i

+ b

j

( 1 i < j

a r e t h e s a m e , t h e n s h o w t h a t n i s a p o w e r o f 2 .

R e c u r r e n c e R e l a t i o n s

1 2 . T h e s e q u e n c e x

n

i s d e n e d b y

x

1

= 2 ; x

n + 1

=

2 + x

n

1 2 x

n

; n = 1 ; 2 ; 3 ;

P r o v e t h a t x

n

6 =

1

2

o r 0 f o r a l l n a n d t h e t e r m s o f t h e s e q u e n c e a r e

d i s t i n c t .

1 3 . ( 1 9 8 8 N a n c h a n g C i t y M a t h C o m p e t i t i o n ) D e n e a

1

= 1 ; a

2

= 7 a n

a

n + 2

=

a

2

n + 1

1

a

n

f o r p o s i t i v e i n t e g e r n P r o v e t h a t 9 a

n

a

n + 1

+ 1 i s

p e r f e c t s q u a r e f o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r n

1 4 . ( P r o p o s e d b y B u l g a r i a f o r 1 9 8 8 I M O ) D e n e a

0

= 0 ; a

1

= 1 a n d a

n

2 a

n 1

+ a

n 2

f o r n > 1 S h o w t h a t f o r p o s i t i v e i n t e g e r k ; a

n

i s d i v i s i b

b y 2

k

i f a n d o n l y i f n i s d i v i s i b l e b y 2

k

2



1 5 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 2 9 9 8 ) L e t x a n d y b e

d i s t i n c t c o m p l e x n u m b e r s s u c h t h a t

x

n

y

n

x y

i s a n i n t e g e r f o r s o m e

f o u r c o n s e c u t i v e p o s i t i v e i n t e g e r s n S h o w t h a t

x

n

y

n

x y

i s a n i n t e g e r

f o r a l l p o s i t i v e i n t e g e r s n

I n e q u a l i t i e s

1 6 . F o r r e a l n u m b e r s a

1

; a

2

; a

3

; ; i f a

n 1

+ a

n + 1

2 a

n

f o r n = 2 ; 3 ; ;

t h e n p r o v e t h a t

A

n 1

+ A

n + 1

2 A

n

f o r n = 2 ; 3 ; ;

w h e r e A

n

i s t h e a v e r a g e o f a

1

; a

2

; ; a

n

1 7 . L e t a ; b ; c > 0 a n d a b c 1 P r o v e t h a t

a

c

+

b

a

+

c

b

a + b + c

1 8 . ( 1 9 8 2 M o s c o w M a t h O l y m p i a d ) U s e t h e i d e n t i t y 1

3

+ 2

3

+ + n

3

=

n

2

( n + 1 )

2

4

t o p r o v e t h a t f o r d i s t i n c t p o s i t i v e i n t e g e r s a

1

; a

2

; ; a

n

;

( a

7

1

+ a

7

2

+ + a

7

n

) + ( a

5

1

+ a

5

2

+ + a

5

n

) 2 ( a

3

1

+ a

3

2

+ + a

3

n

)

2

C a n e q u a l i t y o c c u r ?

1 9 . ( 1 9 9 7 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t a

1

a

n

a

n + 1

= 0 b e a

s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s . P r o v e t h a t

v

u

u

t

n

X

k = 1

a

k

n

X

k = 1

p

k (

p

a

k

p

a

k + 1

)

3

2 0 . ( 1 9 9 4 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t ) F o r 0 a b c d e a n

a + b + c + d + e = 1 ; s h o w t h a t

a d + d c + c b + b e + e a

1

5

2 1 . ( 1 9 8 5 W u h u C i t y M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t x ; y ; z b e r e a l n u m b e r s s u

t h a t x + y + z = 0 S h o w t h a t

6 ( x

3

+ y

3

+ z

3

)

2

( x

2

+ y

2

+ z

2

)

3

2 2 . ( 1 9 9 9 I M O ) L e t n b e a x e d i n t e g e r , w i t h n 2

( a ) D e t e r m i n e t h e l e a s t c o n s t a n t C s u c h t h a t t h e i n e q u a l i t y

X

1 i < j n

x

i

x

j

( x

2

i

+ x

2

j

) C

X

1 i n

x

i

4

h o l d s f o r a l l n o n n e g a t i v e r e a l n u m b e r s x

1

; x

2

; ; x

n

( b ) F o r t h i s c o n s t a n t C ; d e t e r m i n e w h e n e q u a l i t y h o l d s .

2 3 . ( 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t n 2 a n d 0 x

i

1 f

i = 1 ; 2 ; ; n P r o v e t h a t

( x

1

+ x

2

+ + x

n

) ( x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ + x

n 1

x

n

+ x

n

x

1

)

h

n

2

i

w h e r e x ] i s t h e g r e a t e s t i n t e g e r l e s s t h a n o r e q u a l t o x

2 4 . F o r e v e r y t r i p l e t o f f u n c t i o n s f ; g ; h : 0 ; 1 ] ! R ; p r o v e t h a t t h e r e a

n u m b e r s x ; y ; z i n 0 ; 1 ] s u c h t h a t

j f ( x ) + g ( y ) + h ( z ) x y z j

1

3

2 5 . ( P r o p o s e d b y G r e a t B r i t a i n f o r 1 9 8 7 I M O ) I f x ; y ; z a r e r e a l n u m b e

s u c h t h a t x

2

+ y

2

+ z

2

= 2 ; t h e n s h o w t h a t x + y + z x y z + 2

4



2 6 . ( P r o p o s e d b y U S A f o r 1 9 9 3 I M O ) P r o v e t h a t f o r p o s i t i v e r e a l n u m b e r s

a ; b ; c ; d ;

a

b + 2 c + 3 d

+

b

c + 2 d + 3 a

+

c

d + 2 a + 3 b

+

d

a + 2 b + 3 c

2

3

2 7 . L e t a

1

; a

2

; ; a

n

a n d b

1

; b

2

; ; b

n

b e 2 n p o s i t i v e r e a l n u m b e r s s u c h

t h a t

( a ) a

1

a

2

a

n

a n d

( b ) b

1

b

2

b

k

a

1

a

2

a

k

f o r a l l k ; 1 k n

S h o w t h a t b

1

+ b

2

+ + b

n

a

1

+ a

2

+ + a

n

2 8 . ( P r o p o s e d b y G r e e c e f o r 1 9 8 7 I M O ) L e t a ; b ; c > 0 a n d m b e a p o s i t i v e

i n t e g e r , p r o v e t h a t

a

m

b + c

+

b

m

c + a

+

c

m

a + b

3

2

a + b + c

3

m 1

2 9 . L e t a

1

; a

2

; ; a

n

b e d i s t i n c t p o s i t i v e i n t e g e r s , s h o w t h a t

a

1

2

+

a

2

8

+ +

a

n

n 2

n

1

1

2

n

3 0 . ( 1 9 8 2 W e s t G e r m a n M a t h O l y m p i a d ) I f a

1

; a

2

; ; a

n

> 0 a n d a =

a

1

+ a

2

+ + a

n

; t h e n s h o w t h a t

n

X

i = 1

a

i

2 a a

i

n

2 n 1

3 1 . P r o v e t h a t i f a ; b ; c > 0 ; t h e n

a

3

b + c

+

b

3

c + a

+

c

3

a + b

a

2

+ b

2

+ c

2

2

3 2 . L e t a ; b ; c ; d > 0 a n d

1

1 + a

4

+

1

1 + b

4

+

1

1 + c

4

+

1

1 + d

4

= 1

5

P r o v e t h a t a b c d 3

3 3 . ( D u e t o P a u l E r d o s ) E a c h o f t h e p o s i t i v e i n t e g e r s a

1

; ; a

n

i s l e s s t h a

1 9 5 1 . T h e l e a s t c o m m o n m u l t i p l e o f a n y t w o o f t h e s e i s g r e a t e r t h

1 9 5 1 . S h o w t h a t

1

a

1

+ +

1

a

n

< 1 +

n

1 9 5 1

3 4 . A s e q u e n c e ( P

n

) o f p o l y n o m i a l s i s d e n e d r e c u r s i v e l y a s f o l l o w s :

P

0

( x ) = 0 a n d f o r n 0 ; P

n + 1

( x ) = P

n

( x ) +

x P

n

( x )

2

2

P r o v e t h a t

0

p

x P

n

( x )

2

n + 1

f o r e v e r y n o n n e g a t i v e i n t e g e r n a n d a l l x i n 0 ; 1 ]

3 5 . ( 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t P ( x ) b e t h e r e a l p o l y n o m i a l f u n

t i o n , P ( x ) = a x

3

+ b x

2

+ c x + d P r o v e t h a t i f j P ( x ) j 1 f o r a l l x s u

t h a t j x j 1 ; t h e n

j a j + j b j + j c j + j d j 7

3 6 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m 4 4 2 6 ) L e t P ( z ) = a z

3

b z

2

+ c z + d ; w h e r e a ; b ; c ; d a r e c o m p l e x n u m b e r s w i t h j a j = j b j = j c j

j d j = 1 S h o w t h a t j P ( z ) j

p

6 f o r a t l e a s t o n e c o m p l e x n u m b e r

s a t i s f y i n g j z j = 1

3 7 . ( 1 9 9 7 H u n g a r i a n - I s r a e l i M a t h C o m p e t i t i o n ) F i n d a l l r e a l n u m b e r s

w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ; t h e r e e x i s t s

i n t e g e r m s u c h t h a t

m

n

<

1

3 n

?

3 8 . ( 1 9 7 9 B r i t i s h M a t h O l y m p i a d ) I f n i s a p o s i t i v e i n t e g e r , d e n o t e b y p (

t h e n u m b e r o f w a y s o f e x p r e s s i n g n a s t h e s u m o f o n e o r m o r e p o s i t i

i n t e g e r s . T h u s p ( 4 ) = 5 ; a s t h e r e a r e v e d i e r e n t w a y s o f e x p r e s s i

4 i n t e r m s o f p o s i t i v e i n t e g e r s ; n a m e l y

1 + 1 + 1 + 1 ; 1 + 1 + 2 ; 1 + 3 ; 2 + 2 ; a n d 4

6



P r o v e t h a t p ( n + 1 ) 2 p ( n ) + p ( n 1 ) 0 f o r e a c h n > 1

F u n c t i o n a l E q u a t i o n s

3 9 . F i n d a l l p o l y n o m i a l s f s a t i s f y i n g f ( x

2

) + f ( x ) f ( x + 1 ) = 0

4 0 . ( 1 9 9 7 G r e e k M a t h O l y m p i a d ) L e t f : ( 0 ; 1 ) ! R b e a f u n c t i o n s u c h

t h a t

( a ) f i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g ,

( b ) f ( x ) >

1

x

f o r a l l x > 0 a n d

( c ) f ( x ) f ( f ( x ) +

1

x

) = 1 f o r a l l x > 0

F i n d f ( 1 )

4 1 . ( 1 9 7 9 E o t v o s - K u r s c h a k M a t h C o m p e t i t i o n ) T h e f u n c t i o n f i s d e n e d

f o r a l l r e a l n u m b e r s a n d s a t i s e s f ( x ) x a n d f ( x + y ) f ( x ) + f ( y )

f o r a l l r e a l x ; y : P r o v e t h a t f ( x ) = x f o r e v e r y r e a l n u m b e r x

4 2 . ( P r o p o s e d b y I r e l a n d f o r 1 9 8 9 I M O ) S u p p o s e f : R ! R s a t i s e s

f ( 1 ) = 1 ; f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f o r a l l a ; b 2 R a n d f ( x ) f (

1

x

) = 1 f o r

x 6 = 0 S h o w t h a t f ( x ) = x f o r a l l x

4 3 . ( 1 9 9 2 P o l i s h M a t h O l y m p i a d ) L e t Q

+

b e t h e p o s i t i v e r a t i o n a l n u m b e r s .

D e t e r m i n e a l l f u n c t i o n s f : Q

+

! Q

+

s u c h t h a t f ( x + 1 ) = f ( x ) + 1

a n d f ( x

3

) = f ( x )

3

f o r e v e r y x 2 Q

+

4 4 . ( 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t R d e n o t e t h e r e a l n u m b e r s a n d

f : R ! 1 ; 1 ] s a t i s f y

f

x +

1 3

4 2

+ f ( x ) = f

x +

1

6

+ f

x +

1

7

f o r e v e r y x 2 R S h o w t h a t f i s a p e r i o d i c f u n c t i o n , i . e . t h e r e i s a

n o n z e r o r e a l n u m b e r T s u c h t h a t f ( x + T ) = f ( x ) f o r e v e r y x 2 R

4 5 . L e t N d e n o t e t h e p o s i t i v e i n t e g e r s . S u p p o s e s : N ! N i s a n i n c r e a s i n g

f u n c t i o n s u c h t h a t s ( s ( n ) ) = 3 n f o r a l l n 2 N F i n d a l l p o s s i b l e v a l u e s

o f s ( 1 9 9 7 )

7

4 6 . L e t N b e t h e p o s i t i v e i n t e g e r s . I s t h e r e a f u n c t i o n f : N ! N s u c h t h

f

( 1 9 9 6 )

( n ) = 2 n f o r a l l n 2 N ; w h e r e f

( 1 )

( x ) = f ( x ) a n d f

( k + 1 )

( x )

f ( f

( k )

( x ) ) ?

4 7 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 9 8 4 ) L e t R d e n o t e t

r e a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t f ( f ( x ) ) = x

2

o r s h o w n o s u c h f u n c t i o n c a n e x i s t .

4 8 . L e t R b e t h e r e a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t f

a l l r e a l n u m b e r s x a n d y ;

f

x f ( y ) + x

= x y + f ( x )

4 9 . ( 1 9 9 9 I M O ) D e t e r m i n e a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t

f ( x f ( y ) ) = f ( f ( y ) ) + x f ( y ) + f ( x ) 1

f o r a l l x ; y i n R

5 0 . ( 1 9 9 5 B y e l o r u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) L e t R b e t h e r e a l n u m b e r s . F i n

a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t

f ( f ( x + y ) ) = f ( x + y ) + f ( x ) f ( y ) x y

f o r a l l x ; y 2 R

5 1 . ( 1 9 9 3 C z e c h o s l o v a k M a t h O l y m p i a d ) L e t Z b e t h e i n t e g e r s . F i n d

f u n c t i o n s f : Z ! Z s u c h t h a t

f ( 1 ) = f ( 1 ) a n d f ( x ) + f ( y ) = f ( x + 2 x y ) + f ( y 2 x y )

f o r a l l i n t e g e r s x ; y :

5 2 . ( 1 9 9 5 S o u t h K o r e a n M a t h O l y m p i a d ) L e t A b e t h e s e t o f n o n - n e g a t i

i n t e g e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : A ! A s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g t w

c o n d i t i o n s :

( a ) F o r a n y m ; n 2 A ; 2 f ( m

2

+ n

2

) = ( f ( m ) )

2

+ ( f ( n ) )

2

8



( b ) F o r a n y m ; n 2 A w i t h m n ; f ( m

2

) f ( n

2

)

5 3 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 2 1 7 6 ) L e t Q d e n o t e t h e

r a t i o n a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : Q ! Q s u c h t h a t

f ( 2 ) = 2 a n d f

x + y

x y

=

f ( x ) + f ( y )

f ( x ) f ( y )

f o r x 6 = y

5 4 . ( M a t h e m a t i c s M a g a z i n e , P r o b l e m 1 5 5 2 ) F i n d a l l f u n c t i o n s f : R ! R

s u c h t h a t

f ( x + y f ( x ) ) = f ( x ) + x f ( y ) f o r a l l x ; y i n R

M a x i m u m / M i n i m u m

5 5 . ( 1 9 8 5 A u s t r i a n M a t h O l y m p i a d ) F o r p o s i t i v e i n t e g e r s n ; d e n e

f ( n ) = 1

n

+ 2

n 1

+ 3

n 2

+ + ( n 2 )

3

+ ( n 1 )

2

+ n

W h a t i s t h e m i n i m u m o f f ( n + 1 ) = f ( n ) ?

5 6 . ( 1 9 9 6 P u t n a m E x a m ) G i v e n t h a t f x

1

; x

2

; ; x

n

g = f 1 ; 2 ; ; n g ; n d

t h e l a r g e s t p o s s i b l e v a l u e o f x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ + x

n 1

x

n

+ x

n

x

1

i n t e r m s

o f n ( w i t h n 2 )

9

G e o m e t r y P r o b l e m s

5 7 . ( 1 9 9 5 B r i t i s h M a t h O l y m p i a d ) T r i a n g l e A B C h a s a r i g h t a n g l e a t

T h e i n t e r n a l b i s e c t o r s o f a n g l e s B A C a n d A B C m e e t B C a n d C

a t P a n d Q r e s p e c t i v e l y . T h e p o i n t s M a n d N a r e t h e f e e t o f t

p e r p e n d i c u l a r s f r o m P a n d Q t o A B F i n d a n g l e M C N :

5 8 . ( 1 9 8 8 L e n i n g r a d M a t h O l y m p i a d ) S q u a r e s A B D E a n d B C F G a

d r a w n o u t s i d e o f t r i a n g l e A B C : P r o v e t h a t t r i a n g l e A B C i s i s o s c e l e s

D G i s p a r a l l e l t o A C

5 9 A B i s a c h o r d o f a c i r c l e , w h i c h i s n o t a d i a m e t e r . C h o r d s A

1

B

1

a n

A

2

B

2

i n t e r s e c t a t t h e m i d p o i n t P o f A B L e t t h e t a n g e n t s t o t h e c i r c

a t A

1

a n d B

1

i n t e r s e c t a t C

1

S i m i l a r l y , l e t t h e t a n g e n t s t o t h e c i r c

a t A

2

a n d B

2


2

P r o v e t h a t C

1

C

2

i s p a r a l l e l t o A B

6 0 . ( 1 9 9 1 H u n a n P r o v i n c e M a t h C o m p e t i t i o n ) T w o c i r c l e s w i t h c e n t e r s O

a n d O

2

i n t e r s e c t a t p o i n t s A a n d B A l i n e t h r o u g h A i n t e r s e c t s t

c i r c l e s w i t h c e n t e r s O

1

a n d O

2

a t p o i n t s Y ; Z ; r e s p e c t i v e l y . L e t t

t a n g e n t s a t Y a n d Z i n t e r s e c t a t X a n d l i n e s Y O

1

a n d Z O

2

i n t e r s e

a t P L e t t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 O

1

O

2

B h a v e c e n t e r a t O a n d i n t e r s e

l i n e X B a t B a n d Q P r o v e t h a t P Q i s a d i a m e t e r o f t h e c i r c u m c i r c

o f 4 O

1

O

2

B

6 1 . ( 1 9 8 1 B e i j i n g C i t y M a t h C o m p e t i t i o n ) I n a d i s k w i t h c e n t e r O ; t h e

a r e f o u r p o i n t s s u c h t h a t t h e d i s t a n c e b e t w e e n e v e r y p a i r o f t h e m

g r e a t e r t h a n t h e r a d i u s o f t h e d i s k P r o v e t h a t t h e r e i s a p a i r o f p e

p e n d i c u l a r d i a m e t e r s s u c h t h a t e x a c t l y o n e o f t h e f o u r p o i n t s l i e s i n s i

e a c h o f t h e f o u r q u a r t e r d i s k s f o r m e d b y t h e d i a m e t e r s .

6 2 . T h e l e n g t h s o f t h e s i d e s o f a q u a d r i l a t e r a l a r e p o s i t i v e i n t e g e r s . T

l e n g t h o f e a c h s i d e d i v i d e s t h e s u m o f t h e o t h e r t h r e e l e n g t h s . P r o

t h a t t w o o f t h e s i d e s h a v e t h e s a m e l e n g t h .

6 3 . ( 1 9 8 8 S i c h u a n P r o v i n c e M a t h C o m p e t i t i o n ) S u p p o s e t h e l e n g t h s o f t

t h r e e s i d e s o f 4 A B C a r e i n t e g e r s a n d t h e i n r a d i u s o f t h e t r i a n g l e i s

P r o v e t h a t t h e t r i a n g l e i s a r i g h t t r i a n g l e .

1 0



G e o m e t r i c E q u a t i o n s

6 4 . ( 1 9 8 5 I M O ) A c i r c l e h a s c e n t e r o n t h e s i d e A B o f t h e c y c l i c q u a d r i -

l a t e r a l A B C D : T h e o t h e r t h r e e s i d e s a r e t a n g e n t t o t h e c i r c l e . P r o v e

t h a t A D + B C = A B

6 5 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) C i r c l e s S

1

a n d S

2

w i t h c e n t e r s O

1

; O

2

r e s p e c t i v e l y i n t e r s e c t e a c h o t h e r a t p o i n t s A a n d B R a y O

1

B i n t e r s e c t s

S

2

a t p o i n t F a n d r a y O

2

B i n t e r s e c t s S

1

a t p o i n t E T h e l i n e p a r a l l e l

t o E F a n d p a s s i n g t h r o u g h B i n t e r s e c t s S

1

a n d S

2

a t p o i n t s M a n d

N ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t ( B i s t h e i n c e n t e r o f 4 E A F a n d ) M N =

A E + A F

6 6 . P o i n t C l i e s o n t h e m i n o r a r c A B o f t h e c i r c l e c e n t e r e d a t O S u p p o s e

t h e t a n g e n t l i n e a t C c u t s t h e p e r p e n d i c u l a r s t o c h o r d A B t h r o u g h A

a t E a n d t h r o u g h B a t F L e t D b e t h e i n t e r s e c t i o n o f c h o r d A B a n d

r a d i u s O C P r o v e t h a t C E C F = A D B D a n d C D

2

= A E B F

6 7 . Q u a d r i l a t e r a l s A B C P a n d A

0

B

0

C

0

P

0

a r e i n s c r i b e d i n t w o c o n c e n t r i c

c i r c l e s . I f t r i a n g l e s A B C a n d A

0

B

0

C

0

a r e e q u i l a t e r a l , p r o v e t h a t

P

0

A

2

+ P

0

B

2

+ P

0

C

2

= P A

0 2

+ P B

0 2

+ P C

0 2

6 8 . L e t t h e i n s c r i b e d c i r c l e o f t r i a n g l e A B C t o u c h s s i d e B C a t D , s i d e C A

a t E a n d s i d e A B a t F L e t G b e t h e f o o t o f p e r p e n d i c u l a r f r o m D t o

E F S h o w t h a t

F G

E G

=

B F

C E

6 9 . ( 1 9 9 8 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t A B C D E F b e a c o n v e x h e x a g o n

s u c h t h a t

6

B +

6

D +

6

F = 3 6 0

a n d

A B

B C

C D

D E

E F

F A

= 1

P r o v e t h a t

B C

C A

A E

E F

F D

D B

= 1

1 1

S i m i l a r T r i a n g l e s

7 0 . ( 1 9 8 4 B r i t i s h M a t h O l y m p i a d ) P ; Q ; a n d R a r e a r b i t r a r y p o i n t s o n t

s i d e s B C ; C A ; a n d A B r e s p e c t i v e l y o f t r i a n g l e A B C : P r o v e t h a t t

t h r e e c i r c u m c e n t r e s o f t r i a n g l e s A Q R ; B R P ; a n d C P Q f o r m a t r i a n g

s i m i l a r t o t r i a n g l e A B C :

7 1 . H e x a g o n A B C D E F i s i n s c r i b e d i n a c i r c l e s o t h a t A B = C D = E

L e t P ; Q ; R b e t h e p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f A C a n d B D ; C E a n d D

E A a n d F B r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t t r i a n g l e s P Q R a n d B D F a

s i m i l a r .

7 2 . ( 1 9 9 8 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t A B C D b e a c y c l i c q u a d r i l a t e r

L e t E a n d F b e v a r i a b l e p o i n t s o n t h e s i d e s A B a n d C D ; r e s p e c t i v e

s u c h t h a t A E : E B = C F : F D L e t P b e t h e p o i n t o n t h e s e g m e

E F s u c h t h a t P E : P F = A B : C D P r o v e t h a t t h e r a t i o b e t w e e n t

a r e a s o f t r i a n g l e s A P D a n d B P C d o e s n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e o f

a n d F

T a n g e n t L i n e s

7 3 . T w o c i r c l e s i n t e r s e c t a t p o i n t s A a n d B A n a r b i t r a r y l i n e t h r o u g h

i n t e r s e c t s t h e r s t c i r c l e a g a i n a t C a n d t h e s e c o n d c i r c l e a g a i n a t D

T h e t a n g e n t s t o t h e r s t c i r c l e a t C a n d t o t h e s e c o n d c i r c l e a t

i n t e r s e c t a t M T h e p a r a l l e l t o C M w h i c h p a s s e s t h r o u g h t h e p o i

o f i n t e r s e c t i o n o f A M a n d C D i n t e r s e c t s A C a t K P r o v e t h a t B K

t a n g e n t t o t h e s e c o n d c i r c l e .

7 4 . ( 1 9 9 9 I M O ) T w o c i r c l e s

1

a n d

2

a r e c o n t a i n e d i n s i d e t h e c i r c l e

a n d a r e t a n g e n t t o a t t h e d i s t i n c t p o i n t s M a n d N ; r e s p e c t i v e

1

p a s s e s t h r o u g h t h e c e n t e r o f

2

T h e l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e t w

p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f

1

a n d

2

m e e t s a t A a n d B ; r e s p e c t i v e

T h e l i n e s M A a n d M B m e e t s

1

a t C a n d D ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h

C D i s t a n g e n t t o

2

7 5 . ( P r o p o s e d b y I n d i a f o r 1 9 9 2 I M O ) C i r c l e s G

1

a n d G

2

t o u c h e a c h o t h

e x t e r n a l l y a t a p o i n t W a n d a r e i n s c r i b e d i n a c i r c l e G : A ; B ; C a

1 2



p o i n t s o n G s u c h t h a t A ; G

1

a n d G

2

a r e o n t h e s a m e s i d e o f c h o r d B C ;

w h i c h i s a l s o t a n g e n t t o G

1

a n d G

2

S u p p o s e A W i s a l s o t a n g e n t t o

G

1

a n d G

2

P r o v e t h a t W i s t h e i n c e n t e r o f t r i a n g l e A B C :

L o c u s

7 6 . P e r p e n d i c u l a r s f r o m a p o i n t P o n t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 A B C a r e d r a w n

t o l i n e s A B ; B C w i t h f e e t a t D ; E ; r e s p e c t i v e l y . F i n d t h e l o c u s o f t h e

c i r c u m c e n t e r o f 4 P D E a s P m o v e s a r o u n d t h e c i r c l e .

7 7 . S u p p o s e A i s a p o i n t i n s i d e a g i v e n c i r c l e a n d i s d i e r e n t f r o m t h e

c e n t e r . C o n s i d e r a l l c h o r d s ( e x c l u d i n g t h e d i a m e t e r ) p a s s i n g t h r o u g h

A W h a t i s t h e l o c u s o f t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e t a n g e n t l i n e s a t t h e

e n d p o i n t s o f t h e s e c h o r d s ?

7 8 . G i v e n 4 A B C : L e t l i n e E F b i s e c t s

6

B A C a n d A E A F = A B A C

F i n d t h e l o c u s o f t h e i n t e r s e c t i o n P o f l i n e s B E a n d C F

7 9 . ( 1 9 9 6 P u t n a m E x a m ) L e t C

1

a n d C

2

b e c i r c l e s w h o s e c e n t e r s a r e 1 0

u n i t s a p a r t , a n d w h o s e r a d i i a r e 1 a n d 3 . F i n d t h e l o c u s o f a l l p o i n t s

M f o r w h i c h t h e r e e x i s t s p o i n t s X o n C

1

a n d Y o n C

2

s u c h t h a t M i s

t h e m i d p o i n t o f t h e l i n e s e g m e n t X Y

C o l l i n e a r o r C o n c y c l i c P o i n t s

8 0 . ( 1 9 8 2 I M O ) D i a g o n a l s A C a n d C E o f t h e r e g u l a r h e x a g o n A B C D E F

a r e d i v i d e d b y t h e i n n e r p o i n t s M a n d N ; r e s p e c t i v e l y , s o t h a t

A M

A C

=

C N

C E

= r

D e t e r m i n e r i f B ; M a n d N a r e c o l l i n e a r .

8 1 . ( 1 9 6 5 P u t n a m E x a m ) I f A ; B ; C ; D a r e f o u r d i s t i n c t p o i n t s s u c h t h a t

e v e r y c i r c l e t h r o u g h A a n d B i n t e r s e c t s o r c o i n c i d e s w i t h e v e r y c i r c l e

t h r o u g h C a n d D ; p r o v e t h a t t h e f o u r p o i n t s a r e e i t h e r c o l l i n e a r o r

c o n c y c l i c .

1 3

8 2 . ( 1 9 5 7 P u t n a m E x a m ) G i v e n a n i n n i t e n u m b e r o f p o i n t s i n a p l a n

p r o v e t h a t i f a l l t h e d i s t a n c e s b e t w e e n e v e r y p a i r a r e i n t e g e r s , t h e n t

p o i n t s a r e c o l l i n e a r

8 3 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) T h e i n c i r c l e o f t r i a n g l e A B C t o u c h

B C ; C A a n d A B a t D ; E a n d F r e s p e c t i v e l y . X i s a p o i n t i n s i

t r i a n g l e A B C s u c h t h a t t h e i n c i r c l e o f t r i a n g l e X B C t o u c h e s B C

D a l s o , a n d t o u c h e s C X a n d X B a t Y a n d Z r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h

E F Z Y i s a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l .

8 4 . ( 1 9 9 8 I M O ) I n t h e c o n v e x q u a d r i l a t e r a l A B C D ; t h e d i a g o n a l s A C a n

B D a r e p e r p e n d i c u l a r a n d t h e o p p o s i t e s i d e s A B a n d D C a r e n

p a r a l l e l S u p p o s e t h e p o i n t P ; w h e r e t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r s

A B a n d D C m e e t , i s i n s i d e A B C D : P r o v e t h a t A B C D i s a c y c

q u a d r i l a t e r a l i f a n d o n l y i f t h e t r i a n g l e s A B P a n d C D P h a v e e q u

a r e a s .

8 5 . ( 1 9 7 0 P u t n a m E x a m ) S h o w t h a t i f a c o n v e x q u a d r i l a t e r a l w i t h s i d

l e n g t h s a ; b ; c ; d a n d a r e a

p

a b c d h a s a n i n s c r i b e d c i r c l e , t h e n i t i s

c y c l i c q u a d r i l a t e r a l .

C o n c u r r e n t L i n e s

8 6 . I n 4 A B C ; s u p p o s e A B > A C : L e t P a n d Q b e t h e f e e t o f t h e p e

p e n d i c u l a r s f r o m B a n d C t o t h e a n g l e b i s e c t o r o f

6

B A C ; r e s p e c t i v e

L e t D b e o n l i n e B C s u c h t h a t D A ? A P P r o v e t h a t l i n e s B Q ; P

a n d A D a r e c o n c u r r e n t .

8 7 . ( 1 9 9 0 C h i n e s e N a t i o n a l M a t h C o m p e t i t i o n ) D i a g o n a l s A C a n d B

o f a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l A B C D m e e t s a t P L e t t h e c i r c u m c e n t e r s

A B C D ; A B P ; B C P ; C D P a n d D A P b e O ; O

1

; O

2

; O

3

a n d O

4

; r e s p e

t i v e l y . P r o v e t h a t O P ; O

1

O

3

; O

2

O

4

a r e c o n c u r r e n t .

8 8 . ( 1 9 9 5 I M O ) L e t A ; B ; C a n d D b e f o u r d i s t i n c t p o i n t s o n a l i n e , i n t h

o r d e r . T h e c i r c l e s w i t h d i a m e t e r s A C a n d B D i n t e r s e c t a t t h e p o i n

X a n d Y T h e l i n e X Y m e e t s B C a t t h e p o i n t Z L e t P b e a p o i n t o

t h e l i n e X Y d i e r e n t f r o m Z T h e l i n e C P i n t e r s e c t s t h e c i r c l e w i

1 4



d i a m e t e r A C a t t h e p o i n t s C a n d M ; a n d t h e l i n e B P i n t e r s e c t s t h e

c i r c l e w i t h d i a m e t e r B D a t t h e p o i n t s B a n d N P r o v e t h a t t h e l i n e s

A M ; D N a n d X Y a r e c o n c u r r e n t .

8 9 A D ; B E ; C F a r e t h e a l t i t u d e s o f 4 A B C : I f P ; Q ; R a r e t h e m i d p o i n t s

o f D E ; E F ; F D ; r e s p e c t i v e l y , t h e n s h o w t h a t t h e p e r p e n d i c u l a r f r o m

P ; Q ; R t o A B ; B C ; C A ; r e s p e c t i v e l y , a r e c o n c u r r e n t .

9 0 . ( 1 9 8 8 C h i n e s e M a t h O l y m p i a d T r a i n i n g T e s t ) A B C D E F i s a h e x a g o n

i n s c r i b e d i n a c i r c l e . S h o w t h a t t h e d i a g o n a l s A D ; B E ; C F a r e c o n c u r -

r e n t i f a n d o n l y i f A B C D E F = B C D E F A

9 1 . A c i r c l e i n t e r s e c t s a t r i a n g l e A B C a t s i x p o i n t s A

1

; A

2

; B

1

; B

2

; C

1

; C

2

;

w h e r e t h e o r d e r o f a p p e a r a n c e a l o n g t h e t r i a n g l e i s A ; C

1

; C

2

; B ; A

1

; A

2

;

C ; B

1

; B

2

; A S u p p o s e B

1

C

1

; B

2

C

2

m e e t s a t X , C

1

A

1

; C

2

A

2

m e e t s a t

Y a n d A

1

B

1

; A

2

B

2

m e e t s a t Z S h o w t h a t A X ; B Y ; C Z a r e c o n c u r r e n t .

9 2 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) A c i r c l e p a s s i n g t h r o u g h v e r t i c e s B

a n d C o f t r i a n g l e A B C i n t e r s e c t s s i d e s A B a n d A C a t C

0

a n d B

0

,

r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t B B

0

; C C

0

a n d H H

0

a r e c o n c u r r e n t , w h e r e H

a n d H

0

a r e t h e o r t h o c e n t e r s o f t r i a n g l e s A B C a n d A B

0

C

0

; r e s p e c t i v e l y .

P e r p e n d i c u l a r L i n e s

9 3 . ( 1 9 9 8 A P M O ) L e t A B C b e a t r i a n g l e a n d D t h e f o o t o f t h e a l t i t u d e

f r o m A L e t E a n d F b e o n a l i n e p a s s i n g t h r o u g h D s u c h t h a t A E

i s p e r p e n d i c u l a r t o B E ; A F i s p e r p e n d i c u l a r t o C F ; a n d E a n d F a r e

d i e r e n t f r o m D L e t M a n d N b e t h e m i d p o i n t s o f t h e l i n e s e g m e n t s

B C a n d E F ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t A N i s p e r p e n d i c u l a r t o N M

9 4 . ( 2 0 0 0 A P M O ) L e t A B C b e a t r i a n g l e . L e t M a n d N b e t h e p o i n t s

i n w h i c h t h e m e d i a n a n d t h e a n g l e b i s e c t o r , r e s p e c t i v e l y , a t A m e e t

t h e s i d e B C L e t Q a n d P b e t h e p o i n t s i n w h i c h t h e p e r p e n d i c u l a r a t

N t o N A m e e t s M A a n d B A ; r e s p e c t i v e l y , a n d O t h e p o i n t i n w h i c h

t h e p e r p e n d i c u l a r a t P t o B A m e e t s A N p r o d u c e d P r o v e t h a t Q O i s

p e r p e n d i c u l a r t o B C

1 5

9 5 . L e t B B

0

a n d C C

0

b e a l t i t u d e s o f t r i a n g l e A B C : A s s u m e t h a t A B

A C L e t M b e t h e m i d p o i n t o f B C ; H t h e o r t h o c e n t e r o f A B C a n d

t h e i n t e r s e c t i o n o f B

0

C

0

a n d B C P r o v e t h a t D H ? A M

9 6 . ( 1 9 9 6 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t ) T h e s e m i c i r c l e w i t h s i d e B C

4 A B C a s d i a m e t e r i n t e r s e c t s s i d e s A B ; A C a t p o i n t s D ; E ; r e s p e

t i v e l y . L e t F ; G b e t h e f e e t o f t h e p e r p e n d i c u l a r s f r o m D ; E t o s i

B C r e s p e c t i v e l y . L e t M b e t h e i n t e r s e c t i o n o f D G a n d E F P r o v e t h

A M ? B C

9 7 . ( 1 9 8 5 I M O ) A c i r c l e w i t h c e n t e r O p a s s e s t h r o u g h t h e v e r t i c e s A a n

C o f t r i a n g l e A B C a n d i n t e r s e c t s t h e s e g m e n t s A B a n d A C a g a i n

d i s t i n c t p o i n t s K a n d N ; r e s p e c t i v e l y . T h e c i r c u m c i r c l e s o f t r i a n g l

A B C a n d K B N i n t e r s e c t a t e x a c t l y t w o d i s t i n c t p o i n t s B a n d M

P r o v e t h a t O M ? M B

9 8 . ( 1 9 9 7 C h i n e s e S e n o i r H i g h M a t h C o m p e t i t i o n ) A c i r c l e w i t h c e n t e r

i s i n t e r n a l l y t a n g e n t t o t w o c i r c l e s i n s i d e i t a t p o i n t s S a n d T S u p p o

t h e t w o c i r c l e s i n s i d e i n t e r s e c t a t M a n d N w i t h N c l o s e r t o S T S h o

t h a t O M ? M N i f a n d o n l y i f S ; N ; T a r e c o l l i n e a r .

9 9 A D ; B E ; C F a r e t h e a l t i t u d e s o f 4 A B C : L i n e s E F ; F D ; D E m e e t l i n

B C ; C A ; A B i n p o i n t s L ; M ; N ; r e s p e c t i v e l y . S h o w t h a t L ; M ; N a

c o l l i n e a r a n d t h e l i n e t h r o u g h t h e m i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e j o i n i

t h e o r t h o c e n t e r H a n d c i r c u m c e n t e r O o f 4 A B C :

G e o m e t r i c I n e q u a l i t i e s , M a x i m u m / M i n i m u m

1 0 0 . ( 1 9 7 3 I M O ) L e t P

1

; P

2

; ; P

2 n + 1

b e d i s t i n c t p o i n t s o n s o m e h a l f

t h e u n i t c i r c l e c e n t e r e d a t t h e o r i g i n O S h o w t h a t

j

!

O P

1

+

!

O P

2

+ +

!

O P

2 n + 1

j 1

1 0 1 . L e t t h e a n g l e b i s e c t o r s o f

6

A ;

6

B ;

6

C o f t r i a n g l e A B C i n t e r s e c t

c i r c u m c i r c l e a t P ; Q ; R ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t

A P + B Q + C R > B C + C A + A B

1 6



1 0 2 . ( 1 9 9 7 A P M O ) L e t A B C b e a t r i a n g l e i n s c r i b e d i n a c i r c l e a n d l e t l

a

=

m

a

= M

a

; l

b

= m

b

= M

b

; l

c

= m

c

= M

c

; w h e r e m

a

; m

b

; m

c

a r e t h e l e n g t h s

o f t h e a n g l e b i s e c t o r s ( i n t e r n a l t o t h e t r i a n g l e ) a n d M

a

; M

b

; M

c

a r e

t h e l e n g t h s o f t h e a n g l e b i s e c t o r s e x t e n d e d u n t i l t h e y m e e t t h e c i r c l e .

P r o v e t h a t

l

a

s i n

2

A

+

l

b

s i n

2

B

+

l

c

s i n

2

C

3 ;

a n d t h a t e q u a l i t y h o l d s i A B C i s e q u i l a t e r a l .

1 0 3 . ( M a t h e m a t i c s M a g a z i n e , P r o b l e m 1 5 0 6 ) L e t I a n d O b e t h e i n c e n -

t e r a n d c i r c u m c e n t e r o f 4 A B C ; r e s p e c t i v e l y . A s s u m e 4 A B C i s n o t

e q u i l a t e r a l ( s o I 6 = O ) P r o v e t h a t

6

A I O 9 0

i f a n d o n l y i f 2 B C A B + C A

1 0 4 . S q u a r e s A B D E a n d A C F G a r e d r a w n o u t s i d e 4 A B C : L e t P ; Q b e

p o i n t s o n E G s u c h t h a t B P a n d C Q a r e p e r p e n d i c u l a r t o B C P r o v e

t h a t B P + C Q B C + E G W h e n d o e s e q u a l i t y h o l d ?

1 0 5 . P o i n t P i s i n s i d e 4 A B C : D e t e r m i n e p o i n t s D o n s i d e A B a n d E o n

s i d e A C s u c h t h a t B D = C E a n d P D + P E i s m i n i m u m .

S o l i d o r S p a c e G e o m e t r y

1 0 6 . ( P r o p o s e d b y I t a l y f o r 1 9 6 7 I M O ) W h i c h r e g u l a r p o l y g o n s c a n b e o b -

t a i n e d ( a n d h o w ) b y c u t t i n g a c u b e w i t h a p l a n e ?

1 0 7 . ( 1 9 9 5 I s r a e l i M a t h O l y m p i a d ) F o u r p o i n t s a r e g i v e n i n s p a c e , i n g e n e r a l

p o s i t i o n ( i e , t h e y a r e n o t c o p l a n a r a n d a n y t h r e e a r e n o t c o l l i n e a r )

A p l a n e i s c a l l e d a n e q u a l i z i n g p l a n e i f a l l f o u r p o i n t s h a v e t h e s a m e

d i s t a n c e f r o m F i n d t h e n u m b e r o f e q u a l i z i n g p l a n e s .

1 7

N u m b e r T h e o r y P r o b l e m s

D i g i t s

1 0 8 . ( 1 9 5 6 P u t n a m E x a m ) P r o v e t h a t e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r h a s a m u l t i p

w h o s e d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n i n v o l v e s a l l t e n d i g i t s .

1 0 9 . D o e s t h e r e e x i s t a p o s i t i v e i n t e g e r a s u c h t h a t t h e s u m o f t h e d i g

( i n b a s e 1 0 ) o f a i s 1 9 9 9 a n d t h e s u m o f t h e d i g i t s ( i n b a s e 1 0 ) o f a

2

1 9 9 9

2

?

1 1 0 . ( P r o p o s e d b y U S S R f o r 1 9 9 1 I M O ) L e t a

n

b e t h e l a s t n o n z e r o d i g

i n t h e d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e n u m b e r n ! . D o e s t h e s e q u e n

a

1

; a

2

; ; a

n

; b e c o m e p e r i o d i c a f t e r a n i t e n u m b e r o f t e r m s ?

M o d u l o A r i t h m e t i c

1 1 1 . ( 1 9 5 6 P u t n a m E x a m ) P r o v e t h a t t h e n u m b e r o f o d d b i n o m i a l c o e

c i e n t s i n a n y r o w o f t h e P a s c a l t r i a n g l e i s a p o w e r o f 2 .

1 1 2 . L e t a

1

; a

2

; a

3

; ; a

1 1

a n d b

1

; b

2

; b

3

; ; b

1 1

b e t w o p e r m u t a t i o n s o f t

n a t u r a l n u m b e r s 1 ; 2 ; 3 ; ; 1 1 S h o w t h a t i f e a c h o f t h e n u m b e r s a

1

b

a

2

b

2

; a

3

b

3

; ; a

1 1

b

1 1

i s d i v i d e d b y 1 1 , t h e n a t l e a s t t w o o f t h e m w

h a v e t h e s a m e r e m a i n d e r .

1 1 3 . ( 1 9 9 5 C z e c h - S l o v a k M a t c h ) L e t a

1

; a

2

; b e a s e q u e n c e s a t i s f y i n g a

1

2 ; a

2

= 5 a n d

a

n + 2

= ( 2 n

2

) a

n + 1

+ ( 2 + n

2

) a

n

f o r a l l n 1 D o t h e r e e x i s t i n d i c e s p ; q a n d r s u c h t h a t a

p

a

q

= a

r

?

P r i m e F a c t o r i z a t i o n

1 1 4 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 2 6 8 4 ) L e t A

n

b e t h e s

o f p o s i t i v e i n t e g e r s w h i c h a r e l e s s t h a n n a n d a r e r e l a t i v e l y p r i m e t o

F o r w h i c h n > 1 ; d o t h e i n t e g e r s i n A

n

f o r m a n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o

1 8



1 1 5 . ( 1 9 7 1 I M O ) P r o v e t h a t t h e s e t o f i n t e g e r s o f t h e f o r m 2

k

3 ( k =

2 ; 3 ; ) c o n t a i n s a n i n n i t e s u b s e t i n w h i c h e v e r y t w o m e m b e r s a r e

r e l a t i v e l y p r i m e .

1 1 6 . ( 1 9 8 8 C h i n e s e M a t h O l y m p i a d T r a i n i n g T e s t ) D e t e r m i n e t h e s m a l l e s t

v a l u e o f t h e n a t u r a l n u m b e r n > 3 w i t h t h e p r o p e r t y t h a t w h e n e v e r

t h e s e t S

n

= f 3 ; 4 ; ; n g i s p a r t i t i o n e d i n t o t h e u n i o n o f t w o s u b -

s e t s , a t l e a s t o n e o f t h e s u b s e t s c o n t a i n s t h r e e n u m b e r s a ; b a n d c ( n o t

n e c e s s a r i l y d i s t i n c t ) s u c h t h a t a b = c

B a s e n R e p r e s e n t a t i o n s

1 1 7 . ( 1 9 8 3 I M O ) C a n y o u c h o o s e 1 9 8 3 p a i r w i s e d i s t i n c t n o n n e g a t i v e i n t e g e r s

l e s s t h a n 1 0

5

s u c h t h a t n o t h r e e a r e i n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n ?

1 1 8 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m 2 4 8 6 ) L e t p b e a n o d d

p r i m e n u m b e r a n d r b e a p o s i t i v e i n t e g e r n o t d i v i s i b l e b y p F o r a n y

p o s i t i v e i n t e g e r k , s h o w t h a t t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e i n t e g e r m s u c h t h a t

t h e r i g h t m o s t k d i g i t s o f m

r

; w h e n e x p r e s s e d i n t h e b a s e p ; a r e a l l 1 ' s .

1 1 9 . ( P r o p o s e d b y R o m a n i a f o r 1 9 8 5 I M O ) S h o w t h a t t h e s e q u e n c e f a

n

g

d e n e d b y a

n

= n

p

2 ] f o r n = 1 ; 2 ; 3 ; ( w h e r e t h e b r a c k e t s d e n o t e

t h e g r e a t e s t i n t e g e r f u n c t i o n ) c o n t a i n s a n i n n i t e n u m b e r o f i n t e g r a l

p o w e r s o f 2

R e p r e s e n t a t i o n s

1 2 0 . F i n d a l l ( e v e n ) n a t u r a l n u m b e r s n w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f

t w o o d d c o m p o s i t e n u m b e r s .

1 2 1 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s w h i c h c a n n o t b e w r i t t e n a s t h e s u m o f t w o

o r m o r e c o n s e c u t i v e p o s i t i v e i n t e g e r s .

1 2 2 . ( P r o p o s e d b y A u s t r a l i a f o r 1 9 9 0 I M O ) O b s e r v e t h a t 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

I s t h e r e a n i n t e g e r N w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f 1 9 9 0 c o n s e c u t i v e

p o s i t i v e i n t e g e r s a n d w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f ( m o r e t h a n o n e )

c o n s e c u t i v e i n t e g e r s i n e x a c t l y 1 9 9 0 w a y s ?

1 9

1 2 3 . S h o w t h a t i f p > 3 i s p r i m e , t h e n p

n

c a n n o t b e t h e s u m o f t w o p o s i t i

c u b e s f o r a n y n 1 W h a t a b o u t p = 2 o r 3 ?

1 2 4 . ( D u e t o P a u l E r d o s a n d M . S u r a n y i ) P r o v e t h a t e v e r y i n t e g e r k c a n

r e p r e s e n t e d i n i n n i t e l y m a n y w a y s i n t h e f o r m k = 1

2

2

2

m

f o r s o m e p o s i t i v e i n t e g e r m a n d s o m e c h o i c e o f s i g n s + o r

1 2 5 . ( 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) A n i t e s e q u e n c e o f i n t e g e r s a

0

; a

1

;

a

n

i s c a l l e d q u a d r a t i c i f f o r e a c h i 2 f 1 ; 2 ; ; n g ; j a

i

a

i 1

j = i

2

( a ) P r o v e t h a t f o r a n y t w o i n t e g e r s b a n d c ; t h e r e e x i s t s a n a t u r

n u m b e r n a n d a q u a d r a t i c s e q u e n c e w i t h a

0

= b a n d a

n

= c

( b ) F i n d t h e l e a s t n a t u r a l n u m b e r n f o r w h i c h t h e r e e x i s t s a q u a d r a t

s e q u e n c e w i t h a

0

= 0 a n d a

n

= 1 9 9 6

1 2 6 . P r o v e t h a t e v e r y i n t e g e r g r e a t e r t h a n 1 7 c a n b e r e p r e s e n t e d a s a s u m

t h r e e i n t e g e r s > 1 w h i c h a r e p a i r w i s e r e l a t i v e l y p r i m e , a n d s h o w t h

1 7 d o e s n o t h a v e t h i s p r o p e r t y .

C h i n e s e R e m a i n d e r T h e o r e m

1 2 7 . ( 1 9 8 8 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t ) D e n e x

n

= 3 x

n 1

+ 2 f o r

p o s i t i v e i n t e g e r s n P r o v e t h a t a n i n t e g e r v a l u e c a n b e c h o s e n f o r x

0

t h a t x

1 0 0

i s d i v i s i b l e b y 1 9 9 8 .

1 2 8 . ( P r o p o s e d b y N o r t h K o r e a f o r 1 9 9 2 I M O ) D o e s t h e r e e x i s t a s e t

w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( a ) T h e s e t M c o n s i s t s o f 1 9 9 2 n a t u r a l n u m b e r s .

( b ) E v e r y e l e m e n t i n M a n d t h e s u m o f a n y n u m b e r o f e l e m e n t s i n

h a v e t h e f o r m m

k

; w h e r e m ; k a r e p o s i t i v e i n t e g e r s a n d k 2 ?

D i v i s i b i l i t y

1 2 9 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s a ; b s u c h t h a t b > 2 a n d 2

a

+ 1 i s d i v i s i b l e

2

b

1

2 0



1 3 0 . S h o w t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y c o m p o s i t e n s u c h t h a t 3

n 1

2

n 1

i s d i v i s i b l e b y n

1 3 1 . P r o v e t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y p o s i t i v e i n t e g e r s n s u c h t h a t 2

n

+ 1

i s d i v i s i b l e b y n F i n d a l l s u c h n ' s t h a t a r e p r i m e n u m b e r s .

1 3 2 . ( 1 9 9 8 R o m a n i a n M a t h O l y m p i a d ) F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s ( x ; n ) s u c h

t h a t x

n

+ 2

n

+ 1 i s a d i v i s o r o f x

n + 1

+ 2

n + 1

+ 1

1 3 3 . ( 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n ) F i n d a l l p a i r s o f p o s i t i v e i n t e g e r s

( x ; y ) f o r w h i c h

x

2

+ y

2

x y

i s a n i n t e g e r a n d d i v i d e s 1 9 9 5 .

1 3 4 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I s t h e r e a s e q u e n c e o f n a t u r a l n u m b e r s

i n w h i c h e v e r y n a t u r a l n u m b e r o c c u r s j u s t o n c e a n d m o r e o v e r , f o r a n y

k = 1 ; 2 ; 3 ; t h e s u m o f t h e r s t k t e r m s i s d i v i s i b l e b y k ?

1 3 5 . ( 1 9 9 8 P u t n a m E x a m ) L e t A

1

= 0 a n d A

2

= 1 F o r n > 2 ; t h e n u m b e r

A

n

i s d e n e d b y c o n c a t e n a t i n g t h e d e c i m a l e x p a n s i o n s o f A

n 1

a n d

A

n 2

f r o m l e f t t o r i g h t . F o r e x a m p l e , A

3

= A

2

A

1

= 1 0 ; A

4

= A

3

A

2

=

1 0 1 ; A

5

= A

4

A

3

= 1 0 1 1 0 ; a n d s o f o r t h . D e t e r m i n e a l l n s u c h t h a t A

n

i s d i v i s i b l e b y 1 1 .

1 3 6 . ( 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n ) I f k > 1 ; s h o w t h a t k d o e s n o t

d i v i d e 2

k 1

+ 1 U s e t h i s t o n d a l l p r i m e n u m b e r s p a n d q s u c h t h a t

2

p

+ 2

q

i s d i v i s i b l e b y p q

1 3 7 . S h o w t h a t f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ; t h e r e i s a n u m b e r w h o s e d e c i m a l

r e p r e s e n t a t i o n c o n t a i n s n d i g i t s , e a c h o f w h i c h i s 1 o r 2 , a n d w h i c h i s

d i v i s i b l e b y 2

n

1 3 8 . F o r a p o s i t i v e i n t e g e r n ; l e t f ( n ) b e t h e l a r g e s t i n t e g e r k s u c h t h a t 2

k

d i v i d e s n a n d g ( n ) b e t h e s u m o f t h e d i g i t s i n t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n

o f n P r o v e t h a t f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ;

( a ) f ( n ! ) = n g ( n ) ;

( b ) 4 d i v i d e s

2 n

n

=

( 2 n ) !

n ! n !

i f a n d o n l y i f n i s n o t a p o w e r o f 2 .

2 1

1 3 9 . ( P r o p o s e d b y A u s t r a l i a f o r 1 9 9 2 I M O ) P r o v e t h a t f o r a n y p o s i t i v e i

t e g e r m ; t h e r e e x i s t a n i n n i t e n u m b e r o f p a i r s o f i n t e g e r s ( x ; y ) s u

t h a t

( a ) x a n d y a r e r e l a t i v e l y p r i m e ;

( b ) y d i v i d e s x

2

+ m ;

( c ) x d i v i d e s y

2

+ m

1 4 0 . F i n d a l l i n t e g e r s n > 1 s u c h t h a t 1

n

+ 2

n

+ + ( n 1 )

n

i s d i v i s i b

b y n

1 4 1 . ( 1 9 7 2 P u t n a m E x a m ) S h o w t h a t i f n i s a n i n t e g e r g r e a t e r t h a n 1 , t h

n d o e s n o t d i v i d e 2

n

1

1 4 2 . ( P r o p o s e d b y R o m a n i a f o r 1 9 8 5 I M O ) F o r k 2 ; l e t n

1

; n

2

; ; n

k

p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t

n

2

( 2

n

1

1 ) ; n

3

( 2

n

2

1 ) ; ; n

k

( 2

n

k 1

1 ) ; n

1

( 2

n

k

1 )

P r o v e t h a t n

1

= n

2

= = n

k

= 1

1 4 3 . ( 1 9 9 8 A P M O ) D e t e r m i n e t h e l a r g e s t o f a l l i n t e g e r n w i t h t h e p r o p e r

t h a t n i s d i v i s i b l e b y a l l p o s i t i v e i n t e g e r s t h a t a r e l e s s t h a n

3

p

n

1 4 4 . ( 1 9 9 7 U k r a i n i a n M a t h O l y m p i a d ) F i n d t h e s m a l l e s t i n t e g e r n s u c h t h

a m o n g a n y n i n t e g e r s ( w i t h p o s s i b l e r e p e t i t i o n s ) , t h e r e e x i s t 1 8 i n t e g e

w h o s e s u m i s d i v i s i b l e b y 1 8 .

P e r f e c t S q u a r e s , P e r f e c t C u b e s

1 4 5 . L e t a ; b ; c b e p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t

1

a

+

1

b

=

1

c

I f t h e g r e a t e

c o m m o n d i v i s o r o f a ; b ; c i s 1 , t h e n p r o v e t h a t a + b m u s t b e a p e r f e

s q u a r e .

1 4 6 . ( 1 9 6 9 E o t v o s - K u r s c h a k M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t n b e a p o s i t i v e i n t e g e

S h o w t h a t i f 2 + 2

p

2 8 n

2

+ 1 i s a n i n t e g e r , t h e n i t i s a s q u a r e

2 2



1 4 7 . ( 1 9 9 8 P u t n a m E x a m ) P r o v e t h a t , f o r a n y i n t e g e r s a ; b ; c ; t h e r e e x i s t s a

p o s i t i v e i n t e g e r n s u c h t h a t

p

n

3

+ a n

2

+ b n + c i s n o t a n i n t e g e r .

1 4 8 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t k b e a p o s i t i v e i n t e g e r . P r o v e t h a t

t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y p e r f e c t s q u a r e s o f t h e f o r m n 2

k

7 ; w h e r e n

i s a p o s i t i v e i n t e g e r .

1 4 9 . L e t a ; b ; c b e i n t e g e r s s u c h t h a t

a

b

+

b

c

+

c

a

= 3 P r o v e t h a t a b c i s t h e

c u b e o f a n i n t e g e r .

D i o p h a n t i n e E q u a t i o n s

1 5 0 . F i n d a l l s e t s o f p o s i t i v e i n t e g e r s x ; y a n d z s u c h t h a t x y z a n d

x

y

+ y

z

= z

x

1 5 1 . ( D u e t o W . S i e r p i n s k i i n 1 9 5 5 ) F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g r a l s o l u t i o n s o f

3

x

+ 4

y

= 5

z

1 5 2 . ( D u e t o E u l e r , a l s o 1 9 8 5 M o s c o w M a t h O l y m p i a d ) I f n 3 ; t h e n p r o v e

t h a t 2

n

c a n b e r e p r e s e n t e d i n t h e f o r m 2

n

= 7 x

2

+ y

2

w i t h x ; y o d d

p o s i t i v e i n t e g e r s

1 5 3 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s x a n d y s u c h

t h a t x + y

2

+ z

3

= x y z ; w h e r e z i s t h e g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r o f x

a n d y

1 5 4 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g r a l s o l u t i o n s t o t h e e q u a t i o n x y + y z + z x =

x y z + 2

1 5 5 . S h o w t h a t i f t h e e q u a t i o n x

2

+ y

2

+ 1 = x y z h a s p o s i t i v e i n t e g r a l

s o l u t i o n s x ; y ; z ; t h e n z = 3

1 5 6 . ( 1 9 9 5 C z e c h - S l o v a k M a t c h ) F i n d a l l p a i r s o f n o n n e g a t i v e i n t e g e r s x a n d

y w h i c h s o l v e t h e e q u a t i o n p

x

y

p

= 1 ; w h e r e p i s a g i v e n o d d p r i m e .

