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Práctica 3: Funciones y gráficas. Límites y continuidad. Derivación.

3.1. Definición de funciones

En la práctica explicamos brevemente cómo definir nuestras propias funciones. Recordemos:

f(x)=x^2-3*x+1

Así se define una función, cuyo nombre es f, de variable x. Podemos trabajar con las funciones definidastanto simbólica, como numéricamente

a=var('a')

f(a)

a^2 - 3*a + 1

f(a+1)

(a + 1)^2 - 3*a - 2

simplify(f(a+1))

(a + 1)^2 - 3*a - 2

f(1)

-1

Si una función tiene más de un argumento, éstos se separan por comas.

y=var('y')

g(x,y)=x+y*x^2-2

g(3,6)

55

3.2. Dibujo de gráficas de funciones

Para la representación de funciones reales de variable real se usa la orden

plot(f(x),xmin,xmax) dibuja la función f con x entre xmin y xmax. En una misma gráficapodemos representar más de una función.

Veamos algunos ejemplos:

Práctica3 -- Sage http://www.sagenb.org/home/mathematicboy/14/print

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1) Dibujamos ahora la función y=cos x

plot(cos(x),-2*pi,2*pi)

En la gráfica podemos intuir que su dominio en todo R y que es periódica.

2) Dibujamos en un mismo plano coordenado las funciones y=sen x, y=cos x. Para distinguirlas laspintamos en distinto color.

plot(sin(x),-2*pi,2*pi,rgbcolor=(1,0,0))+plot(cos(x),-2*pi,2*pi,rgbcolor=(0,1,0))

3) También podemos definir funciones definidas por nosotros mismos. Por ejemplo:

g(x)=arctan(1/(x-1))

plot(g(x),-2,2)


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La gráfica tiene un defecto, ha unido con un segmento los puntos de discontinuidad, así que se puedellevarnos al error de pensar que es una función continua. Esto sucede porque el método de dibujar deSAGE es muestrear unos cuantos puntos y luego unir con segmentos, así que todo lo pinta continuo.

Aparte de escribir correctamente la sintaxis de la orden plot, tenemos que elegir el intervalo en el quedibujamos. Los errores más frecuentes al respecto son:

1.- Elegir un intervalo donde no está definida la función; es decir, que no está en el dominio. Ver ejemplo4.

2.- Elegir un intervalo que no muestra la información relevante de la función. Es como si, al fotografiar lacara de una persona encuadramos sólo su nariz, o al revés, encuadramos desde un avión la ciudad en laque se encuentra. Ver ejemplo 5.

Por tanto, en ocasiones tendremos que probar con varios intervalos hasta dar con el adecuado.

4) Si dibujamos log(x) con x en el intervalos [-2,2] dará error porque el logaritmo sólo está definido paralos números positivos.

plot(log(x),-2,2)


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verbose 0 (3495: plot.py, generate_plot_points) WARNING: Whenplotting, failed to evaluate function at 100 points.verbose 0 (3495: plot.py, generate_plot_points) Last error message:''

De todos modos, este tipo de errores nos hacen caer en la cuenta de dónde está el fallo para podercorregirlo.

5) Dibuja la función f(x)=x 0x . Primero la dibujamos en el intervalos [-5,5].

plot(x^4-10*x^3+2,-5,5)

La función parece decreciente. Sin embargo, si la pintamos en [-10,10]

plot(x^4-10*x^3+2,-10,10)

4 − 1 3 + 2


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6) Dibujar la gráfica de la función h(x) en los intervalos (-2,2) y (-100,100). Observar los

cambios de escala que se producen:

h(x)=(x+1)/(x^2+x+2)

plot(h(x),-2,2)

plot(h(x),-100,100)

= x+1x +x+22


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SAGE varía la escala del eje Y para que la gráfica quepa en el dibujo. Hay que ser conscientes de estecambio de escala, pero normalmente no conviene modificarlo. Algunas veces sí será necesario que lasescalas de los ejes coincidan. En esos casos añadiremos la opción aspect_ratio. Es decir, la sintaxisquedará

plot(f(x), xmin, xmax, aspect_ratio=1)

Si queremos otras escalas, cambios el valor de aspect_ratio.

