Premiers pas vers une conjecture de Beilinson pour les ...math.univ-lyon1.fr/~gazda/caen20.pdf ·...

Premiers pas vers une conjecture de Beilinsonpour les corps de fonctions sur Fq

Workshop Arithmetic in Positive Characteristic

Quentin Gazda

Caen - Laboratoire de Mathematiques Nicolas Oresme

14 fevrier 2020

Quentin Gazda (Caen) Institut Camille Jordan 14 fevrier 2020 1 / 24

Structures de Hodge

Soit K un corps (traditionnellement K = R), Ks une cloture separablede K, GK := Gal(Ks|K) le groupe de Galois absolu de K.

1 Pre-structure de Hodge H = (H,W,F ) :• H est un K-espace vectoriel,• W = (WµH)µ∈Q est une filtration croissante de H exhaustive,separee, rationnelle,• F = (F pHKs)p∈Z est une filtration decroissante deHKs := H ⊗K Ks exhaustive et separee.

2 Degre d’une filtration :

degW H :=∑µ∈Q

µdimKWµH, degF H :=∑p∈Z

p dimKs F pHKs .

3 Structure de Hodge H : pre-structure de Hodge (H,W,F ) telle que∀H ′ ⊂ H, degF H

′ ≤ degW H ′ avec egalite lorsque H ′ = WµH.


• On note H la categorie des structures de Hodge avec morphismesevidents.• On note 1 la structure de Hodge unitaire (K, 1µ≥0K, 1p≤0K

s).• Soit H une structure de Hodge. Une extension de 1 par H est ladonnee d’une suite exacte dans H :

0 −→ H −→ E −→ 1 −→ 0.

On note Ext1H(1, H) le K-espace vectoriel des extensions de 1 par H

modulo congruences.

Theoreme (Deligne, Beilinson, Carlson)

L’application W0HKs/(W0H + F 0 ∩W0HKs)→ Ext1H(1, H) qui envoie

h+ (W0H + F 0 ∩W0HKs) vers la classe de l’extension[H ⊕K, (WµH ⊕ 1

¯µ≥0K)µ∈Q,

(idH h0 1

)(F pHKs ⊕ 1

¯p≤0Ks)p∈Z

].

est un isomorphisme de K-espaces vectoriels.


Structures de Hodge : Frobenius infini

• Etant donne une structure de Hodge H, un Frobenius infini φ est ladonnee d’une representation continue

φ : GK −→ HomH(H,H) = EndH(H)

(topologie discrete a droite, profinie a gauche) verifiant pour toutσ ∈ GK :

1 pour tout µ ∈ Q, φ(σ)(WµH) ⊂WµH,

2 pour tout p ∈ Z, (φ(σ)⊗K σ)(F pHKs) ⊂ F pHKs .

• On note HGK la categorie dont les objets sont les couples (H,φ) ouH est une structure de Hodge et φ est un Frobenius infini pour H(avec les morphismes evidents). Cette categorie est encore abelienne etK-lineaire.• Par abus, on note egalement 1 l’objet (1, σ 7→ 1) de HGK .


Structures de Hodge - Extensions de Deligne

Proposition (G.)

L’application(W0HKs)GK/(W0H

GK + (F 0 ∩W0HKs)GK )→ Ext1HGK (1, H) qui

envoie h+ (W0H)GK + (F 0 ∩W0HKs)GK vers la classe de l’extension

H⊕K,(WµH⊕1¯µ≥0K)µ∈Q,

idH h0 1

(F pHKs⊕1¯p≤0K

s)p∈Z,σ 7→

φH(σ) 00 1

est injective, et est un isomorphisme de K-espaces vectoriels si, etseulement si, l’intersection de H1(GK ,W0H) et H1(GK , F

0 ∩W0HKs)dans H1(GK ,W0HKs) est nulle.

Definition (extensions de Deligne)

On appelle extensions de Deligne et on note DExt1HGK (1, H) l’image

du morphisme precedent.


