UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRS

FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL

DEPARTAMENTO DE CURSO BSICO

EL CLCULO SUPERIOR EN EL ENTORNO MATLAB

APLICACIONES AL CALCULO DIFERENCIAL

o FUNCIONES o LIMITES o DERIVACION o MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES o SUMAS DE RIEMANN o INTEGRACION o APLICACIONES DE LA INTEGRAL o SERIES

Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta

MATLAB Marca registrada por The MathWorks, Inc.

FUNCIONES DE UNA VARIABLE CON MATLAB Una funcin es una relacin entre dos variables en la cual a cada valor de la variable independiente le corresponde siempre un nico valor de la variable dependiente. Por lo tanto, se dice que una relacin es una funcin cuando de cada elemento de su dominio sale una y solo una flecha hacia algn elemento del codominio o conjunto imagen. Es decir cuando cada elemento del dominio est relacionado una y solo una vez, con algn elemento del codominio.

Una funcin :f A B

Es una regla que a cada elemento del conjunto A le asigna un nico elemento del conjunto B. Para nosotros, A y B, sern, en general, conjuntos numricos. Para reconocer que una relacin no es funcin alcanza con observar si un mismo elemento del dominio se relaciona con dos o ms elementos del codominio o conjunto imagen, por ejemplo: Dominio de una funcin El dominio de una funcin son todos los elementos del conjunto de partida que estn relacionados con algn elemento del conjunto de llegada. Es decir son todos los elementos del conjunto de partida de los cuales sale una flecha. A stos elementos se los pueden llamar preimagenes y se los designa con la letra x Recordemos que el conjunto de partida se representa grficamente como el eje horizontal (eje x ). Otra forma de definir el dominio de una funcin es decir que es el conjunto de puntos o elementos de A para los que la funcin existe, en smbolos se expresa . fdom A= Rango o imagen de una funcin El rango o imagen de una funcin son todos los elementos del conjunto de llegada que estn relacionados con algn elemento del conjunto de partida. Es decir son todos los elementos del conjunto de llegada que reciben una o ms de una flecha. A stos elementos se los puede llamar imgenes y se los designa con la letra y. Al conjunto de llegada se lo representa grficamente como el eje vertical y se lo suele llamar eje . y Representacin de una funcin Las funciones se pueden representar de diversas maneras: Por medio de un grfico, el grfico de una funcin :f A B como el conjunto de pares ordenados ( , )x y , donde x es un elemento del dominio e es un elemento del codominio de la funcin. y En la representacin grfica el dominio se encuentra sobre el eje horizontal y el codominio e conjunto imagen se encuentra sobre el eje vertical

Mediante una tabla de valores. En las tablas de valores tenemos el listado de todos los pares ordenados ( , )x y que se relacionan.

HORA 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 TEMPERATURA 9 8.5 8 7 5.5 6 8 12 12 6 4.4 4

La tabla representada contiene las temperaturas registradas durante un da. En la mayora de los casos las tablas slo aportan una informacin parcial sobre la funcin. Por medio de una frmula que relaciona la variable dependiente (habitualmente la expresamos con la letra ) con la variable independiente (habitualmente la expresamos con la letra x ). El volumen V de un cubo cuya arista mide x metros es igual a:

y

( ) 3V x x= Mediante la descripcin detallada del comportamiento de cierta variable con respecto de otra variable. Por ejemplo: Saqu del fuego una cacerola con agua hirviendo. Al principio, la temperatura baj con rapidez, de modo que a los 5 minutos estaba a 60C. Luego fue enfrindose con ms lentitud. A los 20 minutos despus de haberla sacado estaba a 30C, temperatura de la cual no baj pues era la temperatura que haba en la cocina. La temperatura del agua a lo largo del tiempo es una funcin. Funciones pares

Una funcin f es par si para todo valor del dominio se verifica que: ( ) ( )f x f x= , es decir imgenes iguales de preimgenes opuestas. Geomtricamente la representacin grfica de las funciones pares nos da funciones simtricas a s misma respecto del eje de ordenadas (eje ), sera una simetra axial con respecto al eje

yy

Funciones impares

Una funcin f es impar si para todo valor del dominio se verifica que: ( ) ( )f x f x = . Geomtricamente la representacin grfica de las funciones impares nos da funciones simtricas a si misma respecto del punto de interseccin de los ejes de coordenadas, sera una simetra central respecto del origen (0,0). Simplificando podemos decir que una funcin es impar cuando elementos opuestos del dominio se relacionan con elementos opuestos del codominio. Toda funcin puede ser representada como una suma de sus componentes par e impar donde:

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2par impar

f f x f x f f x f x= + =

Propiedades

par par parimpar par imparimpar impar par

= = =

Composicin de funciones

Dadas dos funciones f y , la composicin g ( )g f g f x= o es la funcin que le asigna a cada x el resultado de aplicar a . Para que esta secuencia pueda realizarse, se necesita que f est definida en

g( )f x

x y que est definida en g[ ] ( )f f x . La funcin compuesta de con g f es la funcin

( )f g f g x= o . Es decir que a un elemento del dominio de la funcin le aplicamos el vnculo de dicha funcin, obteniendo g

( )g x . A continuacin a ( )g x le aplicamos el vnculo de la funcin f y obtenemos ( )f g x :

Tenemos que tener en cuenta que se aplica primero la funcin y luego la funcin g f . Por lo tanto, podemos verificar que

f go y son funciones diferentes. La condicin que debe darse para que exista funcin compuesta es que las imgenes de la primera funcin pertenezcan al dominio de la segunda componente, es decir, el conjunto imagen de la primer funcin debe estar incluido o ser igual al dominio de la segunda funcin.

g fo

El dominio mximo de no coincide, en general, con el dominio mximo de f: tenemos la relacin

fg o( ) ( )Dom g f Dom fo

Luego:

El dominio mximo de es fg o ( ) ( )x Dom f f Dom g I El dominio mximo de f go es ( ) ( )x Dom g g Dom f I

Propiedades de la composicin de funciones

Asociativa: fghfgh oooo )()( = Conmutativa: No se verifica como puede verse en los ejemplos anteriores. g f f go o Si f es una funcin cualquiera, se verifica que f I I f f= =o o ( ) ( ) (f g h f h g h+ = +o o o )

) ( ) ( ) (f g h f h g h = o o o Funcin inversa o recproca Dada una funcin :f A B , donde A es el dominio y B es el conjunto imagen. La inversa de dicha funcin se obtiene cambiando el dominio por el conjunto imagen (codominio) y se expresa como:

1 :f B A

Pero tambin se debe obtener el nuevo vnculo, que se calcula despejando la variable independiente:

( ) ( )11 12 12 2

yy f x x x f x x 12

= = + = =

La representacin grfica de dos funciones inversas nos da grficos simtricos respecto de la recta y x= Propiedades de la funcin inversa

1 1f f f f I X = =o o =1)

1 1( ) (f g g f =o o

Funciones Especiales

Funcin Valor absoluto

0 0

x xy x

x x= = = = = > clc limpia la ventana de comandos de Matlab

>> clear all borra todas las variables y funciones del espacio de trabajo de Matlab respectivamente. >> symvar(S) >> findsym(S)

Devuelve la variable independiente de la expresin simblica S.

>> ezplot(S) Genera una grfica de S, donde se supone que S es una expresin de una variable; la variable independiente suele variar entre 2 y 2 .

>> ezplot(S,[xmin,xmax]) Genera una grfica de S, donde se supone que S es una expresin de una variable; la variable independiente suele variar entre xmin y xmax.

>> collect(S) Agrupa trminos semejantes de S

>> collect(S, v) Agrupa trminos semejantes de S respecto a la variable independiente v >> expand(S) Realiza una expansin de S >> factor(S) Intenta factorizar S >> simple(S) Simplifica la forma de s a una forma ms corta, si es posible. >> symplify(S) Simplifica usando las reglas de simplificacin de Maple

>> pretty(S) Exhibe S en una salida que semeja la tipografa usada en matemticas. >> subs(S, old, new) Substitucin simblica en una expresin o matriz simblica >> compose(F,G) Halla la funcion compuesta de G con F o viceversa >> finverse(F) Halla la funcion inversa de F

Graficar las siguientes funciones en el entorno simblico:

( )2 12 1

xx xf x

= + >> syms x y >> y=x*((2^x-1)/(2^x+1)) >> ezplot(y) >> grid on

( 3224xy In x )xx+= +

>> syms x y >> ezplot((x+2)/(4-x^2)+log(x^3-x)) >> grid on >> axis([-2 6 -6 10])

2 2 2x y xy y+ = 0 >> syms x y >> x^2*y+x*y-2*y-2

ans = x^2*y+x*y-2*y-2 >> ezplot(ans) >> grid on

2 2 2 0x y x y = >> syms x y >> x^2*y^2-x^2-4*y^2+1

ans = x^2*y^2-x^2-4*y^2+1 >> ezplot(ans) >> grid on

( )2cos 2 1y x= +

>> syms x y >> f=abs(2*cos(2*x)+1); >> ezplot(f) >> grid on

Graficar las siguientes funciones en el entorno numrico:

( )21

1y

x=

>> x=linspace(0,3,200); >> plot(x,1./(x-1).^2) >> ylim([-2 100]), box off >> grid on

1yx

= >> x=linspace(-4,4,111); >> y = 1./x; >> plot(x, y,'k','linewidth',2) >> axis([-4 4 -10 10]) >> grid on

Se obtiene el mismo grfico con :

>> x = -4:0.1:4; >> plot(x', y) >> plot(x, y') >> plot(x', y') >> ylim([-10 10]), box off >> grid on

( ) (cos 2 y sen x x= ) >> x=-2*pi:.1:2*pi; >> y=sin(x)-cos(sqrt(2)*x); >> plot(x,y,'k','linewidth',2) >> axis light >> grid on >> xlabel('eje x') >> ylabel('eje y')

( )2xy e sen x= >> x=0:0.01:5; >> y=sin(x.*exp(-x.^2)); >> plot(x, y,'k','linewidth',2) >> ylim([-0.1 0.5]), box off >> grid on

Genere un vector de tiempos uniforme desde t=0 hasta t=1, de 1000 muestras. Construya una funcin seno de amplitud 1 y frecuencia 5Hz, una funcin exponencial decreciente con constante de tiempo igual a 100ms las dos sobre esa base. Genere una tercera funcin producto de las dos anteriores

>> Tinicial=0; >> Tfinal=1; >> Npoints=1000; >> step=(Tfinal-Tinicial)/Npoints; >> t=Tinicial:step:Tfinal-step; >> y1=1*sin(5*2*pi*t); >> tau=200e-3; >> y2=exp(-t/tau); >> y3=y2.*y1; >> plot(t,y1,t,y2,t,y3) >> xlabel('Tiempo'), >> ylabel('Tension') >> grid on

Graficar las siguientes funciones dadas en forma implicita:

( ) ( )2 22 2x y + = 5 >> syms x y >> f='(x-2)^2+(y-3)^2-5'; >> ezplot(f,[-1,5,0,6]) >> grid on

2 21

2 5x y + =

>> syms x y >> z=(x/2).^2+(y/5).^2-1; >> ezplot(z) >> grid on

2 21

9 4x y+ =

Para esto:

2449

y x=

>> x=-3:0.1:3; >> y1=sqrt(4-4/9*x.^2); >> y2=-sqrt(4-4/9*x.^2); >> plot(x,y1) >> hold on >> plot(x,y2) >> axis equal >> grid on

2 22 9x y xy+ + = >> syms x y >> ezplot('x^2+2*y^2+x*y-9 '); >> grid on

Usando Matlab, podemos observar esa curva, a travs de los comandos meshgrid y contour en la forma

>> x = linspace(-6,6,150); >> y = linspace(-6,6,150); >> [X,Y]=meshgrid(x,y); >> Z=X.^2+2*Y.^2+X.*Y; >> contour(X,Y,Z,[9 9]);

Esta curva tambin puede representarse como una curva de nivel (o contorno de nivel) de

( ) 2 2, 2f x y x y xy= + + , cuando ( ),f x y 9= . Es decir, una rebanada de la superficie f(x, y). Aqu aparecen dos instrucciones nuevas. Por una parte mesgrid nos permite llenar dos matrices X y Y como copias de los vectores x y , y con esto, generamos sobre el cuadrado [6, 6][6, 6] una coleccin de nodos o puntos interiores sobre los cuales evaluamos la funcin.

y

Por otra parte, esta la instruccin contour esta nos permite rebanar a la superficie ( ),f x y = a la altura . 9z =

Hallar el rango de las siguientes funciones ((log 1y sen x x= ))+

[ ]: 1,Rpta y 1

>> syms x y >> y=sin(log(x-sqrt(x+1))) >> axis([1.3 6 -1.2 1.3]) >> grid on >> ezplot(y)

24 1

2 1xyx

= +

[ ]: 2,Rpta y

>> syms x y >> y=(4*x^2-1)/abs(2*x+1) >> ezplot(y) >> grid on

2

22 1

xyx x

=+ +

4: 0,7

Rpta y

>> syms x y >> y=(x^2)/(2*x^2+x+1) >> ezplot(y) >> grid on

2 1y sen x x = + +

[ ]: 1,Rpta y 2

>> syms x y >> y=abs(sin(sqrt(x^2+x)))+1 >> ezplot(y) >> grid on

( )cosy x sen= + x

: 1,Rpta y 2

>> syms x y >> y=abs(cos(x))+sin(abs(x)) >> ezplot(y) >> grid on

Graficar las siguientes funciones por tramos, explicitando los dominios cerrados y abiertos Hay varias por mas de graficar una funcin por tramos, aqu vemos algunas.

