Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaUNIVERSIDAD PEDAGGICA EXPERIMENTAL LIBERTADORINSTITUTO PEDAGGICO RURAL EL MCARODEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGATURMERO.- ESTADO ARAGUAMANUAL DE MATEMTICA FINANCIERA(Adaptado al Programa Sinptico de la asignatura)Prof. Jos Antonio Martnez GarcaTurmero, Agosto de 2005.1Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaINTRODUCCIN.Ante la dificultad de encontrar, en las bibliotecas del Instituto Pedaggico Rural El Mcaro,libros deMatemticaFinancieraadaptadosala realidadvenezolana,se escriben estas notas sobre operaciones aritmticas aplicadas transacciones comerciales.En primera instancia, porque sirve de gua para desarrollar el Programa Analtico de la asignatura, basado en elPrograma Sinptico, tanto para los docentes como para los alumnos. Se presenta este Manual de Matemtica Financieradividido en cuatro unidades, las cuales son: Unidad I: Conceptos Matemticos bsicos. Unidad II: El Inters Simple. Unidad III: El Inters Compuesto. Unidad IV: Rentas El Autor espera que este producto sea utilizado en las extensiones del IPREM y agradece, deantemano, cualquier sugerenciauobservacinquelosusuarios tengan a bien hacer llegar por el correo electrnico amartinez@iprm.upel.edu.veProf. Jos Antonio Martnez GarcaInstituto Pedaggico Rural El McaroDepartamento de Ciencia y Tecnologa2Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaUNIDAD ICONCEPTOS MATEMTICOS BSICOS. LaasignaturaMatemticaFinanciera, correspondienteal DiseoCurricular dela EspecialidaddeEducacinRural, enel InstitutoPedaggicoRural El Mcaro, tienecomopropsitogeneralProporcionar alosparticipanteslosconocimientos bsicos y la prctica necesaria para resolver problemas de Matemtica Financiera Bsica.Por esta razn, se considera imprescindible repasar las operaciones aritmticas a utilizar en el desarrollo del curso. Estas operaciones fueron aprendidas enloscursosdeEducacinBsicayEducacinMedia; laexperienciadel autor indicaque, tal vezpor faltadeuso, talesoperacionesseolvidan, por loquese fracasa en el aprendizaje de los conceptos de matemtica Financiera. Tomando como base lo anteriormente expuesto, se presenta a continuacin una sntesis de operaciones aritmticas, con su sustento formal, a fin de que sea una referencia futura del trabajo en la asignatura Matemtica Financiera.Conjuntos Numricos Los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, son conocidos comonmeros naturales ya que se derivan en forma natural del proceso de contar. Para sumar dos cualesquiera de dichos nmeros, digamos 6 y 3, empezamos con6 (ocon 3)ycontamoshacia laderecha tres (o6) nmeros para obtener 9. Debido aqueno hayunnmeronatural mayorquetodoslosdems,siemprela suma de dos nmeros naturales es un nmero natural, es decir, siempre es posible la suma. Para restar 3 de 8, a partir de 8 contamos 3 nmeros hacia la izquierda hasta 5. La operacin de resta (o sustraccin), sin embargo, no puede ser efectuada en todos loscasos.Porejemplo,7 nopuedeser restadode4yaquesolamentehaytres nmerosalaizquierdade4. Paraquesiempreseaposibleefectuarlaresta, es necesario crear nuevos nmeros para colocarlos a la izquierda de los naturales. El primerodeellos, 0, esconocidocomocero, ylosdems-1, -2, -3, -4,son 3Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garcaconocidos como enteros negativos. Estos nuevos nmeros junto con los naturales (llamados ahora enteros positivos y representados como +1,+2, +3, +4,) forman el conjunto , -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,que no tiene principio ni fin. Las operaciones de suma y resta (es decir, contar hacia adelante o hacia atrs) siempre es posible, sin excepcin. Por razones practicas el smbolo + se omite. Para sumar dos enteros, como +6 y -2, empezamos con +6 y contamos hacia la izquierda (direccin indicada por el signo de -2) dos unidades hasta +4, o empezamos con -2 contamos hacia la derecha (direccin indicada por elsigno de +6) seis unidades hasta +4. Cmo sumara -6 y -2? Si se quiere operar fcilmente con nmeros positivos y negativos, es necesario evitar elproceso de contar. Para hacerlo, consideramos elhecho de que +8 y -8 estn a ocho unidades del 0. Esta cantidad de unidades desde un nmero hasta el 0 recibeel nombredevalorabsolutodel nmero.Formalmentesedenotapor A , donde A es entero. Su definicin se da por