7) Dibuja una circunferenca centrada en el origen y de radio 2.

Sabemos que estará formada por los puntos (x,y) del plano que satisfacen x2+y2=22. Despejandoobtenemos que la parte superior de la circunferencia corresponderá a la gráfica de la función

, y la parte inferior a (con x entre -2 y 2, por supuesto). Pintamos ambasgráficas:

plot((sqrt(4-x^2),-sqrt(4-x^2)),-2,2)

y = 4 − x2 y = − 4 − x2


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Nota que, con el cambio de escala, la circunferencia parece una elipse. Lo solucionaremos con la opciónaspect_ratio=1.

plot((sqrt(4-x^2),-sqrt(4-x^2)),-2,2,aspect_ratio=1)

En el siguiente ejemplo, que ya hemos visto anteriormente, también podemos observar el efecto delcambio de escala

plot(sin(x),-2*pi,2*pi,rgbcolor=


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(1,0,0))+plot(cos(x),-2*pi,2*pi,rgbcolor=(0,1,0))

plot(sin(x),-2*pi,2*pi,rgbcolor=(1,0,0),aspect_ratio=1)+plot(cos(x),-2*pi,2*pi,rgbcolor=(0,1,0),aspect_ratio=1)

show(g1,g2,...)muestra los gráficos g1,g2,... combinados en uno sólo.

Ya vimos que la orden plot permitía dibujar varios gráficos simultáneamente. ¿Por qué usar show?Hay varias ocasiones donde usar show nos resultará más cómodo o incluso imprescindible. Aquí sólonombramos una: cuando queramos pintar gráficos que estan definidos en dominios distintos. Aunqueusualmente también puede hacerse con plot, resulta más sencillo usar show. El caso más típico sonlas funciones definidas a trozos.

8) Dibujar la gráfica de la función definida a trozos . Dibújala por

ejemplo en el intervalo (-2,4). A la vista de su gráfico ¿Parece f continua?

Primero dibujamos la parte de la izquierda.

gr1=plot(3/2+sqrt(1-x),-2,1)

Luego la de la derecha.

gr2=plot(1-sqrt(x-1),1,4)

f (x) = 3 2 + 1 − x

1 − x − 1

x 1

x 1


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Y por último combinamos las dos.

show(gr1+gr2)

Se ve que f tiene una discontinuidad de salto en x=1.

Ejercicio. Define la función f (x) . Estudia su dominio. Dibuja su gráfica adecuadamente. ¿Es

continua en x

-1?

Ejercicio. Dibujar superpuestas las funciones y enx, y . ¿Tiene solución la ecuación

senx ?

3.3. Límites de Funciones

La sintaxis de las órdenes que resuelven límites de funciones se presenta a continuación:

limit(función, x=a) calcula el límite de la función de variable x, indicada por su expresiónanalítica, cuando la variable x tiende al valor a.

limit(función, x=a, dir="minus") calcula el límite de la función de variable x, indicada porsu expresión analítica, cuando la variable x tiende al valor a por la izquierda.

limit(función, x=a,dir="plus") calcula el límite de la función de variable x, indicada por su

= 1ln(x+1)−1

= e

= s = x − 1= x − 1


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expresión analítica, cuando la variable x tiende al valor a por la derecha.

Para que una función tenga límite en un punto, es necesario que el límite por la izquierda y el límite por laderecha en ese punto coincidan. De no coincidir, el límite de la función en ese punto no existe.

A continuación se presentan varios ejercicios relativos al cálculo de límites de funciones, algunos de loscuales se ilustrarán con las correspondientes gráficas. El uso de los gráficos es aconsejable siempre quesurjan dudas acerca de los resultados.

1) Calcular lim y representar gráficamente la función y el límite.

f(x)=1/(1-x)-3/(1-x^3)

limit(f(x),x=1)

-1

Ahora representamos la función.

plot(f(x),0,2)

Rehagamos la gráfica añadiendo la recta horizontal y 1, que nos ayuda a ver mejor el límite. Pedimos

que la función se dibuje en color rojo y la recta y 1 en verde.

plot(f(x),0,2,rgbcolor=(1,0,0))+plot(-1,0,2,rgbcolor=(0,1,0))

x 11

1−x −3

1−x3

= −= −


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2) Calcular lim (x) (2x ) y representar gráficamente la función y el límite.