( ) ( )( )

0

0 0

sen x sen xy

sen x

= > x=0:(6*pi/1000):6*pi; >> y=sin(x); >> y=y.*(y>0); >> plot(x,y); >> xlabel('eje x'); >> ylabel('eje y'); >> grid on >> axis([0,6*pi,-0.4,1.2])

( )

( )22 10

5 2

1 2 10

x

sen x x

y e x

In x x

+ = > x=-10:.1:-5; >> y=2+sin(x); >> z=-5:.1:2; >> t=exp(z); >> u=2:.1:10; >> v=log(u.^2+1); >> plot(x,y,z,t,u,v) >> ylim([-0.5 8]) >> xlim([-11 11]) >> grid on >> xlabel('x'), ylabel('f(x)')

2

( )

01 0 12 1

x

x xf x

x x

> x=-2:0.01:3; >> linspace(-2,3,3000); >> y=(x.^2).*(x hold on >> plot(0,1,'bo','linewidth',6) >> plot(1,1,'bo','linewidth',6) >> plot(0,0,'co','linewidth',6)

23( ) 2

32

0 0

6 0 4

4

x

x

f x x

x x

>> x=-5:0.01:5; >> linspace(-5,5,5000); >> y=(1).*(x grid on >> hold on >> plot(0,1,'co', 0,-6,'bo', 4,18,'bo', 4,6,'co','linewidth',3.2) Gg

Graficar las siguientes funciones especiales Para graficar, primero generamos una tabla de valores en el dominio que queremos dibujar la funcin. Aqu se esta definiendo el limite inferior en cualquier valor menor a cero (etc., -100,-20,-2) y el limite superior en cualquier valor mayor que uno (3, 20, 100, etc). Ahora definimos la funcin, multiplicando cada trozo por el ndice lgico que describa el lugar donde queremos dibujarlo y dibujamos >> x=-5:0.01:5; >> linspace(-5,5,5000); >> y=(-x).*((-5 x=-5:0.01:5; >> linspace(-5,5,5000); >> y1=(-1).*((-5 hold on >> plot(0,-1,'co',0,1,'co',0,0,'bo','linewidth',3.5) >> axis('equal')

( )( ) sgnxf x=

>> x=-2:0.01:3; >> linspace(-2,2,2000); >> y=(-2).*(( -2 xlim([-3 3]), box off >> ylim([-2.1 3.1]), box off >> hold on >> plot(-2,-2,'bo', -1,-1,'bo', 0,0,'bo', 1,1,'bo', 2,2,'bo', 3,3,'bo','linewidth',2.7)

( )xf x=

Para la parte entera seleccionamos un dominio, en nuestro caso [ ]2,3 y en este dominio desarrollamos la parte entera segn su definicin:

2 21 1 0

0 0 11

1 1 22 2 23 3

xxx

y x k k x k y xxx

x

1 <

Calcular la funcin inversa de 4)( 2 = xxf La funcin cuadrtica no es inyectiva, pero si descomponemos su dominio en dos trozos separados por el vrtice de la parbola:

=

> syms x y; >> f=x^2-4; >> h=finverse(f); >> subplot(311) >> ezplot(f); >> grid on >> axis ([-4 4 -5 6]) >> subplot(312) >> ezplot(h) >> axis ([-5 6 -1 4]) >> grid on >> subplot(313) >> ezplot(f,[0,6]) >> hold on >> ezplot (h) >> ezplot(y-x) >> grid on >> axis ([-5 6 -5 6]) >> pretty(h) retty(h) Warning: finverse(x^2-4) is not unique. > In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43 1/2 (4 + x)

;

Encontrar la funcin inversa de

.46)( 2 += xxxfEl vrtice de la parbola es el punto de abscisa x = 3 que ser el que nos descompone el dominio en trozos de forma que en cada uno de ellos la funcin es inyectiva:

+=

> syms x y; >> f=x^2-6*x+4; >> h=finverse(f); >> subplot(311) >> ezplot(f); >> grid on >> axis ([-0 6 -6 8]) >> subplot(312) >> ezplot(h) >> axis ([-6 5 3 7]) >> grid on >> subplot(313) >> ezplot(f,[3,12]) >> hold on >> ezplot (h,[-6,15]) >> ezplot(y-x,[ -6 8]) >> grid on >> axis ([-6 8 -6 8]) >> pretty(h) Warning: finverse(x^2-6*x+4) is not unique. > In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43 1/2 3 + (5 + x)

Observe el mensaje de advertencia en la salida del cdigo Matlab, esto se debe a que las funciones graficadas no tienen inversa nica. Otras funciones tienen inversa nica como las siguientes:

Hallar la inversa de las siguientes funciones

( )12 11x

xf senx

= + + >> syms x y; >> f=2*sin((x-1)/(x+1))+1; >> h=finverse(f); >> subplot(311) >> ezplot(f); >> grid on >> axis ([-6 6 -1.5 3.5]) >> subplot(312) >> ezplot(h) >> axis ([-1.5 4 -1.5 8]) >> grid on >> subplot(313) >> ezplot(f) >> hold on >> ezplot (h) >> ezplot(y-x) >> grid on >> axis ([-1 3 -1.5 4]) >> pretty(h)

>> pretty(h) 1 + asin(-1/2 + 1/2 x) - ----------------------- -1 + asin(-1/2 + 1/2 x)

( ) ( )( ) ( )10 10

110 10

x x

x xy

= ++

>> syms x y; >> f= (10^x-10^-x)/(10^x+10^-x)+1; >> h=finverse(f); >> subplot(311) >> ezplot(f); >> grid on >> axis ([-2 2 -0.5 2.5]) >> subplot(312) >> ezplot(h) >> axis ([-0.5 2.5 -2 2]) >> grid on >> subplot(313) >> ezplot(f) >> hold on >> ezplot (h) >> ezplot(y-x) >> grid on >> axis ([-1.5 2 -1.5 2]) >> pretty(h)

pretty(h) x log(- ------) -2 + x 1/2 ------------- log(10)

Componer las siguientes funciones

Si ( ) 11xxfx

+= y ( )23

3xxg 1x

= , hallar f g g fo o >> syms x

>> f=(x+1)/(x-1)

>> g=(3*x^2-1)/(x-3)

>> h1=compose(g,f)

>> h2=compose(f,g)

>> gof=simplify(h1)

>> fog=simplify(h2)

>> pretty(gof)

>> pretty(fog)

f = ( x+1)/(-1+x) g = ( 3*x^2-1)/(x-3) h1 = ( 3*(x+1)^2/(-1+x)^2-1)/((x+1)/(-1+x)-3) h2 = ( (3*x^2-1)/(x-3)+1)/(-1+(3*x^2-1)/(x-3)) gof = - (x^2+4*x+1)/(x-2)/(-1+x) fog = (3*x^2-4+x)/(-x+2+3*x^2)

Dadas las funciones 1(

1)( = xxxf y 1)( 22

+= xxxg , calcular las funciones f g go o f

>> syms x

>> f=1/(x*sqrt(x-1))

>> g=x^2/(x^2+1)

>> h3=compose(f,g)

>> h4=compose(g,f)

>> gof=simplify(h3)

>> fog=simplify(h4)

>> pretty(gof)

>> pretty(fog)

f = 1 /x/(-1+x)^(1/2) g = x ^2/(x^2+1) h3 = 1 /x^2*(x^2+1)/(-1+x^2/(x^2+1))^(1/2) h4 = 1 /x^2/(-1+x)/(1/x^2/(-1+x)+1) gof = 1/x^2*(x^2+1)/(-1/(x^2+1))^(1/2) fog = 1/(1-x^2+x^3)

Tambin se puede utilizar la orden subs para calcular la composicin de dos funciones, ya que la variable x puede substituirse por un valor numrico o por una expresin simblica.

Dadas las funciones 2( ) 5 3f x x x= + + y ( )( ) cos 2 1g x x= + , calcular las funciones f g g fo o Define variable >> syms x

>> f=x^2+5*x+3 Define las funciones >> g=cos(2*x+1) Calcula composicin >> fog=subs(f,x,g) Calcula composicin >> gof=subs(g,x,f)

f =

x ^2+5*x+3 g

=

c

os(2*x+1)

f og =

c

os(2*x+1)^2+5*cos(2*x+1)+3

g

of =

cos(2*x^2+10*x+7)

Explicitar las siguientes funciones:

Dadas la funcin 2

21 22 3 4

1x x xfx x x

+ = ++

calcular ( )f x Define variable >> syms x Define funcin >> f_original=(x^2-2*x+1)/(x^2-3*x+4); Cambio de variable >> u=(x+1)/(x-2); Despeja x >> equis=finverse(u); Reemplaza en f >> f_de_u=subs(f_original,x,equis); simplifica >> f_de_x=simplify(f_de_u)

Escribe en formato MAPLE

>> pretty(u) >> pretty(equis) >> pretty(f_de_x)

La funcin es:

( ) 2 2 4 42 8x xf x

x x+ += +

f_de_x = (4+4*x+x^2)/(8-x+2*x^2)

Al ejecutar la orden simplify, el programa efecta una serie de procesos de simplificacin y, de entre los resultados obtenidos, escoge uno. Si la simplificacin presentada por la orden simplify no es satisfactoria, podemos pedirle al programa, mediante la orden simple, que nos muestre los resultados de todas las simplificaciones efectuadas. Observa el siguiente ejemplo:

Con simplify la expresin 2 2 1f x x= + + no se modifica.