A , A 0A- A , A < 0 ' Con esto en mente y recordando las tablas de sumar y multiplicar, se utilizan las siguientes reglas:Regla 1:Para sumar dos nmeros con signos iguales, se suman los valores absolutos y se mantiene el signo comn.Regla2:Parasumar dosnmeroscondiferentesigno, serestael menor valorabsoluto del mayor valor absoluto, mantenindose el signo del mayor valorabsoluto.Regla3:Paramultiplicardosnmeros odividirunnmero porotro (nonulo),se multiplicaodividenlosvaloresabsolutos, anteponiendoal resultado+, cuando sean de igual signo, o -, cuando sean de diferente signo.4Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca Al aplicar la Regla 3, no siempre el resultado es un entero, por lo que hay que construir nuevos smbolos (nmeros) para queestos resultados de divisin tengan sentido. De aqu que, sia y b son enteros, con b0, se define aa bb y recibe el nombre de fraccin comn. As tenemos. Por ejemplo, que 1 8 91 2, 8 15, 9 5=2 15 5 . Sia < b, se dice que la fraccin es propia.Caso contrario, se dice impropia.Conlasfraccionesserealizanlasoperacionesaritmticasdesuma, resta, multiplicacin y divisin, lo que permite la resolucin de ecuaciones de primer grado, biendefinidas, y algunasdesegundogrado, enel contextodelamatemtica financiera. Las reglas operatorias para las fracciones son:Suma algebraica:

a c a d b cb d b d t t , sib d , entonces a c a cb b btt Multiplicacin: a c a cbd b d Divisin:

a c ad a db d b c b c (Nota: Debe evitarse hablar de aplicar la doble c, ya que esta no es ninguna regla matemtica; slo mnemotcnica) Otro trmino utilizado en Matemtica Financiera es el de Razn. Este concepto tambin se asocia al de divisin, por lo que no es de extraarse que se acepte la definicinsiguiente: Unaraznentredosenterosaybessucomparacinpor cociente, esdecirab. SellamaProporcinaunaigualdadderazones, estoes, 5Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garcadados los enteros a,b, c y d, la expresin a cb d constituye una proporcin. Los enteros involucrados en la proporcin se conocen como cuartas proporcionales. Una notacin utilizada para la proporcin indicada anteriormente es: : a b c d , por lo que a y d se conocen como extremos y c y d como medios. De aqu la expresin el producto de los extremos es igual al producto de los medios, pues

a ca d b cb d Ahora bien, reescribiendo la proporcin, por ejemplo ca bd concluimos que en una proporcin, dadas tres cuartas proporcionales, podemos calcular el valor de la otra. Este hecho es conocido como aplicacin de una regla de tres.Pero hay que tener cuidado con dicha aplicacin. Antes de aventurarse a aplicar una regla de tres, debe considerarse la relacin de correspondencia entre las variables involucradas, esto es, si son proporcionales y , en caso de serlo, si es directa o inversa. Cmo averiguarlo? Observemos los grficos siguientesX Y0 01 22 43 64 85 10 2 y x Y=2*x0246810120 1 2 3 4 5AbscisasFigura 1En la Fig. 1 a medida que aumenta x, aumenta y, en la misma proporcin 2.Notemos que, exceptuando el par (0,0), con los dems pares podemos establecer lo siguiente6Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca

5 6 531 2 4 56 10 104 5 10 4 2 4 6 10810 5aax ay bbb ' En este caso hablamos de una Proporcionalidad Directa. Pero, Cmo asociar la informacin grfica con las proporciones y la regla de Tres?Lo anteriormente expuesto se acostumbra plantearlo as:a ---------- 5 se concluye que a = 36 ----------10El otro grfico es el siguienteX Y0,25 8,000,50 4,001 2,0002 1,0003 0,6674 0,5005 0,400