Conjecture de Beilinson : corps de nombres

• Soit F une extension finie de Q. Soit MmxtF la categorie des motifs

mixtes sur F (elle est abelienne Q-lineaire).• On attache a chaque motif mixte M sa realisation de Betti, i.e. unQ-espace vectoriel MB de dimension finie muni d’une filtrationcroissante W• ainsi qu’une involution modelisant l’action de GR

compatible a W•.• On attache egalement a M sa realisation de De Rham, i.e. unQ-espace vectoriel MDR tel que MDR ⊗Q C soit muni d’une filtrationdecroissante F •.• On a un isomorphisme de comparaison IM : MB ⊗Q C

∼→MDR ⊗Q Ccompatible aux actions de GR qui definit sur MB ⊗Q R unepre-structure de Hodge. C’est une structure de Hodge, notee h+(M).• La fleche de Deligne αM de M est la composition :

αM :(W0MB)GR⊗QR ↪→ (MB⊗QC)GR∼−→MDR⊗QR−→ MDR

F0MDR⊗QR,



• Le foncteur h+ :MmxtF → HGR est exact. En particulier, pour tout

motif mixte M sur F , on a un morphisme R-lineaire

ρM : Ext1Mmxt

F(1,M)⊗Q R −→ Ext1

HGR(1, h+(M))

appele regulateur de M .• On note h+(M) = (H,W,F, φ). Si les poids de M sont negatifs, alorsW0MB = MB et donc :

Ext1

HGR(1,h+(M))=DExt1

HGR(1,h+(M)) ∼= (W0HC)GR

(W0H)GR+(F0∩W0HC)GR∼= coker(αM ).

• Scholl propose l’existence d’un sous-Q-espace vectoriel deExt1

MmxtF

(1,M) forme des extensions ayant partout bonne reduction ou

motifs sur OF , note Ext1Mmxt

F ,good(1,M).



Soit M un motif mixte sur F dont les poids sont strictement negatifs.On attache a M sa valeur speciale L∗(M, 0) (a l’aide de ses realisations`-adiques).

Conjectures de Beilinson (1983)

1 ρM restreint a Ext1Mmxt

F ,good(1,M)⊗Q R, note ρM,good, est un

isomorphisme de R-espaces vectoriels de dimension finie.

2 L∗(M, 0) ∼Q× detQ(ρM,good) ou detQ signifie que le determinantest calcule dans les bases correspondant aux Q-structures.


Corps de fonctions sur F : Notations

• Soit F un corps fini (a q elements), (C,OC) une courbe projective,lisse, geometriquement irreductible sur F. Soit ∞ un point ferme de C,A = H0(C \ {∞},OC) et K = Frac(A). Soit F/K une extension finieseparable.• Soit K∞ le complete de K en la place ∞. Soit Ks

∞ une clotureseparable de K∞ et C∞ le complete de Ks

∞. On note ` : A→ Ks∞

l’inclusion.• Soit j = 〈{a⊗ 1− 1⊗ `(a)}〉, ideal maximal de l’anneau A⊗Ks

∞,Ks∞[[j]] := lim←−n(A⊗Ks

∞/jn) et Ks

∞((j)) son corps des fractions.L’injection ι : A ↪→ Ks

∞[[j]], a 7→ (a⊗ 1)n s’etend a K∞.• Soit C∞〈A〉 := A⊗C∞, et C∞〈〈A〉〉 := Frac(C∞〈A〉).• Si A = F[t1, ..., tr]/a, alors C∞〈A〉 = C∞〈t1, ..., tr〉/a.Pour c ∈ C×∞ tel que |c| < 1, soit C∞〈cA〉 := C∞〈ct1, ..., ctr〉/a.Si |c| est assez petit,

A⊗ C∞ ⊂ C∞〈A〉 ⊃ C∞〈cA〉 ⊂ C∞[[j]].


Analogies CdN/CdF :

Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C = Co o o o oA ⊂ K ⊂ K∞ ⊂ Ks

∞ ⊂ C∞

Exemple : C = P1F, ∞ = [0 : 1], A = F[t]

• On pose θ := `(t) ∈ Ks∞.

• K = F(t) et K∞ = F((t−1)),• j = (t− θ) comme ideal maximal de A⊗Ks

∞ = Ks∞[t].

Donc Ks∞[[j]] = Ks

∞[[t− θ]] et Ks∞((j)) = Ks

∞((t− θ)).L’injection ι correspond a l’inclusion F((t−1)) ⊂ Ks

∞[[t− θ]].• C∞〈A〉 = C∞〈t〉 et C∞〈cA〉 = C∞〈ct〉 pour c ∈ C×∞.