Sin embargo, utilizando simple

>> syms x >> f=x^2+2*x+1 f = x^2+2*x+1 >> simplify(f) ans = x^2+2*x+1

> > simple(f) s implify: x ^2+2*x+1 radsimp: x^2+2*x+1 combine(trig): x^2+2*x+1 factor: (x+1)^2 expand: x^2+2*x+1 combine: x^2+2*x+1 c onvert(exp): x ^2+2*x+1 c onvert(sincos): x ^2+2*x+1 convert(tan): x^2+2*x+1 c ollect(x): x ^2+2*x+1 ans = (x+1)^2

Graficar paso a paso partiendo de 234 2 += )()( xxf 2( )f x x= >> syms x >> f1=x^2; >> u=x+3; >> f2 =subs(f,x,u); >> f3=4*f2; >> f4=f3-2; >> subplot(221) >> ezplot(f1,[-8,8]) >> grid on >> subplot(222) >> ezplot(f1) >> hold on >> ezplot(f2,[-8,8]) >> grid on >> subplot(223) >> ezplot(f1) >> hold on >> ezplot(f2) >> ezplot(f3,[-5,-1]) >> grid on >> subplot(224) >> ezplot(f1) >> hold on >> ezplot(f2) >> ezplot(f3) >> ezplot(f4,[-5,-1]) >> grid on

Partimos de la funcin cuadrtica Sumamos 3 unidades a la variable: trasladamos a lo largo del eje x 3 unidades a la izquierda. Multiplicamos por 4 la funcin: dilatamos a lo largo del eje y. Restamos 2 unidades a la funcin: trasladamos a lo largo del eje y 2 unidades hacia abajo

Graficar paso a paso 12 18( )

3 5xf xx= + partiendo de xxf

1=)( Se trata de representar:

53

2 2( ) 4 43 5 3

f xx x

= + = + + +1

>> x=-2:0.01:5; >> y1=1./x; >> y2=-1*y1; >> y3=1./(5/3-x); >> y4=2/3* y3; >> y5=-4+y4 ; >> plot(x,y1, '--',x,y2, '--',x,y3, '-.',x,y4, '-.',x,y5, '-') >> ylim([-15 10]), box off >> grid on >> legend('y1','y2','y3','y4','y5')

Partimos de x

xf 1=)( Multiplicamos la variable por : calculamos la simtrica respecto del eje y 1Sumamos

53

unidades a la variable: trasladamos 53

unidades a lo largo del eje x a la izquierda.

Multiplicamos por 2/3 la funcin: contraemos a lo largo del eje y. Restamos 4 unidades a la funcin: trasladamos a lo largo del eje y 4 unidades hacia abajo.

LA CALCULADORA DE FUNCIONES Con la sentencia funtool se accede a una calculadora de funciones en la que se recogen la mayora de los comandos que hemos visto y que, por tanto, sirve para manipular de forma interactiva funciones reales de una variable real. La calculadora consta de tres ventanas: dos ventanas graficas y una con el teclado. En cada instante la calculadora mostrara dos funciones f(x) y g(x) en las ventanas graficas. El resultado de la mayora de las operaciones se guarda en f(x) borrando el contenido anterior. >> funtool

En las casillas etiquetadas por f = y g = se puede introducir, en cualquier momento, la funcin que uno desee escribiendo la correspondiente expresin. La casilla x = puede cambiarse para especificar un nuevo dominio. La casilla a = puede modificarse para introducir un nuevo valor del parmetro a. Todos las teclas de la fila superior son operaciones que afectan solo a la funcin f(x). Son los siguientes:

df/dx Derivada de f(x). int f Integral de f(x). simple f Simplifica la expresin, si es posible. num f Extrae el numerador de una expresin racional. den f Lo mismo, pero ahora el denominador. 1/f Cambia f(x) by 1/f(x). finv Cambia f por su funcin inversa

Obviamente, las operaciones int f y finv pueden fallar si la correspondiente expresin simblica no existe o no puede expresarse en trminos de funciones elementales. La segunda fila de teclas sirve para trasladar y escalar la funcin f por el parmetro a. Las operaciones posibles son:

f + a Reemplaza f(x) por f(x) + a. f - a Reemplaza f(x) por f(x)-a. f * a Reemplaza f(x) por af (x). f / a Cambia f(x) por f(x)/a. f ^ a Cambia f(x) por f(x)a. f(x+a) Reemplaza f(x) por f(x + a). f(x*a) Reemplaza f(x) por f(a*x)

La tercera fila de teclas son operaciones en las que intervienen las dos funciones f(x) y g(x). Las operaciones son:

f + g Reemplaza f(x) por f(x) + g(x). f - g Reemplaza f(x) por f(x) - g(x). f * g Reemplaza f(x) por el producto f(x)*g(x) f / g Reemplaza f(x) por f(x)/g(x). f(g) Reemplaza f(x) por la composicin f(g(x)). g = f Reemplaza g(x) por f(x) swap Intercambia f(x) y g(x).

Las primeras tres teclas de la cuarta fila sirven para manejar la coleccin de funciones de la calculadora. Por defecto, la calculadora de funciones incluye una seleccin de interesantes ejemplos. La tecla Insert aade la funcin activa en ese momento a la coleccin. La tecla Cycle nos permite recorrer una por una las funciones de la coleccin. La tecla Delete elimina la funcin activa de la coleccin. La tecla Reset reestablece los valores por defecto de f, g, x, a y la coleccin de funciones. La tecla Help presenta estas breves instrucciones de ayuda en ingles. La tecla Demo propone un curioso problema. Se puede generar la funcin sen(x), sin tocar el teclado, usando solo el ratn? La demostracin resuelve el problema reiniciando la calculadora con Reset y luego pulsando 9 veces el ratn. Si eres capaz de resolver el problema con menos pulsaciones de ratn, por favor, enva tu solucin a moler@mathworks.com. Finalmente, la tecla Close apaga la calculadora, cerrando las tres ventanas que la componen.

Dadas 2( ) 1f x x x= + + y ( )( ) ( )( )( )g x tg sen x sen tg x= , graficar las funciones f g g fo o g fo

f go

Para

35

( ) 5x

f x e

= y graficar ( ) ( )3 2xg sen= x ( )( ) ( )x xgf gf

( )35

( ) 15 2x

h x e sen x

=

( ) ( )353 2

5

x

xh e sen= x

Para la funcin dibujar la grafica de ( )( ) 2f x x sen x= ( ) ( )12 5f x f x+ +

( )12f x +

( ) 5f x +

TRABAJO PRCTICO VII ANALISIS DE FUNCIONES CON MATLAB

Graficar las siguientes funciones en un dominio adecuado utilizando en calculo numrico 1 xln)ln(xy 2 += 5 3 23 4 1y x x x= + + 2 9 ( )2 1y lg x= + 2 y x x= 6 4 3

10 52 4

xyx x x

+= + + 10 2

1xy ctgh

x =

3 2

64 2x

y x e= 7

1 2y1 2

x xx x

= ++ + 11 2 1

2xy shx

=

4 2

23

1

xyx x

+=

8 ( )22 4y x x= + 12 ( ) ( )cos secy x x= x Graficar las siguientes funciones en un dominio adecuado utilizando en calculo simblico

1 y sen x= 8 ( )2 3y sen= x 15 1y 2xx x 1= + +

2 ( )1

1x

y x= + 9 ( )y sen x x= + 16 1xxy

e =

3 2

2xyx

= 10 ( ) 21 4x x y x = 17 ( )2 2 4y x x = 43 )

4 ( )2 1y x x = 11 ( ) (2 26 4x y x x = 18 22 3 23 2x xy chx x

+= + +

5 21)( += xxxf

12 2 3 2 1f ( x ) x= + 19 32)( +++= xxxxf

6 1

3xf ( x ) = 13 2( ) 2 3 1 6f x x= + 20 ( ) ( )2 2sgn 4 sgn 2y x x x= + x

,107 2 1f ( x ) x= 14 ( ) [ ]3 3 10y x sen x= 21 13xf ( x ) x= +

2

23sgn1

x xy xx

= + +

( )[ ]

23

2log 4 74, 2

sen x

xy e

+=

Para las siguientes funciones explicitar las funciones y hallar f g g fo o

1 ( )22

3 52x x

xf gx x

+= =+ 3 3

1 132

3 1 361xx x

x xf gxx +

5+ += = +

2 3

1 132

3 1 361xx x

x xf gxx +

+ += = +5

5 2 2

1 1 22

3 2 31 36xx x

x x xf gx x +

25+ += =

3 ( )1 11 11 51 5xx

x xf gx x

+ += = 6 ( )1 1

1 22

5 34 5 1

xxx

x xf gx x

+

+= = +

Determinar cules de las siguientes funciones son pares y cules son impares de forma grafica:

1 2 2x x

yx

+= 3 33xy Inx

= + 5 ( )25 5x xy = + 2

21y In x x = + +

4 1 11 1

xy In

x + += +

6 ( ) ( )

( )cossen x x x

yIn x

=

Graficar las siguientes curvas dadas de forma implcita

1 3 3 6 0x y xy+ = 4 ( ) ( )100 1001 1x y + + = 1 10 7 [ ]2 0 10,xyxe xy = 2

1 12 2

12x y a+ = 5 ( )( ) ( )cosysen x x y= + 8

3 4 4 4 2x y x+ = 6 ( )2 23 4y x x + = 9

3 32 2 2x y+ =

32

( )23 2 1y x = 99 99 4x y+ =

Graficar las siguientes funciones por tramos

1 2

11 0 2

2

x xy x

x x

< = < 4 2

1 1

1 1

1 1

x x

y x x

x x

1

< =

Para las siguientes funciones graficar paso a paso

1 31( ) ( 3) 24

f x x= partiendo de 3( )f x x=

2 ( ) 2 3 2f x x= + Partiendo de xxf =)(

3 2 4( ) 4 2 xf x = Partiendo de ( ) 2xf x =

4 4 3( ) 3log (2 )f x = x Partiendo de 3( ) logf x x=

5 8 17( )2 5xf xx= Partimos de

1( )f xx

=

Con la ayuda de la calculadora de funciones graficar:

1 22 xf e= cos 24

g x = + h f g= 4 2f x= 12xg sen = h f g=

2 ( )f In x= ( )13 xg e += h f g= 5 ( )f sen x= ( )2cosg x= h f g= + 3 2 2f x x= ( ) ( )2h f x f x= 6 2 2f x x= ( ) ( )h f x f x=

CALCULO DE LIMITES CON MATLAB El concepto de lmite es un concepto bsico y un instrumento principal del Anlisis Matemtico, ya que muchos problemas importantes de la Matemtica y de otras ciencias dependen de l. Sin los lmites, el sistema de los nmeros reales estara seriamente incompleto. La teora de lmites es el aparato que permite estudiar sistemticamente las cantidades variables que aparecen en los diferentes fenmenos de la naturaleza y los procesos tecnolgicos. Las ideas de lmite y continuidad son muy importantes en la aplicacin de las matemticas a problemas econmicos. Numerosos resultados de la Matemtica y la Economa son vlidos solamente para funciones continuas.

Euler, uno de los ms grandes matemticos de todas las pocas, escribi que todo el anlisis infinitesimal gira alrededor de las cantidades variables y sus funciones. Con los precedentes sobre la teora de funciones y grficas, trasladamos a este captulo el estudio de aspectos interesantes e importantes de la teora de lmites de funciones.

L

0 x0 x

y

f(x)

Figura 2.1

L

0 x0 x

y

f(x)

Figura 2.10 x0 x

y

f(x)

Figura 2.1

Idea intuitiva El lmite de es L si puede lograrse que est tan prximo a L como se desee, siempre que se tomen valores de x lo suficientemente prximos a x

)(xf )(xf

0. (Ver la figura).

Definicin psilon-delta Sea una funcin definida en algn intervalo abierto que contenga a El lmite de cuando )(xf a )(xfx tiende a es a L , y se escribe

Operaciones con expresiones infinitas

FORMAS DETERMINADAS ( )( ) ( )( )( ) ( )

( )

a

a

+ + = ++ + + = + + = + =

= +

( )( )( )( )( )( )( ) ( )

a

a

+ = + + = + = + = m

( )

( )

( )

( )

( )

( ) 0

( )

( ) 0

a

a

++

+ = ++ =

+ = ++ =

( )

( )

( )

( )

10

00 1

aa

a

aa

a

+

+

= +> = =< < = + 00 0 0

00

a

a si a

= = =

=

FORMAS INDETERMINADAS

0 00 0 1 00

Lmites laterales Se ha estudiado el concepto de lmite de una funcin cuando f x tiende a , tanto por valores mayores que , como por valores menores que . Definamos lmites laterales de una funcin en un punto. Para valores mayores que , debemos exigir: 0

aa a

a x a< < y para valores menores que a , 0 a x< <

Lmite lateral derecho Se dice que tiene lmite lateral derecho, cuandof x tiende a , si para todo a >0 existe >0 tal que si 0 entonces, x a< <

>

>0 M x

L+L

L-

XFigura 2.5

0 M x

L+L

L-

XFigura 2.5

Dada la funcin , definida en el intervalo ( ; + ), se dice que el lmite de cuando

f a f x tiende a + es L, si para todo nmero

positivo , existe un M > 0, tal que si x > M, entonces limit(F,x,n) Entrega la expresin simblica del lmite de S cuando x tiende a valor n.

