Practica de power point
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ESCUELA NORMAL SUPERIOR DEL SUR DE TAMAULIPAS
ASESOR: ING. JOSE ALEJANDRO SALINAS ORTA
ALUMNO: PROFR. RUBEN TORRES BAUTISTA
JULIO DEL 2011.
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EN ESTA SECUENCIA APRENDERAS A
ENCONTRAR UNA EXPRESION ALGEBRAICA
CUADRATICA PARA CALCULAR CUALQUIER
TERMINO EN SUCESIONES NUMERICAS Y
FIGURATIVAS MEDIANTE EL METODO DE
DIFERENCIAS.
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SUCESION DIFERENCIA EXPRESION ALGEBRAICA
2, 4, 6, 8, 10,… 2 2n
3, 5, 7, 9, 11,… 2 2n + 1
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LA SIGUIENTE SUCESION DE FIGURAS CORRESPONDE A LOS LLAMADOS NUMEROS RECTANGULARES.
FIGURA 1 FIGURA 2
FIGURA 3FIGURA 4
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DIFERENCIA DE LOS TERMINOS DE UNA SUCESION DESCRITA POR UNA EXPRESION CUADRATICA.
*Completen la tabla para después calcular las diferencias entre los términos de la sucesión de números rectangulares.
DIFERENCIAS DE NIVEL 1
Numero de la figura 1 2 3 4 5 6
Número rectangular 2 6 12 20 30 42
4 6 8 10 12
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A LAS DIFERENCIAS ENTRE LOS TERMINOS DE LAS DIFERENCIAS DE NIVEL 1 SE LES LLAMA DIFERENCIAS DE NIVEL 2.*Tabla para calcular las diferencias del nivel 2.
Numero de la figura 1 2 3 4 5 6
Número rectangular 2 6 12 20 30 42
4 6 8 10 12DIFERENCIAS DE NIVEL 1
DIFERENCIAS DE NIVEL 2 2 2 2 2 2
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A LO QUE LLEGAMOS:
Cuando la expresión general que corresponde a una sucesión es cuadrática , se encuentran las siguientes regularidades:•Las diferencias del nivel 1 son diferentes entre sí.•Las diferencias del nivel 2 son iguales a una constante diferente de cero.
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SUCESIONES DE FIGURAS Y EXPRESIONES CUADRATICAS
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4
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TABLA DE DIFERENCIAS CUADRATICAS
Numero de la figura 1 2 3 4 5 6
Número rectangular 1 4 9 16 25 36
3 5 7 9 11DIFERENCIAS DE NIVEL 1
DIFERENCIAS DE NIVEL 2 2 2 2 2
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LAS DIFERENCIAS EN EXPRESIONES CUADRATICAS
Las diferencias pueden ayudar a determinar muchas características importantes de las sucesiones numéricas, dependiendo del tipo de las expresiones algebraicas que les corresponden: lineales, cuadráticas o cúbicas.
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Expresión general del termino enésimo Sucesión original y sus diferencias
2n - 1 1, 3, 5, 7, 9,… 2 2 2 2
2n - n
0, 2, 6, 12, 20,…
2 4 6 8
3n
1, , 27, , 125
7 19 37 61
0 0 0
2 2 2
8 64
12 18 24
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A LO QUE LLEGAMOS
Al obtener las diferencias de una sucesión numérica, en general sucede que: Si en el nivel 2 de las diferencias aparece una constante diferente de cero, la expresión general es cuadrática.Cuando la expresión general de la secuencia es cuadratica, la constante que aparece en el nivel 2 de las diferencias es el doble del coeficiente del termino cuadrático de la expresión.
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METODO DE DIFERENCIAS
Para determinar los coeficientes de la expresión 2 an + bn + c , hay que resolver las ecuaciones que se obtienen al considerar que:
•El doble del coeficiente a es igual a la constante de las diferencias de nivel 2.•La suma 3ª + b es igual al primer termino de las diferencias de nivel 1.•La suma a + b +c es igual al primer termino de la sucesión.
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DEL ESQUEMA PUEDEN OBTENERSE VARIAS ECUACIONES QUE AL RESOLVERSE PERMITEN OBTENER LOS VALORES DE LOS COEFICIENTES a, b, c.
4, 9, 18, 31 ,….
COMPLETEN EL ESQUEMA Y RESUELVAN LAS ECUACIONES QUE SE OBTIENEN AL APLICAR EL METODO DE LA DIFERENCIAS A ESTA SUCESION. 2a= 3a + b = a + b + c=
a= 2
b= -1
C= 3
a + b + c
3a + b
2a
5 9 13
4 4
2 5 4
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¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
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finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,si no es una sucesión finita
Ejemplos{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita){20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
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En ordenCuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras! Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
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La reglaUna sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez
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Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticasEl ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
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Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.Ejemplos:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.La regla es xn = 3n
4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
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Sucesiones especialesNúmeros triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
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Pero es más fácil usar la reglaxn = n(n+1)/2
Ejemplo: •El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
•y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
La regla es xn = n2
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números cúbicos
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
La regla es xn = n3
![Page 27: Practica de power point](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022061207/54872369b47959ce0c8b53f6/html5/thumbnails/27.jpg)
Series"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.Sucesión: {1,2,3,4}Serie: 1+2+3+4 = 10Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
![Page 28: Practica de power point](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022061207/54872369b47959ce0c8b53f6/html5/thumbnails/28.jpg)
Esto significa "suma de 1 a 4" = 10
Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"
Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24
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EJERCICIOS
3 El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
4 El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión.
5 Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.
6 Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
7 Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.
![Page 30: Practica de power point](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022061207/54872369b47959ce0c8b53f6/html5/thumbnails/30.jpg)
8 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.
9El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.
10 El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.
11 Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
![Page 31: Practica de power point](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022061207/54872369b47959ce0c8b53f6/html5/thumbnails/31.jpg)
12 Encontrar la fracción generatriz de 3.2777777...
13Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d = 25º.
14El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.