2yxy=2/x8,004,002,0001,0000,6670,02,04,06,08,00 1 2 3 4 5AbscisasOrdenadasEn la Fig. 2 a medida que aumenta x, disminuye y, en la misma proporcin 2.La Proporcionalidad es Inversa. En la tabla se observa que5 0, 40, 667 5 0, 4 30, 6670, 25 8 0, 5 4 1 2 2 1 0, 667 4 5 0, 45 0, 44 5 0, 4 0, 54a ax y a bb b ' 7Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaLo anteriormente expuesto se acostumbra plantearlo as:a ---------- 5 se concluye que a = 3 0,667 -------0,4 Otros tipos de nmeros son los no racionales, esto es, los que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros (no pueden escribirse como fracciones). Generalmentesurgencuandotratamos deresolver ecuacionescon potenciasenteras, por ejemplo,( )323 0,1 0, 025 12,365 x + yotras. Para resolver el problema, recordemos las propiedades de la potenciacin y delclculo logartmico, el cual se resume a continuacin: Sea b > 0un nmero fraccionario y sea a un racional (que puede ser expresado como una fraccin).Potenciacin Logaritmacin011 bb blog 1 0log 1bbbm n m nb b b+ log ( ) log ( ) log ( )log ( ) log ( )b b bnb bm n m nx n m + mm nnbbblog ( ) log ( ) log ( )1log ( ) log ( )b b bb bmm nnxx mm nnb b 1log log ( )nb bx xn Estas propiedades se aplican, algunas veces, en clculo financiero, por lo que no debendejarsedelado. Aunquesetengaunabuenacalculadoracientficaose trabaje con Excel, el operador debe indicar cul o cules operaciones utilizar. 8Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaTanto por cientoEl tanto por ciento es una proporcionalidad que se establece con relacin a cada 100 unidades. Se expresa por el smbolo %, por lo que el significado de ste es 10, 01;100.Ejemplo. Si conunainversinduranteunmes, deBs. 500000, seobtieneun rendimiento de Bs. 30 000, Qu rendimiento corresponde a Bs. 100 de inversin?Se establece la proporcin 500000 10030000500000 100 30000(el producto de los extremos es igual al producto de los medios)xx 30000005000006 por cada 100 y se escribe6%xx x Ejercicios9Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca1.- Calcular ela) 4%de725b) 175%de8001c) 2%de35480,7523d)%de120004 2.- Efectuar las operaciones indicadas ( )( )( )52353 2)34 33 3)5 48 22 4 6)125 15 5) 12, 564 3 0, 567)4 4 5 10)0, 00023)log 12, 5698abcdefg+ + _ _ + , , _ _ , , 3.- Qu por ciento de ) 40 es 20) 31es 6203 8) es 8 15abc4.- Hallar x si el 7% de x es 5,25.5.- De qu nmero es 20 el 25%?6.- Un Abogado recupera el 90% de una demanda de Bs. 20 000 000 y cobra, por concepto de servicios, el 15% de la suma recuperada. Cunto recibir el cliente?.7.- Una persona compra un T.V. por Bs. 358 000, incluyendo elIVA. Cules el precio del T.V.?8.- El presupuesto presentado por un contratista, para la construccin de un nuevo edificio, ascenda a Bs. 48 000 000. De esta cantidad, el 19% era para plomera, el 34%eraparamaterialesysuministros, yel 36%paramanodeobra. El resto 10Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garcaconstituiralagananciadel contratista. Hallelacantidadcorrespondienteacada partida mencionada.9.- EnunexamendeMatemticaFinancieraaprobaron27alumnos, loscuales constituan el 75% del total del curso. Calcular el nmero de alumnos del curso.10.- Un hombre puede cancelar una hipoteca de una casa en 6 aos si cada ao ahorra Bs. 4 700 000, lo cual constituye el 16% de sus ingresos anuales. Calcular los ingresos anuales y el monto de la hipoteca.11.- J.A. MartnezcomprunacomputadoravaloradaenBs. 1800000, conun descuento del 7%. La factura tiene fecha 10 de Marzo, y se ofreci un descuento del 3% por pago dentro de los 10 das siguientes. Qu cantidad pag Martnez el 23 de Marzo?12.- Demostrar que una ganancia del 40% sobre el precio de venta de un artculo equivale a una ganancia del 66% sobre su costo.13.- Un comerciante ofrece un artculo con un 10% de descuento. Sipreviamente haba incrementado el precio en 10%, Gan o perdi en la operacin?

11Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaUNIDAD IIEL INTERS SIMPLEDesde el principio de las civilizaciones, el hombre ha necesitado de transacciones econmicas, bienseapor trueques(intercambiodeBienesMateriales) oconla utilizacin del dinero. Todas estas operaciones se registraban en libros, naciendo as la ciencia contable. Las operaciones aritmticas all registradas, a su vez, dieron inicio a la Matemtica Mercantil o Financiera. En este Captulo se estudia la relacin entre el dinero puesto en juego en diversas transacciones comerciales y el tiempo de vida de las mismas. Por todos es conocida la compra a crditos. En ella, la Deuda es cancelada o pagada, enunsolopagooenpagossucesivos. Dependiendodel clculodela ganancia, se habla de Inters Simple o Compuesto. En el captulo IIise tratar el Inters Compuesto.Se define el Inters Simple como aquel en el cual los intereses devengados en un perodo no ganan inters en el siguiente perodo. Por ejemplo, si depositamos hoy Bs. 5000000enunacuentaquepaga0,5%mensual deinterssimple, yno retiramos los intereses mensualmente , entonces al cabo de tres meses tendremos un total acumulado de 5000 000 0, 005(5000000) 0, 005(5000 000 ) 0, 005(5000 000) 5075000 + + + Bs. Esta clase de inters tiene, actualmente, la desventaja de que, al no capitalizar los intereses, stos pierden poder adquisitivo con eltiempo y alfinalde la operacin financierasetendrunasumatotal noequivalenteaal original, osea, el valor acumulado all no ser representativo del valor inicial. Por esta razn, hoy da, esta clase de inters no se aplica, y siexiste operacin donde no se cobran intereses sobre los intereses, stos deben pagarse peridicamente, ya sea alprincipio o al final del perodo. El clculo resultado del clculo anterior pudo obtenerse por la identidad( )0 1 M C i n + 12Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaEn esta relacin se utilizan los trminos:0C : Capital inicial de la operacin (en Bs.)i : Tasa (o Rata) de inters ( %100ri r )n: Tiempo que dura la operacin. M : Monto o Valor Final de la operacin (en Bs.)Debe tenerse en cuenta la homogeneidadentre las unidades de i(frecuencia) y n (tiempo), esto es, debe cumplirse que [ ] [ ]1 i n

Antes de continuar, se considerar que las tasas en los problemas son anuales si no se dice otra cosa. De igual forma, para efectos de clculo se tomar el ao comercial (360 das), tambin si no se dice otra cosa.Ejercicio: Completar la Tabla siguiente.0C (Bs.) % rnM6000000 12 5 meses3500000 9 meses 40000001% trimestralAo y medio56800001 11 20050000 11,5 55000Tasa Tiempoanual Aosmensual Mesessemanal semanastrimestral trimestressemestral semestres13Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca Estos problemas pueden resolverse con ayuda del Programa Excel de Microsoft. Esta es una Hoja de Clculo que tiene predefinidas todas las frmulas de Matemtica Financiera. Veamos un ejemplo,

Capital Inicial(Bs.) Inters(mensual) Tiempo(meses) Valor Final2000000 0,25 9 Bs. 2.045.000,00 2500000 0,5 9,5 Bs. 2.618.750,00 3000000 0,75 10 Bs. 3.225.000,00 3500000 1 10,5 Bs. 3.867.500,00 4000000 1,25 11 Bs. 4.550.000,00 4500000 1,5 11,5 Bs 5.276.250,00 5000000 1,75 12 Bs 6.050.000,00 5500000 2 12,5 Bs 6.875.000,00 6000000 2,25 13 Bs. 7.755.000,00 6500000 2,5 13,5 Bs. 8.693.750,00 7000000 2,75 14 Bs. 9.695.000,00 7500000 3 14,5 Bs .10.762.500,00 8000000 3,25 15 Bs 11.900.000,00 8500000 3,5 15,5 Bs 13.111.250,00 9000000 3,75 16 Bs 14.400.000,00 9500000 4 16,5 Bs.15.770.000,00 10000000 4,25 17 Bs.17.225.000,00 Tabla generada por Excel XPParautilizarestaherramientainformtica, elusuario debeconocerlasfrmulas muy bien, ya que el programa no tiene todos los casos.Ecuaciones de Valor: En algunas ocasiones es conveniente para un deudor cambiar el conjuntodesus obligaciones por otroconjunto. Paraefectuar esta operacin , tanto como eldeudor como elacreedor deben estar de acuerdo en la tasa de inters que ha de utilizarse en la transaccin y en la fecha en que se llevar a cabo 8 menudo llamada Fecha Focal).Este procedimiento se basa en la equivalencia de las dos operaciones financieras en un momento dado. Veamos un ejemplo.14Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaEn la fecha, B debe Bs. 1 500 000 por un prstamo con vencimiento en 6 meses, contratado originalmente a 121aos a la tasa de 4% y debe, adems, Bs. 2 500 000 convencimientoen9meses, sinintereses. l deseapagar Bs. 2000000de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago nico dentro de un ao. Suponiendo un rendimiento del 5% y considerando la fecha focal dentro de un ao, calcular el pago nico mencionado.Solucin. El valor final del prstamo con intereses es 1 500 000( 1+ 0,04x1,5)= 1 590 000 Bs.Designemos por X el pago nico a calcular. Construyamos una lnea de tiempo Bs. 1 590 000Bs. 2 500 000F.F. Bs. 2 000 000 6 meses 9 meses 12 mesesXCalculando cada valor en la fecha focal e igualando la suma del valor resultante de las obligaciones originales con el de las nuevas obligaciones, tenemos:

( ) ( ) ( ) 2 000 000 1, 05 1 590 000 1+0,05 0,5 2 500 000 1+0,05 0,252 061 000XX+ + 1. Problemas de Inters SimpleFormulas de Inters Simple I = C * t * i VF =C (1 + i * t)C =VF (1 + i * t)-115Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaVF = C + II = inters; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.Calcular el inters simple comercial de: a. Bs2.500.000durante 8 meses al 8%. C = Bs2.500.000t = 8 meses i= 81200= 0,00667I = 2.500.000 * 8 * 0,00667 =Bs.1.334.000, 00 Respuestab. Bs.600.00 durante 63 das al 9%. I =Bs.600.000 t =63 dasi = 6336000= 0, 00175I =600.000 * 63 * 0, 00175=Bs.66150 Bs.12.000 durante 3 meses al 8 %. C =12.000t =3 meses i =0,0071I =12.000 * 3 * 0,0071=Bs. 255,6 c. Bs.150.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre, del mismo ao. C =Bs.150.000i = 1036000= 0,000028t =167 dasI =150.000 * 0,000028 * 167= Bs.7014 Calcular el inters simple comercial de:a. Bs. 500.000 durante 3 aos 2 meses 20 das al 0,75% mensual. C = Bs.500.000i = 0, 75100= 0, 0075 t =116 meses16Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca3aos + 2 meses + 20 das =36 meses + 2 meses + 2030 meses = 38,67 meses I =500.000 * 38,67 * 0,0075 =Bs.145012,5 Nota: Fjese que en este ejercicio la tasa esta expresaen meses por lo que debe transformarse el tiempo tambin a mesesb. Bs.800.000 durante 7 meses 15 das al 1,5% mensual.C = Bs.800000 t =7,5 meses i = 0,015I = 800.000 * 7,5 * 0,015= Bs90 000. Respuesta2. Un seor pago Bs.2.500.000, 20 por un pagar de $2.400.000, firmado el 10 de abril de 1996 a una tasa de41/2 %de inters. En qu fecha lo pag?VF = Bs.2.500.000, 20C =Bs.2.400.000i = 0,045 t =?

( ) ( ) VF=C 1+i t2500000, 20 2400000 1 0, 045 t2500000,2012400000 t ==0,930,045 + t = 0,93 aos Respuesta 16 de marzo de 1997 Un inversionista recibi un pagar por valor de Bs.120.000 a un inters del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 das. El 20 de octubre del mismo mao lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. Cunto recibe por el pagar el primer inversionista?17Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca ( )( )11d d8VF=C 1+i t VF=120000 1+ 15036000=12400010A=VF 1+i t A=124000 1+ 5336000=122301,40 _ , _ ,Una persona debe cancelar Bs.140.000 a 3 meses, con el 8% de inters. Si el pagar tiene como clusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado qu cantidad paga el deudor, 70 das despus del vencimiento? Valor del vencimiento( )8VF=C 1+i t VF=140000 1+ 31200=142800 _ ,.Luego, la morosidad es10VF=142800 1+ 70 145576, 7036000 _ ,Una persona descuenta el 15 de mayo un pagar de Bs. 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe Bs. 19.559,90. A qu tasa de descuento racional o matemtico se le descont el pagar?18Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca( ) ( ) VF=VP 1+i t 20000 19550,90 1 i 9020000119550,90 i= =0,000255 90 + La tasa annual es 9,18%Una persona debe Bs.20.000 con vencimiento a 3 meses y Bs16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un ao, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagars al 8% de rendimiento (tmese como fecha focal dentro de un ao).Vf1=20.000(1+0, 0812 * 9)= 21.200Vf2=16.000(1+0, 0812 * 4)= 16.426,67Deuda = 21.200 + 16.426,67Deuda = 37.626,67PagosP1 = x (1+0, 0812* 6) =1,04 xP2 = xPagos =P1 +P219Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaPagos =2,04 xDeuda = Pagos37.626,67=2,04 xValor de los pagars 18.444,45 cada uno /Respuesta Nota: En este problema, como en todos los similares, debe llevarse los valores de las deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuar operaciones sobre estos valores.2. Problemas de DescuentoFormulas para Descuento RealD = VP * t * dVN= VP + DVN = VP (1 + d* t)VP = VN (1 + d * t)-1Las formulas son iguales a las de inters simple; he aqu sus equivalencias.i = d tanto por ciento/tasa de descuentoI = D descuentoVF =VN valor nominalC =VP valor presenteFormulas de Descuento ComercialD = VP * t * dVN= VP + DVN = VP (1 + d* t)VP = VN (1 - d * t)20Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaDeterminar el valor lquido de los pagars, descontados en un banco a las tasas y fechas indicadas a continuacin:a. Bs.200.000 descontados al 10%, 45 das de su vencimiento.200.000(1- 0,1360* 45)= 197500 b. Bs.180.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.180.000(1-91200* 2)=177300 c. Bs.140.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el 18 de septiembre del mismo ao.140.000(1-836000 * 95)=137044,4d. Bs10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del ao siguiente.100.000(1-1036000* 86)=97611,1 2.2. Alguien vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de cierto ao:a. Bs.200.000 de contadob. Un pagar por Bs.200.