Definition (A-motifs d’Anderson)

1 Un A-motif d’Anderson (abelien) sur F est une paire (M, τM ) ouM est un A⊗ F -module projectif finiment engendre et τM est unisomorphisme de (A⊗ F )[j−1]-modules τM : M (1)[j−1]

∼→M [j−1].

2 La realisation de Betti MB d’un A-motif mixte M est le A-module(M ⊗A⊗K C∞〈A〉)τM muni de l’action de G∞ := GK∞ .

3 On dit que M est uniformisable si la multiplicationMB ⊗A C∞〈A〉 →M ⊗A⊗K C∞〈A〉 est un isomorphisme.

4 A l’aide de la Theorie des isocristaux sur F , on montre que Madmet au plus une filtration de Harder-Narasimhan au point ∞.Dans le cas d’existence, on dit que M est mixte. M possede alorsune filtration croissante (WµM)µ∈Q dans MF exhaustive, separee,rationnelle.

On note MmxtF la sous-categorie pleine de MF dont les objets sont

uniformisables et mixtes. Soit 1 le A-motif d’Anderson sur F donnepar (A⊗ F, 1). Il est mixte de poids {0} et uniformisable.


Exemple : les puissances tensorielles du motif de Carlitz

• On fixe un entier n et on considere le A-motif Cn = (K[t], (t− θ)−n)defini sur K. C0 = 1.• Le A-motif Cn est pur de poids {−n}.• Soit ω(t) la fonction d’Anderson-Thakur :

ω(t) = (−θ)1q−1

∞∏i=0

(1− t

θqi

)−1

∈ (t− θ)−1Ks∞[[t− θ]] ∩ C∞〈t〉.

• On a Cn,B = {f ∈ C∞〈t〉 | f (1)(t) = (t− θ)nf(t)} = F[t]ω(t)n.• Le groupe G∞ agit sur MB par le choix de la racine q − 1-eme de(−θ) et se factorise donc par G∞/Gal(Ks

∞|K∞(πn)) ∼= (F×)n, avec :

π = (−θ)qq−1

∞∏i=1

(1− θ1−qi

)−1= ω(1)(θ).

• Cn est uniformisable. C’est donc un objet de MmxtK .


Extensions de A-motifs mixtes

Proposition (G. Cohomologie des A-motifs)

L’application W0M [j−1]/(1− τM )W0M∼→ Ext1

MmxtF

(1,M) qui envoie

e+ (1− τM )W0M sur la classe de l’extension [M ⊕ (A⊗ F ), ( τM e0 1 )] est

un isomorphisme de A-modules.

Soit OF l’anneau des entiers de F , i.e. la cloture integrale de A dans F .On peut definir un sous-A-module Ext1

MmxtF ,good(1,M) des extensions

ayant partout bonne reduction a l’aide des modele minimaux deGardeyn.



On suppose que n ≥ 0, car sinon Ext1Mmxt

F(1, Cn) = 0.

• Les extensions de 1 par Cn sont calculees par :

Ext1Mmxt

K(1, Cn) ∼=

F(θ)[t, (t− θ)−1

]{p(t)− p(1)(t)

(t−θ)n

∣∣∣∣ p(t) ∈ F(θ)[t]

}en tant que F[t]-modules.• Le module des extensions ayant partout bonne reduction se calculepar :

Ext1Mmxt

K ,good(1, Cn) ∼=F[θ, t, (t− θ)−1]{

p(t)− p(1)(t)(t−θ)n

∣∣∣∣ p(t) ∈ F[θ, t]

} .


Bouquet de conjectures

Conjecture : M est suppose uniformisable

1 Pour c ∈ C×∞ assez petit, les inclusions suivantes sont des egalites :MB (M ⊗A⊗K C∞〈〈A〉〉)τM (M ⊗A⊗K Ks

∞((j)))τM

(M ⊗A⊗K C∞〈〈cA〉〉)τM (M ⊗A⊗K C∞((j)))τM

2 Le morphisme γM : MB ⊗A,ι Ks∞((j))→M ⊗A⊗K Ks

∞((j)),m⊗ c 7→ mc est bien defini et est un isomorphisme.

3 La fleche conjecturee en (2) est compatible avec l’action deσ ∈ G∞ par σ ⊗ σ a gauche et 1⊗ σ a droite.

4 L’inclusion (M ⊗A⊗K K∞〈A〉)τM ⊂MG∞B est une egalite.

(Le Theoreme de Ax-Sen-Tate enonce que CG∞∞ est egal au complete dela perfection de K∞, d’ou la motivation pour (4)).