1 5 7 . F i n d a l l i n t e g e r s o l u t i o n s o f t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s

x + y + z = 3 a n d x

3

+ y

3

+ z

3

= 3

2 3

C o m b i n a t o r i c s P r o b l e m s

C o u n t i n g M e t h o d s

1 5 8 . ( 1 9 9 6 I t a l i a n M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d ) G i v e n a n a l p h a b e t w i t h t h r

l e t t e r s a ; b ; c ; n d t h e n u m b e r o f w o r d s o f n l e t t e r s w h i c h c o n t a i n

e v e n n u m b e r o f a ' s

1 5 9 . F i n d t h e n u m b e r o f n - w o r d s f r o m t h e a l p h a b e t A = f 0 ; 1 ; 2 g ; i f a

t w o n e i g h b o r s c a n d i e r b y a t m o s t 1 .

1 6 0 . ( 1 9 9 5 R o m a n i a n M a t h O l y m p i a d ) L e t A

1

; A

2

; ; A

n

b e p o i n t s o n

c i r c l e . F i n d t h e n u m b e r o f p o s s i b l e c o l o r i n g s o f t h e s e p o i n t s w i t h

c o l o r s , p 2 ; s u c h t h a t a n y t w o n e i g h b o r i n g p o i n t s h a v e d i s t i n c t c o l o

P i g e o n h o l e P r i n c i p l e

1 6 1 . ( 1 9 8 7 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n ) D o e s t h e s e t f 1 ; 2 ; ; 3 0 0

c o n t a i n a s u b s e t A c o n s i s t i n g o f 2 0 0 0 n u m b e r s s u c h t h a t x 2 A i m p l i

2 x 6 2 A ?

1 6 2 . ( 1 9 8 9 P o l i s h M a t h O l y m p i a d ) S u p p o s e a t r i a n g l e c a n b e p l a c e d i n s i

a s q u a r e o f u n i t a r e a i n s u c h a w a y t h a t t h e c e n t e r o f t h e s q u a r e i s n

i n s i d e t h e t r i a n g l e . S h o w t h a t o n e s i d e o f t h e t r i a n g l e h a s l e n g t h l e

t h a n 1 .

1 6 3 . T h e c e l l s o f a 7 7 s q u a r e a r e c o l o r e d w i t h t w o c o l o r s . P r o v e t h

t h e r e e x i s t a t l e a s t 2 1 r e c t a n g l e s w i t h v e r t i c e s o f t h e s a m e c o l o r a n

w i t h s i d e s p a r a l l e l t o t h e s i d e s o f t h e s q u a r e .

1 6 4 . F o r n > 1 ; l e t 2 n c h e s s p i e c e s b e p l a c e d a t t h e c e n t e r s o f 2 n s q u a r e s

a n n n c h e s s b o a r d . S h o w t h a t t h e r e a r e f o u r p i e c e s a m o n g t h e m t h

f o r m e d t h e v e r t i c e s o f a p a r a l l e l o g r a m . I f 2 n i s r e p l a c e d b y 2 n 1 ;

t h e s t a t e m e n t s t i l l t r u e i n g e n e r a l ?

1 6 5 . T h e s e t f 1 ; 2 ; ; 4 9 g i s p a r t i t i o n e d i n t o t h r e e s u b s e t s . S h o w t h a t

l e a s t o n e o f t h e s u b s e t s c o n t a i n s t h r e e d i e r e n t n u m b e r s a ; b ; c s u

t h a t a + b = c

2 4



I n c l u s i o n - E x c l u s i o n P r i n c i p l e

1 6 6 . L e t m n > 0 F i n d t h e n u m b e r o f s u r j e c t i v e f u n c t i o n s f r o m B

m

=

f 1 ; 2 ; ; m g t o B

n

= f 1 ; 2 ; ; n g

1 6 7 . L e t A b e a s e t w i t h 8 e l e m e n t s . F i n d t h e m a x i m a l n u m b e r o f 3 - e l e m e n t

s u b s e t s o f A ; s u c h t h a t t h e i n t e r s e c t i o n o f a n y t w o o f t h e m i s n o t a 2 -

e l e m e n t s e t .

1 6 8 . ( a ) ( 1 9 9 9 H o n g K o n g C h i n a M a t h O l y m p i a d ) S t u d e n t s h a v e t a k e n a

t e s t p a p e r i n e a c h o f n ( n 3 ) s u b j e c t s . I t i s k n o w n t h a t f o r a n y

s u b j e c t e x a c t l y t h r e e s t u d e n t s g e t t h e b e s t s c o r e i n t h e s u b j e c t , a n d

f o r a n y t w o s u b j e c t s e x c a t l y o n e s t u d e n t g e t s t h e b e s t s c o r e i n e v e r y

o n e o f t h e s e t w o s u b j e c t s . D e t e r m i n e t h e s m a l l e s t n s o t h a t t h e a b o v e

c o n d i t i o n s i m p l y t h a t e x a c t l y o n e s t u d e n t g e t s t h e b e s t s c o r e i n e v e r y

o n e o f t h e n s u b j e c t s .

( b ) ( 1 9 7 8 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n ) T h e r e a r e 1 9 7 8 c l u b s

E a c h h a s 4 0 m e m b e r s . I f e v e r y t w o c l u b s h a v e e x a c t l y o n e c o m m o n

m e m b e r , t h e n p r o v e t h a t a l l 1 9 7 8 c l u b s h a v e a c o m m o n m e m b e r .

C o m b i n a t o r i a l D e s i g n s

1 6 9 . ( 1 9 9 5 B y e l o r u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I n t h e b e g i n i n g , 6 5 b e e t l e s a r e

p l a c e d a t d i e r e n t s q u a r e s o f a 9 9 s q u a r e b o a r d . I n e a c h m o v e , e v e r y

b e e t l e c r e e p s t o a h o r i z o n t a l o r v e r t i c a l a d j a c e n t s q u a r e . I f n o b e e t l e

m a k e s e i t h e r t w o h o r i z o n t a l m o v e s o r t w o v e r t i c a l m o v e s i n s u c c e s s i o n ,

s h o w t h a t a f t e r s o m e m o v e s , t h e r e w i l l b e a t l e a s t t w o b e e t l e s i n t h e

s a m e s q u a r e .

1 7 0 . ( 1 9 9 5 G r e e k M a t h O l y m p i a d ) L i n e s l

1

; l

2

; ; l

k

a r e o n a p l a n e s u c h

t h a t n o t w o a r e p a r a l l e l a n d n o t h r e e a r e c o n c u r r e n t . S h o w t h a t w e

c a n l a b e l t h e C

k

2

i n t e r s e c t i o n p o i n t s o f t h e s e l i n e s b y t h e n u m b e r s

1 ; 2 ; ; k 1 s o t h a t i n e a c h o f t h e l i n e s l

1

; l

2

; ; l

k

t h e n u m b e r s

1 ; 2 ; ; k 1 a p p e a r e x a c t l y o n c e i f a n d o n l y i f k i s e v e n .

1 7 1 . ( 1 9 9 6 T o u r n a m e n t s o f t h e T o w n s ) I n a l o t t e r y g a m e , a p e r s o n m u s t

s e l e c t s i x d i s t i n c t n u m b e r s f r o m 1 ; 2 ; 3 ; ; 3 6 t o p u t o n a t i c k e t . T h e

2 5

l o t t e r y c o m m i t e e w i l l t h e n d r a w s i x d i s t i n c t n u m b e r s r a n d o m l y f r o

1 ; 2 ; 3 ; ; 3 6 A n y t i c k e t w i t h n u m b e r s n o t c o n t a i n i n g a n y o f t h e s e s

n u m b e r s i s a w i n n i n g t i c k e t . S h o w t h a t t h e r e i s a s c h e m e o f b u y i

9 t i c k e t s g u a r a n t e e i n g a t l e a s t a w i n n i n g t i c k e t , b u t 8 t i c k e t s i s n

e n o u g h t o g u a r a n t e e a w i n n i n g t i c k e t i n g e n e r a l .

1 7 2 . ( 1 9 9 5 B y e l o r u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) B y d i v i d i n g e a c h s i d e o f a n e q u

l a t e r a l t r i a n g l e i n t o 6 e q u a l p a r t s , t h e t r i a n g l e c a n b e d i v i d e d i n t o

s m a l l e r e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s . A b e e t l e i s p l a c e d o n e a c h v e r t e x o f t h e

t r i a n g l e s a t t h e s a m e t i m e . T h e n t h e b e e t l e s m o v e a l o n g d i e r e n t e d g

w i t h t h e s a m e s p e e d . W h e n t h e y g e t t o a v e r t e x , t h e y m u s t m a k e

6 0

o r 1 2 0

t u r n . P r o v e t h a t a t s o m e m o m e n t t w o b e e t l e s m u s t m e

a t s o m e v e r t e x . I s t h e s t a t e m e n t t r u e i f 6 i s r e p l a c e d b y 5 ?

C o v e r i n g , C o n v e x H u l l

1 7 3 . ( 1 9 9 1 A u s t r a l i a n M a t h O l y m p i a d ) T h e r e a r e n p o i n t s g i v e n o n a p l a

s u c h t h a t t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e f o r m e d b y e v e r y 3 o f t h e m i s a t m o

1 . S h o w t h a t t h e n p o i n t s l i e o n o r i n s i d e s o m e t r i a n g l e o f a r e a a t m o

4

1 7 4 . ( 1 9 6 9 P u t n a m E x a m ) S h o w t h a t a n y c o n t i n u o u s c u r v e o f u n i t l e n g

c a n b e c o v e r e d b y a c l o s e d r e c t a n g l e s o f a r e a 1 = 4

1 7 5 . ( 1 9 9 8 P u t n a m E x a m ) L e t F b e a n i t e c o l l e c t i o n o f o p e n d i s c s i n t

p l a n e w h o s e u n i o n c o v e r s a s e t E S h o w t h a t t h e r e i s a p a i r w i s e d i s j o i

s u b c o l l e c t i o n D

1

; ; D

n

i n F s u c h t h a t t h e u n i o n o f 3 D

1

; ; 3 D

c o v e r s E ; w h e r e 3 D i s t h e d i s c w i t h t h e s a m e c e n t e r a s D b u t h a v i

t h r e e t i m e s t h e r a d i u s .

1 7 6 . ( 1 9 9 5 I M O ) D e t e r m i n e a l l i n t e g e r s n > 3 f o r w h i c h t h e r e e x i s t n p o i n

A

1

; A

2

; ; A

n

i n t h e p l a n e , a n d r e a l n u m b e r s r

1

; r

2

; ; r

n

s a t i s f y i

t h e f o l l o w i n g t w o c o n d i t i o n s :

( a ) n o t h r e e o f t h e p o i n t s A

1

; A

2

; ; A

n

l i e o n a l i n e ;

( b ) f o r e a c h t r i p l e i ; j ; k ( 1 i < j < k n ) t h e t r i a n g l e A

i

A

j

A

k

h

a r e a e q u a l t o r

i

+ r

j

+ r

k

2 6



1 7 7 . ( 1 9 9 9 I M O ) D e t e r m i n e a l l n i t e s e t s S o f a t l e a s t t h r e e p o i n t s i n t h e

p l a n e w h i c h s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n : f o r a n y t w o d i s t i n c t p o i n t s

A a n d B i n S ; t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f t h e l i n e s e g m e n t A B i s a n

a x i s o f s y m m e t r y o f S

2 7

M i s c e l l a n e o u s P r o b l e m s

1 7 8 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) T h e r e a r e n s e a t s a t a m e r r y - g o - a r o u n

A b o y t a k e s n r i d e s . B e t w e e n e a c h r i d e , h e m o v e s c l o c k w i s e a c e r t a

n u m b e r ( l e s s t h a n n ) o f p l a c e s t o a n e w h o r s e E a c h t i m e h e m o v e s

d i e r e n t n u m b e r o f p l a c e s . F i n d a l l n f o r w h i c h t h e b o y e n d s u p r i d i

e a c h h o r s e .

1 7 9 . ( 1 9 9 5 I s r a e l i M a t h O l y m p i a d ) T w o p l a y e r s p l a y a g a m e o n a n i n n i

b o a r d t h a t c o n s i s t s o f 1 1 s q u a r e s . P l a y e r I c h o o s e s a s q u a r e a

m a r k s i t w i t h a n O . T h e n , p l a y e r I I c h o o s e s a n o t h e r s q u a r e a n d m a r

i t w i t h X . T h e y p l a y u n t i l o n e o f t h e p l a y e r s m a r k s a r o w o r a c o l u m

o f 5 c o n s e c u t i v e s q u a r e s , a n d t h i s p l a y e r w i n s t h e g a m e . I f n o p l a y

c a n a c h i e v e t h i s , t h e g a m e i s a t i e . S h o w t h a t p l a y e r I I c a n p r e v e

p l a y e r I f r o m w i n n i n g

1 8 0 . ( 1 9 9 5 U S A M O ) A c a l c u l a t o r i s b r o k e n s o t h a t t h e o n l y k e y s t h a t s t

w o r k a r e t h e s i n , c o s , t a n , s i n

1

; c o s

1

; a n d t a n

1

b u t t o n s . T h e d

p l a y i n i t i a l l y s h o w s 0 G i v e n a n y p o s i t i v e r a t i o n a l n u m b e r q ; s h o w t h

p r e s s i n g s o m e n i t e s e q u e n c e o f b u t t o n s w i l l y i e l d q A s s u m e t h a t t

c a l c u l a t o r d o e s r e a l n u m b e r c a l c u l a t i o n s w i t h i n n i t e p r e c i s i o n . A

f u n c t i o n s a r e i n t e r m s o f r a d i a n s .

1 8 1 . ( 1 9 7 7 E o t v o s - K u r s c h a k M a t h C o m p e t i t i o n ) E a c h o f t h r e e s c h o o l s

a t t e n d e d b y e x a c t l y n s t u d e n t s . E a c h s t u d e n t h a s e x a c t l y n + 1 a

q u a i n t a n c e s i n t h e o t h e r t w o s c h o o l s P r o v e t h a t o n e c a n p i c k t h r

s t u d e n t s , o n e f r o m e a c h s c h o o l , w h o k n o w o n e a n o t h e r . I t i s a s s u m

t h a t a c q u a i n t a n c e i s m u t u a l .

1 8 2 . I s t h e r e a w a y t o p a c k 2 5 0 1 1 4 b r i c k s i n t o a 1 0 1 0 1 0 b o x ?

1 8 3 . I s i t p o s s i b l e t o w r i t e a p o s i t i v e i n t e g e r i n t o e a c h s q u a r e o f t h e r

q u a d r a n t s u c h t h a t e a c h c o l u m n a n d e a c h r o w c o n t a i n s e v e r y p o s i t i

i n t e g e r e x a c t l y o n c e ?

1 8 4 . T h e r e a r e n i d e n t i c a l c a r s o n a c i r c u l a r t r a c k . A m o n g a l l o f t h e m , t h

h a v e j u s t e n o u g h g a s f o r o n e c a r t o c o m p l e t e a l a p . S h o w t h a t t h e r e

2 8



a c a r w h i c h c a n c o m p l e t e a l a p b y c o l l e c t i n g g a s f r o m t h e o t h e r c a r s

o n i t s w a y a r o u n d t h e t r a c k i n t h e c l o c k w i s e d i r e c t i o n .

1 8 5 . ( 1 9 9 6 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) A t t h e v e r t i c e s o f a c u b e a r e w r i t t e n

e i g h t p a i r w i s e d i s t i n c t n a t u r a l n u m b e r s , a n d o n e a c h o f i t s e d g e s i s

w r i t t e n t h e g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r o f t h e n u m b e r s a t t h e e n d p o i n t s

o f t h e e d g e . C a n t h e s u m o f t h e n u m b e r s w r i t t e n a t t h e v e r t i c e s b e t h e

s a m e a s t h e s u m o f t h e n u m b e r s w r i t t e n a t t h e e d g e s ?

1 8 6 . C a n t h e p o s i t i v e i n t e g e r s b e p a r t i t i o n e d i n t o i n n i t e l y m a n y s u b s e t s

s u c h t h a t e a c h s u b s e t i s o b t a i n e d f r o m a n y o t h e r s u b s e t b y a d d i n g t h e

s a m e i n t e g e r t o e a c h e l e m e n t o f t h e o t h e r s u b s e t ?

1 8 7 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I s i t p o s s i b l e t o l l i n t h e c e l l s o f a

9 9 t a b l e w i t h p o s i t i v e i n t e g e r s r a n g i n g f r o m 1 t o 8 1 i n s u c h a w a y

t h a t t h e s u m o f t h e e l e m e n t s o f e v e r y 3 3 s q u a r e i s t h e s a m e ?

1 8 8 . ( 1 9 9 1 G e r m a n M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d ) S h o w t h a t f o r e v e r y p o s i t i v e

i n t e g e r n 2 ; t h e r e e x i s t s a p e r m u t a t i o n p

1

; p

2

; ; p

n

o f 1 ; 2 ; ; n

s u c h t h a t p

k + 1

d i v i d e s p

1

+ p

2

+ + p

k

f o r k = 1 ; 2 ; ; n 1

1 8 9 . E a c h l a t t i c e p o i n t o f t h e p l a n e i s l a b e l e d b y a p o s i t i v e i n t e g e r . E a c h

o f t h e s e n u m b e r s i s t h e a r i t h m e t i c m e a n o f i t s f o u r n e i g h b o r s ( a b o v e ,

b e l o w , l e f t , r i g h t ) . S h o w t h a t a l l t h e n u m b e r s a r e e q u a l .

1 9 0 . ( 1 9 8 4 T o u r n a m e n t o f t h e T o w n s ) I n a p a r t y , n b o y s a n d n g i r l s a r e

p a i r e d I t i s o b s e r v e d t h a t i n e a c h p a i r , t h e d i e r e n c e i n h e i g h t i s l e s s

t h a n 1 0 c m . S h o w t h a t t h e d i e r e n c e i n h e i g h t o f t h e k - t h t a l l e s t b o y

a n d t h e k - t h t a l l e s t g i r l i s a l s o l e s s t h a n 1 0 c m f o r k = 1 ; 2 ; ; n

1 9 1 . ( 1 9 9 1 L e n i n g r a d M a t h O l y m p i a d ) O n e m a y p e r f o r m t h e f o l l o w i n g t w o

o p e r a t i o n s o n a p o s i t i v e i n t e g e r :

( a ) m u l t i p l y i t b y a n y p o s i t i v e i n t e g e r a n d

( b ) d e l e t e z e r o s i n i t s d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n

P r o v e t h a t f o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r X ; o n e c a n p e r f o r m a s e q u e n c e o f

t h e s e o p e r a t i o n s t h a t w i l l t r a n s f o r m X t o a o n e - d i g i t n u m b e r .

2 9

1 9 2 . ( 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) F o u r i n t e g e r s a r e m a r k e d o n a c i r c

O n e a c h s t e p w e s i m u l t a n e o u s l y r e p l a c e e a c h n u m b e r b y t h e d i e r e n

b e t w e e n t h i s n u m b e r a n d n e x t n u m b e r o n t h e c i r c l e i n a g i v e n d i r e c t i

( t h a t i s , t h e n u m b e r s a ; b ; c ; d a r e r e p l a c e d b y a b ; b c ; c d ; d a

I s i t p o s s i b l e a f t e r 1 9 9 6 s u c h s t e p s t o h a v e n u m b e r s a ; b ; c ; d s u c h t h

t h e n u m b e r s j b c a d j ; j a c b d j ; j a b c d j a r e p r i m e s ?

1 9 3 . ( 1 9 8 9 N a n c h a n g C i t y M a t h C o m p e t i t i o n ) T h e r e a r e 1 9 8 9 c o i n s o n

t a b l e . S o m e a r e p l a c e d w i t h t h e h e a d s i d e s u p a n d s o m e t h e t a i l s i d

u p . A g r o u p o f 1 9 8 9 p e r s o n s w i l l p e r f o r m t h e f o l l o w i n g o p e r a t i o n

t h e r s t p e r s o n i s a l l o w e d t u r n o v e r a n y o n e c o i n , t h e s e c o n d p e r s o n

a l l o w e d t u r n o v e r a n y t w o c o i n s , : : : ; t h e k - t h p e r s o n i s a l l o w e d t u

o v e r a n y k c o i n s , : : : ; t h e 1 9 8 9 t h p e r s o n i s a l l o w e d t o t u r n o v e r e v e

c o i n . P r o v e t h a t

( 1 ) n o m a t t e r w h i c h s i d e s o f t h e c o i n s a r e u p i n i t i a l l y , t h e 1 9 8 9 p e r s o

c a n c o m e u p w i t h a p r o c e d u r e t u r n i n g a l l c o i n s t h e s a m e s i d e s u

a t t h e e n d o f t h e o p e r a t i o n s ,

( 2 ) i n t h e a b o v e p r o c e d u r e , w h e t h e r t h e h e a d o r t h e t a i l s i d e s t u r n

u p a t t h e e n d w i l l d e p e n d o n t h e i n i t i a l p l a c e m e n t o f t h e c o i n s .

1 9 4 . ( P r o p o s e d b y I n d i a f o r 1 9 9 2 I M O ) S h o w t h a t t h e r e e x i s t s a c o n v

p o l y g o n o f 1 9 9 2 s i d e s s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

( a ) i t s s i d e s a r e 1 ; 2 ; 3 ; ; 1 9 9 2 i n s o m e o r d e r ;

( b ) t h e p o l y g o n i s c i r c u m s c r i b a b l e a b o u t a c i r c l e

1 9 5 . T h e r e a r e 1 3 w h i t e , 1 5 b l a c k , 1 7 r e d c h i p s o n a t a b l e . I n o n e s t e p , y

m a y c h o o s e 2 c h i p s o f d i e r e n t c o l o r s a n d r e p l a c e e a c h o n e b y a c h i p

t h e t h i r d c o l o r . C a n a l l c h i p s b e c o m e t h e s a m e c o l o r a f t e r s o m e s t e p

1 9 6 . T h e f o l l o w i n g o p e r a t i o n s a r e p e r m i t t e d w i t h t h e q u a d r a t i c p o l y n o m

a x

2

+ b x + c :

( a ) s w i t c h a a n d c ,

( b ) r e p l a c e x b y x + t ; w h e r e t i s a r e a l n u m b e r .

B y r e p e a t i n g t h e s e o p e r a t i o n s , c a n y o u t r a n s f o r m x

2

x 2 i n t o x

2

x 1 ?

3 0



1 9 7 . F i v e n u m b e r s 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 a r e w r i t t e n o n a b l a c k b o a r d . A s t u d e n t m a y

e r a s e a n y t w o o f t h e n u m b e r s a a n d b o n t h e b o a r d a n d w r i t e t h e

n u m b e r s a + b a n d a b r e p l a c i n g t h e m . I f t h i s o p e r a t i o n i s p e r f o r m e d r e -

p e a t e d l y , c a n t h e n u m b e r s 2 1 ; 2 7 ; 6 4 ; 1 8 0 ; 5 4 0 e v e r a p p e a r o n t h e b o a r d ?

1 9 8 . N i n e 1 1 c e l l s o f a 1 0 1 0 s q u a r e a r e i n f e c t e d . I n o n e u n i t t i m e , t h e

c e l l s w i t h a t l e a s t 2 i n f e c t e d n e i g h b o r s ( h a v i n g a c o m m o n s i d e ) b e c o m e

i n f e c t e d . C a n t h e i n f e c t i o n s p r e a d t o t h e w h o l e s q u a r e ? W h a t i f n i n e

i s r e p l a c e d b y t e n ?

1 9 9 . ( 1 9 9 7 C o l o m b i a n M a t h O l y m p i a d ) W e p l a y t h e f o l l o w i n g g a m e w i t h

a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e o f n ( n + 1 ) = 2 d o l l a r c o i n s ( w i t h n c o i n s o n e a c h

s i d e ) . I n i t i a l l y , a l l o f t h e c o i n s a r e t u r n e d h e a d s u p . O n e a c h t u r n , w e

m a y t u r n o v e r t h r e e c o i n s w h i c h a r e m u t u a l l y a d j a c e n t ; t h e g o a l i s t o

m a k e a l l o f t h e c o i n s t u r n e d t a i l s u p . F o r w h i c h v a l u e s o f n c a n t h i s b e

d o n e ?

2 0 0 . ( 1 9 9 0 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t ) E v e r y i n t e g e r i s c o l o r e d w i t h o n e

o f 1 0 0 c o l o r s a n d a l l 1 0 0 c o l o r s a r e u s e d . F o r i n t e r v a l s a ; b ] ; c ; d ] h a v i n g

i n t e g e r s e n d p o i n t s a n d s a m e l e n g t h s , i f a ; c h a v e t h e s a m e c o l o r a n d

b ; d h a v e t h e s a m e c o l o r , t h e n t h e i n t e r v a l s a r e c o l o r e d t h e s a m e w a y ,

w h i c h m e a n s a + x a n d c + x h a v e t h e s a m e c o l o r f o r x = 0 ; 1 ; ; b a

P r o v e t h a t 1 9 9 0 a n d 1 9 9 0 h a v e d i e r e n t c o l o r s .

3 1



S o l u t i o n s



S o l u t i o n s t o A l g e b r a P r o b l e m s

P o l y n o m i a l s

1 . ( C r u x M a t h e m a t i c o r u m , P r o b l e m 7 ) F i n d ( w i t h o u t c a l c u l u s ) a f t h

d e g r e e p o l y n o m i a l p ( x ) s u c h t h a t p ( x ) + 1 i s d i v i s i b l e b y ( x 1 )

3

a n d

p ( x ) 1 i s d i v i s i b l e b y ( x + 1 )

3

S o l u t i o n . ( D u e t o L a w K a H o , N g K a W i n g , T a m S i u L u n g ) N o t e

( x 1 )

3

d i v i d e s p ( x ) + 1 a n d p ( x ) 1 ; s o ( x 1 )

3

d i v i d e s t h e i r s u m

p ( x ) + p ( x ) A l s o ( x + 1 )

3

d i v i d e s p ( x ) 1 a n d p ( x ) + 1 ; s o ( x + 1 )

3

d i v i d e s p ( x ) + p ( x ) T h e n ( x 1 )

3

( x + 1 )

3

d i v i d e s p ( x ) + p ( x ) ; w h i c h i s

o f d e g r e e a t m o s t 5 . S o p ( x ) + p ( x ) = 0 f o r a l l x T h e n t h e e v e n d e g r e e

t e r m c o e c i e n t s o f p ( x ) a r e z e r o N o w p ( x ) + 1 = ( x 1 )

3

( A x

2

+ B x 1 )

C o m p a r i n g t h e d e g r e e 2 a n d 4 c o e c i e n t s , w e g e t B 3 A = 0 a n d

3 + 3 B A = 0 ; w h i c h i m p l i e s A = 3 = 8 a n d B = 9 = 8 T h i s y i e l d s

p ( x ) = 3 x

5

= 8 + 5 x

3

= 4 1 5 x = 8

2 . A p o l y n o m i a l P ( x ) o f t h e n - t h d e g r e e s a t i s e s P ( k ) = 2

k

f o r k =

0 ; 1 ; 2 ; ; n F i n d t h e v a l u e o f P ( n + 1 )

S o l u t i o n . F o r 0 r n ; t h e p o l y n o m i a l

x

r

=

x ( x 1 ) ( x r + 1 )

r !

i s o f d e g r e e r C o n s i d e r t h e d e g r e e n p o l y n o m i a l

Q ( x ) =

x

0

+

x

1

+ +

x

n

B y t h e b i n o m i a l t h e o r e m , Q ( k ) = ( 1 + 1 )

k

= 2

k

f o r k = 0 ; 1 ; 2 ; ; n

S o P ( x ) = Q ( x ) f o r a l l x T h e n

P ( n + 1 ) = Q ( n + 1 ) =

n + 1

0

+

n + 1

1

+ +

n + 1

n

= 2

n + 1

1

3 . ( 1 9 9 9 P u t n a m E x a m ) L e t P ( x ) b e a p o l y n o m i a l w i t h r e a l c o e c i e n t s

s u c h t h a t P ( x ) 0 f o r e v e r y r e a l x P r o v e t h a t

P ( x ) = f

1

( x )

2

+ f

2

( x )

2

+ + f

n

( x )

2

3 5

f o r s o m e p o l y n o m i a l s f

1

( x ) ; f

2

( x ) ; ; f

n

( x ) w i t h r e a l c o e c i e n t s

S o l u t i o n . ( D u e t o C h e u n g P o k M a n ) W r i t e P ( x ) = a R ( x ) C ( x ) ; w h e

a i s t h e c o e c i e n t o f t h e h i g h e s t d e g r e e t e r m , R ( x ) i s t h e p r o d u c t o f

r e a l r o o t f a c t o r s ( x r ) r e p e a t e d a c c o r d i n g t o m u l t i p l i c i t i e s a n d C ( x )

t h e p r o d u c t o f a l l c o n j u g a t e p a i r s o f n o n r e a l r o o t f a c t o r s ( x z

k

) ( x z

k

T h e n a 0 S i n c e P ( x ) 0 f o r e v e r y r e a l x a n d a f a c t o r ( x r )

2 n

w o u l d c h a n g e s i g n n e a r a r e a l r o o t r o f o d d m u l t i p l i c i t y , e a c h r e a l r o

o f P m u s t h a v e e v e n m u l t i p l i c i t y . S o R ( x ) = f ( x )

2

f o r s o m e p o l y n o m

f ( x ) w i t h r e a l c o e c i e n t s

N e x t p i c k o n e f a c t o r f r o m e a c h c o n j u g a t e p a i r o f n o n r e a l f a c t o

a n d l e t t h e p r o d u c t o f t h e s e f a c t o r s ( x z

k

) b e e q u a l t o U ( x ) + i V ( x

w h e r e U ( x ) ; V ( x ) a r e p o l y n o m i a l s w i t h r e a l c o e c i e n t s W e h a v e

P ( x ) = a f ( x )

2

( U ( x ) + i V ( x ) ) ( U ( x ) i V ( x ) )

= (

p

a f ( x ) U ( x ) )

2

+ (

p

a f ( x ) V ( x ) )

2

4 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I s i t p o s s i b l e t o n d t h r e e q u a d r a t

p o l y n o m i a l s f ( x ) ; g ( x ) ; h ( x ) s u c h t h a t t h e e q u a t i o n f ( g ( h ( x ) ) ) = 0 h

t h e e i g h t r o o t s 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ?

S o l u t i o n . S u p p o s e t h e r e a r e s u c h f ; g ; h T h e n h ( 1 ) ; h ( 2 ) ; ; h ( 8 ) w

b e t h e r o o t s o f t h e 4 - t h d e g r e e p o l y n o m i a l f ( g ( x ) ) S i n c e h ( a )

h ( b ) ; a 6 = b i f a n d o n l y i f a ; b a r e s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e a x

o f t h e p a r a b o l a , i t f o l l o w s t h a t h ( 1 ) = h ( 8 ) ; h ( 2 ) = h ( 7 ) ; h ( 3 )

h ( 6 ) ; h ( 4 ) = h ( 5 ) a n d t h e p a r a b o l a y = h ( x ) i s s y m m e t r i c w i t h r

s p e c t t o x = 9 = 2 A l s o , w e h a v e e i t h e r h ( 1 ) < h ( 2 ) < h ( 3 ) < h ( 4 )

h ( 1 ) > h ( 2 ) > h ( 3 ) > h ( 4 )

N o w g ( h ( 1 ) ) ; g ( h ( 2 ) ) ; g ( h ( 3 ) ) ; g ( h ( 4 ) ) a r e t h e r o o t s o f t h e q u a d r a

p o l y n o m i a l f ( x ) ; s o g ( h ( 1 ) ) = g ( h ( 4 ) ) a n d g ( h ( 2 ) ) = g ( h ( 3 ) ) ; w h i

i m p l i e s h ( 1 ) + h ( 4 ) = h ( 2 ) + h ( 3 ) F o r h ( x ) = A x

2

+ B x + C ; t h i s w o u

f o r c e A = 0 ; a c o n t r a d i c t i o n .

5 . ( 1 9 6 8 P u t n a m E x a m ) D e t e r m i n e a l l p o l y n o m i a l s w h o s e c o e c i e n t s a

a l l 1 t h a t h a v e o n l y r e a l r o o t s .

3 6



S o l u t i o n . I f a p o l y n o m i a l a

0

x

n

+ a

1

x

n 1

+ + a

n

i s s u c h a p o l y n o m i a l ,

t h e n s o i s i t s n e g a t i v e . H e n c e w e m a y a s s u m e a

0

= 1 L e t r

1

; ; r

n

b e

t h e r o o t s . T h e n r

2

1

+ + r

2

n

= a

2

1

2 a

2

a n d r

2

1

r

2

n

= a

2

n

I f t h e r o o t s

a r e a l l r e a l , t h e n b y t h e A M - G M i n e q u a l i t y , w e g e t ( a

2

1

2 a

2

) = n a

2 = n

n

S i n c e a

1

; a

2

= 1 ; w e m u s t h a v e a

2

= 1 a n d n 3 B y s i m p l e

c h e c k i n g , w e g e t t h e l i s t

( x 1 ) ; ( x + 1 ) ; ( x

2

+ x 1 ) ; ( x

2

x 1 ) ;

( x

3

+ x

2

x 1 ) ; ( x

3

x

2

x + 1 )

6 . ( 1 9 9 0 P u t n a m E x a m ) I s t h e r e a n i n n i t e s e q u e n c e a

0

; a

1

; a

2

; o f

n o n z e r o r e a l n u m b e r s s u c h t h a t f o r n = 1 ; 2 ; 3 ; ; t h e p o l y n o m i a l

P

n

( x ) = a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ + a

n

x

n

h a s e x a c t l y n d i s t i n c t r e a l r o o t s ?

S o l u t i o n . Y e s . T a k e a

0

= 1 ; a

1

= 1 a n d p r o c e e d b y i n d u c t i o n .

S u p p o s e a

0

; ; a

n

h a v e b e e n c h o s e n s o t h a t P

n

( x ) h a s n d i s t i n c t r e a l

r o o t s a n d P

n

( x ) ! 1 o r 1 a s x ! 1 d e p e n d i n g u p o n w h e t h e r n

i s e v e n o r o d d . S u p p o s e t h e r o o t s o f P

n

( x ) i s i n t h e i n t e r v a l ( T ; T )

L e t a

n + 1

= ( 1 )

n + 1

= M , w h e r e M i s c h o s e n t o b e v e r y l a r g e s o t h a t

T

n + 1

= M i s v e r y s m a l l . T h e n P

n + 1

( x ) = P

n

( x ) + ( x )

n + 1

= M i s v e r y

c l o s e t o P

n

( x ) o n T ; T ] b e c a u s e j P

n + 1

( x ) P

n

( x ) j T

n + 1

= M f o r

e v e r y x o n T ; T ] S o , P

n + 1

( x ) h a s a s i g n c h a n g e v e r y c l o s e t o e v e r y

r o o t o f P

n

( x ) a n d h a s t h e s a m e s i g n a s P

n

( x ) a t T S i n c e P

n

( x ) a n d

P

n + 1

( x ) t a k e o n d i e r e n t s i g n w h e n x ! 1 , t h e r e m u s t b e a n o t h e r

s i g n c h a n g e b e y o n d T S o P

n + 1

( x ) m u s t h a v e n + 1 r e a l r o o t s

7 . ( 1 9 9 1 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t P ( x ) b e a p o l y n o m i a l

w i t h r e a l c o e c i e n t s s u c h t h a t P ( x ) 0 f o r 0 x 1 S h o w t h a t

t h e r e a r e p o l y n o m i a l s A ( x ) ; B ( x ) ; C ( x ) w i t h r e a l c o e c i e n t s s u c h t h a t

( a ) A ( x ) 0 ; B ( x ) 0 ; C ( x ) 0 f o r a l l r e a l x a n d

( b ) P ( x ) = A ( x ) + x B ( x ) + ( 1 x ) C ( x ) f o r a l l r e a l x

( F o r e x a m p l e , i f P ( x ) = x ( 1 x ) ; t h e n P ( x ) = 0 + x ( 1 x )

2

+ ( 1 x ) x

2

)

S o l u t i o n . ( B e l o w a l l p o l y n o m i a l s h a v e r e a l c o e c i e n t s . ) W e i n d u c t

o n t h e d e g r e e o f P ( x ) I f P ( x ) i s a c o n s t a n t p o l y n o m i a l c ; t h e n c 0

3 7

a n d w e c a n t a k e A ( x ) = c ; B ( x ) = C ( x ) = 0 N e x t s u p p o s e t h e d e g r

n c a s e i s t r u e . F o r t h e c a s e P ( x ) i s o f d e g r e e n + 1 I f P ( x ) 0 f

a l l r e a l x ; t h e n s i m p l y l e t A ( x ) = P ( x ) ; B ( x ) = C ( x ) = 0 O t h e r w i s

P ( x ) h a s a r o o t x

0

i n ( 1 ; 0 ] o r 1 ; + 1 )

C a s e x

0

i n ( 1 ; 0 ] T h e n P ( x ) = ( x x

0

) Q ( x ) a n d Q ( x ) i s o f d e g r e e

w i t h Q ( x ) 0 f o r a l l x n 0 ; 1 ] S o Q ( x ) = A

0

( x ) + x B

0

( x ) + ( 1 x ) C

0

( x

w h e r e A

0

( x ) ; B

0

( x ) ; C

0

( x ) 0 f o r a l l x i n 0 ; 1 ] U s i n g x ( 1 x )

x ( 1 x )

2

+ ( 1 x ) x

2

; w e h a v e

P ( x ) = ( x x

0

) ( A

0

( x ) + x B

0

( x ) + ( 1 x ) C

0

( x ) )

= ( x

0

A

0

( x ) + x

2

B

0

( x ) )

| { z }

A ( x )

+ x ( A

0

( x ) x

0

B

0

( x ) + ( 1 x )

2

C

0

( x

| { z

B ( x )

+ ( 1 x ) ( x

0

C

0

( x ) + x

2

B

0

( x ) )

| { z }

C ( x )

;

w h e r e t h e p o l y n o m i a l s A ( x ) ; B ( x ) ; C ( x ) 0 f o r a l l x i n 0 ; 1 ]

C a s e x

0

i n 1 ; + 1 ) C o n s i d e r Q ( x ) = P ( 1 x ) T h i s r e d u c e s t o t

p r e v i o u s c a s e W e h a v e Q ( x ) = A

1

( x ) + x B

1

( x ) + ( 1 x ) C

1

( x ) ; w h e

t h e p o l y n o m i a l s A

1

( x ) ; B

1

( x ) ; C

1

( x ) 0 f o r a l l x i n 0 ; 1 ] T h e n

P ( x ) = Q ( 1 x ) = A

1

( 1 x )

| { z }

A ( x )

+ x C

1

( 1 x )

| { z }

B ( x )

+ ( 1 x ) B

1

( 1 x )

| { z }

C ( x )

;

w h e r e t h e p o l y n o m i a l s A ( x ) ; B ( x ) ; C ( x ) 0 f o r a l l x i n 0 ; 1 ]

8 . ( 1 9 9 3 I M O ) L e t f ( x ) = x

n

+ 5 x

n 1

+ 3 ; w h e r e n > 1 i s a n i n t e g e

P r o v e t h a t f ( x ) c a n n o t b e e x p r e s s e d a s a p r o d u c t o f t w o p o l y n o m i a

e a c h h a s i n t e g e r c o e c i e n t s a n d d e g r e e a t l e a s t 1 .

S o l u t i o n . S u p p o s e f ( x ) = b ( x ) c ( x ) f o r n o n c o n s t a n t p o l y n o m i a l s b (

a n d c ( x ) w i t h i n t e g e r c o e c i e n t s S i n c e f ( 0 ) = 3 ; w e m a y a s s u m

b ( 0 ) = 1 a n d b ( x ) = x

r

+ 1 S i n c e f ( 1 ) 6 = 0 ; r > 1 L

z

1

; ; z

r

b e t h e r o o t s o f b ( x ) T h e n j z

1

z

r

j = j b ( 0 ) j = 1 a n d

j b ( 5 ) j = j ( 5 z

1

) ( 5 z

r

) j =

r

Y

i = 1

j z

n 1

i

( z

i

+ 5 ) j = 3

r

9

3 8



H o w e v e r , b ( 5 ) a l s o d i v i d e s f ( 5 ) = 3 ; a c o n t r a d i c t i o n .

9 . P r o v e t h a t i f t h e i n t e g e r a i s n o t d i v i s i b l e b y 5 , t h e n f ( x ) = x

5

x + a

c a n n o t b e f a c t o r e d a s t h e p r o d u c t o f t w o n o n c o n s t a n t p o l y n o m i a l s w i t h

i n t e g e r c o e c i e n t s .

S o l u t i o n . S u p p o s e f c a n b e f a c t o r e d , t h e n f ( x ) = ( x b ) g ( x ) o r

f ( x ) = ( x

2

b x + c ) g ( x ) I n t h e f o m e r c a s e , b

5

b + a = f ( b ) = 0 N o w

b

5

b ( m o d 5 ) b y F e r m a t ' s l i t t l e t h e o r e m o r s i m p l y c h e c k i n g t h e c a s e s

b 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ( m o d 5 ) T h e n 5 d i v i d e s b b

5

= a ; a c o n t r a d i c t i o n . I n

t h e l a t t e r c a s e , d i v d i n g f ( x ) = x

5

x + a b y x

2

b x + c ; w e g e t t h e

r e m a i n d e r ( b

4

+ 3 b

2

c + c

2

1 ) x + ( b

3

c + 2 b c

2

+ a ) S i n c e x

2

b x + c i s

a f a c t o r o f f ( x ) ; b o t h c o e c i e n t s e q u a l 0 . F i n a l l y ,

0 = b ( b

4

+ 3 b

2

c + c

2

1 ) 3 ( b

3

c + 2 b c

2

+ a ) = b

5

b 5 b c

2

3 a

i m p l i e s 3 a = b

5

b 5 b c

2

i s d i v i s i b l e b y 5 . T h e n a w o u l d b e d i v i s i b l e

b y 5 , a c o n t r a d i c t i o n .

1 0 . ( 1 9 9 1 S o v i e t M a t h O l y m p i a d ) G i v e n 2 n d i s t i n c t n u m b e r s a

1

; a

2

; ; a

n

;

b

1

; b

2

; ; b

n

; a n n n t a b l e i s l l e d a s f o l l o w s : i n t o t h e c e l l i n t h e i - t h

r o w a n d j - t h c o l u m n i s w r i t t e n t h e n u m b e r a

i

+ b

j

P r o v e t h a t i f t h e

p r o d u c t o f e a c h c o l u m n i s t h e s a m e , t h e n a l s o t h e p r o d u c t o f e a c h r o w

i s t h e s a m e .

S o l u t i o n . L e t

P ( x ) = ( x + a

1

) ( x + a

2

) ( x + a

n

) ( x b

1

) ( x b

2

) ( x b

n

) ;

t h e n d e g P < n : N o w P ( b

j

) = ( b

j

+ a

1

) ( b

j

+ a

2

) ( b

j

+ a

n

) = c ; s o m e

c o n s t a n t , f o r j = 1 ; 2 ; ; n S o P ( x ) c h a s d i s t i n c t r o o t s b

1

; b

2

; ; b

n

T h e r e f o r e , P ( x ) = c f o r a l l x a n d s o

c = P ( a

i

) = ( 1 )

n + 1

( a

i

+ b

1

) ( a

i

+ b

2

) ( a

i

+ b

n

)

f o r i = 1 ; 2 ; ; n T h e n t h e p r o d u c t o f e a c h r o w i s ( 1 )

n + 1

c

1 1 . L e t a

1

; a

2

; ; a

n

a n d b

1

; b

2

; ; b

n

b e t w o d i s t i n c t c o l l e c t i o n s o f n p o s -

i t i v e i n t e g e r s , w h e r e e a c h c o l l e c t i o n m a y c o n t a i n r e p e t i t i o n s . I f t h e t w o

3 9

c o l l e c t i o n s o f i n t e g e r s a

i

+ a

j

( 1 i < j n ) a n d b

i

+ b

j

( 1 i < j

a r e t h e s a m e , t h e n s h o w t h a t n i s a p o w e r o f 2 .

S o l u t i o n . ( D u e t o L a w S i u L u n g ) C o n s i d e r t h e f u n c t i o n s f ( x )

n

X

i + 1

x

a

i

a n d g ( x ) =

n

X

i = 1

x

b

i

S i n c e t h e a

i

' s a n d b

i

' s a r e d i s t i n c t , f a n d

a r e d i s t i n c t p o l y n o m i a l s . N o w

f ( x )

2

=

n

X

i = 1

x

2 a

i

+ 2

X

1 i < j n

x

a

i

+ a

j

= f ( x

2

) + 2

X

1 i < j n

x

a

i

+ a

j

S i n c e t h e a

i

+ a

j

' s a n d t h e b

i

+ b

j

' s a r e t h e s a m e , s o f ( x )

2

f ( x

2

)

g ( x )

2

g ( x

2

) S i n c e f ( 1 ) g ( 1 ) = n n = 0 ; s o f ( x ) g ( x ) = ( x

1 )

k

Q ( x ) f o r s o m e k 1 a n d p o l y n o m i a l Q s u c h t h a t Q ( 1 ) 6 = 0 T h e n

f ( x ) + g ( x ) =

f ( x

2

) g ( x

2

)

f ( x ) g ( x )

=

( x

2

1 )

k

Q ( x

2

)

( x 1 )

k

Q ( x )

= ( x + 1 )

k

Q ( x

2

)

Q ( x )

S e t t i n g x = 1 ; w e h a v e n = 2

k 1

R e c u r r e n c e R e l a t i o n s

1 2 . T h e s e q u e n c e x

n

i s d e n e d b y

x

1

= 2 ; x

n + 1

=

2 + x

n

1 2 x

n

; n = 1 ; 2 ; 3 ;

P r o v e t h a t x

n

6 =

1

2

o r 0 f o r a l l n a n d t h e t e r m s o f t h e s e q u e n c e a r e

d i s t i n c t .

S o l u t i o n . ( D u e t o W o n g C h u n W a i ) T h e t e r m s x

n

' s a r e c l e a r l y r a t i o n

b y i n d u c t i o n . W r i t e x

n

= p

n

= q

n

; w h e r e p

n

; q

n

a r e r e l a t i v e l y p r i m e i n t

g e r s a n d q

n

> 0 T h e n q

1

= 1 a n d p

n + 1

= q

n + 1

= ( 2 q

n

+ p

n

) = ( q

n

2 p

n

S o q

n + 1

d i v i d e s q

n

2 p

n

; w h i c h i m p l i e s e v e r y q

n

i s o d d b y i n d u c t i o

H e n c e , e v e r y x

n

6 =

1

2

N e x t , t o s h o w e v e r y x

n

6 = 0 ; l e t = a r c t a n 2 ; t h e n x

n

= t a n n

b y i n d u c t i o n . S u p p o s e x

n

= 0 a n d n i s t h e l e a s t s u c h i n d e x . I f n

4 0



2 m i s e v e n , t h e n 0 = x

2 m

= t a n 2 m = 2 x

m

= ( 1 x

2

m

) w o u l d i m p l y

x

m

= 0 ; a c o n t r a d i c t i o n t o n b e i n g l e a s t . I f n = 2 m + 1 i s o d d , t h e n

0 = x

2 m + 1

= t a n ( + 2 m ) = ( 2 + x

2 m

) = ( 1 2 x

2 m

) w o u l d i m p l y

x

2 m

= 2 T h e n 2 = 2 x

m

= ( 1 x

2

m

) w o u l d i m p l y x

m

= ( 1

p

5 ) = 2 i s

i r r a t i o n a l , a c o n t r a d i c t i o n . F i n a l l y , i f x

m

= x

n

f o r s o m e m > n ; t h e n

x

m n

= t a n ( m n ) = ( x

m

x

n

) = ( 1 + x

m

x

n

) = 0 ; a c o n t r a d i c t i o n .

T h e r e f o r e t h e t e r m s a r e n o n z e r o a n d d i s t i n c t .

1 3 . ( 1 9 8 8 N a n c h a n g C i t y M a t h C o m p e t i t i o n ) D e n e a

1

= 1 ; a

2

= 7 a n d

a

n + 2

=

a

2

n + 1

1

a

n

f o r p o s i t i v e i n t e g e r n P r o v e t h a t 9 a

n

a

n + 1

+ 1 i s a

p e r f e c t s q u a r e f o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r n

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a n K i n H a n g ) ( S i n c e a

n + 2

d e p e n d s o n a

n + 1

a n d

a

n

; i t i s p l a u s i b l e t h a t t h e s e q u e n c e s a t i s e s a l i n e a r r e c u r r e n c e r e l a t i o n

a

n + 2

= c a

n + 1

+ c

0

a

n

I f t h i s i s s o , t h e n u s i n g t h e r s t 4 t e r m s , w e n d

c = 7 ; c

0

= 1 ) D e n e b

1

= a

1

; b

2

= a

2

; b

n + 2

= 7 b

n + 1

b

n

f o r n 1

T h e n b

3

= 4 8 = a

3

S u p p o s e a

k

= b

k

f o r k n + 1 ; t h e n

a

n + 2

=

b

2

n + 1

1

b

n

=

( 7 b

n

b

n 1

)

2

1

b

n

= 4 9 b

n

1 4 b

n 1

+ b

n 2

= 7 b

n + 1

b

n

= b

n + 2

S o a

k

= b

k

f o r a l l k

N e x t , w r i t i n g o u t t h e r s t f e w t e r m s o f 9 a

n

a

n + 1

+ 1 w i l l s u g g e s t

t h a t 9 a

n

a

n + 1

+ 1 = ( a

n

+ a

n + 1

)

2

T h e c a s e n = 1 i s t r u e a s 9 7 + 1 =

( 1 + 7 )

2

S u p p o s e t h i s i s t r u e f o r n = k U s i n g t h e r e c u r r e n c e r e l a t i o n s

a n d ( * ) 2 a

2

k + 1

2 = 2 a

k

a

k + 2

= 1 4 a

k

a

k + 1

2 a

2

k

; w e g e t t h e c a s e n = k + 1

a s f o l l o w :

9 a

k + 1

a

k + 2

+ 1 = 9 a

k + 1

( 7 a

k + 1

a

k

) + 1

= 6 3 a

2

k + 1

( a

k

+ a

k + 1

)

2

+ 2

= 6 2 a

2

k + 1

2 a

k

a

k + 1

a

2

k

+ 2

= 6 4 a

2

k + 1

1 6 a

k + 1

a

k

+ a

2

k

b y ( * )

= ( 8 a

k + 1

a

k

)

2

= ( a

k + 1

+ a

k + 2

)

2

4 1

1 4 . ( P r o p o s e d b y B u l g a r i a f o r 1 9 8 8 I M O ) D e n e a

0

= 0 ; a

1

= 1 a n d a

n

2 a

n 1

+ a

n 2

f o r n > 1 S h o w t h a t f o r p o s i t i v e i n t e g e r k ; a

n

i s d i v i s i b

b y 2

k

i f a n d o n l y i f n i s d i v i s i b l e b y 2

k

S o l u t i o n . B y t h e b i n o m i a l t h e o r e m , i f ( 1 +

p

2 )

n

= A

n

+ B

n

p

2 ; t h

( 1

p

2 )

n

= A

n

B

n

p

2 M u l t i p l y i n g t h e s e 2 e q u a t i o n s , w e g e t A

2

n

2 B

2

n

= ( 1 )

n

T h i s i m p l i e s A

n

i s a l w a y s o d d . U s i n g c h a r a c t e r i s t

e q u a t i o n m e t h o d t o s o l v e t h e g i v e n r e c u r r e n c e r e l a t i o n s o n a

n

; w e n

t h a t a

n

= B

n

N o w w r i t e n = 2

k

m ; w h e r e m i s o d d . W e h a v e k =

( i e n i s o d d ) i f a n d o n l y i f 2 B

2

n

= A

2

n

+ 1 2 ( m o d 4 ) ; ( i e B

n

o d d ) . N e x t s u p p o s e c a s e k i s t r u e . S i n c e ( 1 +

p

2 )

2 n

= ( A

n

+ B

n

p

2 )

2

A

2 n

+ B

2 n

p

2 ; s o B

2 n

= 2 A

n

B

n

T h e n i t f o l l o w s c a s e k i m p l i e s c a

k + 1

1 5 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 2 9 9 8 ) L e t x a n d y

d i s t i n c t c o m p l e x n u m b e r s s u c h t h a t

x

n

y

n

x y

i s a n i n t e g e r f o r s o m

f o u r c o n s e c u t i v e p o s i t i v e i n t e g e r s n S h o w t h a t

x

n

y

n

x y

i s a n i n t e g

f o r a l l p o s i t i v e i n t e g e r s n

S o l u t i o n . F o r n o n n e g a t i v e i n t e g e r n ; l e t t

n

= ( x

n

y

n

) = ( x y )

t

0

= 0 ; t

1

= 1 a n d w e h a v e a r e c u r r e n c e r e l a t i o n

t

n + 2

+ b t

n + 1

+ c t

n

= 0 ; w h e r e b = ( x + y ) ; c = x y

S u p p o s e t

n

i s a n i n t e g e r f o r m ; m + 1 ; m + 2 ; m + 3 S i n c e c

n

= ( x y )

n

t

2

n + 2

t

n

t

n + 2

i s a n i n t e g e r f o r n = m ; m + 1 ; s o c i s r a t i o n a l . S i n

c

m + 1

i s i n t e g e r , c m u s t , i n f a c t , b e a n i n t e g e r . N e x t

b =

t

m

t

m + 3

t

m + 1

t

m + 2

c

m

S o b i s r a t i o n a l . F r o m t h e r e c u r r e n c e r e l a t i o n , i t f o l l o w s b y i n d u c t i

t h a t t

n

= f

n 1

( b ) f o r s o m e p o l y n o m i a l f

n 1

o f d e g r e e n 1 w i t h i n t e g

c o e c i e n t s . N o t e t h e c o e c i e n t o f x

n 1

i n f

n 1

i s 1 , i . e . f

n 1

i s m o n

S i n c e b i s a r o o t o f t h e i n t e g e r c o e c i e n t p o l y n o m i a l f

m

( z ) t

m + 1

=

b m u s t b e a n i n t e g e r . S o t h e r e c u r r e n c e r e l a t i o n i m p l i e s a l l t

n

' s a

i n t e g e r s .

4 2



I n e q u a l i t i e s

1 6 . F o r r e a l n u m b e r s a

1

; a

2

; a

3

; ; i f a

n 1

+ a

n + 1

2 a

n

f o r n = 2 ; 3 ; ;

t h e n p r o v e t h a t

A

n 1

+ A

n + 1

2 A

n

f o r n = 2 ; 3 ; ;

w h e r e A

n

i s t h e a v e r a g e o f a

1

; a

2

; ; a

n

S o l u t i o n . E x p r e s s i n g i n a

k

; t h e r e q u i r e d i n e q u a l i t y i s e q u i v a l e n t t o

a

1

+ + a

n 1

n

2

+ n 2

2

a

n

+

n ( n 1 )

2

a

n + 1

0

( F r o m t h e c a s e s n = 2 ; 3 ; w e e a s i l y s e e t h e p a t t e r n . ) W e h a v e

a

1

+ + a

n 1

n

2

+ n 2

2

a

n

+

n ( n 1 )

2

a

n + 1

=

n

X

k = 2

k ( k 1 )

2

( a

k 1

2 a

k

+ a

k + 2

) 0

1 7 . L e t a ; b ; c > 0 a n d a b c 1 P r o v e t h a t

a

c

+

b

a

+

c

b

a + b + c

S o l u t i o n . ( D u e t o L e u n g W a i Y i n g ) S i n c e a b c 1 ; w e g e t 1 = ( b c ) a ;

1 = ( a c ) b a n d 1 = ( a b ) c B y t h e A M - G M i n e q u a l i t y ,

2 a

c

+

c

b

=

a

c

+

a

c

+

c

b

3

3

r

a

2

b c

3 a

S i m i l a r l y , 2 b = a + a = c 3 b a n d 2 c = b + b = a 3 c A d d i n g t h e s e a n d

d i v i d i n g b y 3 , w e g e t t h e d e s i r e d i n e q u a l i t y .

4 3

A l t e r n a t i v e l y , l e t x =

9

p

a

4

b = c

2

; y =

9

p

c

4

a = b

2

a n d z =

9

p

b

4

c = a

W e h a v e a = x

2

y ; b = z

2

x ; c = y

2

z a n d x y z =

3

p

a b c 1 U s i n g t h

a n d t h e r e a r r a n g e m e n t i n e q u a l i t y , w e g e t

a

c

+

b

a

+

c

b

=

x

2

y z

+

z

2

x y

+

y

2

z x

x y z

x

2

y z

+

z

2

x y

+

y

2

z x

= x

3

+ y

3

+ z

3

x

2

y + y

2

z + z

2

x = a + b + c

1 8 . ( 1 9 8 2 M o s c o w M a t h O l y m p i a d ) U s e t h e i d e n t i t y 1

3

+ 2

3

+ + n

3

n

2

( n + 1 )

2

4

t o p r o v e t h a t f o r d i s t i n c t p o s i t i v e i n t e g e r s a

1

; a

2

; ; a

n

;

( a

7

1

+ a

7

2

+ + a

7

n

) + ( a

5

1

+ a

5

2

+ + a

5

n

) 2 ( a

3

1

+ a

3

2

+ + a

3

n

)

2

C a n e q u a l i t y o c c u r ?

S o l u t i o n . F o r n = 1 ; a

7

1

+ a

5

1

2 ( a

3

1

)

2

= a

5

1

( a

1

1 )

2

0 a n d s o c a

n = 1 i s t r u e . S u p p o s e t h e c a s e n = k i s t r u e . F o r t h e c a s e n = k +

w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e m a y a s s u m e a

1

< a

2

< < a

k + 1

N o

2 ( a

3

1

+ + a

3

k + 1

)

2

2 ( a

3

1

+ + a

3

k

)

2

= 2 a

6

k + 1

+ 4 a

3

k + 1

( a

3

1

+ + a

3

k

)

2 a

6

k + 1

+ 4 a

3

k + 1

( 1

3

+ 2

3

+ + ( a

k + 1

1 )

3

)

= 2 a

6

k + 1

+ 4 a

3

k + 1

( a

k + 1

1 )

2

a

2

k

4

= a

7

k + 1

+ a

5

k + 1

S o ( a

7

1

+ + a

7

k + 1

) + ( a

5

1

+ + a

5

k + 1

) 2 ( a

3

1

+ + a

3

k + 1

)

2

f o l l o w

E q u a l i t y o c c u r s i f a n d o n l y i f a

1

; a

2

; ; a

n

a r e 1 ; 2 ; ; n

1 9 . ( 1 9 9 7 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t a

1

a

n

a

n + 1

= 0 b e

s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s . P r o v e t h a t

v

u

u

t

n

X

k = 1

a

k

n

X

k = 1

p

k (

p

a

k

p

a

k + 1

)

4 4



S o l u t i o n . ( D u e t o L e e T a k W i n g ) L e t x

k

=

p

a

k

p

a

k + 1

T h e n a

k

=

( x

k

+ x

k + 1

+ + x

n

)

2

S o ,

n

X

k = 1

a

k

=

n

X

k = 1

( x

k

+ x

k + 1

+ + x

n

)

2

=

n

X

k = 1

k x

2

k

+ 2

X

1 i < j n

i x

i

x

j

n

X

k = 1

k x

2

k

+ 2

X

1 i < j n

p

i j x

i

x

j

=

n

X

k = 1

p

k x

k

2

T a k i n g s q u a r e r o o t o f b o t h s i d e s , w e g e t t h e d e s i r e d i n e q u a l i t y .