> limit(F,x,n,right) Entrega la expresin simblica del lmite de S cuando x tiende a valor n por la derecha.

> limit(F,x,n,left) Entrega la expresin simblica del lmite de S cuando x tiende a valor n por la izquierda.

Calcular los siguientes lmites y mostrar el valor de forma grafica:

( )355lim4x

xLx

=+

>> syms x; >> f=(x-5)/(x+4)^3; >> L=limit(f,x,5) >> ezplot(f,[-6,6]) >> hold on >> plot(5,0,'ko','linewidth',3.2) >> grid on

L = 0

22

2 23 6 2 5x

L imx 2x x

= +l >> syms x; >> f=2/(3*x-6)-2/(2*x^2-5*x+2); >> L=limit(f,x,2) >> ezplot(f,[-6,6]) >> hold on >> plot(2,4/9,'ko','linewidth',3.2) >> grid on

L = 4/9

2 2

23

2 6 2 64 3x

x x x xL imx x

+ + = +l >> syms x; >> f=(sqrt(x^2-2*x+6)-sqrt(x^2+2*x-6))/(x^2-4*x+3); >> L=limit(f,x,3) >> ezplot(f,[-6,6]) >> hold on >> plot(3,-1/3,'ko','linewidth',3.2) >> grid on

L = -1/3

2

23 2lim

3xx x xL

x x+ += +

>> syms x; >> f=( 3*x^2+sqrt(x)+2*x)/(x^2+3*x); >> L=limit(f,x,inf) >> ylim([0 3.5]), box off; >> ezplot(f,[-2,1000]) >> hold on >> plot(700,3,'ko','linewidth',3) >> grid on

L = 3

Ggg

Calcular los seguintes limites:

( )( ) ( )

3

3

4

1

2x

ctg xL im

ctg x ctg x= l

>> syms x; >> f=( 1-(1/tan(x))^3)/(2-(1/tan(x))- (1/tan(x))^3); >> L=limit(f,x,pi/4) >> ezplot(f,[-2,3]) >> hold on >> plot(pi/4,3/4,'ko','linewidth',3) >> grid on

L = 3/4

2 2

21lim

2 11 2x 2 1x xL sen

xx = + ++ +

x

f= inline('sin(pi*x.^2./(2*x+1))./(x.^2+1)+pi*x.^2./(2*x.^2+1)'); >> fplot(f,[-1,100]) >> syms x >> f=sin(pi*x^2/(2*x+1))/(x^2+1)+pi*x^2/(2*x^2+1); >> L=limit(f,x,inf) >> hold on >> plot(90,pi/2,'ko','linewidth',3) >> ylim([0 2]), box off; >> grid on

L = 1/2*pi

( ) ( )30

1lim

logx

x sen xL

x+

= = >> syms x >> f=((x^3+1)/log(abs(x)))*sin(x) >> L= limit(f,0) >> ezplot(f,[-3,3]) >> hold on >> plot(0,0,'ko', 0,0,'ko','linewidth',3) >> grid on

1

10

3 1lim

3 1

x

xx

L += =

>> syms x >> f=(3^(1/x)+1)/(3^(1/x)-1) >> L= limit(f,0)

L = NaN

>> syms x >> f=(3^(1/x)+1)/(3^(1/x)-1) >> L_der=limit(f,x,0, 'right') >> L_izqu=limit(f,x,0, 'left') >> ezplot(f,[-3,3]) >> hold on >> plot(0,-1,'ko', 0,1,'ko','linewidth',3) >> ylim([-4 4]), box off; >> grid on

L_der = 2 L_izqu = -1

En este ultimo limite si lo evaluamos directamente , el resultado es L=NAN, esto quiere decir que el limite no existe por lo que se debe tomar limites laterales y efectivamente se ve que los limites laterales no son iguales

321

1lim

1 1x

xL

x x

= +

>> syms x; >> f=abs(x^3-1)/(abs(x-1)+(abs(x-1))^2); >> L_der=limit(f,x,1, 'right') >> L_izqu=limit(f,x,1,'left') >> ezplot(f,[-5,5]) >> hold on >> plot(1,3,'ko','linewidth',3) >> grid on

L_der = 3 L_izqu = 3

( )2 22

lim sgn 1 1x

L x x= +

>> syms x; >> f= x^2+(abs(abs(x^2-1)-1))/(abs(x^2-1)-1) >> L_der=limit(f,x,-sqrt(2), 'right') >> L_izqu=limit(f,x,-sqrt(2),'left') >> ezplot(f,[-3,3]) >> hold on >> plot(-sqrt(2),1,'ko', -sqrt(2),3,'ko','linewidth',3) >> grid on

L_der = 1 L_izqu = 3

( )21

sgn 1 2lim

1x

x x xL

x x + = =

>> syms x; >> f= (x^2*(abs((x-1)*sqrt(x+2))/ ((x-1)*sqrt(x+2)))/(abs(x-1)-abs(x))) >> L_der=limit(f,x,1, 'right') >> L_izqu=limit(f,x,1, 'left') >> ylim([-5 5]), box off; >> ezplot(f,[-2,2]) >> hold on >> plot(1,-1, 'ko', 1,1, 'ko', 'linewidth',3) >> grid on

L_der = -1 L_izqu = -1

Para este ultimo caso tener en cuenta ( )sgn x xxx x

= =

TRABAJO PRCTICO VIII CALCULO DE LMITES CON MATLAB

Calcular los siguientes limites:

1 20 14

23 151

3 2 574 3x

x xL im 8x x

+ = = l 15 352 1 3

1 3 1xxL im

x = =

l

2 100

501

2 1 1lim 2242 1x

x xLx x

+= = + 16 01 1 1 1 1 1 1

xL im

x x x x x x = + + + =

l

3 ( ) ( )52 50

1 1 510

x

x xL im

x x+ += =+l

173 2

21

7 3963 2 5x

x xL im 1x x+ += = + l

4 ( )

( )202 10

102 3

20 3212 16x

x xL im

x x = = +

l 18( )25 242 51

1 1 15012 1x

xL im x

xx x

= + + l =

5 3 2

3

1 6 73 2x

x xL imx

= =l 193

0

1 7 5 1 1 316x

x xL imx

+ + = =l

6 2

3 3 22

8 12 1819 5x

x xL imx x

+= =+ +

l 203 2

32 1lim 2

1xx xL

x+ += =+

7 2 2

3 3

8 1lim 1

1x

x x xL

x x

+ + = = +

1 21( )( )

62

43

2 1 64lim813 1x

xL

x+

= =+

8 3 54 3

3 73 4lim 0

1xx xL

x+ += =

+ 22

3 3 2

2 26 16lim

32 1xx x xL

x x x x + 1= = + +

9 3 3 2

3 3 25 4 6 2 1

1612 1xx x xL imx x x

+ + + = = + +

l 233

1

9 2 71 6x

x xL imx+

+ = = +l

10 32 12 2 1

4xL im x x x x

= + + + l = 24 ( )( )2arctg 2xL im x x = = l

11 ( ) ( )

30

tg 2 sen 24

x

x xL im

x= =l 25 ( ) ( )( ) ( )0

1 cos 11 cosx

sen x xL im

sen px px p+ = =+ l

12 ( )2 11

22

x

x arctg xL im

x

= =l 26

( )( )0

2 12 3xx arcsen x

L imx arctg x= =+l

13 ( )( )

3

20

1 cos 1lim2 3 3 23x

x x eLx In x tg x

+ = =+ 272

22

2 25 6x

x xL imx x

= = +l

14

3

2 12

3 1 02 1

xx

x

x xL imx x

+= = + + l 28 ( )

( )20

cos 3 cos(2 )1 cos( ) 1 5lim cos2x

x xxtg x x x

+ =

2 2

1

0

1xx xx xx

a bL imaba b

+ = = + l

12

22 1 1

2 3 2

x

x

x xL imx x

+ = = l

3 2

2

2 4 8lim 02x

x x xLx

+= = 3 2

1

3 3 41x

x x xL imx

+ = =l

211lim ( 1)

( 1)xsen x x

x + + =

( )20

lim 3 sgn 1 1 0x

L x x= + =

( )1

1

0lim

In sen x

xL x e

+

= =

2

32 1lim 0

4 1xx xL

x+ += =

2

0

1

limx

x senxL

senx

= 2

21

2lim( 1)x

x xLx+ =

( )( )L

x

xx

e + sen xlim

e +cos x=

2

26 2 1lim

55 3 4xx xL 6x x

+ += = +

( 2)

2( 1)( 2) ( )lim 0

( 1)

x x

xx

x xLx

++

+= = +

3

22lim

1xxL

x+= = +

( ) ( ) ( )

( ) ( )2

20

2 2 2lim

4 cos cosx

sen x sen x sen xL

x x+

=

0lim

x x

x xx

c dLa b

=

( )

( )201

limx

x

e sen x

x sen x+ 1

1lim1

p

qx

xLx

=

1 1

1 10lim

x x

xx x

e eL

e e

=+

3

5

1lim sgn 5

2xx

xx

+

CALCULO DE DERIVADAS CON MATLAB La Tangente a una curva en un punto

Si alguien -que de todo hay- nos preguntara que es la tangente a una curva en un punto, nosotros, pensando quizs en el caso de la circunferencia de la figura, podramos responder que es la recta que corta a la curva en ese nico punto... No nos quedara entonces mas remedio que admitir que la segunda recta del dibujo no ser tangente a la sinusoide y que, en cambio, si lo ser la tercera a la parbola

La cuestin se resuelve as: Como se observa en la figura, la recta secante a la grafica de la funcin en los puntos

A[ ,

( )y f x=0x ( )0f x ], y B [ , ] es la recta que

pasando por A tiene por pendiente: 1x ( )1f x

( ) ( ) ( )1 01 0

ABf x f x

tg mx x= =

Al valor se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre x ( ) (0 0f x x f x+ ) el incremento de la funcin. Por otro lado, la tangente en el punto A parece ser la recta a la que tenderan las secantes en A y B cuando el punto B tendiera a confundirse con el A.

Por todo ello, se define formalmente la tangente a la funcin ( )y f x= en el punto A[ ,0x ( )0f x ] como la recta que pasando por dicho punto tiene por pendiente: ( ) ( )

0

1 0

1 0lim

x x

f x f xm

x x= =

En el supuesto de que tal limite exista. Interesa observar que si donde pone ponemos 1x 0x x+ , y donde figura ,escribimos , la pendiente de la tangente vendr dada por: ( )1f x ( 0f x x+ ) ( ) ( )

0

0 00

lim limx x x

f x x f x fmx x

+ = = = Tasa de variacin media Llamamos tasa de variacin media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la funcin ( )y f x= en el intervalo [ ],a b al cociente entre los incrementos de la funcin y de la variable, es decir:

[ ] ( ) ( ), f b f aTVM a bb a=

Ejemplo 1. Halla la tasa de variacin media de la funcin ( ) 23f x x= en el intervalo [0,2] [ ] ( ) ( )2 0 1 30,2 2

2 0 2f f

TVM = = =

Tasa de variacin instantnea. La derivada Consideremos un valor (que puede ser positivo o negativo). h

La tasa de variacin media en el intervalo [ ],a a h+ sera ( ) ( )f a h f ah

+ .

Nos interesa medir la tasa instantnea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir: ( ) ( )0

limh

f x h f xh

+ = A este valor se le llama la derivada de la funcin ( )y f x= en el punto y se designa por a ( )'f a , por lo tanto, la derivada de una funcin en un punto es el lmite de la tasa de variacin media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

( ) ( ) ( )0

' limh

f x h f xf a

h+ = =

Si f tiene derivada en el punto se dice que a f es derivable en a .