Structures de Hodge-Pink

Structures de Hodge-Pink

1 Une pre-structure de Hodge-Pink est un triplet (H,W, q) ou H estun espace vectoriel sur K∞, W est une filtration exhaustive,separee et rationnelle de H et q est un Ks

∞[[j]]-reseau de H – i.e.un sous-Ks

∞[[j]]-module de H ⊗K∞,ι Ks∞((j)) dont l’extension des

scalaires a Ks∞((j)) vaut H ⊗K∞,ι Ks

∞((j)).

2 Soit p = H ⊗K∞,ι Ks∞[[j]]. Etant donne un entier p, on note

F pHKs∞ l’image de p ∩ jpq dans HKs

∞ = p/jp. F = (F pHKs∞)p

definie une filtration decroissante exhaustive et separee de HKs∞ .

3 Une structure de Hodge-Pink H est une pre-structure deHodge-Pink telle que le triplet H# := (H,W,F ) est une structurede Hodge.

De meme, on forme les categories HP et HPG∞ . Elles sont abelienneset K-lineaires. On note 1 la structure de Hodge-Pink unitaire.


Proposition (G. Cohomologie des structures de Hodge-Pink)

L’application(W0H ⊗K∞,ι Ks

∞((j)))G∞/(W0HG∞ +W0q

G∞)→ Ext1HPG∞ (1, H) qui

envoie h+ (W0HG∞ +W0q

G∞) vers la classe de l’extension[H ⊕K, (WµH ⊕ 1µ≥0K)µ∈Q,

(idH h0 1

)q⊕Ks

∞[[j]], σ 7→(φH(σ) 0

0 1

)]est injective, et est un isomorphisme si, et seulement si, l’intersectionde H1(G∞,W0H) et H1(G∞,W0q) dans H1(G∞,W0H ⊗K∞,ι Ks

∞((j)))est nulle.

(W0H⊗K∞,ιKs∞((j)))G∞

W0HG∞+W0qG∞Ext1

HPG∞ (1, H)

(W0H⊗K∞,ιKs∞)G∞

W0HG∞+(F 0∩W0HKs∞ )G∞Ext1

HG∞ (1, H#)

@ @

Les foncteurs HP → H etHPG∞ → HG∞ , donnes par H 7→H#, ne sont pas exacts. Un ex-tension est dite reguliere si elledonne une extension de structuresde Hodge via #.


Extensions de Hodge-Pink regulieres

Theoreme (G., fortement inspire de Pink)

Une extension E ∈ Ext1HP(1, H) est reguliere si, et seulement si, il

existe h ∈W0H ⊗K∞,ι Ks∞[[j]] +W0q tel que

E ∼=[H ⊕K, (WµH ⊕ 1µ≥0K)µ∈Q,

(idH h

0 1

)q⊕Ks

∞[[j]]].

On note Ext1HP,reg(1, H) le sous-espace des extensions regulieres. On a

alors le diagramme commutatif suivant :

W0pW0H+W0p∩q Ext1

HP,reg(1, H)

W0H⊗K∞Ks∞

W0H+F 0∩W0HKs∞Ext1

H(1, H#)

(mod j)


Definition

Etant donne un A-motif mixte d’Anderson M , on definit unepre-structure de Hodge-Pink h+(M) = (H,W, q, φ), appelee structurede Hodge-Pink associee a M , par H := MB ⊗A K∞,W := (WµM

B⊗A K∞)µ∈Q ou (WµM)µ est l’unique filtration de

A-motifs de M correspondant a la filtration de Harder-Narasimhan,q := γ−1

M (M ⊗A⊗K,ι Ks∞[[j]]) et φ provient de l’action continue de G∞

sur MB.

Theoreme (G., conditionnel aux conjectures precedentes)

Si M est uniformisable, h+(M) est une structure de Hodge-Pink. Deplus, l’assignation M 7→ h+(M) definit un foncteur Mmxt

F → HPG∞qui est exact.