2 0 . ( 1 9 9 4 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t ) F o r 0 a b c d e a n d

a + b + c + d + e = 1 ; s h o w t h a t

a d + d c + c b + b e + e a

1

5

S o l u t i o n . ( D u e t o L a u L a p M i n g ) S i n c e a b c d e ; s o

d + e c + e b + d a + c a + b B y C h e b y s e v ' s i n e q u a l i t y ,

a d + d c + c b + b e + e a

=

a ( d + e ) + b ( c + e ) + c ( b + d ) + d ( a + c ) + e ( a + b )

2

( a + b + c + d + e ) ( ( d + e ) + ( c + e ) + ( b + d ) + ( a + c ) + ( a + b ) )

1 0

=

2

5

2 1 . ( 1 9 8 5 W u h u C i t y M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t x ; y ; z b e r e a l n u m b e r s s u c h

t h a t x + y + z = 0 S h o w t h a t

6 ( x

3

+ y

3

+ z

3

)

2

( x

2

+ y

2

+ z

2

)

3

S o l u t i o n . ( D u e t o N g K a W i n g ) W e h a v e z = ( x + y ) a n d s o

( x

2

+ y

2

+ z

2

)

3

= ( x

2

+ y

2

+ ( x + y )

2

)

3

3

2

( x + y )

2

3

=

2 7

8

( x + y )

4

( x + y )

2

2 7

8

( 2

p

x y )

4

( x + y )

2

= 6

3 x y ( x + y )

2

= 6

x

3

+ y

3

( x + y )

3

2

= 6 ( x

3

+ y

3

+ z

3

)

2

4 5

C o m m e n t s . L e t f ( w ) = ( w x ) ( w y ) ( w z ) = w

3

+ b w + c T h

x

2

+ y

2

+ z

2

= ( x + y + z )

2

2 ( x y + y z + z x ) = 2 b a n d 0 = f ( x ) + f ( y )

f ( z ) = ( x

3

+ y

3

+ z

3

) + b ( x + y + z ) + 3 c i m p l i e s x

3

+ y

3

+ z

3

= 3

S o t h e i n e q u a l i t y i s t h e s a m e a s 2 ( 4 b

3

2 7 c

2

) 0 F o r t h e c u b

p o l y n o m i a l f ( w ) = w

3

+ b w + c ; i t i s w e l l - k n o w n t h a t t h e d i s c r i m i n a

4 = ( x y )

2

( y z )

2

( z x )

2

e q u a l s 4 b

3

2 7 c

2

T h e i n e q u a l i t y f o l l o w

e a s i l y f r o m t h i s .

2 2 . ( 1 9 9 9 I M O ) L e t n b e a x e d i n t e g e r , w i t h n 2

( a ) D e t e r m i n e t h e l e a s t c o n s t a n t C s u c h t h a t t h e i n e q u a l i t y

X

1 i < j n

x

i

x

j

( x

2

i

+ x

2

j

) C

X

1 i n

x

i

4

h o l d s f o r a l l n o n n e g a t i v e r e a l n u m b e r s x

1

; x

2

; ; x

n

( b ) F o r t h i s c o n s t a n t C ; d e t e r m i n e w h e n e q u a l i t y h o l d s .

S o l u t i o n . ( D u e t o L a w K a H o a n d N g K a W i n g ) W e w i l l s h o w t

l e a s t C i s 1 = 8 B y t h e A M - G M i n e q u a l i t y ,

X

1 i n

x

i

4

=

X

1 i n

x

2

i

+ 2

X

1 i < j n

x

i

x

j

2

2

s

2

X

1 i < j n

x

i

x

j

X

1 i n

x

2

i

2

= 8

X

1 i < j n

x

i

x

j

( x

2

1

+ + x

2

n

)

8

X

1 i < j n

x

i

x

j

( x

2

i

+ x

2

j

)

( E q u a l i t y h o l d s i n t h e s e c o n d i n e q u a l i t y i f a n d o n l y i f a t l e a s t n

o f t h e x

i

' s a r e z e r o s . T h e n e q u a l i t y h o l d s i n t h e r s t i n e q u a l i t y i f a n

o n l y i f t h e r e m a i n i n g p a i r o f x

i

' s a r e e q u a l . ) O v e r a l l , e q u a l i t y h o l d s

a n d o n l y i f t w o o f t h e x

i

' s a r e e q u a l a n d t h e o t h e r s a r e z e r o s .

4 6



2 3 . ( 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t n 2 a n d 0 x

i

1 f o r

i = 1 ; 2 ; ; n P r o v e t h a t

( x

1

+ x

2

+ + x

n

) ( x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ + x

n 1

x

n

+ x

n

x

1

)

h

n

2

i

;

w h e r e x ] i s t h e g r e a t e s t i n t e g e r l e s s t h a n o r e q u a l t o x

S o l u t i o n . W h e n x

2

; ; x

n

a r e x e d , t h e l e f t s i d e i s a d e g r e e o n e p o l y -

n o m i a l i n x

1

; s o t h e m a x i m u m v a l u e i s a t t a i n e d w h e n x

1

= 0 o r 1 .

T h e s i t u a t i o n i s s i m i l a r f o r t h e o t h e r x

i

' s . S o w h e n t h e l e f t s i d e i s

m a x i m u m , e v e r y x

i

' s i s 0 o r 1 a n d t h e v a l u e i s a n i n t e g e r . N o w

2

( x

1

+ + x

n

) ( x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ + x

n 1

x

n

+ x

n

x

1

)

= n ( 1 x

1

) ( 1 x

2

) ( 1 x

2

) ( 1 x

3

) ( 1 x

n

) ( 1 x

1

)

x

1

x

2

x

2

x

3

x

n

x

1

S i n c e 0 x

i

1 ; t h e e x p r e s s i o n a b o v e i s a t m o s t n S o

m a x

( x

1

+ + x

n

) ( x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ + x

n 1

x

n

+ x

n

x

1

)

h

n

2

i

2 4 . F o r e v e r y t r i p l e t o f f u n c t i o n s f ; g ; h : 0 ; 1 ] ! R ; p r o v e t h a t t h e r e a r e

n u m b e r s x ; y ; z i n 0 ; 1 ] s u c h t h a t

j f ( x ) + g ( y ) + h ( z ) x y z j

1

3

S o l u t i o n . S u p p o s e f o r a l l x ; y ; z i n 0 ; 1 ] ; j f ( x ) + g ( y ) + h ( z ) x y z j <

1 = 3 T h e n

j f ( 0 ) + g ( 0 ) + h ( 0 ) j <

1

3

; j f ( 0 ) + g ( y ) + h ( z ) j <

1

3

;

j f ( x ) + g ( 0 ) + h ( z ) j <

1

3

; j f ( x ) + g ( y ) + h ( 0 ) j <

1

3

4 7

S i n c e

f ( x ) + g ( y ) + h ( z ) =

f ( 0 ) + g ( y ) + h ( z )

2

+

f ( x ) + g ( 0 ) + h ( z )

2

+

f ( x ) + g ( y ) + h ( 0 )

2

+

f ( 0 ) g ( 0 ) h ( 0 )

2

b y t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y , j f ( x ) + g ( y ) + h ( z ) j < 2 = 3 I n p a r t i c u l a

j f ( 1 ) + g ( 1 ) + h ( 1 ) j < 2 = 3 H o w e v e r , j 1 f ( 1 ) g ( 1 ) h ( 1 ) j < 1 =

A d d i n g t h e s e t w o i n e q u a l i t y a n d a p p l y i n g t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y t o t

l e f t s i d e , w e g e t 1 < 1 ; a c o n t r a d i c t i o n .

T h e r e i s a s i m p l e r p r o o f . B y t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y , t h e s u m

j ( f ( 0 ) + g ( 0 ) + h ( 0 ) ) j ; j f ( 0 ) + g ( 1 ) + h ( 1 ) j ; j f ( 1 ) + g ( 0 ) + h ( 1

j f ( 1 ) + g ( 1 ) + h ( 0 ) j ; j ( f ( 1 ) + g ( 1 ) + h ( 1 ) 1 ) j ; j ( f ( 1 ) + g ( 1 ) + h ( 1 ) 1

i s a t l e a s t 2 . S o , o n e o f t h e m i s a t l e a s t 2 = 6

2 5 . ( P r o p o s e d b y G r e a t B r i t a i n f o r 1 9 8 7 I M O ) I f x ; y ; z a r e r e a l n u m b e

s u c h t h a t x

2

+ y

2

+ z

2

= 2 ; t h e n s h o w t h a t x + y + z x y z + 2

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a n M i n g C h i u ) I f o n e o f x ; y ; z i s n o n p o s i t i v

s a y z ; t h e n

2 + x y z x y z = ( 2 x y ) z ( 1 x y ) 0

b e c a u s e x + y

p

2 ( x

2

+ y

2

) 2 a n d x y ( x

2

+ y

2

) = 2 1 S o w

m a y a s s u m e x ; y ; z a r e p o s i t i v e , s a y 0 < x y z I f z 1 ; t h e n

2 + x y z x y z = ( 1 x ) ( 1 y ) + ( 1 z ) ( 1 x y ) 0

I f z > 1 ; t h e n

( x + y ) + z

p

2 ( ( x + y )

2

+ z

2

) = 2

p

x y + 1 x y + 2 x y z + 2

2 6 . ( P r o p o s e d b y U S A f o r 1 9 9 3 I M O ) P r o v e t h a t f o r p o s i t i v e r e a l n u m b e

a ; b ; c ; d ;

a

b + 2 c + 3 d

+

b

c + 2 d + 3 a

+

c

d + 2 a + 3 b

+

d

a + 2 b + 3 c

2

3

4 8



S o l u t i o n . L e t

x

1

=

r

a

b + 2 c + 3 d

; y

1

=

p

a ( b + 2 c + 3 d ) ;

x

2

=

r

b

c + 2 d + 3 a

; y

2

=

p

b ( c + 2 d + 3 a ) ;

x

3

=

r

c

d + 2 a + 3 b

; y

3

=

p

c ( d + 2 a + 3 b ) ;

x

4

=

r

d

a + 2 b + 3 c

; y

4

=

p

d ( a + 2 b + 3 c )

T h e i n e q u a l i t y t o b e p r o v e d i s x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

+ x

2

4

2 = 3 B y t h e C a u c h y -

S c h w a r z i n e q u a l i t y , ( x

2

1

+ + x

2

4

) ( y

2

1

+ + y

2

4

) ( a + b + c + d )

2

T o

n i s h , i t s u c e s t o s h o w ( a + b + c + d )

2

= ( y

2

1

+ y

2

2

+ y

2

3

+ y

2

4

) 2 = 3

T h i s f o l l o w s f r o m

3 ( a + b + c + d )

2

2 ( y

2

1

+ y

2

2

+ y

2

3

+ y

2

4

)

= 3 ( a + b + c + d )

2

8 ( a b + a c + a d + b c + b d + c d )

= ( a b )

2

+ ( a c )

2

+ ( a d )

2

+ ( b c )

2

+ ( b d )

2

+ ( c d )

2

0

2 7 . L e t a

1

; a

2

; ; a

n

a n d b

1

; b

2

; ; b

n

b e 2 n p o s i t i v e r e a l n u m b e r s s u c h

t h a t

( a ) a

1

a

2

a

n

a n d

( b ) b

1

b

2

b

k

a

1

a

2

a

k

f o r a l l k ; 1 k n

S h o w t h a t b

1

+ b

2

+ + b

n

a

1

+ a

2

+ + a

n

S o l u t i o n . L e t c

k

= b

k

= a

k

a n d d

k

= ( c

1

1 ) + ( c

2

1 ) + + ( c

k

1 ) f o r

1 k n B y t h e A M - G M i n e q u a l i t y a n d ( b ) , ( c

1

+ c

2

+ + c

k

) = k

k

p

c

1

c

2

c

k

1 ; w h i c h i m p l i e s d

k

0 F i n a l l y ,

( b

1

+ b

2

+ + b

n

) ( a

1

+ a

2

+ + a

n

)

= ( c

1

1 ) a

1

+ ( c

2

1 ) a

2

+ + ( c

n

1 ) a

n

= d

1

a

1

+ ( d

2

d

1

) a

2

+ + ( d

n

d

n 1

) a

n

= d

1

( a

1

a

2

) + d

2

( a

2

a

3

) + + d

n

a

n

0

4 9

2 8 . ( P r o p o s e d b y G r e e c e f o r 1 9 8 7 I M O ) L e t a ; b ; c > 0 a n d m b e a p o s i t i

i n t e g e r , p r o v e t h a t

a

m

b + c

+

b

m

c + a

+

c

m

a + b

3

2

a + b + c

3

m 1

S o l u t i o n . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , a s s u m e a b c S o a + b

c + a b + c ; w h i c h i m p l i e s

1

b + c

1

c + a

1

a + b

B y t h e A M - H

i n e q u a l i t y ,

( b + c ) + ( c + a ) + ( a + b )

3

3

1

b + c

+

1

c + a

+

1

a + b

T h i s y i e l d s

1

b + c

+

1

c + a

+

1

a + b

9

2 ( a + b + c )

B y t h e C h e b y s e v i

e q u a l i t y a n d t h e p o w e r m e a n i n e q u a l i t y r e s p e c t i v e l y , w e h a v e

a

m

b + c

+

b

m

c + a

+

c

m

a + b

1

3

( a

m

+ b

m

+ c

m

)

1

b + c

+

1

c + a

+

1

a + b

a + b + c

3

m

9

2 ( a + b + c )

=

3

2

a + b + c

3

m 1

2 9 . L e t a

1

; a

2

; ; a

n

b e d i s t i n c t p o s i t i v e i n t e g e r s , s h o w t h a t

a

1

2

+

a

2

8

+ +

a

n

n 2

n

1

1

2

n

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a n K i n H a n g ) A r r a n g e a

1

; a

2

; ; a

n

i n t o i

c r e a s i n g o r d e r a s b

1

; b

2

; ; b

n

T h e n b

n

n b e c a u s e t h e y a r e d i s t i n

p o s i t i v e i n t e g e r s S i n c e

1

2

;

1

8

; ;

1

n 2

n

; b y t h e r e a r r a n g e m e n t i n e q u a

i t y ,

a

1

2

+

a

2

8

+ +

a

n

n 2

n

b

1

2

+

b

2

8

+ +

b

n

n 2

n

1

2

+

2

8

+ +

n

n 2

n

= 1

1

2

n

5 0



3 0 . ( 1 9 8 2 W e s t G e r m a n M a t h O l y m p i a d ) I f a

1

; a

2

; ; a

n

> 0 a n d a =

a

1

+ a

2

+ + a

n

; t h e n s h o w t h a t

n

X

i = 1

a

i

2 a a

i

n

2 n 1

S o l u t i o n . B y s y m m e t r y , w e m a y a s s u m e a

1

a

2

a

n

T h e n

1

2 a a

n

1

2 a a

1

F o r c o n v e n i e n c e , l e t a

i

= a

j

i f i j ( m o d n )

F o r m = 0 ; 1 ; ; n 1 ; b y t h e r e a r r a n g e m e n t i n e q u a l i t y , w e g e t

n

X

i = 1

a

m + i

2 a a

i

n

X

i = 1

a

i

2 a a

i

A d d i n g t h e s e n i n e q u a l i t i e s , w e g e t

n

X

i = 1

a

2 a a

i

n

X

i = 1

n a

i

2 a a

i

S i n c e

a

2 a a

i

=

1

2

+

1

2

a

i

2 a a

i

; w e g e t

n

2

+

1

2

n

X

i = 1

a

i

2 a a

i

n

n

X

i = 1

a

i

2 a a

i

S o l v i n g f o r t h e s u m , w e g e t t h e d e s i r e d i n e q u a l i t y .

3 1 . P r o v e t h a t i f a ; b ; c > 0 ; t h e n

a

3

b + c

+

b

3

c + a

+

c

3

a + b

a

2

+ b

2

+ c

2

2

S o l u t i o n . ( D u e t o H o W i n g Y i p ) B y s y m m e t r y , w e m a y a s s u m e a

b c T h e n a + b c + a b + c S o

1

b + c

1

c + a

1

a + b

B y t h e

r e a r r a n g e m e n t i n e q u a l i t y , w e h a v e

a

3

a + b

+

b

3

b + c

+

c

3

c + a

a

3

b + c

+

b

3

c + a

+

c

3

a + b

;

a

3

c + a

+

b

3

a + b

+

c

3

b + c

a

3

b + c

+

b

3

c + a

+

c

3

a + b

5 1

A d d i n g t h e s e , t h e n d i v i d i n g b y 2 , w e g e t

1

2

a

3

+ b

3

a + b

+

b

3

+ c

3

b + c

+

c

3

+ a

3

c + a

a

3

b + c

+

b

3

c + a

+

c

3

a + b

F i n a l l y , s i n c e ( x

3

+ y

3

) = ( x + y ) = x

2

x y + y

2

( x

2

+ y

2

) = 2 ; w e h a

a

2

+ b

2

+ c

2

2

=

1

2

a

2

+ b

2

2

+

b

2

+ c

2

2

+

c

2

+ a

2

2

1

2

a

3

+ b

3

a + b

+

b

3

+ c

3

b + c

+

c

3

+ a

3

c + a

a

3

b + c

+

b

3

c + a

+

c

3

a + b

3 2 . L e t a ; b ; c ; d > 0 a n d

1

1 + a

4

+

1

1 + b

4

+

1

1 + c

4

+

1

1 + d

4

= 1

P r o v e t h a t a b c d 3

S o l u t i o n . L e t a

2

= t a n ; b

2

= t a n ; c

2

= t a n ; d

2

= t a n T h

c o s

2

+ c o s

2

+ c o s

2

+ c o s

2

= 1 B y t h e A M - G M i n e q u a l i t y ,

s i n

2

= c o s

2

+ c o s

2

+ c o s

2

3 ( c o s c o s c o s )

2 = 3

M u l t i p l y i n g t h i s a n d t h r e e o t h e r s i m i l a r i n e q u a l i t i e s , w e h a v e

s i n

2

s i n

2

s i n

2

s i n

2

8 1 c o s

2

c o s

2

c o s

2

c o s

2

T h e n a b c d =

p

t a n t a n t a n t a n 3

3 3 . ( D u e t o P a u l E r d o s ) E a c h o f t h e p o s i t i v e i n t e g e r s a

1

; ; a

n

i s l e s s t h a

1 9 5 1 . T h e l e a s t c o m m o n m u l t i p l e o f a n y t w o o f t h e s e i s g r e a t e r t h

1 9 5 1 . S h o w t h a t

1

a

1

+ +

1

a

n

< 1 +

n

1 9 5 1

5 2



S o l u t i o n . O b s e r v e t h a t n o n e o f t h e n u m b e r s 1 ; 2 ; ; 1 9 5 1 i s a c o m m o n

m u l t i p l e o f m o r e t h a n o n e a

i

' s . T h e n u m b e r o f m u l t i p l e s o f a

i

a m o n g

1 ; 2 ; ; 1 9 5 1 i s 1 9 5 1 = a

i

] S o w e h a v e 1 9 5 1 = a

1

] + + 1 9 5 1 = a

n

] 1 9 5 1

S i n c e x 1 < x ] ; s o

1 9 5 1

a

1

1

+ +

1 9 5 1

a

n

1

< 1 9 5 1

D i v i d i n g b y 1 9 5 1 a n d m o v i n g t h e n e g a t i v e t e r m s t o t h e r i g h t , w e g e t

t h e d e s i r e d i n e q u a l i t y .

3 4 . A s e q u e n c e ( P

n

) o f p o l y n o m i a l s i s d e n e d r e c u r s i v e l y a s f o l l o w s :

P

0

( x ) = 0 a n d f o r n 0 ; P

n + 1

( x ) = P

n

( x ) +

x P

n

( x )

2

2

P r o v e t h a t

0

p

x P

n

( x )

2

n + 1

f o r e v e r y n o n n e g a t i v e i n t e g e r n a n d a l l x i n 0 ; 1 ]

S o l u t i o n . ( D u e t o W o n g C h u n W a i ) F o r x i n 0 ; 1 ] ;

p

x P

n + 1

( x ) = (

p

x P

n

( x ) )

1

p

x + P

n

( x )

2

B y i n d u c t i o n , w e c a n s h o w t h a t 0 P

n

( x )

p

x 1 f o r a l l x i n 0 ; 1 ]

T h e n

p

x P

n

( x )

p

x

=

n 1

Y

k = 0

p

x P

k + 1

( x )

p

x P

k

( x )

=

n 1

Y

k = 0

1

p

x + P

k

( x )

2

1

p

x

2

n

M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s b y

p

x a n d a p p l y i n g t h e A M - G M i n e q u a l i t y , w e

h a v e

0

p

x P

n

( x )

p

x

1

p

x

2

n

2

n

n

2

p

x + ( 1

p

x

2

) + + ( 1

p

x

2

)

n + 1

n + 1

=

2

n

n

n + 1

n + 1

2

n + 1

5 3

3 5 . ( 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t P ( x ) b e t h e r e a l p o l y n o m i a l f u n

t i o n , P ( x ) = a x

3

+ b x

2

+ c x + d P r o v e t h a t i f j P ( x ) j 1 f o r a l l x s u

t h a t j x j 1 ; t h e n

j a j + j b j + j c j + j d j 7

S o l u t i o n . N o t e t h e f o u r p o l y n o m i a l s P ( x ) s a t i s f y t h e s a m e c o n d

t i o n s a s P ( x ) O n e o f t h e s e h a v e a ; b 0 T h e p r o b l e m s t a y s t h e s a m

i f P ( x ) i s r e p l a c e d b y t h i s p o l y n o m i a l S o w e m a y a s s u m e a ; b 0

C a s e c i n 0 ; + 1 ) I f d 0 ; t h e n j a j + j b j + j c j + j d j = a + b + c + d

P ( 1 ) 1 I f d < 0 ; t h e n

j a j + j b j + j c j + j d j = a + b + c + d + 2 ( d ) = P ( 1 ) 2 P ( 0 ) 3

C a s e c i n ( 1 ; 0 ) I f d 0 ; t h e n

j a j + j b j + j c j + j d j = a + b c + d

=

4

3

P ( 1 )

1

3

P ( 1 )

8

3

P (

1

2

) +

8

3

P (

1

2

)

4

3

+

1

3

+

8

3

+

8

3

= 7

I f d < 0 ; t h e n

j a j + j b j + j c j + j d j = a + b c d

=

5

3

P ( 1 ) 4 P (

1

2

) +

4

3

P (

1

2

)

5

3

+ 4 +

4

3

= 7

C o m m e n t s . T r a c i n g t h e e q u a l i t y c a s e s , w e s e e t h a t t h e m a x i m u m 7

o b t a i n e d b y P ( x ) = ( 4 x

3

3 x ) o n l y

3 6 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m 4 4 2 6 ) L e t P ( z ) = a z

3

b z

2

+ c z + d ; w h e r e a ; b ; c ; d a r e c o m p l e x n u m b e r s w i t h j a j = j b j = j c j

j d j = 1 S h o w t h a t j P ( z ) j

p

6 f o r a t l e a s t o n e c o m p l e x n u m b e r

s a t i s f y i n g j z j = 1

5 4



S o l u t i o n . ( D u e t o Y u n g F a i ) W e h a v e a a = j a j

2

= 1 a n d s i m i l a r l y f o r

b ; c ; d : U s i n g w + w = 2 R e w ; w e g e t

j P ( z ) j

2

= ( a z

3

+ b z

2

+ c z + d ) ( a z

3

+ b z

2

+ c z + d )

= 4 + 2 R e

a d z

3

+ ( a c + b d ) z

2

+ ( a b + b c + c d ) z

L e t Q ( z ) = a d z

3

+ ( a c + b d ) z

2

+ ( a b + b c + c d ) z ; t h e n j P ( z ) j

2

= 4 +

2 R e Q ( z ) N o w w e u s e t h e r o o t s o f u n i t y t r i c k ! L e t ! b e a c u b e r o o t

o f u n i t y n o t e q u a l t o 1 . S i n c e 1 + ! + !

2

= 0 a n d 1 + !

2

+ !

4

= 0 ; s o

Q ( z ) + Q ( ! z ) + Q ( !

2

z )

= 3 a d z

3

+ ( a c + b d ) ( 1 + ! + !

2

) + ( a d + b c + c d ) ( 1 + !

2

+ !

4

) z

= 3 a d z

3

I f w e n o w c h o o s e z t o b e a c u b e r o o t o f a d ; t h e n j z j = 1 a n d R e Q ( z ) +

R e Q ( ! z ) + R e Q ( !

2

z ) = 3 S o j P ( z ) j

2

+ j P ( ! z ) j

2

+ j P ( !

2

z ) j

2

= 1 8

T h e n o n e o f j P ( z ) j ; j P ( ! z ) j ; j P ( !

2

z ) j i s a t l e a s t

p

6

3 7 . ( 1 9 9 7 H u n g a r i a n - I s r a e l i M a t h C o m p e t i t i o n ) F i n d a l l r e a l n u m b e r s

w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ; t h e r e e x i s t s a n

i n t e g e r m s u c h t h a t

m

n

<

1

3 n

?

S o l u t i o n . T h e c o n d i t i o n h o l d s i f a n d o n l y i f x i s a n i n t e g e r . I f x

i s a n i n t e g e r , t h e n f o r a n y n ; t a k e m = n x C o n v e r s e l y , s u p p o s e t h e

c o n d i t i o n h o l d s f o r x L e t m

k

b e t h e i n t e g e r c o r r e s p o n d i n g t o n =

2

k

; k = 0 ; 1 ; 2 ; B y t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y ,

m

k

2

k

m

k + 1

2

k + 1

m

k

2

k

x

+

x

m

k + 1

2

k + 1

<

1

3 2

k

+

1

3 2

k + 1

=

1

2

k + 1

S i n c e t h e l e f t m o s t e x p r e s s i o n i s j 2 m

k

m

k + 1

j = 2

k + 1

; t h e i n e q u a l i t i e s

i m p l y i t i s 0 , t h a t i s m

k

= 2

k

= m

k + 1

= 2

k + 1

f o r e v e r y k T h e n j x m

0

j =

j x ( m

k

= 2

k

) j 1 = ( 3 2

k

) f o r e v e r y k T h e r e f o r e , x = m

0

i s a n i n t e g e r .

3 8 . ( 1 9 7 9 B r i t i s h M a t h O l y m p i a d ) I f n i s a p o s i t i v e i n t e g e r , d e n o t e b y p ( n )

t h e n u m b e r o f w a y s o f e x p r e s s i n g n a s t h e s u m o f o n e o r m o r e p o s i t i v e

5 5

i n t e g e r s . T h u s p ( 4 ) = 5 ; a s t h e r e a r e v e d i e r e n t w a y s o f e x p r e s s i

4 i n t e r m s o f p o s i t i v e i n t e g e r s ; n a m e l y

1 + 1 + 1 + 1 ; 1 + 1 + 2 ; 1 + 3 ; 2 + 2 ; a n d 4

P r o v e t h a t p ( n + 1 ) 2 p ( n ) + p ( n 1 ) 0 f o r e a c h n > 1

S o l u t i o n . T h e r e q u i r e d i n e q u a l i t y c a n b e w r i t t e n a s p ( n + 1 ) p ( n )

p ( n ) p ( n 1 ) N o t e t h a t a d d i n g a 1 t o e a c h p ( n 1 ) s u m s o f n

w i l l y i e l d p ( n 1 ) s u m s o f n C o n v e r s e l y , f o r e a c h s u m o f n w h o

l e a s t s u m m a n d i s 1 , r e m o v i n g t h a t 1 w i l l r e s u l t s i n a s u m o f n 1

p ( n ) p ( n 1 ) i s t h e n u m b e r o f s u m s o f n w h o s e l e a s t s u m m a n d s a

a t l e a s t 2 . F o r e v e r y o n e o f t h e s e p ( n ) p ( n 1 ) s u m s o f n ; i n c r e a s i

t h e l a r g e s t s u m m a n d b y 1 w i l l g i v e a s u m o f n + 1 w i t h l e a s t s u m m a n

a t l e a s t 2 . S o p ( n + 1 ) p ( n ) p ( n ) p ( n 1 )

F u n c t i o n a l E q u a t i o n s

3 9 . F i n d a l l p o l y n o m i a l s f s a t i s f y i n g f ( x

2

) + f ( x ) f ( x + 1 ) = 0

S o l u t i o n I f f i s c o n s t a n t , t h e n f i s 0 o r 1 I f f i s n o t c o n s t a n

t h e n l e t z b e a r o o t o f f S e t t i n g x = z a n d x = z 1 ; r e s p e c t i v e

w e s e e t h a t z

2

a n d ( z 1 )

2

a r e a l s o r o o t s , r e s p e c t i v e l y . S i n c e f h

n i t e l y m a n y r o o t s a n d z

2

n

a r e a l l r o o t s , s o w e m u s t h a v e j z j = 0

1 . S i n c e z i s a r o o t i m p l i e s ( z 1 )

2

i s a r o o t , j z 1 j a l s o e q u a l s

o r 1 . I t f o l l o w s t h a t z = 0 o r 1 . T h e n f ( x ) = c x

m

( x 1 )

n

f o r s o m

r e a l c a n d n o n n e g a t i v e i n t e g e r s m ; n : I f c 6 = 0 ; t h e n a f t e r s i m p l i f y i

t h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n , w e w i l l s e e t h a t n = m a n d c = 1 T h e r e f o r

f ( x ) = 0 o r x

n

( 1 x )

n

f o r n o n n e g a t i v e i n t e g e r n

4 0 . ( 1 9 9 7 G r e e k M a t h O l y m p i a d ) L e t f : ( 0 ; 1 ) ! R b e a f u n c t i o n s u

t h a t

( a ) f i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g ,

( b ) f ( x ) >

1

x

f o r a l l x > 0 a n d

( c ) f ( x ) f ( f ( x ) +

1

x

) = 1 f o r a l l x > 0

F i n d f ( 1 )

5 6



S o l u t i o n . L e t t = f ( 1 ) S e t t i n g x = 1 i n ( c ) , w e g e t t f ( t + 1 ) = 1 S o

t 6 = 0 a n d f ( t + 1 ) = 1 = t S e t t i n g x = t + 1 i n ( c ) , w e g e t f ( t + 1 ) f ( f ( t +

1 ) +

1

t + 1

) = 1 T h e n f (

1

t

+

1

t + 1

) = t = f ( 1 ) S i n c e f i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g ,

1

t

+

1

t + 1

= 1 S o l v i n g , w e g e t t = ( 1

p

5 ) = 2 I f t = ( 1 +

p

5 ) = 2 > 0 ;

t h e n 1 < t = f ( 1 ) < f ( 1 + t ) =

1

t

< 1 ; a c o n t r a d i c t i o n . T h e r e f o r e ,

f ( 1 ) = t = ( 1

p

5 ) = 2 ( N o t e f ( x ) = ( 1

p

5 ) = ( 2 x ) i s s u c h a f u n c t i o n )

4 1 . ( 1 9 7 9 E o t v o s - K u r s c h a k M a t h C o m p e t i t i o n ) T h e f u n c t i o n f i s d e n e d

f o r a l l r e a l n u m b e r s a n d s a t i s e s f ( x ) x a n d f ( x + y ) f ( x ) + f ( y )

f o r a l l r e a l x ; y : P r o v e t h a t f ( x ) = x f o r e v e r y r e a l n u m b e r x

S o l u t i o n . ( D u e t o N g K a W i n g ) S i n c e f ( 0 + 0 ) f ( 0 ) + f ( 0 ) ; s o

0 f ( 0 ) S i n c e f ( 0 ) 0 a l s o , w e g e t f ( 0 ) = 0 F o r a l l r e a l x ;

0 = f ( x + ( x ) ) f ( x ) + f ( x ) x + ( x ) = 0

S o f ( x ) + f ( x ) = 0 ; h e n c e f ( x ) = f ( x ) f o r a l l r e a l x S i n c e

f ( x ) x ; s o x f ( x ) = f ( x ) x T h e r e f o r e , f ( x ) = x f o r

a l l r e a l x

4 2 . ( P r o p o s e d b y I r e l a n d f o r 1 9 8 9 I M O ) S u p p o s e f : R ! R s a t i s e s

f ( 1 ) = 1 ; f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f o r a l l a ; b 2 R a n d f ( x ) f (

1

x

) = 1 f o r

x 6 = 0 S h o w t h a t f ( x ) = x f o r a l l x

S o l u t i o n . ( D u e t o Y u n g F a i ) F r o m f ( 0 + 0 ) = f ( 0 ) + f ( 0 ) ; w e g e t

f ( 0 ) = 0 F r o m 0 = f ( x + ( x ) ) = f ( x ) + f ( x ) ; w e g e t f ( x ) =

f ( x ) B y i n d u c t i o n , f ( n x ) = n f ( x ) f o r p o s i t i v e i n t e g e r n F o r x =

1

n

;

1 = f ( 1 ) = f ( n

1

n

) = n f (

1

n

) T h e n f (

1

n

) =

1

n

a n d f (

m

n

) = f ( m

1

n

) =

m f (

1

n

) =

m

n

S o f ( x ) = x f o r r a t i o n a l x ( T h e a r g u m e n t u p t o t h i s p o i n t

i s w e l l - k n o w n . T h e s o - c a l l e d C a u c h y ' s e q u a t i o n f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b )

i m p l i e s f ( x ) = f ( 1 ) x f o r r a t i o n a l x )

N e x t w e w i l l s h o w f i s c o n t i n u o u s a t 0 F o r 0 < j x j <

1

2 n

; w e h a v e

j

1

n x

j > 2 S o t h e r e i s w s u c h t h a t w +

1

w

=

1

n x

W e h a v e j f (

1

n x

) j =

j f ( w ) + f (

1

w

) j 2

q

f ( w ) f (

1

w

) = 2 S o j f ( x ) j =

1

n j f (

1

n x

) j

1

2 n

T h e n

l i m

x ! 0

f ( x ) = 0 = f ( 0 )

5 7

N o w f o r e v e r y r e a l x ; l e t r

n

b e a r a t i o n a l n u m b e r a g r e e i n g w i

x t o n p l a c e s a f t e r t h e d e c i m a l p o i n t T h e n l i m

n ! 1

( x r

n

) = 0 B

c o n t i n u i t y a t 0 , f ( x ) = l i m

n ! 1

( f ( x r

n

) + f ( r

n

) ) = l i m

n ! 1

r

n

= x T h e r

f o r e , f ( x ) = x f o r a l l x ( T h i s r s t a n d t h i r d p a r a g r a p h s s h o w t

C a u c h y e q u a t i o n w i t h c o n t i n u i t y a t a p o i n t h a s t h e u n i q u e s o l u t i

f ( x ) = f ( 1 ) x )

4 3 . ( 1 9 9 2 P o l i s h M a t h O l y m p i a d ) L e t Q

+

b e t h e p o s i t i v e r a t i o n a l n u m b e

D e t e r m i n e a l l f u n c t i o n s f : Q

+

! Q

+

s u c h t h a t f ( x + 1 ) = f ( x ) +

a n d f ( x

3

) = f ( x )

3

f o r e v e r y x 2 Q

+

S o l u t i o n . F r o m f ( x + 1 ) = f ( x ) + 1 ; w e g e t f ( x + n ) = f ( x ) + n f

a l l p o s i t i v e i n t e g e r n F o r

p

q

2 Q

+

; l e t t = f (

p

q

) O n o n e h a n d ,

f ( (

p

q

+ q

2

)

3

) = f (

p

3

q

3

+ 3 p

2

+ 3 p q

3

+ q

6

) = t

3

+ 3 p

2

+ 3 p q

3

+ q

6

a n d o n t h e o t h e r h a n d ,

f ( (

p

q

+ q

2

)

3

) = ( f (

p

q

) + q

2

)

3

= t

3

+ 3 t

2

q

2

+ 3 t q

4

+ q

6

E q u a t i n g t h e r i g h t s i d e s a n d s i m p l i f y i n g t h e e q u a t i o n t o a q u a d r a t i c

t ; w e g e t t h e o n l y p o s i t i v e r o o t t =

p

q

S o f ( x ) = x f o r a l l x 2 Q

+

4 4 . ( 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t R d e n o t e t h e r e a l n u m b e r s a

f : R ! 1 ; 1 ] s a t i s f y

f

x +

1 3

4 2

+ f ( x ) = f

x +

1

6

+ f

x +

1

7

f o r e v e r y x 2 R S h o w t h a t f i s a p e r i o d i c f u n c t i o n , i . e . t h e r e i s

n o n z e r o r e a l n u m b e r T s u c h t h a t f ( x + T ) = f ( x ) f o r e v e r y x 2 R

S o l u t i o n . S e t t i n g x = w +

k

6

f o r k = 0 ; 1 ; ; 5 ; w e g e t 6 e q u a t i o n

A d d i n g t h e s e a n d c a n c e l l i n g t e r m s , w e w i l l g e t f ( w +

8

7

) + f ( w )

f ( w + 1 ) + f ( w +

1

7

) f o r a l l w S e t t i n g w = z +

k

7

f o r k = 0 ; 1 ;

5 8



i n t h i s n e w e q u a t i o n , w e g e t 7 e q u a t i o n s . A d d i n g t h e s e a n d c a n c e l l i n g

t e r m s , w e w i l l g e t f ( z + 2 ) + f ( z ) = 2 f ( z + 1 ) f o r a l l z R e w r i t i n g t h i s a s

f ( z + 2 ) f ( z + 1 ) = f ( z + 1 ) f ( z ) ; w e s e e t h a t f ( z + n ) f ( z + ( n 1 ) )

i s a c o n s t a n t , s a y c I f c 6 = 0 ; t h e n

f ( z + k ) =

k

X

n = 1

( f ( z + n ) f ( z + ( n 1 ) ) ) + f ( z )

= k c + f ( z ) 6 2 1 ; 1 ]

f o r l a r g e k ; a c o n t r a d i c t i o n . S o c = 0 a n d f ( z + 1 ) = f ( z ) f o r a l l z

4 5 . L e t N d e n o t e t h e p o s i t i v e i n t e g e r s . S u p p o s e s : N ! N i s a n i n c r e a s i n g

f u n c t i o n s u c h t h a t s ( s ( n ) ) = 3 n f o r a l l n 2 N F i n d a l l p o s s i b l e v a l u e s

o f s ( 1 9 9 7 )

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a n K i n H a n g ) N o t e t h a t i f s ( m ) = s ( n ) ; t h e n

3 m = s ( s ( m ) ) = s ( s ( n ) ) = 3 n i m p l i e s m = n F r o m t h i s , w e s e e

t h a t s i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g . N e x t w e h a v e n < s ( n ) f o r a l l n ( o t h e r w i s e

s ( n ) n f o r s o m e n ; w h i c h y i e l d s t h e c o n t r a d i c t i o n t h a t 3 n = s ( s ( n ) )

s ( n ) n ) T h e n s ( n ) < s ( s ( n ) ) = 3 n I n p a r t i c u l a r , 1 < s ( 1 ) < 3

i m p l i e s s ( 1 ) = 2 a n d s ( 2 ) = s ( s ( 1 ) ) = 3 W i t h t h e h e l p o f s ( 3 n ) =

s ( s ( s ( n ) ) ) = 3 s ( n ) ; w e g e t s ( 3

k

) = 2 3

k

a n d s ( 2 3

k

) = s ( s ( 3

k

) ) = 3

k + 1

N o w t h e r e a r e 3

k

1 i n t e g e r s i n e a c h o f t h e o p e n i n t e r v a l s ( 3

k

; 2 3

k

)

a n d ( 2 3

k

; 3

k + 1

) S i n c e f i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g , w e m u s t h a v e s ( 3

k

+ j ) =

2 3

k

+ j f o r j = 1 ; 2 ; ; 3

k

1 T h e n s ( 2 3

k

+ j ) = s ( s ( 3

k

+ j ) ) =

3 ( 3

k

+ j ) S i n c e 1 9 9 7 = 2 3

6

+ 5 3 9 < 3

7

; s o s ( 1 9 9 7 ) = 3 ( 3

6

+ 5 3 9 ) = 3 8 0 4

4 6 . L e t N b e t h e p o s i t i v e i n t e g e r s . I s t h e r e a f u n c t i o n f : N ! N s u c h t h a t

f

( 1 9 9 6 )

( n ) = 2 n f o r a l l n 2 N ; w h e r e f

( 1 )

( x ) = f ( x ) a n d f

( k + 1 )

( x ) =

f ( f

( k )

( x ) ) ?

S o l u t i o n . F o r s u c h a f u n c t i o n f ( 2 n ) = f

( 1 9 9 7 )

( n ) = f

( 1 9 9 6 )

( f ( n ) ) =

2 f ( n ) S o i f n = 2

e

q ; w h e r e e ; q a r e n o n n e g a t i v e i n t e g e r s a n d q o d d ,

t h e n f ( n ) = 2

e

f ( q ) T o d e n e s u c h a f u n c t i o n , w e n e e d t o d e n e i t a t

o d d i n t e g e r q N o w d e n e

f ( q ) =

q + 2 i f q 1 ; 3 ; ; 3 9 8 9 ( m o d 3 9 9 2 )

2 ( q 3 9 9 0 ) i f q 3 9 9 1 ( m o d 3 9 9 2 )

5 9

a n d f ( 2 n ) = 2 f ( n ) f o r p o s i t i v e i n t e g e r n I f q = 3 9 9 2 m + ( 2 j 1 ) ; j

1 ; 2 ; ; 1 9 9 5 ; t h e n f

( 1 9 9 6 j )

( q ) = q + 2 ( 1 9 9 6 j ) = 3 9 9 2 m + 3 9 9

f

( 1 9 9 7 j )

( q ) = 2 ( 3 9 9 2 m + 1 ) a n d

f

( 1 9 9 6 )

( q ) = 2 f

( j 1 )

( 3 9 9 2 m + 1 ) = 2 ( 3 9 9 2 m + 1 + ( 2 j 1 ) ) = 2 q

I f q = 3 9 9 2 m + 3 9 9 1 ; t h e n f ( q ) = 2 ( 3 9 9 2 m + 1 ) a n d

f

( 1 9 9 6 )

( q ) = 2 f

( 1 9 9 5 )

( 3 9 9 2 m + 1 ) = 2 ( 3 9 9 2 m + 1 + 2 1 9 9 5 ) = 2 q

S o f

( 1 9 9 6 )

( q ) = 2 q f o r o d d q I f n = 2

e

q ; t h e n

f

( 1 9 9 6 )

( n ) = 2

e

f

( 1 9 9 6 )

( q ) = 2

e

( 2 q ) = 2 n

4 7 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 9 8 4 ) L e t R d e n o t e t

r e a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t f ( f ( x ) ) = x

2

o r s h o w n o s u c h f u n c t i o n c a n e x i s t .

S o l u t i o n . L e t g ( x ) = x

2

2 a n d s u p p o s e f ( f ( x ) ) = g ( x ) P u t h ( x )

g ( g ( x ) ) = x

4

4 x

2

+ 2 T h e x e d p o i n t s o f g ( i e t h e s o l u t i o n s o f t

e q u a t i o n g ( x ) = x ) a r e 1 a n d 2 T h e s e t o f x e d p o i n t s o f h c o n t a i

t h e x e d p o i n t s o f g a n d i s S = f 1 ; 2 ; ( 1

p

5 ) = 2 g N o w o b s e r v e t h

x 2 S i m p l i e s h ( f ( x ) ) = f ( h ( x ) ) = f ( x ) ; i . e . f ( x ) 2 S A l s o , x ; y 2

a n d f ( x ) = f ( y ) i m p l y x = h ( x ) = h ( y ) = y S o f i s a b i j e c t i o n S !

I f c = 1 o r 2 ; t h e n g ( f ( c ) ) = f ( f ( f ( c ) ) ) = f ( g ( c ) ) = f ( c ) a n

c o n s e q u e n t l y f f ( 1 ) ; f ( 2 ) g = f 1 ; 2 g F o r a = ( 1 +

p

5 ) = 2 ; s i n c e

i n d u c e s a b i j e c t i o n S ! S a n d g ( a ) = a

2

2 6 = a i m p l i e s f ( a ) 6 = a ; w

m u s t h a v e f ( a ) = b = ( 1

p

5 ) = 2 I t f o l l o w s t h a t f ( b ) = a a n d w

h a v e a c o n t r a d i c t i o n a = f ( b ) = f ( f ( a ) ) = g ( a )

4 8 . L e t R b e t h e r e a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t f

a l l r e a l n u m b e r s x a n d y ;

f

x f ( y ) + x

= x y + f ( x )

S o l u t i o n 1 . ( D u e t o L e u n g W a i Y i n g ) P u t t i n g x = 1 ; y = 1 f (

a n d l e t t i n g a = f ( y ) + 1 ; w e g e t

f ( a ) = f

f ( y ) + 1

= y + f ( 1 ) = 1

6 0



P u t t i n g y = a a n d l e t t i n g b = f ( 0 ) ; w e g e t

b = f

x f ( a ) + x

= a x + f ( x ) ;

s o f ( x ) = a x + b P u t t i n g t h i s i n t o t h e e q u a t i o n , w e h a v e

a

2

x y a b x a x + b = x y a x + b

E q u a t i n g c o e c i e n t s , w e g e t a = 1 a n d b = 0 ; s o f ( x ) = x o r f ( x ) =

x W e c a n e a s i l y c h e c k b o t h a r e s o l u t i o n s .

S o l u t i o n 2 . S e t t i n g x = 1 ; w e g e t

f

f ( y ) + 1

= y + f ( 1 )

F o r e v e r y r e a l n u m b e r a ; l e t y = a f ( 1 ) ; t h e n f

f ( y ) + 1

= a a n d

f i s s u r j e c t i v e . I n p a r t i c u l a r , t h e r e i s b s u c h t h a t f ( b ) = 1 A l s o , i f

f ( c ) = f ( d ) ; t h e n

c + f ( 1 ) = f

f ( c ) + 1

= f

f ( d ) + 1

= d + f ( 1 )

S o c = d a n d f i s i n j e c t i v e . T a k i n g x = 1 ; y = 0 ; w e g e t f

f ( 0 ) + 1

=

f ( 1 ) S i n c e f i s i n j e c t i v e , w e g e t f ( 0 ) = 0

F o r x 6 = 0 ; l e t y = f ( x ) = x ; t h e n

f

x f ( y ) + x

= 0 = f ( 0 )

B y i n j e c t i v i t y , w e g e t x f ( y ) + x = 0 T h e n

f

f ( x ) = x

= f ( y ) = 1 = f ( b )

a n d s o f ( x ) = x = b f o r e v e r y x 6 = 0 T h a t i s , f ( x ) = b x P u t t i n g

t h i s i n t o t h e g i v e n e q u a t i o n , w e n d f ( x ) = x o r f ( x ) = x ; w h i c h a r e

e a s i l y c h e c k e d t o b e s o l u t i o n s .

4 9 . ( 1 9 9 9 I M O ) D e t e r m i n e a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t

f ( x f ( y ) ) = f ( f ( y ) ) + x f ( y ) + f ( x ) 1

6 1

f o r a l l x ; y i n R

S o l u t i o n . L e t A b e t h e r a n g e o f f a n d c = f ( 0 ) S e t t i n g x = y = 0 ; w

g e t f ( c ) = f ( c ) + c 1 S o c 6 = 0 F o r x = f ( y ) 2 A ; f ( x ) =

c + 1

2

x

N e x t , i f w e s e t y = 0 ; w e g e t

f f ( x c ) f ( x ) : x 2 R g = f c x + f ( c ) 1 : x 2 R g = R

b e c a u s e c 6 = 0 T h i s m e a n s A A = f y

1

y

2

: y

1

; y

2

2 A g = R

N o w f o r a n a r b i t r a r y x 2 R ; l e t y

1

; y

2

2 A b e s u c h t h a t x = y

1

y

T h e n

f ( x ) = f ( y

1

y

2

) = f ( y

2

) + y

1

y

2

+ f ( y

1

) 1

=

c + 1

2

y

2

2

2

+ y

1

y

2

+

c + 1

2

y

2

1

2

1

= c

( y

1

y

2

)

2

2

= c

x

2

2

H o w e v e r , f o r x 2 A ; f ( x ) =

c + 1

2

x

2

2

S o c = 1 T h e r e f o r e , f ( x ) = 1

f o r a l l x 2 R

5 0 . ( 1 9 9 5 B y e l o r u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) L e t R b e t h e r e a l n u m b e r s . F i n

a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t

f ( f ( x + y ) ) = f ( x + y ) + f ( x ) f ( y ) x y

f o r a l l x ; y 2 R

S o l u t i o n . ( D u e t o Y u n g F a i ) C l e a r l y , f r o m t h e e q u a t i o n , f ( x ) i s n

c o n s t a n t . P u t t i n g y = 0 ; w e g e t f ( f ( x ) ) = ( 1 + f ( 0 ) ) f ( x ) R e p l a c i

x b y x + y ; w e g e t

( 1 + f ( 0 ) ) f ( x + y ) = f ( f ( x + y ) ) = f ( x + y ) + f ( x ) f ( y ) x y ;

w h i c h s i m p l i e s t o ( * ) f ( 0 ) f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) x y P u t t i n g y = 1

( * ) , w e g e t f ( 0 ) f ( x + 1 ) = f ( x ) f ( 1 ) x P u t t i n g y = 1 a n d r e p l a c i

6 2



x b y x + 1 i n ( * ) , w e g e t f ( 0 ) f ( x ) = f ( x + 1 ) f ( 1 ) + x + 1 E l i m i n a t i n g

f ( x + 1 ) i n t h e l a s t t w o e q u a t i o n s , w e g e t

( f

2

( 0 ) f ( 1 ) f ( 1 ) ) f ( x ) = ( f ( 0 ) f ( 1 ) ) x + f ( 0 )

I f f

2

( 0 ) f ( 1 ) f ( 1 ) = 0 ; t h e n p u t t i n g x = 0 i n t h e l a s t e q u a t i o n ,

w e g e t f ( 0 ) = 0 B y ( * ) , f ( x ) f ( y ) = x y T h e n f ( x ) f ( 1 ) = x f o r

a l l x 2 R S o f

2

( 0 ) f ( 1 ) f ( 1 ) = 1 ; r e s u l t i n g i n a c o n t r a d i c t i o n .

T h e r e f o r e , f

2

( 0 ) f ( 1 ) f ( 1 ) 6 = 0 a n d f ( x ) i s a d e g r e e 1 p o l y n o m i a l

F i n a l l y , s u b s t i t u t i n g f ( x ) = a x + b i n t o t h e o r i g i n a l e q u a t i o n , w e

n d a = 1 a n d b = 0 ; i . e . f ( x ) = x f o r a l l x 2 R

5 1 . ( 1 9 9 3 C z e c h o s l o v a k M a t h O l y m p i a d ) L e t Z b e t h e i n t e g e r s . F i n d a l l

f u n c t i o n s f : Z ! Z s u c h t h a t

f ( 1 ) = f ( 1 ) a n d f ( x ) + f ( y ) = f ( x + 2 x y ) + f ( y 2 x y )

f o r a l l i n t e g e r s x ; y :

S o l u t i o n . W e h a v e ( * ) f ( 1 ) + f ( n ) = f ( 1 + 2 n ) + f ( n ) a n d f ( n ) +

f ( 1 ) = f ( n ) + f ( 1 + 2 n ) S i n c e f ( 1 ) = f ( 1 ) ; t h i s g i v e s f ( 1 + 2 n ) =

f ( 1 + 2 n ) f o r e v e r y i n t e g e r n S o f ( k ) h a s t h e s a m e v a l u e f o r e v e r y

o d d k T h e n e q u a t i o n ( * ) i m p l i e s f ( n ) = f ( n ) f o r e v e r y i n t e g e r n S o

w e n e e d t o n d f ( n ) f o r n o n n e g a t i v e i n t e g e r s n o n l y .

I f w e l e t x = ( 2 k + 1 ) ; y = n ; t h e n x a n d x + 2 x y a r e o d d . T h e

f u n c t i o n a l e q u a t i o n g i v e s f ( n ) = f ( y ) = f ( y 2 x y ) = f ( n ( 4 k + 3 ) )

I f w e l e t x = n ; y = ( 2 k + 1 ) ; t h e n s i m i l a r l y , w e g e t f ( n ) = f ( x ) =

f ( x + 2 x y ) = f ( n ( 4 k 1 ) ) = f ( n ( 4 k + 1 ) ) S o f ( n ) = f ( n m ) f o r e v e r y

o d d m

F o r a p o s i t i v e i n t e g e r n ; w e c a n f a c t o r n = 2

e

m ; w h e r e e ; m a r e

n o n n e g a t i v e i n t e g e r s a n d m o d d . T h e n f ( n ) = f ( 2

e

) S o a n y s u c h f u n c -

t i o n f i s d t e r m i n e d b y t h e v a l u e s f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f ( 2 ) ; f ( 4 ) ; f ( 8 ) ; f ( 1 6 ) ;

( w h i c h m a y b e a r b i t r a r y ) A l l o t h e r v a l u e s a r e g i v e n b y f ( n ) = f ( 2

e

) a s

a b o v e . F i n a l l y , w e c h e c k s u c h f u n c t i o n s s a t i s f y t h e e q u a t i o n s . C l e a r l y ,

f ( 1 ) = f ( 1 ) I f x o r y = 0 ; t h e n t h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n i s c l e a r l y

s a t i s e d . I f x = 2

e

m ; y = 2

d

n ; w h e r e m ; n a r e o d d , t h e n

f ( x ) + f ( y ) = f ( 2

e

) + f ( 2

d

) = f ( x ( 1 + 2 y ) ) + f ( y ( 1 2 x ) )

6 3

5 2 . ( 1 9 9 5 S o u t h K o r e a n M a t h O l y m p i a d ) L e t A b e t h e s e t o f n o n - n e g a t i

i n t e g e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : A ! A s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g t w

c o n d i t i o n s :

( a ) F o r a n y m ; n 2 A ; 2 f ( m

2

+ n

2

) = ( f ( m ) )

2

+ ( f ( n ) )

2

( b ) F o r a n y m ; n 2 A w i t h m n ; f ( m

2

) f ( n

2

)

S o l u t i o n . F o r m = 0 ; w e g e t 2 f ( n

2

) = f ( 0 )

2

+ f ( n )

2

L e t m > n ; t h

f ( m )

2

f ( n )

2

= 2 ( f ( m

2

) f ( n

2

) ) 0 S o f ( m ) f ( n ) T h i s m e a

f i s n o n d e c r e a s i n g . S e t t i n g m = 0 = n ; w e g e t 2 f ( 0 ) = f ( 0 )

2

+ f ( 0 )

w h i c h i m p l i e s f ( 0 ) = 0 o r 1

C a s e f ( 0 ) = 1 T h e n 2 f ( n

2

) = 1 + f ( n )

2

F o r n = 1 ; w e g e t f ( 1 ) =

F o r m = 1 = n ; w e g e t f ( 2 ) = 1 A s s u m e f ( 2

2

k

) = 1 T h e n f

n = 2

2

k

; w e g e t 2 f ( 2

2

k + 1

) = 1 + f ( 2

2

k

)

2

= 2 S o f ( 2

2

k + 1

) = 1 S i n

l i m

k ! 1

2

2

k

= 1 a n d f i s n o n d e c r e a s i n g , s o f ( n ) = 1 f o r a l l n

C a s e f ( 0 ) = 0 T h e n 2 f ( n

2

) = f ( n )

2

S o f ( n ) i s e v e n f o r a l l n F o r m

1 = n ; w e g e t 2 f ( 2 ) = f ( 1 )

2

+ f ( 1 )

2

; w h i c h i m p l i e s f ( 2 ) = f ( 1 )

2

U s i

2 f ( n

2

) = f ( n )

2

r e p e a t e d l y ( o r b y i n d u c t i o n ) , w e g e t 2

2

k

1

f ( 2

2

k

)

f ( 1 )

2

k + 1

N o w 2 f ( 1 ) = f ( 1 )

2

i m p l i e s f ( 1 ) = 0 o r 2 I f f ( 1 ) =

t h e n l i m

k ! 1

2

2

k

= 1 a n d f n o n d e c r e a s i n g i m p l y f ( n ) = 0 f o r a l l n

f ( 1 ) = 2 ; t h e n f ( 2

2

k

) = 2

2

k + 1

N o w

f ( m + 1 )

2

= 2 f ( ( m + 1 )

2

) = 2 f ( m

2

+ 2 m + 1 )

2 f ( m

2

+ 1 ) = f ( m )

2

+ f ( 1 )

2

> f ( m )

2

A s f ( n ) i s a l w a y s e v e n , w e g e t f ( m + 1 ) f ( m ) + 2 B y i n d u c t i o n , w

g e t f ( n ) 2 n S i n c e f ( 2

2

k

) = 2

2

k

+ 1

= 2 2

2

k

f o r a l l k ; l i m

k ! 1

2

2

k

=

a n d f i s n o n d e c r e a s i n g , s o f ( n ) = 2 n f o r a l l n

I t i s e a s y t o c h e c k t h a t f ( n ) = 1 ; f ( n ) = 0 a n d f ( n ) = 2 n a

s o l u t i o n s . T h e r e f o r e , t h e y a r e t h e o n l y s o l u t i o n s .

5 3 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 2 1 7 6 ) L e t Q d e n o t e t

r a t i o n a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : Q ! Q s u c h t h a t

f ( 2 ) = 2 a n d f

x + y

x y

=

f ( x ) + f ( y )

f ( x ) f ( y )

f o r x 6 = y

6 4



S o l u t i o n . W e w i l l s h o w f ( x ) = x i s t h e o n l y s o l u t i o n b y a s e r i e s o f

o b s e r v a t i o n s .