Podemos calcular también límites en + y − .

reset("f")

f(x)=log(x)-log(2*x-1)

limit(f(x),x=oo)

-log(2)

Dibujamos ahora la función y su límte:

plot((f(x),-log(2)),1,100)

x log − log − 1


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3) Calcular el límite de la función cuando x .

reset("f")

f(x)=e^(1/x)

limit(f(x),x=0)

und

Se da cuenta de que no existe. Calculemos los límites laterales.

limit(f(x),x=0,dir="minus")

0

limit(f(x),x=0,dir="plus")

+Infinity

plot(f(x),-25,25,ymin=0,ymax=1.5)

Luego la función no tiene límite cuando x .

4) Calcular el límite de la función f (x) (1 x) cuando x .

reset("f")

f(x)=sin(1/x)

limit(f(x),x=0)

ind

limit(f(x),x=0,dir="minus")

ind

limit(f(x),x=0,dir="plus")

f (x) = e1 x 0

0

= sen 0


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ind

Vemos que en x=0 no existen los límites por la izquierda ni por la derecha. Veamos una gráfica de lafunción en torno al punto x=0.

plot(f(x),-1,1)

Ejercicio: Calcular lim y representar gráficamente la función y el límite.

3.4. Derivación

Concepto de derivada

Una función f(x) definida en un entorno del punto x=a, se dice derivable en a si existe el límite

lim (a)

El valor del límite, si existe, se designa por f (a) y recibe el nombre de derivada de la función f en elpunto a. Si f es derivable en todos los puntos de su dominio, se dice simplemente que es derivable.

La derivada representa geométricamente la pendiente de la recta tangente. Así la recta tangente a lagráfica de f en el punto (a,f(a)) es

y (a) (a)(x )

1) Estudiar la derivabilidad de la función f (x) (1 x) si x≠0 y f (x) si x=0.

Estudiamos en primer lugar la derivabilidad en el punto x=0.

x ex−1log(x)3

h 0 hf (a ) (a)+ h − f

= f

− f = f − a

= x sen = 0


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reset("f")

f(x)=x*sin(1/x)

h=var('h')

f(h)

h*sin(1/h)

limit((f(h)-f(0))/h,h=0)

Traceback (click to the left of this block for traceback)...RuntimeError: power::eval(): division by zero

El límte no existe, ya que la función sen(1/x) oscila infinitas veces entre -1 y 1 cuando x->0. Luegoconcluímos que f'(0) no existe.

Veamos lo que ocurre para un punto x=a distinto de cero.

reset("a")

a=var('a')

limit((f(a+h)-f(a))/h,h=0)

-cos(1/a)/a + sin(1/a)

Luego ya hemos hallado el valor de la derivada para cualquier punto x=a distinto de cero.

Representamos la función

plot(f(x),-1/10,1/10)

Cálculo de derivadas


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SAGE ofrece varias funciones que permiten el cálculo de derivadas:

diff(f(x)) derivada de la función f(x) respecto a su variable x.

diff(f(x),x,4) derivada cuarta.

diff(g(x,y),y) derivada de g(x,y) con respecto a la variable y.

derivative funciona exactamente igual.

1) Calcular la derivada de la función f(x)=log(sen(2x)).

reset("f")

f(x)=log(sin(2*x))

diff(f(x))

2*cos(2*x)/sin(2*x)

2) Calcular la derivada de la función y simplificarla si se puede.

reset("f")

f(x)=4/3*sqrt((x^2-1)/(x^2+2))

derivative(f(x))

-4/3*((x^2 - 1)*x/(x^2 + 2)^2 - x/(x^2 + 2))/sqrt((x^2 - 1)/(x^2 +2))

simplify(_)