On aurait alors une fleche

ρnaıf : Ext1Mmxt

F(1,M)⊗A K∞ −→ Ext1

HPG∞ (1, h+(M))

que l’on cherche maintenant a decrire.Quentin Gazda (Caen) Institut Camille Jordan 14 fevrier 2020 20 / 24

Associer une structure de Hodge-Pink a une extension

• On se donne E := [M ⊕ (A⊗ F ), ( τM e0 1 )] ∈ Ext1

MmxtF

(1,M) ou

e ∈W0M [j−1].• Soit ξe ∈M〈A〉 := M ⊗A⊗K C∞〈A〉 une solution particuliere de

l’equation : τM (ξ(1)e )− ξe + e = 0. Si ξe ∈M((j)), alors :

Proposition (G.)

La structure h+(E) = (E, (WµE)µ, qE , φE) est donnee par

1 E := (MB ⊗A K∞)⊕K∞,

2 WµE := (WµMB⊗A K∞)⊕ 1µ≥0K∞ (µ ∈ Q),

3 qE :=

(1 −γ−1

M (ξe)

0 1

)qM ⊕Ks

∞[[j]],

4 φE(σ) :=

(φM (σ) ξσe − ξe

0 1

)(σ ∈ G∞).



• Soit e ∈ F(θ)[t, (t− θ)−1] = W0Cn[(t− θ)−1]. On chercheξe(t) ∈ C∞〈t〉 tel que :

ξ(1)e (t)

(t− θ)n− ξe(t) + e = 0.

On suppose que ‖e‖ < qn/(q−1). Une solution est

ξe(t) = e+∞∑i=1

e(i)

(t− θ)n (t− θq)n · · ·(t− θqi−1

)n .L’extension de Ext1

HPG∞ (1, h+(Cn)) est donc de Deligne, de la forme :K2∞,WCn⊕W1,

1 ω(t)n ⊗ [−ξe(t)ω(t)−n]0 1

qCn⊕Ks∞[[t−θ]],σ 7→

φM (σ) 00 1

• Si de plus e ∈ F(θ)[t], comme −ξe(t)ω(t)−n est alors holomorphe en

t = θ, l’extension est reguliere.Quentin Gazda (Caen) Institut Camille Jordan 14 fevrier 2020 22 / 24

Diagramme recapitulatif : definition du regulateur

Ext1Mmxt

F(1,M)⊗A K∞ Ext1

HPG∞ (1, h+(M))

DExt1Mmxt

F(1,M)⊗A K∞ DExt1

HPG∞ (1, h+(M))

DExt1Mmxt

F ,reg(1,M)⊗A K∞ DExt1HPG∞ ,reg

(1, h+(M))

DExt1Mmxt

F ,reg,good(1,M)⊗A K∞ DExt1HG∞ (1, h+(M)#)

coker(αM )

ρnaıf

ρM

o

ou l’on definit la fleche de Deligne αM de M par :

αM : MG∞B ⊗AK∞↪→(MB⊗AKs

∞)G∞IG∞M−−−→MDR⊗KK∞→MDR/F

0MDR⊗KK∞

avec MDR := M (1)/j et F 0MDR := τ−1M (M) ∩M (1)/j.



• La K-structure sur les extensions de structures de Hodge de typeDeligne donnee par coker(αCn) s’ecrit :

DExt1HG∞ (1, h+(Cn)#) ∼=

(Ks∞ω(t)n)G∞

1q−1|nK∞ω(t)n∼=

Kπ−nω(t)n

1q−1|nKω(t)n⊗K K∞

et est donc nulle si q − 1|n.• Si e ∈ F[θ, t] et ‖e‖ < qn/(q−1), alors l’extension de t-motifs mixtesassociee est envoyee, via ρCn , sur [−ξe(t)ω(t)−n (mod (t− θ))]ω(t)n,c-a-d :

ρCn(e) =−1

πn

(e(1)(θ) +

∞∑i=2

e(i)(θ)

(θ − θq)n · · ·(θ − θqi−1

)n)ω(t)n.

• Pour n ≥ 1, on sait par Anderson-Thakur que si q − 1|n,ζC(n) ∈ K×πn et que, sinon, il existe e tel que

ζC(n) = e(1)(θ) +∞∑i=2

e(i)(θ)

(θ − θq)n · · ·(θ − θqi−1

)n .Quentin Gazda (Caen) Institut Camille Jordan 14 fevrier 2020 24 / 24

Premiers pas vers une conjecture de Beilinson pour les ...math.univ-lyon1.fr/~gazda/caen20.pdf ·...

Documents

Transcript of Premiers pas vers une conjecture de Beilinson pour les ...math.univ-lyon1.fr/~gazda/caen20.pdf ·...