( 1 ) S e t t i n g y = 0 ; w e g e t f ( 1 ) = ( f ( x ) + f ( 0 ) ) = ( f ( x ) f ( 0 ) ) ; w h i c h

y i e l d s ( f ( 1 ) 1 ) f ( x ) = f ( 0 ) ( 1 + f ( 1 ) ) ( N o w f i s n o t c o n s t a n t

b e c a u s e t h e d e n o m i n a t o r i n t h e e q u a t i o n c a n n o t e q u a l 0 . ) S o ,

f ( 1 ) = 1 a n d t h e n f ( 0 ) = 0

( 2 ) S e t t i n g y = x ; w e g e t 0 = f ( x ) + f ( x ) ; s o f ( x ) = f ( x )

( 3 ) S e t t i n g y = c x ; c 6 = 1 ; x 6 = 0 ; w e g e t

f ( x ) + f ( c x )

f ( x ) f ( c x )

= f

1 + c

1 c

=

1 + f ( c )

1 f ( c )

;

w h i c h i m p l i e s f ( c x ) = f ( c ) f ( x ) T a k i n g c = q ; x = p = q ; w e g e t

f ( p = q ) = f ( p ) = f ( q )

( 4 ) S e t t i n g y = x 2 ; w e g e t f ( x 1 ) = ( f ( x ) + f ( x 2 ) ) = ( f ( x )

f ( x 2 ) ) I f f ( n 2 ) = n 2 6 = 0 a n d f ( n 1 ) = n 1 ; t h e n

t h i s e q u a t i o n i m p l i e s f ( n ) = n S i n c e f ( 1 ) = 1 a n d f ( 2 ) = 2 ; t h e n

f ( n ) = n f o r a l l p o s i t i v e i n t e g e r s b y i n d u c t i o n a n d ( 2 ) , ( 3 ) w i l l

i m p l y f ( x ) = x f o r a l l x 2 Q

C o m m e n t s . T h e c o n d i t i o n f ( 2 ) = 2 c a n a l s o b e d e d u c e d f r o m t h e

f u n c t i o n a l e q u a t i o n a s s h o w n b e l o w i n ( 5 ) . I f r a t i o n a l n u m b e r s a r e

r e p l a c e d b y r e a l n u m b e r s , t h e n a g a i n t h e o n l y s o l u t i o n i s s t i l l f ( x ) = x

a s s h o w n b e l o w i n ( 6 ) a n d ( 7 ) .

( 5 ) W e h a v e

f ( 3 ) =

f ( 2 ) + 1

f ( 2 ) 1

; f ( 5 ) =

f ( 3 ) + f ( 2 )

f ( 3 ) f ( 2 )

=

f ( 2 )

2

+ 1

1 + 2 f ( 2 ) f ( 2 )

2

A l s o , f ( 2 )

2

= f ( 4 ) = ( f ( 5 ) + f ( 3 ) ) = ( f ( 5 ) f ( 3 ) ) S u b s t i t u t i n g t h e

e q u a t i o n s f o r f ( 3 ) a n d f ( 5 ) i n t e r m s o f f ( 2 ) a n d s i m p l i f y i n g , w e

g e t f ( 2 )

2

= 2 f ( 2 ) ( N o w f ( 2 ) 6 = 0 ; o t h e r w i s e f ( ( x + 2 ) = ( x 2 ) ) =

( f ( x ) + 0 ) = ( f ( x ) 0 ) = 1 w i l l f o r c e f t o b e c o n s t a n t . ) T h e r e f o r e ,

f ( 2 ) = 2

( 6 ) N o t e f ( x ) 6 = 0 f o r x > 0 ; o t h e r w i s e f ( c x ) = 0 f o r c 6 = 1 w i l l f o r c e f

t o b e c o n s t a n t . S o , i f x > 0 ; t h e n f ( x ) = f (

p

x )

2

> 0 I f x > y 0 ;

t h e n f ( x ) f ( y ) = ( f ( x ) + f ( y ) ) = f ( ( x + y ) = ( x y ) ) > 0 T h i s

i m p l i e s f i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g f o r p o s i t i v e r e a l n u m b e r s .

6 5

( 7 ) F o r x > 0 ; i f x < f ( x ) ; t h e n p i c k i n g r 2 Q s u c h t h a t x < r < f (

w i l l g i v e t h e c o n t r a d i c t i o n t h a t f ( x ) < f ( r ) = r < f ( x ) S i m i l a r

f ( x ) < x w i l l a l s o l e a d t o a c o n t r a d i c t i o n . S o , f ( x ) = x f o r a l l x

5 4 . ( M a t h e m a t i c s M a g a z i n e , P r o b l e m 1 5 5 2 ) F i n d a l l f u n c t i o n s f : R !

s u c h t h a t

f ( x + y f ( x ) ) = f ( x ) + x f ( y ) f o r a l l x ; y i n R

S o l u t i o n . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t f ( x ) = 0 a n d f ( x ) = x a r e s o l u t i o n

S u p p o s e f i s a s o l u t i o n t h a t i s n o t t h e z e r o f u n c t i o n . ( W e w i l l s h o

f ( x ) = x f o r a l l x )

S t e p 1 . S e t t i n g y = 0 ; x = 1 ; w e g e t f ( 0 ) = 0 I f f ( x ) = 0 ; t h

0 = x f ( y ) f o r a l l y ; w h i c h i m p l i e s x = 0 a s f i s n o t t h e z e r o f u n c t i o

S o f ( x ) = 0 i f a n d o n l y i f x = 0

S t e p 2 . S e t t i n g x = 1 ; w e g e t t h e e q u a t i o n ( * ) f ( 1 + y f ( 1 ) ) = f ( 1 ) + f (

f o r a l l y I f f ( 1 ) 6 = 1 ; t h e n s e t t i n g y = 1 = ( 1 f ( 1 ) ) i n ( * ) , w e g

f ( y ) = f ( 1 ) + f ( y ) ; r e s u l t i n g i n f ( 1 ) = 0 ; c o n t r a d i c t i n g s t e p 1 .

f ( 1 ) = 1 a n d ( * ) b e c o m e s f ( 1 + y ) = f ( 1 ) + f ( y ) ; w h i c h i m p l i

f ( n ) = n f o r e v e r y i n t e g e r n

S t e p 3 . F o r i n t e g e r n ; r e a l z ; s e t t i n g x = n ; y = z 1 i n t h e f u n c t i o n

e q u a t i o n , w e g e t

f ( n z ) = f ( n + ( z 1 ) f ( n ) ) = n + n f ( z 1 ) = n f ( z )

S t e p 4 . I f a = b ; t h e n f ( a ) = f ( b ) = f ( b ) i m p l i e s f ( a ) + f ( b )

0 = f ( a + b ) I f a 6 = b ; t h e n a + b 6 = 0 a n d f ( a + b ) 6 = 0 b y s t e p

S e t t i n g x = ( a + b ) = 2 ; y = ( a b ) = ( 2 f (

a + b

2

) ; w e g e t

f ( a ) = f

a + b

2

+

a b

2 f (

a + b

2

)

f (

a + b

2

)

= f (

a + b

2

) +

a + b

2

f

a b

2 f (

a + b

2

)

f ( b ) = f

a + b

2

+

b a

2 f (

a + b

2

)

f (

a + b

2

)

= f (

a + b

2

) +

a + b

2

f

b a

2 f (

a + b

2

)

6 6

a + b



A d d i n g t h e s e , w e g e t f ( a ) + f ( b ) = 2 f (

2

) = f ( a + b ) b y s t e p 3

S t e p 5 . A p p l y i n g s t e p 4 t o t h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n , w e g e t t h e e q u a t i o n

( * * ) f ( y f ( x ) ) = x f ( y ) S e t t i n g y = 1 ; w e g e t f ( f ( x ) = x T h e n f i s

b i j e c t i v e . S e t t i n g z = f ( x ) i n ( * * ) , w e g e t f ( y z ) = f ( y ) f ( z ) f o r a l l y ; z

S t e p 6 . S e t t i n g z = y i n t h e l a s t e q u a t i o n , w e g e t f ( y

2

) = f ( y )

2

0

S e t t i n g z = y ; w e g e t f ( y

2

) = f ( y

2

) = f ( y )

2

0 S o f ( a ) > 0

i f a n d o n l y i f a > 0

S t e p 7 . S e t t i n g y = 1 i n t h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n , w e g e t f ( x f ( x ) ) =

f ( x ) x S i n c e x f ( x ) a n d f ( x ) x a r e o f o p p o s i t e s i g n s , b y s t e p 6 ,

w e m u s t h a v e x f ( x ) = 0 f o r a l l x ; i . e . f ( x ) = x f o r a l l x

M a x i m u m / M i n i m u m

5 5 . ( 1 9 8 5 A u s t r i a n M a t h O l y m p i a d ) F o r p o s i t i v e i n t e g e r s n ; d e n e

f ( n ) = 1

n

+ 2

n 1

+ 3

n 2

+ + ( n 2 )

3

+ ( n 1 )

2

+ n

W h a t i s t h e m i n i m u m o f f ( n + 1 ) = f ( n ) ?

S o l u t i o n . F o r n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; f ( n + 1 ) = f ( n ) = 3 ; 8 = 3 ; 2 2 = 8 ; 6 5 = 2 2 ;

2 0 9 = 6 5 ; 7 3 2 = 2 0 9 ; r e s p e c t i v e l y . T h e m i n i m u m o f t h e s e i s 8 = 3 F o r n > 6 ;

w e w i l l s h o w f ( n + 1 ) = f ( n ) > 3 > 8 = 3 T h i s f o l l o w s f r o m

f ( n + 1 )

> 1

n + 1

+ 2

n

+ 3

n 1

+ 4

n 2

+ 5

n 3

+ 6

n 4

+ + ( n 1 )

3

+ n

2

> 1

n + 1

+ 2

n

+ 3

n 1

+ 4

n 2

+ 5

n 3

+ 3 ( 6

n 5

+ + ( n 1 )

2

+ n )

= 1

n + 1

+ + 5

n 3

+ 3 ( f ( n ) 1

n

2

n 1

+ 3

n 2

+ 4

n 3

+ 5

n 4

)

= 3 f ( n ) + 2 ( 5

n 4

1 ) + 2

n 1

( 2

n 5

1 ) > 3 f ( n )

T h e r e f o r e , 8 = 3 i s t h e a n s w e r .

5 6 . ( 1 9 9 6 P u t n a m E x a m ) G i v e n t h a t f x

1

; x

2

; ; x

n

g = f 1 ; 2 ; ; n g ; n d

t h e l a r g e s t p o s s i b l e v a l u e o f x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ + x

n 1

x

n

+ x

n

x

1

i n t e r m s

o f n ( w i t h n 2 )

6 7

S o l u t i o n . L e t M

n

b e t h e l a r g e s t s u c h c y c l i c s u m f o r x

1

; x

2

; ; x

I n c a s e n = 2 ; w e h a v e M

2

= 4 N e x t s u p p o s e M

n

i s a t t a i n e d

s o m e p e r m u t a t i o n o f 1 ; 2 ; ; n L e t x ; y b e t h e n e i g h b o r s o f n T h

r e m o v i n g n f r o m t h e p e r m u t a t i o n , w e g e t a p e r m u t a t i o n o f 1 ; 2 ; ; n

1 T h e d i e r e n c e o f t h e c y c l i c s u m s b e f o r e a n d a f t e r n i s r e m o v e d

n x + n y x y = n

2

( n x ) ( n y ) n

2

2 ( E q u a l i t y h o l d s i f a n

o n l y i f x ; y a r e n 1 ; n 2 ) S o M

n

( n

2

2 ) M

n 1

T h e n

M

n

M

2

+ ( 3

2

2 ) + ( 4

2

2 ) + + ( n

2

2 ) =

2 n

3

+ 3 n

2

1 1 n + 1

6

F o l l o w i n g t h e e q u a l i t y c a s e a b o v e , w e s h o u l d c o n s i d e r t h e p e r m u t a t i

c o n s t r u c t e d a s f o l l o w s : s t a r t i n g w i t h 1 ; 2 , w e p u t 3 b e t w e e n 1 a n d

t o g e t 1 ; 3 ; 2 ; t h e n p u t 4 b e t w e e n 3 a n d 2 t o g e t 1 ; 3 ; 4 ; 2 , t h e n p u t

b e t w e e n 3 a n d 4 t o g e t 1 ; 3 ; 5 ; 4 ; 2 a n d s o o n . I f n i s o d d , t h e p e r m

t a t i o n i s 1 ; 3 ; ; n 2 ; n ; n 1 ; ; 4 ; 2 I f n i s e v e n , t h e p e r m u t a t i

i s 1 ; 3 ; ; n 1 ; n ; n 2 ; ; 4 ; 2 T h e c y c l i c s u m f o r e a c h o f t h e s e t w

p e r m u t a t i o n s i s ( 2 n

3

+ 3 n

2

1 1 n + 1 8 ) = 6 b e c a u s e o f t h e e q u a l i t y c a

a t e a c h s t a g e . T h e r e f o r e , M

n

= ( 2 n

3

+ 3 n

2

1 1 n + 1 8 ) = 6

6 8

6 6 6



S o l u t i o n s t o G e o m e t r y P r o b l e m s

5 7 . ( 1 9 9 5 B r i t i s h M a t h O l y m p i a d ) T r i a n g l e A B C h a s a r i g h t a n g l e a t C

T h e i n t e r n a l b i s e c t o r s o f a n g l e s B A C a n d A B C m e e t B C a n d C A

a t P a n d Q r e s p e c t i v e l y . T h e p o i n t s M a n d N a r e t h e f e e t o f t h e

p e r p e n d i c u l a r s f r o m P a n d Q t o A B F i n d a n g l e M C N :

S o l u t i o n . ( D u e t o P o o n W a i H o i ) U s i n g p r o t r a c t o r , t h e a n g l e s h o u l d

b e 4 5

T o p r o v e t h i s , o b s e r v e t h a t s i n c e P i s o n t h e b i s e c t o r o f

6

B A C ;

w e h a v e P C = P M L e t L b e t h e f o o t o f t h e p e r p e n d i c u l a r f r o m C

t o A B T h e n P M k C L S o

6

P C M =

6

P M C =

6

M C L : S i m i l a r l y ,

6

Q C N =

6

N C L : S o

6

M C N =

1

2

6

P C Q = 4 5

5 8 . ( 1 9 8 8 L e n i n g r a d M a t h O l y m p i a d ) S q u a r e s A B D E a n d B C F G a r e

d r a w n o u t s i d e o f t r i a n g l e A B C : P r o v e t h a t t r i a n g l e A B C i s i s o s c e l e s i f

D G i s p a r a l l e l t o A C

S o l u t i o n . ( D u e t o N g K a M a n , N g K a W i n g , Y u n g F a i ) F r o m B , d r a w

a p e r p e n d i c u l a r t o A C ( a n d h e n c e a l s o p e r p e n d i c u l a r t o D G ) L e t i t

i n t e r s e c t A C a t X a n d D G a t Y S i n c e

6

A B X = 9 0

6

D B Y =

6

B D Y

a n d A B = B D ; t h e r i g h t t r i a n g l e s A B X a n d B D Y a r e c o n g r u e n t a n d

A X = B Y S i m i l a r l y , t h e r i g h t t r i a n g l e s C B X a n d B G Y a r e c o n g r u e n t

a n d B Y = C X S o A X = C X ; w h i c h i m p l i e s A B = C B

5 9 A B i s a c h o r d o f a c i r c l e , w h i c h i s n o t a d i a m e t e r . C h o r d s A

1

B

1

a n d

A

2

B

2

i n t e r s e c t a t t h e m i d p o i n t P o f A B L e t t h e t a n g e n t s t o t h e c i r c l e

a t A

1

a n d B

1


1

S i m i l a r l y , l e t t h e t a n g e n t s t o t h e c i r c l e

a t A

2

a n d B

2


2

P r o v e t h a t C

1

C

2


S o l u t i o n . ( D u e t o P o o n W a i H o i ) L e t O C

1

i n t e r s e c t s A

1

B

1

a t M ;

O C

2

i n t e r s e c t s A

2

B

2

a t N a n d O C

1

i n t e r s e c t A B a t K S i n c e O C

1

i s

a p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f A

1

B

1

; s o O M ? A

1

B

1

S i m i l a r l y , O N ?

A

2

B

2

T h e n O ; N ; P ; M a r e c o n c y c l i c . S o

6

O N M =

6

O P M : S i n c e

6

O K P = 9 0

6

K P M =

6

O P M ; w e h a v e

6

O K P =

6

O N M : F r o m

t h e r i g h t t r i a n g l e s O A

1

C

1

a n d O B

2

C

2

; w e g e t O M O C

1

= O A

2

1

=

O B

2

2

= O N O C

2

B y t h e c o n v e r s e o f t h e i n t e r s e c t i n g c h o r d t h e o r e m ,

6 9

w e g e t M ; N ; C

1

; C

2

a r e c o n c y c l i c . S o O C

1

C

2

= O N M = O K

T h e n C

1

C

2

k K P ; t h a t i s C

1

C

2


6 0 . ( 1 9 9 1 H u n a n P r o v i n c e M a t h C o m p e t i t i o n ) T w o c i r c l e s w i t h c e n t e r s O

a n d O

2

i n t e r s e c t a t p o i n t s A a n d B A l i n e t h r o u g h A i n t e r s e c t s t

c i r c l e s w i t h c e n t e r s O

1

a n d O

2

a t p o i n t s Y ; Z ; r e s p e c t i v e l y . L e t t

t a n g e n t s a t Y a n d Z i n t e r s e c t a t X a n d l i n e s Y O

1

a n d Z O

2

i n t e r s e

a t P L e t t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 O

1

O

2

B h a v e c e n t e r a t O a n d i n t e r s e

l i n e X B a t B a n d Q P r o v e t h a t P Q i s a d i a m e t e r o f t h e c i r c u m c i r c

o f 4 O

1

O

2

B

S o l u t i o n . ( F i r s t w e n e e d t o s h o w P ; O

1

; O

2

; B a r e c o n c y c l i c . T h e n w

w i l l s h o w 9 0

=

6

Q B P =

6

X B P : S i n c e

6

X Y P ;

6

P Z X a r e b o t h 9 0

i t s u c e s t o s h o w X ; Y ; B ; P ; Z a r e c o n c y c l i c . ) C o n n e c t O

1

A a n d O

2

I n 4 Y P Z ;

6

O

1

P Z = 1 8 0

(

6

O

1

Y Z +

6

O

2

Z A )

= 1 8 0

(

6

O

1

A Y +

6

O

2

A Z )

=

6

O

1

A O

2

=

6

O

1

B O

2

S o B ; P ; O

1

; O

2

a r e c o n c y c l i c . C o n n e c t B Y a n d B Z T h e n

6

Y B Z = 1 8 0

(

6

A Y B +

6

A Z B )

= 1 8 0

(

1

2

6

A O

1

B +

1

2

6

A O

2

B )

= 1 8 0

(

6

B O

1

O

2

+

6

B O

2

O

1

)

=

6

O

1

B O

2

=

6

O

1

P Z =

6

Y P Z :

S o Y ; Z ; P ; B a r e c o n c y c l i c . S i n c e

6

X Y P =

6

X Z P = 9 0

; s o t h e p o i n

Y ; X ; Z ; P ; B a r e c o n c y c l i c . T h e n

6

Q B P =

6

X B P = 1 8 0

6

X Z P

9 0

T h e r e f o r e , P Q i s a d i a m e t e r o f t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 O

1

O

2

B

6 1 . ( 1 9 8 1 B e i j i n g C i t y M a t h C o m p e t i t i o n ) I n a d i s k w i t h c e n t e r O ; t h e

a r e f o u r p o i n t s s u c h t h a t t h e d i s t a n c e b e t w e e n e v e r y p a i r o f t h e m

g r e a t e r t h a n t h e r a d i u s o f t h e d i s k P r o v e t h a t t h e r e i s a p a i r o f p e

p e n d i c u l a r d i a m e t e r s s u c h t h a t e x a c t l y o n e o f t h e f o u r p o i n t s l i e s i n s i

e a c h o f t h e f o u r q u a r t e r d i s k s f o r m e d b y t h e d i a m e t e r s .

7 0

S o l u t i o n . ( D u e t o L e e T a k W i n g ) B y t h e d i s t a n c e c o n d i t i o n o n t h e o f t h e t r i a n g l e i s r s ; w e g e t

p

s ( s a ) ( s b ) ( s c ) = 1 s = s T h e



f o u r p o i n t s , n o n e o f t h e m e q u a l s O a n d n o p a i r o f t h e m a r e o n t h e s a m e

r a d i u s . L e t u s n a m e t h e p o i n t s A ; B ; C ; D i n t h e o r d e r a r o t a t i n g r a d i u s

e n c o u n t e r e d t h e m . S i n c e A B > O A ; O B ; s o

6

A O B >

6

O B A ;

6

B A O :

H e n c e

6

A O B > 6 0

S i m i l a r l y ,

6

B O C ;

6

C O D ;

6

D O A > 6 0

L e t

6

A O B b e t h e l a r g e s t a m o n g t h e m , t h e n 6 0

<

6

A O B < 3 6 0

3

6 0

= 1 8 0

L e t E F b e t h e d i a m e t e r b i s e c t i n g

6

A O B a n d w i t h A ; B ; E

o n t h e s a m e h a l f d i s k . N o w E F a n d i t s p e r p e n d i c u l a r t h r o u g h O

d i v i d e t h e d i s k i n t o f o u r q u a r t e r d i s k s . W e h a v e 9 0

= 3 0

+ 6 0

<

6

E O B +

6

B O C :

I n t h e c a s e 6 0

<

6

A O B < 1 2 0

; w e g e t

6

E O B +

6

B O C <

6 0

+ 1 2 0

= 1 8 0

I n t h e c a s e 1 2 0

6

A O B < 1 8 0

; w e g e t

6

A O B +

6

B O C < 3 6 0

2 6 0

= 2 4 0

a n d

6

E O B +

6

B O C < 2 4 0

6

A O E

2 4 0

1 2 0

= 2 = 1 8 0

S o A ; B ; C e a c h i s o n a d i e r e n t q u a r t e r d i s k .

S i m i l a r l y , 9 0

<

6

E O D =

6

E O A +

6

A O D < 1 8 0

T h e r e f o r e , D w i l l

l i e o n t h e r e m a i n i n g q u a r t e r d i s k .

6 2 . T h e l e n g t h s o f t h e s i d e s o f a q u a d r i l a t e r a l a r e p o s i t i v e i n t e g e r s . T h e

l e n g t h o f e a c h s i d e d i v i d e s t h e s u m o f t h e o t h e r t h r e e l e n g t h s . P r o v e

t h a t t w o o f t h e s i d e s h a v e t h e s a m e l e n g t h .

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a o K h e k L u n a n d L e u n g W a i Y i n g ) S u p p o s e t h e

s i d e s a r e a ; b ; c ; d w i t h a < b < c < d : S i n c e d < a + b + c < 3 d a n d

d d i v i d e s a + b + c ; w e h a v e a + b + c = 2 d N o w e a c h o f a ; b ; c d v i d e s

a + b + c + d = 3 d L e t x = 3 d = a ; y = 3 d = b a n d z = 3 d = c : T h e n

a < b < c < d i m p l i e s x > y > z > 3 S o z 4 ; y 5 ; x 6 T h e n

2 d = a + b + c

3 d

6

+

3 d

5

+

3 d

4

< 2 d ;

a c o n t r a d i c t i o n . T h e r e f o r e , t w o o f t h e s i d e s a r e e q u a l .

6 3 . ( 1 9 8 8 S i c h u a n P r o v i n c e M a t h C o m p e t i t i o n ) S u p p o s e t h e l e n g t h s o f t h e

t h r e e s i d e s o f 4 A B C a r e i n t e g e r s a n d t h e i n r a d i u s o f t h e t r i a n g l e i s 1 .

P r o v e t h a t t h e t r i a n g l e i s a r i g h t t r i a n g l e .

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a n K i n H a n g ) L e t a = B C ; b = C A ; c = A B b e

t h e s i d e l e n g t h s , r b e t h e i n r a d i u s a n d s = ( a + b + c ) = 2 S i n c e t h e a r e a

7 1

( s a ) ( s b ) ( s c ) = s = ( s a ) + ( s b ) + ( s c )

N o w 4 ( a + b + c ) = 8 s = ( 2 s 2 a ) ( 2 s 2 b ) ( 2 s 2 c ) = ( b + c a ) ( c

a b ) ( a + b c ) I n ( m o d 2 ) , e a c h o f b + c a ; c + a b ; a + b c a

t h e s a m e . S o e i t h e r t h e y a r e a l l o d d o r a l l e v e n . S i n c e t h e i r p r o d u c t

e v e n , t h e y a r e a l l e v e n . T h e n a + b + c i s e v e n a n d s i s a n i n t e g e r .

T h e p o s i t i v e i n t e g e r s x = s a ; y = s b ; z = s c s a t i s f y x y z

x + y + z S u p p o s e x y z T h e n y z 3 f o r o t h e r w i s e x y z > 3 x

x + y + z T h i s i m p l i e s x = 3 ; y = 2 ; z = 1 ; s = 6 ; a = 3 ; b = 4 ; c =

T h e r e f o r e , t h e t r i a n g l e i s a r i g h t t r i a n g l e .

G e o m e t r i c E q u a t i o n s

6 4 . ( 1 9 8 5 I M O ) A c i r c l e h a s c e n t e r o n t h e s i d e A B o f t h e c y c l i c q u a d

l a t e r a l A B C D : T h e o t h e r t h r e e s i d e s a r e t a n g e n t t o t h e c i r c l e . P r o

t h a t A D + B C = A B

S o l u t i o n . L e t M b e o n A B s u c h t h a t M B = B C T h e n

6

C M B =

1 8 0

6

A B C

2

=

6

C D A

2

=

6

C D O :

T h i s i m p l i e s C ; D ; M ; O a r e c o n c y c l i c . T h e n

6

A M D =

6

O C D =

6

D C B

2

=

1 8 0

6

D A M

2

=

6

A M D +

6

A D M

2

S o

6

A M D =

6

A D M : T h e r e f o r e , A M = A D a n d A B = A M + M B

A D + B C

6 5 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) C i r c l e s S

1

a n d S

2

w i t h c e n t e r s O

1

; O

r e s p e c t i v e l y i n t e r s e c t e a c h o t h e r a t p o i n t s A a n d B R a y O

1

B i n t e r s e c

S

2

a t p o i n t F a n d r a y O

2

B i n t e r s e c t s S

1

a t p o i n t E T h e l i n e p a r a l

t o E F a n d p a s s i n g t h r o u g h B i n t e r s e c t s S

1

a n d S

2

a t p o i n t s M a n

N ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t ( B i s t h e i n c e n t e r o f 4 E A F a n d ) M N

A E + A F

7 2

S o l u t i o n . S i n c e 2 O E ) , b y c o s i n e l a w a g a i n , w e g e t P C

0 2

+ 2 P E

2

= 3 ( P O

2

+ 2 O E )



6

E A B =

1

2

6

E O

1

B = 9 0

6

O

1

B E = 9 0

6

F B O

2

=

6

B A F ;

A B b i s e c t s

6

E A F a n d

6

O

1

B E = 9 0

6

E A B = 9 0

1

2

6

E A F : N o w

6

E B A +

6

F B A =

6

E B A + ( 1 8 0

6

O

1

B A ) = 1 8 0

+

6

O

1

B E = 2 7 0

1

2

6

E A F : T h e n

6

E B F = 9 0

+

6

E A F ; w h i c h i m p l i e s B i s t h e i n c e n t e r

o f 4 E A F ( b e c a u s e t h e i n c e n t e r i s t h e u n i q u e p o i n t P o n t h e b i s e c t o r o f

6

E A F s u c h t h a t

6

E P F = 9 0

1

2

6

E A F ) T h e n

6

A E B =

6

B E F =

6

E B M s i n c e E F k M N S o E B A M i s a n i s o s c e l e s t r a p e z o i d . H e n c e

E A = M B S i m i l a r l y F A = N B T h e r e f o r e , M N = M B + N B =

A E + A F

6 6 . P o i n t C l i e s o n t h e m i n o r a r c A B o f t h e c i r c l e c e n t e r e d a t O S u p p o s e

t h e t a n g e n t l i n e a t C c u t s t h e p e r p e n d i c u l a r s t o c h o r d A B t h r o u g h A

a t E a n d t h r o u g h B a t F L e t D b e t h e i n t e r s e c t i o n o f c h o r d A B a n d

r a d i u s O C P r o v e t h a t C E C F = A D B D a n d C D

2

= A E B F

S o l u t i o n . ( D u e t o W o n g C h u n W a i ) N o t e t h a t

6

E A D ;

6

E C D ;

6

F C D ;

6

F B D a r e r i g h t a n g l e s . S o A ; D ; C ; E a r e c o n c y c l i c a n d B ; D ; C ; F a r e

c o n c y c l i c . T h e n

6

A D E =

6

A C E =

6

A B C =

6

D F C ; s a y t h e m e a s u r e

o f t h e s e a n g l e s i s A l s o ,

6

B D F =

6

B C F =

6

B A C =

6

D E C ; s a y

t h e m e a s u r e o f t h e s e a n g l e i s T h e n

C E C F = ( D E c o s ) ( D F c o s ) = ( D E c o s ) ( D F c o s ) = A D B D ;

C D

2

= ( D E s i n ) ( D F s i n ) = ( D E s i n ) ( D F s i n ) = A E B F

6 7 . Q u a d r i l a t e r a l s A B C P a n d A

0

B

0

C

0

P

0

a r e i n s c r i b e d i n t w o c o n c e n t r i c

c i r c l e s . I f t r i a n g l e s A B C a n d A

0

B

0

C

0

a r e e q u i l a t e r a l , p r o v e t h a t

P

0

A

2

+ P

0

B

2

+ P

0

C

2

= P A

0 2

+ P B

0 2

+ P C

0 2

S o l u t i o n . L e t O b e t h e c e n t e r o f b o t h c i r c l e s a n d E b e t h e m i d p o i n t

o f A

0

B

0

F r o m 4 P A

0

B

0

w i t h m e d i a n P E ; b y c o s i n e l a w , w e g e t P A

0 2

+

P B

0 2

= 2 ( P E

2

+ E B

0 2

) F r o m 4 P C

0

E w i t h c e v i a n P O ( n o t e C

0

O =

7 3

P u t t i n g t h e s e t o g e t h e r , w e g e t

P A

0 2

+ P B

0 2

+ P C

0 2

= 2 ( E B

0 2

+ O E

2

) + 3 P O

2

+ 4 O E

2

= 2 B

0

O

2

+ 3 P O

2

+ C

0

O

2

= 3 ( P O

2

+ P

0

O

2

)

S i m i l a r l y , P

0

A

2

+ P

0

B

2

+ P C

0 2

= 3 ( P O

2

+ P

0

O

2

)

A l t e r n a t i v e l y , t h e p r o b l e m c a n b e s o l v e d u s i n g c o m p l e x n u m b e

W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , l e t t h e c e n t e r b e a t t h e o r i g i n , A

0

b e

r e

i

= r ( c o s + i s i n ) a n d P b e a t R e

i

L e t ! = e

2 i = 3

W e h a v e

P A

0 2

+ P B

0 2

+ P C

0 2

= j R e

i

r e

i

j

2

+ j R e

i

r e

i

! j

2

+ j R e

i

r e

i

!

2

j

2

= 3 R

2

2 R e

R r e

i ( )

( 1 + ! + !

2

)

+ 3 r

2

= 3 R

2

+ 3 r

2

S i m i l a r l y , P

0

A

2

+ P

0

B

2

+ P

0

C

2

= 3 R

2

+ 3 r

2

6 8 . L e t t h e i n s c r i b e d c i r c l e o f t r i a n g l e A B C t o u c h s s i d e B C a t D , s i d e C

a t E a n d s i d e A B a t F L e t G b e t h e f o o t o f p e r p e n d i c u l a r f r o m D

E F S h o w t h a t

F G

E G

=

B F

C E

S o l u t i o n . ( D u e t o W o n g C h u n W a i ) L e t I b e t h e i n c e n t e r o f 4 A B

T h e n

6

B D I = 9 0

=

6

E G D : A l s o ,

6

D E G =

1

2

6

D I F =

6

D I B

S o 4 B D I ; 4 E G D a r e s i m i l a r . T h e n B D = I D = D G = E G : L i k e w i s

4 C D I ; 4 F G D a r e s i m i l a r a n d C D = I D = D G = F G : T h e r e f o r e ,

F G

E G

=

D G = E G

D G = F G

=

B D = I D

C D = I D

=

B D

C D

=

B F

C E

6 9 . ( 1 9 9 8 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t A B C D E F b e a c o n v e x h e x a g

s u c h t h a t

6

B +

6

D +

6

F = 3 6 0

a n d

A B

B C

C D

D E

E F

F A

= 1

7 4

P r o v e t h a t T h e n



B C

C A

A E

E F

F D

D B

= 1

S o l u t i o n . L e t P b e s u c h t h a t

6

F E A =

6

D E P a n d

6

E F A =

6

E D P ;

w h e r e P i s o n t h e o p p o s i t e s i d e o f l i n e s D E a n d C D a s A T h e n

4 F E A ; 4 D E P a r e s i m i l a r . S o

F A

E F

=

D P

P E

a n d ( )

E F

E D

=

E A

E P

S i n c e

6

B +

6

D +

6

F = 3 6 0

; w e g e t

6

A B C =

6

P D C : A l s o ,

A B

B C

=

D E F A

C D E F

=

D P

C D

T h e n 4 A B C ; 4 P D C a r e s i m i l a r . C o n s e q u e n t l y , w e g e t

6

B C A =

6

D C P a n d ( * * ) C B = C D = C A = C P : S i n c e

6

F E D =

6

A E P ; b y ( * ) ,

4 F E D ; 4 A E P a r e s i m i l a r . A l s o , s i n c e

6

B C D =

6

A C P ; b y ( * * ) ,

4 B C D ; 4 A C P a r e s i m i l a r . S o A E = E F = P A = F D a n d B C = C A =

D B = P A : M u l t i p l y i n g t h e s e a n d m o v i n g a l l f a c t o r s t o t h e l e f t s i d e , w e

g e t t h e d e s i r e d e q u a t i o n

U s i n g c o m p l e x n u m b e r s , w e c a n g e t a n a l g e b r a i c s o l u t i o n . L e t

a ; b ; c ; d ; e ; f d e n o t e t h e c o m p l e x n u m b e r s c o r r e s p o n d i n g t o A ; B ; C ; D ;

E ; F ; r e s p e c t i v e l y . ( T h e o r i g i n m a y b e t a k e n a n y w h e r e o n t h e p l a n e . )

S i n c e A B C D E F i s c o n v e x ,

6

B ;

6

D a n d

6

F a r e t h e a r g u m e n t s o f t h e

c o m p l e x n u m b e r s ( a b ) = ( c b ) ; ( c d ) = ( e d ) a n d ( e f ) = ( a f ) ;

r e s p e c t i v e l y . T h e n t h e c o n d i t i o n

6

B +

6

D +

6

F = 3 6 0

i m p l i e s t h a t

t h e p r o d u c t o f t h e s e t h r e e c o m p l e x n u m b e r s i s a p o s i t i v e r e a l n u m b e r .

I t i s e q u a l t o t h e p r o d u c t o f t h e i r a b s o l u t e v a l u e s A B = B C ; C D = D E

a n d E F = F A : S i n c e ( A B = B C ) ( C D = D E ) ( E F = F A ) = 1 ; w e h a v e

a b

c b

c d

e d

e f

a f

= 1

S o

0 = ( a b ) ( c d ) ( e f ) ( c b ) ( e d ) ( a f )

= ( b c ) ( a e ) ( f d ) ( a c ) ( f e ) ( b d )

7 5

B C

C A

A E

E F

F D

D B

=

b c

a c

a e

f e

f d

b d

= 1

S i m i l a r T r i a n g l e s

7 0 . ( 1 9 8 4 B r i t i s h M a t h O l y m p i a d ) P ; Q ; a n d R a r e a r b i t r a r y p o i n t s o n t

s i d e s B C ; C A ; a n d A B r e s p e c t i v e l y o f t r i a n g l e A B C : P r o v e t h a t t

t h r e e c i r c u m c e n t r e s o f t r i a n g l e s A Q R ; B R P ; a n d C P Q f o r m a t r i a n g

s i m i l a r t o t r i a n g l e A B C :

S o l u t i o n . L e t t h e c i r c u m c e n t e r s o f t r i a n g l e s A Q R ; B R P a n d C P Q

A

0

; B

0

a n d C

0

; r e s p e c t i v e l y . A g o o d d r a w i n g s u g g e s t s t h e c i r c l e s p a

t h r o u g h a c o m m o n p o i n t ! T o p r o v e t h i s , l e t c i r c u m c i r c l e s o f t r i a n g l

A Q R a n d B R P i n t e r s e c t a t R a n d X T h e n

6

Q X R = 1 8 0

6

C A B

6

A B C +

6

B C A a n d

6

R X P = 1 8 0

6

A B C =

6

C A B +

6

B C A :

6

P X Q = 3 6 0

6

Q X R

6

R X P = 1 8 0

6

B C A ; w h i c h i m p l i e s

i s o n t h e c i r c u m c i r c l e o f t r i a n g l e C P Q : N o w

6

C

0

A

0

B

0

=

6

C

0

A

0

X +

6

X A

0

B

0

=

1

2

6

Q A

0

X +

1

2

6

R A

0

X

=

1

2

6

Q A

0

R =

6

C A B :

S i m i l a r l y ,

6

A

0

B

0

C

0

=

6

A B C a n d

6

B

0

C

0

A

0

=

6

B C A : S o , t r i a n g l

A

0

B

0

C

0

a n d A B C a r e s i m i l a r .

7 1 . H e x a g o n A B C D E F i s i n s c r i b e d i n a c i r c l e s o t h a t A B = C D = E

L e t P ; Q ; R b e t h e p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f A C a n d B D ; C E a n d D

E A a n d F B r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t t r i a n g l e s P Q R a n d B D F a

s i m i l a r .

S o l u t i o n . ( D u e t o N g K a W i n g ) L e t O b e t h e c e n t e r o f t h e c i r c

a n d l e t L ; M ; N b e t h e p r o j e c t i o n s o f O o n B D ; D F ; F B ; r e s p e c t i v e

T h e n L ; M ; N a r e m i d p o i n t s o f B D ; D F ; F B ; r e s p e c t i v e l y . L e t S b e t

p r o j e c t i o n o f O o n A E S i n c e A B = E F ; w e g e t F B = A E a n d h e n

7 6

O N = O S L e t

6

A O B =

6

C O D =

6

E O F = 2 T h e n

6

R O N = S i n c e A ; B ; C ; D a r e c o n c y c l i c , s i n

6

B A D = s i n

6

B C D a n d s i n

6

A B C



1

2

6

S O N =

1

2

6

A R B =

1

4

(

6

A O B +

6

E O F ) = H e n c e , O N = O R =

c o s S i m i l a r l y ,

6

P O L =

6

Q O M = a n d O L = O P = O M = O Q =

c o s

N e x t r o t a t e 4 P Q R a r o u n d O a t a n g l e s o t h a t t h e i m a g e Q

0

o f Q l i e s o n t h e l i n e O M ; t h e i m a g e R

0

o f R l i e s o n t h e l i n e O N

a n d t h e i m a g e P

0

o f P l i e s o n l i n e O L T h e n O N = O R

0

= O L = O P

0

=

O M = O Q

0

= c o s S o 4 P

0

Q

0

R

0

; 4 L M N a r e s i m i l a r . S i n c e L ; M ; N

a r e m i d p o i n t s o f B D ; D F ; F B ; r e s p e c t i v e l y , w e h a v e 4 L M N ; 4 B D F

a r e s i m i l a r . T h e r e f o r e , 4 P Q R ; 4 B D F a r e s i m i l a r .

7 2 . ( 1 9 9 8 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t A B C D b e a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l .

L e t E a n d F b e v a r i a b l e p o i n t s o n t h e s i d e s A B a n d C D ; r e s p e c t i v e l y ,

s u c h t h a t A E : E B = C F : F D L e t P b e t h e p o i n t o n t h e s e g m e n t

E F s u c h t h a t P E : P F = A B : C D P r o v e t h a t t h e r a t i o b e t w e e n t h e

a r e a s o f t r i a n g l e s A P D a n d B P C d o e s n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e o f E

a n d F

S o l u t i o n . L e t U V W ] d e n o t e t h e a r e a o f 4 U V W a n d l e t d ( X ; Y Z )

d e n o t e t h e d i s t a n c e f r o m X t o l i n e Y Z W e h a v e A E : E B = C F :

F D = a : b ; w h e r e a + b = 1 S i n c e P E : P F = A B : C D ; w e h a v e

d ( P ; A D ) =

C D

A B + C D

d ( E ; A D ) +

A B

A B + C D

d ( F ; A D ) ;

A P D ] =

C D

A B + C D

A E D ] +

A B

A B + C D

A F D ]

=

a C D

A B + C D

A B D ] +

b A B

A B + C D

A C D ] ;

d ( P ; B C ) =

C D

A B + C D

d ( E ; B C ) +

A B

A B + C D

d ( F ; B C ) ;

B P C ] =

C D

A B + C D

B E C ] +

A B

A B + C D

B F C ]

=

b C D

A B + C D

B A C ] +

a A B

A B + C D

B D C ]

7 7

s i n

6

A D C ; S o ,

A P D ]

B P C ]

=

a C D A B D ] + b A B A C D ]

b C D B A C ] + a A B B D C ]

=

a C D A B A D s i n

6

B A D + b A B C D A D s i n

6

A D C

b C D A B B C s i n

6

A B C + a A B C D B C s i n

6

B C D

=

A D

B C

a s i n

6

B A D + b s i n

6

A D C

b s i n

6

A B C + a s i n

6

B C D

=

A D

B C

T a n g e n t L i n e s

7 3 . T w o c i r c l e s i n t e r s e c t a t p o i n t s A a n d B A n a r b i t r a r y l i n e t h r o u g h

i n t e r s e c t s t h e r s t c i r c l e a g a i n a t C a n d t h e s e c o n d c i r c l e a g a i n a t D

T h e t a n g e n t s t o t h e r s t c i r c l e a t C a n d t o t h e s e c o n d c i r c l e a t

i n t e r s e c t a t M T h e p a r a l l e l t o C M w h i c h p a s s e s t h r o u g h t h e p o i

o f i n t e r s e c t i o n o f A M a n d C D i n t e r s e c t s A C a t K P r o v e t h a t B K

t a n g e n t t o t h e s e c o n d c i r c l e .

S o l u t i o n . L e t L b e t h e i n t e r s e c t i o n o f A M a n d C D S i n c e

6

C M D +

6

C A D =

6

C M D +

6

C A B +

6

D A B

=

6

C M D +

6

B C M +

6

B D M = 1 8 0

;

s o A ; C ; M ; D a r e c o n c y c l i c . S i n c e L K k M C ;

6

L K C = 1 8 0

6

K C M = 1 8 0

6

K C L

6

L C M

= 1 8 0

6

A C B

6

C A B =

6

C B A =

6

L B A :

S o A ; B ; L ; K a r e c o n c y c l i c . T h e n

6

K B A =

6

K L A =

6

C M A =

6

C D A =

6

B D A :

T h e r e f o r e , B K i s t a n g e n t t o t h e c i r c l e p a s s i n g t h r o u g h A ; B ; D :

7 4 . ( 1 9 9 9 I M O ) T w o c i r c l e s

1

a n d

2

a r e c o n t a i n e d i n s i d e t h e c i r c l e

a n d a r e t a n g e n t t o a t t h e d i s t i n c t p o i n t s M a n d N ; r e s p e c t i v e

7 8

1

p a s s e s t h r o u g h t h e c e n t e r o f

2

T h e l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e t w o S i n c e D i s t h e m i d p o i n t o f a r c B C ; s o A W b i s e c t s

6

B A C : A l s o



p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f

1

a n d

2

m e e t s a t A a n d B ; r e s p e c t i v e l y .

T h e l i n e s M A a n d M B m e e t s

1

a t C a n d D ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t

C D i s t a n g e n t t o

2

S o l u t i o n . ( D u e t o W o n g C h u n W a i ) L e t X ; Y b e t h e c e n t e r s o f

1

;

2

;

r e s p e c t i v e l y . E x t e n d

!

Y X t o m e e t

2

a t Q J o i n A N t o m e e t

2

a t E

S i n c e A B i s t h e r a d i c a l a x i s o f

1

;

2

; s o A C A M = A E A N T h i s

i m p l i e s C ; M ; N ; E a r e c o n c y c l i c . L e t U b e t h e i n t e r s e c t i o n o f l i n e C E

w i t h t h e t a n g e n t t o

1

a t M T h e n

6

U C M =

6

E N M =

6

A N M =

6

U M C : S o C E i s t a n g e n t t o

1

S i m i l a r l y , C E i s t a n g e n t t o

2

N o w

Y E = Y Q a n d

6

C Y E = 9 0

6

E C Y = 9 0

1

2

6

C X Y

= 9 0

( 9 0

6

C Y Q ) =

6

C Y Q :

T h e s e i m p l y 4 C Y E ; 4 C Y Q a r e c o n g r u e n t . H e n c e

6

C Q Y =

6

C E Y =

9 0

S i m i l a r l y

6

D Q Y = 9 0

T h e r e f o r e , C D i s t a n g e n t t o

2

7 5 . ( P r o p o s e d b y I n d i a f o r 1 9 9 2 I M O ) C i r c l e s G

1

a n d G

2

t o u c h e a c h o t h e r

e x t e r n a l l y a t a p o i n t W a n d a r e i n s c r i b e d i n a c i r c l e G : A ; B ; C a r e

p o i n t s o n G s u c h t h a t A ; G

1

a n d G

2

a r e o n t h e s a m e s i d e o f c h o r d B C ;

w h i c h i s a l s o t a n g e n t t o G

1

a n d G

2

S u p p o s e A W i s a l s o t a n g e n t t o

G

1

a n d G

2

P r o v e t h a t W i s t h e i n c e n t e r o f t r i a n g l e A B C :

S o l u t i o n . L e t P a n d Q b e t h e p o i n t s o f t a n g e n c y o f G

1

w i t h B C a n d

a r c B A C ; r e s p e c t i v e l y . L e t D b e t h e m i d p o i n t o f t h e c o m p l e m e n t a r y

a r c B C o f G ( n o t c o n t a i n i n g A ) a n d L b e a p o i n t o n G

1

s o t h a t D L i s

t a n g e n t t o G

1

a n d i n t e r s e c t s s e g m e n t P C C o n s i d e r i n g t h e h o m o t h e t y

w i t h c e n t e r Q t h a t m a p s G

1

o n t o G ; w e s e e t h a t Q ; P ; D a r e c o l l i n e a r

b e c a u s e t h e t a n g e n t a t P ( n a m e l y B C ) a n d t h e t a n g e n t a t D a r e

p a r a l l e l S i n c e

6

B Q D ;

6

C B D s u b t e n d e q u a l a r c s , 4 B Q D ; 4 P B D

a r e s i m i l a r . H e n c e D B = D P = D Q = D B : B y t h e i n t e r s e c t i n g c h o r d

t h e o r e m , D B

2

= D P D Q = D L

2

S o D L = D B = D C T h e n D h a s

t h e s a m e p o w e r D B

2

= D C

2

w i t h r e s p e c t t o G

1

a n d G

2

H e n c e D i s

o n t h e r a d i c a l a x i s A W o f G

1

a n d G

2

S o L = W a n d D W i s t a n g e n t

t o G

1

a n d G

2

7 9

6

A B W =

6

B W D

6

B A D =

6

W B D

6

C B D =

6

C B W

a n d B W b i s e c t s

6

A B C : T h e r e f o r e W i s t h e i n c e n t e r o f 4 A B C :

C o m m e n t s . T h e r s t p a r t o f t h e p r o o f c a n a l s o b e d o n e b y i n v e r s i

w i t h r e s p e c t t o t h e c i r c l e c e n t e r e d a t D a n d o f r a d i u s D B = D

I t m a p s a r c B C o n t o t h e c h o r d B C B o t h G

1

a n d G

2

a r e i n v a r i a

b e c a u s e t h e p o w e r o f D w i t h r e s p e c t t o t h e m i s D B

2

= D C

2

H e n

W i s x e d a n d s o D W i s t a n g e n t t o b o t h G

1

a n d G

2

L o c u s

7 6 . P e r p e n d i c u l a r s f r o m a p o i n t P o n t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 A B C a r e d r a w

t o l i n e s A B ; B C w i t h f e e t a t D ; E ; r e s p e c t i v e l y . F i n d t h e l o c u s o f t

c i r c u m c e n t e r o f 4 P D E a s P m o v e s a r o u n d t h e c i r c l e .

S o l u t i o n . S i n c e

6

P D B +

6

P E B = 1 8 0

; P ; D ; B ; E a r e c o n c y c l

H e n c e , t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 P D E p a s s e s t h r o u g h B a l w a y s . T h e n P

i s a d i a m e t e r a n d t h e c i r c u m c e n t e r o f 4 P D E i s a t t h e m i d p o i n t M

P B L e t O b e t h e c i r c u m c e n t e r o f 4 A B C ; t h e n O M ? P B I t f o l l o w

t h a t t h e l o c u s o f M i s t h e c i r c l e w i t h O B a s a d i a m e t e r .

7 7 . S u p p o s e A i s a p o i n t i n s i d e a g i v e n c i r c l e a n d i s d i e r e n t f r o m t

c e n t e r . C o n s i d e r a l l c h o r d s ( e x c l u d i n g t h e d i a m e t e r ) p a s s i n g t h r o u g

A W h a t i s t h e l o c u s o f t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e t a n g e n t l i n e s a t t

e n d p o i n t s o f t h e s e c h o r d s ?

S o l u t i o n . ( D u e t o W o n g H i m T i n g ) L e t O b e t h e c e n t e r a n d a n d

b e t h e r a d i u s . L e t A

0

b e t h e p o i n t o n O A e x t e n d e d b e y o n d A s u

t h a t O A O A

0

= r

2

S u p p o s e B C i s o n e s u c h c h o r d p a s s i n g t h r o u

A a n d t h e t a n g e n t s a t B a n d C i n t e r s e c t a t D

0

. B y s y m m e t r y , D

0

o n t h e l i n e O D , w h e r e D i s t h e m i d p o i n t o f B C S i n c e

6

O B D

0

= 9 0

O D O D

0

= O B

2

( = O A O A

0

) S o 4 O A D i s s i m i l a r t o 4 O D

0

A

S i n c e

6

O D A = 9 0

, D

0

i s o n t h e l i n e L p e r p e n d i c u l a r t o O A a t A

0

C o n v e r s e l y , f o r D

0

o n L , l e t t h e c h o r d t h r o u g h A p e r p e n d i c u l

t o O D

0

i n t e r s e c t t h e c i r c l e a t B a n d C . L e t D b e t h e i n t e r s e c t i o n

8 0

t h e c h o r d w i t h O D

0

N o w 4 O A D ; 4 O D

0

A

0

a r e s i m i l a r r i g h t t r i a n g l e s . D e t e r m i n e r i f B ; M a n d N a r e c o l l i n e a r .



S o O D O D

0

= O A O A

0

= O B

2

= O C

2

; w h i c h i m p l i e s

6

O B D

0

=

6

O C D

0

= 9 0

T h e r e f o r e , D

0

i s o n t h e l o c u s . T h i s s h o w s t h e l o c u s i s

t h e l i n e L

7 8 . G i v e n 4 A B C : L e t l i n e E F b i s e c t s

6

B A C a n d A E A F = A B A C

F i n d t h e l o c u s o f t h e i n t e r s e c t i o n P o f l i n e s B E a n d C F

S o l u t i o n . F o r s u c h a p o i n t P ; s i n c e A B = A E = A F = A C a n d

6

B A E =

6

F A C ; s o 4 B A E ; 4 F A C a r e s i m i l a r . T h e n

6

A E P =

6

P C A : S o

A ; E ; C ; P a r e c o n c y c l i c . H e n c e

6

B P C =

6

C A E =

6

B A C = 2 T h e r e -

f o r e , P i s o n t h e c i r c l e C w h o s e p o i n t s X s a t i s f y

6

B X C =

6

B A C = 2

a n d w h o s e c e n t e r i s o n t h e s a m e s i d e o f l i n e B C a s A

C o n v e r s e l y , f o r P o n C ; L e t B P ; C P i n t e r s e c t t h e a n g l e b i s e c t o r

o f

6

B A C a t E ; F ; r e s p e c t i v e l y . S i n c e

6

B P C =

6

B C A = 2 ; s o

6

E P F =

6

E A C : H e n c e A ; E ; C ; P a r e c o n c y c l i c . S o

6

B E A =

6

F C A : A l s o

6

B A E =

6

F A C : S o 4 B A E ; 4 F A C a r e s i m i l a r . T h e n A B A C =

A E A F T h e r e f o r e , t h e l o c u s o f P i s t h e c i r c l e C

7 9 . ( 1 9 9 6 P u t n a m E x a m ) L e t C

1

a n d C

2

b e c i r c l e s w h o s e c e n t e r s a r e 1 0

u n i t s a p a r t , a n d w h o s e r a d i i a r e 1 a n d 3 . F i n d t h e l o c u s o f a l l p o i n t s

M f o r w h i c h t h e r e e x i s t s p o i n t s X o n C

1

a n d Y o n C

2

s u c h t h a t M i s

t h e m i d p o i n t o f t h e l i n e s e g m e n t X Y

S o l u t i o n . ( D u e t o P o o n W a i H o i ) L e t O

1

; O

2

b e t h e c e n t e r s o f C

1

; C

2

;

r e s p e c t i v e l y . I f w e x Y o n C

2

; t h e n a s X m o v e s a r o u n d C

1

; M w i l l

t r a c e a c i r c l e

Y

w i t h r a d i u s

1

2

c e n t e r e d a t t h e m i d p o i n t m

Y

o f O

1

Y

A s Y m o v e s a r o u n d C

2

; m

Y

w i l l t r a c e a c i r c l e o f r a d i u s

3

2

c e n t e r e d a t

t h e m i d p o n t P o f O

1

O

2

S o t h e l o c u s i s t h e s o l i d a n n u l u s c e n t e r e d a t

P w i t h i n n e r r a d i u s

3

2

1

2

= 1 a n d o u t e r r a d i u s

3

2

+

1

2

= 2

C o l l i n e a r o r C o n c y c l i c P o i n t s

8 0 . ( 1 9 8 2 I M O ) D i a g o n a l s A C a n d C E o f t h e r e g u l a r h e x a g o n A B C D E F

a r e d i v i d e d b y t h e i n n e r p o i n t s M a n d N ; r e s p e c t i v e l y , s o t h a t

A M

A C

=

C N

C E

= r

8 1

S o l u t i o n . ( D u e t o L e e T a k W i n g ) L e t A C = x ; t h e n B C = x =

p

C N = x r ; C M = x ( 1 r ) L e t X Y Z ] d e n o t e t h e a r e a o f 4 X Y

S i n c e

6

N C M = 6 0

;

6

B C M = 3 0

a n d B C M ] + C M N ] = B C N

s o

x

2

( 1 r ) s i n 3 0

2

p

3

+

x

2

r ( 1 r ) s i n 6 0

2

=

x

2

r

2

p

3

C a n c e l l i n g x

2

a n d s o l v i n g f o r r ; w e g e t r =

1

p

3

8 1 . ( 1 9 6 5 P u t n a m E x a m ) I f A ; B ; C ; D a r e f o u r d i s t i n c t p o i n t s s u c h t h

e v e r y c i r c l e t h r o u g h A a n d B i n t e r s e c t s o r c o i n c i d e s w i t h e v e r y c i r c

t h r o u g h C a n d D ; p r o v e t h a t t h e f o u r p o i n t s a r e e i t h e r c o l l i n e a r

c o n c y c l i c .

S o l u t i o n . S u p p o s e A ; B ; C ; D a r e n e i t h e r c o n c y c l i c n o r c o l l i n e a r . T h e

t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r p o f A B c a n n o t c o i n c i d e w i t h t h e p e r p e

d i c u l a r b i s e c t o r q o f C D I f l i n e s p a n d q i n t e r s e c t , t h e i r c o m m o n p o i

i s t h e c e n t e r o f t w o c o n c e n t r i c c i r c l e s , o n e t h r o u g h A a n d B ; t h e o t h

t h r o u g h C a n d D ; a c o n t r a d i c t i o n . I f l i n e s p a n d q a r e p a r a l l e l , t h

l i n e s A B a n d C D a r e a l s o p a r a l l e l . C o n s i d e r p o i n t s P a n d Q o n p a n

q ; r e s p e c t i v e l y , m i d w a y b e t w e e n t h e p a r a l l e l l i n e s A B a n d C D C l e a r

t h e c i r c l e s t h r o u g h A ; B ; P a n d C ; D ; Q h a v e n o c o m m o n p o i n t , a g a

a c o n t r a d i c t i o n .

8 2 . ( 1 9 5 7 P u t n a m E x a m ) G i v e n a n i n n i t e n u m b e r o f p o i n t s i n a p l a n

p r o v e t h a t i f a l l t h e d i s t a n c e s b e t w e e n e v e r y p a i r a r e i n t e g e r s , t h e n t

p o i n t s a r e c o l l i n e a r

S o l u t i o n . S u p p o s e t h e r e a r e t h r e e n o n c o l l i n e a r p o i n t s A ; B ; C s u

t h a t A B = r a n d A C = s O b s e r v e t h a t i f P i s o n e o f t h e o t h e r p o i n

t h e n b t t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y , j P A P B j = 0 ; 1 ; 2 ; ; r H e n c e

w o u l d b e o n t h e l i n e H

0

j o i n i n g A ; B o r o n o n e o f t h e h y p e r b o l

H

i

= f X : j X A X B j = i g f o r i = 1 ; 2 ; ; r 1 o r o n t h e p e r p e n d i c u l

b i s e c t o r H

r

o f A B S i m i l a r l y , j P A P C j = 0 ; 1 ; 2 ; ; s S o P i s

o n e o f t h e s e t s K

j

= f X : j X A X C j = j g f o r j = 0 ; 1 ; ; s S i n

8 2

l i n e s A B a n d A C a r e d i s t i n c t , e v e r y i n t e r s e c t i o n H

i

\ K

j

i s o n l y a i . e . (

p

r

2

p

2

p

r

2

q

2

p q ) = 2 = (

p

s

2

p

2

p

s

2

q

2

p q ) = 2 S i n

p p



n i t e s e t . S o t h e r e c a n o n l y b e n i t e l y m a n y p o i n t s t h a t a r e i n t e g r a l

d i s t a n c e s f r o m A ; B ; C ; a c o n t r a d i c t i o n . T h e r e f o r e , t h e g i v e n p o i n t s

m u s t b e c o l l i n e a r .

8 3 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) T h e i n c i r c l e o f t r i a n g l e A B C t o u c h e s

B C ; C A a n d A B a t D ; E a n d F r e s p e c t i v e l y . X i s a p o i n t i n s i d e

t r i a n g l e A B C s u c h t h a t t h e i n c i r c l e o f t r i a n g l e X B C t o u c h e s B C a t

D a l s o , a n d t o u c h e s C X a n d X B a t Y a n d Z r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t

E F Z Y i s a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l .