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo ao.c. Un pagar por Bs.300.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo ao.Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de la venta.a. 200.000 contadob. 200.000(1-936000* 92)=19540021Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garcaa. 300.000(1-936000 * 153)=288525,0 Total =200.000 + 195400 + 288525 = Bs. 683925Un pagar de Bs.100.000 se descuenta al 10% y se reciben del banco Bs.97.890. Calcular la fecha de vencimiento del pagar.100.000=97.890 (1+0,1 * t) t = 0,21 aosLuego, 0,22 aos * 12 meses/aos = 2,64 meses = 2 meses y 19 das El Banco Ganadero descuenta un pagar por Bs.8.000.000 al 10%, 90 das antes de su vencimiento, 5 das despus lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad del Banco Ganadero.8.000.000(1-1036000* 90)=7.800.0008.000.000(1-936000* 75)= 7.850.000Utilidad 7.850.000-7.800.000= 50.000 Qu tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700 dlares, si se descont a 60 das antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 dlares netos?700=666,67(1 + i 60) i = 0,00083324 diarios i = 0, 30 anual = 30% 22Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaCul es el valor nominal de un pagar por el cual se recibieron 146,52 dlares, si se descont comercialmente a un tipo de 49%, 85 das antes de su vencimiento?146,52 = VF (1 - 4936000* 85)VF = 165,68 3. Transformacin de TasasMtodo de igualacinDel 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente(1+0,183)4/12 = (1 + ntnm)12/12T. nominal trimestral capitalizable mensualmente = 0, 196 19,6%.Del 24% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.(1+ 0,24)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2Tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente =5,6 % Respuesta.Del 12% nominal anual capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente.(1+0,124)4/4 = (1 + 2nsct)4/4Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente =0,07 7%.Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.23Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca(1+ 0,22)2/6 = (1 + e b)6/6Tasa efectiva bimensual = 0,06852 6,85% Respuesta. Del 30% nominal bimensual capitalizable semestralmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable anualmente.(1+ 0,303* 3)2 = (1 + ntca)Tasa nominal trimestral capitalizable anualmente = 0,69 69% Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.(1+ 0,52)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2 24Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaUNIDAD III.Inters compuestoEn el Inters Compuesto, el Monto calculado en un perodo pasa a formar parte del capital inicial para el perodo siguiente, esto es, el inters genera inters.a. 4. Problemas de Inters CompuestoFormulas de Inters Compuesto:M = C (1 + i)nC = M (1 + i)-nM = monto o tambin llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempoHallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalizacin trimestral, para disponer de Bs.20.000.000 al cabo de 10 aos.i = 0,15 efectiva trimestraln = 10 aosM = 20.000.000C =?C = 20.000.000 (1+0,154)-10(4)C =4.586.757,506 Cuntos meses deber dejarse una pliza de acumulacin de Bs.200000 que paga el 3% anual, para que se convierta en Bs. 750000?n =?C = 200000i = 0,03M =75000025Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca( ) ( ) 750000 200000 1 0, 03 3, 75 1, 03 log(3, 75) log(1, 03)log(3,75) n= =44,72log(1,03)n nn + 42,38 aos = 42 aos, 4 meses y 15 dasHallar el valor futuro a inters compuesto de Bs.100, para 10 aos:a. al 5% efectivo anualM = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89 b. al 5% capitalizable mensualmenteM = 100 (1 + 0, 0512) 10(12) =164,20 c. al 5% capitalizable trimestralmenteM = 100 (1 +0, 054) 10(4) =164,36 Respuestad. al 5% capitalizable semestralmenteM = 100 (1 + 0, 052) 10(2) =163,86 RespuestaHallar el valor futuro de Bs.200.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 aos 4 meses.VF = 200.000(1 + 0,08) 10+ (4/12) = 443.005,20 Qu tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente?(1+ 0, 084)4/2 = (1 + . . .2n c s)2/226Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garcai =0,0808 8,08% RespuestaHallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual Bs.10.000 se convierten en Bs.12.500, en 5 aos.12.500 = 10.000 (1 +2i)10i =0,0451= 4,51%Cuntos aos deber dejarse un depsito de Bs.6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en Bs.10.000?10.000=6.000 (1+ 8200)nn = 13,024 semestresn = 6,512 aos Qu es ms conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 aos, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?M =2C = 12=1(1+ i) 10i = 7,17% sociedad maderera-------------M = 1(1+6400)M =1,8140 no duplicoRespuesta es ms conveniente la sociedad maderera27Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaUna inversionista ofreci comprar un pagar de Bs.120.000 sin inters que vence dentro de 3 aos, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual. Calcular el precio ofrecido.C = 120.000(1 + 0,08)-3C = 95.259,87 Hallar el VF a inters compuesto de Bs.20.000 en 10 aos, a la tasa del 5% de inters. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible mensualmente.VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89. Por otra parte,VF = 20.000(1 + 51200) 120 = 32.940,19 convertible mensualmente.EJERCICIOS DEINTERS COMPUESTO.1.- Se coloca un capital de Bs. 9000000 a los 14%, capitalizables trimestralmente, durante un ao. Calcular el monto generado.2.- Encuntotiemposetriplicauncapital, si seacuerdaunatasadel 17% semestral?3.- Qu capital se necesita para generar un monto de Bs. 12000000 al cabo de 3 aos, con una tasa del 9% cuatrimestral?4.- Si un capital invertido pas de Bs. 7040000 a Bs. 7936389,30 en 4 meses, Cul fue la tasa anual aplicada?5.- Un padre coloca Bs. 500000 en una cuenta de ahorros alnacer su hijo. Sila cuenta paga el 122% convertible semestralmente, Cunto recibira el hijo al cumplir los 18 aos de edad?6.- Se estima que un terreno boscoso, cuyo valor es de Bs. 22000000, aumentar su valor cada ao en 4% sobre el valor del ao anterior durante 12 aos. Calcular el valor final del terreno.7.- A qu tasa nominal, convertible mensualmente, el monto de Bs. 2000000 ser Bs. 2650000 en 6 aos?28Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca8.- El 2 de Enero de 2003, se coloc a plazo fijo un capital de Bs. 2000000 al 21%, capitalizable mensualmente. En Abril de este ao la tasa baj a 18% y en Octubre baj a 14%. Cunto se retirara el 3 de Noviembre?29Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaUNIDAD IVAnualidades o RentasUnaAnualidadesunaseriedePagosiguales efectuados aintervalos igualesde tiempo.Ejemplos de Anualidades son abonos semanales, pagos de renta mensuales, dividendostrimestralessobreacciones, pagossemestralesdeinters sobre bonos, primas anuales en plizas de seguros de vida, etc.. Problemas de Anualidades VencidasFormulas de Anualidades Vencidas( )1+i 1F=Ain Valor futuro( )1- 1+iP=Ain Valor presenteF = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempoProblemas resueltos:Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.(a) Bs.2.000 semestrales durante 8 aos al 8%, capitalizable semestralmente.( )171+0,04 1F=2000 47395, 050, 04 Valor futuro( )171- 1+0,04P=20000, 04 24.331,34Valor presente0,04(b) Bs.4.000 anuales durante 6 aos al 7,3%, capitalizable anualmente.30Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca( )( )661+0,073 1F=4000 28830,350, 0731- 1+0,073P=4000 18890,850, 073 (c) Bs.200 mensuales durante 3 aos 4 meses, al 8% con capitalizacin mensual.404081+ 11200F=200 9133,518120081- 1+1200P=200 7001,8181200 _ , _ , Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $.20.000 de contado; $.1.000 por mensualidades vencidas durante 2 aos y 6 meses y un ltimo pago de $.2.500 un mes despus de pagada la ltima mensualidad. Para el clculo, utilizar el 9% con capitalizacin mensual.i =0,09/12=0,0075( )3013121 (1 0, 0075)P 1000 26775,100, 0075P 2500 1 0, 0075 1983,10 + + 26.775,10 + 1.983,10 + 20.000 = 48758,20.31Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaCul es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 aos 6 meses con un ltimo pago de $2.500, si se carga el 12% con capitalizacin mensual?i =0,12/12=0,01( )( )3013121 1 0, 01P 1600 41292,330, 01P 2500 1 0, 01 1836, 45 + + 41.292,33 + 1.836,45 + 14.000 = 57.128,78 Una mina en explotacin tiene una produccin anual de $8000.000 y se estima que se agotar en 10 aos. Hallar el valor presente de la produccin, si el rendimiento del dinero es del 8%.( )101- 1+0,008P=8000000 53680651,190, 008 En el ejercicio anterior, se estima que al agotarse la mina habr activos recuperables por el valor de $1500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la produccin.32Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 2353.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 En el momento de nacer su hija, un seor deposit $1.500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaos. Al cumplir 12 aos, aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendr a disposicin de ella a los 18 aos.( )111+0,08 1F=1500 24968, 250, 08 24968,25(1 + 0,08)7 =42.791,16( )71+0,08 1F=3000 26768, 410, 08 1.500(1 + 0,08)18= 5994,0242.