-4/3*sqrt(x^2 + 2)*((x^2 - 1)*x/(x^2 + 2)^2 - x/(x^2 + 2))/sqrt(x^2- 1)

derivative(f(x)).simplify_radical()

4*sqrt(x^2 + 2)*x/(sqrt(x - 1)*sqrt(x + 1)*(x^4 + 4*x^2 + 4))

derivative(f(x)).simplify_rational()

4*sqrt(x^2 + 2)*x/(sqrt(x^2 - 1)*(x^4 + 4*x^2 + 4))

derivative(f(x)).simplify_full()

4*sqrt(x^2 + 2)*x/(sqrt(x + 1)*(sqrt(x - 1)*x^4 + 4*sqrt(x - 1)*x^2+ 4*sqrt(x - 1)))

3) Calcular la derivada n-ésima de la función f(x)=1/x.

reset("f")

f(x)=1/x

f (x) = 34

2+x2−1+x2


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diff(f(x),1)

-1/x^2

diff(f(x),2)

2/x^3

diff(f(x),3)

-6/x^4

diff(f(x),4)

24/x^5

Luego la derivada n-ésima será f (x) Para comprobarlo, basta usar inducción. Para ello

debemos probar que f (x) supuesto que f (x) por tanto basta probar que

Ejercicios:

1) Calcular la derivada de las siguientes funciones y simplificarla si es posible:

a) x b)

2) Calcular la derivada n-ésima de las siguientes funciones:

a) b) (1+x)/(1-x)

Interpretación geométrica de la derivada

En esta sección vamos a estudiar el significado geométrico de la derivada y para ilustrarlo vamos a dar unejemplo animado:

Ejemplo: Dibujar la gráfica de la función f(x)=

, de su tangente en x=0 y de las cuerdas que pasan por x=0 y por otro punto d0-.

reset("f")

a=var('a')

a=0

f(x)=x*(x^2-1)

g(x)=diff(f(x))

tangen(x)=f(a)+g(a)*(x-a)

gr1=plot(tangen(x),-1,1,rgbcolor=(1,0,0));gr2=plot(f(x),-1,1,rgbcolor=(0,1,0));

(n) =xn+1

(−1) n!n

(n+1) =xn+2

(−1) (n+1)!n+1 (n) =xn+1

(−1) n!n

xn+1

(−1) n!n

=xn+2

(−1) (n+1)!n+1

tan x log(x ) + x2 + 1

e x 2


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animate([gr1+gr2+plot(f(a)+((f(d)-f(a))/(d-a))*(x-a),-1,1) for d in srange (-1,0,0.1)]).show(delay=20,iterations=2)

Vemos como según d se acerca a 0, la recta secante tiende a convertirse en la recta tangente.

Ejercicios propuestos:

Ejercicio 1. Dibujar las funciones siguientes y estudiar su dominio:

A) 2x ; B) ; C) (2x-3)/(x^2+2).

Ejercicio 2. Estudiar cuántas soluciones tiene la ecuación 2x+2=sen(x). (Indicación: dibujar la funciónf(x)=2x-sen(x)+2).

Ejercicio 3. Dibujar las funciones elementales siguientes y estudiar su dominio:

A) log(x); B) arctan(x); C) tan(x); D) arctan(x), tan(x); E) |x|; F) E[x].

Ejercicio 4. Sea f(x)=0 si x=0 y f(x)= en otro caso. Calcular los dos límites laterales cuando

x y representar gráficamente la función y sus límites. Hacer dicha representación en los intervalos[-10,10] y [-0.01, 0.01].

Ejercicio 5. Calcular las derivadas siguientes y simplificar:

1.- derivada primera de f (x) .

2.- derivada tercera de f (x) .

Ejercicio 6. Estudiar los extremos absolutos y relativos de la función f (x) (2x ) en:

1.- todo su dominio;

2.- en el intervalo [0,1].

Ejercicio 7. Calcular los límites laterales de la función f (x) cuando x . ¿Qué conclusiones

2 + 3 log( )45x − 4

x2

e1 x

e −11 x

0

=cos x + x sen xsen x − x cos x

= ex2

= 1 4 − x + 1

=x

sen x 0


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sacas de estos resultados?


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