S o l u t i o n I f E F k B C ; t h e n A B = A C a n d A D i s a n a x i s o f s y m m e t r y

o f E F Z Y : H e n c e E F Z Y i s a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l . I f l i n e s E F a n d B C

i n t e r s e c t a t P ; t h e n b y M e n e l a u s ' t h e o r e m , ( A F B P C E ) = ( F B P C

E A ) = 1 S i n c e B Z = B D = B F ; C Y = C D = C E a n d A F = E A = 1 =

X Z = Y X ; w e g e t ( X Z B P C Y ) = ( Z B P C Y X ) = 1 B y t h e c o n v e r s e

o f t h e M e n e l a u s ' t h e o r e m , Z ; Y ; P a r e c o l l i n e a r . B y t h e i n t e r s e c t i n g

c h o r d t h e o r e m , P E P F = P D

2

= P Y P Z H e n c e E F Z Y i s a c y c l i c

q u a d r i l a t e r a l b y t h e c o n v e r s e o f t h e i n t e r s e c t i n g c h o r d t h e o r e m

8 4 . ( 1 9 9 8 I M O ) I n t h e c o n v e x q u a d r i l a t e r a l A B C D ; t h e d i a g o n a l s A C a n d

B D a r e p e r p e n d i c u l a r a n d t h e o p p o s i t e s i d e s A B a n d D C a r e n o t

p a r a l l e l S u p p o s e t h e p o i n t P ; w h e r e t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r s o f

A B a n d D C m e e t , i s i n s i d e A B C D : P r o v e t h a t A B C D i s a c y c l i c

q u a d r i l a t e r a l i f a n d o n l y i f t h e t r i a n g l e s A B P a n d C D P h a v e e q u a l

a r e a s .

S o l u t i o n . ( D u e t o L e u n g W i n g C h u n g ) S e t t h e o r i g i n a t P S u p p o s e

A a n d C a r e o n t h e l i n e y = p a n d B a n d D a r e o n t h e l i n e x = q L e t

A P = B P = r ; C P = D P = s T h e n t h e c o o r d i n a t e s o f A ; B ; C ; D a r e

(

p

r

2

p

2

; p ) ; ( q ;

p

r

2

q

2

) ; (

p

s

2

p

2

; p ) ; ( q ;

p

s

2

q

2

) ;

r e s p e c t i v e l y . N o w 4 A B P ; 4 C D P h a v e e q u a l a r e a s i f a n d o n l y i f

1

2

p

r

2

p

2

p

q

p

r

2

q

2

=

1

2

p

s

2

p

2

p

q

p

s

2

q

2

;

8 3

f ( x ) = ( x

2

p

2

x

2

q

2

p q ) = 2 i s s t r i c t l y d e c r e a s i n g w h e n x

a n d j q j ; t h e d e t e r m i n a n t s a r e e q u a l i f a n d o n l y i f r = s ; w h i c h

e q u i v a l e n t t o A B C D c y c l i c .

8 5 . ( 1 9 7 0 P u t n a m E x a m ) S h o w t h a t i f a c o n v e x q u a d r i l a t e r a l w i t h s i d

l e n g t h s a ; b ; c ; d a n d a r e a

p

a b c d h a s a n i n s c r i b e d c i r c l e , t h e n i t i s

c y c l i c q u a d r i l a t e r a l .

S o l u t i o n . S i n c e t h e q u a d r i l a t e r a l h a s a n i n s c r i b e d c i r c l e , w e h a v e a

c = b + d L e t k b e t h e l e n g t h o f a d i a g o n a l a n d a n g l e s a n d s e l e c t

s o t h a t

k

2

= a

2

+ b

2

2 a b c o s = c

2

+ d

2

2 c d c o s

I f w e s u b t r a c t ( a b )

2

= ( c d )

2

a n d d i v i d e b y 2 , w e g e t t h e e q u a t i

( * ) a b ( 1 c o s ) = c d ( 1 c o s ) F r o m t h e a r e a ( a b s i n + c d s i n ) = 2

p

a b c d ; w e g e t

4 a b c d = a

2

b

2

( 1 c o s

2

) + c

2

d

2

( 1 c o s

2

) + 2 a b c d s i n s i n

U s i n g ( * ) , w e c a n c a n c e l a b c d t o o b t a i n t h e e q u a t i o n

4 = ( 1 + c o s ) ( 1 c o s ) + ( 1 + c o s ) ( 1 c o s ) + 2 s i n s i n

= 2 2 c o s ( + ) ;

w h i c h i m p l i e s + = 1 8 0

T h e r e f o r e , t h e q u a d r i l a t e r a l i s c y c l i c .

C o n c u r r e n t L i n e s

8 6 . I n 4 A B C ; s u p p o s e A B > A C : L e t P a n d Q b e t h e f e e t o f t h e p e

p e n d i c u l a r s f r o m B a n d C t o t h e a n g l e b i s e c t o r o f

6

B A C ; r e s p e c t i v e

L e t D b e o n l i n e B C s u c h t h a t D A ? A P P r o v e t h a t l i n e s B Q ; P

a n d A D a r e c o n c u r r e n t .

S o l u t i o n . L e t M b e t h e i n t e r s e c t i o n o f P C a n d A D L e t B

0

b e t

m i r r o r i m a g e o f B w i t h r e s p e c t t o l i n e A P S i n c e B B

0

? A P a n

8 4

A D ? A P ; s o B B

0

k A D T h e n 4 B C B

0

; 4 D A C a r e s i m i l a r . S i n c e P

0

H e n c e R a n d R

0

m u s t c o i n c i d e . T h e r e f o r e , 4 B P C i s s i m i l a r t o 4 A R D



i s t h e m i d p o i n t o f B B ; s o P C i n t e r s e c t s A D a t i t s m i d p o i n t M N o w

A Q

P Q

=

M C

P C

=

A M

B

0

P

=

A M

B P

4 B P Q ; 4 M A Q a r e s i m i l a r . T h i s i m p l i e s

6

B Q P =

6

M Q A : S o l i n e

B Q p a s s e s t h r o u g h M ; t o o .

8 7 . ( 1 9 9 0 C h i n e s e N a t i o n a l M a t h C o m p e t i t i o n ) D i a g o n a l s A C a n d B D

o f a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l A B C D m e e t s a t P L e t t h e c i r c u m c e n t e r s o f

A B C D ; A B P ; B C P ; C D P a n d D A P b e O ; O

1

; O

2

; O

3

a n d O

4

; r e s p e c -

t i v e l y . P r o v e t h a t O P ; O

1

O

3

; O

2

O

4

a r e c o n c u r r e n t .

S o l u t i o n . L e t l i n e P O

2

i n t e r s e c t t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 B C P a n d s e g -

m e n t A D a t p o i n t s Q a n d R ; r e s p e c t i v e l y . N o w

6

P D R =

6

B C A =

6

P Q B a n d

6

D P R =

6

Q P B S o

6

D R P =

6

Q B P = 9 0

a n d P O

2

?

A D N e x t c i r c u m c i r c l e s o f A B C D a n d D A P s h a r e t h e c o m m o n c h o r d

A D ; s o O O

4

? A D H e n c e P O

2

a n d O O

4

a r e p a r a l l e l . S i m i l a r l y ,

P O

4

a n d O O

2

a r e p a r a l l e l . S o P O

2

O O

4

i s a p a r a l l e l o g r a m a n d d i a g -

o n a l O

2

O

4

p a s s e s t h r o u g h t h e m i d p o i n t G o f O P S i m i l a r l y , P O

1

O O

3

i s a p a r a l l e l o g r a m a n d d i a g o n a l O

1

O

3

p a s s e s t h r o u g h G T h e r e f o r e ,

O P ; O

1

O

3

; O

2

O

4

c o n c u r a t G

8 8 . ( 1 9 9 5 I M O ) L e t A ; B ; C a n d D b e f o u r d i s t i n c t p o i n t s o n a l i n e , i n t h a t

o r d e r . T h e c i r c l e s w i t h d i a m e t e r s A C a n d B D i n t e r s e c t a t t h e p o i n t s

X a n d Y T h e l i n e X Y m e e t s B C a t t h e p o i n t Z L e t P b e a p o i n t o n

t h e l i n e X Y d i e r e n t f r o m Z T h e l i n e C P i n t e r s e c t s t h e c i r c l e w i t h

d i a m e t e r A C a t t h e p o i n t s C a n d M ; a n d t h e l i n e B P i n t e r s e c t s t h e

c i r c l e w i t h d i a m e t e r B D a t t h e p o i n t s B a n d N P r o v e t h a t t h e l i n e s

A M ; D N a n d X Y a r e c o n c u r r e n t .

S o l u t i o n 1 . ( D u e t o Y u C h u n L i n g ) L e t A R b e p a r a l l e l t o B P a n d

D R

0

b e p a r a l l e l t o C P ; w h e r e R a n d R

0

a r e p o i n t s o n l i n e X Y S i n c e

B Z Z D = X Z Z Y = C Z Z A ; w e g e t B Z = A Z = C Z = D Z : S i n c e

4 C Z P i s s i m i l a r t o 4 D Z R

0

a n d 4 B Z P i s s i m i l a r t o 4 A Z R ; s o

Z P

Z R

=

B Z

A Z

=

C Z

D Z

=

Z P

Z R

0

8 5

S i n c e X Y ? A D ; A M ? C M ; C M k D R ; D N ? B N a n

B N k A R ; t h e l i n e s A M ; D N ; X Y a r e t h e e x t e n s i o n s o f t h e a l t i t u d

o f 4 A R D ; h e n c e t h e y m u s t b e c o n c u r r e n t .

S o l u t i o n 2 . ( D u e t o M o k T z e T a o ) S e t t h e o r i g i n a t Z a n d t h e

a x i s o n l i n e A D L e t t h e c o o r d i n a t e s o f t h e c i r c u m c e n t e r s o f t r i a n g l

A M C a n d B N D b e ( x

1

; 0 ) a n d ( x

2

; 0 ) ; a n d t h e c i r c u m r a d i i b e r

1

a n

r

2

; r e s p e c t i v e l y . T h e n t h e c o o r d i n a t e s o f A a n d C a r e ( x

1

r

1

; 0 ) a n

( x

1

+ r

1

; 0 ) ; r e s p e c t i v e l y . L e t t h e c o o r d i n a t e s o f P b e ( 0 ; y

0

) S i n

A M ? C P a n d t h e s l o p e o f C P i s

y

0

x

1

+ r

1

; t h e e q u a t i o n o f A M

w o r k s o u t t o b e ( x

1

+ r

1

) x y

0

y = x

2

1

r

2

1

L e t Q b e t h e i n t e r s e c t i o n

A M w i t h X Y ; t h e n Q h a s c o o r d i n a t e s ( 0 ;

r

2

1

x

2

1

y

0

) S i m i l a r l y , l e t Q

0

t h e i n t e r s e c t i o n o f D N w i t h X Y ; t h e n Q

0

h a s c o o r d i n a t e s ( 0 ;

r

2

2

x

2

2

y

0

S i n c e r

2

1

x

2

1

= Z X

2

= r

2

2

x

2

2

; s o Q = Q

0

S o l u t i o n 3 . L e t A M i n t e r s e c t X Y a t Q a n d D N i n t e r s e c t X Y

Q

0

O b s e r v e t h a t t h e r i g h t t r i a n g l e s A Z Q ; A M C ; P Z C a r e s i m i l a r ,

A Z = Q Z = P Z = C Z : T h e n Q Z = A Z C Z = P Z = X Z Y Z = P Z : S i m

l a r l y , Q

0

Z = X Z Y Z = P Z : T h e r e f o r e Q = Q

0

8 9 A D ; B E ; C F a r e t h e a l t i t u d e s o f 4 A B C : I f P ; Q ; R a r e t h e m i d p o i n

o f D E ; E F ; F D ; r e s p e c t i v e l y , t h e n s h o w t h a t t h e p e r p e n d i c u l a r f r o

P ; Q ; R t o A B ; B C ; C A ; r e s p e c t i v e l y , a r e c o n c u r r e n t .

S o l u t i o n . L e t Y b e t h e f o o t o f t h e p e r p e n d i c u l a r f r o m Q t o B C a n

H b e t h e o r t h o c e n t e r o f 4 A B C : N o t e t h a t

6

A C F = 9 0

6

C A B

6

A B E : S i n c e

6

C E H = 9 0

=

6

C D H ; C ; D ; H ; E a r e c o n c y c l i c .

6

A C F =

6

E D H : N o w A H k Q Y ; E D k Q R ; s o

6

E D H =

6

R Q

H e n c e ,

6

R Q Y =

6

E D H =

6

A C F : S i m i l a r l y ,

6

A B E =

6

F D H

6

P Q Y : N e x t , s i n c e

6

A C F =

6

A B E ; Q Y b i s e c t s

6

P Q R : F r o m t h e s

i t f o l l o w s t h e p e r p e n d i c u l a r s f r o m P ; Q ; R t o A B ; B C ; C A c o n c u r

t h e i n c e n t e r o f 4 P Q R :

9 0 . ( 1 9 8 8 C h i n e s e M a t h O l y m p i a d T r a i n i n g T e s t ) A B C D E F i s a h e x a g

8 6

i n s c r i b e d i n a c i r c l e . S h o w t h a t t h e d i a g o n a l s A D ; B E ; C F a r e c o n c u r -

r e n t i f a n d o n l y i f A B C D E F = B C D E F A

C ; B

1

; B

2

; A S u p p o s e B

1

C

1

; B

2

C

2

m e e t s a t X , C

1

A

1

; C

2

A

2

m e e t s

Y a n d A B ; A B m e e t s a t Z S h o w t h a t A X ; B Y ; C Z a r e c o n c u r r e n



S o l u t i o n . ( D u e t o Y u K a C h u n ) S u p p o s e A D ; B E ; C F c o n c u r s a t X

F r o m s i m i l a r t r i a n g l e s A B X a n d E D X ; w e g e t A B = D E = B X = D X :

S i m i l a r l y , C D = F A = D X = F X a n d E F = B C = F X = B X : M u l t i p l y i n g

t h s e , w e g e t ( A B C D E F ) = ( D E F A B C ) = 1 ; s o A B C D E F =

B C D E F A

F o r t h e c o n v e r s e , w e u s e t h e s o - c a l l e d m e t h o d o f f a l s e p o s i t i o n

S u p p o s e ( * ) A B C D E F = B C D E F A a n d A D i n t e r s e c t B E

a t X N o w l e t C X m e e t t h e c i r c l e a g a i n a t F

0

B y t h e r s t p a r t , w e

g e t A B C D E F

0

= B C D E F

0

A D i v i d i n g t h i s b y ( * ) , w e h a v e

E F

0

= E F = F

0

A = F A : I f F

0

i s o n o p e n a r c A F ; t h e n F

0

A < F A a n d

E F < E F

0

y i e l d i n g F

0

A = F A < 1 < E F

0

= E F ; a c o n t r a d i c t i o n . I f

F

0

i s o n t h e o p e n a r c E F ; t h e n F A < F

0

A a n d E F

0

< E F y i e l d i n g

E F

0

= E F < 1 < F

0

A = F A ; a c o n t r a d i c t i o n . S o F

0

= F

A l t e r n a t i v e l y , w e c a n u s e C e v a ' s t h e o r e m a n d i t s c o n v e r s e . L e t

A C a n d B E m e e t a t G ; C E a n d A D m e e t a t H ; E A a n d C F m e e t a t

I L e t h ; k b e t h e d i s t a n c e s f r o m A ; C t o B E ; r e s p e c t i v e l y . T h e n

A G

C G

=

h

k

=

A B s i n

6

A B G

B C s i n

6

C B G

S i m i l a r l y ,

C H

E H

=

C D s i n

6

C D H

D E s i n

6

E D H

a n d

E I

A I

=

E F s i n

6

E F I

F A s i n

6

A F I

N o w

6

A B G =

6

E D H ;

6

C B G =

6

E F I ;

6

C D H =

6

A F I : B y C e v a ' s

t h e o r e m a n d i t s c o n v e r s e , A D ; B E ; C F a r e c o n c u r r e n t i f a n d o n l y i f

1 =

A G C H E I

C G E H A I

=

A B C D E F

B C D E F A

9 1 . A c i r c l e i n t e r s e c t s a t r i a n g l e A B C a t s i x p o i n t s A

1

; A

2

; B

1

; B

2

; C

1

; C

2

;

w h e r e t h e o r d e r o f a p p e a r a n c e a l o n g t h e t r i a n g l e i s A ; C

1

; C

2

; B ; A

1

; A

2

;

8 7

1 1 2 2

S o l u t i o n . L e t D b e t h e i n t e r s e c t i o n o f A X a n d B

1

C

2

S i n c e A X ; B

1

C

B

2

C

2

a r e c o n c u r r e n t , b y ( t h e t r i g o n o m e t r i c f o r m o f ) C e v a ' s t h e o r e m

1 =

D C

2

B

1

B

2

A C

1

D B

1

A B

2

C

1

C

2

=

s i n C

2

A D s i n B

2

B

1

C

1

s i n B

1

C

2

B

2

s i n D A B

1

s i n C

1

B

1

C

2

s i n B

2

C

2

C

1

T h e n

s i n B A X

s i n X A C

=

s i n C

2

A D

s i n D A B

1

=

s i n C

1

B

1

C

2

s i n B

2

C

2

C

1

s i n B

2

B

1

C

1

s i n B

1

C

2

B

2

S i m i l a r l y ,

s i n C B Y

s i n Y B A

=

s i n A

1

C

1

A

2

s i n C

2

A

2

A

1

s i n C

2

C

1

A

1

s i n C

1

A

2

C

2

;

s i n A C Z

s i n Z C B

=

s i n B

1

A

1

B

2

s i n A

2

B

2

A

1

s i n A

2

A

1

B

1

s i n A

1

B

2

A

2

U s i n g

6

C

1

B

1

C

2

=

6

C

1

A

2

C

2

a n d s i m i l a r a n g l e e q u a l i t y , w e s e e t h

t h e p r o d u c t o f t h e t h r e e e q u a t i o n s i n v o l v i n g X ; Y ; Z a b o v e i s e q u a l

1 . B y t h e c o n v e r s e o f t h e t r i g o n o m e t r i c f o r m o f C e v a ' s t h e o r e m , w e s

t h a t A X ; B Y ; C Z a r e c o n c u r r e n t .

9 2 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) A c i r c l e p a s s i n g t h r o u g h v e r t i c e s

a n d C o f t r i a n g l e A B C i n t e r s e c t s s i d e s A B a n d A C a t C

0

a n d B

r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t B B

0

; C C

0

a n d H H

0

a r e c o n c u r r e n t , w h e r e

a n d H

0

a r e t h e o r t h o c e n t e r s o f t r i a n g l e s A B C a n d A B

0

C

0

; r e s p e c t i v e

S o l u t i o n . ( D u e t o L a m P o L e u n g ) L e t d ( X ; L ) d e n o t e t h e d i s t a n

f r o m a p o i n t X t o a l i n e L F o r t h e p r o b l e m , w e w i l l u s e t h e f o l l o w i

l e m m a .

L e m m a . L e t l i n e s L

1

; L

2

i n t e r s e c t a t P ( f o r m i n g f o u r a n g l e s w i t h v e

t e x P ) S u p p o s e H ; H

0

l i e o n a n o p p o s i t e p a i r o f t h e s e a n g l e s .

d ( H ; L

1

) = d ( H

0

; L

1

) = d ( H ; L

2

) = d ( H

0

; L

2

) ; t h e n H ; P ; H

0

a r e c o l l i n e a

P r o o f . L e t H H

0

i n t e r s e c t L

1

; L

2

a t X ; Y ; r e s p e c t i v e l y . T h e n

H H

0

H

0

X

=

H X

H

0

X

+ 1 =

d ( H ; L

1

)

d ( H

0

; L

1

)

+ 1

=

d ( H ; L

2

)

d ( H

0

; L

2

)

+ 1 =

H Y

H

0

Y

+ 1 =

H H

0

H

0

Y

8 8

S o X = Y i s o n b o t h L

1

a n d L

2

; h e n c e i t i s P T h e r e f o r e , H ; P ; H

0

a r e

c o l l i n e a r .

F r o m t h e s e , w e f o u n d t h e c o o r d i n a t e s o f B ; C a r e ( d + e ; b

d e

b

) ; ( d

f ; b

d f

) ; r e s p e c t i v e l y . T h e n t h e c o o r d i n a t e s o f M ; N a r e ( d +

e + f

; b



F o r t h e p r o b l e m , l e t B B

0

; C C

0

i n t e r s e c t a t P S i n c e

6

A B H =

9 0

6

A =

6

A C

0

H

0

; s o B H k C

0

H

0

S i m i l a r l y , C H k B

0

H

0

L e t

B H ; C C

0

i n t e r s e c t a t L a n d C H ; B B

0

i n t e r s e c t a t K N o w

6

P B H =

6

A B H

6

C

0

B P = ( 9 0

6

A )

6

B

0

C P

=

6

A C H

6

B

0

C P =

6

P C H :

S o , K ; B ; C ; L a r e c o n c y c l i c . T h e n 4 L H K ; 4 B H C a r e s i m i l a r . A l s o ,

4 B H C ; 4 B

0

H

0

C

0

a r e s i m i l a r b e c a u s e

6

C B H = 9 0

6

A C B = 9 0

6

A C

0

B

0

=

6

C

0

B

0

H

0

a n d s i m i l a r l y

6

B C H =

6

B

0

C

0

H

0

T h e r e f o r e 4 L H K ; 4 B

0

H

0

C

0

a r e

s i m i l a r . S o K H = B

0

H

0

= L H = C

0

H

0

S i n c e B H k C

0

H

0

a n d C H k B

0

H

0

;

s o d ( H ; B B

0

) = d ( H

0

; B B

0

) = d ( H ; C C

0

) = d ( H

0

; C C

0

) B y t h e l e m m a ,

H H

0

a l s o p a s s e s t h r o u g h P

P e r p e n d i c u l a r L i n e s

9 3 . ( 1 9 9 8 A P M O ) L e t A B C b e a t r i a n g l e a n d D t h e f o o t o f t h e a l t i t u d e

f r o m A L e t E a n d F b e o n a l i n e p a s s i n g t h r o u g h D s u c h t h a t A E

i s p e r p e n d i c u l a r t o B E ; A F i s p e r p e n d i c u l a r t o C F ; a n d E a n d F a r e

d i e r e n t f r o m D L e t M a n d N b e t h e m i d p o i n t s o f t h e l i n e s e g m e n t s

B C a n d E F ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t A N i s p e r p e n d i c u l a r t o N M

S o l u t i o n . ( D u e t o C h e u n g P o k M a n ) T h e r e a r e m a n y d i e r e n t p i c -

t u r e s , s o i t i s b e t t e r t o u s e c o o r d i n a t e g e o m e t r y t o c o v e r a l l c a s e s .

S e t A a t t h e o r i g i n a n d l e t y = b 6 = 0 b e t h e e q u a t i o n o f t h e l i n e

t h r o u g h D ; E ; F : ( N o t e t h e c a s e b = 0 i m p l i e s D = E = F ; w h i c h

i s n o t a l l o w e d . ) L e t t h e c o o r d i n a t e s o f D ; E ; F b e ( d ; b ) ; ( e ; b ) ; ( f ; b ) ;

r e s p e c t i v e l y . S i n c e B E ? A E a n d s l o p e o f A E i s b = e ; s o t h e e q u a -

t i o n o f l i n e A E i s e x + b y ( b

2

+ e

2

) = 0 S i m i l a r l y , t h e e q u a t i o n o f

l i n e C F i s f x + b y ( b

2

+ f

2

) = 0 a n d t h e e q u a t i o n o f l i n e B C i s

d x + b y ( b

2

+ d

2

) = 0

8 9

b 2

d e + d f

2 b

) ; (

e + f

2

; b ) ; r e s p e c t i v e l y . S o t h e s l o p e o f A N i s 2 b = ( e + f ) a n d t

s l o p e o f M N i s (

d e + d f

2 b

) = d =

e + f

2 b

T h e p r o d u c t o f t h e s e s l o p e s

1 T h e r e f o r e , A N ? M N

9 4 . ( 2 0 0 0 A P M O ) L e t A B C b e a t r i a n g l e . L e t M a n d N b e t h e p o i n

i n w h i c h t h e m e d i a n a n d t h e a n g l e b i s e c t o r , r e s p e c t i v e l y , a t A m e

t h e s i d e B C L e t Q a n d P b e t h e p o i n t s i n w h i c h t h e p e r p e n d i c u l a r

N t o N A m e e t s M A a n d B A ; r e s p e c t i v e l y , a n d O t h e p o i n t i n w h i

t h e p e r p e n d i c u l a r a t P t o B A m e e t s A N p r o d u c e d P r o v e t h a t Q O

p e r p e n d i c u l a r t o B C

S o l u t i o n 1 . ( D u e t o W o n g C h u n W a i ) S e t t h e o r i g i n a t N a n d t

x - a x i s o n l i n e N O L e t t h e e q u a t i o n o f l i n e A B b e y = a x + b ; t h

t h e e q u a t i o n o f l i n e s A C a n d P O a r e y = a x b a n d y =

1

a

x +

r e s p e c t i v e l y . L e t t h e e q u a t i o n o f B C b e y = c x T h e n B h a s c

o r d i n a t e s (

b

c a

;

b c

c a

) ; C h a s c o o r d i n a t e s (

b

c + a

;

b c

c + a

) ; M h

c o o r d i n a t e s (

a b

c

2

a

2

;

a b c

c

2

a

2

) ; A h a s c o o r d i n a t e s (

b

a

; 0 ) ; O h a s c

o r d i n a t e s ( a b ; 0 ) a n d Q h a s c o o r d i n a t e s ( 0 ;

a b

c

) T h e n B C h a s s l o p e

a n d Q O h a s s l o p e

1

c

T h e r e f o r e , Q O ? B C

S o l u t i o n 2 . ( D u e t o P o o n W a i H o i ) T h e c a s e A B = A C i s c l e a

W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e m a y a s s u m e A B > A C : L e t A N i n t e r s e

t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 A B C a t D T h e n

6

D B C =

6

D A C =

1

2

6

B A C =

6

D A B =

6

D C B :

S o D B = D C a n d M D ? B C

W i t h A a s t h e c e n t e r o f h o m o t h e t y , s h r i n k D t o O ; B t o B

0

a n d

t o C

0

T h e n

6

O B

0

C

0

=

1

2

6

B A C =

6

O C

0

B

0

a n d B C k B

0

C

0

L e t B

0

c u t P N a t K T h e n

6

O B

0

K =

6

D A B =

6

O P K : S o P ; B

0

; O ; K a

c o n c y c l i c . H e n c e

6

B

0

K O =

6

B

0

P O = 9 0

a n d s o B

0

K = C

0

K S i n

9 0

B C k B

0

C

0

; t h i s i m p l i e s A ; K ; M a r e c o l l i n e a r . T h e r e f o r e , K = Q

S i n c e

6

B

0

K O = 9 0

a n d B C k B

0

C

0

; w e g e t Q O ? B C

d i s t i n c t p o i n t s K a n d N ; r e s p e c t i v e l y . T h e c i r c u m c i r c l e s o f t r i a n g l

A B C a n d K B N i n t e r s e c t a t e x a c t l y t w o d i s t i n c t p o i n t s B a n d M



9 5 . L e t B B

0

a n d C C

0

b e a l t i t u d e s o f t r i a n g l e A B C : A s s u m e t h a t A B 6 =

A C L e t M b e t h e m i d p o i n t o f B C ; H t h e o r t h o c e n t e r o f A B C a n d D

t h e i n t e r s e c t i o n o f B

0

C

0

a n d B C P r o v e t h a t D H ? A M

S o l u t i o n . L e t A

0

b e t h e f o o t o f t h e a l t i t u d e f r o m A t o B C S i n c e

A

0

; B

0

; C

0

M l i e o n t h e n i n e - p o i n t c i r c l e o f 4 A B C ; s o b y t h e i n t e r s e c t i n g

c h o r d t h e o r e m , D B

0

D C

0

= D A

0

D M S i n c e

6

A C

0

H = 9 0

=

6

A B

0

H ;

p o i n t s A ; C

0

; H ; B

0

l i e o n a c i r c l e

1

w i t h t h e m i d p o i n t X o f A H a s

c e n t e r . S i n c e

6

H A

0

M = 9 0

; s o t h e c i r c l e

2

t h r o u g h H ; A

0

; M h a s

t h e m i d p o i n t Y o f H M a s c e n t e r . S i n c e D B

0

D C

0

= D A

0

D M ; t h e

p o w e r s o f D w i t h r e s p e c t t o

1

a n d

2

a r e t h e s a m e . S o D ( a n d H )

a r e o n t h e r a d i c a l a x i s o f

1

;

2

T h e n D H ? X Y B y t h e m i d p o i n t

t h e o r e m , X Y k A M T h e r e f o r e , D H ? A M

9 6 . ( 1 9 9 6 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t ) T h e s e m i c i r c l e w i t h s i d e B C o f

4 A B C a s d i a m e t e r i n t e r s e c t s s i d e s A B ; A C a t p o i n t s D ; E ; r e s p e c -

t i v e l y . L e t F ; G b e t h e f e e t o f t h e p e r p e n d i c u l a r s f r o m D ; E t o s i d e

B C r e s p e c t i v e l y . L e t M b e t h e i n t e r s e c t i o n o f D G a n d E F P r o v e t h a t

A M ? B C

S o l u t i o n . L e t H b e t h e f o o t o f t h e p e r p e n d i c u l a r f r o m A t o B C N o w

6

B D C = 9 0

=

6

B E C : S o D F = B D s i n B = B C c o s B s i n B a n d

s i m i l a r l y E G = B C c o s C s i n C N o w

G M

M D

=

E G

F D

=

c o s C s i n C

c o s B s i n B

=

c o s C

c o s B

A B

A C

S i n c e B H = A B c o s B ; H G = A E c o s C ; w e g e t

B H

H G

=

A B c o s B

A E c o s C

=

A C c o s B

A D c o s C

a n d

B H

H G

G M

M D

D A

A B

= 1

B y t h e c o n v e r s e o f M e n e l a u s ' t h e o r e m o n 4 B D G ; p o i n t s A ; M ; H a r e

c o l l i n e a r . T h e r e f o r e , A M ? B C

9 7 . ( 1 9 8 5 I M O ) A c i r c l e w i t h c e n t e r O p a s s e s t h r o u g h t h e v e r t i c e s A a n d

C o f t r i a n g l e A B C a n d i n t e r s e c t s t h e s e g m e n t s A B a n d A C a g a i n a t

9 1

P r o v e t h a t O M ? M B

S o l u t i o n . L e t C M i n t e r s e c t t h e c i r c l e w i t h c e n t e r O a t a p o i n t

S i n c e

6

B M C = 1 8 0

6

B A C = 1 8 0

6

K A C =

6

K L C ; s o B M

p a r a l l e l t o K L N o w

6

L K M =

6

L K N +

6

N K M =

6

L C N +

6

N B M

= 1 8 0

6

B M C =

6

B A C =

6

K L M :

T h e n K M = L M S i n c e K O = L O ; s o O M ? K L H e n c e O M ? B M

9 8 . ( 1 9 9 7 C h i n e s e S e n o i r H i g h M a t h C o m p e t i t i o n ) A c i r c l e w i t h c e n t e r

i s i n t e r n a l l y t a n g e n t t o t w o c i r c l e s i n s i d e i t a t p o i n t s S a n d T S u p p o

t h e t w o c i r c l e s i n s i d e i n t e r s e c t a t M a n d N w i t h N c l o s e r t o S T S h o

t h a t O M ? M N i f a n d o n l y i f S ; N ; T a r e c o l l i n e a r .

S o l u t i o n . ( D u e t o L e u n g W a i Y i n g ) C o n s i d e r t h e t a n g e n t l i n e s a t

a n d a t T ( S u p p o s e t h e y a r e p a r a l l e l , t h e n S ; O ; T w i l l b e c o l l i n e a r

t h a t M a n d N w i l l b e e q u i d i s t a n t f r o m S T ; c o n t r a d i c t i n g N i s c l o s

t o S T ) L e t t h e t a n g e n t l i n e s m e e t a t K ; t h e n

6

O S K = 9 0

=

6

O T

i m p l i e s O ; S ; K ; T l i e o n a c i r c l e w i t h d i a m e t e r O K A l s o , K S

2

= K T

i m p l i e s K i s o n t h e r a d i c a l a x i s M N o f t h e t w o i n s i d e c i r c l e s .

M ; N ; K a r e c o l l i n e a r .

I f S ; N ; T a r e c o l l i n e a r , t h e n

6

S M T =

6

S M N +

6

T M N =

6

N S K +

6

K T N = 1 8 0

6

S K T :

S o M ; S ; K ; T ; O a r e c o n c y c l i c . T h e n

6

O M N =

6

O M K =

6

O S K

9 0

C o n v e r s e l y , i f O M ? M N ; t h e n

6

O M K = 9 0

=

6

O S K i m p l i

M ; S ; K ; T ; O a r e c o n c y c l i c . T h e n

6

S K T = 1 8 0

6

S M T

= 1 8 0

6

S M N

6

T M N

= 1 8 0

6

N S K

6

K T N :

9 2

T h u s ,

6

T N S = 3 6 0

6

N S K

6

S K T

6

K T N = 1 8 0

T h e r e f o r e ,

S ; N ; T a r e c o l l i n e a r .

S o l u t i o n . ( D u e t o L a u L a p M i n g ) S i n c e

6

A B Q =

6

C B Q ; w e h a

A Q = C Q B y c o s i n e l a w ,



9 9 A D ; B E ; C F a r e t h e a l t i t u d e s o f 4 A B C : L i n e s E F ; F D ; D E m e e t l i n e s

B C ; C A ; A B i n p o i n t s L ; M ; N ; r e s p e c t i v e l y . S h o w t h a t L ; M ; N a r e

c o l l i n e a r a n d t h e l i n e t h r o u g h t h e m i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e j o i n i n g

t h e o r t h o c e n t e r H a n d c i r c u m c e n t e r O o f 4 A B C :

S o l u t i o n . S i n c e

6

A D B = 9 0

=

6

A E B ; A ; B ; D ; E a r e c o n c y c l i c . B y

t h e i n t e r s e c t i n g c h o r d t h e o r e m , N A N B = N D N E S o t h e p o w e r o f

N w i t h r e s p e c t t o t h e c i r c u m c i r c l e s o f 4 A B C ; 4 D E F a r e t h e s a m e .

H e n c e N i s o n t h e r a d i c a l a x i s o f t h e s e c i r c l e s . S i m i l a r l y , L ; M a r e a l s o

o n t h i s r a d i c a l a x i s . S o L ; M ; N a r e c o l l i n e a r .

S i n c e t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 D E F i s t h e n i n e - p o i n t c i r c l e o f 4 A B C ;

t h e c e n t e r N o f t h e n i n e - p o i n t c i r c l e i s t h e m i d p o i n t o f H a n d O S i n c e

t h e r a d i c a l a x i s i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e o f c e n t e r s O a n d N ; s o t h e

l i n e t h r o u g h L ; M ; N i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e H O

G e o m e t r i c I n e q u a l i t i e s , M a x i m u m / M i n i m u m

1 0 0 . ( 1 9 7 3 I M O ) L e t P

1

; P

2

; ; P

2 n + 1

b e d i s t i n c t p o i n t s o n s o m e h a l f o f

t h e u n i t c i r c l e c e n t e r e d a t t h e o r i g i n O S h o w t h a t

j

!

O P

1

+

!

O P

2

+ +

!

O P

2 n + 1

j 1

S o l u t i o n . W h e n n = 0 ; t h e n j

!

O P

1

j = 1 S u p p o s e t h e c a s e n = k i s t r u e .

F o r t h e c a s e n = k + 1 ; w e m a y a s s u m e P

1

; P

2

; ; P

2 k + 3

a r e a r r a n g e d

c l o c k w i s e . L e t

!

O R =

!

O P

2

+ +

!

O P

2 k + 2

a n d

!

O S =

!

O P

1

+

!

O P

2 k + 3

B y t h e c a s e n = k ; j

!

O R j 1 A l s o ,

!

O R l i e s i n s i d e

6

P

1

O P

2 k + 3

S i n c e

j

!

O P

1

j = 1 = j

!

O P

2 k + 3

j ; O S b i s e c t s

6

P

1

O P

2 k + 3

H e n c e

6

R O S 9 0

T h e n j

!

O P

1

+ +

!

O P

2 k + 3

j = j

!

O R +

!

O S j j

!

O R j 1

1 0 1 . L e t t h e a n g l e b i s e c t o r s o f

6

A ;

6

B ;

6

C o f t r i a n g l e A B C i n t e r s e c t i t s

c i r c u m c i r c l e a t P ; Q ; R ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t

A P + B Q + C R > B C + C A + A B

9 3

A Q

2

= A B

2

+ B Q

2

2 A B B Q c o s

6

A B Q

C Q

2

= C B

2

+ B Q

2

2 C B B Q c o s

6

C B Q :

I f A B 6 = C B ; t h e n s u b t r a c t i n g t h e s e a n d s i m p l i f y i n g , w e g e t A B

C B = 2 B Q c o s

6

A B Q < 2 B Q I f A B = C B ; t h e n B Q i s a d i a m e t

a n d w e a g a i n g e t A B + C B = 2 A B < 2 B Q S i m i l a r l y , B C + A C < 2 C

a n d C A + B A < 2 A P A d d i n g t h e s e i n e q u a l i t i e s a n d d i v i d i n g b y 2 , w

g e t t h e d e s i r e d i n e q u a l i t y

1 0 2 . ( 1 9 9 7 A P M O ) L e t A B C b e a t r i a n g l e i n s c r i b e d i n a c i r c l e a n d l e t l

a

m

a

= M

a

; l

b

= m

b

= M

b

; l

c

= m

c

= M

c

; w h e r e m

a

; m

b

; m

c

a r e t h e l e n g t

o f t h e a n g l e b i s e c t o r s ( i n t e r n a l t o t h e t r i a n g l e ) a n d M

a

; M

b

; M

c

a

t h e l e n g t h s o f t h e a n g l e b i s e c t o r s e x t e n d e d u n t i l t h e y m e e t t h e c i r c

P r o v e t h a t

l

a

s i n

2

A

+

l

b

s i n

2

B

+

l

c

s i n

2

C

3 ;

a n d t h a t e q u a l i t y h o l d s i A B C i s e q u i l a t e r a l .

S o l u t i o n . ( D u e t o F u n g H o Y i n ) L e t A

0

b e t h e p o i n t t h e a n g l e b i s e c t

o f

6

A e x t e n d e d t o m e e t t h e c i r c l e . A p p l y i n g s i n e l a w t o 4 A B A

0

; w

g e t A B = s i n C = M

a

= s i n ( B +

A

2

) A p p l y i n g s i n e l a w t o 4 A B D ; w e g

A B = s i n ( C +

A

2

) = m

a

= s i n B S o

l

a

=

m

a

M

a

=

s i n B s i n C

s i n ( B +

A

2

) s i n ( C +

A

2

)

s i n B s i n C

B y t h e A M - G M i n e q u a l i t y ,

l

a

s i n

2

A

+

l

b

s i n

2

B

+

l

c

s i n

2

C

s i n B s i n C

s i n

2

A

+

s i n C s i n A

s i n

2

B

+

s i n A s i n B

s i n

2

C

w i t h e q u a l i t y i f a n d o n l y i f s i n A = s i n B = s i n C a n d C +

A

2

= B +

A

2

= 9 0

; w h i c h i s e q u i v a l e n t t o

6

A =

6

B =

6

C

9 4

1 0 3 . ( M a t h e m a t i c s M a g a z i n e , P r o b l e m 1 5 0 6 ) L e t I a n d O b e t h e i n c e n -

t e r a n d c i r c u m c e n t e r o f 4 A B C ; r e s p e c t i v e l y . A s s u m e 4 A B C i s n o t

1 0 5 . P o i n t P i s i n s i d e 4 A B C : D e t e r m i n e p o i n t s D o n s i d e A B a n d E

s i d e A C s u c h t h a t B D = C E a n d P D + P E i s m i n i m u m .



e q u i l a t e r a l ( s o I 6 = O ) P r o v e t h a t

6

A I O 9 0

i f a n d o n l y i f 2 B C A B + C A

S o l u t i o n . ( D u e t o W o n g C h u n W a i ) L e t D b e t h e i n t e r s e c t i o n o f r a y A I

a n d t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 A B C : I t i s w e l l - k n o w n t h a t D C = D B = D I

( D C = D B b e c a u s e

6

C A D =

6

B A D a n d D B = D I b e c a u s e

6

B I D =

6

B A D +

6

A B I =

6

C A D +

6

C B I =

6

D B C +

6

C B I =

6

D B I : ) S i n c e

A B D C i s a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l , b y P t o l e m y ' s t h e o r e m , A D B C =

A B D C + A C D B = ( A B + A C ) D I T h e n D I = A D B C = ( A B + A C )

S i n c e 4 A O D i s i s o s c e l e s ,

6

A I O = 9 0

i f a n d o n l y i f D I A D = 2 ; w h i c h

i s e q u i v a l e n t t o 2 B C A B + A C

C o m m e n t s . I n t h e s o l u t i o n a b o v e , w e s e e

6

A I O = 9 0

i f a n d o n l y i f

2 B C = A B + A C A l s o , t h e c o n v e r s e o f t h e w e l l - k n o w n f a c t i s t r u e ,

i . e . t h e p o i n t I o n A D s u c h t h a t D C = D B = D I i s t h e i n c e n t e r o f

4 A B C : T h i s i s b e c a u s e

6

B I D =

6

D B I i f a n d o n l y i f

6

C B I =

6

A B I ;

s i n c e

6

D B C =

6

B A D a l w a y s . )

1 0 4 . S q u a r e s A B D E a n d A C F G a r e d r a w n o u t s i d e 4 A B C : L e t P ; Q b e

p o i n t s o n E G s u c h t h a t B P a n d C Q a r e p e r p e n d i c u l a r t o B C P r o v e

t h a t B P + C Q B C + E G W h e n d o e s e q u a l i t y h o l d ?

S o l u t i o n . L e t M ; N ; O b e m i d p o i n t s o f B C ; P Q ; E G ; r e s p e c t i v e l y . L e t

H b e t h e p o i n t s o t h a t H E A G i s a p a r a l l e l o g r a m . T r a n s l a t i n g b y

!

G A ;

t h e n r o t a t i n g b y 9 0

a b o u t A ; 4 G H A w i l l c o i n c i d e w i t h 4 A B C a n d O

w i l l m o v e t o M S o H A = B C ; H A ? B C ; O E = O G = M A ; E G ?

M A L e t L b e o n M N s u c h t h a t A L k E G S i n c e N L k P B ; P B ?

B C ; B C ? H A ; s o L N O A i s a p a r a l l e l o g r a m . T h e n A O = L N S i n c e

M A ? E G ; s o M A ? A L ; w h i c h i m p l i e s M L M A T h e r e f o r e

B P + C Q = 2 M N = 2 ( L N + M L )

2 ( A O + M A ) = 2 ( B M + O E ) = B C + E G

E q u a l i t y h o l d s i f a n d o n l y i f L c o i n c i d e s w i t h A ; i . e . A B = A C

9 5

S o l u t i o n . T h e m i n i m u m i s a t t a i n e d w h e n A D P E i s a c y c l i c q u a d

l a t e r a l . T o s e e t h i s , c o n s i d e r t h e p o i n t G s u c h t h a t G l i e s o n t

o p p o s i t e s i d e o f l i n e A C a s B ;

6

A B P =

6

A C G a n d C G = B

L e t E b e t h e i n t e r s e c t i o n o f l i n e s A C a n d P G L e t D b e t h e i

t e r s e c t i o n o f A B w i t h t h e c i r c u m c i r c l e o f A P E : S i n c e A D P E i s

c y c l i c q u a d r i l a t e r a l ,

6

B D P =

6

A E P =

6

C E G : U s i n g t h e d e n

t i o n o f G ; w e h a v e 4 B D P ; 4 C E G a r e c o n g r u e n t . S o B D = C E a n

P D + P E = G E + P E = G P

F o r o t h e r D

0

; E

0

o n s i d e s A B ; A C ; r e s p e c t i v e l y s u c h t h a t B D

0

C E

0

; b y t h e d e n i t i o n o f G ; w e h a v e 4 B P D

0

; 4 C G E

0

a r e c o n g r u e n

T h e n P D

0

= G E

0

a n d P D

0

+ P E

0

= G E

0

+ P E

0

> G P

S o l i d o r S p a c e G e o m e t r y

1 0 6 . ( P r o p o s e d b y I t a l y f o r 1 9 6 7 I M O ) W h i c h r e g u l a r p o l y g o n s c a n b e o

t a i n e d ( a n d h o w ) b y c u t t i n g a c u b e w i t h a p l a n e ?

S o l u t i o n . ( D u e t o F a n W a i T o n g , K e e W i n g T a o a n d T a m S i u L u n

O b s e r v e t h a t i f t w o s i d e s o f a p o l y g o n i s o n a f a c e o f t h e c u b e , t h

t h e w h o l e p o l y g o n l i e s o n t h e f a c e . S i n c e a c u b e h a s 6 f a c e s , o n

r e g u l a r p o l y g o n w i t h 3 , 4 , 5 o r 6 s i d e s a r e p o s s i b l e . L e t t h e v e r t i c

o f t h e b o t t o m f a c e o f t h e c u b e b e A ; B ; C ; D a n d t h e v e r t i c e s o n t

t o p f a c e b e A

0

; B

0

; C

0

; D

0

w i t h A

0

o n t o p o f A ; B

0

o n t o p o f B a n d

o n . T h e n t h e p l a n e t h r o u g h A ; B

0

; D

0

c u t s a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e . T

p e r p e n d i c u l a r b i s e c t i n g p l a n e t o e d g e A A

0

c u t s a s q u a r e . T h e p l a

t h r o u g h t h e m i d p o i n t s o f e d g e s A B ; B C ; C C

0

; C

0

D

0

; D

0

A

0

; A

0

A c u t s

r e g u l a r h e x a g o n . F i n a l l y , a r e g u l a r p e n t a g o n i s i m p o s s i b l e , o t h e r w i

t h e v e s i d e s w i l l b e o n v e f a c e s o f t h e c u b e i m p l y i n g t w o o f t

s i d e s a r e o n p a r a l l e l p l a n e s , b u t n o t w o s i d e s o f a r e g u l a r p e n t a g o n a

p a r a l l e l

1 0 7 . ( 1 9 9 5 I s r a e l i M a t h O l y m p i a d ) F o u r p o i n t s a r e g i v e n i n s p a c e , i n g e n e r

p o s i t i o n ( i e , t h e y a r e n o t c o p l a n a r a n d a n y t h r e e a r e n o t c o l l i n e a

9 6

A p l a n e i s c a l l e d a n e q u a l i z i n g p l a n e i f a l l f o u r p o i n t s h a v e t h e s a m e

d i s t a n c e f r o m F i n d t h e n u m b e r o f e q u a l i z i n g p l a n e s .

S o l u t i o n s t o N u m b e r T h e o r y P r o b l e m s



S o l u t i o n . T h e f o u r p o i n t s c a n n o t a l l l i e o n o n e s i d e o f a n e q u a l i z i n g

p l a n e , o t h e r w i s e t h e y w o u l d l i e i n a p l a n e p a r a l l e l t o t h e e q u a l i z i n g

p l a n e H e n c e e i t h e r t h r e e l i e o n o n e s i d e a n d o n e o n t h e o t h e r o r t w o

l i e o n e a c h s i d e . I n t h e f o r m e r c a s e , t h e r e i s e x a c t l y o n e e q u a l i z i n g

p l a n e , w h i c h i s p a r a l l e l t o t h e p l a n e P c o n t a i n i n g t h e t h r e e p o i n t s a n d

p a s s i n g t h r o u g h t h e m i d p o i n t o f t h e s e g m e n t j o i n i n g t h e f o u r t h p o i n t x

a n d t h e f o o t o f t h e p e r p e n d i c u l a r f r o m x t o P I n t h e l a t t e r c a s e , a g a i n

t h e r e i s e x a c t l y o n e e q u a l i z i n g p l a n e . T h e t w o p a i r o f p o i n t s d e t e r m i n e

t w o s k e w l i n e s i n s p a c e . C o n s i d e r t h e t w o p l a n e s , e a c h c o n t a i n i n g o n e

o f t h e l i n e a n d i s p a r a l l e l t o t h e o t h e r l i n e . T h e e q u a l i z i n g p l a n e i s

t h e p l a n e m i d w a y b e t w e e n t h e s e t w o p l a n e . S i n c e t h e r e a r e 4 + 3 = 7

w a y s o f d i v i d i n g t h e f o u r p o i n t s i n t o t h e s e t w o c a s e s , t h e r e a r e e x a c t l y

7 e q u a l i z i n g p l a n e s .

9 7

D i g i t s

1 0 8 . ( 1 9 5 6 P u t n a m E x a m ) P r o v e t h a t e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r h a s a m u l t i p

w h o s e d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n i n v o l v e s a l l t e n d i g i t s .

S o l u t i o n . L e t n b e a p o s i t i v e i n t e g e r a n d p = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 0

k

; w h e

k i s s o l a r g e t h a t 1 0

k

> n T h e n t h e n c o n s e c u t i v e i n t e g e r s p + 1 ; p

2 ; ; p + n h a v e d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n s b e g i n n i n g w i t h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

a n d o n e o f t h e m i s a m u l t i p l e o f n

1 0 9 . D o e s t h e r e e x i s t a p o s i t i v e i n t e g e r a s u c h t h a t t h e s u m o f t h e d i g

( i n b a s e 1 0 ) o f a i s 1 9 9 9 a n d t h e s u m o f t h e d i g i t s ( i n b a s e 1 0 ) o f a

2

1 9 9 9

2

?

S o l u t i o n . Y e s . I n f a c t , t h e r e i s s u c h a n u m b e r w h o s e d i g i t s c o n s i s t

0 ' s a n d 1 ' s . L e t k = 1 9 9 9 C o n s i d e r a = 1 0

2

1

+ 1 0

2

2

+ + 1 0

2

k

T h

t h e s u m o f t h e d i g i t s o f a i s k N o w

a

2

= 1 0

2

2

+ 1 0

2

3

+ + 1 0

2

k + 1

+ 2

X

1 i < j k

1 0

2

i

+ 2

j

O b s e r v e t h a t t h e e x p o n e n t a r e a l l d i e r e n t b y t h e u n i q u e n e s s o f b a

2 r e p r e s e n t a t i o n . T h e r e f o r e , t h e s u m o f t h e d i g i t s o f a

2

i n b a s e 1 0

k + 2 C

k

2

= k

2

1 1 0 . ( P r o p o s e d b y U S S R f o r 1 9 9 1 I M O ) L e t a

n

b e t h e l a s t n o n z e r o d i g

i n t h e d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e n u m b e r n ! . D o e s t h e s e q u e n

a

1

; a

2

; ; a

n

; b e c o m e p e r i o d i c a f t e r a n i t e n u m b e r o f t e r m s ?

S o l u t i o n . S u p p o s e a f t e r N t e r m s , t h e s e q u e n c e b e c o m e s p e r i o d i c w i

p e r i o d T T h e n a

i + j T

= a

i

f o r i N ; j = 1 ; 2 ; 3 : : : : B y t h e p i g e o n h o

p r i n c i p l e , t h e r e a r e t w o n u m b e r s a m o n g 1 0

N + 1

; 1 0

N + 2

; 1 0

N + 3

; t h

h a v e t h e s a m e r e m a i n d e r w h e n d i v i d e d b y T ; s a y 1 0

m

1 0

k

( m o d T

w i t h N < m < k : T h e n 1 0

k

1 0

m

= j T f o r s o m e i n t e g e r j

9 8

O b s e r v e t h a t 1 0

k

! = 1 0

k

( 1 0

k

1 ) ! i m p l i e s a

1 0

k = a

1 0

k

1

L e t

n = 1 0

k

1 + j T S i n c e 1 0

k

1 N ; a

n + 1

= a

1 0

k

+ j T

= a

1 0

k

1 + j T

= a

n

k m

1 1 3 . ( 1 9 9 5 C z e c h - S l o v a k M a t c h ) L e t a

1

; a

2

; b e a s e q u e n c e s a t i s f y i n g a

1

2 ; a

2

= 5 a n d

2 2



S i n c e ( n + 1 ) ! = ( 2 1 0 1 0 ) ( n ! ) = 1 9 9 9 0 0 ( n ! ) ; s o 9 a

n

=

9 a

n 1

a

n

( m o d 1 0 ) T h i s i m p l i e s a

n

= 5 H o w e v e r , i n t h e p r i m e

f a c t o r i z a t i o n o f n ! ; t h e e x p o n e n t o f 2 i s g r e a t e r t h a n t h e e x p o n e n t o f

5 , w h i c h i m p l i e s a

n

i s e v e n , a c o n t r a d i c t i o n .

M o d u l o A r i t h m e t i c

1 1 1 . ( 1 9 5 6 P u t n a m E x a m ) P r o v e t h a t t h e n u m b e r o f o d d b i n o m i a l c o e -

c i e n t s i n a n y r o w o f t h e P a s c a l t r i a n g l e i s a p o w e r o f 2 .

S o l u t i o n . B y i n d u c t i o n , ( 1 + x )

2

m

1 + x

2

m

( m o d 2 ) I f w e w r i t e n

i n b a s e 2 , s a y n = 2

a

1

+ 2

a

2

+ + 2

a

k

; w h e r e t h e a

i

' s a r e d i s t i n c t

n o n n e g a t i v e i n t e g e r s , t h e n

( 1 + x )

n

= ( 1 + x )

2

a

1

( 1 + x )

2

a

k

( 1 + x

2

a

1

) ( 1 + x

2

a

k

) ( m o d 2 )

I n e x p a n d i n g t h e e x p r e s s i o n i n f r o n t o f ( m o d 2 ) , w e g e t t h e s u m o f x

n

S

;

w h e r e f o r e a c h s u b s e t S o f f 1 ; 2 ; ; k g ; n

S

=

X

i 2 S

2

a

i

S i n c e t h e r e a r e 2

k

s u b s e t s o f f 1 ; 2 ; ; k g ; t h e r e a r e e x a c t l y 2

k

t e r m s , e a c h w i t h c o e c i e n t

1 . T h i s i m p l i e s t h e r e a r e e x a c t l y 2

k

o d d b i n o m i a l c o e c i e n t s i n t h e

n - t h r o w o f t h e P a s c a l t r i a n g l e .

1 1 2 . L e t a

1

; a

2

; a

3

; ; a

1 1

a n d b

1

; b

2

; b

3

; ; b

1 1

b e t w o p e r m u t a t i o n s o f t h e

n a t u r a l n u m b e r s 1 ; 2 ; 3 ; ; 1 1 S h o w t h a t i f e a c h o f t h e n u m b e r s a

1

b

1

;

a

2

b

2

; a

3

b

3

; ; a

1 1

b

1 1

i s d i v i d e d b y 1 1 , t h e n a t l e a s t t w o o f t h e m w i l l

h a v e t h e s a m e r e m a i n d e r .

S o l u t i o n . S u p p o s e a

1

b

1

; a

2

b

2

; ; a

1 1

b

1 1

h a v e d i s t i n c t r e m a i n d e r s w h e n

d i v i d e d b y 1 1 . B y s y m m e t r y , w e m a y a s s u m e a

1

b

1

0 ( m o d 1 1 ) L e t

x = ( a

2

b

2

) ( a

1 1

b

1 1

) O n o n e h a n d , x 1 0 ! 1 0 ( m o d 1 1 ) O n t h e

o t h e r h a n d , s i n c e a

i

b

i

6 0 ( m o d 1 1 ) ; f o r i = 2 ; ; 1 1 ; w e g e t a

1

=

1 1 = b

1

S o x = ( a

2

a

1 1

) ( b

2

b

1 1

) = ( 1 0 ! )

2

1 0

2

1 ( m o d 1 1 ) ; a

c o n t r a d i c t i o n .

9 9

a

n + 2

= ( 2 n ) a

n + 1

+ ( 2 + n ) a

n

f o r a l l n 1 D o t h e r e e x i s t i n d i c e s p ; q a n d r s u c h t h a t a

p

a

q

= a

r

?

S o l u t i o n . ( D u e t o L a u L a p M i n g ) T h e r s t f e w t e r m s a r e 2 ; 5 ; 1 1 ; 8 ; 6

7 6 6 ; S i n c e t h e d i e r e n c e s o f c o n s e c u t i v e t e r m s a r e m u l t i p l e s o f

w e s u s p e c t a

n

2 ( m o d 3 ) f o r a l l n C l e a r l y , a

1

; a

2

2 ( m o d 3 )

a

n

; a

n + 1

2 ( m o d 3 ) ; t h e n

a

n + 2

( 2 n

2

) 2 + ( 2 + n

2

) 2 = 8 2 ( m o d 3 )

S o b y i n d u c t i o n , a l l a

n

2 ( m o d 3 ) T h e n a

p

a

q

6 = a

r

f o r a l l p ; q ; r

4 6 2 ( m o d 3 )

P r i m e F a c t o r i z a t i o n

1 1 4 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 2 6 8 4 ) L e t A

n

b e t h e s

o f p o s i t i v e i n t e g e r s w h i c h a r e l e s s t h a n n a n d a r e r e l a t i v e l y p r i m e t o

F o r w h i c h n > 1 ; d o t h e i n t e g e r s i n A

n

f o r m a n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o

S o l u t i o n . S u p p o s e A

n

i s a n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n . I f n i s o d d a n

n 3 ; t h e n 1 ; 2 2 A

n

i m p l i e s A

n

= f 1 ; 2 ; ; n 1 g ; w h i c h i m p l i e s n

p r i m e I f n i s e v e n a n d n o t d i v i s i b l e b y 3 , t h e n 1 ; 3 2 A

n

; 2 6 2 A

n

i m p

A

n

= f 1 ; 3 ; 5 ; ; n 1 g ; w h i c h i m p l i e s n i s a p o w e r o f 2 . F i n a l l y ,

n i s e v e n a n d d i v i s i b l e b y 3 , t h e n l e t p b e t h e s m a l l e s t p r i m e n

d i v i d i n g n E i t h e r p 1 ( m o d 6 ) o r p 5 ( m o d 6 ) I n t h e f o r m

c a s e , s i n c e 1 ; p a r e t h e r s t t w o e l e m e n t s o f A

n

a n d n 1 2 A

n

;

1 + k ( p 1 ) = n 1 f o r s o m e k T h i s i m p l i e s n 2 ( m o d 6 ) ;

c o n t r a d i c t i o n . S o p 5 ( m o d 6 ) T h e n 2 p 1 i s d i v i s i b l e b y 3 a

s o 2 p 1 6 2 A

n

C o n s e q u e n t l y , A

n

= f 1 ; p g ; w h i c h i m p l i e s n = 6 b

c o n s i d e r i n g t h e p r i m e f a c t o r i z a t i o n o f n T h e r e f o r e , A

n

i s a n a r i t h m e

p r o g r e s s i o n i f a n d o n l y i f n i s a p r i m e , a p o w e r o f 2 o r n = 6

1 1 5 . ( 1 9 7 1 I M O ) P r o v e t h a t t h e s e t o f i n t e g e r s o f t h e f o r m 2

k

3 ( k

2 ; 3 ; ) c o n t a i n s a n i n n i t e s u b s e t i n w h i c h e v e r y t w o m e m b e r s a

r e l a t i v e l y p r i m e .