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60 33Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaUna persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de inters, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 aos.0,06 /12 =0,005 tasa mensual12 2061+ 11200F=100 46204,1061200x _ , Problemas de Anualidades AnticipadasFormulas de Anualidades Anticipadas( )11+i 1F=A 1in+ 1 1 1 ] Valor futuro( )11- 1+iP=A 1+in + 11 1 ]Valor presenteF = Valor futuro;A = anualidad; n = tiempoCalcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 aos de plazo, con pagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de inters es del 12% convertible mensualmente.34Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca( )180 11- 1+0,01P=3000 1+ 252464, 650, 01 + 1 1 1 ]Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (a) $400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2 aos (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3 aos y un pago de $250.000, al finalizar el cuarto ao. Qu oferta debe escoger si la tasa de inters es del 8% anual?Oferta b( )41- 1+0,04P=50000 1+ 231494,800, 04 1 1 1 ] ; P+190000 = 231494,80+190000 = 421494,8035Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaOferta c( )111- 1+0,02P=20000 1+ 2157370, 02 1 1 1 ]25.000(1 +0,08)-4 = 183.757,46215.737 + 183.757,46 = 399494,46Respuesta = Oferta b es la ms conveniente.Cul es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes, durante 15 aos en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensualmente?( )1791- 1+0,0075P=500 1+ 49666, 450, 0075 1 1 1 ]Qu suma debe depositarse a principio de cada ao, en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitucin de los equipos de una compaa cuyo costo es de $2.000.000 y con una vida til de 5 aos, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo?2000.000 * 0.10= 200.0002000.000 - 200.000 = 1800.0001800.000 = A ( )61 0, 06 110, 06 1+ 1 1 ]36Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaA = 301.239,17.Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada ao, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un inters del 9% convertible mensualmente.8.000 = A ( )131 0, 0075 110, 0075 1+ 1 1 ]A = 634,85 .Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8%, convertible mensualmente. En cunto tiempo lograr ahorrar $30.000?80, 00671200 30.000 = 300 181 11200181200n+ 1 _+ 1 , 1 1 1 ]n = 1447,7 meses120 aos y 8 mesesProblemas de Anualidades DiferidasFormulas para anualidades diferidasSon las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia.Una compaa adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniera muestran que los trabajos preparatorios y vas de acceso demoraran 6 aos. Se estima que los yacimientos en explotacin rendirn una ganancia anual de 37Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca$2.400.000. suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarn despus de 15 aos continuos de explotacin, hllese el valor futuro de la renta que espera obtenerse.VF = 2.400.000 ( )151 0, 08 10, 08 1+ 1 1 ]VF = 65.165.073,43 En el problema anterior, hllese el valor de utilidad que espera obtener, en el momento de la adquisicin de los yacimientos.( )151 1 0, 08VP=24000000, 08 1 +1 1 ]VP = 20.542.748,8520.542.748,85 (1 + 0,08)-6 = 12.945.416 Una compaa frutera sembr ctricos que empezaran a producir dentro de 5 aos. La produccin anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendr por espacio de 20 aos. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la produccin.VP = 400.000( )201 1 0, 060, 06 1 + 1 1 ]VP = 4587968,487 (1 + 0,06)-5 = 3428396,9538Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez GarcaAlguien deposita $100.000 en un banco, con la intencin de que dentro de 10 aos se pague, a l o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes. Durante cuntos aos se pagar esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente?VF = 100.000 (1 + 0,005)120 = 181.939,67181939,67 = 2.500 ( )11 1 0.00510, 005n + 1 ++1 1 ]n = 90,13Respuesta = 7 aos 7mesesUna deuda contrada al 8% nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.000 c/u, con la primera obligacin por pagar dentro de 2 aos. Sustituirla por una obligacin equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagndose la primera de inmediato.20.000 ( )71 1 0, 0410, 04 1 ++1 1 ] (1+0,04)-4 = 119.707,713639Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca119.707,71 = A( )231 1 0, 0210, 02 1 ++1 1 ]A = 6.204,98 Respuesta anualidades trimestrales

40Instituto Pedaggico Rural El Mcaro Prof. Jos Antonio Martnez Garca Bibliografa1.- A. Redondo (1986)Curso Prctico de Matemtica Financiera. Ediciones Centro Contable Venezolano.2.- Orrego D., Jos N. (1978) Clculo Mercantil a su alcance. Editorial Norma 3.- Lista B., Jess. (1985) Matemticas Mercantiles. Mc Graw- Hill 4.- Universidad Nacional Abierta. Matemtica III (Administracin y Contadura). Caracas, Venezuela. 5.-Cissell, R. Matemticas Financieras. Editorial CECSA 6.- Ayres, F. (1967) Matemticas Financieras. Mc Graw-Hill 7.-Alfredo Daz Mata Vctor Manuel Aguilera G. Matemticas Financiera. Segunda Edicin. Editorial Mc. Graw Hill. Ejercicios Propuestos. 1.9988.- Lincoyan Protus G. Matemticas Financiera. Cuarta Edicin. Editorial Mc Graw Hill. Cuarta Edicin. Ejercicios Propuestos. 1.99741