Interpretacin geomtrica de la derivada

La tasa de variacin media de una funcin f en [ ],a a h+ es la pendiente de la recta secante a la grfica de f que pasa por los puntos de abscisa y a a h+ . Si tiende a cero, el punto a tiende hacia el punto y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:

h h+ a

La derivada de la funcin en el punto es la pendiente de la recta tangente en el punto a ( )( ), aa fFuncin derivada La funcin que a cada que a cada x le hace corresponder ( )'f x se llama la funcin derivada de f y se denota por 'f . Comandos simblicos para la derivada de una funcin Se usa la funcin diff para determinar la derivada simblica de una expresin simblica. Hay cuatro formas de usar la funcin diff para realizar una derivacin simblica:

COMANDO ACLARACION

>> diff(f) Devuelve la derivada de la expresin f respecto a la variable independiente por omisin. >> diff(f,t) Devuelve la derivada de la expresin f respecto de la variable t.

>> diff(f,n) Devuelve la de orden n de la expresin f respecto a la variable independiente por omisin. >> diff(f,t,n) Devuelve la derivada de orden n de la expresin f respecto a la variable

t. **La funcin diff, puede diferenciar (de acuerdo a sus argumentos) si debe realizar derivacin simblica o numrica. eee eee

Calcular la primera derivada de:

133

5 4

3

5 x

x sen x

ye

+ =

>> syms x; >> f=(x^3+3*sin(x^(1/3)))/(5-exp(5*x+4)); >> derivada=diff(f,x,1) >> pretty(derivada)

d erivada = (3*x^2+cos(x^(1/3))/x^(2/3))/(5-exp(5*x+4))+5*(x^3+3*sin(x^(1/3)))/(5-exp(5*x+4))^2*exp(5*x+4)

2

2 2

1 11 1 1

xyx 2x x x

= + + + +

>> syms x; >> f=sqrt((1-x^2)/(1+x^2))-1/((sqrt(1+ x^2))*(x+sqrt(1+ x^2 ))) >> derivada=diff(f,x,1); >> derivada_simplificada=simple(derivada) >> pretty(derivada_simplificada)

deriv_simplific = (-2*x+(1-x^2)^(1/2))/(1+x^2)^(3/2)/(1-x^2)^(1/2)

cosarccoscos

b a xya b x+ = +

>> syms x a b; >> f= acos((b+a*cos(x))/(a+b*cos(x))) >> derivada=diff(f,x,1); >> derivada_simplificada=simple(derivada) >> pretty(derivada_simplificada)

derivada_simplificada = -i*sin(x)*(-b^2+a^2)^(1/2)/(a+b*cos(x))/(-1+cos(x)^2)^(1/2)

( )2 22 2

sgn '

cossen xb ay

a b xa b= +

ddd

Calcular la derivada de orden superior:

Hallar ( )2y si: ( )55 xsen x

ye

= >> syms x; >> f=(sin(x))/(5-exp(5*x)); >> der_2=diff(f,x,2) >> pretty(der_2)

der_2 = -sin(x)/(5-exp(5*x))+10*cos(x)/(5-exp(5*x))^2*exp(5*x)+50*sin(x)/(5-exp(5*x))^3*exp(5*x)^2+ 25*sin(x)/(5-exp(5*x))^2*exp(5*x)

Hallar ( )2y si:

2

2arccos 1 1 1

2 1 1

x xy Inx x

= + +

>> syms x; >> f= acos(x)/x+0.5*log((1-sqrt(1- x^2))/(1+sqrt(1- x^2))) >> segunda_derivada= diff(f,x,2); >> derivada_simplificada_2=simple(segunda_derivada)>> pretty(derivada_simplificada_2)

derivada_simplificada_2 = (x+2*acos(x)*(1-x^2)^(1/2))*x/(1-x^2)^(1/2)/(1+(1-x^2)^(1/2))^2/(-1+(1-x^2)^(1/2))^2

Hallar ( )50y si:

( )2y x sen x= >> syms x; >> f= x^2*sin(x); >> derivada_50= diff(f,x,50); >> derivada_simplificada_50=simple(derivada_50) >> pretty(derivada_simplificada_50)

derivada_simplificada_50 = 2450*sin(x)+100*x*cos(x)-x^2*sin(x)

Fff

Hallar Si y', y''

22lnarctg yxxy +=

>> syms x y dy; >> f= atan(y/x)-0.5*log(x^2+y^2); >> derivada= diff(f)+ dy *diff(f,y); >> y_prima=solve(derivada, 'dy') >> pretty(y_prima) >> segunda_deriv=diff(y_prima)+dy*diff(y_prima,y); >> y_segunda=subs(segunda_deriv ,dy,y_prima) >> simplificando=simplify(y_segunda) >> pretty(simplificando)

y_prima = (y+x)/(x-y) y_segunda = 1/(x-y)-(y+x)/(x-y)^2+(y+x)/(x-y)*(1/(x-y)+(y+x)/(x-y)^2) simplificando = 2*(x^2+y^2)/(x-y)^3 Hallar Si y', y''

( )( )21

x arctg t

y In t

= = +

>> syms t; >> x= atan(t); y=log(1+t^2) ; >> dx= diff(x,t); >> dy=diff(y,t); >> y_prima=dy/dx >> pretty(y_prima) >> y2prima=diff(y_prima,t)/dx; >> pretty(y2prima)

y_prima = 2*t y2prima = 2+2*t^2

TRABAJO PRCTICO IX CALCULO DE DERIVADAS CON MATLAB

Calcular las siguienetes derivadas

1 ( ) 22 23arctg3 xbxxbxb

xby += xbxxy = 4'

2 ( ) ( ) ( )7 63 1 1

56 2 1 24 2 1 40 2 1y

x x x=

5

( )2

81'

2 2 1

xyx

=

3 2

2 21 2 1 1ln

4 2 2 22 1 12x x xy a

x x x

+ += + + rctg 4

1'1

yx

= +

4

2 2

2

22

2

1 12

1

x xx

x

e arcsen ey l

e

= + n e

2 2

2 32

2

1

x x

x

xe arcsen ey'

e

=

5 ( ) ( )21 1 1 21 1 12 6 3 3xy In x In x x arctg 1 = + + + 31' 1y x= +6 ( )5 3sen cos 5 15cos sen cos

6 3 4 48x xy x = + +

x x x+ 6' cosy x=

7 4 44 4

4 41 1 1 1ln4 21

x x xy arctxx x

+ + + = + g

4 4

1'1

yx

=+

8 ( )3 2 3sen cos cos 1 1 sen cos2 3 4 16x x xy x

= + x x x

2 4' cosy sen x=

9 3 3

23 3

1 1ln 3 31

2x xy arx x

+ = + + + ctg ( ) 3

1'1

yx x=

10 ( )( )

( ) ( )2 4 2

2 24 2 2 2

8 1 6 18

6 1 16 1

x x x xy arctg x

x x x x

+ = +

2

28'

1xyx

= +

11 ( )2 2

2 2 cos 2

cos 2b a x b a senx a b xy In arctg tg

a b x a ba b

+ + = + + + ( )

2 2 1'cos

b aya b x

+= +

12 Hallar si ''y ( ) 2 33 2 5 x y xIn x yx e 1+ + = 2'' 6 y xy x += 13 Hallar si ''y

2 22 2 2 0ax b x y cy d x e y k+ + + + + =( )3''

ctteybx cy e

=+ +

14 Hallar si ''y ( ) ( )2 2 22 3sen y x In y x y x + = 0 '' 2y =

15 Hallar si: ''y2 2

2 2 4

xyx y e

x y

+ =+ '' 0y =

16 Hallar si''y( ) ( )( ) ( )

cos

cos

x a sen t t t

y a t tsen t

= = + 3

1''2

ya t sen t

=

17 Hallar si: ( )xy ''' ( ) ( )( ) ( )

2

coscos

tx In tg

sen t ty arctg

sen t t

= = +

( ) ( )33 cos 2d y t sen tdx =

Hallar si: ( )xy '''( ) ( )

( ) ( )cos

2cos

tx In tg t sen t

y sen t t

= + = +

( )( ) ( ) ( )

2

2 3cos cos

sen td ydx t sen t t

=

18 Hallar si: ( )ny671

3

2

+++=

xxxxy . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+++= +++ 111 2

2837

115

20!1

nnn

nn

xxxny

19 Hallar ( )ny si: ny x x= ( ) ( )3 5 7 2 12

nnn x

y += L

20 Hallar ( )ny si: 3 4xy x e= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )350 2 3 22 8 12 6 1 1n xy e x nx n n x n n 2n = + + 21 Hallar ( )20y si: 2 2xy x e= ( ) ( )20 20 2 22 20xy e x x= + 95+22 Hallar ( )ny si: ( )cosxy e x= ( ) 22 cos

4

nn xy e x n = +

23 Hallar ( )ny si: ( )1 1a x xy e e+ = + ( ) ( )1( 2) 1n a xn xy a e + e = + +

ANALISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS CON MATLAB El clculo de mnimos relativos de funciones no lineales se hace, con MATLAB, mediante la funcin:

>> fminsearch(funcion,x0) funcion es el nombre de una funcin que evala la funcin f(x). Puede ser - un objeto inline o bien una referencia a una m-funcion fun.m: @fun, x0 es un valor "prximo" al mnimo que se busca

>> [x,fvalor]=fminsearch(funcion,x0) Devuelve el minimizador encontrado, x, y el valor de la funcin en x (si el algoritmo no converge, x=NaN)

>> fminsearch(@fun,x0,options,p1,p2,...)

options permite dar valores a una serie de parmetros que intervienen en el clculo. Ver documentacin de MATLAB para ms detalles. Si no se necesita, poner una matriz vaca: [] en su lugar. p1,p2,... son parmetros que sern pasados como argumentos a la mfuncin fun.m cuando sea llamada

La bsqueda de mnimos absolutos en un intervalo acotado de funciones escalares se hace mediante

>> fminbnd(funcion,x1,x2)

funcion es el nombre de una funcin que evala la funcin f(x). Puede ser - un objeto inline o bien una referencia a una m-funcion fun.m: @fun, x1, x2 son los extremos del intervalo

>> [x,fvalor]=fminbnd(funcion,x1,x2) Devuelve el minimizador,x, y el valor de la funcin en x >> fminbnd(@fun,x1,x2,options,p1,p2,...) mismo significado que en los casos anteriores

>> [x,fval] = fminbnd(fun,x1,x2,opciones) En este caso en fval se devuelve el valor de la funcin fun evaluada en la solucin x

>> [x,fval,exitflag] = fminbnd(fun,x1,x2,opciones)

En el parmetro exitflag la funcin devuelve un valor que describe la condicin de salida de fminbnd: exitflag > 0 indica que la funcin converge a la solucin exitflag = 0 indica que se ha excedido el mximo nmero de evaluaciones de la funcin exitflag < 0 indica que no se ha encontrado solucin

Para calcular el mximo de una funcin ( )xy f= en un intervalo [ ],a b , hay que calcular el mnimo de la funcin ( )xy f= en el mismo intervalo