1 0 0

S o l u t i o n . W e s h a l l g i v e a r e c i p e f o r a c t u a l l y c o n s t r u c t i n g a n i n n i t e

s e t o f i n t e g e r s o f t h e f o r m a

i

= 2

k

i

3 ; i = 1 ; 2 ; ; e a c h r e l a t i v e l y

2

3 , n o n u m b e r i n S

2 4 2

i s t h e p r o d u c t o f m o r e t h a n f o u r \ p r i m e s " . P

a l l t h e \ p r i m e s " a n d n u m b e r s t h a t c a n b e w r i t t e n a s p r o d u c t s o f f o



p r i m e t o a l l t h e o t h e r s L e t a

1

= 2 3 = 1 S u p p o s e w e h a v e n p a i r w i s e

r e l a t i v e l y p r i m e n u m b e r s a

1

= 2

k

1

3 ; a

2

= 2

k

2

3 ; ; a

n

= 2

k

n

3

W e f o r m t h e p r o d u c t s = a

1

a

2

a

n

; w h i c h i s o d d . N o w c o n s i d e r t h e

s + 1 n u m b e r s 2

0

; 2

1

; 2

2

; ; 2

s

A t l e a s t t w o o f t h e s e w i l l b e c o n g r u e n t

( m o d s ) , s a y 2

2

( m o d s ) ; o r e q u i v a l e n t l y 2

( 2

1 ) = m s

f o r s o m e i n t e g e r m T h e o d d n u m b e r s d o e s n o t d i v i d e 2

; s o i t m u s t

d i v i d e 2

1 ; h e n c e 2

1 = l s f o r s o m e i n t e g e r l S i n c e 2

1

i s d i v i s i b l e b y s a n d s i s o d d , 2

3 i s r e l a t i v e l y p r i m e t o s T h i s

i m p l i e s 2

3 6 = 2

k

i

3 f o r i = 1 ; 2 ; ; n S o w e m a y d e n e a

n + 1

=

2

3 T h i s i n d u c t i v e c o n s t r u c t i o n c a n b e r e p e a t e d t o f o r m a n i n n i t e

s e q u e n c e .

C o m m e n t s . B y E u l e r ' s t h e o r e m , w e m a y t a k e t h e e x p o n e n t t o b e

( s ) ; t h e E u l e r - f u n c t i o n o f s ; w h i c h e q u a l s t h e n u m b e r o f p o s i t i v e i n -

t e g e r s l e s s t h a n s t h a t a r e r e l a t i v e l y p r i m e t o s ; t h e n 2

( s )

1 ( m o d s )

1 1 6 . ( 1 9 8 8 C h i n e s e M a t h O l y m p i a d T r a i n i n g T e s t ) D e t e r m i n e t h e s m a l l e s t

v a l u e o f t h e n a t u r a l n u m b e r n > 3 w i t h t h e p r o p e r t y t h a t w h e n e v e r

t h e s e t S

n

= f 3 ; 4 ; ; n g i s p a r t i t i o n e d i n t o t h e u n i o n o f t w o s u b -

s e t s , a t l e a s t o n e o f t h e s u b s e t s c o n t a i n s t h r e e n u m b e r s a ; b a n d c ( n o t

n e c e s s a r i l y d i s t i n c t ) s u c h t h a t a b = c

S o l u t i o n . ( D u e t o L a m P e i F u n g ) W e r s t s h o w t h a t 3

5

= 2 4 3 h a s t h e

p r o p e r t y , t h e n w e w i l l s h o w i t i s t h e l e a s t s o l u t i o n

S u p p o s e S

2 4 3

i s p a r t i t i o n e d i n t o t w o s u b s e t s X

1

; X

2

W i t h o u t l o s s

o f g e n e r a l i t y , l e t 3 b e i n X

1

I f 3

2

= 9 i s i n X

1

; t h e n w e a r e d o n e .

O t h e r w i s e , 9 i s i n X

2

I f 9

2

= 8 1 i s i n X

2

; t h e n w e a r e d o n e . O t h e r w i s e ,

8 1 i s i n X

1

I f 8 1 = 3 = 2 7 i s i n X

1

; t h e n w e a r e d o n e . O t h e r w i s e , 2 7 i s

i n X

2

F i n a l l y , e i t h e r 3 8 1 = 2 4 3 i s i n X

1

o r 9 2 7 = 2 4 3 i s i n X

2

I n e i t h e r c a s e w e a r e d o n e .

T o s h o w 2 4 3 i s t h e s m a l l e s t , w e w i l l s h o w t h a t S

2 4 2

c a n b e p a r -

t i t i o n e d i n t o t w o s u b s e t s , e a c h o f w h i c h d o e s n o t c o n t a i n p r o d u c t s o f

i t s e l e m e n t s . D e n e C t o b e \ p r i m e " i n S

2 4 2

i f C i s n o t t h e p r o d u c t

o f e l e m e n t s o f S

2 4 2

T h e \ p r i m e s " i n S

2 4 2

c o n s i s t o f 4 ; 8 ; p ; 2 p w h e r e

p < 2 4 2 i s a u s u a l p r i m e n u m b e r . S i n c e t h e s m a l l e s t p r i m e i n S

2 4 2

i s

1 0 1

\ p r i m e s " i n o n e s u b s e t X

1

; a n d l e t X

2

= S

2 4 2

n X

1

N o p r o d u c t s i n X

2

a r e i n X

2

b e c a u s e n u m b e r s i n X

2

h a v e a t l e a

t w o \ p r i m e " f a c t o r s , s o t h e i r p r o d u c t s c a n b e w r i t t e n w i t h a t l e a s t f o

\ p r i m e " f a c t o r s . N e x t l o o k i n g a t t h e p r o d u c t o f 4 ; 8 ; p ; 2 p ( p o d d p r i m

< 2 4 2 ) , w e s e e t h a t a p r o d u c t o f t w o \ p r i m e s " c a n n o t b e f a c t o r e d i n

a p r o d u c t o f f o u r \ p r i m e s " . S o n o p r o d u c t s i n X

1

a r e i n X

1

B a s e n R e p r e s e n t a t i o n s

1 1 7 . ( 1 9 8 3 I M O ) C a n y o u c h o o s e 1 9 8 3 p a i r w i s e d i s t i n c t n o n n e g a t i v e i n t e g e

l e s s t h a n 1 0

5

s u c h t h a t n o t h r e e a r e i n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n ?

S o l u t i o n . W e c o n s i d e r t h e g r e e d y a l g o r i t h m f o r c o n s t r u c t i n g s u c h

s e q u e n c e : s t a r t w i t h 0 , 1 a n d a t e a c h s t e p a d d t h e s m a l l e s t i n t e g

w h i c h i s n o t i n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n w i t h a n y t w o p r e c e d i n g t e r m

W e g e t 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 9 ; 1 0 ; 1 2 ; 1 3 ; 2 7 ; 2 8 ; I n b a s e 3 , t h i s s e q u e n c e i s

0 ; 1 ; 1 0 ; 1 1 ; 1 0 0 ; 1 0 1 ; 1 1 0 ; 1 1 1 ; 1 0 0 0 ; 1 0 0 1 ;

( N o t e t h i s s e q u e n c e i s t h e n o n n e g a t i v e i n t e g e r s i n b a s e 2 ) S i n c e 1 9 8 2

b a s e 2 i s 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 , s o s w i t c h i n g t h i s f r o m b a s e 3 t o b a s e 1 0 , w e g

t h e 1 9 8 3 t h t e r m o f t h e s e q u e n c e i s 8 7 8 4 3 < 1 0

5

T o s e e t h i s s e q u e n

w o r k s , s u p p o s e x ; y ; z w i t h x < y < z a r e t h r e e t e r m s o f t h e s e q u e n

i n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n . C o n s i d e r t h e r i g h t m o s t d i g i t i n b a s e 3 w h e

x d i e r s f r o m y ; t h e n t h a t d i g i t f o r z i s a 2 , a c o n t r a d i c t i o n .

1 1 8 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m 2 4 8 6 ) L e t p b e a n o d

p r i m e n u m b e r a n d r b e a p o s i t i v e i n t e g e r n o t d i v i s i b l e b y p F o r a

p o s i t i v e i n t e g e r k , s h o w t h a t t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e i n t e g e r m s u c h t h

t h e r i g h t m o s t k d i g i t s o f m

r

; w h e n e x p r e s s e d i n t h e b a s e p ; a r e a l l 1

S o l u t i o n . W e p r o v e b y i n d u c t i o n o n k F o r k = 1 ; t a k e m = 1 N e x

s u p p o s e m

r

; i n b a s e p ; e n d s i n k 1 ' s , i . e .

m

r

= 1 + p + + p

k 1

+ ( a p

k

+ h i g h e r t e r m s )

1 0 2

C l e a r l y , g c d ( m ; p ) = 1 T h e n

( m + c p

k

)

r

= m

r

+ r m

r 1

c p

k

+ + c

r

p

k r

i

S o l u t i o n . ( D u e t o C h e u n g P o k M a n ) F o r o d d i n t e g e r n = 2 k + 1

n = k + ( k + 1 ) F o r e v e n i n t e g e r n 2 ; s u p p o s e n = m + ( m + 1 )

+ ( m + r ) = ( 2 m + r ) ( r + 1 ) = 2 w i t h m ; r 1 T h e n 2 m + r ; r + 1



= 1 + p + + p

k 1

+ ( a + r m

r 1

c ) p

k

+ h i g h e r t e r m s

S i n c e g c d ( m r ; p ) = 1 ; t h e c o n g r u e n c e a + r m

r 1

c 1 ( m o d p ) i s s o l v -

a b l e f o r c I f c

0

i s a s o l u t i o n , t h e n ( m + c

0

p

k

)

r

w i l l e n d i n ( k + 1 ) 1 ' s

a s r e q u i r e d .

1 1 9 . ( P r o p o s e d b y R o m a n i a f o r 1 9 8 5 I M O ) S h o w t h a t t h e s e q u e n c e f a

n

g

d e n e d b y a

n

= n

p

2 ] f o r n = 1 ; 2 ; 3 ; ( w h e r e t h e b r a c k e t s d e n o t e

t h e g r e a t e s t i n t e g e r f u n c t i o n ) c o n t a i n s a n i n n i t e n u m b e r o f i n t e g r a l

p o w e r s o f 2

S o l u t i o n . W r i t e

p

2 i n b a s e 2 a s b

0

b

1

b

2

b

3

: : : ; w h e r e e a c h b

i

= 0 o r 1 .

S i n c e

p

2 i s i r r a t i o n a l , t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y b

k

= 1 I f b

k

= 1 ; t h e n

i n b a s e 2 , 2

k 1

p

2 = b

0

b

k 1

b

k

L e t m = 2

k 1

p

2 ] ; t h e n

2

k 1

p

2 1 < 2

k 1

p

2 ] = m < 2

k 1

p

2

1

2

M u l t i p l y i n g b y

p

2 a n d a d d i n g

p

2 ; w e g e t 2

k

< ( m + 1 )

p

2 < 2

k

+

p

2

2

T h e n ( m + 1 )

p

2 ] = 2

k

R e p r e s e n t a t i o n s

1 2 0 . F i n d a l l ( e v e n ) n a t u r a l n u m b e r s n w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f

t w o o d d c o m p o s i t e n u m b e r s .

S o l u t i o n . L e t n 4 0 a n d d b e i t s u n i t s d i g i t . I f d = 0 ; t h e n n =

1 5 + ( n 1 5 ) w i l l d o . I f d = 2 ; t h e n n = 2 7 + ( n 2 7 ) w i l l d o . I f d = 4 ;

t h e n n = 9 + ( n 9 ) w i l l d o . I f d = 6 ; t h e n n = 2 1 + ( n 2 1 ) w i l l d o . I f

d = 8 ; t h e n n = 3 3 + ( n 3 3 ) w i l l d o . F o r n < 4 0 ; d i r e c t c h e c k i n g s h o w s

o n l y 1 8 = 9 + 9 ; 2 4 = 9 + 1 5 ; 3 0 = 9 + 2 1 ; 3 4 = 9 + 2 5 ; 3 6 = 9 + 2 7

c a n b e s o e x p r e s s e d .

1 2 1 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s w h i c h c a n n o t b e w r i t t e n a s t h e s u m o f t w o

o r m o r e c o n s e c u t i v e p o s i t i v e i n t e g e r s .

1 0 3

a n d o n e o f 2 m + r ; r + 1 i s o d d S o n m u s t h a v e a n o d d d i v i s o r g r e a t

t h a n 1 . I n p a r t i c u l a r , n = 2

j

; j = 0 ; 1 ; 2 ; ; c a n n o t b e w r i t t e n

t h e s u m o f c o n s e c u t i v e p o s i t i v e i n t e g e r s . F o r t h e o t h e r e v e n i n t e g e

n = 2

j

( 2 k + 1 ) w i t h j ; k 1 I f 2

j

> k ; t h e n n = ( 2

j

k ) + ( 2

j

k + 1 )

+ ( 2

j

+ k ) I f 2

j

k ; t h e n n = ( k 2

j

+ 1 ) + ( k 2

j

+ 2 ) + + ( k + 2

j

1 2 2 . ( P r o p o s e d b y A u s t r a l i a f o r 1 9 9 0 I M O ) O b s e r v e t h a t 9 = 4 + 5 = 2 + 3 +

I s t h e r e a n i n t e g e r N w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f 1 9 9 0 c o n s e c u t i

p o s i t i v e i n t e g e r s a n d w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f ( m o r e t h a n o n

c o n s e c u t i v e i n t e g e r s i n e x a c t l y 1 9 9 0 w a y s ?

S o l u t i o n . F o r s u c h N , w e h a v e N =

1 9 8 9

X

i = 0

( m + i ) = 9 9 5 ( 2 m + 1 9 8 9 )

N i s o d d a n d i s d i v i s i b l e b y 9 9 5 = 5 1 9 9 A l s o , t h e r e a r e e x a c t l y 1 9

p o s i t i v e i n t e g e r p a i r s ( n ; k ) s u c h t h a t N =

k

X

i = 0

( n + i ) =

( k + 1 ) ( n + 2 k

2

H e n c e 2 N c a n b e f a c t o r e d a s ( k + 1 ) ( 2 n + k ) i n e x a c t l y 1 9 9 0 w a y s ( N o

i f 2 N = a b w i t h 2 a < b ; t h e n n = ( 1 + b a ) = 2 ; k = a 1 ) T h

m e a n s 2 N h a s e x a c t l y 2 1 9 9 1 = 2 1 1 1 8 1 p o s i t i v e d i v i s o r s . N o

w r i t e 2 N i n p r i m e f a c t o r i z a t i o n a s 2 5

e

1

1 9 9

e

2

T h e n w e g

2 1 1 1 8 1 = 2 ( e

1

+ 1 ) ( e

2

+ 1 ) S o f e

1

; e

2

g = f 1 0 ; 1 8 0 g T h e r e f o r

N = 5

1 0

1 9 9

1 8 0

o r 5

1 8 0

1 9 9

1 0

A s a l l t h e s t e p s c a n b e r e v e r s e d , t h e

a r e t h e o n l y a n s w e r s .

1 2 3 . S h o w t h a t i f p > 3 i s p r i m e , t h e n p

n

c a n n o t b e t h e s u m o f t w o p o s i t i

c u b e s f o r a n y n 1 W h a t a b o u t p = 2 o r 3 ?

S o l u t i o n . S u p p o s e n i s t h e s m a l l e s t p o s i t i v e i n t e g e r s u c h t h a t p

n

i s t

s u m o f t w o p o s i t i v e c u b e s , s a y p

n

= a

3

+ b

3

= ( a + b ) ( a

2

a b + b

2

) T h

a + b = p

k

a n d a

2

a b + b

2

= p

n k

S i n c e a + b 2 ; s o k > 0 S i n

a

2

a b + b

2

a b > 1 ; s o n > k : N o w 3 a b = ( a + b )

2

( a

2

a b + b

2

)

p

2 k

p

n k

a n d 0 < k < n ; s o p j 3 a b S i n c e p > 3 ; s o p j a o r p j

S i n c e a + b = p

k

; s o p j a a n d p j b ; s a y a = p A a n d b = p B T h

A

3

+ B

3

= p

n 3

; c o n t r a d i c t i n g t h e s m a l l e s t p r o p e r t y o f n

1 0 4

F o r p = 2 ; s u p p o s e a

3

+ b

3

= 2

n

I f a + b > 2 ; t h e n 2 j a ; 2 j b a n d

(

a

2

)

3

+ (

b

2

)

3

= 2

n 3

S o a = b = 2

k

a n d n = 3 k + 1

3 3 n k 2 2

a

k

1

2

+ 2

2

+ + k

2

= k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) = 6 S o a

1 7

1 7 8 5 A l

a

k

1

2

+ 2

2

+ + k

2

( m o d 2 ) S i n c e 1

2

+ 2

2

+ + 1 8

2

i s o d

n 1 9 T o c o n s t r u c t s u c h a q u a d r a t i c s e q u e n c e w i t h n = 1 9 ; r s t n o



F o r p = 3 ; s u p p o s e a + b = 3 I f a + b = 3 a n d a a b + b =

3

n k

3

2

; t h e n 9 j 3 a b i m p l i e s 3 j a ; 3 j b a n d (

a

3

)

3

+ (

b

3

)

3

= 3

n 3

O t h e r w i s e w e h a v e 3 = a

2

a b + b

2

a b a n d t h e n a + b = 3 S o i n t h i s

c a s e , a ; b a r e 2 3

k

; 3

k

a n d n = 3 k + 2

1 2 4 . ( D u e t o P a u l E r d o s a n d M . S u r a n y i ) P r o v e t h a t e v e r y i n t e g e r k c a n b e

r e p r e s e n t e d i n i n n i t e l y m a n y w a y s i n t h e f o r m k = 1

2

2

2

m

2

f o r s o m e p o s i t i v e i n t e g e r m a n d s o m e c h o i c e o f s i g n s + o r

S o l u t i o n . W e r s t s h o w e v e r y i n t e g e r c a n b e s o r e p r e s e n t e d i n a t l e a s t

o n e w a y . I f k c a n b e r e p r e s e n t e d , t h e n c h a n g i n g a l l t h e s i g n s , w e s e e

k a l s o c a n b e r e p r e s e n t e d . S o i t s u c e s t o d o t h e n o n n e g a t i v e c a s e s .

T h e k e y o b s e r v a t i o n i s t h e i d e n t i t y

( m + 1 )

2

( m + 2 )

2

( m + 3 )

2

+ ( m + 4 )

2

= 4

N o w 0 = 4 4 = ( 1

2

2

2

+ 3

2

) 4

2

+ 5

2

+ 6

2

7

2

; 1 = 1

2

; 2 =

1

2

2

2

3

2

+ 4

2

; 3 = 1

2

+ 2

2

B y t h e i d e n t i t y , i f k c a n b e r e p r e s e n t e d ,

t h e n k + 4 c a n b e r e p r e s e n t e d S o b y i n d u c t i o n , e v e r y n o n n e g a t i v e

i n t e g e r ( a n d h e n c e e v e r y i n t e g e r ) c a n b e r e p r e s e n t e d . T o s e e t h e r e

a r e i n n i t e l y m a n y s u c h r e p r e s e n t a t i o n s , w e u s e t h e i d e n t i t y a g a i n .

O b s e r v e 0 = 4 4 = ( m + 1 )

2

( m + 2 )

2

( m + 3 )

2

+ ( m + 4 )

2

( m +

5 )

2

+ ( m + 6 )

2

+ ( m + 7 )

2

( m + 8 )

2

S o f o r e v e r y r e p r e s e n t a t i o n , w e

c a n a d d 8 m o r e t e r m s t o g e t a n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n .

1 2 5 . ( 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) A n i t e s e q u e n c e o f i n t e g e r s a

0

; a

1

; ;

a

n

i s c a l l e d q u a d r a t i c i f f o r e a c h i 2 f 1 ; 2 ; ; n g ; j a

i

a

i 1

j = i

2

( a ) P r o v e t h a t f o r a n y t w o i n t e g e r s b a n d c ; t h e r e e x i s t s a n a t u r a l

n u m b e r n a n d a q u a d r a t i c s e q u e n c e w i t h a

0

= b a n d a

n

= c

( b ) F i n d t h e l e a s t n a t u r a l n u m b e r n f o r w h i c h t h e r e e x i s t s a q u a d r a t i c

s e q u e n c e w i t h a

0

= 0 a n d a

n

= 1 9 9 6

S o l u t i o n . P a r t ( a ) f o l l o w s f r o m t h e l a s t p r o b l e m b y l e t t i n g k = c

b F o r p a r t ( b ) , c o n s i d e r a

k

i n s u c h a q u a d r a t i c s e q u e n c e . W e h a v e

1 0 5

1

2

+ 2

2

+ + 1 9

2

= 2 4 7 0 N o w w e w r i t e ( 2 4 7 0 1 9 9 6 ) = 2 = 2 3 7

1 4

2

+ 5

2

+ 4

2

T h e n

1 9 9 6 = 1

2

+ 2

2

+ 3

2

4

2

5

2

+ 6

2

+ + 1 3

2

1 4

2

+ 1 5

2

+ + 1 9

1 2 6 . P r o v e t h a t e v e r y i n t e g e r g r e a t e r t h a n 1 7 c a n b e r e p r e s e n t e d a s a s u m

t h r e e i n t e g e r s > 1 w h i c h a r e p a i r w i s e r e l a t i v e l y p r i m e , a n d s h o w t h

1 7 d o e s n o t h a v e t h i s p r o p e r t y .

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a n K i n H a n g a n d N g K a W i n g ) L e t k 3 F r o

1 8 = 2 + 3 + 1 3 ; w e s e e 2 + 3 + ( 6 k 5 ) w o r k s f o r 6 k F r o m 2 0 = 3 + 4 + 1

w e s e e 3 + 4 + ( 6 k 4 ) w o r k s f o r 6 k + 2 F r o m 2 2 = 2 + 3 + 1 7 ; w e s

2 + 3 + ( 6 k 1 ) w o r k s f o r 6 k + 4

F o r 6 k + 1 ; w e s p l i t i n t o c a s e s 1 2 k

0

+ 1 a n d 1 2 k

0

+ 7 W e h a

1 2 k

0

+ 1 = 9 + ( 6 k

0

1 ) + ( 6 k

0

7 ) a n d 1 2 k

0

+ 7 = 3 + ( 6 k

0

1 ) + ( 6 k

0

+ 5


0

+ 3 a n d 1 2 k

0

+ 9 W e h a

1 2 k

0

+ 3 = 3 + ( 6 k

0

1 ) + ( 6 k

0

+ 1 ) a n d 1 2 k

0

+ 9 = 9 + ( 6 k

0

1 ) + ( 6 k

0

+ 1


0

+ 5 a n d 1 2 k

0

+ 1 1 W e h a

1 2 k

0

+ 5 = 9 + ( 6 k

0

5 ) + ( 6 k

0

+ 1 ) a n d 1 2 k

0

+ 1 1 = 3 + ( 6 k

0

+ 1 ) + ( 6 k

0

+ 7

F i n a l l y , 1 7 d o e s n o t h a v e t h e p r o p e r t y . O t h e r w i s e , 1 7 = a + b +

w h e r e a ; b ; c a r e r e l a t i v e l y p r i m e a n d a < b < c : T h e n a ; b ; c a r e o d d .

a = 3 ; t h e n 3 + 5 + 7 < a + b + c < 3 + 5 + 1 1 s h o w s t h i s i s i m p o s s i b

I f a 5 ; t h e n b 7 ; c 9 a n d a + b + c 2 1 > 1 7 ; a g a i n i m p o s s i b l e

C h i n e s e R e m a i n d e r T h e o r e m

1 2 7 . ( 1 9 8 8 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t ) D e n e x

n

= 3 x

n 1

+ 2 f o r

p o s i t i v e i n t e g e r s n P r o v e t h a t a n i n t e g e r v a l u e c a n b e c h o s e n f o r x

0

t h a t x

1 0 0

i s d i v i s i b l e b y 1 9 9 8 .

1 0 6

S o l u t i o n . L e t y

n

=

x

n

3

n

; t h e n y

n

= y

n 1

+

2

3

n

; w h i c h i m p l i e s

2 2 2

S i n c e 0 <

2

r

+ 1

2

b

1

< 1 ; t h e r e a r e n o s o l u t i o n s .

n 1 n



y

n

= y

0

+

3

+

3

2

+ +

3

n

T h i s g i v e s x

n

= ( x

0

+ 1 ) 3

n

1 W e w a n t x

1 0 0

= ( x

0

+ 1 ) 3

1 0 0

1 t o b e

d i v i s i b l e b y 1 9 9 8 = 4 7 7 1 ; w h i c h m e a n s

x

0

0 ( m o d 4 ) ; x

0

1 ( m o d 7 ) ; x

0

4 5 ( m o d 7 1 )

S i n c e 4 ; 7 ; 7 1 a r e p a i r w i s e r e l a t i v e l y p r i m e , b y t h e C h i n e s e r e m a i n d e r

t h e o r e m , s u c h x

0

e x i s t s .

1 2 8 . ( P r o p o s e d b y N o r t h K o r e a f o r 1 9 9 2 I M O ) D o e s t h e r e e x i s t a s e t M

w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( a ) T h e s e t M c o n s i s t s o f 1 9 9 2 n a t u r a l n u m b e r s .

( b ) E v e r y e l e m e n t i n M a n d t h e s u m o f a n y n u m b e r o f e l e m e n t s i n M

h a v e t h e f o r m m

k

; w h e r e m ; k a r e p o s i t i v e i n t e g e r s a n d k 2 ?

S o l u t i o n . ( D u e t o C h e u n g P o k M a n ) L e t n = 1 + 2 + + 1 9 9 2 C h o o s e

n d i s t i n c t p r i m e n u m b e r s p

1

; p

2

; ; p

n

L e t d = 2

e

2

3

e

3

4

e

4

n

e

n

; w h e r e

e

i

i s a s o l u t i o n o f t h e n e q u a t i o n s x 1 ( m o d p

i

) a n d x 0 ( m o d p

j

)

f o r e v e r y 1 j n ; j 6 = i ( S i n c e t h e p

i

' s a r e p a i r w i s e r e l a t i v e l y

p r i m e , s u c h a s o l u t i o n e x i s t s b y t h e C h i n e s e r e m a i n d e r t h e o r e m ) S i n c e

e

2

; e

3

; ; e

n

0 ( m o d p

1

) ; d i s a p

i

- t h p o w e r . S i n c e e

2

+ 1 ; e

3

; ; e

n

0 ( m o d p

2

) ; 2 d i s a p

2

- t h p o w e r a n d s o o n . I t f o l l o w s d ; 2 d ; : : : ; 1 9 9 2 d

a r e a l l p e r f e c t p o w e r s a n d a n y s u m o f t h e m i s a m u l t i p l e o f d ; l e s s t h a n

o r e q u a l t o n d ; h e n c e i s a l s o a p e r f e c t p o w e r .

D i v i s i b i l i t y

1 2 9 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s a ; b s u c h t h a t b > 2 a n d 2

a

+ 1 i s d i v i s i b l e b y

2

b

1

S o l u t i o n . S i n c e b > 2 ; s o 2

b

1 < 2

a

+ 1 ; h e n c e b < a : L e t a =

q b + r ; 0 r < b ; t h e n b y d i v i s i o n , w e g e t

2

a

+ 1

2

b

1

= 2

a b

+ 2

a 2 b

+ + 2

a q b

+

2

r

+ 1

2

b

1

1 0 7

1 3 0 . S h o w t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y c o m p o s i t e n s u c h t h a t 3 2

i s d i v i s i b l e b y n

S o l u t i o n . W e u s e t h e f a c t x y j x

k

y

k

f o r p o s i t i v e i n t e g e r k C o n s i d

n = 3

2

t

2

2

t

f o r t = 2 ; 3 ; B y i n d u c t i o n , w e c a n s h o w 2

t

j 3

2

t

1 = n 1 + 2

2

t

( A l t e r n a t i v e l y , b y E u l e r ' s t h e o r e m , 3

2

t

= ( 3

( 2

t

)

)

2

1 ( m o d 2

t

) ) T h e n n 1 = 2

t

k S o n = 3

2

t

2

2

t

j ( 3

2

t

)

k

( 2

2

t

)

k

3

n 1

2

n 1

1 3 1 . P r o v e t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y p o s i t i v e i n t e g e r s n s u c h t h a t 2

n

+

i s d i v i s i b l e b y n F i n d a l l s u c h n ' s t h a t a r e p r i m e n u m b e r s .

S o l u t i o n . L o o k i n g a t t h e c a s e s n = 1 t o 1 0 s u g g e s t f o r n = 3

k

; k

0 ; 1 ; 2 ; ; w e s h o u l d h a v e n j 2

n

+ 1 T h e c a s e k = 0 i s c l e a r . S u p p o

c a s e k i s t r u e . N o w 2

3

k + 1

+ 1 = ( 2

3

k

+ 1 ) ( 2

3

k

2

2

3

k

+ 1 ) B y c a s e

2

3

k

1 ( m o d 3 ) ; s o 2

3

k

2

2

3 k

+ 1 ( 1 )

2

( 1 ) + 1 0 ( m o d 3 )

2

3

k + 1

+ 1 i s d i v i s i b l e b y 3

k + 1

; c o m p l e t i n g t h e i n d u c t i o n .

I f a p r i m e n d i v i d e s 2

n

+ 1 ; t h e n b y F e r m a t ' s l i t t l e t h e o r e m , n j 2

n

2 ; t o o . T h e n n j ( 2

n

+ 1 ) ( 2

n

2 ) = 3 ; s o n = 3

1 3 2 . ( 1 9 9 8 R o m a n i a n M a t h O l y m p i a d ) F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s ( x ; n ) s u

t h a t x

n

+ 2

n

+ 1 i s a d i v i s o r o f x

n + 1

+ 2

n + 1

+ 1

S o l u t i o n . ( D u e t o C h e n g K e i T s i a n d L e u n g W a i Y i n g ) F o r x =

2 ( 1

n

+ 2

n

+ 1 ) > 1

n + 1

+ 2

n + 1

+ 1 > 1

n

+ 2

n

+ 1 F o r x = 2 ; 2 ( 2

n

+ 2

n

+ 1 )

2

n + 1

+ 2

n + 1

+ 1 > 2

n

+ 2

n

+ 1 F o r x = 3 ; 3 ( 3

n

+ 2

n

+ 1 ) > 3

n + 1

2

n + 1

+ 1 > 2 ( 3

n

+ 2

n

+ 1 ) S o t h e r e a r e n o s o l u t i o n s w i t h x = 1 ; 2 ; 3

F o r x 4 ; i f n 2 ; t h e n w e g e t x ( x

n

+ 2

n

+ 1 ) > x

n + 1

+ 2

n + 1

+

N o w

x

n + 1

+ 2

n + 1

+ 1

= ( x 1 ) ( x

n

+ 2

n

+ 1 )

+ x

n

( 2

n

+ 1 ) x + 3 2

n

+ 2

> ( x 1 ) ( x

n

+ 2

n

+ 1 )

1 0 8

b e c a u s e f o r n = 2 ; x

n

( 2

n

+ 1 ) x + 2

n + 1

= x

2

5 x + 8 > 0 a n d f o r

n 3 ; x

n

( 2

n

+ 1 ) x x ( 4

n 1

2

n

1 ) > 0 H e n c e o n l y n = 1

a n d x 4 a r e p o s s i b l e . N o w x

n

+ 2

n

+ 1 = x + 3 i s a d i v i s o r o f

1 0 1 ; A

5

= A

4

A

3

= 1 0 1 1 0 ; a n d s o f o r t h . D e t e r m i n e a l l n s u c h t h a t A

i s d i v i s i b l e b y 1 1 .



x

n + 1

+ 2

n + 1

+ 1 = x

2

+ 5 = ( x 3 ) ( x + 3 ) + 1 4 i f a n d o n l y i f x + 3

i s a d i v i s o r o f 1 4 . S i n c e x + 3 7 ; x = 4 o r 1 1 . S o t h e s o l u t i o n s a r e

( x ; y ) = ( 4 ; 1 ) a n d ( 1 1 ; 1 )

1 3 3 . ( 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n ) F i n d a l l p a i r s o f p o s i t i v e i n t e g e r s

( x ; y ) f o r w h i c h

x

2

+ y

2

x y

i s a n i n t e g e r a n d d i v i d e s 1 9 9 5 .

S o l u t i o n . S u p p o s e ( x ; y ) i s s u c h a p a i r W e m a y a s s u m e x > y ; o t h -

e r w i s e c o n s i d e r ( y ; x ) T h e n x

2

+ y

2

= k ( x y ) ; w h e r e k j 1 9 9 5 =

3 5 7 1 9 I f p = 3 o r 7 o r 1 9 d i v i d e s k ; t h e n b y t h e f a c t t h a t

p r i m e p 3 ( m o d 4 ) d i v i d i n g x

2

+ y

2

i m p l i e s p d i v i d e s x o r y ; w e

m a y c a n c e l p

2

t o g e t a n e q u a t i o n x

2

0

+ y

2

0

= k

0

( x

0

y

0

) w i t h k

0

n o t d i v i s i b l e b y 3 , 7 , 1 9 . S i n c e x

2

0

+ y

2

0

> x

2

0

> x

0

> x

0

y

0

;

w e m u s t h a v e x

2

0

+ y

2

0

= 5 ( x

0

y

0

) C o m p l e t i n g s q u a r e s , w e g e t

( 2 x

0

5 )

2

+ ( 2 y

0

+ 5 )

2

= 5 0 ; w h i c h g i v e s ( x

0

; y

0

) = ( 3 ; 1 ) o r ( 2 ; 1 )

I t f o l l o w s ( x ; y ) = ( 3 c ; c ) ; ( 2 c ; c ) ; ( c ; 3 c ) ; ( c ; 2 c ) ; w h e r e c i s a p o s i t i v e

d i v i s o r o f 3 7 1 9

1 3 4 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I s t h e r e a s e q u e n c e o f n a t u r a l n u m b e r s

i n w h i c h e v e r y n a t u r a l n u m b e r o c c u r s j u s t o n c e a n d m o r e o v e r , f o r a n y

k = 1 ; 2 ; 3 ; t h e s u m o f t h e r s t k t e r m s i s d i v i s i b l e b y k ?

S o l u t i o n . L e t a

1

= 1 S u p p o s e a

1

; ; a

k

h a s b e e n c h o s e n t o h a v e

t h e p r o p e r t y . L e t n b e t h e s m a l l e s t n a t u r a l n u m b e r n o t y e t a p p e a r e d .

B y t h e C h i n e s e r e m a i n d e r t h e o r e m , t h e r e i s a n i n t e g e r m s u c h t h a t

m a

1

a

k

( m o d k + 1 ) a n d m a

1

a

k

n ( m o d k + 2 )

W e c a n i n c r e a s e m b y a l a r g e m u l t i p l e o f ( k + 1 ) ( k + 2 ) t o e n s u r e i t

i s p o s i t i v e a n d n o t e q u a l t o a n y o n e o f a

1

; ; a

k

L e t a

k + 1

= m a n d

a

k + 2

= n T h e s e q u e n c e c o n s t r u c t e d t h i s w a y h a v e t h e p r o p e r t y .

1 3 5 . ( 1 9 9 8 P u t n a m E x a m ) L e t A

1

= 0 a n d A

2

= 1 F o r n > 2 ; t h e n u m b e r

A

n

i s d e n e d b y c o n c a t e n a t i n g t h e d e c i m a l e x p a n s i o n s o f A

n 1

a n d

A

n 2

f r o m l e f t t o r i g h t . F o r e x a m p l e , A

3

= A

2

A

1

= 1 0 ; A

4

= A

3

A

2

=

1 0 9

S o l u t i o n . T h e F i b o n a c c i n u m b e r s F

n

i s d e n e d b y F

1

= 1 ; F

2

= 1 a n

F

n

= F

n 1

+ F

n 2

f o r n > 2 N o t e A

n

h a s F

n

d i g i t s . S o w e h a v e t

r e c u r s i o n A

n

= 1 0

F

n 2

A

n 1

+ A

n 2

( 1 )

F

n 2

A

n 1

+ A

n 2

( m o d 1 1

B y i n d u c t i o n , t h e s e q u e n c e F

n

( m o d 2 ) i s 1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; T h e r

e i g h t t e r m s o f A

n

( m o d 1 1 ) a r e 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1 ( N o t e t h e n u m b e

s t a r t t o r e p e a t a f t e r t h e s i x t h t e r m . ) I n f a c t , t h e r e c u r s i o n i m p l i

A

n + 6

A

n

( m o d 1 1 ) b y i n d u c t i o n S o A

n

i s d i v i s i b l e b y 1 1 i f a n d o n

i f n = 6 k + 1 f o r s o m e p o s i t i v e i n t e g e r k

1 3 6 . ( 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n ) I f k > 1 ; s h o w t h a t k d o e s n

d i v i d e 2

k 1

+ 1 U s e t h i s t o n d a l l p r i m e n u m b e r s p a n d q s u c h t h

2

p

+ 2

q

i s d i v i s i b l e b y p q

S o l u t i o n . S u p p o s e k j 2

k 1

+ 1 f o r s o m e k > 1 T h e n k i s o d d . W r i

k = p

e

1

1

p

e

r

r

; w h e r e p

i

' s a r e d i s t i n c t p r i m e s . L e t p

i

1 = 2

m

i

w i t h e q

i

o d d . L e t m

j

= m i n f m

1

; ; m

r

g S i n c e m

i

1 ( m o d m

j

) ; w

g e t p

e

i

i

1 ( m o d m

j

) a n d s o k = 2

m

j

q + 1 f o r s o m e p o s i t i v e i n t e g

q S i n c e p

j

j k a n d k j 2

k 1

+ 1 ; s o 2

2

m

j

q

= 2

k 1

1 ( m o d p

T h e n 2

( p

j

1 ) q

= ( 2

2

m

j

q

)

q

j

1 ( m o d p

j

) b e c a u s e q

j

i s o d d . H o w e v e

2

p

j

1

1 ( m o d p

j

) b y F e r m a t ' s l i t t l e t h e o r e m s i n c e g c d ( 2 ; p

j

) = 1

2

( p

j

1 ) q

1 ( m o d p

j

) ; a c o n t r a d i c t i o n .

S u p p o s e p ; q a r e p r i m e a n d 2

p

+ 2

q

i s d i v i s i b l e b y p q T h e n 2

p

2

q

( m o d p ) I f p ; q a r e o d d , t h e n 2

p

2 ( m o d p ) b y F e r m a t ' s l i t t

t h e o r e m a n d 2

q

2

p

2 ( m o d p ) S o 2

p q

( 2 )

p

2 ( m o d p

S i m i l a r l y , 2

p q

2 ( m o d q ) T h e n 2

p q 1

1 ( m o d p q ) ; c o n t r a d i c

i n g t h e r s t p a r t o f t h e p r o b l e m . I f p = 2 ; t h e n q = 2 o r q > 2

q > 2 ; t h e n 2

2

2

q

2 ( m o d q ) b y F e r m a t ' s l i t t l e t h e o r e m , w h i

i m p l i e s q = 3 T h e r e f o r e , t h e s o l u t i o n s a r e ( p ; q ) = ( 2 ; 2 ) ; ( 2 ; 3 ) ; ( 3 ; 2 )

1 3 7 . S h o w t h a t f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ; t h e r e i s a n u m b e r w h o s e d e c i m

r e p r e s e n t a t i o n c o n t a i n s n d i g i t s , e a c h o f w h i c h i s 1 o r 2 , a n d w h i c h


n

S o l u t i o n . W e w i l l p r o v e t h a t t h e 2

n

n u m b e r s w i t h n d i g i t s o f 1 ' s

2 ' s h a v e d i e r e n t r e m a i n d e r s w h e n d i v i d e d b y 2

n

H e n c e o n e o f t h e m

1 1 0


n

F o r n = 1 ; t h i s i s c l e a r . S u p p o s e t h i s i s t r u e f o r n = k

N o w i f a ; b a r e ( k + 1 ) - d i g i t n u m b e r s , w h e r e e a c h d i g i t e q u a l s 1 o r 2 ,

a n d a b ( m o d 2

k + 1

) ; t h e n t h e u n i t s d i g i t s o f a ; b a r e t h e s a m e . I f

( a ) x a n d y a r e r e l a t i v e l y p r i m e ;

( b ) y d i v i d e s x

2

+ m ;

( c ) x d i v i d e s y

2

+ m



a = 1 0 a

0

+ i ; b = 1 0 b

0

+ i ; w h e r e i i s t h e u n i t s d i g i t , t h e n 2

k + 1

d i v i d e s

a b = 1 0 ( a

0

b

0

) i s e q u i v a l e n t t o 2

k

d i v i d e s a

0

b

0

S i n c e a

0

; b

0

a r e

k - d i g i t n u m b e r s ( w i t h d i g i t s e q u a l 1 o r 2 ) , w e h a v e a

0

= b

0

S o a = b ;

c o m p l e t i n g t h e i n d u c t i o n .

1 3 8 . F o r a p o s i t i v e i n t e g e r n ; l e t f ( n ) b e t h e l a r g e s t i n t e g e r k s u c h t h a t 2

k

d i v i d e s n a n d g ( n ) b e t h e s u m o f t h e d i g i t s i n t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n

o f n P r o v e t h a t f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ;

( a ) f ( n ! ) = n g ( n ) ;

( b ) 4 d i v i d e s

2 n

n

=

( 2 n ) !

n ! n !

i f a n d o n l y i f n i s n o t a p o w e r o f 2 .

S o l u t i o n . ( D u e t o N g K a M a n a n d P o o n W i n g C h i ) ( a ) W r i t e n i n

b a s e 2 a s ( a

r

a

r 1

a

0

)

2

T h e n

a

i

= ( a

r

a

i + 1

a

i

)

2

( a

r

a

i + 1

0 )

2

=

n

2

i

2

n

2

i + 1

S o

g ( n ) =

r

X

i = 0

a

i

=

r

X

i = 0

n

2

i

2

n

2

i + 1

= n

r

X

i = 0

n

2

i

= n f ( n ! )

( b ) L e t M

n

= ( 2 n ) ! = ( n ! )

2

S i n c e g ( 2 n ) = g ( n ) ; u s i n g ( a ) , w e g e t

f ( M

n

) = f ( ( 2 n ) ! ) 2 f ( n ! ) = 2 g ( n ) g ( 2 n ) = g ( n )

S o t h e l a r g e s t k s u c h t h a t 2

k

d i v i d e s M

n

i s k = g ( n ) N o w 4 d i v i d e s

M

n

i f a n d o n l y i f g ( n ) 2 ; w h i c h i s e q u i v a l e n t t o n n o t b e i n g a p o w e r

o f 2 .

1 3 9 . ( P r o p o s e d b y A u s t r a l i a f o r 1 9 9 2 I M O ) P r o v e t h a t f o r a n y p o s i t i v e i n -

t e g e r m ; t h e r e e x i s t a n i n n i t e n u m b e r o f p a i r s o f i n t e g e r s ( x ; y ) s u c h

t h a t

1 1 1

S o l u t i o n . N o t e ( x ; y ) = ( 1 ; 1 ) i s s u c h a p a i r . N o w , i f ( x ; y ) i s s u

a p a i r w i t h x y ; t h e n c o n s i d e r ( y ; z ) ; w h e r e y

2

+ m = x z T h

e v e r y c o m m o n d i v i s o r o f z a n d y i s a d i v i s o r o f m ; a n d h e n c e o f x

g c d ( z ; y ) = 1 N o w

x

2

( z

2

+ m ) = ( y

2

+ m ) + x

2

m = y

4

+ 2 m y

2

+ m ( x

2

+ m )

i s d i v i s i b l e b y y S i n c e g c d ( x ; y ) = 1 ; y j z

2

+ m ; s o ( y ; z ) i s a n o t h

s u c h p a i r w i t h y y

2

= x < z T h i s c a n b e r e p e a t e d i n n i t e l y m a

t i m e s .

1 4 0 . F i n d a l l i n t e g e r s n > 1 s u c h t h a t 1

n

+ 2

n

+ + ( n 1 )

n

i s d i v i s i b

b y n

S o l u t i o n . F o r o d d n = 2 j + 1 > 1 ; s i n c e ( n k )

n

k

n

( m o d n ) f

1 k j ; s o 1

n

+ 2

n

+ + ( n 1 )

n

i s d i v i s i b l e b y n F o r e v e n n ; w r

n = 2

s

t ; w h e r e t i s o d d . T h e n 2

s

j 1

n

+ 2

n

+ + ( n 1 )

n

N o w i f

i s e v e n a n d l e s s t h a n n ; t h e n 2

s

j k

n

I f k i s o d d a n d l e s s t h a n n ; t h

b y E u l e r ' s t h e o r e m , k

2

s

1

1 ( m o d 2

s

) ; s o k

n

1 ( m o d 2

s

) T h

0 1

n

+ 2

n

+ + ( n 1 )

n

n

2

( m o d 2

s

) ; w h i c h i m p l i e s 2

s + 1

j n ;

c o n t r a d i c t i o n . S o o n l y o d d n > 1 h a s t h e p r o p e r t y .

1 4 1 . ( 1 9 7 2 P u t n a m E x a m ) S h o w t h a t i f n i s a n i n t e g e r g r e a t e r t h a n 1 , t h

n d o e s n o t d i v i d e 2

n

1

S o l u t i o n . S u p p o s e n j 2

n

1 f o r s o m e n > 1 S i n c e 2

n

1 i s o d d ,

n i s o d d . L e t p b e t h e s m a l l e s t p r i m e d i v i s o r o f n T h e n p j 2

n

1 ;

2

n

1 ( m o d p ) B y F e r m a t ' s l i t t l e t h e o r e m , 2

p 1

1 ( m o d p ) L e t

b e t h e s m a l l e s t p o s i t i v e i n t e g e r s u c h t h a t 2

k

1 ( m o d p ) T h e n k j

( b e c a u s e o t h e r w i s e n = k q + r w i t h 0 < r < k a n d 1 2

n

= ( 2

k

)

q

2

r

2

r

( m o d p ) ; c o n t r a d i c t i n g k b e i n g s m a l l e s t ) . S i m i l a r l y k j p 1

k j g c d ( n ; p 1 ) N o w d = g c d ( n ; p 1 ) m u s t b e 1 s i n c e d j n ; d p

a n d p i s t h e s m a l l e s t p r i m e d i v i s o r o f n S o k = 1 a n d 2 = 2

k

1 ( m o d p ) ; a c o n t r a d i c t i o n .

1 1 2

1 4 2 . ( P r o p o s e d b y R o m a n i a f o r 1 9 8 5 I M O ) F o r k 2 ; l e t n

1

; n

2

; ; n

k

b e

p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t

n

1

n

2

n

k 1

n

k

a n s w e r . C o n s i d e r t h e s t a t e m e n t \ a m o n g a n y 2 k 1 i n t e g e r s , t h e r e e x i

k o f t h e m w h o s e s u m i s d i v i s i b l e b y k " W e w i l l r s t s h o w t h a t i f t

s t a t e m e n t i s t r u e f o r k = k

1

a n d k

2

; t h e n i t i s t r u e f o r k = k

1

k

2



n

2

( 2 1 ) ; n

3

( 2 1 ) ; ; n

k

( 2 1 ) ; n

1

( 2 1 )

P r o v e t h a t n

1

= n

2

= = n

k

= 1

S o l u t i o n . O b s e r v e t h a t i f n

i

= 1 f o r s o m e i ; t h e n n

i + 1

w i l l e q u a l 1

a n d t h e c h a i n e e c t c a u s e s a l l o f t h e m t o b e 1 . S o a s s u m e n o n

i

i s 1 .

L e t p

k

b e t h e s m a l l e s t p r i m e n u m b e r d i v i d i n g n

k

T h e n p

k

j 2

n

k 1

1

S o 2

n

k 1

1 ( m o d p

k

) L e t m

k

b e t h e s m a l l e s t p o s i t i v e i n t e g e r m

s u c h t h a t 2

m

1 ( m o d p

k

) T h e n m

k

j n

k 1

a n d m

k

j p

k

1 b y

F e r m a t ' s l i t t l e t h e o r e m . I n p a r t i c u l a r 1 < m

k

p

k

1 < p

k

a n d s o

t h e s m a l l e s t p r i m e d i v i s o r p

k 1

o f n

k 1

i s l e s s t h a n p

k

T h e n w e g e t

t h e c o n t r a d i c t i o n t h a t p

k

> p

k 1

> > p

1

> p

k

1 4 3 . ( 1 9 9 8 A P M O ) D e t e r m i n e t h e l a r g e s t o f a l l i n t e g e r n w i t h t h e p r o p e r t y

t h a t n i s d i v i s i b l e b y a l l p o s i t i v e i n t e g e r s t h a t a r e l e s s t h a n

3

p

n

S o l u t i o n . ( D u e t o L a u L a p M i n g ) T h e l a r g e s t n i s 4 2 0 . S i n c e 4 2 0 =

3 4 5 7 a n d 7 <

3

p

4 2 0 < 8 ; 4 2 0 h a s t h e p r o p e r t y . N e x t , i f n

h a s t h e p r o p e r t y a n d n > 4 2 0 ; t h e n 3 ; 4 ; 5 ; 7 d i v i d e n H e n c e n

8 4 0 > 7 2 9 = 9

3

T h e n 5 ; 7 ; 8 ; 9 d i v i d e n ; s o n 5 7 8 9 = 2 4 2 0 >

2 1 9 7 = 1 3

3

T h e n 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 1 1 ; 1 3 d i v i d e n ; s o n 5 7 8 9 1 1

1 3 > 8 0 0 0 > 1 9

3

L e t k b e t h e i n t e g e r s u c h t h a t 1 9

k

<

3

p

n 1 9

k + 1

T h e n 5

k

; 7

k

; 9

k

; 1 1

k

; 1 3

k

; 1 6

k

; 1 7

k

; 1 9

k

d i v i d e n ; a n d w e g e t t h e f o l l o w i n g

c o n t r a d i c t i o n

n 5

k

7

k

9

k

1 1

k

1 3

k

1 6

k

1 7

k

1 9

k

= 1 9

k

( 4 5 )

k

( 3 7 )

k

( 2 1 1 )

k

( 2 1 3 )

k

( 3 1 7 )

k

> 1 9

3 k + 3

n

1 4 4 . ( 1 9 9 7 U k r a i n i a n M a t h O l y m p i a d ) F i n d t h e s m a l l e s t i n t e g e r n s u c h t h a t

a m o n g a n y n i n t e g e r s ( w i t h p o s s i b l e r e p e t i t i o n s ) , t h e r e e x i s t 1 8 i n t e g e r s

w h o s e s u m i s d i v i s i b l e b y 1 8 .

S o l u t i o n . T a k i n g s e v e n t e e n 0 ' s a n d s e v e n t e e n 1 ' s , w e s e e t h a t t h e

s m a l l e s t s u c h i n t e g e r n c a n n o t b e 3 4 o r l e s s . W e w i l l s h o w 3 5 i s t h e

1 1 3

S u p p o s e i t i s t r u e f o r k = k

1

a n d k

2

S i n c e t h e c a s e k = k

1

i s t r u

f o r 2 k

1

k

2

1 i n t e g e r s , w e c a n t a k e o u t 2 k

1

1 o f t h e m a n d p i c k k

1

t h e m w i t h s u m d i v i s i b l e b y k

1

t o f o r m a g r o u p . T h e n r e t u r n t h e o t h

k

1

1 i n t e g e r s t o t h e r e m a i n i n g i n t e g e r s a n d r e p e a t t h e t a k i n g a

p i c k i n g T o t a l l y w e w e w i l l g e t 2 k

2

1 g r o u p s . S i n c e t h e c a s e k =

i s t r u e , f r o m t h e 2 k

2

1 s u m s s

1

; ; s

2 k

2

1

o f t h e g r o u p s , c o n s i d e r i

t h e n u m b e r s d

i

= s

i

= g c d ( k

1

; k

2

) ; w e c a n g e t k

2

o f t h e m w h o s e s u m

d i v i s i b l e b y k

2

T h e u n i o n o f t h e k

2

g r o u p s w i t h s u m s

i

' s c o n s i s t s

k

1

k

2

n u m b e r s w h o s e s u m i s t h e n d i v i s i b l e b y k

1

k

2

T o n i s h t h e p r o b l e m , s i n c e 1 8 = 2 3

2

; w e h a v e t o s h o w t

s t a t e m e n t i s t r u e f o r k = 2 a n d 3 . A m o n g 2 2 1 = 3 n u m b e

t h e r e a r e t w o o d d o r t w o e v e n n u m b e r s , t h e i r s u m i s e v e n . A m o

2 3 1 = 5 i n t e g e r s , c o n s i d e r ( m o d 3 ) o f t h e i n t e g e r s . I f 0 , 1 , 2 e a

a p p e a r s , t h e n t h e s u m o f t h o s e t h r e e w i l l b e 0 ( m o d 3 ) , o t h e r w i s e t h e

a r e t w o c h o i c e s f o r 5 i n t e g e r s a n d t h r e e o f t h e m w i l l b e c o n g r u e n t ( m o

3 ) , t h e i r s u m i s 0 ( m o d 3 ) .

C o m m e n t s . T h e s t a t e m e n t i s t r u e f o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r k A l l w

h a v e t o c o n s i d e r i s t h e c a s e k = p i s p r i m e . S u p p o s e 2 p 1 i n t e g e

a r e g i v e n . T h e r e a r e

m =

2 p 1

p

=

( 2 p 1 ) ( 2 p 2 ) ( p + 1 )

( p 1 ) !

w a y s i n p i c k i n g p o f t h e m . I f n o p o f t h e m h a v e a s u m d i v i s i b l e b y

t h e n c o n s i d e r

S =

X

( a

1

+ + a

p

)

p 1

;

w h e r e t h e s u m i s o v e r a l l m p i c k i n g s a

1

; ; a

p

B y F e r m a t ' s l i t t

t h e o r e m ,

S 1 + + 1 = m 6 0 ( m o d p )

O n t h e o t h e r h a n d , i n e x p a n s i o n , t h e t e r m s a

e

1

1

a

e

p

p

h a v e e x p o n e

s u m e

1

+ + e

p

= p 1 H e n c e t h e n u m b e r s o f n o n z e r o e x p o n e n t s

1 1 4

i n t h e t e r m s w i l l b e p o s i t i v e i n t e g e r s j p 1 S i n c e p j o f t h e e

i

i s

0 , t h e c o e c i e n t o f t h e t e r m i n t h e f u l l e x p a n s i o n o f S i s

2 p 1 j

p 1

( 2 p 1 j ) p ( p j + 1 )

p 1

1 4 7 . ( 1 9 9 8 P u t n a m E x a m ) P r o v e t h a t , f o r a n y i n t e g e r s a ; b ; c ; t h e r e e x i s t s

p o s i t i v e i n t e g e r n s u c h t h a t

p

n

3

+ a n

2

+ b n + c i s n o t a n i n t e g e r .

3 2



p j e

1

; ; e

p

=

( p j ) ! e

1

; ; e

p

;

w h i c h i s d i v i s i b l e b y p S o a l l c o e c i e n t s a r e d i v i s i b l e b y p ; h e n c e

S 0 ( m o d p ) ; a c o n t r a d i c t i o n .

P e r f e c t S q u a r e s , P e r f e c t C u b e s

1 4 5 . L e t a ; b ; c b e p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t

1

a

+

1

b

=

1

c

I f t h e g r e a t e s t

c o m m o n d i v i s o r o f a ; b ; c i s 1 , t h e n p r o v e t h a t a + b m u s t b e a p e r f e c t

s q u a r e .

S o l u t i o n . B y a l g e b r a ,

1

a

+

1

b

=

1

c

i s e q u i v a l e n t t o

a c

c

=

c

b c

S u p -

p o s e

a c

c

=

c

b c

=

p

q

; w h e r e p ; q a r e p o s i t i v e i n t e g e r s a n d g c d ( p ; q ) =

1 T h e n

a

p + q

=

c

q

a n d

b

p + q

=

c

p

b y s i m p l e a l g e b r a . S o

a

p ( p + q )

=

b

q ( p + q )

=

c

p q

N o w g c d ( p ; q ) = 1 i m p l i e s g c d ( p ( p + q ) ; q ( p + q ) ; p q ) = 1 S i n c e g c d ( a ; b ; c )

= 1 ; w e h a v e a = p ( p + q ) ; b = q ( p + q ) a n d c = p q T h e r e f o r e

a + b = ( p + q )

2

1 4 6 . ( 1 9 6 9 E o t v o s - K u r s c h a k M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t n b e a p o s i t i v e i n t e g e r .

S h o w t h a t i f 2 + 2

p

2 8 n

2

+ 1 i s a n i n t e g e r , t h e n i t i s a s q u a r e

S o l u t i o n . I f 2 + 2

p

2 8 n

2

+ 1 = m ; a n i n t e g e r , t h e n 4 ( 2 8 n

2

+ 1 ) = ( m

2 )

2

T h i s i m p l i e s m i s e v e n , s a y m = 2 k S o 2 8 n

2

= k

2

2 k T h i s i m p l i e s

k i s e v e n , s a y k = 2 j T h e n 7 n

2

= j ( j 1 ) S i n c e g c d ( j ; j 1 ) = 1 ;

e i t h e r j = 7 x

2

; j 1 = y

2

o r j = x

2

; j 1 = 7 y

2

I n t h e f o r m e r

c a s e , w e g e t 1 y

2

( m o d 7 ) ; w h i c h i s i m p o s s i b l e . I n t h e l a t t e r c a s e ,

m = 2 k = 4 j = 4 x

2

i s a s q u a r e .

1 1 5

S o l u t i o n . L e t P ( x ) = x + a x + b x + c a n d n = j b j + 1 O b s e r

t h a t P ( n ) P ( n + 2 ) ( m o d 2 ) S u p p o s e b o t h P ( n ) a n d P ( n + 2 ) a

p e r f e c t s q u a r e s S i n c e p e r f e c t s q u a r e s a r e c o n g r u e n t t o 0 o r 1 ( m o d 4

s o P ( n ) P ( n + 2 ) ( m o d 4 ) H o w e v e r , P ( n + 2 ) P ( n ) = 2 n

2

+

i s n o t d i v i s i b l e b y 4 , a c o n t r a d i c t i o n . S o e i t h e r P ( n ) o r P ( n + 2 )

n o t a p e r f e c t s q u a r e . T h e r e f o r e , e i t h e r

p

P ( n ) o r

p

P ( n + 2 ) i s n o t

i n t e g e r .

1 4 8 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t k b e a p o s i t i v e i n t e g e r . P r o v e t h

t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y p e r f e c t s q u a r e s o f t h e f o r m n 2

k

7 ; w h e r e

i s a p o s i t i v e i n t e g e r .

S o l u t i o n . I t s u c e s t o s h o w t h e r e i s a s e q u e n c e o f p o s i t i v e i n t e g e

a

k

s u c h t h a t a

2

k

7 ( m o d 2

k

) a n d t h e a

k

' s h a v e n o m a x i m u m . L

a

1

= a

2

= a + 3 = 1 F o r k 3 ; s u p p o s e a

2

k

7 ( m o d 2

k

) T h

e i t h e r a

2

k

7 ( m o d 2

k + 1

) o r a

2

k

2

k

7 ( m o d 2

k + 1

) I n t h e f o r m

c a s e , l e t a

k + 1

= a

k

I n t h e l a t t e r c a s e , l e t a

k + 1

= a

k

+ 2

k 1

T h e n s i n

k 3 a n d a

k

i s o d d ,

a

2

k + 1

= a

2

k

+ 2

k

a

k

+ 2

2 k 2

a

2

k

+ 2

k

a

k

a

2

k

+ 2

k

7 ( m o d 2

k + 1

)

S i n c e a

2

k

2

k

7 f o r a l l k ; t h e s e q u e n c e h a s n o m a x i m u m .

1 4 9 . L e t a ; b ; c b e i n t e g e r s s u c h t h a t

a

b

+

b

c

+

c

a

= 3 P r o v e t h a t a b c i s t

c u b e o f a n i n t e g e r .

S o l u t i o n . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e m a y a s s u m e g c d ( a ; b ; c ) =

( O t h e r w i s e , i f d = g c d ( a ; b ; c ) ; t h e n f o r a

0

= a = d ; b

0

= b = d ; c

0

= c = d ; t

e q u a t i o n s t i l l h o l d s f o r a

0

; b

0

; c

0

a n d a

0

b

0

c

0

i s a c u b e i f a n d o n l y i f a b c i s

c u b e . ) M u l t i p l y i n g b y a b c ; w e g e t a n e w e q u a t i o n a

2

c + b

2

a + c

2

b = 3 a b

I f a b c = 1 ; t h e n w e a r e d o n e . O t h e r w i s e , l e t p b e a p r i m e d

v i s o r o f a b c : S i n c e g c d ( a ; b ; c ) = 1 ; t h e n e w e q u a t i o n i m p l i e s t h a t

d i v i d e s e x a c t l y t w o o f a ; b ; c : B y s y m m e t r y , w e m a y a s s u m e p d i v i d

1 1 6

a ; b ; b u t n o t c S u p p o s e t h e l a r g e s t p o w e r s o f p d i v i d i n g a ; b a r e m ; n ;

r e s p e c t i v e l y .

I f n < 2 m ; t h e n n + 1 2 m a n d p

n + 1

j a

2

c ; b

2

c ; 3 a b c : H e n c e

1 5 2 . ( D u e t o E u l e r , a l s o 1 9 8 5 M o s c o w M a t h O l y m p i a d ) I f n 3 ; t h e n p r o

t h a t 2

n

c a n b e r e p r e s e n t e d i n t h e f o r m 2

n

= 7 x

2

+ y

2

w i t h x ; y o d

p o s i t i v e i n t e g e r s



p

n + 1

j c

2

b ; f o r c i n g p j c ; a c o n t r a d i c t i o n . I f n > 2 m ; t h e n n 2 m + 1 a n d

p

2 m + 1

j c

2

b ; b

2

a ; 3 a b c : H e n c e p

2 m + 1

j a

2

c ; f o r c i n g p j c ; a c o n t r a d i c t i o n .

T h e r e f o r e , n = 2 m a n d a b c =

Y

p j a b c

p

3 m

i s a c u b e .

D i o p h a n t i n e E q u a t i o n s

1 5 0 . F i n d a l l s e t s o f p o s i t i v e i n t e g e r s x ; y a n d z s u c h t h a t x y z a n d

x

y

+ y

z

= z

x

S o l u t i o n . ( D u e t o C h e u n g P o k M a n ) S i n c e 3

1 = 3

> 4

1 = 4

> 5

1 = 5

> ;

w e h a v e y

z

z

y

i f y 3 H e n c e t h e e q u a t i o n h a s n o s o l u t i o n i f y 3

S i n c e 1 x y ; t h e o n l y p o s s i b l e v a l u e s f o r ( x ; y ) a r e ( 1 ; 1 ) ; ( 1 ; 2 ) a n d

( 2 ; 2 ) T h e s e l e a d t o t h e e q u a t i o n s 1 + 1 = z ; 1 + 2

z

= z a n d 4 + 2

z

= z

2

T h e t h i r d e q u a t i o n h a s n o s o l u t i o n s i n c e 2

z

z

2

f o r z 4 a n d ( 2 ; 2 ; 3 )

i s n o t a s o l u t i o n t o x

y

+ y

z

= z

x

T h e s e c o n d e q u a t i o n h a s n o s o l u t i o n

e i t h e r s i n c e 2

z

> z T h e r s t e q u a t i o n l e a d s t o t h e u n i q u e s o l u t i o n

( 1 ; 1 ; 2 )

1 5 1 . ( D u e t o W . S i e r p i n s k i i n 1 9 5 5 ) F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g r a l s o l u t i o n s o f

3

x

+ 4

y

= 5

z

S o l u t i o n . W e w i l l s h o w t h e r e i s e x a c t l y o n e s e t o f s o l u t i o n , n a m e l y

x = y = z = 2 . T o s i m p l i f y t h e e q u a t i o n , w e c o n s i d e r m o d u l o 3 . W e

h a v e 1 = 0 + 1

y

3

x

+ 4

y

= 5

z

( 1 )

z

( m o d 3 ) I t f o l l o w s t h a t z

m u s t b e e v e n , s a y z = 2 w . T h e n 3

x

= 5

z

4

y

= ( 5

w

+ 2

y

) ( 5

w

2

y

)

N o w 5

w

+ 2

y

a n d 5

w

2

y

a r e n o t b o t h d i v i s i b l e b y 3 , s i n c e t h e i r s u m

i s n o t d i v i s i b l e b y 3 . S o , 5

w

+ 2

y

= 3

x

a n d 5

w

2

y

= 1 . T h e n ,

( 1 )

w

+ ( 1 )

y

0 ( m o d 3 ) a n d ( 1 )

w

( 1 )

y

1 ( m o d 3 ) . F r o m

t h e s e , w e g e t w i s o d d a n d y i s e v e n . I f y > 2 , t h e n 5 5

w

+ 2

y

= 3

x

1

o r 3 ( m o d 8 ) , a c o n t r a d i c t i o n . S o y = 2 . T h e n 5

w

2

y

= 1 i m p l i e s

w = 1 a n d z = 2 . F i n a l l y , w e g e t x = 2

1 1 7

S o l u t i o n . A f t e r w o r k i n g o u t s o l u t i o n s f o r t h e r s t f e w c a s e s , a p a t t e

b e g i n s t o e m e r g e . I f ( x ; y ) i s a s o l u t i o n t o c a s e n ; t h e n t h e p a t t e

s u g g e s t s t h e f o l l o w i n g : I f ( x + y ) = 2 i s o d d , t h e n ( ( x + y ) = 2 ; j 7 x y j =

s h o u l d b e a s o l u t i o n f o r t h e c a s e n + 1 I f ( x + y ) = 2 i s e v e n , t h

( j x y j = 2 ; ( 7 x + y ) = 2 ) s h o u l d b e a s o l u t i o n f o r t h e c a s e n + 1 B e f o r e w

c o n r m t h i s , w e o b s e r v e t h a t s i n c e ( x + y ) = 2 + j x y j = 2 = m a x ( x ; y )

o d d , e x a c t l y o n e o f ( x + y ) = 2 ; j x y j = 2 i s o d d . S i m i l a r l y , e x a c t l y o

o f ( 7 x + y ) = 2 ; j 7 x y j = 2 i s o d d . A l s o , i f ( x ; y ) i s a s o l u t i o n a n d o n e

x ; y i s o d d , t h e n t h e o t h e r i s a l s o o d d .

N o w w e c o n r m t h e p a t t e r n b y i n d u c t i o n . F o r t h e c a s e n =

( x ; y ) = ( 1 ; 1 ) w i t h ( 1 + 1 ) = 2 = 1 l e a d s t o a s o l u t i o n ( 1 ; 3 ) f o r c a

n = 4 S u p p o s e i n c a s e n ; w e h a v e a s o l u t i o n ( x ; y ) I f ( x + y ) = 2

o d d , t h e n 7

x + y

2

2

+

j 7 x y j

2

2

= 1 4 x

2

+ 2 y

2

= 2

n + 1

I f ( x + y )

i s e v e n , t h e n 7

j x y j

2

2

+

7 x + y

2

2

= 1 4 x

2

+ 2 y

2

= 2

n + 1

T h e r e f o r

t h e p a t t e r n i s t r u e f o r a l l c a s e s b y i n d u c t i o n .

1 5 3 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s x a n d y s u

t h a t x + y

2

+ z

3

= x y z ; w h e r e z i s t h e g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r o f

a n d y

S o l u t i o n . S u p p o s e ( x ; y ) i s a p a i r o f s o l u t i o n L e t x = a z ; y = b

w h e r e a ; b a r e p o s i t i v e i n t e g e r s ( a n d g c d ( a ; b ) = 1 ) T h e e q u a t i

i m p l i e s a + b

2

z + z

2

= a b z

2

H e n c e a = c z f o r s o m e i n t e g e r c a n

w e h a v e c + b

2

+ z = c b z

2

; w h i c h g i v e s c =

b

2

+ z

b z

2

1

I f z = 1 ; t h

c =

b

2

+ 1

b 1

= b + 1 +

2

b 1

I t f o l l o w s t h a t b = 2 o r 3 , s o ( x ; y ) = ( 5 ;

o r ( 5 ; 3 ) I f z = 2 ; t h e n 1 6 c =

1 6 b

2

+ 3 2

4 b 1

= 4 b + 1 +

3 3

4 b 1

I t f o l l o w

t h a t b = 1 o r 3 , s o ( x ; y ) = ( 4 ; 2 ) o r ( 4 ; 6 )

1 1 8

I n g e n e r a l , c z

2

=

b

2

z

2

+ z

3

b z

2

1

= b +

b + z

3

b z

2

1

N o w i n t e g e r c z

2

b =

b + z

3

b z

2

1

1 i m p l i e s b

z

2

z + 1

z 1

I f z 3 ; t h e n

z

2

z + 1

z 1

< z + 1 ;

1 5 6 . ( 1 9 9 5 C z e c h - S l o v a k M a t c h ) F i n d a l l p a i r s o f n o n n e g a t i v e i n t e g e r s x a n

y w h i c h s o l v e t h e e q u a t i o n p

x

y

p

= 1 ; w h e r e p i s a g i v e n o d d p r i m

S o l u t i o n . I f ( x ; y ) i s a s o l u t i o n , t h e n



s o b z I t f o l l o w s t h a t c =

b

2

+ z

b z

2

1

z

2

+ z

z

2

1

< 2 ; s o c = 1 N o w b i s a n

i n t e g e r s o l u t i o n o f w

2

z

2

w + z + 1 = 0 S o t h e d i s c r i m i n a n t z

4

4 z 4

i s a s q u a r e . H o w e v e r , i t i s b e t w e e n ( z

2

1 )

2

a n d ( z

2

)

2

; a c o n t r a d i c t i o n .

T h e r e f o r e , t h e o n l y s o l u t i o n s a r e ( x ; y ) = ( 4 ; 2 ) ; ( 4 ; 6 ) ; ( 5 ; 2 ) a n d ( 5 ; 3 )

1 5 4 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g r a l s o l u t i o n s t o t h e e q u a t i o n x y + y z + z x =

x y z + 2

S o l u t i o n . B y s y m m e t r y , w e m a y a s s u m e x y z D i v i d i n g b o t h

s i d e s b y x y z ; w e g e t

1

z

+

1

y

+

1

x

= 1 +

2

x y z

S o

1 < 1 +

2

x y z

=

1

z

+

1

y

+

1

x

3

x

T h e n x = 1 o r 2 . I f x = 1 ; t h e n t h e e q u a t i o n i m p l i e s y = z = 1 I f x = 2 ;

t h e n

1

z

+

1

y

=

1

2

+

1

y z

S o

1

2

<

1

2

+

1

y z

=

1

z

+

1

y

2

y

T h e n y < 4 S i m -

p l e c h e c k i n g s y i e l d y = 3 ; z = 4 T h e r e f o r e , t h e r e q u i r e d s o l u t i o n s a r e

( x ; y ; z ) = ( 1 ; 1 ; 1 ) ; ( 2 ; 3 ; 4 ) ; ( 2 ; 4 ; 3 ) ; ( 3 ; 2 ; 4 ) ; ( 3 ; 4 ; 2 ) ; ( 4 ; 2 ; 3 ) ; ( 4 ; 3 ; 2 )

1 5 5 . S h o w t h a t i f t h e e q u a t i o n x

2

+ y

2

+ 1 = x y z h a s p o s i t i v e i n t e g r a l

s o l u t i o n s x ; y ; z ; t h e n z = 3

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a n K i n H a n g ) S u p p o s e t h e e q u a t i o n h a s p o s i t i v e

i n t e g r a l s o l u t i o n s x ; y ; z w i t h z 6 = 3 T h e n x 6 = y ( f o r o t h e r w i s e 2 x

2

+ 1 =

x

2

z w o u l d g i v e x

2

( z 2 ) = 1 a n d s o x = 1 ; z = 3 ) . A s t h e e q u a t i o n i s

s y m m e t r i c i n x ; y ; w e m a y a s s u m e x > y : A m o n g t h e p o s i t i v e i n t e g r a l

s o l u t i o n s ( x ; y ; z ) w i t h x y a n d z 6 = 3 ; l e t ( x

0

; y

0

; z

0

) b e a s o l u t i o n

w i t h x

0

l e a s t p o s s i b l e . N o w x

2

y

0

z

0

x + ( y

2

0

+ 1 ) = 0 h a s x

0

a s

a r o o t . T h e o t h e r r o o t i s x

1

= y

0

z

0

x

0

= ( y

2

0

+ 1 ) = x

0

W e h a v e

0 < x

1

= ( y

2

0

+ 1 ) = x

0

( y

2

0

+ 1 ) = ( y

0

+ 1 ) y

0

N o w ( y

0

; x

1

; z

0

) i s a l s o

a p o s i t i v e i n t e g r a l s o l u t i o n w i t h y

0

x

1

a n d z

0

6 = 3 H o w e v e r y

0

< x

0

c o n t r a d i c t s x

0

b e i n g l e a s t p o s s i b l e .

1 1 9

p

x

= y

p

+ 1 = ( y + 1 ) ( y

p 1

+ y

2

y + 1 )

a n d s o y + 1 = p

n

f o r s o m e n I f n = 0 ; t h e n ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ) a n d p m

b e a r b i t r a r y . O t h e r w i s e ,

p

x

= ( p

n

1 )

p

+ 1

= p

n p

p p

n ( p 1 )

+

p

2

p

n ( p 2 )

+

p

p 2

p

2 n

+ p p

n

S i n c e p i s p r i m e , a l l o f t h e b i n o m i a l c o e c i e n t s a r e d i v i s i b l e b y p H e n

a l l t e r m s a r e d i v i s i b l e b y p

n + 1

; a n d a l l b u t t h e l a s t b y p

n + 2

T h e r e f o

t h e h i g h e s t p o w e r o f p d i v i d i n g t h e r i g h t s i d e i s p

n + 1

a n d s o x = n +

W e a l s o h a v e

0 = p

n p

p p

n ( p 1 )

+

p

2

p

n ( p 2 )

+

p

p 2

p

2 n

F o r p = 3 ; t h i s g i v e s 0 = 3

3 n

3 3

2 n

; w h i c h i m p l i e s n = 1 a n

( x ; y ) = ( 2 ; 2 ) F o r p 5 ;

p

p 2

i s n o t d i v i s i b l e b y p

2

; s o e v e r y t e r

b u t t h e l a t o n t h e r i g h t i s d i v i s i b l e b y p

2 n + 2

; w h i l e t h e l a s t t e r m i s n o

S i n c e 0 i s d i v i s i b l e b y p

2 n + 2

; t h i s i s a c o n t r a d i c t i o n .

T h e r e f o r e , t h e o n l y s o l u t i o n s a r e ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ) f o r a l l o d d p r i m

p a n d ( x ; y ) = ( 2 ; 2 ) f o r p = 3

1 5 7 . F i n d a l l i n t e g e r s o l u t i o n s o f t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s

x + y + z = 3 a n d x

3

+ y

3

+ z

3

= 3

S o l u t i o n . S u p p o s e ( x ; y ; z ) i s a s o l u t i o n F r o m t h e i d e n t i t y

( x + y + z )

3

( x

3

+ y

3

+ z

3

) = 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ;

w e g e t 8 = ( 3 z ) ( 3 x ) ( 3 y ) S i n c e 6 = ( 3 z ) + ( 3 x )

( 3 y ) C h e c k i n g t h e f a c t o r i z a t i o n o f 8 , w e s e e t h a t t h e s o l u t i o n s a

( 1 ; 1 ; 1 ) ; ( 5 ; 4 ; 4 ) ; ( 4 ; 5 ; 4 ) ; ( 4 ; 4 ; 5 )

1 2 0

S o l u t i o n s t o C o m b i n a t o r i c s P r o b l e m s

C o u n t i n g M e t h o d s

S o l u t i o n . L e t C

n

b e t h e a n s w e r f o r n p o i n t s W e h a v e C

1

= p ; C

2

p ( p 1 ) a n d C

3

= p ( p 1 ) ( p 2 ) F o r n + 1 p o i n t s , i f A

1

a n d A

h a v e d i e r e n t c o l o r s , t h e n A

1

; ; A

n

c a n b e c o l o r e d i n C

n

w a y s , w h

A

n + 1

c a n b e c o l o r e d i n p 2 w a y s . I f A

1

a n d A

n

h a v e t h e s a m



1 5 8 . ( 1 9 9 6 I t a l i a n M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d ) G i v e n a n a l p h a b e t w i t h t h r e e

l e t t e r s a ; b ; c ; n d t h e n u m b e r o f w o r d s o f n l e t t e r s w h i c h c o n t a i n a n

e v e n n u m b e r o f a ' s

S o l u t i o n 1 . ( D u e t o C h a o K h e k L u n a n d N g K a W i n g ) F o r a n o n -

n e g a t i v e e v e n i n t e g e r 2 k n ; t h e n u m b e r o f n l e t t e r w o r d s w i t h 2 k a ' s

i s C

n

2 k

2

n 2 k

T h e a n s w e r i s t h e s u m o f t h e s e n u m b e r s , w h i c h c a n b e

s i m p l i e d t o ( ( 2 + 1 )

n

+ ( 2 1 )

n

) = 2 u s i n g b i n o m i a l e x p a n s i o n .

S o l u t i o n 2 . ( D u e t o T a m S i u L u n g ) L e t S

n

b e t h e n u m b e r o f n l e t t e r

w o r d s w i t h e v e n n u m b e r o f a ' s a n d T

n

b e t h e n u m b e r o f n l e t t e r w o r d s

w i t h o d d n u m b e r o f a ' s . T h e n S

n

+ T

n

= 3

n

A m o n g t h e S

n

w o r d s ,

t h e r e a r e T

n 1

w o r d s e n d e d i n a a n d 2 S

n 1

w o r d s e n d e d i n b o r c S o

w e g e t S

n

= T

n 1

+ 2 S

n 1

S i m i l a r l y T

n

= S

n 1

+ 2 T

n 1

S u b t r a c t i n g

t h e s e , w e g e t S

n

T

n

= S

n 1

T

n 1

S o S

n

T

n

= S

1

T

1

= 2 1 = 1

T h e r e f o r e , S

n

= ( 3

n

+ 1 ) = 2

1 5 9 . F i n d t h e n u m b e r o f n - w o r d s f r o m t h e a l p h a b e t A = f 0 ; 1 ; 2 g ; i f a n y

t w o n e i g h b o r s c a n d i e r b y a t m o s t 1 .

S o l u t i o n . L e t x

n

b e t h e n u m b e r o f n - w o r d s s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n .

S o x

1

= 3 ; x

2

= 7 L e t y

n

b e t h e n u m b e r o f n - w o r d s s a t i s f y i n g t h e

c o n d i t i o n a n d b e g i n n i n g w i t h 0 . ( B y i n t e r c h a n g i n g 0 a n d 2 , y

n

i s a l s o

t h e n u m b e r o f n - w o r d s s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n a n d b e g i n n i n g w i t h

2 . ) C o n s i d e r i n g a 0 , 1 o r 2 i n f r o n t o f a n n - w o r d , w e g e t x

n + 1

=

3 x

n

2 y

n

a n d y

n + 1

= x

n

y

n

S o l v i n g f o r y

n

i n t h e r s t e q u a t i o n , t h e n

s u b s t i t u t i n g i n t o t h e s e c o n d e q u a t i o n , w e g e t x

n + 2

2 x

n + 1

x

n

= 0

F o r c o n v e n i e n c e , s e t x

0

= x

2

2 x

1

= 1 S i n c e r

2

2 r 1 = 0 h a s r o o t s

1

p

2 a n d x

0

= 1 ; x

1

= 3 ; w e g e t x

n

= ( 1 +

p

2 )

n

+ ( 1

p

2 )

n

;

w h e r e = ( 1 +

p

2 ) = 2 ; = ( 1

p

2 ) = 2 T h e r e f o r e , x

n

= ( ( 1 +

p

2 )

n + 1

+

( 1

p

2 )

n + 1

) = 2

1 6 0 . ( 1 9 9 5 R o m a n i a n M a t h O l y m p i a d ) L e t A

1

; A

2

; ; A

n

b e p o i n t s o n a

c i r c l e . F i n d t h e n u m b e r o f p o s s i b l e c o l o r i n g s o f t h e s e p o i n t s w i t h p

c o l o r s , p 2 ; s u c h t h a t a n y t w o n e i g h b o r i n g p o i n t s h a v e d i s t i n c t c o l o r s .

1 2 1

c o l o r , t h e n A

1

; ; A

n

c a n b e c o l o r e d i n C

n 1

w a y s a n d A

n + 1

c

b e c o l o r e d i n p 1 w a y s . S o C

n + 1

= ( p 2 ) C

n

+ ( p 1 ) C

n 1

f

n 3 ; w h i c h c a n b e w r i t t e n a s C

n + 1

+ C

n

= ( p 1 ) ( C

n

+ C

n 1

T h i s i m p l i e s C

n + 1

+ C

n

= ( p 1 )

n 2

( C

3

+ C

2

) = p ( p 1 )

n

T h

C

n

= ( p 1 )

n

+ ( 1 )

n

( p 1 ) f o r n > 3 b y i n d u c t i o n .

P i g e o n h o l e P r i n c i p l e

1 6 1 . ( 1 9 8 7 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n ) D o e s t h e s e t f 1 ; 2 ; ; 3 0 0

c o n t a i n a s u b s e t A c o n s i s t i n g o f 2 0 0 0 n u m b e r s s u c h t h a t x 2 A i m p l i

2 x 6 2 A ?

S o l u t i o n . L e t A

0

b e t h e s u b s e t o f S = f 1 ; 2 ; ; 3 0 0 0 g c o n t a i n i n g

n u m b e r s o f t h e f o r m 4

n

k ; w h e r e n i s a n o n n e g a t i v e i n t e g e r a n d k

a n o d d p o s i t i v e i n t e g e r . T h e n n o t w o e l e m e n t s o f A

0

h a v e r a t i o 2 .

s i m p l e c o u n t s h o w s A

0

h a s 1 9 9 9 e l e m e n t s . N o w f o r e a c h x 2 A

0

; f o r

a s e t S

x

= f x ; 2 x g \ S N o t e t h e u n i o n o f a l l S

x

' s c o n t a i n s S S o , b y t

p i g e o n h o l e p r i n c i p l e , a n y s u b s e t o f S h a v i n g m o r e t h a n 1 9 9 9 e l e m e n

m u s t c o n t a i n a p a i r i n s o m e S

x

; h e n c e o f r a t i o 2 . S o n o s u b s e t o f 2 0

n u m b e r s i n S h a s t h e p r o p e r t y .

1 6 2 . ( 1 9 8 9 P o l i s h M a t h O l y m p i a d ) S u p p o s e a t r i a n g l e c a n b e p l a c e d i n s i

a s q u a r e o f u n i t a r e a i n s u c h a w a y t h a t t h e c e n t e r o f t h e s q u a r e i s n

i n s i d e t h e t r i a n g l e . S h o w t h a t o n e s i d e o f t h e t r i a n g l e h a s l e n g t h l e

t h a n 1 .

S o l u t i o n . ( D u e t o T o K a r K e u n g ) T h r o u g h t h e c e n t e r c o f t h e s q u a r

d r a w a l i n e L

1

p a r a l l e l t o t h e c l o s e s t s i d e o f t h e t r i a n g l e a n d a s e c o n

l i n e L

2

p e r p e n d i c u l a r t o L

1

a t c . T h e l i n e s L

1

a n d L

2

d i v i d e t h e s q u a

i n t o f o u r c o n g r u e n t q u a d r i l a t e r a l s . S i n c e c i s n o t i n s i d e t h e t r i a n g l

t h e t r i a n g l e c a n l i e i n a t m o s t t w o ( a d j a c e n t ) q u a d r i l a t e r a l s . B y t

p i g e o n h o l e p r i n c i p l e , t w o o f t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e m u s t b e l o n g

t h e s a m e q u a d r i l a t e r a l . N o w t h e f u r t h e s t d i s t a n c e b e t w e e n t w o p o i n

1 2 2

i n t h e q u a d r i l a t e r a l i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o o p p o s i t e v e r t i c e s , w h i c h

i s a t m o s t 1 . S o t h e s i d e o f t h e t r i a n g l e w i t h t w o v e r t i c e s l y i n g i n t h e

s a m e q u a d r i l a t e r a l m u s t h a v e l e n g t h l e s s t h a n 1 .

F o r t h e s e c o n d q u e s t i o n , p l a c i n g 2 n 1 p i e c e s o n t h e s q u a r e s

t h e r s t r o w a n d r s t c o l u m n s h o w s t h e r e a r e n o p a r a l l e l o g r a m s .



1 6 3 . T h e c e l l s o f a 7 7 s q u a r e a r e c o l o r e d w i t h t w o c o l o r s . P r o v e t h a t

t h e r e e x i s t a t l e a s t 2 1 r e c t a n g l e s w i t h v e r t i c e s o f t h e s a m e c o l o r a n d

w i t h s i d e s p a r a l l e l t o t h e s i d e s o f t h e s q u a r e .

S o l u t i o n . ( D u e t o W o n g C h u n W a i ) L e t t h e c o l o r s b e b l a c k a n d w h i t e .

F o r a r o w , s u p p o s e t h e r e a r e k b l a c k c e l l s a n d 7 k w h i t e c e l l s . T h e n

t h e r e a r e C

k

2

+ C

7 k

2

= k

2

7 k + 2 1 9 p a i r s o f c e l l s w i t h t h e s a m e

c o l o r . S o t h e r e a r e a t l e a s t 7 9 = 6 3 p a i r s o f c e l l s o n t h e s a m e r o w w i t h

t h e s a m e c o l o r . N e x t t h e r e a r e C

7

2

= 2 1 p a i r s o f c o l u m n s . S o t h e r e a r e

2 1 2 = 4 2 c o m b i n a t i o n s o f c o l o r a n d p a i r o f c o l u m n s . F o r c o m b i n a t i o n

i = 1 t o 4 2 , i f t h e r e a r e j

i

p a i r s i n t h e s a m e c o m b i n a t i o n , t h e n t h e r e

a r e a t l e a s t j

i

1 r e c t a n g l e s f o r t h a t c o m b i n a t i o n . S i n c e t h e s u m o f

t h e j

i

' s i s a t l e a s t 6 3 , s o t h e r e a r e a t l e a s t

4 2

X

i = 1

( j

i

1 ) 6 3 4 2 = 2 1

s u c h r e c t a n g l e s .

1 6 4 . F o r n > 1 ; l e t 2 n c h e s s p i e c e s b e p l a c e d a t t h e c e n t e r s o f 2 n s q u a r e s o f

a n n n c h e s s b o a r d . S h o w t h a t t h e r e a r e f o u r p i e c e s a m o n g t h e m t h a t

f o r m e d t h e v e r t i c e s o f a p a r a l l e l o g r a m . I f 2 n i s r e p l a c e d b y 2 n 1 ; i s

t h e s t a t e m e n t s t i l l t r u e i n g e n e r a l ?

S o l u t i o n . ( D u e t o H o W i n g Y i p ) L e t m b e t h e n u m b e r o f r o w s t h a t

h a v e a t l e a s t 2 p i e c e s . ( T h e n e a c h o f t h e r e m a i n i n g n m r o w s c o n t a i n s

a t m o s t 1 p i e c e . ) F o r e a c h o f t h e s e m r o w s , l o c a t e t h e l e f t m o s t s q u a r e

t h a t c o n t a i n s a p i e c e . R e c o r d t h e d i s t a n c e s ( i . e . n u m b e r o f s q u a r e s )

b e t w e e n t h i s p i e c e a n d t h e o t h e r p i e c e s o n t h e s a m e r o w . T h e d i s t a n c e s

c a n o n l y b e 1 ; 2 ; ; n 1 b e c a u s e t h e r e a r e n c o l u m n s .

S i n c e t h e n u m b e r o f p i e c e s i n t h e s e m r o w s a l t o g e t h e r i s a t l e a s t

2 n ( n m ) = n + m ; t h e r e a r e a t l e a s t ( n + m ) m = n d i s t a n c e s

r e c o r d e d a l t o g e t h e r f o r t h e s e m r o w s . B y t h e p i g e o n h o l e p r i n c i p l e , a t

l e a s t t w o o f t h e s e d i s t a n c e s a r e t h e s a m e . T h i s i m p l i e s t h e r e a r e a t

l e a s t t w o r o w s e a c h c o n t a i n i n g 2 p i e c e s t h a t a r e o f t h e s a m e d i s t a n c e

a p a r t . T h e s e 4 p i e c e s y i e l d a p a r a l l e l o g r a m .

1 2 3

1 6 5 . T h e s e t f 1 ; 2 ; ; 4 9 g i s p a r t i t i o n e d i n t o t h r e e s u b s e t s . S h o w t h a t

l e a s t o n e o f t h e s u b s e t s c o n t a i n s t h r e e d i e r e n t n u m b e r s a ; b ; c s u

t h a t a + b = c

S o l u t i o n . B y t h e p i g e o n h o l e p r i n c i p l e , o n e o f t h e s u b s e t s , s a y X ; m u

c o n t a i n a t l e a s t 4 9 = 3 e l e m e n t s , s a y x

1

< x

2

< < x

1 7

F o r m t

d i e r e n c e s x

2

x

1

; x

3

x

1

; ; x

1 7

x

1

a n d r e m o v e x

1

( b e c a u s e a ; b

a r e t o b e d i e r e n t ) i f i t a p p e a r s o n t h e l i s t . I f o n e o f t h e r e m a i n i

d i e r e n c e s b e l o n g s t o X ; t h e n w e a r e d o n e .

O t h e r w i s e , b y t h e p i g e o n h o l e p r i n c i p l e a g a i n , o n e o f t h e s u b s e

s a y Y ( 6 = X ) ; m u s t c o n t a i n a t l e a s t 1 5 = 2 e l e m e n t s f r o m t h e s e d i e r e n c

y

j

= x

i

j

x

1

; s a y y

1

< y

2

< < y

8

C o n s i d e r t h e d i e r e n c e s y

2

y

1

; y

3

y

1

; ; y

8

y

1

a n d r e m o v e y

1

a n d x

i

1

i f t h e y a p p e a r o n t

l i s t . I f o n e o f t h e s e d i e r e n c e s b e l o n g t o Y ; t h e n w e a r e d o n e . I f o

o f t h e m , s a y y

j

y

1

= x

i

j

x

i

1

( 6 = x

i

1

; x

i

j

) ; b e l o n g t o X ; t h e n l

x

i

1

; x

i

j

; x

i

j

x

i

1

a r e d i e r e n t e l e m e n t s o f X a n d ( x

i

j

x

i

1

) + x

i

1

= x

a n d w e a r e d o n e .

T h u s , w e m a y a s s u m e 5 o f t h e s e d i e r e n c e s z

k

= y

j

k

y

1

; b e l o n

t o t h e r e m a i n g i n g s u b s e t Z a n d s a y z

1

< z

2

< < z

5

F o r m t

d i e r e n c e z

2

z

1

; z

3

z

1

; z

4

z

1

; z

5

z

1

a n d r e m o v e z

1

; y

j

1

; x

i

j

1

i f t h

a p p e a r o n t h e l i s t . T h e r e m a i n i n g d i e r e n c e z

k

z

1

= y

j

k

y

j

1

x

i

j

k

y

i

j

1

m u s t b e l o n g t o o n e o f X ; Y o r Z A s a b o v e , w e g e t t h r

d i s t i n c t e l e m e n t s a ; b ; c i n o n e o f X ; Y o r Z s u c h t h a t a + b = c

I n c l u s i o n - E x c l u s i o n P r i n c i p l e

1 6 6 . L e t m n > 0 F i n d t h e n u m b e r o f s u r j e c t i v e f u n c t i o n s f r o m B

m

f 1 ; 2 ; ; m g t o B

n

= f 1 ; 2 ; ; n g

S o l u t i o n . F o r i = 1 ; 2 ; ; n ; l e t A

i

b e t h e s e t o f f u n c t i o n s f : B

m

1 2 4

B

n

s u c h t h a t i 6 = f ( 1 ) ; ; f ( m ) B y t h e i n c l u s i o n - e x c l u s i o n p r i n c i p l e ,

j A

1

A

n

j

=

X

j A j

X

j A \ A j +

X

j A \ A \ A j

( b ) ( 1 9 7 8 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n ) T h e r e a r e 1 9 7 8 c l u b

E a c h h a s 4 0 m e m b e r s . I f e v e r y t w o c l u b s h a v e e x a c t l y o n e c o m m

m e m b e r , t h e n p r o v e t h a t a l l 1 9 7 8 c l u b s h a v e a c o m m o n m e m b e r .



1 i n

i

1 i < j n

i j

1 i < j < k n

i 2 3

=

n

1

( n 1 )

m

n

2

( n 2 )

m

+

n

3

( n 3 )

m

T h e n u m b e r o f s u r j e c t i o n s f r o m B

m

t o B

n

i s

n

m

j A

1

A

n

j =

n

X

i = 0

( 1 )

i

n

i

( n i )

m

1 6 7 . L e t A b e a s e t w i t h 8 e l e m e n t s . F i n d t h e m a x i m a l n u m b e r o f 3 - e l e m e n t

s u b s e t s o f A ; s u c h t h a t t h e i n t e r s e c t i o n o f a n y t w o o f t h e m i s n o t a 2 -

e l e m e n t s e t .

S o l u t i o n . L e t j S j d e n o t e t h e n u m b e r o f e l e m e n t s i n a s e t S L e t

B

1

; ; B

n

A b e s u c h t h a t j B

i

j = 3 ; j B

i

\ B

j

j 6 = 2 f o r i ; j = 1 ; ; n

I f a 2 A b e l o n g s t o B

1

; ; B

k

; t h e n j B

i

\ B

j

j = 1 f o r i ; j = 1 ; ; k

S i n c e 8 = j A j j B

1

B

k

j = 1 + 2 k ; w e g e t k 3 F r o m t h i s , w e

s e e t h a t e v e r y e l e m e n t o f A i s i n a t m o s t 3 B

i

' s . T h e n 3 n 8 3 ; s o

n 8 T o s h o w 8 i s p o s s i b l e , j u s t c o n s i d e r

B

1

= f 1 ; 2 ; 3 g ; B

2

= f 1 ; 4 ; 5 g ; B

3

= f 1 ; 6 ; 7 g ; B

4

= f 8 ; 3 ; 4 g ;

B

5

= f 8 ; 2 ; 6 g ; B

6

= f 8 ; 5 ; 7 g ; B

7

= f 3 ; 5 ; 6 g ; B

8

= f 2 ; 4 ; 7 g

1 6 8 . ( a ) ( 1 9 9 9 H o n g K o n g C h i n a M a t h O l y m p i a d ) S t u d e n t s h a v e t a k e n a

t e s t p a p e r i n e a c h o f n ( n 3 ) s u b j e c t s . I t i s k n o w n t h a t f o r a n y

s u b j e c t e x a c t l y t h r e e s t u d e n t s g e t t h e b e s t s c o r e i n t h e s u b j e c t , a n d

f o r a n y t w o s u b j e c t s e x c a t l y o n e s t u d e n t g e t s t h e b e s t s c o r e i n e v e r y

o n e o f t h e s e t w o s u b j e c t s . D e t e r m i n e t h e s m a l l e s t n s o t h a t t h e a b o v e

c o n d i t i o n s i m p l y t h a t e x a c t l y o n e s t u d e n t g e t s t h e b e s t s c o r e i n e v e r y

o n e o f t h e n s u b j e c t s .

1 2 5

S o l u t i o n . ( a ) ( D u e t o F a n W a i T o n g ) F o r i = 1 ; 2 ; ; n ; l e t S

i

t h e s e t o f s t u d e n t s w h o g e t t h e b e s t s c o r e i n t h e i - t h s u b j e c t . S u p p o

n o b o d y g e t s t h e b e s t s c o r e i n e v e r y o n e o f t h e n s u b j e c t s . L e t x

o n e s t u d e n t w h o i s b e s t i n m o s t n u m b e r o f s u b j e c t s , s a y m ( m <

s u b j e c t s . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , s u p p o s e x i s i n S

1

; S

2

; ; S

F o r i = 1 ; 2 ; ; m ; l e t S

0

i

= S

i

n f x g T h e n t h e m s e t s S

0

i

a r e p a i r w i

d i s j o i n t a n d s o e a c h s h a r e s a ( d i s t i n c t ) c o m m o n m e m b e r w i t h S

m +

S i n c e S

m + 1

h a s t h r e e m e m b e r s , s o m 3 T h i s m e a n s e a c h s t u d e n t

b e s t i n a t m o s t t h r e e s u b j e c t s . B y t h e i n c l u s i o n - e x c l u s i o n p r i n c i p l e ,

j S

1

S

2

S

n

j

=

X

1 i n

j S

i

j

X

1 i < j n

j S

i

\ S

j

j +

X

1 i < j < k n

j S

i

\ S

j

\ S

k

j

3 n

n

2

+ j S

1

S

2

S

n

j ;

w h i c h i m p l i e s n 7 T h e r e f o r e , i f n 8 ; t h e n t h e r e i s a t l e a s t o

s t u d e n t w h o g e t t h e b e s t s c o r e i n e v e r y o n e o f t h e n s u b j e c t s . T h e r e

e x a c t l y o n e s u c h s t u d e n t s b e c a u s e o n l y o n e s t u d e n t g e t s t h e b e s t s c o

i n a p a i r o f s u b j e c t s .

F i n a l l y , w e g i v e a n e x a m p l e o f t h e c a s e n = 7 w i t h n o b o d y b e s t

a l l s u b j e c t s :

S

1

= f x

1

; x

2

; x

3

g ; S

2

= f x

1

; x

4

; x

5

g ; S

3

= f x

2

; x

4

; x

6

g ;

S

4

= f x

3

; x

5

; x

6

g ; S

5

= f x

1

; x

6

; x

7

g ; S

6

= f x

2

; x

5

; x

7

g ;

S

7

= f x

3

; x

4

; x

7

g

( b ) L e t n = 1 9 7 8 a n d k = 4 0 L e t C

1

; C

2

; ; C

n

b e t h e n c l u b s . F

e a c h m e m b e r o f C

1

; f o r m a l i s t o f t h e i n d i c e s o f t h e o t h e r c l u b s t h

t h i s m e m b e r a l s o b e l o n g s t o . S i n c e C

1

a n d a n y o t h e r c l u b C

i

h a

e x a c t l y o n e c o m m o n m e m b e r , t h e k l i s t s o f t h e k m e m b e r s o f C

1

a

1 2 6

d i s j o i n t a n d t o g e t h e r c o n t a i n a l l i n t e g e r s f r o m 2 t o n B y t h e p i g e o n h o l e

p r i n c i p l e , o n e o f t h e l i s t s , s a y x ' s l i s t , w i l l c o n t a i n a t l e a s t m = d

n 1

k

e

n u m b e r s . ( T h e n o t a t i o n m e a n s m i s t h e l e a s t i n t e g e r g r e a t e r t h a n o r

n 1

t y p e A s q u a r e s a r e a t m o s t 1 6 a t a n y t i m e . T h e n t h e r e a r e a t m o s t

b e e t l e s i n t y p e A o r t y p e B s q u a r e s a t a n y t i m e . A l s o , a f t e r o n e m o v

b e e t l e s i n t y p e C s q u a r e s w i l l g o t o t y p e A o r t y p e B s q u a r e s . S o t h e

a r e a t m o s t 3 2 b e e t l e s i n t y p e C s q u a r e s a t a n y t i m e . H e n c e t h e r e a



e q u a l t o

k

)

N e x t w e w i l l s h o w t h i s x i s a m e m b e r o f a l l n c l u b s . S u p p o s e x i s

n o t a m e m b e r o f s o m e c l u b C

i

T h e n e a c h o f t h e m + 1 c l u b s t h a t x

b e l o n g t o w i l l s h a r e a d i e r e n t m e m b e r w i t h C

i

( o t h e r w i s e t w o o f t h e

m + 1 c l u b s w i l l s h a r e a m e m b e r y i n C

i

a n d a l s o x ; a c o n t r a d i c t i o n ) .

S i n c e C

i

h a s k m e m b e r s , s o k m + 1

n 1

k

+ 1 ; w h i c h i m p l i e s

k

2

k + 1 n S i n c e k

2

k + 1 = 1 5 6 1 < n = 1 9 7 8 ; t h i s i s a

c o n t r a d i c t i o n . S o x m u s t b e a m e m b e r o f a l l n c l u b s .

C o m m e n t s . I t i s c l e a r t h a t t h e t w o p r o b l e m s a r e e s s e n t i a l l y t h e s a m e .

A s t h e n u m b e r o f m e m b e r s i n t h e s e t s g e t s l a r g e , t h e i n c l u s i o n - e x c l u s i o n

p r i n c i p l e i n ( a ) w i l l b e l e s s e e c t i v e T h e a r g u m e n t i n p a r t ( b ) i s m o r e

c o n v e n i e n t a n d s h o w s t h a t f o r n s e t s , e a c h h a v i n g k m e m b e r s a n d e a c h

p a i r h a v i n g e x a c t l y o n e c o m m o n m e m b e r , i f n > k

2

k + 1 ; t h e n a l l n

s e t s h a v e a c o m m o n m e m b e r .

C o m b i n a t o r i a l D e s i g n s

1 6 9 . ( 1 9 9 5 B y e l o r u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I n t h e b e g i n i n g , 6 5 b e e t l e s a r e

p l a c e d a t d i e r e n t s q u a r e s o f a 9 9 s q u a r e b o a r d . I n e a c h m o v e , e v e r y

b e e t l e c r e e p s t o a h o r i z o n t a l o r v e r t i c a l a d j a c e n t s q u a r e . I f n o b e e t l e

m a k e s e i t h e r t w o h o r i z o n t a l m o v e s o r t w o v e r t i c a l m o v e s i n s u c c e s s i o n ,

s h o w t h a t a f t e r s o m e m o v e s , t h e r e w i l l b e a t l e a s t t w o b e e t l e s i n t h e

s a m e s q u a r e .

S o l u t i o n . ( D u e t o C h e u n g P o k M a n a n d Y u n g F a i ) A s s i g n a n o r d e r e d

p a i r ( a ; b ) t o e a c h s q u a r e w i t h a ; b = 1 ; 2 ; ; 9 D i v i d e t h e 8 1 s q u a r e s

i n t o 3 t y p e s . T y p e A c o n s i s t s o f s q u a r e s w i t h b o t h a a n d b o d d , t y p e

B c o n s i s t s o f s q u a r e s w i t h b o t h a a n d b e v e n a n d t y p e C c o n s i s t s o f

t h e r e m a i n i n g s q u a r e s . T h e n u m b e r s o f s q u a r e s o f t h e t y p e s A ; B a n d

C a r e 2 5 , 1 6 a n d 4 0 , r e s p e c t i v e l y .

A s s u m e n o c o l l i s i o n o c c u r s . A f t e r t w o s u c c e s s i v e m o v e s , b e e t l e s i n

t y p e A s q u a r e s w i l l b e i n t y p e B s q u a r e s . S o t h e n u m b e r o f b e e t l e s i n

1 2 7

a t m o s t 6 4 b e e t l e s o n t h e b o a r d , a c o n t r a d i c t i o n .

1 7 0 . ( 1 9 9 5 G r e e k M a t h O l y m p i a d ) L i n e s l

1

; l

2

; ; l

k

a r e o n a p l a n e s u

t h a t n o t w o a r e p a r a l l e l a n d n o t h r e e a r e c o n c u r r e n t . S h o w t h a t w

c a n l a b e l t h e C

k

2

i n t e r s e c t i o n p o i n t s o f t h e s e l i n e s b y t h e n u m b e

1 ; 2 ; ; k 1 s o t h a t i n e a c h o f t h e l i n e s l

1

; l

2

; ; l

k

t h e n u m b e

1 ; 2 ; ; k 1 a p p e a r e x a c t l y o n c e i f a n d o n l y i f k i s e v e n .

S o l u t i o n . ( D u e t o N g K a W i n g ) I f s u c h l a b e l i n g e x i s t s f o r a n i n t e g

k ; t h e n t h e l a b e l 1 m u s t o c c u r o n c e o n e a c h l i n e a n d e a c h p o i n t l a b e l

1 l i e s o n e x a c t l y 2 l i n e s . H e n c e t h e r e a r e k = 2 1 ' s , i . e . k i s e v e n .

C o n v e r s e l y , i f k i s e v e n , t h e n t h e f o l l o w i n g l a b e l i n g w o r k s : f

1 i < j k 1 ; g i v e t h e i n t e r s e c t i o n o f l i n e s l

i

a n d l

j

t h e l a b

i + j 1 w h e n i + j k ; t h e l a b e l i + j k w h e n i + j > k F o r t

i n t e r s e c t i o n o f l i n e s l

k

a n d l

i

( i = 1 ; 2 ; ; k 1 ) , g i v e t h e l a b e l 2 i

w h e n 2 i k ; t h e l a b e l 2 i k w h e n 2 i > k :

A l t e r n a t i v e l y , w e c a n m a k e u s e o f t h e s y m m e t r y o f a n o d d n u m

b e r s i d e d r e g u l a r p o l y g o n t o c o n s t r u c t t h e l a b e l i n g a s f o l l o w s : f o r

e v e n , c o n s i d e r t h e k 1 s i d e d r e g u l a r p o l y g o n w i t h t h e v e r t i c e s l a b e l

1 ; 2 ; ; k 1 F o r 1 i < j k 1 ; t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r

t h e s e g m e n t j o i n i n g v e r t i c e s i a n d j p a s s e s t h r o u g h a u n i q u e v e r t e

g i v e t h e i n t e r s e c t i o n o f l i n e s l

i

a n d l

j

t h e l a b e l o f t h a t v e r t e x . F o r t

i n t e r s e c t i o n o f l i n e s l

k

a n d l

i

( i = 1 ; 2 ; ; k 1 ) , g i v e t h e l a b e l i

1 7 1 . ( 1 9 9 6 T o u r n a m e n t s o f t h e T o w n s ) I n a l o t t e r y g a m e , a p e r s o n m u

s e l e c t s i x d i s t i n c t n u m b e r s f r o m 1 ; 2 ; 3 ; ; 3 6 t o p u t o n a t i c k e t . T

l o t t e r y c o m m i t e e w i l l t h e n d r a w s i x d i s t i n c t n u m b e r s r a n d o m l y f r o

1 ; 2 ; 3 ; ; 3 6 A n y t i c k e t w i t h n u m b e r s n o t c o n t a i n i n g a n y o f t h e s e s

n u m b e r s i s a w i n n i n g t i c k e t . S h o w t h a t t h e r e i s a s c h e m e o f b u y i

9 t i c k e t s g u a r a n t e e i n g a t l e a s t a w i n n i n g t i c k e t , b u t 8 t i c k e t s i s n

e n o u g h t o g u a r a n t e e a w i n n i n g t i c k e t i n g e n e r a l .

1 2 8

S o l u t i o n . C o n s i d e r t h e n i n e t i c k e t s w i t h n u m b e r s

( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ) ; ( 1 ; 2 ; 3 ; 7 ; 8 ; 9 ) ; ( 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ) ;

( 1 0 ; 1 1 ; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ) ; ( 1 0 ; 1 1 ; 1 2 ; 1 6 ; 1 7 ; 1 8 ) ; ( 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ; 1 6 ; 1 7 ; 1 8 ) ;

A f t e r o n e m o v e , i f n o b e e t l e s m e e t , t h e n t h e 1 0 b e e t l e s a t t h e m a r k

v e r t i c e s w i l l m o v e t o 1 0 u n m a r k e d v e r t i c e s a n d 1 0 o t h e r b e e t l e s w

m o v e t o t h e m a r k e d v e r t i c e s . A f t e r a n o t h e r m o v e , t h e s e 2 0 b e e t l e s w

b e a t u n m a r k e d v e r t i c e s . S i n c e t h e r e a r e o n l y 1 8 u n m a r k e d v e r t i c e



( 1 9 ; 2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ) ; ( 2 5 ; 2 6 ; 2 7 ; 2 8 ; 2 9 ; 3 0 ) ; ( 3 1 ; 3 2 ; 3 3 ; 3 4 ; 3 5 ; 3 6 )

F o r t h e r s t t h r e e t i c k e t s , i f t h e y a r e n o t w i n n i n g , t h e n t w o o f t h e

s i x n u m b e r s d r a w n m u s t b e a m o n g 1 ; 2 ; ; 9 F o r t h e n e x t t h r e e t i c k -

e t s , i f t h e y a r e n o t w i n n i n g , t h e n t w o o f t h e s i x s u m b e r s m u s t b e

1 0 ; 1 1 ; ; 1 8 F o r t h e l a s t t h r e e t i c k e t s , i f t h e y a r e n o t w i n n i n g , t h e n

t h r e e o f t h e s i x n u m b e r s m u s t b e a m o n g 1 9 ; 2 0 ; ; 3 6 S i n c e o n l y s i x

n u m b e r s a r e d r a w n , a t l e a s t o n e o f t h e n i n e t i c k e t s i s a w i n n i n g t i c k e t .

F o r a n y e i g h t t i c k e t s , i f o n e n u m b e r a p p e a r s i n t h r e e t i c k e t s , t h e n

t h i s n u m b e r a n d o n e n u m b e r f r o m e a c h o f t h e v e r e m a i n i n g t i c k e t s

m a y b e t h e s i x n u m b e r s d r a w n , r e s u l t i n g i n n o w i n n i n g t i c k e t s .

S o o f t h e 4 8 n u m b e r s o n t h e e i g h t t i c k e t s , w e m a y a s s u m e ( a t l e a s t )

1 2 a p p e a r e d e x a c t l y 2 t i m e s , s a y t h e y a r e 1 ; 2 ; ; 1 2 C o n s i d e r t h e t w o

t i c k e t s w i t h 1 o n t h e m . T h e r e m a i n i n g 1 0 n u m b e r s o n t h e m w i l l m i s s

( a t l e a s t ) o n e o f t h e n u m b e r s 2 ; 3 ; ; 1 2 ; s a y 1 2 . N o w 1 2 a p p e a r s i n

t w o o t h e r t i c k e t s . T h e n 1 ; 1 2 a n d o n e n u m b e r f r o m e a c h o f t h e f o u r

r e m a i n i n g t i c k e t s m a y b e t h e s i x n u m b e r s d r a w n b y t h e c o m m i t t e e ,

r e s u l t i n g i n n o w i n n i n g t i c k e t s .

1 7 2 . ( 1 9 9 5 B y e l o r u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) B y d i v i d i n g e a c h s i d e o f a n e q u i -

l a t e r a l t r i a n g l e i n t o 6 e q u a l p a r t s , t h e t r i a n g l e c a n b e d i v i d e d i n t o 3 6

s m a l l e r e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s . A b e e t l e i s p l a c e d o n e a c h v e r t e x o f t h e s e

t r i a n g l e s a t t h e s a m e t i m e . T h e n t h e b e e t l e s m o v e a l o n g d i e r e n t e d g e s

w i t h t h e s a m e s p e e d . W h e n t h e y g e t t o a v e r t e x , t h e y m u s t m a k e a

6 0

o r 1 2 0

t u r n . P r o v e t h a t a t s o m e m o m e n t t w o b e e t l e s m u s t m e e t

a t s o m e v e r t e x . I s t h e s t a t e m e n t t r u e i f 6 i s r e p l a c e d b y 5 ?

S o l u t i o n . W e p u t c o o r d i n a t e s a t t h e v e r t i c e s s o t h a t ( a ; b ) ; f o r 0 b

a 6 ; c o r r e s p o n d s t o t h e p o s i t i o n o f

a

b

i n t h e P a s c a l t r i a n g l e . F i r s t

m a r k t h e v e r t i c e s

( 0 ; 0 ) ; ( 2 ; 0 ) ; ( 2 ; 2 ) ; ( 4 ; 0 ) ; ( 4 ; 2 ) ; ( 4 ; 4 ) ; ( 6 ; 0 ) ; ( 6 ; 2 ) ; ( 6 ; 4 ) ; ( 6 ; 6 )

1 2 9

t w o o f t h e m w i l l m e e t .

I f 6 i s r e p l a c e d b y 5 , t h e n d i v i d e t h e v e r t i c e s i n t o g r o u p s a s f o l l o w

f ( 0 ; 0 ) ; ( 1 ; 0 ) ; ( 1 ; 1 ) g ; f ( 2 ; 0 ) ; ( 3 ; 0 ) ; ( 3 ; 1 ) g ;

f ( 2 ; 1 ) ; ( 3 ; 2 ) ; ( 3 ; 3 ) ; ( 2 ; 2 ) g ; f ( 4 ; 0 ) ; ( 5 ; 0 ) ; ( 5 ; 1 ) g ;

f ( 4 ; 1 ) ; ( 5 ; 2 ) ; ( 5 ; 3 ) ; ( 4 ; 2 ) g ; f ( 4 ; 3 ) ; ( 5 ; 4 ) ; ( 5 ; 5 ) ; ( 4 ; 4 ) g

L e t t h e b e e t l e s i n e a c h g r o u p m o v e i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i

a l o n g t h e v e r t i c e s i n t h e g r o u p . T h e n t h e b e e t l e s w i l l n o t m e e t a t a

m o m e n t .

C o v e r i n g , C o n v e x H u l l

1 7 3 . ( 1 9 9 1 A u s t r a l i a n M a t h O l y m p i a d ) T h e r e a r e n p o i n t s g i v e n o n a p l a

s u c h t h a t t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e f o r m e d b y e v e r y 3 o f t h e m i s a t m o

1 . S h o w t h a t t h e n p o i n t s l i e o n o r i n s i d e s o m e t r i a n g l e o f a r e a a t m o

4

S o l u t i o n . ( D u e t o L e e T a k W i n g ) L e t t h e n p o i n t s b e P

1

; P

2

; ; P

S u p p o s e 4 P

i

P

j

P

k

h a v e t h e m a x i m u m a r e a a m o n g a l l t r i a n g l e s w i

v e r t i c e s f r o m t h e s e n p o i n t s N o P

l

c a n l i e o n t h e o p p o s i t e s i d e

t h e l i n e t h r o u g h P

i

p a r a l l e l t o P

j

P

k

a s P

j

P

k

; o t h e r w i s e 4 P

j

P

k

P

l

h

l a r g e r a r e a t h a n 4 P

i

P

j

P

k

S i m i l a r l y , n o P

l

c a n l i e o n t h e o p p o s i t e s i

o f t h e l i n e t h r o u g h P

j


i

P

k

a s P

i

P

k

o r o n t h e o p p o s i t e s i

o f t h e l i n e t h r o u g h P

k


i

P

j

a s P

i

P

j

T h e r e f o r e , e a c h o f t

n p o i n t s l i e i n t h e i n t e r i o r o r o n t h e b o u n d a r y o f t h e t r i a n g l e h a v i

P

i

; P

j

; P

k

a s m i d p o i n t s o f i t s s i d e s . S i n c e t h e a r e a o f 4 P

i

P

j

P

k

i s

m o s t 1 , s o t h e a r e a o f t h i s t r i a n g l e i s a t m o s t 4 .

1 7 4 . ( 1 9 6 9 P u t n a m E x a m ) S h o w t h a t a n y c o n t i n u o u s c u r v e o f u n i t l e n g

c a n b e c o v e r e d b y a c l o s e d r e c t a n g l e s o f a r e a 1 = 4

1 3 0

S o l u t i o n . P l a c e t h e c u r v e s o t h a t i t s e n d p o i n t s l i e s o n t h e x - a x i s .

T h e n t a k e t h e s m a l l e s t r e c t a n g l e w i t h s i d e s p a r a l l e l t o t h e a x e s w h i c h

c o v e r s t h e c u r v e . L e t i t s h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l d i m e n s i o n s b e a a n d

b ; r e s p e c t i v e l y . L e t P

0

a n d P

5

b e i t s e n d p o i n t s . L e t P

1

; P

2

; P

3

; P

4

b e

( a ) n o t h r e e o f t h e p o i n t s A

1

; A

2

; ; A

n

l i e o n a l i n e ;

( b ) f o r e a c h t r i p l e i ; j ; k ( 1 i < j < k n ) t h e t r i a n g l e A

i

A

j

A

k

h

a r e a e q u a l t o r

i

+ r

j

+ r

k



t h e p o i n t s o n t h e c u r v e , i n t h e o r d e r n a m e d , w h i c h l i e o n e o n e a c h o f

t h e f o u r s i d e s o f t h e r e c t a n g l e . T h e p o l y g o n a l l i n e P

0

P

1

P

2

P

3

P

4

P

5

h a s

l e n g t h a t m o s t o n e .

T h e h o r i z o n t a l p r o j e c t i o n s o f t h e s e g m e n t s o f t h i s p o l y g o n a l l i n e

a d d u p t o a t l e a s t a ; s i n c e t h e l i n e h a s p o i n t s o n t h e l e f t a n d r i g h t

s i d e s o f t h e r e c t a n g l e . T h e v e r t i c a l p r o j e c t i o n s o f t h e s e g m e n t s o f t h i s

p o l y g o n a l l i n e a d d u p t o a t l e a s t 2 b ; s i n c e t h e e n d p o i n t s a r e o n t h e

x - a x i s a n d t h e l i n e a l s o h a s p o i n t s o n t h e t o p a n d b o t t o m s i d e o f t h e

r e c t a n g l e .