Hallar el mnimos absoluto para la siguiente funcion: ( ) ( )( )xf sen In x= >> f=inline('sin(log(x))'), >> syms x; >> xmin=fminsearch(f,1) >> ezplot(f) >> ymin=subs(f,x,xmin) >> hold on >> plot(xmin,ymin,'ko', 'linewidth',3) >> grid on

f = Inline function: f(x) = sin(log(x))

xmin =

0.2079

ymin =

-1.0000

Hallar el mnimo absoluto para la siguiente funcion: ( ) ( ) ( ) [ ]2 0,xf sen x In x= >> f=inline('sin(x^2).*log(x)'); >> syms x; >> xmin=fminbnd(f,0,pi) >> ezplot(f,[0,pi]) >> ymin=subs(f,x,xmin) >> hold on >> plot(xmin,ymin,'ko', 'linewidth',3) >> grid on

f =

Inline function: f(x) = sin(x^2).*log(x)

xmin = 2.2006

ymin =

-0.7820

Hallar el mnimo absoluto para la siguiente funcion: ( ) [ ]3 2, 2xf x x en=

>> f=inline('x^3-x'); >> syms x; >> xmin= fminbnd(f,-1,1) >> ezplot(f,[-2,2]) >> ymin=subs(f,x,xmin) >> hold on >> plot(xmin,ymin,'ko', 'linewidth',3) >> ylim([-8 4]), box off; >> grid on

f = Inline function: f(x) = x^3-x

xmin =

0.5774

ymin =

-0.3849

Hallar un mximo relativo para la siguiente funcione: ( ) ( ) ( ) [ ]2 0,xf sen x In x= >> f=inline('-sin(x^2).*log(x)'); >> g=inline('sin(x^2).*log(x)'); >> syms x; >> xmax=fminbnd(f,0,pi) >> ezplot(g,[0,pi]) >> ymax=-subs(f,x,xmax) >> hold on >> plot(xmax,ymax,'ko', 'linewidth',3) >> grid on

xmax = 1.4586 ymax = 0.3205

Hallar los mnimos y mximos para la siguiente funcione: ( ) 3 18 6xf x x = >> f=inline('-(8/x^3-6/x)'); >> g=inline('8/x^3-6/x'); >> syms x; >> [xmin,fval_1] = fminbnd(g,-5,5) >> [xmax,fval] =fminbnd(f,-5,5) >> fval_2=-fval >> ezplot(g,[-5,5]) >> hold on >> plot(xmin,fval_1,'ko', xmax,fval_2,'ko','linewidth',3) >> grid on

xmin = 2.0000

fval_1 = -2.0000

xmax = -2.0000

fval = -2.0000

fval_2 = 2.0000

Hallar los mnimos y mximos para la siguiente funcione: ( ) 2 9xf x= >> f=inline('-(abs(x^2-9))'); >> g=inline('abs(x^2-9)'); >> syms x; >> [xmin1,fval_1] = fminbnd(g,-4,0) >> [xmin2,fval_2] = fminbnd(g,0,4) >> [xmax,fval] =fminbnd(f,-3,3) >> fval_3=-fval >> ezplot(g,[-5,5]) >> hold on >> plot(xmin1,fval_1,'ko', xmin2,fval_2,'ko', xmax,fval_3,'ko','linewidth',3) >> grid on

xmin1 =

-183016/61005

fval_1 =

23/233852

xmin2 =

183016/61005

fval_2 =

23/233852 xmax =

-1/30023997515331 fval =

-9 fval_3 =

9 Graficar indicando, intersecciones con el eje x, puntos mximos, mnimos y de inflexin ( )

2

23 23 2x

x xfx x

+= + + INSTRUCCION COMANDO RESPUESTA

Define variable >> syms x; Define funcin >> f=(x^2-3*x+2)/(x^2+3*x+2)'; Calcula 1ra derivada >> y_1=diff(f); Calcula 2da derivada >> y_2= diff(f,2);

>> y_prima =simplify(y_1) y _prima = 6*(x^2-2)/(x^2+3*x+2)^2 Simplifica las derivadas

>> y_segunda = simplify(y_2) y _segunda = -12*(x^3-6*x-6)/(x^2+3*x+2)^3

Interseccin_eje_x >> intersec_x=solve(f) i ntersec_x = [ 1] [ 2]

Puntos crticos >> pto_critico=solve(y_prima) p to_critico = [ 2^(1/2)] [ -2^(1/2)]

Puntos de inflexin >> p_i=solve(y_segunda) P_I en formato numerico >> numeric(ans)

3562/1251 -1781/1251 + 884/3117i -1781/1251 - 884/3117i

AQU TERMINA EL ANALISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS, AHORA TENEMOS QUE GRAFICAR , PARA ESTO:

Encuentra valores de y

>> p1=2^(1/2); >> p2=-2^(1/2) ; >> p3=3562/1251; >> y_1=subs(f,x,p1) >> y_2=subs(f,x,p2) >> y_3=subs(f,x,p3)

y_1 = -34/1155

y_2 = -1155/34

y_3 = 852/10151

y_1 = -0.0294

y_2 = -33.9706

y_3 = 0.0839

Grafica

>> subplot(211) >> ezplot(f,[-6,8]) >> ylim([-60 60]), box off; >> grid on >> subplot(212) >> ezplot(f,[-1,9]) >> ylim([-0.5 0.5]), box off; >> grid on

Graficar indicando, intersecciones con el eje x, puntos mximos, mnimos y de inflexin ( ) 3 29 15x 3f x x x= + + >> syms x; >> f=x^3-9*x^2+15*x+3; >> y_1=diff(f); >> y_2= diff(f,2); >> y_prima =simplify(y_1) >> y_segunda = simplify(y_2) >> pto_critico=solve(y_prima) >> p_i=solve(y_segunda) >> eje_x=solve(f); >> intersec_x=numeric (eje_x)

y _prima = 3 *x^2-18*x+15 y_segunda = 6 *x-18 pto_critico = [ 1] [ 5] p_i = 3 Intersec_x = 6.6913 + 0.0000i -0.1801 - 0.0000i 2.4889 - 0.0000i

>> p1=1; >> p2=5; >> p3=3; >> y_1=subs(f,x,p1) >> y_2=subs(f,x,p2) >> y_3=subs(f,x,p3)

y_1 = 10

y_2 = -22

y_3 =

-6 >> ezplot(f,[-1,7]) >> ylim([-25 12]), box off; >> grid on

TRABAJO PRCTICO X

ANALISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS CON MATLAB Utilizando los comandos fminbnd, fminsearch mostrar claramente en la grafica los maximos y minimos relativos y absolutos de las siguientes funciones: 1 ( ) ( ) [ ], 2xf x sen x= 10 ( ) ( )( )cos 1xf In x= + 19 ( ) 3xf x x= + 2 ( ) ( ) ( ) [ ]3 ,3x

sen xf sen x= 11 ( )

23 4 xxf x e

= 20 ( ) 4xf x x=

3 ( ) [ ]cos 5,5xf x = 12 ( ) ( )( ) [

30,x

sen xf

sen x= ] 21 ( ) ( )x In xf x=

4 ( ) ( ) [ ]2 ,xxf sen x= 13 ( ) 22xx

fx+= 22 ( )

3 121x

f xx

= +

5 ( ) [ ]22 2xf x x= , 2 14 ( ) 22 8xf x x 5= + 23 ( )3 2

xxf

x+=

6 ( ) ( ) [ ]2 211 31xf In x ,3x= + 15 ( ) 2xf x x= 24 ( ) 2 21xf x x= + 7 ( ) ( ) ( ) [2cos cos ,2xf x x= ] 16 ( ) 2 8 2xf x= 25 ( ) 24 4x

xfx

= +

8 ( ) ( ) ( ) [3 3cos ,2xf sen x x= ] 17 ( )2 2

5xx xf

x = 26 ( ) 2

633x

xfx

= + +

9 ( ) ( ) ( ) [ ]2 0,xf sen x sen x= 2 18 ( )2

210 910 9x

x xfx x

+ += + 27 ( ) 4 23 6xf x x=

Graficar las siguientes funciones, indicando, intersecciones con el eje x, puntos mximos, mnimos y de inflexin

1 ( ) 3 22 3 12x 8f x x x= + 7 ( ) 2 xxf xe= 13 ( )28 1x x

xf e = 4

2 ( ) 5 33 20xf x x= 8 ( )2

23xf x x= 14 ( ) ( )221 11xf In xx= +

3 ( ) 5 36 10xf x x= + 2 9 ( ) 3 2 1xxf

x=

15 ( ) ( ) ( )21 1xf x In x= + +

4 ( ) 5 33 25 60xf x x= + x 10 ( ) 28xf x x= 16 ( ) ( ) ( )2 23 32 4xf x x= + 5 ( ) ( ) ( )21 2xf x x= + 3 11 ( )

3 2

22 5 4

2 1xx xf xx x += + 17 ( ) ( )

232 2 3 1xf x x= + +

6 ( ) ( ) 222 xxf x e= + 12 ( ) 2221 2x x xf x x+ = + 18 ( ) 2 22 2x

xxf e

= +

CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS CON MATLAB

En MATLAB se utiliza la funcin int para integrar la expresin simblica f. Esta funcin intenta encontrar la expresin simblica F tal que diff(F)=f. Es posible que la integral (o antiderivada) no exista en forma cerrada o que Matlab no pueda obtener la integral. En estos casos la funcin devolver la expresin sin evaluarla. La funcin int puede usarse de las siguientes formas: >> int(S) Devuelve la integral de la expresin f respecto a la variable independiente por

omisin. >> int (f,t) Devuelve la integral de la expresin f respecto a la variable t. >> int (f,a,b) Devuelve la integral de la expresin f respecto a la variable independiente por

omisin, evaluada en el intervalo [a,b], donde a y b son expresiones numricas. >> int (f,t, a,b) Devuelve la integral de la expresin f respecto a la variable t, evaluada en el

intervalo [a,b], donde a y b son expresiones numricas. >> int (f,m,n) Devuelve la integral de la expresin f respecto a la variable independiente por

omisin, evaluada en el intervalo [m,n], donde m y n son expresiones simblicas.

>> double(x) Retorna un valor de doble precisin para x, If X is already a double precision array, DOUBLE has no effect. Para evitar posibles problemas, es recomendable especificar la variable independiente en la derivacin y en la integracin simblica.

Calcular la siguiente integral ( )73 22 1I x x= + dx >> syms x; >> integrando=(2*x^3+1)^7*x^2; >> resultado=int(integrando); >> pretty(resultado)

Esta ltima expresin es equivalente a ( )831 2 148I x= + solo que aqu la expresin es desarrollada completamente.

Calcular la siguiente integral 2 1xI dx

x= +

>> syms x; >> resultado=int(x/(x^2+4)); >> pretty(resultado)

Calcular la siguiente integral 24 9

x

xeI dx

e= +

>> syms x; >> integrando=exp(x)/(4+9*exp(2*x)); >> resultado=int(integrando); >> pretty(resultado)

1/6 atan(3/2 exp(x))

Calcular la siguiente integral ( )

2arctg x

I dxx

= >> syms x; >> integrando=atan(x)/x^2; >> resultado=int(integrando); >> pretty(resultado) Calcular la siguiente integral ( )xI e sen x dx= >> syms x; pretty(simple(int(exp(x)*sin(x)))) - 1/2 exp(x) (cos(x) - sin(x))

Calcular la siguiente integral ( )( )2

26 22 23

2 1 6

x xI dxx x x

+ = +

>> syms x; >> result2 = int((6*x^2 + 22*x - 23) / ((2*x - 1)*(x^2 + x - 6))); >> pretty(result2)

log(2 x - 1) - log(x + 3) + 3 log(x - 2)

Calcular la siguiente integral 3 21

2xI dx

x x x+=

>> syms x; pretty(int((x-1)/(x^3-x^2-2*x))) 1/2 log(x) - 2/3 log(x + 1) + 1/6 log(x - 2)

Calcular la siguiente integral

( ) ( )3212

2 1 4 4 8

dxIx x x

=

>> syms x; >> integ=12/((2*x-1)*sqrt(4*x^2-4*x-8)^3); >> resultado=int(integ); >> pretty(resultado)

Calcular la siguiente integral 2

2 4 5

x dxIx x

=+

>> syms x; >> integ=(x^2)/sqrt(4*x^2+4*x-5); >> resultado=int(integ); >> pretty(resultado)

Calcular la siguiente integral ( )2 2

3

3 2 1

x dxI

x x x

+=+ +

>> syms x; >> integ=(x+3)/((x^2)*sqrt(3*x^2+2*x+1)); >> resultado=int(integ); >> pretty(resultado)

Calcular la siguiente integral ( )( ) ( )2cos

6 5

x dxI

sen x sen x= +

>> syms x; >> integrando=cos(x)/((sin(x))^2-6*sin(x)+5); >> resultado=int(integrando); >> result_simplificado=simplify(resultado) >> pretty(result_simplificado)