S o t h e p o l y g o n a l l i n e h a s l e n g t h a t l e a s t

p

a

2

+ 4 b

2

1 B y t h e

A M - G M i n e q u a l i t y , 4 a b a

2

+ 4 b

2

1 a n d s o t h e a r e a i s a t m o s t 1 = 4

1 7 5 . ( 1 9 9 8 P u t n a m E x a m ) L e t F b e a n i t e c o l l e c t i o n o f o p e n d i s c s i n t h e

p l a n e w h o s e u n i o n c o v e r s a s e t E S h o w t h a t t h e r e i s a p a i r w i s e d i s j o i n t

s u b c o l l e c t i o n D

1

; ; D

n

i n F s u c h t h a t t h e u n i o n o f 3 D

1

; ; 3 D

n

c o v e r s E ; w h e r e 3 D i s t h e d i s c w i t h t h e s a m e c e n t e r a s D b u t h a v i n g

t h r e e t i m e s t h e r a d i u s .

S o l u t i o n . W e c o n s t r u c t s u c h D

i

' s b y t h e g r e e d y a l g o r i t h m . L e t D

1

b e a d i s c o f l a r g e s t r a d i u s i n F S u p p o s e D

1

; ; D

j

h a s b e e n p i c k e d .

T h e n w e p i c k a d i s c D

j + 1

d i s j o i n t f r o m e a c h o f D

1

; ; D

j

a n d h a s

t h e l a r g e s t p o s s i b l e r a d i u s . S i n c e F i s a n i t e c o l l e c t i o n , t h e a l g o r i t h m

w i l l s t o p a t a n a l d i s c D

n

F o r x i n E ; s u p p o s e x i s n o t i n t h e u n i o n

o f D

1

; ; D

n

T h e n x i s i n s o m e d i s c D o f r a d i u s r i n F N o w D i s

n o t o n e o f t h e D

j

' s i m p l i e s i t i n t e r s e c t s s o m e d i s c D

j

o f r a d i u s r

j

r

B y t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y , t h e c e n t e r s i s a t m o s t r + r

j

u n i t s a p a r t .

T h e n D i s c o n t a i n e d i n 3 D

j

I n p a r t i c u l a r , x i s i n 3 D

j

T h e r e f o r e , E i s

c o n t a i n e d i n t h e u n i o n o f 3 D

1

; ; 3 D

n

1 7 6 . ( 1 9 9 5 I M O ) D e t e r m i n e a l l i n t e g e r s n > 3 f o r w h i c h t h e r e e x i s t n p o i n t s

A

1

; A

2

; ; A

n

i n t h e p l a n e , a n d r e a l n u m b e r s r

1

; r

2

; ; r

n

s a t i s f y i n g

t h e f o l l o w i n g t w o c o n d i t i o n s :

1 3 1

S o l u t i o n . ( D u e t o H o W i n g Y i p ) F o r n = 4 ; n o t e A

1

= ( 0 ; 0 ) ; A

2

( 1 ; 0 ) ; A

3

= ( 1 ; 1 ) ; A

4

= ( 0 ; 1 ) ; r

1

= r

2

= r

3

= r

4

= 1 = 6 s a t i s f y t

c o n d i t i o n s . N e x t w e w i l l s h o w t h e r e a r e n o s o l u t i o n s f o r n 5 S u p p o

t h e c o n t r a r y , c o n s i d e r t h e c o n v e x h u l l o f A

1

; A

2

; A

3

; A

4

; A

5

( T h i s i s t

s m a l l e s t c o n v e x s e t c o n t a i n i n g t h e v e p o i n t s . ) T h e r e a r e t h r e e c a s e

T r i a n g u l a r C a s e . W e m a y a s s u m e t h e p o i n t s a r e n a m e d s o A

1

; A

2

; A

a r e t h e v e r t i c e s o f t h e c o n v e x h u l l , w i t h A

4

; A

5

i n s i d e s u c h t h a t A

i s o u t s i d e 4 A

1

A

2

A

4

a n d A

4

i s o u t s i d e 4 A

1

A

3

A

5

D e n o t e t h e a r e a

4 X Y Z b y X Y Z ] W e g e t a c o n t r a d i c t i o n a s f o l l o w s :

A

1

A

4

A

5

] + A

1

A

2

A

3

] = ( r

1

+ r

4

+ r

5

) + ( r

1

+ r

2

+ r

3

)

= ( r

1

+ r

2

+ r

4

) + ( r

1

+ r

3

+ r

5

)

= A

1

A

2

A

4

] + A

1

A

3

A

5

] < A

1

A

2

A

3

]

P e n t a g o n a l C a s e . W e m a y a s s u m e r

1

= m i n f r

1

; r

2

; r

3

; r

4

; r

5

g D r a

l i n e L t h r o u g h A

1

p a r a l l e l t o A

3

A

4

S i n c e A

1

A

3

A

4

] = r

1

+ r

3

+ r

4

r

2

+ r

3

+ r

4

= A

2

A

3

A

4

] ; A

2

i s o n l i n e L o r o n t h e h a l f p l a n e o f

o p p o s i t e A

3

; A

4

a n d s i m i l a r l y f o r A

5

S i n c e A

1

; A

2

; A

5

c a n n o t a l l b e

L ; w e g e t

6

A

2

A

1

A

5

> 1 8 0

c o n t r a d i c t i n g c o n v e x i t y .

Q u a d r i l a t e r a l C a s e W e m a y a s s u m e A

5

i s i n s i d e t h e c o n v e x h u l l . F i r

o b s e v e t h a t r

1

+ r

3

= R

2

+ r

4

T h i s i s b e c a u s e

( r

1

+ r

2

+ r

3

) + ( r

3

+ r

4

+ r

1

) = ( r

1

+ r

2

+ r

4

) + ( r

2

+ r

4

+ r

3

)

i s t h e a r e a S o f t h e c o n v e x h u l l . S o 2 S = 3 ( r

1

+ r

2

+ r

3

+ r

4

) A l s o

S = A

1

A

2

A

5

] + A

2

A

3

A

5

] + A

3

A

4

A

5

] + A

4

A

1

A

5

]

= 2 ( r

1

+ r

2

r

3

+ r

4

) + r

5

F r o m t h e l a s t e q u a t i o n , w e g e t r

5

= ( r

1

+ r

2

+ r

3

+ r

4

) = 8 = S = 1 2 <

N e x t o b s e r v e t h a t A

1

; A

5

; A

3

n o t c o l l i n e a r i m p l i e s o n e s i d e

6

A

1

A

5

A

3

i s l e s s t h a n 1 8 0

T h e n o n e o f t h e q u a d r i l a t e r a l s A

1

A

5

A

3

A

1 3 2

o r A

1

A

5

A

3

A

2

i s c o n v e x . B y t h e r s t o b s e r v a t i o n o f t h i s c a s e , r

1

+ r

3

=

r

5

+ r

i

; w h e r e r

i

= r

4

o r r

2

S i n c e r

1

+ r

3

= r

2

+ r

4

; w e g e t r

5

= r

2

o r

r

4

S i m i l a r l y , c o n s i d e r i n g A

2

; A

5

; A

4

n o t c o l l i n e a r , w e a l s o g e t r

5

= r

1

o r r

3

T h e r e f o r e , t h r e e o f t h e n u m b e r s r

1

; r

2

; r

3

; r

4

; r

5

a r e n e g a t i v e , b u t

( T h e c a s e n = 2 y i e l d s t h e m i d p o i n t o f s e g m e n t X

1

X

2

a n d t h e c a

n = 3 y i e l d s t h e c e n t r o i d o f t r i a n g l e X

1

X

2

X

3

) N o t e t h e b a r y c e n t

d o e s n o t d e p e n d o n t h e o r i g i n . T o s e e t h i s , s u p p o s e w e g e t a p o i n t

u s i n g a n o t h e r o r i g i n O

0

; i . e .

!

O

0

G

0

i s t h e a v e r a g e o f

!

O

0

X

i

f o r i = 1 ; ;

!

!

0 0

!

0

0



1 7 7 . ( 1 9 9 9 I M O ) D e t e r m i n e a l l n i t e s e t s S o f a t l e a s t t h r e e p o i n t s i n t h e

p l a n e w h i c h s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n : f o r a n y t w o d i s t i n c t p o i n t s

A a n d B i n S ; t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f t h e l i n e s e g m e n t A B i s a n

a x i s o f s y m m e t r y o f S

S o l u t i o n . C l e a r l y , n o t h r e e p o i n t s o f s u c h a s e t i s c o l l i n e a r ( o t h e r w i s e

c o n s i d e r i n g t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f t h e t w o f u r t h e s t p o i n t s o f S

o n t h a t l i n e , w e w i l l g e t a c o n t r a d i c t i o n ) . L e t H b e t h e c o n v e x h u l l

o f s u c h a s e t , w h i c h i s t h e s m a l l e s t c o n v e x s e t c o n t a i n i n g S S i n c e S i s

n i t e , t h e b o u n d a r y o f H i s a p o l y g o n w i t h t h e v e r t i c e s P

1

; P

2

; ; P

n

b e l o n g i n g t o S L e t P

i

= P

j

i f i j ( m o d n ) F o r i = 1 ; 2 ; ; n ;

t h e c o n d i t i o n o n t h e s e t i m p l i e s P

i

i s o n t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f

P

i 1

P

i + 1

S o P

i 1

P

i

= P

i

P

i + 1

C o n s i d e r i n g t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r

o f P

i 1

P

i + 2

; w e s e e t h a t

6

P

i 1

P

i

P

i + 1

=

6

P

i

P

i + 1

P

i + 2

S o t h e b o u n d a r y

o f H i s a r e g u l a r p o l y g o n .

N e x t , t h e r e c a n n o t b e a n y p o i n t P o f S i n s i d e t h e r e g u l a r p o l y g o n .

( T o s e e t h i s , a s s u m e s u c h a P e x i s t s . P l a c e i t a t t h e o r i g i n a n d t h e

f u r t h e s t p o i n t Q o f S f r o m P o n t h e p o s i t i v e r e a l a x i s . S i n c e t h e o r i g i n

P i s i n t h e i n t e r i o r o f t h e c o n v e x p o l y g o n , n o t a l l t h e v e r t i c e s c a n l i e

o n o r t o t h e r i g h t o f t h e y - a x i s . S o t h e r e e x i s t s a v e r t e x P

j

t o t h e

l e f t o f t h e y - a x i s . S i n c e t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f P Q i s a n a x i s o f

s y m m e t r y , t h e m i r r o r i m a g e o f P

j

w i l l b e a p o i n t i n S f u r t h e r t h a n Q

f r o m P ; a c o n t r a d i c t i o n . ) S o S i s t h e s e t o f v e r t i c e s o f s o m e r e g u l a r

p o l y g o n C o n v e r s e l y , s u c h a s e t c l e a r l y h a s t h e r e q u i r e d p r o p e r t y

C o m m e n t s . T h e o c i a l s o l u t i o n i s s h o r t e r a n d g o e s a s f o l l o w s : S u p p o s e

S = f X

1

; ; X

n

g i s s u c h a s e t . C o n s i d e r t h e b a r y c e n t e r o f S ; w h i c h i s

t h e p o i n t G s u c h t h a t

!

O G =

!

O X

1

+ +

!

O X

n

n

1 3 3

S u b t r a c t i n g t h e t w o a v e r a g e s , w e g e t O G O G = O O A d d i n g O G

t o b o t h s i d e s , w e g e t

!

O G =

!

O G

0

; s o G = G

0

B y t h e c o n d i t i o n o n S ; a f t e r r e e c t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e p e r p e

d i c u l a r b i s e c t o r o f e v e r y s e g m e n t X

i

X

j

; t h e p o i n t s o f S a r e p e r m u t

o n l y . S o G i s u n c h a n g e d , w h i c h i m p l i e s G i s o n e v e r y s u c h p e r p e

d i c u l a r b i s e c t o r . H e n c e G i s e q u i d i s t a n t f r o m a l l X

i

' s . T h e r e f o r e , t

X

i

' s a r e c o n c y c l i c . F o r t h r e e c o n s e c u t i v e p o i n t s o f S ; s a y X

i

; X

j

; X

o n t h e c i r c l e , c o n s i d e r i n g t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f s e g m e n t X

i

X

w e h a v e X

i

X

j

= X

j

X

k

I t f o l l o w s t h a t t h e p o i n t s o f S a r e t h e v e r t i c

o f a r e g u l a r p o l y g o n a n d t h e c o n v e r s e i s c l e a r .

1 3 4

S o l u t i o n s t o M i s c e l l a n e o u s P r o b l e m s

1 7 8 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) T h e r e a r e n s e a t s a t a m e r r y - g o - a r o u n d .

A b o y t a k e s n r i d e s . B e t w e e n e a c h r i d e , h e m o v e s c l o c k w i s e a c e r t a i n

S o l u t i o n . W e w i l l s h o w t h a t a l l n u m b e r s o f t h e f o r m

p

m = n ; w h e

m ; n a r e p o s i t i v e i n t e g e r s , c a n b e d i s p l a y e d b y i n d u c t i o n o n k = m +

( S i n c e r = s =

p

r

2

= s

2

; t h e s e i n c l u d e a l l p o s i t i v e r a t i o n a l s . )

F o r k = 2 ; p r e s s i n g c o s w i l l d i s p l a y 1 S u p p o s e t h e s t a t e m e



n u m b e r ( l e s s t h a n n ) o f p l a c e s t o a n e w h o r s e E a c h t i m e h e m o v e s a

d i e r e n t n u m b e r o f p l a c e s . F i n d a l l n f o r w h i c h t h e b o y e n d s u p r i d i n g

e a c h h o r s e .

S o l u t i o n . T h e c a s e n = 1 w o r k s . I f n > 1 i s o d d , t h e b o y ' s t r a v e l

1 + 2 + + ( n 1 ) = n ( n 1 ) = 2 p l a c e s b e t w e e n t h e r s t a n d t h e l a s t

r i d e s . S i n c e n ( n 1 ) = 2 i s d i v i s i b l e b y n ; h i s l a s t r i d e w i l l r e p e a t t h e r s t

h o r s e . I f n i s e v e n , t h i s i s p o s s i b l e b y m o v i n g f o r w a r d 1 ; n 2 ; 3 ; n

4 ; ; n 1 p l a c e s c o r r e s p o n d i n g t o h o r s e s 1 ; 2 ; n ; 3 ; n 1 ; ;

n

2

+ 1

1 7 9 . ( 1 9 9 5 I s r a e l i M a t h O l y m p i a d ) T w o p l a y e r s p l a y a g a m e o n a n i n n i t e

b o a r d t h a t c o n s i s t s o f 1 1 s q u a r e s . P l a y e r I c h o o s e s a s q u a r e a n d

m a r k s i t w i t h a n O . T h e n , p l a y e r I I c h o o s e s a n o t h e r s q u a r e a n d m a r k s

i t w i t h X . T h e y p l a y u n t i l o n e o f t h e p l a y e r s m a r k s a r o w o r a c o l u m n

o f 5 c o n s e c u t i v e s q u a r e s , a n d t h i s p l a y e r w i n s t h e g a m e . I f n o p l a y e r

c a n a c h i e v e t h i s , t h e g a m e i s a t i e . S h o w t h a t p l a y e r I I c a n p r e v e n t

p l a y e r I f r o m w i n n i n g

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a o K h e k L u n ) D i v i d e t h e b o a r d i n t o 2 2 b l o c k s .

T h e n b i s e c t e a c h 2 2 b l o c k i n t o t w o 1 2 t i l e s s o t h a t f o r e v e r y p a i r

o f b l o c k s s h a r i n g a c o m m o n e d g e , t h e b i s e c t i n g s e g m e n t i n o n e w i l l b e

h o r i z o n t a l a n d t h e o t h e r v e r t i c a l . S i n c e e v e r y v e c o n s e c u t i v e s q u a r e s

o n t h e b o a r d c o n t a i n s a t i l e , a f t e r p l a y e r I c h o s e a s q u a r e , p l a y e r I I

c o u l d p r e v e n t p l a y e r I f r o m w i n n i n g b y c h o o s i n g t h e o t h e r s q u a r e i n

t h e t i l e .

1 8 0 . ( 1 9 9 5 U S A M O ) A c a l c u l a t o r i s b r o k e n s o t h a t t h e o n l y k e y s t h a t s t i l l

w o r k a r e t h e s i n , c o s , t a n , s i n

1

; c o s

1

; a n d t a n

1

b u t t o n s . T h e d i s -

p l a y i n i t i a l l y s h o w s 0 G i v e n a n y p o s i t i v e r a t i o n a l n u m b e r q ; s h o w t h a t

p r e s s i n g s o m e n i t e s e q u e n c e o f b u t t o n s w i l l y i e l d q A s s u m e t h a t t h e

c a l c u l a t o r d o e s r e a l n u m b e r c a l c u l a t i o n s w i t h i n n i t e p r e c i s i o n . A l l

f u n c t i o n s a r e i n t e r m s o f r a d i a n s .

1 3 5

i s t r u e f o r i n t e g e r l e s s t h a n k O b s e r v e t h a t i f x i s d i s p l a y e d , t h

u s i n g t h e f a c t s = t a n

1

x i m p l i e s c o s

1

( s i n ) = ( = 2 ) a n

t a n ( ( = 2 ) ) = 1 = x S o , w e c a n d i s p l a y 1 = x T h e r e f o r e , t o d i s p l

p

m = n w i t h k = m + n ; w e m a y a s s u m e m < n : B y t h e i n d u

t i o n s t e p , n < k i m p l i e s

p

( n m ) = m c a n b e d i s p l a y e d . T h e n u s i

= t a n

1

p

( n m ) = m a n d c o s =

p

m = n ; w e c a n d i s p l a y

p

m =

T h i s c o m p l e t e s t h e i n d u c t i o n .

1 8 1 . ( 1 9 7 7 E o t v o s - K u r s c h a k M a t h C o m p e t i t i o n ) E a c h o f t h r e e s c h o o l s

a t t e n d e d b y e x a c t l y n s t u d e n t s . E a c h s t u d e n t h a s e x a c t l y n + 1 a

q u a i n t a n c e s i n t h e o t h e r t w o s c h o o l s P r o v e t h a t o n e c a n p i c k t h r

s t u d e n t s , o n e f r o m e a c h s c h o o l , w h o k n o w o n e a n o t h e r . I t i s a s s u m

t h a t a c q u a i n t a n c e i s m u t u a l .

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a n K i n H a n g ) C o n s i d e r a s t u d e n t w h o h a s t

h i g h e s t n u m b e r , s a y k ; o f a c q u a i n t a n c e s i n a n o t h e r s c h o o l . C a l l t h

s t u d e n t x ; h i s s c h o o l X a n d t h e k a c q u a i n t a n c e s i n s c h o o l Y S i n

n + 1 > n k ; x m u s t h a v e a t l e a s t o n e a c q u a i n t a n c e , s a y z ; i n t h e t h i

s c h o o l Z N o w z h a s a t m o s t k a c q u a i n t a n c e s i n s c h o o l X a n d h e n c e

h a s a t l e a s t ( n + 1 ) k a c q u a i n t a n c e s i n s c h o o l Y A d d i n g t h e n u m b e r

a c q u a i n t a n c e s o f x a n d z i n s c h o o l Y ; w e g e t k + ( n + 1 ) k = n + 1 >

a n d s o x a n d z m u s t h a v e a c o m m o n a c q u a i n t a n c e y i n s c h o o l Y

1 8 2 . I s t h e r e a w a y t o p a c k 2 5 0 1 1 4 b r i c k s i n t o a 1 0 1 0 1 0 b o x ?

S o l u t i o n . A s s i g n c o o r d i n a t e ( x ; y ; z ) t o e a c h o f t h e c e l l s , w h e r e x ; y ; z

0 ; 1 ; ; 9 L e t t h e c e l l ( x ; y ; z ) b e g i v e n c o l o r x + y + z ( m o d 4 ) N o

e a c h 1 1 4 b r i c k c o n t a i n s a l l 4 c o l o r s e x a c t l y o n c e . I f t h e p a c k i

i s p o s s i b l e , t h e n t h e r e a r e e x a c t l y 2 5 0 c e l l s o f e a c h c o l o r . H o w e v e r ,

d i r e c t c o u n t i n g s h o w s t h e r e a r e 2 5 1 c e l l s o f c o l o r 0 , a c o n t r a d i c t i o n .

s u c h a p a c k i n g i s i m p o s s i b l e .

1 3 6

1 8 3 . I s i t p o s s i b l e t o w r i t e a p o s i t i v e i n t e g e r i n t o e a c h s q u a r e o f t h e r s t

q u a d r a n t s u c h t h a t e a c h c o l u m n a n d e a c h r o w c o n t a i n s e v e r y p o s i t i v e

i n t e g e r e x a c t l y o n c e ?

B

n

A

n

o f t h e e d g e . C a n t h e s u m o f t h e n u m b e r s w r i t t e n a t t h e v e r t i c e s b e t

s a m e a s t h e s u m o f t h e n u m b e r s w r i t t e n a t t h e e d g e s ?

S o l u t i o n . O b s e r v e t h a t i f a > b ; t h e n g c d ( a ; b ) b a n d g c d ( a ; b ) a =

S o 3 g c d ( a ; b ) a + b I f t h e s u m o f t h e v e r t e x n u m b e r s e q u a l s t h e s u



S o l u t i o n . Y e s , i t i s p o s s i b l e . D e n e A

1

= ( 1 ) a n d A

n + 1

=

A

n

B

n

;

w h e r e t h e e n t r i e s o f B

n

a r e t h o s e o f A

n

p l u s 2

n 1

S o

A

1

= ( 1 ) ; A

2

=

2 1

1 2

; A

3

=

0

B

@

4 3 2 1

3 4 1 2

2 1 4 3

1 2 3 4

1

C

A

;

N o t e t h a t i f e v e r y c o l u m n a n d e v e r y r o w o f A

n

c o n t a i n 1 ; 2 ; ; 2

n 1

e x a c t l y o n c e , t h e n e v e r y c o l u m n a n d e v e r y r o w o f B

n

w i l l c o n t a i n

2

n 1

+ 1 ; ; 2

n

e x a c t l y o n c e . S o , e v e r y c o l u m n a n d e v e r y r o w o f A

n + 1

w i l l c o n t a i n 1 ; 2 ; ; 2

n

e x a c t l y o n c e . N o w l l t h e r s t q u a d r a n t u s i n g

t h e A

n

' s

1 8 4 . T h e r e a r e n i d e n t i c a l c a r s o n a c i r c u l a r t r a c k . A m o n g a l l o f t h e m , t h e y

h a v e j u s t e n o u g h g a s f o r o n e c a r t o c o m p l e t e a l a p . S h o w t h a t t h e r e i s

a c a r w h i c h c a n c o m p l e t e a l a p b y c o l l e c t i n g g a s f r o m t h e o t h e r c a r s

o n i t s w a y a r o u n d t h e t r a c k i n t h e c l o c k w i s e d i r e c t i o n .

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a n K i n H a n g ) T h e c a s e n = 1 i s c l e a r . S u p p o s e

t h e c a s e n = k i s t r u e . F o r t h e c a s e n = k + 1 ; r s t o b s e r v e t h a t t h e r e

i s a c a r A w h i c h c a n r e a c h t h e n e x t c a r B ( I f n o c a r c a n r e a c h t h e

n e x t c a r , t h e n t h e g a s f o r a l l c a r s w o u l d n o t b e e n o u g h f o r c o m p l e t i n g

a l a p . ) L e t u s e m p t y t h e g a s o f B i n t o A a n d r e m o v e B T h e n t h e k

c a r s l e f t s a t i s f y t h e c o n d i t i o n . S o t h e r e i s a c a r t h a t c a n c o m p l e t e a

l a p . T h i s s a m e c a r w i l l a l s o b e a b l e t o c o m p l e t e t h e l a p c o l l e c t i n g g a s

f r o m o t h e r c a r s w h e n B i s i n c l u d e d b e c a u s e w h e n t h i s c a r g e t s t o c a r

A ; t h e g a s c o l l e c t e d f r o m c a r A w i l l b e e n o u g h t o g e t i t t o c a r B

1 8 5 . ( 1 9 9 6 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) A t t h e v e r t i c e s o f a c u b e a r e w r i t t e n

e i g h t p a i r w i s e d i s t i n c t n a t u r a l n u m b e r s , a n d o n e a c h o f i t s e d g e s i s

w r i t t e n t h e g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r o f t h e n u m b e r s a t t h e e n d p o i n t s

1 3 7

o f t h e e d g e n u m b e r s , t h e n w e w i l l h a v e g c d ( a ; b ) = ( a + b ) = 3 f o r e v e

p a i r o f a d j a c e n t v e r t e x n u m b e r s , w h i c h i m p l i e s a = 2 b o r b = 2 a a t t

t w o e n d s o f e v e r y e d g e . A t e v e r y v e r t e x , t h e r e a r e 3 a d j a c e n t v e r t i c

T h e a = 2 b o r b = 2 a c o n d i t i o n i m p l i e s t w o o f t h e s e a d j a c e n t v e r t

n u m b e r s m u s t b e t h e s a m e , a c o n t r a d i c t i o n .

1 8 6 . C a n t h e p o s i t i v e i n t e g e r s b e p a r t i t i o n e d i n t o i n n i t e l y m a n y s u b s e

s u c h t h a t e a c h s u b s e t i s o b t a i n e d f r o m a n y o t h e r s u b s e t b y a d d i n g t

s a m e i n t e g e r t o e a c h e l e m e n t o f t h e o t h e r s u b s e t ?

S o l u t i o n . Y e s . L e t A b e t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s w h o s e o d d d i g

p o s i t i o n s ( f r o m t h e r i g h t ) a r e z e r o s L e t B b e t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e

w h o s e e v e n d i g i t p o s i t i o n s ( f r o m t h e r i g h t ) a r e z e r o s . T h e n A a n d

a r e i n n i t e s e t a n d t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s i s t h e u n i o n o f a + B

f a + b : b 2 B g a s a r a n g e s o v e r t h e e l e m e n t s o f A ( F o r e x a m p

1 2 3 4 5 = 2 0 4 0 + 1 0 3 0 5 2 2 0 4 0 + B )

1 8 7 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I s i t p o s s i b l e t o l l i n t h e c e l l s o f

9 9 t a b l e w i t h p o s i t i v e i n t e g e r s r a n g i n g f r o m 1 t o 8 1 i n s u c h a w

t h a t t h e s u m o f t h e e l e m e n t s o f e v e r y 3 3 s q u a r e i s t h e s a m e ?

S o l u t i o n . P l a c e 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 o n t h e r s t , f o u r t h a n d s e v e n

r o w s . P l a c e 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 0 ; 1 ; 2 o n t h e s e c o n d , f t h a n d e i g t h r o w

P l a c e 6 ; 7 ; 8 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 o n t h e t h i r d , s i x t h a n d n i n t h r o w s . T h

e v e r y 3 3 s q u a r e h a s s u m 3 6 . C o n s i d e r t h i s t a b l e a n d i t s 9 0

r o t a t i o

F o r e a c h c e l l , l l i t w i t h t h e n u m b e r 9 a + b + 1 ; w h e r e a i s t h e n u m b

i n t h e c e l l o r i g i n a l l y a n d b i s t h e n u m b e r i n t h e c e l l a f t e r t h e t a b l e

r o t a t e d b y 9 0

B y i n s p e c t i o n , 1 t o 8 1 a p p e a r s e x a c t l y o n c e e a c h a

e v e r y 3 3 s q u a r e h a s s u m 9 3 6 + 3 6 + 9 = 3 6 9

1 8 8 . ( 1 9 9 1 G e r m a n M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d ) S h o w t h a t f o r e v e r y p o s i t i

i n t e g e r n 2 ; t h e r e e x i s t s a p e r m u t a t i o n p

1

; p

2

; ; p

n

o f 1 ; 2 ;

s u c h t h a t p

k + 1

d i v i d e s p

1

+ p

2

+ + p

k

f o r k = 1 ; 2 ; ; n 1

1 3 8

S o l u t i o n . ( T h e c a s e s n = 2 ; 3 ; 4 ; 5 s u g g e s t t h e f o l l o w i n g p e r m u t a t i o n s . )

F o r e v e n n = 2 m ; c o n s i d e r t h e p e r m u t a t i o n

m + 1 ; 1 ; m + 2 ; 2 ; ; m + m ; m :

1 9 1 . ( 1 9 9 1 L e n i n g r a d M a t h O l y m p i a d ) O n e m a y p e r f o r m t h e f o l l o w i n g t w

o p e r a t i o n s o n a p o s i t i v e i n t e g e r :

( a ) m u l t i p l y i t b y a n y p o s i t i v e i n t e g e r a n d

( b ) d e l e t e z e r o s i n i t s d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n



F o r o d d n = 2 m + 1 ; c o n s i d e r t h e p e r m u t a t i o n

m + 1 ; 1 ; m + 2 ; 2 ; ; m + m ; m ; 2 m + 1

I f k = 2 j 1 ; ( 1 j m ) t h e n ( m + 1 ) + 1 + + ( m + j ) = j ( m + j ) I f

k = 2 j ; ( 1 j m ) t h e n ( m + 1 ) + 1 + + ( m + j ) + j = j ( m + j + 1 )

1 8 9 . E a c h l a t t i c e p o i n t o f t h e p l a n e i s l a b e l e d b y a p o s i t i v e i n t e g e r . E a c h

o f t h e s e n u m b e r s i s t h e a r i t h m e t i c m e a n o f i t s f o u r n e i g h b o r s ( a b o v e ,

b e l o w , l e f t , r i g h t ) . S h o w t h a t a l l t h e n u m b e r s a r e e q u a l .

S o l u t i o n . C o n s i d e r t h e s m a l l e s t n u m b e r m l a b e l l e d a t a l a t t i c e p o i n t .

I f t h e f o u r n e i g h b o r i n g n u m b e r s a r e a ; b ; c ; d ; t h e n ( a + b + c + d ) = 4 = m

a n d a ; b ; c ; d m i m p l y a = b = c = d = m S i n c e a n y t w o l a t t i c e

p o i n t s c a n b e c o n n e c t e d b y h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l s e g m e n t s , i f o n e

e n d i s l a b e l l e d m ; t h e n a l o n g t h i s p a t h a l l n u m b e r s w i l l e q u a l t o m

T h e r e f o r e , e v e r y n u m b e r e q u a l s m

1 9 0 . ( 1 9 8 4 T o u r n a m e n t o f t h e T o w n s ) I n a p a r t y , n b o y s a n d n g i r l s a r e

p a i r e d I t i s o b s e r v e d t h a t i n e a c h p a i r , t h e d i e r e n c e i n h e i g h t i s l e s s

t h a n 1 0 c m . S h o w t h a t t h e d i e r e n c e i n h e i g h t o f t h e k - t h t a l l e s t b o y

a n d t h e k - t h t a l l e s t g i r l i s a l s o l e s s t h a n 1 0 c m f o r k = 1 ; 2 ; ; n

S o l u t i o n . ( D u e t o A n d y L i u , U n i v e r s i t y o f A l b e r t a , C a n a d a ) L e t b

1

b

2

b

n

b e t h e h e i g h t s o f t h e b o y s a n d g

1

g

2

g

n

b e t h o s e o f t h e g i r l s . S u p p o s e f o r s o m e k ; j b

k

g

k

j 1 0 I n t h e c a s e

g

k

b

k

1 0 ; w e h a v e g

i

b

j

g

k

b

k

1 0 f o r 1 i k a n d

k j n C o n s i d e r t h e g i r l s o f h e i g h t g

i

; w h e r e 1 i k , a n d t h e

b o y s o f h e i g h t b

j

; w h e r e k j n B y t h e p i g e o n h o l e p r i n c i p l e , t w o

o f t h e s e n + 1 p e o p l e m u s t b e p a i r e d o r i g i n a l l y H o w e v e r , f o r t h a t p a i r ,

g

i

b

j

1 0 c o n t r a d i c t s t h e h y p o t h e s i s . ( T h e c a s e b

k

g

k

1 0 i s

h a n d l e d s i m i l a r l y . ) S o j b

k

g

k

j < 1 0 f o r a l l k

1 3 9

P r o v e t h a t f o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r X ; o n e c a n p e r f o r m a s e q u e n c e

t h e s e o p e r a t i o n s t h a t w i l l t r a n s f o r m X t o a o n e - d i g i t n u m b e r .

S o l u t i o n . B y t h e p i g e o n h o l e p r i n c i p l e , a t l e a s t t w o o f t h e X + 1 n u m

b e r s

1 ; 1 1 ; 1 1 1 ; ; 1 1 1 1

| { z }

X + 1 d i g i t s

h a v e t h e s a m e r e m a i n d e r w h e n d i v i d e d b y X S o t a k i n g t h e d i e r e n

o f t w o o f t h e s e n u m b e r s , w e g e t a n u m b e r o f t h e f o r m 1 1 1 0 0

w h i c h i s a m u l t i p l e o f X P e r f o r m o p e r a t i o n ( a ) o n X t o g e t s u c h

m u l t i p l e . T h e n p e r f o r m o p e r a t i o n ( b ) t o d e l e t e t h e z e r o s ( i f a n y ) .

t h e n e w n u m b e r h a s m o r e t h a n o n e d i g i t s , w e d o t h e f o l l o w i n g s t e p

( 1 ) m u l t i p l y b y 8 2 t o g e t a n u m b e r 9 1 1 1 0 2 ; ( 2 ) d e l e t e t h e z e r o a n

m u l t i p l y b y 9 t o g e t a n u m b e r 8 2 0 0 0 8 ; ( 3 ) d e l e t e t h e z e r o s t o g

8 2 8 , ( 4 ) n o w 8 2 8 2 5 = 2 0 7 0 0 ; 2 7 4 = 1 0 8 ; 1 8 5 = 9 0 a n d d e l e

z e r o , w e g e t t h e s i n g l e d i g i t 9 .

1 9 2 . ( 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) F o u r i n t e g e r s a r e m a r k e d o n a c i r c

O n e a c h s t e p w e s i m u l t a n e o u s l y r e p l a c e e a c h n u m b e r b y t h e d i e r e n

b e t w e e n t h i s n u m b e r a n d n e x t n u m b e r o n t h e c i r c l e i n a g i v e n d i r e c t i

( t h a t i s , t h e n u m b e r s a ; b ; c ; d a r e r e p l a c e d b y a b ; b c ; c d ; d a

I s i t p o s s i b l e a f t e r 1 9 9 6 s u c h s t e p s t o h a v e n u m b e r s a ; b ; c ; d s u c h t h

t h e n u m b e r s j b c a d j ; j a c b d j ; j a b c d j a r e p r i m e s ?

S o l u t i o n . ( D u e t o N g K a M a n a n d N g K a W i n g ) I f t h e i n i t i a l n u m b e

a r e a = w ; b = x ; c = y ; d = z ; t h e n a f t e r 4 s t e p s , t h e n u m b e r s w i l l b

a = 2 ( w 2 x + 3 y 2 z ) ; b = 2 ( x 2 y + 3 z 2 w ) ;

c = 2 ( y 2 z + 3 w 2 x ) ; d = 2 ( z 2 w + 3 y 2 z )

F r o m t h a t p o i n t o n , a ; b ; c ; d w i l l a l w a y s b e e v e n , s o j b c a d j ; j a c

b d j ; j a b c d j w i l l a l w a y s b e d i v i s i b l e b y 4 .

1 4 0

1 9 3 . ( 1 9 8 9 N a n c h a n g C i t y M a t h C o m p e t i t i o n ) T h e r e a r e 1 9 8 9 c o i n s o n a

t a b l e . S o m e a r e p l a c e d w i t h t h e h e a d s i d e s u p a n d s o m e t h e t a i l s i d e s

u p . A g r o u p o f 1 9 8 9 p e r s o n s w i l l p e r f o r m t h e f o l l o w i n g o p e r a t i o n s :

t h e r s t p e r s o n i s a l l o w e d t u r n o v e r a n y o n e c o i n , t h e s e c o n d p e r s o n i s

a l l o w e d t u r n o v e r a n y t w o c o i n s , : : : ; t h e k - t h p e r s o n i s a l l o w e d t u r n

a l l h e a d s u p a n d m a y a l s o b e i p p e d w i t h a l l t a i l s u p . R e v e r s i n g t

i p p i n g s o n t h e h e a d s u p c a s e , w e c a n t h e n g o f r o m a l l c o i n s h e a d s u

t o a l l t a i l s u p i n 2 ( 1 + 2 + + 1 9 8 9 ) i p p i n g s H o w e v e r , f o r e a c h c o

t o g o f r o m h e a d u p t o t a i l u p , e a c h m u s t b e i p p e d a n o d d n u m b e r

t i m e s a n d t h e 1 9 8 9 c o i n s m u s t t o t a l t o a n o d d n u m b e r o f i p p i n g s ,



o v e r a n y k c o i n s , : : : ; t h e 1 9 8 9 t h p e r s o n i s a l l o w e d t o t u r n o v e r e v e r y

c o i n . P r o v e t h a t

( 1 ) n o m a t t e r w h i c h s i d e s o f t h e c o i n s a r e u p i n i t i a l l y , t h e 1 9 8 9 p e r s o n s

c a n c o m e u p w i t h a p r o c e d u r e t u r n i n g a l l c o i n s t h e s a m e s i d e s u p

a t t h e e n d o f t h e o p e r a t i o n s ,

( 2 ) i n t h e a b o v e p r o c e d u r e , w h e t h e r t h e h e a d o r t h e t a i l s i d e s t u r n e d

u p a t t h e e n d w i l l d e p e n d o n t h e i n i t i a l p l a c e m e n t o f t h e c o i n s .

S o l u t i o n . ( D u e t o C h a n K i n H a n g ) ( 1 ) T h e n u m b e r 1 9 8 9 m a y n o t

b e s p e c i a l . S o l e t u s r e p l a c e i t b y a v a r i a b l e n T h e c a s e s n = 1 a n d

3 a r e t r u e , b u t t h e c a s e n = 2 i s f a l s e ( w h e n b o t h c o i n s a r e h e a d s

u p i n i t i a l l y ) . S o w e s u s p e c t t h e s t a t e m e n t i s t r u e f o r o d d n a n d d o

i n d u c t i o n o n k ; w h e r e n = 2 k 1 T h e c a s e s k = 1 ; 2 a r e t r u e . S u p p o s e

t h e c a s e k i s t r u e . F o r t h e c a s e k + 1 ; w e h a v e n = 2 k + 1 c o i n s

F i r s t , s u p p o s e a l l c o i n s a r e t h e s a m e s i d e u p i n i t i a l l y . F o r i =

1 ; 2 ; ; k ; l e t t h e i - t h p e r s o n i p a n y i c o i n s a n d l e t t h e ( 2 k + 1 i ) - t h

p e r s o n i p s t h e r e m a i n i n g 2 k + 1 i c o i n s . T h e n e a c h c o i n i s i p p e d

k + 1 t i m e s a n d a t t h e e n d a l l c o i n s w i l l b e t h e s a m e s i d e u p

N e x t , s u p p o s e n o t a l l c o i n s a r e t h e s a m e s i d e s u p i n i t i a l l y . T h e n

t h e r e i s o n e c o i n h e a d u p a n d a n o t h e r t a i l u p . M a r k t h e s e t w o c o i n s .

L e t t h e r s t 2 k 1 p e r s o n s i p t h e o t h e r 2 k 1 c o i n s t h e s a m e s i d e

u p b y t h e c a s e k T h e n t h e r e a r e e x a c t l y 2 k c o i n s t h e s a m e s i d e u p

a n d o n e c o i n o p p o s i t e s i d e u p . T h e 2 k - t h p e r s o n i p s t h e 2 k c o i n s t h e

s a m e s i d e u p a n d t h e 2 k + 1 - s t p e r s o n i p s a l l c o i n s a n d t h i s s u b c a s e

i s s o l v e d .

S o t h e k + 1 c a s e i s t r u e i n e i t h e r w a y a n d t h e i n d u c t i o n s t e p i s

c o m p l e t e , i n p a r t i c u l a r , c a s e n = 1 9 8 9 i s t r u e .

( 2 ) I f t h e p r o c e d u r e d o e s n o t d e p e n d o n t h e i n i t i a l p l a c e m e n t , t h e n

i n s o m e i n i t i a l p l a c e m e n t s o f t h e c o i n s , t h e c o i n s m a y b e i p p e d w i t h

1 4 1

c o n t r a d i c t i o n .

1 9 4 . ( P r o p o s e d b y I n d i a f o r 1 9 9 2 I M O ) S h o w t h a t t h e r e e x i s t s a c o n v

p o l y g o n o f 1 9 9 2 s i d e s s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

( a ) i t s s i d e s a r e 1 ; 2 ; 3 ; ; 1 9 9 2 i n s o m e o r d e r ;

( b ) t h e p o l y g o n i s c i r c u m s c r i b a b l e a b o u t a c i r c l e

S o l u t i o n . F o r n = 1 ; 2 ; ; 1 9 9 2 ; d e n e

x

n

=

8

<

:

n 1 i f n 1 ; 3 ( m o d 4 )

3 = 2 i f n 2 ( m o d 4 )

1 = 2 i f n 0 ( m o d 4 )

a n d a

n

= x

n

+ x

n + 1

w i t h x

1 9 9 3

= x

1

T h e s e q u e n c e a

n

i s

1 ; 2 ; 4 ; 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 7 ; ; 1 9 8 9 ; 1 9 9 0 ; 1 9 9 2 ; 1 9 9 1

C o n s i d e r a c i r c l e c e n t e r e d a t O w i t h l a r g e r a d i u s r a n d w i n d a p o l y g o n

l i n e A

1

A

2

A

1 9 9 2

A

1 9 9 3

w i t h l e n g t h A

i

A

i + 1

= a

i

a r o u n d t h e c i r c l e

t h a t t h e s e g m e n t s A

i

A

i + 1

a r e t a n g e n t t o t h e c i r c l e a t s o m e p o i n t

w i t h A

i

P

i

= x

i

a n d P

i

A

i + 1

= x

i + 1

T h e n O A

1

=

p

x

2

1

+ r

2

= O A

1 9 9

D e n e

f ( r ) = 2 t a n

1

x

1

r

+ 2 t a n

1

x

2

r

+ + 2 t a n

1

x

1 9 9 2

r

= (

6

A

1

O P

1

+

6

P

1 9 9 2

O A

1 9 9 3

) +

6

P

1

O P

2

+

6

P

2

O P

3

+ +

6

P

1 9 9 1

O P

1 9 9 2

N o w f i s c o n t i n u o u s , l i m

r ! 0 +

f ( r ) = 1 9 9 2 a n d l i m

r ! + 1

f ( r ) = 0 B y t

i n t e r m e d i a t e v a l u e t h e o r e m , t h e r e e x i s t s r s u c h t h a t f ( r ) = 2 F

s u c h r ; A

1 9 9 3

w i l l c o i n c i d e w i t h A

1

; r e s u l t i n g i n t h e d e s i r e d p o l y g o n

1 4 2

C o m m e n t s . T h e k e y f a c t t h a t m a k e s t h e p o l y g o n e x i s t s i s t h a t t h e r e

i s a p e r m u t a t i o n a

1

; a

2

; ; a

1 9 9 2

o f 1 ; 2 ; ; 1 9 9 2 s u c h t h a t t h e s y s t e m

o f e q u a t i o n s

x

1

+ x

2

= a

1

; x

2

+ x

3

= a

2

; ; x

1 9 9 2

+ x

1

= a

1 9 9 2

n u m b e r s a + b a n d a b r e p l a c i n g t h e m . I f t h i s o p e r a t i o n i s p e r f o r m e d r

p e a t e d l y , c a n t h e n u m b e r s 2 1 ; 2 7 ; 6 4 ; 1 8 0 ; 5 4 0 e v e r a p p e a r o n t h e b o a r

S o l u t i o n . O b s e r v e t h a t t h e n u m b e r o f m u l t i p l e s o f 3 a m o n g t h e

n u m b e r s o n t h e b l a c k b o a r d c a n n o t d e c r e a s e a f t e r e a c h o p e r a t i o n .



h a v e p o s i t i v e r e a l s o l u t i o n s .

1 9 5 . T h e r e a r e 1 3 w h i t e , 1 5 b l a c k , 1 7 r e d c h i p s o n a t a b l e . I n o n e s t e p , y o u

m a y c h o o s e 2 c h i p s o f d i e r e n t c o l o r s a n d r e p l a c e e a c h o n e b y a c h i p o f

t h e t h i r d c o l o r . C a n a l l c h i p s b e c o m e t h e s a m e c o l o r a f t e r s o m e s t e p s ?

S o l u t i o n . W r i t e ( a ; b ; c ) f o r a w h i t e , b b l a c k , c r e d c h i p s . S o f r o m

( a ; b ; c ) ; i n o n e s t e p , w e c a n g e t ( a + 2 ; b 1 ; c 1 ) o r ( a 1 ; b + 2 ; c 1 )

o r ( a 1 ; b 1 ; c + 2 ) O b s e r v e t h a t i n a l l 3 c a s e s , t h e d i e r e n c e

( a + 2 ) ( b 1 ) ; ( a 1 ) ( b + 2 ) ; ( a 1 ) ( b 1 ) a b ( m o d 3 )

S o a b ( m o d 3 ) i s a n i n v a r i a n t I f a l l c h i p s b e c o m e t h e s a m e c o l o r ,

t h e n a t t h e e n d , w e h a v e ( 4 5 ; 0 ; 0 ) o r ( 0 ; 4 5 ; 0 ) o r ( 0 ; 0 ; 4 5 ) S o a b

0 ( m o d 3 ) a t t h e e n d . H o w e v e r , a b = 1 3 1 5 6 0 ( m o d 3 ) i n t h e

b e g i n n i n g . S o t h e a n s w e r i s n o .

1 9 6 . T h e f o l l o w i n g o p e r a t i o n s a r e p e r m i t t e d w i t h t h e q u a d r a t i c p o l y n o m i a l

a x

2

+ b x + c :

( a ) s w i t c h a a n d c ,

( b ) r e p l a c e x b y x + t ; w h e r e t i s a r e a l n u m b e r .

B y r e p e a t i n g t h e s e o p e r a t i o n s , c a n y o u t r a n s f o r m x

2

x 2 i n t o x

2

x 1 ?

S o l u t i o n . C o n s i d e r t h e d i s c r i m i n a n t = b

2

4 a c A f t e r o p e r a t i o n ( a ) ,

= b

2

4 c a = b

2

4 a c A f t e r o p e r a t i o n ( b ) , a ( x + t )

2

+ b ( x + t ) + c =

a x

2

+ ( 2 a t + b ) x + ( a t

2

+ b t + c ) a n d = ( 2 a t + b )

2

4 a ( a t

2

+ b t + c ) =

b

2

4 a c S o i s a n i n v a r i a n t . F o r x

2

x 2 ; = 9 F o r x

2

x 1 ;

= 5 S o t h e a n s w e r i s n o .

1 9 7 . F i v e n u m b e r s 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 a r e w r i t t e n o n a b l a c k b o a r d . A s t u d e n t m a y

e r a s e a n y t w o o f t h e n u m b e r s a a n d b o n t h e b o a r d a n d w r i t e t h e

1 4 3

a ; b a r e m u l t i p l e s o f 3 , t h e n a + b ; a b w i l l a l s o b e m u l t i p l e s o f 3 . I f o

o f t h e m i s a m u l t i p l e o f 3 , t h e n a b w i l l a l s o b e a m u l t i p l e o f 3 . ) T

n u m b e r o f m u l t i p l e s o f 3 c a n i n c r e a s e i n o n l y o n e w a y , n a m e l y w h e n o

o f a o r b i s 1 ( m o d 3 ) a n d t h e o t h e r i s 2 ( m o d 3 ) ; t h e n a + b 0 ( m o d

a n d a b 2 ( m o d 3 ) N o w n o t e t h e r e i s o n e m u l t i p l e o f 3 i n f 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;

a n d f o u r m u l t i p l e s o f 3 i n f 2 1 ; 2 7 ; 6 4 ; 1 8 0 ; 5 4 0 g S o w h e n t h e n u m b e r

m u l t i p l e s o f 3 i n c r e a s e s t o f o u r , t h e f t h n u m b e r m u s t b e 2 ( m o d 3

S i n c e 6 4 1 ( m o d 3 ) ; s o 2 1 ; 2 7 ; 6 4 ; 1 8 0 ; 5 4 0 c a n n e v e r a p p e a r o n t

b o a r d .

1 9 8 . N i n e 1 1 c e l l s o f a 1 0 1 0 s q u a r e a r e i n f e c t e d . I n o n e u n i t t i m e , t

c e l l s w i t h a t l e a s t 2 i n f e c t e d n e i g h b o r s ( h a v i n g a c o m m o n s i d e ) b e c o m

i n f e c t e d . C a n t h e i n f e c t i o n s p r e a d t o t h e w h o l e s q u a r e ? W h a t i f n i

i s r e p l a c e d b y t e n ?

S o l u t i o n . ( D u e t o C h e u n g P o k M a n ) C o l o r t h e i n f e c t e d c e l l s b l a c k a n

r e c o r d t h e p e r i m e t e r o f t h e b l a c k r e g i o n a t e v e r y u n i t t i m e . I f a c

h a s f o u r , t h r e e , t w o i n f e c t e d n e i g h b o r s , t h e n i t w i l l b e c o m e i n f e c t

a n d t h e p e r i m e t e r w i l l d e c r e a s e b y 4 , 2 , 0 , r e s p e c t i v e l y , w h e n t h a t c

i s c o l o r e d b l a c k . I f a c e l l h a s o n e o r n o i n f e c t e d n e i g h b o r s , t h e n i t w

n o t b e i n f e c t e d . O b s e r v e t h a t t h e p e r i m e t e r o f t h e b l a c k r e g i o n c a n n

i n c r e a s e . S i n c e i n t h e b e g i n n i n g , t h e p e r i m e t e r o f t h e b l a c k r e g i o n

a t m o s t 9 4 = 3 6 ; a n d a 1 0 1 0 b l a c k r e g i o n h a s p e r i m e t e r 4 0 , t

i n f e c t i o n c a n n o t s p r e a d t o t h e w h o l e s q u a r e .

I f n i n e i s r e p l a c e d b y t e n , t h e n i t i s p o s s i b l e a s t h e t e n d i a g o n

c e l l s w h e n i n f e c t e d c a n s p r e a d t o t h e w h o l e s q u a r e .

1 9 9 . ( 1 9 9 7 C o l o m b i a n M a t h O l y m p i a d ) W e p l a y t h e f o l l o w i n g g a m e w i

a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e o f n ( n + 1 ) = 2 d o l l a r c o i n s ( w i t h n c o i n s o n e a

s i d e ) . I n i t i a l l y , a l l o f t h e c o i n s a r e t u r n e d h e a d s u p . O n e a c h t u r n , w

m a y t u r n o v e r t h r e e c o i n s w h i c h a r e m u t u a l l y a d j a c e n t ; t h e g o a l i s

1 4 4

m a k e a l l o f t h e c o i n s t u r n e d t a i l s u p . F o r w h i c h v a l u e s o f n c a n t h i s b e

d o n e ?

S o l u t i o n . T h i s c a n b e d o n e o n l y f o r a l l n 0 ; 2 ( m o d 3 ) B e l o w b y

a t r i a n g l e , w e w i l l m e a n t h r e e c o i n s w h i c h a r e m u t u a l l y a d j a c e n t . F o r

C o n s i d e r a x e d i n t e g e r a M a n d a n a r b i t r a r y p o s i t i v e i n t e g

n S i n c e t h e r e a r e 1 0 0

2

w a y s o f c o l o r i n g a p a i r o f i n t e g e r s , a t l e a s t t w

o f t h e p a i r s a + i ; a + i + n ( i = 0 ; 1 ; 2 ; ; 1 0 0

2

) a r e c o l o r e d t h e s a m

w a y , w h i c h m e a n s f ( a + i

1

) = f ( a + i

2

) a n d f ( a + i

1

+ n ) = f ( a + i

2

+

f o r s o m e i n t e g e r s i

1

; i

2

s u c h t h a t 0 i

1

< i

2

1 0 0

2

L e t d = i

2



n = 2 ; c l e a r l y i t c a n b e d o n e a n d f o r n = 3 ; i p e a c h o f t h e f o u r

t r i a n g l e s . F o r n 0 ; 2 ( m o d 3 ) a n d n > 3 ; i p e v e r y t r i a n g l e . T h e n

t h e c o i n s a t t h e c o r n e r s a r e i p p e d o n c e . T h e c o i n s o n t h e s i d e s ( n o t

c o r n e r s ) a r e i p p e d t h r e e t i m e s e a c h . S o a l l t h e s e c o i n s w i l l h a v e t a i l s

u p . T h e i n t e r i o r c o i n s a r e i p p e d s i x t i m e s e a c h a n d h a v e h e a d s u p .

S i n c e t h e i n t e r i o r c o i n s h a v e s i d e l e n g t h n 3 ; b y t h e i n d u c t i o n s t e p ,

a l l o f t h e m c a n b e i p p e d s o t o h a v e t a i l s u p .

N e x t s u p p o s e n 1 ( m o d 3 ) C o l o r t h e h e a d s o f e a c h c o i n r e d ,

w h i t e a n d b l u e s o t h a t a d j a c e n t c o i n s h a v e d i e r e n t c o l o r s a n d a n y

t h r e e c o i n s i n a r o w h a v e d i e r e n t c o l o r s . T h e n t h e c o i n s i n t h e c o r n e r

h a v e t h e s a m e c o l o r , s a y r e d . A s i m p l e c o u n t s h o w s t h a t t h e r e a r e

o n e m o r e r e d c o i n s t h a n w h i t e o r b l u e c o i n s . S o t h e ( o d d o r e v e n )

p a r i t i e s o f t h e r e d a n d w h i t e c o i n s a r e d i e r e n t i n t h e b e g i n n i n g A s

w e i p t h e t r i a n g l e s , a t e a c h t u r n , e i t h e r ( a ) b o t h r e d a n d w h i t e c o i n s

i n c r e a s e b y 1 o r ( b ) b o t h d e c r e a s e b y 1 o r ( c ) o n e i n c r e a s e s b y 1 a n d

t h e o t h e r d e c r e a s e s b y 1 . S o t h e p a r i t i e s o f t h e r e d a n d w h i t e c o i n s

s t a y d i e r e n t . I n t h e c a s e a l l c o i n s a r e t a i l s u p , t h e n u m b e r o f r e d a n d

w h i t e c o i n s w o u l d b e z e r o a n d t h e p a r i t i e s w o u l d b e t h e s a m e . S o t h i s

c a n n o t h a p p e n .

2 0 0 . ( 1 9 9 0 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t ) E v e r y i n t e g e r i s c o l o r e d w i t h o n e

o f 1 0 0 c o l o r s a n d a l l 1 0 0 c o l o r s a r e u s e d . F o r i n t e r v a l s a ; b ] ; c ; d ] h a v i n g

i n t e g e r s e n d p o i n t s a n d s a m e l e n g t h s , i f a ; c h a v e t h e s a m e c o l o r a n d

b ; d h a v e t h e s a m e c o l o r , t h e n t h e i n t e r v a l s a r e c o l o r e d t h e s a m e w a y ,

w h i c h m e a n s a + x a n d c + x h a v e t h e s a m e c o l o r f o r x = 0 ; 1 ; ; b a

P r o v e t h a t 1 9 9 0 a n d 1 9 9 0 h a v e d i e r e n t c o l o r s .

S o l u t i o n . W e w i l l s h o w t h a t x ; y h a v e t h e s a m e c o l o r i f a n d o n l y i f

x y ( m o d 1 0 0 ) ; w h i c h i m p l i e s 1 9 9 0 a n d 1 9 9 0 h a v e d i e r e n t c o l o r s .

L e t t h e c o l o r s b e 1 ; 2 ; ; 1 0 0 a n d l e t f ( x ) b e t h e c o l o r ( n u m b e r )

o f x S i n c e a l l 1 0 0 c o l o r s w e r e u s e d , t h e r e i s a n i n t e g e r m

i

s u c h t h a t

f ( m

i

) = i f o r i = 1 ; 2 ; ; 1 0 0 L e t M = m i n ( m

1

; m

2

; ; m

1 0 0

) 1 0 0

2

1 4 5

S i n c e t h e r e a r e n i t e l y m a n y c o m b i n a t i o n s o f o r d e r e d p a i r s ( i

1

; d ) a n

n i s a r b i t r a r y , t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y n ' s , s a y n

1

; n

2

; ; h a v i n g t

s a m e i

1

' s a n d d ' s

S i n c e t h e s e n

k

' s m a y b e a r b i t r a r i l y l a r g e , t h e u n i o n o f t h e i n t e r v a

a + i

1

; a + i

1

+ n

k

] w i l l c o n t a i n e v e r y i n t e g e r x a + 1 0 0

2

S o f o r e v e

s u c h x ; t h e r e i s a n i n t e r v a l a + i

1

; a + i

1

+ n

k

] c o n t a i n i n g x S i n

f ( a + i

1

) = f ( a + i

1

+ d ) a n d f ( a + i

1

+ n

k

) = f ( a + i

1

+ d + n

k

) ;

i n t e r v a l s a + i

1

; a + i

1

+ n

k

] ; a + i

1

+ d ; a + i

1

+ d + n

k

] a r e c o l o r

t h e s a m e w a y . I n p a r t i c u l a r , f ( x ) = f ( x + d ) S o f ( x ) h a s p e r i o d

w h e n x a + 1 0 0

2

S i n c e a M ; 1 0 0 c o l o r s a r e u s e d f o r t h e i n t e g e

x a + 1 0 0

2

a n d s o d 1 0 0 C o n s i d e r t h e l e a s t p o s s i b l e s u c h p e r i o

d

N e x t , b y t h e p i g e o n h o l e p r i n c i p l e , t w o o f f ( a + 1 0 0

2

) ; f ( a + 1 0 0

2

1 ) ; ; f ( a + 1 0 0

2

+ 1 0 0 ) a r e t h e s a m e , s a y f ( b ) = f ( c ) w i t h a + 1 0 0

2

b < c a + 1 0 0

2

+ 1 0 0 F o r e v e r y x a + 1 0 0

2

+ 1 0 0 ; c h o o s e a l a r

i n t e g e r m s o t h a t x i s i n b ; b + m d ] S i n c e f ( b + m d ) = f ( b ) = f ( c )

f ( c + m d ) ; i n t e r v a l s b ; b + m d ] ; c ; c + m d ] a r e c o l o r e d t h e s a m e w a y

p a r t i c u l a r , f ( x ) = f ( x + c b ) S o f ( x ) h a s p e r i o d c b 1 0 0 w h

x a + 1 0 0

2

+ 1 0 0 S o t h e l e a s t p e r i o d o f f ( x ) f o r x a + 1 0 0

2

+ 1

m u s t b e 1 0 0 . F i n a l l y , s i n c e a c a n b e a s c l o s e t o 1 a s w e l i k e , f m u

h a v e p e r i o d 1 0 0 o n t h e s e t o f i n t e g e r s . S i n c e a l l 1 0 0 c o l o r s a r e u s e d ,

t w o o f 1 0 0 c o n s e c u t i v e i n t g e r s c a n h a v e t h e s a m e c o l o r .

1 4 6

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