- 1/4 log(sin(x) - 1) + 1/4 log(sin(x) - 5)

Calcular la siguiente integral 2x a a xI dx

x a a x+ = + +

>> syms x a; >> integrando=((x+2*a)/(x+a))*sqrt((a-x)/(a+x)); >> resultado=int(integrando); >> pretty(resultado)

TRABAJO PRCTICO XI CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS CON MATLAB

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

1 ( ) + 11 22 xxx xdx 16 6 1dxI

x= + 31 ( )( )43 41 2 8I x x x= + + dx

2 ( ) ( ) + n nn bxaxdx

11 17

461

x

xeI dx

e= 32

( )( ) ( )

2cos

3sen x

I x dxsen x

= + 3 2

2

1 1

xI dxx x x x

= + 18 1 11xI dxx x = + 33

3

32 1xI x dx

xx

+= 4

3

21

1

x xI dxxx

= + + 19 ( ) dxxtan 34 21xI arcsenx dx

x

= +

5 7

4 2(1 )xI dxx

= 20 4 xI e dx= + 35 ( )( )

3

52sen x

I dxsen x

=

6 2

3 31 (1 )

x3

I dxx x

=+ + +

21 4 xI e dx= 36 ( )

( )29999sec 1tg x

I dxx

=+

7 23 3(1 )dxI

x x x= + 22 3 23xI dxx += 37 2 2

( 1)

( 2 ) 2

x dxIx x x x

+=+ +

8 ( )( )221 2 5dxI

x x x=

+ 23 8

111 xI dxx+= 38

2

2 41

1 3

xI dxx x x

=+ +

9 22

2 3 3 11 1x dxIx 0x x+= + + + 24 1

xI tgh dxa

= 39 3

4 24 1

1x xI dxx x

+ += + + 10 a xI dx

a x= 25 a xI dxx+= 40 2x a a xI dxx a x a+ = + +

11 3

21

1

x xI dxxx

= + + + 26 4 4 1dxI

x=

+ 41 ( )2

2

2aIn x a x axI dx

x a

+ + + =+

12 ( )( )xI e ctgx In senx dx= + 27 ( )I tgh x dx= 42 ( ) ( ) ( )2cos 1 2 2cosdxI

x sen x x=

+

13 2 1

xI dxx x

= 28

2

8xI dx

x a= + 43

5

2111

x xI In dxxx

+ = 14 ( ) ( ) 2

dxIa b a b x

= + + 29 ( )22I sen x dx= 44 ( ) ( )

( ) ( )22 3cos

9 4 cos

sen x xI dx

sen x x

+=+

15 ( )35 22

9 2

9

x xI dx

x

+ += +

30 ( )37cosI x dx= 45 22

1

1

In x xI dx

x

+ + = +

NOTACION SIGMA (SUMATORIAS) CALCULO DE AREAS POR SUMATORIAS Y SUMAS DE RIEMANN CON MATLAB Sumatorias En la integral definida usaremos sumas de muchos nmeros. Para expresar tales sumas en forma compacta es conveniente utilizar la notacin de sumatoria Por ejemplo dado un conjunto de nmeros{ }1 2 3, , ,..., na a a a , el smbolo

1

nk

ka

= Representa la suma indicada o sumatoria. Es decir:

1 2 31

nk n

ka a a

=a= + + + + L

La letra griega Sigma Mayscula denota la sumatoria y representa el k-simo trmino. La letra k se llama ndice de sumatoria o variable de sumatoria y adquiere los valores enteros positivos sucesivos. Los enteros 1 y n denotan los valores extremos del ndice de sumatoria.

ka

Propiedades de sumatorias

Si = ka c k= 1

n

kc nc

=

1

n

=( )

1 1

n nk k k k

k k ka b a b

= =

( )1 1

n nk k k

k ka b a b

= =+ = +

1

nk

k=

1 1IR

n nk k

k kca c a c

= ==

Sumas telescpicas

( )1 11

nk k n

ka a a+ +

= = 1a 1 ( ) ( )2 2 2

11 1

n

kk k n

= + = +

Sumas especiales ( )

1

11 2 3

2

n

k

n nk n

=+= + + + + = L ( )( )2 2 2 2 2

1

1 2 11 2 3

6

n

k

n n nk n

=+ += + + + + = L

( ) 23 3 3 3 31

11 2 3

2

n

k

n nk n

=+ = + + + + = L

( )( )3 24 4 4 4 41

1 6 9 11 2 3

30

n

k

n n n n nk n

=

+ + + = + + + + = L

Suma de Riemann

Sea f definida en un intervalo cerrado [ ],a b en la cual puede haber valores positivos y negativos e incluso no necesita ser continua. Sea P cualquier divisin de [ ],a b en subintervalos (no necesariamente de la misma longitud) de la forma [ ]0 1,x x , [ ]1 2,x x , . . . [ ]1,n nx x donde es un entero positivo por medio de los puntos

n

0 1 3 na x x x x b= < < < < =L y sea 1k kx x x = una suma de Riemann de ( )xf para P, es una expresin pR de la forma ( )p

1R

nk k

kf x x

== .

Donde kx es un numero de [ ]1, 1, 2,3, 4,k kx x k = Kn

Comandos de matlab >> symadd(A,B) Realiza una suma simblica, A+B

>> symsum(S,v,a,b) Entrega el resultado de la sumatoria de la expresin simblica S respecto a la variable simblica v de a hasta b. >>rsums(f) >> rsums(f,a,b) >> rsums(f,[a,b])

Aproxima el valor de una integral definida para f desde 0 hasta 1 o desde a hasta b por sumas de Riemann

Hallar la suma de:

Solucin Analtica Solucin Matlab 10

1kS k

== ( )10

1

10 10 155

2kk

=+= = >>S=symsum(k,1,10); S = 55

10

2

1kS k

== ( )( )10 2

1

10 10 1 20 1385

6kS k

=+ += = = >>S=symsum(k^2,1,10); S = 385

10

4

2kS k

== ( )( )10 11 6000 9000 10-1 -130

104

11 25332

kS k + +

== = = >>symsum(k^4,1,10); S = 25,332

( )1012 5

kS k k

== ( )10 10 102

1 1 12 5 2 10 220

k k kS k k k k

= = == = = >> symsum(2*k*(k-5),1,10); ans = 22

ss

Hallar la suma de: ( )3

0

21

k

kS

k== +

El programa solicita una ecuacin de sumatoria y retorna un valor numrico equivalente al resultado de la sumatoria. k que representa el ndice en la sumatoria, la variable g sirve para almacenar la ecuacin que se pide evaluar. Solucin Analtica Solucin Matlab

0 1 2 32 2 2 2 10 1 1 1 2 1 3 1 3

S = + + + =+ + + +6

>> syms g k; >> g = input('introduzca la funcin a evaluar:');

La entrada es (2 ^ k)/( k + 1) >> S = symsum(g,0,3)

S= 16/ 3

Calculo de reas con sumatorias

La definicin de la integral definida esta ntimamente relacionada con las reas de ciertas regiones en un plano coordenado. Se puede calcular fcilmente el rea de una regin si la misma est acotada por rectas. Por ejemplo, el rea de un rectngulo es el producto de longitud y su anchura. El rea de un tringulo es la mita del producto de una de sus alturas por la base correspondiente, etc. El rea debe satisfacer cinco propiedades:

1. El rea de una regin plana es un nmero real no negativo 2. El rea de un rectngulo es el producto de su largo por ancho (ambos medidos en las mismas

unidades). El resultado esta en unidades cuadradas, por ejemplo pies cuadrados o centmetros cuadrados.

3. Regiones congruentes tienen reas iguales. 4. El rea de la unin de dos regiones que se traslapan solo en un segmento de recta, es la

suma de las reas de las dos regiones. 5. Si una regin esta contenida en una segunda regin, entonces el rea de la primera regin es

menor o igual al de la segunda.

Cuando consideramos una regin con frontera curva, el problema de asignar un rea es significativamente ms difcil. Sin embargo hace ms de 2000 aos, Arqumedes proporcion la clave de la solucin. l dijo considrese una sucesin de polgonos inscritos que aproximen a la regin curva con precisin cada vez mayor. Arqumedes fue mas all considerando tambin polgonos circunscritos, demostr que se obtiene el mismo valor para el rea del circulo de radio 1 si se inscriben o circunscriben polgonos.

rea de polgonos inscritos (rea menor)

Sea R una regin de un plano coordenado acotado por las rectas verticales x a x b= = por el eje x y por la grfica de una funcin f que es continua y no negativa en el intervalo cerrado [ ],a b , como

para todo 0f x en[ ],a b , ninguna parte de la grfica est debajo del eje x . Sea un entero positivo arbitrario, se divide el intervalo n [ ],a b en subintervalos de la misma amplitud

nb an

. Esto se hace escogiendo

nmeros con 0 1 2 , , ,..., nx x x x 0 na x b x= = . Para . Si la amplitud 1, 2, 3,..., k = n b a

n

se denota por x , entonces para cada ,k 1k kx x x = y . Como 1k kx x = + x f es continua en cada subintervalo [ ]1,k kx x , f alcanza un mnimo en

algn nmero del subintervalo. Para cada se construye un rectngulo de anchura km k x y una altura igual a la distancia mnima ( k )f m del eje x a la grfica de f , como se ilustra en la figura. El rea del k-simo rectngulo es ( )kf m x . La frontera de la regin formada por todos estos rectngulos es el polgono rectangular inscrito correspondiente a la subdivisin de [ ],a b en subintervalos iguales. El rea de este polgono inscrito es la suma de las reas de los rectngulos componentes, es decir,

nn

( ) ( )1

Rn

k kk

A f m x=

= Donde ( k )f m es el mnimo (altura mnima) de f en [ ]1,k kx x , si es muy grande y si n x es muy pequeo, entonces la suma de las reas de los rectngulos debe ser casi igual al rea total R. Si A

denota el rea de R entonces la diferencia ( ) ( )1

Rn

kk

kA f m x=

, es el rea de la regin no sombreada que se encuentra bajo la grfica de f y arriba del polgono rectangular inscrito. Este se puede considerar como el error que se comete al usar el rea del polgono rectangular para estimar el rea de A. Se ve que el error se hace tan pequeo como se desee escogiendo rectngulos de anchura muy pequea x rea por medio de polgonos circunscritos (rea mayor)

Considrese un rectngulo representativo con base [ ]1,k kx x y altura ( )kf m (ver figura). Su rea es la unin de los rectngulos que forman un polgono circunscrito para la regin . nS S

El rea ( )nA S se calcula en analoga con el calculo del rea usando polgonos inscritos. El nmero

kM es la altura en[ ]1,k kx x en el que ( )xf alcanza su

valor mximo (el punto del subintervalo) kx

( ) ( ) ( ) ( )k1

Rn

k nk

kA f M x A S f x x=

= = Ejemplos Calcular el rea bajo la curva ( ) 216xf x= en [ ]3,3 , dividiendo en 6 subintervalos. Solucin analtica. Si se divide el intervalo[ ]3,3 en 6 subintervalos iguales, entonces la longitud de delta x de cada

subintervalo es ( )3 3 16

b an

= = , con 3 3a b= = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]

11 3 2 1 1 2 3

1 7 12 15 15 12 7 1 68 68

nk k

kA f m x f f f f f f

== = + + + + +

= + + + + + = =

Solucin en Matlab, creamos una funcin denominada Areapol a la cual le pasamos como parmetro la formula a evaluar, el intervalo y el valor de n respectivamente, cabe sealar que para este caso se utilizaron las propiedades de la sumatoria. El programa lee del teclado la formula, y los valores extremos de la curva en cuestin as como el valor de los subintervalos

function Areapol(f,a,b,n)syms k ; deltax = (b - a)/n; u = subs(f,'x',deltax*k); s1=symsum(u*deltax,1, n); disp(s1);

Escribimos en la lnea de comandos la sentencia para llamar a la funcin

>> syms x; >> f = 16-x^2; >> Areapol(f,-3,3,6)

La respuesta es = 5 Calcular el rea bajo la curva ( ) 2xf x= en [ ]0, 2 , con 10n = Para la solucin analtica, tenemos el intervalo:

2 0 0.210

b axn = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

101 2 3 4 5 10

12 2 2 2 2 2 2 2 2 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0.2 0.04 0.016 0.36 0.64 1 1.44 1.96 2.

n kk

A S f x x x f x f x f x f x f x f x=

= = + + + + + + = + + + + + + + + +

= + + + + + + +

L

[ ]56 3.24 4 3.08+ + =2

Solucin en Matlab con la funcin Areapol creada anteriormente. (se calcula del mismo modo salvo por el valor de que usa como mnimo el polgono inscrito y el valor

km

kM que usa el polgono circunscrito como mximo.

>> syms x; f = x^2; Areapol(f,0,2,10)

La respuesta es =

3.0800

Hallar el rea bajo la curva ( ) 31 14xf x= + Divida el intervalo [0, 3] en 30 subintervalos de longitud

3 3 0.130

xn

= = = considerando el correspondiente polgono circunscrito . 30SPara la solucin analtica. El rea del k-simo rectngulo es ( ) ( )3 3 31 0.001 0.00010.1 1 0.1 1 0.1 0.14 4 4kf x x k k k = + = + = + Por lo que ( ) ( ) ( ) ( ) (1 1 2 2 3 3 30 3n ) 0A S f x x f x x f x x f x x= + + + + L Utilizando las propiedades de la sumatoria y las formulas para las sumas especiales tenemos:

( ) ( )( )

30 30 30 303 3

1 1 1 12

0.0001 0.00010.1 34 4

0.0001 216,2250.0001 30 1 21.6225 30 3 3 3 8.414 2 4 4

n k kk k k k

A S f x x k k= = = =

= = + = +

+ = + = + =

+ =

Solution Matlab >> syms x; f = ((x^3)/4) + 1; >> Areapol(f,0,3,30)

La respuesta es ans =

8.4056 Ejemplos Evale la suma de Rieman para ( ) 2 1xf x= + en el intervalo [-1, 2] usando los puntos de la particin, con la separacin equidistante, -1< -0.5 < 0 < 0.5 < 1 < 1.5 < 2 con el punto de muestra kx Como el punto medio del i-simo intervalo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ([ ]

6

10.75 0.25 0.25 0.75 1.25 1.75

0.5 1.5625 1.0625 1.0625 1.5625 2.5625 4.0625 5.9375

p k kk

R f x x x f f f f f f=

= = + + + + + = + + + + + =

) Solucin con Matlab, creamos la funcin Sriemann, a la cual le enviamos como parmetro la suma a evaluar y el intervalo. Primero calculamos la distancia entre los puntos equidistantes para encontrar el valor de como los puntos medios de cada subintervalo, los sustituimos en la funcin y almacenamos los resultados en el vector , luego sumamos los elementos del vector para multiplicarlo con el valor de y as tenemos el valor de la suma, luego mandamos a graficar la suma.

kx

ukx

function Sriemann(f,a,b) xmed = (b - (b-1))/2; j=1; for i=a:xmed:b-xmed u(j) = subs(f,'x',i+(xmed/2)); j=j+1; end s1=sum(u)*xmed; disp(double(s1)); rsums(f,a,b)

Escribimos en la lnea de comandos la siguiente sentencia >> syms x; >> Sriemann(x^2 + 1,-1,2);

La funcin rsums de MATLAB, crea la grafica de la suma de Riemann en forma interactiva, donde pueden hacerse las modificaciones necesarias para visualizar el comportamiento de esta para diferentes valores.

La respuesta es = 5.9375

Calcular el rea de ( ) 4xf x= en [-4,4] Con la funcin Sriemann, escribimos en la lnea de comandos

>> syms x; >> Sriemann( 4-abs(x) ,-4,4);

La respuesta del programa

= 16

Respuesta de la ventana grafica 2.006920

La respuesta correcta 16

Calcular el rea de ( ) 2xf x= en [0,4] Con la funcin Sriemann, escribimos en la lnea de comandos

>> syms x; >> Sriemann(2*sqrt(x),0,4);

La respuesta del programa

= 10.7045

Respuesta de la ventana grafica 2.667514

La respuesta correcta : 32 / 3Rpta

Calcular el rea de ( ) 3xf x= en [-1,1] Con la funcin Sriemann, >> syms x; >> Sriemann(x^3,,1); La respuesta es =

0.2188

1:2

Rpta

Como se ve este calculo no es exacto esto depende de la longitud de 1k kx x x = Recuerde que en la funcin Areapol es la ecuacin de la curva a evaluar, el intervalo es [ ]0, 2 , y 10 es el numero de subintervalos ( ) en los que dividimos la curva. Concluimos que si se hace muy pequeo tendiendo al cero y si se hace muy grande tendiendo a infinito tenemos el valor ms exacto para el rea buscada. Si usted quiere, realice varias pruebas utilizando esta funcin e incremente en cada una de ellas para verificar la proximidad del rea al valor de A(Sn )=2.67

n kxn

n

TRABAJO PRCTICO XII SUMATORIAS Y CLCULO DE AREAS POR SUMAS DE RIEMANN CON MATLAB

Hallar la suma de:

1 1000

1

13k

kS Ink=+ = + 3 ( )

2000

1

21 2kk

kSk k=

+= + 5 610

21

11k

S arctgk k=

= + + 2

300

21

14 1k

Sk=

= 4 1000 2

21 4 1k

kSk=

= 6 2010

0

2 35

k k

kk

S=

+= Calcular el rea de las regiones por sumatorias

1 ( ) 210xf x= en [ ]1,3 34 / 3A = 4 ( ) 2x 3f x x= en [ ]1,0 , 7 /12A = 2 ( ) 23 5xf x x= + + 2 en [ ]2, 4 , 90A = 5 ( ) 34 2xf x x= + en [ ]0,3 , 90A = 3 ( ) 2 2x 3f x x= + en [ ]2,1 15A = 6 ( ) 33xf x x= + + en [ ]1, 2 57 / 4A = Estimar el rea de las regiones por sumas de Riemann

1 ( ) ( )31xf x= en [ ]3,8 23854A = 3 ( ) ( )cosxf x= en ,2 2

2A =

2 ( ) 2 343 3 3xf x x x= en [ ]0,1 16

A = 4 2 23 1 3y x y x= = en [ ]0,3 , 57A = En los ltimos tres ejemplos desarrollados observe que la respuesta generada por el programa Sriemann, y la respuesta generada en la ventana grafica son diferentes explicar a que se debe esto. En los problemas siguientes use MATLAB para calcular la suma de Riemann con los datos que se dan, cree la funcin que da la solucin y grafique. 1 ( ) 1xf x= con la particin : 3 3.75 4.25 5.5 6 7p < < < < < y los correspondientes puntos muestras 1 2 3 4 53, 4 4.75, 6, 6.5x x x x x= = = = = 2 ( ) 32x

xf = + con la particin : 3 1.3 0 0.9 2p < < < < y los correspondientes puntos muestras 1 2 3 42, 0.5 0, 2x x x x= = = = 3 con la particin ( ) 3 25 2 8xf x x x= + + + 3 1 2 3 4 50.5, 1.5 2.5, 3.6, 5x x x x x= = = = = y los correspondientes puntos muestras : 0 1.1 2 3.2 4 5p < < < < < 4 ( ) [

22,2

2xxf x= + ]Se divide en ocho subintervalos iguales, ix es el punto medio.

5 Se divide en seis subintervalos iguales, ( ) [34 1 0,3xf x= + ] ix es el punto extremo derecho.

CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS Y SUS APLICACIONES CON MATLAB

Sea ( )xf una funcin definida en un intervalo cerrado [ ],a b , si existe ( )1

limn

kp k

kf x x = , entonces,

decimos que ( )xf es integrable en [ ],a b . Adems ( )b

xaf dx se denominada integral definida de ( )xf

desde hasta , y est dada por: a b ( ) ( )limb

k kx p kaf dx f W x=

Entonces, si existe la integral definida de ( )xf entre y b (o de a b ), entonces se dice que a a

( )xf es integrable en [ ],a b y que la integral ( )b

xaf dx existe, al proceso de determinar el nmero

representado por el lmite se llama evaluar la integral.

El smbolo en la definicin es el smbolo de integral y se usa para indicar la relacin entre las

integrales definidas y las sumas de Riemann. Los nmeros y se llaman extremos(o lmites) de integracin, siendo el extremo inferior y b el extremo superior. La expresin

a b

a ( )xf que aparece a la derecha del smbolo de integracin se llama integrando. Y el smbolo diferencial esta relacionado con el incremento de una suma de Riemann de

dxkx ( )xf .

Se notara que hemos modificado la nocin de nuestro anlisis del rea realizado anteriormente, ahora permitimos de que ( )xf puede ser negativa en parte o todo [ ],a b , utilizamos particiones con subintervalos que pueden tener longitudes diferentes y se permite que sea cualquier punto del i-

simo subintervalo. Ahora precisemos la relacin entre la integral definida y el rea.

ix

( )b

xaf dx que da

el rea con signo de la regin encerrada entre la curva ( )xf y el eje x en el intervalo [ ],a b , queriendo decir que asocia un signo positivo a las reas de partes que estn por arriba del eje x y se asocia un signo negativo a las partes que estn abajo del eje x . Esto es:

( )b

xaf dx = area arriba -area abajo

Propiedades de la integral Definida

1. Al definir ( )b

xaf dx , implcitamente supusimos quea b< , con las propiedades siguientes

eliminamos esa restriccin. ( ) ( ) ( )0a b

x xa a

a

xb

f dx f dx f dx= = 2. Si ( )xf es continua en [ ],a b y para todo ( ) 0xf x en [ ],a b , entonces, la integral ( )

b

xaf dx es

el rea bajo la curva entre y . Anlogamente si a b a c b< < , entonces las integrales

( )c

xaf dx y ( )

b

xcf dx son las reas bajo la curva entre y y entre c y , respectivamente.

Entonces.

a c b

( ) ( ) ( )b c b

x xa a c

xf dx f dx f dx= + 3. Comparacin. Si ( )xf y ( )xg son integrables en [ ],a b , si ( ) ( )x xf g para toda x en [ ],a b ,

entonces

( ) ( )b b

x xa af dx g dx

4. Acotamiento. Si ( )xf es integrable en [ ],a b y ( )xm f M para toda x en [ ],a b , entonces ( ) ( ) ( )

b

xa

m b a f dx M b a 5. Linealidad. Si ( )xf y ( )xg son integrables en [ ],a b , y que es una constante entonces k

( )xkf y f g+ son integrables, esto es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b b b

x x x x xa a a a akf dx k f dx f g dx f dx g dx = = x

6. Valor medio para integrales. Sea ( )xf continua en [ ],a b . El valor medio(o promedio) ( )xf de ( )xf en[ ],a b es

( ) ( )1b

x xa

f f dxb a

= 7. Simetra

a. Si ( )xf es funcin par, entonces ( ) ( )0

2a a

x xaf dx f dx

=

b. Si ( )xf es una funcin impar, entonces ( ) 0a

xaf dx

=

Primer teorema fundamental del clculo. Sea ( )xf continua en el intervalo cerrado [ ],a b y sea x un punto (variable) en . Entonces ( ,a b)

( ) ( )0

x

t xd f dt fdx

=

Segundo teorema fundamental del clculo. El primer teorema fundamental del clculo, proporciona la relacin inversa entre las integrales definidas y las derivadas. Aunque no es aparente esta relacin nos proporciona una herramienta poderosa para evaluar integrales definidas. Esta herramienta se denomina el segundo teorema fundamental del clculo, y lo aplicaremos con mucha ms frecuencia que el primer teorema.

Sea ( )xf continua e integrable en [ ],a b , y sea F cualquier antiderivada de ( )xf en [ ],a b . Entonces ( ) ( ) ( )

b

xaf dx F b F a=

No toda funcin es integrable en un intervalo [ ],a b , por ejemplo la funcin no acotada ( )

12